与方程的关系及确定二次函数的表达式
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
二次函数的函数表达式
二次函数的函数表达式二次函数是高中数学中的一个重要概念，其中的函数表达式可以描述出一个抛物线的形状。
在本文中，我们将介绍二次函数的函数表达式及其相关属性。
一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
二次函数的一般形式包含三个系数。
系数a决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
系数b 和c则分别影响了抛物线在x轴方向上的平移和y轴方向上的平移。
二、二次函数的顶点形式二次函数也可以表示成顶点形式：f(x) = a(x-h)² + k，其中a、h、k 为实数，且a ≠ 0。
顶点形式的二次函数可以直接读取出抛物线的顶点坐标(h, k)。
与一般形式相比，顶点形式可以更方便地计算出抛物线在x轴方向上的平移以及确定抛物线的开口方向。
三、二次函数的图像特点1. 开口方向：由一般形式的系数a决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过将一般形式的系数b消去得到：x = -b/ (2a)。
3. 零点：即二次函数与x轴的交点。
二次函数的零点可以通过解一般形式的方程ax² + bx + c = 0得到。
根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断二次函数与x轴的交点情况：当Δ>0时，有两个不相等的零点；当Δ=0时，有两个相等的零点；当Δ<0时，没有实数解，即与x轴没有交点。
4. 最值：二次函数的最值可以通过抛物线的开口方向判断。
当抛物线开口朝上时，最小值为抛物线的顶点值；当抛物线开口朝下时，最大值为抛物线的顶点值。
四、应用案例二次函数的函数表达式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个二次函数的应用案例：1. 抛物线的高度：一个炮弹从抛射点射出，以二次函数的形式描述炮弹的高度随时间的变化规律，可以计算出炮弹的最高点以及落地点的距离等信息。
确定二次函数的表达式
求出a 的值即可．范例1：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋5．仿例1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则此二次函数表达式为( A )A ．y ＝－x 2＋2x ＋2B ．y ＝x 2－2x －2C ．y ＝－x 2－2x ＋2D ．y ＝－x 2－2x －2仿例2：抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则此抛物线的表达式是y ＝－x 2＋2x ＋3．,(仿例1题图)) ,(仿例2题图)),(仿例3题图))仿例3：如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2－(a 2－1)x ＋1的图象，那么a 的值是－1．知识模块二 已知任意两点求二次函数表达式 阅读教材P 42～P 43，完成下面的内容：范例2：已知二次函数y ＝ax 2＋bx －6的图象经过点A(1，－3)，B(－1，－3)，则二次函数的表达式为( A )A ．y ＝3x 2－6B ．y ＝x 2＋2x －6C ．y ＝9x 2＋6x －6D ．y ＝9x 2－6x －6仿例：小聪做作业时不小心将题目：“已知二次函数y ＝x 2■x■的图象如图所示”污染，则题目中二次函数的表达式为y ＝x 2－73x －2．第2课时情景导入 生成问题旧知回顾：1．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)且经过点(0，1)，则二次函数表达式为y ＝－18x 2＋2x ＋1．2．已知抛物线y ＝ax 2－2x ＋c 过点(1，－4)和(2，－7)，则二次函数仿例2：二次函数图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且AB ＝OC ，求二次函数的表达式．解：∵A(－1，0)，B(4，0)，∴AO ＝1，OB ＝4，AB ＝AO ＋OB ＝1＋4＝5. ∴OC ＝5，即点C 的坐标为(0，5)．∵A(－1，0)，B(4，0)的纵坐标都为0，∴设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －4)． ∵点C 的坐标为(0，5)，∴5＝a(0＋1)(0－4)，解得a ＝－54.∴所求的二次函数表达式为：y ＝－54(x －4)(x ＋1)．教学 反思。
已知三点确定二次函数的表达式
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c.
又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），
依题意得: a+b+c=0
a 1
9a+3b+c = 0 解得 b 4
4a + 2b + c=-1
c3
∴所求的函数关系式为
y x2 。4x 3
解法二 ∵点（1，0）和（3，0）是抛 物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a 1
确定二次函数的关系式
①设 设二次函数的关系式 ②代 将相关数值代入关系式得到方程或
方程组 ③解 解方程或方程组得出待定系数的值 ④写 写出该二次函数的关系式
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1）求二次函数关系式。
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
小 结：
如何选择不同形式的二次函数的关系式？
1.一般式：y ax2 bx c(a 0)
（已知抛物线上三点或三对x、y的值，用一般式.）
2．顶点式： y a x h2 k(a 0)
（已知抛物线的顶点或对称轴或最值，用顶点式.）
3．交点式 ： y a(x x1)(x x2 )(a 0)
求c的值
∴设二次函数的关系式为y=a(x-1)2+2
∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的关系式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
确定二次函数的表达式
2 初步探究
例 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和
（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.
