第三章路径积分
路径积分分子动力学
路径积分分子动力学Path integral molecular dynamics (PIMD) is a computational method used to simulate the behavior of molecules in a system. It combines the principles of molecular dynamics with the path integral formulation of quantum mechanics, allowing for the investigation of quantum effects in molecular systems. PIMD is particularly useful in studying systems at low temperatures, where quantum effects become significant.One of the main advantages of PIMD is its ability to accurately describe the nuclear quantum effects that are present in molecular systems. In classical molecular dynamics simulations, the motion of atoms is described classically, neglecting their quantum nature. However, at low temperatures, the wave-like nature of atoms becomes important, and classical simulations fail to capture the correct behavior. PIMD overcomes this limitation by treating the atoms as quantum particles, allowing for the inclusion of nuclear quantum effects.PIMD works by transforming the quantum mechanical problem of a many-particle system into an equivalent classical problem in a higher-dimensional space. This is done by introducing a set of fictitious particles, known as replicas, that represent different paths of the system. These replicas are then propagated in time using classical molecular dynamics algorithms, incorporating both the quantum and classical aspects of the system. By averaging over the trajectories of the replicas, one can obtain thermodynamic properties and dynamical information of the system.The inclusion of nuclear quantum effects in PIMD simulations has important implications for understanding a variety of phenomena in molecular systems. For example, it can provide insights into the behavior of hydrogen bonds, which are crucial for the stability and function of biomolecules. PIMD can also be used to study the dynamics of chemical reactions, where quantum effects can significantly influence reaction rates and mechanisms. Furthermore, PIMD is valuable in investigating theproperties of materials at extreme conditions, such as high pressures and temperatures, where quantum effects become more pronounced.Despite its advantages, PIMD simulations can be computationally expensive due to the need to propagate multiple replicas. The computational cost increases withthe number of replicas, making it challenging to simulate large systems or perform long-time scale simulations. However, advancements in hardware and algorithms have made PIMD more accessible, allowing for the study ofincreasingly complex molecular systems.In conclusion, path integral molecular dynamics is a powerful computational method that combines classical molecular dynamics with the path integral formulation of quantum mechanics. It enables the investigation of nuclear quantum effects in molecular systems, providing valuable insights into the behavior of molecules at low temperatures. PIMD has diverse applications, ranging from the study of hydrogen bonds and chemical reactions to the exploration of materials under extreme conditions. While computationalcosts can be a limitation, ongoing developments in hardware and algorithms are expanding the scope of PIMD simulations.。
积分路径
m
2
( x j 1
x j )2
K (x' 't' ',
x' t ' )
lim
N
C
N
0
dx1
dxN
1
exp[
im
2
N 1
( x j 1 x j )2
j 0
利用积分公式
(
m
)1/ 2 exp[ im ( x' ' x' )2 ]
2i(t' '-t')
2 (t' 't' )
其 中C N
路径积分的计算方法
罗韦 高亚南 2011.12.7
按Feynman路径积分的假定，
K (r''t'', r't') C
i
S[
r (t
)]
e
所有道路
S[r(t)] ttAB L(r,r,t)dt
不要求S取极值，包括给定初终点的一切可能轨道。 且每条轨道对传播子做等权贡献，仅相位不同。 由轨道的连续变化，求和化为泛函积分：
L( rj
rj1 2
,
rj
rj1
,
j ),
N1
而， D[r(t)] CN d3x j j1
多变折线道
CN的恰当取值，使N 时，积分的极限存在，
KN (r''t'', r't') CN
exp{ 1
d
3
x
j
,
K
(r''t'',r't')
路径积分简介
N →∞
(
N −1 h
1 ˙2 ¯j) ¯ − V (x ¯ j, t mx 2 j
) i
(25)
也可以将此式看作路径积分的精确定义式,我们以后的计算都是基于此.
3 几个例子
下面我们讨论几个具体计算的例子.为简单起见,我们暂时使用自然单位制.
