华师版九年级数学《解直角三角形》强化测试卷

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第24章解直角三角形华师版九年级上册数学测试卷(含答案)

第24章测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，合计30分．1.（2020•洛阳孟津期末）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（　B　）A．sinA＝3sinA′B．sinA＝sinA′C．3sinA＝sinA′D．不能确定2. 在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．等边三角形C．含60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形【答案】A【分析】首先结合绝对值以及偶次方的性质得出tan A﹣3＝0，2cos B﹣＝0，进而利用特殊角的三角函数值得出答案．解：∵（tan A﹣3）2+|2cos B﹣|＝0，∴tan A﹣3＝0，2cos B﹣＝0，∴tan A＝，cos B＝，∠A＝60°，∠B＝30°，∴△ABC为直角三角形．故选：A．3. 如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AH⊥BC于点H，FD＝10cm，则HE的值为（）A．20cm B．16cm C．10cm D．8cm【答案】C【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC＝2FD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得HE＝AC．解：∵D、F分别为BC、AB的中点，∴AC＝2FD＝2×10＝20cm，∵AH⊥BC，∴HE＝AC＝×20＝10cm．故选：C．4.（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，，,．选项B、C、D都是错误的，故答案选A．5. 数学课外兴趣小组同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组答案: C6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t ＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5【答案】D【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，可求得AB的长，由D 为BC的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DEB＝90°与若∠EDB＝90°时，去分析求解即可求得答案．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，∴AB＝2BC＝4（cm），∵BC＝2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD＝BC＝1（cm），BE＝AB﹣AE＝4﹣t（cm），若∠BED＝90°，当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝（cm），∴t＝3.5，当B→A时，t＝4+0.5＝4.5．若∠BDE＝90°时，当A→B时，∵∠ABC＝60°，∴∠BED＝30°，∴BE＝2BD＝2（cm），∴t＝4﹣2＝2，当B→A时，t＝4+2＝6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选：D．7.（2020·贵州遵义市·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A．B．﹣1C．D．【答案】B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD ＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，故选：B.8.（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到结果.解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵点E是BC中点，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，故选C.9.（2020·山东济南市·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m【答案】B【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF 的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF ＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝≈0.4，∴DE≈＝2.8（m），故选：B．10.（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．【详解】解：（1），故此结论正确；（2），故此结论正确；（3）故此结论正确；（4）==，故此结论错误.故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，合计15分．11.（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．【答案】10【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．解：在中，∵，∴．在中，．故答案为：10．12. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝．【分析】根据直角三角形的性质得到DF＝AC＝AF，根据三角形的外角性质得到∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可．解：∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝AC＝AF，∴∠FDA＝∠CAD＝28°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF＝AB，EF∥AB，∴∠EFC＝∠CAB＝28°，∴∠EFD＝56°+28°＝84°，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠EDF＝∠DEF＝×（180°﹣84°）＝48°，故答案为：48°．13. （2020秋•镇平县期末）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为．【答案】8米．【分析】延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，则BF＝CG，设CG＝4x 米，则DG＝3x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，则BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴CG＝8（米），GD＝6（米），∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米，故答案为：8米．14.（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．【答案】【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH ⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，∵，∴DE∥AB，∵，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，∵OB∙AG=AB∙OH，∴AG===，∴=．故答案是：．15.（2020·山东济南市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB 沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．【答案】【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF 进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案为：．三、解答题：本大题共8小题，合计75分．第16题8分,第17、18、19、20题每题9分，第21、22题每题10分，第23题11分16.（2020·吉林长春市·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．（1）求证：．（2）若，，求的值．【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．解：（1）证明：在中，∵，∴∴又∵∴∴（2）∵，∴∵∴在中，，.17. 计算或求值:(1)（2020·洛阳孟津期末）解：原式＝=．(2)（2021·洛阳汝阳期末）已知：x＝1﹣2cos45°，y＝1+2sin45°，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．解：∵x＝1﹣2cos45°＝1﹣2×＝1﹣，y＝1+2sin45°＝1+2×＝1+，∴xy＝（1﹣）（1+）＝1﹣2＝﹣1，x﹣y＝1﹣﹣1﹣＝﹣2，则原式＝x2+y2﹣2xy+xy﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）2+xy﹣2（x﹣y）＝（﹣2）2+（﹣1）﹣2×（﹣2）＝8﹣1+4＝7+4．18. （2020·南阳内乡期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝．（1）求AD的长；（2）求sin∠DBC的值．解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，∵等腰三角形ABC，∠C＝90°∴∠A＝45°，∴AH＝DH，设AH＝x，∴DH＝x，∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；（2）由于AD＝2∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，19.（2020·河南模拟）在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由．解：（1）由题意，得∠BAC＝90°，∴BC＝＝10，∴飞机航行的速度为：10×60＝600（km/h）；（2）能.理由如下：如图，作CE⊥l于点E，设直线BC交l于点F．在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝10，∴∠ABC＝30°，即∠BCA＝60°．又∵∠CAE＝30°，∠ACE＝∠FCE＝60°，∴CE＝AC•sin∠CAE＝，AE＝AC•cos∠CAE＝．则AF＝2AE＝15（km），∴AN＝AM+MN＝14.5+1＝15.5km.∵AM＜AF＜AN，∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN之间．20.（2020·山西中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解．【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，．由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得．在中，，，，，．．与之间的距离为．（1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人．根据题意，得解，得．经检验是原方程的解当时，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．根据题意，得．解，得经检验是原方程的解．答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．21. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C 地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析【分析】法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．【详解】方法1：解：作于D．依题意得，，，，．在中，，，，，，设，则，在中，，，，，（或者由勾股定理得）在中，，，，，，，，，，第一组用时：；第二组用时：，∴第二组先到达目的地，答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．方法2：解：于点D，依题意得：，，．，，在中，，，，设，则，由勾股定理得：，，，在中，，，，，，第一组用时：；第二组用时：，第二组先到达目的地．答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．22.（2020·云南昆明市·中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．（1）数据6400000用科学记数法表示为；（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可．【详解】解：（1）6400000＝6.4×106，故答案为6.4×106．（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．由题意AB ＝CH ＝800m ，AC ＝BH ＝1.5m ，在Rt △ECH 中，EH ＝CH •tan37°≈600（m ），∴DB ＝600﹣DE +BH ＝599.5（m ），由题意f ＝≈0.043（m ），∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m ）．23. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A 处测得河北岸的树H 恰好在A 的正北方向．测量方案与数据如下表：课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点B ，C 在点A 的正东方向点B ，D 在点A 的正东方向点B 在点A 的正东方向，点C 在点A 的正西方向．测量数据BC ＝60m ，∠ABH ＝70°，∠ACH ＝35°．BD ＝20m ，∠ABH ＝70°，∠BCD ＝35°．BC ＝101m ，∠ABH ＝70°，∠ACH ＝35°．（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m ）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）【答案】（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4m【分析】（1）第二个小组的数据无法计算出河宽；（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三个小组：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，根据CA+AB＝CB，构建方程求解即可．【详解】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）第一个小组的解法：∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH•sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．第三个小组的解法：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，∵CA+AB＝CB，∴＝101，解得x≈56.4．答：河宽为56.4m．。

九年级数学上册第24章解直角三角形检测题(新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级上册数学

第24章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．(某某中考)2cos 60°＝( A )A ．1B ． 3C ． 2D ．122．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比为1∶ 3 (坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( A ) A ．5 3 米 B ．10 2 米 C ．15米 D ．10米第2题图第3题图第6题图3．(2019·某某)如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( D )A ．43B ．34C ．35D ．454．在△ABC 中，若sin A ＝32 ，tan B ＝1，则这个三角形是( A ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形5．式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B ) A ．2 3 －2 B ．0 C ．2 3 D ．26．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AC 的长为( C )A ．3B ．165C ．203D ．1637．(2019·某某)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( C )A ．a sin α＋a sin βB ．a cos α＋a cos βC ．a tan α＋a tan βD ．a tan α＋atan β 第7题图第8题图第10题图8．(2019·某某)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，AD∥BC，BC ＝12AD ，AC 与BD 交于点E ，A C⊥BD，则tan ∠BAC 的值是( C )A ．14 B ．24 C ．22 D ．139．(某某中考)一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15°方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据： 3 ， 2 ≈1.414)( B )A 海里B ．海里C ．海里D ．海里10．(2019·某某)如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC ，，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°(点A ，B ，C ，D ，E ，那么建筑物AB 的高度约为(参考数据sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈)( B )A 米B ．米C ．米D ．米二、细心填一填(每小题3分，共15分)11．若α为锐角，cos α＝35 ，则sin α＝__45 __，tan α＝__43__． 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512 ，△ABC 的周长为18，则S △ABC ＝__545__． 13．在△ABC 中，若|2cos A －1|＋( 3 －tan B)2＝0，则∠C＝__60°__．14．(2019·天门)如图，为测量旗杆AB 的高度，在教学楼一楼点C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C 与点B 在同一水平线上．已知CD ＝9.6 m ，则旗杆AB 的高度为____m .第14题图第15题图15．(2019·某某)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A 处，如图所示，直线l 表示公路，一辆小汽车由公路上的B 处向C 处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B 在点A 北偏东45°方向上，点C 在点A 北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车__没有超速__(填“超速”或“没有超速”).(参考数据： 3 ≈1.732)三、用心做一做(共75分)16．(8分)解下列各题：(1)先化简，再求代数式(1x ＋x ＋1x )÷x ＋2x 2＋x 的值，其中x ＝ 3 cos 30°＋12；解：x ＝2，原式＝x ＋1＝3(2)已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝32.计算8 －4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值．解：α＝45°，原式＝317．(9分)(2019·某某)如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，AD ＝3 m ，坝高AE ＝DF ＝6 m ，坡角α＝45°，β＝30°，求BC 的长．解：由图得，AE ，DF 为高，则四边形AEFD 是矩形，有AE ＝DF ＝6，AD ＝EF ＝3，∵坡角α＝45°，β＝30°，∴BE ＝AE ＝6，CF ＝ 3 DF ＝6 3 ，∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝6＋3＋6 3 ＝9＋6 3 ，答：BC 的长(9＋6 3 )m18．(9分)(2019·某某)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 上一点，AB ＝5，BD＝1，tan B ＝34. (1)求AD 的长；(2)求sin α的值．题图答图解：(1)∵tan B ＝34，可设AC ＝3x ，得BC ＝4x ，∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得x ＝－1(舍去)或x ＝1，∴AC ＝3，BC ＝4，∵BD ＝1，∴CD ＝3，∴AD ＝CD 2＋AC 2＝3 2(2)如图，过点D 作DE⊥AB 于点E ，∵tan B ＝34，可设DE ＝3y ，则BE ＝4y ，∵BE 2＋DE 2＝BD 2，∴(4y)2＋(3y)2＝12，解得y ＝－15 (舍)或y ＝15 ，∴DE ＝35 ，∴sin α＝DE AD ＝1102 19．(9分)(2019·某某)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B 到山腰D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D 到A 修建电动扶梯，经测量，山高AC ＝154米，步行道BD ＝168米，∠DBC ＝30°，在D 处测得山顶A 的仰角为45°.求电动扶梯DA 的长(结果保留根号).题图答图解：作DE⊥BC 于E ，则四边形DECF 为矩形，∴FC ＝DE ，DF ＝EC ，在Rt △DBE 中，∠DBC＝30°，∴DE ＝12BD ＝84，∴FC ＝DE ＝84，∴AF ＝AC －FC ＝154－84＝70，在Rt △ADF 中，∠ADF ＝45°，∴AD ＝ 2 AF ＝70 2 ，答：电动扶梯DA 的长为70 2 米20．(9分)(某某中考)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB ，CD 均垂直于地面，点E 在线段BD 上，在C 点测得点A 的仰角为30°，点E 的俯角也为30°，测得B ，E 间的距离为10米，立柱AB 高30米．求立柱CD 的高．(结果保留根号) 题图答图解：如图，作CH⊥AB 于H ，则四边形HBDC 为矩形，∴BD ＝CH ，由题意得，∠ACH ＝30°，∠CED ＝30°，设CD ＝x 米，则AH ＝(30－x)米，在Rt △AHC 中，HC ＝AH tan ∠ACH＝ 3 (30－x)，则BD ＝CH ＝ 3 (30－x)，∴ED ＝ 3 (30－x)－10，在Rt △CDE 中，CD DE＝tan ∠CED ，即x 303－3x －10＝33 ，解得x ＝15－53 3 ，答：立柱CD 的高为(15－53 3 )米 21．(10分)(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船A ，B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B 在A 的正北方向，事故渔船P 在救助船A 的北偏西30°方向上，在救助船B 的西南方向上，且事故渔船P 与救助船A 相距120海里．(1)求收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离；(2)若救助船A ，B 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．题图答图解：(1)如图所示：作PC⊥AB 于C ，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得PA ＝120海里，∠A ＝30°，∠BPC ＝45°，∴PC ＝12PA ＝60海里，△BCP 是等腰直角三角形，∴BC ＝PC ＝60海里，PB ＝ 2 PC ＝60 2 海里，答：收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离为60 2 海里(2)∵PA＝120海里，PB ＝60 2 海里，救助船A ，B 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A 所用的时间为12040 ＝3(小时)，救助船B 所用的时间为60230＝2 2 (小时)，∵3＞2 2 ，∴救助船B 先到达22．(10分)(2019·某某)为积极参与某某市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB ，他站在距离教学楼底部E 处6米远的地面C 处，测得宣传牌的底部B 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D 处的仰角为30°(A ，B ，D ，E 在同一直线上).然后，，此时DF 正好与地面CE 平行．(1)求点F 到直线CE 的距离(结果保留根号)；(2)若小明在F 处又测得宣传牌顶部A 的仰角为45°，， 2 ， 3 ≈1.73). 题图答图解：(1)过点F 作FG⊥EC 于G ，依题意知FG∥DE，DF ∥GE ，∠FGE ＝90°，∴四边形DEGF 是矩形，∴FG ＝DE ，在Rt △CDE 中，DE ＝CE·tan ∠DCE ＝6×tan 30°＝2 3 (米)，∴点F 到地面的距离为2 3 米 (2)∵斜坡CF 的坡度为，∴在Rt △CFG 中，CG ＝1.5FG ＝2 3 ×＝3 3 ，∴FD ＝EG ＝3 3 Rt △BCE 中，BE ＝CE·tan ∠BCE ＝6×tan 60°＝6 3 .∴AB＝AD ＋DE －BE ＝3 3 ＋6＋2 3 －6 3 ＝6－ 3 ≈4.3 (米)，23．(11分)(某某中考)阅读下列材料：如图①，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，可以得到：S △ABC ＝12ab sin C ＝12 ac sin B ＝12 bc sin A ．证明：过点A 作AD⊥BC，Rt △ABD 中，sin B ＝AD c，∴AD ＝c·sin B ，∴S △ABC ＝12 a·AD＝12 ac sin B ，同理：S △ABC ＝12 ab sin C ，S △ABC ＝12bc sin A ，∴S △ABC ＝12 ab sin C ＝12 ac sin B ＝12bc sin A. (1)通过上述材料证明：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ； (2)运用(1)中的结论解决问题：如图②，在△ABC 中，∠B ＝15°，∠C ＝60°，AB ＝20 3 ，求AC 的长度；(3)如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A ，B ，C 三个测量点，在B 点测得A 在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18 km 到达C 点，测得A 在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A ，B ，C 三点围成的三角形的面积．(本题参考数值：sin 15°≈0.3，sin 120°≈0.9， 2 ，结果取整数)解：(1)∵12 ab sin C ＝12 ac sin B ，∴b sin C ＝c sin B ，∴b sin B ＝c sin C，同理得，a sin A ＝c sin C ，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C(2)由题意，得∠B＝15°，∠C ＝60°，AB ＝20 3 ，∴AB sin C ＝AC sin B ，即203sin 60°＝AC sin 15°，∴20332＝AC 0.3 ，∴AC ＝40×0.3＝12 (3)由题意，得∠ABC＝90°－75°＝15°，∠ACB ＝90°－45°＝45°，∠A ＝180°－15°－45°＝120°，由asin A ＝bsin B ＝csin C ，得18sin 120°＝ACsin 15°，∴AC ＝6 km ，∴S △ABC ＝12 AC×BC×sin ∠ACB ＝12 ×6×18×0.7≈38(km 2)。

