张丹海《简明大学物理》5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能
能量均分定理理想气体内能
1 1 2 m0 v x kT 2 2
气体分子在每一个平动自由度上具有相等的 平均平动动能，其大小等于二分之一kT。
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3
5.4 能量均分定理 理想气体内能
能量按自由度均分定理 在温度为T的平衡态下，气体分子每一个自由 1 度的平均动能为 kT 2
分子平均平动动能Байду номын сангаас kt
t kT 2
r 分子平均转动动能 kr kT 2
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4
5.4 能量均分定理 理想气体内能
分子平均振动动能 ks
s kT 2
trs 分子平均动能 k kT 2
分子平均振动势能 ps
s kT 2
i 分子平均能量 kT 2
i =t+r+2s,称为能量自由度
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5.4 能量均分定理 理想气体内能
5.4 能量均分定理 理想气体内能
一. 分子自由度 确定分子位置的独立坐标数。 分为平动、转动和振动自由度。 (1)单原子分子 平动自由度t =3
o x
z
( x, y, z )
y
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1
5.4 能量均分定理 理想气体内能
(2)刚性双原子分子 平动自由度t =3 转动自由度r =2 振动自由度s =0
5
5.4 能量均分定理 理想气体内能
三. 理想气体的内能 气体分子热运动能量的总和。
m i E N A kT M 2 m i E RT M 2
理想气体的内能只是温度的单值函数。
本节完
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6
z
B
A ( x, y, z )
o
5-4能量均分定理 理想气体的内能
y
方位角只有两个独立, 故需两个坐标确定其方位，实 际上确定了分子的转动状态，称为转动自由度。
刚性哑铃型双原子分子自由度为5（i=5）。
自由度
(3) 刚性自由多原子分子，确定其 空间位置需分步进行：
首先确定一个质点的位置需三 个独立坐标； 再确定两原子连线的方位需两 个独立坐标； 最后确定绕两原子连线的转动 的角坐标，需一个独立坐标；
能量均分定理
在温度为T的平衡态下，物质（气体、液体、固体）分子 的每一个自由度都具有相等的平均动能，其大小等于 kT/2。
对于有t 个平动自由度，s 个振动自由度和 r 个转动自由 度的气体分子，分子的平均总动能为上述三种运动动能之和：
每个振动自由度上均分有 kT/2
1 i k (t r s )kT kT 2 2
§5-4能均分定理 理想气体的内能
一. 自由度
确定一个物体的空间 位置所需的独立坐标数， 常用i 表示。 自由度确定的方法： (1)单原子分子可视为质点， 确定其空间位置需三个独 立坐标，
z
O
故单原子分子自由度 为3（i=3），称为平动 自由度 ，如He、Ne等。
( He ) ( x, y, z )
m i m i E N A kT RT M 2 M 2
理想气体内能，对于刚性分子，不计分子间势能，与气 体的压强、体积无关。
说明： （1）一定量的理想气体的内能完全决定于分子运动的 自由度和气体的热力学温度。——温度的单值函数
（2）实验表明：在低温下只有平动，常温下开始转 动，高温下才开始有振动，通常视为刚性分子。 （3）内能与机械能的区别，静止地球表面的物体 机械能可为零，内能永远不会为零。zOຫໍສະໝຸດ (H 2O)
7.3 能量按自由度均分定理 理想气体的内能
每一个自由度上为 1 2 kT
2.能量按自由度均分定理
1
(1)分析：●分子→质点→只3个平动自由度→动能平均分配 ●考虑结构→自由度i=t+r+s
2
kT
●碰撞→能量各自由度间交换→无特殊→平衡态时
(2)定理：分子在每个自由度上的平均动能都相等，都等于 1 kT 2
