高一数学三角函数图象

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第1课时三角函数的图象和性质课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

5. 函数 f(x)＝4sinπ3－2x的单调减区间是______－__kπ_－__1_π2_，__－__k_π_＋__51_π2__(k_∈__Z_)_____．【解析】令 t＝π3－2x，它为减函数．当 y＝sint 单调递增时，t∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ， k∈Z，所以令－π2＋2kπ≤π3－2x≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－1π2－kπ≤x≤51π2－kπ，k∈Z，故原函数的单调减区间为－1π2－kπ，51π2－kπ(k∈Z)．
(多选)对于函数 f(x)＝12(sin x＋cos x)－12|sin x－cos x|，下列说法中正确的是 ( BD )
A. f(x)的值域为[－1,1] B. 当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值 C. 函数 f(x)的最小正周期是 π D. 当且仅当 x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0
【解析】对于函数 f(x)＝sin6x＋π4，令 x＝－2π4，可得 f(x)＝0，故函数 f(x)的图象关于点－2π4，0对称，故 A 正确；令 x＝－π8，可得 f(x)＝－1，是最小值，故函数 f(x)的图象关于直线 x＝－π8对称，故 B 正确；将函数 f(x)＝sin6x＋π4的图象沿 x 轴向右平移2π4个单位长度，可得函数 y＝sin6x－6·2π4＋π4＝sin 6x 的图象，故 C 正确；当 x∈2π4，72π4时， 6x＋π4∈π2，2π，此时 f(x)不单调，故 D 错误．
3. (多选)下列函数中，最小正周期为 π 的有( ABD )
A. y＝sin2x＋π2 C. y＝tan2x
B. y＝cos2x＋π2 D. y＝|sinx＋cosx|
【解析】由于函数 y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为 π，故 A 正确；由于函数

高一数学《三角函数图像》PPT课件

教法综述----启发式＋数形结合
一、说教材
二、说教法
理论依据-----两个原则教学手段-----多媒体（Flash MX 2004)
教学要求-----（7个要点）
三、说学法
有意义学习
①从“数学学习论”的“认知论”的观
点分析同化与顺应
② 从数学知识的特点分析
概念的形成
③ 从数学学习的一般方法分析
函数 y A sin(x ) 的图象（1）
主要内容简介
一、教学目的（①---②---③---）二、重点（①---②---）三、难点四、教学关键（①--②--）五、编者意图（①--②--③--④--）六、教材内涵（①--②--③--）七、本节---地位和作用----联系
㈦本节在教材中所处的地位和作用以及前后知识点之间的联系
㈠教学目的
① 会用“五点法”作出函数Y=Asinx 和 Y=sinωx 的简图 ② 掌握由y=sinx 图象得到Y=Asinx 及 Y=sinωx 的图象的变换方法 ③ 渗透“数形结合”和“化归”思想
教学目的的制定是教材本身所决定的；是符合学生的认知特点和年龄特征的。
②精心设计情景，及时引导、启发，归纳总结
五、说课堂教学评价
简述“课堂教学评价”的意义简述“课堂教学评价”的主要内容简述“课堂教学评价”的基本方法简述本节课的自我教学评价的具体方法和主要结果
详细内容介绍
一、说教材
㈠教学目的：
㈡重点：㈢难点：
㈣教学关键：
㈤编者意图：㈥教材内涵：
② 数学能力的培养和发展：
本节课通过让学生观察图象主要培养学
生的观察能力；通过启发、总结归纳出

