S变换的性质
量子力学变换幺正变换
满足上式得矩阵称为幺正矩阵。由幺正矩阵所表示的变 换称为幺正变换。所以，从一个表象到另一个表象的变 换为幺正变换.
4.4 幺正变换
现在我们讨论幺正变换下算符、波函数和本征值的变化。
1. 算符的变换
在 B 表象中，算符 F 的矩阵元是 F ，在 A表象中， 算符 F 的矩阵元是 Fmn ，它们两者之间的关系是
l 列正是算符 F 对应于本征值为 l
0 F i e
ei 0
其中 为常数，求：
（1）F 的本征值和在 A 表象中的正交归一本征函数；
（2）求使矩阵 F 对角化的幺正变换 S 。
4.4 幺正变换
（1） F 在 A 表象中的本征方程为 解：
0 i e ei 0 a1 a1 a2 a2
（4.4.24）
上式写成矩阵形式 b S a S 1 a 或
a Sb
（4.4.25） （4.4.26）
4.4 幺正变换
3. 幺正变换不改变算符的本征值
设 F 在 A 表象中的本征值方程为 （4.4.27） Fa a 为相应的本征值。作表象变换，使得从 A表象经过一 b 个幺正变换 S 换到 B 表象，由于F b S 1 FS ， S 1 a 因 此在 B表象中，算符 F 相应的矩阵F满足
* * = n ( x) ( x) dxC m = n ( x) m ( Nhomakorabeax)dx
= nm
（4.4.15）
SS I 即 （4.4.16） 利用（4.4.12） 和（4.4.16），我们得出结论：两个表象之间 的变换矩阵 S 满足
S S 1
（4.4.17）
拉普拉斯变换及反变换
拉普拉斯变换及反变换
例 右图所示电路中，电压源为
ui (t ) ea t u(t ) ，
试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。 ui (t ) 解（1）写出系统动力学方程 di (t ) i (t ) R L ui (t ) dt
（2）作Laplace变换得
R i(t) L h(t)
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉 普 拉 斯 变 换 的 基 本 性 质 表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换的基本性质表
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
=ℒ e a t (t )
（5）作Laplace反变换得
1 1 1 1 R Ls s a L s R
L
零状态响应电流 i(t)= ℒ-1[I(s)]
R t 1 at (e e L ) (t ) R L ( a) L
机械工程控制基础
八、S域卷积性
0
1 sa
机械工程控制基础
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
【信号与系统】03-系统函数的性质
【信号与系统】03-系统函数的性质1. 系统函数的性质1.1 变换的对偶性 不管是傅⾥叶变换的频域还是拉普拉斯变换的s域（下⾯统称s域），都是深⼊讨论LIT系统的有⼒⼯具，有时甚⾄是必备⼯具。
s域的系统函数和时域的信号（单位冲激响应）是⼀对共⽣体，它们通过拉普拉斯变换⽣成彼此，同时也是连接两个域的纽带。
对⼀个函数解析式，经常要对它做⼀些常规的分析操作，⽐如运算、平移、缩放、微积分、卷积等。
⼀个很⾃然的问题是，在某个域的分析操作会对另⼀个域带来什么影响呢？本篇就来讨论这个问题。
在正式讨论之前，有必要再回顾⼀下拉普拉斯变换的公式。
你可能⼀开始就注意到，正反变换存在⼀定的“对称性”，⽽仅在局部有微⼩差别。
在数学上，两个概念如果通过类似的⽅法互相定义，它们就称为对偶的，从形式上不难看出，互为对偶的概念的性质也是对偶存在的，这就省去了相似论证的⿇烦。
信号x(t)和拉普拉斯变换H(s)之间不具有严格的对偶性，但这样的相似性仍然可以被使⽤。
如果记χ(ω)=eσ√2πX(σ+jω)，将得到更为对称的式（1），把这个关系记作变换T，显然有式（2）成⽴。
以后变换的性质如果本⾝不是对称的，可以运⽤该式迅速得到另⼀个对称的性质，当然简单的性质直接证明会更快。
x(t)=1√2π∫∞−∞χ(ω)e jωt dω;χ(ω)=1√2π∫∞−∞x(t)e−jωt d t x(t)T↔χ(ω)⇔χ(t)T↔x(−ω)1.2 拉普拉斯变换的性质 以下按函数运算的复杂程度，罗列LT的基本性质，过于直⽩的结论不加证明。
需要注意的是，性质成⽴有它⾃⼰的ROC，并不完全受限于原LT的ROC。
还有我们知道，ROC和积分在具体的s上的收敛性是不同的，以下性质在ROC外的收敛点仍然可以是成⽴的。
⾸先是函数的线性运算，在s域也是线性的（式（3））。
然后看函数的平移，容易有式（4）左成⽴，在s域的平移还有式（4）右成⽴，这是⼀组对偶性质。
当对函数进⾏伸缩时，频谱系数也跟着反⽐例伸缩（式（5）左）；特别地，a=−1时表⽰函数左右翻转（旋转180度），s域则也跟着旋转180度（式（5）右）。
