重庆八中二模数学试题及答案
重庆市第八中学高2023届高三(下)全真模拟考试数学参考答案
重庆八中高2023届高三（下）全真模拟考试数学试题答案一、选择题：CACDBDBC1.C 【详解】：{}|12(0,2]B x x A B =-≤≤∴= ，故选：C .2.A 【详解】：21(2i)(1i)(2i)3i z z =+=-+=-，所以，2223(1)10z =+-A .3.C 【详解】：根据题意，()285,N ξσ ，且(83870.3P ξ<<=，则()83850.15P ξ<<=，又由()78830.12P ξ<<=，故()780.50.150.120.23P ξ<=--=，故选：C .4．D 【详解】：如图所示，AP 为比萨斜塔的中轴线，44AOD ∠=︒，4BAP ∠=︒，则40PAC ∠=︒，即中轴线与赤道所在平面所成的角为40︒．故选：D．5.B 【详解】：的展开式只有第3项的二项式系数2n C 最大，4n ∴=，的第1r +项为()41412rrr r T Cx x -+⎛=- ⎝，，∴令，解得：1r =，，即：展开式中52x 项的系数为32.-故选：B ．6.D 【详解】：3log 3623236(0)(log 36)2log 232179f f -+=++=++=，故选：D ．7.B 【详解】如图建立平面直角坐标系，则()()33130,0,2,0,,,2222A B C D ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，∴()13132,0,,2222AB AD BC ⎛⎛===- ⎝⎭⎝⎭，设(),01BP BC λλ=≤≤ ，1322BP BC λλ=⎛=- ⎝⎭ ，∴13222AP AB BP λ⎛⎫- ⎪ ⎪=⎝⎭+= ，又()112,0222x AP xAB y x y y y AD ⎛⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭，∴112222x y yλ⎧-+⎪=⎪，解得112,y x λλ=-=，∴22222255211244144555x y λλλλλ⎛⎫++=-+=-+≥ ⎪⎝⎛⎫=- ⎝⎭⎪⎭，即22x y +的最小值为45.故选：B.8.C 【详解】：2y x = ，cos y x =均为偶函数，故函数()f x 为偶函数，()2sin f x x x '=-+，()2cos f x x ''=-+，cos [1x ∈- ，1]，()0f x ∴''<，又(0)0f '= ，∴()0f x '<在(0，)+∞恒成立，故在(0,)+∞函数()f x 递减，函数在(,0)-∞递增.(1)(1(0,2))11f x f x x ->-⇔-<∈⇔，故选：C ．二、多项选择题：ACABDABDBC10.ABD 【详解】因为函数1()sin 2135i f x x i ===++-∑，定义域为R ，对于A ，()()()sin 3π3sin 5π5(π)sin π35x x f x x +++=+++sin 3sin 5sin 35x xx =---()()()()sin 3sin 5sin 35x x x f x --=-++=-，所以函数()f x 的图象关于直线π2x =对称，故A 正确；对于B ，()()()()sin 3sin 5sin 3sin 5()sin sin 3535x x x xf x x x f x ---=-++=---=-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于点()0,0对称，故B 正确；对于C ，由题知()()()πf x f x f x +=-≠，故C 错误；对于D ，由题可知()cos cos3cos53f x x x x '=++≤，故D 正确.故选：ABD .11.ABD 【详解】：对于A ，由4a b e e += ，得2a b e + ，22a b ln ∴+ 当且仅当12a b n ==时等号成立，A 正确；对于B ，由40a b e e =->，得4a b e b b e +=+-且a ，(,ln 4)b ∈-∞，令(ln 4)()4x f x x e x <=+-，则()1x f x e '=-，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,ln 4)上单调递减，所以()(0)3f x f ≤=，即43a b e b b e +=+-≤，B 正确；对于C ，当0,13a b n ==时，01ab =<，C 错误；对于D ，22222222111()2()(()8222a b a b a b a b e e e e e e e e +=⋅+≥+=+=+，D 正确．故选：ABD ．12.BC 【详解】设(2)n n a =-,则221134n n n a a ---=⋅不为非零常数,所以{}(2)n -不是等方差数列,故A 错误；由题意21(1)n a n p =+-，则42a a ==即1p +=，解得1p =或0p =（舍去），当1p =时，2n a n =,n a =B 正确;设数列{}n a 为等比数列,不妨设n n a cq =,则11n n a cq --=,所以2222122(1)n n n a c qq a ---=-,若2222(1)n c q q --为常数,则1q =±,但此时2222(1)0n c q q --=,不满足题意,故C 正确;若数列{}n a 既是等差数列,又是等方差数列不妨设221n n a a p --=,(*2,,n n p∈N 为非零数),1(0)n n a a d d --=≠,所以1()n n a a d p -+=,即1n n p a a d -+=,所以2n p a d d-=,即22n p d a d =+所以{}n a 为常数列,这与1(0)n n a a d d --=≠,221(0)n n a a p p --=≠矛盾,故D 错误.故选：BC 三、填空题13.【详解】由定义知2p AM AF =-，所以22=p，4=p .14.【详解】设等比数列的公比为q ，0q >， 在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，2534a q a ∴==，解得2q =，3322n nn a a -∴=⋅=，12(12)2212n n n S +-∴==--，511n S > ，12513n +∴>，当8n =时，1922512n +==，当9n =时，110221024n +==，∴正整数n 的最小值为9．∴使不等式511n S >成立的正整数n 的最小值为9．故答案为：9．15.【详解】()f x 存在唯一零点，1x ∴=是()y f x =的唯一零点，则x y e kx =-在(0,)+∞上无零点或有唯一零点1x =，即xe k x =在(0,)+∞上无解或有唯一解1x =令()x e g x x =，则2(())1x e x x g x '-=，所以()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞上单调递增，要使xe k x=在(0,)+∞上无解或有唯一解1x =，只需min ()(1)k g x g e ≤==.综上，k e16．【详解】：正四面体的体积为332114323S ABC a V a a a -=-⨯⨯⨯==表面积为24S ==表，设正四面体的内切球半径为1r ，则1243⨯1r =得11r =．显然内切球心为O ，故O 到面ABC 的距离为11r =，球面与面ABC 相交部分为以2r ==的圆，设三角形ABC 的内切圆半径为3r ，圆心为O '，D 为BC 的中点，则30O BD ∠'=︒，BD =，故3r O D ='=，此时恰好23r r =，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，故当R =时，圆弧总长度为242r π⨯=．四、解答题：17．【详解】（1）因为223coscos 222C A a c b +=，则()()1cos 1cos 322a C c Ab +++=，……2分即cos cos 3ac a C c A b +++=，由正弦定理可得()()3sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin B A C A C A C A C A C =+++=+++()sin sin sin πsin sin sin A C B A C B =++-=++，因此，sin sin 2sin A C B +=.…………5分（2）因为sin sin 2sin A C B +=，由正弦定理可得24a c b +==，由平面向量数量积的定义可得cos 3AB AC cb A ⋅==，…………7分所以，2222242322b c a c a c bc +-+-⋅==，可得222c a -=，即()()()42c a c a c a -+=-=，所以，12c a -=，则94c =，74a =，18.【详解】：（1）n a ，n S ，2n a 为等差数列，22n n n S a a ∴=+，且，0n a >当1n =时，2111122S a a a ==+，可得11a =；当2n 时，221112()2n n n n n n n S S a a a a a ----==+--，…………2分则221111()()()n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-，由10nn a a -+>，故11n n a a --=，…………4分所以{}n a 是首项为1，公差均为1的等差数列，故n a n =．…………6分（2）由2n a m >，即2n m >，即21m n =-所以21n b n =-，………9分所以{}n b 的前50项和为()501991359925002+++++== ．………12分19.（1）由题意得：()()()819991,,100101010P A P B P B +====，()()981,100100P AB P AB ==……….2分()()()()181,10100P AB P B A P AB P A ∴===，()()()910P AB P B A P A ==….……4分()()19P B A L P B A∴==….……….…….…….…6分（2）()()1109010P X P X ≤=≥=()14109012105P X <<=-⨯= ，则43,5Y B ⎛⎫⎪⎝⎭………………7分Y ∴可能的取值为0,1,2,3，()()32131114120,1512555125P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1232314484642,3,551255125P Y C P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Y ∴的分布列为：………………11分（错一个扣1分）Y 0123P1125121254812564125∴数学期望()412355E Y =⨯=………………12分20.【详解】：（1）设AC 的中点为O ，连接1OA ，OB ，因为AB BC =,所以AC OB ⊥，又因为1AC A B ⊥，因为1,A B OB ⊂平面1OBA ，且1A B OB B = ，所以AC ⊥平面1OBA …………………（2分）因为1OA ⊂平面1OBA ，所以1AC OA ⊥，又因为O 是AC 中点，所以11AA AC =……………………（4分）（2）112A A AC ==，在△ABC 中，由余弦定理求得AC =12AO BO ==，又因为AC ⊥平面1OBA ，二面角1A AC B --的大小为3π，则13AOB π∠=，.…………………（6分）由（1）知，则以,OB OC所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得坐标如下：111133313(),3,0),(3,),(,23,(1,0,0).222222A CBC B .……………（7分）设平面11ACB 的法向量为(,,)m x y z =，11113(3,(13,0).22AC A B =-= 1330(3,1,3)230x z m x ⎧-=⎪⇒=--⎨⎪=⎩.…………………（9分）设平面11BB C C 的法向量为(,,)n a b c = ，113(3,(13,0).22BB BC ==-1330(3,1,3)2230a b c n a b ⎧+=⎪⇒=-⎨⎪-=⎩.………………………………（11分）记平面11ACB 与平面11BCC B 的夹角为|319|11,cos .131313θθ=.………………（12分）21.【详解】：（1）2()[ln (1)ln 1],f x x a x x =-++⋅22ln 1()[][ln (1)ln 1]x a f x x x a x x x+'∴=-+-++2ln (1)ln x a x a =+--(ln )(ln 1)x a x =-+则两根分别为121,a x e x e==………………………2分1︒当1a =-时，()0f x '≥在(0,)+∞恒成立，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；2︒当1a >-时，则当1x e <或a x e >时()0f x '>，当1a x e e<<时()0f x '<，所以()f x 单调递增区间为1(0,),(,)a e e +∞，单调递减区间为1(,)a e e ；3︒当1a <-时，则当a x e <或1x e >时()0f x '>，当1a e x e<<时()0f x '<，所以()f x 单调递增区间为1(0,),(,)a e e +∞，单调递减区间为1(,a e e………………………5分（2）由（1）知，若1a =-，则2()[ln 1],f x x x =+⋅2()(ln 1)0f x x '∴=+≥，()f x ∴的在区间(1,)+∞单调递增.又12x x >，所以221212()()()f x f x m x x -<-对12,(1,)x x ∀∈+∞恒成立221212()()()f x f x m x x ⇔-<-对12,(1,)x x ∀∈+∞恒成立221122()()f x mx f x mx ⇔-<-对12,(1,)x x ∀∈+∞恒成立………………………………………………7分令2()()h x f x mx =-，则()h x 在(1,)+∞上单调递减，则()0h x '≤在(1,)+∞上恒成立，……9分又2()(ln 1)2h x x mx '=+-，且1,x >2(ln 1)2x m x +≥在(1,)+∞上恒成立，2max (ln 1)2[]x m x +≥…………………………………………………10分令2(ln 1)()x g x x+=，则2(ln 1)(1ln )()x x g x x +-'=令()0g x '>得(1,)x e ∈，令()0g x '<得(,)x e ∈+∞，()g x ∴在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以max 42()()m g x g e e≥==2m e∴≥…………………………………………………12分22.【详解】（1）因为实轴长为4，即24a =，2a =，又2ca=，所以22222,4c b c a ==-=，故C 的方程为22144y x -=；…………………………4分（2）由O ，A ，N ，M 四点共圆可知，ANM AOM π∠+∠=，又MOP AOM π∠+∠=，即ANM MOP ∠=∠，故1tan tan tan ANM MOP OMP∠=∠=∠，即1AN OMk k -=-，所以1AN OM k k ⋅=，……………………6分设1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，(M M x ，)M y ，由题意可知(0,2)A -，则直线112:2y AG y x x +=-，直线222:2y AH y x x +=-，因为M 在直线l ，所以M y t =，代入直线AG 方程，可知11(2)2M t x x y +=+，故M 坐标为11(2)(,)2t x t y ++，……………………7分所以11(2)(2)OM t y k t x +=+，又222AN AH y k k x +==，由1AN OMk k ⋅=，则12(2)21(2)t y y t x x ++⋅=+，整理可得12(2)(2)2y y t t x x +++=，…………………………9分当直线GH 斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线GH :y =kx +t ，代入双曲线方程：22144y x -=中，可得222(1)240k x ktx t -++-=，所以212122224,11kt t x x x x k k --+==--，…………………………10分又1212(2)(2)(2)(2)y y kx t kx t ++=++++222222121222242(2)(2)()(2)(2)(2)111t kt t k x x k t x x t k k t t k k k ---+=+++++=⋅++⋅++=---，所以2221222122(2)(2)(2)2(2)(2)1(20)4421t y y t t t k t t t x x t t k -++++-+-+-====+≠----，故2t t =-，即1t =，所以点P 坐标为(0,1)．…………………………12分。
2019-2020学年重庆市第八中学高二下学期阶段性测试数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市第八中学高二下学期阶段性测试数学试题一、单选题 1．设212iz i+=-，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数z 的虚部. 【详解】()()()()212251212125i i i iz i i i i +++====--+Q ，因此，复数z 的虚部为1. 故选：B. 【点睛】本题考查复数虚部的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.2．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（ ）A ．25B ．23C ．12D ．07【答案】C【解析】根据随机数表依次进行选取即可． 【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字， 大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12， 则抽取的第5个零件编号为12. 故选：C ．【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析．3．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．2【答案】C【解析】由(1,2)-在直线b y x a =-上，可得b a，由e =【详解】解：Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)-，∴点(1,2)-在直线by x a=-上， ∴2ba=．则该双曲线的离心率为e ==故选：C ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率以及渐近线方程，属于基础题．4．函数()y f x =是R 上的可导函数，命题():p f x 既有极大值又有极小值，命题:q 方程()0f x '=至少有两个解，则下列说法正确的是（ ） A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件 C ．p 是q 的充要条件 D ．p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用极值点的定义和充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若函数()y f x =既有极大值又有极小值，则方程()0f x '=至少有两个解，p q ⇒； 取()431143f x x x =-，则()()3221f x x x x x '=-=-，则方程()0f x '=的解为0x =和1x =.当0x <或01x <<，则()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.此时，函数()y f x =只有一个极值点，所以q p ⇒/. 因此，p 是q 的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及可导函数极值点必要条件的应用，考查推理能力，属于中等题.5．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地硏学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（ ）人 A ．240 B ．180C ．120D ．60【答案】B【解析】作出韦恩图，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，根据题意求出x 的值，由此可得出该学校到过中共一大会址研学旅行的学生人数. 【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查韦恩图的应用，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.6．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞2【答案】D【解析】根据抛物线的几何性质当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p，列不等式求解. 【详解】∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.7．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 8．某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ） A ．474种 B ．77种C ．462种D ．79种【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），所有的上课方法有39A ，那么连着上3节课的情况有533A 种，则利用间接法可知所求的方法有39A -533A =474，故答案为A.【考点】排列组合点评：主要是考查了排列组合的运用，属于基础题．9．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-10【答案】D【解析】()()9011010019910999991...1[...]n n n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 10．已知点E 是抛物线()2:20C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP △中，若PF PE μ=⋅，则μ的最小值为（ ）A．B．2CD【答案】A【解析】过点P 作PM 垂直于抛物线的准线，垂足为点M ，由抛物线的定义得出PF PM =，进而可得出cos PEF μ=∠，进而可知当直线PE 与抛物线C 相切时，μ取最小值，并设直线PE 的方程为2px my =-，与抛物线方程联立，由0∆=求出m 的值，进一步可得出μ的最小值. 【详解】如下图所示，过点P 作PM 垂直于抛物线的准线，垂足为点M ，由抛物线的定义可知PF PM =，则cos cos PF PMEPM PEF PE PEμ===∠=∠， 所以，当PEF ∠最大时，μ取最小值，此时，直线PE 与抛物线C 相切， 易知点,02p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，设直线EP 的方程为2p x my =-，联立222p x my y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得2220y mpx p -+=，则222440m p p ∆=-=，解得1m =±， 4PEF π∴∠=，所以，μ的最小值为2cos4π=. 故选：A. 【点睛】本题考查抛物线中线段长的比值问题的计算，考查了抛物线定义的应用，解题时要抓住直线与抛物线相切这一位置的分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11．现安排5名同学A 、B 、C 、D 、E 参加志愿者服务活动，每人从事接待、后勤保障、服务、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.A 、B 不会开车但能从事其他三项工作，C 、D 、E 都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A ．54 B ．90C ．126D ．152【答案】C【解析】分两种情况讨论，一是只有一人从事开车工作、二是有两人从事开车工作，将其他人分配另外三项工作，利用分类计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：（1）只有一人从事开车工作，有3种选择，然后将其余4人分为3组，分配给其他三种工作，此时，安排方案数为23433108C A ⨯=种；（2）有两人从事开车工作，有23C 种选择，然后将其余3人分配给其他三种工作，此时，安排方案数为233318C A =种.综上所述，不同安排方案的种数10818126+=种. 故选：C. 【点睛】本题考查分组分配问题，涉及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足224OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的离心率为（ ）A ．B ．CD 【答案】D【解析】作出图形，分析出12F PF ∠为直角，利用已知条件求出1OF P ∠，进而可求得双曲线一条渐近线的倾斜角，由此可求得b a ，再由公式e =可求得双曲线的离心率. 【详解】如下图所示，由于点P 是点1F 关于双曲线某条渐近线的对称点，则12OP OF OF ==， 所以，12F PF △为直角三角形，且12F PF ∠为直角，且22OPF OF P ∠=∠，224OPF POF ∠=∠Q ，则22226OPF OF P POF OPF π∠+∠+∠=∠=，26OPF π∴∠=，123OF P OPF π∴∠=∠=，所以，双曲线的渐近线b y x a=的倾斜角为6π，3tan 6b a π∴==因此，双曲线E 的离心率为22222313c a b b e a a a +⎛⎫===+= ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，在涉及双曲线的渐近线时，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为简洁，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．