沪科版八年级数学上册期末复习-三角形

沪科版八年级数学上册期末复习 2
一、三角形
1、三角形的分类：
（1）按边分类：（ 2）按角分类：
不等边三角形直角三角形
三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形
钝角三角形
2、三角形三边的关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边 .
3、三角形内角和定理、外角及其推论：
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180° .
（2）推论 1：直角三角形的两个锐角互余 .
（3）三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 . 三角
形的外角与它相邻的内角互补 .
（4）推论 2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
（5）推论 3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
4、三角形中的重要线段
（1）在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做
三角形的角平分线 .
（2）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线 .
（3）从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高 .
注意：①一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，并且它们都是线段；②三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；而三角形的高未必在三角形内部 .
5、命题
（1）凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题 .
（2）命题分为真命题和假命题 .
（ 3）命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成 .
（4）几何推理中，把那些从长期实践中总结出来，不需要再作证明的真命题叫做公理 .
如：经过两点，有且只有一条直线；两点之间，线段最短；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 . （5）正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 .
如：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；在平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.
二、全等三角形
1、能够完全重合的两个图形，叫做全等形；能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形
2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应的角平分线分别相等；全等三角形的周长相等，面积相等 .
注：用全等符号“≌” 表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上
∴△ ABC ≌△ DEF
三、轴对称图形
1、 轴对称图形 ：如果一个图形沿一条直线折叠， 图形叫做 轴对称图形 . 这条直线叫做 对称轴 .
2、 轴对称 ：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图 形成 轴对称 . 这条直线叫做 对称轴 . 折叠后重合的点叫做 对称点 .
3、全等三角形的 判定
（1）“边角边”定理 ： 两边和它
对应相等的两个三角形全等 .
（SAS ） 在△ ABC 和△ DEF 中， 2）“角边角”定理 ： 两角和它们的夹边
对应相等的两个三角形全等 . （ASA ） 在△ ABC 和△ DEF 中，
BE ∵ BC EF
CF
3）“角角边”定理 ： 两个角和其中一个角的对边
∴△ ABC ≌△ DEF 对应相等的两个三角形全等 . （ AAS ） 在△ ABC 和△ DEF 中，
另外， 边边边”定理 ：三边 对应相等的两个三角形全等 BE AB DE
∴△ ABC ≌△ DEF
. （
SSS ） 在△ ABC 和△ DEF 中，
AB DE ∵
BC EF AC DF
∴△ ABC ≌△ DEF
判定两个直角三角形全等还有另一种方法 . ：斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等 .
（HL ） 在 Rt △ABC 和 Rt △DEF 中，
AB DE
AC DF
∴ Rt △ ABC ≌Rt △DEF
直线两旁的部分能够完全重合，那么这个 AB DE ∵ B
E
BC EF
3、轴对称性质与判定：
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段（2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 .
4、轴对称和轴对称图形的区别与联系
四、线段的垂直平分线
1、经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段
的中垂线 .
2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 .
3、线段垂直平分线的判定定理：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 .
4、三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 .
五、等腰三角形
1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形 .
2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等 .简称“ 等边对等角”.
（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 .
（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一）
3、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等. 简称“ 等角对等
边”.
六、等边三角形
1、定义：三边都相等的三角形叫做 等边三角形 .
2、性质 ：等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于 60°
3、判定 ：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形 .
（2）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 .
（3）推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 .
七、直角三角形
含 30°角的直角三角形性质： 在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30 ° ，那么 它所对的 直角边等于斜边的一半 .
八、角平分线
1、性质 定理：角平分线上任意一点到角的两边的 距离相等 .
2、 判定 定理：在一个角的内部，到角的两边 距离相等 的点在这个角的平分线上 .
3、 三角形三条角平分线的性质 ：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的 距离 相等.
【考点习题】 一、选择题
1
、三角形的三边分别为 3，1 2a ， 8，则 a 的取值范围是（ ） A ． 6 a 3 B ． a 5 或 a 2 C ． 2a5 D ． 5 a 2 2、如图所示， 在△ ABC 中， 已知点 D 、E 、 F 分别为边 BC 、 AD 、 CE 的中
点，
且
S ABC ＝ 4cm
，则 S 阴影 等于 （ ）
2
2
1 2
1 2
A ． 2c
B ． 1 2
C
． cm D ．
cm
2
4
3、如图， a ∥ b ，∠ 1＝65° ，∠2 ＝140° ，则∠ 3＝（ ）
A 、
B 、
C 110°
D 、
（第 2 题） （第 3题）
4、若△ ABC 的三个内角满足关系式∠ B ＋∠ C=3∠A ，则这个三角形（ ）
A ．一定有一个内角为 45°
B ．一定有一个内角为 60°
C ．一定是直角三角形
D ．一定是钝角三角形
5、下列命题中正确的是（ ）
A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形
B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角
C ．三角形外角一定是钝角
D ．△ ABC 中，如果∠ A>∠ B>∠C ，那么∠ A>60°，∠ C<60°
6、如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，且∠ B=∠C ，那么补充一个条件后， 仍无法判断△ ABE ≌△ ACD 的是（ ）
A. AD=AE
B.
