生物统计-回归与相关分析
生物统计-回归与相关PPT幻灯片
• 排除其它变量影响下的两变量间的相关分析，称为偏相关 分析（partial correlation analysis）。
偏相关系数
• 在其它变量都保持一定时，表示指定的两个变量之间的相 关密切程度的量值称为偏相关系数。
3
14.86 28.84 5.04 1.92
4
13.98 27.67 4.72 1.49
5
15.91 20.83 5.35 1.56
6
12.47Байду номын сангаас22.27
4.27
1.50
7
15.80 27.57
5.25
1.85
8
14.32 28.01
4.62
1.51
9
13.76 24.79
4.42
1.46
10
15.18 28.96
41
考试时间
1月15日
42
作业
• 某猪场20头育肥猪4个胴体性状的数据资料如下表，试利 用逐步回归方法建立瘦肉量y（kg）对眼肌面积（x1, cm2）、腿肉量（x2, kg）、腰肉量（x3, kg）的多元线性 回归方程。
序号
y
x1
x2
x3
1
15.02 23.73 5.49 1.21
2
12.62 22.34 4.32 1.35
• 逆矩阵的计算：
(1) 先输入原始矩阵A，例如A1:C3 (2) 然后选择一个mxm（例如A5:C7)的区域 (3) 输入”=minverse(A1:C3) (4) 按住CTRL+SHIFT别松手，再按回车键 (5) 逆矩阵就出来了 • Cii值即为逆矩阵中对角线上的值
卫生统计学— 相关与回归分析
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
合计
胸围X 72 68 78 66 70 65 74 64 69 71 65 60 70 75 69
1036
肺活量Y
X2
2ห้องสมุดไป่ตู้00
5184
2200
4624
2750
6084
1800
4356
2700
4900
2500
4225
2650
0.2301 0.2540 0.3211
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方法二: t检验（实际应用更普遍）
当H0成立时，统计量
r 0 tr Sr
服从于自由度为n-2的t分布
Sr为样本相关系
数r的标准误
并比较|tr|与临界值的大小
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线性相关分析注意事项
1、散点图辅助我们直观的审视数据有无线性 趋势
2、两变量皆随机变量，服从二元正态分布 3、其它种类的相关不能由线性相关系数准确
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相关系 数
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直线相关概念
将上述变量间具有密切关联而又不能用 函数关系精确表达的关系，称为相关关 系或统计关系。这种统计关系规律性的 研究是统计学中研究的主要方面，现代 统计中已形成两个重要分支：相关分析 和回归分析。
直线相关（linear correlation, simple correlation)
n-2
1 … 7 8 … 100
0.10 0.98769
0.5822 0.5494
0.1638
0.05 0.99692
0.6664 0.6319
0.1946
0.02
生物统计学-第七章-直线相关与回归分析
量
平行关系
两个以上变量之间共同 受到另外因素的影响
人的身高和体重之间的关系
兄弟身高之间的关系
为了确定相关变量之间的关系，首 先应该收集一些数据，这些数据应 该是成对的，然后在直角坐标系上 描述这些点，这一组点集称为散点 图。
散点图(scatter diagram)
为了研究父亲与成年儿子身高 之间的关系，卡尔.皮尔逊测 量了1078对父子的身高。把 1078对数字表示在坐标上，如 图。用水平轴X上的数代表父 亲身高，垂直轴Y上的数代表 儿子的身高，1078个点所形成 的图形是一个散点图。它的形