3.1 自由粒子的运动
˙ 2 /2,因此 自由粒子的Lagrange函数为L =x
+∞
(27) (28)
这里a和b是保证积分收敛的任意复数,最终上述积分式的结果为 其中 容易算出
bN − 1 =
q
h i −π ab exp (ζ − η)2 a+b a+b
(−π)(N −1)/2(a1a2…aN −1)−1/2exp{bN −1(ξN − ξ0)2} a1 = 2, a2 = b1 + 1, …, aN −1 = bN −2 + 1, b1 = 1/2, b2 = b1 /(b1 + 1), …, bN −1 = bN −2 /(bN −2 + 1) 1 1 , a a ⋯a = +1 N 1 2 N −1 1
(29) (30)
因此得到
K(b, a) = lim
1 1 (2πiϵ)N /2 2 π iNϵ N →∞ AN ϵ
1 1 +1 ⋯ +1 =N 2 N−1
1/2
exp
n
1 (ξ − ξa)2 N b
(31) (32)
o
4
节3
要保证上式在N → ∞以及ϵ → 0时有极限,我们取
Aϵ = (2πiϵ)1/2 (33)
第三章-路径分析PPT课件
路径图中没有环，误差项之间没有双向（弧线）箭头
•8
❖ 非递归模型。至少符合以下条件之一
模型中任意两个变量之间存在直接或间接的反馈作用 某变量存在自身反馈作用（自相关） 误差项相关
内生变量的误差项与其外生变量相关 不同内生变量的误差项相关 路径图中有环，误差项之间有双向（弧线）箭头
建立待估计参数个数与方程个数的关系，以判断 模型参数是否能够识别或者估计。
•14
极大似然估计(MLE)
❖ 基本思想：在已经得到实验结果的情况下，我们应该寻找 使这个结果出现的可能性最大的参数作为真实参数的估计
❖ 似然函数：
n
离散型随机L变 ()量 ： p(ix;),
i1
n
连续性随机L变 ()量 ： f(xi;), i1
•3322
本讲内容
3.1模型设定-路径图 3.2参数估计 3.3模型检验与评价 3.4效应分解
•1
路径分析的步骤
❖ 模型设定 ❖ 参数估计
递归模型：OLS 非递归效应：ML/LS/GLS
❖ 模型检验与评价 ❖ 效应分解
因果效应：变量之间由于存在因果关系而产生的影响作用 直接效应/间接效应
虚假效应：两个内生变量的相关系数中，由于共同的起因产生影 响作用的部分
❖ 似然函数反映了参数的各个不同取值导出实验结果的可能 性的大小，我们选择使似然函数达到最大值的那个参数值 作为参数的估计。
•15
模型的协方差矩阵
Y BY X 其中，E ( X ) E ( ) 0, Cov( X , ) 0 Y BY X (I B)Y X Y (I B)1(X )
非递归路径模型单个方程的识别
❖ 阶条件（必要条件）：若第i个方程未包括的内生变 量和外生变量数之和大于或等于p-1 ，则该方程有可 能被识别
复变函数与积分变换第三章习题解答
fc Re[f (z)}Lz= s:·T Re[产�/0 = J�os0(- sin0+icos0}10= 冗 i-:t:O
、
f clm[J(z)}lz=
1 单位圆上 z=- 的性质 ， 及柯西积分公式说明 4. 利用
s::r
il) i(J lm[e �e = fo�in0(-sin0+icos0}10 =- -:t:O
宣
(4) (5) ( 6)由柯西基本定理知 ： 其结果均为0
1 正气衣 =f 一 (z+iXz +4) 如fz+il: lz 气 z +j z- J 3
2
I
1
=2冗i
(8)由
Cauchy 积分公式，
(9)由 高阶求导公式， (10)由高阶求导公式
fc ,'�"�『心 �2 i(sin,)
兀
f sinzdz =2
I。
: z 由=JJ3r +i t)\3+i肋
+I 2
(2)
I:
打
/dz = �··(. 止+f c, z油+f C2/dz•
2
l。
1 I 26. I =...:.(3+i)3 t3 1 =-(3+i)1=6+—I 3 3 3 0
=(3 + i)3
I
t d,
2
C3
{
x = 3, y =t,
(Ost 釭）； c, 之参数方程为{ y = t,
-4 -
故 Re [
共部分为 B 。 如果 f伈）在B1 -B 与B2 -B内解析 ， 在 证明
1 3. 设 cl 与 C 2为相交干 M、N两点的简单闭曲线
复变函数第三章答案
∫
C
1 dz ： ( z − 1) 2
由于
1 1 在 ℂ \{1} 内存在单值的原函数 − ， 所以， 由复积分的牛顿—莱布尼茨公式， 2 ( z − 1) z −1
I2 = ∫