解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数 y=ax2+c中，得 3=4a+c, －3=a+c, 解这个方程组，得 a=2, c=－5. ∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5.
3 深入探究
解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3） ， 因此设它的关系式为 y a( x 4)2 3 又∵图象过点（10，0） 2 ∴ (10 4) a 3 0 解得
数形结合思想
a 1 12
1 ( x 4) 2 3 12
∴图象的表达式为 y
确定二次函数的表达式需要几个条件？ 确定二次函数的关系式y=ax²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶 点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件 时，用顶点式 y=a(x-h)2+k 可以确定二次函 数的关系式.
在什么情况下，一个二次函数只知道其中两 点就可以确定它的表达式？ 小结：1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）
和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的
表达式。
2. 用一般式y=ax²+bx+c确定二次函数时，如 果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点 的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式.
4 反馈练习 1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过
点（1，-3），求这个二次函数的表达式.
2. 已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（1，1）
与（2，3）两点。求这个二次函数的表达式.
二次函数基础知识梳理
二次函数基础知识梳理一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可以为零．二次函数的定义域a≠，而b c是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值Array越大，抛物线的开口越小。
2. 2=+y ax c的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。
k +的三、二次函数图象的平移 1. 平移方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 九 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 十、二次函数图象的对称十一、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 十二、二次函数的应用1．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 ( )A ．y=(m －1) 2x 2B ．y=(m+1) 2x 2C ．y=(m 2+1)x 2D ．y=(m 2－1)x 2 2.已知二次函数y=（m+1）x 2有最大值，则m 的取值范围是_____．3.抛物线y=12－5x 2的对称轴为_______，顶点坐标为______．4.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =5.已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6.抛物线()2321--=x y +5，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 .7．已知二次函数y=x 2－2x －3的函数值y<0，则x 的取值范围为______．8.已知二次函数y ＝a x 2＋bx ＋c(a ≠0)，其中a 、b 、c 满足a －b ＋c ＝0和9a ＋3b ＋c ＝0，则该二次函数的对称轴为直线_______．9.二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，10.抛物线y=8x 2+2mx+m-2的顶点在x 轴上，则顶点坐标是( )A ．(4，0)B ． C. D ．(0，)11. 不论x 取何值，二次函数y =－x 2+6x +c 的函数值总为负数，则c 的取值范围为 . 12．已知x 、y 都是正实数，且满足4x 2＋4xy ＋y 2＋2x ＋y －6＝0，则x （1－y ）的最小值为 ． 13.若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≤2）4x （x ＞2）的图像恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是___________。
二次函数表达式的确定(原创)
二次函数表达式的确定待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（1）设出适当的二次函数表达式，(2)根据已知信息，构建关于常数的方程（组），(3)解方程(组)，(4)把求出的常数的值代入所设的表达式一般式：顶点式：，其中(h，k)为顶点，交点式：，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标；.1．已知抛物线过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求二次函数表达式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝5，当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，求抛物线的函数表达式3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的图象4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；5.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，求与的函数关系式为6.已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．7.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的表达式8.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；9.如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，求抛物线的表达式10.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.11.已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．10.已知二次函数图象上部分点的坐标满足下表：求该二次函数的解析式；用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．1. 已知二次函数的图象如图所示求这个二次函数的表达式A. y ＝x 2－2x ＋3B. y ＝x 2－2x －3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋32. 一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标(－1，3)，则该抛物线的表达式为( ) A. y ＝－2(x －1)2＋3 B. y ＝－2(x ＋1)2＋3 C. y ＝－(2x ＋1)2＋3 D. y ＝－(2x －1)2＋33. 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，则这条抛物线的解析式为( )A. y ＝x 2－2x －3B. y ＝x 2－2x ＋3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋3 4. 由表格中信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则下列y 与x 之间的函数表达式正确的是( )A. y ＝x 2－4x ＋3 5. 如果抛物线经过点A (2，0)和B (－1，0)，且与y 轴交于点C ，若OC ＝2，则这条抛物线的表达式是( ) A. y ＝x 2－x －2B. y ＝－x 2－x －2或y ＝x 2＋x ＋2C. y ＝－x 2＋x ＋2D. y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 7.