高中数学第五章三角函数 5.2.1 三角函数的概念(二)课件 a高一第一册数学课件

一或第二象限角.
答案：一或二
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第三十一页，共三十九页。
【补偿训练】若tan x<0，且sin x-cos x<0，则角x的终边在
()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三(dìsān)象限
D.第四象限
【解析】选D.因为tan x<0，所以角x的终边在第二、四象限，又sin x-cos x
(1)已知α是三角形的内角，则必有cos α>0. ( )
(2)终边相同的角的同一三角函数值相等. ( )
(3)若sin α>0，则α一定在第一(dìyī)或第二象限.
()
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2.若sin θ·cos θ>0，则角θ在 ( )
A.第一或第四象限
B.第一或第三象限
C.第一或第二象限
【典例】1.tan
A. 3
B.
2.求值：
的(－值2为3 ) ( 6 3 C.
3
)
D3.1 2
s in 7 c o s (－ 2 3 ) ta n (－ 1 5 )c o s1 3 .
【思3 路导引】6 1.由
4 3 ，所以用公式一求值.
234
2.用公式一化简后求值. 6
6
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【解题策略】
利用(lìyòng)公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ+α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z. (2)转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值. (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
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5-4-1正弦函数、余弦函数的图象课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3
2
2
x -4
-3
-2
-
o
-1

2
3
4
5
6
x
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
在函数 = ，

∈［0,2π］的图象上，以下五个点： 2

0,0 ，，1 ，，0
2
3
， − 1 ，（2，0）
2
y
1
o

2

3
2
2
x
1
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数 = ， ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因
y
1
O
-1
1
y
2

3 2
π
5 2π
2 3

0
，
3
x
5

，
2

3

例3
求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x 的定义域.
2
sin x>0，
解析：由题意，得 x 满足不等式组
2
16－x ≥0，
－4≤x≤4，
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示.
3.注意与诱导公式、三角函数定义等知识的联系；
4.巩固图象变换的规律：对自变量x“左加右减”，对函数值f(x) “上加下减”.
布置作业
课后习题1、2
余弦函数的“五点画图法”
x
cosx
y
0

2

1
0
-1
1
o
3
2
2
0
1
y=cosx，x[0, 2]

高一年级数学必修一5.4.1三角函数的图象与性质

y
1
-4
-3
-2
-
o
-1

2
3
4
x
练习回顾
x
0

2
3
2

sinx
试着画一画
y
y=sinx的简图
O
x
2
练习回顾
x
-

2
0

2

cosx
试着画一画
y
y=cosx的简图
O
x
例题巩固
例 1：画出下列函数的简图：
（1） y 1 sin x ， x [0, 2]；
（2） y cos x ， x [0, 2]．
3

2
( 2 ,1)
( 2 ,0)
( ,0)
3
( 2,-1)
,-1)
(0,0)
(
( 2 ,0)
(

,0)
(
,-1)
( 2 ,1)
(0,0)
22
五点法——
正弦函数的性质
观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：
y
1
-4
-3
-2
-
o

2
-1
(1) 定义域 xR
(2) 值域
[ －1, 1 ]
山东滨州康养职业中等专业学校
高中部
王金成
学习
目标
1
借助单位圆理解并掌握用“五点法”画正弦
函数、余弦函数的图象。
2
理解正弦、余弦函数图象的简单应用．
3
掌握正弦、余弦函数图象的区别与联系并
准确把握其性质
复习引入
问题1：三角函数是我们学习的一类新的基本初

高中数学第1章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质高一数学

确；当点 P 在G︵H上时，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故 D 选项错误．综
上，故选 C．
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第十二页，共十四页。
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第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
第一章三角函数(sānjiǎhánshù)
No Image
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D．xx∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z
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解析：选 D y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，
由 x－π4≠kπ＋π2(k∈Z)，得 x≠kπ＋34π(k∈Z)．所以函数的定
义域为x|
x∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z.
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5．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，
A︵B，C︵D，E︵F，G︵H是圆 x2＋y2＝1 上的四段弧
(如图)，点 P 在其中一段上，角 α 以 Ox 为始
边，OP 为终边，若 tanα<cosα<sinα，则 P 所
在的圆弧是( )
A．A︵B
B．C︵D
C．E︵F
D．G︵H
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解析：选 C 逐个分析 A、B、C、D 四个选项，利用三角函
数的定义可得正确结论．当点 P 在A︵B上时，cosα＝x，sinα＝y，
∴cosα>sinα，故 A 选项错误；当点 P 在C︵D上时，cosα＝x，sinα
＝y，tanα＝yx，∴tanα>sinα>cosα，故 B 选项错误；当点 P 在E︵F上
时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，∴sinα>cosα>tanα，故 C 选项正

