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重庆2020级高三下5月调研测试卷(二诊康德)理数答案

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2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(二)

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(二)

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{1, 2, 3, 4}2. 已知复数z1=1−i2+i ，z2=11−2i，则z1−z2的虚部为（）A.−1B.0C.1D.23. 已知函数f(x)＝2x，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R4. 已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不一定成立的是（）A.a+c>b+dB.a−d>b−cC.a c >bdD.√ac>√bd5. 己知命题p:∀x>0，lgx<lnx，q:∃x>0，x2<√x，则下列命题中真命题是（）A.p∧qB.p∧(￢q)C.p∨qD.p∨(￢q)6. (x√x)7的展开式中x的系数为（）A.560B.1120C.−35D.2807. 历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1＝3，23−1＝7，25−1＝31，27−1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（）A.25B.29C.27D.288. 若函数f(x)=sin2x2+2cos2x+ax存在单调递减区间，则实数a的取值范團是（）A.a≥1 B.a≥√5 C.a<1 D.a<√59. 若不等式组{x+y≤1x−y≥−1y≥0，所表示的平面区域被直线x+y＝z分成面积相等的两部分；则z＝（）A.1 2B.√22C.√2−1D.2√2−110. 函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向左平移π12 B.向左平移π6 C.向右平移π12D.向右平移π611. 如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（ ） A.12 B.44 C.58 D.7612. 如图，F I ，F 2是双曲线C:x 2a2−y 23=1(a >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于点A ，△APF 1的内切圆与边PF 1切于点Q ，且|PQ|＝4，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.√72C.2√33D.√194二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方．重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________．在等腰梯形ABCD 中，DC →=2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →=a ，DC →=b →，若用a →，b →表示DF →，则DF →=________．若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为________．设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n −2(n ∈N ∗)，若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n +n ． （1）证明：{a n −1}为等比数列；（2）设b n=log√2|a n−1|，若不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1b n b n+1<t对∀n∈N∗恒成立，求t的最小值．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分10，被抽取的员工的评分结果如表：（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．如图，在四边形ABCD中，A为锐角，2cosAsin(A+C)=√3sin(C−π6)．（1）求A+C；（2）设△ABD、△CBD的外接圆半径分别为r1，r2，若1r1+1r2≤mDB恒成立，求实数m的最小值．已知函数f(x)＝aln(x+1)+x2−ax，a≠0．（1）当a>0时，求f(x)的单调区间（2）若存在x∈(−1, +∞)使得f(x)<a+1成立，求a的取值范围．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P为抛物线C上一点，|PF|＝4，O为坐标原点，∠OFP＝120∘．（1）求抛物线C的方程；（2）设Q为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于A，B两点记△QAB，△OAB的面积分别为S1，S2，求1S2−1S1的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P(−1, 2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x +1|+|2x −1|． （1）解不等式f(x)≤2；（2）若f(x)≥3a 2+b 2对任意x ∈R 恒成立，求a +b 的取值范围．参考答案与试题解析2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}＝{x|−√6<x<√6}，∴A∩B＝{1, 2}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z1−z2得答案．【解答】∵z1=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−35i，z2=11−2i =1+2i(1−2i)(1+2i)=15+25i，∴z1−z2=15−35i−15−25i=−i，∴z1−z2的虚部为−1．3.【答案】B【考点】函数的值域及其求法【解析】利用指数函数的性质容易求出值域．【解答】由指数函数的性质可知，函数f(x)＝2x的值域为(0, +∞)，令t＝2x，则t>0，∴f（f(x)）＝f(t)＝2t>20＝1，即所求函数的值域为(1, +∞)．4.【答案】C【考点】不等式的基本性质 【解析】根据不等式的基本性质可判断ABD 是否成立，取特殊值可知C 不一定成立． 【解答】A ．∵ a >b >0，c >d >0，∴ a +c >b +d ，故A 成立；B ．∵ c >d >0，∴ −d >−c ，又a >b >0，∴ a −d >b −c ，故B 成立；C ．由a >b >0，c >d >0，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，则ac =bd ，故C 不一定成立； D ．∵ a >b >0，c >d >0，∴ ac >bd >0，∴ √ac >√bd ． 5.【答案】 C【考点】复合命题及其真假判断 【解析】对于命题p ：当x ＝1时，lgx ＝lnx ＝0，p 为假命题，对于命题q ：当x =12时，x 2=14<√x =√22，q 为真命题．再对四个选项中复合命题判断真假． 【解答】对于命题p ：当x ＝1时，lgx ＝lnx ＝0，所以命题p:∀x >0，lgx <lnx ，为假命题， 对于命题q ：当x =12时，x 2=14<√x =√22，所以命题q:∃x >0，x 2<√x ，为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∧(￢q)为假命题，p ∨q 为真命题，p ∨(￢q)为假命题． 6.【答案】 A【考点】二项式定理及相关概念 【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x 的系数． 【解答】 (x √x)7的展开式的通项公式为 T r+1=C 7r (−2)r x 7−32r ，则令7−3r 2=1，求得r ＝4，可得x 的系数为 C 74⋅⋅(−2)4＝560，7.【答案】 C【考点】 归纳推理 【解析】根据题意，利用常用对数估算即可． 【解答】lg(289−1)≈89lg2≈26.789，故289−1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27， 8.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由题意可得，f ′(x)＝cos2x −2sin2x +a <0有解，分离系数后转化为求解最值． 【解答】由题意可得，f ′(x)＝cos2x −2sin2x +a <0有解，则a <2sin2x −cos2x =√5sin(2x +φ)有解，即a <[√5sin(2x +φ)]max ， 所以a <√5． 9.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线将平面区域分成面积相等的两部分，求出相应的坐标即可得到k 的值． 【解答】由图可知，x +y ＝z 将可行域划分为两块区域，{x +y =z x −y =−1 ⇒{x =z −12y =z +12 ⇒D(z −1, z +1) 其中AE ＝z −(−1)＝z +1；∴ 三角形ADE 部分的面积等于△ABC 的12； 即S =12(z +1)⋅z+12=12⇒z =√2−1（负值舍）．10.【答案】 C【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f(x)的解析式，再利用y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】由函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, −π<φ<0)的部分图象，可得A＝2，由f(0)＝1，f(2π3)＝−2可得，ω＝2，φ=−π3，∴f(x)＝2cos(2x−π3)＝2sin(2x+π6)＝2sin[2(x+π12)]，故可将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到y＝2sin2x的图象．11.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，按四位数的尾数分4种情况讨论，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案．【解答】根据题意，分4种情况讨论：若尾数为1：则前三位的数字可能为027，036，045，共C21⋅A22⋅3=12，还可能为234，有A33=6种；若尾数为3：则前三位的数字可能为016，025，共C21⋅A22⋅2=8，还可能为124，有A33=6种；若尾数为5：则前三位的数字可能为014，023，045，共C21⋅A22⋅2=8；若尾数为7：则前三位的数字可能为012，共C21⋅A22=4．综上所述，共有12+6+8+6+8+4＝44种；12.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】利用已知条件，结合双曲线的定义与性质，通过直线与圆相切，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】PQ＝PF1−F1Q＝PF1−F1M＝PF1−NF2＝PF1−(PF2+PQ)⇒PQ=12(PF1−PF2)=a，∴a＝4，b=√3，∴c=√19，所以双曲线的离心率为：e=√194．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】5【考点】分层抽样方法由题意利用分层抽样的定义和方法，先求出其它地区贫困户占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 【解答】其它地区贫困户占的比例为1−48%−32%＝20%，故课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是25×20%＝5户， 【答案】34b →+12a → 【考点】平面向量的基本定理 【解析】由平面向量基本定理化简计算即可． 【解答】DF →=12DB →+12DC →=12(DA →+AB →)+12DC →=34DC →+12DA →． 【答案】 1e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设曲线的切点为(x 0, lnx 0+1)，则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，一一对应表示出ab =lnx 0x 0，令g(x)=lnx x，根据其导数判断出其最大值即可．【解答】设切点为(x 0, lnx 0+1)，则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g(x)=lnx x，所以g′(x)=1−lnx x 2，所以g(x)在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e ，【答案】 −2【考点】 数列递推式 【解析】推导出 a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n <−2，该数列单调递增，无限趋于−2；若a n ＝−2，该数列为常数列，即a n ＝2．由此能求出λ的最小值． 【解答】a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)， 若a n <−2，则a n+1>a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于−2；若a n＝−2，则a n+1＝a n，该数列为常数列，即a n＝2．综上所述，λ≥−2．∴λ的最小值是−2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1−1，⇒a n−1＝2(a n−1−1)(n≥2)，所以：{a n−1}为等比数列，公比为2．令n＝1，则有S1＝2a1+1⇒a1＝−1，所以a n−1=(a1−1)⋅2n−1=−2n，所以a n=1−2n，令b n=log√2|a n−1|=log√22n=2n，令c n=1b n b n+1=14(1n−1n+1)，所以1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=14(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=14(1−1n+1)<14，所以t≥14．所以t的最小值为14．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）通过a n＝S n−S n−1，推出a n−1＝2(a n−1−1)(n≥2)，即可判断{a n−1}为等比数列．（2）求出首项以及a n=1−2n，化简b n=log√2|a n−1|=log√22n=2n，化简c n=1b n b n+1=14(1n−1n+1)，通过裂项消项法求解数列的和，即可求解t的最小值．【解答】a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1−1，⇒a n−1＝2(a n−1−1)(n≥2)，所以：{a n−1}为等比数列，公比为2．令n＝1，则有S1＝2a1+1⇒a1＝−1，所以a n−1=(a1−1)⋅2n−1=−2n，所以a n=1−2n，令b n=log√2|a n−1|=log√22n=2n，令c n=1b n b n+1=14(1n−1n+1)，所以1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=14(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=14(1−1n+1)<14，所以t≥14．所以t的最小值为14．【答案】设事件A 为两人中至少一人评分不低于80，事件B 为甲企业评分人员低于8； 则P(B|A)=n(AB)n(A)=2×78×8−2×1=731由题意知，ξ∼B(4, 14)，则P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ． 所以其分布列如下：E(ξ)=4×14=1．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）根据条件概率的计算公式求解即可；（2）根据ξ∼B(4, 14)，得到P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ．进而求出结论 【解答】设事件A 为两人中至少一人评分不低于80，事件B 为甲企业评分人员低于8； 则P(B|A)=n(AB)n(A)=2×78×8−2×1=731由题意知，ξ∼B(4, 14)，则P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ． 所以其分布列如下：E(ξ)=4×14=1．【答案】因为sin(2A +C)+sinC =32sinC −√32cosC ⇒sin(2A +C)=sin(C −π3)，所以2A +C +C −π3=π⇒A +C =2π3．由于m ≥BD r 1+BD r 2=2sinA +2sinC =2sinA +2sin(2π3−A)=3sinA +√3cosA =2√3sin(A +π6)，又A ∈(0,π2)，A +π6∈(π6, 2π3)，可得sin(A +π6)∈(12, 1],2√3sin(A +π6)∈(√3, 2√3]， 所以m ≥2√3．所以实数m 的最小值2√3．【考点】 正弦定理两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，利用正弦函数的性质可求A +C 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用可求m ≥2√3sin(A +π6)，由题意A ∈(0,π2)，可求A +π6∈(π6, 2π3)，利用正弦函数的性质即可求解m 的最小值．【解答】因为sin(2A +C)+sinC =32sinC −√32cosC ⇒sin(2A +C)=sin(C −π3)，所以2A +C +C −π3=π⇒A +C =2π3．由于m ≥BD r 1+BD r 2=2sinA +2sinC =2sinA +2sin(2π3−A)=3sinA +√3cosA =2√3sin(A +π6)，又A ∈(0,π2)，A +π6∈(π6, 2π3)，可得sin(A +π6)∈(12, 1],2√3sin(A +π6)∈(√3, 2√3]， 所以m ≥2√3．所以实数m 的最小值2√3．【答案】f ′(x)=ax+1+2x −a =x(2x+2−a)x+1，当0<a <2时， 则x ∈(−1,a−22)，f′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(a−22, 0)，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(0, +∞)，f′(x)>0，单调递增， 当a ＝2时，f′(x)=2x 2x+1≥0恒成立，故f(x)在(−1, +∞)上单调递增；当a >2时，当x ∈(−1, 0)，f′(x)>0，函数单调递增，x ∈(a−22, +∞)，f′(x)>0，单调递增，x ∈(0, a−22)，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≤0时，结合（1）可得f(x)(−1, 0)单调递减，(0, +∞)单调递增； f(x)min ＝f(0)＝0<a +1⇒a >−1；当a ≥0时，当x →−1时f(x)→−∞，所以必然存在． 综上所述a >−1． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．（2）结合（1）单调性的讨论，可转化为求解函数的最值，即可求解． 【解答】 f ′(x)=a x+1+2x −a =x(2x+2−a)x+1，当0<a <2时， 则x ∈(−1,a−22)，f′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(a−22, 0)，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(0, +∞)，f′(x)>0，单调递增， 当a ＝2时，f′(x)=2x 2x+1≥0恒成立，故f(x)在(−1, +∞)上单调递增；当a >2时，当x ∈(−1, 0)，f′(x)>0，函数单调递增，x ∈(a−22, +∞)，f′(x)>0，单调递增，x ∈(0, a−22)，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≤0时，结合（1）可得f(x)(−1, 0)单调递减，(0, +∞)单调递增； f(x)min ＝f(0)＝0<a +1⇒a >−1；当a ≥0时，当x →−1时f(x)→−∞，所以必然存在． 综上所述a >−1． 【答案】（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ， 则有AB =4sin 2θ，QD =QO +OD =1sinθ+sinθ， 所以S 1=12AB ⋅QD =2(1+sin 2θ)sin 3θ，S 2=12AB ⋅OD =2sinθ，所以1S 1−1S 2=−sinθ2(1+sin θ)=12×−1sinθ+1sinθ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S 1−1S 2∈[−14,0)．【考点】直线与抛物线的位置关系 抛物线的性质 【解析】（1）由题可知，P(p2+2,2√3)，代入抛物线C:y 2＝2px ，得：12＝2p(p2+2)，求出p 的值，即可得到抛物线C 方程；（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ，则有AB =4sin 2θ，QD =QO +OD =1sinθ+sinθ，所以S 1=12AB ⋅QD =2(1+sin 2θ)sin 3θ，S 2=12AB ⋅OD =2sinθ，所以1S 1−1S 2=−sinθ2(1+sin 2θ)=12×−1sinθ+1sinθ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S 1−1S 2∈[−14,0)．【解答】（1）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0．曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．转换为直角坐标方程为x 22+y 2=1．直线l 的参数方程为{x =−1+t y =2−t （t 为参数），转换为标准式为{x =−1−√22t y =2+√22t ，（t为参数），代入C 方程得到：3t 2+6√2t +14=0， 所以：t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=143．则|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=2√2．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0．曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．转换为直角坐标方程为x 22+y 2=1．直线l 的参数方程为{x =−1+t y =2−t （t 为参数），转换为标准式为{x =−1−√22t y =2+√22t ，（t 为参数），代入C 方程得到：3t 2+6√2t +14=0， 所以：t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=143．则|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=2√2． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 【答案】函数f(x)＝|x +1|+|2x −1|，当x ≥12时，不等式f(x)≤2可化为x +1+2x −1≤2， 解得：12≤x ≤23；当−1<x <12时，不等式f(x)≤2可化为x +1+1−2x ≤2， 解得：0≤x <12；当x ≤−1时，不等式f(x)≤2可化为−x −1+1−2x ≤2， 解得：x ≥−23（不合题意，舍去）； 所以不等式f(x)≤2的解集是[0, 23]；f(x)＝|x +1|+|2x −1|={3x,x ≥12−x +2,−1<x <12−3x,x ≤−1，画出y ＝f(x)的图象，如图所示；由图象知f(x)的最小值是32，所以不等式f(x)≥3a 2+b 2对任意x ∈R 恒成立，化为3a 2+b 2≤32，即2a2+23b2≤1；它表示焦点在纵轴上的椭圆面，如图所示；设2a2＝cos2θ，23b2＝sin2θ，其中θ∈[0, 2π)；所以a=√22cosθ，b=√62sinθ，a+b=√22cosθ+√62sinθ=√2sin(θ+π6)；当θ+π6=π2，即θ=π3时，a+b取得最大值为√2；当θ+π6=3π2，即θ=4π3时，a+b取得最小值为−√2；所以a+b的取值范围是[−√2, √2]．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）利用分段函数法去掉绝对值，解不等式即可；（2）求出函数f(x)的最小值，把不等式化为3a2+b2≤32，结合题意画出图形，利用参数法求出a+b的最大、最小值，求出a+b的取值范围．【解答】函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|，当x≥12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+2x−1≤2，解得：12≤x≤23；当−1<x<12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+1−2x≤2，解得：0≤x<12；当x≤−1时，不等式f(x)≤2可化为−x−1+1−2x≤2，解得：x≥−23（不合题意，舍去）；所以不等式f(x)≤2的解集是[0, 23]；f(x)＝|x+1|+|2x−1|={3x,x≥12−x+2,−1<x<12−3x,x≤−1，画出y＝f(x)的图象，如图所示；由图象知f(x)的最小值是32，所以不等式f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，化为3a2+b2≤32，即2a2+23b2≤1；它表示焦点在纵轴上的椭圆面，如图所示；设2a2＝cos2θ，23b2＝sin2θ，其中θ∈[0, 2π)；所以a=√22cosθ，b=√62sinθ，a+b=√22cosθ+√62sinθ=√2sin(θ+π6)；当θ+π6=π2，即θ=π3时，a+b取得最大值为√2；当θ+π6=3π2，即θ=4π3时，a+b取得最小值为−√2；所以a+b的取值范围是[−√2, √2]．。