∠AEB=∠ADC C. BE=CD
7
④∠ OFD=∠OFE 。

其中能够证明△ DOF ≌△ EOF 的条件的个数有（ A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
8、如图，AD 是△ ABC 中∠ BAC 的平分线，DE ⊥ AB 交 AB 于点 E ，DF ⊥AC 交 AC 于点 F.若 S △ABC =7， DE=2， AB=4，则 AC 的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5
F ，交斜边 AB 上的高 CD 的延长线于 E ，E
G ∥ AC 交 AB 的延长线于 G ，则下列结论： ①CF ＝ CE ； ②GE ＝CF ；③ EF 是 CG 的垂直平分线；④ BC ＝BG ，其中正确的是 （ ） A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①② 二、填空题
11、等腰△ ABC 中， AB=AC ， AC 边的中线 BD 将△ ABC 的周长分成长 12cm 和 9cm 的两段，则 等腰△ ABC 的腰长为 .
12、已知△ ABC 中，∠ A 比它的外角小 10°，则∠ B+∠
C= .
1
9、如图，在△ ABC 中，∠ B=55°，∠ C=30°，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于
AC 的长
2
为半径画弧， 两狐相交于点 M 、N ，直线 MN 交 BC 于点 D ，连接 AD ，则∠ BAD 的度数为 （ ） A.65
C.55
D.45 （第 9 题）
10、如图，在△ ABC 中，∠ BCA ＝90°，∠ CBA 的邻补角的平分线
所在直线交 AC 的延长线于
D. AB=AC
）
第 10 题）
13、如图所示，在 Rt△ABC中，∠ A=90°，∠ ABC的平分线 BD交 AC于点 D，AD=3，BC=10，则△ BDC的面积是 .
（第 13 题）
14、如图， C 为线段 AE 上一动点（不与点 △CDE ，AD 与 BE 交于点 O ，AD
与 BC 交于点 P ，BE 与 CD 交于点 Q ，连接 PQ ， OC ，以下四个
结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 一定成立的结论有 三、解答题
15、按要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法和证明 . ）
如图，已知∠ AOB 和线段 MN ，求作点 P ，使 P 点到 M 、N 的距离相等，且到角的两边
的距离也相等
16、如图，在平面直角坐标系 xoy 中 .
（1）请写出△ ABC 各顶点的坐标，并求△ ABC 的面积； （2）在图中作出△ ABC 关于 x 轴的对称图形△ A 1B 1C 1；
（3）已知点 A 与点 A 2（-3，2）关于直线 l 成轴对称，请画出直线 l 及△ ABC 关于直线 l 对 称的图形△ A 2B 2C 2，并直接写出直线 l 的函数解析式；
（4）若点 P （ m ，n ）是△ ABC 中 AB 边上一点，请表示其在△ A 2B 2C 2中对应点的坐标 .
A 、E 重合），在 AE 同侧分别作等边△ ABC 和等边
1
17、如图，△ ABC中，∠ ABC和∠ ACB的角平分线的交于点 P. 求证：∠ P=90°＋∠A.
2
18、如图，在△ ABC中，内角平分线 BP 和外角平分线 CP相交于点 P，根据下列条件求∠ P 的度数 .
（1）若∠ ABC=50°，∠ ACB=80°，则∠ P= ______________________________ ，若∠ ABC＋∠ ACB=110°，则∠ P= ______ ；
（2）若∠ BAC=90°，则∠ P= _____ ；
（3）从以上的计算中，你能发现∠ P 与∠ BAC的关系是_________ ；
（4）证明第（ 3）题中你所猜想的结论 .
A
19、如图，在△ ABC和△ ADE中， AC=AB， AE=AD，∠ CAB=∠EAD=90° 求证：（1）CE=BD；（2）CE⊥BD.
20、如图所示，已知在 Rt△ABC中， AB=AC，∠ ABC=90°， BO⊥AC于点 O.点 P、D 分别在 AO 和 BC上， PB=PD， DE⊥ AC于点 E.求证：△ BPO≌△ PDE.
11
21、如图， AD、 BC相交于点 E，∠ 1=∠2，∠ 3=∠ 4. （1）求∠ C、∠ D与∠ P 之间的关系；
（2）已知∠ P=56°，求∠ C+∠D 的度数 .
22、如图，在△ ABC中， AD是∠ BAC平分线， AD的垂直平分线分别交 AB、 BC
延长线于 F、 E.求证：（1）∠ EAD=∠EDA ；（2）DF∥AC；（3）∠ EAC=∠B；
23、如图，在△ ABC中， D是 AB的中点， E、F 分别是 AC、BC上的点，且 DE⊥ DF. 求证： AE+BF> EF．
12
24、如图，在△ ABC中， AD平分∠ BAC，DG⊥ BC于点 G，DE⊥ AB于点 E，DF⊥ AC交其延长线于点 F， BE=CF.求证： BG=CG.
25、已知：在△ ABC中，∠ A=90°， AB=AC，D 为 BC的中点 .
（1）如图， E、F 分别是 AB、AC上的点，且 BE=AF.求证：△ DEF为等腰直角三角形；
（2）若 E、F 分别为 AB、CA延长线上的点，仍有 BE=AF，其他条件不变，那么△ DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论 .
13。