高一数学必修课件函数y=Asin的图象

ω与φ共同决定函数的相位。
φ对y＝Asin(ωx+φ)图象的影响
相位
φ表示正弦函数的初相，即x=0时的函数值。φ的变化会使整个图象在x轴方向上左右移动。当φ>0时，图象向左移动；当φ<0时，图象向右移动。移动的距离与 φ的绝对值成正比。
周期和振幅
φ不影响正弦函数的周期和振幅。
PART 03
函数y＝Asin(ωx+φ)的性质
三角函数性质
三角函数具有周期性、奇偶性、有界性等性质，这些性质在解决三角函数问题时具有重要作用。
学习目标和意义
学习目标
通过学习本课件，学生应掌握函数y＝Asin的图象及其性质，能够运用所学知识解决相关问题。
学习意义
函数y＝Asin的图象是数学中的重要内容之一，它在实际问题中有着广泛的应用。掌握该图象及其性质有助于学生更好地理解数学知识，提高数学素养和解决问题的能力。
五点作图法
学会利用五点（最高点、最低点和与x 轴的交点）来确定函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象。
学习方法建议
理论与实践相结合
在学习函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，要注重理论与实践相结合，通过具体的数学实例来加深对
知识点的理解和记忆。
多做练习题
通过大量的练习题来巩固所学知识，提高解题能力和思维水平。
振动分析
在工程学中，振动分析是一项重要的技术，用于研究机械系统或结构的动态行为。函数y＝Asin(ωx+φ)可以用来描述机械振动的规律，通过对其进行分析和处理，可以了解系统的固有频率、阻尼比等关键参数，为工程设计和优化提供依据。
PART 05
解题技巧与案例分析

第5章三角函数(复习课件) 高一数学 (人教A版2019必修第一册)

6
6
变、横坐标缩短为原来的 1 ,得到 y=sin(2x+ π ),再横坐标保持不变,纵坐
2
6
标变为原来的 1 得到 y= 1 sin(2x+ π ),最后把函数 y= 1 sin(2x+ π )的图
2
2
6
2
6
象向下平移 1 个单位,得到 y= 1 sin(2x+ π )-1 的图象.
2
6
解题方法（三角函数的图象及变换注意事项）
＝14.
解法3：令M＝sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°，
则其对偶式N＝cos 220°＋sin 280°＋ 3cos 20°sin 80°.
因为M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin
(1)求 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移π6个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，写出函数 y＝g(x)的解析式．
[解] (1)由题可知 T＝2ωπ＝π，所以 ω＝2. 又 f(x)min＝－2，所以 A＝2. 由 f(x)的最低点为 M，得 sin43π＋φ＝－1. 因为 0＜φ＜π2，所以43π＜43π＋φ＜116π. 所以43π＋φ＝32π.所以 φ＝π6. 所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
知识梳理
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
二倍角公式sin2α＝2sinαcosα
三
tan2α＝1－2tatannα2α