华东师大版九上数学24章《解直角三角形》单元测试题（含答案）

华东师大版九上数学24章《解直角三角形》单元测试题（含答案）解直角三角形测试题一. 选择题：（每小题2分，共20分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（） A.43 B.34 C. 53 D. 352. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（） A. 21 B. 33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（）A.EGEF G =sin B. EF EH G =sin C. FGGH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（）A. sin65°<cos26°< p="">B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=16. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（）A. B. C. D.7. 在△ABC 中，∠C=90°，52sin =A ，则sinB 的值是（） A.32 B.52 C.54 D. 521 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（）米2A. 150B.375C. 9D. 79. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. αsin 1B. αcos 1 C. αsin D. 1 二. 填空题：（每小题2分，共10分） 11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，Cota=3.12. 若，则锐角α=__________。

第24章解直角三角形华东师大版数学九年级上册素养检测卷(含解析)

第24章　素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题4分,共32分)1.(2023陕西咸阳泾阳期末)计算1-2sin 245°的结果是( )A.-1B.0C.12 D.12.(2023吉林长春二道月考)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =6,下列四个选项,正确的是( )A.tan B =43 B.tan A =34C.sin B =35 D.cos A =453.(2023山西太原小店月考)数学小组探究这样一道题:已知,tan α=2,tan β=13,求α-β的度数.该组的同学经过思考后,画出如图所示的5×3的小正方形网格,把α和β放在网格中,使∠BAC =α,∠DAC =β,连结BD ,得到△ABD ,此时,根据网格可知AD =BD ,∠ADB =90°.由此可知,α-β=45°.该小组的这种求解体现的数学思想是( )A.数形结合思想B.分类思想C.统计思想D.方程思想4.(2023吉林大学附中期末)如图,某地修建高速公路,要从B 地向C 地修一条隧道(B ,C 在同一水平面上),为了测量B ,C 两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C 地出发,垂直上升300米到达A 处,在A 处观察B 地的俯角为α,则B ,C 两地之间的距离为( )A.300sin α米B.300cos α米C.300tan α米D.300sin α米5.(2022吉林长春十一高中北湖学校模拟)如图,一座厂房屋顶人字架的跨度AC =12 m,AB =BC ,∠BAC =25°.若用科学计算器求AB 的长,则下列按键顺序正确的是( )A.6×sin25 °'″ =B.6÷cos25 °'″ =C.6÷tan25 °'″ =D.12÷cos25 °'″ =6.【新定义试题】(2023山西临汾曲沃期末)定义一种公式如下:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,已知32sin θ+12cos θ=22,则锐角θ的值为( )A.75°B.60°C.30°D.15°7.【新独家原创】四边形的不稳定性,使其在生活中得到广泛的应用. 如图所示的图形为一个伸缩门的一部分,四边形ABCD 是边长为2的正方形,通过拉伸改变内角度数,使其变为菱形ABC'D',若∠D'AB =45°,则阴影部分的面积是( )A.5+22B.5-2C.5+222　D.5-228.【跨学科·物理】(2022海南海口模拟)如图所示的是一块光学直角棱镜,其截面为直角三角形ABC,AB所在的面为不透光的磨砂面,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=8 cm.现将一束单色光从AC边上的O点入射,折射后到达AB边上的D点,恰有CD⊥AB,再经过反射后(即∠CDE=∠ODC),从E点垂直于BC射出,则光线在棱镜内部经过的路径OD+DE 的总长度为( )A.12 cmB.63cmcmC.(43+4)cmD.212二、填空题(每小题4分,共16分)9.【教材变式·P104T3】(2023河南鹤壁淇滨期末)如图,∠AOB=30°,点C在射线OB上,若OC=6,则点C到OA的距离等于 .10.(2022湖北荆州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,通过尺规作图得到的直线MNAE=1,则CD= .分别交AB,AC于D,E,连结CD.若CE=1311.(2023海南海口实验中学期中)如图,已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A,灯光下,小明在点C处时,测得他的影长CD=3米,他沿BC方向行走到点E处时,CE=2米,测得他的影长EF=4米,如果小明的身高为1.6米,那么电线杆AB的高度等于米.12.【新考法】【实践探究题】(2023吉林长春四十五中期末)已知直线l1∥l2∥l3,且相邻的两条平行直线间的距离均等,将一个含45°角的直角三角板按图示放置,使其三个顶点分别在三条平行线上,则sin α的值是 .三、解答题(共52分)13.【教材变式·P111T3】(2023河南周口实验中学期末)(8分)计算:;(1)cos30°―tan60°―cos45°cos30°tan230°-sin 30°.(2)cos 60°-2sin245°+3214.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,E为AB的中点.若BC=12,AD=8,求DE的长.15.(2023河南新乡十中期末)(10分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A ,在他们所在的岸边选择了点B ,使得AB 与河岸垂直,并在点B 竖起标杆BC ,再在AB 的延长线上选择点D ,竖起标杆DE ,使得点E 、C 、A 共线.CB ⊥AD ,ED ⊥AD ,测得BC =1 m,DE =1.5 m,BD =9 m .测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.16.【代数推理】(2022福建泉州模拟)(12分)小明在某次作业中得到如下结果:sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.994 5,sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.001 8,sin 229°+sin 261°≈0.482+0.872=0.987 3,sin 237°+sin 253°≈0.602+0.802=1.000 0,sin 245°+sin 245°=1.据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin 2α+sin 2(90°-α)=1.(1)当α=30°时,验证sin 2α+sin 2(90°-α)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.17.(2022山西晋城模拟)(14分)如图①,AB 、CD 是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔.小明和小丽为了测量两座铁塔的高度,从地面上的点E 处测得铁塔顶端A 的仰角为39°,铁塔顶端C 的仰角为27°,沿着EB 向前走20米到达点F 处,测得铁塔顶端A 的仰角为53°.已知∠ABE =∠CDE =90°,点E 、B 、D 构成的△EBD 中,∠EBD =90°.(1)图②是图①中的一部分,求铁塔AB 的高度;(2)小明说,在点E 处只要再测量一个角,通过计算即可求出铁塔CD 的高度,那么可以测量的角为 ,若将这个角记为α,则铁塔CD 的高度是米;(用含α的式子表示)(3)小丽说,除了在点E 处测量角的度数外,还可以在点F 处再测量一条线段的长度,通过计算也可求出铁塔CD 的高度,那么可以测量的线段是 .(请写出两个不同的答案,可用文字描述) （结果精确到1米,参考数据:sin 39°≈35,cos 39°≈34,tan 39°≈45,sin27°≈920,cos 27°≈910,tan 27°≈12,sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43）答案全解全析1.B 原式=1-2×12=1-1=0.2.C 如图,根据勾股定理得BC =102―62=8,∴tan B =AC BC =34,tan A =BC AC =43,sin B =AC AB =35,cos A =AC AB =35.3.A 本题结合几何图形探究角度间的关系,体现了数形结合的思想.4.C ∵∠ACB =90°,AC =300米,∠DAB =α,AD ∥BC ,∴∠ABC =∠DAB =α,在Rt △ABC 中,BC =ACtan α=300tan α(米).5.B 如图,过B 点作BD ⊥AC 于D ,∵AB =BC ,BD ⊥AC ,AC =12米,∴AD =CD =6米,在Rt △ADB中,∠BAC =25°,∴AB =AD cos25°=6cos25°米,即按键顺序正确的是6÷cos25 °'″ =.6.D ∵32sin θ+12cos θ=22,∴sin 60°sin θ+cos 60°cos θ=22. ∵cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,∴cos(60°-θ)=cos 45°,即60°-θ=45°,∴θ=15°.7.D 设BC 与C'D'的交点为E ,则BE ⊥C'D',∴C'E =BC'·cos C'. ∵四边形ABC'D'为菱形,∴∠C'=∠D'AB =45°,∴C'E =BC'·cos C'=2×22=2.∴BE =C'E =2,∴D'E =2-2,∴梯形D'EBA 的面积=12(D'E +AB )·BE =22-1,∴阴影部分的面积=2×2-(22-1)=5-22.8.B ∵∠ACB =90°,∠A =30°,∴∠B =60°,∵CD ⊥AB ,∴∠CDB =∠CDA =90°,∴∠DCB =30°,∠DCA =60°,在Rt △BCD 中,BD =12BC =4 cm,∴CD =3BD =43 cm,∵DE ⊥BC ,∴∠BDE =30°,∴BE =12BD =2 cm,∠CDE =60°,∴DE =3BE =23 cm,∵∠CDE =∠ODC ,∴∠ODC =60°=∠DCA ,∴△OCD 是等边三角形,∴OD =CD =43 cm,∴OD +DE =43+23=63(cm).9.3解析　如图,作CD ⊥OA 于点D ,∵∠AOB =30°,∴CD =12OC =3.10.6解析　如图,连结BE ,∵CE =13AE =1,∴AE =3,AC =4,根据作图可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线,∴AE =BE =3,在Rt △ECB 中,BC =BE 2―CE 2=22,∴AB =AC 2+BC 2=26,∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线,∴CD =12AB =6.11.4.8解析　∵CC'∥AB ,∴△DC'C ∽△DAB ,∴C′C AB =DCDB ,即1.6AB =3BC +3①,∵EE'∥AB ,∴△FE'E ∽△FAB ,∴EE′AB =EFBF ,即1.6AB =4BC +2+4②.由①②得3BC +3=4BC +2+4,解得BC =6米,∴1.6AB =36+3,∴AB =4.8米,即电线杆AB 的高度等于4.8米.12.55解析　本题在平行线中探究三角函数值,命题新颖. 如图,过点A 作AD ⊥l 3于D ,过点B 作BE ⊥l 3于E ,设l 1,l 2,l 3相邻两条直线之间的距离d =1,∵AD ⊥l 3,BE ⊥l 3,∴∠ADC =∠BEC =90°,∵∠CAD +∠ACD =90°,∠BCE +∠ACD =90°,∴∠CAD =∠BCE ,在等腰直角△ABC 中,AC =BC ,∴在△ACD 和△CBE 中,∠ADC =∠CEB ,∠CAD =∠BCE ,AC =CB ,∴△ACD ≌△CBE ,∴CE =AD =2,在Rt △BCE 中,BC =BE 2+CE 2=12+22=5,∴sin α=BE BC =15=55.13.解析　(1)原式=32―3―2232=―32―2232=-1-63=-3+63.(2)原式=12-2×+32×-12=12-1+12-12=-12.14.解析　∵AB =AC ,∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ,∴AD ⊥BC ,BD =CD =12BC =6,由勾股定理得AB =AD 2+BD 2=82+62=10,∵E 为AB 的中点,∴DE =12AB =5.15.解析　∵CB ⊥AD ,ED ⊥AD ,∴BC ∥DE ,∴△ABC ∽△ADE ,∴BC DE =ABAD .∵BC =1 m,DE =1.5 m,BD =9 m,∴11.5=AB AB +9,解得AB =18 m,∴河宽AB 为18 m .16.解析　(1)证明:当α=30°时,sin 2α+sin 2(90°-α)=sin 230°+sin 260°=14+34=1.所以,当α=30°时,sin 2α+sin 2(90°-α)=1成立.(2)小明的猜想成立,证明如下:如图,在△ABC 中,∠C =90°,设∠A =α,则∠B=90°-α,∴sin2α+sin 2(90°-α=BC 2+AC 2AB 2=AB 2AB 2=1.17.解析　(1)在Rt △ABE 中,∠ABE =90°,∴tan 39°=AB BE ,即BE =ABtan39°,在Rt △ABF 中,∠ABF =90°,∴tan 53°=AB BF ,即BF =AB tan53°,∵EF =20米,∴BE -BF =AB tan39°-ABtan53°=20,∴AB =20tan53°·tan39°tan53°―tan39°≈40(米),故铁塔AB 的高度约为40米.(2)答案不唯一,如:可以测量的角是∠BED ,在Rt △ABE 中,BE =ABtan39°≈50米,在Rt △BED中,DE =BEcos α=50cos α米,在Rt △CED 中,CD =DE ·tan 27°=12×50cos α=25cos α米.(3)在点F 处测量FD 的长度或点F 到DE 的距离,通过计算也可求出铁塔CD 的高度.①连结FD ,测得FD =m ,在Rt △BDF 中,利用勾股定理求得BD ,在Rt △BED 中,利用勾股定理求得DE ,在Rt △CED 中,利用CD =DE ·tan 27°求得结果;②作FM ⊥DE ,测得F 到DE 的距离为n ,在Rt △EFM 中,利用勾股定理求得EM ,通过三角形相似求得BD ,然后在Rt △BED 中,利用勾股定理求得DE ,在Rt △CED 中,根据CD =DE ·tan 27°求得结果.。