K1.06-拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
则 f(at) ←→ 1 F ( s ) aa
Re[s]>a0换
例 如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = es (1 es s es )
s2
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
解： y(t)= 4 f(0.5t)
f(t) 1
Y(s) = 4×2 F(2s)
拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
知识点K1.06
拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
主要内容：
1.拉普拉斯变换的线性性质 2.拉普拉斯变换的尺度变换性质
基本要求：
1.熟练拉普拉斯变换的线性、尺度变换等性质 2.结合性质计算信号的拉氏变换
1
拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
K1.06 拉普拉斯变换的性质—线性、尺度变换
一、线性性质
若 f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1 f1(t)+a2 f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
如 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
二、尺度变换
若 f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0
8 e2s 2s 2
(1 e2s
2s e2s )
0 12 t y(t) 4
2 e2s s2
(1 e2s 2s e2s )
0
24 t
3
拉普拉斯变换的基本性质
t0
1 s t0 s2
F2
(s)
L
(t
t0
)u
(t
)
F1
(s)
1
s s2
t0
F4 (s)
L (t
t0 )u(t
t0)
1 s2
e s t0
F3(s) Ltu(t t0 ) L(t t0 )u(t t0 ) t0u(t t0 )
F4 (s)
t0 s
e s t0
s t0 1 est0 s2
dt2
ssF (s)
f
(0 )
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
L
d
f d
n (t) tn
sn
F
(s)
n1 r0
s n r 1
f
(r
)
(0
)
六．时域积分定理
若
L f (t) F(s)
则
L
t
f
(τ) d
τ
F (s) s
1 s
0
f ( ) d τ
t
(t
)
f (t) 的拉普拉斯变换 2Fra bibliotekF(s)
解：F(s)
F1 (s)
F2 (s)
s
1 1
(s
1 1)(s
2)
(s
s 1 1)(s
2)
s
1
2
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
若 L f (t) F (s)
则
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s) est0
(3)表达式
4-2单边拉普拉斯变换的性质
ω0 sin(ω0t )ε (t ) ↔ 2 2 ( s + α ) + ω0
Re[ s ] > −α
4.尺度变换 4.尺度变换
若 则
傅立叶变换域
Re[ s ] > σ 0
1 ω f (at ) ↔ F ( j ) a a
f (t ) ↔ F ( s )
1 s f (at )ε (at ) ↔ F ( ) a > 0, Re[ s] > aσ 0 a a 的拉氏变换。 例. 求 f ( at − b)ε ( at − b), a > 0, b > 0 的拉氏变换。 1 s Re[ s ] > aσ 0 f (at )ε (at ) ↔ F ( ) a a b − s b b 1 s a f (at − b)ε (at − b) = f [a (t − )]ε [a (t − )] ↔ F ( )e
+∞ 0
= ∫ − f1 (τ )[ ∫ − f 2 (t − τ )e− st dt ]dτ
0
17-6 17-
= ∫ − f1 (τ )e − sτ F2 ( s )dτ
0
∞
= F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ) Re[ s ] > σ 0
• 应用于系统的零状态响应分析
y f (t ) = f (t ) * h(t ) b b
∞
Re[s] > σ0
不成立！ 不成立！
证明： 证明：由单边拉氏变换的定义有
L[ f (t − t0 )ε (t − t0 )] = ∫ − f (t − t0 )ε (t − t0 ) e dt