已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)，则该函数的表达式为 . 8. 如图，抛物线的表达式为 ，直线BC 的表达式为 ，S △ABC ＝ .9. 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是 .10. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为 .11. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象.12. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，请通过观察图象，指出此y的最小值，并写出t的值；(2)若t＝－4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.15. 如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB.16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.参考答案1. B2. B3. A4. A5. D6. y ＝－23(x ＋2)2＋1 7. y ＝－(x ＋1)2＋48. y ＝45x 2－165x －4 y ＝45x －4 12 9. y ＝－x 2＋2x ＋3 10. y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x11. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)，B (0，2)，C (1，3).∴2(1)(1)1,2,3,a b c c a b c ìï?+?+=-ïïï=íïï++=ïïî解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋2.(2)画图略.12. 解：(1)y 的最小值为－3，t ＝－6.(2)分别把(－4，0)和(－3，－3)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝16a －4b ，－3＝9a －3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线表达式为y ＝x 2＋4x ，∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上. (3)－1(答案不唯一)13. 解：(1)∵y ＝x 2＋bx ＋c 过原点，∴c ＝0.又∵y ＝x 2＋bx 过点A (2，0)，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x . (2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x ＝1.(3)∵点A 的坐标为(2，0)，∴OA ＝2.∵S △OAB ＝3，∴12OA ·||y B ＝3，∴||y B ＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴y B ＝3，∴3＝x 2－2x ，即x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.∴点B 坐标(－1，3)或(3，3).14. 解：(1)把A (2，0)，B (0，－6)的坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－412()2?＝4，∴点C 的坐标为(4，0).∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2.∴S △ABC＝12·AC ·OB ＝12×2×6＝6. 15. 解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a (x －3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a ＝－13.∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233x .(2)将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，解得x ＝0(舍去)或x ＝23，∴B 点坐标为(23，0)，设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ，将A (3，1)代入表达式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x .∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B (23，0)代入y ＝33x＋b 中，解得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由⎩⎨⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OD ＝23，又OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD .在△OAB 与△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC AB ＝CDOB ＝OD，∴△OAB ≌△OCD .(2)如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，连接CD ，CB ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.。
确定二次函数的表达式
【知识总结】1．抛物线c bx ax y ++=2，与x 轴的两个交点)0,(),0,(21x B x A ，则线段AB 的长为：aac b x x AB 4221-=-=． 2．二次函数解析式的三种形式：一般式：c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）交点式：()()21x x x x a y --=（0≠a ，21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 顶点式：()k h x a y +-=2（k h a ,,为常数，0≠a ）3．抛物线c bx ax y ++=2与直线b kx y +=的交点的求法就是解方程组 ⎩⎨⎧+=++=bkx y c bx ax y 2的解y x ,的值分别作为交点的横纵坐标．4．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=25．c b a ,,符号的确定a 的符号：由开口方向决定：开口向上，0>a ；开口向下，0<a ． a 决定抛物线开口大小：a 越大开口越小，a 越小开口越大；a 相等则形状相同．b 的符号：b 与a 共同决定对称轴的位置，“左同右异”c 的符号：由抛物线与y 轴交点决定：交点在y 轴正半轴0>c ；交点在y 轴负半轴0<c ；抛物线过原点0=c ．且抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）6. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数由ac b 42-决定：⇔>-042ac b 抛物线与x 轴有两个交点；⇔=-042ac b 抛物线与x 轴有一个交点；⇔<-042ac b 抛物线与x 轴有无交点；例1、求解析式（1）二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．（2）已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点 （－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．（3）已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．例2、已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP 的面积．例3、已知二次函数2=-+，求分别满足下列条件的二次函数关系式365y x x（1）图像与抛物线2=-+关于x轴对称；365y x x（2）图像与抛物线2365=-+关于y轴对称；y x x（3）图像与抛物线2y x x=-+关于经过其顶点且平行于x轴的直线l对称。
确定二次函数的关系式.3确定二次函数的表达式
因此，所求的二次函数表达式是y=-3x2+4x+2
例2 已知三个点的坐标 P(1，-5)，Q（-1,3），M(2，-9) 是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
解 ： 设有二次函数y=ax²+bx+c，它的图象经过P,Q,M
三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
a b c 5, a b c 3, 4a 2b c 9.
