高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测26理新人教A版

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2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：三角函数

所以π2＋kπ<α2<34π＋kπ，k∈Z，
则α2是第二或第四象限角，
又cos
α2＝－cos
α2，即
cos
α2<0，
所以α2是第二象限角.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(2022·天津模拟)已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形
将
f(x)
的
图
象
向
左
平
移
π 3
个
单
位
长
度
得
g(x) ＝ 2sin 2x＋π3－π3 ＝
2sin2x＋π3的图象，向右平移 φ(φ>0)个单位长度得 h(x)＝2sin2x－φ－π3＝2sin2x－2φ－π3 的图象，
由题意得－2φ－π3＋2kπ＝π3(k∈Z)，所以 φ＝kπ－π3(k∈Z)，又 φ>0，故 φ 的最小值为23π.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
f(x)－g(x)＝cos 2x＋sin 2x＝ 2sin2x＋π4，最小正周期为 T＝22π＝π，选项 C 错误； f(x)－g(x)＝ 2sin2x＋π4，令π2＋2kπ≤2x＋π4≤32π＋2kπ(k∈Z)，解得π8＋kπ≤x≤58π＋kπ，k∈Z，当 k＝0 时，π8≤x≤58π，所以 f(x)－g(x)在(0，π)上的单调递减区间是π8，58π，选项 D 正确.
第四章三角函数与解三角形
必刷小题7 三角函数
一、单项选择题
1.(2023·杭州模拟)设
α
是第三象限角，且cos
α2＝－cos α2，则α2的终边

人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件第4章三角函数、解三角形解答题专项二三角函数与解三角形

令
1
− 2 cos
2x-
3
sin
4
2
π
+6
π
2x+6
∈
π
2
π
3
2 +
1
-2(cos
+
2x-1)=
3
sin
2
2
1
2x-2cos
2π
)
3
1-cos (2-
2x+1=-
2
1
-2cos
3
sin
4
−
1
cos
2
1
2x+2
1
2x+2
1
2x-4cos
2x+1
+1.
3π
2π, 2
+ 2π ,k∈Z,则 x∈
解答题
专项二
三角函数与解三角形
考情分析:高考对三角函数与解三角形的考查有较强的规律性,三角解答题
与数列解答题交替考查.只考小题的试卷有三道题目,共15分;考解答题时
有一大一小两个题目,共17分.在三个小题中,分别考查三角函数的图象与
性质、三角变换、解三角形;在一个小题和一个大题中,小题要么考查三角
π
6
+1,
,
1
≥-2,
结合正弦函数的图象与性质可知
π
−2
1
+1=- sin
2
π
2x-6
∈
7π
5π
− 6 ,− 6
∪
π 5π
−6, 6
,
,
即所求实数 x 的取值集合为 ∣
π
−
2

高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)

时,怎样简化解题过程?
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测1理新人教A版

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测21理新人教A 版1．[xx·河北张家口模拟]计算：tan 15°＋1tan 15°＝( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．22答案：C解析：tan 15°＋1tan 15°＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 215°＋cos 215°sin 15°cos 15°＝112sin 30°＝4. 2．[xx·江西九江一模]已知tan α＝－35，则sin 2α＝( )A.1517B ．－1517C ．－817D ．817答案：B解析：sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＋1＝－1517.3．[xx·山西四校联考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( ) A.12 B ．23 C ．－12D ．1答案：C解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.4．[xx·山东济宁期末]tan π12－1tanπ12＝( )A ．4B ．－4C ．2 3D ．－2 3答案：D解析：∵tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3·tanπ4＝3－11＋3＝2－3， ∴tan π12－1tanπ12＝2－3－12－3＝－2 3. 5．[xx·广东广州二测]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ的值是( )A.13 B ．223C ．－13D ．－223答案：A 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝ cos (π12－θ )＝13. 6．[xx·甘肃兰州检测]在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tanC ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B ．π3C ．π2D ．3π4答案：A解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sinC ，等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.7．[xx·陕西宝鸡模拟]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为________．答案：58解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2θ22＝116＋916＝58. 8．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为________．答案：－142解析：解法一：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝144， ∴cos 2α＝－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ( α－π4 )＝－2×24×144＝－74，∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－7424＝－142.解法二：∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋34＝72， ∴cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 9. 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．(1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．(1)证明：tan A 2＝sin A2cos A 2＝2sin 2A22sin A 2cosA 2＝1－cos Asin A .(2)解：由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos 180°－A sin 180°－A ＋1－cos 180°－Bsin 180°－B＝2sin A ＋2sin B. 连接BD (图略)．在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A ，则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－4226×5＋3×4＝37. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107.连接AC ，同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22AB ·BC ＋AD ·CD ＝62＋32－52－4226×3＋5×4＝119，于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1192＝61019.所以tan A 2＋tan B 2＋tan C2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103.10.[xx·湖南常德模拟]已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω>0，m >0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝65，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8的值．解：(1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2. 由题意知，函数f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45，∴sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos π4－cos ( θ＋π4 )sin π4＝7210，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π8＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝2cos 2θ ＝2(1－2sin 2θ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝⎛⎭⎪⎫72102＝－4825. [冲刺名校能力提升练]1．[xx·河北模拟]已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23 B ．43 C ．34 D ．32答案：D解析：由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.2．[xx·安徽十校联考]已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358 B ．1＋538C ．1－358D ．1－538答案：A解析：由7sin α＝2cos 2α，得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋32cos α＝1＋358，故选A.3．[xx·福建宁德一模]已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________.答案：－53解析：∵sin α＋cos α＝33，两边平方，得1＋sin 2α＝13，∴sin 2α＝－23，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝53，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝153， ∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝－153×33＝－53. 4．化简下列各式： (1)1－sin 20°sin 10°－221＋cos 20°；(2)1＋sin θ1－sin θ－1－sin θ1＋sin θ；(3)1＋cos α＋cos 2α＋cos 3αcos 2α－sin2α2.解：(1)原式＝cos 10－sin 10°2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2＝4sin θ2cosθ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2θ2－cos 2θ2＝2sin θ|cos θ|.(3)原式＝1＋cos 2α＋cos 2α－α＋cos 2α＋αcos 2α－1－cos α2＝2cos 2α＋2cos 2αcos α2cos 2α＋cos α－12 ＝2cos αcos α＋cos 2α2cos 2α＋cos α－12＝2cos αcos α＋2cos 2α－12cos 2α＋cos α－12 ＝4cos α.。

