通用版2019版高考数学(文)二轮复习：4套“12+4”限时提速练(含解析)

4套“12＋4”限时提速练“12＋4”限时提速练(一) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1∈N ，B ＝{0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{2,3}D ．{0,2,4}解析：选B ∵6x ＋1∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0,1,2,5}，又B ＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.2．若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋iD ．1－i解析：选C 因为(1＋i)z ＝2i ， 所以z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i.3．设向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－13D ．－3 解析：选A 因为a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，a ∥b ， 所以2m ＝m ＋1，解得m ＝1.4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选B 由题意可得，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，又a m ＝a 41q 6＝210，所以m ＝10. 5．已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆x 216＋y 24＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝16B ．x 2＋(y －6)2＝72 C.⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009D.⎝⎛⎭⎫x ＋832＋y 2＝1009解析：选C 由题意得圆C 经过点(0，±2)， 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 由a 2＋4＝r 2，(6－a )2＝r 2，解得a ＝83，r 2＝1009，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009. 6.据统计，2018年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m ，n 的等差中项为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 因为甲群抢得红包金额的平均数是88， 所以78＋86＋84＋88＋95＋(90＋m )＋927＝88，解得m ＝3.因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n ＝9. 所以m ，n 的等差中项为m ＋n 2＝3＋92＝6.7．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为2的正方形，正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是( )A ．2B ．2 2C ．3D.2＋1解析：选D 因为正方形的边长为2， 所以正方形的对角线长为2， 设俯视图中圆的半径为R ， 如图，可得R ＝2＋1.8．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A ．121B ．81C ．74D ．49解析：选B 第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8；第二次循环：S ＝9，n ＝3，a ＝16； 第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24；第四次循环：S ＝49，n ＝5，a ＝32； 第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40，不满足a ≤32，退出循环，输出S 的值为81. 9.函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)A ＞0，|θ|≤π2的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B 由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．10.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36，点E ，F 分别为棱B 1B ，C 1C 上的点(异于端点)，且EF ∥BC ，则四棱锥A 1-AEFD 的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：选D 连接AF ，易知四棱锥A 1-AEFD 的体积为三棱锥F -A 1AD 和三棱锥F -A 1AE 的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，则V F -A 1AD ＝13×12×a ×h ×a ＝16a 2h ，V F -A 1AE ＝13×12×a ×h ×a ＝16a 2h ，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为13a 2h ，又a 2h ＝36，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为12.11．函数f (x )＝(2x 2＋3x )e x 的图象大致是( )解析：选A 由f (x )的解析式知，f (x )只有两个零点x ＝－32与x ＝0，排除B 、D ；又f ′(x )＝(2x 2＋7x ＋3)e x ，由f ′(x )＝0知函数有两个极值点，排除C ，故选A.12．已知函数f (x )＝ln x ＋x 与g (x )＝12ax 2＋ax －1(a ＞0)的图象有且只有一个公共点，则a 所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，23B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫32，2D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选D 设T (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x －12ax 2－ax ＋1，由题意知，当x ＞0时，T (x )有且仅有1个零点．T ′(x )＝1x ＋1－ax －a ＝x ＋1x －a (x ＋1)＝(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫1x －a ＝(x ＋1)·1x ·(1－ax )． 因为a ＞0，x ＞0，所以T (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，如图， 当x →0时，T (x )→－∞，x →＋∞时，T (x )→－∞， 所以T ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，即ln 1a ＋1a －12a －1＋1＝0， 所以ln 1a ＋12a＝0.因为y ＝ln 1x ＋12x 在x ＞0上单调递减，所以ln 1a ＋12a ＝0在a ＞0上最多有1个零点．当a ＝12时，ln 1a ＋12a >0，当a ＝1时，ln 1a ＋12a ＝12＞0，当a ＝32时，ln 1a ＋12a ＜0，当a ＝2时，ln 1a ＋12a ＜0，所以a ∈⎝⎛⎭⎫1，32. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝x 2＋axx 3是奇函数，则常数a ＝______.解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则由f (x )＋f (－x )＝0， 得x 2＋ax x 3＋x 2－ax －x 3＝0，即ax ＝0，则a ＝0. 