将一枚质地均匀且各面分别标有数字1、2、3、4的正四面体连续抛掷两次，记面朝下的数字依次为a 和b ，则点(),a b 在直线12y x =上的概率为__________. 【答案】18【解析】计算出所有的基本事件数，并列举出事件“点(),a b 在直线12y x =上”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】所有的基本事件数为2416=，事件“点(),a b 在直线12y x =上”所包含的基本事件有：()2,1、()4,2，共2种，因此，所求事件的概率为21168=. 故答案为：18. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.14．若,x y 满足约束条件220101x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为 ___________．【答案】3-.【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值． 【详解】解：画出x ，y 满足约束条件220101x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩……„，表示的平面区域，如图所示； 结合图象知目标函数2z x y =-过A 时，z 取得最小值，由110x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)A ，所以z 的最小值为1223z =-⨯=-． 故答案为：3-．【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．15．已知2nx x ⎛ ⎝的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为__________.【答案】1-【解析】写出二项展开式的第5项，根据题意求出n 的值，然后令1x =可求得该式中所有项系数的和. 【详解】2nx⎛ ⎝的展开式中第5项为()()4444242102n n n n C xC x --⎛⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 由题意可得2100n -=，得5n =.因此，该式中所有项系数的和为()5121-=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用展开式中的常数项求参数，同时也考查了二项式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.16．若2x =-是函数()()211x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为__________. 【答案】35e【解析】根据题意得出()20f '-=，可求得实数a 的值，然后利用导数可求得函数()y f x =的极大值.【详解】()()211e x f x x ax -=+-Q ，()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤∴=+++-⎣⎦， 由题意可得()()3210f a e -'-=-+=，解得1a =-.()()211e x f x x x -∴=--，()()212x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，得2x =-或1x =.列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),2-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()2,1-，所以，函数()y f x =的极大值为()352f e -=. 故答案为：35e. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了利用极值点求参数，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．函数()323612f x x x x =+-+. （1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程； （2）函数()()()212g x f x ax ax a R =+-∈在区间()1,1-上是单调递减函数，求a 的取值范围.【答案】（1）610x y +-=；（2）(]9,3--.【解析】（1）求出()0f '的值，利用点斜式可求得所求切线的方程；（2）求得()()323612a g x x x a x +=+-++，()()()361g x x a x '=++-，根据题意可得出关于a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()323612f x x x x =+-+Q ，()2336f x x x '∴=+-，()06f '∴=-， 因此，曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程16y x -=-，即610x y +-=； （2）()()()322361212a x g x f x x a x x a a x =++-++-=+Q ， ()()()()()2336361g x x a x a x a x '=++-+=++-，令()0g x '=，得63a x +=-或1x =， 由于函数()y g x =在区间()1,1-上是单调递减函数，则6113a +-≤-<，解得93a -<≤-.因此，实数a 的取值范围是(]9,3--. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.18．为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图所示的直方图：根据频率分布直方图估计，事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率()0.30P C=.（1）根据所给的频率分布直方图估计各段频数；（附：频数分布表）A组实验甲离子残留频数表[)0,1.5[)1.5,2.5[)2.5,3.5 [)3.5,4.5[)4.5,5.5[)5.5,6.5 [)6.5,7.5[)7.5,8.5[]8.5,100（2）请估计甲离子残留百分比的中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值. 【答案】（1）见解析；（2）甲离子残留百分比的中位数为4，乙离子残留百分比的平均值为6.【解析】（1）根据()0.30P C =，求出a 、b 的值，利用频数、频率和总容量的关系求出每组的频数，填入表格即可；（2）由甲离子残留百分比直方图中位数左边矩形面积和为0.5可求出中位数，将每个矩形底边中点值与对应的矩形面积相乘，再将所得结果相加即可得出平均数.【详解】（1）事件C ：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率()0.30P C =，0.050.150.30b ∴++=，0.10b ∴=，10.050.100.150.200.150.35a ∴=-----=，因此，频数分布表如下表所示：（2）设甲离子残留百分比的中位数为m ，0.150.20.50.150.20.3+<<++Q ，[]3.5,4.5m ∴∈，()0.150.2 3.50.30.5x ∴++-⨯=，解得4x =.由频率分布直方图可知，乙离子残留百分比的平均值为30.0540.150.1560.3570.280.156⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数、平均数，考查计算能力，属于中等题.19．已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=uu r uu u r时，求直线l 的方程. 【答案】（1）(2,2)M ；（2）6y x =-.【解析】（1）将P 代入抛物线方程，求得p 的值，根据向量的坐标运算，即可求得M 的值；（2）方法一：根据向量的坐标运算，求得M 的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程；方法二：设直线l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线l 的方程． 【详解】解：（1）将(1,2)P -代入抛物线2:2C y px =方程，得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，设0(M x ，0)y ，当3λ=时，3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ． （2）方法一：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r．可得0(1x +，02)(y λ-=，0)，所以02y =， 所以直线l 的斜率存在且斜率1212120421y y k x x y y y -====-+， 设直线l 的方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩，消去y ， 整理得22(24)0x b x b +-+=，△22(24)416160b b b =--=->，可得1b <，则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212412OA OB x x y y b b =+=+=u u u r u u u rg， 解得6b =-，2b =（舍)， 所以直线l 的方程为6y x =-． 方法二：设直线l 的方程为x my n =+， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ，联立方程组24x my ny x=+⎧⎨=⎩，消去x ， 整理得2440y my n --=，△216160m n =+>， 则124y y m +=，124y y n =-，则21212()242x x m y y n m n +=++=+，则2(2M m n +，2)m ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r． 得2(21m n ++，22)(m λ-=，0)，所以1m =， 所以直线l 的方程为x y n =+， 由△16160n =+>，可得1n >-，由124y y n =-，得221212()16y y x x n ==，所以21212412OA OB x x y y n n =+=-=u u u r u u u rg， 解得6n =或2n =-，（舍去） 所以直线l 的方程为6y x =-． 【点睛】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力，属于中档题． 20．在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为长方形，SB ⊥底面ABCD ，其中BS =2，BA =2，BC =λ，λ的可能取值为：①14λ=；②12λ=；③3λ=；④32λ=；⑤λ=3（1）求直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值；（2）若线段CD 上能找到点E ，满足AE ⊥SE ，则λ可能的取值有几种情况？请说明理由；（3）在（2）的条件下，当λ为所有可能情况的最大值时，线段CD 上满足AE ⊥SE 的点有两个，分别记为E 1，E 2，求二面角E 1－SB －E 2的大小. 【答案】（1）22（2）λ可以取①②③，见解析（3）30°【解析】（1）由SB ⊥底面ABCD ，得SAB ∠即为直线AS 与平面ABCD 所成的角，由此能求出直线AS 与平面ABCD 所成角的正弦值．（2）以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BS 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，根据SE EA ⊥u u r u u u r 得到2(2)x x λ=-，再根据x 的取值范围得到λ的取值；（3）利用向量法能求出12,BE BE u u u r u u u u r夹角的余弦值，进而求得二面角12E SB E --的大小．【详解】（1）因为SB ⊥底面ABCD ，所以∠SAB 即为直线AS 与平面ABCD 所成的角， 在Rt SBA V 中，2sin sin 452SAB ︒∠==（2）以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BS 的方向分别为x 轴、y 轴z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：B (0，0，0)，A (0，2，0)，D (λ，2，0)，S (0，0，2). 设(,,0)(02)E x x λ≤≤，所以，(,,2),(,2,0)SE x EA x λλ=-=--u u r u u u r22(2)0(2)SE EA x x x x λλ⊥⇒-+-=⇒=-u u r u u u r因为x ∈[0，2]， 2(2)[0,1]x x λ=-∈，所以在所给的数据中，λ可以取①②③（3）由（2）知3λ=12x =或32x =，即满足条件的点E 有两个，根据题意得，其坐标为131(,0)2E 和233,0)2E ， 因为SB ⊥平面ABCD ，所以SB ⊥BE 1， SB ⊥BE 2， 所以，∠E 1BE 2是二面角E 1−SB −E 2的平面角由12121233344cos ,213BE BE BE BE BE BE +⋅===⨯⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 由题意得二面角E 1−SB −E 2为锐角，所以二面角E 1−SB −E 2的大小为30° 【点睛】本题考查线线面角的正弦值、二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21．已知函数()()()2115ln 2f x x a x a x a R =-+++∈. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当[]1,x e ∈时，记()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的解析式. 【答案】（1）单调递增区间为()0,1和()2,+∞，单调递减区间为()1,2；（2）()()229,12ln 5,12115,2a a a g a a a a a e e a e e a e ⎧-≤⎪⎪⎪=--+<<⎨⎪⎪---+≥⎪⎩.【解析】（1）当2a =时，求出函数()y f x =的解析式、定义域和导数，分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间； （2）求得()()()1x x a f x x--'=，然后分1a ≤、1a e <<和a e ≥三种情况讨论，分析函数()y f x =在区间[]1,e 上的单调性，进而可得出函数()y f x =在区间[]1,e 上的最大值，由此可得出()g a 的解析式. 【详解】（1）当2a =时，()21352ln 2f x x x x =-++，定义域为()0,∞+， ()()()1223x x f x x x x--'=-+=. 令()0f x '>，得01x <<或2x >；令()0f x '<，得12x <<.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和()2,+∞，单调递减区间为()1,2； （2）()()2115ln 2f x x a x a x =-+++Q ，()()()()11x x a a f x x a x x--'∴=-++=，令()0f x '=，得1x =或x a =.①当1a ≤时，对任意的[]1,x e ∈，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间[]1,e 上单调递增，则()()912g a f a ==-； ②当1a e <<时，若1x a <≤，则()0f x '<；若a x e <≤，则()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],2a 上单调递增.所以，()()2ln 52a g a f a a a a ==--+；③当a e ≥时，对任意的[]1,x e ∈，()0f x '≤. 此时，函数()y f x =在区间[]1,e 上单调递减，则()()()21152g a f e e a e e ==---+.综上所述，()()229,12ln 5,12115,2a a a g a a a a a e e a e e a e ⎧-≤⎪⎪⎪=--+<<⎨⎪⎪---+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解含参函数在区间上的最值，对参数进行分类讨论是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知12PF F △C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与A 、B 重合）.设ABQ △的外心为G ，求证2AB GF 为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 的值，进而可得出椭圆C 的方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，可设直线l的方程为x my =+l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出AB ，利用线段AB 和AQ 的垂直平分线的交点得出点G 的坐标，进而得出2GF ，再对2AB GF 进行化简即可.【详解】（1）12PF F △的面积的最大值为122c b bc ⨯⨯==由已知条件得bc c e a a ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，易知点)2F ，设直线l的方程为x my =+()11,A x y 、()22,B x y ，可知点()11,Q x y -，联立2214x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410m y ++-=，由韦达定理得1224y y m +=-+，12214y y m =-+，由弦长公式得12AB y y =-== ()22414m m +=+，122y y +=121222x x y y m ++=⋅=， 所以，线段AB的中点为22,44M m m ⎛⎫- ⎪⎪++⎝⎭， 则线段AB的垂直平分线的方程为y m x ⎛+=-- ⎝⎭，即第 21 页 共 21 页24y mx m =-++， 线段AQ 的垂直平分线为x轴，在直线方程y mx =-+中，令0y =，得x =则点2,04G m ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，)22214m GF m +∴==+， 因此，()22224143m AB GF m +==+（定值）. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，解题的关键是由直线与椭圆的方程联立，充分利用弦长公式和两点间的距离公式，考查运算求解能力与分析问题的能力，属于中等题.。
重庆市第八中学2020届高三第2次月考理科数学试题(附答案解析)
重庆八中高2020级高三（下）第2次月考理科数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}2|9A x x =<，{}3,2,1,0,1,2B =---，则A B =I （ ） A.{}0,1,2B.{}1,0,1,2-C.{}2,1,0,1,2--D.{}2,1,0--2.设(1)()2i a bi ++=，其中,a b 是实数，i 为虚数单位，则3a bi +=（ ） A.2C.3.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log a =（ ） A.15B.16C.17D.184.若实数,x y 满足约束条件20,20,240,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A.8-B.6-C.1D.35.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A.35B.710C.45D.9106.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，,E F 分别在线段1,DB DD 上，且112DE DF EB FD ==，G 在1CC 上且平面//AEF 平面1BD G ，则1CGCC =（ ）A.12B.13C.23D.147.在直角坐标系xOy 中，半径为1m 的C e 在0t =时圆心C 与原点O 重合，C e 沿x 轴以1m/s 的速度匀速向右移动，C e 被y 轴所截的左方圆弧长记为x ，令cos y x =，则y 关于时间t （01t ≤≤，单位：s ）的函数的图象大致为（ ）A. B. C. D.8.(()nmx n N ++∈的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中3x 的系数为（ ） A.40B.30C.20D.109.设函数()cos()f x x ωϕ=+()(0,0)x R ωπϕ∈>-<<的部分图象如图所示，如果127,,1212x x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.2D.1210.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，ABC ∆是边长为6的等边三角形，记ABC ∆的外心为1O .若三棱锥P ABC -的体积为1PO =（ ）A. B. C.D.11.设双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左顶点为A ，右焦点为(, 0)F c ，若圆222:()A x a y a ++=与直线0bx ay -=交于坐标原点O 及另一点E ，且存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切，切点为EF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A.2D.312.函数()1ln()(0)(0)x f xe x x x x --<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A.4,15⎛⎤⎥⎝⎦B.(,1)[1,)-∞-+∞UC.(,1){1}-∞-UD.(1,0){1}-U第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a r 与b r 的夹角为120°，且()1,3a =-r，b =r a b ⋅=r r ________.14.已知函数()()3x af x a R -=∈满足()()4f x f x =-，则实数a 的值为________.15.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()222220n n S n n S n n -+--+=，*n N ∈，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T =________. 16.设抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，弦AB 过点F 且中点为M ，过点,F M 分别作AB 的垂线交l 于点,P Q ，若3AF BF =，则FP MQ ⋅=________.三、解答题：（共70分）17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且满足(cos )c b A A =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4a =，且BC，求ABC ∆的周长.18.如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 在AB 上，22AE EB ==，且DE AB ⊥ .以DE 为折痕把ADE ∆折起，使点A 到达点F 的位置，且60FEB ∠=︒.（Ⅰ）求证：平面BFC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，求二面角E DF C --的正弦值. 19.为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg ）.根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布()2,N μσ .在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得20119.9620i i x x ===∑，0.19s ==≈.其中i x 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1,2,,20i =L .用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X 表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的药品件数，求(1)P X =及X 的数学期望.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+≈，190.99740.95≈.