东北师大附中高三第四次摸底考试(理科)

东北师大附中2007—2008学年度高三第四次摸底考试
数学试题（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试题卷上的无效．
2．答题前，考生务必将自己的“班级”、“学号”、“姓名”写在答题卡和答题纸上． 3．考试结束后，只交答题卡和答题纸．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.） 1．已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则
（ ）
A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在
B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意
C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在
D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意
2．已知向量()43，-=a ，()43-=，b ，则a 与b
（ ）
A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向 3．复数211i
i ++的值是
（ ）
A ．－21
B ．2
1
C ．
2
1i
+ D ．
2
1i
- 4．某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级
分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为 （ ） A ．50 B ．100 C ．150 D ．20 5．双曲线x 2－y 2=4的两条渐进线和直线x =2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可
表示为 （ ）
A ．⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤-≥+200
x y x y x
B ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+200x y x y x
C ．⎪⎩⎪
⎨⎧≤≥-≤+200x y x y x
D ．⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-≤+200
x y x y x
6．已知数列｛a n ｝对于任意m 、n ∈N *，有a m +a n =a m+n ，若，4
11=
a 则a 40等于 （ ）
S E
F A B C
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
7．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数()4+=x f y 为偶函数，
则
（ ）
A ．()()32f f >
B ．()()52f f >
C ．()()53f f >
D ．()()63f f >
8．如图，在正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为∆ABC
的中心，则异面直线EF 与AB 所成的角是 （ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒
9．在8
21⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 的展开式中，含x 的项的系数是 （ ）
A ．55
B ．－55
C ．56
D ．－56
10．已知函数()()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
<
>>∈+=200πϕωϕω，，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所示，则()x f 的解析式是
（ ）
A ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=62ππ Ｂ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=622ππ Ｃ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=32ππ
Ｄ．()()R x x sin x f ∈⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=322ππ 11．a n 是(1+x )n+1（n ∈N *）的展开式中含x 2的项的系数，则=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
++∞→n n a a a lim 1
1121 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知椭圆15
92
2=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂
直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：
（ ）
A ．
2
1
B ．
3
1 C ．
3
2
D ．
4
1
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．若函数()y f x =的图象与函数x y 4=的图象关于直线y x =对称，则()f x =________；
14．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆14
82
2=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 ； 15．为使函数2
11)(x
x
x f -+=
在1-=x 处连续，需定义=-)1(f ； 16．对于函数的这些性质：①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数；⑤周期性；函数
()R x x x x f ∈+=，35具有的性质的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，，22
sin 2sin
=++C
B A ． I ．试判断△AB
C 的形状；
II ．若△ABC 的周长为16，求面积的最大值． 18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人
中女生的人数．
（1）求所选3人都是男生的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望；
19．（本小题12分）
如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2,11===AB AD AA ，点E 在棱AB 上移动． （1）求证：D A E D 11⊥；
（2）E 为AB 中点时，求点E 到平面 1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D EC D --1的大小是4
π
．
20．（12分）设数列{}n a 满足*N n n
a a a a n n ∈=++++-，4
4
441
32
21 ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；
（Ⅱ）设n n n b a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求n
n n S n lim 14+∞→⋅．
21．（12分）已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=． （Ⅰ）若)(x f 在)2
1,0(上是减函数，求a 的取值范围；
（Ⅱ）函数)(x f 是否既有极大值又有极小值？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请
说明理由．
22．（12分）已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是0=+y x ，
且双曲线C 过点)1,2(-P . （1）求此双曲线C 的方程；
（2）设直线l 过点)1,0(A ，其方向向量为),1(k e =)0(>k ，令向量n 满足0=⋅e n .双
曲线C 的右支上是否存在唯一一点B ，=. 若存在，求出对应的k 值和B 的坐标；若不存在，说明理由.
东北师大附中2007—2008学年度高三第四次摸底考试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题
CDBBB CDCDA BB
13．()04>=x x log y 14．4 15．2
1
16．①③ 17．（10分）
解：Ⅰ、)4
2sin(22sin 2cos 2sin
2
sin
ππ+=+=+-C C C C C
2
242π
ππ==+∴
C C 即 所以此三角形为直角三角形.