直线相关与回归分析直线相关与回归分析第七章平均数标准差方差分析多重比较集中点离散程度差异显著性一个变量产量施肥量播种密度品种pvrt气体压强长方形面积身高与胸围体重施肥量与产量溶液的浓度与od值人类的年龄与血压温度与幼虫孵化不完全确定的函数关系相关关系一个变量的变化受另一个变量或几个变量的制约因果关系平行关系两个以上变量之间共同受到另外因素的影响动物的生长速度受遗传营养等影响子女的身高受父母身高的影响人的身高和体重之间的关系兄弟身高之间的关系scatterdiagramscatterdiagram两个变量间关系的性质正向协同变化或负向协同变化和程度关系是否密切两个变量间关系的类型直线型或曲线型是否有异常观测值的干扰正向直线关系负向直线关系曲线关系散点图直观地定性地表示了两个变量之间的关系
状象一块橄榄状的云，中间的
点密集，边沿的点稀少，其主 要部分是一个椭圆。
散点图(scatter diagram)
两个变量间关系的性质（正向协同变化或 负向协同变化）和程度（关系是否密切） 两个变量间关系的类型（直线型或曲线型） 是否有异常观测值的干扰
4 3 2 1
生物统计6-直线回归和相关
直线回归和相关一、基本概念1、回归模型：x是固定的，实验时预先确定的，没有误差或误差很小；Y不仅随X的变化而变化，且有随机误差。
X叫自变数，Y叫依变数。
回归模型具有预测的特征。
如一代三化螟盛蛾期Y与春季气温的关系。
2、相关模型：X和Y是平行变化关系，皆具有随机误差，不能区分谁是自变数谁是依变数。
相关模型不具有预测性质。
例如不同大豆品种中籽粒内脂肪含量（X）和蛋白质含量（Y）的关系。
二、注意事项1、变数间是否存在回归和相关关系，必须由具体学科本身来决定，回归分析和相关分析只是作为一种工具。
不能风牛马不相及，胡乱联系：你的年龄（X，不断长大），近些年恐怖活动不断加剧（Y），认为你的长大与恐怖活动不断加剧呈正相关。
2、如果仅研究事物Y和另一事物X的关系，则要求其余事物尽可能严格保持一致。
如研究种植密度X和产量的关系，如果品种、播期、施肥不同，而这些又影响产量，则无法得出X和Y之间的正确关系。
3、为了提高回归和相关分析的准确性，双变数成对观察值应尽可能多一些，至少应有5对以上。
如农药生物测定求LC50一般浓度5－7个，太多工作量太大。
4、利用回归方程进行预测时，X的取值范围必须严格限制在建立回归方程时双变数资料X变数的取值范围内，不能外推。
例如：药剂浓度和害虫死亡率的关系。
（经验风险与结构风险）假定建立回归方程y＝a＋bx，则不能预测x＝109时的死亡率（硬要预测，死亡率会超过100％，因此是不可能的）。
三、直线回归方程的建立y a bx=+ y是和x的量相对应的依变数Y的点估计值。
依最小二乘法，当2()Q y y =-∑最小时可得： 2221()()()()/1()()xa y bxxy x y x x y y n b SP SS x x x x n =----===--∑∑∑∑∑∑∑ SP ：乘积和，即X 的离均差和Y 的离均差的乘积和，即()()x x y y --∑x SS ：x 的离均差平方和，即2()x x -∑例：江苏武进测定1956-1964年3月下旬至4月中旬旬平均温度累计值(x ，旬·度)和一代三化螟盛发期(y ，以5月10日为0)的关系如下，试建立回归方程。
生物统计学课件 7、回归与相关分析
第一节 直线回归
㈡数据整理
由原始数据算出一级数据6个： ΣX＝1182 ΣY＝32650 ΣXY＝3252610 320
ΣX 2＝118112 ΣY 2＝896696700 n＝12
Байду номын сангаас
再由一级数据算出二级数据5个：
SSX＝ ΣX 2 － (ΣX) 2 /n＝1685.00 SSY＝ ΣY 2 － (ΣY ) 2 /n ＝831491.67 SP＝ ΣXY － ΣX ΣY /n ＝36585.00
280
80
X＝ΣX/n ＝98.5 Ӯ ＝ΣY/n ＝2720.8333
㈢计算三级数据
b ＝ SP/ SSX ＝21.7122 ＝36585÷1685
