2012年全国高中数学联赛(河北)赛区竞赛试卷

2012年河北省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知53[
,]42
ππ
θ∈
D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ
解答：因为53[
,]42
ππ
θ∈
cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ
=。

正确答案为D 。

2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ） A. 2
B. C. 2±
D. ±
42a =⇒=±。

正确答案为C 。

4. 过椭圆2
212
x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ C ）
A.
B.
C.
D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得
21243400,3x x x x AB -=⇒==
⇒==。

正确答案为C 。

5. 函数150
()51
x
x
x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ A ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。

正确答案为A 。

6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
2
2
1
2
2
3
1
A. 4+
52π B. 4+32π C. 4+2
π D. 4+π 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2
π
），所以
该几何体的体积为5221342
2
π
π
π⨯⨯+-
=+。

正确答案为A 。

7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),
,(,),
;n n x y x y x y 若程序运行中
输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ B ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 答案 经计算32x =。

正确答案为 B 。

8. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点
(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ A ）
A. 4
B.8
C. 16
D. 32
解答：平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有
22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤
由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。

正确答案为 A 。

9. 已知函数()sin(2)6f x x m π
=--在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个零点，则m 的取值范围为（ C ）
A. 1, 12⎛⎫
⎪⎝⎭
B 1, 12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 1, 12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D. 1, 12⎛⎤
⎥⎝⎦
解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π
=-
与直线y m =在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个交点，所以m 的取值范围为1, 12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭。

正确答案为C 。

10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ C ） A. 3x >或2x < B. 2x >或1x < C. 3x >或1x < D. 13x <<
解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2()(2)(44)f a x a x x =-+-+ 由22(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>⇒<或3x >。

正确答案为C 。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，
共49分）
11. 函数()2sin 2
x
f x x =-的最小正周期为______4π____。

解答：最小正周期为4π。

12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=____6_______.
解答：由1513072S a d =⇒+=，而181513(7)6a a a a d ++=+=。

13. 向量(1,sin )a θ=，(cos b θ=，R θ∈，则a b -的取值范围为 [1，3] 。

解答：(1cos a b -=-
，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。

14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ∆是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点），D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。

则直线,AP PE 的夹角为_90_。

解答：因为平面AB C ⊥平面11BCC B ，A D ⊥BC ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以 A D ⊥PE ，又PE ⊥PD ，PE ⊥平面APD ，所以PE ⊥PD 。

即夹角为90。

15．设y x ,为实数，则
=+=+)(max 2
210452
2y x x
y x _____4________。

解答：222254104105002x y x y x x x +=⇒=-≥⇒≤≤
22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-⇒+≤
16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其
中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件
的关灯方法共有___300
1710C _______种。

（用组合数符号表示）
解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有3001710C 种关灯方法。

17. 设z y x ,,为整数，且3,3333=++=++z y x z y x ，则=++222z y x _3或57_。

解答：将3z x y =--代入3333=++z y x 得到
8
3()9xy x y x y
=+-+
+，因为,x y 都是整数，所以 1428
,,,,25116x y x y x y x y xy xy xy xy +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨
⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩
前两个方程组无解；后两个方程组解得1;4,5x y z x y z ======-。

所以=++222z y x 3或57。

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。

解答：当20,(1)1,x y x ≤=--+
当20,(1)1,x y x >=-- ---------------------------------- 5分 由此可知 max 0y =。

---------------------------------- 10分 当2min 12,2a y a a ≤≤=-；
当min 11,1a y ≤<=-；
当2min 12a y a a <=-+。

---------------------------------- 17分
19. 给定两个数列{}n x ，{}n y 满足100==y x ，)1( 21
1
≥+=
--n x x x n n n ，
)1( 211
21
≥+=--n y y y n n n 。

证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得
n j n x y =。

解答：由已知得到：
1112111112(1){1}n n n n n
x x x x x --=+⇒+=+⇒+为等比数列，首项为2，公比为2， 所以
11
11
1221
n n n n x x +++=⇒=-。

----------------- 5分
又由已知，222
11111(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=⇒=⇒+=++
由011121212221
n n
n y n y y +=⇒+=⇒=
-， 所以取21n n
j =-即可。

------------------- 17分
20. 已知椭圆22
22154
x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为
1F 右侧一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。

若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。

解答：125
(3,0),3
F x -=-
左准线方程为;AB 方程为(3)()y k x k =+为斜率。

设1122(,),(,)A x y B x y ，由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=116
25)
3(2
2y x x k y 2222(1625)1502254000
k x k x k ⇒+++
-=得2222
12121212222
150225400256,(3)(3)162516251625k k k x x x x y y k x x k k k -+=-=-⇒=++=-+++
----------------------10分
设342525(,),(,)33M y N y -
-。

由M 、A 、D 共线123412(325)(325),3()3()
a y a y y y a x a x ++==--同理。

又
131411111616
(,),(,),033
F M y F N y F M F N F M F N =-
=-⊥⇒∙=由已知得，得
212343412325)256,99()()
a y y y y y y a x a x +=-=--（而，即222561625k k -
∙+2
12325)9()()a a x a x +--（=256,9-整理得 2
2
(1)(16400)05,3,5k a a a a +-=⇒=±>-=又所以。

--------------17分
四、附加题（本大题共2 小题，每小题25 分，共计 50 分）
21. 在锐角三角形ABC 中，3
π
=∠A ，设在其内部同时满足PB PA ≤和PC PA ≤的
点P 的全体形成的区域G 的面积为三角形ABC 面积的3
1。

证明三角形ABC 为等
A
边三角形。

解答：做ABC ∆的外接圆O ，做,OE AB E ⊥于
,OF AC F ⊥于,OM BC ⊥于M 则G 为四边形AEOF 。

又
1
,2223ABC AEO AOF AOB AOC AEOF AEOF S S S S S S S ∆∆∆∆∆==+=+四边形四边形
所以1
3
OBC ABC S S ∆∆=。

--------------------------10分
1
120,302BOC OBC ∠=∠=∆由已知则,则OM=R(R 为ABC 外接圆半径)
3
,2
AD BC D AD AO OM R ⊥≥+=作于则
13322
ABC OBC R
S BC S ∆∆≥⨯=，等号成立当且仅当A 、O 、M 共线，即ABC ∆为等边三角形。

--------------------------25分
22. 设+∈R c b a ,,，且3=++c b a 。

求证：
2
3
222≥+++++++++++a c a c c b c b b a b a ，
并指明等号成立的条件。

证明：由柯西不等式
2
2111
()n
i n
i
i n
i i
i
i a a b b
===≥∑∑∑ 得到
a c a c c
b
c b b a b a +++++++++++222≥
（1） --------------------10分
（1）式右边的分子=2()a b c +++
=22())2()2(2)a b c a b c b b ac ac +++≥++++++
22()2(3()a b c b a c a b c ≥+++=+++
3(3)a b c =+++。

--------------------------20分
等号成立条件是1a b c ===。

结论成立。

--------------------------25分。