人教版八年级上册等边三角形
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简而言之，等边三角形 每一边上的三线都合一
归纳
等边三角形有都有哪些性质呢？
边
角
对称性
三边相等
三角相等 都等于60°
三边上都有 三线合一
练习 如图，等边三角形ABC中，BD 是 AC 边上的中线，BD=BE ，则∠EDA的度数是________．
答案：15°．
练习 如图，△ABC 是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC 于 C．求证：△DAC 是等腰三角形．
练习
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 的延 长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．
∵∠B=60° ∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC 是等边三角形．
归纳
要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？
方法一
方法二
方法三Baidu Nhomakorabea
三边相等的 三角相等的 三角形是等 三角形是等 边三角形 边三角形
有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形
例题
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 于点D ，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形． 想一想，还有其他证法吗？
证明
等边三角形的每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线都分别重合．
∵AB=AC，BD=DC ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC ∵BA=BC，EA=EC ∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC ∵CA=CB，AF=BF ∴∠CAF=∠BAF，CF⊥AB
结论
等边三角形的每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线都分别重合．
结论
等边三角形的性质1 等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于60° 怎么写过程呢？
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°．
猜想
等边三角形是轴对称图形吗？ 如果是，指出它的对称轴．
等边三角形是轴对称图形
等边三角形有三条对称轴
每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线所 在的所有直线都是它的对 称轴 等边三角形的每条边上的中线、高和 这条边所对的角的平分线都分别重合
有一个角是60°？
等腰三角形加个什么条件，能变成等边三角形呢？
猜想
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 这个60°角的位置有哪几种情况呢？
60°角是等腰三角形的顶角
60°角是等腰三角形的底角
证明
先证60°角是等腰三角形的顶角的情况
已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°． 求证：△ABC 是等边三角形．
证明
三个角都相等的三角形是等边三角形
已知：△ABC 中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B=∠C， ∴BC =AC =AB（等角对等边）， ∴△ABC 是等边三角形．
思考 三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形
除此之外还有没有其他判定方法呢？ 我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，
提示：证明∠DAC =∠DCA．
练习 如图，已知，△ABC 是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长 BC到E．使CE=CD，求DE长．
提示：证明BD=DE．
思考 你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？ 可以利用定义，证明它的三边相等 除此之外，还有没有其他办法呢？ 证明它三角相等行不行呢？ 猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形
练习 已知： D，E 分别是等边△ABC 中AB，AC 边上的点，且BD=CE ．求证：△ABC 是等边三角形 .
提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
练习
已知△ABC 中，∠A =60°,（
）
请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角形．
答案：∠B=60°或∠C =60° 或AB=BC 或AC =BC．
证明：∵∠A=60°， ∴∠B+∠C =120°． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠C =60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC 是等边三角形．
证明
再证60°角是等腰三角形的底角的情况
已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°． 求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
猜想 图形
结合等腰三角形的性质， 你能填出等边三角形对应的结论吗？
边
角
轴对称图形
两边相等 两底角相等
三边相等
三角相等 都等于60°
底边上的 三线合一
三边的 三线合一
证明
等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于60°
已知：△ABC 是等边三角形．求证：∠A =∠B =∠C=60°． 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BC =AC，BC =AB．∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ．∴ ∠A =∠B =∠C ． ∵ ∠A +∠B +∠C =180°， ∴ ∠A =60°． ∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
13.3.2 等边三角形
知识回顾 图形
性质
等边对等角 三线合一
判定 等角对等边
知识回顾 满足什么条件的三角形是等边三角形？
等边三角形也叫 正三角形
三边都相等的三角形是等边三角形
探究
等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：
两腰相等
从角的角度：
等边对等角
从对称的角度： 三线合一
将等腰三角形的性质用于等边三角形， 你能得到什么结论？
练习 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC 的周 长为_______．
答案：9cm．
练习 △ABC 是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°， 则BC =_______．
练习
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 的方 向延长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．