重庆市2020届“二诊”理综答案(康德试卷)

重庆市2020届“二诊”理综答案(康德试卷)

2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科综合能力测试生物参考答案1～6 DCACCB解析：1． D。

大肠杆菌的遗传控制中心是拟核，细胞的“系统边界”是细胞膜，真菌分泌纤维素酶需要高尔基体参与，ABC 正确，洋葱根尖分生区细胞是高等植物细胞，无中心体，D错误。

2． C。

在植物成熟组织中，生长素可通过韧皮部进行非极性运输；激素经体液运输可作用于靶器官或靶细胞；胰岛素属于分泌蛋白，经内质网→高尔基体→细胞膜以囊泡形式运输；ABD正确。

神经递质经突触间隙的组织液通过物理扩散作用于突触后膜，无载体蛋白参与转运，C错误。

3． A。

病毒是严格营寄生生活的生物，只能在活细胞中增殖，侵入人体后人体会发生，B细胞和T细胞的增殖分化、效应T细胞识别靶细胞、产生针对该病毒的记忆细胞等特异性的免疫应答反应，BCD正确，A错误。

4． C。

该雄性动物的基因型为AaBb，据图分析可知，四分体时期发生了交叉互换，一个精原细胞减数分裂产生AB、Ab、aB和ab四个精子，A错误；两对基因位于一对同源染色体上，不遵循基因的自由组合定律，B错误；减数第一次和第二次分裂中都有A 与a分离，C正确；图示染色体片段互换属于基因重组，D错误。

5． C。

尿液中有生长素，能促进扦插的枝条生根，A正确；木瓜果实释放的乙烯促进果实成熟，B正确；“螟蛉有子，蜾蠃负之”说的是螟蛉与蜾蠃之间是捕食关系，此过程中能量由螟蛉流向蜾蠃，C错误；“种豆南山下，草盛豆苗稀”豆苗和杂草是竞争关系，豆苗在竞争中处于劣势，D正确。

6． B。

据系谱图分析，该病为伴X隐性遗传病，故A错误；Ⅲ3的致病基因不可能来自Ⅰ3，故C错误，Ⅱ2个体是杂合子，而Ⅲ2可能是杂合子也可能是纯合子，故D错误，根据伴性遗传的的特点，Ⅳ1个体携带致病基因的概率为1/4，B正确。

29．（10分）（1）叶绿体基质（1分）C5和酶（1分）（2）甲不变，乙减少（2分）（3）甲＜乙（1分）总光合作用速率等于呼吸速率加上净光合速率，600Lx 时，两组净光合速率相等，但甲组的呼吸速率小于乙组的呼吸速率（2分）（4）突变体（1分）突变体的气孔导度大，进入叶片的CO2多，而胞间CO2浓度与普通相近（1分），说明突变体的光合速率较高，能较快地消耗CO2（1分）【解析】考查了光合作用的过程、场所及影响因素相关知识点（1）光合作用暗反应的具体场所在叶绿体基质，光反应产生的[H]和ATP中活跃的化学能可以为暗反应提供能量，暗反应涉及CO2的固定和C3的还原，需要C5固定和酶的催化。

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(二)(含解析)

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(二)(含解析)