答案：014．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，3x －5y ＋25≥0，x ＋4y －3≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示， 作出直线3x ＋y ＝0，平移该直线， 当直线经过点A 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3x －5y ＋25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝225，所以z max ＝3×(－1)＋225＝75.答案：7515．在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线，焦点位于x 轴上，且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________．解析：与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为x 23－y 2＝λ，因为双曲线焦点在x 轴上，故λ＞0，又焦点到渐近线的距离为2， 所以λ＝4，所求方程为x 212－y 24＝1.答案：x 212－y 24＝116．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 为锐角，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26，若BE ＝2DE ，S △ADE ＝423，则sin ∠BAEsin ∠DAE＝________.解析：因为在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠ABC ＝223.又∠ABC 为锐角，所以cos ∠ABC ＝13.因为BE ＝2DE ，所以S △ABE ＝2S △ADE . 又因为S △ADE ＝423，所以S △ABD ＝4 2. 因为S △ABD ＝12×BD ×AB ×sin ∠ABC ，所以BD ＝6.由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ×BD ×cos ∠ABD ，可得AD ＝4 2. 因为S △ABE ＝12×AB ×AE ×sin ∠BAE ，S △DAE ＝12×AD ×AE ×sin ∠DAE ，所以sin ∠BAE sin ∠DAE＝2×ADAB ＝4 2.答案：4 2“12＋4”限时提速练(二) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x ＜ 2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x ＜ 2，∴－1≤x ＜12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ＜12.∵ln x ≤0，∴0＜x ≤1，∴B ＝{x |0＜x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12.3．已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( ) A.12 B.13C.14D.23解析：选B 因为函数y ＝2x 是R 上的增函数， 所以函数f (x )的值域是(0,1)，由几何概型的概率公式得，所求概率P ＝1－02－(－1)＝13.4．已知B 是以线段AC 为直径的圆上的一点(异于点A ，C )，其中|AB |＝2，则 AC ―→·AB ―→＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 连接BC ，∵AC 为直径，∴∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ，AC ―→在AB ―→上的投影|AC ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝|AB ―→|＝2， ∴AC ―→·AB ―→＝|AC ―→||AB ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝4. 5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－3 B.32C ．3D ．4解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以B (2，－1)，故z max ＝2×2－1＝3.6．执行如图所示的程序框图，若输出的s ＝25，则判断框中可填入的条件是( )A ．i ≤4?B ．i ≥4?C ．i ≤5?D ．i ≥5?解析：选C 执行程序框图，i ＝1，s ＝100－5＝95；i ＝2，s ＝95－10＝85；i ＝3，s ＝85－15＝70；i ＝4，s ＝70－20＝50；i ＝5，s ＝50－25＝25；i ＝6，退出循环．此时输出的s ＝25.结合选项知，选C.7．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 根据题意可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋2φ的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝k π(k ∈Z)，φ＝k π2－π3(k ∈Z)，又φ＞0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝π6，故选B.8．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为( )A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里解析：选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S ＝14×⎣⎡⎦⎤132×152－⎝⎛⎭⎫132＋152－14222＝84(平方里)．故选C.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6解析：选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2×12×4π×12＋2×12×π×12＋2×3＋12×2π×1×3＝8π＋6.10．已知f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，23 B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤13，1解析：选B ∵函数f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋1＋b ＝0，∴b ＝1，函数f (x )的定义域为[－2,2]， 又函数f (x )在[－2,0]上单调递增，∴函数f (x )在[0,2]上单调递减， ∵f (x －1)≤f (2x )，∴f (|x －1|)≤f (|2x |)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，|x －1|≥|2x |，解得－1≤x ≤13.11．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝81，则1a 6＋4a 8的最小值是( )A.73 B ．9 C ．1D ．3解析：选C 因为{a n }为等比数列，所以a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝81，又因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 6＋a 8＝9， 所以1a 6＋4a 8＝19(a 6＋a 8)⎝⎛⎭⎫1a 6＋4a 8＝195＋a 8a 6＋4a 6a 8≥19⎝⎛⎭⎫5＋2a 8a 6×4a 6a 8＝1， 当且仅当a 8a 6＝4a 6a 8，a 6＋a 8＝9，即a 6＝3，a 8＝6时等号成立，所以1a 6＋4a 8的最小值是1.12．