初二轴对称图形难题总结
轴对称图形重难点题型培优
轴对称图形解答题较难题一、翻折变换题型1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=½AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程．（ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长．（ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长．二、特异三角形1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线；（ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数．5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到△ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ．（ 1 ）求证： FD=FB ．（ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长．三、点的运动变化题型8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（ Q 不与 B 重合），过 P 作 PE ⊥ AB 于 E ，连接PQ 交 AB 于 D ．（ 1 ）当∠ BQD=30°时，求 AP 的长；（ 2 ）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由．9 ．某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点 P 到边 AB 、 BC 的距离相等，并且点 P 到点 A 、 D 的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点 P （不写作法，保留作图痕迹）．四、等边三角形题型12 ．已知：在△ AOB 和△ COD 中， OA=OB ， OC=OD ．（ 1 ）如图①，若∠ AOB= ∠ COD=60°，求证：① AC=BD ②∠ APB=60°．（ 2 ）如图②，若∠ AOB= ∠ COD=α，则 AC 与 BD 间的等量关系式为，∠ APB 的大小为（直接写出结果，不证明）。
专题05 轴对称重难点题型分类(原卷版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。
适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=13.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：554．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8B．9C．10D．116.（2017·湖北）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为()A．30°B．45°C．50°D．75°7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．717．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC边上高AD，交BC于点D，∠BAC的平分线AE，交BC于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB，作出线段AB的垂直平分线MN．（2）已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；(2)在x轴上画出点P，使得PA+PB的值最小．23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2、y2），其两点间的距离P1P2＝（1）试求A、B两点的距离；（2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使PA+PB的长度最短，求出PA+PB的最短长度．（3）在x轴上有一点M，在y轴上有一点N，连接A、N、M、B得四边形ANMB，若四边形ANMB的周长最短，请找到点M、N（不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB的最小周长．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。
八年级上册数学轴对称知识点总结
八年级上册数学轴对称知识点总结篇1：八年级上册数学轴对称知识点总结八年级上册数学轴对称知识点总结1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2.性质：(1)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(2)角平分线上的点到角两边距离相等。
(3)线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
(4)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
(5)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角)4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
5.等腰三角形的判定：等角对等边。
6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，7.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的.等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。
8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
9.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
数学学习方法诀窍1细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。
例如，在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。
二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。
这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。
三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。
记忆是理解的基础。
如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢?我们的建议是：更细心一点(观察特例)，更深入一点(了解它在题目中的常见考点)，更熟练一点(无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如)。
2养成良好的解题习惯要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。
《轴对称图形》易错疑难点归纳
第2章《轴对称图形》易错疑难点归纳易错点1 对轴对称的概念理解不透1.下列说法正确的有( )①全等的两个图形一定成轴对称;②成轴对称的两个图形一定全等;③若两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧; ④若点,A B 关于直线MN 对称，则直线MN 垂直平分线段AB .A.1个B. 2个C. 3个D. 4个易错点2 判断轴对称图形对称轴的条数出错2.如图所示的图形分别有几条对称轴?请分别画出它们的对称轴.易错点3 没有正确利用轴对称的性质画出对称图形3.如图，作出ABC ∆关于BC 所在直线对称的图形.易错点4 解题时考虑不全面，导致漏解4.在ABC ∆中，,AB AC AB =的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，求C ∠的度数.易错点5 未能正确理解“三线合一”中的“三线”指的是哪三条线段5.已知在ABC ∆中， ,AB AC BD AC =⊥，垂足为点D .若30A ∠=︒，求DBC ∠的度数.疑难点1 利用轴对称解决最值问题1.如图，等边三角形ABC 的边长为4 ,AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，当EF CF +取得最小若值时，ECF ∠的度数为( )A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45°疑难点2 利用线段垂直平分线知识解决线段相等问题2.如图，已知P 为ABC ∆的边BC 的垂直平分线上的一点，该垂直平分线交BC 于点G ，且1,,2PBG A BP CP ∠=∠的延长线分别交,AC AB 于点D ，E .求证:BE CD =.疑难点3 探索问题3.如图，在Rt ABC ∆中，90,30,ACB A P ∠=︒∠=︒为BC 边上任意一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF .(1)试探索EF 与AB 的位置关系，并证明;(2)如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时， (1)中的结论是否成立?请说明理由.(3)如图3，在Rt ABC ∆中，90,,ACB A m P ∠=︒∠=︒为BC 延长线上一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得,PC PF PQ PE ==，连接EF .要使(1)中的结论仍然成立，则需要添加怎样的条件?不需证明.易错点1.B2.图1有2条对称轴，图2有3条对称轴，图3有8条对称轴，图4有5条对称轴.分别画出它们的对称轴如图所示.3.如图1，作点A 关于直线BC 的对称点A '，分别连接A B ',A C '，则A BC '∆即所求作的图形.4.20°或70°5. 15°疑难点1.C2. ()PBF PCM AAS ∆≅∆()BEF CDM AAS ∆≅∆3．(1) EF AB ⊥(2)当点P 为BC 延长线上任意一点时，(1)中的结论成立.(3)要使(1)中的结论依然成立，则需要添加条件是CPF B QPE ∠=∠=∠。
初二轴对称图形难题总结
初二轴对称图形难题总结如图（a）,点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于I的对称点B',连接A B与直线I交于点C,则点C即为所求.（1）实践运用：如图（b）,已知，O O的直径CD为4,点A在O O 上, / ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP 的最小值为 ____________________ .（2）知识拓展：如图（c）,在Rt A ABC中，AB=10, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.2. （1）观察发现如图（1）:若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B',连接AB',与直线m的交点就是所求的点P,线段AB'的长度即为AP+BP的最小如图（2）:在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小, 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为（2 ）实践运用如图（3）：已知O O的直径CD为2，配的度数为60 °点B是AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP的（3）拓展延伸如图（4）:点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB BC上作出点M，点N,使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法.如图（1）,要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在I上找几个点试一试，能发现什么规律？人/I* / Vy ■-r■v 『P \% H* *B4 5 6 7 8 9⑴⑵聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法•他把管道I看成一条直线（图（2））,问题就转化为，要在直线I上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：①作点B关于直线I的对称点B'.②连接AB交直线I于点P,则点P为所求.请你参考小华的做法解决下列问题•如图在△ ABC中，点D、E分别是AB AC边的中点，BC=6, BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点巳使厶PDE得周长最小.（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）.（2）请直接写出△ PDE周长的最小值：__________ .4（1）观察发现：如（a）图，若点A, B在直线I同侧，在直线I上找一点P,使AP+BP的值最小.做法如下：作点B关于直线I的对称点B',连接AB'，与直线I的交点就是所求的点P.再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE 的最小值为___________ .（2）实践运用：如（c）图，已知O O的直径CD为4, / AOD的度数为60°点B是肛＜的中点，在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：8,(a)5.几何模型：条件：如下图, A、B是直线I同旁的两个定点.久问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.方法：作点A 关于直线I 的对称点A',连接A'B 交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形ABCD 的边长为2, E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD,由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P,贝U PB+PE 的最小值是 ______________ ;(2) 如图2, O O 的半径为2,点A 、B 、C 在O O 上，0A 丄OB , / AOC=60 , P 是0B 上一动点，求 PA+PC 的最小 值； (3) 如图3, / AOB=45 , P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、0B 上的动点，求 △ PQR 周长的最小值. 6.如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为 A (2, - 3), B (4,- 1).(1) __________________________________________________ 若P ( p , 0)是x 轴上的一个动点，则当 p= 时，△ PAB 的周长最短；(2) _____________________________________________________________ 若C (a , 0), D (a+3, 0 )是x 轴上的两个动点，则当 a= _____________________________________________________ 时，四边形ABDC 的周长最短； (3)设M , N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m , 0)、N (0, n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m= ____________ , n= ___________ (不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.21\■11 1 >-1(?123456"-1 ■1-3-/ A8 .如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A , B ,已知AB=10千米，直线 AB 与公路MN 的夹角 / AON=30 ；新开发区 B 到公路MN 的距离BC=3千米.ayE1圈2图孑A ,B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.£3.公曙7 .需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到(1) ________________________________________ 新开发区A到公路MN的距离为；(2)现要在MN上某点P处向新开发区A, B修两条公路PA, PB,使点P到新开发区A, B的距离之和最短.此时PA+PB= _________ (千米).10 .如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1的对称轴为y 轴.(1)请画出：点 A 、B 关于原点0的对称点A2、B2 (应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明);(2) 连接A1A2、B1B2 (其中A2、B2为(1)中所画的点)，试证明：x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2; (3)设线段AB 两端点的坐标分别为 A (- 2, 4)、B ( - 4, 2),连接(1)中A2B2,试问在x 轴上是否存在点 C , 使厶A1B1C 与厶A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点C 的坐标(不必说明周长之和最小的理由) ；若不存在，请说明理由.1A厂B比____________________________________ X11•某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益.请你在图中标明加工厂所在的位置 C ,使A 、B 两地到加工厂 C 的运输路程之和最短.(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)■B 99.如图：(1) 若把图中小人平移，使点 A 平移到点B ,请你在图中画出平移后的小人； (2)若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边I 上点P 处喝水后，再游到B ,但要使游泳的路程最短，试如图1 , △ ABC中，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿/ BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，/ BAC是△ ABC的好角.小丽展示了确定 / BAC是厶ABC的好角的两种情形.情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角/ BAC的平分线AB1 折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合.探究发现(1)_______________________________________________________________________ △ ABC中，/ B=2/ C,经过两次折叠， / BAC是不是△ ABC的好角？____________________________________________ (填是”或不是”).(2)小丽经过三次折叠发现了 / BAC是厶ABC的好角，请探究 / B与/C (不妨设/ B> Z C)之间的等量关系•根据以上内容猜想：若经过n次折叠Z BAC是厶ABC的好角，则Z B与Z C (不妨设Z B> Z C)之间的等量关系为应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15° 60° 105°发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.sinZB=T13 .如图，△ ABC中AB=AC, BC=6, 5,点p从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；(2)如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度14 . (2012?东城区二模)已知：等边△ ABC中，点0是边AC, BC的垂直平分线的交点，M , N分别在直线AC, BC 上，且Z M0N=6° .(1)如图1,当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN MN三者之间的数量关系；(2)如图2,当C昨CN时，M、N分别在边AC、BC上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3,当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系. 保持不变的线段？请说明理由;16 .如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC, AC=DB, AC 与DB 交于点 M .求证: (1) △ ABC ^^ DCB;(2) 点M 在BC 的垂直平分线上.17 .如图，△ ABC 的边BC 的垂直平分线 DE 交厶BAC 的外角平分线 AD 于D , E 为垂足，DF 丄AB 于F ,且AB > AC,15 •如图，线段 CD 垂直平分线段 求证：DE=DFAB, CA 的延长线交BD 的延长线于E , CB 的延长线交AD 的延长线于F,18 .已知△ ABC 的角平分线 AP 与边BC 的垂直平分线求证：BK=CLPM 相交于点P ,作PK 丄AB , PL 丄AC,垂足分别是 K 、L,19 .某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村 A 、B 的距离必须相等，且到两条公路21.如图，在 △ ABC 中，/ BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P ,过点P 分别作PN 丄AB 于N , PM 丄AC 于点M ，求证：BN=CM ./ B=15° DE 垂直平分 AB , E 为垂足交 BC 于D, BD=16cm ,求 AC 长.参考答案与试题解析 一.解答题（共22小题）1. （2013?日照）问题背景：如图（a ）,点A 、B 在直线I 的同侧，要在直线I 上找一点C ,使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于I 的对称点B',连接A B 与直线I 交于点C ,则点C 即为所求.n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置. （要有作图痕迹）MN 交BC 于M ，交AB 于N ,求BM 的长.(1)实践运用：如图(b),已知，O O的直径CD为4,点A在O O上，/ ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2二.(2)知识拓展：如图(c),在Rt A ABC中，AB=10, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD和AB上的动点, 求BE+EF 的最小值，并写出解答过程.考点：轴对称-最短路线问题.3113559分析：(1)找点A或点B关于CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置•根据题意先求出 / C' AE再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；(2)首先在斜边AC上截取AB =AB连结BB',再过点B作B' L AB,垂足为F,交AD于E,连结BE,则线段解答：解：(1)作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P 此时PA+PB最小，且等于AE.作直径AC,连接C'.根据垂径定理得弧BD=< DE.•/ / ACD=30 ,°••• / AOD=60 ° / DOE=30 °••• / AOE=90 °•/ C' AE=45 °又AC为圆的直径，AEC =90；•/ C'纟C' AE=45 °V2• C' E=AE= AC' =2 °即AP+BP的最小值是2:.故答案为：2二；(2)如图，在斜边AC上截取AB =AB连结BB.•/ AD 平分 / BAC,•••点B与点B关于直线AD对称.过点B'作B' L AB,垂足为F,交AD于E,连结BE, 则线段B'F勺长即为所求.(点到直线的距离最短)在RtA AFB中，•••/ BAC=45 , AB =AB=10•B' F=AB ' ?sin45 °=AB?sin455^2, =10 x•BE+EF的最小值为' •-.⑹ I点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点 P位置是解题关键.（1）观察发现A 、B 在直线m 同侧，在直线 m 上找一点P ,使AP+BP 的值最小，做法如下：m 的对称点B',连接AB',与直线m 的交点就是所求的点 P ,线段AB'的长度即为AP+BP 的最小E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P ,使BP+PE 的值最小,做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ,故BP+PE 的最小值为（2 ）实践运用如图（3）:已知O O 的直径CD 为2，証的度数为60 °点B 是風 的中点，在直径 CD 上作出点P ,使BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为..（3）拓展延伸如图（4）:点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边 AB BC 上作出点M ，点N ,使PM+PN+MN 的值最小，保留作图 痕迹，不写作法.2 . （2013?