− st
= ∫ f (t − t0 ) e − st dt
中心反演对称操作在三维空间中的变换矩阵
一、概述在三维空间中，中心反演是一种重要的几何变换。
它可以通过对空间中的点进行对称操作来实现。
在数学和物理学领域中，我们经常需要研究和理解各种几何变换的性质和特点。
中心反演作为一种特殊的几何变换，其变换矩阵对于研究和应用具有重要意义。
本文将介绍中心反演在三维空间中的基本概念和变换矩阵。
二、中心反演的定义中心反演是以空间中的一点为中心进行的一种对称操作。
设空间中有一点O，对于任意点A，通过中心O将点A映射到A'，使得OA·OA' = r^2，其中r为一个正常数。
三、中心反演的性质1. 保角性：中心反演保持角度不变；2. 保长度性：中心反演不改变线段长度；3. 点的关系：若A在中心O的反演点为A'，则A'为A的反演点。
四、中心反演的变换矩阵在三维空间中，中心反演的变换矩阵可以表示为一个3×3的矩阵。
设中心O的坐标为(a, b, c)，则点A(x, y, z)关于中心O的反演点A'的坐标可以用变换矩阵表示为：A' = (1/|OA|^2) * (x-a, y-b, z-c)其中|OA|表示向量OA的模长。
可以看出，中心反演的变换矩阵与点A的坐标有直接关系，它描述了点A经过中心反演后的位置变化。
五、中心反演的应用1. 几何学中的应用：中心反演可以用来解决一些几何问题，如寻找平面图形的对称轴、确定空间中点的位置关系等；2. 物理学中的应用：在物理学中，中心反演常用于分析光学、电磁学等领域的问题，例如研究透镜成像、电场分布等。
六、结论本文介绍了中心反演在三维空间中的变换矩阵及其应用。
中心反演作为一种重要的几何变换，在数学和物理学领域中具有广泛的应用价值。
希望通过本文的介绍，读者能对中心反演有更深入的理解，并能将其应用到实际问题中去。
七、中心反演的数学性质除了上文提到的性质，中心反演还有一些重要的数学性质，这些性质在研究中心反演的变换矩阵和应用中起着重要作用。
S变换时频域滤波方法在主动源资料处理中的应用研究
S变换时频域滤波方法在主动源资料处理中的应用研究张帅;杨润海;王彬;孙守才;庞卫东;姜金钟;高尔根【摘要】主动源探测中源检距较大的接收台站,由于信号能量较弱及各种干扰的存在,有效信号湮灭于干扰信号之中,导致信噪比降低.利用S变换时频域滤波方法分别对一维、二维加噪数据进行数值模拟计算,发现该方法可对随机信号进行有效识别,输出信号与原始信号互相关程度提高.再将此方法与频率滤波方法应用于宾川主动源高兴台数据处理中,结果表明:S变换时频域滤波方法能够在主动源资料处理中对噪声形成有效压制,提高地震信号信噪比,且效果优于频率域滤波方法.【期刊名称】《地震研究》【年(卷),期】2019(042)001【总页数】8页(P80-87)【关键词】S变换;主动源;时频域滤波;信噪比【作者】张帅;杨润海;王彬;孙守才;庞卫东;姜金钟;高尔根【作者单位】云南省地震局,云南昆明650224;云南省地震局,云南昆明650224;云南省地震局,云南昆明650224;防灾科技学院地球科学学院,河北三河065201;云南省地震局,云南昆明650224;云南省地震局,云南昆明650224;安徽建筑大学土木工程学院,安徽合肥230000【正文语种】中文【中图分类】P315.630 引言宾川主动源发射站自2012年建成以来，积累了长期的观测资料，在探测地壳浅部结构和波速变化方面开展了应用探索(王伟涛等，2017)，取得了多方面的研究成果。
如张云鹏等(2017)对2011年以来云南宾川地震信号发射台的所有流动观测数据进行整理，构建了统一的数据库；蒋生淼等(2017)提出了一种利用信号记录中噪声特征的主动源数据筛选方法RMS方法，服务于气枪数据的自动化处理；陈佳等(2017)利用主动源信号对云龙MS5.0地震前后波速变化特征进行了对比研究；叶泵等(2017)利用主动源数据对宾川地区的地壳的各向异性进行了研究；向涯等(2017)将气枪主动源信号与天然地震信号的传播特征进行了对比研究。
拉普拉斯变换及反变换
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
1 t ] e ( t 0) ℒ [ s
1
机械工程控制基础
2.3
一、线性性质
拉普拉斯变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质
若 ℒ [f1 ( t )] F1 ( s ) , ℒ [f 2 ( t )] F2 ( s )
则 ℒ [a f1 ( t ) b f 2 ( t )] aF1 ( s ) bF2 ( s )
0
1 sa
机械工程控制基础
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t)
拉普拉斯变换及反变换
(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]
0
( t )e st dt 0 (t )dt
n!