再计算 I1 = 由于
C
1 1 3 1 1 1 dz = − = − = 。 2 ( z − 1) z −1 2 1− 3 1 − 2 2
1 1 I = ∫ zdz = ∫ ( −1 + 2t ) 2dt = 2 ( −t + t 2 ) = 0 。 C 0 0
���� �
���� �
（ 2） −1 到 1的上半单位圆周 z = 1 的参数方程为： z = e （ 0 ≤ θ ≤ π ） ，所以，
iθ
I = ∫ zdz = ∫ e − iθ ie iθ dθ = ∫ idθ = −π i 。
同情况分四种情形来证明结论： Ⅰ：积分路线 C 如第 6 题图（1） 情形 情形Ⅰ ，
补充有向直线段 1, 0 ，显然 C + 1, 0 构成简单闭曲线，并且 ± i 既不在 C + 1, 0 的内部也不在
���
���
���
��� C + 1, 0 上，所以
理
��� 1 在 C + 1, 0 所围成的单连通闭区域上解析，由单连通区域上的柯西积分定 1+ z2
I1 = ∫
C
� � 构成闭曲线（非简单） ，此时 C + 3, 2 可分解成两个简单闭曲线 2 MA2 和 3 AN 3 ，类似于上面的情
形，有
��� �
∫
∫
于是由复积分的曲线可加性
� 2 MA 2
� 3 AN 3
路径积分方法计算聚合物溶液热力学性质
Q
<
其中 f i 是第 i 个链段的同溶济分子接触的自由能 修正项. 在 nN 很大时 , 上式可以改写成以下的路 径积分形式 ( 11b) F 12 =
< ) d<
K
Qf d l
0 l
nN
( 19b)
由式( 6) 及 ( 11b) , 得聚合物溶液的总的无热熵浓 度S 为 ST S C S < < = + = ln + <ln( z - 1) k k k N N + 113 ln( 1 Q
有相 对于链段的可加性 , 在引入了/ 有效浓度0 的概念后 可以用路径 积分方法 计算 . 当采用体积 分数代替 有效 浓度时 , 就回到了李晓毅和赵得禄的溶液理论 . 还利用本理论研究了不同分子量聚苯乙烯 - 环己 烷体系的 相分 离曲线 , 同 Flory - Huggins( FH) 理论相比 , 大大提高了同 实验数据的符合程度 . 关键词 路径积分 , 有效浓度 , 聚合物溶液 , 相分离
[ 22]
. Scholte 利用光散射
[ 23, 24]
和扩散平衡 法
[ 25]
,
测量了这个体系的 FH 相互作 用参数的浓度、 温 度及 链 长 依 赖 性, 以 及 体 系 的 相 分 离 曲 线. Koningsveld 和 Kleintjens 利用临界可溶法测量了聚 苯乙烯 - 环己烷体系在聚苯乙烯不同分子量下的 临界点 , 在不同理论的基础上计算 了 FH 相互作 用参数以及相分离曲线
[ 26~ 28]
上 世纪 40 年代 提出的 Flory -Huggins
. Painter 引入链间屏
[29, 30]
格子模型 $F = < ln <+ ( 1 - <) ln( 1 - <) + V<( 1- <) kT N ( 1)
路径积分
K ( b, a ) dxc K ( b, c) K ( c, a )
【证】 根据传播子的定义
（ tb tc ta ）
( xb , tb ) dxc K ( b, c) ( xc , tc ) ( xc , tc ) dxa K ( c, a ) ( xa , ta )
tb
2-1
tb L d x L , t ) x dt L( x , x ta dt x x
S ( x) x
ta
tb
tb L L tb d L x dt dt x t a ta x x dt x
tb ta N
（ t j 1 t j ）
相应的折点： x0 xa , x1 , x2 , , xN 1 , xN xb （ xa ， xb 固定，
2-6
但 x1 , x2 , , xN 1 ( , ) ）
t
tN t N 1
t j1 tj
t1 t0
2-3
因此若 ta 时刻粒子位于空间的 xa 点， 则传播子就是在 tb 时刻于 xb 点找到 。 由 ( xa , ta ) 传来的粒子的几率波幅（波函数）
t
( xb , tb )
K(b, a)
( xa , ta )
0
x
【结论】 传播子是一种特殊的波函数，代表着点源的影响。它实际上是薛定谔 （Schrödinger）方程的格林（Green）函数。 （2） 传播子的传递性
2 x 2 x
m 2 L 2