六盘水）如图（1）:若点圆的综合题；轴对称-最短路线问题.3113559 压轴题. (1) 观察发现：利用作法得到 CE 的长为BP+PE 的最小值；由AB=2,点E 是AB 的中点，根据等_1边三角形的性质得到 CE1AB, / BCE=：/ BCA=30, BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关 系得CE=-(2) 实践运用：过 B 点作弦BE 丄CD,连结AE 交CD 于P 点，连结OB 、OE 、OA 、PB,根据垂径 定理得到CD 平分BE,即点E 与点B 关于CD 对称，则AE 的长就是BP+AP 的最小值；由于“的度数为60°,点B 是的中点得到 / BOC=30 , / AOC=60，所以/ AOE=60 +30° =90°, 于是可判断△ OAE 为等腰直角三角形，则 AE=二0A=.'：; (3 )拓展延伸：分别作出点P 关于AB 和BC 的对称点E 和F ,然后连结EF, EF 交AB 于M 、交BC 于 N .解：(1)观察发现如图(2) , CE 的长为BP+PE 的最小值，•••在等边三角形 ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点2••• CE 丄 AB , / BCE= :/ BCA=30 ,° BE=1, CE= ；BE= 故答案为一：；(2 )实践运用如图(3),过B 点作弦BE 丄CD,连结AE 交CD 于P 点，连结 OB 、OE 、OA 、PB, •/ BE 丄 CD,• CD 平分BE,即点E 与点B 关于CD 对称，•••AC 的度数为60 ；点B 是AC 的中点，• / BOC=30 ,° / AOC=60 /• / EOC=30,°• / AOE=60 +30 =90 °•/ OA=OE=1,• AE=：》O A =--,••• AE 的长就是 BP+AP 的最小值. 故答案为- 丁；(3 )拓展延伸 如图(4).考点 专题 分析解答:3. (2012?凉山州)在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.如图(1),要在燃气管道I 上修建一个泵站，分别向 A 、B 两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 你可以在I 上找几个点试一试，能发现什么规律?⑴ <2>25聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法•他把管道 为，要在直线I 上找一点P ,使AP 与BP 的和最小.他的做法是这样的: ① 作点B 关于直线I 的对称点B'. ② 连接AB 交直线I 于点P,则点P 为所求. 请你参考小华的做法解决下列问题•如图在△ ABC 中，点D 、E 分别是AB AC 边的中点，BC=6, BC 边上的高为4,请你在BC 边上确定一点 巳使厶PDE 得周长最小. (1) 在图中作出点 P (保留作图痕迹，不写作法). (2)请直接写出 △ PDE 周长的最小值： 8 .考点： 轴对称-最短路线问题.3113559 专题： 压轴题.分析：(1)根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于BC 的对称点D',连接D' E 与BC 交于点P , P 点即为所求； (2)利用中位线性质以及勾股定理得出 D'啲值，即可得出答案.解答：解：(1)作D 点关于BC 的对称点D',连接D' E 与BC 交于点P , P 点即为所求；(2) •••点D 、E 分别是AB AC 边的中点, ••• DE ABC 中位线，点评:I 看成一条直线(图(2)),问题就转化用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称-最短路径问题.•/ BC=6, BC 边上的高为4, ••• DE=3, DD ' =4 • D ' E=「f * 二5, • △ PDE 周长的最小值为： DE+D ' E=3+5=8故答案为：&此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求 值，求出DP+PE 的最小值即可是解题关键.4. （2010?淮安）（1）观察发现：如（a ）图，若点A , B 在直线I 同侧，在直线I 上找一点P,使AP+BP 的值最小.做法如下：作点 B 关于直线I 的对称点B',连接AB'，与直线I 的交点就是所求的点 P.再如（b ）图，在等边三角 形ABC 中，AB=2,点E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P,使BP+PE 的值最小.做法如下：作点 B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点 P ,故BP+PE的最小值为.（2） 实践运用：如（c ）图，已知O O 的直径CD 为4, / AOD 的度数为60°点B 是AD 的中点，在直径 CD 上找一点P ,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值. （3） 拓展延伸：考点： 轴对称-最短路线问题.3113559分析：（1 ）首先由等边三角形的性质知， CE1AB ,在直角△ BCE 中，/ BEC=90BC=2 BE=1，由勾股定理可 求出CE 的长度，从而得出结果；（2） 要在直径CD 上找一点P ,使PA+PB 的值最小，设 A'是A 关于CD 的对称点，连接 A',与CD 的 交点即为点P .此时PA+PB=A B 是最小值，可证 △ OA B 是等腰直角三角形，从而得出结果. （3） 画点B 关于AC 的对称点B',延长DB 交AC 于点P .则点P 即为所求.解答：解：（1） BP+PE 的最小值=•八■] L=.… 」=.';.点评:△ PDE 周长的最小(2)作点A 关于CD 的对称点 A ,连接A B 交CD 于点P,连接OA , AA', OB. •••点A 与A 关于CD 对称，/ AOD 的度数为60 °•••/ A ， OD=AOD=60 ； PA=PA,' •••点B 是i 的中点，• / BOD=30 ,°•••/ A ， O 出A ，OD+BOD=90 ° •/ O O 的直径CD 为4 °• OA=OA ， =2 • A ， B=2:.• PA+PB=PA ， +PB=A ，.B=2(3) 如图d :首先过点 B 作BB 丄AC 于O °且OB=OB , 连接DB 并延长交AC 于P .(由AC 是BB'的垂直平分线，可得 / APB=Z APD).此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题 转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.5. (2009?漳州)几何模型:条件：如下图，A 、B 是直线I 同旁的两个定点.问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.方法：作点A 关于直线I 的对称点A',连接A'交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明). 模型应用： (1)如图1°正方形ABCD 的边长为2 ° E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD,由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P,贝U PB+PE 的最小值是 ；(2) 如图2° O O 的半径为2°点A 、B 、C 在O O 上，OA 丄OB ° / AOC=60 ° P 是OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值；(3) 如图3° / AOB=45 ° P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、OB 上的动点，求 △ PQR 周长的最小值. 轴对称-最短路线问题.3113559 压轴题；动点型.(1) 由题意易得 PB+PE=PD+PE=DE 在厶ADE 中，根据勾股定理求得即可；(2) 作A 关于OB 的对称点A'°连接A'C 交OB 于P,求A'啲长，即是PA+PC 的最小值;点评:考点 专题 分析(3)作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N,连接MN，它分别与OA, OB 的交点Q、R,这时三角形PEF的周长-MN，只要求MN的长就行了.解答：解：(1) •••四边形ABCD是正方形，• AC垂直平分BD,•PB-PD,由题意易得：PB+PE-PD+PE-D,在厶ADE中，根据勾股定理得，DE- T(2)作A关于OB的对称点A',连接A C交OB于P, PA+PC的最小值即为A'啲长，•/ / AOC-60 °•/ A' OC-120 °作OD丄A'C于D,则 / A OD-60•••OA' -OA-2• A' D-；•I「:;(3)分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接OM、ON、MN , MN交OA、OB于点Q、R, 连接PR、PQ,此时△ PQR周长的最小值等于MN .由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10, / MOA=Z POA,•••/ MON=2 / AOB=2 X 4590 °在Rt A MON 中，MN= | 厂I =10 I:.即厶PQR周长的最小值等于10二点评:3£)V|!So此题综合性较强，主要考查有关轴对称--最短路线的问题,角形的有关知识.综合应用了正方形、圆、等腰直角三6. (2006?湖州)如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为 A (2, - 3), B (4,—1).(1)P ( p, 0)是x轴上的一个动点，则当p=工时，△ PAB的周长最短;(2)(3) 时，四边形ABDC的周长最短；M (m, 0)、N (0, n),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=5-■(不必写解答过程) ；若不存在，请说明理由./ NOB=/ POB,T C 点的坐标为(a , 0),且在直线A'F 上,5••• a="(3)存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ,作A 关于y 轴的对称点A',作B 关于x 轴的对称点B',连接A B'与x 轴、y 轴的交点即为点 M 、N ,• A' (- 2, - 3), B' (4 , 1),2 卫•直线A ' 的解析式为：y='x -」,考点 专题 分析 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质. 3113559压轴题. (1)根据题意，设出并找到 B (4, - 1)关于x 轴的对称点是B',其坐标为(4 ,1),进而可得直 线AB'的解析式，进而可得答案；(2) 过A 点作AE 丄x 轴于点E ,且延长AE ,取A'E=AE 做点F (1, - 1),连接A'F .利用两点间 的线段最短，可知四边形 ABDC 的周长最短等于 A'F+CD+AB 从而确定C 点的坐标值.5解答: (3)根据对称轴的性质，可得存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ,当且仅当m=：,时成立.解：(1)设点B (4, - 1)关于x 轴的对称点是B',其坐标为(4 , 1), 设直线AB'的解析式为y=kx+b ,n=—上；把 A (2, - 3) , B' (4, 1 )代入得:解得 ••• y=2x - 7 ,a令y=0得x=-即p= -(2 )过A 点作AE 丄x 轴于点E ,且延长 AE ,取A'E=AE.做点F (1, - 1),连接A'F .那么 3).A (2,直线A'F 的解析式为C K -1)£ 丄 ,即 y=4x — 5,O 站 S 5• M ( 7, 0), N (0, - 8).C (a , 0),D (a+3, 0 )是x 轴上的两个动点，则当 a= 1 M , N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点5m= —, n=—考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与 坐标轴的交点等知识.7. （ 2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到轴对称-最短路线问题.3113559 作图题.利用轴对称图形的性质可作点A 关于公路的对称点 A ,连接A',与公路的交点就是点 P 的位置.本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离.用到的知识：两点之间线段最短.8. （2006?贵港）如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A , B ,已知AB=10千米，直线 AB 与公 路MN 的夹角/ AON=30，新开发区B 到公路MN 的距离BC=3千米. （1）新开发区A 到公路MN 的距离为 8 ;（2） 现要在MN 上某点P 处向新开发区 A , B 修两条公路PA , PB,使点P 到新开发区A , B 的距离之和最短.此时 PA+PB= 14 （千米）.点评:A ,B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的考点 专题 分析 解答点评:O 站考点： 轴对称-最短路线问题.3113559 专题： 计算题；压轴题.分析：(1)先求出0B 的长，从而得出 0A 的长，再根据三角函数求得到公路的距离.(2)根据切线的性质得 EF=CD=BC=3 AF=AE+EF=AE+BC=1,再根据余弦概念求解.解答： 解：(1) •/ BC=3, / AOC=30 , •••0B=6.过点A 作AE 丄MN 于点E , A0=AB+0B=16• AE=8.即新开发区A 到公路的距离为8千米；(2)过D 作DF 丄AE 的延长线(点 D 是点B 关于MN 的对称点)，垂足为F . 贝U EF=CD=BC=3 AF=AE+EF=AE+BC=1,1 过B 作BG 丄AE 于G ,• BG=DF ,•/ BG=AB?cos30 ° -'=5•Q 二麻护*D 严二Jilt (MT )豆二“196 二 14连接 PB,贝U PB=PD,• PA+PB=PA+PD=AD=1（千米）.点评： 此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力.9. (2006?巴中)如图： (1) 若把图中小人平移，使点 A 平移到点B ,请你在图中画出平移后的小人；(2)若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 I 上点P 处喝水后，再游到 B ,但要使游泳的路程最短，试 在图中画出点 P 的位置.考点： 轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换.3113559 专题： 作图题.分析： 根据平移的规律找到点 B ,再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点 A 的对称点,连接A1B 与I 相交于点P,即为所求.点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题.最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线 段最短可求出所求的点.作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步•平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距 离，先确定一组对应点； ②确定图形中的关键点； ③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有 关键点的对应点； ④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形.10 . （2003?泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1的对称轴为y 轴.（1） 请画出：点 A 、B 关于原点O 的对称点A2、B2 （应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2） 连接A1A2、B1B2 （其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2；（3） 设线段AB 两端点的坐标分别为 A （- 2, 4）、B （ - 4, 2）,连接（1）中A2B2,试问在x 轴上是否存在点 C , >△ A1B1C 与厶A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由.解答:解：I 一! ： f ! I —丄丄；考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题.3113559专题：作图题；证明题；压轴题；探究型.分析：(1)根据中心对称的方法，找点A2, B2,连接即可.(2 )设 A (xl, y1 )、B (x2, y2)依题意与(1)可得A1 (- x1, y1), B1 (- x2, y2), A2 (- x1,-y1) , B2 (- x2,- y2),得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2,所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2.(3)根据A1与A2, B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C,点C为所求的点.根据题意得B1 (4,2), A2 (2,- 4)设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法•解得I，所以可求直线A2B1的解析式10 10 22为y=3x- 10.令y=0,得x=3 ,所以C的坐标为(3,0).即点C^ , 0)能使△A1B1C与厶A2B2C 的周长之和最小.解答：解：(1)如图，A2、B2为所求的点.(2 )设 A (x1 , y1)、B (x2, y2)依题意与(1)可得A1 (- x1, y1) , B1 (- x2, y2), A2 (- x1,- y1) , B2 (- x2 , - y2)••• A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2 ,••• x轴垂直平分线段A1A2、B1B2.(3 )存在符合题意的C点.由(2)知A1与A2 , B1与B2均关于x轴对称，•连接A2B1交x轴于C,点C为所求的点.T A (- 2 , 4) , B (- 4 , 2)依题意及(1 )得：B1 (4, 2), A2 (2, - 4).r4k^b=2设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有［乐+b二T 解得(b二- 1°•直线A2B1的解析式为y=3x- 10 ,110令y=0,得x=点评： 主要考查了轴对称的作图和性质， 以及垂直平分线的性质. 要知道对称轴垂直平分对应点的连线. 会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键.11. （2001?宜昌）某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益•请你在图中标明加工厂所在的位置 C ,使A 、B 两地到加工厂C 的运输路程之和最短.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）AB■-轴对称-最短路线问题.3113559 作图题.作A 关于直线L 的对称点E ,连接BE 交直线L 于C ,则C 为所求.本题主要考查对轴对称-最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键,12 . （2012?淮安）阅读理解如图1 , △ ABC 中，沿/ BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿/ BnAnC 的平分线AnBn+1折叠，点Bn 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次 恰好重合，/ BAC 是△ ABC 的好角.小丽展示了确定 / BAC 是厶ABC 的好角的两种情形.情形一：如图 2,沿等腰三角形 ABC 顶角/ BAC 的平分线AB1 折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图 3，沿/ BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C 的 平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合. 探究发现 考点 专题 分析 解答点评:w••• C 的坐标为（：；，0）BAC是不是△ ABC的好角？是（填是”或不是”）.（2）小丽经过三次折叠发现了 / BAC是厶ABC的好角，请探究 / B与/C （不妨设/ B>Z C）之间的等量关系•根据以上内容猜想：若经过n次折叠/ BAC是厶ABC的好角，则/ B与/ C （不妨设/ B>Z C）之间的等量关系为 / B=n/ C •应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15° 60° 105°发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的考点：翻折变换（折叠问题）• 3113559专题：压轴题；规律型.分析：（1 ）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知/ B=2/ C;（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知/ A1A2B2=/ C+/ A2B2C=2Z C;根据四边形的外角定理知/ BAC+2Z B - 2C=180①，根据三角形ABC的内角和定理知 / BAC+/ B+/C=180。
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析
数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。
3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。
(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。
二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。
在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。
2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。
可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。
3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。
三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。
因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。
(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。
因此B点到直线m的距离为2.5cm。
例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。
求三角形ABC 的面积。
解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。
初二数学轴对称练习题难
初二数学轴对称练习题难在初二数学学习中，轴对称是一个重要的概念。
学生在掌握了轴对称的基本概念后，需要通过练习题来提高自己的运用能力。
然而，初二数学轴对称练习题往往具有一定的难度，需要学生具备一定的逻辑思维和数学运算能力。
接下来，我们将通过一些练习题来探讨初二数学轴对称练习题的难点。
1. 图形轴对称第一类轴对称练习题是图形轴对称。
例如，给定一个图形，要求找出它的轴对称图形。
这类练习题考察学生对于轴对称性质的理解和运用。
对于这类练习题，学生需要先找出图形的对称轴，然后对称地绘制出图形的另一半。
这要求学生具备一定的观察力和几何图形的基本认识。
同时，学生需要注意图形的对称性质，确保绘制的对称图形与原图形完全一致。
2. 物体轴对称第二类轴对称练习题是物体轴对称。
例如，给定一个三维物体，要求找出它的轴对称面。
这类练习题考察学生对于物体轴对称性质的理解。
对于这类练习题，学生需要观察物体的形状，并找出物体的轴对称面。
这要求学生具备一定的空间想象力和几何形状的理解能力。
同时，学生需要进行逻辑推理，确定轴对称面的位置和性质。
3. 数学公式应用第三类轴对称练习题是数学公式的应用。
例如，给定一个函数表达式，要求判断它是否具有轴对称性质。
这类练习题考察学生对于函数性质的理解和应用。
对于这类练习题，学生需要根据函数的表达式，进行数学运算和推导，判断函数是否满足轴对称性质。
这要求学生具备一定的代数运算能力和数学分析能力。
同时，学生需要注意函数的对称性，确保判断的正确性。
初二数学轴对称练习题的难点在于对于轴对称性质的理解和应用。
学生需要具备几何形状的认识、空间想象力、数学运算能力和逻辑推理能力。
在解答练习题时，学生需仔细观察题目，理清思路，确定解题方法，进行准确的计算和推导。
同时，学生还需多加练习，逐步提高自己的解题能力。
总结起来，初二数学轴对称练习题确实具有一定的难度。
但只要学生具备一定的基础知识和解题技巧，认真观察，仔细分析，多加练习，相信能够成功解答这些难题。
轴对称知识点总结与常考题型
轴对称是几何学中的一个重要概念，它描述了一个图形相对于某条轴线具有对称性。
以下是轴对称的知识点总结以及常考题型：1. 轴对称的定义：一个图形相对于某条直线对称，如果将该图形沿着这条直线折叠，两边完全重合。
2. 轴对称的特点：-对称轴上的任意一点与它关于对称轴上的对应点距离相等。
-对称轴将图形分为两个对称的部分，其中一个部分可以通过另一个部分旋转180度得到。
3. 常见的轴对称图形：-矩形、正方形和长方形都是轴对称图形，其对称轴分别为中心线和对边的中垂线。
-圆是轴对称图形，其对称轴为任意直径。
-有些字母和数字如"A"、"H"、"8"等也是轴对称图形。
4. 轴对称的判断方法：-观察图形是否能够通过折叠使两边完全重合。
-寻找图形的对称轴，判断图形上的点是否关于对称轴对称。
5. 轴对称的常考题型：-判断图形是否具有轴对称性质。
