圆孔衍射光强分布的数值计算
光的干涉和衍射练习题计算干涉和衍射的光强分布
光的干涉和衍射练习题计算干涉和衍射的光强分布首先，让我们回顾一下光的干涉和衍射。
光的干涉是指两束或多束光波叠加在一起形成干涉图样的现象，而光的衍射是指光通过一个小孔或者绕过一个障碍物后产生的弯曲或扩散的现象。
我们将通过一些练习题来计算干涉和衍射的光强分布。
练习题1：单缝衍射设有一个宽度为a的单缝，缝宽为d，光波的波长为λ，观察屏幕与缝的距离为L。
求在屏幕上某一点的光强分布。
解答：根据夫琅禾费衍射公式，我们可以计算出在屏幕上某一点的光强分布。
公式如下：I(θ) = I0 * (sin(πd sinθ / λ)/(πd sinθ /λ))^2其中，I(θ)代表在观察屏幕上观察到的光强，I0代表缝的中央处光强的最大值，θ代表观察角度。
练习题2：双缝干涉设有两个宽度为a的缝，缝宽为d，两缝间距为D，光波的波长为λ，观察屏幕与缝的距离为L。
求在屏幕上某一点的光强分布。
解答：公式如下：I(θ) = 4I0 * cos^2(πd sinθ / λ) * cos^2(πD sinθ / λ) / (π^2 (d sinθ /λ)^2)其中，I(θ)代表在观察屏幕上观察到的光强，I0代表缝的中央处光强的最大值，θ代表观察角度。
练习题3：菲涅尔双棱镜干涉设有一对菲涅尔双棱镜，棱镜角为α，光波的波长为λ，观察屏幕与双棱镜的距离为L。
求在屏幕上某一点的光强分布。
解答：根据菲涅尔双棱镜干涉的理论，我们可以计算出在屏幕上某一点的光强分布。
公式如下：I = I0 * (sin(πα sinθ / λ)/(πα sinθ / λ))^2其中，I代表在观察屏幕上观察到的光强，I0代表双棱镜两个棱镜面的光强的最大值，θ代表观察角度。
练习题4：衍射光栅设有一个衍射光栅，光栅常数为d，光波的波长为λ，观察屏幕与光栅的距离为L。
求在屏幕上某一点的光强分布。
解答：公式如下：I(θ) = I0 * (sin(Nπd sinθ / λ)/(Nπd sinθ /λ))^2 * (sin(πd sinθ / λ)/(πd sinθ /λ))^2其中，I(θ)代表在观察屏幕上观察到的光强，I0代表光栅刻痕的光强的最大值，N代表光栅的阶数，θ代表观察角度。
光学中的光的衍射和衍射公式
光学中的光的衍射和衍射公式在光学中，光的衍射是指光通过一个具有孔径或者凹凸面的物体后，发生了偏离直线传播的现象。
衍射现象是由光的波动性质决定的，具有不可避免的作用。
本文将介绍光的衍射的基本原理和衍射公式。
一、光的衍射原理1. 光的波动性光既可以被视为一种粒子，也可以被视为一种波动。
当我们进行光学实验时，光的波动性更为明显。
光的波动性意味着光会呈现出波动的行为，比如传播过程中的干涉、衍射等。
2. 衍射现象当光通过物体的边缘或孔径时，会发生衍射现象。
光线遇到物体边缘后会发生弯曲，并向周围空间扩散。
这种弯曲和扩散现象就是光的衍射。
二、衍射公式1. 衍射公式的基本形式衍射公式是用来计算衍射现象的数学公式。
根据光的衍射理论，我们可以得出如下的衍射公式：dlambda = k * sin(theta),其中，dlambda表示衍射的波长差，k是衍射级数，theta是入射光线与衍射方向的夹角。
2. 衍射公式的应用衍射公式可以应用于各种不同的衍射情况中。
例如，当光通过一个狭缝时，我们可以利用衍射公式计算出狭缝衍射的波长差和衍射级数。
同样，当光通过一个光栅时，我们也可以应用衍射公式计算出光栅衍射的波长差和衍射级数。
3. 衍射级数衍射级数是衍射公式中的一个重要参数，用于描述衍射的级别。
衍射级数越高，衍射现象也越明显。
例如，一级衍射表示光线经过一次衍射后的结果，二级衍射表示光线经过两次衍射后的结果，以此类推。
三、光的衍射的影响因素1. 孔径大小孔径的大小对光的衍射有明显的影响。
当孔径较大时，衍射现象变得不明显；当孔径较小时，衍射现象变得非常明显。
2. 入射光的波长入射光的波长也是影响光的衍射的重要因素。
波长越短，衍射现象越明显；波长越长，衍射现象越不明显。
3. 衍射角度入射光线与衍射方向的夹角也会影响衍射现象的强弱。
当夹角较小时，衍射现象相对较弱；当夹角较大时，衍射现象相对较强。
四、光的衍射的应用1. 光栅衍射光栅衍射是利用光栅的衍射特性进行实验和应用的一种方法。
圆孔矩孔的菲涅尔衍射模拟(matlab实现)-工程光学
工程光学综合练习-----圆孔、矩孔的菲涅尔衍射模拟圆孔和矩孔的菲涅尔衍射模拟一、原理由惠更斯-菲涅尔原理可知接收屏上的P点的复振幅可以表示为其中为衍射屏上的复振幅分布，为倾斜因子。
根据基尔霍夫对此公式的完善，有设衍射屏上点的坐标为（x1, y1），接收屏上点的坐标为（x, y），衍射屏与接收屏间距离为z1，当满足菲涅尔近似条件时，即此时可得到菲涅尔衍射的计算公式把上式指数项中的二次项展开，并改写成傅里叶变换的形式，可以写成上式为菲涅尔衍射的傅里叶变换表达式，它表明除了积分号前面的一个与x1、y1无关的振幅和相位因子外，菲涅尔衍射的复振幅分布是孔径平面的复振幅分布和一个二次相位因子乘积的傅里叶变换。
相对于夫琅和费衍射而言，菲涅尔衍射的观察屏距衍射屏不太远。
在菲涅尔衍射中，输入变量和输出变量分别为衍射孔径平面的光场分布和观察平面的光场以及光强分布，考虑到这三个量都是二维分布,而且Matlab主要应用于矩阵数值运算,所以本程序选择用二维矩阵来存储衍射孔径平面和观察平面的场分布,并分别以矩阵的列数和行数来对应平面的直角坐标值(x, y)以及(x1, y1)。
二、圆孔菲涅尔衍射用MATLAB分别构造表示衍射屏和接收屏的二维矩阵。
注意使两矩阵阶次相同，考虑到运算量的要求，采样点数不能过多，所以每个屏的x和y方向各取200到300点进行运算。
根据式（4），选取合适的衍射屏和接收屏尺寸和相距的距离，模拟结果如下：取典型的He-Ne激光器波长λ=632.8nm，固定衍射屏和接收屏尺寸和相距的距离，分别取不同的圆孔半径，得到以下三组衍射图样，其圆孔半径分别为12mm，20mm，50mm图1（r=12mm）图2（r=20mm）图3(r=50mm) 三、矩孔的菲涅尔衍射步骤与上述相同，仅需改变与衍射屏形状对应的矩阵。