高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第四章三角函数与解三角形4-4Word版含答案

真题操练集训π31．若 cos 4 － α＝ 5，则 sin 2α ＝ ()71 A. 25B. 517C ．－ 5D ．－ 25答案： Dπππ2分析：因为 cos 4 － α ＝ cos4 cosα＋ sin4 ·sinα ＝ 2 (sin α＋ cos α)33 2187＝ 5，所以 sinα ＋ cos α ＝5 ，所以 1＋ sin 2α ＝ 25，所以 sin 2 α＝－ 25，应选 D.ππ1＋ sin β2．设 α ∈ 0， 2 ， β∈ 0， 2，且 tan α ＝ cos β ，则 ()ππA ．3α － β＝ 2B ．2α － β ＝ 2π π C ．3α ＋ β＝ 2 D ．2α ＋ β ＝ 2答案： Btan1＋ sin β分析：解法一：由 α ＝ cos β ，得sin α 1＋ sin βcos α ＝ cos β ，即 sinα cos β ＝cosα ＋cos αsinβ ，π∴sin( α －β ) ＝ cos α ＝ sin2 － α .π π ∵α ∈ 0， 2 ， β ∈ 0， 2 ，π π ππ∴α － β ∈ － 2 ， 2 ， 2 － α ∈ 0， 2 ，∴由 sin( α－ β ) ＝ sin π － α ，得2ππα－ β ＝ 2 － α ，∴ 2α － β ＝ 2 .1＋ sin β 1＋ cos π－ β解法二： tan2α ＝cos β ＝ sin π－ β22cos 2 π － β＝42 β ＝ cotπ －βπβ π4 22sin4 － 2 cos 4 － 2＝tanπ π βtan πβ2 － 4－24 ＋ 2 ，π β∴α ＝ k π ＋ 4 ＋ 2 ， k ∈ Z∴ 2α － β ＝2k π ＋ π， k ∈Z. 2π当 k ＝ 0 时，知足 2α－ β ＝ 2 ，应选 B.3．已知 2cos 2x ＋ sin 2 x ＝ A sin( ω x ＋ φ ) ＋ b ( A >0) ，则 A ＝ ________， b ＝ ________.答案：2 1分析：因为 2cos 2x ＋ sin 2x ＝ 1＋cos 2 x ＋ sin 2x ＝ 2sin 2x ＋π4 ＋ 1，所以 A ＝ 2，b ＝ 1.π π π4．已知函数 f ( x ) ＝ 3sin( ωx ＋ φ ) ω ＞0，－ 2 ≤ φ ＜ 2 的图象对于直线x ＝ 3 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 π .(1) 求 ω 和 φ 的值；(2) 若 fα3 π＜ α ＜2π3π＝ 3 ，求 cos α ＋ 2的值．2 4 6解： (1) 因为 f ( x ) 的图象上相邻两个最高点的距离为π ，所以 f ( x ) 的最小正周期 T ＝ π，2π进而 ω＝ T ＝ 2.π又因为 f ( x ) 的图象对于直线 x ＝ 3 对称，ππ所以2× 3＋φ ＝ k π＋ 2 ， k ＝ 0，± 1，± 2， .因为－ π 2≤ φ＜ π 得2k ＝0，所以 φ ＝π2－2π3 ＝－ π6 .(2) 由 (1) 得 fα3sin2·α π 32＝2－＝ 4 ，6π 1所以 sin α － 6 ＝ 4.由π6 ＜ α ＜2π3 得 0＜α － π6 ＜π2 ，所以 cos α － π＝ 1－ sin 2α － π66＝1－ 1 2＝15.44所以 cos3π＝ sinα ＝sin ππα ＋ 2 α － 6 ＋ 6π ππ π＝sin α － 6 cos 6 ＋ cos α － 6 sin61 3 15 1＝ ×2 ＋×24 43＋ 15＝8.课外拓展阅读给值求角忽略角的范围致误已知 α ，β 为三角形的两个内角，1 5 3 cos α ＝，sin( α ＋ β ) ＝，则 β ＝ ________.7141∵ 0<α <π ，cos α ＝7，1 24 3 ∴sinα ＝1－ 7＝ 7 .5 3又∵ sin( α＋ β ) ＝，145 3 2 11∴cos( α ＋β ) ＝－1－14＝－ 14.3∴sinβ ＝sin ＝ sin( α ＋ β )cos α － cos( α ＋ β)sin α＝ 2 .π2π 又∵ 0<β <π，∴ β ＝ 3 或 3 .(1)不可以依据题设条件减小 α ，β 及 α ＋ β 的取值范围，在由同角基本关系式求 sin( α＋ β ) 时不可以正确判断符号，产生两角解．(2) 结论处应由 cos β 的值确立β 的取值，由 sin β 确立结论时易出现两解而造成失误．124 3 ππ因为 0<α<π ，cos α ＝7，所以 sin α ＝ 1－ cos α ＝ 7 ，故 3 <α < 2 . 又因为 0<α533π2π＋β <π， sin(α＋β ) ＝14 <2，所以 0<α＋β < 3或3 <α＋β <π.ππ2π由3 <α < 2，知3 <α＋β <π，所以 cos( α＋β ) ＝－1－ sin 211α ＋β＝－14，所以 cos β＝ cos1＝cos( α＋β )cosα＋sin(α ＋β )sinα ＝，2π又 0<β <π，所以β＝3 .π3答题启迪利用三角函数值求角时，要充足联合条件，确立角的取值范围，再选用适合的三角函数进行求值，最后确立角的详细取值．。