-找出图形的对称轴。
-完成轴对称图形的绘制，只给出一部分图形或对称轴。
-求解与轴对称图形相关的问题，如周长、面积等。
举例：1. 判断图形是否具有轴对称性质：给定一个图形，观察其能否通过折叠使两边完全重合。
2. 找出图形的对称轴：观察图形，找到一个直线，使得图形上的点关于这条直线对称。
3. 完成轴对称图形的绘制：给出部分图形或对称轴，根据已知信息完成图形的绘制。
4. 求解与轴对称图形相关的问题：如给定一个轴对称图形的一条边的长度，求解它的周长或面积等。
掌握轴对称的知识和解题技巧，可以帮助你在几何学中更好地理解和应用轴对称概念。
多做相关的练习题，加深对轴对称的理解和应用。
专题 轴对称十大重难题型(期末真题精选)(解析版)
专题03 轴对称十大重难题型一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙---对称轴）1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个试题分析：解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．答案详解：解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，所以选：C．2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有5个．试题分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．答案详解：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△ABD，△BCE，△GHF，△EMN，△AMQ，共有5个．所以答案是：5．二．轴对称的性质3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为n5+36°（用含n的式子表示）．试题分析：由矩形的性质和折叠的性质即可得出答案．答案详解：解：如图，设∠BAD ′＝x ，则∠CAE ＝2x ，由翻折变换的性质可知，∠DAE ＝∠EAD ′＝2x +n ，∵∠DAB ＝90°，∴4x +2n +x ＝90°，∴x =15（90°﹣2n ），∴∠DAE ＝2×15（90°﹣2n ）+n =n 5+36°． 所以答案是：n 5+36°． 4．如图，点P 为∠AOB 内部任意一点，点P 与点P 1关于OA 对称，点P 与点P 2关于OB 对称，OP ＝8，∠AOB ＝45°，则△OP 1P 2的面积为 32 ．试题分析：根据轴对称的性质，可得OP 1、OP 2的长度等于OP 的长，∠P 1OP 2的度数等于∠AOB 的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．答案详解：解：∵点P 1和点P 关于OA 对称，点P 2和点P 关于OB 对称，∴OP 1＝OP ＝OP 2＝8，且∠P 1OP 2＝2∠AOB ＝90°．∴△P 1OP 2是直角三角形，∴△OP 1P 2的面积为12×8×8＝32， 所以答案是：32．三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l 及其两侧两点A 、B ，如图．（1）在直线l上求一点P，使P A＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．答案详解：解：6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N 的距离分别相等（保留作图痕迹）．试题分析：点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点．答案详解：解：点P就是所求的点．（2分）如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分7．线段的垂直平分线的性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为26cm．试题分析：根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案；（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AD＝BD，从而将△BCD的周长转化为：AD+CD+BC，即AC+BC＝16+10＝26cm．答案详解：解：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以答案是：两个端点；相等；（1）如图所示，（2）连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∵△BCD 的周长＝BD +DC +BC ，∴△BCD 的周长＝AD +DC +BC ，即AC +BC ＝16+10＝26cm ．所以答案是：26．8．如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A ′B ′C ′和△ABC 关于直线l 成轴对称，其中A ′点的对应为A 点．（1）请画出△A ′B ′C ′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A ′B ′C ′的面积．试题分析：（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用三角形面积求法得出答案．答案详解：解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′，即为所求；（2）△A ′B ′C ′的面积为：12×2×4＝4．9．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （﹣1，﹣1），B （4，﹣1），C （3，1）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）请直接写出以AB 为边且与△ABC 全等的三角形的第三个顶点（不与C 重合）的坐标．试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）利用轴对称性确定出另一个点，然后根据平面直角坐标系写出坐标即可．答案详解：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）如图，第三个点的坐标为（0，1）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．四．坐标的轴对称10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．1B．−1C．5D．﹣5试题分析：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出a，b的值，进而得出a+b的值．答案详解：解：∵点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．所以选：D．11．已知点P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（）A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）2021试题分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入计算即可得解．答案详解：解：∵P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，∴a＝1，b﹣1＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣1，∴a+b＝0，∴（a+b）2021＝02021＝0．所以选：A．12．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N 的坐标为（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）试题分析：作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（2，﹣3），可得点N的坐标．答案详解：解：∵点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（2，﹣3），∴点N的坐标为（﹣2，3），所以选：D．13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．试题分析：（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出答案；（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案．答案详解：解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，解得：a＝2，则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，∴点A 的坐标为（﹣3，﹣3），若点A 在第二象限或第四象限，则a ﹣5+1﹣2a ＝0，解得a ＝﹣4，则a ﹣5＝﹣9，1﹣2a ＝9，∴点A 的坐标为（﹣9，9），综上所述，点A 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）∵若点A 向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a ），又∵点A 向右平移若干个单位后与点B （﹣2，﹣3）关于x 轴对称，∴1﹣2a +（﹣3）＝0，a ＝﹣1，a ﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，1﹣2a ＝1﹣2×（﹣1）＝3，即点A 的坐标为（﹣6，3）．14．已知有序数对（a ，b ）及常数k ，我们称有序数对（ka +b ，a ﹣b ）为有序数对（a ，b ）的“k 阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a ，b ）（b ≠0）与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，则此时k 的值为（ ）A ．﹣2B ．−32C ．0D ．−12 试题分析：根据新定义可得：有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），并根据y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．答案详解：解：∵有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），∴{a −b =b a +ka +b =0， 解得：k =−32．所以选：B ． 五．格点等腰三角形15．如图，在4×3的正方形网格中，点A 、B 分别在格点上，在图中确定格点C ，则以A 、B 、C 为顶点的等腰三角形有 3 个．试题分析：首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案．答案详解：解：如图，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；所以答案是：3．16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（）A．1B．2C．3D．4试题分析：根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，答案详解：解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．所以选：D．17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），；满足条件的点C一共有8个．试题分析：根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，选择正确答案．答案详解：解：满足条件的点C的坐标为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），满足条件的点C一共有8个，所以答案是：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），8．六．规律类--坐标与图形的变化18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．答案详解：解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．所以选：A．19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A1、A2、A3、A4…A2020的位置上，则点A2020的坐标为（）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2020，0）D．（2020，1）试题分析：探究规律，利用规律即可解决问题．答案详解：解：由题意A1（0，1），A2（2，1），A3（3，0），A4（3，0），A5（4，1），A6（5，1），A7（6，0），A8（7，0），A9（8，1），…每4个一循环，∵2020÷4＝505则2020个应该在x轴，坐标应该是（2019，0），所以选：A．20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）试题分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．答案详解：解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．所以选：C．七．等腰三角形判定与性质21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为8．试题分析：根据角平分线+平行可以证明等腰三角形，所以可得EB＝ED，GC＝GD，从而求出DE的长，最后求出BE的长．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴EB＝ED，∵CD平分∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCF，∴∠EDC＝∠ACD，∴GC＝GD＝6，∵EG＝2，∴ED＝EG+GD＝2+6＝8，∴BE＝ED＝8，所以答案是：8．22．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是①②④⑤（直接填写序号）．试题分析：根据角平分线的定义得到∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，根据垂直的定义得到CP⊥CD；故①正确；延长CB，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P=12∠A，故②正确；根据平行线的判定定理得到AB∥CD，推出△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，推出∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，求得∠D＝90°−12∠A，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，求得∠EBD＝∠A，于是得到PD∥AC．故⑤正确．答案详解：解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∠ACB+∠BCF）＝90°，∴CP⊥CD；故①正确；延长CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故②正确；假设BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴假设不成立，故③错误；∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，∴∠A﹣2∠D＝180°，∴∠D＝90°−12∠A，故④正确；∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠A＝∠ACB，∴∠A=12∠EBC，∵∠EBD=12∠EBC，∴∠EBD＝∠A，∴PD∥AC．故⑤正确；所以答案是：①②④⑤．23．Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，EO∥AB，FO∥AC，若S△ABC＝32，则△OEF的周长为8．试题分析：根据已知条件得到BC＝8，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠BOE由角平分线的定义得到∠ABO＝∠OBE，等量代换得到∠ABO＝∠BOE于是得到BE＝OE，则同理可得CE＝OE即可得到结论．答案详解：解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝32，∴12BC2＝32，∴BC＝8，∵OE∥AB∴∠ABO＝∠BOE∵OB平分∠ABC∴∠ABO＝∠OBE∴∠ABO＝∠BOE∴BE＝OE，则同理可得OF＝CF，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝BE+EF+FC＝BC＝8．所以答案是：8．24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有②④．（只填序号）试题分析：利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，然后根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠DBC≠∠DCB，进而可得DB≠DC，即可判断①；利用平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，从而可得∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，进而利用等角对等边可得ED＝EB，FD＝FC，即可判断②；根据EB≠FC，可得ED≠FD，即可判断③；利用等量代换可得△AEF的周长＝AB+AC，即可判断④．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，∵∠ABC≠∠ACB，∴∠DBC≠∠DCB，∴DB≠DC，故①不正确；∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴ED＝EB，FD＝FC，∴△BED和△CFD都是等腰三角形，故②正确；∵EB≠FC，∴ED≠FD，故③不正确；∵EB＝ED，FD＝FC，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC，故④正确；综上所述：上列结论其中正确的有②④，所以答案是：②④．八．等边三角形的判定与性质25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝7．试题分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM为等边三角形，得出BM＝EM＝BE＝5，从而得出BN的长，进而求出答案．答案详解：解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，如图，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠DEB＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，∵DE＝2，∴DM＝3，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM=12DM=32，∴BN＝BM﹣MN＝5−32=72，∴BC＝2BN＝7．所以答案是：7．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．试题分析：（1）根据等边三角形性质得出AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，求出∠ACD ＝∠BCE ，证△ACD ≌△BCE 即可；（2）根据全等求出∠ADC ＝∠BEC ，求出∠ADE +∠BED 的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM ＝BN ，根据SAS 证△ACM ≌△BCN ，推出CM ＝CN ，求出∠NCM ＝60°即可． 答案详解：解：（1）∵△ABC 、△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠BCD ＝∠DCE +∠BCD ，∴∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ．（2）解：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC ，∵等边三角形DCE ，∴∠CED ＝∠CDE ＝60°，∴∠ADE +∠BED ＝∠ADC +∠CDE +∠BED ，＝∠ADC +60°+∠BED ，＝∠CED +60°，＝60°+60°，＝120°，∴∠DOE ＝180°﹣（∠ADE +∠BED ）＝60°，答：∠DOE 的度数是60°．（3）证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE ，AD ＝BE ，AC ＝BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，∴AM =12AD ，BN =12BE ，∴AM ＝BN ，在△ACM 和△BCN 中{AC =BC ∠CAM =∠CBN AM =BN，∴△ACM ≌△BCN ，∴CM ＝CN ，∠ACM ＝∠BCN ，又∠ACB ＝60°，∴∠ACM +∠MCB ＝60°，∴∠BCN +∠MCB ＝60°，∴∠MCN ＝60°，∴△MNC 是等边三角形．27．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D ，E ．（1）求证：AE ＝2CE ；（2）连接CD ，请判断△BCD 的形状，并说明理由．试题分析：（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE 中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．答案详解：（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．九．直角三角形斜中线的灵活运用。
第二章 轴对称图形(知识归纳+题型突破)(解析版)
第二章 轴对称图形（知识归纳+题型突破）1、从生活中提炼轴对称模型，归纳轴对称的概念。
2、通过图形变换理解轴对称图形的性质，在生活中运用轴对称解决问题。