这里选择矩孔的长宽相等，分别为15mm，20mm，30mm，其衍射图样及强度分布如图4、5、6图4（a=b=15mm）图5(a=b=20mm)图 6(a=b=30mm)四、MATLAB 程序%所有长度单位为毫米lamda=632.8e-6; k=2*pi/lamda;z=1000000;%先确定衍射屏N=300; %圆屏采样点数a=15;b=15;[m,n]=meshgrid(linspace(-N/2,N/2-1,N));I=rect(m/(2*a)).*rect(n/(2*b));q=exp(j*k*(m.^2+n.^2)/2/z);subplot(2,2,1); %圆孔图像画在2行2列的第一个位置 imagesc(I) %画衍射屏的形状colormap([0 0 0; 1 1 1]) %颜色以黑白区分axis imagetitle('衍射屏形状')L=300;M=300; %取相同点数用于矩阵运算若为圆孔，方框内替换为以下程序 r=12;a=1;b=1; I=zeros(N,N); [m,n]=meshgrid(linspace(-N/2,N/2-1,N)); D=((m-a).^2+(n-b).^2).^(1/2); i=find(D<=r); I(i)=1; %孔半径范围内透射系数为1[x,y]=meshgrid(linspace(-L/2,L/2,M));h=exp(j*k*z)*exp((j*k*(x.^2+y.^2))/(2*z))/(j*lamda*z);%接收屏H =fftshift(fft2(h));B=fftshift(fft2(I)); %圆孔频谱G=H.*B; %公式中为卷积，空间域中相卷相当于频域中相乘U= fftshift(ifft2(G)); %求逆变换，得到复振幅分布矩阵Br=(U/max(U)); %归一化subplot(2,2,2);imshow(abs(U));axis image;colormap(hot)% figure,imshow(C);title('衍射后的图样');subplot(2,2,3);mesh(x,y,abs(U)); %画三维图形subplot(2,2,4);plot(abs(Br))。
光学光的衍射现象及衍射公式解析
光学光的衍射现象及衍射公式解析光学领域是研究光的传播、干涉和衍射等现象的学科。
光的衍射现象是光学中一项重要的现象，它是光通过一个或多个孔或物体后所产生的偏离直线传播方向的现象。
在本文中，我们将详细介绍光的衍射现象以及相关的衍射公式。
一、光的衍射现象光的衍射现象是由于光传播过程中的波动性导致的。
当光通过一个孔或物体时，由于它的衍射现象，光束会出现偏折和扩散。
这种现象可以用两个经典的衍射实验来进行说明。
1. 杨氏双缝干涉实验杨氏双缝干涉实验是用来观察光的衍射现象的经典实验之一。
在实验中，一束单色光通过两个相邻的狭缝，然后在屏幕上形成一系列交替的明暗条纹。
这些条纹是由光波传播过程中的衍射现象引起的，通过观察这些条纹的位置和间距，我们可以研究光的波长和干涉特性。
2. 单缝衍射实验单缝衍射实验也是常用的观察光的衍射现象的实验之一。
在实验中，一束单色光通过一个狭缝后，在屏幕上形成一个中央亮度较大的主极大，以及两侧亮度逐渐减弱的次级极大。
这些亮度的变化是由光波经过狭缝后形成的波前衍射引起的。
二、光的衍射公式光的衍射现象可以用一些数学公式来描述和分析。
在实际应用中，我们常用的两个衍射公式是夫琅禾费衍射公式和菲涅尔衍射公式。
1. 夫琅禾费衍射公式夫琅禾费衍射公式是用来描述光通过一个狭缝或一个圆孔后的衍射现象的公式。
根据夫琅禾费衍射公式，通过一个狭缝或圆孔的光衍射角度与光的波长和狭缝（或圆孔）的尺寸有关。
2. 菲涅尔衍射公式菲涅尔衍射公式是用来描述光通过一个平面透光物体后的衍射现象的公式。
通过菲涅尔衍射公式，我们可以计算出经过平面透光物体后的光的强度分布，并且可以通过调整物体的形状和尺寸来控制光的传播和衍射特性。
三、应用与研究通过对光的衍射现象和衍射公式的研究，人们可以更好地理解和应用光学现象。
在实际生活和工业应用中，光的衍射现象广泛应用于光学显微镜、光学成像、光纤通信等领域。
同时，光的衍射现象也是研究光波性质和计算光传播的基础之一。
圆孔衍射相对光强分布实验报告完整版
[实验数据处理与分析]
1.菲涅尔圆孔衍射实验数据与分析
表1实验中所测数据
序号
1
2
3
亮斑位置
90cm
32cm
18cm
暗斑位置
45cm25Leabharlann m16cm图1半波带法
表2亮暗斑的理论计算区间
K
5
[实验思考题]
1.在满足远场条件下，本实验中，并没有使用透镜而获得夫琅禾费衍射图样。请简述远场条件。
答：本实验中，采用激光作为光源，因激光束的发散角很小（ ），单缝的宽度a也很小，所以采用激光束直接照射狭缝，可认为是平行光入射。[1]
图2远场条件图示
参考文献：
[1]刘希，任天航，白翠琴，马世红.夫琅禾费衍射光强的反常分布和Matlab模拟[J],物理实验Vol.33,No.8,2013
8.5
根据艾里斑直径计算公式： ，得到艾里斑直径的理论值：
表4艾里斑直径的理论值
f=74cm
孔径（mm）
0.5
0.3
0.15
艾里斑直径（mm）
2.28
3.8
7.6
f=92cm
孔径（mm）
0.5
0.3
0.15
艾里斑直径（mm）
2.8
4.8
9.4
表5相对误差分析
f=74cm
孔径（mm）
0.5
0.3
0.15
基础物理实验（Ⅱ）课程实验报告
实验2.9圆孔衍射相对光强分布
（2）实验步骤
1.参照图沿平台放置个光学元件，如果没有透镜，也可以不用透镜，调节共轴，获得衍射图样。注意检查扩束后是否为平行光。
夫琅禾费圆孔衍射
光学
§ 2.4 夫琅禾费圆孔衍射
衍射图和强度分布曲线
I/I0
1.0
0.5
0.0175
0.0042
R sin
0
0.610 1.116 1.619
HP
L
艾 里 斑
d
L
D
P
1
d
1
f
d ：艾里斑直径
∆θ1：艾里斑的半角宽度
1 sin1
0.61 1.22
R
D
若透镜L的焦距为 f ,则艾里斑的线半径为:
y
f'
D
由于D>d，因此 y<l ,即艾里斑内至少有一对杨氏干涉暗条纹。
光学
§ 2.4 夫琅禾费圆孔衍射
双圆孔衍射图
另一方面，两个圆孔的光波之间还会产生干涉，因此整个
衍射图样是受单圆孔衍射调制的杨氏干涉条纹。
y
d
x
F'
D
f'
光学
§ 2.4 夫琅禾费圆孔衍射
杨氏双孔干涉条纹
圆孔衍射图样
衍射图样与干涉图样叠加的结果为：
光学
§ 2.4 夫琅禾费圆孔衍射
由夫琅禾费圆孔衍射，艾里斑的线半径为：
1.22 f '
d
由杨氏双孔干涉的条纹间距为：
sin 20
1.333
R
最大与次最大值的相对强度为：
I /I0 1.0
I1 A12 0.0175 I0 I 2 A22 0.0042 I0
s in 30
1.847
R
0.5
I3 A32 0.0016 I0
0.0175
0.0042
0
0.610 1.116 1.619
光学_郭永康_4.圆孔、圆环和多边形孔的夫琅禾费衍射
R
1.22
R
sin
圆孔衍射 光强分布
1
I P / I0
1.116
R
爱里斑
0
0.61
sin
R 1.619
R
由第一暗环围成的光斑 占整个入射光束总光强的84% 称为爱里斑
二.圆环的夫琅禾费衍射
衍射屏
接收屏上P点光强
R1 / R2
R2 R1
I0 2 J1 ( 2 ) 2 2 J1 ( 1 ) 2 I ( P) [ ] 2 2 (1 ) 2 1
可展成级数
J1 ( )
一阶贝塞尔函数
2
2
3
2 4
2
3 2
2 4 6
...