(精练)华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知三角形三边的长为a、b、c，则代数式（a-b）2-c2的值为（）A.正数B.负数C.0D.非负数2、长度分别为3，8，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可能是( )A.11B.5C.7D.43、在□ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AC＝10，BD＝8，则AD长的取值范围是（）A.AD＞1B.AD＜9C.1＜AD＜9D.AD＞104、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A.200米B.200 米C.220 米D.100（+1）米5、平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A.10和34B.18和20C.14和10D.10和126、如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A.（）米B.（）米C.（）米 D.（）米7、活动课上，老师给出长度分别是3cm，4cm，7cm，10cm的四根木棒，要求从中任选三根围成一个三角形，下面是四位同学分别选择的结果，你认为能围成三角形的是（）A.3cm，4cm，7cmB.3cm，4cm，10cmC.3cm，7cm，10cm D.4cm，7cm，10cm8、如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米9、一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O 为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A.（30 -50，30）B.（30，30 -50）C.（30 ，30） D.（30，30 ）10、若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（）A.3：1B.4：1C.5：1D.6：111、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为A. B. C. D.212、如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =" 4" cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）．A.相离B.相切C.相交D.相切或相交13、若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）A.5cmB.8cmC.12cmD.16cm14、AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF=3：2，则sin∠BAC：sin∠ACB等于（）A.3：2B.2：3C.9：4D.4：915、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。

华师大版九年级数学上第25章《解直角三角形》整章测试(含答案)

第25章《解直角三角形》整章测试一.选择题（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（）（A(B)14(D)４2.计算：2)130(tan -︒＝（）(Ａ)331-(B)13- (Ｃ)133- （D ）１－3 3.在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）锐角三角形（D ）不能确定4.如图，在Rt ABC △中，tan B =，BC =则AC 等于（）（A ）3（B ）4（C）（D ）65.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（） (A)32）m (B)（32）m (D)4m 6．因为1sin 302=，1sin 2102=-，所以sin 210sin(18030)sin30=+=-；因为2sin 45=，sin 225=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（）（A ）12-(B)-(C)-(D)7．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（）(A)(B)(C)km (D)km北8.如图，在Rt ABC △中，906cm A AC ∠==，，8cm AB =，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ，则sin DBE ∠的值为（） (A)13(B)310二.填空题（每小题3分，共24分） 9．计算sin 60tan 45cos30-的值是．10. 用“>”或“<”号填空：1sin 50cos 402-0．（可用计算器计算） 11.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A = ． 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为米．13.如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学计算器）14. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，3sin 5A =，则菱形ABCD 的面积是__________2cm ． 15.根据指令[s,A]（s ≥0,0°≤A ＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（－3，3），应下的指令是．16. 有古诗“葭生池中”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深.葭长各几何？（1丈=10尺）回答：水深，葭长 . 三.解答题（本大题共52分）17.（本题845sin 60)4︒-︒+．ABCDEA BC18.（本题10分）某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a b c ，，表示长度，β表示角度．请你求出AB 的长度（用含有a b c β，，，（1）______AB = （2）______AB = （3）______AB =19.（本题10分）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）．20.（本题12分）海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．（1）c21.（本题12分）如图，AC 是某市环城路的一段，AE ，BF ，CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A ，B ，C ．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向.点B 的北偏东30°方向上，AB ＝2km ，∠DAC＝15°．（1）求B ，D 之间的距离；（2）求C ，D 之间的距离．四.附加题（本题20分）22. 现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）．（2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．在装卸纱窗的过程中，如图所示α∠的值不得小于81，否则纱窗受损．现将高96cm 的矩形纱窗恰好安装在上.下槽深分别为0.9cm ，高96cm （上.下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时α∠的最大整数值．（下表提供的数据可供使用）ABC 中山路文化路D 和平路45° 15° 30°EF 图1图2图3参考答案一.1～8 BABA ACDD 二.9.0 10. > 11.3512. 4 13.没有 14. 6015.225⎡⎤⎣⎦16. 12尺，13尺三.17.解：=原式2=2=18.解：（1）AB = （2）tan AB a β= （3）ac AB b=． 19．解：分两种情况：（1）当ACB ∠为钝角时， BD 是高，90ADB ∴∠=．在Rt BCD △中，40BC =，30BD =∴CD ===在Rt ABD △中，50AB =，∴40AD ==．40AC AD CD ∴=-=-∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==-⨯=-△．（2）当ACB ∠为锐角时， BD 是高，90ADB BDC ∴∠=∠=，在Rt ABD △中，5030AB BD ==，，40AD ∴==．同理CD ===∴(40AC AD CD =+=+，∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==+⨯=+△．综上所述：2(600)ABC S =±△.20．解：有触礁危险．理由：过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD ＝PD ＝x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴x ．xAD 330tan =︒= ∵BD ，AB AD +=∴x ．x +=123 ∴)13(61312+=-=x ．∵，＜18)13(6+∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．21. 解：（1）由题意得，∠EA D =45°，∠FBD=30°．∴ ∠EAC=∠EA D +∠DA C =45°+15°=60°． ∵ AE∥BF∥CD，∴ ∠FBC=∠EAC =60°． ∴ ∠DBC=30°．又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB， ∴ ∠ADB=15°．∴ ∠DAB=∠ADB． ∴ BD=AB=2．即B ，D 之间的距离为2km ．（2）过B 作BO⊥DC，交其延长线于点O ，在Rt△DBO 中，BD=2，∠DBO=60°． ∴ DO=2×sin60°=2×323=,BO=2×cos60°=1．在Rt△CBO 中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=33， ∴ CD=DO－CO=332333=-（km ）．即C ，D 之间的距离为332km ． 22. 解：能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：960.995.1-=（cm ）能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin α∠或96cos(90)α-∠·° 当81α∠=°时，纱窗高：96sin 81960.98794.75295.1=⨯=<°∴此时纱窗能装进去，当82α∠=°时，纱窗高：96sin82960.99095.0495.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去．当83α∠=°时，纱窗高：96sin 83960.99395.32895.1=⨯=>° ∴此时纱窗装不进去．因此能合理装上纱窗时α∠的最大值是82°.。

华东师大版九年级上册数学《第24章解直角三角形》检测题试卷(含答案)