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{1, 2, 3, 4}2.已知复数z1=1−i2+i ，z2=11−2i，则z1−z2的虚部为（）A.−1B.0C.1D.23.已知函数f(x)＝2x，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R4.已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不一定成立的是（）A.a+c>b+dB.a−d>b−cC.ac >bdD.√ac>√bd5.己知命题p:∀x>0，lgx<lnx，q:∃x>0，x2<√x，则下列命题中真命题是（）A.p∧qB.p∧(￢q)C.p∨qD.p∨(￢q)6.(x−√x)7的展开式中x的系数为（）A.560B.1120C.−35D.2807.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1＝3，23−1＝7，25−1＝31，27−1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（）A.25B.29C.27D.288.若函数f(x)=sin2x2+2cos2x+ax存在单调递减区间，则实数a的取值范團是（）A.a≥1B.a≥√5C.a<1D.a<√59.若不等式组{x+y≤1x−y≥−1y≥0，所表示的平面区域被直线x+y＝z分成面积相等的两部分；则z＝（）A.12B.√22C.√2−1D.2√2−110.函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向左平移π12B.向左平移π6C.向右平移π12D.向右平移π611.如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A.12B.44C.58D.7612.如图，F I ，F 2是双曲线C:x 2a 2−y 23=1(a >0)的左、右焦点，点P 是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F 2P 与y 轴的正半轴交于点A ，△APF 1的内切圆与边PF 1切于点Q ，且|PQ|＝4，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.√72C.2√33D.√194二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方．重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________．在等腰梯形ABCD 中，DC →=2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →=a ，DC →=b →，若用a →，b →表示DF →，则DF →=________．若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为________．设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n −2(n ∈N ∗)，若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n+n．（1）证明：{a n−1}为等比数列；（2）设b n=log√2|a n−1|，若不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋯+1b n b n+1<t对∀n∈N∗恒成立，求t的最小值．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分10，被抽取的员工的评分结果如表：（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．如图，在四边形ABCD中，A为锐角，2cosAsin(A+C)=√3sin(C−π6)．（1）求A+C；（2）设△ABD、△CBD的外接圆半径分别为r1，r2，若1r1+1r2≤mDB恒成立，求实数m的最小值．已知函数f(x)＝aln(x+1)+x2−ax，a≠0．（1）当a>0时，求f(x)的单调区间（2）若存在x∈(−1, +∞)使得f(x)<a+1成立，求a的取值范围．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P为抛物线C上一点，|PF|＝4，O为坐标原点，∠OFP＝120∘．（1）求抛物线C的方程；（2）设Q为抛物线C的准线上一点，过点F且垂直于OQ的直线交抛物线C于A，B两点记△QAB，△OAB的面积分别为S1，S2，求1S2−1S1的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−1+ty=2−t（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P(−1, 2)，直线l与曲线C相交于AB两点，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|．（1）解不等式f(x)≤2；（2）若f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，求a+b的取值范围．2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{1, 2, 3, 4}【解答】∵集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}＝{x|−√6<x<√6}，∴A∩B＝{1, 2}．2.已知复数z1=1−i2+i ，z2=11−2i，则z1−z2的虚部为（）A.−1B.0C.1D.2【解答】∵z1=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−35i，z2=11−2i =1+2i(1−2i)(1+2i)=15+25i，∴z1−z2=15−35i−15−25i=−i，∴z1−z2的虚部为−1．3.已知函数f(x)＝2x，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R【解答】由指数函数的性质可知，函数f(x)＝2x的值域为(0, +∞)，令t＝2x，则t>0，∴f（f(x)）＝f(t)＝2t>20＝1，即所求函数的值域为(1, +∞)．4.已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不一定成立的是（）A.a+c>b+dB.a−d>b−cC.ac >bdD.√ac>√bd【解答】A．∵a>b>0，c>d>0，∴a+c>b+d，故A成立；B ．∵c >d >0，∴−d >−c ，又a >b >0，∴a −d >b −c ，故B 成立；C ．由a >b >0，c >d >0，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，则ac=bd ，故C 不一定成立；D ．∵a >b >0，c >d >0，∴ac >bd >0，∴√ac >√bd ．5.己知命题p:∀x >0，lgx <lnx ，q:∃x >0，x 2<√x ，则下列命题中真命题是（ ） A.p ∧q B.p ∧(￢q) C.p ∨q D.p ∨(￢q)【解答】对于命题p ：当x ＝1时，lgx ＝lnx ＝0， 所以命题p:∀x >0，lgx <lnx ，为假命题， 对于命题q ：当x =12时，x 2=14<√x =√22， 所以命题q:∃x >0，x 2<√x ，为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∧(￢q)为假命题，p ∨q 为真命题，p ∨(￢q)为假命题． 6.(x −√x)7的展开式中x 的系数为（ ） A.560 B.1120 C.−35 D.280【解答】 (x −√x)7的展开式的通项公式为T r+1=C 7r (−2)r x 7−32r ，则令7−3r 2=1，求得r ＝4，可得x 的系数为C 74⋅⋅(−2)4＝560，7.历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p −1（p 是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1＝3，23−1＝7，25−1＝31，27−1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（ ） A.25 B.29 C.27 D.28【解答】lg(289−1)≈89lg2≈26.789，故289−1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27，8.若函数f(x)=sin2x2+2cos2x+ax存在单调递减区间，则实数a的取值范團是（）A.a≥1B.a≥√5C.a<1D.a<√5【解答】由题意可得，f′(x)＝cos2x−2sin2x+a<0有解，则a<2sin2x−cos2x=√5sin(2x+φ)有解，即a<[√5sin(2x+φ)]max，所以a<√5．9.若不等式组{x+y≤1x−y≥−1y≥0，所表示的平面区域被直线x+y＝z分成面积相等的两部分；则z＝（）A.12B.√22C.√2−1D.2√2−1【解答】由图可知，x+y＝z将可行域划分为两块区域，{x+y=zx−y=−1⇒{x=z−12y=z+12⇒D(z−12, z+12)其中AE＝z−(−1)＝z+1；∴三角形ADE部分的面积等于△ABC的12；即S=12(z+1)⋅z+12=12⇒z=√2−1（负值舍）．10.函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如图所示，要得到函数y＝Asinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向左平移π12B.向左平移π6C.向右平移π12D.向右平移π6【解答】由函数f(x)＝Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0, −π<φ<0)的部分图象，可得A＝2，由f(0)＝1，f(2π3)＝−2可得，ω＝2，φ=−π3，∴f(x)＝2cos(2x−π3)＝2sin(2x+π6)＝2sin[2(x+π12)]，故可将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到y＝2sin2x的图象．11.如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A.12B.44C.58D.76【解答】根据题意，分4种情况讨论：若尾数为1：则前三位的数字可能为027，036，045，共C21⋅A22⋅3=12，还可能为234，有A33=6种；若尾数为3：则前三位的数字可能为016，025，共C21⋅A22⋅2=8，还可能为124，有A33=6种；若尾数为5：则前三位的数字可能为014，023，045，共C21⋅A22⋅2=8；若尾数为7：则前三位的数字可能为012，共C21⋅A22=4．综上所述，共有12+6+8+6+8+4＝44种；12.如图，F I，F2是双曲线C:x 2a −y23=1(a>0)的左、右焦点，点P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于点A，△APF1的内切圆与边PF1切于点Q，且|PQ|＝4，则双曲线C的离心率为（）A.2B.√72C.2√33D.√194【解答】PQ ＝PF 1−F 1Q ＝PF 1−F 1M ＝PF 1−NF 2＝PF 1−(PF 2+PQ) ⇒PQ =12(PF 1−PF 2)=a ，∴a ＝4，b =√3，∴c =√19， 所以双曲线的离心率为：e =√194． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方．重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________． 【解答】其它地区贫困户占的比例为1−48%−32%＝20%，故课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是25×20%＝5户，在等腰梯形ABCD 中，DC →=2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →=a ，DC →=b →，若用a →，b →表示DF →，则DF →=________． 【解答】DF →=12DB →+12DC →=12(DA →+AB →)+12DC →=34DC →+12DA →．若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝lnx +1相切，则ab 的最大值为________． 【解答】设切点为(x 0, lnx 0+1)，则切线为y =1x 0(x −x 0)+lnx 0+1=1x 0x +lnx 0，所以1x 0=a ，lnx 0＝b ，则ab =lnx 0x 0，令g(x)=lnx x，所以g′(x)=1−lnx x 2，所以g(x)在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e ，设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n −2(n ∈N ∗)，若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是________． 【解答】a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n <−2，则a n+1>a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于−2；若a n ＝−2，则a n+1＝a n ，该数列为常数列，即a n ＝2． 综上所述，λ≥−2． ∴λ的最小值是−2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n +n ． （1）证明：{a n −1}为等比数列； （2）设b n =log √2|a n −1|，若不等式1b 1b 2+1b2b 3+1b3b 4+⋯+1bn b n+1<t 对∀n ∈N ∗恒成立，求t 的最小值． 【解答】a n ＝S n −S n−1＝2a n −2a n−1−1， ⇒a n −1＝2(a n−1−1)(n ≥2)， 所以：{a n −1}为等比数列，公比为2． 令n ＝1，则有S 1＝2a 1+1⇒a 1＝−1，所以a n −1=(a 1−1)⋅2n−1=−2n ，所以a n =1−2n ， 令b n =log √2|a n −1|=log √22n =2n ， 令c n =1bn b n+1=14(1n −1n+1)，所以1b1b 2+1b2b 3+⋯+1bn b n+1=14(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=14(1−1n+1)<14， 所以t ≥14． 所以t 的最小值为14．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分10，被抽取的员工的评分结果如表：（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望． 【解答】设事件A 为两人中至少一人评分不低于80，事件B 为甲企业评分人员低于8； 则P(B|A)=n(AB)n(A)=2×78×8−2×1=731由题意知，ξ∼B(4, 14)，则P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ．所以其分布列如下：E(ξ)=4×14=1．如图，在四边形ABCD中，A为锐角，2cosAsin(A+C)=√3sin(C−π6)．（1）求A+C；（2）设△ABD、△CBD的外接圆半径分别为r1，r2，若1r1+1r2≤mDB恒成立，求实数m的最小值．【解答】因为sin(2A+C)+sinC=32sinC−√32cosC⇒sin(2A+C)=sin(C−π3)，所以2A+C+C−π3=π⇒A+C=2π3．由于m≥BDr1+BDr2=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(2π3−A)=3sinA+√3cosA=2√3sin(A+π6)，又A∈(0,π2)，A+π6∈(π6, 2π3)，可得sin(A+π6)∈(12, 1],2√3sin(A+π6)∈(√3, 2√3]，所以m≥2√3．所以实数m的最小值2√3．已知函数f(x)＝aln(x+1)+x2−ax，a≠0．（1）当a>0时，求f(x)的单调区间（2）若存在x∈(−1, +∞)使得f(x)<a+1成立，求a的取值范围．【解答】f′(x)=ax+1+2x−a=x(2x+2−a)x+1，当0<a <2时， 则x ∈(−1,a−22)，f′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(a−22, 0)，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(0, +∞)，f′(x)>0，单调递增，当a ＝2时，f′(x)=2x 2x+1≥0恒成立，故f(x)在(−1, +∞)上单调递增； 当a >2时，当x ∈(−1, 0)，f′(x)>0，函数单调递增，x ∈(a−22, +∞)，f′(x)>0，单调递增，x ∈(0, a−22)，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≤0时，结合（1）可得f(x)(−1, 0)单调递减，(0, +∞)单调递增； f(x)min ＝f(0)＝0<a +1⇒a >−1；当a ≥0时，当x →−1时f(x)→−∞，所以必然存在． 综上所述a >−1．已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一点，|PF|＝4，O 为坐标原点，∠OFP ＝120∘． （1）求抛物线C 的方程；（2）设Q 为抛物线C 的准线上一点，过点F 且垂直于OQ 的直线交抛物线C 于A ，B 两点记△QAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，求1S 2−1S 1的取值范围．【解答】（1）由题可知，P(p2+2,2√3)，代入抛物线C:y 2＝2px ， 得：12＝2p(p2+2)，求出p 的值，p =2. 即可得到抛物线C 方程：y 2=4x .（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ， 则有AB =4sin θ，QD =QO +OD =1sinθ+sinθ， 所以S 1=12AB ⋅QD =2(1+sin 2θ)sin 3θ，S 2=12AB ⋅OD =2sinθ，所以1S 1−1S 2=−sinθ2(1+sin 2θ)=12×−1sinθ+1sinθ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S 1−1S 2∈[−14,0)．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t（t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P(−1, 2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值． 【解答】直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0．曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．转换为直角坐标方程为x 22+y 2=1． 直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），转换为标准式为{x =−1−√22t y =2+√22t，（t 为参数），代入C 方程得到：3t 2+6√2t +14=0， 所以：t 1+t 2=−2√2，t 1t 2=143．则|PA|+|PB|=|t 1+t 2|=2√2．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|．（1）解不等式f(x)≤2；（2）若f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，求a+b的取值范围．【解答】函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|，当x≥12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+2x−1≤2，解得：12≤x≤23；当−1<x<12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+1−2x≤2，解得：0≤x<12；当x≤−1时，不等式f(x)≤2可化为−x−1+1−2x≤2，解得：x≥−23（不合题意，舍去）；所以不等式f(x)≤2的解集是[0, 23]；f(x)＝|x+1|+|2x−1|={3x,x≥12−x+2,−1<x<12−3x,x≤−1，画出y＝f(x)的图象，如图所示；由图象知f(x)的最小值是32，所以不等式f(x)≥3a2+b2对任意x∈R恒成立，化为3a2+b2≤32，即2a2+23b2≤1；它表示焦点在纵轴上的椭圆面，如图所示；设2a2＝cos2θ，23b2＝sin2θ，其中θ∈[0, 2π)；所以a=√22cosθ，b=√62sinθ，a+b=√22cosθ+√62sinθ=√2sin(θ+π6)；当θ+π6=π2，即θ=π3时，a+b取得最大值为√2；当θ+π6=3π2，即θ=4π3时，a+b取得最小值为−√2；所以a+b的取值范围是[−√2, √2]．。

重庆市2020届高三5月调研(二诊)数学(理)试题 含解析

重庆市2020届高三5月调研(二诊)数学(理)试题 含解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =（ ）A. {}2B. {}3C. {}2,3D. {}3,5【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得{}|24B x x =<<，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|log (2)1|022|24B x x x x x x =-<=<-<=<<， 所以{}{}{}2,3,5,7|243x Ax B <<==.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ） 2 B. 210D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由题意13z i =--，再由复数模的概念即可得解.【详解】由题意()22213i i iz i i i i i --=-=-=--，所以z ==故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题. 3.下列说法正确的是（ ）A. “若2a >，则24a >”的否命题为“若2a >，则24a ≤”B. 命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C. “0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D. “这次数学考试的题目真难”是一个命题 【答案】B 【解析】 【分析】由否命题的概念即可判断A ，由命题及其否定的关系可判断B ，由全称命题的否定方法可判断C ，由命题的概念可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，“若2a >，则24a >”的否命题为“若2a ≤，则24a ≤”，故A 错误； 对于B ，命题p q ∨的否定为()p q ⌝∨，故命题p q ∨与()p q ⌝∨有一个命题为真，故B 正确； 对于C ，“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∃≤，2220x x -+<”，故C 错误； 对于D ，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念，属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 【答案】D 【解析】 【分析】由题意()26.6350.01P K ≥=，由独立性检验的原理即可得解.【详解】由题意27K =，()26.6350.01P K ≥=，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关. 故选：D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈.随着n 的增大，1nn a a +越来越逼近黄金分割10.6182≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A. 144厘米 B. 233厘米C. 250厘米D. 377厘米【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=，即可得解. 【详解】由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=，解得1233n a +≈. 故选：B.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.6.在103x 的展开式中，常数项为（ ）A. -252B. -45C. 45D. 252【答案】C 【解析】 【分析】由题意写出10的展开式的通项公式，令8r =即可得解.【详解】由题意，10的展开式的通项公式为：()105110101rrr rr rr T C C x --+⎛=⋅=-⋅⋅ ⎝， 令53r -=-即8r =，()()8583310101145rr r C x C x x ----⋅⋅=-⋅⋅=，所以103x 的展开式中，常数项为45.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 7.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b+取值范围是（ ）A. ()0,∞+B. [)2,+∞C. )1,+∞D.)⎡+∞⎣【答案】C 【解析】【分析】 由题意112b b aa b a b+=++，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，1212121222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++≥⋅+=+， 当且仅当2b aa b=，即222a =-，22b =-时等号成立. 故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是对于条件做适当的变形，属于基础题. 8.函数x xy e=的部分图象是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】对比函数的性质与图象的特征，逐项排除即可得解. 【详解】令()x x f x e =，则()()x xf x f x e ---==-，所以()f x 为奇函数，可排除C 选项； 当0x >时，()1x xf x e-'=，故()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，故排除B 、D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用，属于基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合奇函数的性质可得()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合函数周期的概念可得()f x 是周期为3的周期函数，进而可得()()110012f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数， 故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =. 故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题.10.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）B.3C.5D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的性质得52p x p =，p y =，由以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -可得115212p p+⋅=-，求得5p =即可得解. 【详解】由题意点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()(),0P P P P x y y >，()0,1A -，32p p FP x p =+=，∴52p x p =，p y =， 以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -，∴AP AF ⊥，即1212p =-，∴p =由//PQ y轴可得所求距离为522p p -=. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力和转化化归思想，属于基础题.11.已知ABC 的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）B.2【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理得222a b c -=+，由余弦定理得cos A =即34A π=，再由cos sin sin cos cos A B C B C =-可得sin sin B C =sin b B =，sin c C =，则212sin sin 2ABC S a B C =⋅△即可得解.【详解】由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 2b c a A bc +-==()0,A π∈可得34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin 10B C =，由正弦定理知sin sin b cB C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 222101ABC S bc A a B C a ==⋅⋅==△，所以a =故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.12.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 42πC. 54πD.【答案】C 【解析】 【分析】设ABC 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题意可得AC BD ⊥，进而可得BD ⊥平面ACD ，即可得DA ，DB ，DC 两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化为以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的外接球，即可得解.【详解】设ABC 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题知DG ⊥平面ABC ，所以DG AC ⊥，又AC GB ⊥，DG GB G =，所以AC ⊥平面DGB ，所以AC BD ⊥， 又BD CE ⊥，CEAC C =，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD CD ⊥，BD AD ⊥，又D ABC -为正三棱锥，∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球， 由6AB =得32DA =，故正方体外接球直径232336R ==所以球O 的表面积为223644542R πππ⎛== ⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a m =，()1,2a b +=，若()//3a a b +，则实数m =______________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得()1,2b m =--，进而可得()31,62a b m +=--，再由平面向量共线的特征即可得解. 【详解】()2,a m =，()1,2a b +=，∴()1,2b m =--，∴()31,62a b m +=--，又()//3a a b +，∴()262m m -=-，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征，属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.【答案】9452π- 【解析】 【分析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个18球，利用体积公式即可得解. 【详解】由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴3149335345832V ππ=⨯⨯-⋅⋅=-. 故答案为：9452π-.【点睛】本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解，属于基础题.15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，4a ，8a 依次成等比数列，若3a ，6a ，1b a ，2b a ，…，n b a ，…成等比数列，则n b =_____________.【答案】132n +⋅ 【解析】 【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd =，进而可得132n n b a d +=⋅，即可得解.【详解】设数列{}n a 公差为d ，由题知()()24284424a a a a d a d ==-+，即44a d =，故413d d a a =-=， ∴n a nd =，33a d =，66a d =， 故新等比数列首项为3d 、公比为2， 因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【解析】 【分析】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，转化条件得存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，进而可得()()221a a -+≤-，即可得解. 【详解】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+， 曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，∴存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，不妨设120k k <<，()()()121222k k k a a a ≥+≥-+，∴()()221a a -+≤-，即a ≤≤故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题. 三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭a =1c =，求ABC 的面积.【答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，k Z ∈；（2【解析】 【分析】 （1）由三角恒等变换得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，分别令()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈、()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈即可得解； （2）由题意可得23A π=，由正弦定理得1sin 2C =，进而可得6B π=，再利用1sin 2ABC S ac B =△即可得解.【详解】（1）由题意()2cos 22f x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭1cos 2sin 22sin 223x x x π+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()1212k x k k Z 5π11ππ+≤≤π+∈， 故()f x 在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减； （2）由题意2sin 323A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=， 由正弦定理得sin sin c a C A=即13sin 32C =，1sin 2C =， 由0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6C π=，∴ππ6B A C， ∴1113sin 31222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用，属于中档题. 18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=10.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.【答案】（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【解析】 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=， 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=， 2.14σ==≈， （i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点.（1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）131131-【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质可得//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，由平面几何知识90BGC ∠=︒即AB AD ⊥，由线面平行的判定可得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质即可得证；（2）由题意3PD =E 、F 分别为PD 、PC 的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面DBF 的一个法向量为m 、平面ABD 的一个法向量n ，由cos ,m nm n m n⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）证明：∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ，又面ABFE 面PDC EF =，∴//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，如图：则ABGD 为平行四边形，∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥，AP AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ， ∴EF ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴PD EF ⊥；（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴tan 3CPD DCDP ∠==，解得23PD =， 又12EF AB DC ==，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点， 取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，2222PO PD OD =-=，由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，CDAD D =，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA ，AB ，OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则()2,0,0A ，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(0,0,22P ，故(F -，()4,3,0DB =，(DF =， 设平面DBF 的一个法向量为(),,m x y z =，则43030m DB x y m DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令3x =得3,4,2m ⎛=- ⎝⎭， 显然()0,0,1n =是平面ABD 的一个法向量，∴922c 13os ,1311m n m n m n ⋅===⋅， 由题知二面角A BD F --的余弦值为131-. 【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>1,3⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为1的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=，求λ的值.【答案】（1）22132x y +=；（2）2237λ= 【解析】 【分析】 （1）由题意可得3c a =、221413a b +=，解出23a =，22b =后即可得解； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，转化条件得2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+= ⎪⎝⎭，联立方程可得1265x x +=，1235x x =-，即可得解.【详解】（1）由题知c a =，故2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =得()112,2P x y ， 由NQ NP λ=得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--， ∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=，即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，>0∆， 则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-， ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=. 【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()12xf x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，在()0,∞+上单调递增，当0a <时，在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）1a e -≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，按照0a ≥、0a <分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解； （2）转换条件得211ln 022xe ax x e a ---+>在()1,+∞上恒成立，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，求导后结合()10g =，按照1a e >-、1a e -≤分类讨论，即可得解.【详解】（1）求导得()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，()00f x x'>⇔<<，所以()f x 在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减； （2）()2111ln 0222xx f x e e a e ax x e a <-+⇔---+>， 令()211ln 22xg x e ax x e a =---+，()10g =，则()1xg x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >，使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()()010g x g <=，与题意矛盾；当1a e -≤时，令()1xh x e ax x=--，()1,x ∈+∞， ∴()()221110xh x e a e e x x'=-+>--+>，∴()h x 即()g x '单调递增，∴()()110g x g e a ''>=--≥，∴()g x 单调递增，∴()()10g x g >=，符合题意； 综上所述，1a e -≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题意可得1//O M l 即002sin 32co 4s θθ=-，结合同角三角函数的平方关系求得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，可得曲线C 是圆心为()2,3，半径为2的圆，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<； （2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ，∴002sin 32co 4s θθ=-， 又2200s cos in 1θθ+=，解得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题.23.已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b +++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【解析】【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解； （2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解. 【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立，故2m =；（2）由题意222a b +=， 由柯西不等式得()222221112(11124)a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎭=⎝， 当且仅当232a =，212b =时，等号成立，∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.。