第一级极小： sin 1.22
D f
角半径
线半径
f tg 1.22
D
应用：星光板 针孔滤波来自夫琅 禾费 圆孔 衍射 图样
1
I P / I0
夫琅禾费圆孔 衍射光强分布
0
0.61
• 衍射图样总在屏对光线的限制方向扩展
CH 5-4 圆孔、圆环和多边形的孔的夫琅 禾费衍射
Franhofer daffraction at various form apertures
圆孔、圆环和多边形孔的夫琅禾费衍射
一. 圆孔的夫琅禾费衍射 爱里斑
f
接收屏上P点光强
I P I0[
2 J1 ( )
]
2
J1 ( ) ——一级贝塞耳函数
衍射图样的特点： • 圆环的衍射图样与圆孔相似--中央为亮斑，周围 是一些明暗相间的圆环 • 越大—中央亮斑越小，条纹向中心收缩
圆孔衍射现象描述_概述解释说明
圆孔衍射现象描述概述解释说明1. 引言1.1 概述本篇长文旨在描述和解释圆孔衍射现象。
圆孔衍射是光学中的一种重要现象，当光通过一个小孔时会发生衍射，形成一个特定的光斑图案。
本文将从衍射现象的起因和原理、实验设备和方法等方面进行描述和概述。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分：引言、圆孔衍射现象描述、结果与分析、应用与意义以及结论与展望。
其中，引言部分对文章的内容进行概述，介绍了文章的目的和结构。
1.3 目的本文旨在全面而详细地描述圆孔衍射现象，并解释其原理和机制。
通过对实验结果的观察和数据分析，探讨其中存在的差异，并探讨圆孔衍射在光学器件中的应用以及其对科学发展的意义。
最后，在总结研究结论的基础上提出未来研究方向建议，为进一步深入研究圆孔衍射提供指导。
2. 圆孔衍射现象描述：2.1 衍射现象简介圆孔衍射是一种光的传播现象，当光通过一个圆形孔径时发生偏折和扩散，形成特定的衍射图样。
这一现象是由光波在遇到障碍物或孔径较小时发生的干涉效应造成的。
圆孔衍射是光学中最基本且常见的几何衍射实验之一，对我们深入理解光的性质和行为具有重要意义。
2.2 圆孔衍射的起因和原理当平行光线垂直照射到一个小孔时，光波会从该小孔中穿过并呈球面传播。
根据背后的赫曼德-费米原理，每个次级波都可以看作是来自前方各个点上的波源。
这些次级波会相互干涉，并在进入观察屏幕后形成明暗相间、呈环状分布的衍射图样。
根据菲涅尔-柯西公式，我们可以计算出在观察屏上不同位置处的光强分布情况。
这个分布与外部条件（例如光源的波长、观察距离等）以及孔径的大小有关。
在圆孔衍射中，光强最强的环为中央亮斑，其内外依次是一系列交替的明暗环。
2.3 圆孔衍射实验设备和方法进行圆孔衍射实验通常需要准备以下设备和工具：1. 光源：可以使用激光器或白光灯作为照明光源。
2. 狭缝：用于产生平行光束，确保入射到圆孔上的光线是平行的。
3. 圆孔：可以通过刻蚀或机械加工在一片无色玻璃板上制作一个小而圆形的孔口。
圆孔矩孔的菲涅尔衍射模拟(matlab实现)-工程光学
圆孔矩孔的菲涅尔衍射模拟(m a t l a b实现)-工程光学-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII工程光学综合练习-----圆孔、矩孔的菲涅尔衍射模拟圆孔和矩孔的菲涅尔衍射模拟一、原理由惠更斯-菲涅尔原理可知接收屏上的P点的复振幅可以表示为其中为衍射屏上的复振幅分布，为倾斜因子。
根据基尔霍夫对此公式的完善，有设衍射屏上点的坐标为（x1, y1），接收屏上点的坐标为（x, y），衍射屏与接收屏间距离为z1，当满足菲涅尔近似条件时，即此时可得到菲涅尔衍射的计算公式把上式指数项中的二次项展开，并改写成傅里叶变换的形式，可以写成上式为菲涅尔衍射的傅里叶变换表达式，它表明除了积分号前面的一个与x1、y1无关的振幅和相位因子外，菲涅尔衍射的复振幅分布是孔径平面的复振幅分布和一个二次相位因子乘积的傅里叶变换。
相对于夫琅和费衍射而言，菲涅尔衍射的观察屏距衍射屏不太远。
在菲涅尔衍射中，输入变量和输出变量分别为衍射孔径平面的光场分布和观察平面的光场以及光强分布，考虑到这三个量都是二维分布,而且Matlab主要应用于矩阵数值运算,所以本程序选择用二维矩阵来存储衍射孔径平面和观察平面的场分布,并分别以矩阵的列数和行数来对应平面的直角坐标值(x, y)以及(x1, y1)。
二、圆孔菲涅尔衍射用MATLAB分别构造表示衍射屏和接收屏的二维矩阵。
注意使两矩阵阶次相同，考虑到运算量的要求，采样点数不能过多，所以每个屏的x和y方向各取200到300点进行运算。
根据式（4），选取合适的衍射屏和接收屏尺寸和相距的距离，模拟结果如下：取典型的He-Ne激光器波长λ=，固定衍射屏和接收屏尺寸和相距的距离，分别取不同的圆孔半径，得到以下三组衍射图样，其圆孔半径分别为12mm，20mm，50mm图 1（r=12mm）图 2（r=20mm）图 3(r=50mm)三、矩孔的菲涅尔衍射步骤与上述相同，仅需改变与衍射屏形状对应的矩阵。
大学物理11-7圆孔衍射
0
§8.圆孔衍射 / 二、光学仪器分辨率
两点光源靠近
•两爱里斑中心距离为爱里斑的半径时， 恰能分辨 ---- 瑞利判据
S1
S2
d /2
0
恰能分辨
此时两爱里斑重叠部分的光强为一个光斑 中心最大值的 80％.