拉普拉斯变换及反变换
sn+1
1
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
信号与系统总结
信号与系统总结：1. 何为信号与系统，两者的关系基本信号：非奇异和奇异信号欧拉公式()t δ、()t u 、()t r 三者的相互关系以及对应离散域的相互关系四性判断（根据定义）：连续系统和离散系统2. 连续系统和离散系统分析研究对象：线性时不变系统系统特性描述：常微分方程 常系数差分方程单位冲激响应()t h 单位采样响应()n h系统函数()ωj H系统函数()ωj e H 系统函数()s H 系统函数()z H 幅频-相频特性零极点分布图信号框图/流图系统全响应=零输入响应+零状态响应=自有响应+强迫响应=暂态响应+稳态响应两类特殊的零状态响应：()t h 和()t s 之间的相互关系以及对应S 域的相互关系 离散系统上的类似关系三大变换的定义式，常见变换对，基本性质，正逆变换：F 变换，S 变换，Z 变换频域分析：理解全响应=零输入响应+零状态响应分别在时域和变换域上的数学解析式并加以利用求解。
常见滤波器类型，相关的时域和变换域表达式，幅频-相频特性曲线时域采样和频域采样的本质及相关数学表达式，无失真传输的条件（奈奎斯特采样定理）系统稳定性的等价条件及判定（连续系统：劳斯判据，离散系统：朱利判据） 卷积（连续系统：积分，离散系统：加和），会利用常见的性质计算简单的卷积。
电路S 域模型（串联-并联模型）激励为正弦函数时系统的稳态响应信号框图流图（系统函数-信号框图：只要求直接型，信号框图-系统函数：所有四种：直接，串联，并联，串并联）了解串联，并联，反馈这三种基本的网络，熟悉反馈的网络函数注：红色字体为重中之重，课本才是王道...。
K1.07-拉普拉斯变换的性质—时移、复频移特性
若 f(t) ↔F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则 f(t-t0)(t-t0) ↔ e-st0F(s) , Re[s]>0
若 f(t)为因果信号，则 f(t-t0) ↔ e-st0F(s)
f(at-t0)(at-t0) ↔
1
t0
ea
sF(s)源自aa例1 求如图信号的单边拉氏变换。
f1(t) 1
0
1t
f2(t) 1
解：f1(t) = (t) –(t-1)
F1(s)=
1 s
(1
es )
F2(s)= F1(s)
-1 0
1t
2
拉普拉斯变换的性质—时移、复频移特性
例2 已知f1(t) ←→ F1(s)，求f2(t)←→F2(s)
f1(t) 1
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s)
二、复频移特性
若f(t) ←→F(s) , Re[s]>0 , 且有复常数sa=a+ja,
则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>0+a
例1
已知因果信号f(t)的象函数F(s)=
s s2 1
求e-tf(3t-2)的象函数。
解：e-tf(3t-2)
←→
(s
s 1 1)2
9
2(s1)
e3
例2 f(t)=cos(2t–π/4) ←→ F(s)= ?
解：cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
F(s)
s2
s
4
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
1
__
(s-1)2
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
s s
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 ： 8时域卷积性
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
机械工程控制基础
(1)
利用
拉普拉斯变换及反变换
ℒ
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
n [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
n ℒ [ t ] ℒ [ t n 1 ] s
n
1 当n＝1， ℒ [t ] 2 ； s 2 2 当n＝2，ℒ [t ] 3 ； s
依次类推， 得 ℒ
机械工程控制基础
常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 表 δ(t) δn(t) u(t) t tn e-at te-at tne-at e-jwt 1 sn 1/s 1/s2
双边拉普拉斯变换及反变换
双边拉普拉斯变换的性质
► 微分特性
若
x(t) L X (s), Re(s) 0
则
dx(t) L sX (s), dt
Re(s) 0
双边拉普拉斯变换的性质
► 积分特性
若
x(t) L X (s), Re(s) 0
则 t x( )d L X (s)
s
Re(s) max(0 , 0)
双边拉普拉斯反变换
解：X (s) 0 etu(t)est dt e2tu(t)estdt
0
1 1 s 1 s 2
收敛域为： 2 Re(s) 1
j
收 敛 域
2 1 0
双边拉普拉斯变换的性质
► 时移特性
若
x(t) L X (s) , Re(s) 0
则 x(t t0) L est0 X (s), Re(s) 0
x(t) 1 j X (s)estds 2πj j
※ 留数法 留数法计算比较复杂，但适用范围较广。
※ 部分分式展开法 部分分式法求解较为简便，但一般只适用于有理分式。
双边拉普拉斯反变换
※ 部分分式展开法
etu(t) L 1 , Re(s) s
tetu(t) L 1 , Re(s) (s )2
简称为ROC(Region Of Convergence)。
双边拉普拉斯变换的定义
（1）有限长信号
例：试求连续信号 u(t 2) u(t 2)的双边拉氏变换及其收敛域。
解：X (s) [u(t 2) u(t 2)]estdt 2 estdt 1 est |2 Nhomakorabea2
s
2
1 (e2s e 2s )
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
拉普拉斯变换及反变换.
