2016-2017年天津市滨海新区高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

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天津市滨海新区20172018学年度第一学期高二年级数学(理科)期末质量检测试卷(A卷)word版

天津市滨海新区 2021-2021学年度第一学期高二年级数学〔理科〕期末质量检测试卷〔 A 卷〕word 版无答案滨海新区2O172O18学年度第一学期高二年级数学〔理科〕期末质量检测试卷〔 A 卷〕第一卷〔选择题共 40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1.经过两点3，那么y=A(4,2y1),B(y,3)的直线的倾斜角为4A ．-8B. -3 C ．0D ．82．如果命题“(pvq)〞为假命题，那么 A.p,q 均为真命题 B.p,q 均为假命题 C.p,q 中至少有一个为真命题D.p,q 中至多有一个为真命题 3．两条直线 y=ax-2和3x-〔a+2〕y+1=0互相平行，那么 a 等于 A ．-1或-3 或3 或3 或-34．条件p:k ＝ 3；条件q:直线y=kx+2与圆x 2+y 2=1相切，那么p是qA ．充分必要条件 B.必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为4 35 35 3 3A ．3B.3C ．D ．66．设，是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题：①假设l, ，那么③假设l,//，那么l//②假设l// , // ，那么l//l④假设l// ,，那么l其中正确命题的个数是个个个个7．直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=9相交于两点M 、N,假设c 2=a 2+b 2，那么OM ON 〔O 为坐标原点〕等于C ．7D ．14:y 2=8x 的焦点到双曲线C 2：y 228．抛物线C 12-x21〔a 0，b0〕的渐近线的距a b离为455，M 是抛物线C 1的一动点，到双曲线 C 2的上焦点焦点 F 1(0, c)的距离与到直线x+2=0的距离之和的最小值为 3,那么该双曲线的方程为1/4A．y2-x21B.y2x21C．y2x21D．y2-x21824428第II卷〔非选择题共80分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9．一个圆锥的母线长为2cm，底面半径为1cm，那么圆锥的体积为cm10.点M(0,-1),N(2,3)加果直线MN垂直于直线ax＋2y-3=0，那么a=.11.一个正方体的所有顶点在一个球面上，假设球的体积为9，那么正方体的外表积2为.22 12．抛物线y2=2px(p>0)的交点F恰好是双曲线x2-y21(a>0,b>0〕的右焦点，且a b两条曲线的交点的连线过点F，那么双曲线的离心率为.13．圆锥曲线E的方程为：x2+y21命题p:E的方程表示焦点在x轴上的椭圆；命2k题q：圆锥曲线E的离心率e(2,3)，假设命题p q为真命题，那么实数k的取值范围是.14．如图，设椭圆x2+y21的左右焦点分别为F1、F2，、过焦点F1的直线交椭圆于A、B25 9两点，假设△ABF2的内切圆的面积为 4，设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，那么y1y2值为.三、解答题：本大题共4小题，共50分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤15.〔本小题总分值12分〕己知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2-6y+4=0.(I)当直线l的斜率为2时，求l与圆C相交所得的弦长；(II〕设直线/与圆C交于两点A,B，且A为OB的中点，求直线l的方程2/416.〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,E,F分别是AC,PB的中点，PA=AB=2.(I〕求证：EF//平面PCD;(II〕求直线EF与平面PAB所成的角．17.〔本小题总分值13分〕如下图的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD,∠BAD=3AD=2,DE＝3．(I〕求异面直线AE与DC所成角的余弦值；(II〕求证平面A EF⊥平面CEF;(III〕在线段AB上取一点N，当二面角N一EF一C的大小为600时，求AN3/418.〔本小题总分值13分〕己知椭圆x2y21(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B，且四边a2b2形F1AF2B是边长为2的正方形(I〕求椭圆的标准方程；(II〕假设C,D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM,交椭圆于点P.证明：OM OP为定值；(III)在〔(II)的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点，假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，说明理由．4/4。

2016-2017学年天津市五区县高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年天津市五区县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m＜2 C．m＜D．2．（4分）以A（1，3）和B（﹣5，1）为端点的线段AB的中垂线方程是（）A．3x﹣y+8=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y+8=0 D．3x+y+4=03．（4分）给出下列四个命题：①已知m，n是常数，“mn＜0”是“mx2+ny2=1表示双曲线的充分不必要条件”；②命题p：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是￢p：“∃x0∈R，sinx0＞1”；③已知命题p和q，若p∨q是假命题，则p与q中必一真一假；④命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题．其中真命题的序号是（）A．①②④B．①③④C．②④D．②③4．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．5．（4分）已知向量，（t∈R），则的最小值是（）A．B．C．D．6．（4分）若直线3x+y﹣3=0与直线6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．7．（4分）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．D．8．（4分）与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切的圆的圆心在（）A．一个圆上B．一个椭圆上C．双曲线的一支上 D．一条抛物线上9．（4分）设m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②③D．②③④10．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．（5分）以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为．13．（5分）已知直线与圆x2+y2=12交于A，B两点，若，则直线l在x轴上的截距为．14．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上，且满足，，则a的值等于．15．（5分）已知椭圆与x轴的正半轴交于点A，若在第一象限的椭圆上存在一点P，使得∠PAO=（O为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2）且圆心C在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）求倾斜角为45°且与圆C相切的直线l的方程．17．（12分）如图：在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是菱形，四边形CBB1C1是矩形，AC=5，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°．（1）求证：平面CA1B⊥平面ABB1A1；（2）求直线A1C与平面ABC所成角的正切值．18．（12分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4的点，|AF|=5．（1）求抛物线C的方程；（2）设过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．19．（12分）在如图所示的几何体中，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=AF=2EF=1，P是棱DF的中点．（1）求证：BF∥平面ACP；（2）求异面直线CE与AP所成角的余弦值；（3）求二面角D﹣AP﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点．（1）若椭圆C1的两焦点分别为双曲线的顶点，且以椭圆上任一点P和左右焦点F1，F2为顶点的△PF1F2的周长为，求椭圆C1的标准方程；（2）在（1）的条件下，求弦AB的长；（3）当椭圆的离心率e满足，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．2016-2017学年天津市五区县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）（2013•北京校级模拟）方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m＜2 C．m＜D．【分析】方程即表示一个圆，可得﹣m＞0，解得m的取值范围．【解答】解：∵方程x2+y2﹣x+y+m=0即表示一个圆，∴﹣m＞0，解得m＜，故选C．【点评】本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，圆的标准方程的特征，属于基础题．2．（4分）（2016秋•天津期末）以A（1，3）和B（﹣5，1）为端点的线段AB的中垂线方程是（）A．3x﹣y+8=0 B．x﹣3y+8=0 C．3x+y+8=0 D．3x+y+4=0【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：直线AB的斜率为=，所以线段AB的中垂线得斜率k=﹣3，又线段AB的中点为（﹣2，2），所以线段AB的中垂线得方程为y﹣2=﹣3（x+2）即3x+y+4=0，故选：D．【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）（2016秋•天津期末）给出下列四个命题：①已知m，n是常数，“mn＜0”是“mx2+ny2=1表示双曲线的充分不必要条件”；②命题p：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是￢p：“∃x0∈R，sinx0＞1”；③已知命题p和q，若p∨q是假命题，则p与q中必一真一假；④命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题．其中真命题的序号是（）A．①②④B．①③④C．②④D．②③【分析】根据充要条件的定义，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据复合命题真假判断的真值表，可判断③；写出原命题的逆命题，可判断④．【解答】解：①已知m，n是常数，“mn＜0”是“mx2+ny2=1表示双曲线的充要条件”，故①错误；②命题p：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是￢p：“∃x0∈R，sinx0＞1”，故②正确；③已知命题p和q，若p∨q是假命题，则p与q均为假命题，故③错误；④命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是命题“若a2＞b2，则a＞b＞0”，是假命题，故④正确．故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了充要条件，命题的否定，四种命题，复合命题，难度基础．4．（4分）（2016秋•天津期末）已知双曲线的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线C的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b 的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，b﹣2a=0，∴b=2，a=∴双曲线的方程为：．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（4分）（2016秋•天津期末）已知向量，（t∈R），则的最小值是（）A．B．C．D．【分析】根据向量的坐标运算，计算的最小值，从而求出的最小值．【解答】解：向量，（t∈R），则﹣=（1+t，1﹣t，t），∴=（1+t）2+（1﹣t）2+t2=3t2+2≥2，当且仅当t=0时取得最小值2，∴的最小值是．故选：D．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与模长公式的应用问题，是基础题目．6．（4分）（2016秋•天津期末）若直线3x+y﹣3=0与直线6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A．B．C．D．【分析】通过直线平行求出m，然后利用平行线之间的距离求出结果即可．【解答】解：直线3x+y﹣3=0与直线6x+my+1=0平行，所以m=2，则直线6x+2y﹣6=0与直线6x+2y+1=0之间的距离为：=．故选：D．【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，基本知识的考查．7．（4分）（2016秋•天津期末）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．D．【分析】利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．【解答】解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k．则，，两式相减得4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，又x1+x2=6，y1+y2=4，=k，代入解得k=﹣=．故选：A．【点评】熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．8．（4分）（2016秋•天津期末）与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切的圆的圆心在（）A．一个圆上B．一个椭圆上C．双曲线的一支上 D．一条抛物线上【分析】求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心坐标，判断动圆的圆心的轨迹满足椭圆的定义，即可得出结论．【解答】解：设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的加以分别为O1、O2，将圆x2+y2+6x+5=0的方程分别配方得：（x+3）2+y2=4，圆x2+y2﹣6x﹣91=0化为（x﹣3）2+y2=100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…①当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…②将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆．故选B．【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．9．（4分）（2016秋•天津期末）设m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β．其中正确命题的序号是（）A．①④B．②③C．①②③D．②③④【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系的几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【解答】解：①若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行也可能相交，故①错误；②若α∥β，m⊂α，则m∥β，故②正确；③若n∥α，则存在直线a⊂α，使n∥a，若m⊥α，则m⊥a，进而m⊥n，故③正确；④若m⊥n，m⊥α，则n∥α，或n⊂α，若n∥β，则α，β的关系不能确定，故④错误．故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与直线，直线与平面的位置关系，难度中档．10．（4分）（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．3【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）（2016秋•天津期末）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为54π．【分析】由三视图还原原几何体，可得原几何体是下面为圆锥，上面为球的组合体．再由圆锥的体积公式及球的体积公式求得答案．【解答】解：由三视图可知，原几何体是下面为圆锥，上面为球的组合体．则其体积为V=．故答案为：54π．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，是基础题．12．（5分）（2016秋•南开区期末）以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为x2+（y﹣4）2=64．【分析】求出抛物线x2=16y的焦点坐标，及焦点到准的距离，可得圆心坐标和半径，进而得到圆的方程．【解答】解：抛物线x2=16y的焦点为（0，4），焦点到准的距离为8，故以抛物线x2=16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为x2+（y﹣4）2=64，故答案为：x2+（y﹣4）2=64．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，圆的标准方程，是圆锥曲线与圆的简单综合应用，难度中档．13．（5分）（2016秋•天津期末）已知直线与圆x2+y2=12交于A，B两点，若，则直线l在x轴上的截距为﹣6．【分析】利用弦长公式，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式建立方程，求出实数m的值，即可求出直线l在x轴上的截距．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣．直线，令y=0，可得x=﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．14．（5分）（2016秋•天津期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上，且满足，，则a的值等于1．【分析】设|MF1|=m，|MF2|=n，则|m﹣n|=2a，mn=4，m2+n2=4（a2+2a），即可求出a．【解答】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，则|m﹣n|=2a，mn=4，m2+n2=4（a2+2a），∴4a2+8=4（a2+2a），解得a=1，故答案为1．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，比较基础．15．（5分）（2016秋•天津期末）已知椭圆与x轴的正半轴交于点A，若在第一象限的椭圆上存在一点P，使得∠PAO=（O为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围是．【分析】设P（x0，y0），（0＜x0＜a），则=，可得．又=1，可得（a2+3b2）﹣2a3x0+a4﹣3a2b2=0，由题意可得0＜x0＜a，△＞0，a4﹣3a2b2＞0，解得：的范围，利用e=即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），（0＜x0＜a），则=，可得．又=1，可得（a2+3b2）﹣2a3x0+a4﹣3a2b2=0，∵0＜x0＜a，∴△=4a6﹣4（a2+3b2）（a4﹣3a2b2）＞0，a4﹣3a2b2＞0，解得：，∴e=＞=，又e∈（0，1），∴．∴该椭圆离心率的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交与判别式的关系、不等式解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）（2016秋•天津期末）已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2）且圆心C在直线y=x上．（1）求圆C的方程；（2）求倾斜角为45°且与圆C相切的直线l的方程．【分析】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程；（2）设直线l的方程为y=x+b，由（1）可知圆心C到直线l的距离，即可求得直线l的方程．【解答】解：（1）依题意易得线段AB的中垂线方程为y=3x﹣2．…（3分）联立方程组，解得x=y=1所以圆心C（1，1），所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5．…（6分）（2）∵直线l的倾斜角为45°∴k=tan45°=1…（8分）∴可设直线l的方程为y=x+b由（1）可知圆心C到直线l的距离…（11分）解得∴直线l的方程为…（12分）【点评】本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．17．（12分）（2016秋•天津期末）如图：在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是菱形，四边形CBB1C1是矩形，AC=5，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°．（1）求证：平面CA1B⊥平面ABB1A1；（2）求直线A1C与平面ABC所成角的正切值．【分析】（1）利用勾股定理证明AB⊥BC，推出CB⊥BB1，然后证明BC⊥平面ABB1A1，得到平面CA1B⊥平面ABB1A1．（2）取AB的中点D，连结A1D，CD，说明A1CD是直线A1C与平面ABC所成的角，在Rt△A1CD中，转化求解即可．【解答】解：（1）∵AC=5，CB=3，AB=4∴AC2=BC2+AB2∴AB⊥BC…（2分）又∵四边形CBB1C1是矩形∴CB⊥BB1…（3分）又∵AB∩BB1=B∴BC⊥平面ABB1A1又∵BC⊂平面CA1B∴平面CA1B⊥平面ABB1A1…（6分）（2）取AB的中点D，连结A1D，CD，∵∠A1AB=60°，AA1=AB∴△AA1B为正三角形∴A1D⊥AB…（8分）由（Ⅰ）可知BC⊥平面ABB1A1∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABB1A1又∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB∴A1D⊥平面ABC∴CD是A1C在平面ABC上的投影∴∠A1CD是直线A1C与平面ABC所成的角…（10分）在Rt△A 1CD中，∴∴直线A1C与平面ABC所成角的正切值为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18．（12分）（2016秋•天津期末）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4的点，|AF|=5．（1）求抛物线C的方程；（2）设过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．【分析】（1）利用抛物线的定义求出抛物线的p，即可顶点抛物线方程．（2）求出抛物线的焦点坐标F（1，0），直线AB的方程为y=x﹣1，联立消y得：x2﹣6x+1=0，利用韦达定理求出|AB|，求出O到直线AB的距离，然后求解数据线的面积．【解答】解：（1）抛物线C的准线方程为：由抛物线的定义可知：∴p=2∴抛物线C的标准方程为y2=4x．…（4分）（2）由已知，F（1，0），直线AB的方程为y=x﹣1，…（6分）联立消y得：x2﹣6x+1=0，所以x1+x2=6，…（8分）…（8分）所以|AB|=x1+x2+p=8，…（10分）又因为O到直线AB的距离，所以．…（12分）【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•天津期末）在如图所示的几何体中，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=AF=2EF=1，P是棱DF的中点．（1）求证：BF∥平面ACP；（2）求异面直线CE与AP所成角的余弦值；（3）求二面角D﹣AP﹣C的余弦值．【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OP，证明OP∥BF，然后证明BF∥平面ACP．（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出相关点的坐标，求出，，利用向量的数量积求解，异面直线CE与AP所成角的余弦值．（3）求出平面DAP的一个法向量，平面APC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D﹣AP﹣C的余弦值即可．【解答】解：（1）连接BD交AC于O，连接OP∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点，又∵P是DF中点，∴OP∥BF…（2分）∵OP⊂平面ACP，BF⊄平面ACP，∴BF∥平面ACP…（3分）（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，依题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），，F（0，0，1），，…（4分）易得，…（5分）…（6分）∴所求异面直线CE与AP所成角的余弦值为…（7分）（3）由题意可知：AB⊥面PAD，平面DAP的一个法向量为…（8分）又可解得故设平面APC的一个法向量为则即，不妨令x=2，可得…（10分）于是，所以二面角D﹣AP﹣C的余弦值为…（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2016秋•天津期末）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点．（1）若椭圆C1的两焦点分别为双曲线的顶点，且以椭圆上任一点P和左右焦点F1，F2为顶点的△PF1F2的周长为，求椭圆C1的标准方程；（2）在（1）的条件下，求弦AB的长；（3）当椭圆的离心率e满足，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．【分析】（1）求出双曲线的顶点，得到椭圆的c，利用以椭圆上任一点P和左右焦点F1，F2为顶点的△PF1F2的周长为，求出a，然后求解椭圆方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组消去y，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．（3）利用消去y，整理得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，设点A（x1，y1），B （x2，y2），通过△＞0，韦达定理，利用，推出，结合离心率的范围，求解即可．【解答】解：（1）由题意椭圆C1的两焦点分别为双曲线的顶点，可知：c=1…（1分）…（2分）∴∴∴椭圆C1的方程为：…（3分）（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由方程组消去y，整理得5x2﹣6x﹣3=0…（4分）求解可得，…（5分）…（6分）（3）由方程组消去y，整理得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0设点A（x1，y1），B（x2，y2），△=（﹣2a2）2﹣4（a2+b2）•a2（1﹣b2）＞0，，…（7分）∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴∴x1x2+y1y2=2x1x2﹣（x1+x2）+1=0∴①…（8分）又∵，∴由①可知…（10分）∴∴，∴…（12分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，双曲线与椭圆的综合应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。