§8.圆孔衍射 / 二、光学仪器分辨率
两点光源继续靠近 0 不能分辨
S1 S2
地面观测
用哈勃望 远镜观测
§8.圆孔衍射 / 二、光学仪器分辨率
哈勃望远镜观察到新星的诞生
§8.圆孔衍射 / 二、光学仪器分辨率
1 D
1.22
•采用波长较短的光，也可提高分辨率。 电子显微镜用加
速的电子束代替光 束, 其波长约 0.1nm, 用它来观察分子结 构。
§8.圆孔衍射 / 二、光学仪器分辨率4
8.94 103 m
电子显微镜拍摄的照片
§8.圆孔衍射 / 二、光学仪器分辨率
例1：通常在明亮环境中，人眼瞳孔直径约为
3mm, 问人眼最小分辨角为多少？如果纱窗上
两根细丝之间的距离为2mm, 问人离纱窗多远
恰能分辨？ (以视觉最灵敏的波长为黄绿光来
讨论, 黄绿光波长为550nm)
解： 1.22
D
5.5 107 1.22 3103
圆孔衍射
一、夫琅禾费圆孔衍射
1. 衍射图样特点：
中央是亮斑,
叫爱里斑，集
D
d
中了衍射光强
的83.8％, 周围
f
是暗明相间的
同心圆环。
§8.圆孔衍射 / 一、夫琅禾费圆孔衍射
2.第一级暗环
直径 2r0为爱
里斑直径。 D
2 2r0
第二章光的衍射(菲涅耳圆孔衍射)
• 如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大 值和最小值之间．
• 结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动 时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化．
2021/2/4
8
四、菲涅耳圆屏衍射
当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不 透明，被圆屏挡住部分的波面（也即有k个半波带发 出的次波不起作用）对轴线上p点的光强将没有贡献。
15
例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、 3、5、…、19等10个奇数带露出。第2、4、6、…、20 等10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传 播时光强的多少倍？ 解：波带片在轴上场点的振幅为
AP a1 a3 ... a19 10a1
自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为 ：
4
Rh2k rk2 r02 2r0h
(1)
又因r为k2：r02(r0k2)2r02 O k r0 (2)
l R
sB k
k
Rh
B
h
0
rk
r0
P
(略去 k 2 2 )
4
Rh2k R 2 (R h)2 2Rh (3) 由（1）、（2）、（3）式可得: h kr0
2(R r0)
Rh2k
当k不是很大时，有 ak 1 a1
Ip
Ap2
a12 4
I0
1.即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。 此时的P点应该是一个亮点。
2.此亮点称为泊松（Possion 1781—1840）亮斑。这 是几何光学中光的直线传播所不能解释的。
3.1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导 出圆盘轴线上应是亮点。
衍射光强分布的测实验报告
[标签:标题]篇一：衍射光强分布的测实验报告衍射光强分布的测量1008406006 物理师范陈开玉摘要：为了观察并验证单缝衍射和多缝衍射的图样以及它们的规律，本实验设计了基于水平光路的测量方法。
运用自动光强记录仪来对衍射现象进行比较函数化的观察。
实验观察到衍射条纹随着缝宽变窄而模糊和间距扩大，并且通过仪器对光强图样的位置定位和夫琅禾费光强的公式来计算单缝的缝宽。
该实验装置结构简单、调节方便、条纹移动清晰。
关键词：衍射自动光强记录仪单缝多缝一、引言光的衍射现象是光的波动性的重要表现，并在实际生活中有较多应用，如运用单缝衍射测量物体之间的微小间隔和位移，或者用于测量细微物体的尺寸等。
本实验要求通过观察、测量夫琅禾费衍射光强分布，加深对光的衍射现象的理解和掌握。
二、实验原理1,衍射的定义: 波遇到障碍物或小孔后通过散射继续传播的现象。
衍射现象是波的特有现象，一切波都会发生衍射现象,而光也是波的一种, 光在传播路径中，遇到不透明或透明的障碍物或者小孔（窄缝），绕过障碍物，产生偏离直线传播的现象称为光的衍射。
衍射时产生的明暗条纹或光环，叫衍射图样2,光的衍射分为夫琅禾费衍射和菲涅尔衍射, 夫琅禾费衍射是指光源和观察点距障碍物为无限远，即平行光的衍射;而菲涅尔衍射是指光源和观察点距障碍物为有限远的衍射.本实验研究的只是夫琅禾费衍射.实际实验中只要满足光源与衍射体之间的距离u,衍射体至观察屏之间的距离v都远大于就满足了夫琅禾费衍射的条件,其中a为衍射物的孔径,λ为光源的波长.3,单缝、单丝衍射原理：如上图所示，a为单缝宽度，缝和屏之间的距离为v，为衍射角，其在观察屏上的位置为x，x离屏幕中心o的距离为OX=，设光源波长为λ，则有单缝夫琅禾费衍射的光强公式为：式中是中心处的光强，与缝宽的平方成正比。
若将所成衍射图样的光强画成函数图象在坐标系中，则所成函数图象大致如下除主极强外，次极强出现在的位置，它们是超越方程的根，其数值为：对应的值为当角度很小时，满足，则OX可以近似为因而我们可以通过得出函数中次级强的峰值的横坐标只差来确定狭缝的宽度a4，多缝衍射和干涉原理多缝衍射的示意图如上图，每条缝的宽度为a，两条缝的中心距离为d，其中的每个单缝的衍射光强强度都和之前的单缝衍射光强公式一致。
圆孔和圆屏的菲涅耳衍射圆孔的菲涅...