设 ℒ [ f (t )] F ( s)
d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) ] s F ( s ) s f （ 0 ） s f （ 0 ） ... f （0 ） ℒ[ n dt
1 d (sin t )] 例1 ℒ [cos t ] ℒ [ dt s 1 [s 2 sint 0 ] 2 2 s 2 s
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义 Laplace 正变换 F (s)
拉普拉斯变换及反变换
1 j st F ( s ) e ds Laplace 反变换 f (t ) j 2j ( t 0)
0
0
— —
表示为：
f (t )e dt
st
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
1 1 例1 ℒ [ A(1 e )] A( ) s s 1 例2 ℒ [sin t ] ℒ [ (e j t e j t )] 2j 1 1 1 [ ] 2 2j s j s j s 2
t
机械工程控制基础
二、微分定理
拉普拉斯变换及反变换
n!
拉普拉斯变换及反变换
sn+1
1
s+a (s+a)2 (s+a)n+1
1 n! 1
s+jw
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及其基本性质(“函数”相关文档)共62张
K 2(s2j3)F (s)s 2j3s s2 5j3s 2j30.5j0.50.52ej45
即
F (s )
K 1
K 2
0 .52 e j4 5 0 .52 e j4 5
(s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 )
其中α=2,ω=3,θ=–45°，查表可得出
(2) K的象函数为
F(s)L[K]K estdtK(e sst) 0K s
0
(3) 单位冲击函数δ(t) 的象函数
δ(t)函数定义
(t ) 0
t 0
t
0
(t)dt 1
δ(t)函数意义:t≠0时,δ(t)=0 。当t=0 时是一个面积
为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。
δ(t) 的象函数为
F(s)K1 K2 Kn
sp1 sp2
spn
式中K1、K2…Kn是待定系数。上式两边都乘以(s–P1)，则
(sp1)F (s)K 1(sp1) s K 2 p2s K n pn
令s=P1 代入，则等号右边除K1项之外其余项为零，故得
同理得出
K 1(s p 1 )F (s)s p 1 K2 (sp2)F(s) sp2
f(t)
把
改写为
由象函数求原函数
【例9-1】求下列原函数的象函数
(1) 单位阶跃函数ε(t)；
(2) 实常数K；
(3) 单位冲击函数δ(t) ；
(4) 指数函数 e;at
解 对于以上几个原函数，直接用拉普拉斯变
换式
(1)
ε(Ft)(的s)象0函 求f(数t取)e为。stdt
F (s ) L [(t)]0 (t)e s td t0 e s td t e s s t 0 1 s
s变换 微分环节
s变换微分环节摘要：一、引言二、s 变换的定义与性质三、s 变换在微分环节的应用四、s 变换在控制系统分析中的应用五、总结与展望正文：一、引言在信号处理和系统分析领域，s 变换是一种重要的数学工具，尤其在微分环节有着广泛的应用。
本文旨在对s 变换及其在微分环节的应用进行详细阐述。
二、s 变换的定义与性质s 变换是一种复变量变换，用于对具有非线性特性的系统进行分析。
它的定义如下：G(s) = ∫(exp(-at))/((s-a)t) dt其中，G(s) 是变换后的函数，a 是待求的复变量，t 是原变量。
s 变换具有以下性质：1.线性性质：若X(s)、Y(s) 分别是两个函数的s 变换，则它们的线性组合Z(s)=X(s)Y(s) 的s 变换也可求得。
2.移位性质：若X(s) 的s 变换为G(s)，则X(s-a) 的s 变换为G(s-a)。
3.尺度性质：若X(s) 的s 变换为G(s)，则X(s/a) 的s 变换为G(s/a)。
三、s 变换在微分环节的应用微分环节是控制系统中的一个重要环节，主要任务是对输入信号进行微分处理。
在微分环节中，s 变换可以用来分析系统的稳定性、动态性能等。
例如，对于一阶系统的微分环节，其传递函数为：G(s) = s/(s^2 + 2ζωn)其中，ζ是阻尼比，ωn 是系统的无阻尼自然频率。
通过求解s 变换，可以得到系统的频率响应，进而分析系统的稳定性。
四、s 变换在控制系统分析中的应用s 变换不仅可以用于微分环节的分析，还可以用于控制系统其他环节的分析。
例如，在控制系统的设计中，可以通过求解s 变换来得到控制律，从而实现对系统的控制。
此外，s 变换还可以用于系统的稳定性分析、鲁棒性分析等。
五、总结与展望s 变换是一种重要的数学工具，在微分环节和控制系统分析中有着广泛的应用。
通过深入研究s 变换的性质和应用，可以为控制系统的设计和分析提供有力的理论支持。
18讲 拉普拉斯变换
令t t0
t 0
e
p t0
f ( )e
p
d 0 + e
p t0
0
f ( )e p d e pt0 f ( p).