【最新经典文档】2016-2017年天津市和平区高二(上)期末数学试卷和答案(理科)

【解答】（本题满分 12 分）解：如图，以 A 为原点，分别以，，的方向为 x， y，z 轴正方向建立空间直角坐标系 A﹣ xyz，则 A（0，0，0）， B（2，0，0），C（2，4，0），D（ 0，4，0），P（0，0，2），M （ 1， 2， 1），N（2，1，0），…（3 分）（Ⅰ）∵ =（2，1，0）， =（﹣ 1，2，1），…（4 分） ∴ ? =0…（ 5 分）
11．（ 5 分）顶点在原点，对称轴是 y 轴，且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线
标准方程是
．
12．（ 5 分）已知双曲线与椭圆
有相同的焦点，且其中一条渐近线为
，则该双曲线的标准方程是
．
13．（ 5 分）已知椭圆
的三个顶点 B1（0，﹣ b），B2（ 0， b），
A（a，0），焦点 F（c， 0），且 B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为
可得 e2+e﹣1=0，e∈（ 0，1），
解得 e=
．
故答案为：
．
14．（5 分）（理）已知 A（ 1，0，0），B（ 0，﹣ 1，1）， +λ 与的夹角为 120°，
则 λ＝
．
【解答】解： +λ =（1，0，0）+λ（0，﹣ 1，1）=（1，﹣ λ，λ）．
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∵ +λ 与的夹角为 120°，
）
A．充而分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当 “ｍ＞ n＞0”时”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”成立，即 “ｍ＞n＞ 0”? ”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”为真命题，当 “方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”时“ｍ＞n＞0”也成立，即 “方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”? “ｍ＞n＞0”也为真命题，故 “ｍ＞n＞ 0”是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”的充要条件，

天津市滨海新区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷Word版含解析

天津市滨海新区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷一、选择题1．若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，83．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y|）x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C．D．5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．6．下列命题中，说法正确的个数是（）（1）若p∨q为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“∃x0∈R，2≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”（3）“a≥5”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立”的充分条件（4）在△ABC中，“a＞b”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件（5）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”A．1 B．2 C．3 D．47．已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．328．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题9．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为．根据上表可得回归直线方程：=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为．12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为．13．已知命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为．14．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．三、解答题15．已知圆C的圆心在直线y=x上，半径为5且过点A（4，5），B（1，6）两点（1）求圆C的方程；（2）过点M（﹣2，3）的直线l被圆C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．16．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取部分学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，图中从左到右各小长方形的高之比是2：3：3：x：5：1，最后一组的频率数3，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数落在[120，130）的频率及从参加高三模拟考试的学生中随机抽取的学生的人数；（2）估计本次考试的中位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．17．设点，动圆P经过点F且和直线相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．（Ⅰ）求曲线W的方程；（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l1，l2，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．18．过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．天津市滨海新区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据准线方程求得p，则抛物线方程可得．【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7p=14∴抛物线方程为y2=28x故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．属基础题．2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2；判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3；判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4；判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5．此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足，即5＞n满足，所以正整数n的值应为4．故选：B．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．4．记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}和集合B={（x，y|）x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；概率与统计．【分析】根据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M落在区域Ω2内的概率，只要求A、B所表示区域的面积，然后代入概率公式P=，计算即可得答案．【解答】解：根据题意可得集合A={（x，y）|x2+y2≤16}所表示的区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域即为图中的Rt△AOB，S△AOB=×4×4=8，根据几何概率的计算公式可得P==，故选A．【点评】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】概率与统计．【分析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出，再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则==．因此P（A）=1﹣P（）=1﹣=．故选D．【点评】熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．6．下列命题中，说法正确的个数是（）（1）若p∨q为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“∃x0∈R，2≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”（3）“a≥5”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立”的充分条件（4）在△ABC中，“a＞b”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件（5）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】（1）若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，即可判断出正误；（2）利用命题的否定即可判断出正误；（3）∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立，可得a≥{x2}max，即可判断出正误；（4）在△ABC中，由正弦定理可得：“a＞b”⇔“sinA＞sinB”，即可判断出正误；（5）利用命题的否命题即可判断出正误．【解答】解：（1）若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，因此不正确；（2）命题“∃x0∈R，2≤0”的否定是“∀x∈R，2x＞0”，正确；（3）∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立，∴a≥{x2}max=4，∴“a≥5”是“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0恒成立”的充分不必要条件，正确；（4）在△ABC中，由正弦定理可得：“a＞b”⇔“sinA＞sinB”，因此在△ABC中，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件，不正确；（5）命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，不正确．综上可得：正确的命题个数是2．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的性质、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，可得p．进而得到抛物线的方程和其准线方程，可得K坐标．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．可得|AK|=|AM|．可得|KF|=|AF|．进而得到面积．【解答】解：由双曲线得右焦点为（4，0）即为抛物线y2=2px的焦点，∴，解得p=8．∴抛物线的方程为y2=16x．其准线方程为x=﹣4，∴K（﹣4，0）．过点A作AM⊥准线，垂足为点M．则|AM|=|AF|．∴|AK|=|AM|．∴∠MAK=45°．∴|KF|=|AF|．∴=32．故选D．【点评】熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．8．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化为=0，解得．故选C．【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．二、填空题9．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工10 人．【考点】分层抽样方法．【专题】压轴题．【分析】本题是一个分层抽样，根据单位共有职工200人，要取一个容量为25的样本，得到本单位每个职工被抽到的概率，从而知道超过45岁的职工被抽到的概率，得到结果．【解答】解：本题是一个分层抽样，∵单位共有职工200人，取一个容量为25的样本，∴依题意知抽取超过45岁的职工为．故答案为：10．【点评】本题主要考查分层抽样，分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法．10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为105 ．【考点】程序框图．【专题】计算题；阅读型；定义法；算法和程序框图．【分析】根据条件，进行模拟运行，找到满足条件i≥4时即可．【解答】解：第一次循环，S=1，i=1，T=3，S=1×3=3，i=2不满足条件，第二次循环，S=3，i=2，T=5，S=3×5=15，i=3不满足条件，第三次循环，S=15，i=3，T=7，S=15×7=105，i=4不满足条件，第四次循环，i=4，满足条件，输出S=105，故答案为：105【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序条件进行模拟是解决本题的关键．根据上表可得回归直线方程：=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为70.12kg ．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，得到线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的高三男生的体重．【解答】解：由表中数据可得==170，==69，∵（，）一定在回归直线方程y=0.56x+a上，∴69=0.56×170+a，解得a=﹣26.2∴y=0.56x﹣26.2，当x=172时，y=0.56×172﹣26.2=70.12．故答案为：70.12kg．【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．利用线性回归方程预测函数值，题目的条件告诉了线性回归方程的系数，省去了利用最小二乘法来计算的过程．属于基础题．12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为y=．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的离心率，利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出的值，由此能求出双曲线的渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，∴===，∴1+=，∴=，解得，∴C的渐近线方程为y==．故答案为：y=．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．13．已知命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（1，2）．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由题设知命题p：m≤1，命题q：m＜2，由p∨q为真命题，p∧q为假命题，知p真q假，或p假q真．由此能求出m的取值．【解答】解：∵命题p：实数m满足m﹣1≤0，命题q：函数y=（9﹣4m）x是增函数，∴命题p：m≤1，命题q：9﹣4m＞1，m＜2，∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p真q假，或p假q真．当p真q假时，，无解；当p假q真时，，故1＜m＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，得到关于b的不等式，求出b的范围．再利用离心率计算公式e=即可得出．【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴≥，解得b≥1．∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是（0，]．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题15．已知圆C的圆心在直线y=x上，半径为5且过点A（4，5），B（1，6）两点（1）求圆C的方程；（2）过点M（﹣2，3）的直线l被圆C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）设圆心坐标为（a，a），则（a﹣1）2+（a﹣6）2=（a﹣4）2+（a﹣5）2=25，求出a，即可求圆C的方程；（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，设圆心坐标为（a，a），则（a﹣1）2+（a﹣6）2=（a﹣4）2+（a﹣5）2=25∴a=1∴圆C的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，∴l：x=﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．16．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取部分学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，图中从左到右各小长方形的高之比是2：3：3：x：5：1，最后一组的频率数3，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数落在[120，130）的频率及从参加高三模拟考试的学生中随机抽取的学生的人数；（2）估计本次考试的中位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由题意及频率分布直方图的性质能求出分数在[120，130）内的频率．（2）由题意，[110，120）分数段的人数为9人，[120，130）分数段的人数为18人．用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，利用分层抽样定义所以需在分数段[110，120）内抽取2人，在[120，130）内抽取4人，由此能求出至多有1人在分数段[120，130）内的概率．（3）由频率分布直方图估计样本数据的中位数规律是中位数出现在在概率是0.5的地方【解答】解：（1）由已知得分数落在[100，110）的频数为3×3=9人，频率为0.015×10=0.15，∴分数落在[120，130）的频率为：1﹣（2×+0.15+0.15+5×+1×）=0.30．参加高三模拟考试的学生中随机抽取的学生的人数为：=60（人）．（2）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）．∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本∴需在分数段[110，120）内抽取2人，在[120，130）内抽取4人，至多有1人在分数段[120，130）内的概率：p=1﹣=1﹣=．（3）由频率分布直方图，得最高的小矩形的面积是0.3，其左边各小组的面积和是0.4，右边各小组的面积和是0.3．故中位数是120+×10≈123.33．【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及概率和中位数的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．17．设点，动圆P经过点F且和直线相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．（Ⅰ）求曲线W的方程；（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l1，l2，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）由题意可知，动圆到定点的距离与到定直线的距离相等，其轨迹为抛物线，写出其方程．（2）设出l1的方程y=kx+，联立l1和抛物线的方程，将AB的长度用k表示出来，同理，l2的方程为y=，将CD的长度也用k表示出来．再由四边形面积公式|AB|•|CD|，算出表达式，再用不等式放缩即得．【解答】解：（Ⅰ）过点P作PN垂直直线于点N．依题意得|PF|=|PN|，所以动点P的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线，即曲线W的方程是x2=6y（Ⅱ）依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为，由l1⊥l2得l2的方程为．将代入x2=6y，化简得x2﹣6kx﹣9=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6k，x1x2=﹣9．∴，同理可得．∴四边形ACBD的面积，当且仅当，即k=±1时，S min=72．故四边形ACBD面积的最小值是72．【点评】高考中对圆锥曲线基本定义的考查仍是一个重点，本题中，对于对角线互相垂直的四边形的面积，可用两条对角线长的乘积的表示．18．过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，c的方程组，求解方程组的a，c的值，由b2=a2﹣c2求得b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，设出圆的方程，分直线PQ的斜率存在和不存在讨论，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q两点横纵坐标的积，由⊥得其数量积等于0，代入坐标的乘积得到k和t的关系，再由圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径，然后验证直线斜率不存在时成立．从而得到满足条件的圆存在．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，解得：，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1．故椭圆Γ的方程为；（Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）．当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，①∵，∴x1x2+y1y2=0，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．②将①代入②，得，即t2=（1+k2）．∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切，∴r==∈（0，1），∴存在圆x2+y2=满足条件．当直线PQ的斜率不存在时，易得=，代入椭圆Γ的方程，得=，满足．综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用把直线和圆锥曲线联立，利用根与系数的关系求解，考查了计算能力，属高考试卷中的压轴题．。