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线y ＝－1上，若 △ABC 为正三角形，则其边长为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选B 由题意可知，焦点F (0,1)，易知过焦点F 的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 设线段AB 的中点为M ，则M (2k,2k 2＋1)， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)(16k 2＋16)＝4(1＋k 2)． 设C (m ，－1)，连接MC ， ∵△ABC 为等边三角形，∴k MC ＝2k 2＋22k －m ＝－1k ，m ＝2k 3＋4k ，点C (m ，－1)到直线y ＝kx ＋1的距离|MC |＝ |km ＋2|1＋k 2＝32|AB |， ∴|km ＋2|1＋k2＝32×4(1＋k 2)， 即2k 4＋4k 2＋21＋k 2＝23(1＋k 2)， 解得k ＝±2， ∴|AB |＝4(1＋k 2)＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝2x ＋1，则f (1)＋f ′(1)＝________. 解析：因为f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以f ′(1)＝2，又因为点M (1，f (1))也在直线y ＝2x ＋1上，所以f (1)＝2×1＋1＝3，所以f (1)＋f ′(1)＝3＋2＝5.答案：514．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．答案：乙15．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB ―→＝3FA ―→，则此双曲线的离心率为________．解析：由F (－c,0)，A (0，b )， 得直线AF 的方程为y ＝bc x ＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝ba x 相交，联立得⎩⎨⎧y ＝bcx ＋b ，y ＝ba x ，消去x 得，y B ＝bc c －a. 由AB ―→＝3FA ―→，得y B ＝4b ，所以bcc －a＝4b ，化简得3c ＝4a ， 所以离心率e ＝43.答案：4316．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．解析：记该直角三角形为△ABC ，且AC 为斜边． 法一：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合， 取AC 的中点O ，连接BO ， ∴BO ＝12AC ，∴AC 取得最小值即BO 取得最小值，即点B 到平面ADEF 的距离． ∵△AHD 是边长为2的正三角形， ∴点B 到平面ADEF 的距离为3， ∴AC 的最小值为2 3.法二：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合， 设BH ＝m (m ≥0)，CD ＝n (n ≥0)，∴AB 2＝4＋m 2，BC 2＝4＋(n －m )2，AC 2＝4＋n 2. ∵AC 为Rt △ABC 的斜边， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即4＋m 2＋4＋(n －m )2＝4＋n 2， ∴m 2－nm ＋2＝0，∴m ≠0，n ＝m 2＋2m ＝m ＋2m ，∴AC 2＝4＋⎝⎛⎭⎫m ＋2m 2≥4＋8＝12，当且仅当m ＝2m，即m ＝2时等号成立，∴AC ≥23，故AC 的最小值为2 3. 答案：2 3“12＋4”限时提速练(三) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知a ，b ∈R ，复数a ＋b i ＝2i1－i，则a ＋b ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2解析：选C 因为a ＋b i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，所以a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.2．设集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2. 3．若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.32B.12C ．－32D ．－12解析：选C 因为sin5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝ －32， 所以点⎝⎛⎭⎫12，－32在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1， 所以sin α＝－32. 4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．根据该统计图判断，下列结论正确的是( )A ．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差D ．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值解析：选D 由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A ；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B ；由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2017年10月的方差大于11月的方差，排除C ；由统计图可知，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于10 000，故选D.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )A.33B.233C. 3D ．2解析：选D 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图，该该四棱锥的体积V ＝13S四棱锥的高h ＝3，底面ABCD 是边长分别为2，3的矩形，所以四边形ABCD×h ＝13×2×3×3＝2.故选D.6．在如图所示的程序框图中，如果输入a ＝1，b ＝1，则输出的S ＝( )A ．7B ．20C ．22D ．54解析：选B 执行程序，a ＝1，b ＝1，S ＝0，k ＝0，k ≤4，S ＝2，a ＝2，b ＝3；k ＝2，k ≤4，S ＝7，a ＝5，b ＝8；k ＝4，k ≤4，S ＝20，a ＝13，b ＝21；k ＝6，不满足k ≤4，退出循环．则输出的S ＝20.7．已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为( )A ．3＋6或3－ 6B ．3＋26或3－2 6C ．9或－3D ．8或－2解析：选A 由题知圆C 的圆心为C (0,3)，半径为6，取AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，在△ACD 中，|AC |＝6，∠ACD ＝60°，所以|CD |＝62，由点到直线的距离公式得|－3＋m |(3)2＋1＝62，解得m ＝3±6. 8．若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z 解析：选B 由正切函数的图象知，直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象没有公共点时，a ＝12，所以tan x ≥2a ，即tan x ≥1，其解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z . 9．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018的值是( )A.4 0352 018 B.4 0332 017C.2 0172 018D.2 0162 017解析：选B 由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n ＝2n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，所以b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2.