a＝ Ӯ －bX＝582.1816 ＝2720.8333－ 21.7122×98.5 得所求直线回归方程为：
y ＝ 582.1816 + 21.7122 x
第一节 直线回归
二、建立直线回归方程
340
例7.1 在四川白鹅的生产性能研究中， 得到如下一组n = 12（只）关于雏鹅重（g） 与70日龄重（10g）的关系的数据，其结 300 果如下表，试予分析。
解 ㈠描散点图
本例已知雏鹅70日龄重随雏鹅重的变 260 化而变化，且不可逆；又据散点图反映的 趋势来看，在80—120g的重量范围， 70日 龄重随雏鹅重呈上升的线性变化关系。
程 y ＝ 582.1816 + 21.7122 x可用于预测。
而是多元回归。
第二节 直线相关
一、相关的含义
二、相关系数
如果两个变量X和Y，总是X和Y 相互 前已述及，具有线性回归关系的
制约、平行变化，则称X和Y为相关关系。 双变量中，Y变量的总变异量分解为：
生物统计附试验设计第八章直线回归与相关分析ppt课件
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
生物统计学：第七章 直线回归与相关分析
特别要指出的是：利用直线回归方程进行预 测或控制时，一般只适用于原来研究的范围，不 能随意把范围扩大，因为在研究的范围内两变量 是直线关系，这并不能保证在这研究范围之外仍 然是直线关系。若需要扩大预测和控制范围，则 要有充分的理论依据或进一步的实验依据。利用 直线回归方程进行预测或控制，一般只能内插， 不要轻易外延。
（三）、相关系数的显著性检验
统计学家已根据相关系数r显著性t检验法计算出了 临界r值并列出了表格。 所以可以直接采用查表法对相 关系数r进行显著性检验。
先根据自由度 n-2 查临界 r 值 ( 附表8 )， 得 r0.05(n2) ，r0.01(n2)。若|r|＜ r0.05(n2)，P＞0.05，则相 关系数r不显著，在r的右上方标记“ns”；若 r0.05(n2) ≤|r|＜ r0.01(n2) ，0.01＜P≤0.05，则相关系数 r 显 著，在r的右上方标记“*”；若|r|≥ r0.01(n2) ，P ≤ 0.01， 则相关系数 r 极显著，在 r 的右上方标记 “**”。
第七章 直线回归与相关分析
在试验研究中常常要研究两个变量间的关系。 如：人的身高与体重、作物种植密度与产量、食品价格与需
求量的关系等。 两个关系 依存关系：依变量Y随自变量X变化而变化。
—— 回归分析 互依关系：依变量Y与自变量X间的彼此关系.
—— 相关分析
一 直线回归
（一）、直线回归方程的建立 对于两个相关变量x和y，如果通过试验或调查 获得它们的n对观测值： （x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn） 为了直观地看出x和y间的变化趋势，可将每一 对观测值在平面直角坐标系描点，作出散点图。
y)2 y)2
SPxy 2 SSxSS y
SPxy SS x
生物统计学第7章 回归与相关
检验统计量为
t
b1 b2 sb1 b2
~ t(n1 n2
4)
s b1b2
s2 y/x
s2 y/x
SSx1 SSx2
s2 y/x
(n1
Q1 Q2 2) (n2
2)
t t 当
α(n1n2 4 ) 时，接受HA，即两样本所属总体的回归系数不相等
样本相关系数：从随机样本的数据计算得来的相关系数，用符号r代表
对某一定的总体来说， ρ是一个常量。
从同一总体中随机抽取的各样本的r值是随机变动的，不是一个常量，且可 以通过实验或测量的样本数据来计算它。
将SP除以n-1，消除了样本容量 的影响，得样本的协方差
(xi x)( yi y)
MP i n 1
i
U
SS y
Q
SP2 SSx
bSP b2SSx
F
MSU MSQ
~
F(dfU，dfQ )
例7.5 用F测验对例7.2所求回归方程作回归显著性测验。
F
MSU MSQ
b2SSx Q (n 2)
b2
s2 y/x
SSx
( b )2 sb
t2
7.2.3.2 两个回归系数相比较的显著性检验
由两个样本的回归系数b1，b2，测验其所属总体的回归系数β1、β2是否相等
7.1.2 回归的概念