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与C 交于,A B 两点.2ABF ∆后的周长为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆C 的下顶点，直线,PA PB 与2y =分别交于点,M N ，当MN 最小时，求直线AB 的方程.21.已知函数()1axe xf x =--，且()0f x ≥.（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）在函数()f x 的图象上取定两点()()11,A x f x ，()()()2212,B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在()012,x x x ∈，使()0f x k '=成立？若存在，求出0x 的值（用12,x x 表示）；若不存在，请说明理由. 请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos 3sin 12ρθθ+=，直线l 的参数方程为2x ty t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于,M N 两点. （Ⅰ）若点P 的极坐标为()2,π，求PM PN ⋅的值； （Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲.已知函数()f x x x a =-，a R ∈.（Ⅰ）当()()224f f +->时，求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，,(,]x y a ∀∈-∞，不等式()|3|||f x y y a ≤++-恒成立，求a 的取值范围.高2020级高三（下）3月月考理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）10.由题意ABC S ∆=，1O A =12OO =，设P 到平面ABC 的高为h ，则由V =4h =，所以点P 在小圆2O （如图所示，圆1O与圆2O 所在平面平行）上运动，22OO =，所以2O P =1PO ==.11.联立12221000()x bx ay y x a y a ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎩或32222222a x c a by c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则322222,a a b E cc ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为存在以O 为圆心的圆与线段EF 相切于其中点，所以OE OF =，c =，化简即得e =12.当0x ≥时，()()11xf x ex -'=-，所以当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()00f =，当x →+∞时，()0f x →.当0x <时，()f x 单调递减，所以()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则由上图可知当0t =或1时，方程()t f x =有两个实数根；当(0,1)t ∈时，方程()t f x =有三个实数根；当(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，方程()t f x =有一个实数根.所以关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等的实数根等价于关于t 的方程220t at a a -+-=有两个实数根10t =，21t =或者1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U .当10t =，21t =解得1a =；当1(0,1)t ∈，2(,0)(1,)t ∈-∞+∞U 时，()()222200110a a a a a a -⨯+--⨯+-<，解得10a -<<.综上所述，(1,0){1}a ∈-U .第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）15.由题意()()220n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，因为{}n a 各项均为正数，所以0n S >，可得2n S n n =+，所以11124(1)n n n a n a a n n +=⋅=+11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 所以202011111150514223202020212021T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L . 16.由对称性，不妨设A 在一象限，设直线AB 的倾斜角为θ，由3AF BF =得31cos 1cos ppθθ=-+ 得1cos 2θ=，所以2AF =，23BF =，23MF = .记AB 与l 的交点为S ，x 轴与l 的交点为R ，则2cosRF SF θ==，tan SF FP θ==tan SM MQ θ==，所以169FP MQ ⋅=. 三、解答题：（共70分）17.解：（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin (cos )C B A A =又因为ABC ∆中A B C π++=，故sin sin()C A B =+.sin()sin (cos )A B B A A ∴+=sin cos cos sin sin cos sin A B A B B A B A ∴+=+sin cos sin A B B A ∴=又因为A 为ABC ∆的内角，故sin 0A ≠cos B B ∴=，(0,)B π∈Q ，6B π∴=（Ⅱ）如图，AD =6B π=，则sin ADc AB B===又4a =，在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos 4b a c ac B =+-⋅=2b ∴=故三角形的周长6a b c =++=+18.解：（Ⅰ）因为DE AB ⊥，所以DE EB ⊥，DE EF ⊥， 所以DE ⊥平面BEF ，所以DE BF ⊥①因为22AE EB ==，所以2EF =，1EB =，又60FEB ∠=︒，由余弦定理得：BF =所以222EF EB BF =+，所以FB EB ⊥②由①②得BF ⊥平面BCDE ，所以平面BFC ⊥平面BCDE . （Ⅱ）建系如图，设DE a =，则(1,,0)D a ，(1,0,0)E ，F ，(1,DF a =--因为直线DF 与平面BCDE所成角的正切值为5，所以直线DF 与平面BCDE所成角的正弦值为4，又(0,0,1)n =r为平面BCDE 的法向量，所以cos ,4n DF n DF n DF ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r4=，解得2a =. 所以(1,2,0)D ，(2,2,0)C -，则(0,2,0)ED =u u u r，(1,DF =--，设平面EDF 的法向量(,,)m x y z =u r，则200200y ED m x y DF m ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r u ru u u r ury x =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩， 取1z =得m =u r，同理可取平面DFC的法向量2)p =u r，所以cos ,7m p m p m p ⋅===⋅u r u ru r u r u r u r所以sin ,7m p =u r u r，即得二面角E DF C --的正弦值为7. 19.解：（Ⅰ）由9.96x =，0.19s =，得μ的估计值为ˆ9.96μ=，σ的估计值为ˆ0.19σ=，由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在ˆˆˆˆ(3,3)(9.39,10.53)μσμσ-+=之外，因此需对本次的生产过程进行检查.（Ⅱ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而主要药理成分含量在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(20,0.0026)X B .因此11920(1)(0.9974)0.0026P X C ==⨯200.950.00260.0494≈⨯⨯=，X 的数学期望为()200.00260.052E X =⨯=.20.解：（Ⅰ）由题意可得：4a =，ca a=⇒=11c b =⇒= 22:12x C y ⇒+=（Ⅱ）点(0,1)P -，1(1,0)F -，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则显然直线AB 与x 轴不重合，设:1AB x my =-，则可知1m ≠-由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩得()222210m y my +--=12222m y y m ⇒+=+，12212y y m =-+ 直线()111:10PA y x x y x +--=，令2y =，可得1131M x x y =+， 同理2231N x x y =+， 12123311x x MN y y =-=++()()()()()()1221121111311my y my y y y -+--+++121212131m y y y y y y +-=+++==，当0m =时，MN =当0m ≠时，MN ==， 由于1(,2)[2,)m m +∈-∞-⋃+∞，则11,1(1,)2211m m⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭++， 此时MN 的最小值为6<1m =处取得. 综上，当MN 最小时，直线:1AB x y =-，即1y x =+.21.解：（Ⅰ）若0a ≤，则对一切0x >，()10axe f x x =--<，这与题设矛盾；若0a >，()1axf x ae '=-，令()0f x '=，得11ln x a a=. 当11ln x a a <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当11ln x a a>时，()0f x '>，()f x 单调递增，故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111ln ln 1f a a a a a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 于是对一切x R ∈，()0f x ≥恒成立，当且仅当111ln 10a a a--≥.① 令()ln 1g t t t t =--，则()ln g t t '=-.当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增；当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值()10g =. 因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，1a =.（Ⅱ）由题意知，()()212121211x x f x f x e e k x x x x --==---. 令()()2121x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--，()y x ϕ=在区间[]12,x x 上单调递增； 且()()()121121211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦-，()()()212212211x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦-. 由（Ⅰ）得()10xx e f x =--≥恒成立， 从而()()212110x x e x x ---->，()()121210x x e x x ---->， 又1210x e x x >-，2210x e x x >-， 所以()10x ϕ<，()20x ϕ>.由零点存在性定理得，存在唯一()012,x x x ∈，使()00x ϕ=，且()21021ln x x e e x x x -=-. 综上所述，存在()012,x x x ∈使()0f x k '=成立，且()21021ln x x e e x x x -=-. 22.解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22312x y +=.因为点P 的直角坐标为(2,0)-， 所以点P 在直线l 上.将直线l的参数方程222x y t ⎧'=-+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，得22231222⎛⎫⎛⎫''-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭240t ''⇒-=， 则12||||4PM PN t t ''⋅=⋅=.（Ⅱ）不妨设,2sin )Q θθ0,2πθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭为矩形上的一顶点，则该矩形的周长为2sin )16sin 3πθθθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 当且仅当6πθ=，其周长有最大值16.23.解：（Ⅰ）22224a a ⇔---->⇔2222(2)(2)2a a a a a ≤-⎧--+>⇒⎨--++>⎩ 或22(2)(2)2a a a -<≤⎧⎨---+>⎩或2(2)(2)2a a a >⎧⎨--+>⎩， 解得(,1)a ∈-∞-. （Ⅱ）max min ()(3)f x y y a ⇔≤++-，其中当,(,]x y a ∈-∞时3(3)()y y a y a y ++-≥++-33a a =+=+（当且仅当[3,]y a ∈-取等号）， （()()24a x x f x a =--≤当且仅当2a x =取等号） 所以234a a ≤+，解得(0,6]a ∈.。
2024年重庆八中中考数学模拟试卷(二)
2024年重庆八中中考数学模拟试卷（二）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．在实数，﹣3，1，中，最小的数是（）A．﹣3B．C．1D．2．下面几个几何体，从正面看到的形状是圆的是（）A．B．C．D．3．为了考察库存2000只灯泡的使用寿命，从中任意抽取15只灯泡进行实验，在这个问题中．下列说法正确的是（）A．总体是2000只灯泡B．样本是抽取的15只灯泡C．个体是每只灯泡的使用寿命D．个体是2000只灯泡的使用寿命4．下列运算正确的是（）A．x6÷x3＝x2B．a3•a2＝a5C．（2x）3＝6x3D．5a3﹣4a2＝a25．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sin B＝（）A．B．C．D．6．按如图所示的运算程序，输入的值为1时，（）A．y＝﹣1B．y＝﹣4C．y＝9D．y＝117．估计的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间8．如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O 上一点，当∠CED＝58°时，∠B的度数是（）A．32°B．64°C．29°D．58°9．在正方形ABCD中，连接BD，E为BC中点，F为BD上一点，连接EF，AF，满足AF ＝EF，延长AF交CD于点N，连接EN，若∠DAF＝α，则∠ENC用含α的式子表示为（）A．B．45°﹣αC．2a D．90°﹣2α10．对于4个字母m、n、x、y满足m﹣n＝x﹣y，先任意选择两个字母求差并添加绝对值，再把剩下的两个字母求差并添加绝对值，最后把两个绝对值作差．例如：先选择m，n 得到|m﹣n|，再得|x﹣y|，再把两个绝对值作差得|m﹣n|﹣|x﹣y|，把这种操作称之为“绝对值减法操作”，则下列说法正确的个数为（）①存在一种“绝对值减法操作”的结果为0；②两种“绝对值减法操作”的结果之和可能为0；③所有的“绝对值减法操作”化简后可能得到一共6种的不同结果．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
重庆八中2024届八年级数学第二学期期末达标检测试题含解析
重庆八中2024届八年级数学第二学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．二次函数y =ax2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图,图象过点（-1,0），对称轴为直线x =2,下列结论:①4a +b =0;②9a +c ＞3b ;③8a +7b +2c ＞0;④当x ＞-1时,y 的值随x 值的增大而增大.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，直线y ax b =+与直线y mx n =+交于点(2,1)P --，则根据图象可知不等式ax b mx n +>+的解集是( )A ．2x >-B ．2x <-C ．20x -<<D ．1x >-3．如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=，CFD 40∠=，则E ∠为( )A ．102B ．112C ．122D ．924．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）A ．调查全国中学生心理健康现状B ．调查一片试验田里五种大麦的穗长情况C ．要查冷饮市场上冰淇淋的质量情况D ．调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况5．如图，在Rt △ABC 中（AB ＞2BC ），∠C ＝90°，以BC 为边作等腰△BCD ，使点D 落在△ABC 的边上，则点D 的位置有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（ ） A ．正五边形 B ．正六边形 C ．等腰梯形 D ．平行四边形7．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F 、G 分别是BO 、CO 的中点，连结AO .若AO ＝6cm ，BC ＝8cm ，则四边形DEFG 的周长是（ ）A ．14cmB ．18 cmC ．24cmD ．28cm8．如图所示，在数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值为（ ）A ．35--B ．35-C ．5-D ．35-+9．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠B =90°，若沿图中虚线剪去∠B ，则∠1+∠2=（ ）A ．90°B ．135°C ．270°D ．315°10．要使二次根式x 有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．一次数学测验满分是100分，全班38名学生平均分是67分．如果去掉A 、B 、C 、D 、E 五人的成绩，其余人的平均分是62分，那么在这次测验中，C 的成绩是_____分．12．已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示77-的整数部分和小数部分，且24amn bn +=，则2a b += ． 13．化简33﹣23＝_____． 14．如图，直线y =mx 与双曲线y =xk交于A 、B 两点，D 为x 轴上一点，连接BD 交y 轴与点C ，若C （0，-2）恰好为BD 中点，且△ABD 的面积为6，则B 点坐标为__________.15．关于x 的方程a 2x+x=1的解是__．16．如图，过点N （0，-1）的直线y=kx+b 与图中的四边形ABCD 有不少于两个交点，其中A （2，3）、B （1，1）、C （4，1）、D （4，3），则k 的取值范围____________1748化为最简二次根式的结果是________________ 18．当m =______时，分式方程2133x mx x -=--会产生增根． 三、解答题(共66分)19．（10分）小聪从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然后走回家，如图是小聪离家的距离y （单位：km ）与时间x （单位：min ）的图象。
重庆八中初2019级九年级(下)二模考试数学试题
重庆八中初2019级九年级（下）二模考试（时间120分钟 满分150分）一、选择题（每小题4分，共48分）1. 下列各数中，是负整数的是（ ）A.6-B. 3C. 0D. 21-2. 如图，由5个相同的小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是（ ）3. 抛物线122+-=x x y 的顶点坐标为（ ）A. )0,1(B. )1,0(C. )1,1(D. )0,1(-4. 下列命题中，是假命题的是（A. 有三个内角是直角的四边形是矩形B. 等腰三角形是轴对称图形B. 平行四边形的对角线一定相互垂直 D. 菱形的四边相等5. 中国古代数学著作《周髀算经》中记录了商高同周公的一段对话，其中就提出了“勾广三，股修四，径隅五”。
大意为：当直角三角形的两条直角边长分别为3和4时，斜边长为5，在与之形状相同的另一直角三角形中，斜边长为10，则它较短的一条直角边长为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 126. 估计2185190⨯-⨯的值应在（ ）之间 A.21- B. 32- C. 43- D. 54-7. 光明文具店销售某品牌钢笔，当售价为每支14元时，月销量为180支；若每支钢笔的售价每涨价1元，月销量就相应减少15支。
设每支钢笔涨价后的售价为每支x 元，若使该种钢笔的月销量不低于105支，则x 应满足的不等式为（ ）A. 10515180≥-xB. 105)14(180≤--xC. 105)14(15180≥++xD. 105)14(15180≥--x8. 按照如图所示的运算程序，能使输出的结果为25的是（ ）A. 1,2==y xB. 3,3==y xC. 3,1==y xD. 1,6=-=y x9. 如图，将形状大小完全相同的小圆点按照一定规律摆放，其中第①个图案中有4个，第②个图案中有7个，第③个图案中有10个，依此规律，则第⑥个图案中小圆点的个数为（ ）A. 16B. 19C. 22D. 2510. 如图，点C 是圆O 的直径BA 延长线上一点，CD 与圆O 相切于点D ，过点O 作AB OE ⊥交圆O 于点E ，交CD 的延长线于点F ，若圆O 的半径为1，15-=AC ，则=EF （ ）A. 21 B.1 C.215- D.225-11. 如图，一棵松树AB 挺立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为=i 5:12，小张从与点C 相距65米的点D 处向上爬12米到达观景台DE 的顶端点E ，在此测得松树顶端点A 的仰角为 39，则松树的高度AB 约为（ ）米。
2020年重庆八中中考数学二模试卷(含答案解析)
