磁场临界极值多解学案及答案

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x 固安一中高三年级一轮复习物理学案

主编阚亚梅审稿李志臣

一：带电粒子在磁场中的运动

例1：如图，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度

为B的匀强磁场，一个不计重力的带负电粒子从坐标原点O

处以某一速度进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁

场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴,x轴

正半轴后的穿出点距离原点O的最大距离为L，

（粒子质量为m，

电量为q）求：

（1）该粒子在磁场中运动的速度多大？

（2）该粒子在磁场中运动的时间为多少？

（3）若粒子的速度方向不变，大小增加，则粒子射出磁场的

位置与0点的距离是否变化？磁场中运动的时间是否变化？

（4）若该磁场的上边界与x轴的距离为d，欲使该粒子不从磁场的上边界穿出，该粒子速度

的取值范围？

（5）若使x轴上方磁场的左右边界与y轴距离均为d/2 ，欲使该粒子能从右边界射出，该粒

子速度的取值范围？

（6）若使x轴上方磁场的左右边界与y轴距离均为d/2，粒子在磁场中运动的最长时间时多

少？在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场？

（总结：在速度方向不变的情况下，只是大小变化，圆的大小变化—

—伸缩圆）

例2：如图，真空室内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁

感应强度为B，在原点O有一个离子源向各个方向发射出质量

为m、电量为q的正离子，速度都为v，对那些在xy平面内

运动的离子，求：

（1）在磁场中可能到达的最大x？最大y？

（2）轨迹圆的圆心轨迹是什么曲线？

（3）离子可能经过的区域范围？

（4）若在x轴的上方（y≥0）内存在着垂直于纸面向里的匀

强磁场，磁感应强度为B ，离子源仅向x轴上方的各个方向

发射质量为m、电量为q的正离子，速度仍为v，画出轨迹圆

的圆心轨迹？粒子可能经过的区域范围？

（总结：在速度大小不变的情况下，只是方向变化，圆的大小不变化，

只是圆的位置变化——旋转圆）

变式训练1：在y>0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于xOy

平面向外，原点O

处有一离子

源，沿各个方向射出速率相等的同价负离子，对于进入磁场区域的离子，它们在磁场中做

圆周运动的圆心所在的轨迹可用下图给出的四个半圆中的一个来表示，其中正确的是

()

变式训练2：如图:所示，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里

的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.许多相同的离子，以相同的速

率v，由O点沿纸面向各个方向(y>0)射入磁场区域．不计离子所受

重力，不计离子间的相互影响．图中曲线表示离子运动的区域边界，

其中边界与y轴交点为M，边界与x轴交点为N，且OM＝ON＝L.

由此可判断()

A．这些离子是带负电的

B．这些离子运动的轨道半径为L

C．这些离子的比荷为

q

m＝

v

LB

D．当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过N点

图1

图22

变式训练3如(05河北) 图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中

阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中Bq mv

R 。

哪个图是正确的

A ．

B ．

C ．

D ．

二： 带电粒子在磁场运动的临界与极值问题

1：借助半径R 和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析的临界和极值问题

例1 如图1所示，一带正电的质子以速度v 0从O 点垂直射入，两个 板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d ，板长 为d ，O

点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应 强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e ，质量为m )．

变式训练2

：如上图所示，一足够长的矩形区域

abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，垂直于磁场射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0的带正电粒子．已知粒子质量为m ，电荷量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求：

(1)粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围； (2)如果带电粒子不受上述v 0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．

（3）如果带电粒子受上述v 0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．

变式训练 3 如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域

abcd ，e 是ad 的中点，f 是cd 的中点，如果在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的带电粒子，恰好从e 点射出，则 ( )

A ．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d 点射出

B ．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出

C ．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的二倍，也将从d 点射出

D ．只改变粒子的速度使其分别从e 、d 、f 点射出时，从

e 点射出所用时间最短 1

M N O

B

例2：如图3所示，ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角

形，磁场垂直纸面向外，比荷为e

m

的电子以速度v 0从A 点沿AB 方向

射入，欲使电子能经过BC 边，则磁感应强度B 的取值应为

( )

A ．

B >3mv 0

ae B ．B <

2mv 0

ae

C ．B <

3mv 0

ae

D ．B >

2mv 0

ae

变式训练：

可控热核聚变反应堆产生能的方式和太阳类似，因此，它被俗称为“人造太阳”．热核反应的发生，需要几千万度以上的高温，然而反应中的大量带电粒子没有通常意义上的容器可装．人类正在积极探索各种约束装置，磁约束托卡马克装置就是其中一种．如图15所示为该装置的简化模型．有一个圆环形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知其截面内半径为R 1＝1.0 m ，磁感应强度为B ＝1.0 T ，被约束粒子的比荷为q /m ＝

4.0×107 C/kg ，该带电粒子从中空区域与磁场交界面的P 点以速度v 0

＝4.0×107 m/s 沿环的半径方向射入磁场(不计带电粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力)．

(1)为约束该粒子不穿越磁场外边界，求磁场区域的最小外半径R 2；

(2)若改变该粒子的入射速度v ，使v ＝3

3v 0，求该粒子从P 点进入磁场开始到第一次回到P

点所需要的时间t .

2：．时间的极值问题

例1：如图所示，边界OA 与OC 之间分布有垂直纸面向里的 匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S .某一时刻，从S 平行于 纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的 重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同， 经过一段时间有大量粒子从边界OC 射出磁场．已知∠AOC

＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等

于T /2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的

例4