高一数学三角函数的图像及性质

三角函数一、知识梳理1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：2.周期函数定义：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()f x 叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.结论：如果函数)()(k x f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的周期T=2k ；如果函数)()(x k f k x f -=+对于R x ∈任意的，那么函数()f x 的对称轴是k x k k x x =-++=2)()(3.图象的平移对函数y ＝A sin （ωx ＋ϕ）＋k （A ．＞．0．，． ω．＞．0．，． ϕ．≠0．．，． k ．≠0．．）．，其图象的基本变换有：（1）振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的.A ＞1，伸长；A ＜1，缩短. （2）周期变换（横向伸缩变换）：是由ω的变化引起的.ω＞1，缩短；ω＜1，伸长. （3）相位变换（横向平移变换）：是由φ的变化引起的.ϕ＞0，左移；ϕ＜0，右移. （4）上下平移（纵向平移变换）：是由k 的变化引起的.k ＞0，上移；k ＜0，下移二、方法归纳1.求三角函数的值域的常用方法：① 化为求代数函数的值域；② 化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域； ③ 化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；2.三角函数的周期问题一般将函数式化为()y Af x ωϕ=+（其中()f x 为三角函数，0ω>）．3.函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数k ϕπ⇔=()k ∈Z ；函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数2k πϕπ⇔=+()k ∈Z函数cos()y A x ωϕ=+为偶函数k ϕπ⇔=；函数cos()y A x ωϕ=+为奇函数2k πϕπ⇔=+()k ∈Z4.函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调增区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+()k ∈Z 解出，单调减区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+()k ∈Z 解出；函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω<>的单调增区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+()k ∈Z 解出，单调减区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+()k ∈Z 解出.5.对称性：（1）函数sin()y A x ωϕ=+对称轴可由2x k πωϕπ+=+()k ∈Z 解出；对称中心的横坐标是方程x k ωϕπ+=()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（即整体代换法）（2）函数()cos y A x ωϕ=+对称轴可由x k ωϕπ+=()k ∈Z 解出；对称中心的横坐标是方程2x k πωϕπ+=+()k ∈Z 的解，对称中心的纵坐标为0.（即整体代换法）（3）函数()tan y A x ωϕ=+对称中心的横坐标可由2kx ωϕπ+=()k ∈Z 解出，对称中心的纵坐标为0，函数()tan y x ωϕ=+不具有轴对称性.三、课堂例题精讲例1.下列函数中，周期为2π的是（） A.sin 2x y = B.sin 2y x =C.cos4x y = D.cos 4y x =答案：D例2.已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（） A.关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B.关于直线x π=4对称 C.关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D.关于直线x π=3对称答案：A.解析：由题意知2ω=，所以解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经验证可知它的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭.例3.函数的最小正周期和最大值分别为（）A.π，1B.π2C.2π，1D.2π2答案：A.解析：x x x x x y 2cos 232sin 212cos 212cos 232sin =⋅-⋅+⋅+⋅=，∴T =π，y max =1 例4.函数[]()sin 3(π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是（）A.5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B.5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C.π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D.π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，答案：D.解析：因为⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=3sin 2)(x x f ，.0,6656,0),(65262),(22322符合题意由此可得得令得令⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-π≤≤π-=∈π+π≤≤π-π∈π+π≤π-≤π-πx k k k x k k k x k Z Z例5.将⎪⎭⎫⎝⎛π+=63cos 2x y 的图象按向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为（） A.243cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y B. 243cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y C. 2123cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=x y D. 2123cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛π+=x y 答案：A.解析：看向量a =⎪⎭⎫⎝⎛-π-2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B 、C 、D.例6.函数sin y x =的一个单调增区间是（）A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，答案：C解析：法一：∵函数sin y x =的一个单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0，又函数sin y x =是以π为周期的函数，∴函数sin y x =的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡π+ππ2,k k （k ∈Z ）.当k =1时，函数sin y x =的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C. 法二：作出函数sin y x =的图象，由图易知sin y x =的一个单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,.故选C.法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A 、B 两个选择支的端点值相等，而选择支D 的左端点值大于右端点值，所以根据单调递增的概念判断，可排除A 、B 、D ，故选C.例7.函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .答案： ω=3例8.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()2cos 21g x x ϕ=++的图象的对称轴完全相同.若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是 . 答案：3[-,3]2解析：由题意知，2ω=，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由三角函数图象知：()f x 的最小值为33sin (-)=-62π，最大值为3sin =32π，所以()f x 的取值范围是3[-,3]2. 例9.定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 . 答案：23解析“线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23. 故线段P 1P 2的长为23.例10.设函数()f x =·a b ，其中向量(cos2)mx =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合.解析：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1 由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，. 例11. 已知函数()sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点M )0,43(π对称，且在区间[0，2π]上是单调函数，求ϕ和ω的值. 