高考数学第四章三角函数平面向量与复数第26讲三角形中的三角函数考点集训文人教A版

【答案】C
2．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，且 a>b，则 B ＝( )
π
π
2π
5π
A.6
B.3
C. 3
D. 6
【解析】∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝12b，∴根据正弦定理可得 sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝12
即 sin(A－B)＝0. 因为 A，B∈(0，π)，所以 A－B∈(－π，π)，所以 A－B＝0，所以 a＝b，即ba＝1.
(2)因为
sin
A＝13，且
A
为锐角，所以
cos
A＝2
2 3.
所以 sin C＝sin(π－2A)＝sin 2A＝2sin Acos A＝
4 9
2，
cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝－1＋2sin 2A＝
B组
1．在△ABC 中，已知 A 是三角形的内角，且 sin A ＋cos A＝35，则△ABC 一定是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定三角形的形状
【解析】将 sin A＋cos A＝35>0 左右两边同时平方得 1＋2sin Acos A＝295，解得 2sin Acos A＝－1265<0，所以 sin A>0，cos A<0，因此角 A 为钝角，三角形为钝角三角形，故选 A.
【答案】A
2．在△ABC
中，“csoins
AA＝22csoins
C＋cos C－sin
AA”是“角
A，B，C 成等差数列”的( )