重庆八中中考数学二模试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．1．（4分）﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（4分）下列电视台标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）计算2x8÷x4的结果是（）A．x2B．2x2C．2x4D．2x124．（4分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．85．（4分）下列调查中，最适合用普查方式的是（）A．调查一批计算器的使用寿命情况B．调查重庆市初三学生每天体锻时间的情况C．调查初三某班学生的体重情况D．调查渝北区初中生自主学习的情况6．（4分）已知M＝，则M的取值范围是（）A．8＜M＜9 B．7＜M＜8 C．6＜M＜7 D．5＜M＜6 7．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，AE＝AC，若线段BC＝30，那么线段DE的长为（）A．5 B．10 C．15 D．208．（4分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一个根，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．29．（4分）第①图形中有2个三角形，第②图形中有8个三角形，第③个图形中有14个三角形，依此规律，第⑦个图形中三角形的个数是（）A．40 B．38 C．36 D．3410．（4分）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，若∠BAC＝60°，BD＝2，则阴影部分面积为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，重庆楼房的一大特色是：你住底楼门口是公路，坐电梯上顶楼，你的门口还是公路！小明家所住的大楼AB就是这样一栋有鲜明重庆特色的建筑．从距离大楼底部B30米处的C，有一条陡坡公路，车辆从C沿坡度i ＝1：2.4，坡面长13米的斜坡到达D后，再沿坡脚为30°的斜坡行进即可达到大楼的顶端A处，则大楼的高度AB约为（）米．（精确到0.1米，≈1.73，≈2.24）A．26.0 B．29.2 C．31.1 D．32.2 12．（4分）若关于x的方程＝﹣2有非负实数解，关于x的一次不等式组有解，则满足这两个条件的所有整数k的值的和是（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答卷中对应的横线上．13．（4分）2017年4月17日，国家统计局公布2017年一季度我国GDP增速为6.9%，国内生产总值约为180700亿元，将数字180700用科学记数法表示为．14．（4分）（﹣1）2017﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|＝．15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D在⊙O上，若∠BDC＝20°，则∠AOC等于度．16．（4分）如图为某班50人在第一次月考与第二次月考中的体育成绩折线统计图，根据上图中的信息，该班学生第二次月考体育成绩相比第一次月考体育成绩平均分提高了分．17．（4分）一辆货车从A地匀速驶往相距350km的B地，当货车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地．（货车到达B地，快递车到达A地后分别停止运动）行驶过程中两车与B地间的距离y（单位：km）与货车从出发所用的时间x（单位：h）间的函数关系如图所示．则货车到达B地后，快递车再行驶h到达A地．18．（4分）在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，连接AE，点F为AE 上一点，且EF＝2．FG⊥AE交DC于G，将FG绕着点G顺时针旋转，使得点F 恰好落在AD上的点H处，过点H作HN⊥HG，交AB于N，交AE于M，则S△MNF ＝．三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．19．（8分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠ABD＝56°，CE平分∠ACF，求∠AEC的度数．20．（8分）全面二孩政策已于2016年1月1日正式实施，重庆八中宏帆中学初2019级组队该年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你爸妈如果给你添一个弟弟（或妹妹），你的态度是什么？”共有如下四个选项（要求仅选择一个选项）：A．非常愿意B．愿意C．不愿意D．无所谓如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答以下问题：（1）本次问卷调查一共调查了名学生，并补全条形统计图；（2）在年级活动课上，老师决定从本次调查回答“非常愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“非常满意”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．四、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．21．（10分）计算：（1）（2x﹣y）（2x+y）﹣（x+y）（3x﹣y）；（2）÷（+a﹣2）．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．23．（10分）为了准备科技节创意销售，宏帆初2018级某同学到批发市场购买了一些甲、乙两种型号的小元件，甲型小元件的单价是6元，乙型小元件的单价是3元，该同学的创意作品每件需要的乙型小元件的个数是甲型小元件的个数的2倍，同时，为了控制成本，该同学购买小元件的总费用不超过480元．（1）该同学最多可购买多少个甲型小元件？（2）在该同学购买甲型小元件最多的前提下，用所购买的甲、乙两种型号的小元件全部制作成创意作品，在制作中其他费用共花520元，销售当天，该同学在成本价（购买小元件的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10＜a ＜50）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品全部卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值．24．（10分）如图，△ABD是等腰直角三角形，点C是BD延长线上一点，F在AC 上，AD＝AF，E为△ADC内一点，连接AE，BE，AE平分∠CAD，AE⊥BE．（1）若∠EBD＝15°，求∠ADF；（2）求证：BE﹣AE＝DF．25．（10分）阅读下列材料解决问题：两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”．例如：37与82，它们各数位上的数字和分别为3+7，8+2，∵3+7＝8+2＝10，∴37与82互为“调和数”；又如：123与51，它们各数位上的数字和分别为1+2+3，5+1，∵1+2+3＝5+1＝6，∴123与51互为“调和数”．（1）若两个三位数、（0≤b≤a≤9，0≤c≤9且a，b，c为整数）互为“调和数”，且这两个三位数之和是17的倍数，求这两个“调和数”；（2）若A、B是两个不相等的两位数，A＝，B＝，A、B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：y＝﹣x+9．五、解答题（本大题1个小题，共12分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P、Q分别是y轴、线段BD上的动点，当△CMN的面积最大时，求线段之和MP+PQ+QO的最小值；（3）如图2，线段AE在第一象限内垂直BD并交BD于E点，将抛物线向右水平移动，点A平移后的对应点为点G；将△ABD绕点B逆时针旋转，旋转后的三角形记为△A1BD1，若射线BD1与线段AE的交点为F，连接FG．若线段FG把△ABF分成△AFG和△BFG两个三角形，是否存在点G，使得△AFG和△BFG中一个三角形是等腰三角形、另一个是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．重庆八中中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑．1．（4分）﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）＝1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：D．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．2．（4分）下列电视台标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（4分）计算2x8÷x4的结果是（）A．x2B．2x2C．2x4D．2x12【分析】根据整式的除法即可求出答案．【解答】解：原式＝2x4，故选：C．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．4．（4分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝900°，解得n＝7．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．5．（4分）下列调查中，最适合用普查方式的是（）A．调查一批计算器的使用寿命情况B．调查重庆市初三学生每天体锻时间的情况C．调查初三某班学生的体重情况D．调查渝北区初中生自主学习的情况【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、调查一批计算器的使用寿命情况调查具有破坏性适合抽样调查，故A不符合题意；B、调查重庆市初三学生每天体锻时间的情况适合抽样调查，故B不符合题意；C、调查初三某班学生的体重情况检查适合普查，故C符合题意；D、调查渝北区初中生自主学习的情况调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．（4分）已知M＝，则M的取值范围是（）A．8＜M＜9 B．7＜M＜8 C．6＜M＜7 D．5＜M＜6【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．【解答】解：M＝，∵2＜＜3，∴6＜4+＜7，∴6＜M＜7，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出2＜＜3是解题关键，又利用了不等式的性质．7．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E，AE＝AC，若线段BC＝30，那么线段DE的长为（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得DE的长，本题得以解决．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AE＝AC，线段BC＝30，∴，解得，DE＝10，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（4分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一个根，则k的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k1＝k2＝﹣1，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9．（4分）第①图形中有2个三角形，第②图形中有8个三角形，第③个图形中有14个三角形，依此规律，第⑦个图形中三角形的个数是（）A．40 B．38 C．36 D．34【分析】由图形可知：第①个图形有2+6×0＝2个三角形；第②个图形有2+6×1＝8个三角形；第③个图形有2+6×2＝14个三角形；…第n个图形有2+6×（n﹣1）＝6n﹣4个三角形；进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵第①个图形有2+6×0＝2个三角形；第②个图形有2+6×1＝8个三角形；第③个图形有2+6×2＝14个三角形；…∴第n个图形有2+6×（n﹣1）＝6n﹣4个三角形；∴第⑦个图形有6×7﹣4＝38个三角形，故选：B．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．10．（4分）如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，若∠BAC＝60°，BD＝2，则阴影部分面积为（）A．B．C．D．【分析】连接OD、CD，根据切线的性质得到∠BCA＝90°，根据余弦的定义求出BC，求出△BDC的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：连接OD、CD，∵AC是⊙O的切线，∴∠BCA＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝30°，∴∠COD＝60°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴BC＝＝4，CD＝2，∴△BDC的面积＝×2×2＝2，∴△BDO的面积＝，在Rt△ABC中，AC＝BC•tan B＝，∴阴影部分面积＝××4﹣﹣＝﹣π，故选：D．【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积公式以及圆周角定理，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．11．（4分）如图，重庆楼房的一大特色是：你住底楼门口是公路，坐电梯上顶楼，你的门口还是公路！小明家所住的大楼AB就是这样一栋有鲜明重庆特色的建筑．从距离大楼底部B30米处的C，有一条陡坡公路，车辆从C沿坡度i ＝1：2.4，坡面长13米的斜坡到达D后，再沿坡脚为30°的斜坡行进即可达到大楼的顶端A处，则大楼的高度AB约为（）米．（精确到0.1米，≈1.73，≈2.24）A．26.0 B．29.2 C．31.1 D．32.2【分析】过点D作DF⊥AB与点F，过点C作CE⊥DF与点E，通过解直角三角形可求出CE、DE、AF的长，再由AB＝AF+BF即可求出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB与点F，过点C作CE⊥DF与点E，如图所示．∵CD的坡度i＝1：2.4，CD＝13，∴设CE＝x，则DE＝2.4x，∴CD＝＝x＝13，∴x＝5，∴CE＝5米，DE＝12米．在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，DF＝DE+EF＝42，∴AF＝DF•tan∠ADF≈24.2米，∴AB＝AF+BF＝29.2米．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形求出AF、CE的值是解题的关键．12．（4分）若关于x的方程＝﹣2有非负实数解，关于x的一次不等式组有解，则满足这两个条件的所有整数k的值的和是（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有非负实数解确定出k的范围，由不等式有解确定出k的范围，进而确定出k的具体范围，求出整数解，进而求出之和即可．【解答】解：分式方程去分母得：﹣k＝3﹣2x+2，解得：x＝，由分式方程有非负实数解，得到≥0，且≠1，解得：k≥﹣5且k≠﹣3，不等式组整理得：，由不等式组有解，得到2﹣k≥﹣1，即k≤3，综上，k的范围为﹣5≤k≤3，且k≠﹣3，即整数k＝﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3，则所有满足题意整数k的值的和为﹣6，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答卷中对应的横线上．13．（4分）2017年4月17日，国家统计局公布2017年一季度我国GDP增速为6.9%，国内生产总值约为180700亿元，将数字180700用科学记数法表示为1.807×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：180700＝1.807×105，故答案为：1.807×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．14．（4分）（﹣1）2017﹣（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0﹣|﹣2|＝﹣11 ．【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1﹣9+1﹣2＝﹣11．故答案为：﹣11．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．15．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D在⊙O上，若∠BDC＝20°，则∠AOC等于140 度．【分析】可先利用圆周角定理求得∠BOC，再利用邻补角可求得∠AOC．【解答】解：∵∠BDC＝20°，∴∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故答案为：140【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．16．（4分）如图为某班50人在第一次月考与第二次月考中的体育成绩折线统计图，根据上图中的信息，该班学生第二次月考体育成绩相比第一次月考体育成绩平均分提高了0.3 分．【分析】根据折线统计图得到两次体育考试的成绩，然后加权平均数的定义计算两次考试的平均数，从而得到第二次月考体育成绩比第一次月考体育成绩平均分提高的分数．【解答】解：第一次月考体育成绩平均分＝（4×45+8×46+6×47+10×48+8×49+14×50）＝48.04（分）；第二次月考体育成绩平均分＝（1×45+8×46+4×47+13×48+8×49+16×50）＝48.34（分），所以该班学生第二次月考体育成绩相比第一次月考体育成绩平均分提高了0.3分．故答案为0.3．【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．17．（4分）一辆货车从A地匀速驶往相距350km的B地，当货车行驶1小时经过途中的C地时，一辆快递车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当快递车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地．（货车到达B地，快递车到达A地后分别停止运动）行驶过程中两车与B地间的距离y（单位：km）与货车从出发所用的时间x（单位：h）间的函数关系如图所示．则货车到达B地后，快递车再行驶h到达A地．【分析】由题意货车的速度＝350﹣270＝80km/h，设快递车的速度为xkm/h，构建方程求出x，再求出相遇后两车分别到达目的地的时间即可解决问题；【解答】解：由题意货车的速度＝350﹣270＝80km/h，设快递车的速度为xkm/h，则有：3（80+x）＝270×2，解得x＝100，∴两车相遇后，快递车需要＝3.2小时到达A地，货车需要＝小时到达B地，∴货车到达B地后，快递车再行驶3.2﹣＝h到达A地．故答案为．【点评】本题考查一次函数的应用，行程问题的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会准确寻找等量关系构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．（4分）在正方形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，连接AE，点F为AE 上一点，且EF＝2．FG⊥AE交DC于G，将FG绕着点G顺时针旋转，使得点F 恰好落在AD上的点H处，过点H作HN⊥HG，交AB于N，交AE于M，则S△MNF＝．【分析】过F作PQ∥BC，交AB于P，交CD于Q，根据勾股定理计算AE＝10，AF＝8，根据三角形相似得：PF和AP的长，从而计算BP和CQ、DG的长，根据旋转的性质和勾股定理计算DH＝4，得AH的长，同理可得AN的长，利用同角的三角函数表示KM、KN，计算MK的长，利用面积差S△MNF＝S△ANF﹣S△AMN求值．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC＝4，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝2，由勾股定理得：AE＝＝10，∵EF＝2，∴AE＝10﹣2＝8，过F作PQ∥BC，交AB于P，交CD于Q，∴△APF∽△ABE，∴，∴，∴PF＝，AP＝，∴PB＝CQ＝4＝，FQ＝4﹣＝，∵∠AFG＝90°，易得△APF∽△FQG，∴GQ＝，∴CG＝CQ+QG＝2＝DG，由旋转得：FG＝HG，∴DH2+DG2＝QG2+FQ2，∴，∴DH＝4，∴AH＝4﹣4，∵∠NHG＝90°，同理△NAH∽△HDG，∴，∴，∴AN＝，过M作MK⊥AB于K，∵∠ANH＝∠GHD，∴tan∠ANH＝tan∠GHD＝＝，设MK＝2x，NK＝4x，∵MK∥BE，∴，∴AK＝4x，∵AN＝AK+KN，∴，x＝﹣1，∴S△MNF＝S△ANP﹣S△AMN，＝﹣，＝，＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角函数、勾股定理等知识，在四边形的计算中，常运用同角的三角函数或勾股定理列式求线段的长，也可以利用证明两三角形相似求线段的长，相比较而言，利用同角的三角函数比较简单，本题计算量大，有难度．三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答卷中对应的位置上．19．（8分）如图，AB∥CD，AC∥BD，∠ABD＝56°，CE平分∠ACF，求∠AEC的度数．【分析】根据平行线的性质，先由AC∥BD得到∠EAC＝∠ABD＝56°，再由AB ∥CD可计算出∠FCA＝124°，直接利用角平分线的定义得到∠2＝62°，然后利用AB∥CD求出∠AEC的度数．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠EAC＝∠ABD＝56°，∵AB∥CD，∴∠EAC+∠FCA＝180°，∴∠FCA＝180°﹣56°＝124°，∵CE平分∠ACF，∴∠2＝∠FCA＝62°，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠2＝62°．【点评】本题考查了平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．20．（8分）全面二孩政策已于2016年1月1日正式实施，重庆八中宏帆中学初2019级组队该年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你爸妈如果给你添一个弟弟（或妹妹），你的态度是什么？”共有如下四个选项（要求仅选择一个选项）：A．非常愿意B．愿意C．不愿意D．无所谓如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答以下问题：（1）本次问卷调查一共调查了40 名学生，并补全条形统计图；（2）在年级活动课上，老师决定从本次调查回答“非常愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“非常满意”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．【分析】（1）用选D的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再用总人数乘以选B所占的百分比得到选B的人数，然后用总人数分别减去选B、C、D的人数得到选A的人数，再补全条形统计图；（2）“非常愿意”的四名同学分别用1、2、3、4表示，其中1表示男同学，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）20÷50%＝40（名），所以本次问卷调查一共调查了40名学生，选B的人数＝40×30%＝12（人），选A的人数＝40﹣12﹣20﹣4＝4（人）补全条形统计图为：故答案为：40；（2）“非常愿意”的四名同学分别用1、2、3、4表示，其中1表示男同学，画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果数为6，所以选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．四、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．21．（10分）计算：（1）（2x﹣y）（2x+y）﹣（x+y）（3x﹣y）；（2）÷（+a﹣2）．【分析】（1）根据平方差公式和多项式乘多项式可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）（2x﹣y）（2x+y）﹣（x+y）（3x﹣y）＝4x2﹣y2﹣3x2﹣2xy+y2＝x2﹣2xy；（2）÷（+a﹣2）＝＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算、平方差公式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．【分析】（1）将点A（3，1）代入y＝，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再将点A（3，1）和B（0，﹣2）代入y＝kx+b，利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）首先求得AB与x轴的交点C的坐标，然后根据S△ABP＝S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过点A（3，1），∴1＝，∴m＝3．∴反比例函数的表达式为y＝．∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2），∴，解得：，∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；（2）如图，设一次函数y＝x﹣2的图象与x轴的交点为C．令y＝0，则x﹣2＝0，x＝2，∴点C的坐标为（2，0）．∵S△ABP＝S△ACP+S△BCP＝3，∴PC×1+PC×2＝3，∴PC＝2，∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，∴点P的坐标为（4，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积的计算，正确根据S△ABP＝S△ACP+S△BCP列方程是解题的关键．23．（10分）为了准备科技节创意销售，宏帆初2018级某同学到批发市场购买了一些甲、乙两种型号的小元件，甲型小元件的单价是6元，乙型小元件的单价是3元，该同学的创意作品每件需要的乙型小元件的个数是甲型小元件的个数的2倍，同时，为了控制成本，该同学购买小元件的总费用不超过480元．（1）该同学最多可购买多少个甲型小元件？（2）在该同学购买甲型小元件最多的前提下，用所购买的甲、乙两种型号的小元件全部制作成创意作品，在制作中其他费用共花520元，销售当天，该同学在成本价（购买小元件的费用+其他费用）的基础上每件提高2a%（10＜a ＜50）标价，但无人问津，于是该同学在标价的基础上降低a%出售，最终，在活动结束时作品全部卖完，这样，该同学在本次活动中赚了a%，求a的值．【分析】（1）设该同学购买x个甲型小元件，则购买2x个乙型小元件，根据总价＝单价×数量结合该同学购买小元件的总费用不超过480元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内的最大正整数即可；（2）设y＝a%，根据该同学在本次活动中赚了a%，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设该同学购买x个甲型小元件，则购买2x个乙型小元件，根据题意得：6x+3×2x≤480，解得：x≤40．答：该同学最多可购买40个甲型小元件．（2）设y＝a%，根据题意得：（520+480）×（1+2y）（1﹣y）＝（520+480）×（1+y），整理得：4y2﹣y＝0，解得：y＝0.25或y＝0（舍去），∴a%＝0.25，a＝25．答：a的值为25．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据总价＝单价×数量结合该同学购买小元件的总费用不超过480元，列出关于x的一元一次不等式；（2）找准等量关系，列出关于y 的一元二次方程．24．（10分）如图，△ABD是等腰直角三角形，点C是BD延长线上一点，F在AC 上，AD＝AF，E为△ADC内一点，连接AE，BE，AE平分∠CAD，AE⊥BE．。
重庆市第八中学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)