2017-2018学年天津市滨海新区高二(上)期末数学试卷(理科)(a卷)(解析版)

2017-2018学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（y，﹣3）的直线的倾斜角为，则y＝（）A．﹣8B．﹣3C．0D．82．（5分）如果命题“￢（p∨q）”为假命题，则（）A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题3．（5分）已知两条直线y＝ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1＝0互相平行，则a等于（）A．﹣1或3B．﹣1或3C．1或3D．1或﹣34．（5分）已知条件p：k＝；条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β②若l∥α，α∥β，则l∥β③若l⊥α，α∥β，则l⊥β④若l∥α，α⊥β，则l⊥β其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3 个D．4个7．（5分）直线ax+by+c＝0与圆x2+y2＝9相交于两点M，N，若c2＝a2+b2，则•（O 为坐标原点）等于（）A．﹣7B．﹣14C．7D．148．（5分）已知抛物线C1：y2＝8x的焦点F到双曲线C2：的渐近线的距离为，P是抛物线C1的一动点，P到双曲线C2的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x+2＝0的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）一个圆锥的母线长为2cm，底面半径为1cm，则圆锥的体积为cm3 10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3＝0，那么a等于．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的表面积为．12．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的交点F恰好是双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为．13．（5分）已知圆锥曲线E的方程为：命题p：E的方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：圆锥曲线E的离心率，若命题￢p∧q为真命题，则实数k 的取值范围是．14．（5分）如图，设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，、过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2的内切圆的面积为4，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则|y1﹣y2|值为．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（12分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4＝0．（I）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（II）设直线/与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点，P A＝AB＝2．（I）求证：EF∥平面PCD；（II）求直线EF与平面P AB所成的角．17．（13分）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD ＝，AD＝2，DE＝．（Ⅰ）异面直线AE与DC所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面AEF⊥平面CEF；（Ⅲ）在线段AB取一点N，当二面角N﹣EF﹣C的大小为60°时，求|AN|．18．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：k＝tan＝＝﹣1，解得y＝﹣8，故选：A．2．【解答】解：命题“￢（p∨q）”为假命题，则命题p∨q为真命题，则p或q中至少有一个为真命题．故选：C．3．【解答】解：∵两条直线y＝ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1＝0互相平行，∴﹣（a+2）≠0，，解得a＝1或﹣3．故选：D．4．【解答】解：由直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，可得：＝1，解得k＝．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为五面体ABCEFG，是正三棱柱截去一个角，其体积V＝．6．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在①中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故①错误；在②中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故②错误；在③中，若l⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故③正确；在④中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故④错误．∴其中正确命题的个数是1．故选：A．7．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由方程组，消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣9b2）＝0，∴x1x2＝；消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c2﹣9a2）＝0，∴y1y2＝；∴•＝x1x2+y1y2＝＝＝＝﹣7；故选：A．8．【解答】解：抛物线C1：y2＝8x的焦点F（2，0），双曲线C2：一条渐近线的方程为ax﹣by＝0，∵抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，＝，∴2b＝a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x＝﹣2的距离之和的最小值为3，∴丨FF1丨＝3，∴c2+4＝9，∵c2＝a2+b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1，∴双曲线的方程；故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：圆锥的母线长为2cm，底面半径为1cm，所以圆锥的高为：＝，所以圆锥的体积为：＝（cm3）故答案为：．10．【解答】解：∵点M（0，﹣1），N（2，3），∴k MN＝＝2，∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3＝0，∴2×＝﹣1，解得a＝1．故答案为1．11．【解答】解：∵正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，∴正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：π×＝，解得a＝，∴正方体的表面积为，故答案为：18．12．【解答】解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F∴两条曲线交点为（，p），代入双曲线方程得﹣＝1，又＝c∴﹣4×＝1，化简得c4﹣6a2c2+a4＝0∴e4﹣6e2+1＝0∴e2＝3+2＝（1+）2∴e＝+1故答案为：．13．【解答】解：命题P：0＜k＜2；命题q：因为离心率e∈（），∴圆锥曲线是双曲线，∴k＜0，a2＝2，b2＝﹣k，c2＝2﹣k，＜；∴﹣4＜k＜﹣2，又￢p∧q为真命题，所以，∴﹣4＜k＜﹣2，实数k的取值范围是：（﹣4，﹣2）．14．【解答】解：∵椭圆椭圆中，a2＝25且b2＝9，∴a＝5，b＝3，c＝＝4，可得椭圆的焦点分别为F1（﹣4，0）、F2（4，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆面积为S＝πr2＝4，∴r＝，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）r＝×20×＝10，又△ABF 2的面积S＝+＝|y1|•|F1F2|+|y2|•|F1F2|＝（|y1|+|y2|）•|F1F2|＝4|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧）∴4|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．【解答】解：（Ⅰ）由已知，直线l的方程为y＝x，圆C圆心为（0，3），半径为，∴圆心到直线l的距离为．∴所求弦长为2；（Ⅱ）设A（x1，y1），∵A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．又A，B在圆C上，∴x12+y12﹣6y1+4＝0，4x12+4y12﹣12y1+4＝0．解得y1＝1，x1＝±1，即A（1，1）或A（﹣1，1）．∴直线l的方程为y＝x或y＝﹣x．16．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则E（1，1，0），F（1，0，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），＝（0，﹣1，1），（2，0，0），＝（0，﹣2，2），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），∵＝0，EF⊄平面PCD，∴EF∥平面PCD．解：（II）平面P AB的法向量＝（0，1，0），设直线EF与平面P AB所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，∴θ＝45°，∴直线EF与平面P AB所成的角为45°．17．【解答】解：（Ⅰ）∵AB∥DC，∴∠BAE就是异面直线AE与DC所成的角，连接BE，在△ABE中，，∴，∴异面直线AE与DC所成的角余弦值为．…（4分）证明：（Ⅱ）取EF的中点M．由于ED⊥面ABCD，ED∥FB，∴ED⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB，又ABCD是菱形，BDEF是矩形，∴△ADE，△EDC，△ABF，△BCF是全等三角形，∴AE＝AF，CE＝CF，∴AM⊥EF，CM⊥EF，∴∠AMC是二面角A﹣EF﹣C的平面角…（6分）由题意，，∴AM2+CM2＝AC2，即AM⊥MC．∴∠AMC＝90°，∴平面AEF⊥平面CEF．…（8分）解：（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由AD＝2，则M（），C（0，2，0），，，．平面CEF的法向量．（10分）设，则，设平面NEF的法向量，则，即，令x＝1，则，得．（11分）因为二面角N﹣EF﹣C的大小为60°，所以，…（12分）整理得λ2+6λ﹣3＝0，解得，…（13分）所以…（14分）18．【解答】解：（1）a＝2，b＝c，a2＝b2+c2，∴b2＝2；∴椭圆方程为（4分）（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2＝4，得（6分）∵x1＝﹣，∴，∴，∴（8分）∴（定值）（10分）（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）（12分）则由，从而得m＝0∴存在Q（0，0）满足条件（14分）。

2017-2018年天津市部分区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2017-2018学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设A（x 1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x 1+x2=﹣，x1x2=，∴y 1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，∴k AD •k BD =﹣1，∴y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， ∴m 1=﹣2k ，m 2=﹣k ，且均满足3+4k 2﹣m 2＞0，（9分）当m 1=﹣2k 时，l 的方程为y=k （x ﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾，当m 1=﹣k 时，l 的方程为y=k （x﹣），则直线过定点（，0） ∴直线l 过定点，定点坐标为（，0）．（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为yxo减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2016-2017年天津市滨海新区高二(上)期末数学试卷和答案(理科)(a卷)