3.6衍射光栅衍射光栅:能对入射光波的振幅或相位，或者两者同时产生空间周期性调制的光学元件。
*一种应用非常广泛、非常重要的光学元件，主要用作分光(从远红外到真空紫外)元件，还可用于长度和角度的精密测量、以及调制元件；*工作基础：夫朗禾费多缝衍射效应。
光栅的分类：按工作方式分类：–透射光栅–反射光栅按对入射光的调制作用分类：–振幅光栅–相位光栅3.6.1 光栅的分光性能1. 光栅方程多缝衍射中干涉主极大条件sin d m θλ=d ϕθ为缝间距，称为, 为入射角,光常数 栅为衍射角衍射光与入射光同侧取正,异侧取负号↑斜入射衍射极大条件 (s 0,1,2, in sin )d m m ϕθλ±=±±="----光栅方程2. 性能参数(1) 色散本领3.6.1 光栅的分光性能将不同波长的同级主极大光分开的程度，通常用角色散和线色散表示。
A.角色散d θ/d λ。
•波长相差10-10 m 的两条谱线分开的角距离称为角色散。
•由光栅方程对波长取微分求得θλθcos d md d =此值愈大，角色散愈大，表示不同波长的光被分得愈开。
* 光栅的角色散与光谱级次m 成正比，级次愈高，角色散就愈大；与光栅刻痕密度1/d 成正比，刻痕密度愈大(光栅常数d 愈小)，角色散愈大。
B.线色散dl/d λ在聚焦物镜的焦平面上，单位波长差的两条谱线分开的距离称为线色散。
cos dld mf f d d d θλλθ==长焦物镜可以使不同波长的光被分得更开。
* 光栅的刻痕密度1/d 很大(光栅常数d 很小)，故光栅的色散本领很大。
* 若在θ不大的位置记录光栅光谱，cos θ几乎不随θ变化，则色散是均匀的，这种光谱称为匀排光谱，对于光谱仪的波长标定来说，十分方便。
3.6.1 光栅的分光性能(2) 色分辨本领* 由于衍射，每一条谱线都具有一定宽度。
当两谱线靠得较近时，尽管主极大分开了，它们还可能因彼此部分重叠而分辨不出是两条谱线。
圆孔衍射光强分布特征及其应用.doc1
圆孔衍射光强分布特征及其应用引言光沿直线传播是建立几何光学的基本依据，在通常情况下，光表现出直线传播的性质，当光通过较宽的单缝是，会在屏上呈现出清晰的影子，这是光直线传播特性的表现。
但当一束光照诸如小孔、细缝、细丝等尺寸接近光波波长的微小障碍物时，却表现出与光沿直线传播不同的性质：在远处的屏上会观察到光线绕过障碍物到达偏离直线传播的区域，并在屏上呈现出明暗相间的光强分布条纹，即产生了光的衍射现象。
衍射现象通常分为两类：一类是菲涅尔衍射，另一类是夫琅禾费衍射。
夫琅禾费衍射包括单缝衍射，矩形孔衍射以及圆孔衍射等。
下面我们就讨论一下圆孔衍射。
大家都知道圆孔衍射，俗称小孔成像。
光学仪器中所用孔径光阑、透镜的边框等都相当于一个透光的圆孔,当平行单色光垂直照射到圆孔上时，光通过圆孔后被透镜会聚,按照几何光学，在光屏上只能出现一个亮点, 但是实际上在光屏上看到的是圆孔的衍射图样，中央是一个较亮的圆斑，外围是一组同心的暗环和明环。
我们把以第一暗环为周界的中央亮斑称为爱利(G. B. Airy)斑。
如图1.图11. 夫琅禾费圆孔衍射场强分布（1) 夫琅禾费圆孔衍射场强分布公式如图2所示，设圆孔半径为a，圆孔中心O位于光轴上，则圆孔上任意一点1， 1），与相应的直角坐标（x1，y1)的关系为Q的位置坐标为（r1111111sin cos ψψr y r x == （1）图2类似的，也可把观察平面上任意点P 的位置用极坐标（r ，ψ）表示，它们和直角坐标的关系为ψψsin ,cos r y r x == （2）计算夫朗禾费衍射的普遍公式为111122~)](exp[)](2exp[dy dx yy xx f iky x f ik C E +-+=⎰⎰∑（3）其中 CONSTy x E A fi ikf A C ===),(,)exp(11~λ夫琅和费衍射公式，透镜后焦面上的夫琅和费衍射分布式计算圆孔衍射时，积分域Σ是圆孔面积，用极坐标表示应为111ψσd dr r d =（4）而ψθψψθψsin sin ,cos cos ====fr f y f r f x （5） 其中，θ是衍射角（衍射方向OP 与光轴的夹角）。
圆孔衍射光强分布的数值计算
教学讨论
大学物理 COL L EGE PHYSICS
圆孔衍射光强分布的数值计算
Vo l. 20 N o. 1 Jan. 2001
喻力华, 赵维义
( 华中理工大学 物理系, 湖北 武汉 430074)
摘要: 利用数值积分的方法, 计算了由点光源经圆孔衍射形成的光强分布, 分别得到 夫琅禾费及 菲涅耳衍 射图
x c) 2 ,
C=
图1
收稿日期: 1999- 11- 01 作者简介: 喻力华( 1967 ) ) , 男, 江西南昌人, 华中理工大学物理系讲师, 硕士.
第1期
喻力华等: 圆孔衍射光强分布的数值计算
17
( Qsin
U-
yc) 2+
D
2 2
.
Q的积分范围为 0~
R, U
的积分范围为 0~ 2P.
条件和 P
点满足 傍轴条件[1] :
D2
m
R2 K
,
D
2 2
m
| OcP | 2, 在通常情况下, 后者比较 容易得到满
足, 起关键作用的是前者. 因此, 主要应该比较
D 1、D 2
与
R2 K
之间数
值的
大小关系.
本文选取光波长 K= 632. 8 nm( He- Ne 激
光波长, 以下讨论均采用此波长的计算结果) ,
R 为几毫米左右时, 当 D 1、D 2 小于 10 m
之后, 将形成典型的菲涅耳衍射图样. 首先讨论
P 点在光轴( z 轴) 上的情况, 选取 D 1 = D 2 = 3
m, R 在 1. 6~ 4. 6 mm 的范围内变化, 在这一
第讲圆孔衍射,分辨率,x射线衍射
（2）若物体放在距人眼25cm（明视距离）处，则 两物点间距为多大时才能被分辨？
解（1） min
1.22
D
1.22 5.5107 m 3 103 m
2.2104 rad
（2） d lmin 25cm 2.2 104
0.0055cm 0.055mm
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min
1.22
D
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光学仪器分辨率
R 1
min
D
1.22
D, 1
光学仪器的最小分辨(fēnbiàn)角越小，分辨(fēnbiàn) 率就越高。
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提高(tí gāo)光学仪器分辨本领的两条基本途径： 对望远镜， 不变，尽量增大透镜孔径 D，以提高 分辨率。 一般天文望远镜的口径都很大，世界上最大的天文 望远镜在智利，直径(zhíjìng)16米，由4片透镜组成。 对显微镜，主要通过减小波长来提高分辨率。电子 显微镜用加速的电子束代替光束，其波长约 0.1nm，用 它来观察分子结构。 荣获 1986 年诺贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小 分辨距离已达 0.01 Å，能观察到单个原子的运动图像。
1953年英国的威尔金斯、沃森和克 里克利用X 射线的结构分析，得到了遗 传基因脱氧核糖核酸（DNA) 的双螺旋 结构，荣获了1962 年度诺贝尔生物和医 学奖。
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DNA 分子的 双螺旋结构
第17讲 圆孔,x射线(shèxiàn) 衍射
圆孔衍射 (yǎnshè)， 光学仪器分辨 率， x射线衍射 (yǎnshè)
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圆孔衍射
一、圆孔夫琅禾费衍射 平行光通过圆孔经透镜会聚(huìjù)，照射在焦平面
处的屏幕上，也会形成衍射图样。
点源圆孔衍射光场的计算
点源圆孔衍射光场的计算
点源圆孔衍射光场的计算
圆孔衍射对光束的传输与变换、光学成像系统的衍射成像及光信息处理的调制与滤波等方面有着重要作用.先由菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式得到点源圆孔衍射的积分表达式,然后提出点源圆孔衍射的一种数值计算方法,推导了点源圆孔菲涅耳衍射及其特殊情况夫琅禾费衍射的解析计算式,并利用Matlab软件模拟了傍轴区的衍射场,模拟实验表明了这两种计算方法都是有效而可靠的,有利于衍射理论与技术的发展.