重庆八中2022—2023学年度（下）第二次月考高二年级数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若，则（ ）．()01f x '=()()000lim a f x f x a a →-+=A. 2 B. 1C.D.2-1-【答案】D 【解析】【分析】根据极限的定义求解即可. 【详解】因为， ()01f x '=所以()()()()0000001limlim a a f x f x a f x a f x a a→→-++-=-=-故选：D2. 展开式中的常数项为（ ）222x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A.B.C. D.1222C 1122C -1111222C -1212222C -【答案】C 【解析】【分析】直接由二项展开式求常数项即可.【详解】展开式中的常数项为：. 222x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭111111111122222C 2C x x ⎛⎫-=- ⎝⋅⎭⋅⎪故选：C. 3. 函数，的图象大致为（ ） 2cos ()xxf x e=-[,]x ππ∈-A .B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的特殊值及单调性进行解题. 【详解】解：，当时，，所以排除C ，D ， 2cos xxy e=-0.01x =0y <又2(sin cos )x x x y e ='+=所以为极值点，排除B ，4x π=-故选A ．4. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（ ） A. 戊戌年 B. 辛丑年C. 己亥年D. 庚子年【答案】D 【解析】【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天1001010÷=1001284÷=干为庚，地支为子，得到答案.【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为庚， 1001010÷=由于，余数为4，故100年后地支为子， 1001284÷= 综上：100年后的2080年为庚子年. 故选：D.5. 用红、黄、蓝、绿四种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色．在所有着色方案中，①③⑤着相同色的方案有（ ）种A. 96B. 24C. 48D. 108【答案】D 【解析】【分析】利用分步计数原理计算即可.【详解】因为①③⑤着相同的颜色，可以有种，14C 4=②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外三种颜色，故有种， 111333C C C 27⨯⨯=所以共有种. 427108⨯=故选：D.6. 随机变量满足分布列如下：ξξ0 1 2P2a b -a+a b 则随着的增大（ ） b A. 增大，越来越大 ()E ξ()D ξB. 增大，先增大后减小 ()E ξ()D ξC. 减小，先减小后增大 ()E ξ()D ξD. 增大，先减小后增大 ()E ξ()D ξ【答案】B【解析】【分析】结合分布列的性质求出的值以及的范围，然后根据期望与方差的概念表示出期望与方差，结a b 合函数的性质即可得出结论.【详解】因为，所以， 21a b a a b -+++=14a =又因为，解得，10121014b b ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩1142b -<<所以，随着的增大，增大； 3()2224E a a b b ξ=++=+b ()E ξ，222231115111()(2)()(2)(2)()442444416D b b b b b b b ξ=+-+-⨯+-+=-++因为，所以先增大后减小.1142b -<<()D ξ故选：B.7. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为R ()f x ()f x 'x ()()f x f x '>()2023f x +奇函数，则不等式的解集是（ ）()2023e 0xf x +<A. B.C.D.(),0∞-1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数，根据导函数得单调性，利用单调性求解不等式的解集． ()()2023e xf x F x =+【详解】因为为奇函数， ()2023f x +所以，即， ()020230f +=()02023f =-设， ()()2023e xf x F x =+则， ()()()0exf x f x F x '-'=<所以在上单调递减， ()()2023e xf x F x =+R又，的解集等价于的解集，即()()00020230e f F =+=()2023e 0xf x +<()20230exf x +<，()()0F x F <所以，即不等式的解集为.0x >()2023e 0xf x +<()0,∞+故选：C.8. 设椭圆（）的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足2222:1x y C a b+=0a b >>，，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）0FA FB ⋅=3FB FA FB ≤≤A. B. C.D.⎫⎪⎪⎭1⎤-⎥⎦)1,1【答案】B 【解析】【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设F '0FA FB ⋅=AFBF '，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据AF n '=AF m =ABF △222m n cn m b+=，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由3FB FA FB ≤≤m n 22b a即可得解.c e a ==【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，F 'AFBF '又，则，所以平行四边形为矩形，故， 0FA FB ⋅=FA FB ⊥AFBF '2AB FF c '==设，，则，AF n '=AF m =BF n =在直角中，，，ABF △2m n a +=2224m n c +=所以，则，()()2222222444mn m n m nac b =+-+=-=22mn b =所以，22222m n m n c n m mn b ++==令，得， m t n =2212c t t b+=又由，得， 3FB FA FB ≤≤[]1,3mt n=∈因为对勾函数在上单调递增，所以，1y t t=+[]1,32221102,3c t b t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦所以 ，即，则，故， 2251,3c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222222511,3a a b c b b b -⎡⎤-==∈⎢⎥⎣⎦2282,3a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2231,82b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，c e a ==所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义AFBF '与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解.,,a b c 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方X ()103P X ==()E X ()D X X 差，则下列结论正确的是（ ） A. B. ()()1P X E X ==()324E X +=C. D. ()324D X +=()49D X =【答案】AB 【解析】【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分X 2(1)3P X ==()E X ()D X 别计算四个选项得出结果．【详解】随机变量服从两点分布，其中，， X 1(0)3P X ==2(1)3P X ∴==，122()01333E X =⨯+⨯=，2221222()(0)(1)33339D X =-⨯+-⨯=在A 中，，故A 正确； (1)()P XE X ==在B 中，，故B 正确； 2(32)3()23243E X E X +=+=⨯+=在C 中，，故C 错误； 2(32)9()929D X D X +==⨯=在D 中，，故D 错误． 2()9D X =故选：AB ．10. 某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，其产量比为2：3．从两个车间中各随机抽取了10个样品进行测量，其数据（单位：mm ）如下：甲车间：9.4 9.6 9.8 9.8 10.0 10.1 10.1 10.2 10.2 10.3 乙车间：9.2 9.4 9.6 9.8 10.0 10.2 10.3 10.3 10.3 10.4规定数据在之内的产品为合格品．若将频率作为概率，则以下结论正确的是（ ） ()9.5,10.5A. 甲车间样本数据的第40百分位数为9.9 B. 从样本数据看，甲车间的极差小于乙车间的极差C. 从两个车间生产的产品任取一件，取到合格品的概率为0.72D. 从两个车间生产的产品任取一件，若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率为0.25 【答案】ABD 【解析】【分析】根据百分位数计算规则判断A ，计算出极差即可判断B ，根据全概率公式计算C ，根据条件概率公式计算D.【详解】对于A ：甲车间样本数据从小到大排列为：、、、、、、、9.49.69.89.810.010.110.110.2、、，10.210.3又，所以第百分位数为第四、五两数的平均数， 1040%4⨯=40即为，故A 正确； 9.8109.92+=对于B ：甲车间的极差为，乙车间的极差为， 10.39.40.9-=10.49.2 1.2-=所以甲车间的极差小于乙车间的极差，故B 正确； 对于C ：从样本数据可知甲车间合格品的概率，乙车间合格品的概率， 1910P =284105P ==且甲、乙两车间产量比为，2:3若从两个车间生产的产品任取一件，取到合格品的概率，故C 错误； 2934210.845105525P =⨯+⨯==对于D ：由C 可知取到不合格品的概率，3110.840.16P P =-=-=所以若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率，故D 正确. 42915100.250.16P ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==故选：ABD.11. 设，下列结论正确的是（ ）()6260126(21)1(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++ A.B. 23100a a +=601256343a a a a a a a -+-+-+=C. D. 当时，除以20的余数是123623612a a a a ++++= 9x =6(21)x +1-【答案】BC 【解析】【分析】利用换元法将题设条件转化为，对于A ，利用展开通项公()260126612a a t t a t a t -++++=+ 式求解判断即可；对于B ，利用赋值法即可判断；对于C ，对求导后，再利用赋值法即可判断；对于t D ，将代入后利用二项式定理展开式子，从而得以判断.9x =【详解】对于A ，因为，()6260126(21)1(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++ 令，则，1t x =+[]()626126660(21)12(1)12a a t t x x t a a t ++++=-+=-+++= 因为的展开通项公式为，()612t -+()()()66166C 122C 1kkkkk kk k T t t --+=-=-所以，，故，故A 错误；224262C (1)60a ⨯-==633332C (1)160a ⨯-=-=23100a a +=-对于B ，令，得，故B 正确；1t =-660123456(12)3a a a a a a a -+-+-+=--=对于C ，因为，()()662601262112a a t a t t t t a +-++-++== 两边对求导得，，t ()52512361221236t a a t a t a t -=++++ 令得，，故C 正确；1t =1262612a a a +++= 对于D ，当时，，9x =666615566(21)19(201)20C 20C 201x +==-=-+-⨯+ 展开式右边共7项，前6项都是20的整数倍，因此它除以20的余数是1，故D 错误． 故选：BC ． 12. 对于函数，下列说法正确的是（ ） ()ln xf x x=A. 在上单调递减，在上单调递增 ()f x ()0,e ()e,+∞B. 当时， 1201x x <<<1221ln ln x x x x ⋅>⋅C. 若函数有两个零点，则()y fx k =-0k <D. 设，若对，，使得成立，则 ()2g x x a =+1x ∀∈R ()21,x ∃∈+∞()()12g x f x =e a ≥【答案】BD 【解析】【分析】利用函数的定义域判断A 选项的正确性；利用的单调性来判断B 选项的正确性；结合()f x 的图象来判断C 选项的正确性；通过求和在给定区间上的取值范围来判断D 选项()y f x =()f x ()g x 的正确性.【详解】对于A 选项，的定义域为，所以A 选项错误. ()ln xf x x=()()0,11,+∞ 对于B 选项，，当时，，递减.()()'2ln 1ln x f x x -=01x <<()'0fx <()f x 由于，所以， 1201x x <<<()()121212,ln ln x xf x f x x x >>由于，()()1212ln 0,ln 0,ln ln 0x x x x <<⋅>所以由两边乘以得 ，所以B 选项正确. 1212ln ln x x x x >()()12ln ln x x ⋅1221ln ln x x x x ⋅>⋅对于C 选项，令，()()0,y fx k f x k =-==由于，所以在区间递减；()()'2ln 1ln x f x x -=()()()()'0,1,1,e ,0,f x f x <在区间递增.()()()'e,,0,f x f x +∞>当时，；当时，；. 01x <<()0ln x f x x =<1x >()0ln x f x x=>()e e f =函数是定义域为的偶函数.()y fx =()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞由此画出的图象如下图所示，()y fx =由图可知，直线与的图象有两个交点，即当时，e y =()yf x =e =k 函数有两个零点，所以C 选项错误.()y fx k =-对于D 选项，由上述分析可知，，则，()21,x ∈+∞()[)2e,g x ∈+∞，，要使“对，，使得成立”，1R x ∈()1g x a ≥1x ∀∈R ()21,x ∃∈+∞()()12g x f x =则需，所以D 选项正确. e a ≥故选：BD【点睛】利用导数研究函数的单调性，首先要求函数的定义域，单调性必须在定义域这个大前提下进行求解.求解恒成立、存在性问题，可转化为求最值或取值范围来进行求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数是定义在上的奇函数，且在定义域内有且只有三个零点，则可能是()f x R ()f x ______．（本题答案不唯一）【答案】（或等，本题答案不唯一，符号题意即可）()33f x x x =-()2,1,,11,2,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩【解析】【分析】本题答案不唯一，符合题意即可，，满足为奇函数，且在上有且只有三个零点；或者()33f x x x =-()f x ()f x R ()2,1,,11,2,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩满足为奇函数，且在上有且只有三个零点.()f x ()f x R 【详解】本题答案不唯一，符合题意即可，如，为奇函数，且在上有且只有()33f x x x =-()f x ()f x R 三个零点0，一题多解由题知，本题答案不唯一，符合题意即可，易知，故可画出符合题意的草图()00f =如图所示，此时()2,1,,11,2,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩【点睛】开放性试题，可以从常用函数或者基本初等函数思考找到解题方向.14. 袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出2个球，记被取出的球的最大号码数为，则等于________． ξ()E ξ【答案】4 【解析】【分析】由题意的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出． ξ()E ξ【详解】袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5． 现从该袋内随机取出2个球，记被取出的球的最大号码数为，ξ的可能取值为2，3，4，5，ξ∴，， 2225C 1(2)C 10P ξ===1252C 1(3)C 5P ξ===，， 5132C 3(4)C 10P ξ===1452C 2(5)C 5P ξ===. ()113223454105105E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=故答案为：4．15. 学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有________种情况. 【答案】336 【解析】【分析】可分类，一类是语文数学都排上午，另一类是语文数学上下午各排一门． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： ①，语文和数学都安排在上午，此时语文和数学的安排方法有2种，在剩下的4门课中任选3门，安排在下午，有种情况，则此时有34A种安排方法；34248A ⨯=②，语文和数学分别安排上午和下午，若语文在上午，有3种安排方法，数学在下午，有2种安排方法，在剩下的4门课中任选3门，安排在其他时间，有种情况，34A 则语文在上午、数学在下午的安排方法有种， 3432144A ⨯⨯=同理：数学在上午，语文在下午的安排方法也有144种， 则不同的安排方法有种； 48144144336++=故答案为：336种；【点睛】本题考查排列与组合的综合应用．对特殊元素的位置优先安排，利用分类加法计数原理求解. 16. 定义函数，其中表示不超过x 的最大整数，例如，()][][f x x x =[]x [][][]1.31, 1.52,22=-=-=，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则（1）[)0,,N x n n *∈∈()f x n A n A n a 2a =_________；（2）_________． 211nk ka ==-∑【答案】 ①. 2②. 121n ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】当时，先求得的解析式，由此求得的值.求得在各区间中的元素个数，由2n =()f x 2a []x x ⎡⎤⎣⎦此求得，利用裂项求和法求得. n a 211nk ka =-∑【详解】(1)当时，2n =根据题意得：，进而得，[)[)0,0,1[]1,1,2x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩[][)[)0,0,1,1,2x x x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩所以在各区间中的元素个数分别为：1，1；所以 [][)[)0,0,1()=[],1,2x f x x x x x ⎧∈⎪⎡⎤=⎨⎣⎦∈⎪⎩22a =(2)解：根据题意得：，进而得， [][)[)[)[)[)[)0,0,11,1,22,2,33,3,44,4,51,1,x x x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪∈⎪=∈⎨⎪∈⎪⎪⎪-∈-⎩ [][)[)[)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,33,3,44,4,51,1,x x x x x x x x x x x n x x n n⎧∈⎪∈⎪⎪∈⎪=∈⎨⎪∈⎪⎪⎪-∈-⎩ 所以在各区间中的元素个数为：，[]xx ⎡⎤⎣⎦1,1,2,3,4,,1n ⋅⋅⋅-所以当时，的值域为，集合中元素的个数为满足：[)*0,N x n n ∈∈()f x n A n A n a ，()()()21112112341122n n n n n a n -+-⎡⎤-+⎣⎦=++++++-=+=所以，所以，所以()112n n n a --=()12112111n a n n n n ⎛⎫==- ⎪---⎝⎭． 23111121111n a a a n ⎛⎫++⋅⋅⋅+=- ⎪---⎝⎭故答案为：； 2121n ⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】通项公式的分母是两个等差数列乘积的形式的数列求和，可采用裂项求和法.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列的前项和为，且满足{}n a n n S ()*223N n n S n a n +=∈．（1）的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和．n n b na n =+{}n b n n T 【答案】（1）31n n a =-（2）1133244n n n T +⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据作差得到，从而得到，即可得11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩132n n a a -=+()1131n n a a -+=+到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式；{}1n a +33（2）由（1）可知，利用错位相减法求和即可. 3nn b n =⨯【小问1详解】因为①，()*223Nn n S n a n +=∈当时，则， 1n =11223S a +=12a =当时②，2n ≥()112213n n S n a --+-=①②得，即， -()112222133n n n n S n S n a a --+----=12233n n n a a a -=-+则，所以，132n n a a -=+()1131n n a a -+=+所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.{}1n a +3313n n a +=31nn a =-【小问2详解】因为，所以， n n b na n =+()313nnn b n n n =+⨯-=所以③，1231323333nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ④，234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ③④得-12311313131233n n n n T +=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-+ ， ()111131313133333132222n n n n n n n n ++++-⎛⎫=-⨯=⨯--⨯=-⨯- ⎪-⎝⎭所以.1133244n n n T +⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭18. 福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才344523认为一次成功制作.（1）求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，求概率分布列及期望； X X 【答案】（1）54125（2）分布列见解析， ()85E X =【解析】【分析】（1）先求出制作一件优秀作品的概率，再结合二项分布概率公式，即可求解；（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，的可能取值为0，1，2，3，4，求出对应的概X X 率，即可得的分布列，代入期望公式求解期望即可. X 【小问1详解】由题意可知，制作一件优秀作品的概率为， 34224535⨯⨯=所以该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率.2132354C 55125P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭【小问2详解】该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，的所有可能取值为0，1，2，3，4， X X 由题意知，24,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，， ()040422810C 155625P x ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1314222161C 155625P x ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，222422216(2)C ()(1)55625P X ==-=()33422963C 155625P x ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()44422164C 155625P x ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故的分布列为：XX 0 1 2 3 4P 81625216625 216625 96625 16625所以数学期望为. 