第24章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tan α的值是( C ) A.55 B. 5 C.12D ．2(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)2．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比为1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( A )A ．53米B ．102米C ．15米D ．10米3．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( B ) A.12 B.22 C.32D ．1 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AC 的长为( C )A ．3 B.165 C.203 D.1635．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝( D )A ．4B ．5C ．2 3 D.833(第5题图) (第6题图) (第9题图) (第10题图)6．如图，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 7．式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B )A ．23－2B ．0C ．2 3D ．28．李红同学遇到了这样一道题：3tan (α＋20°)＝1，你认为锐角α的度数应是( D )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°9．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC.能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组10．如图，某人在大楼30米高(即PH ＝30米)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡角i 为1∶3，点P ，H ，B ，C ，A 在同一个平面上，点H ，B ，C 在同一条直线上，且PH ⊥HC.则A ，B 两点间的距离是( B )A ．15米B ．203米C ．202米D ．103米二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．若α为锐角，cos α＝35，则sin α＝__45__，tan α＝__43__． 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512，△ABC 的周长为18，则S △ABC ＝__545__． 13．小志同学书桌上有一个电子相框，将其侧面抽象如图所示的几何图，已知AB ＝AC ＝15 cm ，∠BAC ＝40°，则点A 到BC 的距离为__14.1__cm.(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)(第13题图) (第15题图) (第16题图) (第17题图)14．在△ABC 中，若|2cos A －1|＋(3－tan B)2＝0，则∠C ＝__60°__．15．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若过点C作CD ⊥AB 于点D ，则∠BCD ＝15°，根据图形计算tan 15°＝．16．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__12__米． 17．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为__．(结果保留根号)18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，tan A ＝43.点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且∠EDC ＝∠A.将△ABC 沿DE 所在直线对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为__12548__．三、用心做一做(共66分)19．(10分)解下列各题：(1)先化简，再求代数式(1x ＋x ＋1x )÷x ＋2x 2＋x 的值，其中x ＝3cos 30°＋12；解：原式＝x ＋1，当x ＝2时，原式＝3(2)已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32.计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值．解：α＝45°，原式＝320．(8分)解下列各题：(1)已知∠A ，∠B ，∠C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且满足(2sin A －3)2＋tan B －1＝0，求∠C 的度数；解：75°(2)(原创题)已知tan α的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sin α－cos α2cos α＋sin α的值．解：∵方程的根为x 1＝2，x 2＝－1.又∵tan α＞0，∴tan α＝2，∴原式＝3tan α－12＋tan α＝3×2－12＋2＝5421．(10分)如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：(1)∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠ADC ＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC ，∴AC ＝BD (2)在Rt △ADC 中，sinC ＝1213，故可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k.∵BC ＝BD ＋CD ，AC＝BD ，∴BC ＝13k ＋5k ＝18k ，∴18k ＝12，∴k ＝23，∴AD ＝12k ＝12×23＝822．(8分)如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°.若坡角∠FAE ＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)解：延长BD 交AE 于点G ，过点D 作DH ⊥AE 于点H.由题意知∠DAE ＝∠BGA ＝30°，DA ＝6，∴GD ＝DA ＝6，∴GH ＝AH ＝DA ·cos30°＝33，∴GA ＝6 3.设BC 的长为x 米．在Rt △GBC 中，GC ＝BC tan ∠BGC＝x tan30°＝3x.在Rt △ABC 中，AC ＝BC tan ∠BAC ＝x tan48°∵GC －AC ＝GA ，∴3x －x tan48°＝63，∴x ≈13，即大树的高度约为13米23．(8分)如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C.其中AB 段与BC 段的运行路程均为200 m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离．(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：根据题意可知∠BAD ＝30°，∠CBE ＝42°，AB ＝BC ＝200 m ．在Rt △ABD 中，BD ＝AB ·sin30°＝200×12＝100(m )．在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·sin42°≈200×0.67＝134(m )，∴BD ＋CE ≈100＋134＝234(m )，因此，缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m24．(10分)如图是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米，请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积；(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449)(2)求∠ACD 的余弦值．解：连结AC ，∵AB ＝BC ＝15千米，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝152千米，又∵∠D ＝90°，∴AD ＝AC 2－CD 2＝（152）2－（32）2＝123(千米)，∴周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ≈55(千米)，面积＝S △ABC ＋S △ADC ≈157(平方千米)(2)cos ∠ACD ＝CD AC ＝32152＝1525．(12分)如图，甲、乙只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时15 2 km 的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15 km 的速度沿东北方向前进．甲船航行2 h 到达C 处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B 处相遇．问： (1)甲船从C 处出发追赶上乙船用了多少时间？(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，如图，(1)设甲船从C 处出发追赶上乙船用了x h ，则乙船从A 到B 用了(x ＋2)h.在Rt △ACM 中，AC ＝152×2＝302(km )，∴MC ＝AM ＝AC ·sin ∠ACB ＝302×22＝30(km )．在Rt △ABM 中，AM ＝12AB ，∴30＝12×15×(x ＋2)，解得x ＝2，答：甲船从C 处出发追赶上乙船用了2 h (2)在Rt △ABM 中，AM ＝30 km ，AB ＝60 km ，∴BM ＝AB 2－AM 2＝602－302＝303(km )，∴BC ＝MC ＋BM ＝30(1＋3)(km )，∴甲船追赶乙船的速度是30（1＋3）2＝15(1＋3)km/h.答：甲船追赶乙船的速度是每小时15(1＋3)千米。

华师大版九年级数学上册第24章《解直角三角形》单元测试题及答案

华师大版九年级数学上册第24章《解直角三角形》单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（）A. B.C. D.2.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（）A. 15B. 16C. 18D. 193.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A. 120mB. 67.5mC. 40mD. 30m4.等腰三角形的周长为20cm，腰长为x cm，底边长为y cm，则底边长与腰长之间的函数关系式为（）A. y=20﹣x（0＜x＜10）B. y=20﹣x（10＜x＜20）C. y=20﹣2x（10＜x＜20）D. y=20﹣2x（5＜x＜10）5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i=1：，坝高BC=6m，则坡面AB的长度（）A. 12mB. 18mC. 6D. 126.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（）米．A. 300B. 900C. 300D. 3007.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）A. 4.5米B. 6米C. 7.2米 D. 8米8.一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（）A. 10B. 12C. 14D. 169.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A. 5米B. 6米C. 8米 D. （3+ ）米10.如图，在□ABCD中，AB∶AD=3∶2，∠ADB=60°，那么cosＡ的值等于（）A. B. C.D.二、填空题（共10题；共33分）11.小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降________米．12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________．13.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是 ,则x=________,cosα=________.15.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=________16.高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是________m.17.tan________ °=0.7667．18.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________．19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________．20.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y= x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是________．三、解答题（共8题；共57分）21.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？22.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．23.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平上）出发，沿斜面坡度为i=l：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53 °，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 °= , cos53 °= , tan53 °= ，≈1.732，结果精确到0.1米）24.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．25.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）26.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin21°≈，tan21°≈）27.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．28.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵AC=4，BC=3，∴AB= =5．∴sinA= ，故答案为：B．【分析】先根据勾股定理算出AB，再根据正切定义得出结论。

华师大版九年级第25章解直角三角形测度题

华师大版九年级第25章解直角三角形测度题华师大版九年级第25章解直角三角形测度题一．选择题（共7小题）C D．2．（2010•怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）．C D．3．（2009•漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）．C D．4．（2008•益阳）如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）．C．米米5．（2008•武汉）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）Dmm6．（2007•泰安）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=2，AB=3，则tan∠BCD的值为（）．C D．7．（2005•芜湖）如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（）二．填空题（共10小题）8．（2012•常州）若∠a=60°，则∠a的余角为_________，cosa的值为_________．9．（2011•厦门）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB=_________．10．（2011•茂名）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米．11．（2011•连云港）△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_________．12．（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是_________米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）13．（2010•吉林）将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是_________cm2．14．（2010•鞍山）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为_________．15．（2009•孝感）如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα= _________．16．（2008•沈阳）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为_________米．17．（2010•钦州）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；…；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，…，则线段D n﹣1D n的长为_________（n为正整数）．三．解答题（共7小题）18．（2012•湖州）计算：+（﹣2）2+tan45°．19．（2012•厦门）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE=3，BC=9 （1）求的值；（2）若BD=10，求sin∠A的值．20．（2012•西藏）为了加快西藏旅游业发展，某旅行社开发了“坐皮筏、看蓝天、游碧水”的旅游项目．一只皮筏艇由河岸的A处景点沿直线方向开往对岸的B处景点（如图），若两侧的河岸平行，河宽为900m，AB与河岸的夹角是60°，皮筏艇的航行速度为204m/min，求皮筏艇从A处景点开到B处景点所需的时间（≈1.7）．21．（2012•成都）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，）22．（2012•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据≈1.414，）（2）求∠ACD的余弦值．23．（2012•衡阳）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）24．（2012•扬州）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）华师大版九年级第25章解直角三角形测度题参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）C D．=2．（2010•怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）．C D．．3．（2009•漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）．C D．=4．（2008•益阳）如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）C．．米米ACB==AC=米．5．（2008•武汉）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）DmmAB=6．（2007•泰安）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=2，AB=3，则tan∠BCD的值为（）．C D．=A=．7．（2005•芜湖）如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（）=二．填空题（共10小题）8．（2012•常州）若∠a=60°，则∠a的余角为30°，cosa的值为．，填空即可．．．9．（2011•厦门）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB=．．=故答案是：10．（2011•茂名）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=100米．11．（2011•连云港）△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．=2sinA==故答案为12．（2010•义乌市）课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是13.9米．（结果保留3个有效数字，≈1.732）×=813．（2010•吉林）将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是cm2．（14．（2010•鞍山）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为24．tanA=，的面积为×15．（2009•孝感）如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．sina=16．（2008•沈阳）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为12米．BAE=17．（2010•钦州）如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；…；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，…，则线段D n﹣1D n的长为（n为正整数）．=（（）三．解答题（共7小题）18．（2012•湖州）计算：+（﹣2）2+tan45°．19．（2012•厦门）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE=3，BC=9 （1）求的值；（2）若BD=10，求sin∠A的值．的值；）=得出==，∴=；=得：=，∴，A====20．（2012•西藏）为了加快西藏旅游业发展，某旅行社开发了“坐皮筏、看蓝天、游碧水”的旅游项目．一只皮筏艇由河岸的A处景点沿直线方向开往对岸的B处景点（如图），若两侧的河岸平行，河宽为900m，AB与河岸的夹角是60°，皮筏艇的航行速度为204m/min，求皮筏艇从A处景点开到B处景点所需的时间（≈1.7）．AB===60021．（2012•成都）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，）×=622．（2012•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据≈1.414，）（2）求∠ACD的余弦值．AC=15AD===12=AB+BC+CD+DA=30+3+12ACD==…23．（2012•衡阳）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）=3mi===4））24．（2012•扬州）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）AC=。

九年级上册数学华师大版第24章解直角三角形单元质检卷(A卷)(含详解)