m2 (xb xa cosT )2 2 2xa (xb xa cosT ) cos2 ( ) sin2 ( ) x t t t t a a a 2 sin2 T sinT
量子场 路径积分量子化
量子场路径积分量子化
量子场论是描述自然界中基本粒子行为的理论框架，而路径积分量子化则是量子场论中的一种重要方法。
路径积分量子化是由费曼在20世纪50年代提出的，它提供了一种全新的描述量子系统的方式，通过对所有可能的路径进行求和来描述粒子的运动和相互作用。
在传统的量子场论中，我们通常使用哈密顿量和薛定谔方程来描述系统的演化。
然而，路径积分量子化提供了一种更加直观和自然的描述方式。
它不需要引入波函数或者算符，而是直接对所有可能的路径进行积分。
这种方法在描述复杂系统时特别有用，比如描述多体相互作用或者强相互作用的系统。
路径积分量子化的核心思想是，粒子在空间中的运动并不是沿着某条确定的轨迹进行的，而是沿着所有可能的路径进行的。
每条路径都对应着一种可能的运动方式，而路径积分则是对所有可能路径的贡献进行求和。
这种方法提供了一种更加全面和统一的描述方式，能够更好地理解量子系统的行为。
路径积分量子化在理论物理和高能物理领域有着广泛的应用，
特别是在描述强相互作用和量子引力等复杂系统时。
它为研究者提供了一种更加灵活和直观的工具，能够更好地理解和预测量子系统的行为。
总之，路径积分量子化是量子场论中的一种重要方法，它提供了一种全新的描述量子系统的方式，能够更好地理解和预测复杂系统的行为。
随着对路径积分量子化理论的深入研究，相信它将会在未来的物理研究中发挥越来越重要的作用。
费曼路径积分计算方法
费曼路径积分计算方法
费曼路径积分计算法是一种计算分析工具，它可以帮助分析和评估复
杂问题，寻求最佳解决方案。
它以图形化方式组织路径，遵循费曼理
论中的洞察原则，以便获得最佳结果。
下面介绍费曼路径积分计算方法：
一、填写费曼工作表：
在已经做出的决策或建议的基础上，在费曼工作表上记录每一项问题、机会和不确定性，把它们放到一起，解决事情的顺序是从上到下。
二、定义目标：
在填写完费曼工作表后，需要定义明确的目标，其中，最重要的是身
材轮廓，即指在路径积分过程中应实现什么样的中期目标或结果。
另外，还必须考虑经济性、质量和效率等多种因素，以达到最佳效果。
三、计算初始积分：
费曼路径积分计算的基础是给定每一项指标一个初始积分，从而可以
进行计算核算，而这些分数又能让我们比较实现某项任务间的收益。
这将极大地简化分析复杂问题的过程。
四、确定分数限制：
一旦确定了目标，接下来要确定分数限制，即在路径积分中每一项任
务必须达到多少分数来满足要求，比如合同差额、服务指标等。
五、调整费曼路径积分：
在上述步骤完成后，就可以启动费曼路径积分计算，通过调整积分来在最佳解决方案中找出最优结果，以此来实现所定义的目标和指标限制。
六、进行最终评估：
最后，需要进行最终评估，先看总分是否达到我们所定义的标准，如果没有达到计划，则需要及时修改分数，再次计算，直到最终结果满足目标要求，确保最佳结果的实现。
以上就是费曼路径积分计算法的步骤，它是一种非常有效的进行复杂系统分析的方法，可以有效地找出最佳解决方案，从而更好地解决问题。
量子力学中的量子力学力学与路径积分
量子力学中的量子力学力学与路径积分量子力学中的力学与路径积分量子力学是研究微观世界中粒子行为的理论框架，它描述了微观粒子的运动和相互作用。
在量子力学中，力学与路径积分是两个重要的概念。
本文将介绍量子力学力学的基本原理和路径积分的概念，并探讨它们在量子力学中的应用。
一、力学的基本原理量子力学力学是处理微观粒子运动和相互作用的数学框架。
力学中的主要概念包括哈密顿量、波函数和薛定谔方程。
1. 哈密顿量哈密顿量是描述系统能量的算符，它对应于力学系统的总能量。
在量子力学中，哈密顿量是一个厄米算符，它的本征态对应于系统的能量本征值。
2. 波函数波函数是用来描述量子力学系统状态的数学函数。
波函数的平方表示找到粒子在不同位置和状态的概率分布。
根据薛定谔方程，波函数的演化可以通过时间演化算符来描述。
3. 薛定谔方程薛定谔方程是描述系统演化的基本方程。
它是包含了哈密顿量、波函数和时间演化算符的一个偏微分方程。
薛定谔方程能够描述粒子在不同势能下的运动和相互作用。
二、路径积分的概念路径积分是量子力学中一种处理相干态和量子测量的方法。
它通过积分量子态随时间的变化路径，来计算系统的物理量和概率。
1. 路径积分表达式路径积分使用路径权重来描述粒子在每一时刻的传播和演化。
路径权重是路径上各点波函数之积的模的平方。
通过对所有可能路径的积分，可以得到系统的物理量和概率。