【知识点1】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形___关于这条直线对称___，也称这两个图形___成轴对称___，这条直线叫做___对称轴___，两个图形中的对应点叫做___对称点___．【知识点2】轴对称图形的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够___互相重合___，那么称这个图形是___轴对称图形___，这条直线就是___对称轴___．【知识点3】轴对称与轴对称图形的区别与联系名称两个图形成轴对称轴对称图形图形图形个数针对两个图形而言，是两个图形的一种特殊位置关系针对一个图形而言，是某个图形的一种特殊几何性质对称轴只有一条对称轴可以有一条或多条、甚至无数条对称轴对称点在两个图形上在同一个图形上区别验证沿某条直线折叠后，两个图形能够沿某条直线折叠后，直线两旁的部重合分能够互相重合联系（1）沿对称轴折叠后能够重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形（1）沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分能够互相重合；（2）如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称【知识点4】线段的轴对称性线段___是___轴对称图形，线段的___垂直平分线___是它的对称轴．【知识点5】垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点___到线段两端的距离相等___．几何语言：∵MN 是线段AB 的垂直平分线（或MN ⊥AB 于点D ，且AD = BD ），∴CA = CB．【知识点6】垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点在线段的___垂直平分线___上．几何语言：∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上．【知识点7】角的轴对称性角___是___轴对称图形，___角平分线所在的直线___是它的对称轴．【知识点8】角平分线的性质角平分线上的点___到角两边的距离相等___．几何语言：∵PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF），EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，∴EC=ED．【知识点9】角平分线的判定定理角的内部到___角两边距离___相等的点在角的平分线上．几何语言：∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED，∴点E在∠APB的平分线上．【知识点10】等腰三角形的轴对称性等腰三角形___是___轴对称图形，对称轴是___顶角平分线所在直线___．【知识点11】等边对等角等边对等角：等腰三角形的两底角相等．几何语言：在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）【知识点12】三线合一三线合一：等腰三角形___底边上的高线___、___底边上的中线___、___顶角平分线___重合．几何语言：在△ABC中∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC，BD=CD【知识点13】等腰三角形的判定等角对等边：有两个角___相等___的三角形是等腰三角形．几何语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）题型一轴对称图形的识别【例1】作出下列各图形的一条对称轴【答案】见解析【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．【详解】解：根据分析画各图的对称轴如下：【例2】如果正三角形有n条对称轴，那么n=．【答案】3【分析】根据轴对称的定义进行判断即可．巩固训练：1．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：由图可知，该图形有6条对称轴；故选：C2．对称轴最多的图形是（）A．圆B．长方形C．正方形D．等边三角形【答案】A【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答即可．【详解】解：圆有无数条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴；故选：A．3．某校学生为校运动会设计会标，在以下四个标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．题型二镜面对称问题【例3】如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（）A．4:00B．8:00C．12:20D．12:40【答案】B【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．【答案】3265巩固训练：4．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）A．B．．D ．【答案】C “”题型三 轴对称的性质【例6】如图，ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，下列结论①AB A B ¢¢=；②OB OB ¢=；③AA BB ¢¢∥中，正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A 【分析】根据轴对称的性质解答．【详解】解：∵ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，∴AB A B ¢¢=，OB OB ¢=，AA BB ¢¢∥，综上，三个选项都正确，故选：A ．【例7】如图，已知点A 、B 是直线MN 同侧两点，点A ¢、A 关于直线MN 对称．连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．若5cm A B ¢=，则AP BP +的长为（ ）A ．10cmB ．8cmC ．5cmD ．无法确定【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到A P AP ¢=，由AP BP A P BP A B ¢¢+=+=即可得到答案．【详解】解：∵点A ¢、A 关于直线MN 对称，连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．∴A P AP ¢=，∴5cm AP BP A P BP A B ¢¢+=+==，即AP BP +的长为5cm ．故选：C【例8】如图，P 在AOB Ð内，点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点．如果PMN V 的周长为12，则CD 的长为（ ）A ．6B ．12C ．15D ．18【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得到CM PM DN PN ==，，再根据三角形周长公式得到12PM MN PN ++=，则12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=．【详解】解：∵点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点，∴CM PM DN PN ==，，∵PMN V 的周长为12，∴12PM MN PN ++=，∴12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=，故选B ．巩固训练：∴PMN V 的周长为121215PM PN MN MN PM P N PP ++++==＝．故答案为：15．8．如图，ABC V 和ADE V 关于直线l 对称，已知15AB =，10DE =，70D Ð=°．求B Ð的度数及BC 、AD 的长度．【答案】70B Ð=°，10BC =、15AD =【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：ABC QV 和ADE V 关于直线l 对称，AB AD \=，BC DE =，B D Ð=Ð，又15AB =Q ，10DE =，70D Ð=°．70B \Ð=°，10BC =，15AD =，题型四 折叠问题【答案】90°【分析】根据折叠的性质得到Ð求解即可．【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，A．17B．10【答案】A【分析】由折叠的性质可得AD=V沿直线DE 【详解】解：∵将ABC巩固训练：A ．角平分线B ．高线【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得：【详解】解：∵将ABC V 折叠，使点∴D 为BC 中点，∴AD 是ABC V 的中线；【答案】24°/24度【详解】解：∵将长方形纸片∴90,E B EAC Ð=Ð=°Ð∴180EAB EFC Ð=Ð=°-【答案】55°/55度【详解】解：如图，由翻折不变性可知：2ÐÐ=∵宽度相等的纸条边缘平行，∴13Ð=Ð，12\Ð=Ð，题型五 垂直平分线的性质【例12】甲、乙、丙三家分别位于ABC V 的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在 （ ）A ．三边垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条中线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答．【详解】解：∵线段的垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等，∴这三家到核酸检测点距离相等，核酸检测点的建造位置是在ABC V 三边的垂直平分线上，故选A ．【例13】如图，在ABC V 中，AB AC ^，3AB =，5BC =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任意一点，则ABP V 周长的最小值是（ ）A．7B．6C．12D．8【答案】A【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．【例14】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）A．2B．12C．5D．7【答案】B【分析】由于A，C关于直线DE为对称，所以F和D重合时，FC FB最小，最小值等于AB，即可求得BCF D 的周长的最小值．【详解】解：DE Q 是线段AC 的垂直平分线，A \，C 关于直线DE 为对称，F \和D 重合时，FC FB +最小，即BCF D 的周长的最小值，DE Q 是线段AC 的垂直平分线，DC DA \=，FC FB \+的最小值7DC DB AB =+==，BCF \D 的最小周长7512FC FB BC =++=+=，故选：B ．【例15】已知ABC V 中120BAC Ð=°，26BC =，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，与AB AC ，分别交于点D 、G ．求：(1)EAF Ð的度数．(2)求AEF △的周长．【答案】(1)60°(2)26【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，得出等腰三角形即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，这样就将AEF △的周长转化为线段BC 的长．【详解】（1）AB Q 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、FAE BE \=、CF AF =，B EAB \Ð=Ð，C FACÐ=Ð()180B C BAC\Ð+Ð=°-Ð180120=°-°60=°EAF BAC EAB FAC\Ð=Ð-Ð-Ð120()B C =°-Ð+Ð12060=°-°60=°60EAF \Ð=°（2）AE BE =Q 、CF AF=AEF \V 的周长EA EF AF=++BE EF FC=++BC=26=AEF \V 的周长26=巩固训练：12．如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）A ．AC ，BC 两边高线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．A Ð，B Ð两内角平分线的交点处【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，∵MN ，PQ 是AC ，BC 两边垂直平分线，∴OA OB OC ==，∴点O 是到三个小区的距离相等的点，即点O 是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，故选：C ．13．如图，在ABC V 中，DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，交边AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若5AB =，则CMN V 的周长为 ______；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)5；(2)40°．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，再根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据三角形内角和定理求出FMN FNM Ð+Ð，根据对顶角相等求出AMD BNE Ð+Ð，根据等腰三角形的性质即可得到答案.【详解】（1）∵DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，∴MA MC =，NB NC =，∴CMN V 的周长5MC MN NC MA MN NB AB =++=++==，∴CMN V 的周长5=，故答案为：5；（2）∵70MFN Ð=°，∴180110FMN FNM MFN Ð+Ð=°-Ð=°，∴110AMD BNE FMN FNM Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴()18070A B AMD BNE Ð+Ð=°-Ð+Ð=°，∵MA MC =，NB NC =，∴A MCA Ð=Ð，B NCB Ð=Ð，∴()18040MCN A B MCA NCB Ð=°-Ð+Ð+Ð+Ð=°．14．如图，在ABC V 中DE ，是AC 的垂直平分线，4cm AE =，ABC V 的周长为23cm ，求ABD △的周长．【答案】ABD △的周长为15cm ．【分析】根据垂直平分线的性质可得AD CD =，28cm AC AE ==，即可得出15cm AB AC +=，则ABD △的周长AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+，即可求解．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD CD =，()28cm AC AE ==．∵ABC V 的周长()23cm AB BC AC AB BD DC AC =++=+++=，∴()23815cm AB AC +=-=，∴ABD △的周长()23815cm AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+=-=．即ABD △的周长为15cm ．【答案】13【分析】根据垂直平分线的性质，可得【详解】解：∵AB 的垂直平分线∴BE AE =，∵BCE V 的周长为BE BC EC ++题型六 角平分线的性质【答案】6【分析】过O 点作OH BA ^于H 点，如图，先根据角平分线的性质得到解决问题．【详解】解：过O 点作OH BA ^于H 点，如图，BO Q 平分ABC OD BC OH BA Ð^^，，6OH OD \＝＝，∵点E 为射线BA 上一动点，∴OE 的最小值为OH 的长，即OE 的最小值为6．故答案为：6．【例17】如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，若BE CF =，探索+AB AC 与AE 的数量关系，并证明之．【答案】2AB AC AE +=，见解析【分析】先根据角平分线的性质得出DE DF =，再证明Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，得出AE AF =，根据线段的和差即可得出答案．【详解】证明：∵DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，∴DE DF =，在Rt ADE △和Rt ADF V 中，AD AD DE DF =ìí=î，∴Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，∴AE AF =，∵BE AE AB =-，CF AC AF =-，∴AE AB AC AF -=-，∴2AB AC AE +=．Ð的度数；(1)求BOCÐ的周长．(2)求AMN【答案】(1)130°(2)12巩固训练：16．如图，四边形ABCD 中，90B C Ð=Ð=°，点E 为BC 的中点，且AE 平分BAD Ð．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)求证：AB CD AD +=．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点E 作EF AD ^于F ，根据角平分线的性质得出BE EF =，再根据BE CE =，得出CE EF =，进而根据角平分线的判定定理可得出结论；（2）根据角平分线的性质得出BE EF =，CE EF =，再证明V V ≌ABE AFE ，CED FED V V ≌，根据全等三角形的性质得出AB AF =，DC DF =，进而得出结论．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EF AD ^于F ，∵90B Ð=°，AE 平分BAD Ð，∴BE EF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴CE EF =，又∵90C Ð=°，EF AD ^，∴DE 是ADC Ð的平分线．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)若3AD =，7CD =，278ABE S =V ，求ADC S △【答案】(1)见解析∵BE 平分ABC Ð，EF AB ^，∴EF EN =，∵AE 平分DAF Ð，A．110°B．120°【答案】C【分析】根据题意可得，点O数，再根据三角形的内角和等于V三边【详解】解：∵O到ABC．．．．【答案】D【分析】根据到角两边的距离相等的点在角平分线上进行判断即可．【详解】解：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上，题型七作图【例21】如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：①到两工厂的距离相等；Ð内，且到两条公路的距离相等．②在MON你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析Ð的平分线OC，则FG与OC的交点F就是仓【分析】连接DE，作线段DE的垂直平分线FG，作角MON库的位置．【详解】解：如图，点F为仓库的位置．【例22】如图，两公路AO与BO相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线和线段CD的垂直平分线，两线的交点即为所求．【分析】只要作出AOB【详解】解：如图所示：点P 即为所求．【例23】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，某小区绿化带ABC V 内部有两个喷水臂P 、Q ，现欲在ABC V 内部建一个水泵O ，使得水泵O 到BA ，BC 的距离相等，且到两个喷水管P 、Q 的距离也相等，请你在图中标出水泵O 的位置．【答案】作图见解析【分析】作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O 即可．【详解】解：如图，作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O ，∵BM 平分ABC Ð，点O 在射线BM 上，∴点O 到BA ，BC 的距离相等，∵EF 垂直平分线段PQ ，点O 在直线EF 上，∴点O 到P 、Q 的距离相等，∴O 到BA ，BC 的距离相等，且到点P 、Q 的距离也相等，则点O 即为所作．巩固训练：21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．【详解】解：作出线段AB的垂直平分线，与CODÐ的平分线交于P点，则如图，P点为所求．．22．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线，它们的交点即为点P．【分析】分别作线段CD的垂直平分线和AOB【详解】解；如图，点P为所作．23．如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB 内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】能，作图见解析Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【分析】根据题意，作AOBS，根据角平分线和垂直平分线的性质分析，即可得到答案．Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【详解】根据题意，作AOBS，如下图：∵OK 是AOB Ð的角平分线∴OK 上的点，到两条公路的距离也相等；∵RQ 是MN 的垂直平分线∴RQ 上的点，到两所大学的距离相等∵OK 和RQ 相交于点S ，∴仓库P 应该建在点S 的位置．题型八 等腰三角形三线合一【例24】如图，AD 、CE 分别是ABC V 的中线和角平分线，若AB AC =，26CAD Ð=°，则ACE Ð的度数为（ ）A ．26°B ．32°C ．38°D ．48°【答案】B 【分析】先利用等腰三角形三线合一性质，得到90ADC Ð=°，再利用直角三角形的性质，得到64ACD Ð=°，结合CE 是ABC V 的角平分线，计算即可．【详解】∵AD 是ABC V 的中线，AB AC =，∴90ADC Ð=°，A．2.5【答案】B【分析】根据已知可得答．巩固训练：24．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．腰上的中线所在的直线(1)求证：OBC △为等腰三角形；(2)若25ACF Ð=°，求ÐBOE 【答案】(1)见解析．(2)15°题型九等腰三角形度数巩固训练：∵AB AC =，∴(11802ABC C Ð=Ð=°-②如图，当顶角为钝角三角形时：∵50ABD Ð=°，90D Ð=∴9050140BAC Ð=°+°=∵AB AC =，∴()1180140202C ABC Ð=Ð=°-°=°．故答案为：70°或20°．题型十 等腰三角形外角问题【例27】如图，在第1个1A BC V 中，130B A B CB а＝，＝；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到A 2，使121A A A D ＝，得到第2个12A A D V ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到A 3，使232A A A E ＝，得到第3个23A A E △；……按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是（ ）巩固训练：27．如图，30MON Ð=°，点123,,,A A A L 在射线ON 上，点123,,,B B B L 在射线OM 上，112A B A △，223334,A B A A B A L △△均为等边三角形．若11OA =，则1n n n A B A +△的边长为（ ）A ．2nB ．12n -C ．12n +D ．22n +【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，111130A OB A B O Ð=Ð=° ，01112112OA A B A B ====，利用同样的方法，122222A O A B ===，23332242A B A O A O ====，由此规律可得12n n n A B -=．【详解】112A B A QV 为等边三角形，30MON Ð=°111130A OB A B O \Ð=Ð=°1112112OA A B A B ====同理：122222A O AB ===23332242A B A O A O ====L由此类推可得1n n n A B A +△的边长12n n n A B -=．故选B ．28．如图，已知ABC V 是等边三角形，点B ，C ，D ，F 在同一条直线上，CD CE =，DF DG =，求F Ð的度数．【答案】15°【分析】根据等边三角形的性质，等边对等角性质，三角形外角性质计算即可．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，∵CD CE =，∴CDE CED Ð=Ð，∵260ACB CDE CED CDE Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴30Ð=°CDE ，∵DF DG =，∴DFG DGF Ð=Ð，∵230CDE DFG DGF F Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴15F Ð=°．题型十一 等腰三角形个数和格点问题【例28】在如图所示的网格中，在格点上找一点P ，使ABP V 为等腰三角形，则点P 有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C 【分析】分三种情况讨论：以AB 为腰，点A 为顶角顶点；以AB 为腰，点B 为顶角顶点；以AB 为底．【详解】解：如图：如图，以AB 为腰，点A 为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB 为腰，点B 为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB 为底的等腰ABP V ，所以合计8个．故选：C ．【例29】如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若A 、B 、C 三点均在格点上，且ABC V 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】C 【分析】分A Ð为顶角和B Ð为顶角判定即可．【详解】当A Ð为顶角时，符合的点有一个6C ；当B Ð为顶角时，符合的点有五个12345,,,,,C C C C C ；一共有6个．故选C ．【例30】如图，在ABC V 中，AB AC =，36A Ð=°，BD 是ABC V 的角平分线，则图中的等腰三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由BD 是ABC V 的角平分线，可得272ABC ABD Ð=Ð=°，又可求72ABC C Ð=Ð=°，所以ABC V 是等腰三角形；又180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，故A ABD Ð=Ð，所以ABD V 是等腰三角形；由36DBC ABD Ð=Ð=°，得72C Ð=°，可求72BDC Ð=°，故BDC C Ð=Ð，所以BDC V 是等腰三角形．【详解】解：BD Q 是ABC V 的角平分线，272ABC ABD \Ð=Ð=°，72ABC C \Ð=Ð=°，ABC V \是等腰三角形①．180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，A ABD \Ð=Ð，ABD \V 是等腰三角形②．36DBC ABD Ð=Ð=°Q ，72C Ð=°，72BDC \Ð=°，BDC C \Ð=Ð，BDC \V 是等腰三角形③．故图中的等腰三角形有3个．故选：C ．巩固训练：29．如图，线段AC 、BD 互相垂直平分，则图中共有等腰三角形（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得出AB AD DC BC ===，继而根据等腰三角形判定定理即可求解．【详解】解：∵线段AC 、BD 互相垂直平分，∴,AB AD CB CD ==,,DA DC BA BC ==，∴有等腰三角形,,,ABD CBD DAC BAC △△△△共4个，故选：C ．30．如图，BD 是ABC V 的平分线，3672A ABC Ð=Ð=°°，， DE BC ∥交AB 于E ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理判定ABC V 为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形．【详解】解：∵在ABC V 中，=36°=72°A ABC ÐÐ，，∴°=C=72ABC ÐÐ，【答案】D【分析】逐个画出图形，即可得到答案．【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°，以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形，而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°，∴∠ACB=∠BDC=72°，∴△BDC是等腰三角形，故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意；图③中，∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，过A作AE⊥BC于E，如图：则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意；图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°，以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图：则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意；图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，故②不符合题意；故选：D．题型十十二直角三角形性质问题A．6B．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得【答案】6△是直角三角形，可求【分析】可证ADCV中，【详解】解：Q在ABC\V是直角三角形，ADCQ是AC的中点，E巩固训练：33．在Rt ABC △中，Ð【答案】16【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，即可求解．【详解】解：∵90C Ð=。