两个相关变量之间，有时表现为一个变量依赖于另一个变量的从属关系。 对于这种情况的两个变量可以区分为自变量（记为X）和依变量（记为Y）。
回归关系：一般自变量X是固定的（试验时预先确定的），并且没有试验 误差或试验误差很小，依变量Y则是随自变量X的变化而变化，且受试验误 差的影响较大。这种关系称为回归关系，
SPSS17.0在生物统计学中的应用-实验五、方差分析---六、简单相关与回归分析
SPSS17.0在生物统计学中的应用-实验五、方差分析---六、简单相关与回归分析SPSS在生物统计学中的应用——实验指导手册实验五：方差分析一、实验目标与要求1．帮助学生深入了解方差及方差分析的基本概念，掌握方差分析的基本思想和原理2．掌握方差分析的过程。
3．增强学生的实践能力，使学生能够利用SPSS统计软件，熟练进行单因素方差分析、两因素方差分析等操作，激发学生的学习兴趣，增强自我学习和研究的能力。
二、实验原理在现实的生产和经营管理过程中，影响产品质量、数量或销量的因素往往很多。
例如，农作物的产量受作物的品种、施肥的多少及种类等的影响；某种商品的销量受商品价格、质量、广告等的影响。
为此引入方差分析的方法。
方差分析也是一种假设检验，它是对全部样本观测值的变动进行分解，将某种控制因素下各组样本观测值之间可能存在的由该因素导致的系统性误差与随即误差加以比较，据以推断各组样本之间是否存在显著差异。
若存在♦步骤1：选择菜单【分析】→【比较均值】→【单因素方差分析】，依次将观测变量销量移入因变量列表框，将因素变量地区移入因子列表框。
图 5.1 One-Way ANOV A 对话框♦单击两两比较按钮，如图5.2，该对话框用于进行多重比较检验，即各因素水平下观测变量均值的两两比较。
方差分析的原假设是各个因素水平下的观测变量均值都相等，备择假设是各均值不完全相等。
假如一次方差分析的结果是拒绝原假设，我们只能判断各观测变量均值不完全相等，却不能得出各均值完全不相等的结论。
各因素水平下观测变量均值的更为细致的比较就需要用多重比较检验。
图 5.2 两两比较对话框假定方差齐性选项栏中给出了在观测变量满足不同因素水平下的方差齐性条件下的多种检验方法。
✧LSD。
使用t 检验执行组均值之间的所有成对比较。
对多个比较的误差率不做调整。
✧Bonferroni。
使用t 检验在组均值之间执行成对比较，但通过将每次检验的错误率设置为实验性质的错误率除以检验总数来控制总体误差率。
生物统计学VIII直线回归与相关分析
统计上，用回归（regression）与相关（correlation）的分析方 法探讨多变量间的变化规律。
本章摘要
第一节：回归和相关的概念
第二节：直线回归分析
第三节：直线相关
生物统计学（VIII） 第七章：直线回归与相关分析
西安交通大学数学与统计学院
May, 2018
本章摘要
第一节：回归和节：直线相关
回归与相关的方法探讨：两个或多个变量之间的关系 直线回归与相关是最基本和简单的
ˆ y 为与 x 值相对应的依变量 y 的总体平均数的点估计值； a 为当 x = 0 时的 ˆ y 值，即直线在 y 轴上的截距 （intercept）——回归截距 (regression intercept) b 为回归直线的斜率（slope） ，称为回归系数（regression coefficient）: 自变量改变一个单位，依变量平均增加或减少 的单位数。
一元回归：直线回归（linear regression）与曲线回归（curve regression）
研究 “多因一果”，即多个自变量与一个因变量的回归分析称 为多元回归分析（multiple factor regression analysis）
多元回归：多元线性回归（multiple linear regression）与多元 非线性回归（multiple nonlinear regression）
本章摘要
第一节：回归和相关的概念
第二节：直线回归分析
第三节：直线相关
SPSS17.0在生物统计学中的应用-实验五、方差分析---六、简单相关及回归分析