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.6正、余弦定理及其应用举例教学案理新人教A

4.6 正、余弦定理及其应用举例考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝__________；b2＝__________；c2＝__________变形形式①a＝____，b＝______，c＝____；②sin A＝____，sin B＝__________，sin C＝__________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝__________；cos B＝__________；cos C＝__________.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．3．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．5．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．1．(广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )．A．4 3 B．2 3 C. 3 D.322．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )．A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．A．5海里/时B．5 3 海里/时C．10海里/时D．10 3 海里/时4．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，无法求出AB长度的是( )．A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ5．△ABC中，若a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝__________.一、利用正弦、余弦定理解三角形【例1－1】 (辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．【例1－2】△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，sin(B－A)＝cos C.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.方法提炼应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解请做演练巩固提升1 二、三角形形状的判定【例2－1】 △ABC 满足sin B ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【例2－2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．提醒：1.在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B a ＞b .2．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；3．当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．请做演练巩固提升2三、与三角形面积有关的问题【例3】在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．方法提炼1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用．请做演练巩固提升5四、应用举例、生活中的解三角形问题【例4－1】某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．【例4－2】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．方法提炼1．测量距离问题，需注意以下几点：(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型； (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解； (3)应用题要注意作答．2．测量高度时，需注意：(1) 要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理； (3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键．请做演练巩固提升6忽视三角形中的边角条件而致误【典例】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错解：由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3.根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4.以下解答过程略．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．正解：∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，又∵1＋2cos(B ＋C )＝0，∴1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝22. ∴B ＝π4或3π4.∵a ＞b ，∴B ＝π4.∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 答题指导：1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件． 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )．A ．－12B ．12C ．－1D ．12．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状为__________． 3．(福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝__________.4．(陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝______.5．(山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1.asin A＝bsin B＝csin Cb2＋c2－2bc·cos A c2＋a2－2ca·cos B a2＋b2－2ab·cos C①2R sin A2R sin B2R sin C②a2R b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin Cb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2．上方下方基础自测1．B 解析：由正弦定理得BCsin A＝ACsin B，即32sin 60°＝ACsin 45°，解得AC＝2 3.2．B 解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2.3．C 解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O′，OO′BO＝tan 30°，OO′AO＝tan 15°，∴BO＝3OO′，AO＝(2＋3)OO′.∵AO－BO＝AB＝10，∴OO′·[(2＋3)－3]＝10，∴OO′＝5，∴船的速度为512＝10海里/时．4．D 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB.5．2 3 解析：由cos C＝13，得sin C＝223，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×32×b×223＝43.∴b＝2 3.考点探究突破【例1－1】解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝12.(2)方法一：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据正弦定理得sin2B＝sin A sin C，所以sin A sin C＝1－cos2B＝34.方法二：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据余弦定理得cos B＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sin A sin C＝34.【例1－2】解：(1)因为tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，即sin Ccos C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，所以sin C cos A＋sin C cos B＝cos C sin A＋cos C sin B，即sin C cos A－cos C sin A＝cos C sin B－sin C cos B，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cos C＝12，则B－A＝π6或B－A＝5π6(舍去)，得A＝π4，B＝5π12.(2)S△ABC＝12ac sin B＝6＋28ac＝3＋3，又asin A＝csin C，即a22＝c32，得a＝22，c＝2 3.【例2－1】 A 解析：∵sin B＝cos A·sin C，∴b＝b2＋c2－a22bc·c.∴b2＋a2＝c2.∴△ABC为直角三角形，选A.【例2－2】解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－12，A＝120°.(2)由①得，sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．【例3】解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A)＝4sin A co s A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233.所以△ABC 的面积 S ＝12ab sin C ＝12×433×233×32＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×233×433×32＝233.综上知，△ABC 的面积为233.【例4－1】解：依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短，即BE ⊥CD 时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB ＝ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°. 由正弦定理，得CDsin∠DBC ＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.在Rt△BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．∴所求的塔高为103(3－3)米．【例4－2】解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.演练巩固提升1．D 解析：根据正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R 得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴a cos A ＝b sin B 可化为sin A cos A ＝sin 2B .∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.2．等边三角形解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab . ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∴C ＝π3.∵a cos B ＝b cos A ，∴sin A cos B ＝sin B cos A . ∴sin(A －B )＝0. ∴A ＝B .故△ABC 为等边三角形． 3. 2 解析：如图：由正弦定理得ACsin B ＝BCsin A ，即ACsin 45°＝3sin 60°，即AC 22＝332，故AC ＝ 2.4．2 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4， ∴b ＝2.5．(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sinB ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC .由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列． (2)解：因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－(2)22×1×2＝34，因为0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.6．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s 海里，则s ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt△OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意，可得(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)．化简，得v 2＝400t 2－600t ＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675. 由于0＜t ≤12，即1t ≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训：第四章三角函数与解三角形4-8Word版含答案