八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题08 轴对称与最短路径重难点知识(解析版)
专题08轴对称与最短路径重难点知识一、相关知识（1）平面直角坐标系内点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；平面直角坐标系内点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；（2）区分轴对称图形（一个图形）、成轴对称图形（两个图形）的区别（3）成轴对称图形性质：对称轴为对应点连线的垂直平分线；对应线段、角相等（4）线段垂直平分线①作图方法（依据SSS）；②性质；③判定.三角形中，到三个顶点相等的点只有一个，为三条边垂直平分线的交点.（5）作轴对称图形（6）最短路径理论依据：①两点之间，线段最短；②三角形两边之和大于第三边；③垂线段最短.在直线l上找点P，使得PA+PB最小.在直线l上找点P，使得PA+PB最小.在∠AOB内部一点P，求作△PQR，使△PQR周长最小.典例解析【知识点1：轴对称图形判断】例题1．（2021·上海徐汇）如图，将正方形图案翻折一次，可以得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】B.例题2．（2021·江苏如皋）如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.例题3．（2021··重庆）“致中和，天地位焉，万物育焉．”中国古人把和谐平衡的精神之美，演变成了一种对称美，在下列我国建筑简图中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B.例题4．（2021·黑龙江五常）点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称，则a＋b的值为（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【答案】B.【解析】解：∵点P（﹣2，b）与点Q（a，3）关于x轴对称∴a=−2，b=−3∴a+b=−2+(−3)=−5故答案为：B.【知识点2：线段垂直平分线性质】例题5．（2021·天津津南期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，△ABD的周长是13，则BC的长为（）A．8B．10C．11D．12【答案】A.【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD∵△ABD的周长是13，即AB+BD+AD+13，AB+BC=13而AB=5∴BC=13-5=8故答案为：A.例题6．（2021·内蒙古呼和浩特市期中）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（）A ．3cmB ．12cmC ．9cmD ．6cm【答案】D .【解析】解：∵AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E ，∴BD =AD ，CE =AE ，∴△ADE 的周长＝AD +AE +DE =BD +CE +DE =BC =6cm ，故答案为：D ．例题7．（2021·黑龙江省期末）如图，DO 垂直AC ，且AO =OC ，若AB =7cm ，BC =5cm ，则△BDC 的周长是____________．【答案】12cm .【解析】解：如图所示，连接CD ，∵OD ⊥AC ，AO =CO ，∴直线OD 是线段AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，∴△BCD 的周长=BD +BC +CD =BD +AD +BC =AB +BC =12cm ，故答案为：12cm ．【知识点3：与折叠相关】例题8．（2021·广西期中）如图，在Rt ABC 中，90ACB ，点D 在AB 边上，将CBD 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若26A ，则ADE 的度数是________【答案】38°.【解析】解：由折叠可得：∠ACD =∠BCD ，∠BDC =∠CDE ，∵∠ACB =90°，∴∠ACD =45°，∵∠A =26°，∴∠BDC =∠ACD +∠A =71°，∴∠CDE =71°，∴∠ADE =180°-71°-71°=38°．故答案为38°．例题9．如图．点D ，E 分别在△ABC 的边BC ，AB 上，连接AD 、DE ，将△ABC 沿直线DE 折叠后，点B 与点A 重合，已知AC ＝6cm ，△ADC 的周长为14cm ，则线段BC 的长为（）A ．6cmB ．8cmC ．12cmD ．20cm【答案】B .【解析】解：∵△ABC 沿直线DE 折叠后，点B 与点A 重合，∴BD ＝AD ，∵AC ＝6cm ，△ADC 的周长为14cm ，∴AD +DC ＝14－6＝8cm ，∴BD +DC ＝BC ＝8cm ，故答案为：B .例题10．（2021·山东寒亭期中）如图，在ABC 中，4AB ，5BC ，6AC ，将ABD △沿AD 折叠，使得点B 恰好落在AC 边上的点E 处，折痕为AD ，若点F 为AD 上一动点，则EFC △的周长最小值为___________．【答案】7.【解析】解：连接BF由题意可知B 和E 关于AD 对称，AB =AE =4，∴BF=FE△CFE 的周长为：EF +FC+EC=BF+CD+EC当F 和D 重合时，BF+CD=BC∵两点之间线段最短∴此时BF+CD 的值最小，即此时△CFE 的周长最小，最小值是EF +FC+EC=BD+CD+EC=BC+EC ，∵EC=AC-AE =6-4=2，∴△CEF 的周长最小值为：BC+EC=5+2=7，故答案为：7．【知识点4：尺规作图】例题11．（2021·山东寒亭期中）如图，在ABC 中，90C ，30B ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧分别交于点E 和F ，连接FE 并延长交BC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．AD 是BAC 的平分线B ．3ABD DAC S S △△C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ．60ADC【答案】B .【解析】解：因为DF 为AB 中垂线，所以∠DAB =∠DBA =30°，又∠A =60°，所以∠CAD =∠BAD =30°，所以AD 是∠BAC 平分线，故A 正确；△ACD 与△ADB 高相等，都是AC ，底边BD =AD =2CD ，故S △ABD =2S △DAC ，故B 错误；C 项：由于EF 为线段AB 中垂线，且D 点为BC 与EF 公共点，故D 点在AB 的垂直平分线上，故C 正确；D 项：∠ADC =∠DAB +∠B =30°+30°=60°，故D 正确．故答案为：B ．例题12．（2021·湖南凤凰期中）如图，在△ABC 中，BC ＝10，AC ＝4，分别以点A 、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 交BC 边于点D ，连接AD ，则△ACD 的周长为___．【答案】14.【解析】解：由作图可知，MN 垂直平分AB ，∴AD =BD∵BD =10，AC =4∴△ACD 的周长=AD +CD +AC =BD +CD +AC =BC +AC =14故答案为：14．例题13．（2021·浙江诸暨期中）已知△ABC ，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交直线AB 于点D ，连接CD ．若∠ABC ＝40°，∠ACD ＝20°，则∠BAC 的度数为____．【答案】80°或120°.【解析】解：由题意得，直线MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD =CD ，∴∠BCD=∠B=40°，①如图，∵∠ACD=20°，∴∠ACB=40°+20°=60°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°；②如图，∵∠ACD=20°，∴∠ACB=40°-20°=20°，∴∠BAC=180°-20°-40°=120°，综上所述，∠BAC的度数为80°或120°，故答案为：80°或120°．．（1）用尺规完成下列作图：（保留作图痕迹，不写作法）例题14．（2021·河南南阳市）已知MAN的平分线AE；①作MAN②在AE上任取一点F，作AF的垂直平分线分别与AM、AN交于P、Q；（2）在（1）的条件下线段AP与AQ有什么数量关系，请直接写出结论．【答案】见解析.【解析】解：（1）①如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AM，AN交于点H、G，再分别以H、G为圆心，以大于HG长的一半为半径画弧，二者交于点O，过点O作射线AE即为所求；②如图所示，分别以A、F为圆心，以大于AF长的一半为半画弧，二者分别交于J、K，连接JK分别交AM 于P，AN于Q，AE于T；（2）AP=AQ，理由如下：∵JK是线段AF的垂线平分线，∴∠PTA=∠QTA=90°，∵AE是∠MAN的角平分线，∴∠MAE=∠NAE，又∵AT=AT，∴△ATP≌△ATQ（ASA），∴AP=AQ．例题15．（2021·安徽淮南市期中）如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】见解析.【解析】根据题意，作∠AOB的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点S，如下图：∵OK是∠AOB的角平分线∴OK上的点，到两条公路的距离也相等；∵RQ是MN的垂直平分线∴RQ上的点，到两所大学的距离相等∵OK和RQ相交于点S，∴仓库P应该建在点S的位置．【知识点5：最短路径】例题16．（2021·山东阳谷县）如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C.【解析】如图，连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=12，解得：AD=6（cm），∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+12BC=6+12×4=6+2=8（cm）．故答案为：C．例题17．（2021·河北邢台市）如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．50°【答案】C.【解析】解：如图，作M关于OB的对称点M’，N关于OA的对称点N’，连接M’N’交OA于Q，交OB于P，则MP＋PQ＋QN最小，∴∠OPM＝∠OPM’＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN’＝∠AQN，∴∠QPN＝12（180°−α）＝∠AOB＋∠MQP＝20°＋12（180°−β），∴180°−α＝40°＋（180°−β），∴β−α＝40°，故答案为：C．例题18．（2021·福建期中）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（）A．9B．10C．11D．12.5【答案】A.【解析】∵直线m是BC的垂直平分线∴BP=CP∴△ACP周长=AC+AP+BP∵两点之间线段最短∴AP+BP≥AB∴△ACP的周长≥AC+AB∵AC=4，AB=5∴△ACP周长最小为AC+AB=9故答案为：A.例题19．（2021·浙江余杭）如图所示，点P 为O 内一定点，点A ，B 分别在O 的两边上，若PAB 的周长最小，则O 与APB 的关系为（）A ．2O APBB ．2O APBC ．180O APBD ．2180O APB【答案】D .【解析】解：如图，作点P 关于OM 的对称点P ’，点P 关于ON 的对称点P ’’，P ’P ’’交OM 于A ，交ON 于B ，此时△PAB 的周长最小值等于P ’P ’’的长，则∠P ’OP ’’=2∠AOP ，∴∠P ’=180180222P OP AOB ∴2∠O +∠APB =180°故答案为：D ．例题20．（2021·河南西平期中）（1）如图1，在直线AB 的同一侧有两点C ，D ，在AB 上找一点P ，使C ，D ，P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图2，在∠AOB 内部有一点P ，在OA ，OB 上是否分别存在点E ，F ，使得E ，F ，P 三点组成的三角形的周长最短，找出E ，F 两点．（3）如图3，在∠AOB 内部有两点M ，N ，在OA ，OB 上是否分别存在点E ，F ，使得E ，F ，M ，N 四点组成的四边形的周长最短，找出E ，F 两点．（显示找点的过程）【答案】见解析.【解析】解：（1）如图1，（2）如图2，（3）如图3，【知识点6：综合习题】例题21．（2021·山西盐湖期中）如图，在 ABC中，∠ABC的平分线BP与AC的垂直平分线DP相交于点P，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥AB交BA的延长线于点E．AB=7cm，BC=15cm，则AE的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm【答案】B .【解析】解：连结AP ，CP ，∵AC 的垂直平分线DP ，∴PA =PC ，∵BP 是∠ABC 的平分线，PF ⊥BC ，PE ⊥AB ，∴PE =PF ，在Rt △PEA 和Rt △PFC 中，PA PCPE PF ，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC （HL ），∴AE =CF ，在Rt △PEB 和Rt △PFB 中，PB PBPE PF ，∴Rt △PEB ≌Rt △PFB （HL ），∴EB =FB ，∴2BE =BE +BF =AB +EA +BC -FC =AB +BC =7+15=22，∴BE=11，∴AE=BE-AB=11-7=4cm．故答案为：B．例题22．（2021·河南枫杨外国语期中）在平面直角坐标系xOy中，我们把点O，A（0，4），B（8，4），C （8，0）顺次连接起来，得到一个长方形区域，P为该区域（含边界）内一点．若将点P到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为d，则称P为“d距点”．例如：点P（5，3）称为“4距点”．当d＝4时，横、纵坐标都是整数的点P的个数为___个．【答案】8.【解析】解：满足条件的点如图所示，共有8个．故答案为：8．例题23．（2021·福建建瓯期中）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与边AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，DG⊥BA交BA的延长线于点G．（1）求证：AG=CF；（2）如图2，点M，N分别是线段AB，射线BD上的动点，若BC=5，S△ABC=5，求MN+AN的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2.【解析】证明：（1）如图，连接AD，DC，∵BD平分∠ABC，DG⊥BA，DF⊥BC，∴DG=DF．∵点D在边AC的垂直平分线上，∴DA=DC．在Rt△DGA和Rt△DFC中，DG DF DA DC，∴Rt△DGA≌Rt△DFC(HL)．∴AG=CF．（2）∵BD平分∠ABC，点M在线段AB上，∴点M关于BD的对称点M 在边BC上．如图，作点M关于BD的对称点M ，连接M N ，过点A作AP⊥BC于点P，∴MN M N ．∴MN +AN =M N +AN ≥AP ．∴当点A ，N ，P 在同一条直线上且AP ⊥BC 时，MN +AN 的值最小，最小值即为AP 的长．∵S △ABC =5，∴152BC AP ．∵BC =5，∴AP =2．∴MN +AN 的最小值为2．例题24．（2021·辽宁大石桥期中）已知点P 在∠MON 内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ．①若∠MON =50°，则∠GOH =______；②若PO =5，连接GH ，请说明当∠MON 为多少度时，GH =10；（2）如图2，若∠MON =60°，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当 PAB 的周长最小时，求∠APB 的度数．【答案】（1）①100°；②当∠MON =90°时，GH =10；（2）60°.【解析】解：（1）①∵P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，∴OG =OP ，OM ⊥PG ，即OM 平分∠POG ，同理，ON 平分∠POH∴∠GOH =2∠MON =100°故答案为：100°；②∵OP =5，∴OG =OH =5当∠MON =90°时，G 、O 、H 共线，GH =OG +OH =10（2）如图，分别作点P关于OM、ON的对称点P’、P’’，则AP=AP’，BP=BP’’，此时△PAB周长的最小值等于P’P’’的长，由对称性可得，∠OPA=∠OP’A=30°，∠BPO=∠OP’’B=30°∠APB=60°.。
初二轴对称图形难题总结
初二轴对称图形难题总结如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_________．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．2．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_________．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP 的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_________．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：_________．4．（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE 的最小值为_________．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．5．几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是_________；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．6．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_________时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_________时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=_________，n=_________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．7．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．8．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为_________；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时PA+PB=_________（千米）．9.如图：（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．10．如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．11．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）12．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_________（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为_________．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．13．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；14．（2012•东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC上，且∠MON=60°．（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．15．如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F，求证：DE=DF．16．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．17．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．18．已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P，作PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分别是K、L，求证：BK=CL．19．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N，求BM的长．21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC于点M，求证：BN=CM．22．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．考点：轴对称-最短路线问题．3113559分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．解答：解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P此时PA+PB最小，且等于AE．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=AC′=2，即AP+BP的最小值是2．故答案为：2；（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×=5，∴BE+EF的最小值为．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P 位置是解题关键．2．（2013•六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP 的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题．分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．解答：解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，∴CE=BE=；故答案为；（2）实践运用如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，∴∠EOC=30°，∴∠AOE=60°+30°=90°，∵OA=OE=1，∴AE=OA=，∵AE的长就是BP+AP的最小值．故答案为；（3）拓展延伸如图（4）．点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．3．（2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：8．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题．分析：（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．解答：解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线，∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E===5，∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．4．（2010•淮安）（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．考点：轴对称-最短路线问题．3113559分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；（2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′B，与CD的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．（3）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．解答：解：（1）BP+PE的最小值===．（2）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，∵点B是的中点，∴∠BOD=30°，∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，∵⊙O的直径CD为4，∴OA=OA′=2，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．（3）如图d：首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，连接DB′并延长交AC于P．（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD）．点评：此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．5．（2009•漳州）几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题；动点型．