SPSS在生物统计学中的应用——实验指导手册实验五：方差分析一、实验目标与要求1．帮助学生深入了解方差及方差分析的基本概念，掌握方差分析的基本思想和原理2．掌握方差分析的过程。
3．增强学生的实践能力，使学生能够利用SPSS统计软件，熟练进行单因素方差分析、两因素方差分析等操作，激发学生的学习兴趣，增强自我学习和研究的能力。
二、实验原理在现实的生产和经营管理过程中，影响产品质量、数量或销量的因素往往很多。
例如，农作物的产量受作物的品种、施肥的多少及种类等的影响；某种商品的销量受商品价格、质量、广告等的影响。
为此引入方差分析的方法。
方差分析也是一种假设检验，它是对全部样本观测值的变动进行分解，将某种控制因素下各组样本观测值之间可能存在的由该因素导致的系统性误差与随即误差加以比较，据以推断各组样本之间是否存在显著差异。
若存在显著差异，则说明该因素对各总体的影响是显著的。
方差分析有3个基本的概念：观测变量、因素和水平。
●观测变量是进行方差分析所研究的对象；●因素是影响观测变量变化的客观或人为条件；●因素的不同类别或不通取值则称为因素的不同水平。
在上面的例子中，农作物的产量和商品的销量就是观测变量，作物的品种、施肥种类、商品价格、广告等就是因素。
在方差分析中，因素常常是某一个或多个离散型的分类变量。
⏹根据观测变量的个数，可将方差分析分为单变量方差分析和多变量方差分析；⏹根据因素个数，可分为单因素方差分析和多因素方差分析。
在SPSS中，有One－way ANOV A(单变量－单因素方差分析)、GLM Univariate（单变量多因素方差分析）；GLM Multivariate （多变量多因素方差分析），不同的方差分析方法适用于不同的实际情况。
本节仅练习最为常用的单变量方差分析。
三、实验演示内容与步骤㈠单变量－单因素方差分析单因素方差分析也称一维方差分析，对两组以上的均值加以比较。
检验由单一因素影响的一个分析变量由因素各水平分组的均值之间的差异是否有统计意义。
生物统计上机操作第六讲相关分析与回归分析
研究生《生物统计学》课程第六讲相关分析与回归分析主要内容：一、线性相关分析1、两变量相关分析2、多变量相关分析二、回归分析1、一元线性回归分析2、多元线性回归分析3、曲线回归分析一、线性相关分析：用于研究变量之间密切程度的统计方法使用SPSS中Correlate模块相关系数是以数值的方式精确地反映两个变量之间线性关系的强弱程度，利用相关系数进行变量间线性关系的分析，即相关分析。
包括两个步骤：①计算样本的相关系数r；②对两样本来自的总体是否存在显著的线性关系进行推断。
Pearson简单相关系数：计算连续变量或等间距测度的变量之间的相关系数（系统默认）；Kendall τ相关系数：等级相关系数，只能在两变量均属于有序分类时使用；Spearman等级相关系数：度量定序型变量间的线性相关关系，非参数相关分析。
（一）两变量相关分析1、案例分析：有人研究黏虫孵化历期平均温度（x, ℃）与历期天数（y, d）之间的关系，求出平均温度与历期天数的线性相关系数x，平均温度（℃）y, 历期天数（d）（1） 建立数据文件，在Variable Vew 中定义变量“平均温度”、“历期天数”，小数位数均为1，输入数据；（2） 相关分析：[Analyze]=>[Correlate]=>[Bivariate]（两变量相关分析），打开[BivariateCorrelation]主对话，将“平均温度”、“历期天数”引进[Variables]（变量）框； （3） 在[Correlation Coefficients]复选框中选择“Pearson ”（系统默认），选中[Flagsignificant correlations]，将对显著的相关系数加“*”标志（若为1个星号*，表示P<，差异显著；若为2个星号**，表示P<，差异极显著）；（4） 单击[Options]进入“选项”对话框，选择[Means and standard deviations]计算各变量的平均值与标准差，[Continue]返回； （5） 单击[OK]，运行相关分析。
生物统计学课件回归与相关分析
影响因素分析
市场预测
多元线性回归可用于分析多个自变量 对因变量的影响，以及各因素之间的 交互作用。