真题操练集训1．如图，某人在垂直于水平川面ABC的墙眼前的点A 处进行射击训练．已知点 A 到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM挪动，这人为了正确对准目标点P，需计算由点A 察看点P 的仰角θ的大小( 仰角θ为直线AP与平面ABC所成角) ．若 AB＝15 m， AC＝25 m，∠ BCM＝30°，则tanθ 的最大值是()A.30B.30 55 4353C.9D.9答案： D分析：如图，过点P 作 PO⊥BC于点 O，连结 AO，则∠ PAO＝θ.3设 CO＝ x m，则 OP＝3 x m.在 Rt △ABC中，AB＝ 15 m，AC＝25 m，因此＝ 20 m．因此 cos ∠＝4.BC BCA5因此＝625＋2－2×25x ×4AO x5＝x2－40x＋625(m)．33因此 tan θ＝3x32＝x － 40x ＋ 62540 6251－ x ＋ x 233.＝25－42＋9x5 25254＝125 3 5 3当＝，即时， tanθ 获得最大值为＝.x5x439352．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后抵达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度 CD ＝________m.答案： 100 6分析：由题意，在△ ABC 中，∠ BAC ＝30°，∠ ABC ＝180°－ 75°＝ 105°，故∠ ACB ＝45°.又 AB ＝ 600 m ，600 BC 故由正弦定理得sin 45° ＝sin 30°，解得BC ＝ 300 2 m.在 Rt △ BCD 中， CD ＝ BC ·tan 30 °3＝ 300 2× 3 ＝ 100 6(m) ．3．如图，为丈量山高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为丈量观察点．从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN ＝60°， C 点的仰角∠ CAB ＝45°以及∠ MAC ＝75°；从 C 点测得∠ MCA ＝60°，已知山高 BC ＝ 100 m ，则山高 MN ＝ ________m.答案： 150MA AC分析：在三角形 ABC 中， AC ＝ 100 2，在三角形MAC 中，sin 60 ° ＝sin45 ° ，解得MN3MA ＝ 100 3，在三角形 MNA中，100 3 ＝sin 60 °＝2 ，故 MN ＝ 150，即山高 MN 为 150 m.4．如图，从气球 A 上测得正前面的河流的两岸B ，C 的俯角分别为 67°， 30°，此时气球的高是 46 m ，则河流的宽度BC 约等于 ________ m ．( 用四舍五入法将结果精准到个位．参考数据： sin 67 °≈ 0.92 ，cos 67 °≈ 0.39 ，sin 37 °≈ 0.60 ，cos 37 °≈ 0.80 ，3≈1.73)答案： 6046分析：依据图中给出的数据结构适合的三角形求解．依据已知的图形可得AB ＝sin 67 °.在△ ABC 中，∠ BCA ＝30°， ∠＝37°，由正弦定理，得BAC ABBCsin 30°＝sin 37 ° ，46因此 BC ≈2× 0.92 ×0.60 ＝ 60 (m) ．课外拓展阅读相关解三角形的应用题的解题方法1．解决对于解三角形的应用问题的步骤2．解三角形的应用题的两种情况及解题方法(1)实质问题经抽象归纳后，已知量与未知量所有集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实质问题经抽象归纳后，已知量与未知量波及两个或两个以上三角形，这时需作出( 或找出 ) 这些三角形，先解能直接解的三角形，而后逐渐求出其余三角形的解，有时需设出未知量，利用几个三角形中边角所知足的关系列出方程( 组 ) ，解方程 ( 组 ) 得出所要求的解．3．解决对于解三角形的应用问题应注意的事项(1)要注意仰角、俯角、方向角以及方向角等名词，并能正确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理联合起来使用，这样能够优化解题过程；(3)注意题目中的隐含条件以及解的实质意义．如图，旅客从某旅行景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到B，而后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位旅客从A处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min. 在甲出发 2 min 后，乙从A乘缆车到，在BB处逗留 1 min 后，再从B匀速步行到C.假定缆车匀速直线运转的速度为130 m/min ，山路AC123长为 1260 m，经丈量， cos A＝13，cos C＝5.(1) 求索道 AB 的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位旅客在 C 处相互等候的时间不超出 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？(1) 在△中，由于cos ＝12， cos ＝ 3，ABCA13C 554因此 sin A ＝13， sin C ＝ 5. 进而 sinB ＝sin ＝ sin( A ＋C )＝ s in A cos C ＋ cos A sin C5312463＝13× 5＋13× 5＝65.由 AB ＝ AC，得sin C sin BAC1 2604AB ＝ sin B ×sinC ＝ 63 × 5＝1 040(m) ．65因此索道 AB 的长为 1 040 m.(2) 设乙出发 t 分钟后，甲、乙两旅客距离为d ，此时，甲行走了 (100 ＋ 50t ) m ，乙距离A 处 130 m ，t因此由余弦定理，得222122d ＝ (100 ＋ 50t ) ＋ (130 t ) －2×130 t ×(100 ＋ 50t ) × 13＝ 200(37 t －70t ＋ 50) ，由于 0≤ t ≤1 040，即 0≤ t ≤8，故当 t ＝35(min) 时， d 最小，因此乙出发35分钟后，甲、130 37 37乙两旅客距离最短．(3) 由 BC ＝ AC ，得sin A sin BAC1 260 5BC ＝ sin B ×sin A ＝63 × 13 ＝ 500(m) ．65乙从B 出发时，甲已走了 50×(2 ＋ 8＋ 1) ＝ 550(m) ，还需走 710 m 才能抵达 .C设乙步行的速度为 v m/min ，500 710由题意得－ 3≤ v － 50 ≤3，1 250625解得43 ≤v ≤ 14 ，因此为使两位旅客在 C 处相互等候的时间不超出3 分钟，乙步行的速度应控制在1 250625 ( 单位： m/min) 范围内．43，14。

高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测26 理新人教A版(2021年最新整理)