归纳：若已知二次函数图象的顶点坐标和图象 上的另外任意一点的坐标，可用顶点式求二次 函数的表达式。
现学现用：
2、已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过 B(3,0), 求二次函数解析式.
解：∵抛物线顶点为A(1,-4), ∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4, 把点B（3，0）代入得0=4a-4, ∴a=1, ∴y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3
a 0 解得 b 4
c 1
因此，一次函数 y=- 4x-1 的图象经过P,Q,M三点.这说明没 有一个这样的二次函数，它的图象经过P,Q,M三点.
归纳：
1、若已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可用 一般式求二次函数的表达式
2、 例2表明：若给定共线三点的坐标，不能确定二次 函数，而给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标 两两不等，则可以确定一个二次函数。
∴二次函数解析式为y=-x2+x+2
思考：除了上述方法外，你还能用其他的方法来 求解吗？
课外拓展：二次函数的第3种表达式 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0),其中（x1 ,0）（ x2 ，0）
是二次函数图象与x轴的两个交点。 当已知抛物线与x轴的两个交点或交点的横坐标时，通
二次函数和二次方程
y
-1
2x
01 x
2
1x
Δ=b2-4ac Δ>0
ax2+bx+c=0 （a>0）
y=ax2+bx+c (a>0)
Δ=0
Δ<0
方程无实数根
一般的,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根就是二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的 值为 _0_时_自__变__量__x_的值;
也就是函数_y_=_a_x_2+__bx_+__c的图象与_x_轴交点 的_横__坐标.
②方程 x2 2x 1 0与函数 y x2 2x 1 ③方程 x 22x 3 0与函数 y x2 2x 3
y
y
y
-1
3x
01 x
2
1x
二次函数解析式常用的三种格式：
①一般式：y ax2 bx c (a,b,c为常数，a ）0
②顶点式：y a(x h)2 k (a,h,k为常数，a ）0
③交点式：y a(x x1)(x x2 )(a,x1,x2为常数，a 0）
(3)试比较 f (4) f (1), f (0) f (2) 与0的大小关系.
讨论:二次函数y=f(x)，若f(m)f(n)<0, 且m<n，那么一定能说明在区间[m,n] 内一定有零点吗?
思考：若x0是二次函数y=f(x)的零点, 且m<x0<n,那么f(m)f(n)<0一定成立吗?
②在区间[2，4]上有零点_X_=_3_，f (2) f (4)＜__ 0。
例2:如图是一个二次函数 y f (x) 的图象. (1)写出这个二次函数的零点.
中考二次函数常见题型
中考二次函数常见题型
中考二次函数常见题型包括：
1. 确定二次函数的表达式：根据已知条件，如顶点坐标、与x轴的交点坐标等，使用待定系数法求出二次函数的表达式。
2. 二次函数与一元一次方程的关系：根据二次函数图象与x轴的交点，求得一元二次方程的根。
3. 二次函数的增减性：根据二次函数的开口方向以及对称轴，判断函数的增减性。
4. 二次函数图象的平移：通过平移规则，将一个二次函数图象平移到指定位置，再根据平移后的顶点坐标求得新的二次函数表达式。
5. 二次函数的最值问题：根据二次函数的顶点和开口方向，求得函数的最大值或最小值。
6. 二次函数与几何图形的综合题：例如，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的动点，探究四边形ABCP的面积的最大值等。
这些题型涵盖了中考中二次函数的主要考点，可以通过针对性的练习加以掌握。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数知识点总结二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
与一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b和c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二次函数的根本形式是y=ax²。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标是（0,0），对称轴是y轴。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=0时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=ax²+c时，顶点坐标是（0,c），对称轴是y轴。
其他性质与y=ax²相同。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²时，顶点坐标是（h,0），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=h时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²+k时，顶点坐标是（h,k），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
其他性质与y=a(x-h)²相同。
平移二次函数的图像，可以将抛物线的顶点平移到（h,k）处。
具体方法是保持抛物线形状不变，将其顶点平移到（h,k）处。
如果k>0，则向上平移|k|个单位；如果k<0，则向下平移|k|个单位。
y=ax^2+k向右移动h个单位（h>0）或向左移动|h|个单位（h0）或向下移动|k|个单位（k<0）。
y=a(x-h)^2向上移动k个单位（k>0）或向下移动|k|个单位（k<0），平移规律为“左加右减，上加下减”，概括为八个字。
另一种方法是对于y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单位向上（下）为y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿轴平移m个单位向左（右）为y=a(x+m)^2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)^2+b(x-m)+c）。
对于二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax+bx+c，两者是不同的表达形式，通过配方可以得到y=ax^2+bx+c，其中h=-b/2a，k=a(h^2)+b(h)+c。
确定二次函数的表达式(经典)
1
复习提问：
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式?