2016-2017学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）在空间直角坐标系中，若点A（1，﹣2，3），点B（2，5，6），则=（）A．（1，7，3）B．（﹣1，﹣7，3） C．（1，﹣2，3）D．（2，5，6）2．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β3．（5分）已知条件p：m＞，条件q：点P（m，1）在圆x2+y2=4外，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设A，B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣2=0 B．3x+4y+8=0 C．3x+4y+6=0 D．4x﹣3y﹣6=05．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆总被包围在椭圆内部（包含边界），则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，]C．（0，]D．[，1）6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）下列说法中，正确的个数是（）①若一个球的体积为4π，则它的表面积为12π；②若长方体的棱长分别为4，3，2，则此长方体的对角线长为29；③对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0；④圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2+6x﹣4y=0的位置关系是相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，椭圆C上两点M，N 在轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线MN的斜率为，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为⊙Q（Q为圆心）．若直线3x+4y+=0，与⊙Q相交于E，F两点，且•=﹣a2，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分）.9．（5分）若直线l1：ax+2y﹣8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，则a=．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为m3．11．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD 的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．12．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为其等边三角形时，其面积为．13．（5分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x0∈R，使x02+2ax0+2﹣a=0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）设F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若A，F1，F2三点共圆，以F1F2为直径，且||=2||，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（12分）已知圆C的圆心为（1，2）且与直线2x+y+1=0相切．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l过点（﹣1，1）且被圆C截得的弦长为2，求直线l方程．16．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=BC=2且AB⊥BC．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥侧面A1ABB1；（Ⅱ）求直线AC与平面A1BC所成角的大小．17．（13分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面相互垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求锐二面角A﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（13分）椭圆G：+=1（a＞b＞0）的对称中心是坐标原点O，其短轴的一个端点为B，焦点F（c，0）（c＞0），△OBF为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5．（i）求此时椭圆G的方程；（ii）设斜率为k（k≠0）的直线与椭圆G交于互异两点S，T，Q为线段ST的中点，问S，T两点能否关于过点P（0，﹣）和Q的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，说明理由．2016-2017学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）在空间直角坐标系中，若点A（1，﹣2，3），点B（2，5，6），则=（）A．（1，7，3）B．（﹣1，﹣7，3） C．（1，﹣2，3）D．（2，5，6）【解答】解：空间直角坐标系中，点A（1，﹣2，3），点B（2，5，6），则=（2﹣1，5+2，6﹣3）=（1，7，3）．故选：A．2．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选：C．3．（5分）已知条件p：m＞，条件q：点P（m，1）在圆x2+y2=4外，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵m＞，∴m2+1＞4，∴点P（m，1）在圆x2+y2=4外．即条件p：m＞⇒条件q：点P（m，1）在圆x2+y2=4外；点P（m，1）在圆x2+y2=4外⇒m2+1＞4⇒m＞或m．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）设A，B是直线3x+4y+2=0与圆x2+y2+4y=0的两个交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣2=0 B．3x+4y+8=0 C．3x+4y+6=0 D．4x﹣3y﹣6=0【解答】解：由圆的性质可知弦的垂直平分线必过圆心，且垂直平分线垂直于AB由圆x2+y2+4y=0，得圆心为（0，﹣2）又k AB•k垂=﹣1，且k AB=﹣，=，∴k垂∴线段AB的垂直平分线的方程为y+2=x，整理，得：4x﹣3y﹣6=0．故选：D．5．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆总被包围在椭圆内部（包含边界），则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，]C．（0，]D．[，1）【解答】解：∵F1，F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆总被包围在椭圆内部（包含边界），∴c≤b．∴c2≤b2=a2﹣c2，化为≤，∴e2≤，解得0＜e≤．故选：C．6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：B．7．（5分）下列说法中，正确的个数是（）①若一个球的体积为4π，则它的表面积为12π；②若长方体的棱长分别为4，3，2，则此长方体的对角线长为29；③对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0；④圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2+6x﹣4y=0的位置关系是相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于①，若一个球的体积为4π，则球的半径为：r=，则它的表面积为4πr2=12π；①正确；对于②，若长方体的棱长分别为4，3，2，则此长方体的对角线长为：=≠29；所以②不正确；对于③，对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0；所以③不正确；对于④，圆C1：x2+y2=4的圆心（0，0），半径为2，圆C2：x2+y2+6x﹣4y=0的圆心（﹣3，2），半径为：，两个圆的圆心距为：=∈（，2+），所以两个圆的位置关系是相交．正确；故选：B．8．（5分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，椭圆C上两点M，N 在轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2，直线MN的斜率为，过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B，△AF1B的外接圆为⊙Q（Q为圆心）．若直线3x+4y+=0，与⊙Q相交于E，F两点，且•=﹣a2，则椭圆C的方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【解答】解：（1）由条件可知M（﹣c，﹣），N（c，）由k MN=⇒a=2c，b=∴，B（3c，0），从而Q（c，0）．半径为a，∵•=﹣a2，则所以∠EMF=120°，可得Q到直线l的距离为．⇒，结合a=2c，得c=2，所以椭圆方程为：故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分）.9．（5分）若直线l1：ax+2y﹣8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，则a=1．【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，∴，解得a=1．故答案为：1．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为8+πm3．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是边长为2的正方体与半圆锥体的组合体，结合图中数据，计算该几何体的体积为V组合体=V正方体+V半圆锥体=23+××π×12×=（8+π）m3．故答案为：8+π．11．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD 的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案为：12．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为其等边三角形时，其面积为4．【解答】解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，设P（，m），则M（﹣1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0），所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，∴等边三角形边长为4，其面积为4．故答案为：4．13．（5分）已知p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，q：“∃x0∈R，使x02+2ax0+2﹣a=0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，∴a≤（x2）min=1，∴a≤1．q：“∃x0∈R，使x02+2ax0+2﹣a=0”，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2．∵命题“p且q”是真命题，∴p与q都为真命题．∴，解得a≤﹣2或a=1．则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．故答案为：a≤﹣2，或a=1．14．（5分）设F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若A，F1，F2三点共圆，以F1F2为直径，且||=2||，则双曲线的离心率为．【解答】解：由题意F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，设|AF1|=m，||=2||，则|BF2|=2m，∴|AF2|=﹣2a+m，|BF1|=2a+2m，若A，F1，F2三点共圆，以F1F2为直径，可得AF2⊥AF1，∴（2a+2m）2=（﹣2a+3m）2+m2，∴m=a，∵（2c）2=（﹣2a+m）2+（m）2，4c2=a2，∴e==．故答案为：．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（12分）已知圆C的圆心为（1，2）且与直线2x+y+1=0相切．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l过点（﹣1，1）且被圆C截得的弦长为2，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的圆心为（1，2）且与直线2x+y+1=0相切，∴圆C的半径r为圆心（1，2）到直线2x+y+1=0的距离，∴r=d==，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．（Ⅱ）∵直线l过点（﹣1，1）且被圆C截得的弦长为2，∴当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣1，联立，得或，直线l过点（﹣1，1）且被圆C截得的弦长为2，成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1=k（x+1），即kx﹣y+k+1=0，圆心C（1，2）到直线l的距离d==∵直线l过点（﹣1，1）且被圆C截得的弦长为2，∴2=2=2，解得k=﹣，∴直线l方程为y﹣1=﹣（x+1），即3x+4y﹣1=0．综上，直线l的方程为x=﹣1或3x+4y﹣1=0．16．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=BC=2且AB⊥BC．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥侧面A1ABB1；（Ⅱ）求直线AC与平面A1BC所成角的大小．【解答】证明：（I）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，又BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（II）在平面ABB1A1中，过A作AD⊥A1B，垂足为D，连接CD．由（I）知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AD，又AD⊥A1B，A1B∩BC=B，∴AD⊥平面A1BC，∴∠ACD为直线AC与平面A1BC所成角．∵AA1=AB=BC=2，AB⊥BC，AA1⊥平面ABC，∴AC=2，A1B=2，∴AD==，∴sin∠ACD==，即∠ACD=30°．∴直线AC与平面A1BC所成角为30°．17．（13分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面相互垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求锐二面角A﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD．因为ED⊂平面EOD所以AB⊥ED．（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB 所以EO⊥平面ABCD，因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，则O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．可得平面ABE的一个法向量为=（0，1，0）．设平面DBE的法向量为．，由，可得cos=∴锐二面角A﹣BE﹣D的余弦值为：．（Ⅲ）解：存在点F，且=时，有EC∥平面FBD．证明如下：由得F（﹣，0，），．又设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则取a=1，得=（1，1，2）．因为=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，即，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足时，有EC∥平面FBD．18．（13分）椭圆G：+=1（a＞b＞0）的对称中心是坐标原点O，其短轴的一个端点为B，焦点F（c，0）（c＞0），△OBF为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5．（i）求此时椭圆G的方程；（ii）设斜率为k（k≠0）的直线与椭圆G交于互异两点S，T，Q为线段ST的中点，问S，T两点能否关于过点P（0，﹣）和Q的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，b=c，∴a2=b2+c2=2c2，得，则e=；（Ⅱ）（i）当e=时，椭圆为．设H（x，y）是椭圆上一点，则|HN|2=x2+（y﹣3）2=（2b2﹣2y2）+（y﹣3）2=﹣（y+3）2+2b2+18，（﹣b≤y≤b），设0＜b＜3，则﹣3＜﹣b＜0，当y=﹣b时，|HN|max2=b2+6b+9，由题意得b2+6b+9=50∴b=﹣3±5，与0＜b＜3矛盾，设b≥3，则﹣b≤﹣3，当y=﹣3时，|HN|max2=2b2+18，由2b2+18=50得b2=16，（合题薏）．∴椭圆G的方程是：；（ii）设l：y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣32=0，由△＞0，可得m2＜32k2+16，又S、T两点关于过点P（0，﹣）、Q的直线对称，∴，设S（x1，y1），T（x2，y2），则，y Q=，∴，∴m=，∴（）2＜32k2+16，得0＜k2＜，又k≠0，∴﹣＜k＜0或0＜k＜，∴k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．。

2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1．（ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，（1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞）故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2．由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=，故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件，故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1，故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果．【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1，故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|．【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1，由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12，故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点，（1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。