2.理想气体的内能 ——所有分子热运动能量之和
每个分子的平均能量： i kT
2
1mol理想气体内能： Emol NA
NA
i 2
kT
i 2
RT
k
R NA
质量为M的理想气体内能： E
M M mol
Em ol
M M mol
i 2
RT
说明 ①理想气体内能只是温度的单值函数 E E(T) E T
②内能是状态量，而非过程量
③单原子分子
Em ol
3 2
RT
双原子分子
Em ol
5 2
RT
三原子分子
Em ol
6 2
RT
与实验值相吻合 说明“能量按自由度均分定理的正确性”
例 2mol的氦气和氨气，0℃时（视为刚性）
求:(1)分子的平均平动动能、平均总动能、平均总能量；
(2)当温度升高1K时，△E=？
解：(1) ① 0℃→273.15K
M mol 2
M mol 2
EHe
2
3 2
R
6 ENH3 2 2 R
例 (P219：例7-6) 体积V的容器中有理想气体M、Mmol，以v运
动中突然停止，设全部定向运动动能变为分子热运动动能
5-4能量均分定理理想气体的内能
z
kt
1 mv2 2
3 kT 2
电 子
v 2x
v 2y
v
2 z
1 v2 3
oy
x
工 程 学
1 2
mv2x
1 2
mv
2 y
1 2
mv2z
1 kT 2
院
杨 小
单原子分子平均能量 3 1 kT
2
1
刚性双原子分子
分子平均平动动能
kt
1 2
m
vC2 x
1 2
m vC2 y
1 2
m vC2 z
2
2
杨 小
∴
mv2
iRT NA
T N Amv2 12
iR
T N Amv2 iR
M v2
iR
6.42K
P m RT 6.67 104 Pa
电
MV
子
工 E
m iR T 200J
程
M2
学 院
1 ikT
1.33 1022 J
杨
2
小
13
例6 有 2 103 m 3刚性双原子分子理想气体， 其内能为 6.75 102 J ．
总
院
单原子分子
3
0
3
杨
双原子分子
3
2
5
小
多原子分子
3
3
6
5
三 理想气体的内能 理想气体的内能 ：所有分子热运动动能和分子
内原子间的势能之和（温度的单值函数） .
电
1 mol 理想气体的内能
E
NA
i RT 2
子 工
m' mol理想气体的内能 E m' i RT i RT
能量均分定理理想气体内能
要3个平动自由度， 确定连线， 要2个转动自由度；确定沿连线的简谐振动,
要1个动能和1个势能自由度，所以共有7个自由度。
非刚性双原子分子的能量： kt kr kv
•
多原子气体分子(原子数n3)
C
刚性: 6个自由度(3个平动自由度, 3个转动自由度);
非刚性：有3n个自由度,其中3个是平动的,3个是转动的,其 余3n-6是振动的。
教程
二 能量均分定理（玻耳兹曼假设） 气体处于平衡态时，分子任何一个自由
度的平均能量都相等，均为 1 kT ，这就是 能量按自由度均分定理 . 2
分子的平均能量 i kT
2
5
物理学
7-5 能量均分定理 理想气体内能
教程
三 理想气体的内能
1.气体的内能 理想气体的动能、振动势能、分子间相互作用势能的和
刚性双原子气体
Emol
5 2
RT
6
刚性多原子气体 Emol 2 RT 6
物理学
7-5 能量均分定理 理想气体内能
教程
例 设有一恒温容器，其内储有某种理想
气体，若容器发生缓慢漏气，问：
(1)气体的压强是否变化？为什么？ (2)容器内气体分子的平均平动动能是否变化？ 为什么？
(3)气体的内能是否变化？为什么？
p(2V)=(v1+v2)RT
解得:
T p1 p2 p1 p2
T1 T2
9
物理学
7-5 能量均分定理 理想气体内能
教程
例：水蒸汽分解为同温度的氢气与氧气，即
H 2O
H2
1 2
O2
求：此过程中内能的增量(不记振动自由度)
解：H2O，O2，H2分子的自由度分别为 6，5，5
能量均分定理理想气体内能
对于一些分子量较小的无机分子，可以近似认 为分子内原子间距离保持不变，即原子间不会有振 动，没有振动自由度。称此类分子为刚性分子。
例如：H2 , O2 , N2 , CO, NO, H2O, CH4等
刚性气体分子的自由度：
z
C ( x, y, z )