作者：常山吴波桑志文杨建荣毛杰健 CHANG Shan WU Bo SANG Zhi-wen YANG Jian-rong MAO Jie-jian 作者单位：上饶师范学院物理与电子信息系,江西,上饶,334001 刊名：江西科学ISTIC英文刊名：JIANGXI SCIENCE 年，卷(期)：2009 27(6) 分类号：O436.1 关键词：圆孔衍射菲涅耳-基尔霍夫衍射公式数值计算贝赛尔函数洛默尔函数。
光衍射光强分布理论计算及数值实验分析
光衍射光强分布理论计算及数值实验分析高永伟;俞艳蓉【摘要】从惠更斯-菲涅耳原理出发，通过理论计算得到单缝衍射光强的分布公式，利用Fortran软件编程及Origin6．0Professional软件画图模拟实现了光强在接收屏上的分布，讨论了缝宽、光波波长以及屏与缝之间的距离对衍射结果的影响．该数值分析结果与实验室实测结果一致，从而验证了单缝衍射光强分布公式的正确性．%Studying from the Huygens-Fresnel's principle, the formula is obtained which is about the light intensity distribution of single-slit diffraction through the theoretical calculation, numerical simulation's results has been gotten about the distribution of light intensity on the receiving screen by using FORTRAN software programming and Origin6.0 professional software, impact on diffraction from the slit width, wavelength and the distance between screen to slit have been discussed. This numerical analysis result is consistent with the laboratory actual result, and thus,correction of light intensity distribution of single-slit diffraction formula is verified.【期刊名称】《宁夏工程技术》【年(卷),期】2012(011)004【总页数】5页(P326-330)【关键词】单缝衍射;惠更斯-菲涅耳原理;数值模拟;实验测量【作者】高永伟;俞艳蓉【作者单位】宁夏大学物理电气信息学院,宁夏银川750021;宁夏大学物理电气信息学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】P631.4光衍射现象是证明光具有波动性的最有说服力的理论[1]，它的存在深刻地反映了光子（或电子等其他微观粒子）的运动受测不准关系[2]的制约.从衍射现象出发，已有研究得出并建立了很多的理论，比如：惠更斯-菲涅耳原理，菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式，夫琅和费衍射，菲涅耳衍射等.其中，惠更斯-菲涅耳原理[3](Huygens-Fresnel principle)以波动理论解释了光的传播规律，它认为，从同一波面上各点发出的子波是相干波，在传播到空间某一点时，各子波进行相干叠加的结果，决定了该处的波振幅.由于波阵面上有无数个点，即有无数个子波，衍射是无数个子波束叠加的效应，在数学处理上是一个求积分的过程，这个积分就是菲涅耳衍射积分[4].历年以来，计算机的运用给许多研究工作带来了新的契机，一些实验和理论工作者积极致力于此方面的研究，以期通过计算机对菲涅耳衍射积分进行更透彻的解析[5-7]，对光的衍射现象进行更进一步的分析[8-11]，对教学工作提供更进一步的指导.基于已有的工作以及工作中需要补充的地方，本文从菲涅耳衍射积分公式出发，理论计算得到单缝衍射的光强分布公式，进行数值计算得到单缝衍射光强分布图样，并通过实验进行验证.1 单缝衍射光强分布的理论计算从同一波阵面上各点所发出的子波，在传播过程中相遇时，可相互叠加产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定.若取时刻t=0波阵面上各点发出的子波初相为零，则面元dS在P点引起的光振动为（图1）.图1 子波相干叠加其中：K(θ)为倾斜因子，C 为比例常数，θ与K(θ)之间有如下对应关系：P点的光振动（惠更斯原理的数学表达）为：在由于K(θ)是倾斜因子，而cos θ在这个区间的变化刚好满足倾斜条件的需要，所以取K(θ)=cos θ，则有：单缝衍射中，面元dE可以看作是线元dl，面元到屏上任意点的距离r可以用屏上某点距离屏中心处的距离d和该点与面元上的夹角θ共同来表示为如图2）.图2 单缝衍射在区间上有成立，则通过积分并进行离散可以得到：则光强的公式这样，通过以上近似，可以从惠更斯－菲涅耳原理出发，得到单缝衍射空间各点光强所满足的普适公式.由式（6）可知，光在屏上的明暗情况取决于衍射角的变化情况，衍射角不同，屏上的明暗情况就不同，根据衍射角的变化，可以通过数值计算得到接收屏上光强分布图.以Fortran PowerStation 4.0为平台编写计算机程序得到数据并通过Microcal Origin 6.0软件进行仿真模拟得到了单缝衍射光强分布的结果.详细计算了缝宽、光波波长及屏－缝之间的距离对衍射结果的影响.2.1 狭缝宽度对单缝衍射光强分布的影响保持入射光波波长为632 nm及缝－屏之间的距离为40 cm不变，改变狭缝宽度计算衍射光强分布，结果如图3所示.对比图3中前3张图可以发现，随着单缝宽度的增加，衍射图样中中央明条纹的宽度变窄，亮度增加，各级衍射条纹相应变得狭窄而密集.第4张图是狭缝宽度增加到1 000 μm时的衍射图样，此时认为缝宽度d＞＞λ，各级衍射条纹都收缩于中央明条纹附近而分辨不清，只能观察到一条亮纹，衍射现象最不明显，光线可以看作是沿直线传播.2.2 光波波长对单缝衍射光强分布的影响保持屏与缝之间距离为40 cm和狭缝宽度为40 cm不变，计算在不同光波波长情况下单缝衍射的光强分布结果，如图4所示.对比图4中的4个结果可以看出，随着入射光波长λ的增加，衍射图样中中央明条纹的宽度变宽，衍射效果越明显；同时，随着入射光波长的增加，中央主极大对应的光强值变化不大，都在0.25左右.可见，入射光波长的变化对中央明纹亮度的影响不大.图3 狭缝宽度对单缝衍射结果的影响2.3 缝与屏间距离对单缝衍射的影响保持光波波长为632 nm和狭缝的宽度为20 μm不变，改变屏与缝之间的距离，计算衍射光强分布结果，如图5所示.比较图5中的4张图可知，随着缝与屏之间距离增加，衍射图样中中央明条纹的宽度变宽，亮度降低，但是衍射效果越明显. 图4 光波波长对单缝衍射的影响图5 屏与缝间距离对衍射结果的影响为验证式（5）及数值计算的正确性，可在同等条件下进行单缝衍射光强分布的实验测量.