重庆市2020届高三5月调研(二诊)考试数学(理)试题

重庆市2020届高三5月调研(二诊)考试数学(理)试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学理科数学测试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =I （ ） A.{}2B.{}3C.{}2,3D.{}3,52.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ）B.2D.103.下列说法正确的是（ ）A.“若2a >，则24a>”的否命题为“若2a >，则24a≤” B.命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C.“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D.“这次数学考试的题目真难”是一个命题4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B.有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈ .随着n 的增大，1nn a a +越来越逼近黄金分割10.6182≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A.144厘米B.233厘米C.250厘米D.377厘米6.在103x 的展开式中，常数项为（ ） A.-252B.-45C.45D.2527.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b+的取值范围是（ ） A.()0,+∞ B.[)2,+∞C.)1,+∞D.)⎡+∞⎣8.函数x xy e=的部分图象是（ ） A. B.C. D.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ） A.2B.1C.0D.-110.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A.5B.3C.5D.11.已知ABC △的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）A.2B.212.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC △是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC △的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A.36πB.42πC.54πD.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a m =r ，()1,2a b +=r r，若()//3a a b +r r r ，则实数m =______________.14.已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，4a ，8a 依次成等比数列，若3a ，6a ，1b a ，2b a ，…，n b a ，…成等比数列，则n b =_____________.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a =1c =，求ABC △的面积. 18.（12分）国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，10.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4AD =，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点. （1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值.20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=u u u r u u u r，求λ的值.21.（12分）已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()12x f x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学参考答案一、选择题 1-6 BCBDBC7-12 CABCDC第7题提示：由题知，211122ba b b a a b a b ++=++≥=，当且仅当2b aa b=，即2a =，2b =- C.第8题提示：由xx y e=为奇函数可排除C 选项，当0x >时，1x x y e -'=，故x xy e =在()0,1上单增，()1,+∞上单减，故选A.第9题提示：由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数，故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =，故选B. 第10题提示：由题知32p p FP x p =+=，∴52p x p =，设点()0,1A -，由题知AP AF ⊥，即111522p y p p +⋅=-，p y =，∴p =522p p -=，故选C.第11题提示：由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 2b c a A bc +-==，故34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin B C =sin sin b cB C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 22210S bc A a B C a ==⋅⋅=，所以a =，故选D.第12题提示：设ABC △的中心为G ，延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF .由题知DG ⊥平面ABC ，AC GB ⊥，由三垂线定理得AC BD ⊥，又BD CE ⊥，∴BD ⊥平面ACD ，又D ABC -为正三棱锥， ∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得DA =故正方体外接球直径为= 所以球O 的表面积为2454R ππ=，故选C.二、填空题13. 414.9452π-15.132n +⋅ 16.⎡⎣第14题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球， 如图所示，∴3149335345832V ππ=⨯⨯-⋅⋅=-.第15题提示：设公差为d ，由题知()()244424a a d a d =-+，即44a d =，故1a d =，∴n a nd =，33a d =，66a d =， 故此等比数列首项为3d 、公比为2， 因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.第16题提示：[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，由题知在区间[]2,2a a -+内存在两数之积为-1，故只需()()221a a -+≤-，即a ≤≤ 三、解答题17.（12分）解：（1）())sin 21cos 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，………………2分 由222232k x k πππππ-≤-≤+得51212k x k ππππ-≤≤+，………………4分 故()f x 在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单减，k Z ∈；………6分（2）2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，……………………………………………………8分由正弦定理得1sin C=1sin 2C =，∴6C π=，故6B π=，∴1sin 24ABC S ac B ==△.…………………………12分 18.（12分）解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………2分22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075 4.6s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；……4分（2）由题知170μ=， 2.145σ==≈，………………5分 （i ）()()0.95440.6826167.86174.2820.68260.81852P X P X μσμσ-<<=-<<+=+=，……8分 （ii ）()10.9544174.280.02282P X ->==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率10101(10.0228)10.977210.790.21P =--=-≈-=………………12分19.（12分）解：（1）∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ，又面ABFE I 面PDC EF =，∴//AB EF ， 取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形， ∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥， ∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，∴EF PD ⊥；………………6分（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴6PD =，即PD =12EF AB DC ==， ∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点，取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥， 由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，故PO ⊥平面ABCD ，………………7分以O 为原点，OA u u u r ，AB u u u r ，OP uuur 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(P ，故(F -，()4,3,0DB =u u u r，(DF =u u u r ，设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =u r，则43030x y x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令3x =得3,m ⎛=- ⎝⎭r ，…………9分 显然()0,0,1n =r 是平面ABD的一个法向量，∴cos ,m n ==r r，…………11分由题知二面角A BD F --的余弦值为………………12分 20.（12分）解（1）由题知3c a =，故2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=；…………4分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =u u u r u u u u r得()112,2P x y ，由NQ NP λ=u u u r u u u r得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--，∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q 在椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，………………8分 由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-，…………10分 ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=………………12分 21.（12分）解：（1）()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单增， 当0a <时()00f x x'>⇔<<，()f x 在⎛ ⎝上单增，在⎫+∞⎪⎭上单减；…4分 （2）221111ln ln 02222x x x ax e e a e ax x e a +<-+⇔---+>，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，()10g =，()1x g x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单减，∴()()010g x g <=，与题意矛盾，故1a e ≤-，………………7分当1a e ≤-时，∵()1,x ∈+∞，∴()2112x g x e a e a x''=-+>+-≥，∴()g x '单增， ∴()()10g x g ''>≥，∴()g x 单增，∴()()10g x g >=，符合题意，∴1a e ≤-.………12分 22.（10分）解：（1）曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；…………5分（2）设圆C 的圆心为1O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ， ∴04cos 5θ=-，03sin 5θ=，或04cos 5θ=，03sin 5θ=-，故点221,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭……10分 23.（10分）解：（1）()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立， 故2m =；……………………5分（2）222a b +=，由柯西不等式得()222221112(11)12a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，当且仅当232a =，212b =时，等号成立，∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45…………10分。

2020届重庆市普通高中高三下学期5月二诊调研考试理科综合物理试卷及解析

2020届重庆市普通高中高三下学期5月二诊调研考试理科综合物理试卷及解析
故选B。
5.如图，若x轴表示时间，y轴表示位置，则该图像反映了某质点做匀速直线运动时，位置与时间的关系．若令x轴和y轴分别表示其它的物理量，则该图像又可以反映在某种情况下，相应的物理量之间的关系．下列说法中正确的是（ ）
A. 若x轴表示时间，y轴表示功能，则该图像可以反映某物体受恒定合外力作用做直线运动过程中，物体动能与时间的关系
A. 小球的线速度突然增大
B. 小球的角速度突然减小
C. 摆线上的张力突然减小
D. 小球的向心加速度突然增大
【答案】D
【详解】A． 当球第一次通过P点时，线速度的大小不变，故A错误；
B． 由于线速度大小不变，根据 知，转动的半径变小，则角速度变大，故B错误；
C． 根据牛顿第二定律得， ，线速度大小不变，转动半径变小，则摆线张力变大，故C错误；
B. 若x轴表示频率，y轴表示动能，则该图像可以反映光电效应中，光电子最大初动能与入射光频率之间的关系
C. 若x轴表示时间，y轴表示动量，则该图像可以反映某物在沿运动方向的恒定合外力作用下，物体动量与时间的关系
D. 若x轴表示时间，y轴表示感应电动势，则该图像可以反映静置于磁场中的某闭合回路，当磁感应强度随时间均匀增大时，闭合回路的感应电动势与时间的关系
B． 玻尔的原子结构学说成功地解释了氢原子的发光现象，故B错误；
C． 爱因斯坦指出了物体的能量与它的质量的关系为E=mc2，故C正确；
D． 普朗克建立了量子理论，故D错误。
故选C。
2.质量为m的小球，用长为l的线悬挂在O点，在O点正下方 处有一光滑的钉子O′，把小球拉到与O′在同一竖直面内的某一位置，由静止释放，下摆过程中摆线将被钉子拦住，如图所示。当球第一次通过最低点P时（ ）
1.下面列举的事例中正确的是（ ）