如He，Ne，Ar等惰性气体 分子；电离态的单原子气 体分子如N，O，C等。 平动自由度 t =3
一定质量刚性分子理想气体的内能：
m i E RT M mol 2 m i 温度改变，内能改变量为 E RT M mol 2
理想气体内能完全决定于分子运动的自由度i和 气体温度T，而与气体的体积、压强无关。对于给 定的理想气体，内能仅是温度的单值函数！
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选择进入下一节 §5-0 教学基本要求 §5-1 热运动描述 理想气体模型和状态方程 §5-2 分子热运动和统计规律 §5-3 理想气体的压强和温度公式 §5-4 能量均分定理 理想气体内能 §5-5 麦克斯韦速率分布律 §5-6 麦克斯韦-玻尔兹曼能量分布律 重力场中粒 子按高度的分布 §5-7 分子碰撞和平均自由程 §5-8 气体的输运现象 §5-9 真实气体 范德瓦尔斯方程
它们的振动自由度数几乎为零！因此在常温下它们 可被看作没有振动自由度的刚性分子。
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二、能量均分定理 1 2 3 kt mv kT 2 2
1 2 vx v y vz v 3
2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 mvx mv y mvz kT 2 2 2 2
由于非刚性分子的振动能量（包括振动动能与振 动势能）比较复杂，这里不予讨论，这里仅讨论刚性 分子理想气体的内能。 刚性分子理想气体内能：既无分子间相互作用势能， 又无分子内原子间振动能量，所以其内能只有分子的 平动动能和转动动能。
能量按自由度均分定理
该定理帮助人们认识到能量的分布和转换规律，为能量的高效转换和利用提供了理论支持 。
启发新的科学研究方法
能量按自由度均分定理所采用的研究方法为其他科学研究提供了启示，有助于推动其他领 域的发展。
对工程实践的影响
提高能源利用效率
根据能量按自由度均分定理，工程师可以优化能源利用方案，提高 能源利用效率，降低能耗。
定理的证明
01
证明能量按自由度均分定理需要用到热力学的基本原理和统计方法。
02
首先，我们需要引入微观状态和宏观状态的概念，然后通过计算系统的微观状 态数和熵，推导出系统的宏观热力学性质。
03
通过分析系统的能量分布和自由度的关系，我们可以证明每个自由度平均分配 系统总能量的一半。这个证明过程涉及到一些数学推导和物理概念的应用，需 要一定的专业知识和理解能力。
能量按自由度均分定理用于研究 化学反应过程中能量的变化和分 配。
02
03
化学键能计算
热化学研究
通过该定理，可以计算化学键的 键能，从而预测化学反应的活化 能和反应速率。
能量按自由度均分定理用于研究 化学反应的热力学性质，如反应 焓和熵变。
在工程领域中的应用
热工控制
在热工控制中，该定理用于设计和优化热工系统的能量转换和传 递过程。
此外，我们也可以将该定理与其 他物理原理和理论相结合，以解 决更复杂的问题。例如，将能量 按自由度均分定理与量子力学、 相对论等理论结合起来，可以更 深入地理解物质的本质和性质。
在实际应用方面，我们可以利用 该定理来研究和设计新型材料、 能源技术、环保技术等领域的材 料和系统，以提高其性能和效率。 因此，能量按自由度均分定理在 未来仍将是一个重要的研究和应 用领域。
5-3 能量按自由度均分定理 理想气体的内能
Emol i i NA kT RT 2 2
3、质量为m'的刚性理想气体的内能为：
m' i E RT M 2
理想气体的内能是温度的单值函数。
第五章 气体动理论
广东海洋大学理学院教学课件
大学基础物理教程
（补充）两种气体自由度数目不同，温度相同，摩尔数
相同，下面那种叙述正确；
气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平
i
个自由
i kT 2
刚性三原子分子 : 3kT
第五章 气体动理论
3 单原子分子： kT 2
刚性双原子分子 :
5 kT 2
广东海洋大学理学院教学课件
大学基础物理教程
三、刚性理想气体的内能 1、刚性理想气体的内能 ：气体所有分子的各种运 动的动能（平动、转动）的总和 .