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课时跟踪检测(二十六)[高考基础题型得分练］1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A,B，C的对边,(2b－c）cos A－a cos C＝0。

（1）求角A的大小；（2）求函数y＝错误!sin B＋sin错误!的最大值．解：(1)在△ABC中,由正弦定理，得（2sin B－sin C）cos A－sin A cos C＝0，即2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A，∴2sin B cos A＝sin(A＋C)＝sin B。

又sin B≠0，∴cos A＝错误!,又0<A〈π，∴A＝错误!。

（2)由(1）知A＝错误!，∴在△ABC中，B＋C＝错误!，且B∈错误!。

y＝3sin B＋sin错误!＝3sin B＋sin错误!＝3sin B＋cos B＝2sin错误!.又B∈错误!，∴B＋错误!∈错误!，∴sin错误!∈错误!，∴2sin错误!∈(1,2]．故函数y＝错误!sin B＋sin错误!的最大值为2.2．［2017·山东日照模拟]已知在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且函数f(x)＝2cos x sin(x－A)＋sin A在x＝错误!处取得最大值．（1）当x∈错误!时,求函数f（x)的值域;(2)若a＝7且sin B＋sin C＝错误!，求△ABC的面积．解：∵函数f（x）＝2cos x sin(x－A）＋sin A＝2cos x sin x cos A－2cos x cos x sin A＋sin A＝sin 2x cos A－cos 2x sin A＝sin(2x－A），又函数f（x)在x＝错误!处取得最大值,∴2×错误!－A＝2kπ＋错误!，其中k∈Z，即A＝错误!－2kπ,其中k∈Z.（1）∵A∈(0，π），∴A＝错误!,又x∈错误!，∴2x－A∈错误!，∴－错误!<sin(2x－A)≤1，即函数f（x）的值域为错误!.（2)由正弦定理，得错误!＝错误!,则sin B＋sin C＝b＋casin A，即错误!＝错误!×错误!，∴b＋c＝13.又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c）2－2bc－2bc cos A,即49＝169－3bc，∴bc＝40.故△ABC的面积S＝错误!bc sin A＝错误!×40×错误!＝10错误!.3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b，c,满足错误!＝错误!。

高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形课时跟踪检测23 理新人教A版

课时跟踪检测(二十三)[高考基础题型得分练]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )A BC D答案：A解析：令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．[2017·山东济南模拟]将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4答案：A解析：将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A.3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A.12和π6 B ．12和－π3 C ．2和π6D ．2和－π3答案：D解析：由图可知T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入解析式可得，2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，∴5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－π3， ∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.4. [2017·湖北荆荆襄宜四地七校联盟高三上联考]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，将f (x )的图象向左平移π6个单位后的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin 2xC ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3答案：B解析：由题意得，最小正周期为T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3×43＝π，∴ω＝2ππ＝2，由五点法，2×5π12＋φ＝π2，得φ＝－π3，符合题意，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，将f (x )的图象向左平移π6个单位后得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x .故选B.5．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π2时，取最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )A ．仅与ω有关B ．仅与φ有关C ．等于零D ．与φ，ω均有关答案：C解析：由题意，π2＋3π22＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，当x ＝π时，函数y 的值为0.故选C.6．[2015·陕西卷]如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A ．5B ．6C ．8D ．10答案：C解析：根据图象得，函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，则k ＝5，故最大值为3＋k ＝8.7．[2017·河北承德一模]已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，92∪[6，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞答案：D解析：当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8．[2017·山西太原模拟]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案：B解析：∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 答案：22解析：y ＝sin x ――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.10.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.答案：sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6解析：据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋＋2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ.又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.11．[2015·湖南卷]已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.答案：π2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z )． ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )．设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12， ∴ω＝π2.12．[2017·皖北协作区联考]已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3； ⑤f (x )的图象与g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称．答案：①③④解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 所以①正确；因为将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝1≠0，所以②不正确；由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，④正确；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3不与g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3关于x 轴对称．⑤不正确．[冲刺名校能力提升练]1．[2017·黑龙江哈尔滨模拟]设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数D ．把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象答案：C解析：对于函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin 5π6＝12，故A 错；当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0不是函数的对称点，故B 错；函数的最小正周期为T ＝2π2＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，此时函数为增函数，故C 正确；把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＝sin 2x ，函数是奇函数，故D 错． 2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2) C ．f (－2)<f (0)<f (2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案：A解析：∵由于f (x )的最小正周期为π， ∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4.又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－7π6. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1B ．12C ．22D ．32答案：D解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.4．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.答案：143解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.5．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．解：(1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， ∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z . (2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2，当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1. ∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1,2]． 6．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300. 根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小，当x ＝8时f (x )最大．故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8×π6＋φ＝1.又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f (x )＝200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300.(2)由条件可知，200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300≥400，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6≥12，即2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10.。