根据菲涅耳半波带理论，中央明纹两侧一级明条纹位置在处，若2个一级明条纹之间的距离相等，则在同等条件下实验室所得的衍射结果与计算机数值模拟结果相同，从而得出式（5）正确的结论.实验和数值计算时狭缝宽度及缝－屏间距随意选取，而入射光波采用He-Ne气体激光器发出的波长为λ=632.8 nm的激光. 图6所示为狭缝宽度b=200 μm、缝与屏间距d=60 cm，且波长λ=632.8 nm时的数值计算结果；同样条件下实验所得的衍射光强分布如图7所示.实验测量是以宁夏大学基础物理实验中心为平台在其提供的光衍射光强分布测量仪上进行测量得到的.从图6可知，衍射图样中中央明纹两侧第1级明条纹之间的距离Δx1=5.554 9 mm，在图7中对应于第8峰值和第10峰值之间的距离，计算可得Δx1=5.4 mm.图6 单缝衍射光强分布数值计算结果1图7 单缝衍射光强分布实验室测量结果1图8和图9是在狭缝宽度b=200 μm,缝与屏间距离为d=120 cm且入射光波波长λ=632.8 nm的条件下，实验和数值模拟所得的光衍射光强分布图.从图8中可计算衍射图样中央明纹两侧第1级明条纹之间的距离Δx2=11.078 mm，在图9中对应于第10峰值和第12峰值之间的距离，计算可得Δx2=10.6 mm.图8 单缝衍射光强分布数值计算结果2图9 单缝衍射光强分布实验室测量结果2在实验误差允许的范围内，有Δx1=Δx1,Δx2=Δx2成立.其中，在实验过程中误差主要来源于以下几个方面：①实验过程中背景光及噪音对衍射结果的影响；②确定狭缝宽度及缝－屏间距离时存在人为因素所引入的误差；③光栅尺记录分布谱的横坐标时，由于数据采集间隔有限，不能完全准确确定亮场的位置，从而引入误差；④光路调节过程中，经过粗、细两步调节后仍无法获得完全的平行光，从而使衍射光谱左右不完全对称等等.同样，在用计算机进行数值计算时，最大值的准确选取、迭代步数的确定等因素也会造成实测结果与数值模拟结果有偏差.总之，在误差允许的范围内，计算机模拟结果与实验室实测结果一致，或者说运用式（5）计算单缝衍射空间各点光矢量是可行的.4 结语光作为一种电磁波，在传播过程中遇到障碍物尺寸与光波波长可比拟时会偏离直线传播，而呈现光强分布不均匀的衍射现象.本文从惠更斯－菲涅耳原理出发，在菲涅耳衍射积分公式的基础上通过合理的近似，理论计算得到适用于单缝衍射现象的光强分布公式；并通过数值模拟得到不同条件下的衍射图样；在相同条件下进行多次实验测量与数值计算结果吻合较好；通过实验验证说明本文的理论及数值计算是可行的，能够将结果拓展到双缝、光栅及圆孔等衍射现象当中；对于实验经费不足及边远地区可以采用此种方案进行教学更加直观地展现衍射现象，从而对光衍射部分的教学起到一定的指导作用.【相关文献】[1]王晓颖,李武军.单缝衍射的物质波解释[J].大学物理,2004,23(11):35-36.[2]曾谨言.量子力学[M].3版.北京:科学出版社，2001:34.[3]波恩M，沃耳夫E.光学原理[M].北京:电子工业出版社,2005.[4]马文蔚,谢希顺,周雨青.物理学[M].北京：高等教育出版社,2009.[5]喻力华,赵维义.圆孔衍射光强分布的数值计算[J].大学物理,2001,20(1):16-19.[6]柴晓冬,韦穗.菲涅耳衍射光场分布的数值计算与数字重构[J].量子电子学报,2003,20(4):435-438.[7]钱晓凡,胡涛,张晔.基于MATLAB的衍射场模拟计算[J].昆明理工大学学报,2004,29(3):132-133.[8]孙慕渊.夫琅和费双狭缝衍射的讨论[J].咸宁学院学报,2004,24(6):69-70.[9]张耀举.平面波经小圆孔非傍轴衍射的轴上光强解析分析[J].光子学报,2006,35(2):1917-1920.[10]王鹏,徐毓光,余勤跃.圆屏(球)和圆环菲涅耳衍射的解析表达式[J].光学学报,2000,20(3):351-356.[11]李玉春,张学刚.夫琅禾费单缝衍射光强分布的探讨[J].大庆师范学院学报,2007,27(5):87.。
衍射光强实验
衍射光强实验1 实验目的：平行光束通过单缝、多缝或圆孔等器件发生的衍射现象叫做夫朗禾费衍射。
实验通过对夫朗禾费单缝禾圆孔等衍射光强进行逐点测量，手绘衍射图样的光强分布曲线，有助于对光的波动性的理解和对实验技术和分析能力的培养。
2 实验原理：平行光束垂直照射到宽度为a 的狭缝AB 上（图2-1），按惠更斯-菲涅耳原理，此时狭缝上每一点都可看成发射次级子波的波源。
AB 面上的子波到达P0点，因相位相同，叠加得到加强；而P1点的图 2-11M强弱则取决于沿θ角发射，到达时相位各不相同的子波在该点叠加的结果。
该点的光强220sin u uI I =θ （2-1）其中θλsin πau =（2-2）式中I 0是衍射条纹中央P 0处的光强，λ是单色光的波长。
图2-2为衍射光强分布图，当θ＝0时，I θ＝I 0，相对光强I/ I 0=1。
3.472.461.43-1.43-2.46-3.47图 2-2I /I由公式（2-1）可求得暗条纹位置，即I ＝0，有sin u ＝0，于是u ＝kπ，代入式（2-2）可得λθk a =sin （k ＝±1，±2…），可见，暗条纹是以中央极大为中心，两侧等距分布的。
主极大两侧各级亮条纹（次级大）分别出现在a λθ43.1sin ±=，a λ46.2±，a λ47.3±…的位置，相对光强是I 1/ I 0≈0.047，I 2/ I 0≈0.017，I 3/ I 0≈0.008…。
3 器件简介3.1 二维调节滑动座：可调节光学器件（如狭缝）在竖直平面内的转角，使器件铅直，同时还可用于横向调节。
3.2 移动测量架：使一个可调狭缝往复移动，并由指针在直尺上指示狭缝的位置，狭缝前后分别有进光管和安装光电探头的圆套管。
3.3 光传感器：用于相对光强测量，波长范围：200-1050nm 。
3.4 SGN-3型数显光电流放大器：与光传感器连接，用于测量相对光强。
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教学讨论
大学物理 COL L EGE PHYSICS
圆孔衍射光强分布的数值计算
Vo l. 20 N o. 1 Jan. 2001
喻力华, 赵维义
( 华中理工大学 物理系, 湖北 武汉 430074)
摘要: 利用数值积分的方法, 计算了由点光源经圆孔衍射形成的光强分布, 分别得到 夫琅禾费及 菲涅耳衍 射图
式( 2) 中有一个与 S 点源强度相关的参量 a, 在
计算中, 我们略去该量, 因此得到的是衍射光强
的相对分布, 而其它参量均参加了积分计算.
考虑整个衍射装置的对称性, 在接收屏幕
上形成的衍射光强必然以 Oc点为中心成圆形
对称分布. 为了减少计算量, 我们令 yc= 0, 只
计算 xc轴上范围在- L [ xc [ L 的场点光强,
圆孔半径 R = 2 mm, 令 D 1= D 2 分别为 10 m 、
20 m、40 m、60 m、80 m、100 m, 计算衍射光强 分布, 并分别与标准夫琅禾费衍射情况进行比
较.