当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ， 所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 016－12 017＝2－12 017＝4 0332 017.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋a ，x ＜1，ln x ＋1，x ≥1，若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－∞，5)D ．(－∞，5]解析：选C 法一：当x ≥1时，由ln x ＋1＝2，得x ＝e.由方程f (x )＝2有两个解知，当x ＜1时，方程x 2－4x ＋a ＝2有唯一解．令g (x )＝x 2－4x ＋a －2＝(x －2)2＋a －6，则g (x )在(－∞，1)上单调递减，所以当x ＜1时，g (x )＝0有唯一解，则g (1)＜0，得a ＜5，故选C.法二：随着a 的变化引起y ＝f (x )(x ＜1)的图象上下平移，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图象知，要使f (x )＝2有两个解，则 a －3<2，得a <5.11．已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝2|Q F |，且∠PF Q ＝120°，则椭圆E 的离心率为( )A.13 B.12C.33D.22解析：选C 设F 1是椭圆E 的右焦点，如图，连接PF 1，Q F 1.根据对称性，线段FF 1与线段P Q 在点O 处互相平分，所以四边形PF Q F 1是平行四边形，|F Q |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PF Q ＝60°，根据椭圆的定义得|PF |＋|PF 1|＝2a ，又|PF |＝2|Q F |， 所以|PF 1|＝23a ，|PF |＝43a ，而|F 1F |＝2c ，在△F 1PF 中，由余弦定理，得(2c )2＝⎝⎛⎭⎫23a 2＋⎝⎛⎭⎫43a 2－2×23a ×43a ×cos 60°，化简得c 2a 2＝13， 所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝33.12．已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e 24 B.⎝⎛⎦⎤－∞，e2 C ．(0,2] D ．[2，＋∞)解析：选A f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋k (2－x )x ＝(x －2)(e x －kx 2)x 3(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或e x ＝kx 2(x ＞0)．由x ＝2是函数f (x )的唯一极值点知e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立或e x ≤kx 2(x ＞0)恒成立， 由y ＝e x (x ＞0)和y ＝kx 2(x ＞0)的图象可知，只能是e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立．当x ＞0时，由e x ≥kx 2，得k ≤exx 2.设g (x )＝e xx2，则k ≤g (x )min .由g ′(x )＝e x (x －2)x 3，得当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝e 24，所以k ≤e 24.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝1，|2a ＋b |＝22，则|b |＝________. 解析：法一：因为|2a ＋b |＝22， 所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.又|a |＝1，所以4×1＋4×0＋b 2＝8，所以|b |＝2. 法二：如图，作出OA ―→＝2a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝2a ＋b ， 因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ，因为|a |＝1，|2a ＋b |＝22， 所以|OA ―→|＝2，|OC ―→|＝22， 所以|OB ―→|＝|b |＝2.法三：因为a ⊥b ，所以以O 为坐标原点，以a ，b 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，因为|a |＝1，所以a ＝(1,0)，设b ＝(0，y )(y ＞0)，则2a ＋b ＝(2，y )，因为|2a ＋b |＝22，所以4＋y 2＝8，解得y ＝2，所以|b |＝2.答案：214．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x －y ＋4≥0，2x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋3y ＝0，并平移该直线，当直线经过点A (0，4)时，目标函数z ＝x ＋3y 取得最大值，且z max ＝12.答案：1215．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A ＝b cos B ，则△ABC的面积等于________．解析：由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即tan A ＝tan B ，所以A ＝B ，即a ＝b .由cos C ＝14且c＝3，结合余弦定理a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，得a ＝b ＝6，又sin C ＝1－cos 2 C ＝154，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3154. 答案：315416．如图，等腰三角形PAB 所在平面为α，PA ⊥PB ，AB ＝4，C ，D 分别为PA ，AB 的中点，G 为CD 的中点．平面α内经过点G 的直线l 将△PAB 分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点P ′(P ′∉平面α)．若点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段P ′H 的长度的取值范围是________．解析：在等腰三角形PAB 中，∵PA ⊥PB ，AB ＝4， ∴PA ＝PB ＝2 2.∵C ，D 分别为PA ，AB 的中点， ∴PC ＝CD ＝2且PC ⊥CD . 连接PG ，P ′G ，∵G 为CD 的中点，∴PG ＝P ′G ＝102. 连接HG ，∵点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上， ∴P ′H ⊥平面α，∴P ′H ⊥HG ，∴HG ＜P ′G ＝102. 易知点G 到线段AB 的距离为12，∴HG ≥12，∴12≤HG ＜102.又P ′H ＝⎝⎛⎭⎫1022－HG 2， ∴0＜P ′H ≤32.答案：⎝⎛⎦⎤0，32“12＋4”限时提速练(四) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数z ＝2＋i1－i的共轭复数对应的点在复平面内位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 复数z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋3i 2＝12＋32i ，则复数z 的共轭复数为z ＝12－32i ，所以复数z 的共轭复数对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫12，－32，该点位于第四象限． 2．