归纳
等边三角形有都有哪些性质呢？
边
角
对称性
三边相等
三角相等 都等于60°
三边上都有 三线合一
练习 如图，等边三角形ABC中，BD 是 AC 边上的中线，BD=BE ，则∠EDA的度数是________．
答案：15°．
练习 如图，△ABC 是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC 于 C．求证：△DAC 是等腰三角形．
练习
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 的延 长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．
∵∠B=60° ∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC 是等边三角形．
归纳
要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？
方法一
方法二
方法三Baidu Nhomakorabea
三边相等的 三角相等的 三角形是等 三角形是等 边三角形 边三角形
有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形
例题
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 于点D ，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形． 想一想，还有其他证法吗？
证明
等边三角形的每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线都分别重合．
∵AB=AC，BD=DC ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC ∵BA=BC，EA=EC ∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC ∵CA=CB，AF=BF ∴∠CAF=∠BAF，CF⊥AB
结论
等边三角形的每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线都分别重合．
结论
等边三角形的性质1 等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于60° 怎么写过程呢？
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°．
猜想
等边三角形是轴对称图形吗？ 如果是，指出它的对称轴．
等边三角形是轴对称图形
等边三角形有三条对称轴
每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线所 在的所有直线都是它的对 称轴 等边三角形的每条边上的中线、高和 这条边所对的角的平分线都分别重合
有一个角是60°？
等腰三角形加个什么条件，能变成等边三角形呢？
猜想
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 这个60°角的位置有哪几种情况呢？
60°角是等腰三角形的顶角
60°角是等腰三角形的底角
证明
先证60°角是等腰三角形的顶角的情况
已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°． 求证：△ABC 是等边三角形．
证明
三个角都相等的三角形是等边三角形
已知：△ABC 中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B=∠C， ∴BC =AC =AB（等角对等边）， ∴△ABC 是等边三角形．
思考 三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形
除此之外还有没有其他判定方法呢？ 我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，
提示：证明∠DAC =∠DCA．
练习 如图，已知，△ABC 是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长 BC到E．使CE=CD，求DE长．
提示：证明BD=DE．
思考 你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？ 可以利用定义，证明它的三边相等 除此之外，还有没有其他办法呢？ 证明它三角相等行不行呢？ 猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形
练习 已知： D，E 分别是等边△ABC 中AB，AC 边上的点，且BD=CE ．求证：△ABC 是等边三角形 .
提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
练习
已知△ABC 中，∠A =60°,（
）
请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角形．
答案：∠B=60°或∠C =60° 或AB=BC 或AC =BC．
证明：∵∠A=60°， ∴∠B+∠C =120°． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠C =60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC 是等边三角形．
证明
再证60°角是等腰三角形的底角的情况
已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°． 求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
猜想 图形
结合等腰三角形的性质， 你能填出等边三角形对应的结论吗？
边
角
轴对称图形
两边相等 两底角相等
三边相等
三角相等 都等于60°
底边上的 三线合一
三边的 三线合一
证明
等边三角形的三个内角都相等， 并且每一个角都等于60°
已知：△ABC 是等边三角形．求证：∠A =∠B =∠C=60°． 证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BC =AC，BC =AB．∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ．∴ ∠A =∠B =∠C ． ∵ ∠A +∠B +∠C =180°， ∴ ∠A =60°． ∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
13.3.2 等边三角形
知识回顾 图形
性质
等边对等角 三线合一
判定 等角对等边
知识回顾 满足什么条件的三角形是等边三角形？
等边三角形也叫 正三角形
三边都相等的三角形是等边三角形
探究
等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：
两腰相等
从角的角度：
等边对等角
从对称的角度： 三线合一
将等腰三角形的性质用于等边三角形， 你能得到什么结论？
练习 已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC 的周 长为_______．
答案：9cm．
练习 △ABC 是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°， 则BC =_______．
练习
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 的方 向延长线于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形．
证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形．