5分子的平均总动能1013101由pnkt可得单位体积内分子数2310131024510m1381027327第五章气体动理论大学基础物理教程广东海洋大学理学院教学课件2氧气的密度为1013103210130kgm831300mpmvrt2623321053210kg60210第五章气体动理论大学基础物理教程广东海洋大学理学院教学课件4分子的平均平动动能为2321331381030062110j22mkt5分子的平均总动能为2320第五章气体动理论大学基础物理教程广东海洋大学理学院教学课件例题52求1质量为4103kg的氧气在温度为300k时的内能是多少
i 5 5 3 2 E pV 2.026 10 3 10 1.52 10 (J) 2 2
作业题：5-11；5-14；5-16；5-17
第五章 气体动理论
张丹海《简明大学物理》5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能
气体动理论及热力学
2. 双原子分子 (1）刚性双原子分子
i tr 5
z
决定质心位置——3个自由度（x,y,z) 确定转轴方位----2个自由度 ( , , 中的两个)
x
C ( x, y, z )
cos cos
2
2
cos 1
2
y
（2）非刚性双原子分子
双原子分子
mv
2
3 2
kT
v
所以
k
1 2
2
vx vy vz
2
2
mv
1 2
m vx
2
1 2
mvy
2
1 2
m vz
2
3 2
kT
在平衡态下，气体分子沿各个方向运动的机会是相等的，因此 1 2 2 2 2 vx vy vz v 3
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5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
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5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
气体动理论及热力学
例 5-2 求处于温度为T的平衡态时n1mol氩气（Ar）和n2mol氮气 的内能。 解 Ar为单原子分子，其分子自由度为i=3 处于温度为T的平衡态时其分子的平均能量为 n1mol氩气的内能为
E 0 n1 i 2 R T n1 3 2 RT
刚性多原子分子，自由度 i=6，分子的平均 动能为:
6 2
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kT
5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
气体动理论及热力学
大学物理：Chapter 5-4 能量按自由度分配的统计规律
平均动能：平均----统计的结果
3)由能均分原理可得平衡态下每个分子的平均总动能
K
t
r
s
kT t r s
2
4)关于振动自由度(分子中原子之间距离的变化）
每个振动自由度还具有kT/2的平均势能
5)一个分子的总平均能量
➢T低于几千K 振动自由度冻结 刚性
K
P
kT t r 2s
2
➢T低于几十K
验证麦克斯韦速率分布的实验装置及数据
例 就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar 三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩
尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。
解： 在空气中
N2质量 M 1 28.9 103 76% 22.1 103 kg
定义:速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数 的百分比称为速率分布函数， 用f (v)表示.
f (v ) dN Ndv
dN/N表示单个分子速率取值在v～v＋dv 区间内的概率；
f(v)表示单个分子速率取值在速率v 附近单位速率间隔内的概率.
5.5.2 麦克斯韦速率分布律 1. 麦克斯韦速率分布函数
(2)分布函数存在一个极大值，与极大值对应的速率称为最 概然速率. 由求极值的条件 df (v ) 0 dv
可求得 vp
2kT 1.41 RT
m
M mol
(最概然速率)
(3)曲线直观地反映出温度和分子质量对速率分布的影响. 温度降低时, vp减小，曲线变得较为凸起; 分子质量减小时, vp增大，曲线变得较为平坦.
10.34%
0.0%
18.79
例如气体分子按速率的分布 ｛ΔNi ｝就是分子数按速率的分布
210-理想气体的内能、能量按自由度均分定理