2. 干涉效应路径积分的一个重要应用是描述粒子的干涉效应。
在路径积分的计算中，不同路径的相干叠加导致了干涉效应的出现。
这种干涉效应在量子力学的测量中起着重要的作用。
三、力学与路径积分的应用力学和路径积分是量子力学中的基本工具，它们在多个领域都有广泛的应用。
1. 量子力学中的粒子运动力学和路径积分的概念对描述粒子在势场中的运动和相互作用非常重要。
通过求解薛定谔方程和计算路径积分，可以得到粒子的能级、波函数和运动轨迹。
2. 量子统计物理力学和路径积分在量子统计物理中也有重要应用。
费曼路径积分计算方法
费曼路径积分计算方法费曼路径积分计算方法是20世纪50年代由美国物理学家RichardFeynman提出的数学方法，它在量子力学和物理量子场论中扮演着重要的作用，也是构建量子计算模型的基础。
“费曼路径积分”一词是引申出来的：一种对不同路径的求和的数学方法，即积分的总和，是费曼提出的最为宝贵的创新之一。
费曼路径积分的核心思想是：将一个引力作用过程分解为一系列路径，然后根据量子力学理论推导出每个路径的概率分布，最终得出作用过程的总概率。
例如，将两个电子撞击过程中的相互作用分解为许多路径，根据量子力学规律和参数，求出每条路径的概率常数，并将其相加，得出两个电子相互作用的最终概率。
费曼路径积分算法的核心是将数学表示的概率分布，转换成数学表达式的积分，从而实现对不同路径求和出总概率的过程。
通常情况下，费曼路径积分中求和积分不会因为复杂而变得无法解决，有时甚至可以得到比较精确的结果。
然而，一旦由于某种原因而影响到积分平滑性，那么最终概率将会变得不可预料，甚至带来极大的复杂度，无法得出准确的结果。
费曼路径积分的实际应用非常广泛，特别是在量子力学和物理量子场论中。
对于常见的量子力学问题，只要引入费曼路径积分的思路，就可以把许多复杂的问题分解为更容易处理的子问题，进而得出较为准确的结果。
例如，当涉及到电子在空间中的运动时，费曼路径积分可以将复杂的问题分解为容易处理的子问题，然后把所有子问题的积分结果加起来，最终获得准确的总概率。
费曼路径积分的另一个重要应用是构建量子计算模型。
由于费曼路径积分能够将量子概率分布转化为易于计算的数学表达式，因此，利用这一思路，量子计算模型可以用来研究自旋、分子模拟、量子密码学等量子计算课题。
总之，费曼路径积分是一种非常有效的数学方法，它可以用来求解量子力学问题和构建量子计算模型，并且可以用来准确地求出量子系统中特定参数的值。
由此可见，费曼路径积分的确是一种值得研究的数学方法，它在物理学与量子计算的研究中扮演着至关重要的角色。
Feynman路径积分方法在粒子物理学中运用
Feynman路径积分方法在粒子物理学中运用简介：Feynman路径积分方法是物理学家Richard Feynman为描述量子力学中的粒子运动而提出的一种方法。
它是一种无论经典力学还是量子力学都能应用的数学表达形式。
本文将探讨Feynman路径积分方法在粒子物理学中的应用以及其所带来的重要科学成果。
1. Feynman路径积分方法的基本原理Feynman路径积分方法的基本思想是，将粒子在各个时刻的路径分解成无穷多个微小路径，然后将这些路径上的贡献按照幅度相乘的方式相加。
数学上，Feynman路径积分方法通过对路径积分进行求和，得到了量子力学中不同路径下出现的概率幅的结果。
2. Feynman路径积分方法在量子场论中的应用Feynman路径积分方法在量子场论中发挥着重要的作用。
通过将粒子作为场的激发态，我们可以使用路径积分方法计算出不同粒子之间相互作用的概率幅。
这种方法不仅可以应用于强相互作用、弱相互作用，还可以用于电磁相互作用。
例如，在量子电动力学中，Feynman路径积分方法被广泛应用于计算量子电子场与光子场的相互作用。
3. Feynman路径积分方法与粒子散射实验Feynman路径积分方法为理解和解释粒子散射实验的结果提供了有力的工具。
路径积分方法可以描述粒子在空间中的传播和相互作用，从而预测出不同能量和角度下粒子散射的概率。
这种方法成功地解释了很多实验现象，例如光子的康普顿散射和电子对电子散射等。
4. Feynman路径积分方法与量子色动力学量子色动力学（QCD）是描述强相互作用的理论，Feynman路径积分方法在其研究中也发挥了重要的作用。
通过将量子色动力学中的夸克和胶子场纳入路径积分计算中，我们可以通过QCD的路径积分方法计算物质的性质，例如介子和重子的质量谱以及强子的互作用过程。
5. Feynman路径积分方法的数值计算Feynman路径积分方法的应用也面临着数值计算的挑战。