解析：由)(x f 是偶函数，得)()(x f x f =-，故sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，cos sin cos sin x x ϕωϕω-=对任意x 都成立，且0,cos 0.ωϕ>∴=依题设0≤ϕ≤π，cos .2πϕ∴=由)(x f 的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ取0)43(),43()43(0=∴-==πππf f f x 得 0)43cos(),43cos()243sin()43(=∴=+=x x x f ωωπωπ又0>ω，得......2,1,0,243=+=k k x ππω ...2,1,0),12(32=+=∴k k ω当0=k 时，)232sin()(,32πω+==x x f 在]2,0[π上是减函数.当1=k 时，)22sin()(,2πω+==x x f 在]2,0[π上是减函数. 当k ≥2时，)2sin()(,310πωω+==x x f 在]2,0[π上不是单调函数. 所以，综合得32=ω或2=ω.四、课后作业1.函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（） A.233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B.62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C.03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2.已知函数()f x =Acos （x ωϕ+）的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f =（） A.23-B .23 C.32 D. 32-3. 设ω>0，函数f （x ）=2sinωx 在]4,3[ππ-上为增函数，那么ω的取值范围是 .4.判断方程sinx=π100x实数解的个数.5.求函数y=2sin )4(x -π的单调区间.6.已知函数()f x =xx x 2cos 1cos 3cos 224+-，求它的定义域和值域，并判断奇偶性.100л7.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值.8.设()f x = x x 2sin 3cos 62-，（1）求()f x 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足323)(-=αf ，求tan α54的值.9. 求下列函数的值域：（1）y=x x x cos 1sin 2sin -；（2）y=sinx+cosx+sinxcosx ；（3）y=2cos )3(x +π+2cosx.10.已知函数f （x ）=－sin 2x+sinx+a ，（1）当f （x ）=0有实数解时，求a 的取值范围；（2）若x ∈R ，有1≤f （x ）≤417，求a 的取值范围.11.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.参考答案： 1.答案：A 2.答案：C 3.答案：203ω<≤ 4.答案：199 解析：方程sinx=π100x 的实数解的个数等于函数y=sinx 与y=π100x 的图象交点个数， ∵|sinx|≤1∴|π100x|≤1， |x|≤100л 当x≥0时，如下图，此时两线共有100个交点，因y=sinx 与y=π100x都是奇函数，由对称性知当x≤0时，也有100个交点，原点是重复计数的，所以只有199个交点. 5.解析：y=2sin )4(x -π可看作是由y=2sinu 与u=x -4π复合而成的.又∵u=x -4π为减函数，∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ），得-2k π-4π≤x ≤-2k π+43π （k ∈Z ）. 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin )4(x -π 的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π （k ∈Z ），得2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π（k ∈Z ），解得-2k π-45π≤x ≤-2k π-4π （k ∈Z ），即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）为y=2sin )4(x -π的递增区间. 综上可知：y=2sin )4(x -π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）；递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）. 6.解析：由题意知cos2x≠0，得2x≠k π+2π，解得x≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以()f x 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x x ,42ππ且,. 又()f x =xx x 2cos 1cos 3cos 224+-=x x x 2cos )1)(cos 1cos 2(22--=cos 2x-1=-sin 2x.又定义域关于原点对称， ∴()f x 是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x≠42ππ+k ，k ∈Z . ∴-sin 2x≠-21.所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.7.解析：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.因此，函数()f x 的最小正周期为π.（Ⅱ）解法一：因π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上增，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上减，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-.解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.8.解析：（Ⅰ）1cos 2()622xf x x +=3cos 223x x =+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 故()f x的最大值为3；最小正周期22T π==π.（Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭故cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 又由02απ<<得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π.从而4tan tan 53απ==.9.解析：（1）y=x x x x cos 1sin cos sin 2-=xx x cos 1)cos 1(cos 22--=2cos 2x+2cosx=22)21(cos +x -21.于是当且仅当cosx=1时取得y max =4，但cosx≠1，∴y ＜4，且y min =-21，当且仅当cosx=-21时取得. 故函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-4,21. （2）令t=sinx+cosx ，则有t 2=1+2sinxcosx ，即sinxcosx=212-t .有y=f （t ）=t+212-t =1)1(212-+t .又t=sinx+cosx=2sin )4(π+x ， ∴-2≤t≤2.故y=f （t ）=1)1(212-+t （-2≤t≤2），从而知：f （-1）≤y≤f （2），即-1≤y≤2+21. 即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-212,1.（3）y=2cos )3(x +π+2cosx=2cos3πcosx-2sin 3πsinx+2cosx=3cosx-3sinx =23⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x sin 21cos 23=23cos )6(π+x . ∵)6cos(π+x ≤1，∴该函数值域为［-23，23］.10.解析：（1）f （x ）=0，即a=sin 2x －sinx=（sinx －21）2－41∴当sinx=21时，a min =－41，当sinx=－1时，a max =2， ∴a ∈[41-，2]为所求.（2）由1≤f （x ）≤47得⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+-≤1sin sin 417sin sin 22x x a x x a∵ u 1=sin 2x －sinx+2)21(sin 417-=x +4≥4u 2=sin 2x －sinx+1=43)21(sin 2+-x ≤3 ∴ 3≤a≤4.11.解析：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤max min ()3()2f x f x ==，∴.（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，.12.解析：令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］，而f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b . 当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b 解之得a =6，b =－5.当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b 解之得a =－6，b =1.。