重庆市2020届高三5月调研(二诊)考试数学(理)试题(含答案0

重庆市2020届高三5月调研(二诊)考试数学(理)试题(含答案0

2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学理科数学测试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =I （ ） A.{}2B.{}3C.{}2,3D.{}3,52.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ）B.2D.103.下列说法正确的是（ ）A.“若2a >，则24a>”的否命题为“若2a >，则24a≤” B.命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C.“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D.“这次数学考试的题目真难”是一个命题4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B.有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈ .随着n 的增大，1nn a a +越来越逼近黄金分割10.6182≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A.144厘米B.233厘米C.250厘米D.377厘米6.在103x 的展开式中，常数项为（ ） A.-252B.-45C.45D.2527.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b+的取值范围是（ ） A.()0,+∞ B.[)2,+∞C.)1,+∞D.)⎡+∞⎣8.函数x xy e=的部分图象是（ ） A. B.C. D.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ） A.2B.1C.0D.-110.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A.5B.3C.5D.11.已知ABC △的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）A.2B.212.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC △是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC △的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A.36πB.42πC.54πD.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a m =r ，()1,2a b +=r r，若()//3a a b +r r r ，则实数m =______________.14.已知某几何体的三视图如右图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，4a ，8a 依次成等比数列，若3a ，6a ，1b a ，2b a ，…，n b a ，…成等比数列，则n b =_____________.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a =1c =，求ABC △的面积. 18.（12分）国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，10.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4AD =，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点. （1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值.20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为l 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=u u u r u u u r，求λ的值.21.（12分）已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()12x f x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷 理科数学参考答案一、选择题 1-6 BCBDBC7-12 CABCDC第7题提示：由题知，211122ba b b a a b a b ++=++≥=，当且仅当2b aa b=，即2a =，2b =- C.第8题提示：由xx y e=为奇函数可排除C 选项，当0x >时，1x x y e -'=，故x xy e =在()0,1上单增，()1,+∞上单减，故选A.第9题提示：由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数，故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =，故选B. 第10题提示：由题知32p p FP x p =+=，∴52p x p =，设点()0,1A -，由题知AP AF ⊥，即111522p y p p +⋅=-，p y =，∴p =522p p -=，故选C.第11题提示：由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 2b c a A bc +-==，故34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin B C =sin sin b cB C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 22210S bc A a B C a ==⋅⋅=，所以a =，故选D.第12题提示：设ABC △的中心为G ，延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF .由题知DG ⊥平面ABC ，AC GB ⊥，由三垂线定理得AC BD ⊥，又BD CE ⊥，∴BD ⊥平面ACD ，又D ABC -为正三棱锥， ∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得DA =故正方体外接球直径为= 所以球O 的表面积为2454R ππ=，故选C.二、填空题13. 414.9452π-15.132n +⋅ 16.⎡⎣第14题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球， 如图所示，∴3149335345832V ππ=⨯⨯-⋅⋅=-.第15题提示：设公差为d ，由题知()()244424a a d a d =-+，即44a d =，故1a d =，∴n a nd =，33a d =，66a d =， 故此等比数列首项为3d 、公比为2， 因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.第16题提示：[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，由题知在区间[]2,2a a -+内存在两数之积为-1，故只需()()221a a -+≤-，即a ≤≤ 三、解答题17.（12分）解：（1）())sin 21cos 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，………………2分 由222232k x k πππππ-≤-≤+得51212k x k ππππ-≤≤+，………………4分 故()f x 在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单减，k Z ∈；………6分（2）2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，……………………………………………………8分由正弦定理得1sin C=1sin 2C =，∴6C π=，故6B π=，∴1sin 24ABC S ac B ==△.…………………………12分 18.（12分）解：（1）由题知五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………2分22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075 4.6s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；……4分（2）由题知170μ=， 2.145σ==≈，………………5分 （i ）()()0.95440.6826167.86174.2820.68260.81852P X P X μσμσ-<<=-<<+=+=，……8分 （ii ）()10.9544174.280.02282P X ->==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率10101(10.0228)10.977210.790.21P =--=-≈-=………………12分19.（12分）解：（1）∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ，又面ABFE I 面PDC EF =，∴//AB EF ， 取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形， ∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥， ∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，∴EF PD ⊥；………………6分（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴6PD =，即PD =12EF AB DC ==， ∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点，取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥， 由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，故PO ⊥平面ABCD ，………………7分以O 为原点，OA u u u r ，AB u u u r ，OP uuur 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(P ，故(F -，()4,3,0DB =u u u r，(DF =u u u r ，设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =u r，则43030x y x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令3x =得3,m ⎛=- ⎝⎭r ，…………9分 显然()0,0,1n =r 是平面ABD的一个法向量，∴cos ,m n ==r r，…………11分由题知二面角A BD F --的余弦值为………………12分 20.（12分）解（1）由题知3c a =，故2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y +=；…………4分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =u u u r u u u u r得()112,2P x y ，由NQ NP λ=u u u r u u u r得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--，∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q 在椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，………………8分 由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-，…………10分 ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=………………12分 21.（12分）解：（1）()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单增， 当0a <时()00f x x'>⇔<<，()f x 在⎛ ⎝上单增，在⎫+∞⎪⎭上单减；…4分 （2）221111ln ln 02222x x x ax e e a e ax x e a +<-+⇔---+>，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，()10g =，()1x g x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单减，∴()()010g x g <=，与题意矛盾，故1a e ≤-，………………7分当1a e ≤-时，∵()1,x ∈+∞，∴()2112x g x e a e a x''=-+>+-≥，∴()g x '单增， ∴()()10g x g ''>≥，∴()g x 单增，∴()()10g x g >=，符合题意，∴1a e ≤-.………12分 22.（10分）解：（1）曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；…………5分（2）设圆C 的圆心为1O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ， ∴04cos 5θ=-，03sin 5θ=，或04cos 5θ=，03sin 5θ=-，故点221,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭……10分 23.（10分）解：（1）()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立， 故2m =；……………………5分（2）222a b +=，由柯西不等式得()222221112(11)12a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，当且仅当232a =，212b =时，等号成立，∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45…………10分。

重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)

重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)

2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（ ）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（ ） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（ ）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 ．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 ．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是 ． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4， 则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4． 故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12， 即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作， 假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作， 基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积． 解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心． 又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π． 故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)． 故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3； 故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用， 考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”． （Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ． 由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ， 又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)． 设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)． 设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切， 记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ， 所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆， 所以a =√6，c ＝2，b =√2， 故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2， 当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02， 所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0， 将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围． 解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5， 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）； （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立， 即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ， 由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3， 可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(二)

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷(理科)(二)