分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．点评：此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识．6．（2006•湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=，n=﹣（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．3113559专题：压轴题．分析：（1）根据题意，设出并找到B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），进而可得直线AB'的解析式，进而可得答案；（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．利用两点间的线段最短，可知四边形ABDC的周长最短等于A'F+CD+AB，从而确定C点的坐标值．（3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，当且仅当m=，n=﹣；时成立．解答：解：（1）设点B（4，﹣1）关于x轴的对称点是B'，其坐标为（4，1），设直线AB'的解析式为y=kx+b，把A（2，﹣3），B'（4，1）代入得：，解得，∴y=2x﹣7，令y=0得x=，即p=．（2）过A点作AE⊥x轴于点E，且延长AE，取A'E=AE．做点F（1，﹣1），连接A'F．那么A'（2，3）．直线A'F的解析式为，即y=4x﹣5，∵C点的坐标为（a，0），且在直线A'F上，∴a=．（3）存在使四边形ABMN周长最短的点M、N，作A关于y轴的对称点A′，作B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，与x轴、y轴的交点即为点M、N，∴A′（﹣2，﹣3），B′（4，1），∴直线A′B′的解析式为：y=x﹣，∴M（，0），N（0，﹣）．m=，n=﹣．点评：考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与坐标轴的交点等知识．7．（2007•庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题．分析：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点就是点P的位置．解答：解：点P就是飞机场所在的位置．（5分）点评：本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离．用到的知识：两点之间线段最短．8．（2006•贵港）如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为8；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时PA+PB=14（千米）．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：计算题；压轴题．分析：（1）先求出OB的长，从而得出OA的长，再根据三角函数求得到公路的距离．（2）根据切线的性质得EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，再根据余弦概念求解．解答：解：（1）∵BC=3，∠AOC=30°，∴OB=6．过点A作AE⊥MN于点E，AO=AB+OB=16，∴AE=8．即新开发区A到公路的距离为8千米；（2）过D作DF⊥AE的延长线（点D是点B关于MN的对称点），垂足为F．则EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=11，过B作BG⊥AE于G，∴BG=DF，∵BG=AB•cos30°=5，∴，连接PB，则PB=PD，∴PA+PB=PA+PD=AD=14（千米）．点评：此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力．9．（2006•巴中）如图：（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．考点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换．3113559专题：作图题．分析：根据平移的规律找到点B，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点A的对称点，连接A1B与l相交于点P，即为所求．解答：解：点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题．最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求出所求的点．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．10．（2003•泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题；证明题；压轴题；探究型．分析：（1）根据中心对称的方法，找点A2，B2，连接即可．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2），得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．（3）根据A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．根据题意得B1（4，2），A2（2，﹣4）设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法．解得，所以可求直线A2B1的解析式为y=3x﹣10．令y=0，得x=，所以C的坐标为（，0）．即点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．解答：解：（1）如图，A2、B2为所求的点．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2）∴A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，∴x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．（3）存在符合题意的C点．由（2）知A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，∴连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．∵A（﹣2，4），B（﹣4，2）依题意及（1）得：B1（4，2），A2（2，﹣4）．设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有解得∴直线A2B1的解析式为y=3x﹣10，令y=0，得x=，∴C的坐标为（，0）综上所述，点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．点评：主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质．要知道对称轴垂直平分对应点的连线．会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键．11．（2001•宜昌）某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题．分析：作A关于直线L的对称点E，连接BE交直线L于C，则C为所求．解答：答：如图：．点评：本题主要考查对轴对称﹣最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键，12．（2012•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点：翻折变换（折叠问题）．3113559专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．。
初二轴对称图形难题总结新选
初二轴对称图形难题总结如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l 的对称点B′，连接 A B ′与直线l 交于点C，则点 C 即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点 A 在⊙O 上，∠ACD=3°0，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP 的最小值为 ____ ．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F 分别是线段AD和AB 上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．2．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP 的最小如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的（3）拓展延伸如图（4）：点P 是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？5．几何模型：条件：如下A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点．聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道 l 看成一条直线（图（ 2）），问题就转化 为，要在直线 l 上找一点 P ，使 AP 与 BP 的和最小．他的做法是这样的：① 作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′．② 连接 AB ′交直线 l 于点 P ，则点 P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在 △ABC 中，点 D 、E 分别是 AB 、AC 边的中点， BC=6，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P ，使 △PDE 得周长最小．（ 1）在图中作出点 P （保留作图痕迹，不写作法） ． （2）请直接写出 △ PDE 周长的最小值： ．4．（1）观察发现：如（ a ）图，若点 A ， B 在直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P ，使 AP+BP 的值最小．做法如下：作点 B 关于直线 l 的对称点 B'，连接 AB'，与直线 l 的交点就是所求的点 P ．再如（ b ）图，在等边三角 形 ABC 中， AB=2，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找一点 P ，使 BP+PE 的值最小．做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P ，故 BP+PE 的最小值为 __________ ．（2）实践运用：如（ c ）图，已知 ⊙O 的直径 CD 为 4，∠AOD 的度数为 60°，点 B 是 的中点，在直径 CD 上找一点 P ，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值．（3）拓展延伸：如（ d ）图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P ，使 ∠APB=∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．问题：在直线l 上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=′A B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知， B 与D 关于直线AC 对称．连接ED交AC 于P，则PB+PE的最小值是 _______ ；（2）如图2，⊙ O的半径为2，点A、B、C在⊙ O上，OA⊥ OB，∠ AOC=6°0 ，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=4°5 ，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．6．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x 轴上的一个动点，则当p= __________ 时，△ PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a= _________ 时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m= __________ ，n= _________ （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．7．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．场到8．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN 的夹角∠AON=30 ，°新开发区 B 到公路MN 的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN 的距离为__________ ；（2）现要在MN 上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B 的距离之和最短．此时10．如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1 的对称轴为 y 轴．（1）请画出：点 A 、 B 关于原点 O 的对称点 A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明） ； （2）连接 A1A2、B1B2（其中 A2、B2为（ 1）中所画的点） ，试证明： x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2； （3）设线段 AB 两端点的坐标分别为 A （﹣2，4）、B （﹣4，2），连接（ 1）中 A2B2，试问在 x 轴上是否存在点 C ， 使△A1B1C 与△A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由） ；若不存在， 请说明理由．11．某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、 B 的水果 集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C ，使 A 、B 两地到加工厂 C 的运输路程之和最短． （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 12．阅读理解如图 1，△ ABC 中，沿 ∠ BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉 重复部分； ⋯；将余下部分沿 ∠ BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次9.如图：（1）若把图中小人平移，使点 A 平移到点 B ，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 l 上点 P 处喝水后，再游到 在图中画出点 P 的位置．B ，但要使游泳的路程最短，试恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠ BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1 与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_________ （填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系为应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．13．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q 从点C出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P、Q 移动的速度相同，PQ与直线BC 相交于点D．（1）如图① ，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图② ，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q 在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度14．（2012?东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N 分别在直线AC，BC 上，且∠ MON=6°0 ．（1）如图1，当CM=CN时，M、N 分别在边AC、BC上时，请写出AM 、CN、MN 三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N 分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M 在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．保持不变的线段？请说明理由；16．如图，在 △ABC 和△DCB 中，AB=DC ，AC=DB ，AC 与 DB 交于点 M ．求证：（1）△ABC ≌△ DCB ；（2）点M在 BC 的垂直平分线上．17．如图， △ABC 的边 BC 的垂直平分线 DE 交△BAC 的外角平分线 AD 于 D ， E 为垂足， DF ⊥AB 于 F ，且 AB >AC ，15 ．如图，线段 CD 垂直平分线段 求证： DE=DF ．AB ， CA 的延长线交 BD 的延长线于 E ，CB 的延长线交 AD 的延长线于 F ， 18．已知 △ ABC 的角平分线 AP 与边 BC 的垂直平分线 求证： BK=CL ．PM 相交于点 P ，作 PK ⊥ AB ， PL ⊥ AC ，垂足分别是 K 、L ，19．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B 的距离必须相等，且到两条公路m、20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ A=120 °，BC=9cm，AB的垂直平分线MN 交BC于M，交AB于N，求BM 的长．21．如图，在△ ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P 分别作PN⊥AB 于N，PM⊥AC 于点M ，求证：BN=CM．22．如图己知在△ ABC中，∠ C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E 为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC 长．参考答案与试题解析一．解答题（共22 小题）1．（2013?日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．要有作图痕迹）l 的对称点B′，连接 A B 与′直线l 交于点C，则点 C 即为所求．如图（ b ），已知， ⊙O 的直径 CD 为4，点 A 在⊙O 上，∠ACD=3°0，B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点， 则 BP+AP 的最小值为 2 ． （2）知识拓展：如图（ c ），在 Rt △ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，E 、F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点， 求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程． 考点： 轴对称 -最短路线问题． 3113559分析：（1）找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点， 再连接其中一点的对称点和另一点， 和MN 的交点 P 就是所 求作的位置．根据题意先求出 ∠C ′A ，E 再根据勾股定理求出 AE ，即可得出 PA+PB 的最小值； （2）首先在斜边 AC 上截取 AB ′=AB ，连结 BB ′，再过点 B ′作B ′⊥F AB ，垂足为 F ，交 AD 于E ，连结 BE ，则线段 B ′F 的长即为所求．解答：解：（1）作点 B 关于 CD 的对称点 E ，连接 AE 交 CD 于点 P 此时 PA+PB 最小，且等于 AE ． 作直径 AC ′，连接 C ′．E 根据垂径定理得弧 BD=弧 DE ． ∵∠ ACD=30 ，°∴∠ AOD=60 ，°∠ DOE=30 ，° ∴∠ AOE=90 ，° ∴∠ C ′ AE=4，5 °又 AC ′为圆的直径， ∴∠ AEC ′=90，° ∴∠ C ′∠=C ′ AE=4，5 ° ∴C ′ E=AE= AC ′ =2 ， 即 AP+BP 的最小值是 2 ． 故答案为： 2 ；2）如图，在斜边 AC 上截取 AB ′=A ，B 连结 BB ′．∵ AD 平分 ∠BAC ，∴点 B 与点 B ′关于直线 AD 对称．过点 B ′作 B ′⊥F AB ，垂足为 F ，交 AD 于 E ，连结 BE ， 则线段 B ′F 的长即为所求． （点到直线的距离最短）在 Rt △ AFB ′中， ∵∠BAC=45°， AB ′=AB=1，01）实践运用：∴ B′ F=AB ?sin45 ° =AB?sin4=55 °，=10 ×∴BE+EF的最小值为．此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P 位置是解题关键．2．（2013?六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m 的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP 的值最小，则BP+AP的最小值为（3）拓展延伸如图（4）：点P 是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕点评：E是AB 的中点，做法如下：迹，不写作法．圆的综合题；轴对称 -最短路线问题． 3113559 压轴题．（1）观察发现：利用作法得到 CE 的长为 BP+PE 的最小值；由 AB=2，点 E 是 AB 的中点，根据等 边三角形的性质得到 CE ⊥AB ，∠BCE= ∠BCA=30°，BE=1，再根据含 30 度的直角三角形三边的关 系得 CE= ；（2）实践运用：过 B 点作弦 BE ⊥CD ，连结 AE 交CD 于 P 点，连结 OB 、OE 、OA 、PB ，根据垂径 定理得到CD 平分 BE ，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，则 AE 的长就是 BP+AP 的最小值；由于 的度数为 60°，点 B 是 的中点得到 ∠ BOC=3°0 ， ∠ AOC=6°0 ，所以 ∠AOE=6°0 +30°=90°， 于是可判断 △ OAE 为等腰直角三角形，则 AE= OA= ；（3）拓展延伸：分别作出点 P 关于 AB 和 BC 的对称点 E 和 F ，然后连结 EF ， EF 交 AB 于 M 、交 BC 于 N ． 解：（1）观察发现如图（ 2）， CE 的长为 BP+PE 的最小值，∵在等边三角形 ABC 中， AB=2，点 E 是 AB 的中点 ∴CE ⊥AB ，∠BCE= ∠ BCA=30 ，°BE=1， ∴ CE= BE= ； 故答案为 ；（2）实践运用如图（ 3），过 B 点作弦 BE ⊥CD ，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB 、OE 、OA 、PB ， ∵BE ⊥CD ，∴CD 平分 BE ，即点 E 与点 B 关于 CD 对称， ∵ 的度数为 60 °，点 B 是 的中点， ∴∠ BOC=30 ，°∠ AOC=60 ，° ∴∠ EOC=30，°∴∠ AOE=60 +°30 =°90 ，° ∵OA=OE=1， ∴ AE= OA= ，∵AE 的长就是 BP+AP 的最小值． 故答案为 ； （3）拓展延伸 如图（ 4）．考点 专题 分析解答：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．3．（2012?凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道为，要在直线l 上找一点P，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：① 作点 B 关于直线l 的对称点B′．② 连接AB′交直线l 于点P，则点P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E 分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△ PDE周长的最小值：8 ．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题．分析：（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作 D 点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案．解答：解：（1）作 D 点关于BC的对称点D′，连接D′，E与BC交于点P，P点即为所求；（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE 为△ABC中位线，点评：l 看成一条直线（图（ 2 ）），问题就转化∵BC=6，BC边上的高为4，∴ DE=3，DD′ =，4∴D′ E= = =5，∴△ PDE周长的最小值为：DE+D′ E=3+5，=8 故答案为：8．此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．4．（2010?淮安）（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l 上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l 的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD 上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．