24.4.2圆锥的侧面积和全面积

• 1） a = 4，r = 3 则 n =________
探究新知 你能探究展开图中的圆心角n与 r 、 a 之间的关系吗？ 因为：扇形的弧长等于底面圆的周长
n a 所以： 2r 180
∴
360r= na
n
∴ n=
360 r a
练习、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角 n （r、h、R分别是圆锥的底面半径、高线、母 线长） （1） a = 4，r = 3 则 n =________ h=4 , r=3 则 n= ----（2）a = 2，r = 1 则 n=________
当圆锥底面半径 r与母线a的比为1：2时， 圆锥的侧面展开图为半圆。
拓展提高
• 如图，一个直角三角形两直角边分 别为12cm和5cm，以它的一直角 边为轴旋转一周得到一个几何体， 求这个几何体的表面积。
变式：已知：在RtΔ ABC,
C 90 . AB 13cm, BC 5cm
0
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。
知识回顾
一、圆的周长公式
二、圆的面积公式 三、弧长的计算公式 四、扇形面积计算公式
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☆学习目标
1.了解圆锥，圆锥的母线，圆锥的高的概念。
2.理解圆锥的侧面展开图与扇形之间的联系。
3.会求圆锥的侧面积和全面积。（重点）
点击概念
圆锥的认识
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它
的底面是一个圆,侧面是一个曲面.
r
练习：一个圆锥形零件的高4cm， 底面半径3cm，求这个圆锥形零件 的侧面积和全面积。
P
s侧 π 3 5 15π（cm ）
2
s全 = s侧 + s底
h
a
= 15π + 9π
B
A
O
r
= 24π cm
( )
2
题型一：直接套用公式求侧面积
【例 1】 （1）已知圆锥的底面半径是 3cm，母线长为 6cm，则侧面积为
s全 s侧 s底 ra r
2
n
☆归纳
在理解的基础上熟记，时间：1分钟
母线a
1、圆锥的侧面展开图是一个扇形。
2、扇形的半径——圆锥的母线
3、扇形的弧长——圆锥的底面圆周长
4、设圆锥的母线长为a,底面圆半径为r，
S 侧 =πra
(r表示圆锥底面的半径, a 表示圆锥的母线长 )
s全 s侧 s底 ra r
2 ________cm ． 18π
（2）已知圆锥的高是 30cm，母线长是 50cm，则圆锥的侧面积
2000πcm2 是 . 全面积是---------3600πcm2
50 30
题型二：求侧面展开图的圆心角的度数 根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角 n（r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、 母线长）
到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什 么关系？ 2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆 锥中的哪一条线段相等？
1.圆锥的侧面展开图是扇形
2.侧面展开图扇形的
S
半径=母线的长
3.侧面展开图扇形的 弧长=底面圆的周长
O B
A
圆锥及侧面展开图的相关概念
探究 圆锥的侧面积和全(表）面积
S侧=S扇形 ½*2πra ra
4、 如图，h=3, r=4 则 扇形的圆心 角 n =__________
如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁 要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一 圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n° 连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线 ∵ 圆锥底面半径为1, B’ A ∴ l 弧BB’=2π 6nπ 又∵ l 弧BB’= 180 6 6nπ ∴ 2π= 180 解得: n=60
10cm 锥的母线长为_______
r
童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其圆锥 形帽身的母线长为15cm,底面半 径 为5cm,生产这种帽身10000个,你 能 帮玩具厂算一算至少需多少平方 米的材料吗(不计接缝用料和余料)?
探究 5.圆锥的侧面积和全面积
问题: 1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得
∴ △ABB’是等边三角形 ∴ BB’=AB=6
答:蚂蚁爬行的最短路线为6.
B
1
C
变式：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3， 一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面 爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬 行的最短路线是多少？ 将圆锥沿AB展开成扇形ABB’
A 解 ： 将圆锥沿 将圆锥沿 AB 展开成扇形 AB ， 则点 CB 是 解： 将圆锥沿AB展开成扇形ABB′，解 则点 C是BB′的中点 ，：过点 BAB 作 BD ⊥ AC ，是 解 将圆锥沿 展开成 ： AB 展开成扇形 BB ，AB 则点 C 解： 将圆锥沿 AB 展开成扇形 AB ， 则点 C ′的中点 解 ： AB 展开成扇形 AB B C 是 BB ， 垂足为 D . ⊥AB ′， 则点 ， 将圆锥沿 展开成扇形 则点 C是 垂足为 D .AB 垂足为 D .BD 成扇形 AB B B B′将圆锥沿 的中点， 过点 B 作 AC ， 垂足为 D . ′， 则点C是 垂足为 D .r 垂足为D. 垂足为 D .r r r ∠ BA B 360 120 ∠BAB 360 120 B 360 120 BA ∠BAB′= ×360° = 120° a a r r r l l C B BA B 360 120 ∠ BA B′=° × 360 ° = 120 ° ∠BAB′= ×360 ° = 120 ∴ ∠ BAD 60 . 在 Rt Δ ABC 中 ， ∠ 60 , ° ∠ BAD 60 . 在 Rt Δ ABC 中 ， ∠ BAD 60 , AB BAD 60 BAD .在 Rt ABC l l l ∴∠BAD = 60° .在RtΔABC中， ∠BAD = 60° , AB = 3. 3 3 BAD 60 ， .在 Rt Δ ABC 中 ，° BAD 60 ,A 3 ∴ ∠ BAD = 60 ° .在 Rt ABC 中 ， ∠ BAD = 60 ∴ ∠ BAD = 60 ° . 在 Rt Δ ABC 中 ∠ BAD = 60 , AB = 3 . ∴ BD 3 BD 3 BC中， ∠ , AB = 3. BD 3 3BAD = 60° 2 2 ∴ BD = 3 3 2 3 3 BD 2 BD =2 3 3 ∴ BD = 3 ∴ 33 答： 它爬行的最短路线是 3.3. 它爬行的最短路线是 2 答： 它爬行的最短路线 32 22 33 答： 它爬行的最短路线是 3. 答： 它爬行的最短路线是 3 3.3. 3 答： 它爬行的最短路线是 3. 答： 它爬行的最短路线是 2 22 线是 3. 2 2
2
例1.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其 圆锥形帽身的母线长为15cm,底面半 径为5cm,生产这种帽身10000个,你 能帮玩具厂算一算至少需多少平方 米的材料吗(不计接缝用料和余料)?
解:∵ a =15cm,r=5cm, ∴S 圆锥侧 = πra =π×15×5 =75 π ∴ 75 π×10000=750000π(cm2) 答:至少需 750000π平方米的材料. a
A
D
C
B
☆当堂训练（看谁做的又快又好）
1.已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则这个 圆锥的高为_______
2.已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，则这个 圆锥的侧面积为_________，全面积__________
3.已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65c㎡，扇形的 弧长为10㎝，则圆锥的母线长是_____
2.连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点
的线段叫做圆锥的母线
问题：圆锥的母线有几条？ 3.连结顶点与底面圆心的线段
叫做圆锥的高
图中
h
a
a是圆锥的母线, h 就是圆锥的高
r 是底面圆的半径
r
探究新知
4、圆锥的底面半径、高线、母 线长三者之间的关系:
h r a
2
2
2
a
例如：已知一个圆锥的高为
h
O
6cm，半径为8cm，则这个圆