解直角三角形一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A. B. C.3.在中，，，，则的值是( )4.如图,在,,,D,E,F 分别是AB ,AC ,AD 的中点,,则EF 的长度为( )5.已知是锐角的内角，的值是( )6.周末,刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上,忽复乘舟梦日边.”邀约好友一起去江边垂钓.如图.钓鱼竿的长为4m.露在水面上的鱼线的长为,刘老师想看看鱼钩上的情况.把鱼竿逆时针转动15°到的位置,此时露在水面上的鱼线的长度是( )5tan 40︒5cos 40︒5sin 40Rt ABC △90C ∠=︒5BC =12AC =sin B Rt ABC △90ACB ∠=︒30A ∠=︒3BC =A ∠ABC △sin A ∠=A ∠AC BC AC AC 'BC ''A.3mB.C.D.7.如图, 中, , 延长CB 到点D , 使, 连接AD , 已知的值是( )A. B.9.我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的斜坡，用测角仪测得建筑物屋顶刚好到达坡底E 处，这时测到建筑物屋顶Rt ABC V 90C ∠=︒BD AB =tan D =tan ABC∠60︒75︒1:2i =BEA.38.5米B.39.0米C.40.0米D.41.5米10.如图，在中，，，，点P 为边上一动点，于点E ，于点F ，连接，则的最小值为( )A.二、填空题（每小题4分，共20分）11.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的投影BC 的长为24米，则旗杆AB 的高度是______米.12.在中，，_______.13.如图,从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角为,看这栋楼底部C 的俯角β为,无人机与楼的水平距离为,则这栋楼的高度为________m.ABC △45B ∠=︒60C ∠=︒6BC =AC PE AB ⊥PF BC ⊥EF EF Rt ABC △90C ∠=︒sin A =A =α30︒60︒60m14.如图，在中，，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E，的值为______.15.如图，在中，，交_________.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）计算(1)17.（8分）如图，在中，.Rt ABC△90C∠=︒Rt ABC△90ACB∠=︒tan A=DBE∠ABC△AB BC=tan B∠==DE AD⊥AC= 22cos45tan30sin60sin45︒+︒⋅︒-︒tan30cos60︒︒︒⋅︒(1)已知，，求BC 的长；(2)已知，求的度数.18.（10分）如图，在中，，垂足为D ，，.（1）求和的长；（2）求的值.19.（10分）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图.图2为其示意图,支撑杆垂直于地面,,斜杆连接在支撑杆顶端A 处,,其中的长度可通过斜杆的滑动来进行调节,斜杆还可以绕着点A 旋转,且与支撑杆的夹角为.(1)当,时,求话筒C 到地面的高度；(2)落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节的长度和夹角的度数,某运动员使用落地式话筒的适合高度是,请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要,并说明理)20.（12分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后,尝试利用所学知识测量河对岸人树的高度,他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为,再从C 点出发沿斜坡走到达斜坡上D 点,在点D 处测得树顶端A 的仰角为,若斜坡的坡比为(点E ,C ,B 住同一水平线上).12AB =1sin 3A =BC =AC =B ∠ABC △BD AC ⊥6AB =AC =30A =︒BD AD sin C AB 115cm AB =CD 80cm CD =AC CD AB ()60150BAC BAC ∠︒≤∠≤︒50cm AC =120BAC ∠=︒CA BAC ∠183cm 1.73≈AB 45︒30︒CF 1:3i =(1)求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度；(2)求大树的高度(结果保留根号).21.（12分）如1图,在锐角三角形中,,,的对边分别为a ,b ,c .(1)用b ,c ,表示的面积S ；(3)如2图,若,于点D ,,求.AB ABC A ∠B ∠C ∠sin A ABC △sin b B ==:3:2AC BC =sin A =AB ⊥2BD =sin ACB ∠答案以及解析解析：，，，.故选：B.3.答案：D解析：如图所示：，，，故选：D.4.答案：C 解析：∵,,∴,∵点D 为斜边AB 的中点,∴,∵E ,F 分别是AD ,AC 的中点,∴90C ∠=︒ 12AC = 90C ∠=︒40B ∠=︒5AB =cos B ∠=∴cos 40︒=∴5cos 40BC =︒5BC =90ACB ∠=︒30A ∠=︒26AB BC ==Rt ABC △132CD AB ==12EF CD ==5.答案：C解析：如图，是锐角的内角，于点D，则设，，其中，则，故选：C.6.答案：C解析：∵∴,∴,∴,故选：C.7.答案：A解析:在中,. 设,, 则,. 在中, 由勾股定理, 得, 解得,sin CAB∠==A∠ABC△CD AB⊥5sin3A∠==3CD x=5AC x=0x>4AD x===5cos4AC xAAD x∴∠===45CAB∠=︒451560C AB=︒+︒=''︒sin60=︒=)4mB C==''Rt ACD△tan ACDCD==3CD AC= AC a=BC x=3CD a=3BD AB a x∴==-Rt ABC△222(3)a x a x+=-43x a=tanAC aABCBC x∴∠===在中，米，米，四边形是矩形，四边形，，在中，Rt BHE △45BE = 4BH ∴=8EH = AHDM AM DH ∴=AH DM =Rt CFN △解析：连接，取的中点G ，连接、，，，，，，，，为等腰直角三角形，，当时，取最小值，此时，的值也最小，，BP BP EG FG PE AB ⊥ PF BC ⊥90BEP BFP ∴∠=∠=︒12EG GF BG BP ∴===BEG EBG ∴∠=∠BFG FBG ∠=∠()2224590EGF BEG EBG BFG FBG EBG FBG B ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒EGF ∴△EF BP ∴===∴BP AC ⊥BP EF 60C ∠=︒，的最小值为此时，故选：C.11.答案：解析：旗杆、地面及太阳光线恰好构成直角三角形，故答案为解析：由，则，，.13.答案：解析：如图,作于点D,则,在中,,sin sin60BPCBC∴==︒·sin606BP BC∴=︒==BP∴EF=tan30ABBC∴=︒tan3024AB BC∴=⋅︒==sin A=4x=5c x=3b x=4tan3a xAb x∴===AD BC⊥60mAD=Rt ADB△tanBDADα=,在中,,,即这栋楼的高度为,故答案为：.解析：，设，，，D 是AB 的中点，，，又，，，，.)m BC CD BD =+=+=∴)tan 60tan 3060m BD AD α=⋅=⨯︒==Rt ADC △tan β=∴)tan 60tan 6060m CD AD β=⋅=⨯︒==∴90ACB =︒∠ tan A =∴3AC x =4BC x =5AB x ∴== 1522CD BD AD AB x ∴====ECB DBC ∴∠=∠BE CE ⊥ ACB BEC ∴∠=∠ACB BEC ∴∽△△BC AB ∴=431255x x BE x x ⋅∴==125cos 52x BE DBE BD x ∠===解析：如图，过点A 作垂足为H ，，，设，，，，，，，解得，，，，，，过点C 作垂足为M ，，，，，，AH CB ⊥ 85BD DC =AB BC=13AB BC x ==∴8BD x =5DC x = tan B ∠=AH CB ⊥∴512AH BH = 13AB BC x ==∴2222169AH BH AB x +==5AH x =12BH x =∴1284DH x x x =-=54HC x x x =-=∴AD ==AC ==∴cos DH ADC AD ∠==CM AD ⊥∴cos DM CD ADC x =⋅∠=AM AD DM x =-= DE AD ⊥CM AD ⊥∴//MC DE.(2)解析：（1）17.答案：(1)(2)解析：(1)在中，，.(2)在中，60B∠=︒Rt ABC△sin A=BCAB∴=Rt ABC△BC=AC=tan B∴==∴CE DMAC AM===512-22cos45tan30sin60sin45︒+︒⋅︒-︒22=+-12=tan30cos60︒︒︒⋅︒12=31146=--512=-4BC=12AB=4BC∴=.18.答案：（1）；解析：（1），，在中，，，，（2）在中，，，19.答案：(1)(2)该话筒的高度能满足这名运动员的需要,理由见解析解析：(1)如图所示,过点C 作,于点E ,∵,∴,又,∴筒C 到地面的高度为；(2)依题意,当,点A ,D 重合时,,C 点离地面最高,此时如图所示,过点C 作,于点E ,60B ∴∠=︒150CAB ∠=︒3BD =AD =BD AC ⊥ 90ADB ∴∠=︒Rt ABD △6AB =30A ∠=︒sin 6sin303BD AB A ∴=⋅=︒⨯=cos 6cos30AD AB A ⋅=⨯︒==AC = AD =CD AC AD ∴=-=Rt CBD △90CDB =︒∠ 3BD =CD =BC ∴==sin BD C BC ∴===140cm//CE AB AE CE ⊥50cm AC =120BAC ∠=︒30CAE ∠=︒1sin 305025cm 2CE AC =︒⨯=⨯=115cm AB =11525140cm AB CE +=+=80cm AC CD ==//CE AB AE CE ⊥∴∴∴筒C 到地面的高度为∵某运动员使用落地式话筒的适合高度是,∴该话筒的高度能满足这名运动员的需要.20.答案：(1)4米(2)米解析：(1)过D 作于H ,如图所示：在中,∵斜坡的坡比为,∴,∵,∴,解得：或(舍去),∴王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度为4米.(2)延长交于点G ,设米,由题意得,,∴(12+DH CE ⊥1509060CAE ∠=︒-︒=︒()sin 608069.2CE AC cm =⨯︒==≈()11569.2184.2cm AB CE +=+=183cm 183184.2<Rt DCH △CF 1:3i =3CH DH =222CH DH CD +=()(2223DH DH +=4DH =4DH =-AD CE AB x =30AGC ∠=︒tan 30DH GH ===︒∵斜坡的坡比为,∴,∴,在中,∵,∴,在中,∴解得：故大树的高度为米.21.答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)如图1,过点C 作于点E ,在中,,.(2)证明：由(1)知,的面积,同理,,.CF 1:3i =312CH DH ==12CG GH CH =+=Rt ABC △45ACB ∠=︒AB BC =Rt ABG △tan 30AB BG ︒===12x =+AB (12+1sin 2S bc A =CE AB ⊥Rt AEC △sin sin CE CA A b A =⋅=111sin sin 222S AB CE c b A bc A ∴=⋅=⋅=ABC △1sin 2S bc A =1sin 2S ac B =in 12s S ab C =111sin sin sin 222bc A ac B ab C ∴==sin B b ==(3),设,则,即,.如图,在中,.由勾股定理可得,即,解得.在中,,,由勾股定理可得,即,解得.,..sin b B ==:3:2AC BC = 3AC x =2BC x =3b x =2a x =Rt ADC △sin 3CD CD A AC x ===CD ∴=222AD AC CD =-())2223AD x =-AD =Rt BDC △2BC x =CD =222BD CD BC +=222)(2)BD x +=2BD x ==2AB AD BD ∴=+=24BC x ===sin sin AB A ACB BC ⋅∴∠===。

九年级上册数学华师大版-第24章-解直角三角形单元质检卷(B卷)(含详解)