高1数学-三角函数-角度制与弧度制

高一数学第一节任意角和弧度制知识点1.角的分类：（1）正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角（2）负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角（3）零角：一条射线不做旋转2．象限角的概念：（1）定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．（2）轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。

（3）终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：∈ k∈Z∈ α是任一角；∈ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；∈ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例如：第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o ；第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o ；第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o ；第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o ；终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o ；终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o ；终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o. 3.由角α所在象限判断α所在象限：4.弧度制：（1）角度制：规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．（2）弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．（3）弧度制的性质：∈ 半圆所对的圆心角为;ππ=r r∈ 整圆所对的圆心角为.22ππ=rr ∈ 正角的弧度数是一个正数． ∈ 负角的弧度数是一个负数． ∈ 零角的弧度数是零． ∈ 角α的弧度数的绝对值|α|=. r l注：角度制是60进制，弧度制是十进制：5．角度与弧度之间的转换：∈ 将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ∈ 将弧度化为角度： 2360p =?；180p =?；ο)180(rad παα= 6．常规写法：∈ 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ∈ 弧度与角度不能混用．要不用弧度制，要不统一角度制。

【课件】正弦函数、余弦函数的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

光滑的曲线连接起来。
在精度要求不高的情况下作函数y=sinx，x∈[0，2]的
图象，只要先作出这五个点，然后用光滑的曲线连接
起来即可，这种作图法叫“五点画图法”即“五点法”
新知引入
余弦函数的图像又是怎样的呢？如何作出来？
回忆正弦函数和余弦函数的哪些关系，能否通过图
形变换，将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
你会用五点法作出余弦函数的图像吗？
选哪个区间上的五点？观察下图，探索分析。
不难发现,自变量在[－,]这一周内的图像，更靠近原点，且在
对称性、增减性等方面，更具有特点，所以图像更具有代表性。
新知引入
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数
变换得到y=1+sinx，x∈[0，2]的图象吗？
先认真观察右图变化
对于任意一个x0∈[0 ,2]
设y1=sinx0， y2=1+sinx0
y2－y1＝1
即函数y=sinx，x∈[0，2]
的图象的每一点向上平移
一个单位就得到y=1+sinx，
x∈[0，2]的图象
图5.4-6
Flash
动画
巩固与练习

对于函数y=cosx，由诱导公式cosx=sin(x＋ )得，

y= cosx=sin(x＋ ) ，x∈R.