AB 6CB AB 3,OC 0.9 2
B(3,0.9)代入y ax2中,0.9 a 32
a 0.1因此这段抛物线对应的二次
图 26.2.6
函数表示式为y 0.1x2 (3 x 3)
11
谈谈你的收获
12
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59 5
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为
(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为：
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
13
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
确定二次函数的表达式
讲授新知
小结3： （1）确定二次函数的表达式最多需要3个条件. （2）已知二次函数的图象与x轴的交点坐标时， 常常设二次函数表达式为交点式的形式.
讲授新知
➢ 随堂练习 已知二次函数的图象经过点（0，2），
（1，0）和（-2，3），求这个二次函数的 表达式.
y = - 1 x2 - 3 x + 2 22
答案不唯一，如二次函数y=x2+bx+c的图象经过 （0，1）与（-1，3）两点.
讲授新知
➢ 做一做 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为
1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二 次函数的表达式.
y=2x2-2x+1
讲授新知
例3 已知二次函数的图象经过（-1，10），（1， 4），（2， 7）三点，求这个二次函数的解析式，并 写出它的对称轴和顶点坐标. 解：设所求的二次函数表达式为y=ax2+bx+c. 将三点 （-1，10），（1，4），（2， 7）的坐标
讲授新知
思考1:二次函数表达式中，有几项的系数未知？ 我们用几个条件确定出了函数表达式？
例1中有两项的系数未知，用两个条件确定出了 函数表达式，若二次函数表达式中有三项的系数未 知，就需要用三个条件确定出函数表达式.
讲授新知
例2 已知二次函数的图象经过点A（2，3），且其 顶点坐标为（-1，-6），求二次函数的表达式.
课堂小结
1.二次函数表达式的三种形式分别是什么？ 2.确定二次函数表达式所需的条件有几个？ 3.如何选择二次函数表达式的形式？
布置作业
1.教材第43页习题2.6第1，2题. 2.教材第45页习题2.7第1，2，3题.
复习提问
二次函数的概念是什么？ 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系 可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的 形式，则称y是x的二次函数. 注意：含x项的最高次数是2，且二次项系 数不能为0.
确定二次函数表达式(已知三个条件)
上时，ON=t，MN= 3t，所以S= 3 t2（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
2
值不变为 2 3，所以S= 3t（2≤t≤4），故选C.
你学到哪些二次函数表达式的求法？ （1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值， 通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
a
1 3
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，
a=2,
由条件得： a+b+c=4， 解方程组得： b=-3,
4a+2b+c=7，
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
3 确定二次函数的表达式
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
二次函数的六种表达式
二次函数的六种表达式一、标准式二次函数的标准式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为常数，a不为0。
其中a决定了二次函数的开口方向和开口程度，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点位置。
在应用中，可以通过标准式方程确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过标准式方程求解二次方程，解决实际问题。
二、顶点式二次函数的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为常数，a不为0。
其中(h,k)为二次函数的顶点坐标。
通过顶点式可以方便地确定二次函数的顶点坐标，进而画出函数图像。
同时，可以通过顶点式进行函数的变形，例如平移、压缩、拉伸等操作。
三、描点式二次函数的描点式为y-y₁=a(x-x₁)²，其中(x₁,y₁)为已知点，a为常数且不为0。
通过描点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过描点式求解二次方程，解决实际问题。
四、导数式二次函数的导数式为y'=2ax+b，其中a、b均为常数，a不为0。
通过导数式可以方便地确定二次函数的斜率，进而画出函数图像。
同时，可以通过导数式求解二次方程的极值，解决实际问题。
五、交点式二次函数的交点式为y=k(x-x₁)(x-x₂)，其中k、x₁、x₂均为常数，k 不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。
通过交点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过交点式求解二次方程，解决实际问题。
六、因式分解式二次函数的因式分解式为y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中a、x₁、x₂均为常数，a不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。
通过因式分解式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过因式分解式求解二次方程，解决实际问题。
二次函数有六种常见的表达式，每种表达式都有其特点和应用。