210理想气体的内能、能量按自由度均分定理1.选择题1，1 mol 刚性双原子分子理想气体的内能为（A ）kT 25 （B ） RT 25 （C ）kT 27 （D ）RT 27[ ]2，根据能量均分定理，分子的每一自由度所具有的平均能量为 （A ）kT 21 （B ）kT （C ）kT 23 （D ）kT 25[ ]3，质量为M kg 的理想气体，其分子的自由度为 i ，摩尔质量为μ，当它处于温度为T 的平衡态时，该气体所具有的内能为（A ）RT （B ）RT i2 （C ）RT M μ （D ）RT i M 2μ4，温度为27℃ 时，1 mol 氧气所具有的平动动能和转动动能分别为 （A ）211021.6-⨯=平E J ，211014.4-⨯=转E J （B ）211014.4-⨯=平E J ，211021.6-⨯=转E J（C ）31049.2⨯=平E J ， 31074.3⨯=转E J （D ）31074.3⨯=平E J ，31049.2⨯=转E J[ ]5，1 mol 非刚性双原子分子理想气体的内能为（A ）kT 25 （B ）RT 25 （C ）kT 27 （D ）RT 27[ ]6，质量为M kg 的刚性三原子分子理想气体，其分子的摩尔质量为μ，当它处于温度为T 的平衡态时，该气体所具有的内能为（A ）RT M μ27 （B ）RT Mμ3 （C ）RT M μ25 （D ）RT M μ23[ ]7，若某种刚性双原子分子的理想气体处于温度为T 的平衡状态下，则该理想气体分子的平均能量为（A ）kT 23 （B ） kT 25 （C ） RT 23 （D ） RT 25[ ]8，理想气体处于平衡状态，设温度为T ，气体分子的自由度为i ，则下列表述正确的是（A ）每个气体分子所具有的动能为kT i2（B ）每个气体分子所具有的动能为RT i 2 （C ）每个气体分子所具有的平均动能为kT 23（D ）1mol 气体分子所具有的平均能量为RT i 2[ ]9，刚性多原子分子所具有的平均能量为（A ）kT 23 （B ） kT 25 （C ）kT 27（D ）kT 3[ ]10，非刚性双原子分子理想气体的摩尔热容比为 （A ）57 （B ）75 （C ）79 （D ）97[ ]11，可视为刚性分子的氧气压强026.2=p Pa ，体积21000.3-⨯=V m 3，则其内能为 （A ）0.061 J （B ）0.091 J （C ）0.152 J （D ）0.213 J[ ]12，2100.2-⨯kg 氢气装在3100.4-⨯m 3的容器内，当容器内的压强为51090.3⨯ Pa 时，氢气分子的平均平动动能为（A ）221089.3-⨯ J （B ）221048.6-⨯ J （C ）221077.7-⨯ J （D ）221007.9-⨯ J[ ]2、判断题1，由于理想气体忽略了分子间的相互作用，因此理想气体的内能只是温度的单值函数。
大学物理：5-4 能量均分定理 理想气体内能
第五章 气体动理论与热力学
物理学教程 （第二版）
气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平
均能量都相等，均为 1 k T，这就是能量按自由度
2
均分定理 . 分子的平均能量
i kT
2
刚性分子能量自由度
t r i 自由度
分子
平动
转动
总
单原子分子
3
0
3
双原子分子
3
2
5
多原子分子
3
3
6
第五章 气体动理论与热力学
5– 4 能量均分定理 理想气体内能
E 3RT
➢ 理想气体内能只是温度的函数，和 T 成正比.
第五章 气体动理论与热力学
5– 4 能量均分定理 理想气体内能
物理学教程 （第二版）
例 两种气体自由度数目不同，温度相同，摩尔数
相同，下面那种叙述正确；
（A）它们的平均平动动能、平均动能、内能都相同； （B）它们的平均平动动能、平均动能、内能都不同； （C）它们的平均平动动能相同，而平均动能和内能 不同； （D）它们的内能相同，而平均平动动能和平均动能 都不相同；
yHale Waihona Puke m2m1* C
x
z
刚性分子平均能量
kt kr
非刚性分子平均振动能量
v
1 2
vC2x
1 kx 2 2
非刚性分子平均能量
kt kr v
自由度 分子能量中独立的速度和坐标的二次
方项数目叫做分子能量自由度的数目, 简称自由度，
用符号 i 表示.
第五章 气体动理论与热力学
5– 4 能量均分定理 理想气体内能
物理学教程 （第二版）
自由度: 分子能量中独立的速度和坐标的二次方项 数目叫做分子能量自由度的数目, 简称自由度，用符号
能量按自由度均分原理理想气体的内能
同理：1 2
m
v
2 y
1 2
m
v
2 z
1 2
kT
在x 、y、z方向上均分 配了一份kT/2的能量，
2
将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分 子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。这样， 气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振 动。考虑分子的能量时，要考虑分子各种运动的能量。
作为统计初步，可不考虑分子内部的振动，而 认为分子是刚性的。
E
5
RT
2
想气体，它的内 能只是温度的函
刚性多原子分子气体 E 6RT
2
数而且与热力学 温度成正比。
当温度变化T时 E i RT
2
当温度变化dT时 dE i RdT
2
思考：单位体积与
单位质量的内能又 各为多少？
10
理想气体内能：所有分子的动能总和。
理想气体：
1.一个分子的能量为:
k
i kT 2ຫໍສະໝຸດ 91.一个分子的能量为:
k
i 2
2. 1 mol气体分子的能量为:
kT E
i 2
N0kT
i 2
RT
3.M 千克气体的内能为：E M i RT i RT
单原子分子气体 E 3RT
M mol 2
2
对于一定量的理
2 刚性双原子分子气体
1.自由度
自由度是描述物体运动自由程度的物理量。
在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所 需要的独立坐标数.