2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}，则A∩B＝（）A.{1}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{1, 2, 3, 4}2. 已知复数z1=1−i2+i ，z2=11−2i，则z1−z2的虚部为（）A.−1B.0C.1D.23. 已知函数f(x)＝2x，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R4. 已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中不一定成立的是（）A.a+c>b+dB.a−d>b−cC.ac >bdD.√ac>√bd5. 己知命题p:∀x>0，lg x<ln x，q:∃x>0，x2<√x，则下列命题中真命题是（）A.p∧qB.p∧(￢q)C.p∨qD.p∨(￢q)6. (x√x)7的展开式中x的系数为（）A.560B.1120C.−35D.2807. 历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1＝3，23−1＝7，25−1＝31，27−1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（）A.25B.29C.27D.288. 若函数f(x)=sin2x2+2cos2x+ax存在单调递减区间，则实数a的取值范團是（）A.a≥1B.a≥√5C.a<1D.a<√59. 若不等式组{x+y≤1x−y≥−1y≥0，所表示的平面区域被直线x+y＝z分成面积相等的两部分；则z＝（）A.12B.√22C.√2−1D.2√2−110. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)(A>0, ω>0, φ∈(−π, 0)的部分图象如图所示，要得到函数y＝A sinωx的图象，只需将函数f(x)的图象（）A.向左平移π12B.向左平移π6C.向右平移π12D.向右平移π611. 如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于10，则称此四位数为“完美四位数（如1036），则由数字0，1，2，3，4，5，6，7构成的“完美四位数”中，奇数的个数为（）A.12B.44C.58D.7612. 如图，F I，F2是双曲线C:x2a2−y23=1(a>0)的左、右焦点，点P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于点A，△APF1的内切圆与边PF1切于点Q，且|PQ|＝4，则双曲线C的离心率为（）A.2B.√72C.2√33D.√194二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.脱贫攻坚是一项历史性工程，精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方．重庆市贫困人口分布相对集中，截止目前，渝东北地区贫困户占全市贫困户48%，渝东南地区贫困户占全市贫困户32%，为精准了解重庆市贫困户现状，“脱贫攻坚”课题组拟深入到其中25户贫困户家中调研，若按地区采用分层抽样的方法分配被调研的贫困户，课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是________．在等腰梯形ABCD 中，DC →=2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →=a ，DC →=b →，若用a →，b →表示DF →，则DF →=________．若直线y ＝ax +b 与曲线y ＝ln x +1相切，则ab 的最大值为________．设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n −2(n ∈N ∗)，若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n +n ． （1）证明：{a n −1}为等比数列；（2）设b n =log √2|a n −1|，若不等式1b 1b 2+1b 2b 3+1b 3b 4+⋯+1b n b n+1<t 对∀n ∈N ∗恒成立，求t 的最小值．为做好创建国家生态文明单位的需要，某地甲、乙两大型企业决定先从本企业的所有员工中随机抽取8名员工，对自己所在企业的生态文明建设状况进行自我内部的评分调查（满分10，被抽取的员工的评分结果如表：（1）若分别从甲、乙两企业被抽取的8名员工中各抽取1名，在已知两人中至少一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲企业员工评分低于80分的概率；（2）用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲企业的所有员工中，再随机抽取4名员工进行评分细节调查，记抽取的这4名员工中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．如图，在四边形ABCD 中，A 为锐角，2cos A sin (A +C)=√3sin (C −π6)．（1）求A +C ；（2）设△ABD 、△CBD 的外接圆半径分别为r 1，r 2，若1r 1+1r 2≤mDB 恒成立，求实数m 的最小值．已知函数f(x)＝a ln (x +1)+x 2−ax ，a ≠0． （1）当a >0时，求f(x)的单调区间（2）若存在x ∈(−1, +∞)使得f(x)<a +1成立，求a 的取值范围．已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，点P 为抛物线C 上一点，|PF|＝4，O 为坐标原点，∠OFP ＝120∘． （1）求抛物线C 的方程；（2）设Q 为抛物线C 的准线上一点，过点F 且垂直于OQ 的直线交抛物线C 于A ，B 两点记△QAB ，△OAB 的面积分别为S 1，S 2，求1S 2−1S 1的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2−t （t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=43−cos 2θ． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P(−1, 2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x +1|+|2x −1|． （1）解不等式f(x)≤2；（2）若f(x)≥3a 2+b 2对任意x ∈R 恒成立，求a +b 的取值范围．参考答案与试题解析2020年重庆市康德卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{x|x2<6}＝{x|−√6<x<√6}，∴A∩B＝{1, 2}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z1−z2得答案．【解答】∵z1=1−i2+i =(1−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−35i，z2=11−2i =1+2i(1−2i)(1+2i)=15+25i，∴z1−z2=15−35i−15−25i=−i，∴z1−z2的虚部为−1．3.【答案】B【考点】函数的值域及其求法【解析】利用指数函数的性质容易求出值域．【解答】由指数函数的性质可知，函数f(x)＝2x的值域为(0, +∞)，令t＝2x，则t>0，∴f（f(x)）＝f(t)＝2t>20＝1，即所求函数的值域为(1, +∞)．4. 【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】根据不等式的基本性质可判断ABD是否成立，取特殊值可知C不一定成立．【解答】A．∵a>b>0，c>d>0，∴a+c>b+d，故A成立；B．∵c>d>0，∴−d>−c，又a>b>0，∴a−d>b−c，故B成立；C．由a>b>0，c>d>0，取a＝c＝2，b＝d＝1，则ac=bd，故C不一定成立；D．∵a>b>0，c>d>0，∴ac>bd>0，∴√ac>√bd．5.【答案】C【考点】复合命题及其真假判断【解析】对于命题p：当x＝1时，lg x＝ln x＝0，p为假命题，对于命题q：当x=12时，x2=14<√x=√22，q为真命题．再对四个选项中复合命题判断真假．【解答】对于命题p：当x＝1时，lg x＝ln x＝0，所以命题p:∀x>0，lg x<ln x，为假命题，对于命题q：当x=12时，x2=14<√x=√22，所以命题q:∃x>0，x2<√x，为真命题．所以p∧q为假命题，p∧(￢q)为假命题，p∨q为真命题，p∨(￢q)为假命题．6.【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x的系数．【解答】(x√x)7的展开式的通项公式为T r+1=C7r(−2)r x7−32r，则令7−3r2=1，求得r＝4，可得x的系数为C74⋅⋅(−2)4＝560，7.【答案】C【考点】归纳推理【解析】根据题意，利用常用对数估算即可．【解答】lg(289−1)≈89lg2≈26.789，故289−1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27，8.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由题意可得，f′(x)＝cos2x−2sin2x+a<0有解，分离系数后转化为求解最值．【解答】由题意可得，f′(x)＝cos2x−2sin2x+a<0有解，则a<2sin2x−cos2x=√5sin(2x+φ)有解，即a<[√5sin(2x+φ)]max，所以a<√5．9.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线将平面区域分成面积相等的两部分，求出相应的坐标即可得到k的值．【解答】由图可知，x+y＝z将可行域划分为两块区域，{x+y=zx−y=−1⇒{x=z−12y=z+12⇒D(z−12, z+12)其中AE＝z−(−1)＝z+1；∴三角形ADE部分的面积等于△ABC的12；即S=12(z+1)⋅z+12=12⇒z=√2−1（负值舍）．10.【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f(x)的解析式，再利用y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】由函数f(x)＝A cos(ωx+φ)(A>0, ω>0, −π<φ<0)的部分图象，可得A＝2，由f(0)＝1，f(2π3)＝−2可得，ω＝2，φ=−π3，∴f(x)＝2cos(2x−π3)＝2sin(2x+π6)＝2sin[2(x+π12)]，故可将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到y＝2sin2x的图象．11.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，按四位数的尾数分4种情况讨论，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案．【解答】根据题意，分4种情况讨论：若尾数为1：则前三位的数字可能为027，036，045，共C21⋅A22⋅3=12，还可能为234，有A33=6种；若尾数为3：则前三位的数字可能为016，025，共C21⋅A22⋅2=8，还可能为124，有A33=6种；若尾数为5：则前三位的数字可能为014，023，045，共C21⋅A22⋅2=8；若尾数为7：则前三位的数字可能为012，共C21⋅A22=4．综上所述，共有12+6+8+6+8+4＝44种；12.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】利用已知条件，结合双曲线的定义与性质，通过直线与圆相切，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】PQ＝PF1−F1Q＝PF1−F1M＝PF1−NF2＝PF1−(PF2+PQ)⇒PQ=12(PF1−PF2)=a，∴a＝4，b=√3，∴c=√19，所以双曲线的离心率为：e =√194． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】 5 【考点】 分层抽样方法 【解析】 由题意利用分层抽样的定义和方法，先求出其它地区贫困户占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 【解答】 其它地区贫困户占的比例为1−48%−32%＝20%，故课题组应到其它地区（除渝东南和渝东北地区外）调研的贫困户的户数是25×20%＝5户，【答案】34b →+12a → 【考点】平面向量的基本定理 【解析】由平面向量基本定理化简计算即可． 【解答】DF →=12DB →+12DC →=12(DA →+AB →)+12DC →=34DC →+12DA →． 【答案】1e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】设曲线的切点为(x 0, ln x 0+1)，则切线为y =1x 0(x −x 0)+ln x 0+1=1x 0x +ln x 0，一一对应表示出ab =ln x 0x 0，令g(x)=ln x x，根据其导数判断出其最大值即可．【解答】设切点为(x 0, ln x 0+1)，则切线为y =1x 0(x −x 0)+ln x 0+1=1x 0x +ln x 0，所以1x 0=a ，ln x 0＝b ，则ab =ln x 0x 0，令g(x)=ln x x，所以g′(x)=1−ln x x 2，所以g(x)在(0, e)上单调递增，在(e, +∞)上单调递减， 则g(x)max =g(e)=1e ，即ab 的最大值为1e ， 【答案】 −2【考点】 数列递推式【解析】推导出 a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n <−2，该数列单调递增，无限趋于−2；若a n ＝−2，该数列为常数列，即a n ＝2．由此能求出λ的最小值． 【解答】a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)， 若a n <−2，则a n+1>a n ， 则该数列单调递增，所以无限趋于−2； 若a n ＝−2，则a n+1＝a n ，该数列为常数列，即a n ＝2． 综上所述，λ≥−2． ∴ λ的最小值是−2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 【答案】a n ＝S n −S n−1＝2a n −2a n−1−1， ⇒a n −1＝2(a n−1−1)(n ≥2)，所以：{a n −1}为等比数列，公比为2． 令n ＝1，则有S 1＝2a 1+1⇒a 1＝−1，所以a n −1=(a 1−1)⋅2n−1=−2n ，所以a n =1−2n ， 令b n =log √2|a n −1|=log √22n =2n ，令c n =1b n b n+1=14(1n−1n+1)，所以1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b n b n+1=14(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=14(1−1n+1)<14，所以t ≥14． 所以t 的最小值为14．【考点】 数列的求和 数列递推式【解析】（1）通过a n ＝S n −S n−1，推出a n −1＝2(a n−1−1)(n ≥2)，即可判断{a n −1}为等比数列．（2）求出首项以及a n =1−2n ，化简b n =log √2|a n −1|=log √22n =2n ，化简c n =1b n b n+1=14(1n −1n+1)，通过裂项消项法求解数列的和，即可求解t 的最小值． 【解答】a n ＝S n −S n−1＝2a n −2a n−1−1， ⇒a n −1＝2(a n−1−1)(n ≥2)，所以：{a n −1}为等比数列，公比为2． 令n ＝1，则有S 1＝2a 1+1⇒a 1＝−1，所以a n −1=(a 1−1)⋅2n−1=−2n ，所以a n =1−2n ， 令b n =log √2|a n −1|=log √22n =2n ， 令c n =1b n b n+1=14(1n−1n+1)，所以1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b n b n+1=14(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=14(1−1n+1)<14，所以t ≥14． 所以t 的最小值为14．【答案】设事件A 为两人中至少一人评分不低于80，事件B 为甲企业评分人员低于8； 则P(B|A)=n(AB)n(A)=2×78×8−2×1=731由题意知，ξ∼B(4, 14)，则P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ．所以其分布列如下：E(ξ)=4×14=1．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列【解析】（1）根据条件概率的计算公式求解即可；（2）根据ξ∼B(4, 14)，得到P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ．进而求出结论【解答】设事件A 为两人中至少一人评分不低于80，事件B 为甲企业评分人员低于8； 则P(B|A)=n(AB)n(A)=2×78×8−2×1=731由题意知，ξ∼B(4, 14)，则P(ξ=k)=C 4k(14)k (34)4−k ．所以其分布列如下：E(ξ)=4×14=1．【答案】因为sin (2A +C)+sin C =32sin C −√32cos C ⇒sin (2A +C)=sin (C −π3)，所以2A +C +C −π3=π⇒A +C =2π3．由于m ≥BD r 1+BD r 2=2sin A +2sinC =2sin A +2sin (2π3−A)=3sin A +√3cos A =2√3sin (A +π6)，又A ∈(0,π2)，A +π6∈(π6, 2π3)，可得sin (A +π6)∈(12, 1],2√3sin (A +π6)∈(√3, 2√3]， 所以m ≥2√3．所以实数m 的最小值2√3．【考点】正弦定理两角和与差的三角函数【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，利用正弦函数的性质可求A +C 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用可求m ≥2√3sin (A +π6)，由题意A ∈(0,π2)，可求A +π6∈(π6, 2π3)，利用正弦函数的性质即可求解m 的最小值． 【解答】因为sin (2A +C)+sin C =32sin C −√32cos C ⇒sin (2A +C)=sin (C −π3)，所以2A +C +C −π3=π⇒A +C =2π3．由于m ≥BD r 1+BD r 2=2sin A +2sin C =2sin A +2sin (2π3−A)=3sin A +√3cos A =2√3sin (A +π6)，又A ∈(0,π2)，A +π6∈(π6, 2π3)，可得sin (A +π6)∈(12, 1],2√3sin (A +π6)∈(√3, 2√3]， 所以m ≥2√3．所以实数m 的最小值2√3．【答案】 f ′(x)=a x+1+2x −a =x(2x+2−a)x+1， 当0<a <2时， 则x ∈(−1,a−22)，f′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(a−22, 0)，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(0, +∞)，f′(x)>0，单调递增， 当a ＝2时，f′(x)=2x 2x+1≥0恒成立，故f(x)在(−1, +∞)上单调递增；当a >2时，当x ∈(−1, 0)，f′(x)>0，函数单调递增，x ∈(a−22, +∞)，f′(x)>0，单调递增，x ∈(0, a−22)，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≤0时，结合（1）可得f(x)(−1, 0)单调递减，(0, +∞)单调递增； f(x)min ＝f(0)＝0<a +1⇒a >−1；当a ≥0时，当x →−1时f(x)→−∞，所以必然存在． 综上所述a >−1． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．（2）结合（1）单调性的讨论，可转化为求解函数的最值，即可求解． 【解答】 f ′(x)=a x+1+2x −a =x(2x+2−a)x+1，当0<a <2时， 则x ∈(−1,a−22)，f′(x)>0，函数单调递增，当x ∈(a−22, 0)，f′(x)<0，函数单调递减，x ∈(0, +∞)，f′(x)>0，单调递增，当a ＝2时，f′(x)=2x 2x+1≥0恒成立，故f(x)在(−1, +∞)上单调递增； 当a >2时，当x ∈(−1, 0)，f′(x)>0，函数单调递增，x ∈(a−22, +∞)，f′(x)>0，单调递增，x ∈(0, a−22)，f′(x)<0，函数单调递减，当a ≤0时，结合（1）可得f(x)(−1, 0)单调递减，(0, +∞)单调递增； f(x)min ＝f(0)＝0<a +1⇒a >−1；当a ≥0时，当x →−1时f(x)→−∞，所以必然存在． 综上所述a >−1． 【答案】（1）由题可知，P(p2+2,2√3)，代入抛物线C:y 2＝2px ， 得：12＝2p(p2+2)，求出p 的值，p =2. 即可得到抛物线C 方程：y 2=4x .（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ，则有AB =4sin 2θ，QD =QO +OD =1sinθ+sin θ，所以S 1=12AB ⋅QD =2(1+sin 2θ)sin 3θ，S 2=12AB ⋅OD =2sin θ，所以1S 1−1S 2=−sin θ2(1+sin 2θ)=12×−1sin θ+1sin θ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S 1−1S 2∈[−14,0)．【考点】 抛物线的性质直线与抛物线的位置关系【解析】（1）由题可知，P(p2+2,2√3)，代入抛物线C:y 2＝2px ，得：12＝2p(p2+2)，求出p 的值，即可得到抛物线C 方程；（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ，则有AB =4sin 2θ，QD =QO +OD =1sin θ+sin θ，所以S 1=12AB ⋅QD =2(1+sin 2θ)sin 3θ，S 2=12AB ⋅OD =2sin θ，所以1S 1−1S 2=−sin θ2(1+sin 2θ)=12×−1sin θ+1sin θ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S 1−1S 2∈[−14,0)．【解答】（1）由题可知，P(p2+2,2√3)，代入抛物线C:y 2＝2px ， 得：12＝2p(p2+2)，求出p 的值，p =2.即可得到抛物线C 方程：y 2=4x .（2）设直线AB 的倾斜角为θ(θ>0)，直线AB 与OQ 交于点D ，则有AB=4sin2θ，QD=QO+OD=1sinθ+sinθ，所以S1=12AB⋅QD=2(1+sin2θ)sin3θ，S2=12AB⋅OD=2sinθ，所以1S1−1S2=−sinθ2(1+sin2θ)=12×−1sinθ+1sinθ∈[−14,0)．根据图象对称性可知，1S1−1S2∈[−14,0)．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】直线l的参数方程为{x=−1+ty=2−t（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y−1＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．转换为直角坐标方程为x22+y2=1．直线l的参数方程为{x=−1+ty=2−t（t为参数），转换为标准式为{x=−1−√22ty=2+√22t，（t为参数），代入C方程得到：3t2+10√2t+12=0，所以：t1+t2=−103√2，t1t2＝4．则|PA|+|PB|=|t1+t2|=10√23．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】直线l的参数方程为{x=−1+ty=2−t（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y−1＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2=43−cos2θ．转换为直角坐标方程为x22+y2=1．直线l的参数方程为{x=−1+ty=2−t（t为参数），转换为标准式为{x=−1−√22ty=2+√22t，（t为参数），代入C方程得到：3t2+10√2t+12=0，所以：t1+t2=−103√2，t1t2＝4．则|PA|+|PB|=|t1+t2|=10√23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【答案】函数f(x)＝|x+1|+|2x−1|，当x≥12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+2x−1≤2，解得：12≤x≤23；当−1<x<12时，不等式f(x)≤2可化为x+1+1−2x≤2，解得：0≤x<12；当x≤−1时，不等式f(x)≤2可化为−x−1+1−2x≤2，解得：x≥−23（不合题意，舍去）；所以不等式f(x)≤2的解集是[0, 23]；f(x)＝|x+1|+|2x−1|={3x,x≥12−x+2,−1<x<12−3x,x≤−1，画出y＝f(x)的图象，如图所示；由图象知f(x)的最小值是32，所以不等式f(x)≥3a 2+b 2对任意x ∈R 恒成立，化为3a 2+b 2≤32， 即2a 2+23b 2≤1；它表示焦点在纵轴上的椭圆面，如图所示；设2a 2＝cos 2θ，23b 2＝sin 2θ，其中θ∈[0, 2π)； 所以a =√22cos θ，b =√62sin θ， a +b =√22cos θ+√62sin θ=√2sin (θ+π6)；当θ+π6=π2，即θ=π3时，a +b 取得最大值为√2； 当θ+π6=3π2，即θ=4π3时，a +b 取得最小值为−√2；所以a +b 的取值范围是[−√2, √2]． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式恒成立的问题【解析】（1）利用分段函数法去掉绝对值，解不等式即可；（2）求出函数f(x)的最小值，把不等式化为3a 2+b 2≤32，结合题意画出图形，利用参数法求出a +b 的最大、最小值，求出a +b 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝|x +1|+|2x −1|，当x ≥12时，不等式f(x)≤2可化为x +1+2x −1≤2， 解得：12≤x ≤23；当−1<x <12时，不等式f(x)≤2可化为x +1+1−2x ≤2，解得：0≤x <12；当x ≤−1时，不等式f(x)≤2可化为−x −1+1−2x ≤2， 解得：x ≥−23（不合题意，舍去）； 所以不等式f(x)≤2的解集是[0, 23]；f(x)＝|x +1|+|2x −1|={3x,x ≥12−x +2,−1<x <12−3x,x ≤−1，画出y ＝f(x)的图象，如图所示；由图象知f(x)的最小值是32，所以不等式f(x)≥3a 2+b 2对任意x ∈R 恒成立，化为3a 2+b 2≤32， 即2a 2+23b 2≤1；它表示焦点在纵轴上的椭圆面，如图所示；设2a 2＝cos 2θ，23b 2＝sin 2θ，其中θ∈[0, 2π)； 所以a =√22cos θ，b =√62sin θ，a+b=√22cosθ+√62sinθ=√2sin(θ+π6)；当θ+π6=π2，即θ=π3时，a+b取得最大值为√2；当θ+π6=3π2，即θ=4π3时，a+b取得最小值为−√2；所以a+b的取值范围是[−√2, √2]．。