在市场营销中，多元线性回归可用于 预测市场需求和销售量，基于产品特 性、价格、竞争对手等多个因素。
社会经济因素分析
在经济、社会学等领域，多元线性回 归可用于研究多个因素对某一结果的 影响，如收入、教育程度等对个人幸 福感的影响。
线性回归模型
定义
线性回归模型是一种最简单的回 归分析形式，其中因变量和自变 量之间的关系可以用一条直线来
描述。
公式
(Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots + beta_pX_p + varepsilon)
解释
(Y)是因变量，(beta_0, beta_1, ldots, beta_p) 是模型的参数， (X_1, X_2, ldots, X_p) 是自变量， (varepsilon) 是误差项。
R语言介绍与操作
01
R语言是一种开源的统计计算语言 ，具有强大的数据处理和可视化 能力。
02
操作步骤：安装并打开R语言环境 ，导入数据，使用适当的函数进 行回归或相关分析，可视化结果 ，解读分析结果。
Python数据分析库介绍与操作
Python是一种通用编程语言，常用于数据分析。
操作步骤：安装Python和相关的数据分析库（如NumPy、Pandas和SciPy）， 导入数据，使用库函数进行回归或相关分析，可视化结果，解读分析结果。
解释
(Y)是因变量，(beta_0, beta_1, ldots, beta_{np}) 是模型的参数，(X_{ij}) 是自变量， (varepsilon) 是误差项。
生物统计学课件7、回归与相关分析
VS
最大似然法
最大似然法是一种基于概率的参数估计方 法，通过最大化似然函数来估计参数。这 种方法在某些情况下比最小二乘法更有效 ，尤其是在存在离群值或异常值的情况下 。
多元回归模型的假设检验
线性假设检验
线性假设检验是检验自变量与因变量之间是 否存在线性关系。如果线性假设不成立，可 能需要考虑其他形式的回归模型。
02
参数检验、非参数检验。
常用的假设检验方法
03
t检验、F检验、卡方检验等。
线性回归模型的预测与解释
1 2
预测
利用回归模型预测因变量的取值。
解释
通过回归系数解释自变量对因变量的影响程度和 方向。
3
实际应用
在生物医学研究中，线性回归分析常用于探索变 量之间的关系，如疾病与基因、环境因素之间的 关系等。
SUMMAR Y
01
回归与相关分析概述
定义与概念
回归分析
研究因变量与一个或多个自变量之间 关系的统计方法，通过建立数学模型 来描述变量之间的依赖关系。
相关分析
研究两个或多个变量之间关系的统计 方法，描述变量之间的关联程度和方 向。
回归与相关分析的分类
线性回归分析
因变量与自变量之间呈现线性关系的回归分 析。
共线性诊断
共线性是指自变量之间存在高度相关性的情 况。共线性可能导致回归系数不稳定，影响 模型的预测精度。因此，需要进行共线性诊 断，并采取措施缓解共线性问题。
多元回归模型的预测与解释
预测
多元回归模型可以用于预测因变量的取值。根据建立的回归方程和给定的自变量值，可 以计算出因变量的预测值。
解释
多元回归模型可以用于解释自变量对因变量的影响程度。通过分析回归系数的大小和符 号，可以了解各个自变量对因变量的贡献程度和影响方向。
生物统计-简单相关与回归分析
5/1/2013
1
变量间的关系有两类：
d 一类是变量间存在着完全确定性的关系，可以 re 用精确的数学表达式来表示。 te 如长方形的面积（S）与长（a）和宽（b）的关 is 系可以表达为：S=ab。它们之间的关系是确定性 g 的，只要知道了其中两个变量的值就可以精确地 Re 计算出另一个变量的值，这类变量间的关系称为 Un 函数关系。
=0
5/1/2013
27
UnRegisteP(xr,ye) d
5/1/2013
28
å SSR = ( yˆ - y)2
ed = å(a + bx - y)2 ter = å(y - bx + bx - y)2 is = b2SSx eg = bSPxy R SSe = SST - SSR Un = SST - b2SSx
5/1/2013
2