而函数y=sin(x＋ ) ，x∈R的图象和正弦函数y=sinx，x∈R

的图像又有怎么的关系？
新知引入

y=sin(x＋ )

y=sinx，
1、①与②两函数的图像形状相同；

高一数学正余弦函数的图象

2

3 3 2
y sin x, x [0,2 ]
2
2 2
xx
y cos x, x [0,2 ]
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图（2）作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
小结:本节可主要学习了以下的内容
（1）出利用单位圆中的三角函数线作 y sin x, x R 的图象，明确图象的形状；
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
-
-
-
正弦曲线
y
1-
6
-
4
-
2
-
o-1
2
-
4
-
6
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
§1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标:
（1）出利用单位圆中的三角函数线作 y sin x, x R 的图象，明确图象的形状；（2）根据关系 cos x sin( x ) ，作出 y 2 的图象；

cos x, x R
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
21 ）解: （（）列表
x x
sin x x cos sin x cos x1
0 0
2 2
描点作图
0 -1 11
3 3 2 2
2 2
yy
2-
10 1 -1

三角函数的概念(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

10
终边相同的角的三角函数值
如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？
终边相同
终边与单位圆
交点坐标相同
角的同一三角
函数值相同
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
P(x,y)
公式一（弧度制）
公式一（角度制）
y
sin( k 2 ) sin
sin( k 360) sin
5
解 : 如图, 在直角坐标系中, 作AOB
,
3
1
3
易知AOB的终边OB与单位圆的交点坐标为B( ,
).
2
2
5
3 cos 5 1 , tan 5 3.
sin

,
3 2
3
3
2
7
1
3 1
7
3
7
3
sin

,
(
, )
cos

, tan

.
6
2
2
2
6
2
6
3
cos x
§5.2.1 三角函数的概念
情景引入
抽象为
问题：匀速圆周运动是生活中周期现象的代表，我们知道函数是刻画世界
变化规律的重要教学模型，那么匀速圆周运动应该用什么模型来刻画它？
任务：建立一个函数模型，来刻画P点的位置变化？
以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆，称为单位圆.
如图，单位圆上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，射线从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位
据初中所学过的三角函数的定义，有
y
P(a,b)
0
1
α

高一数学三角函数内

(o ,0)
3 ( ,0)
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲线
5 6

2
-1
2
( ,-1)
x
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (一)关于定义域
例1.求下列函数的定义域：
1) y lg sin x 2) y 2 cos 3 x
新课讲解. 正弦函数、余弦函数的性质 (二)关于周期性 1.周期性的定义对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有

答：D 解：0°～90°间的角指的是半闭区间 0°≤θ＜90°，小于90°的角可是以是负角或零角，大于 90°的角可以是任何象限的角．

2、 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一象限角或第三象限角 D．第一象限角或第二象限角
应用提升
例3.求函数y tan x 1 3 tan x 的定义域
例4.试讨论函数y log a tan x的单调性
小结回顾
正切函数的基本性质
（左加右减）
sinα
Ⅰ
cosα
+ +
tanα
+ + -
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+ + -
1．下列说法正确的是 [ ] A．小于90°的角是锐角 B．大于90°的角是钝角 C．0°～90°间的角一定是锐角 D．锐角一定是第一象限的角
---定义法
讲解. 正弦函数、余弦函数的性质例3.求下列函数的周期： ---利用结论
1) y sin( x 2) y cos 3 x

3
)
1 3) y 3sin( x ), x R 一般 3 5 结论：

人教版高中数学课件-三角函数

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教材整理 2 正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图
阅读教材 P32“思考”以下至例 1 以上内容，完成下列问题． 1．“五点法”作图的一般步骤是 __列__表___ ⇒ __描__點___ ⇒ __連__線___ .
2. 画正弦函数
(_0_，0) 图象的五点画余弦函数
(_0_，1) 图象的五点
B．1 个
C．2 个
D．3 个
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(2)对于余弦函数 y＝cos x 的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与 x 轴有无数多个交点；
③与 y＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【精彩点拨】分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可．
π __2__，1
3π (π__，0) __2__，－1 (_2_π_，0)
π
3π
__2__，0 (__π_，－1) __2__，0 (_2_π__，1)
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用五点法作函数 y＝2sin x－1 的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以
是________．
①0，π2 ，π，3π 2 ，2π；②0，π4 ，π2 ，3π 4 ，π；③0，π，2π，3π，4
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判断方程4x－cos x＝0 根的个数．【精彩点拨】当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数．【自主解答】设 f(x)＝4x，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出 f(x)与 g(x) 的图象，如图：