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =( )A. (1,2]B. (1,94]C. (1,32]D. (1,+∞) 2. 设复数z 满足1−z 1+z =i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 下列说法正确的是( )A. 命题“若 cos x =cos y ，则 x =y ”的逆否命题为真命题B. 命题“若 xy =0，则 x =0”的否命题为“若 xy =0，则 x ≠0”C. 命题“∃x ∈R ，使得 2x 2−1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有 2x 2−1<0”D. 若 a ∈R ，则“a >2”是“|a|>2”的充分不必要条件4. 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5. 对于数列{a n }，定义数列{a n+1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=3，{a n }的“差数列”的通项为3n ，则数列{a n }的通项a n =( )A. 3nB. 3n −32C. 3n +32D. 3n−1+2 6. (x 3−1)(√x +2x )6的展开式中的常数项为( )A. −60B. 240C. −80D. 180 7. 已知a >0,b >0,a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A. 92B. 72C. 5D. 48.函数y=e|x|4x的图象可能是()A. B.C. D.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)，当x∈[−2,0)时，f(x)=2x，则f(2015)−f(2014)的值为()A. 34B. −34C. 14D. 1210.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上，若点P到抛物线的焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A. 2B. 1C. 4D. 811.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，则A=()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π612.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(2,1+m),b⃗ =(3,m)，且a⃗//b⃗ ，则m=______ ．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5=______ ．16.若曲线y=ax+2cos x上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBcosC =b2a−c．(1)求角B的大小；(2)若b=√13，a+c=5，求△ABC的面积．18.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位：ℎ)根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示)．(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x¯和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2．①求P(0.8<Z<8.3)②若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ε，试求E(ε).附：√6.16≈2.5，若Z−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.954519.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=ax−1x 2+1，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a =1，证明：当x ∈[1,+∞)时，f(x)≤lnx 2．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足a2+b2=m，求11+a2+12+b2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，一元一次、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题． 分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．解：因为集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，所以A ={x|x >1},B ={x|0≤x ≤32}，所以A ∩B ={x|1<x ≤32}，即A ∩B =(1,32],故选C ． 2.答案：A解析：本题考查复数的运算，复数的模，属于基础题．先求出复数z ，再求复数z 的模即可．解：∵复数z 满足1−z 1+z =i ，∴1−z =i +zi ，∴z(1+i)=1−i∴z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ，∴|z|=1，故选A ．3.答案：D解析：本题考查四种命题间的关系、命题的否定与否命题、特称命题与全称命题、充要条件等知识，比较容易．按照相关知识，逐个判断即可．解：A.易知原命题是假命题，根据原命题与逆否命题等价可知，其逆否命题为假命题，故A错误；B.命题“若xy=0，则x=0”的否命题应为“若xy≠0，则x≠0”，故B错误；C.命题“∃x∈R，使得2x2−1<0”的否定是“∀x∈R，都有2x2−1≥0”，故C错误；D.由|a|>2⇒a>2或a<−2，所以若a∈R，则“a>2”是“|a|>2”的充分不必要条件，故D 正确．故选D．4.答案：D解析：本题考查了独立性检验，属于基础题．根据K2的值，结合临界值表可得．解：K2=7>6.635，故有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关系或者说在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关．故选D．5.答案：C解析：本题考查数列的新定义，考查累加法，是中档题．利用已知条件及累加法可直接求解出答案．由已知得a n+1−a n=3n，a1=3，则a2−a1=3，当n≥2时，a3−a2=32，…，a n−a n−1=3n−1．．由累加法得a n=3+3+32+⋯+3n−1=3n+32∵a1=3符合上式．。

【精准解析】重庆市2020届高三5月调研(二诊)数学(理)试题

【精准解析】重庆市2020届高三5月调研(二诊)数学(理)试题

-8-
由题知 DG 平面 ABC ，所以 DG AC ，又 AC GB ， DG GB G ， 所以 AC 平面 DGB ，所以 AC BD ， 又 BD CE ， CE AC C ，∴ BD 平面 ACD ，∴ BD CD ， BD AD ， 又 D ABC 为正三棱锥，∴ DA ， DB ， DC 两两垂直， 故三棱锥 D ABC 可看作以 DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，
3i
，
所以 z 12 32 10 .
故选：C.
【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.
3.下列说法正确的是（ ）
A. “若 a 2 ，则 2a 4 ”的否命题为“若 a 2 ，则 2a 4 ”
B. 命题 p q 与 p q 至少有一个为真命题
C. “ x 0 ， x2 2x 2 0 ”的否定为“ x 0 ， x2 2x 2 0 ”
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个备选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A 2,3,5, 7 ， B x | log2 (x 2) 1 ，则 A B （ ）
A. 2
B. 3
C. 2,3
c
2a sin C
，则 S△ABC
1 2
2a 2
sin B sin C
2 即可得解. 2
【详解】由 a sin A b sin B 2c sin B c sin C 得 a2 b2 2cb c2 ，
则 cos A b2 c2 a2 2bc
2 ，由 A 0, 可得 A 3 ，
1 ，求得

重庆2020届高三二诊文科数学试卷--带答案--重庆高考

重庆2020届高三二诊文科数学试卷--带答案--重庆高考

即 a4 4d ，故 a1 d ， an nd ， a3 3d，a6 6d ，
故此等比数列首项为 3d 、公比为 2 ，
因此 abn 3d 2n1 ，故 bn 3 2n1 ． 第 16 题提示： y a 2sin x [a 2，a 2] ，由题知在区间[a 2，a 2] 内存在两数之积为 1，
2
2
2 10
所以 a 10 ，故选 D．
第 12 题提示：设 ABC 的中心为 G ，延长 BG 交 AC 于 F ，则 F 为 AC 中点，连接 DF ．
由题知 DG 平面 ABC ， AC GB ，由三垂线定理得 AC BD ，
又 BD CE ， BD 平面 ACD ，又 D ABC 为正三棱锥，
P 1 (1 0.0228)10 1 0.977210 1 0.79 0.21 . ……12 分
19．（12 分）
z
解：（1）AB / /DC ， AB 平面 PDC ，AB/ / 平面 PDC ，
又面 ABFE 面 PDC EF ， AB / / EF ，
取 DC 中点 G ，连接 BG ，则 ABGD 为平行四边形，
3 ，b2
2，
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1； ……4 分 3 2
（2）设 M(x1，y1)， N (x2，y2 ) ，由 OP 2OM 得 P(2x1，2 y1) ， 由 NQ NP 得 (xQ x2，yQ y2) (2x1 x2，2 y1 y2 ) ，
xQ 2x1 (1 )x2，yQ 2 y1 (1 ) y2 ，又点 Q 在椭圆 C 上，
a 2b
即 a 2 2 2，b 2 2 时等号成立，故选 C．
第
8
题提示：由
y

2020届重庆市高三5月调研(二诊)数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市高三5月调研(二诊)数学(理)试题(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =I （ ） A. {}2 B. {}3 C. {}2,3D. {}3,5 【答案】B【分析】由对数函数的性质可得{}|24B x x =<<，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|log (2)1|022|24B x x x x x x =-<=<-<=<<， 所以{}{}{}2,3,5,7|243x A x B <<==II . 故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题.2.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ）A. B. 2 C. D. 10【答案】C【分析】由题意13z i =--，再由复数模的概念即可得解. 【详解】由题意()22213i i i z i i i i i --=-=-=--，所以z ==故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.3.下列说法正确的是（ ）A. “若2a >，则24a>”的否命题为“若2a >，则24a ≤” B. 命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C. “0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D. “这次数学考试的题目真难”是一个命题【答案】B【分析】由否命题的概念即可判断A ，由命题及其否定的关系可判断B ，由全称命题的否定方法可判断C ，由命题的概念可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，“若2a >，则24a>”的否命题为“若2a ≤，则24a ≤”，故A 错误； 对于B ，命题p q ∨的否定为()p q ⌝∨，故命题p q ∨与()p q ⌝∨有一个命题为真，故B 正确；对于C ，“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∃≤，2220x x -+<”，故C 错误；对于D ，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念，属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关【答案】D【分析】由题意()2 6.6350.01P K ≥=，由独立性检验的原理即可得解. 【详解】由题意27K =，()2 6.6350.01P K ≥=， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关.故选：D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈.随着n 的增大，1n n a a +0.618≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ）A. 144厘米B. 233厘米C. 250厘米D. 377厘米【答案】B【分析】 由题意可得10.618n n a a +≈且133600n n a a +=，即可得解. 【详解】由题意可得10.618n n a a +≈且133600n n a a +=，解得1233n a +≈. 故选：B.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.6.在103x 的展开式中，常数项为（ ） A. -252B. -45C. 45D. 252 【答案】C【分析】由题意写出10的展开式的通项公式，令8r =即可得解.【详解】由题意，10的展开式的通项公式为：()()105110101r r r r r r r T C x C x x --+⎛=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令53r -=-即8r =，()()8583310101145r r r C x C x x ----⋅⋅=-⋅⋅=， 所以103x x x ⎛- ⎪⎭的展开式中，常数项为45. 故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.7.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b +的取值范围是（ ）A. ()0,∞+B. [)2,+∞C. )21,⎡++∞⎣D. )22,⎡+∞⎣ 【答案】C【分析】由题意112b b a a b a b+=++，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，1212121222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++≥⋅+=+， 当且仅当2b a a b=，即222a =-，22b =-时等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是对于条件做适当的变形，属于基础题.8.函数x x y e =的部分图象是（ ） A. B.C.D.【答案】A【分析】对比函数的性质与图象的特征，逐项排除即可得解.【详解】令()x x f x e =，则()()x x f x f x e---==-，所以()f x 为奇函数，可排除C 选项； 当0x >时，()1x x f x e -'=，故()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，故排除B 、D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用，属于基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1 【答案】B【分析】 由题意结合奇函数的性质可得()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合函数周期的概念可得()f x 是周期为3的周期函数，进而可得()()110012f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数， 故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题. 10.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A.B.C.D. 【答案】C【分析】由题意结合抛物线的性质得52p x p =，p y =，由以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -可得1212p =-，求得p =. 【详解】由题意点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点()(),0P P P P x y y >，()0,1A -， Q 32p p FP x p =+=，∴52p x p =，p y =， Q 以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -，∴AP AF ⊥，即115212p p+⋅=-，∴5p =， 由//PQ y轴可得所求距离为5225p p -=. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力和转化化归思想，属于基础题.11.已知ABC V 的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）A.B.C.D.【答案】D【分析】由题意结合正弦定理得222a b c -=+，由余弦定理得cos 2A =-即34A π=，再由cos sin sin cos cos A B C B C =-可得sin sin 10B C =，根据正弦定理得sin b B =，sin c C =，则212sin sin 22ABC S a B C =⋅⋅△即可得解.【详解】由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 22b c a A bc +-==-，由()0,A π∈可得34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin 10B C =，由正弦定理知sin sin b c B C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 222101ABC S bc A a B C a ==⋅⋅==△，所以a =故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.12.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC V 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC V 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 42πC. 54πD.【答案】C【分析】设ABC V 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题意可得AC BD ⊥，进而可得BD ⊥平面ACD ，即可得DA ，DB ，DC 两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化为以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的外接球，即可得解.【详解】设ABC V 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题知DG ⊥平面ABC ，所以DG AC ⊥，又AC GB ⊥，DG GB G =I ， 所以AC ⊥平面DGB ，所以ACBD ⊥， 又BD CE ⊥，CE AC C =I ，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD CD ⊥，BD AD ⊥，又D ABC -为正三棱锥，∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得32DA = 故正方体外接球直径232336R ==，所以球O 的表面积为223644542R πππ⎛== ⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量()2,a m =r ，()1,2a b +=r r ，若()//3a a b +r r r ，则实数m =______________. 【答案】4【分析】由题意可得()1,2b m =--r ，进而可得()31,62a b m +=--r r ，再由平面向量共线的特征即可得解.【详解】Q ()2,a m =r ，()1,2a b +=r r ，∴()1,2b m =--r ，∴()31,62a b m +=--r r ，又()//3a a b +r r r，∴()262m m -=-，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征，属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.【答案】9 452π-【分析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个18球，利用体积公式即可得解.【详解】由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴3149335345832Vππ=⨯⨯-⋅⋅=-.故答案为：9452π-.【点睛】本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解，属于基础题.15.已知公差不为0的等差数列{}n a中，2a，4a，8a依次成等比数列，若3a，6a，1b a，2b a，…，n b a，…成等比数列，则nb=_____________.【答案】132n+⋅【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd=，进而可得132nnba d+=⋅，即可得解.【详解】设数列{}n a公差为d，由题知()()24284424a a a a d a d==-+，即44a d=，故413dda a=-=，∴n a nd =，33a d =，66a d =，故新等比数列首项为3d 、公比为2，因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【分析】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，转化条件得存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，进而可得()()221a a -+≤-，即可得解.【详解】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，Q 曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，∴存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，不妨设120k k <<，Q ()()()121222k k k a a a ≥+≥-+，∴()()221a a -+≤-，即a ≤≤故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =1c =，求ABC V 的面积.【答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，k Z ∈；（2）4【分析】（1）由三角恒等变换得()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，分别令()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈、()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈即可得解；（2）由题意可得23A π=，由正弦定理得1sin 2C =，进而可得6B π=，再利用1sin 2ABC S ac B =△即可得解.【详解】（1）由题意()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭1cos 2sin 22sin 223x x x π+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭， 由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()1212k x k k Z 5π11ππ+≤≤π+∈，故()f x 在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；（2）由题意2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，由正弦定理得sin sin c a C A=即1sin C =1sin 2C =， 由0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6C π=，∴ππ6B A C =--=，∴111sin 12224ABC S ac B ==⨯=△. 【点睛】本题考查了三角函数性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用，属于中档题.18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28PX <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.【答案】（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解； （ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=， 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075， 故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=，1154.6 2.145σ==≈， （i ）()()167.86174.282PX P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P XP X μσ->=>+==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点.（1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）9131131-【分析】（1）由线面平行的性质可得//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，由平面几何知识90BGC ∠=︒即AB AD ⊥，由线面平行的判定可得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质即可得证；（2）由题意3PD =E 、F 分别为PD 、PC 的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面DBF 的一个法向量为m u r 、平面ABD 的一个法向量n r，由cos ,m n m n m n⋅=⋅r r r r r r 即可得解.【详解】（1）证明：∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ， 又面ABFE I 面PDC EF =，∴//AB EF ， 取DC 中点G ，连接BG ，如图：则ABGD 为平行四边形，∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥， 又AB AP ⊥，AP AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴PD EF ⊥；（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴tan 3CPD DCDP ∠==，解得23PD =， 又12EFAB DC ==，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点， 取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，2222PO PD OD =-=，由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，CD AD D =I，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA u u u r ，AB u u u r ，OP uuur 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则()2,0,0A，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(0,0,22P ，故(2F -，()4,3,0DB =u u u r，(2DF =u u u r ，设平面DBF 的一个法向量为(),,m x y z =u r，则43030m DB x y m DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令3x =得3,4,2m ⎛=- ⎝⎭u r ， 显然()0,0,1n =r是平面ABD 的一个法向量，∴c os ,m n m n m n ⋅===⋅r r r r r r ， 由题知二面角A BD F --的余弦值为131-. 【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为1的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=u u u r u u u r，求λ的值.【答案】（1）22132x y +=；（2）2237λ= 【分析】 （1）由题意可得c a =、221413a b +=，解出23a =，22b =后即可得解； （2）设()11,Mx y ，()22,N x y ，转化条件得2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，联立方程可得1265x x +=，1235x x =-，即可得解. 【详解】（1）由题知c a =2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =u u u r u u u u r得()112,2P x y ，由NQ NP λ=u u u r u u u r得()()221212,2,2QQ xx y y x x y y λ--=--，∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=，即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭， 由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，>0∆， 则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-，∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=. 【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若不等式()12x f x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，在()0,∞+上单调递增，当0a <时，在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）1a e -≤ 【分析】（1）求导后，按照0a ≥、0a <分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解；（2）转换条件得211ln 022xe ax x e a ---+>在()1,+∞上恒成立，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，求导后结合()10g=，按照1a e >-、1a e -≤分类讨论，即可得解.【详解】（1）求导得()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()00f x x'>⇔<<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）()2111ln 0222x x f x e e a e ax x e a <-+⇔---+>，令()211ln 22xg x e ax x e a =---+，()10g =，则()1xg x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >，使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减，∴()()010g x g <=，与题意矛盾；当1a e -≤时，令()1xh x eax x=--，()1,x ∈+∞，∴()()221110xh x e a e e x x'=-+>--+>，∴()h x 即()g x '单调递增，∴()()110g x g e a ''>=--≥，∴()g x 单调递增，∴()()10g x g >=，符合题意；综上所述，1a e -≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点. （1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题意可得1//O M l 即002sin 32co 4s θθ=-，结合同角三角函数的平方关系求得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，可得曲线C 是圆心为()2,3，半径为2的圆，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；（2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ，∴002sin 32co 4s θθ=-，又2200s cos in 1θθ+=，解得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题. 23.已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .（1）求m 的值； （2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解；（2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解.【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立， 故2m =； （2）由题意222a b +=，由柯西不等式得()222221112(11124)a b ab ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎭=⎝， 当且仅当232a =，212b =时，等号成立， ∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.。