6、位移定理：L [e t f (t )] f ( p + ). 证明： [e t f (t )] e t f (t )e pt dt L
数连续；(2)存在常数M>0和s≥0，使对任何宗量t，都有|f(t)|<Mest。
其中s的下界称为收敛横标，记作s0。
2、 变换 由满足拉普拉斯变换条件的函数f(t)构造一新函数g(t)= e-st f(t)， 其中 e-st称为收敛因子。总能找到合适的s0，使得g(t)在(-∞, ∞)
区间上绝对可积，这样g(t)便满足傅里叶变换条件，故：
0
pt
dt + c2 f 2 (t )e p t dt c1 f1 ( p) + c2 f 2 ( p). 0
2、导数定理： L [ f (t )] pf ( p) f (0). 证明： L [ f (t )] f (t )e pt dt
0
分部积分
f (t )e
证明： 拉普拉斯函数要求宗量不小于0，故卷积
d
0
L [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 ( ) f 2 (t )d e pt dt. 0 0 如右图：上式的积分区域为第一象限的
f (t , a ), L[ f (t , a )] L [ f (t , a )] a a a a a a L [ f (t , a )da ] L [ f (t , a )]da f (t , a )da . 0 0 0 五、举例 f (t ) t m (m为非负整数). 例1、求幂函数的像： 分部积分 解：L [t m ] t me pt dt 1 t m e pt + m t m1e pt dt 0 0 p p 0 取 Re p 0 再分部积 m 1次 m！ m！ pt 0 + e dt m +1 . m 0 p p
常数的laplace变换
常数的laplace变换常数的Laplace变换是一种数学工具，用于将一个函数从时间域转换到复频域。
它在信号处理、控制系统和电路分析中被广泛应用。
本文将介绍Laplace变换的基本概念、性质和应用，并探讨它在现实生活中的意义。
Laplace变换是将一个函数从时间域转换到复频域的操作。
它可以将一个函数f(t)映射为复频域上的函数F(s)，其中s是复数变量。
Laplace变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是Laplace变换的核函数，s是复频域变量。
通过Laplace变换，我们可以将一个函数从时间域转换为复频域，从而更方便地进行分析和处理。
Laplace变换具有一些重要的性质。
首先，它是线性的，即对于任意常数a和b，有L[af(t)+bg(t)] = aF(s) + bG(s)。
其次，Laplace变换具有平移性质，即对于任意常数a，有L[e^(at)f(t)] = F(s-a)。
此外，Laplace变换还具有微分和积分的性质，使得我们可以方便地进行微分方程的求解。
在信号处理中，Laplace变换被广泛应用于信号的分析和滤波。
通过将信号从时间域转换到复频域，我们可以清晰地观察信号的频谱特性，从而设计合适的滤波器进行信号处理。
例如，在音频处理中，可以使用Laplace变换将音频信号转换为频域表示，然后进行降噪或者增强特定频段的操作。
在控制系统中，Laplace变换被用于分析和设计控制系统的动态特性。
通过将系统的微分方程进行Laplace变换，我们可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、响应特性和频率特性。
这对于控制系统的设计和优化非常重要。
在电路分析中，Laplace变换可以简化电路的分析和求解。
通过将电路中的微分方程进行Laplace变换，我们可以将电路中的元件和信号转换为复频域上的阻抗和传递函数，从而更方便地进行分析和计算。