另一类是变量间不存在完全的确定性关系，不 能用精确的数学公式来表示。
d 如黄牛的体长与体重的关系；仔猪初生重与断 re 奶重的关系；猪瘦肉率与背膘厚度、眼肌面积、 te 胴体长等的关系等等，这些变量间都存在着十 is 分密切的关系，但不能由一个或几个变量的值 eg 精确地求出另一个变量的值。像这样一类关系 R 在生物界中是大量存在的，统计学中把这些变 n 量间的关系称为相关关系，把存在相关关系的 U 变量称为相关变量。
34
8.4.3 回归方程的拟合度
决定系数：
red d = SSR te SS y gis = bSPxy e SS y nR = (SPxy )2 USS xSS y
= r2
5/1/2013
35
8.5 回归方程应用
8.5.1 对y的期望值的估计
生物统计学：第9章 简单相关与回归
16.231
可见，一元线性相关系数的F检验法与一 元线性回归方程的方差分析检验法是一致 的。
（二）t 检验
样本相关系数的标准误为：
Sr
1 r2 n2
r r
t
~ t(n 2)
Sr
1 r2
n2
t
0.818 0.203
4.028
F
93.4
1）两变量关 系是否密切；
2）两变量的 关系是线性 的，还是非 线性的；
3）是否有偏 离过大点；
4）是否存在 其他规律
5.1
94.4
9.2.1 一元正态线性回归模型
• xi和各xi上Y的数学期望μy·x可构成一条直线： μY=α＋βX
• 对于变量X的每一个值，都有一个Y的分布，其平 均数是上式所示的线性函数。对于随机变量Y： Y=α＋βX＋ε
i 1
n
11.812
5.2 4.9
99.3 93.4
b
SPXY SS X
11.812 1.536
7.69
5.1
94.4
a y bx 93.56 7.69 4.95 55.26
由此，得出回归方程 Yˆ 55.26 7.69X
Yˆ 55.26 7.69X
回归系数b的 含义是：当自变 量X每变动一个 单位，因变量Y 平 均 变 动 7.69 个 单位。
i 1
最小时的a和b，这种方法称为最小二乘法。
n
n
L yi yˆi 2 yi a bxi 2
i 1
i 1
求 使L最 小 时 的a和b
L
a L
b
0 0
n
i 1 n
2 yi
a
bxi
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t2=-2.8942
t3=-0.7491 查t值表，t0.05(4)=2.776, t0.01(4)=4.604
所以，x1的偏回归系数极显著
x2的偏回归系数显著 x3的偏回归系数不显著
逐步回归
最优多元线性回归方程
• 利用多元回归方法可以方便地获得多元回归方程。但是， 是否是最优的？未知 • 最优多元线性回归方程：回归方程中每一个自变量的偏回 归系数均达到显著水平。
2
2
• 决定系数r2
相关系数的假设检验
• t检验 t=
r n2 1 r
逐步回归分析方法（2）
• 方法2： 从一元回归开始，按各自变量对y作用的大小，依次每步 仅选入一个对y作用显著的自变量，且每引入一个自变量 后，对在此之前已引入的自变量进行重新检验，有不显著 者即舍去，直到选入的自变量都显著，而未被选入的自变 量都不显著为止。
例题3
• • • 同前 采用逐个淘汰不显著自变量的回归方法 根据前面偏回归分析结果，x3的偏回归系数不显著，所 以先淘汰x3
获得回归方程、相关系数R2和显著性检验结果
（Excel文件）
曲线回归
曲线回归
• 通过变量变换，把非线性方程线性化，然后求线性回归方 程。 • 常见的一些非线性函数及其线性化方法，其中对数变换最 常用。 （1）指数函数 y=a u=lny
e
bx
（4）双曲线 1/y=a+b/x u=1/y v=1/x
(1) 舍弃x3，求y与x1和x2的多元回归方程，看看方程是否 显著
(2) 检验x1和x2的偏回归系数是否显著。如均显著，分析结 束。上述所得方程即为最优回归方程。
(Excel文件）
直线相关
相关系数和决定系数
• 样本相关系数r r=
( x x)( y y) ( x x) ( y y)
(1) 先输入原始矩阵A，例如A1:C3 (2) 然后选择一个mxm（例如A5:C7)的区域