考点：轴对称-最短路线问题．3113559分析：（1）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；（2）要在直径CD上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于CD的对称点，连接A′，B与CD的交点即为点P．此时PA+PB=′A B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．（3）画点 B 关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P．则点P即为所求．解答：解：（1）BP+PE的最小值= = = ．点评：△PDE周长的最小（2）作点 A 关于CD的对称点A′，连接A′，B交CD于点P，连接OA′，AA′，OB．∵点A与A′关于CD对称，∠ AOD的度数为60°，∴∠A′ OD∠=AOD=60 ，°PA=PA，′∵点 B 是的中点，∴∠ BOD=30 ，°∴∠ A′ O∠B=A′ OD∠+BOD=90 ，°∵⊙O的直径CD为4，∴OA=OA′ ，=2∴ A′ B=2 ．∴ PA+PB=PA ′ +PB=A ′．B=2 （3）如图d：首先过点 B 作BB′⊥ AC于O，且OB=O′B，连接DB′并延长交AC 于P．（由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠ APD）．此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．5．（2009?漳州）几何模型：问题：在直线l 上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l 的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=′A B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线AC 对称．连接ED交AC 于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙ O的半径为2，点A、B、C在⊙ O上，OA⊥ OB，∠ AOC=6°0 ，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=4°5 ，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．考点：轴对称-最短路线问题．3113559专题：压轴题；动点型．分析：（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=D，E在△ADE中，根据勾股定理求得即可；（2）作 A 关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；点评：条件：如下图，A、B是直线l 同旁的两个定点．（3）作出点P 关于直线OA的对称点M ，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB 的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN 的长就行了．解答：解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∴AC 垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=D，E在△ ADE中，根据勾股定理得，DE= ；（2）作 A 关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠ AOC=60 °∴∠ A′ OC=120 °作OD⊥ A′C于D，则∠A′OD=60°∵ OA′ =OA=2∴ A′ D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△ PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠ POB，∴∠ MON=2∠AOB=2 × 4=59°0 ，°在Rt△ MON 中，MN= = =10 ．即△ PQR周长的最小值等于10 ．此题综合性较强，主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识．6．（2006?湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x 轴上的一个动点，则当p= 时，△ PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a= 时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m= ，n= ﹣（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．点评：轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质． 3113559 压轴题． （1）根据题意，设出并找到 B （4，﹣ 1）关于 x 轴的对称点是 B'，其坐标为（ 4， 1），进而可得直 线 AB'的解析式，进而可得答案； （2）过 A 点作 AE ⊥x 轴于点 E ，且延长 AE ，取 A'E=AE ．做点 F （ 1，﹣ 1 ），连接 A'F ．利用两点间 的线段最短，可知四边形 ABDC 的周长最短等于 A'F+CD+AB ，从而确定 C 点的坐标值． （3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ，当且仅当 m= ，n=﹣ ； 时成立． 解：（1）设点 B （4，﹣ 1）关于 x 轴的对称点是 B'，其坐标为（ 4，1）， 设直线 AB'的解析式为 y=kx+b ，把 A （2，﹣ 3），B'（ 4， 1）代入得： ， 解得 ， ∴y=2x ﹣7， 令 y=0 得 x= ， 即 p= ． （2）过 A 点作 AE ⊥x 轴于点 E ，且延长 AE ，取 A'E=AE ．做点 F （1，﹣ 1），连接 A'F ．那么 A'（2， 3）． ∵C 点的坐标为 （3）存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ， 作 A 关于 y 轴的对称点 A ′，作 B 关于 x 轴的对称点 B ′，连接 A ′B ，′与 x 轴、y 轴的交点即为点 M 、N ， ∴A ′（﹣ 2，﹣ 3）， B ′（4， 1）， ∴ 直线 A ′的B 解′析式为： y= x ﹣ ， ∴M （ ， 0），N （0，﹣ ）． 考点专题分析 解答：直线 A'F 的解析式为 即 y=4x ﹣ 5， a ，0），且在直线 A'F 上，考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与 坐标轴的交点等知识．7．（ 2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到轴对称 -最短路线问题． 3113559作图题．利用轴对称图形的性质可作点 A 关于公路的对称点 A ′，连接 A ′，B 与公路的交点就是点 P 的位置． 本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离．用到的知识：两点之间线段最短．8．（2006?贵港）如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A ，B ，已知 AB=10 千米，直线 AB 与公 路 MN 的夹角∠AON=3°0 ，新开发区 B 到公路 MN 的距离 BC=3千米．（1）新开发区 A 到公路 MN 的距离为 8 ；（2）现要在 MN 上某点 P 处向新开发区 A ，B 修两条公路 PA ，PB ，使点 P 到新开发区 A ，B 的距离之和最短．此时点评： A ，B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的考点 专题 分析 解答点评： m= ， n=﹣考点：轴对称 -最短路线问题． 3113559 专题：计算题；压轴题． 分析： （1）先求出 OB 的长，从而得出 OA 的长，再根据三角函数求得到公路的距离．（2）根据切线的性质得 EF=CD=BC=3，AF=AE+EF=AE+BC=1，1 再根据余弦概念求解．解答： 解：（1）∵BC=3， ∠ AOC=3°0 ，∴OB=6．过点 A 作 AE ⊥ MN 于点 E ， AO=AB+OB=16，∴AE=8．即新开发区 A 到公路的距离为 8 千米；（2）过 D 作DF ⊥AE 的延长线（点 D 是点 B 关于 MN 的对称点），垂足为 F ．则 EF=CD=BC=3， AF=AE+EF=AE+BC=1，1过 B 作 BG ⊥ AE 于 G ，∴BG=DF ，∵ BG=AB?cos30 ° =，5∴，点评： 此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力．9．（2006?巴中）如图：（1）若把图中小人平移，使点 A 平移到点 B ，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 l 上点 P 处喝水后，再游到 连接 PB ，则 PB=PD ， ∴ PA+PB=PA+PD=AD=1（4 千米）．B ，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P 的位置．考点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换．3113559专题：作图题．分析：根据平移的规律找到点B，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点 A 的对称点，连接A1B与l 相交于点P，即为所求．解：点评：本题考查的是平移变换与最短线路问题．最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求出所求的点．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；② 确定图形中的关键点；③ 利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④ 按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．10．（2003?泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y 轴．（1）请画出：点A、B关于原点O 的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x 轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．解答：考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题．3113559专题：作图题；证明题；压轴题；探究型．分析：（1）根据中心对称的方法，找点A2，B2，连接即可．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2），得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．（3）根据A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．根据题意得B1（4，2），A2（2，﹣4）设直线A2B1的解析式为y=kx+b 则利用待定系数法．解得，所以可求直线A2B1的解析式为y=3x﹣10．令y=0，得x= ，所以C的坐标为（，0）．即点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．解答：解：（1）如图，A2、B2 为所求的点．（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（﹣x1，y1），B1（﹣x2，y2），A2（﹣x1，﹣y1），B2（﹣x2，﹣y2）∴A1、B1关于x 轴的对称点是A2、B2，∴ x 轴垂直平分线段A1A2 、B1B2．（3）存在符合题意的 C 点．由（2）知A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，∴连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．∵A（﹣2，4），B（﹣4，2）依题意及（1）得：B1（4，2），A2（2，﹣4）．设直线A2B1的解析式为y=kx+b 则有解得∴直线A2B1 的解析式为y=3x﹣10，令y=0，得x= ，11．（2001?宜昌）某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、 B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置 C ，使 A 、B 两地到加 工厂 C 的运输路程之和最短． （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）考点：轴对称 -最短路线问题． 3113559 作图题． 作 A 关于直线 L 的对称点 E ，连接 BE 交直线 L 于 C ，则 C 为所求．点评： 本题主要考查对轴对称﹣最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键，12．（2012?淮安）阅读理解如图 1，△ ABC 中，沿 ∠ BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2折叠，剪掉 重复部分； ⋯；将余下部分沿 ∠ BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次 恰好重合， ∠BAC 是 △ABC 的好角．小丽展示了确定 ∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角 ∠ BAC 的平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 ∠B1A1C 的 平分线 A1B2折叠，此时点 B1 与点 C 重合．探究发现 （1）△ABC 中，∠B=2∠C ，经过两次折叠， ∠BAC 是不是 △ABC 的好角？ 是 （填“是”或“不是 ”）． （2）小丽经过三次折叠发现了 ∠BAC 是△ABC 的好角，请探究 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B >∠C ）之间的等量关系．根 据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B >∠C ）之间的等量关系为 ∠B=n ∠点评： 专题分析解答 ∴C 的坐标为（ ，0）主要考查了轴对称的作图和性质， 以及垂直平分线的性质． 要知道对称轴垂直平分对应点的连线． 会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键．C ．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的考点：翻折变换（折叠问题）．3113559专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠ C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠ C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°① ，根据三角形ABC 的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180 °②，由①② 可以求得∠B=3∠ C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠ C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA 是△ ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠ B=2∠ C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠ B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2 折叠，此时点B1与点C重合，∴∠ A1B1C=∠C；∵∠ AA1B1=∠C+∠ A1B1C（外角定理），∴∠ B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3 折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠ C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180 ，° 根据三角形ABC的内角和定理知，∠ BAC+∠ B+∠ C=180°，∴∠ B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠ B=∠ C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n 次折叠∠BAC 是△ ABC 的好角，则∠ B 与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；。
初二 轴对称图形 经典难题
轴对称图形和全等三角形1．如图，AB=AC=5cm，BC=3cm，∠A=40°，点A和点B关于直线l对称，AC与l相交于点D，则∠C=＿＿＿＿°，△BDC的周长等于＿＿＿＿cm．2．（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a23．（2013•东营）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）S⊥AOB=S四边形DEOF 中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．（2012•山西模拟）如图，点P、Q是边长为4cm的等边⊥ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（）A．BP=CMB．⊥ABQ⊥⊥CAPC．⊥CMQ的度数不变，始终等于60°D．当第秒或第秒时，⊥PBQ为直角三角形5．（2012•镇平县校级一模）如图，在⊥ABC中，⊥ACB=90°，BE平分⊥ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．（2011•恩施州）如图，AD是⊥ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，⊥ADG 和⊥AED的面积分别为50和39，则⊥EDF的面积为（）A．11B．5.5C．7D．3.57．（2010•武汉模拟）如图，⊥ABC中，⊥ABC、⊥EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分⊥ACF；②⊥ABC+⊥APC=180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；④⊥BAC=2⊥BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③8．（2004•内江）如图，⊥AOB=30°，OP平分⊥AOB，PC⊥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共5小题）9．（2015•眉山）如图，以⊥ABC的三边为边分别作等边⊥ACD、⊥ABE、⊥BCF，则下列结论：①⊥EBF⊥⊥DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，⊥BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的番号）．10．（2015•广西）如图，在⊥ABC中，CD平分⊥ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC 于点F，且BC=4，DE=2，则⊥BCD的面积是．11．（2011•随州）如图，⊥ABC的外角⊥ACD的平分线CP与内角⊥ABC平分线BP交于点P，若⊥BPC=40°，则⊥CAP=．12．（1999•重庆）如图，⊥ABC中，AB=AC，⊥A=40°，BP=CE，BD=CP，则⊥DPE=度．三．解答题13．（2015•于洪区一模）如图1，在⊥ABC中，⊥ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，⊥BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，⊥BAC是锐角，点D在线段BC上，当⊥ACB满足什么条件时，CF⊥BC （点C、F不重合），并说明理由．。
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结轴对称是数学中的一个重要概念，它在几何图形、函数和方程等方面都有广泛的应用。
下面是____年初二数学期末考试轴对称知识点的总结，包括轴对称的定义、性质、判定方法以及一些常见的练习题。
一、轴对称的定义和性质1. 轴对称是指一个几何图形相对于某一条直线对称。
2. 如果一个几何图形相对于某一条直线的两边完全相同或者对称，则该直线为该几何图形的轴对称轴。
3. 轴对称图形的特点是左右对称，即左右两部分完全相同。
4. 轴对称图形可以通过将图形沿着轴对称轴折叠，使两部分完全重合。
二、轴对称的判定方法1. 观察几何图形的特征，如果图形对称，则可判定为轴对称图形。
2. 分析几何图形的复杂度，如果找不到直观的特征，可以进行定点分析，即找出图形上的一系列点，判断这些点是否沿轴对称轴对称。
三、轴对称的常见几何图形1. 线段：线段是轴对称图形，折叠后两端完全重合。
2. 镜像：镜像是轴对称图形的一个特例，通过平面镜可以直观地看到镜像对称。
3. 圆：圆是轴对称图形，通过旋转一定角度可以使圆上的任意一点重合到其他点。
4. 正方形、矩形、正五边形等规则多边形都是轴对称图形，折叠后两边完全重合。
5. 其他不规则几何形状，可以通过定点分析来判断是否轴对称。
四、轴对称的函数和方程1. 函数：轴对称函数的特点是函数图像关于某一直线对称。
例如，二次函数y=ax^2的图像关于y轴对称，三次函数y=ax^3的图像关于原点对称。
2. 方程：轴对称方程是指方程的解对称于某一直线，这条直线即为轴对称轴。
例如，x^2+y^2=r^2的解是关于y轴对称的圆。
五、练习题1. 判断下列图形是否轴对称：(1) 正方形；(2) 三角形；(3) 椭圆；(4) 直线；(5) 抛物线。
2. 判断下列函数是否轴对称：(1) y=x^2+1；(2) y=3x^3-2x；(3) y=sin(x)。
3. 判断下列方程是否轴对称：(1) x^2+y^2=9；(2) x^3+y^3=8；(3) x^2+y^2+x+2y=0。
人教版初二数学轴对称重难点归纳