高考数学(理)人教A版一轮复习习题：第四章三角函数、解三角形考点规范练20 Word版含答案

考点规范练20三角函数的图象与性质基础巩固1.函数y=|2sin x|的最小正周期为()A.πB.2πC.D.2.(2016山东淄博二模)已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω=()A. B. C. D.3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于()A.2或0B.-2或2C.0D.-2或04.(2016河南焦作二模)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象()A.关于直线x=对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于点对称5.若A,B是锐角三角形ABC的两个内角,则点P(cos B-sin A,sin B-cos A)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知曲线f(x)=sin 2x+cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈,则x0=()A. B. C. D.7.已知函数y=sin x的定义域为,值域为,则b-a的值不可能是()A. B. C.π D.8.已知函数f(x)=cos23x-,则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于()A. B. C. D.9.(2016山东潍坊二模)已知函数f(x)=tan x+sin x+2 015,若f(m)=2,则f(-m)=.10.若函数y=2sin(3x+φ)图象的一条对称轴为x=,则φ=.11.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.12.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=.〚导学号37270438〛能力提升13.(2016河南许昌、新乡、平顶山三模)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则下列结论成立的是()A.f(x)的递增区间是,k∈ZB.函数f是奇函数C.函数f是偶函数D.f(x)=cos14.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,且-<φ<,则函数y=f为()A.奇函数,且在内单调递增B.偶函数,且在内单调递增C.偶函数,且在内单调递减D.奇函数,且在内单调递减15.(2016全国乙卷,理12)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在内单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5 〚导学号37270439〛16.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈,则f(x)的取值范围是.高考预测17.已知函数f(x)=sin,其中x∈.当a=时,f(x)的值域是;若f(x)的值域是,则a的取值范围是.参考答案考点规范练20三角函数的图象与性质1.A解析由图象(图象略)知T=π.2.A解析由题意,得函数f(x)的相邻的两条对称轴分别为x==3,x==6,故函数的周期为2×(6-3)=,得ω=,故选A.3.B解析由f=f知,函数图象关于x=对称,f是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.4.B解析∵函数f(x)的最小正周期为π,=π.∴ω=2.∴f(x)=sin∴函数f(x)图象的对称轴为2x+=kπ+,k∈Z,即x=,k∈Z.故函数f(x)的图象关于直线x=对称,故选B.5.B解析∵△ABC是锐角三角形,则A+B>,∴A>-B>0,B>-A>0,∴sin A>sin=cos B,sin B>sin=cos A,∴cos B-sin A<0,sin B-cos A>0,∴点P在第二象限.6.C解析由题意可知f(x)=2sin,其对称中心为(x0,0),故2x0+=kπ(k∈Z),即x0=-(k∈Z).又x0,故k=1,x0=,故选C.7.A解析画出函数y=sin x的草图分析,知b-a的取值范围为8.C解析因为f(x)=cos 6x,所以最小正周期T=,相邻两条对称轴之间的距离为,故选C.9.4 028解析∵f(x)=tan x+sin x+2 015,∴f(-x)=-tan x-sin x+2 015.∴f(-x)+f(x)=4 030.∴f(m)+f(-m)=4 030.∵f(m)=2,∴f(-m)=4 028.10解析因为y=sin x图象的对称轴为x=kπ+(k∈Z),所以3+φ=kπ+(k∈Z),得φ=kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以k=0,故φ=11解析由题意cos=sin,即sin,+φ=2kπ+(k∈Z)或+φ=2kπ+(k∈Z).因为0≤φ<π,所以φ=12解析如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B 为符合条件的两个交点.则A,B由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=13.D解析根据函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象,可得,求得ω=2.再根据五点法作图可得2+φ=0,求得φ=-,故f(x)=cos故D正确.令2kπ-π≤2x-2kπ,k∈Z,求得kπ-x≤kπ+,k∈Z,故A错误.由f=cos=cos,可知f是非奇非偶函数,故B错误.由f=cos=cos=sin 2x是奇函数,故C错误.故选D.14.D解析因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.又-<φ<,则φ=-,则y=f=cos=cos=-sin 2x,所以该函数为奇函数,且在内单调递减,故选D.15.B解析由题意得解得φ=+,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.∵|φ|,∴φ=或φ=-∵f(x)在内单调,,T,即,ω≤12.∵ω>0,∴0<ω≤12.若φ=,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9.若ω=9,则f(x)=sin内单调递减,符合题意.若φ=-,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11.若ω=11,则f(x)=sin内单调递增,在内单调递减,不符合题意.综上,ω的最大值为9.16解析由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin当x时,-2x-,解得-sin1,故f(x)17解析若-x,则-2x+,此时-sin1,即f(x)的值域是若-x≤a,则-2x+2a+因为当2x+=-或2x+时,sin=-,所以要使f(x)的值域是,则2a+,即2a≤π,所以a,即a的取值范围是。