解直角三角形一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知在Rt ABC △中,90A ∠=︒,3AB =,5BC =,则cos B 的值是( )2.如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，若5AC =，4BC =，则tan A 的值为( )3.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α=15m BC =，则迎水坡面AB 的长度为( )A.20mB.25mC.30mD.35m4.已知ABC △中,sin A =tan 1B =,则ABC △的形状( )A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.无法确定5.如图,在44⨯的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点若ABC △的顶点都在格点上,则sin ABC ∠的值是( )6.如图AD 是 ABC 的高，4AB =，60BAD ∠=︒，tan CAD ∠=的长为( ).1+ B.2+ C.+4+7.如图，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，使点D 落在BC 边上的点F 处，若6AB ＝，10BC =，则tan EAF ∠的值为( )8.在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD 的高度（如图），他们在A 处仰望楼顶，测得仰角为30︒，再往楼的方向前进50米至B 处，测得仰角为60︒，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）( )A.9.如图所示，在ABC △中，已知AB AC =，AD BC ⊥，若1BD =，sin BAD ∠=sin BAC ∠=( )10.如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为( )二、填空题（每小题4分，共20分）11.计算：2sin 603tan 30︒-︒=________.12.如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，3cm BC =，点D 为AB 的中点，则CD 的值是_______cm.13.如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，2AB =，8CD =，AC CD ⊥.若1sin 3ACB ∠=，则tan D =______.14.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图.已知屋面AE 的倾斜角EAD ∠为22°，长为3米的真空管AB 与水平线AD 的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE 的长度为0.5米.则安装热水器的铁架水平横管BC 的长度约为_____米.（结果精确到0.1米）参考数据：sin 37︒≈≈︒37︒≈22︒22︒tan 220.4︒≈15.如图,在矩形ABCD 中,6AB =,8AD =,点E ,F 分别是边CD ,BC 上的动点,且90AFE ∠=︒,当AED ∠最大时,tan AED ∠=______.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）计算：（1）2sin 304cos30tan 60cos 45︒+︒⋅︒-︒；（2）22sin 30tan 45cos 45sin 60︒+︒+︒︒.17.（8分）如图，ABC △中，13AB AC ==，BD AC ⊥于点D ，12sin 13A =（1）求BD 的长；（2）求tan C 的值.18.（10分）如图，聪聪想在自己家的窗口A 处测量对面建筑物CD 的高度，他首先量出窗口A 到地面的距离（AB ）为16m ，又测得从A 处看建筑物底部C 的俯角α为30°，看建筑物顶部D 的仰角β为53°，且AB ，CD 都与地面垂直，点A ，B ，C ，D 在同一平面内.（1）求AB 与CD 之间的距离（结果保留根号）.（2）求建筑物CD 的高度（结果精确到1m ）.（参考数据：sin 530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan 53︒≈ 1.7≈）19.（10分）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡BE 的坡度i =6m =，在B 处测得电线塔CD 顶部D 的仰角为45︒，在E 处测得电线塔CD 顶部D 的仰角为60︒.（1）求点B 离水平地面的高度AB .（2）求电线塔CD 的高度（结果保留根号）.21.（12分）如图,一货船从港口达B 处,测得小岛C 在B 的东北方向,且在点A 的北偏东30 1.41≈,≈ 2.45≈,sin 370.60︒≈,cos370.80︒≈)(1)求BC 的距离(结果保留整数)；(2)由于货船在B 处突发故障,于是立即以30海里/小时的速度沿BC 赶往小岛C 维修,同时向维修站D 发出信号,在D 处的维修船接到通知后立即准备维修材料,之后以50海里/小时的速度沿DC 前往小岛C ,已知D 在A 的正东方向上,C 在D 的北偏西37︒方向,通知时间和维修船准备材料时间一共6分钟,请计算说明维修船能否在货船之前到达小岛C .答案以及解析1.答案：A解析: 在ABC △中,90A ∠=︒,3AB =,5BC =,cos AB B BC ∴==故选A.2.答案：C解析：5 AC =，4BC =，90ABC ∠=︒，3AB ∴==，tan BC A AB ∴==故选：C.3.答案：B解析：根据题意得：90ACB ∠=︒，sin α=BC AB ∴=15m BC =，()551525m 33BC AB ⨯∴===，即迎水坡面AB 的长度为25m .故选：B.4.答案：C解析：由sin A =30A =︒,tan 1B =,得45B ∠=︒,1804530105C ︒︒-︒∠=-=︒,故是钝角三角形,故选:C.5.答案：B解析：由题意可知,5AB ==,AC ====225 AB =,220AC =,25BC =,222AB AC BC ∴=+,ABC ∴△是直角三角形,90ACB ∠=︒,sin AC ABC AB ∴∠==故选：B.6.答案：C解析：∵AD 是 ABC 的高，60BAD ∠=︒，∴30ABD ∠=︒，∴122AD AB ==，∴BD ==∵tan CAD ∠===解得：1CD =，∴1BC BD CD =+=+.故选C.7.答案：D解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴6CD AB ==，10AD BC ==，由翻折可知：AD AF =，90AFE D ∠=∠=︒，∴8BF ===，∴1082FC BC BF =-=-=，∵66EC CD DE DE EF =-=-=-，在Rt EFC 中，根据勾股定理得：222EF EC FC =+，∴222(6)2EF EF =-+，解得：EF =∴101tan 1033EF EAF AF ∠==÷= 故选：D.8.答案：A解析：设DC x =米，在Rt ACD △中，30A ∠=︒，tan A =30x AC ︒==整理得：AC =米，在Rt BCD △中，60DBC ∠=︒，tan DBC ∠=60xBC︒==整理得：BC =米，50AB =米，∴AC BC -=50x -=，解得：x =这栋楼的高度为故选：A.9.答案：B解析：如图，过点B 作BE AC ⊥于E ，AD BC ⊥，90ADB ∴∠=︒，1sin BD BAD AB AB ∴∠===3AB ∴=，3AC AB ∴==，由勾股定理得，AD ===，AB AC =，AD BC ⊥，22BC BD ∴==，由1122ABC S BC AD AC BE =⋅=⋅△得，BC AD BE AC ⋅===sin BE BAC AB ∴∠===故选：B.10.答案：C解析：连接AC ，如图，菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，又点O 是BD 的中点，∴A 、O 、C 三点在同一直线上，∴OA OC =，2OM =，AM BC ⊥，∴2OA OC OM ===， 8BD =，∴142OB OD BD ===，∴BC ===24OC OBC OB ∠=== 90ACM MAC ∠+∠=︒，90ACM OBC ∠+∠=︒，∴MAC OBC ∠=∠∴sin sin OC MAC OBC BC ∠=∠===∴sin MC AC MAC =∠=∴BM BC MC =-=-=∴1tan 2MN BM OBC =∠==故选：C.11.答案：0解析：2sin 603tan 30︒-︒23=⨯-=-0=故答案为：0.12.答案：3解析：90 ACB ∠=︒，30A ∠=︒，3cm BC =，26cm AB BC ∴==，又 D 为AB 的中点，32cm 1CD AB ∴==.故答案为：3.13.答案：34解析：90 B ∠=︒，1sin 3ACB ∠=，13AB AC ∴=，2 AB =，6AC ∴=，AC CD ⊥，90ACD ∴∠=︒，AC 63tan CD 84ADC ∴∠===.故答案为：34.14.答案：0.9米解析：如图，过B 作BF AD ⊥交AD 于点F .在Rt ABF 中，sin BAF ∠=则3sin 3sin 373 1.85BF AB BAF =∠=︒≈⨯=（米）.在Rt ABF 中，cos BAF ∠=则4cos 3cos373 2.45AF AB BAF =∠=︒≈⨯=（米）.由题意得，四边形BFDC 是矩形.1.8BF CD ∴==（米），0.4BC FD ==（米），2.2AD AF DF ∴=+=（米），在Rt EAD 中，tan EAD ∠=则2tan 2.20.885DE AD EAD =∠≈⨯=（米），1.80.880.9CE CD DE ∴=-=-≈（米），答：安装热水器的铁架竖直管CE 的长度约为0.9米.故答案为：0.9.解析：设BF x =；四边形ABCD 是矩形,8BC AD ∴==,6CD AB ==,90D C B ∠=∠=∠=︒,8CF x ∴=-,90FEC EFC ∠+∠=︒；90 AFE ∠=︒,90EFC AFB ∴∠+∠=︒,FEC AFB ∴∠=∠；90 B C ∠=∠=︒,CEF BFA ∴∽△△,CEBF ∴=1(8)6CE x x ∴=-,214663DE CD CD x x ∴=-=-+；tan AD AED DE ∠==∴当DE 最小时,tan AED ∠最大,从而AED ∠最大；221416(4)636 DE x x x =-+=-+当时,最小,从而最大,AED ∠最大；10tan 83AED ∠=÷=16.答案：（1）6解析：（1）原式2142=+-11622=+-6=；（2）原式22112⎛⎫=++ ⎪⎝⎭114=++=17.答案：（1）12∴4x =DE tan AED ∠解析：（1） ABC △中，13AB AC ==，BD AC ⊥于点D ，sin A =BD AB ∴=1213=，解得：12BD =；（2）13 AC AB ==，12BD =，BD AC ⊥，5AD ∴=，8DC ∴=，12n a 8t BD D C C =∴==∠18.答案：（1）（2）51m解析：（1）作AM CD ⊥于M ，则四边形ABCM 为矩形，16CM AB ∴==，AM BC =，在Rt ACM △中，tan CAM ∠=则)16m tan tan 30CM AM CAM ===∠︒，答：AB 与CD 之间的距离；（2）在Rt AMD △中，tan DAM ∠=则tan 16 1.7 1.335.36DM AM DAM =⋅∠≈⨯⨯=，()35.361651DC DM CM m ∴=+=+≈，答：建筑物CD 的高度约为51m.19.答案：（1）3mAB =（2）电线塔CD 的高度()9m +解析：（1）斜坡BE 的坡度i =∴ABAE ==tan ABBEA AE ∠==∴30BEA ∠=︒，6m BE =，∴()13m 2AB BE ==；（2）作BF CD ⊥于点F ，则四边形ABFC 是矩形，3m AB CF ==，BF AC =，设m DF x =，在Rt DBF △中，tan DBF ∠=∴m tan DF BF x DBF ==∠，在Rt ABE △中，AE ==在Rt DCE △中，()3m DC DF CF x =+=+，tan DEC ∠=∴)33tan 60x EC x +==+︒，∴BF AE EC =+，∴)3x x ++=，∴6x =+，∴639CD x =++==+答：电线塔CD 的高度()9m +.(2)维修船能在货船之前到达小岛C 解析：(1)过C 作CM AB ⊥交AB 延长线于M ,由题意得,40140AB =⨯=海里,由题意得,在Rt BCM △中,45CBM ∠=︒,∴MC MB =,设MC MB x ==,则40MA x =+,在Rt ACM △中,tan 30tan CM CAM MB ︒=∠===解得20x =+,∴()20MB MC ==+海里,在Rt MBC △中,222MB MC BC +=,∴)2077BC ==+≈海里；(2)∵()20CM =+海里,∴()20AH CM ==+海里,∵//AM CH ,∴130CAM ∠=∠=︒,∴tan 1AH CH ∠==,∴)(2060CH ==+=+海里,∵//CH DN ,37NDC ∠=︒,∴237NDC ∠=∠=︒,∴cos 2cos370.8CH CD ∠=︒==,∴(5750.84CH CD CH ===+海里,货船从B 到C 用时：7730÷=∵6分钟=1741030-==370501233=≈(海里),∵75118CD =+≈(海里),∴能在货船之前到达小岛C .。

华师版九年级数学《解直角三角形》强化测试卷

华师版九年级数学《解直角三角形》强化测试卷华师版九年级数学《解直角三角形》强化测试卷满分：100分时间：45分钟姓名：得分：1．（25分）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）2．（本小题满分25分）．(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造，供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300(3+1)米，求供水站M分别到小区A、B的距离。

（结果可保留根号）A60°B45°M东C北D3．（25分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x、y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L的值．（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b 为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值．4．（25分）宜宾是国家级历史文化名城，大观楼是标志性建筑之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟查资料得知：大观楼始建于明代（一说是唐代韦皋所建），后毁于兵火，乾隆乙酉年（1765年）重建，它是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一．小伟决定用自己所学习的知识测量大观楼的高度．如图②，他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45°，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小伟算算大观楼的高度．（测角仪高度忽略不计，≈1.7，结果保留整数）．。

九年级数学上册第24章解直角三角形检测题 (新版)华东师大版-(新版)华东师大版初中九年级上册数

解直角三角形 (时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( D )A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 3 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a tan A ＝bD ．c tan B ＝b3．计算6tan45°－2cos60°的结果是( D )A ．4 3B ．4C ．5 3D ．54．(2014·某某)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( D ) A.1213 B.512 C.1312 D.1255．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠A 的正弦值是( D )A.3510B.12C.255D.556．如果∠A ，∠B 均为锐角，且2sin A －1＋(3tan B －3)2，那么△ABC 是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形7．(2014·凉山州)如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC ＝10 m ，则坡面AB 的长度是( C )A ．15 mB ．20 3 mC ．20 mD ．10 3 m,第7题图) ,第8题图),第9题图)8．如图，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝11，则tan α的值为( D ) A.113 B.311 C.911 D.1199．(2014·某某)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为( A )A ．40 2 海里B ．40 3 海里C ．80海里D ．40 6 海里10．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为( A )A ．20米B ．10 3 米C ．15 3 米D ．5 6 米二、填空题(每小题3分，共24分)11．(2014·某某)计算：tan 45°－13(3－1)0＝__23__． 12．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin A 的值是__74__．13．如图，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC ＝30°，则该山坡的高BC 的长为__100__米．,第12题图) ,第13题图),第14题图)14．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是__60__cm 2.15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC 的值是__33__． 16．如图，△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，4)，(3，0)，且∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，则顶点B 的坐标是__(3＋43，33)__．,第15题图) ,第16题图),第18题图)17．△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为__23＋5或23－5__．18．(2014·某某)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5 米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)点拨：如图，BC ＝×sin45°≈，CE ＝5×sin45°≈，BE ＝BC ＋CE ≈，EF ＝÷sin45°≈，(56－)÷＋1≈16＋1＝17(个)，故这个路段最多可以划出17个这样的停车位三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)(－2)2＋|－3|＋2sin60°－12；解：4(2)6tan 230°－3cos30°－2sin45°.解：12－220．(8分)(2014·某某)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sinC 的值．解：121321．(8分)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A ，某人在岸边的B 处测得A 在B 的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C 处，再次测得A 在C 的北偏西45°的方向上(其中A ，B ，C 在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部A 到岸边BC 的最短距离．解：过A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x ，则CD ＝AD ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，BD ＝x tan60°＝33x ，又BC ＝4，即BD ＋CD ＝4，所以33x ＋x ＝4，解得x ＝6－23，则这个标志性建筑物底部A 到岸边BC 的最短距离为(6－23)公里22．(10分)(2014·某某)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，∠B ＝30°，CE ⊥AB ，垂足为点E ，若AD ＝1，AB ＝23，求CE 的长．解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则AD ＝HC ＝1，在△ABH 中，BH ＝AB ·cos30°＝3，∴BC ＝BH ＋BC ＝4，∵CE ⊥AB ，∴CE ＝BC ·sin30°＝223.(10分)如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB ＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米；参考数据：sin62°≈，cos62°≈，tan50°≈1.20) 解：过A 点作AE ⊥CD 于点E ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB ·sin62°≈22，BE ＝AB ·cos62°≈，在Rt △ADE 中，DE ＝AE tan50°≈，∴DB ＝DC －BE ≈，故此时应将坝底向外拓宽大约米 24．(10分)(2014·某某)图①，②分别是某型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD 长为1.6 m ，CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0.8 m ，∠ACD 为80°，求跑步机手柄的一端A 的高度h.(精确到0.1 m ；参考数据：sin 12°＝cos 78°≈，sin 68°＝cos 22°≈，tan 68°≈2.48)解：过C 点作FG ⊥AB 于点F ，交DE 于点G.∵CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，∠ACD 为80°，∴∠ACF ＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF ＝68°，在Rt △ACF 中，CF ＝AC ·sin ∠CAF ≈，在Rt △CDG 中，CG ＝CD ·sin ∠CDE ≈，∴FG ＝FC ＋CG ≈，故跑步机手柄的一端A 的高度约为1.1 m25．(12分)如图，已知斜坡AB 长602米，坡角(即∠BAC )为45°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE .(1)若修建的斜坡BE 的坡比为3∶1，求休闲平台DE 的长是多少米？(2)一座建筑物GH 距离A 点33米远(即AG ＝33米)，小亮在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30°，点B ，C ，A ，G ，H 在同一个平面内，点C ，A ，G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？解：(1)∵FM ∥CG ，∴∠BDF ＝∠BAC ＝45°，∵斜坡AB 长602，D 是AB 的中点，∴BD ＝302，∴DF ＝BD ·cos ∠BDF ＝30，BF ＝DF ＝30，∵斜坡BE 的坡比为3∶1，∴BF EF ＝31，∴EF ＝103，∴DE ＝DF －EF ＝30－103，即休闲平台DE 的长是(30－103)米 (2)设GH ＝x 米，则MH ＝GH －GM ＝x －30，DM ＝AG ＋AP ＝33＋30＝63，在Rt △DMH 中，tan30°＝MH DM ，即x －3063＝33，解得x ＝30＋213，则建筑物GH 的高为(30＋213)米。