2016-2017学年天津市部分区高二下学期期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（理科）一.选择题（每题4分）1．（4分）i是虚数单位，等于（）A．i B．﹣i C．+i D．﹣i2．（4分）已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），由这些数据得到的回归直线l的方程为=，若=，=，则下列各点中一定在l上的是（）A．（，）B．（，0）C．（0，）D．（0，0）3．（4分）已知函数f（x）=x3﹣x+2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．4x﹣y﹣2=0 B．4x﹣y+2=0 C．2x﹣y=0 D．2x﹣y﹣3=04．（4分）某学生通过计算发现：21﹣1=12能被12整除，32﹣1=2×22能被22整除，43﹣1=7×32能被32整除，由此猜想当n∈N*时，（n+1）n﹣1能够被n2整除．该学生的推理是（）A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．逻辑推理5．（4分）已知随机变量ξ的分布如下：ξ123P1﹣2a2则实数a的值为（）A．﹣或﹣B．或C．﹣或D．或﹣6．（4分）（）6的展开式的中间一项为（）A．﹣20x3B．20x3 C．﹣20 D．207．（4分）在两个分类变量的独立性检验过程中有如下表格：P（K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879已知两个分类变量X和Y，如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X和Y 有关系，则随机变量K2的观测值可以位于的区间是（）A．（0.05，0.10）B．（0.025，0.05）C．（2.706，3.841） D．（3.841，5.024）8．（4分）已知X～B（10，），则（）A．EX=，DX=B．EX=，DX=C．EX=，DX=D．EX=，DX=9．（4分）若m，n∈N*，且n≥m，则下列说法正确的是（）A．≥ B．＞ C．=D．≠10．（4分）函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题11．（4分）i是虚数单位，a，b∈R，若=bi，则a﹣b=．12．（4分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的5位数，其中2，4不相邻的数有个．13．（4分）（3x2+2x+1）dx=．14．（4分）已知甲猜谜猜对的概率为，乙猜谜猜对的概率为．若甲、乙二人各猜一次谜，则恰有一人猜对的概率为．15．（4分）若（2x﹣1）6=a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，则=．三.解答题16．（12分）已知i是虚数单位，a，b∈R，z1=a﹣1+（3﹣a）i，z2=b+（2b﹣1）i，z1=z2．（1）求a，b的值；（2）若z=m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，求证：|z+a+bi|≥．17．（12分）某射击队有8名队员，其中男队员5名，女队员3名，从中随机选3名队员参加射击表演活动．（1）求选出的3名队员中有一名女队员的概率；（2）求选出的3名队员中女队员人数比男队员人数多的概率．18．（12分）5个人排成一排，要求甲排在中间，乙不排在两端，记满足条件的所有不同排法的种数为m．（1）求m的值；（2）求的展开式的常数项．19．（12分）盒中有标号分别为0，1，2，3的球各一个，这些球除标号外均相同．从盒中依次摸取两个球（每次一球，摸出后不放回），记为一次游戏．规定：摸出的两个球上的标号之和等于5为一等奖，等于4为二等奖，等于其它为三等奖．（1）求完成一次游戏获三等奖的概率；（2）记完成一次游戏获奖的等级为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知函数f（x）=x4﹣2x3，g（x）=﹣4x2+4x﹣2，x∈R．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞g（x）．2016-2017学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每题4分）1．（4分）（2017春•天津期末）i是虚数单位，等于（）A．i B．﹣i C．+i D．﹣i【分析】根据复数的运算法则计算即可【解答】解：===﹣i，故选：D．【点评】本题考查了复数的混合运算，属于基础题2．（4分）（2017春•天津期末）已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），由这些数据得到的回归直线l的方程为=，若=，=，则下列各点中一定在l上的是（）A．（，）B．（，0）C．（0，）D．（0，0）【分析】根据线性回归方程过样本中心点，即可得出答案．【解答】解：根据题意，回归直线l的方程=过样本中心点（，）．故选：A．【点评】本题考查了线性回归直线过样本中心点的应用问题，是基础题．3．（4分）（2017春•天津期末）已知函数f（x）=x3﹣x+2，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．4x﹣y﹣2=0 B．4x﹣y+2=0 C．2x﹣y=0 D．2x﹣y﹣3=0【分析】先求切线斜率，即f′（1）=3﹣2=1，然后求解切点坐标，由点斜式即可求出切线方程．【解答】解：函数f（x）=x3﹣x+2，f（1）=2，可得f′（x）=3x2﹣1，所以x=1，f′（1）=3﹣1=2，即函数y=x3﹣x+2在点（1，2）处的切线斜率是2，所以切线方程为：y﹣2=2×（x﹣1），即2x﹣y=0．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程问题，函数在某点处的导数为该点处的切线斜率．4．（4分）（2017春•天津期末）某学生通过计算发现：21﹣1=12能被12整除，32﹣1=2×22能被22整除，43﹣1=7×32能被32整除，由此猜想当n∈N*时，（n+1）n﹣1能够被n2整除．该学生的推理是（）A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．逻辑推理【分析】本题考查的是归纳推理的定义，判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程【解答】解：21﹣1=12能被12整除，32﹣1=2×22能被22整除，43﹣1=7×32能被32整除，由此猜想当n∈N*时，（n+1）n﹣1能够被n2整除．此推理方法是从特殊到一般的推理，所以是归纳推理，故选：B．【点评】判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．5．（4分）（2017春•天津期末）已知随机变量ξ的分布如下：ξ123P1﹣2a2则实数a的值为（）A ．﹣或﹣B ．或C ．﹣或D ．或﹣【分析】利用离散型随机变量分布列的性质列出方程，能求出实数a的值．【解答】解：由随机变量ξ的分布知：，解得a=或a=．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想，是基础题．6．（4分）（2017春•天津期末）（）6的展开式的中间一项为（）A．﹣20x3B．20x3 C．﹣20 D．20【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（）6的展开式的中间一项为：=﹣x3=﹣20x3．故选：A．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力应用计算能力，属于基础题．7．（4分）（2017春•天津期末）在两个分类变量的独立性检验过程中有如下表格：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.005P（K2≥k0）k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879已知两个分类变量X和Y，如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X和Y 有关系，则随机变量K2的观测值可以位于的区间是（）A．（0.05，0.10）B．（0.025，0.05）C．（2.706，3.841） D．（3.841，5.024）【分析】根据在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X和Y有关系，对照临界值得出随机变量K2的观测值应满足的范围．【解答】解：根据题意，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X和Y有关系，则随机变量K2的观测值k应满足：3.841＜k＜5.024，即（3.841，5.024）．故选：D．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．8．（4分）（2017春•天津期末）已知X～B（10，），则（）A．EX=，DX=B．EX=，DX=C．EX=，DX=D．EX=，DX=【分析】利用期望与方差公式，求解即可．【解答】解：由题意可得：EX=10×=，DX=10×=．故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方程，考查计算能力．9．（4分）（2017春•天津期末）若m，n∈N*，且n≥m，则下列说法正确的是（）A．≥ B．＞ C．=D．≠【分析】m=1时，==n，当n＞m时，＞．由此得到≥．【解答】解：∵m，n∈N*，且n≥m，∴当n＞m=1时，==n，当n＞m时，＞．∴≥．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查排列数公式、组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10．（4分）（2017春•天津期末）函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】判断f（x）的单调性，作出f（x）的函数图象，根据函数图象判断结论．【解答】解：当0＜x≤1时，y=lnx≤0，且y=lnx在（0，1]上单调递增，∴f（x）在（0，1]上单调递减，当x＞1时，令h（x）=lnx﹣x2+2，y′=﹣2x=＜0，∴h（x）=lnx﹣x2+2在（1，+∞）上单调递减，又h（1）=1，∴f（x）=|h（x）|在（1，+∞）先减后增，作出f（x）的函数图象如图所示：∴方程f（x）=1有两解．∴g（x）=f（x）﹣1有两个零点．故选B．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题．二.填空题11．（4分）（2017春•天津期末）i是虚数单位，a，b∈R，若=bi，则a﹣b=﹣6．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数相等的条件列出方程组，求解可得a，b的值，则a﹣b可求．【解答】解：∵===bi，∴，解得a=﹣3，b=3．则a﹣b=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．12．（4分）（2017春•天津期末）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的5位数，其中2，4不相邻的数有72个．【分析】根据题意，用插空法分2步进行分析：①、将1、3、5三个数全排列，分析排好后的空位，②、在空位中，任选2个，安排2和4，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将1、3、5三个数全排列，有A33=6种情况，排好后有4个空位，②、在4个空位中，任选2个，安排2和4，有A42=12种情况，则2，4不相邻的数有6×12=72个；故答案为：72．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意2、4不能相邻，用插空法分析．13．（4分）（2017春•天津期末）（3x2+2x+1）dx=4．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（3x2+2x+1）dx=（x3+x2+x）|=（1+1+1）﹣（﹣1+1﹣1）=4，故答案为：4．【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题．14．（4分）（2017春•天津期末）已知甲猜谜猜对的概率为，乙猜谜猜对的概率为．若甲、乙二人各猜一次谜，则恰有一人猜对的概率为．【分析】设事件A表示“甲猜对”，事件B表示乙猜对，甲、乙二人各猜一次谜，则恰有一人猜对的概率为P（A+B）=P（A）+P（B），由此能求出结果．【解答】解：设事件A表示“甲猜对”，事件B表示乙猜对，则P（A）=，P（B）=，∴甲、乙二人各猜一次谜，则恰有一人猜对的概率：P（A+B）=P（A）+P（B）=+（1﹣）×=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式的合理运用．15．（4分）（2017春•天津期末）若（2x﹣1）6=a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，则=﹣1．【分析】在所给的式子中，令x=0，可得a7 =1，再分别令x=1，x=﹣1，得到2个等式①②，由①②求得a1 +a3 +a5 和a2+a4+a6 的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵（2x﹣1）6=a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7，令x=0，可得a7 =1，令x=1，可得a1 +a2+a3 +a4+a5+a6+a7 =1，即a1 +a2+a3 +a4+a5 +a6 =0 ①，再令x=﹣1，可得a1 ﹣a2+a3 ﹣a4+a5﹣a6 +a7 =36，即a1 ﹣a2+a3 ﹣a4+a5﹣a6=36﹣1 ②，由①②可得，a1 +a3 +a5 =，a2+a4+a6 =，∴=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．三.解答题16．（12分）（2017春•天津期末）已知i是虚数单位，a，b∈R，z1=a﹣1+（3﹣a）i，z2=b+（2b﹣1）i，z1=z2．（1）求a，b的值；（2）若z=m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，求证：|z+a+bi|≥．【分析】（1）由复数相等的条件列出方程组，求解即可得答案；（2）把z和a，b的值代入|z+a+bi|，再结合复数求模以及配方法即可证得结论．【解答】（1）解：由z1=a﹣1+（3﹣a）i，z2=b+（2b﹣1）i，由z1=z2，得，解得，∴a=2，b=1；（2）证明：∵z=m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，∴|z+a+bi|=|m﹣2+（1﹣m）i+2+i|===．当且仅当m=1时上式取等号，∴|z+a+bi|≥．【点评】本题考查了复数相等的条件，考查了复数模的求法以及利用配方法求最值，是基础题．17．（12分）（2017春•天津期末）某射击队有8名队员，其中男队员5名，女队员3名，从中随机选3名队员参加射击表演活动．（1）求选出的3名队员中有一名女队员的概率；（2）求选出的3名队员中女队员人数比男队员人数多的概率．【分析】（1）先求出基本事件总数n==56，再求出选出的3名队员中有一名队员包含的基本事件个数m==30，由此能求出选出的3名队员中有一名队员的概率．（2）选出的3名队员中女队员人数比男队员人数多包含选出3名女队员和选出2名女队员1名男队员，由此能求出选出的3名队员中女队员人数比男队员人数多的概率．【解答】解：（1）某射击队有8名队员，其中男队员5名，女队员3名，从中随机选3名队员参加射击表演活动．基本事件总数n==56，选出的3名队员中有一名队员包含的基本事件个数m==30，∴选出的3名队员中有一名队员的概率p==．（2）选出的3名队员中女队员人数比男队员人数多包含选出3名女队员和选出2名女队员1名男队员，∴选出的3名队员中女队员人数比男队员人数多的概率：p==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．（12分）（2017春•天津期末）5个人排成一排，要求甲排在中间，乙不排在两端，记满足条件的所有不同排法的种数为m．（1）求m的值；（2）求的展开式的常数项．【分析】（1）利用排列组合的知识先排甲、再排乙，其余的任意排，从而求得结果．（2）先求得的展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r 的值，可得展开式的常数项．【解答】解：（1）5个人排成一排，要求甲排在中间，乙不排在两端，则乙在中间的2个位置上，则所有的方法有m=••=12，（2）=的展开式的通项公式为T r=•（﹣2）r•，+1令=0，求得r=3，可得展开式的常数项为﹣8•=﹣672．【点评】本题主要考查排列组合、二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．19．（12分）（2017春•天津期末）盒中有标号分别为0，1，2，3的球各一个，这些球除标号外均相同．从盒中依次摸取两个球（每次一球，摸出后不放回），记为一次游戏．规定：摸出的两个球上的标号之和等于5为一等奖，等于4为二等奖，等于其它为三等奖．（1）求完成一次游戏获三等奖的概率；（2）记完成一次游戏获奖的等级为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）求出从盒中依次摸取两个球的基本事件数，计算一等奖与二等奖的摸法情况，利用对立事件的概率计算所求的概率值；（2）根据题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量ξ的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）从盒中依次摸取两个球，基本事件数为=6，摸出两球的标号之和等于5时有1种情况，摸出两球标号之和为4时有1种情况；所以完成一次游戏获三等奖的概率为P=1﹣=；（2）记完成一次游戏获奖的等级为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3；且P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=；∴随机变量ξ的分布列为：ξ123P数学期望为Eξ=1×+2×+3×=2.5．【点评】本题考查了离散型随机变量分布列与数学期望的计算问题，是基础题．20．（12分）（2017春•天津期末）已知函数f（x）=x4﹣2x3，g（x）=﹣4x2+4x﹣2，x∈R．（1）求f（x）的最小值；（2）证明：f（x）＞g（x）．【分析】（1）f′（x）=4x3﹣6x2=2x2（2x﹣3），利用导数研究其单调性极值即可得出．（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x4﹣2x3+4x2﹣4x+2，x∈R．可得F′（x）=4x3﹣6x2+8x﹣4．由于F″（x）=12x2﹣12x+8＞0．可得函数F′（x）在R上单调递增，函数F′（x）在R上至多存在一个零点．又F′（0）=﹣4＜0，F′（1）=2＞0，可得函数F′（x）在R上存在一个零点x0∈（0，1）．只要证明F（x）min=F（x0）＞0，即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=4x3﹣6x2=2x2（2x﹣3），令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）≤0，解得：x≤，故f（x）在（﹣∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min=f（）=﹣2×=﹣；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x4﹣2x3+4x2﹣4x+2，x∈R．则F′（x）=4x3﹣6x2+8x﹣4．∴F″（x）=12x2﹣12x+8=12+5＞0．∴函数F′（x）在R上单调递增，∴函数F′（x）在R上至多存在一个零点．又F′（0）=﹣4＜0，F′（1）=2＞0，∴函数F′（x）在R上存在一个零点x0∈（0，1）．∴2﹣3+4x0﹣2=0．∴函数F（x）在（﹣∞，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．∴F（x）min=F（x0）=﹣2+﹣4x0+2=（2﹣3+4x0﹣2）+﹣2x0+=+＞0，∴f（x）＞g（x）．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值、函数零点、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