人教版初二数学轴对称重难点归纳单选题1、如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B 岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形答案：A解析：先根据方位角的定义分别可求出∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°，再根据角的和差、平行线的性质可得∠BAC=45°，∠ABE=100°，从而可得∠ABC=45°，然后根据三角形的内角和定理可得∠C=90°，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．由方位角的定义得：∠CAD=35°,∠BAD=80°,∠CBE=55°∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=80°−35°=45°由题意得：AD//BE∴∠ABE=180°−∠BAD=180°−80°=100°∴∠ABC=∠ABE−∠CBE=100°−55°=45°∴∠BAC=∠ABC=45°由三角形的内角和定理得：∠C=180°−∠BAC−∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形故选：A．小提示：本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．2、等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）A．140°或44°或80°B．140°或80°C．44°或80°D．140°或44°答案：A解析：设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，解得x＝44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，解得x＝50°，所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，解得x＝20°，所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故选：A．小提示：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．3、下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C解析：依据轴对称图形的定义逐项分析即可得出C选项正确．解：因为选项A、B、D中的图形都不能通过沿某条直线折叠直线两旁的部分能达到完全重合，所以它们不符合轴对称图形的定义和要求，因此选项A、B、D中的图形都不是轴对称图形，而C选项中的图形沿上下边中点的连线折叠后，折痕的左右两边能完全重合，因此符合轴对称图形的定义和要求，因此C选项中的图形是轴对称图形，故选：C．小提示：本题主要考查了轴对称图形的定义，学生需要掌握轴对称图形的定义内容，理解轴对称图形的特征，方能解决问题找对图形，同时也考查了学生对图形的感知力和空间想象的能力．4、在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm答案：C解析：根据直角三角形的性质30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BCAB =12，∴AB=2BC∵AB+BC=12cm，∴3BC=12cm．∴BC=4cm∴AB=8cm故选：C小提示：本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．5、如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°答案：C解析：由轴对称图形的性质可得△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理即可得出答案．如图，连接BB′∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，∴△BAC≌△B′AC′，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，∴∠BAC=∠B′AC′=40°，∵∠CAF=10°，∴∠C′AF=10°，∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，∴∠ABB′=∠AB′B=40°，故选C．小提示：本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC的度数是解题关键．6、如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝110°，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF翻折，得△GEF，若GF∥CD，GE∥AD，则∠D的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°答案：C解析：依据平行线的性质，即可得到∠BEG=∠A=90°，∠BFG=∠C=110°，再根据四边形内角和为360°，即可得到∠D的度数．解：∵GF∥CD，GE∥AD，∴∠BEG=∠A=90°，∠BFG=∠C=110°，由折叠可得：∠B=∠G，∴四边形BEGF中，∠B=360°−90°−110°=80°，2∴四边形ABCD中，∠D=360°-∠A-∠B-∠C=80°，故选：C．本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC的长为（）A．4B．8C．12D．16答案：C解析：已知AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠B的度数，再求出∠DAC的度数，然后根据30°角直角三角形的性质求得BD的长，再根据等角对等边可得到CD的长，即可求得BC的长．∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∵AB⊥AD，AD=4，∴∠BAD=90°，BD=2AD=8，∴∠DAC=120°-90°=30°，∴∠DAC =∠C=30°，∴AD=CD=4，∴CB=DB+CD=12．故选C.本题考查了等腰三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质及30°角直角三角形的性质是解决问题的关键.8、若点A(a−2,3)和点B(−1,b+5)关于x轴对称，则点C(a,b)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．点A（a−2，3）和点B（−1，b＋5）关于x轴对称，得a−2＝-1，b＋5＝-3．解得a＝1，b＝−8．则点C（a，b）在第四象限，故选：D．小提示：本题考查了关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等得出a−2＝-1，b＋5＝-3是解题关键．填空题9、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=7cm,DE=3cm，则BC=______cm．答案：10解析：过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可知BF=3.5，DG=1.5，然后由等腰三角形三线合一可知AH⊥BC，BH=CH，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到FH=GD=1.5，最后根据BC=2BH计算即可.解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．∵EF⊥BC，∠EBF=60°，∴∠BEF=30°，∴BF=12BE=12×7=3.5，∵∠BED=60°，∠BEF=30°，∴∠DEG=30°．又∵DG⊥EF，∴GD=12ED=12×3=1.5，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，且BH=CH．∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，∴四边形DGFH是矩形．∴FH=GD=1.5．∴BC=2BH=2×(3.5+1.5)=10.所以答案是：10.小提示：本题主要考查的是等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键.10、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点．AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=7cm,DE=3cm，则BC=______cm．答案：10解析：过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G，由直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半可知BF=3.5，DG=1.5，然后由等腰三角形三线合一可知AH⊥BC，BH=CH，然后再证明四边形DGFH是矩形，从而得到FH=GD=1.5，最后根据BC=2BH计算即可.解；过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长AD到H，交BC于点H，过点D作DG⊥EF，垂足为G．∵EF⊥BC，∠EBF=60°，∴∠BEF=30°，∴BF=12BE=12×7=3.5，∵∠BED=60°，∠BEF=30°，∴∠DEG=30°．又∵DG⊥EF，∴GD=12ED=12×3=1.5，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，且BH=CH．∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，∴四边形DGFH是矩形．∴FH=GD=1.5．∴BC=2BH=2×(3.5+1.5)=10.所以答案是：10.小提示：本题主要考查的是等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及矩形的性质和判定，根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键.11、如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为________．答案：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）解析：试题解析：如图所示：A1(−1，1),A2(−2,−2),A3(0，2),A4(−2,−3)，(−3，2)（此时不是四边形，舍去），故答案为(−1，1),(−2,−2),(0，2)，(−2,−3).12、如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=________ 时，△AOP为等边三角形．答案：a解析：根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．∵∠AON＝60°，∴当OA＝OP＝a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．小提示：本题考查了等边三角形的判定．等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．13、将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．答案：55解析：先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据翻折的性质即可得出答案．∵∠1=110°，纸条的两边互相平行∴∠3=180°−∠1=180°−110°=70°根据翻折的性质得：∠2=12×(180°−∠3)=12×(180°−70°)=55°所以答案是：55．小提示：本题考查了平行线的性质、图形翻折的性质，掌握理解图形翻折的性质是解题关键．解答题14、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）画出△ABC的各点纵坐标不变，横坐标乘﹣1后得到的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1的各点横坐标不变，纵坐标乘﹣1后得到的△A2B2C2；（3）点C1的坐标是；点C2的坐标是．答案：（1）见解析（2）见解析（3）（﹣4，﹣1）；（﹣4，1）解析：（1）△ABC的各点纵坐标不变，横坐标乘-1后的坐标首先写出，然后在数轴上表示出来，顺次连接；（2）△A1B1C1的各点横坐标不变，纵坐标乘-1后的坐标首先写出，然后在数轴上表示出来，顺次连接；（3）根据（1）（2）即可直接写出．（1）A1的坐标是（-1，-4），B1的坐标是（-5，-4），C1的坐标是（-4，-1），如图，△A1B1C1为所作；（2）A2的坐标是（-1，4），B2的坐标是（-5，4），C2的坐标是（-4，1），如图，△A2B2C2为所作；（3）C1的坐标是（﹣4，﹣1），C2的坐标是（﹣4，1）．故答案是：（﹣4，﹣1），（﹣4，1）．小提示：本题考查了坐标与图形的变化－轴对称变换，根据题目的叙述求得△A1B1C1和△A2B2C2的坐标是解题的关键．15、如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）互相垂直，证明见解析解析：（1）根据AAS推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出即可；（2）证Rt△ADO≌Rt△AEO，推出∠DAO=∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°，△ACD和△ABE中，∵{∠ADC＝∠AEB∠CAD＝∠BAEAB＝AC∴△ACD≌△ABE（AAS），∴AD=AE．（2）猜想：OA⊥BC．证明：连接OA、BC，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°．在Rt△ADO和Rt△AEO中，∵{OA ＝OAAD＝AE∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）．∴∠DAO=∠EAO，又∵AB=AC，∴OA⊥BC．。
轴对称重点和难点
轴对称图形主要内容：轴对称与轴对称图形、轴对称的性质、设计轴对称图案、线段、角的轴对称性、等腰三角形的轴对称性、等腰梯形的轴对称性。
重点：垂直平分线、角平分线、等腰三角形（直角三角形、等边三角形）的性质、等腰梯形的常用辅助线；难点是如何灵活应用所学知识解决问题。
难点：通过具体的轴对称图形实例,让学生经历观察、比较、分析等数学活动,从而让学生认识轴对称图形,知道轴对称与轴对称图形之间的区别,而后通过线段与角、等腰三角形、等腰梯形等轴对称图形加深对轴对称图形的理解。
变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。
初二轴对称重难点
轴对称【知识要点】1.如果两个图形沿某条直线对折后能完全重合,则称这两个图形关于这条直线对称.如果一个图形沿某条直线对折后能和本身重合,则称这个图形是轴对称图形.2.关于某条直线对称的两个图形是全等形,对应点的连线被对称轴垂直平分.3.在坐标系内,点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),关于x轴对称的点的坐标为(x,-y).【温馨提示】1.轴对称和轴对称图形的对称轴是直线,不是线段或射线.2.轴对称图形和两个图形成轴对称是紧密联系的,可以把一个轴对称图形沿对称轴分成轴对称的两个图形,也可以把一个成轴对称的两个图形看成是一个轴对称图形.但是两者也有区别,轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合,而轴对称指的是两个图形之间的位置关系,这两个图形沿对称轴折叠后能够重合.【方法技巧】1.找两个成轴对称图形的对称轴,可以先找到一对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.2.作一个图形各特殊点关于某直线的对称点,相应连接各点就可以得到这个图形关于某直线成轴对称的图形.3.若点(x,y)关于x=m对称的点的坐标是(x,y′),则y、m和y′之间的关系是y+y′=2m,同理,点(x,y)关于y=n对称的点的坐标是(x′,y),则x、n和x′对称的点的x+x′=2n.一、利用轴对称解决路径最短问题1、“一线+两点”型2.“两线+一点”型3.“两线+两点”型练习：1.如图，直线l 是一条河，P 、Q 两地相距8千米，P 、Q 两地到l 的距离分别为2千米，5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）2.已知，如图（1），Rt △ABC ≌Rt △ADE ，∠ABC =∠ADE =90°．试以图中标有字母的点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后选择一种关系予以证明．3.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是（a ，b ），则经过第2013次变换后所得的A 点坐标是________．（知识点：在坐标系内,点(x ,y )关于y 轴对称的点的坐标为(-x ,y ),关于x 轴对称的点的坐标为(x ,-y ).）C AB D F E （1）y x O A B C y x O y x O y x O y x O 第1次 关于x 轴对称 第2次 关于y 轴对称 第3次 关于x 轴对称 第4次 关于y 轴对称 B Q l P l P M Q Ａ D Ql P M l P M Q C。
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结(二篇)
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中，轴对称是一个重要的几何概念。
轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称，即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。
轴对称的性质是常用的，它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。
以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结：一、轴对称的定义和性质：1. 轴对称：如果一个图形、物体或者函数，相对于某条轴线可以对称地出现，那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。
2. 轴线：轴线是指对称图形相对出现的那根线。
3. 轴对称的性质：轴对称的图形具有以下性质：- 轴线上的点不动。
- 对称轴的两侧对称，即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点，关于对称轴中点对称。
- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。
二、判断轴对称的方法：1. 观察法：通过观察图形是否关于某条线对称，可以判断图形是否轴对称。
如果图形可以重叠折叠，使得一个部分与另一个部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
2. 对称线法：使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来，如果这条线段与直尺重合，那么这条线段就是图形的对称线。
3. 折叠法：将纸张上的图形剪下来，然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来，如果两个对称的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称的。
三、轴对称的常见图形：1. 一阶图形：一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。
2. 二阶图形：矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。
3. 三阶图形：五角星、六边形等。
四、轴对称和平移、旋转的关系：1. 平移：平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换，平移不改变图形的形状和大小，也不改变图形的轴对称性。
2. 旋转：旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换，旋转不改变图形的形状和大小，但可能改变图形的轴对称性。
有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称，有些则不再保持轴对称。
五、轴对称的应用：1. 填充对称：将一个图形沿着对称轴镜像复制，用来填充平面空间。
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初二轴对称图形难题总结如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_________．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．2．（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_________．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_________．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：_________．4．（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE 的最小值为_________．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．5．几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是_________；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．6．如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_________时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_________时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=_________，n=_________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．7．需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．8．如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为_________；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时PA+PB=_________（千米）．9.如图：（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．10．如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．11．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）12．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_________（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为_________．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．13．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；14．（2012•东城区二模）已知：等边△ABC中，点O是边AC，BC的垂直平分线的交点，M，N分别在直线AC，BC 上，且∠MON=60°．（1）如图1，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．15．如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F，求证：DE=DF．16．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．17．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．18．已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P，作PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分别是K、L，求证：BK=CL．19．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N，求BM的长．21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．22．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．C′E=AE=，2．2=52．（2013•六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．BCE=∠；由于的度数为的中点得到∠AE=OA=∠BE=；故答案为∵是OA=，故答案为3．（2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：8．=54．（2010•淮安）（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．==．是的中点，A′B=2．5．（2009•漳州）几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．DE=A′D=∴MN===106．（2006•湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=，n=﹣（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．，﹣）代入得：解得x=p=的解析式为．x，（，﹣m=，．7．（2007•庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．8．（2006•贵港）如图所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A，B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°，新开发区B到公路MN的距离BC=3千米．（1）新开发区A到公路MN的距离为8；（2）现要在MN上某点P处向新开发区A，B修两条公路PA，PB，使点P到新开发区A，B的距离之和最短．此时PA+PB=14（千米）．∴9．（2006•巴中）如图：（1）若把图中小人平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小人；（2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边l上点P处喝水后，再游到B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点P的位置．10．（2003•泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，2），连接（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．则利用待定系数法．解得，所以可求直线x=，（则有解得x=，的坐标为（，11．（2001•宜昌）某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）12．（2012•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．13．（2013•青羊区一模）如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q 从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；CFED=CFFC=BC=3 CD=CF=；，14．（2012•东城区二模）已知：等边△ABC 中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上，且∠MON=60°．（1）如图1，当CM=CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．OCN=15．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD的延长线于F，求证：DE=DF．∵16．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．17．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．∵∵18．已知△ABC的角平分线AP与边BC的垂直平分线PM相交于点P，作PK⊥AB，PL⊥AC，垂足分别是K、L，求证：BK=CL．19．某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（要有作图痕迹）20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N，求BM的长．MC21．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．22．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．AC=ADAD=8cm。