高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测26 Word版含答案

课时跟踪检测(二十六)1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， ∴2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3.(2)由(1)知A ＝π3，∴在△ABC 中，B ＋C ＝2π3，且B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝3sin B ＋cos B＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1,2]．故函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的最大值为2.2．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且函数f (x )＝2cos x sin(x －A )＋sin A 在x ＝5π12处取得最大值．(1)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的值域；(2)若a ＝7且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．解：∵函数f (x )＝2cos x sin(x －A )＋sin A ＝2cos x sin x cos A －2cos x cos x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A )，又函数f (x )在x ＝5π12处取得最大值，∴2×5π12－A ＝2k π＋π2，其中k ∈Z ，即A ＝π3－2k π，其中k ∈Z .(1)∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2x －A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，∴－32<sin(2x －A )≤1，即函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C，则sin B ＋sin C ＝b ＋casin A ，即13314＝b ＋c 7×32，∴b ＋c ＝13. 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，即49＝169－3bc ，∴bc ＝40.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足2a －b c ＝cos Bcos C. (1)求角C 的大小；(2)设函数f (x )＝cos(2x ＋C )，将f (x )的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的值域．解：(1)∵a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的三边，且2a －bc＝cos Bcos C， ∴由正弦定理得2sin A －sin B sin C ＝cos Bcos C，即(2sin A －sin B )cos C ＝cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )． ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0， ∴2cos C ＝1，即cos C ＝22. ∵C 是△ABC 的内角，∴C ＝π4. (2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. ∵0≤x ≤π3，∴－π4≤2x －π4≤5π12.又cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π4＝6－24，∴6－24≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1， ∴g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－24，1. 4．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DA ＝DC ，已知B ＝π4，BC ＝1.(1)若△BCD 是钝角三角形，DC ＝63，求角A 的大小；(2)若△BCD 的面积为16，求边AB 的长．解：(1)在△BCD 中，B ＝π4，BC ＝1，DC ＝63，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CDsin B ，解得sin ∠BDC ＝1×2263＝32，则∠BDC ＝π3或2π3.由△BCD 是钝角三角形，可得∠BDC ＝2π3.又由DA ＝DC ，得A ＝π3.(2)由于B ＝π4，BC ＝1，△BCD 的面积为16，则12·BC ·BD ·sin π4＝16，解得BD ＝23. 由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos π4＝1＋29－2×23×22＝59，故CD ＝53，则AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝5＋23，故边AB 的长为5＋23.1．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A .(1)若cos C ＝63，求证：2a －3c ＝0； (2)若B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B 的值．解：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，即sin A ＝3cos A .因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3.(1)证明：因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，cos C ＝63，C ∈(0，π)，所以sin C ＝33. 由正弦定理知a sin A ＝csin C，即a c ＝sin A sin C ＝3233＝32，即2a －3c ＝0. (2)解：因为B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1，所以sin(A －B )＝35，所以sin B ＝sin＝sin A cos(A －B )－cos A sin(A －B ) ＝43－310. 2．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B sin A ＋sin C ＋sin Csin A ＋sin B＝1.(1)求角A ；(2)若a ＝43，求b ＋c 的取值范围．解：(1)根据正弦定理可得ba ＋c ＋ca ＋b＝1，即b (a ＋b )＋c (a ＋c )＝(a ＋b )(a ＋c )，即b2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝8，所以b ＝8sin B ，c ＝8sin C ，又B ＋C ＝2π3，所以b ＋c ＝8sin B ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B ＋32cos B＝83⎝⎛⎭⎪⎫32sin B ＋12cos B＝83sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0<B <2π3，所以π6<B ＋π6<5π6，所以12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，所以43<83sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤83，即b ＋c 的取值范围是(43，8 3 ]．3．已知向量p ＝(2sin x ，3cos x )，q ＝(－sin x,2sin x )，函数f (x )＝p ·q . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)∵f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∵C 是三角形的内角， ∴C ∈(0，π)， ∴2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，即a 2＋b 2＝7.将ab ＝23代入可得a 2＋12a2＝7，解得a 2＝3或4.∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3. ∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.4．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝3π4，sin B ＝1010，D 为BC 边中点，AD ＝1.(1)求bc的值； (2)求△ABC 的面积．解：(1)△ABC 中，∵sin B ＝1010，A ＝3π4，∴cos B ＝31010，sin A ＝22，cos A ＝－22，sin C ＝sin(A ＋B )＝22×31010－22×1010＝22020＝55，∴b c ＝sin B sin C ＝1010×55＝22. (2)∵D 为BC 的中点，∴2AD →＝AB →＋AC →， 4AD →2＝AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2，即4＝c 2＋b 2＋2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22. 化简，得4＝b 2＋c 2－2bc ，① 由(1)知b c ＝22，② 联立①②，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝22，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2.。