天津滨海新区2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

天津滨海新区2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题第I 卷(选择题共40分)一、选择题:每小题5分,共40分,把答案涂在答题卡上．1．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-B ．()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=- 2．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 13．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，若AB =a ，1AA=c ，BC = b ，则BM 可表示为ABCD 4．直线()1(1)y k x k -=-∈R 与2220x y y +-=的位置关系A ．相离或相切B ．相切C ．相交D ．相切或相交 5．方程22(0x y +-表示的曲线是A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线6．设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥．（2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥．11正(主)视图11俯视图侧(左)视图21（3）如果//,m αβα⊂，那么//m β．其中正确命题的个数A ．0B ．1C ．2D ．37；条件:q 直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p ¬是q ¬的A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线21:8C y x =的焦点F 到双曲线()22222:1,0,0y x C a b a b-=>>的渐近线的距离为P 是抛物线1C 的一动点，P 到双曲线2C 的上焦点()10,F c 的距离与到直线20x +=的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为A ．22123y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -=D ． 22132y x -=第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2228x y -=的实半轴长与虚轴长之比为 ▲ ．10．由直线1y x =+上的一点向圆()2231x y -+=引切线，则切线长的最小值为 ▲ ．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ▲ ． 12．如图，椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为43的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为 ▲ ． 13．若关于x 的方程243x x b x --=+只有一个解，则实数b 的取值范围是 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l ax by c ++=被圆2216x y +=截得的弦的中点为M ，且满足20a b c +-=，当||OM 取得最大值时，直线l 的方程是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分13分)已知圆锥曲线22:12x y E k+=．命题p ：方程E 表示焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：圆锥曲线E 的离心率e ∈，若命题p q ⌝∧为真命题，求实数k 的取值范围．16．(本小题满分13分)如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，F E ,分别是PB AC ,的中点，2PA AB ==．（Ⅰ）求证//EF 平面PCD ；（Ⅱ）求直线EF 与平面PAB 所成的角；（Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的外接球的体积．17． (本小题满分13分)已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．18． (本小题满分13分) 已知曲线C 在x 的上方，且曲线C 上的任意一点到点()0,1F 的距离比到直线2y =-的距离都小1．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设0m >，过点()0,M m 的直线与曲线C 相交于,A B 两点．①若△AFB 是等边三角形，求实数m 的值；②若0FA FB ⋅<，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分14分)如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，π3BAD ∠=，2AD =，DE =．（Ⅰ）异面直线AE 与DC 所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面AEF ⊥平面CEF ；（Ⅲ）在线段AB 取一点N ，当二面角N EF C --的大小为60︒时，求||AN ．20．(本小题满分14分)已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A ，B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．天津滨海新区2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题答题纸二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 10． 11．12． 13． 14．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15． (本小题满分13分)16．(本小题满分13分)17．(本小题满分13分)18． (本小题满分13分)天津滨海新区2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题答案一、选择题 (每小题5分,共40分．把答案涂在答题卡上．) 1．A 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．; 11．2+．57; 13．13b -<≤或1b =-．250x y ++=三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：因为22:12x y E k+=表示曲线，所以0k ≠．命题p 是真命题，则02k <<；……………………………………2分命题q是真命题时，因为e ∈，所以2222k-<<，解得42k -<<-．…………………………………………5分因为命题p q ⌝∧为真命题，所以p ⌝，q 均为真命题，……………………7分当p ⌝为真命题时，0k <或2k ≥．…………………………………………10分于是命题p q ⌝∧为真命题时，满足0,2,42k k k <≥⎧⎨-<<-⎩或解得42k -<<-．……………13分16.（Ⅰ）如图,连结BD ，则E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴PD EF //．又 ∵⊄EF 平面PCD ，⊂PD 面PCD ∴//EF 平面PCD ．……4分（Ⅱ）取AB 的中点H ，连接EH ，HF ．在正方形ABCD 中，E 是BD 的中点，有HE AB ⊥．∵ PA ⊥平面ABCD ，HE ⊂平面ABCD ，∴ PA HE ⊥， ∵PA AB A = ，∴HE ⊥平面PAB ，∴HF 是直线EF 在平面PAB 的射影，∴EFH ∠是直线EF 与平面PAB 所成的角．在直角三角形FEH 中，1HEHF ==，所以tanEFH ∠=1．∴直线EF 与平面PAB 所成的角为45︒．…………………………9分（Ⅲ）设四棱锥P A B C -的外接球半径为R ，2PA ABAD ===，则2R ==，即R =所以外接球的体积为3344ππ33V R ===．…………13分17．（Ⅰ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O到直线的距离bc d a==，由12d c =，得2a b ==，解得离心率c e a ==5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=． (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB的中点，且||AB =．易知，AB 不与x 轴垂直．设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=．…………………………7分设1122(,),(,),A x y B x y 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++……8分由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =．从而21282x x b =-．于是12||||AB x x =-==． (10)分由||AB==23b =．故椭圆E 的方程为221123x y +=．……………………………………………13分18．（Ⅰ）设点(),P x y 曲线C 上的任意一点，由题设有()||12PF y +=--，于是()()22211x y y +-=+，整理得24x y =．…………………………………2分由于曲线C 在x 的上方，所以0y >．所以曲线C 的方程24x y =()0y >．………………………………………3分（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ．①由题意||||AF BF =，即()()2222112211x y x y +-=+-，于是()()22221212110x x y y -+---=，将2112224,4x y x y ⎧=⎨=⎩代入，得()()121220y y y y -++=，由120,0y y >>，得12y y =．从而12x x =-，所以122||||2||AB x x x =-=．因为△AFB 是等边三角形，所以22||x =将2224x y =代入，2221410y y -+=,解得27y=±．此时7m =±8分（此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分） ②设直线:AB y kx m =+，联立24,x y y kx m⎧=⎨=+⎩得2440x kx m --=，()2160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-．()12122y y k x x m +=++，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++于是()()()()11221212,1,111FA FB x y x y x x y y ⋅=--=+--()1212121x x y y y y =+-++ 22614m m k =-+-．因为0FA FB ⋅<，即22614m m k -+<．因k ∈R ，从而2610m m -+<．解得33m -<<+13分 19．（Ⅰ）因为//AB DC ，所以BAE ∠就是异面直线AE 与DC 所成的角，连接BE ，在ABE ∆中，2,AB AE BE ==，于是cos BAE ∠==，所以异面直线AE 与DC 所成的角余弦值．……………4分（Ⅱ）取EF 的中点M ．由于ED ⊥面ABCD ,ED ∥FB ,∴,,,ED AD ED DC FB BC FB AB ⊥⊥⊥⊥，又ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，所以，,,,ADE EDC ABF BCF ∆∆∆∆是全等三角形，,,CF CE AF AE ==所以EF CM EF AM ⊥⊥,，AMC ∠就是二面角C EF A --的平面角 …6分经计算AM CM ==AC =222AM CM AC +=，即AM MC ⊥．所以平面AEF ⊥平面CEF ．…………………8分（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由.2=AD 则)3,21,23(M ，)0,2,0(C，A，(E，F．平面CEF的法向量132n AM ⎛== ⎝ ．10分设),0N λ，则,EN λ=，)EF =设平面NEF 的法向量()2,,n x y z = ，则220EF n EN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00y my ⎧+=⎪+=，令1x =，则1y z λ==-，得()21,n λ=- ．11分因为二面角N EF C --的大小为60︒，所以)22|1|cos 60||||n AN n AN λ+-⋅︒==⋅ ，……………………12分整理得2630λλ+-=，解得3λ=，……………………………13分所以||2AN =……………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）如图，由题意得，22b c==．∴b c ==2a =．∴ 所求的椭圆方程为22142x y +=． …………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C （2-，0），D （2，0）． ……………………4分z由题意可设CM ：(2)y k x =+，P （1x ，1y ）．MD CD ⊥，∴M （2，4k ）………………………………………5分由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得2222(12)8840k x k x k +++-=． 21284212k x k --=+，得2122412k x k -=+．……7分 ∴1124(2)12k y k x k =+=+， 222244(,)1212k k P k k -++．………………8分 ∴222222444(12)244121212k k k OM OP k k k k-+⋅=⋅+⋅==+++ ． …………………9分（Ⅲ）设0(,0)Q x ，则02x ≠-．若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ DP ⊥，即0MQ DP ⋅= ……10分由（Ⅱ）可知0(2,4)QM x k =- ，22284(,)1212k k DP k k-=++ ． …………12分 ∴202284(2)401212k k QM DP x k k k -⋅=-⋅+⋅=++ ．即2028012k x k =+恒成立． ∴00x =．∴存在(0,0)Q 使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点．… 14分。

数学---天津市和平区2016-2017学年高二(上)期末试卷(理)(解析版)

2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（3分）已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．（3分）在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．（3分）已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．（3分）抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y=B．y=C．x=D．x=6．（3分）焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．（3分）直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．（3分）已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．（3分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（3分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11．（5分）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．（5分）（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB 恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，BC=4，AB=P A=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．参考答案一、选择题1．C【解析】当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．2．B【解析】F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．3．B【解析】∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．4．A【解析】空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．5．D【解析】抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=，∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=，故选D．6．C【解析】焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．7．A【解析】∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，∴l1⊥l2．故选A．8．B【解析】∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．9．D【解析】∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|，∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故选：D．10．C【解析】由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．二、填空题11．x2=±24y【解析】顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．12．【解析】双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．13．【解析】椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．14．【解析】+λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．三、解答题15．（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．16．解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0），∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2，∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1），∵线段AB恰被M（2，1）所平分，∴y1+y2=2，∴=2，∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．17．解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），∴•=0，∴⊥，即AN⊥BM.（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==18．解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx+2代入，得（3k2+1）x2+12kx+9=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过D（1，0）则PD⊥QD，即（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，得（k2+x）x1x2+（2k﹣1）（x1+x2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k2﹣36（3k2+1）＞0，∴k＞1，或k＜﹣1．∴存在k=﹣满足题意．19．（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，，因为，所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．。