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≥1，N ＝{}y |y ＝1－x 2 ，则M ∩N ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2]解析：选B 由2x ≥1得x －2x ≤0， 解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}； 函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]，则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208解析：选C 依题意得3a 7＝24，a 7＝8，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝104，选C. 4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝ －2x ，则f (1)＋f (4)等于( )A.32 B ．－32C ．－1D ．1解析：选B 由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数， 又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( ) A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5解析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB ―→|＝5， 因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5. 6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 A ．07 B ．25 C ．42D ．52解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.7．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( ) A .34 B.23C .12D.14解析：选D 作出不等式表示的平面区域如图所示， 故所求概率P (y ≤2x)＝12×12×11×1＝14.8．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，23，4，则其外接球的表面积为( ) A ．48π B ．32π C ．20πD ．12π解析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R ，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R ＝1222＋(23)2＋42＝22，因此三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝32π.9．已知点P ，A ，B 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A.233B.153 C ．2D.102解析：选A 根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，所以⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a2，因为直线PA ，PB 的斜率之积为13，所以k PA ·k PB ＝y 1－y 2 x 1－x 2·－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22 x 21－x 22＝b 2a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a 2＝ 1＋13＝233. 10．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12C ．－12D ．－32解析：选D 依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32. 11．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为( )A .12 B.24 C .22D.32解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫a 2a 2＝22. 12．已知函数f (x )＝x 3－3x ，则方程f [f (x )]＝1的实根的个数是( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3解析：选A 依题意得f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x>1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，且f(－1)＝f (2)＝2，f (1)＝－2，f (±3)＝f (0)＝0.在平面直角坐标系内画出直线y ＝1与函数y ＝f(x )的图象(图略)，结合图象可知，它们共有三个不同的交点， 记这三个交点的横坐标由小到大依次为x 1，x 2，x 3， 则－3<x 1<－1<x 2<0，3<x 3<2.再画出直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3，结合图象可知，直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3与函数y ＝f (x )的图象的交点个数均为3，且这些交点的横坐标各不相同，所以方程f [f (x )]＝1的实根个数是9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________.解析：因为当x <0时，f (x )＝2x ，令x >0，则－x <0，故f (－x )＝2－x ，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－2－x ，又因为log 49＝log 23>0，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13. 答案：－1314．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________. 解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14， 由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件； 由cos α－sin α＝14， 两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516. 答案：151615．已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交准线于B ，C 两点，若△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积为1283，则抛物线的方程为________． 解析：如图，可得|BF |＝2p 3，则由抛物线的定义知点A 到准线的距离也为2p 3，又△ABC 的面积为1283，所以12×2p 3×2p 3＝1283，解得p ＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x16．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n ＝1a n ＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，所以a n ＋1＋b n ＋1a n ＋b n＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n ， 将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘，得a n ＋1b n ＋1a n b n＝2， 所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n， 所以c n ＝a n ＋b n a n b n ＝2n2n －1＝2， 数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036. 答案：4 036。