标准 夫琅 禾 费 衍 射 相 对 光 强 分 布 公 式
为[1]:
2PR sin H 2
Ic( H) W
2 J1
Key words: numerical int egrat ion; Fraunhofer diff ract ion; F resnel diff ract ion
若已知 D 1、D 2、R 及波长 K四个 相关 参
量, 即可通过数值积分计算出任意场点 P ( xc,
yc) 的复振幅 U( P ) , 而 P 点的光强为 I ( P ) =
| U( P) | 2. 在计算 中, 利用 欧拉公式, 将式( 2)
化为实部和虚部两部分分别进行积分, 最后通
过两部分的平方和来计算光强. 应该注意的是,
Numerical calculation of intensity distribution in circular aperture diffraction
YU L-i hua, ZH AO We-i yi
( Department of P hysics, Hua- Zhong U niversit y of Science and T echnology , Wuhan, Hubei, 430074, China)
1 衍射积分的计算方法
考虑由一点光源所发出的球面光波经圆孔
衍射屏形成的衍射场, 根据菲涅耳- 基尔霍夫
衍射积分公式[ 1] , 衍射场中一点 P 的光波振动
复振幅为:
k U ( P ) =
-i 2K
( cos H0 +
( 20)
cos
H)
U 0(
Q
)
ei
2KPr2
r2
d
2
(
1)
式中: K为光波长, 如图 1 所示, r 1 为 S 到 Q 的
之间的关系曲线, 如图 4 所示. 随着 R 值的变
化, 光轴上一点的光强作一种周期性变化, 并且
光强极小, 非常接近于零, 这是典型的菲涅耳衍
射特征. 根据近似处理菲涅耳衍射的半波带法,
可以计算出圆孔中包含的半波带数 量 n 与对 应圆孔半径的关系[ 1] :
R 2=
n
D1D D1+
2K D2
( 5)
条件和 P
点满足 傍轴条件[1] :
D2
m
R2 K
,
D
2 2
m
| OcP | 2, 在通常情况下, 后者比较 容易得到满
足, 起关键作用的是前者. 因此, 主要应该比较
D 1、D 2
与
R2 K
之间数
值的
大小关系.
本文选取光波长 K= 632. 8 nm( He- Ne 激
光波长, 以下讨论均采用此波长的计算结果) ,
因此, 通过式( 5) 可以得到: 图 4 中从左往右光强
极大对应的半波带数依次为: 3, 5, 7, ,, 19, 21;
而光强极小对应的半波带数依次为: 4, 6, 8, ,,
20, 22. 当圆孔中包含奇数个半波带时, 中心将是
亮点; 而包含偶数个半波带时, 中心将是暗点.
另一方面, 如果选取 D 1= 3 m, R = 2 mm,
于比较, 令 Id( x ci ) =
I
(
xci I0
)
,
I0=
I ( x c76 ) ( 即
令 Id( 0) = 1) , 计算 Id( xci ) 与 Ic( xci ) 的偏差:
$I =
6 1
n
n
[ Id( xci) -
i= 1
Ic( xci ) ] 2
根据选取的 R 、K数值, 当 D 1= D 2 m R 2/ K
参考文献:
[ 1] 赵凯华, 钟 锡华. 光 学 上册[ M ] . 北京: 北京大 学出 版
社, 1984. 186~ 206, 225~ 227.
图5
[ 2] Francis A J, Harvey E W . Fundament als of O ptics [ M ] .
M cG raw-Hill, 1976. 378~ 401.
L 的取值根据不同的衍射情况将不同.
积分计算采用等步长梯形求积法. 首先将
Q、U的积分步数均定为 800, 从而得 到一个积
分值 I ( 1) ; 第二次再将步数均增加 200, 得到第
二个积分值 I ( 2) , 若前后两次积分值的相对偏
差
[
I
(
2) I
-I ( 2)
(
2
1)
]
2
大于
1
@
10-
5,
x c) 2 ,
C=
图1
收稿日期: 1999- 11- 01 作者简介: 喻力华( 1967 ) ) , 男, 江西南昌人, 华中理工大学物理系讲师, 硕士.
第1期
喻力华等: 圆孔衍射光强分布的数值计算
17
( Qsin
U-
yc) 2+
D
2 2
.
Q的积分范围为 0~
R, U
的积分范围为 0~ 2P.
( 实线为标准夫琅禾费衍射, 虚线为数值计算的结果) 图3
第1期
喻力华等: 圆孔衍射光强分布的数值计算
19
化则是缓慢的. 利用图 4 的计算结果, 可以得到: 1) 当 D 1
= D 2= 3 m, R = 1. 949 mm 时, 圆孔中包含 4 个半波带, 衍射中心将为暗点; 2) 当 D 1= D 2= 3 m, R = 2. 177 mm 时, 圆孔中包含 5 个半波 带, 衍射中心为亮点, 图 6 为这两种情况下, 利 用式( 2) 计算得到的衍射光强相对分布, 这是明 显的菲涅耳衍射图样.
18
大学 物理
第 20 卷
图2
的比较. 当 D 1= D 2= 60 m 时, 它们符合较好, 当 D 1= D 2 为 20 m 时, 衍射光强相对分布与标准 夫琅禾费衍射相比出现较大偏差, D 1、D 2 的数 值越小, 偏差越大. 因此可以认为在 R 为 2 mm、 波长为 632. 8 nm 的情况下, 实现夫琅禾费衍射 必须要求 D 1、D 2 至少大于 20 m. 2. 2 菲涅耳衍射
Abstract: U se the met hod of t he numerical int egration to calculate t he diff ract ion int ensit y dist r-i bution of point source t aken w ith a circular aperture, get t he Fraunhof er and Fresnel dif fraction images respectively, and quantitat ively analyze t he condit ion of obt aining Fraunhofer diff ract ion.
距离, r 2 为 Q 到P 的距离, 积分范围为半径为
R 的圆孔表面 20, 即所谓透光部分. 因此得
2P R
QQ U( P ) =
- ia 2K
00
D1 + A
D2
#
B+ C
ex p i 2KP( A +
B+ C) Qd Qd U
( 2)
A# B+ C
式中A =
D
2 1
+
Q2 , B =
(
Qcos U-
本文通过计算机数值积分的方法, 来计算圆 孔衍射的光强分布, 通过改变光源到衍射屏、接 收屏幕到衍射屏的距离以及圆孔半径等参量来 分别得到不同的衍射图样, 并且与解析计算得到 的标准夫琅禾费衍射光强分布及用半波带法得 到的菲涅耳衍射轴上一点光强进行了比较, 讨论 了满足远场近似条件所要求的具体参量数值.
K
2PR sin H
( 3)
K
式中 J1 为一阶贝塞耳函数, H为衍射角. 若令 yc= 0, 只考虑 xc轴上的光强分布, 则
有
H=
xc
( 4)
D
2 2
+
xc2
因此, 根据式( 3) 、( 4) 可以得到标准夫琅禾费衍
射光强分布.
在 xc轴上- L [ x c [ L 的范围内均匀取 n = 151 个点( xc1 = - L , xc2 = - L + 2L / 150,
图4
D 2 在 1~ 11 m 的范围内变化, 均匀选取 100 个 点, 同样可以计算出光轴上一点的变化情况, 图 5 为 I ~ D 2 之间的关系曲线. 光轴上一点的光 强随 D 2 同样作一种明暗交替的 变化, 只是衍 射中心光强随 R 的变化是敏感的, 而随 D 2 的变