所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的最少 的坐标数。
3
例如：物体沿一维直线运动，最少
x
只需一个坐标，则自由度数为1。
理想气体能量均分定理
理想气体能量均分定理
理想气体能量均分定理是热学领域的一项重要原理。
它指出，在理想气体中，分子的
平均能量与温度成正比，与分子的质量无关。
此定理是热力学理论的基础，为解释气体性
质和热平衡提供了理论支持。
根据理想气体能量均分定理，理想气体分子的平均能量正比于其温度，并且每个自由
度会对平均能量产生贡献。
这里的自由度指的是分子在运动中可以储存能量的独立方式，
如平动、转动和振动等。
根据统计力学，每个自由度对于分子的平均能量的贡献为(kT/2)，其中k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
根据理想气体分子的自由度数目来计算，单原子分子只有三个平动自由度，因此其平
均能量为(3/2)kT。
双原子分子还具有两个额外的转动自由度，所以其平均能量为(5/2)kT。
对于更复杂的分子，例如多原子分子和振动自由度较多的分子，能量均分定理仍然适用，
但需要根据分子结构的复杂性进行调整。
理想气体能量均分定理为了解气体的热动力学性质提供了基础，例如热容、温度变化
计算以及气体的传热过程等。
通过应用此定理，可以更好地理解和分析气体的热力学性质，并为能量转化和传递过程提供理论指导。
需要注意的是，虽然理想气体能量均分定理在很多情况下可以很好地描述实际气体的
行为，但对于高密度或低温度下的气体，分子间的相互作用可能会导致能量的分配出现偏离。
在特殊情况下，需要考虑分子间相互作用的影响，使用更复杂的模型来描述气体的能
量均分特性。
高二物理竞赛能量按自由度均分定律理想气体内能PPT(课件)
一个自由度都具有相等的平均动能，其大小等于
1 2
。kT
对于有t个平动自由度，s个振动自由度和r个转动自由度 的气体分子，分子的平均总动能为上述三种运动动能之和：
εk
1 2
(t
r
s)kT
i 2
kT
每个振动自由度上均分有
1 2
kT
的振动势能
ε
εk
1 s 2 kT
1 2
(t
r
2s)kT
三、理想气体的内能
z (H 2O)
1:确定2个H原子的位置需5个独立坐标； O
2:再确定O原子还需要1个角度
x
(x, y, z)
y
6自由度= 5+1= 3 平动自由度+ 2 转动自由度+ 1 转动自由度
多原子分子 3n自由度=6自由度+(3n-6)振动自由度 n原子数目
二、能量按自由度均分
椐理想气体温度公式，分子平均平动动能与温度关系为
(v)
48kT
m
2mk8TMRTmo8l23kemT1.m 260kvT2MvR2Tmol
3. 方均根速率 气体分子速率平方的平均值的平方根。
v2
N v2dN
0
v2 f ( v )dv 3kT
N
0
m
dN
3
f ( v ) Ndv v2
f(v)3mkT
4
1.73 m 3RT
2 kT e v M mol
撞次数。已知氢分子的有效直径为210-10m。
解:按气体分子算术平均速率公式 算得
v 8RT
M mol
v
8RT ＝
M mol
8 8.31 273 3.14 2 103
大学物理(12.4.1)--能量均分定理理想气体内能
一、自由度力学中要确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，叫做这个物体的自由度。
在热力学中一般不涉及原子内部的运动，仍将原子当作质点而将分子当作是由原子质点构成的。
一个要确定一个自由运动质点的空间位置需要3个独立坐标，因此单原子分子的自由度是3，即它有3个平动自由度。
对于刚性（原子间的相对位置不变）双原子分子气体，可看作两个原子（质点）被一条直线连接，需要用3个坐标确定其质心的位置，再用2个坐标确定其连线的方位，因此刚性双原子分子气体的自由度为5。
对于刚性多原子分子，具有3个平移自由度和3个转动自由度，总自由度为6。
二、能量按自由度均分定理1．能量按自由度均分定理理想气体分子平均平动动能 kT k 23=ε 222221212121z y x k v m v m v m v m ++==ε 又 222231v v v v z y x === 有 kT v m v m v m z y x 21212121222===这表明，气体分子沿x 、y 、z 三个方向的平均平动动能都相等，且都等于kT /2。
因为在温度公式中的分子是看作质点的，它只有三个自由度，而这个结果说明，每个分子的平均平动动能是均匀地分配给每个自由度，即每个自由度都均匀地分配了kT /2的能量。
这个现象可以这样解释：气体平衡态的建立和维持，是靠分子无规则运动和频繁碰撞实现的，在碰撞过程中，能量可以从一个分子传到另一个分子，也可以由一种运动形式转化成另一种运动形式，也可以从一个自由度转移到另一个自由度，这些转变是无规则的，但总的趋势是各种形式的平均能量趋于相等，这一结论是否可以推广到转动和振动上呢？经典统计物理已经证明了这一点：在温度为T 的平衡状态下，分子的每一个自由度上都具有相同的平均能量，其大小都为kT /2。
2．说明：1）能量均分定理是统计规律，是大量分子的整体表现。
对单个分子而言，分子的能量并不一定是均分分配的，但由于分子间的相互碰撞，在相互碰撞中分子可以交换能量；对于某一自由度来说，其上的能量也不一定均匀的，但由于分子的无规则运动和分子间的相互碰撞，使得在各个自由度上的能量不断“搅拌”，最后达到均匀。
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除了刚性双原子分子的5个自由度数外，还需要1个 反映两原子间相对位置的振动自由度，用s表示
i t r s 3 2 1 6
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5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
气体动理论及热力学
3. 多原子分子 （1）刚性多原子分子
z
i tr 6
其中3个是平动的，3个是转动的。
E 0 N 0 N 0
i 2
kT
i 2
RT
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5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
M
气体动理论及热力学
摩尔理想气体的内能：
E M i
2
RT
理想气体的内能不仅与温度有关，而且还与分子的自由度i有关.