2020年重庆市高三学业检测(第二次)-理科数学(含答案、评分细则)

2020年重庆市高三学业检测(第二次)-理科数学(含答案、评分细则)

所以 CM / /DN ,又 DN 平面 AB1N ， CM 平面 AB1N ，
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.
·5·
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O
y
2t 2
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos ．
值为 π ,若将 y f (x) 的图象沿 x 轴向左平移 ( 0) 个单位，所得图象关于原点对称， 2
则实数 的最小值为
·1·
A. 12
B.
6
C.
3
7
D.
12
8.2020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有 4 名员工报名参加
该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名员工均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情
所以 D 为 AB1 的中点．又因为 M 为 AB 的中点，
所以 DM
/
/BB1 ，且 DM
1 2
BB1 .
……………………………………………2 分
因为
N
为 CC1
的中点，所以 CN
1 2
CC1
，
所以 DM CN ，且 DM / /CN ，
所以四边形 CMDN 是平行四边形，………………………………………………4 分
223
n 1 n
n
18.解：（Ⅰ） K 2 200 (85 5 9515)2 50 5.556 6.635 100100 20180 9
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（2）由题知 170， = 4.6 115 2.14 ， ……5 分 5
（ⅰ） P(167.86 X 174.28) P( X 2) 0.6826 0.9544 0.6826 0.8185 ， 2
……8 分
（ⅱ） P( X 174.28) 1 0.9544 0.0228 ，故 10 人中至少有 1 人的身高在174.28 cm 以上的概率 2
故 [2x1 (1)x2]2 [2y1 (1)y2]2 1，
3
2
即 42( x12 y12 ) (1 )2( x22 y22 ) 4(1 )( x1x2 y1y2 ) 1，
32
32
32
42 (1 )2 4(1 )( x1x2 y1 y2 ) 1， ……8 分 32
由题知直线
MN
:
故 f (x) 在[k ，k 5 ] 上单增，在[k 5 ，k 11 ] 上单减， k Z ；……6 分
12
12
12
12
（2） f ( A) 2sin(A ) 3 ，则 sin(A ) 3 ， A(0， ) ，A ，即 A 2 ，……8 分
2
3
32
33
3
由正弦定理得 1 3 ， sin C 1 ，C ，故 B ，
则 A(2，0，0)，D(2，0，0)，B(2，3， 0)， C(2，6，0)，P(0，0，2 2) ， 故 F(1，3， 2)，DB (4，3，0)，DF (1，3， 2) ，
设平面
DBF
的法向量为
m
(x，y，z)
，则
4x 3y x 3y
0 2z
0
，
令
x
3
得
m
(3，
4，9
2 ) ，……9 分
g(x)
0，
g(x) 单减， g(x0 ) g(1) 0 ，与题意矛盾，故 a ≤ e 1， ……7 分
当a
≤
e
1 时，
x (1，
)
， g(x)
ex
a
1 x2
e 1
a
≥2
， g(x)
单增，
g(x) g(1) ≥ 0 ， g(x) 单增， g(x) g(1) 0 ，符合题意， a ≤ e 1. ……12 分
22．（10 分）
解：（1）曲线 C 的普通方程为 (x 2)2 ( y 3)2 4 ，直线 l 的直角坐标方程为 4 y 3x a ，由直线 l 与圆 C 有
两个交点知 | 6 12 a | 2 ，解得 8 a 28 ； ……5 分 5
（2）设圆 C 的圆心为 O1 ，由圆 C 的参数方程可设点 M (2 2 cos0，3 2 sin 0) ，由题知 O1M / /l ，
2
，
2bc
2
故 A 3 ，由 cos A cos(B C) sin B sin C cos B cos C 得 sin B sin C
2
，
4
10
由正弦定理知 b c 2a ，即b 2asin B，c 2asin C ， sin B sin C
S 1 bc sin A 1 2a2 sin B sin C 2 1 a2 ，
3 ，b2
2，
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1； ……4 分 3 2
（2）设 M(x1，y1)， N (x2，y2 ) ，由 OP 2OM 得 P(2x1，2 y1) ， 由 NQ NP 得 (xQ x2，yQ y2) (2x1 x2，2 y1 y2 ) ，
xQ 2x1 (1 )x2，yQ 2 y1 (1 ) y2 ，又点 Q 在椭圆 C 上，
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 3页 共 4 页
21．（12 分）
解：（1） f (x) 1 ax ax2 1 （ x 0 ），当 a ≥ 0 时 f (x) 0 ， f (x) 在 (0， ) 上单增，
x
x
当 a 0 时 f (x) 0 0 x 1 ， f (x) 在 (0， 1 ) 上单增，在 (1 ， ) 上单减；……4 分
2
2
2 10
所以 a 10 ，故选 D．
第 12 题提示：设 ABC 的中心为 G ，延长 BG 交 AC 于 F ，则 F 为 AC 中点，连接 DF ．
由题知 DG 平面 ABC ， AC GB ，由三垂线定理得 AC BD ，
又 BD CE ， BD 平面 ACD ，又 D ABC 为正三棱锥，
故只需 (a 2)(a 2) ≤ 1 ，即 - 3 ≤ a ≤ 3 ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） f (x) sin 2x
3(1 cos 2x)
3
2 sin(2 x
)
，……2
分
3
由 2k ≤ 2x ≤2k 得 k ≤ x ≤ k 5 ，……4 分
2
3
2
12
12
4
4
4
4
2
f (x 3) f (x 3) f (x) ， f (x) 是周期为 3 的周期函数， 2
故
f
(100)
f
(1)
f
( 1) 2
log 2
3m 2
，即 log2
3 2
m
log2 3 ， m
1 ，故选 B．
第
10
题提示：由题知 |
FP |
xP
p 2
3p
， xP
5 2
p ，设点
15． 3 2n1
16．[ 3， 3]
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 1页 共 4 页
1
第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 球，
8
如图所示，V 3 3 5 1 4 33 45 9 ．
83
2
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 a42 (a4 2d )(a4 4d ) ，
（2）由（1）知 CD 平面 PAD ，CPD 即为直线 PC 与平面 PAD 所成角，
CPD ， 6 3 ，即 PD 2 3 ，又 EF AB 1 DC ，
3 PD
2
E，F 分别为 PD，PC 的中点，取 AD 中点 O ，连接 PO ，则 PO AD ，
由 CD 平面 PAD可得CD PO ，故 PO 平面 ABCD ， ……7 分 以 O 为原点， OA，AB，OP 分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
BG 4 ，又 GC 3，BC 5 ，故 BGC 90 ，
AD DC ， AB AD ，又 AB AP ， AB 平面 PAD ， EF 平面 PAD ， EF PD ； ……6 分
O x
G y
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 2页 共 4 页

A(0，1) ，由题知
AP
AF
，即
1 p
yP 5
p
1
=
-
1
，
22
yP -
5 p ， p 2 5 ，故所求距离为 5 p p 4 5 ，故选 C．
5
22 5
第 11 题提示：由 a sin A bsin B
2csin B csin C 得 a2 b2
2cb c2 ，则 cos A b2 c2 a2
sin C 3
2
6
6
2
SABC
1 ac sin B 2
3
.
4
……12 分
18．（12 分）
解：（1）由题知五组频率依次为 0.1，0.2，0.375，0.25，0.075 ，
故 x 0.1166 0.2168 0.375170 0.25172 0.075174 170 ， ……2 分
s2 (170 166)2 0.1 (170 168)2 0.2 (170 172)2 0.25 (170 17 4)2 0.075 4.6 ；…4 分
DA，DB，DC 两两垂直，
故三棱锥 D ABC 可看作以 DA，DB，DC 为棱的正方体的一部分，
二者有共同的外接球，由 AB 6 得 DA 3 2 ，
故正方体外接球直径为 3 2 3 3 6 ，
二、填空题
13． 4
所以球 O 的表面积为 4 R2 54 ，故选 C．
14． 45 9 2
即 a4 4d ，故 a1 d ， an nd ， a3 3d，a6 6d ，
故此等比数列首项为 3d 、公比为 2 ，
因此 abn 3d 2n1 ，故 bn 3 2n1 ． 第 16 题提示： y a 2sin x [a 2，a 2] ，由题知在区间[a 2，a 2] 内存在两数之积为 1，
2
显然 n (0，0，1) 是平面 ABD 的一个法向量，cos m，n
92 2
9
， ……11 分
131 131
2
由题知二面角 A BD F 的余弦值为 9 131 ． ……12 分 131
20．（12 分）
解：（1）由题知 c a
3 3
b2
，故
a2
2 3
，又
1 a2
4 3b2
1 ， a2
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 5 月调研测试卷 理科数学 参考答案
一、选择题
1～6 BCBDBC
7～12 CABCDC
第 7 题提示：由题知， b a 2b b a 1≥ 2 b a 1 2 1 ，当且仅当 b a
a 2b a 2b
a 2b
a 2b
即 a 2 2 2，b 2 2 时等号成立，故选 C．
第
8
题提示：由
y
x e|x|
为奇函数可排除
C
选项，当
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