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
二次元函数的所有公式方程
二次元函数的所有公式方程I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图象在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2;的图象，可以看出，二次函数的图象是一条抛物线二次元公式只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）。
一元二次方程有5种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、图象法。
公式法不能解没有实数根的方程（也就是b²-4ac<0的方程），其它所有一元二次方程都能解。
因式分解法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解因式，使等号右边化为0。
配方法比较简单：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完全平方式，再开方就得解了。
成立条件：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
二次函数
2009-2010年学年度下学期九年数学参考资料二次函数2009-11-11目录1、定义与定义表达式 (3)2、二次函数的图像 (3)3、抛物线的性质 (3)4、二次函数与一元二次方程 (5)5、中考典例 (7)1、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
顶点式：y=a(x-h)²+k或y=a(x+m)²+k (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)重要概念：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
）二次函数表达式的右边通常为二次。
x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)2、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方;的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
3、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
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二次函数与一元二次方程的关系及确定二次函数的表达式
一、二次函数与一元二次方程的关系
回顾：对于一元二次方程()0,02≠=++a c bx ax
①当△>0时，方程有两个 的实数根；
②当△=0时，方程有两个 的实数根；
③当△<0时，方程 实数根；
:1eg 判断下列方程根的情况：
① 0322=--x x ②0122=+-x x ③0322=+-x x
:2eg 求下列二次函数与x 轴的交点坐标：
① 322--=x x y ②122+-=x x y ③322+-=x x y
小结：一般地，对于二次函数()0,2≠++=a c bx ax y ，△=ac b 42-
①当△>0时，二次函数与x 轴有 个交点；
②当△=0时，二次函数与x 轴有 个交点；
③当△<0时，二次函数与x 轴 交点；
练习：1.若二次函数k x x y +-=22与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 。
2. 若二次函数122+-=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 。
3. 若二次函数132+-=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 。
4. 若二次函数k x x y +-=22与x 轴没有交点，则k 的取值范围是 。
二、交点式
观察思考：
交点式：形如()()()0,21≠--=a x x x x a y
作用：通过交点式可以直接求出二次函数与x 轴的交点。
:eg 指出下列二次函数的图像特征：
① )1)(3(2-+=x x y ②)4)(2(2+--=x x y
二、确定二次函数的表达式
二次函数的三种形式：
① 一般式：
()0,2≠++=a c bx ax y ② 顶点式：()()0,2≠+-=a k h x a y
③ 交点式：()()()0,21≠--=a x x x x a y
例1. 已知二次函数()0,2≠++=a c bx ax y 的图像过A （-1，0），B （2，-3），C （0，-3），
求该二次函数的表达式。
练习：1.已知二次函数的图像过A （-1，0），B （1，4），C （0，3），求该二次函数的表达式。
2. 已知二次函数的图像过A （-1，8），B （1，-4），C （0，0），求该二次函数的表达式。
3. 已知二次函数的图像过A （-1，-3），B （1，5），C （2，3），求该二次函数的表达式。
小结：已知二次函数过三个已知点，选择一般式。
例2. 已知二次函数的图像过点A（1，-2），且顶点坐标（2，-3），求该二次函数的表达式。
练习：1. 已知二次函数的图像过点A（1，-5），且顶点坐标（-1，3），求该二次函数的表达式。
2. 已知二次函数的图像过点A（2，-4），且顶点坐标（1，-5），求该二次函数的表达式。
3. 已知二次函数的图像过点A（-1，-1），B（0，-4），且对称轴为x=1，求该二次函数的表达式。
4. 已知二次函数的图像过点A（0，-7），B（2，1），且对称轴为x=3，求该二次函数的表达式。
小结：若已知顶点坐标或对称轴，选择顶点式。
例3. 已知二次函数与x轴交于A（-1,0），B（3，0），且经过点C（1，-8），求该二次函数的表达式。
练习：1. 已知二次函数与x轴交于A（-3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，3），求该二次函数的表达式。
2. 已知二次函数与x轴交于A（-2，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，4），求该二次函数的表达式及其顶点坐标。
小结：已知函数图像与x轴交点，选择交点式。
求二次函数表达式的方法总结
1. 已知二次函数过三个已知点，选择一般式。
2. 若已知顶点坐标或对称轴，选择顶点式。
3. 已知函数图像与x轴交点，选择交点式。