由于路径积分的求和需要遍历所有可能的路径，数量庞大的路径数使得计算变得非常复杂。
非相对论性量子论学中的路径积分 Part Three
J
lim dxk
n k 1 l 0
n
n
dpl 2
i n p j x j 1 x j H p j , x j J i x j exp j 0
现在来看泛函微分的定义:
F f x F f x x y F f x lim f y 0
J
dx ' dx x f , t f x ', T x ', T x, T
J
x, T xi , ti
可见,现在传播子分为三部分:第一段和最后一段 都是无源的自由传播子,而中间一段是含源的传播 子.故由传播子定义,我们有:
x f , t f x ', T x f e x, T xi , ti x e
J
J
0, T 0, T
1,基态到基态的跃迁——WICK转动
这里,最后一行中的 0, T 0, T 的基态到基态的跃迁振幅. 我们可以将其写为:
0, T 0, T
J
就是在含场源情况下
J
e i x f , t f xi , ti E0 t f ti * e 0 x f 0 xi
i E0 2T
i En i En E0 T ti
i 1 En T ti En E0 T ti
e
* 0 x 0 xi e
i E0 T ti
2,生成泛函
从前面知道,基态到基态的跃迁可以视为源函数J的 泛函: i
0, T 0, T
J
e
S J 2 E0T
当 T ,我们把此时的泛函记为:
W J lim 0, T 0, T
T J
lim
ti t f T
x f , t f xi , ti x f , t f xi , ti
大学物理教学中路径积分的问题探讨
大学物理教学中高等数学与物理公式衔接的问题探讨在大学物理教学中，有一类物理量需要学生进行积分计算而且要掌握它的计算方法，这个物理量通常是沿某一路径的积分，如做功、感生电动势等。
而学生在做这样的积分时，常常觉得难以下手，使得学生很难理解物理公式与数学积分的一致性。
我们都知道无论积分结果有何不同，但最终的物理解释都是同一个，如果由积分结果得到的物理解释与物理的直觉判断结果相违背，则说明积分中有错误，其中由坐标系方向选取不同造成的错误在学生做题中很多，说明学生在物理公式的理解与严谨的数学应用上存在严重的脱节。
而应用高等数学解决物理问题，是大学物理老师教授学生时，必须注重培养的一个能力。
我希望本文不仅只是应用严谨的数学解决某一方面的物理问题，而更希望通过本文的工作能引起教授大学物理的同行和学生对教学中此问题的重视。
本文通过对各类路径积分的详细推导与比较，说明物理公式与严谨的数学积分的一致性，同时解答了学生遇到此类问题时的疑惑，也帮助学生建立应用严谨的数学解决物理问题的正确方法和技巧。
下面我们举几个例子来说明物理公式与不同坐标系下路径积分表达式的关系。
首先，我们可能都遇到这样一个质点上抛受阻运动问题。
例1：质量为m的物体，由地面以初速度V0竖直向上发射。
当物体受到空气的阻力为F=kV, k为常数，V是物体的速率。
（1）求物体发射到最大高度所需的时间。
（2）最大高度；（3）物体再次落到地面时的速度。
解1：设初始点为原点，竖直向上为y 方向建立坐标系，如图所示。
在此坐标系下，22,,dy dv d y r yj v vj j a j j dt dt dt=====, 其中预先假定了加速度a 和速度v的方向都沿y 轴向上，即在物体向上运动时，进行受力分析，牛顿方程写为：mg kv ma--=（思考：有些同学在物体向下运动时，进行受力分析，牛顿方程应与此相同，知道为什么吗？）将牛顿方程整理，并积分，得到：/ln 1t v d v d v g k v m d tk d tg vmmkt v k m g -=--⇒=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰得：[]00000201/(/)ln 1y v v d v k g v d t m d v d v d y d v v d td y d t d yd v k v d v v g v d y k d ymg vmv d v d yk g vmm y g g k v m d v km m k v g v kk m g =--==-=--⇒=+-=+=-++⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰同样由因为，所以上式改写为：进行积分得到：（3）物体从最高处往下落时，再次落到地面时的速度，可通过下面积分确定[]0'00'222001/(/)'ln 1'ln 1'ln 1'v y v vdv dy y k g vm mg g kv m dvk mm k v g v y k k m g mm k m m k v g v v g v k k m g k k m g -==-+-++⎛⎫⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 但是有个别同学建立坐标系方向是竖直朝下，却不能推出相同的物理结论，因此我们再根据竖直向下的坐标系求解，看看问题出在什么地方？解2：设初始点为原点，竖直向下为y 方向建立坐标系，如图所示。