【华师大版】初中数学九年级上册数学：第24章《解直角三角形》达标检测及答案

第24章达标检测卷(120分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题3分，共30分) 1．(·天津)cos 60°的值等于( ) A .12 B .22 C .32 D .332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，则cos A 的值是( ) A .45 B .35 C .34 D .133．如图，要测量河两岸A ，C 两点间的距离，已知AC ⊥AB ，测得AB ＝a ，∠ABC ＝α，那么AC 等于( )A ．a·sin αB ．a·cos αC ．a·tan αD .a sin α4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列式子一定成立的是( )A ．a ＝c·sinB B ．a ＝c·cos BC ．b ＝c·sin AD ．b ＝atan B(第3题)(第5题)(第6题)(第7题)5．如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值是( )A .45B .54C .35D .536．如图所示，在△ABC 中， cos B ＝22，sin C ＝35，BC ＝7，则△ABC 的面积是( ) A .212B ．12C ．14D ．21 7．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为( ) A .12 B .55 C .255 D .10108．(·苏州)如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2 km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为( )A ．4 kmB ．(2＋2) kmC ．2 2 kmD ．(4－2) km(第8题)(第10题)9．阅读材料：因为cos 0°＝1，cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12，cos 90°＝0，所以，当0°＜α＜90°时，cos α随α的增大而减小．解决问题：已知∠A 为锐角，且cos A ＜12，那么∠A 的取值范围是( )A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜60°C ．60°＜∠A ＜90°D ．30°＜∠A ＜90° 10．(·泸州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tan C ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为( )A ．13B .152C .272 D ．12二、填空题(每题3分，共30分)11．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________． 12．若∠A 是锐角，且sin A 是方程2x 2－x ＝0的一个根，则sin A ＝________．13．计算：3cos 45°＋2tan 60°＝________．14．如图所示，在等腰三角形ABC中，tan A＝33，AB＝BC＝8，则AB边上的高CD的长是________．(第14题)(第15题)(第16题)(第17题)(第18题)15．如图是一款可折叠的木制宝宝画板．已知AB＝AC＝67 cm，BC＝30 cm，则∠ABC 的大小约为________．(用科学计算器求值，结果精确到1°)16．如图所示，已知A点的坐标为(5，0)，直线y＝x＋b(b＞0)与y轴交于点B，与x轴交于点C，连接AB，∠α＝75°，则b的值为________．17．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于直线AC对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________．(第19题)19．(·扬州改编)如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN.若MN ＝2，则OM 的长为________．20．(·宜宾)规定：sin (－x)＝－sin x ，cos (－x)＝cos x ，sin (x ＋y)＝sin x·cos y ＋cos x·sin y ，据此判断下列等式成立的是________(写出所有正确的序号)．①cos (－60°)＝－12；②sin 75°＝6＋24；③sin 2x ＝2sin x·cos x ；④sin (x －y)＝sin x·cosy －cos x·sin y.三、解答题(26、27题每题10分，其余每题8分，共60分) 21．计算：(1)2sin 30°＋2cos 45°－3tan 60°； (2)tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan 45°.22．如图所示，在△ABC 中，CD ⊥AB ，sin A ＝45，AB ＝13，CD ＝12，求AD 的长和tan B 的值．(第22题)23．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan B ＝cos ∠DAC. (1)求证：AC ＝BD ；(1)若sin C ＝1213，BC ＝12，求△ABC 的面积．(第23题)24．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ，AD ＝7，tan A ＝2.求CD 的长．(第24题)25．(·娄底)如图，某塔观光层的最外沿点E 为蹦极项目的起跳点．已知点E 离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米(AB垂直地面BC)，在地面C处测得点E 的仰角α＝45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°，求点E离地面的高度EF.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)(第25题)26．(·临夏)为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图是一辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.(参考数据：sin 75°≈0.966，cos 75°≈0.259，tan 75°≈3.732)(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm)．(第26题)27．时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝2.8米，一楼到地平线的距离BC ＝1米．(1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？(结果精确到0.1米)(2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)(第27题)一、1.A2．B 点拨：由余弦定义可得cos A ＝AC AB ，因为AB ＝10，AC ＝6，所以cos A ＝610＝35，故选B . 3．C 点拨：因为tan α＝ACAB，所以AC ＝AB·tan α＝a·tan α.4．B 点拨：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据余弦的定义可得，cos B ＝ac ，即a ＝c·cosB.5．A 点拨：由题意可知m ＝4.根据勾股定理可得OP ＝5，所以sin α＝45.6．A 点拨：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝3x ，∵cos B ＝22，∴∠B ＝45°，则BD ＝AD ＝3x.又sin C ＝AD AC ＝35，∴AC ＝5x ，则CD ＝4x.∵BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋4x ＝7，∴x＝1，∴AD ＝3，故S △ABC ＝12AD·BC ＝212.(第7题)7．B 点拨：连接CD(如图所示)，可证得CD ⊥AB.设小正方形的边长为1，在Rt △ABC 中，AC ＝10，CD ＝2，则sin A ＝CD AC ＝210＝55.8．B9．C 点拨：由0＜cos A ＜12，得cos 90°＜cos A ＜cos 60°，故60°＜∠A ＜90°.10．A 点拨：如图，过点A 作AG ⊥BC 于点G ， ∵AB ＝AC ，BC ＝24，tan C ＝2， ∴AGGC＝2，GC ＝BG ＝12，∴AG ＝24，(第10题)∵将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，过E 点作EF ⊥BC 于点F ， ∴EF ＝12AG ＝12，∴EFFC ＝2，∴FC ＝6，设BD ＝x ，则DE ＝x ， ∴DF ＝24－x －6＝18－x ， ∴x 2＝(18－x)2＋122，解得：x ＝13，则BD ＝13.二、11.132 点拨：根据勾股定理，可求得斜边长为13，所以斜边上的中线长为132.12.12 点拨：解方程2x 2－x ＝0，得x ＝0或x ＝12.因为∠A 是锐角，所以0＜sin A ＜1，所以sin A ＝12.13.36214．43 点拨：∵tan A ＝33，∴∠A ＝30°.又AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠A ＝30°，∴∠DBC ＝60°，∴CD ＝BC·sin ∠DBC ＝8×32＝4 3.(第15题)15．77° 点拨：根据题意，作平面示意图如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD ＝12BC ＝15 cm ，在Rt △ABD 中，cos ∠ABC ＝BD AB ＝1567，故∠ABC ≈77°. 16.533 点拨：把x ＝0，y ＝0分别代入y ＝x ＋b 中，得B(0，b)，C(－b ，0)，所以OB＝b ，OC ＝b ，所以OB ＝OC ，所以∠OCB ＝45°.因为∠OCB ＋∠OAB ＝∠α＝75°，所以∠OAB ＝30°.因为OB OA ＝OB 5＝tan 30°，所以OB ＝5tan 30°＝533，所以b ＝533. 17.43 点拨：如图，过N 作NG ⊥AD 于点G.∵正方形ABCD 的边长为4，M ，N 关于直线AC 对称，DM ＝1，∴MC ＝NC ＝3，∴GD ＝3.而GN ＝AB ＝4，∴tan ∠ADN ＝GNGD ＝43. (第17题)(第18题)18.433点拨：如图，作FG ⊥AC ，易证△BCE ≌△GCF(A .A .S .)，∴BE ＝GF ，BC ＝CG.∵在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝AB BC ＝223＝33，∴∠ACB ＝30°，∴AC ＝2AB ＝4，∠DAC ＝∠ACB ＝30°，∵FG ⊥AC ，∴AF ＝2GF ，∴AE ＋AF ＝AE ＋2BE＝AB ＋BE.设BE ＝x ，在Rt △AFG 中，AG ＝3GF ＝3x ，∴AC ＝AG ＋CG ＝3x ＋23＝4，解得x ＝433－2. ∴AE ＋AF ＝AE ＋2BE ＝AB ＋BE ＝2＋433－2＝433.(第19题)19．5 点拨：如图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则MC ＝1，OC ＝12 cos 60°＝12×12＝6，所以OM ＝OC －MC ＝6－1＝5.20．②③④ 点拨：cos (－60°)＝cos 60°＝12，①错误；sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝12×22＋32×22＝24＋64＝6＋24，②正确；sin 2x ＝sin x·cos x ＋cos x·sin x ＝2sin x· cos x ，③正确；sin (x －y)＝sin x·cos (－y)＋cos x·sin (－y)＝sin x·cos y －cos x·sin y ，④正确．三、21.解：(1)原式＝2×12＋2×22－3×3 ＝ 1＋1－3(2)原式＝⎝⎛⎭⎫332＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫222×1 ＝ 13＋34－12＝ 712. 22．解：∵CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°.在Rt △ACD 中，∵sin A ＝CD AC ＝45，CD ＝12，∴AC ＝15，∴由勾股定理可求得AD ＝9，∴BD ＝AB －AD ＝13－9＝4.在Rt △BCD中，tan B ＝CD BD ＝124＝3. 23．(1)证明：∵AD ⊥BC ，∴tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC .又tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD BD＝AD AC，∴AC ＝BD. (2)解：由sin C ＝AD AC ＝1213，可设AD ＝12x ，则AC ＝13x ，由勾股定理得CD ＝5x.由(1)知AC ＝BD ，∴BD ＝13x ，∴BC ＝5x ＋13x ＝12，解得x ＝23，∴AD ＝8，∴△ABC 的面积为12×12×8＝48.(第24题)24．解：如图所示，延长AB 、DC 交于点E ，∵∠ABC ＝∠D ＝90°，∴∠A ＋∠DCB ＝180°，∴∠A ＝∠ECB ，∴tan A ＝tan ∠ECB ＝2.∵AD ＝7，∴DE ＝14，设BC ＝AB ＝x ，则BE ＝2x ，∴AE ＝3x ，CE ＝5x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：(3x)2＝72＋142，解得x ＝735，∴CE ＝5×735＝353，则CD ＝14－353＝73. 25．解：在Rt △ADB 中，tan 60°＝123DB， ∴DB ＝1233＝41 3.∴CF ＝DB －FB ＋CD ＝413＋30. ∵α＝45°，∴EF ＝CF ＝413＋30≈100.答：点E 离地面的高度EF 约为100米．26．分析：(1)在Rt △ACD 中利用勾股定理求AD 的长即可．(2)过点E 作EF ⊥AB 于F ，构造直角三角形求解，在Rt △EFA 中，利用锐角三角函数得EF ＝AE sin 75°.解：(1)在Rt △ACD 中，AC ＝45 cm ，DC ＝60 cm ，∴AD ＝452＋602＝75(cm )，∴车架档AD 的长是75 cm .(2)过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，∵AE ＝AC ＋CE ＝45＋20＝65(cm )，∴EF ＝AE sin 75°＝65 sin 75°≈62.79≈63(cm )，∴车座点E 到车架档AB 的距离约为63 cm .点拨：解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题，通过构造直角三角形计算．27．解：(1)由题意可得∠BAD ＝18°.在Rt △ABD 中，AB ＝BD tan 18°≈2.8－10.32≈5.6(米)．答：应在地面上距B 点5.6米远的A 处开始斜坡的施工．(2)能.理由：如图，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，则∠ECD ＝∠BAD ＝18°.在Rt △CED 中，CE ＝CD·cos 18°≈2.8×0.95＝2.66(米).∵2.66＞2.5，∴能保证货车顺利进入地下停车场． (第27题)。