天津滨海新区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析

天津滨海新区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题1．两圆x2+y2﹣4x+2y+1=0与x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切2．若x，y∈R，则“|x|＞|y|”是“x2＞y2”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件3．双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn 的值为（）A．B．C．D．4．已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．其中真命题有（）个．A．4 B．3 C．2 D．15．直线l：y﹣1=k（x﹣1）和圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（）A．相离B．相切或相交 C．相交D．相切6．若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4）B．（0，2）C．（﹣2，4） D．（4，﹣2）7．双曲线（a＞0，b＞0）与抛物线有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直于y轴的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．已知函数f （x ）=，若函数g （x ）=ax ﹣+3（a ＞0），若对∀x 1∈[0，1]，总∃x 2∈[0，]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，6] B ．[6，+∞） C ．（﹣∞，﹣4] D ．[﹣4，+∞）二．填空题双曲线y 2﹣2x 2=8的渐近线方程为．10．若一个球的体积是，则该球的内接正方体的表面积是．11．若函数f （x ）=x 3+bx （x ∈R ）在点（﹣1，f （﹣1））处的切线与直线y=﹣x+2a 平行，则实数b 的值．12．过点（，0）引直线l 与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于．13．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+=1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若|AF 1|=3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为．14．设函数f （x ）=kx 3+3（k ﹣1）x 2﹣k 2+1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是．三、解答题（共80分）15．（13分）已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=4，（Ⅰ）若直线l 1过定点A （1，0），且与圆C 相切，求l 1的方程；（Ⅱ）若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x+y ﹣2=0上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．16．（13分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D 为AB 的中点．（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）求证：平面A 1CD ⊥平面ABB 1A 1 （3）求A 1B 1与平面A 1CD 所成角的正切值．17．（13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求直线l 的方程．18．（13分）设a ∈R ，已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）设g （x ）=f （x ）+f′（x ），若∃x ∈[1，3]，有g （x ）≤0，求实数a 的取值范围．19．（14分）已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，﹣2），离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线PA，PB，分别交椭圆于点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）若k1•k2=2，证明直线AB过定点，并求出该定点．20．（14分）设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C（x，y 0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f′（x）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b的取值范围．天津滨海新区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题1．两圆x2+y2﹣4x+2y+1=0与x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把第二个圆化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出圆心距d，根据d与R、r的大小比较发现，d=R+r，可得出两圆外切．【解答】解：由圆x2+y2﹣4x+2y+1=0，得（x﹣2）2+（y+1）2=4，得到圆心A（2，﹣1），半径R=2，由x2+y2+4x﹣4y﹣1=0变形得：（x+2）2+（y﹣2）2=9，可得圆心B（﹣2，2），半径r=3，∵两圆心距d=|AB|=5=2+3∴两圆外切．故选：C．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，圆与圆位置关系可以由d，R及r三者的关系来判定，当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r 时，两圆外离．2．若x，y∈R，则“|x|＞|y|”是“x2＞y2”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．【解答】解：“|x|＞|y|”一定能推出“x2＞y2”．当x2＞y2一定能推出“|x|＞|y|”，故“|x|＞|y|”是“x2＞y2”的充要条件，故选：A【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中熟练掌握充要条件的定义是解答此类问题的关键．3．双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，则有解得m=，n=∴mn=故选A【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特这．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．4．已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．其中真命题有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否定，可判断①；根据复合命题真假判断的真值表，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；判断原命题的真假，进而可判断④．【解答】解：命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故①错误；已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则命题p，q均为假命题，则￢p，￢q均为真命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”，故②正确；“a＞2”是“a＞5”的必要不充分条件，故③错误；“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，故其逆否命题为假命题，故④错误．故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了命题的否定，充要条件，四种命题，复合命题，难度中档．5．直线l：y﹣1=k（x﹣1）和圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（）A．相离B．相切或相交 C．相交D．相切【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较，大于半径，相离，等于则相切，小于则相交．【解答】解：由题意：圆心为（1，0），半径是1．由直线l：y﹣1=k（x﹣1）知：直线过定点（1，1），那么：圆心到定点的距离为d=1=r，说明定点在圆上；∴过定点的直线必然与圆相切或相交．故选B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的判断方法．利用圆心到定点距离与半径比较，第二是消元，构造二次方程，利用判别式．属于基础题．6．若直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（）A．（0，4）B．（0，2）C．（﹣2，4） D．（4，﹣2）【考点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】先找出直线l1恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称点（0，2）在直线l2上，可得直线l2恒过定点．【解答】解：由于直线l1：y=k（x﹣4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），又由于直线l1：y=k（x﹣4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．故选B【点评】本题考查直线过定点问题，由于直线l1和直线l2关于点（2，1）对称，故有直线l1上的定点关于点（2，1）对称点一定在直线l2上．7．双曲线（a＞0，b＞0）与抛物线有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直于y轴的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点，可得双曲线的一个焦点坐标，再利用过点F且垂直于实轴的弦长为，求出a，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0，2），∴双曲线的一个焦点为（0，2）．令y=2，代入双曲线（a＞0，b＞0），可得﹣=1，∴x=±b，∵过点F且垂直于实轴的弦长为，∴2b=，且a2+b2=4，解得a=，b=1，c=2，∴e==．故选：B．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，正确求弦长是关键．8．已知函数f （x ）=，若函数g （x ）=ax ﹣+3（a ＞0），若对∀x 1∈[0，1]，总∃x 2∈[0，]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，6] B ．[6，+∞） C ．（﹣∞，﹣4] D ．[﹣4，+∞）【考点】全称命题．【分析】函数f （x ）=，当时，f （x ）∈.时，f （x ）=，利用导数研究函数的单调性可得：f （x ）∈．可得∀x 1∈[0，1]，f （x 1）∈[0，1]．由于函数g （x ）=ax ﹣+3（a ＞0）在[0，]上单调递增，由于对∀x 1∈[0，1]，总∃x 2∈[0，]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，可得[0，1]∈{g （x ）|x ∈}，即可得出．【解答】解：函数f （x ）=，当时，f （x ）∈．时，f （x ）=，f′（x ）==＞0，∴函数f （x ）在上单调递增，∴f （x ）∈．∴∀x 1∈[0，1]，∴f （x 1）∈[0，1]．由于函数g （x ）=ax ﹣+3（a ＞0）在[0，]上单调递增，若对∀x 1∈[0，1]，总∃x 2∈[0，]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[0，1]∈{g （x ）|x ∈}，∴，解得a ≥6．故选：B ．【点评】本题考查了函数的单调性与值域、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二．填空题（2016秋•蓟县期末）双曲线y2﹣2x2=8的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及a、b的值，利用双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：y2﹣2x2=8，变形可得﹣=1，则其焦点在y轴上，且a==2，b==2，则其渐近线方程为，故其答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，需要先将双曲线的方程变形为标准方程．10．若一个球的体积是，则该球的内接正方体的表面积是128 ．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由=，得 R=4，所以a=8，⇒a=，表面积为6a2=128．故答案为：128．【点评】本题考查球的内接体，球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．11．若函数f（x）=x3+bx（x∈R）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线y=﹣x+2a平行，则实数b的值﹣4 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到f′（1），由函数f（x）=x3+bx（x∈R）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线y=﹣x+2a平行即可求得b值．【解答】解：由f（x）=x3+bx，得f′（x）=3x2+b，∴f′（1）=3+b，∵函数f（x）=x3+bx（x∈R）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线y=﹣x+2a平行，∴3+b=﹣1，解得b=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．12．过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率﹣1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k 的值．【解答】解：由，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合则﹣1＜k＜0∴直线l的方程为：即则圆心O到直线l的距离直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=∴===令则当S △AOB 有最大值为此时，∴又∵﹣1＜k ＜0∴【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答．13．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2+=1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若|AF 1|=3|F 1B|，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为 x 2+=1 ．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】求出B （﹣c ，﹣ b 2），代入椭圆方程，结合1=b 2+c 2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|=b 2， ∴A 点坐标为（c ，b 2），设B（x，y），则∵|AF1|=3|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣ b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是（﹣∞，] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．【解答】解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤，k＜0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．三、解答题（共80分）15．（13分）（2016秋•蓟县期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，（Ⅰ）若直线l1过定点A（1，0），且与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【分析】（I）由直线l1过定点A（1，0），故可以设出直线的点斜式方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k值即可，但要注意先讨论斜率不存在的情况，以免漏解．（II）圆D的半径为3，圆心在直线l2：x+y﹣2=0上，且与圆C外切，则设圆心D（a，2﹣a），进而根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意．（1分）②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即解之得．所求直线方程是x=1，3x﹣4y﹣3=0．（Ⅱ）依题意设D（a，2﹣a），又已知圆的圆心C（3，4），r=2，由两圆外切，可知CD=5∴可知=5，（7分）解得a=3，或a=﹣2，∴D（3，﹣1）或D（﹣2，4），∴所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=9或（x+2）2+（y﹣4）2=9．（9分）【点评】本题考查的知识点是圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，其中（1）的关键是根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，构造出关于k的方程，（2）的关键是根据两圆外切，则圆心距等于半径和，构造出关于a的方程．16．（13分）（2016秋•蓟县期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，各棱长均为2，D为AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1（3）求A1B1与平面A1CD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，则DE∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）推导出CD⊥AA1，CD⊥AB，从而CD⊥面ABB1A1，由此能证明平面A1CD⊥平面ABB1A1．（3）作B1E⊥A1D于E，则∠B1A1E为所A1B1与平面A1CD所成角，由此能求出A1B1与平面A1CD所成角的正切值．【解答】证明：（1）连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1A1A是平行四边形，∴E为AC1中点，∵D为AB的中点，∴DE∥BC1，∵BC1⊂平面A1CD，DE⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．…（2）∵A1A⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1，又∵CD ⊥AB ，AB ∩AA 1=A ，AB ，A 1A ⊂面ABB 1A 1， ∴CD ⊥面ABB 1A 1，∵CD ⊂面A 1CD ，∴平面A 1CD ⊥平面ABB 1A 1．…（8分）解：（3）作B 1F ⊥A 1D 于F ，由（2）知B 1F ⊥面A 1DC ，∴∠B 1A 1F 为所A 1B 1与平面A 1CD 所成角， tan ∠B 1A 1F=tan ∠ADA 1=2，∴A 1B 1与平面A 1CD 所成角的正切值为2．…（13分）【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查线面角的正切值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17．（13分）（2016秋•蓟县期末）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点（1，）在椭圆C 上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C 的方程；（2）为避免讨论可设过F 1的直线l 的方程为x=ty ﹣1，和椭圆方程联立后化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF 2B 的面积就是=，由此求出t 的值，则直线l 的方程可求．【解答】解：（1）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），由|F1F2|=2得c=1，∴F1（﹣1，0），F2（1，0），又点（1，）在椭圆C上，∴，a=2．则b2=a2﹣c2=4﹣1=3．∴椭圆C的方程为；（2）如图，设直线l的方程为x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），把x=ty﹣1代入，得：（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0，∴==，∴，解得：（舍）或t2=1，t=±1．故所求直线方程为：x±y+1=0．【点评】本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l的方程设为x=ty﹣1，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况，此题属中档题．18．（13分）（2016秋•蓟县期末）设a∈R，已知函数f（x）=ax3﹣3x2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+f′（x），若∃x∈[1，3]，有g（x）≤0，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）题目转化为a≤=对x∈[1，3]恒成立．构造函数利用导数求解函数的最小值，即可得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2﹣6x，a=0时，f′（x）=﹣6x，f′（x）＞0，得x＜0，f′（x）＜0，得x＞0；a＞0时，f′（x）＞0，得x＞或x＜0，f′（x）＜0，得0＜x＜；a＜0时，f′（x）＞0，得＜x＜0，f′（x）＜0，得x＜或x＞0；综上所述：a=0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）；a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）；a＜0时，f（x）的单调递增区间为（，0），单调递减区间为（﹣∞，），（0，+∞）．（2）依题意，∃x∈[1，3]，ax3﹣3x2+3ax2﹣6x≤0，等价于不等式a≤=在x∈[1，3]有解，令h（x）=，（x∈[1，3]），则h′（x）=﹣＜0，所以h（x）在区间[1，3]上是减函数，所以h（x）的最大值为h（1）=，所以a≤，即实数a的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．19．（14分）（2016秋•蓟县期末）已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，﹣2），离心率为，过点P 作斜率为k 1，k 2的直线PA ，PB ，分别交椭圆于点A ，B ．（1）求椭圆的方程；（2）若k 1•k 2=2，证明直线AB 过定点，并求出该定点．【考点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆的方程为（a ＞b ＞0），根据题意建立关于a 、b 的方程组解出a 、b 之值，即可得到椭圆的方程；（2）由题意得直线PA 方程为y=k 1x ﹣2，与椭圆方程消去y 得到关于x 的方程，解出A 点坐标含有k 1的式子，同理得到B 点坐标含有k 2的式子，利用直线的两点式方程列式并结合k 1k 2=2化简整理，可证出AB 方程当x=0时y=﹣6，由此可得直线AB 必过定点Q （0，﹣6）．【解答】解：（1）∵椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P （0，﹣2），∴设椭圆的方程为（a ＞b ＞0），可得a=2，且，解之得b=1，∴椭圆的方程为：；（2）由题意，可得直线PA 方程为y=k 1x ﹣2，与椭圆方程消去y ，得（1+）x 2﹣k 1x=0，解之得x=0或x=由P 的坐标为（0，﹣2），得A （，k 1•﹣2），即（，）同理可行B 的坐标为（，），结合题意k 1•k 2=2，化简得B （，）因此，直线AB 的方程为，化简得=（），令x=0得==﹣6，由此可得直线AB 过定点定点Q （0，﹣6）．【点评】本题给出椭圆满足的条件，求它的方程并证明直线经过定点．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题．20．（14分）（2015•茂名二模）设函数f （x ）=lnx ，g （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2f （x ）．（1）当a=1时，求函数g （x ）的单调区间；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是函数y=f （x ）图象上任意不同两点，线段AB 中点为C （x 0，y 0），直线AB 的斜率为k ．证明：k ＞f′（x 0）（3）设F （x ）=|f （x ）|+（b ＞0），对任意x 1，x 2∈（0，2]，x 1≠x 2，都有＜﹣1，求实数b 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．【分析】（1）将a=1代入求出g （x ）的表达式，再求出g （x ）的导数，从而求出g （x ）的单调区间；（2）将x 0=代入f′（x 0）==，问题转化为证：k （t ）lnt+﹣2的单调性，（t ＞1），从而证出结论；（3）设G （x ）=F （x ）+x ，则G （x ）在（0，2]单调递减，通过讨论x 的范围，结合导数的应用，从而求出b 的范围．【解答】解：（1）当a=1时，g （x ）=（x ﹣1）﹣2f （x ）=（x ﹣1）﹣2lnx=x ﹣1﹣2lnx ，定义域为（0，+∞）；g′（x ）=1﹣=；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；即g（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）．（2）证明：k==，又x=，所以f′（x）==；即证，＞，不妨设0＜x1＜x2，x1，x2分别属于（0，1）和（1，2），即证：lnx2﹣lnx1＞；即证：ln＞；设t=＞1，即证：lnt＞=2﹣；即证：lnt+﹣2＞0，其中t∈（1，+∞）；事实上，设k（t）=lnt+﹣2，（t∈（1，+∞）），则k′（t）=﹣=＞0；所以k（t）在（1，+∞）上单调递增，所以k（t）＞k（1）=0；即结论成立．（3）由题意得+1＜0，即＜0；设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，①当x ∈[1，2]时，G （x ）=lnx++x ，G′（x ）=﹣+1≤0；b ≥+（x+1）2=x 2+3x++3在[1，2]上恒成立，设G 1（x ）=x 2+3x++3，则G 1′（x ）=2x+3﹣；当x ∈[1，2]，G 1′（x ）＞0；∴G 1（x ）在[1，2]上单调递增，G 1（x ）≤；故b ≥．②当x ∈（0，1）时，G （x ）=﹣lnx++x ；G 1（x ）=x 2+3x++3，G′（x ）=﹣﹣+1≤0，b ≥﹣+（x+1）2=x 2+x ﹣﹣1在（0，1）恒成立，设G 2（x ）=x 2+x ﹣﹣1，（x ）=2x+1+＞0，即G 2（x ）在（0，1）单调递增，故G 2（x ）＜G 2（1）=0，∴b ≥0，综上所述：b ≥．【点评】本题考查了函数的单调性，函数恒成立问题，考查导数的应用，考查转化思想，本题有一定的难度．。

2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案

2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1.答题前，请填写姓名和准考证号码。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹清楚。

3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效。

4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.某中学有3500名高中生和1500名初中生。

为了解学生的研究情况，从该校学生中采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本。

已知从高中生中抽取了70人，则n的值为（）。

A。

100B。

150C。

200D。

2502.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）。

无法提供图像）3.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为F，点F到渐近线的距离等于2a，则该双曲线的离心率等于（）。

A。

2B。

3C。

5D。

3/44.已知两条直线a,b，两个平面$\alpha,\beta$，下面四个命题中不正确的是（）。

A。

$a\perp\alpha,\alpha//\beta,b\parallel\beta\iff a\perp b$B。

$\alpha//\beta,a//b,a\perp\alpha\implies b\perp\beta$C。

$m//\alpha,m\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$D。

$a//b,a//\alpha\implies b//\alpha$5.下列命题中，说法正确的是（）。

天津市五区县1617学年度高二上学期期末考试(图片)——数学文数学文

天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11． 12． 13． 14．1 15. 13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）解：（1）解法一：设圆的方程为 222()()x a y a r -+-=（）．依题意得222222(3),(3)(2),a a r a a r ⎧+-=⎨-+-=⎩ ……………………………………………………3分解得，，所以圆的方程为． …………………………………………6分解法二：依题意易得线段的中垂线方程为．…………………………………3分联立方程组解得所以圆心，所以圆的方程为．………………………………………6分（2）直线的倾斜角为∴ ………………………………………8分∴可设直线的方程为由（Ⅰ）可知圆心到直线的距离………………………………………11分解得∴直线的方程为 ………………………………………12分17．（12分）解：（1）5,3,4AC CB AB ===∴∴………………2分又四边形是矩形∴………………3分又∴平面又平面∴平面平面 ………………………………………6分（2）取的中点，连结，∴为正三角形∴ …………………………8分由（Ⅰ）可知平面平面∴平面平面又平面平面∴平面∴是在平面上的投影∴是直线与平面所成的角 …………………………10分在中，1A D CD ==∴11tan A D ACD CD ∠== ∴直线与平面所成角的正切值为. …………………………12分18．（12分）解：（1）抛物线的准线方程为：由抛物线的定义可知：∴∴抛物线的标准方程为． …………………………………………4分（2）由已知，，直线的方程为，……………………6分联立消得：，所以 ……………………………8分所以， …………………10分又因为到直线的距离，所以1822OMN S ∆=⨯= ． ……………………………………12分 19．（12分）解：（1）连接交于，连接四边形为矩形∴为的中点，又是中点 ∴， ∴ （2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系,依题意得，，，，，，， ………………………………………………4分易得， …………………5分cos ,||||CE AP CE AP CE AP ⋅<>==-⋅ ………………………6分 ∴所求异面直线与所成角的余弦值为………………………7分（3）由题意可知：平面的一个法向量为 …………………………8分又可解得1(1,2,0),(0,1,)2AC AP ==故设平面的一个法向量为则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令，可得 ……10分于是2cos ,3||||AB n AB n AB n ⋅<>==⋅ 所以二面角的余弦值为 …………………………12分20．（12分）解： (1)由题意可知： …………………………1分 …………………………2分∴∴∴椭圆的方程为： ……………………………3分(2) 设点，由方程组2210132x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，整理得 ………………4分求解可得， ………………………………5分AB ==………………………………6分（3）由方程组2222101x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-=设点，222222(2)4()(1)0a a b a b =--+⋅->， ……………………………7分以为直径的圆经过坐标原点，∴∴121212122()10x x y y x x x x +=-++=∴① ……………………………8分又 ∴由①可知 ………………………………10分∴∴ ∴ ……………………………12分。