非相对论性量子理论中的路径积分 Part One
i En ti
xi x e n ne
n t ti xi t ti
i H t ti
x e
n
i En t
i En ti
xe
i Ht
e
i Hti
xi t ti x e
xi t ti
最后的算符就是Heisenberg绘景下的时间演化算符.
因而,事实上这就表示了传播子是对固定初始点的 所有可能路径的求和——路径积分.
2,路径积分
现在来看第j个时间叶和第j+1个时间叶之间的传播子, 利用前面给出的Heisenberg绘景下的传播子表示:
K x j 1 , t j 1 ; x j , t j x j 1 e
i H
xj
i i x j 1 1 H x j x j 1 x j x j 1 H x j i 1 dp p x j1 x j i e x j 1 H x j 2 将Hamilton量拆成动能部分和势能部分 H T p V x
2,路径积分
前面的传播子K,可以认为是波从ti时刻的xi位置传 播到t时刻x位置的几率幅. 现在,我们在t与ti之间插入一个中间时间t1,从而按 照前面给出的结果,我们有如下关系:
x1 , t1 K x1 , t1; xi , ti xi , ti dxi x, t K x, t ; x1 , t1 x1 , t1 dx1
j
0
j
H x j , p j
这里,p不再是和坐标共轭的正则动量,而只是一个 积分变量.
下面来看该极限下从初态到末态的整体的路径积分:
2,路径积分
整体的路径可以由分片路径积分得到:
K x f , t f ; xn , tn K xn , tn ; xn 1 , tn 1 ...K x1 , t1 ; xi , ti
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Feynman的基本假定
●构造传播子
iS[r(t)]
K(B,A)C e 所有道路
S[r(t)]ttA BL(r,r ,t)dt 粒子 r (t)从 沿 A 到 B 的 道作 路用
讨论
●传播子满足的方程 K(rt,r't')实质上是态函数
itK(rt,r't')2 m 22V(r,t)K(rt,r't') (tt')
i t 2 m 2 2 V (r ,t) K (r t,r 't') 0(t t')
讨论
●传播子满足的方程（续） 合理 K (r t,地 r 't') 0定 (t t')义 tt'K(rt,r't')不满足薛定谔
K (r "t",r 't')r "|e iH ˆ(t"t')|r ' 传播
传播子的物理意义
●考察一个特例
设 ( r ',t ') ( r ' r 0 ')
K (r " t" ,r 't')的物 — 几 理率 意
•一般情况
传播子的物理意义
●在能量表象中
K ( r " t" ,r 't') n * ( r 't')n ( r " t" ) n n(r "t")n(r ")e iEnt"
结 K ( r t , r 't ') 合 ( r r ')
it2m 2 2V(r,t)K(rt,r't')
i(rr')(tt')
§3.2 路径积分的基本思想
２００9年１0月
举例说明
●粒子源－探测器
经 P 典 (B ,A ) P (BkA C ) k
量 K 子 (B ,A ) (BkA C ) k
§3.1 传播子
２００9年１0月
薛定谔波动力学中的传播子
●从薛定谔方程出发
i|(t)H ˆ|(t)
t
iH ˆ(t" t')
| (t")e | (t')
" X " ( r " , t " ) d 3 x ' K ( r " t " , r ' t ' ) ( r ' , t ' )
矩阵力学
（Heisenberg）
最小作用原理与Lagrange方程
•
•
•
设体系的Lagrang函e 数为L(q1,,qn,q1,,qn,t),简记L(q,q,t),
若体系为保守势，L则T V.