2019—2020年最新华东师大版九年级数学上册《解直角三角形》阶段强化专训及答案解析.docx

阶段强化专训一：求锐角三角函数值的常用方法名师点金锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义(第1题)1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )A.45B.35C.34 D.432．如图，在△ABC 中， AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．(第2题)3．如图，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标； (2)求sin ∠BAO 的值．(第3题)利用同角或互余两角三角函数间的关系4．若∠A 为锐角，且sin A ＝32，则cos A ＝( )A ．1 B.32 C.22 D.125．若α为锐角，且cos α＝1213，则sin(90°－α)＝( )A.513 B.1213 C.512 D.1256．若α为锐角，且sin 2α＋cos 230°＝1，则α＝______．巧设参数7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则tan B 的值为( )A.43B.34C.35D.458．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且a ，b ，c 满足b 2＝(c ＋a)(c －a)．若5b －4c ＝0，求sin A ＋sinB 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E 且AH ＝2CH ，求sin B 的值．(第9题)阶段强化专训二：同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：1.同角三角函数关系：sin 2 α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α；2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α·tan(90°－α)＝1.)同角间的三角函数的应用1．已知sin Acos A ＝4，求sin A －3cos A4sin A ＋cos A 的值．2．若α为锐角，sin α－cos α＝22，求sin α＋cos α的值．余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( ) A ．sin(45°－α)＝sin(45°＋α) B ．sin 2(45°－α)＋cos 2(45°＋α)＝1 C ．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝1 D ．cos 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝14．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5．已知sin α·cos α＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.6．已知α为锐角且sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，求1－2sin αcos α的值．阶段强化专训三：解直角三角形的几种常见类型名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．已知两直角边解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝23，b＝6，解这个直角三角形．(第1题)已知一直角边和斜边解直角三角形2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC 的值和点B到直线MC的距离．(第2题)已知一直角边和一锐角解直角三角形3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长．(第3题)4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．(第4题)5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长．(第6题)已知非直角三角形中的边和角解直角三角形类型1 化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)7．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝1 3，求∠A的三角函数值．(第7题)类型2 化解四边形问题为解直角三角形问题8．(中考·北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC ＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝2 2.求CD的长和四边形ABCD的面积．(第8题)类型3 化解方程问题为解直角三角形问题9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．阶段强化专训四：利用三角函数解实际问题中的几种数学模型名师点金：利用锐角三角函数解决实际问题，关键是构造．．直角三角形，在构造时依据角(视角和方位角)或线进行构造，一般都是作垂线．．．构造一个甚至几个直角三角形．“背靠背”型(第1题)1．(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为________ m(结果保留根号)．2．(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．(第2题)“母抱子”型3．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：如图，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD 的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.(1)求AB的长；(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？请说明理由．(第3题)“拥抱”型4．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 °，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．(第4题)“斜截”型5．某片绿地的形状如图，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200 m，CD＝100 m．求AD，BC的长(结果精确到1 m，3≈1.732)．(第5题)阶段强化专训五：作辅助线构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．(第2题)有三角函数值不能利用时作垂线3．如图，在△ABC 中，点D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，sin ∠BCD ＝13，求tanA 的值．(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，求tan ∠BPC 的值．(第4题)答案阶段强化专训一 1．C2．解：∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD ＝BDAD .∵tan ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴34＝BD12，∴BD ＝9.∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213. 3．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以B 点坐标为(1，2)；(第3题)(2)过点B 作BC ⊥x 轴于C ，如图，当y ＝0时，12x ＋32＝0，解得x ＝－3，则A(－3，0)，∴OA ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝25， ∴sin ∠BAC ＝BC AB＝225＝55，即sin ∠BAO ＝55.4．D 5.B 6.30° 7.B8．解：∵b 2＝(c ＋a)(c －a)，∴b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 是直角三角形． ∵5b －4c ＝0，∴5b ＝4c ，则bc ＝45，设b ＝4k ，c ＝5k ，那么a ＝3k. ∴sin A ＋sin B ＝3k 5k ＋4k 5k ＝75.9．解：∵CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝AD ＝BD. ∴∠DCB ＝∠B.∵∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∠ACD ＋∠CAH ＝90°， ∴∠DCB ＝∠CAH. ∴∠B ＝∠CAH.在Rt △ACH 中，AH ＝2CH ， ∴AC ＝5CH.∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH5CH ＝55.阶段强化专训二1．分析：本题可利用sin Acos A求解，在原式的分子、分母上同时除以cos A ，把原式化为关于sin Acos A 的代数式，再整体代入其值求解即可．也可直接由sin Acos A ＝4，得到sin A 与cos A 之间的数量关系，代入式子中求值．解：(方法1)原式＝（sin A －3cos A ）÷cos A（4sin A ＋cos A ）÷cos A ＝sin Acos A －34sin Acos A ＋1.∵sin Acos A ＝4，∴原式＝4－34×4＋1＝117. (方法2)∵sin Acos A ＝4，∴sin A ＝4cos A.∴原式＝4cos A －3cos A 4×4cos A ＋cos A ＝cos A 17cos A ＝117.2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．解：∵sin α－cos α＝22，∴(sin α－cos α)2＝12.即sin 2α＋cos 2α－2sinαcos α＝12.∴1－2sin αcos α＝12，即2sin αcos α＝12.∵(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcos α＝1＋12＝32，又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝62.3．C 点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝cos 2(45°＋α)＋sin 2(45°＋α)＝1.4．分析：因为tan 1°·tan 89°＝1，tan 2°·tan 88°＝1，…，tan 44°·tan 46°＝1，所以运用乘法的交换律后，本题易求．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.5．解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sinα·cos α＝1225，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcos α＝1＋2×1225＝4925.∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝75.又∵sin α·cos α＝1225， ∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x 2－75x＋1225＝0. 点拨：此题运用到两个方面的知识：(1)公式sin 2α＋cos 2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x 1＋x 2＝p ，x 1x 2＝q ，则以x 1，x 2为两根的一元二次方程为x 2－px ＋q ＝0.6．解：∵sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根， ∴由求根公式，得 sin α＝－（－7）±（－7）2－4×2×32×2＝7±54.∴sin α＝12或sin α＝3(不符合题意，舍去)．∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝34.又∵cos α＞0，∴cos α＝32.∴1－2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝（sin α－cos α）2＝|sin α－cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－32＝3－12.阶段强化专训三 1．解：∵a ＝23，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝12＋36＝48＝43.∵tan A ＝a b ＝236＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°.2．解：∵AB ＝13，AC ＝12，∠ACB ＝90°， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝169－144＝25＝5.∴sin ∠BAC ＝BC AB＝513.设点B 到直线MC 的距离为d ，∵∠BCM ＝∠BAC ，∴sin ∠BAC ＝sin ∠BCM.∵sin ∠BCM ＝dBC ＝513，即d5＝513，∴d ＝2513. 即点B 到直线MC 的距离为2513.3．解：(1)由题意知sin C ＝ABAC ，即12＝3AC，则AC ＝6. (2)由题意知tan C ＝ABBC ，即33＝3BC ，则BC ＝3 3.4．解：∵∠BDC ＝45°，BC ＝3， ∴CD ＝3.∵∠A ＝30°，BC ＝3，∴tan A ＝BC AC ＝3AC ＝33，即AC ＝33.∴AD ＝AC －CD ＝33－3.5．解：∵∠B ＝45°，∠C ＝90°，c ＝10， ∴∠A ＝45°.a ＝b ＝52.6．解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝43，∴∠CAB ＝60°，AC ＝AB ·sin 30°＝43×12＝2 3.又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD ＝30°. ∵cos ∠CAD ＝AC AD ＝32＝23AD ，∴AD ＝4.(第7题)7．解：过点D 作CD 的垂线交BC 于点E ，如图．在Rt △CDE 中，∵tan ∠BCD ＝13＝DECD ，∴可设DE ＝x ，则CD ＝3x. ∵CD ⊥AC ，∴DE ∥AC.又∵点D 为AB 的中点，∴点E 为BC 的中点．∴DE ＝12AC.∴AC ＝2DE ＝2x.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，AC ＝2x ，CD ＝3x ， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝4x 2＋9x 2＝13x.∴sin A ＝CD AD ＝3x 13x ＝31313，cos A ＝AC AD ＝2x 13x ＝21313，tan A ＝CD AC ＝3x 2x ＝32.方法技巧：本题中出现tan ∠BCD ＝13，由于∠BCD 所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切函数的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．(第8题)8．解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H. ∵∠CED ＝45°， DH ⊥EC ，DE ＝2，∴EH ＝DE ·cos 45°＝2×22＝1，∴DH ＝1.又∵∠DCE ＝30°，∴HC ＝DHtan 30°＝3，CD ＝DHsin 30°＝2.∵∠AEB ＝45°，∠BAC ＝90°，BE ＝22，∴AB ＝AE ＝2， ∴AC ＝2＋1＋3＝3＋3，∴S 四边形ABCD ＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92. 方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．9．解：(1)将方程整理，得(c －a)x 2＋2bx ＋(a ＋c)＝0，则 Δ＝(2b)2－4(c －a)(a ＋c)＝4(b 2＋a 2－c 2)． ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b 2＋a 2＝c 2. ∴△ABC 为直角三角形．(2)由3c ＝a ＋3b ，得a ＝3c －3b.① 将①代入a 2＋b 2＝c 2，得(3c －3b)2＋b 2＝c 2. ∴4c 2－9bc ＋5b 2＝0，即(4c －5b)(c －b)＝0. 由①可知，b ≠c ，∴4c ＝5b.∴b ＝45c.②将②代入①，得a ＝35c.∴在Rt △ABC 中，sin A ＋sin B ＝a c ＋b c ＝35＋45＝75.点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a ，b ，c 的等式．从解题过程可以看出，求三角函数时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．阶段强化专训四 1．(5＋53)(第2题)2．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度即是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 公里，则CD ＝AD ＝x 公里．在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，由tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝xBD ，得BD＝xtan 60°＝33x 公里．又BC ＝4公里，所以33x ＋x ＝4，解得x ＝6－23.即这个标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离为(6－23)公里． 3．解：(1)由题意得，在Rt △ADC 中，AD ＝CD tan 30°＝2133＝213≈36.33(米)．在Rt △BDC 中，BD ＝CDtan 60°＝213＝73≈12.11(米)，所以AB ＝AD －BD ≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．(2)校车从A 到B 用时2秒，所以速度约为24.2÷2＝12.1(米/秒)，因为12.1米/秒43.56千米/时，大于40千米/时，所以这辆校车在AB 路段超速．4．解：∵∠CBE ＝45°，CE ⊥AE ，∴CE ＝BE. ∴CE ＝21米，∴AE ＝AB ＋BE ＝6＋21＝27(米)．在Rt △ADE 中，∵∠DAE ＝30°，∴DE ＝AE ×tan 30°＝27×33＝93(米)，∴CD ＝CE －DE ＝(21－93)米．即该屏幕上端与下端之间的距离CD 为(21－93)米．(第5题)5．解：延长AD ，BC 交于点E.在Rt△ABE中，由AB＝200 m，∠A＝60°，得BE＝AB·tan A＝2003(m)．AE＝ABcos 60°＝400 (m)．在Rt△CDE中，∵CD＝100 m，∠DEC＝90°－∠A＝30°，∴CE＝2CD＝200(m)，DE＝CDtan∠CED＝1003(m)，∴AD＝AE－DE＝400－1003≈227(m)，BC＝BE－CE＝2003－200≈146(m)．阶段强化专训五1．解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D.设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan 60°＝3x. 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝3x.∵BC＝1＋3，∴3x＋x＝1＋3，解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cos B＝BD AB，∴AB＝BDcos B＝1cos 60°＝2.2．解：延长BC ，AD ，相交于点E. ∵∠A ＝60°，∠B ＝90°，∴∠E ＝30°.在Rt △ABE 中，BE ＝ABtan E ＝2tan 30°＝23，在Rt △CDE 中，EC ＝2CD ＝2，∴DE ＝EC ·cos 30°＝2×32＝ 3.∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ABE －S Rt △ECD ＝12AB ·BE －12CD ·ED ＝12×2×23－12×1×3＝332.点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B ＝90°，∠A ＝60°，不难想到延长BC ，AD ，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．3．解：过点B 作BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E. ∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝DB.又∵∠ACD ＝∠BED ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ， ∴△ACD ≌△BED ，∴CD ＝DE ，AC ＝BE.在Rt △CBE 中，sin ∠BCE ＝BEBC ＝13，∴BC ＝3BE.∴CE ＝BC 2－BE 2＝22BE ，∴CD ＝12CE ＝2BE ＝2AC.∴tan A ＝CD AC ＝2ACAC＝2.方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键． 4．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，(第4题)∵AB ＝AC ＝5， ∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC. ∵∠BPC ＝12∠BAC ，∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3，∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.。

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