(3) 输入”=minverse(A1:C3)
(4) 按住CTRL+SHIFT别松手，再按回车键 (5) 逆矩阵就出来了 • Cii值即为逆矩阵中对角线上的值
偏回归系数的假设检验(4)
• 例子：同前（例3） • 计算t值 t1=5.2378
（2）对数函数 y=a+blgx
v=lgx （3）幂函数 y=a u=lgy
（5）S型曲线 y=
u=1/y v=
1 a be
x
x
e
x
b
Excel曲线回归的方法
• 作散点图 判断大致曲线类型 • 添加趋势线，选择多种曲线回归类型，获得曲线回归方程、 相关系数R2和回归直线图。 • 除Excel中已有的对数、指数、幂函数和多项式回归方程外， 还可试用其它的曲线回归方程，如双曲线。
逐步回归分析方法（1）
• 利用逐步回归（stepwise regression）分析方法，可获得最 优回归方程。 • 有2种方法： （1）从m元回归分析开始，每步舍去一个不显著且偏回归 平方和为最小的自变量，在每次舍去一个偏回归不显著且 平方和最小的自变量后，需对回归方程和各自变量重新进 行假设检验。如此反复，直到回归方程所包含的自变量全 部为显著为止。此时所建立的回归方程即为最优回归方程。
Excel多元回归的方法
• 选择回归 获得回归方程、相关系数R2和显著性检验结果
y=a+b1x1+b2x2+…bixi+…+bmxm
（Exc56-1963年三化螟越冬虫口密度（头/ 亩，取其对数为x1)、3-4月日平均降水量（x2, mm）、降 水天数（x3）以及第一代幼虫发生量（头/亩，取其对数 为y)，数据见Excel文件，求多元回归方程。 （Excel文件）
• 平行关系
两个以上变量之间共同受到另外因素的影响，如人的身高与体重之 间的关系。 一般用相关分析来研究。变量x和y无自变量和因变量之分，且都有 随机误差。
直线回归
Excel直线回归的方法之一
• 作散点图 判断是否有线性关系 • 添加趋势线，获得回归方程
获得回归方程、相关系数R2和回归直线图。
• 显著性检验 F=R2(m-2)/(1-R2) m为观察数据的数量（对）
• Cii通过计算矩阵A的逆矩阵获得
SS1 SP12 .. ..
SP12 .. .. SP1m SS 2 .. .. .. .. SP2m .. .. SSm
SP1m SP2m .. ..
SSi=
Xi
2
SPij=
XiXj
Xi=xi-mean
Yi=yi-mean
偏回归系数的假设检验(3)
• 逆矩阵的计算：
查表F(1, m-2)，如计算的F值大于查表的F值，则回归方程 是显著的。
例题1
• 研究腐蚀时间与腐蚀深度两个变量之间的关系，可把腐蚀 时间作为自变量x，把腐蚀深度作为因变量y。试求x和y之 间的线性关系。 数据和分析均见Excel表
Excel直线回归的方法之二
• 作散点图 判断是否有线性关系 • 选择回归
偏回归系数的假设检验(1)
• t检验或F检验 • t检验 t=bi/sbi df=n-m-1
偏回归系数bi的标准误为：
sbi=sy/12…m sqrt(cii) sy/12…m=sqrt(Qy/12…m)/(n-m-1)) Qy/12…m为离回归平方和，通过Excel多元回归可获得
偏回归系数的假设检验(2)
• 比较各种曲线回归方程，选择R值最大的方程。
• 显著性检验 同直线回归
例题2
• 某炼钢厂出钢用的钢包在使用过程中，其容积不断增大。 钢包的容积(y)与相应的使用次数(x)见Excel文件，求x、y 之间的关系式。 （Excel文件）
多元回归
多元回归
• 一个因变量y，2个或以上自变量x1, x2,…
生物统计学课件
回归分析与相关分析
主要内容
• 回归和相关的概念 • 直线回归 • 曲线回归
• 多元回归
• 逐步回归 • 直线相关 • 多元相关
回归和相关的概念
变量间的协变关系及回归和相关的概念
• 因果关系
一个变量的变化受另一个变量或几个变量的制约，如微生物的繁殖 速度受温度、湿度和光照等因素的影响。 一般用回归分析来研究。表示原因的变量称为自变量(x)，表示结果 的变量成为因变量(y)。自变量是固定的，没有随机误差。