28()455E X =⨯=19. 如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，底面为直角梯形且S ABCD -SCD ABCD ，，，点是的中点. 90ABC ∠=︒12AB AD BC ==CD SD =M SA（1）求证：平面；BD ⊥SCD（2）若直线与底面所成的角为，求与平面所成角的正弦值. SD ABCD 60︒SD MBD【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）根据已知条件证明，根据线面垂直的判定定理即可得到平面； BD CD ⊥BD ⊥SCD （2）根据已知条件建立合适的空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解出与平面所成角的正弦值.SD MBD 【详解】解：（1）证明：取的中点，连接，BC E DE 设，，依题意，四边形为正方形， ==AB AD a 2BC a =ABED且有，，BE DE CE a ===BD CD ==∴，则.222BD CD BC +=BD CD ⊥又平面底面，平面底面，∴平面SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =BD ⊥SCD（2）过点作的垂线，交延长线于点，连接，S CD CD H AH ∵平面底面，平面底面，，平面，底SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SH CD ⊥SH ⊂SCD SH ⊥面，ABCD 故为斜线在底面内的射影，为斜线与底面所成的角，即DH SD ABCD SDH ∠SD ABCD .60SDH ∠=︒由（1）得，，∴在中，，， SD =Rt SHD SD =SH =在中，，，，由余弦定理得ADH 45ADH ∠=︒AD a =DH =，AH ==∴，从而，过点作，∴底面，∴、222AH DH AD +=90AHD ∠=︒D //DF SH DF ⊥ABCD DB DC、两两垂直，DF如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标D DB x DC y DFz 系，则，，，，),0,0B(),0C0,S ⎛⎫⎪⎝⎭,,0A ⎫⎪⎪⎭，,M ⎫⎪⎪⎭设平面的法向量，由，取，得MBD (),,n x y z =00n DB n DM ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩1z =，n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭又，∴，,SD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭sin cos ,n θ=< ∴与平面. SD MBD 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值； （2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.20. 某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元; 6000221500方案二：交纳延保金元，在延保的两年内可免费维修次，超过次每次收取维修费元.774044a某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表： 维修次数 0 1 2 3 机器台数20104030以上台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记表示这两台机器超过质保期后100X 延保两年内共需维修的次数.求的分布列；()1X 以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？()2【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】【分析】（1）确定所有可能的取值为，依次计算每个取值所对应的的概率，从而可X 0,1,2,3,4,5,6X 列出分布列；（2）分别求解两种方案的数学期望，根据数学期望的大小比较，确定选择哪一种更划算. 【详解】（1）所有可能的取值为X 0,1,2,3,4,5,6，，()11105525P X ==⨯=()1111210525P X ==⨯⨯=，， ()11121722101055100P X ==⨯+⨯⨯=()121313221055105P X ==⨯⨯+⨯⨯=，，()2231114255101050P X ==⨯+⨯⨯=()2365251025P X ==⨯⨯= ()33961010100P X ==⨯=的分布列为 X ∴X0 1 2 3 4 56P 125 125 17100 15 1150 625 9100（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：1Y1Y 6000 7500 9000 1050012000P 14 15 1150 625 9100(元)()111116960007500900010500120008580455025100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=选择延保方案二，所需费用元的分布列为：2Y 2Y 7740 7740a +77402a +P 67100 625 9100(元) ()()()2676921774077407740277401002510050a E Y a a =⨯+⨯++⨯+=+()()122184050aE Y E Y ∴-=-当，即时， 选择方案二 ()()1221840050aE Y E Y -=->02000a <<当，即时，选择方案一，方案二均可 ()()1221840050aE Y E Y -=-=2000a =当，即时，选择方案一 ()()1221840050aE Y E Y -=-<2000a >【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、利用数学期望解决实际问题，关键是明确选择方案的原因在于平均花费更少，即数学期望更小，属于中档题.21. 已知，两点分别在x 轴和y 轴上运动，且，若动点G 满足()0,0M x ()00,N y 1MN =，动点G 的轨迹为E .2OG OM ON =+（1）求E 的方程；（2）已知不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的A 、B 两点，总满足Q ⎫⎪⎪⎭AQO BQO∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）； （2）证明见解析.2214x y +=【解析】【分析】(1)根据平面向量的坐标运算可得，结合和两点坐标求距离公式可得002xx y y ==、1MN =，将代入计算即可；22001x y +=002xx y y ==、(2)设直线l 的方程为：、，联立椭圆方程并消去y ，根据韦达定理表示y kx m =+()()1122A x y B x y ，、，出，利用两点求斜率公式求出，结合题意可得，列出关于k 和m 的方1212+、x x x x AQ BQ k k 、AQ BQ k k =-程，化简计算即可.【小问1详解】因为，即， 2OG OM ON =+0000(,)2(,0)(0,)(2,)x y x y x y =+=所以，则， 002x x y y ==，002xx y y ==，又，得，即，1MN =22001x y +=22()12x y +=所以动点G 的轨迹方程E 为：；2214x y +=【小问2详解】 由题意知，设直线l 的方程为：，， y kx m =+()()1122A x y B x y ，，，则，1122y kx m y kx m =+=+，，消去y ，得， 2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(41)8440k x kmx m +++-=由，得，22226416(41)(1)0k m k m ∆=-+->2241m k <+， 21212228444141km m x x x x k k --+==++，直线的斜率为，直线的斜率为，AQ AQ k =BQ BQ k =又，所以，AQO BQO ∠=AQk =BQ k-=整理，得， 1212120y x x yy y +=， 12122()()0kx xm x x ++-=， 2222228(1)80414141k m km k m k k k --+-=+++由，化简得，2410k +≠m =所以，(y kx k x ==-故直线过定点.22. 已知函数．()()e x f x a x a =-∈R （1）讨论函数的单调性；()f x （2）若有两个零点，，证明：．()f x 1x 2x 2212e x x a >【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）求导，对参数分类讨论即可求解；()f x a （2）通过，与对数的运算法则将转化为()111e 0x f x a x =-=()222e 0xf x a x =-=2212e x x a >，设，则有，此时需要将双变量转化为关于的不等式122x x +>120x x >>121x t x =>t ，由此构造函数，转化为恒成立问题即可证明.()1ln 220t t t +-+>【小问1详解】依题意得，，．()e x f x a x =-()e 1x f x a '=-①当时，，∴在R 上单调递减；0a ≤()0f x '<()f x ②当时，令，解得：， 0a >()0f x '=1ln ln x a a==-∴当时，；当时，；(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>∴在上单调递减，在上单调递增．()f x (),ln a -∞-()ln ,a -+∞综上所述，当时，在R 上单调递减；0a ≤()f x 当时，在上单调递减，在上单调递增．0a >()f x (),ln a -∞-()ln ,a -+∞【小问2详解】由（1）知，若有两个零点，则．()f x 0a >又当时，，∴，，不妨设，0x ≤()0f x >1>0x 20x >120x x >>要证，只需证，即证． 2212e x x a >212e x x a a ⋅>12ln ln 2x x a a +>∵，()111e 0x f x a x =-=()222e 0x f x a x =-=，，∴，即证． ∴11e x x a =22e x x a =121212ln ln ln e ln e x x x x x x a a+=+=+122x x +>∵， 121212ln ln ln e ln e x x x x x x a a-=-=-∴，即证， 1212ln ln 1x x a a x x -=-121212ln ln 2x x aa x x x x ->-+即证． ()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++令，则，∴只需证，即， 12x t x =1t >()21ln 01t t t -->+()1ln 220t t t +-+>令，则， ()()1ln 22q t t t t =+-+()11ln 2ln 1t q t t t t t+'=+-=+-令，则， ()()1ln 1s t q t t t '==+-()22111t s t t t t -'=-=当时，，∴在上单调递增，∴，1t >()0s t '>()q t '()1,+∞()()10q t q ''>=∴在上单调递增，∴，即，()q t ()1,+∞()()10q t q >=()1ln 220t t t +-+>∴原不等式得证．2212e x x a >【点睛】方法点睛：（1）讨论函数的单调性时，要先求定义域，将导函数因式分解只讨论正负号未确定的因式；（2）双变量问题，可尝试转化为一个变量构造函数，转化为恒成立或存在性问题.也可考虑利用函数的单调性直接分析求解等.。
重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题解析版
重庆八中2020—2021学年度（上）高二年级第二次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数xy e =在(0,1)处的切线方程为（） A.1y ex =+B.(1)y e x =-C.1y x =+D.1y x =-2.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，对于椭圆上任一动点P ，PF 的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程为（）A.22143x y += B.2132x y+= C.2212x y += D.22198x y += 3.设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点，Q 是直线2x =-上的动点，则PQ 的最小值为（） A.6B.4C.3D.24.设()f x 是函数()f x 的导函数，()y f x ='的图像如图所示，则()y f x =的图像可能是（）A. B.C.D.5.已知函数21()ln 2f x x x =-，则()f x 的单调减区间是）（） A.[1,)+∞B.(,1]-∞-C.(0,1]D.[1,1]-6.已知1F ，2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则点P 到x 轴距离为（）A.2B.27.设点F 为抛物线216y x =的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，若对角线5BF =（点B 在第一象限），则对角线AC 所在的直线方程为（） A.82110x y --= B.480x y --= C.4230x y --=D.230x y --=8.直线y m =分别与23y x =+及ln y x x =+交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（） A.1B2C.3D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。
2022年重庆八中中考数学二模试卷
2022年重庆八中中考数学二模试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）﹣3的倒数是（）A．﹣B．3C．D．±2．（4分）下列冬奥会的会徽图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）计算（3b）2结果正确的是（）A．9b2B．3b2C．9b D．6b24．（4分）如图，直线AB∥CD，直线AB、CD被直线EF所截，若∠2＝60°，则∠1的度数为（）A．60°B．100°C．120°D．140°5．（4分）如图是某运动员进行变速跑的心率（单位：次）与训练时间（单位：分钟）之间的函数关系，下列说法中不正确的是（）A．本次变速跑的训练时间为55分钟B．本次训练中的最高心率与最低心率之差为12次C．第47分钟时的心率是本次训练中的最高心率D．第36分钟时的心率是整个训练过程中的最低心率6．（4分）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（）A．12B．14C．16D．187．（4分）估计的值在（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间8．（4分）如图，将△ABC以点O为位似中心放大后得到△A1B1C1，若OB：OB1＝1：2，且△ABC的面积为3，则△A1B1C1的面积为（）A．6B．9C．12D．189．（4分）如图，OA是⊙O的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点．若P A＝1，PB＝2，则半径OA的长为（）A．B．C．D．310．（4分）如图，点E是正方形对角线AC上一点，过E作EF∥AD交CD于F，连接BE，若BE＝7，DF ＝6，则AC的长为（）A．B．C．D．11．（4分）若关于x的一元一次不等式组恰有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．10B．13C．15D．1812．（4分）对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：﹣2x；D：y2；E：2x﹣y有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式B⋅C+A+D+E的值一定是正数；②存在实数x，y，使得A+D+2E的值为﹣2；③若关于x的多项式M＝3（A﹣B）+m•B•C（m为常数）不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于﹣3上述结论中，正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）13．（4分）计算：20+|1﹣π|＝．14．（4分）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字0、1、2，从中随机抽出1张后放回再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字都是奇数的概率是．15．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点B、点D 为圆心，OA长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．16．（4分）现有浓度不同的A、B、C三种盐水，其中B种盐水质量为10千克，A、C两种盐水的质量都为整数，如果从A、B两种盐水中各倒出2m千克，将倒出的A种盐水与B种盐水余下部分混合，将倒出的B种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同；如果从A、C两种盐水中各倒出m千克，将倒出的A种盐水与C种盐水余下的部分混合，将倒出的C种盐水与A种盐水余下的部分混合，那么混合后两种盐水浓度相同．则A种盐水原来的质量为千克．三、解答题（本大题共2个小题每题8分，共16分）17．（8分）计算：（1）（a﹣b）（a+b）﹣a（a+2b）；（2）．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图形中，求证：BE＝DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）解：（1）所作图形如图所示；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，①．∴∠ABE＝∠CDF．∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE＝∠BAD，②．∵四边形ABCD是平行四边形，∴③．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF（ASA）∴BE＝DF四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）19．（10分）某校为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，特开展了“建团百年锵辉煌、凝心聚力再出发”共青团知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D．95≤x≤100）．下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，84，99，99，100，100，95，94，89，81八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，93，94，94，…七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9494中位数97b众数c100方差44.225根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握共青团知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1600人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b相交于点A（﹣4，1）和点B（2，n）（1）求出一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；（2）结合图象，请直接写出不等式的解集；（3）直角坐标系内有一点C（3，1），求出△ABC的面积21．有一项工程，甲队单独完成这项工程的天数比乙队单独完成这项工程的天数少10天，而甲队2天的工作量和乙队3天的工作量相同（1）甲、乙两队单独完成这项工程的天数分别是多少天？（2）甲队单独施工若干天后，再由乙队单独施工并完成剩下的工程，已知甲队每天单独施工费用为4万元，乙队每天施工费用为2万元，该项工程总费用政府拨款70万元且刚好用完．则甲队施工的时间是多少天？22．（10分）东西走向海岸线上有一个码头（图中线段AB），已知AB的长为132米，小明在A处测得海上一艘货船M在A的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点C，在C测得M在C处的北偏东15°方向（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）（1）求AM的长；（结果精确到1米）（2）如图，货船从M出发，沿着南偏东30°方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．23．（10分）如果一个四位自然数M的千位数字和百位数字相等，十位数字和个位数字之和为8，我们称这样的数为“等合数”，例如：对于四位数5562，∵5＝5且6+2＝8，∴5562为“等合数”，又如：对于四位数4432，∵4＝4但3+2≠8，所以4432不是“等合数”（1）判断6627、1135是否是“等合数”，并说明理由；（2）已知M为一个“等合数”，且M能被9整除．将M的各个数位数字之和记为P（M），将M的个位数字与十位数字的差的绝对值记为Q（M），并令G（M）＝P（M）×Q（M），当G（M）是完全平方数（0除外）时，求出所有满足条件的M．24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接AC（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接BC，点P为第一象限抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，过点P作PN∥AC交x轴于点N，求PN+PM的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，把抛物线y＝ax2+bx+4向右平移2个单位长度，平移后的抛物线与原抛物线相交于点Q，点E是原抛物线对称轴上一动点，点F是平移后抛物线上一动点，直接写出所有使得以点A、Q、E、F 为顶点的四边形是平行四边形的点F的坐标，并把求其中一个点F的坐标的过程写出来．25．（10分）在△ABC中，AB＝BC＝CA，将线段BC绕点C顺时针旋转至DC的位置，连接BD．（1）如图1，当∠BCD＝15°时，CD与AB交于点E，若AE＝4，求CE的长；（2）如图2，当∠BCD＝20°时，∠DBC的角平分线交△ABC的中线AF于点G，连接CG、DG，求证：BD+BG＝BC；（3）如图3，线段BD与边AC交于点H，连接DA，DA＝DH，点I为线段AB上一动点（不与A，B重合），连接ID，将△BDI沿BD翻折至△BDI'（点I'与△ABC在同一平面内），连接I'I，I'C，I'H，设I'H ＝a，当I，I'，C三点共线时，请直接用含a的式子表示△BDI的面积．参考答案一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．A；2．B；3．A；4．C；5．B；6．C；7．C；8．C；9．B；10．D；11．B；12．B；二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）13．π；14．；15．2﹣；16．20；三、解答题（本大题共2个小题每题8分，共16分）17．（1）﹣b2﹣2ab；（2）．；18．AB∥CD；∠DCF＝∠BCD；∠BAD＝∠DCB；四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）19．（1）a＝40，b＝94，c＝99；（2）我认为八年级学生掌握共青团知识较好，因为八年级学生竞赛成绩方差较小，说明八年级学生成绩比七年级学生竞赛成绩稳定；（3）该校七、八年级共1600人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是1200人．；20．（1）一次函数的解析式分别为y＝﹣x﹣1．（2）﹣4＜x＜0或x＞2．（3）．；21．（1）甲队单独完成这项工程的天数是20天，乙队单独完成这项工程的天数是30天；（2）甲队施工的时间是10天．；22．（1）AM的长约为116米；（2）该货船能行驶到码头所在的线段AB上，理由见解答．；23．（1）6627不是“等合数”，1135是“等合数”，理由见解答；（2）5508或5535或5553或5580．；24．（1）y＝x2+x+4；（2）PN+PM的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）点F的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）或（5，）．；25．（1）2；（2）见解析；（3）（1+）a2．。
重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题
í ï
3
ïî 2
1 2
l
l =
= 2x +
3 2
y
1 2
y
，
解得
x
=
1
-
1 2
l,
y
=
l
，
∴
x2
+
y2
=
æçè1-
1 2
l
ö2 ÷ø
+
l2
=
5 4
l2
-l
+1=
5 4
æ çè
l
-
2 5
ö2 ÷ø
+
4 5
³
4 5
，
即 x2 + y2 的最小值为 4 .