【最新经典文档】-2016年天津市六校联考高二(上)期末数学试卷和答案(理科)

）
A． B． C．
D．2
【解答】解：设 F1P=m， F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（ 2c）2=m2+n2﹣ 2mncos60°，即 4c2=m2+n2﹣mn，
设 a1 是椭圆的长半轴， a2 是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得 m+n=2a1，m﹣n=2a2，
∴ m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得
确；
对于 B，若 m∥α，m∥ β，则 α∥β或 α，β相交，故不正确；
对于 C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平
面垂直，故正确；
对于 D，若 m∥α，α⊥β，则 m、β相交或平行，或 m? β，故不正确．
故选： C．
第 5 页（共 17 页）
3．（5 分）下列四个命题中的真命题为（
3a22﹣ 4c2+
=0，
a1=3a2，e1?e2= ? =
解得 e2= ．故选： A．
=1，
二、填空题、（每小题 5 分，共 30 分）
第 8 页（共 17 页）
9．（ 5 分）直线 l1：（3+a）x+4y=5﹣3a 和直线 l2：2x+（5+a）y=8 平行，则 a= ﹣ 7．【解答】解：直线 l1：（ 3+a）x+4y=5﹣3a 和直线 l2：2x+（5+a） y=8 平行，则（ 3+a）（5+a）﹣ 4×2=0，即 a2+8a+7=0．解得， a=﹣ 1 或 a=﹣7．又∵ 5﹣3a≠ 8， ∴ a≠﹣ 1． ∴ a=﹣7．故答案为：﹣ 7．

2016-2017天津市和平区高二上期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在3．在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4．已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=6．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．7．直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合8．已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．9．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．12．（5分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．13．（5分）已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．14．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．16．（10分）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（10分）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．2016-2017学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“m＞n＞0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充而分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，及椭圆的定义，我们分别判断“m ＞n＞0”⇒“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的真假，及“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当“m＞n＞0”时”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”成立，即“m＞n＞0”⇒”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”为真命题，当“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”时“m＞n＞0”也成立，即“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”⇒“m＞n＞0”也为真命题，故“m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2．已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．不存在【考点】轨迹方程．【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，判断选项即可．【解答】解：F1（﹣3，0），F2（3，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|=4，因为|F1F2|=6＞4，则点P的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线定义的应用，是基础题．3．在空间直角坐标中，点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】利用坐标的定义，即可求点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离．【解答】解：∵点P（﹣1，﹣2，﹣3），∴点P（﹣1，﹣2，﹣3）到平面xOz的距离是2，故选B．【点评】本题是基础题，考查空间距离的求法，考查计算能力，比较基础．4．已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．C．D．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据空间中两点的距离公式，代入计算线段的长度即可．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．【点评】本题考查了空间中两点的距离公式与应用问题，是基础题目．5．抛物线y2=﹣x的准线方程是（）A．y= B．y= C．x= D．x=【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，由此可得抛物线y2=﹣x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=﹣x的开口向左，且2p=，∴=∴抛物线y2=﹣x的准线方程是x=故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的简单性质列出方程，求解即可．【解答】解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，可得a+b=10，2c=4，c=2，即a2﹣b2=20，解得a2=36，b2=16，所求椭圆方程为：．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．7．直线l1、l2的方向向量分别为，，则（）A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1与l2相交不平行D．l1与l2重合【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线l1、l2的方向向量分别为，，得到1×8﹣3×2﹣1×2=0，即可得出结论．【解答】解：∵直线l1、l2的方向向量分别为，，∴1×8﹣3×2﹣1×2=0，∴l1⊥l2．故选A．【点评】本题考查直线的方向向量，考查向量的数量积公式，比较基础．8．已知在空间四边形ABCD中，，，，则=（）A．B．C．D．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由空间四边形ABCD性质及向量加法法则得==（）﹣，由此能求出结果．【解答】解：∵在空间四边形ABCD中，，，，∴==（）﹣=（）﹣=．故选：B．【点评】本题考查向量求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量加法法则的合理运用．9．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，可得|PF1|=|F1F2|，从而可得e的方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴|PF1|=|F1F2|∴=2c，∴e2﹣2e﹣1=0，∵e＞1，∴e=1+．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．二、填空题（2016秋•和平区期末）顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是x2=±24y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用已知条件，求出抛物线的距离p，然后写出抛物线方程即可．【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，所求抛物线方程为：x2=±24y．故答案为：x2=±24y．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．12．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线与椭圆有相同的焦点（，0），焦点坐标在x轴，双曲线的一条渐近线为，可得=，a2+b2=13，可得a2=4，b2=9．所求双曲线方程为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．13．已知椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件列出方程，通过椭圆的几何量的关系求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆的三个顶点B1（0，﹣b），B2（0，b），A（a，0），焦点F（c，0），且B1F⊥AB2，可得：=0，即b2=ac，即a2﹣c2﹣ac=0，可得e2+e﹣1=0，e∈（0，1），解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．14．（理）已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与的夹角为120°，则λ=．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解： +λ=（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）=（1，﹣λ，λ）．∵+λ与的夹角为120°，∴cos120°==，化为，∵λ＜0，∴λ=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10分）（2016秋•和平区期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程．（1）焦点在y轴上，c=6，；（2）经过点（2，0），．【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意离心率及c求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由e=，设a=2k，c=（k＞0），得b=k，在分（2，0）为长轴或短轴的一个端点求解．【解答】（1）解：由得，，解得，a=9，∵a2=b2+c2，∴b2=a2﹣c2=81﹣36=45，∵焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为；（2）解：由e=，设a=2k，c=（k＞0），则b=，由于椭圆经过点为（2，0），即为椭圆的顶点，且在x轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则a=2，此时2k=2，∴k=1，得b=1，则椭圆的标准方程为．若点（2，0）为短轴的顶点，则b=2，此时k=2，得a=4，则椭圆的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．16．（10分）（2016秋•和平区期末）已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）令抛物线E的方程，根据抛物线E的焦点为（1，0），即可求得结论；（Ⅱ）利用点差法，结合线段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y2=2px（p＞0）∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2∴抛物线E的方程：y2=4x（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，得（y2﹣y1）/（y1+y2）=4（x2﹣x1）∵线段AB恰被M（2，1）所平分∴y1+y2=2∴=2∴AB的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（10分）（2016秋•和平区期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1．（Ⅰ）证明：BM⊥AN；（Ⅱ）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，由•=0即可证明AN⊥BM．（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由向量的夹角公式即可求得直线MN与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：如图，以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），M（1，2，1），N（2，1，0），…（Ⅰ）∵=（2，1，0），=（﹣1，2，1），…∴•=0…（5分）∴⊥，即AN⊥BM…（6分）（Ⅱ）设平面PCD的法向量为=（x，y，z），…（7分）∵=（2，4，﹣2），=（0，4，﹣2），由，可得，…（9分）解得：，取y=1得平面MBD的一个法向量为=（0，1，2），…（10分）设直线MN与平面PCD所成的角为θ，则由=（﹣1，1，1），…（11分）可得：sinθ=|cos＜，＞|=||==…（12分）【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角的求法，正确利用空间向量的应用是解题的关键，属于基本知识的考查．18．（10分）（2016秋•和平区期末）已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点A（a，0），B（0，b）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题设知，，能求出椭圆方程．（2）将y=kx +2代入，得（3k 2+1）x 2+12kx +9=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），以PQ 为直径的圆过D （1，0），则（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=0，由此能推导出存在k=﹣满足题意．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a ＞b ＞0）过点A （a ，0），B （0，b ）的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为，∴，，解得a=，b=1，∴椭圆方程是．（2）将y=kx +2代入，得（3k 2+1）x 2+12kx +9=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），以PQ 为直径的圆过D （1，0）则PD ⊥QD ，即（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=0，又y 1=kx 1+2，y 2=kx 2+2，得（k 2+x ）x 1x 2+（2k ﹣1）（x 1+x 2）+5=0，又，，代上式，得k=，∵此方程中，△=144k 2﹣36（3k 2+1）＞0，∴k ＞1，或k ＜﹣1． ∴存在k=﹣满足题意．【点评】本题考查椭圆方程的求法，探索满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．（10分）（2016秋•和平区期末）如图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3，A1B1=B1C1=1．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B﹣AC﹣A1的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）以B1为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，然后证明OC∥平面A1B1C1．（2）结合（1）中的空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量，平面ACA1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B﹣AC﹣A1的正弦值，即可．【解答】（本题满分10分）（1）证明：如图，以B1为原点，分别以的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．…（1分）依题意，，因为，…所以，所以，又OC⊄平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．…（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），A1（0，1，0），则，…（5分）设为平面ABC的一个法向量，由得解得不妨设z1=1，则x1=﹣1，y1=﹣2，所以．…（7分）设为平面ACA1的一个法向量，由得解得不妨设y2=1，则x2=1，所以．…（9分）因为，，于是，所以，二面角B﹣AC﹣A1的正弦值为．…（10分）【点评】本题考查空间向量的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断方法，考查空间想象能力以及计算能力．。

天津市五区县高二上学期期末考试数学理科试题

天津市五区县2015～2016学年度第一学期期末考试高二数学（理）试卷参考答案选择题：1.C2.D3.D4.A5.B6.A7.B8.C9.B 10.A填空题 11.23 12.（4，1） 13. 2 14. 8 15. 10 解答题16. （Ⅰ）由题意，过P 点且与CP 垂直的弦长最短，（1分）∵圆心C 点坐标为)4,3(，∴12354-=--=PC k ，（3分） ∴ 所求直线的斜率1=k ，代入点斜式方程得（4分）25-=-x y ，即03=+-y x . （6分）（Ⅱ）当直线垂直x 轴时，即5=x ，圆心C 到直线的距离为2，此时直线5=x 与圆C 相切；（8分）当直线不垂直x 轴时，设直线方程为)5(-=x k y ，即05=--k y kx ，圆心C 到直线的距离21|543|2=+--=k k k d （10分）解得43-=k ， ∴ 所求切线方程为01543=-+y x ，或5=x . （12分）17. （Ⅰ）设AB 中点为D ，连结PD ，CD ， ( 1分)∵侧面PAB 为等边三角形，AP BP ，∴AB PD ⊥, （2分）又AC BC ，∴AB CD ⊥. （3分）∵D CD PD =⋂， ∴⊥AB 平面PCD . （5分）∵⊂PC 平面PCD ，∴ PC AB ⊥ . （6分）（Ⅱ）由已知 90=∠ACB ，2AC BC ，∴2AD BD CD ，22AB . （7分）又∆PAB 为正三角形，且AB PD ⊥，∴6PD. （8分） ∵22PC ，∴222PC CD PD .∴ 90=∠CDP ，∴PD CD ⊥ （9分） ∵AB CD ⊥，∴⊥CD 平面PAB ，（11分） ∵⊂CD 平面ABC ，∴平面⊥PAB 平面ABC ．（12分）18. （Ⅰ）设C 的坐标为),(y x ，则直线AC 的斜率)2(2-≠+=x x y k AC ，直线BC 的斜率)2(2≠-=x x y k BC ，（2分）由已知有)2(4122±≠-=-⨯+x x y x y ，化简得顶点C 的轨迹方程， )2(1422±≠=+x y x . （5分）（Ⅱ）设直线l 的方程为m x y +=，),(),,(2211y x N y x M ，由题意⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 1422，解得0448522=-++m mx x ，（7分）0)44(206422>--=∆m m ,解得55<<-m （8分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+5445822121m x x m x x ，528]4))[(11(||21221=-++=x x x x MN （10分）代入解得12=m ，1±=m ，∴直线l 的方程为1±=x y . （12分）19. 解：建立如图所示空间直角坐标系xyz A -，设)0,0,1(B ，则)020(，，D ，)100(，，P ，)0,2,1(C )31,34,0(E ，)21,1,21(F （2分）（Ⅰ）设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x n =，∵)31,34,0(=AE ，)0,2,1(=AC ∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0AC n AE n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0203134y x z y ，令1-=y ，得)4,1,2(-=n （4分）又)21,1,21(-= ∴02141)1()21(2=⨯+⨯-+-⨯=⋅，（6分）n BF ⊥，⊄BF 平面AEC ， ∴//BF 平面AEC（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC 的一个法向量为)4,1,2(-=，又)1,0,0(=AP 为平面ACD 的法向量，（9分）而21214,cos =<AP n ，故二面角D AC E --的余弦值为21214. （12分） 20. （Ⅰ）由题意设椭圆M 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x∵抛物线28y x =的焦点为)0,2(，∴2=a ，（2分）又12e =，∴1=c ，∴32=b （4分） ∴椭圆M 的标准方程为13422=+y x （5分）（Ⅱ）设()11,y x A ，()22,y x B ，1:+=my x l ()0,≠∈m R m⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y xmy x ⇒()0964322=-++my y m由韦达定理得436221+-=+m my y ① （8分）⊥+)(⇒NB NA =⇒()=+-2121y t x ()2222y t x +-⇒()()()022*******=-+-+-y y t x x x x将111+=my x ，122+=my x 代入上式整理得：()()()()[]022121221=-+++-t m y y m y y ，由21y y ≠知()()()0221212=-+++t m y y m ，将①代入得4312+=m t （10分）所以实数t ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈41,0 . （12分）。