设体系在时刻t'从A出发，经轨道q(t),在时刻t''到达B，
定义作用量：S[q(t)]
t'
•
L(q,q)dt
路径积分方法的由来
●量子力学三种形式与经典力学的关系 † 矩阵力学—泊松括号→对易子 † 波动力学—H-J方程→薛定谔方程 ♥ 均与经典力学的哈密顿形式密切相 † 关路径积分—源于经典力学的拉格朗日形式 ♥ 便于推广到相对论形式 ♥ 把含时与不含时问题纳于同一框架处理 ♥ 便于考察量子力学与经典力学之关系
第三章 路径积分
２００9年１0-11月
§3.0 引 言
２００9年１0月
几何光学 （费马定理）
波动光学
电动力学 Maxwell方程
光量 子论
量子电动力学Dirac 量子场论
Dirac方程，
力学
路径积分
（最小作用原理） Feynman原理
K-C方程；
波动力学 （Schrodinger），
原子的量子论 （Bohr）
２００9年１0月
按Feynman路径积分的假定，
K(r''t'', r't') C
i S[r(t )]
e
所有道路
S[r(t)]ttA BL(r,r ,t)dt
不要S求取极值，包括给点定的初一终切可能轨道 且每条轨道对传等播权子贡做献，仅相。位不同 由轨道的连续变和化化，为求泛函积分：
Polygonal paths
t'
最小作用原理：粒子际实所走轨道应使 S取极小值，
设q(t)做无穷小变化，且q(t') q(t'') 0,
则要求， S 0
S
t ''
dt
t'
i
[ L qi
qi
L
•
qi
•
qi ]分布积分来自it' '
dt[
t'
L qi
d dt
(
L
•
qi
)] q i
i
[
L
•
q
i
]
t '' t'
qi
i
讨论
●传播子的组合规则 K ( r " t " , r ' t ' ) d 3 x 1 K ( r " t " , r 1 t 1 ) K ( r 1 t 1 , r ' t ' )
推 t 0 t ', t 广 1 , t 2 , , t N 1 t N t " 坐 r ', r 1 , r 2 标 , , r N 1 , r N r ： "
若 t"t't
传播子计算的例子
●自由粒子
能量本征态用动值量分本类征（标记）
K(r"t",r't')2im (t"t')3/2ei2m(r(t""rt''))2 t" t' 0 (r'r")
传播子计算的例子
●自由粒子（续） 经典自L由 T粒 1m2为 子 v 守 ：恒 2 作用Sc量 l(r"t",r't')tt'"Ldt12m2v(t"t') m(r"r')2 2 (t"t') K (r "t",r 't')~e iSc(lr "t",r 't')
P (B ,A ) |K (B ,A )|2 |C|2| e iS[r (t)]|2 所有道路
路径积分方法的物理含义
●与最小作用原理是否相容？
费曼的观 :粒点 子走各种道性 路都 的存 可在 能 是否B 违背最小作 ? 用原 B 理
S
A 干涉
S+δS
S C
A 衍射
§3.3 路径积分的计算方法
K(r''t'',r't') C
i S[r(t)]
e
所有道路
exp{iS[r(t)]/ }D[r(t)]
t' '
dt[
t'
L qi
d dt
(
L
•
qi
)] q i
0
q i 是任意的，
L qi
d dt
(
L
•
qi
)
0，
（ Lagrange
方程）
路径积分方法的由来
●Feynman于1940年代提出 † 原始思想←狄拉克1933年一篇文章 † 费曼加以发展
●理论核心：传播子 (propagator) † 包含了量子体系的全部物理信息 † 与经典力学中的作用量相联系