5 故选：B. 8．C 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合奇偶性求不等式即可.
为 M ，若 AF - AM = 2 ，则 p = _________.
14．已知在正项等比数列{an} 中， a3 = 8 ， a5 = 32 ，则使不等式 Sn > 511 成立的正整数
n 的最小值为________．
( ) 15．已知函数 f ( x) = ( x -1) ex - kx (x > 0) 存在唯一零点，则 k 的取值范围为_________.
19．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资 源.从全市中小学生中随机抽取了 100 名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，
100 名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为 X ，并以此为样本得到了如下图所示的
表格：
疼痛指数 X
X £ 10
10 < X < 90 X ³ 90
重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 若向量，，且，则（ ）A．B ．4C．D．2. 已知m ，n 为不同的直线，为不同的平面，若，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）A．B．C．D．4. 给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ）A．B．C．D．5.已知函数的最大值为4，最小值为0.两个对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（ ）A．B．C．D．6. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）A．B．C．D．7. 中国古代数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马，鳖臑，堑堵三种基本立体图形，其中四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，若三棱锥P-ABC为鳖臑，底面ABC ，，，，则此鳖臑的体积为（ ）A．B．C．D．8.已知函数与的图象没有公共点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知球O 的半径为2，球心O 在大小为45°的二面角内，二面角的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆，，若两圆，的公共弦AB 的长为2，E 为AB 的中点，则（ ）A．B．C ．O ，E，，四点共圆D ．四面体体积的最大值为10. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数为周期函数，且最小正周期为D ．函数的导函数的最大值为3重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题(2)重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题(2)三、填空题四、解答题11. 已知定义在上的函数，满足：，，，则（ ）A．函数一定为非奇非偶函数B．函数可能为奇函数又是偶函数C ．当时，，则在上单调递增D ．当时，，则在上单调递减12. 2021年1月11日，国家统计局发布2020年全国居民消费价格指数（CPI ）相关数据，指出2020年较好地实现了“居民消费价格涨幅3.5%左右”的物价调控目标.2020年全国居民消费价格涨跌幅如折线图所示，则（）A ．从环比看，CPI 由2020年11月份的环比下降0.6%在12月份转为环比上涨0.7%B ．2020年1月份CPI 同比增长最多C ．2020年CPI 环比上涨的月份数比下跌的月份数多D ．2020年全年，CPI 平均比2019年上涨约2.5%13. 函数的定义域为__________．14.设，，若，且的最大值是，则___________.15. 已知椭圆，四个点中恰有三个点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程是__________．16. 已知离心率为的椭圆与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，作直线AB 的平行线交椭圆于C ，D 两点.(1)若△AOB 的面积为1，求椭圆的标准方程；(2)在（1）的条件下，（i ）记直线AC ，BD 的斜率分别为，，求证：为定值；（ii ）求|CD |的最大值.17. 如图，在正三棱柱中，点是的中点.（1）求证：平面；（2）设为棱的中点，且满足，求证：平面平面.18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．(1)求角B的大小；(2)若的面积，设D是BC的中点，求的值．19. 已知函数（1）若不等式对任意的恒成立,求的取值范围；（2）当时,记的最小值为,正实数,,满足,证明：.20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧面为等边三角形.（1）求证：；（2）若平面平面，点为的中点，求三棱锥的体积.21. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。
重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题
一、单选题二、多选题1. 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．2. 下列四个集合中，是空集的是（ ）A．B．C．D．3.在等差数列中，，设数列的前项和为，则( )A ．18B ．99C ．198D ．2974.已知函数的导数是，那么“函数在R 上单调递增”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 某太空舱的设计模型大致为一个圆台和一个半球组成的中空几何体，其三视图如图所示（单位：），忽略舱壁厚度，该太空舱的容积约为（ ）（取）A．B．C．D．6.已知函数，则的值等于A．B．C ．D ．07. 函数的大致图像如图，则实数a ，b的取值只可能是（ ）A．B ．C．D．8. 设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．4051B ．4049C ．2025D ．20239. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）A．B．在方向上的投影向量为重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题C ．若，则D．若，则10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆，是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若，则的面积为B．若为圆上任意一点，则的最小值为0C ．椭圆的离心率为D．11.已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）A ．若（O 为坐标原点）的面积为2，则圆的面积为B ．若，则圆与圆外离C ．若，则是圆与圆的一条公切线D ．若，则圆与圆上两点间距离的最大值为612. 已知，则下列选项中正确的是（ ）A．B ．关于轴对称C ．关于中心对称D．的值域为13.已知函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式________.14.设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为__________.15. 已知，，，则实数______.16. 某工科院校对两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：专业专业总计女生男生总计（Ⅰ）从专业的女生中随机抽取名女生参加某项活动，其中女生甲被选到的概率是多少？（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢？注：．17. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在中，角、、的对边分别为、、，，，且______，求的面积．注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．18. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.19.将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．(1)若，求函数在区间上的最大值；(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．20. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，，，是棱的中点，是平面与棱的交点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21. 如图，是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，把沿折起，使到达位置，已知.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.。
重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题
一、单选题1.如图，抛物线与圆交于两点，点为劣弧上不同于的一个动点，与轴平行的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是A．B．C．D．2. 已知复数在复平面上对应的点为，则A．B．C ．是实数D ．是纯虚数3. 甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A ，B ､C 三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）A．B．C．D．4.已知函数，且，则（ ）A．B．C．D．5. 如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E 已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD 四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（）A ．12B ．24C ．48D ．846. 已知点A （1，2）在圆C ：外，则实数m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．7. 函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（）A ．函数的最小正周期为B．函数的一条对称轴为直线C ．函数的一个对称中心坐标为D．再向左平移个单位得到的函数为偶函数8. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C．D．9. （多选）已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．10.若数列满足，，，记数列的前项积为，则下列说法正确的是（ ）A．无最大值B ．有最大值C．D．11.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）A ．是它的一条对称轴B．它的离心率为C ．点是它的一个焦点D．12. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过的直线与在第一象限内自下而上依次交于两点，过作于，则（ ）A．的方程为B．当三点共线时，C．D ．当时，13.设集合，，若，则m =______．14. 祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点，则双曲线方程为___________；若直线，在第一象限内与及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为___________15.设为等比数列的前项和，且，则的值是__________．16. 如图，已知四棱锥中，底面 为菱形，且 ，是边长为 的正三角形，且平面 平面，已知点是的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求B；(2)若，且的面积为12，求b.18. 如图①，在矩形中，，为的中点，如图②，沿将折起，点在线段上.(1)若，求证：平面；(2)若平面平面，是否存在点，使得平面与平面的夹角为90°？若存在，求此时三棱锥的体积；若不存在，说明理由.19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．(1)求B；(2)若，且的面积为，求b.20. 一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序？21. 从条件①，②，③中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，________，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．。
重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1.如图，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过的平面与棱分别交于点.设，．①四边形一定是菱形；②平面；③四边形的面积在区间上具有单调性；④四棱锥的体积为定值.以上结论正确的个数是A ．4B ．3C ．2D ．12. 函数且的图象所过定点的坐标为（ ）A．B．C．D．3.圆关于直线对称的圆的标准方程是（ ）A．B．C．D．4.已知函数，若成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知变量x ，y 之间具有较强的线性相关性，测得它们的四组数据如表所示：x 1234y现已求得变量x ，y 之间的回归方程为，请根据给出的条件，预测时，y 的值约为（ ）A．B．C．D． 6. “”是“能取到一切正数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是（ ）A ．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种B ．全体站成一排，男生互不相邻有1440种C ．全体站成一排，女生必须站在一起有144种D ．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种8. 以下四个命题表述正确的有（ ）重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题(高频考点版)重庆市第八中学校2023届高三二模数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．经过点且在x 轴和y轴上截距都相等的直线方程为B ．直线与圆一定相交C ．圆上存在2个点到直线的距离都等于D ．曲线与曲线恰有三条公切线，则9. 规定记号“”表示一种运算，即（，为正实数）.若，则的值为________，此时函数的最小值为________.10. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为____.（）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82811. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是________.12. 已知，则___________.13.如图，已知正四棱台的侧棱与底面所成的角为，O为下底面的中心，.(1)证明：平面；(2)求正四棱台的体积.14. 求下列函数的值域：(1)，；(2)，；(3)，；(4)．15.过的直线与抛物线交于，两点，，则与的数量关系如何?并证明你的结论．16. 某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为，求的分布列和数学期望.。
重庆八中2020届高三下学期第二次月考数学试题(理科)含答案
19．（本小题满分 12 分） 为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂
在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取 20 件产品进行检测，测量 其主要药理成分含量（单位： mg ）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的
之内的概率为09974从而主要药理成分含量在之外的概率为00026故19200997400026200950002600494的数学期望为20000260052显然直线ab与my则可知2020级高三下此时mn的最小值为综上当mn最小时直线2020级高三下恒成立从而的直角坐标为20为参数代入曲线pmpn为矩形上的一顶点则该矩形的周长为cos2sin16sin其周长有最大值16
xi2
20x
2)
0.19
．
其中 xi 为抽取的第 i 件药品的主要药理成分含量， i 1 ，2， ，20．用样本平均数 x 作为 的估计 值 ˆ ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？
（Ⅱ）假设生产状态正常，记 X 表示某天抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在 ( 3 , 3 ) 之
A． 2 3
B． 2 5
C． 2 6
D． 2 7
11．设双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0 的左顶点为
A ，右焦点为 F c, 0 ，若圆
A: x a2
y2
a2
与直线 bx ay 0 交于坐标原点 O 及另一点 E ，且存在以 O 为圆心的圆与线段 EF 相切，切点为 EF
魏、晋、南北朝时期．现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著
2020届重庆八中中考数学二模试卷(有解析)
2020届重庆八中中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1.一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为60±5g ，则下列同类产品中净含量不符合标准的是( )A. 56gB. 60gC. 64gD. 68g2.下图是由4个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为 ( )A.B.C.D.3.比较抛物线y =x 2、y =2x 2−1、y =0.5(x −1)2的共同点，其中说法正确的是( )A. 顶点都是原点B. 对称轴都是y 轴C. 开口方向都向上D. 开口大小相同4.下列命题的结论不成立的是( )A. 两直线平行，同位角相等B. 两直线平行，内错角相等C. 两直线平行，同旁内角互补D. 两直线平行，同旁内角相等5.已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为( )A. 4：9B. 2：3C. 8：18D. 16：816.估算√24+3的值( )A. 在8和9之间B. 在7和8之间C. 在6和7之间D. 在5间和6之间7.关于下列问题的解答，错误的是( )A. x 的3倍不小于y 的15，可表示为3x >15y B. m 的13与n 的和是非负数，可表示为13m +n ≥0 C. a 是非负数，可表示为a ≥0 D. 17x 是负数，可表示为17x <08.如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x 的值为81，则第2020次输出的结果为( )A. 27B. 9C. 3D. 19.已知点、分别在的边、上，下列给出的条件中，不能判定的是………………………()A. ；B. ；C. ；D. ．10.如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是()A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°11.“五一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC=10米，则观景塔的高度DE约为()米．(√2=1.41,√3=1.73)A. 14B. 15C. 19D. 2012.不等式组{x−a<03−2x≤−1的整数解共有3个，则a的取值范围是()A. 4<a<5B. 4<a≤5C. 4≤a<5D. 4≤a≤5二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.哈尔滨工业大学附属中学占地面积为118000平方米，用科学记数法表示数字118000为______．14.如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BAC=25°，则∠OED的度数是______．15.有四张正面分别标有数字−2，−1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后小李从中任取两张，将该卡片上的数字之和记为x，则小李得到的x值使分的值为0的概率是．式x2−9x−316.已知，如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，则DE的长为______．17.“没有全民健康，就没有全面小康”.习近平时时关注人民健康，多次在不同场合发表重要论述．学校响应号召，动员所有老师加强锻炼．初三年级的任老师和印老师就约着从御龙天峰校区沿北滨路一直匀速跑到大剧院，已知他们的速度不同，任老师先跑一段后，印老师开始出发，当印老师超出任老师一定距离后他就停下来等候任老师，两人相遇后继续以原来的速度跑向大剧院，如图是两人在跑步过程中各自所走的路程y(米)与任老师出发的时间x(分钟)之间的函数图象，则任老师和印老师在第一次相遇时，印老师跑了______米．18.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有______家公司参加商品交易会．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.先观察下列等式：，，…将以上等式两边分别相加得：=(1−)=1−+=然后用你发现的规律解答下列问题：(1)猜想并写出：=；(2)直接写出下列各式的计算结果：①=；②=；(3)探究并计算：.