Ⅱ．ab ab b a b a 221622+≥+++=
2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号，
此时面积的最大值为()
24632-．
18．（12分）（1）解：所选3人都是男生的概率为 5
1
363
4=C C
（2）解：可能取的值为0，1，2，
2,1,0,)(3
6
34
2=⋅==-k C C C k P k k ξ，
15
1
2531510=⨯+⨯+⨯=ξE
19．（12分）解：（1）由于 D AE 11D AA 面⊥，11AD D A ⊥，根据三垂线定理，
得D A E D 11⊥． (4分) （2）设E 到平面1ACD 的距离为h ．
在1ACD ∆中，51==CD AC ，21=AD ，2
3
1=
∆C AD S ， 而21=∆ACE S ，h S DD S C AD ACE ⋅=⋅∴∆∆113
1
31V 1-D ＝ＡＥＣ， 得3
1
=
h ． (8分) （3）过D 作CE DH ⊥于H ，连接DE H D 、1，则CE H D ⊥1．
1DHD ∠∴为二面角D EC D --1的平面角．设,x AE =则,2x BE -=在DH D 1∆中，1DHD ∠∴4
π
=
，得1=DH ．
由于DA CD DH CE ⋅=⋅, 即21)2(2
=+-x ，
解得32-=x ．
因此，当32-=x 时，二面角D EC D --1的大小为4
π
． (12分) 20．（12分）解：(I) ，4
4
441
32
21n a a a a n n =++++-
()，24
1
444123221≥-=
++++--n n a a a a n n ()，24
1
44
1
≥--=
∴-n n n a n n
()24
1
≥=
∴n a n n 验证1n =时也满足上式， ()*N n a n
n ∈=∴41
(II) ∵n n
n
b a =
，∴n n n b 4⋅=， ()1443424132n
n n S ⋅++⋅+⋅+⋅=
()()244143424141
432+⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅=
n n n n n S
（1）－（2）得1
3
2
4
414141413+⋅-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n
n n S
()
144
14143+⋅---=
-∴n n
n n S
()
44439
1
11+-⋅=
∴++n n n n S ∴n
n n S n lim 1
4+∞→⋅=.n n lim n n lim
n n n n n n 3441394443491
111=⋅+
-=+-⋅⋅+∞→+++∞→ 21．（12分） 解：（Ⅰ）)(x f '=x
a x 1
2-
+- …………1分 ∵)(x f 在)21,0(上为减函数，∴)21,0(∈x 时01
2<-+-x a x 恒成立． ……3分
即x x a 12+<恒成立．设x x x g 12)(+=，则)(x g '=21
2x -．
∵)21,0(∈x 时21x ＞4，∴)(x g '0<，∴)(x g 在)21
,0(上递减， ………5分
∴g(x ) ＞g(2
1
)=3，∴a ≤3． ………6分
（Ⅱ）若)(x f 既有极大值又有极小值，则首先必须)(x f '=0有两个不同正根21,x x ，
即 0122
=+-ax x 有两个不同正根。

…………7分
令2200802
2>⇒⎩⎨⎧>>-⇒⎪⎩⎪
⎨⎧>>∆a a a a
∴当a ＞22时，)(x f '=0有两个不等的正根 …………10分 不妨设21x x <，由)(x f '=－
x 1（122
+-ax x ）=－x
2))((21x x x x --知： 10x x <<时)(x f '＜0，21x x x <<时)(x f '＞0，2x x >时)(x f '＜0，
∴当a ＞22时)(x f 既有极大值)(2x f 又有极小值)(1x f ． …………12分
22．解：（1）设双曲线C 的方程为)0(2
2≠=-λλy x ，将点)1,2(-P 代入可得1=λ，
∴双曲线C 的方程为12
2=-y x .
（2）依题意，直线 l 的方程为1+=kx y )0(>k .设),(00y x B 是双曲线右支上满足
= 的点，结合 0=⋅，得11200+=+-k y kx ，
即点),(00y x B 到直线l 的距离 11
12
00=++-=
k y kx d
①若10<<k ，则直线l 与双曲线C 的右支相交，此时双曲线C 的右支上有两个点到直
线l 的距离为1，与题意矛盾；
②若1≥k ，则直线l 在双曲线C 右支的上方，故100+<kx y ，从而
11200+-+=k kx y . 又因为 12020=-y x ，所以 0123)11(2)1(2202202=+-+++-+-k k x k k x k .
当1=k 时，方程有唯一解 20=x ，则)1,2(B ；
当1>k 时，由0=∆得 2
5
=
k ，此时方程有唯一解 50=x ，则)2,5(B 综上所述，符合条件的k 值有两个：1=k ，此时)1,2(B ；2
5
=
k ，此时)2,5(B .。