对给定的理想气体，其分子的自由度i一定，则内能仅是温度的 单值函数，即E=E(T)，这是理想气体的一个重要性质.
刚性多原子分子，自由度 i=6，分子的平均 动能为:
6 2
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kT
5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
气体动理论及热力学
三、理想气体的内能
气体的内能包括分子无规则热运动所具有的能量和分 子间相互作用的势能。 理想气体的内能：所有分子的热运动能量总和。 理想气体分子间的相互作用力可以忽略，其的内能就是它 的所有分子的动能的总和。 1 mol 理想气体的内能
1 1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
气体动理论及热力学
11 1 3 1 2 m v x m v y m v z m v kT kT 2 2 2 32 2 3 2
2 2 2
分子的每一个平动自由度具有相同的平动动能，其数值为 k T 2 推广为能量按自由度均分定理： 在温度为 T 的平衡态下，气体分子的每一个自由度都 1 具有相同的平均动能，其大小都等于 kT .
mv
2
3 2
kT
v
所以
k
1 2
2
vx vy vz
2
2
mv
1 2
m vx
2
1 2
mvy
2
1 2
m vz
2
3 2
kT
在平衡态下，气体分子沿各个方向运动的机会是相等的，因此 1 2 2 2 2 vx vy vz v 3
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5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
x
C ( x, y, z )
（2）非刚性多原子分子
y
i t r s 3n
其中3个是平动的，3个是转动的，（3n－6）个振动的。
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5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
气体动理论及热力学
二、能量均分定理
由前面所讲的温度公式给出
k
2
1 2
2
气体动理论及热力学
2. 双原子分子 (1）刚性双原子分子
i tr 5
z
决定质心位置——3个自由度（x,y,z) 确定转轴方位----2个自由度 ( , , 中的两个)
x
C ( x, y, z )
cos cos
2
2
cos 1
2
y
（2）非刚性双原子分子
双原子分子
2
1
※自由度为i的 1个分子的平均动能
i 2
kT
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5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
气体动理论及热力学
单原子分子，自由度 i=3，分子只具有平动 动能，其平均动能为:
3 2 kT
刚性双原子分子，自由度 i=5 ，分子的平均 动能为
5 kT 2
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5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
气体动理论及热力学
例 5-2 求处于温度为T的平衡态时n1mol氩气（Ar）和n2mol氮气 的内能。 解 Ar为单原子分子，其分子自由度为i=3 处于温度为T的平衡态时其分子的平均能量为 n1mol氩气的内能为
E 0 n1 i 2 R T n1 3 2 RT
5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
气体动理论及热力学
一、气体分子的自由度 确定一个物体在空间的位置需要的独立坐标数目 称为该物体的自由度。用“i”表示。
1.单原子分子自由度：
z
x, y, z
it 3
x
o
y
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5-4 能量按自由度均分定理 理想气体的内能 第五章
3 2 kT
N2为双原子分子，其分子自由度为i=5
处于温度为T的平衡态时其分子的平均能量为 k T 2 n2mol氮气的内能为
E0 n2 i 2 RT n2 5 2 RT
5
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