四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）20.我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．数学思考：(1)小棒能无限摆下去吗？答：______.(填“能“或“不能”)(2)设AA1=A1A2=A2A3=1.则θ=______度；活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1．数学思考：(3)若只能摆放5根小棒，求θ的范围．21.近两年成都市雾霾天气严重，为了了解我市的空气质量情况，某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了我市若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)被抽取的总天数？并补全条形统计图；(2)求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数；(3)请估计我市这一年(365天)达到“优”和“良”的总天数．22.甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑10米，则甲跑5秒就可追上乙；如果乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙，则甲的速度为多少米/秒？乙的速度为多少米/秒？23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/的表达式为y=2x−6，(1,0)，(0,2)，直线AB与直线l相交于点P．(1)求直线AB的表达式；(2)求点P的坐标；(3)若直线L与x轴交于点E，且直线L上存在一点C，使得△APC的面积是△APE的面积的2倍，直接写出点C的坐标．24.仔细观察下列四个等式：22=1+12+2；32=2+22+3；42=3+32+4；52=4+42+5；…(1)请你写出第5个等式；(2)用含n的等式表示这5个等式的规律；(3)将这个规律公式认真整理后你会发现什么？25.如图，△ABC中，已知AB=AC，∠A=44°．(1)作AB的垂直平分线MN交AC于点D，(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)连结BD，则∠DBC=______°.26.如图，抛物线y=−9与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，AC.(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D.设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留π)．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵薯片包装上注明净含量为60±5g，∴薯片的净含量范围为：55≤净含量≤65，故D不符合标准，故选：D．根据净含量为60±5g可得该包装薯片的净含量，再逐项判断即可．本题主要考查了正负数的定义，计算出净含量的范围是解答此题的关键．2.答案：C解析：本题考查几何体的三视图，难度较小，此几何体的俯视图是三个正方形，排列如选项C．3.答案：C解析：解：y=x2的顶点坐标为原点，对称轴是y轴，开口向上；y=2x2−1的顶点坐标为(0,−1)，对称轴是y轴，开口向上；y=0.5(x−1)2的顶点坐标为(1,0)，对称轴是x=1，开口向上；综合判断开口方向都向上，故选：C．分别写出判断出抛物线的顶点坐标、对称轴以及开口方向，进而作出判断．本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标、对称轴以及开口方向的判断，此题难度不大．4.答案：D解析：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解：A.两直线平行，同位角相等，正确，故本选项错误；B.两直线平行，内错角相等，正确，故本选项错误；C.两直线平行，同旁内角互补，正确，故本选项错误；D.两直线平行，同旁内角相等，错误，故本选项正确．故选D．5.答案：D解析：解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为4：9，∴两个相似三角形的面积比为16：81，故选：D．根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6.答案：B解析：解：∵16<24<25，∴4<√24<5，∴7<√24+3<8．故选：B．先估算出√24的取值范围，再得出√24+3的取值范围即可．本题考查的是无理数的大小，先根据题意得出√24的取值范围是解答此题的关键．7.答案：Ay，原式错误，故本选项正确；解析：解：A、列代数式为：3x≥15m+n≥0，原式正确，故本选项错误；B、列代数式为：13C、列代数式为：a≥0，原式正确，故本选项错误；x<0，原式正确，故本选项错误．D、17故选A．结合选项列出不等式，找出错误的选项．本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是找出等量关系，列出不等式．8.答案：D×81=27，解析：解：第1次，13×27=9，第2次，13×9=3，第3次，13×3=1，第4次，13第5次，1+8=9，×9=3，第6次，13…，依此类推，从第4次开始以1，9，3循环，∵(2020−3)÷3=672…1，∴第2020次输出的结果为1．故选：D．依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．9.答案：B解析：解：根据平行线等分线段成比例可得(A)(D)是正确的，(C)可得△ADE∽ABC所以∠ADE=∠ABC，所以//(同位角相等两直线平行)，(B)不能判定两个三角形相似的条件，跟别说角相等了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆八中初2014级毕业暨高中招生模拟考试数学试题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的 顶点坐标为（－ b 2a ，4ac －b 24a ），对称轴公式为x=－ b2a．一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1．下列各选项中，是负数的是（ ）A ．3B ．0C ．πD ．1-2．下列图形中，不是．．轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．计算3(2)a 的结果是（ ）A ．36aB ．38aC ．32a D ．8a4．如图，//AB CD ，BD 平分ABC ∠，若40D ∠=︒， 则DCB ∠的度数是（ ）．A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒ 5．已知2x =是一元一次方程60ax -=的解，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．66．在日本、韩国、印度，小学二年级的同学都要求掌握1919⨯的大九九乘法表，某老师在初一年级八个班中调查各班了解大九九乘法的同学数量分别为：22、23、24、25、25、28、30、34，则这组数据的中位数为（） A ．25B ．24C ．23D ．24.57．右图所示的几何体的左视图是（）A BCD第4题图ABCD8．如图，AB 是⊙O 的切线，点B 为切点，BC 是⊙O 的直径， 20=∠A ， 则ODC ∠的度数为（ ）A ．70oB ．60oC ． 55D ．40o9．如图，在Rt ABC ∆中，D 是AB 的中点，BC =5，AC =12，则DCA ∠sin 的值为（ ）A ．125 B ．135C ．1213D ．131210．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为a km/h ，水流速度为b km/h （a b >）．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t （h ），离甲地的距离为s （km ），则s 与t 的函数图象大致是（ ）11．如图，图①由4根火柴棍围成；图②由12根火柴棍围成；图③由24根火柴棍围成；…按此规律，则第⑥个图形由（ ）根火柴棍围成.A ．60B ．72C ．84D ．11212．如图，直线b x y +=21与x 轴交于点A ，与双曲线x y 4=在第一象限交于点B ，与双曲线xky =在第一象限交于点C，过B 作BE 垂直x 轴于E ，过C 作CF 垂直x轴于F , 4=∆BAE S ,且OE=EF 则（ ） A ．1,4b k == B ．2,12b k == C ．1,12b k == D ．2,9b k ==第8题图AB CO D D① ② ③ ④C DBA二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13．=-a a 23 ．14．已知△ABC 与△DEF 相似且对应边的中线之比为2︰5，则△ABC 与△DEF 的周长比为 ．15．在2014年暑假游泳选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四人前四次测试的平均成绩相同，方差分别为：12.02=甲S ，012.02=乙S ，2.02=丙S ，02.02=丁S，则这四位同学成绩最稳定的是 ．16．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为点B ，切线BA 与直径CD 的延长线相交于点A ， CD=4，1718顶点,,E G H 分别落在正方形的边,,AB CD DA 上，1=AH ，则GC 长度的取值范围是___________. 三、解答题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．19．201401)1(4)3()21(2-----+--20．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB =5，BC =10，sin ∠ABC =53，求AC 的长．第16题图AB CD第18题图E B21．先化简，再求值：)44122()41(22+----+÷-a a a a a a a，其中a 是不等组⎩⎨⎧>+>-31215a a 的整数解．22．在出行中，主动采用能降低二氧化碳排放量的交通方式，谓之“低碳出行”．明明一家积极响应政府“绿色山城，低炭出行”的号召，今年2月—5月明明一家减少了驾车出行．他们将2月—5月驾车行驶的里程统计后绘制成以下两幅不完整的统计图：（1）扇形统计图中=x _________，并补全折线统计图；（2）某中学也积极参与“绿色山城，低炭出行”活动中，决定从4名广播社骨干成员中（其中有两名男生，两名女生）选拔两名同学去演讲宣传，请用画树形图或列表的方法求所选出的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率．x 时间（月份）2-5月驾驶里程折线统计图2-5月驾驶里程扇形统计图3月40%4月20%5月2月%x23．受房贷收紧、对政策预期不确定等因素影响，今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价齐跌态势．数据显示，2014年前两个月，某房地产开发公司的销售面积一共8300平方米，其中2月份比1月份少销售300平方米． （1）求2014年1、2月份各销售了多少平方米；（2）该公司2月份每平方米的售价为8000元，3月份开始，决定以降价促销的方式应对当前的形势，据调查，与2月相比较，每平米销售单价下调a %，则销售面积将增加（a +10）%，结果3月份总销售额为3456万元．求a 的值．24．如图，在△ABC 中，AD 平分BAC ∠，AB DF ⊥于点F ，E 为AC 上一点，且DE AE =．（1）求证：DE DF ⊥；（2）若 180=∠+∠AED ABC ，求证：AF AE AB 2=+.ABCDEF25．如图，抛物线64212-+-=x x y 与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线对称轴与x 轴相交于点M ． （1）求△ABC 的面积；（2）若P 是x 轴上方的抛物线上的一个动点，求点P 到直线BC 的距离的最大值； （3）若Ｑ是x 轴上方抛物线上的一点（Q 、M 、C 不在同一条直线上），分别过点A 、B 作直线CQ 的垂线，垂足分别为D 、E ，当△MDE 为等腰直角三角形时，求Q 点的坐标．26．如图，矩形ABCD 的边AB =4，BC =7，EA 平分∠BAD 交BC 于E ，连接DE ，在矩形内部作边长为2的正方形FGHI ，使得边HI 与BC 共线，点I 与点B 重合，将正方形FGHI 沿BC 向右平移，平移速度为每秒1个单位长度，当GH 与CD 重合时停止运动.设运动过程中正方形FGHI 与△AED 的重叠部分面积为s ，运动时间为t （0t ）.（1）求使点G 落在线段DE 上的时间t ；（2）求出在正方形FGHI 向右平移过程中s 关于t 的函数关系式，并写出对应t 的取值范围；（3）如图2，将矩形ABCD 沿DE 翻折，翻折后点D 与点'D 对应，点C 与'C 点对应，再将所得△E D C ''绕着点E 旋转，直线．．''D C 与射线．．ED 交于点P ，当△DP C '为等腰三角形时，直接写出．．．．'PD 的长.F GA DB （I ）C E H ADB C EAD （D ’）BCEC ’（第26题图）（备用图）（第26题图2）重庆八中初2014级毕业暨高中招生模拟考试（二）数学参考答案一．选择题DABAC AACBC CC 二．填空题13．a 14．2︰5 15．乙 16．23π 17．15 18．363≤≤-CG三．解答题 19．原式=2+2-1-2-1 =020．解：3sin 53541046ABC AD AB Rt ABD BD CD BC BD Rt ADC ∴∠==∴∆==-=-=∆=QQ 又AB=5AD=3在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得： 21．原式2222421()[](2)(2)4(2)(2)(1)()[](2)4(2)()4(2).................................6a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=÷----+---=÷---=⋅-=-分 2222421()[](2)(2)4(2)(2)(1)()[](2)4(2)()4(2).................................6a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a -+-=÷----+---=÷---=⋅-=-分5121314,2 3.23.........................................93.........................................10a a a a a a a a a ->⎧⎨+>⎩<<∴=====Q Q 由得：又为整数.或使得原分式无意义.分把带入原式.原式=1分说明：此题化简结果将完全平展开正确也给6分22．（1）x=10…………………………………………………………………………1分 4月：20，5月10，连线（描一个点1分，连线1分）……4分（2）将从4名骨干成员中选两名的所有情况用树形图表示如下：开始抽一名： 男 男 女 女再抽一名： 男 女 女 男 女 女 男 男 女 男 男 女 ………………………………………………………………………………………7分 由图可得一共有12种等可能情况：（男，男）（男，女）（男，女）（男，男）（男，女）（男，女）（女，男）（女，男）（女，女）（女，男）（女，男）（女，女），其中有8种满足条件.…………………………………………………………………………………9分 ∴P （一男一女）=128=32………………………………………………………………10分23．（1）设1月份的销售面积为x m 2，则…………………………………………1分 x +(x -300)=8300………………………………………………………………2分 解得，x =4300………………………………………………………………3分 ∴x -300=400(m 2)答：2014年度月份销售4300m 2,2月份销售4000m 2．……………………4分 （2）由题意可得，34560000)%]10(1[4000%)1(8000=++⨯-⨯a a …6分令%a t =，则整理为：015502=-+t t ………………………………7分 解得，2.0,1.021-==t t …………………………………………………8分 ∴10=a 或者20-=a （不合题意，舍去）……………………………9分 答：a 的值为10．…………………………………………………………10分24．（1）AD 平分BAC ∠∴21∠=∠………………………………………………………………1分 又∵DE AE =∴32∠=∠………………………………………………………………2分 ∴31∠=∠………………………………………………………………3分 ∴DE AF // 又∵AB DF ⊥∴DE DF ⊥…………………………………………………………4分 （2）过点D 作AC DG ⊥于点G ………………………………………5分AD 平分BAC ∠,AB DF ⊥,AC DG ⊥∴DG DF =, 90=∠=∠DGE DFB ……………………………6分 又∵ 180=∠+∠AED ABC ,180=∠+∠AED DEG∴DEG ABC ∠=∠…………………………………………………7分 在DFB ∆与DGE ∆中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DG DF DEG ABC DGE DEG ∴DGE DFB ∆≅∆……………………………8分 ∴AG AF =……………………………………9分∴AE AB FB AE AF EG AE AF AG AF AF +=++=++=+=2 即：AF AE AB 2=+…………………………10分25．（1）令064212=-+-x x 解得，6,221==x x ∴426=-=AB …1分 令0=x ，则6-=y ∴6=OC ……………2分ABCDEF 1 23GPE∴126421=⨯⨯=∆ABC S ……………………3分 （2）过P 作轴y PD //交直线BC 于点D 过P 作BC PE ⊥于点E直线BC 的解式式：6-=x y ……………………………………………4分设)6421,(2-+-x x x P ，则)6,(-x x D ∴x x PD 3212+-=（42≤≤x ）………………………………………6分该函数的对称轴是直线：3=x ，在42≤≤x 内 又∵0 a ，开口向下 ∴当3=x 时，29=最大PD …………………………………………………7分 又∵BCO PDE ∆≈∆ ∴42922==最大最大PD PE ………………………………………………8分 即P 到直线BC 距离的最大值为429． （3）抛物线解的对称轴是直线4=x ，)0,4(M ；MDE ∆为等腰直角三角形，有3种可能的情形：①若EM DE ⊥，由EM DE ⊥，可知点E 、M 、B 在一条直线上， 而点B 、M 在x 轴上，因此点E 必然在x 轴上，由DE ⊥BE ，可知点E 只能与点O 重合，即直线QC 与y 轴重合， 不符合题意，故此种情况不存在；②若DE ⊥DM ，与①同理可知，此种情况不存在；③若EM ⊥DM ，如答图2所示：………………………………………………9分设直线QC 与对称轴交于点N ，∵EM ⊥DM ，MN ⊥AM ，∴∠EMN =∠DMA ． 在△ADM 与△NEM 中，∴△ADM ≌△NEM （ASA ）， ∴MN =MA ． ∴MN =MA =2，∴N （4，2）．……………………………………………………………10分 设直线PC 解析式为y =kx +b ，∵点N （4，2），C （0，﹣6）在抛物线上， ∴，解得k =2，b =﹣4，∴y =2x ﹣6．…………………………11分将y =2x ﹣6代入抛物线解析式得：6421622-+-=-x x x ， 解得：4,021==x x当x =0时，交点为点C ；当4=x 时，y =2x ﹣2=2． ∴)2,4(Q ．综上所述，△MDE 能成为等腰直角三角形，此时点Q 坐标为)2,4(．…12分26．（1）如右图1， 4==AB BE ，347=-=EC 当G 在FD 上时，43==DC EC GH EH ，又 2=GH∴23=EH ，21=IE ，B27214=-=BI ………………………………2分 （2）①20≤<t 时，如图2，JGK S S ∆= ∵t BI =，2=IH ∴t t HE -=--=224 ∴t HE KH -==2∴t t KH GH GK =--=-=)2(2 ∴22t S JGK =∆ ∴221t S =②272≤<t 时，如图3EH M LIE FG H I S S S S ∆∆--=正方形∵t IE -=4 ∴t LI -=4∴2)4(21t S LIE -=∆ 又2)4(2-=--=-=t t IE IH EH∴)2(3434-==t EH MH∴2)2(32)2(34)2(21-=-⋅-=t t t S EHM ∆∴22)2(32)4(214----=t t S320320672-+-=t t③427≤<t 时，如图4 LIEIENF S S S ∆-=梯∵27-=t NG （注：点G 落在DE 时27=t ，继续往右平移，多走的路程即为NG ） ∴t t FN -=--=211)27(2 又t IE -=4B（图2）A（图3）A∴t t t S IENF221922)]211()4[(-=⋅-+-=梯2)4(21t S LEI -=∆ ∴23221)168(21221922++-=+---=t t t t t S④54≤<t 时，如图5FNO ΔS S = tFN -=211)211(3434t FN FO -==∴2)211(3421t S -⋅=2)211(32t -= 6121322322+-=t t 综上所述⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<++-≤<-+-≤<=54,612132232427,23221272,3203206720,212222t t t t t t t t t t t S …………………………………8分（5）①如图6，当PD D C ='时，设α='∠=∠P C D P ∴α2='∠DE C ，α-='∠ 90EP C ∴α-='∠ 90E C D ∴DE D C =' ∴D 为EP 中点 ∴102==DE PE ∴9131022=-='P CBA（图5）A（图6）B（图7）∴491-='D P②如图7，当DP P C ='时，设x P C ='， 则x DP =，x DP DE PE -=-=5在P C E Rt '∆中，2223)5(+=-x x解得58=x ，∴512584=-='D P③如图8，当DP P C ='时，x PE -=5，x C P ='2223)5(+=-x x解得58=x ∴528584=+='+''='C P D C D P ④如图9，可得D 为PE 中点10=PE ，91='P C914+='+''='P C D C D PB。