高中数学人教A版必修4 1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 作业 Word版含解析

[学业水平训练]

1．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )

A ．[－π4，π4]

B ．[π4，3π4

] C ．[0，π2] D ．[π2

，π] 解析：选C.若函数y ＝cos 2x 递减，应有2k π≤2x ≤π＋2k π，k ∈Z ，即k π≤x ≤π2

＋k π，k ∈Z ，令k ＝0可得0≤x ≤π2

. 2．y ＝sin x －|sin x |的值域是( )

A ．[－1，0]

B ．[0，1]

C ．[－1，1]

D ．[－2，0]

解析：选D.y ＝sin x －|sin x |＝⎩

⎪⎨⎪⎧0， sin x ≥02sin x ， sin x <0 ⇒－2≤y ≤0.

3．函数y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣

⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣

⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣

⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣

⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 解析：选C.周期T ＝π，

∴2πω

＝π，∴ω＝2. ∴y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8

，k ∈Z . 4．函数f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x 的最小值和最大值分别是( )

A ．－2，2

B ．－2，52

C ．－12，2

D ．－52

，2 解析：选D.f (x )＝－2sin 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －2＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－52

. ∵－1≤cos x ≤1，

∴当cos x ＝－12时，f (x )min ＝－52

， 当cos x ＝1时，f (x )max ＝2.故选D.

5．若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在区间[0，π2

]上的单调性相同，则φ的一个值是( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

解析：选D.由函数y ＝cos 2x 在区间[0，π2

]上单调递减，将φ代入函数y ＝sin(x ＋φ)验证可得φ＝π2

. 6．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．

解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2

(k ∈Z )． 答案：4k π＋π2

(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π3

]，则f (x )的值域是________． 解析：x ∈[0，π3]，x ＋π3∈[π3，23

π]． sin(x ＋π3)∈[32，1]，则2sin(x ＋π3

)∈[3，2]． 答案：[3，2]

8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．

解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以cos 150°

答案：cos 150°

9．求下列函数的最大值和最小值：

(1)y ＝1－12

cos x ； (2)y ＝3＋2cos(2x ＋π3

)． 解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－12cos x ≥0，－1≤cos x ≤1.

所以12≤1－12cos x ≤32

. 所以当cos x ＝－1时，y max ＝

62

； 当cos x ＝1时，y min ＝22. (2)因为－1≤cos(2x ＋π3)≤1， 所以当cos(2x ＋π3

)＝1时，y max ＝5； 当cos(2x ＋π3

)＝－1时，y min ＝1. 10．求下列函数的单调递增区间：

(1)y ＝1＋2sin(π6－x )； (2)y ＝log 12

cos x .

解：(1)y ＝1＋2sin(π6－x )＝1－2sin(x －π6

)． 令u ＝x －π6

，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，

即π2＋2k π≤x －π6≤3π2

＋2k π(k ∈Z )，

亦即23π＋2k π≤x ≤53

π＋2k π(k ∈Z )， 故函数y ＝1＋2sin(π6

－x )的单调递增区间是 [23π＋2k π，53

π＋2k π](k ∈Z )． (2)由cos x >0，得－π2＋2k π

＋2k π，k ∈Z . ∵12<1，∴函数y ＝log 12

cos x 的单调递增区间即为u ＝cos x ，x ∈(－π2＋2k π，π2＋2k π)(k ∈Z )的递减区间，

∴2k π≤x <π2

＋2k π，k ∈Z . 故函数y ＝log 12

cos x 的单调递增区间为[2k π，π2＋2k π)(k ∈Z )． [高考水平训练]

1．对于函数y ＝sin x ＋1sin x

(0

B ．有最小值而无最大值

C ．有最大值且有最小值

D ．既无最大值也无最小值

解析：选B.∵y ＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x

， 又x ∈(0，π)，∴sin x ∈(0，1]．

∴y ∈[2，＋∞)，故选B.

2．f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)，在区间⎣⎡⎦

⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________． 解析：因为0≤x ≤π3

， 所以0≤ωx ≤π3ω＜π3

. 因为f (x )在⎣⎡⎦

⎤0，π3上是增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2，即2sin ⎝⎛⎭

⎫π3ω＝2， 所以π3ω＝π4，所以ω＝34

. 答案：34

3．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数且|φ|＜π，若f (x )≤⎪⎪⎪

⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，求f (x )的单调递增区间．

解：由f (x )≤⎪⎪⎪

⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立知 2×π6＋φ＝2k π±π2

(k ∈Z )， 得到φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6

(k ∈Z )， 代入f (x )并由f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)检验得，φ的取值为－5π6

，