062高数期中A
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
高数期中试题A卷与答案
y
其中 Dz : e 2 x y 2,0 x ln 2 2 2. 【 积.
0.389 】求第一卦限中由曲面 z 1 x 2 y 2 ， y x ， y 3x 及 z 0 所围成的立体的体 7
2 1
Dz y=e2x
x
1 2 0
V dv 3 d d
2.333 】 3
y lim(1 ) x e k . x x y k
.
三、解答下列各题（每小题 6 分，共 24 分） ： 2.278 1. 【 】设函数 z z ( x, y ) 由方程 z 3 2 xz y 0 所确定,求 z 6 y
6z （
2 ， z (1,1,1)
订
订
分的闭区域。 4. 【
3.889 】 求函数 f x, y 2xy 3x 2 2 y 2 的极值。 6
【法一】
专业班级
f x 2 y 6 x 0, 得 (0, 0) 为驻点，又 f xx 6, f xy 2, f yy 4, f ( x, y) 2 xy 3x 2 2 y 2 , 令 f y 2 x 4 y 0, H AC B2 (6) (4) 22 20 0, A 6 0, 所以函数在(0，0) 处有极大值 f (0,0) 0.
2
由于 z x 2 y 2 ， 学号
z z 2x ， 2 y ， D : x2 y2 1 ， x y
dz
0
2
ln 2 2 0
ln y 2y 2 2 2 e e 2y e2y dxdy dz dx 2 x dy dz dy 2 dx 0 e ln y 0 1 ln y 0 ln y Dz
大学高等数学-(A)期中试卷(含答案)
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、填空题 （每小题4分，共20XX 分）1、22lim sin 1x xx x →∞=+ 。
2、1lim(ln )n n n n →∞= 。
3、设321)(+=x x f ，则()(0)n f = 。
4、已知232,()arctan 32x y f f x x x -⎛⎫'== ⎪+⎝⎭，求0|x dy dx == 。
5、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,0,2arcsin 1)(2tan 3x ae x xe xf xx在0=x 处连续，则=a 。
二、单项选择题 （每小题4分，共20XX 分）1、设ln ||()sin |1|x f x x x =-，则)(x f 有（ ）。
A. 一个可去间断点，一个跳跃间断点 B. 两个无穷间断点 C. 一个跳跃间断点，一个无穷间断点 D. 两个跳跃间断点 2、 若0→x 时，2)(kx x f =与x x x x g cos arcsin 1)(-+=是等价无穷小，则k 等于（ ）。
A. 1B. 32C. 43D. 23、 设)(x y y =是由方程1+=+x e xy y所确定的隐函数，则022|=x dxyd 等于（ ）。
A. 3-B. 2-C. 1-D. 0 4、设)(x f 处处可导，则（ ）。
A. 当lim ()x f x →-∞=-∞，必有lim ()x f x →-∞'=-∞B. 当lim ()x f x →-∞'=-∞，必有lim ()x f x →-∞=-∞厦门大学《高等数学（A ）》期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业C. 当lim ()x f x →+∞=+∞，必有lim ()x f x →+∞'=+∞D. 当lim ()x f x →+∞'=+∞，必有lim ()x f x →+∞=+∞5、设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆ 的线性主部为1.0，则)1('f 等于（ ）。
高等数学期中A考卷及答案 海大
高等数学试卷大题 一二三四五六七八九十成绩一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f x '(,)32=（ ）(A) 59 (B) 56 (C) 58 (D) 552、设曲面z xy =在点(,,)326处的切平面为S ，则点(,,)124-到S 的距离为（ ） （A ）-14 （B ）14 （C ）14（D ）-143、设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 ( )4、函数y x z 2+=在点（3，5）沿各方向的方向导数的最大值为（ ）(A)5 (B) 0 (C) 3(D) 25、曲线2,ln ),1sin(t z t y t x ==-=在对应于1=t 点处的切线方程是（ ） (A) 1111-==z y x ; (B) 21111-=-=z y x ; (C)2111-==z y x ; (D) 211z y x ==. 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、设u xy yx=+，则∂∂∂2u x y = 。
2、设f x y (,)有连续偏导数，u f e e xy=(,)，则d u = 。
3、设L 是从点A (－1，－1)沿曲线x 2+xy +y 2=3经点E (1，－2)到点B (1，1)曲线段，则曲线积分________.4、设u f x y =(,)在极坐标：x r y r ==cos ,sin θθ下，不依赖于r ，即u =ϕθ()，其中ϕθ()有二阶连续导数，则∂∂∂∂2222u x uy+=________________.5、设,则I =________________。
三、解答下列各题 ( 本 大 题8分 )曲面S 1x y z =，求该曲面的切平面使其在三个坐标轴上截距之积最大。
高数期中考试(下)(A)参考答案
y
2 14
,
1 14
,
6 14
) 即为所求点
f y ( x, y ) = λe y sin x + 2 cos x sin 2 y = 0
π
8
（也可以用柱坐标）
广东工业大学试卷用纸，共
页，第
页
五、
∫∫ x[1 + yf (x
D
2
+ y 2 dxdy = ∫∫ xdxdy + ∫∫ xyf ( x 2 + y 2 )dxdy
D
1 1
)]
D
1 1 1 xdx ∫ 3 f ( x 2 + y 2 )d ( x 2 + y 2 ) x 2 ∫−1
D −1
)]
2 dy ＝ − （本题也可以用挖补法求解） 5
六、设曲面上点 ( x, y , z ) 到平面的距离为 d ，则 d =
x − 2 y + 3z − 1 14
14d 2 = ( x − 2 y + 3 z − 1) 2 ，且 z = 2 + x 2 + 4 y 2
令 F = ( x − 2 y + 3 z − 1) + λ ( 2 + x + 4 y − z )
3． （用球坐标） Ω ： 0 ≤ θ ≤ 2π 由对称性
π
4
0 ≤ r ≤1
∫∫∫ (x + z )dV ＝ ∫∫∫ zdxdydz
Ω Ω
高等数学期中考试试卷及答案
高等数学期中考试试卷及答案XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷一、判断题（每题2分，共10分）1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。
（×）2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。
（×）3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√）4、limx→∞ sinx/x = 0.（√）5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。
（√）二、填空题（每题2分，共10分）1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2）2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1）3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。
（答案为(1.e^1)）4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。
（答案为-1/(x^2-2x+2)）5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。
（答案为x^2/2）三、单项选择题（每题2分，共10分）1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。
2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。
3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。
(以上等式都不成立)4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。
5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。
四、计算下列极限（每题6分，共18分）1、lim(x+1-x^-1) = 2.2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.五、计算下列各题（每题6分，共18分）1、y=e^(sin^2x)。
2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，，则等于( )A.B.C.D.2. 中，点、、分别为、、的中点，则 A.B.C.D.3. 吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式．开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高．从河里打捞上来的条开河鱼的重量（单位：千克）分别为，，，，，则这组数据的中位数是________.A.B.C.D.4. 设，，则“”是“”的( )A.充要条件A ={x|<4}2xB ={x|y =}x −1−−−−−√A ∩B (2,+∞)[1,+∞)(1,2)[1,2)△ABC D E F AB BC CA −=(AF −→−DB −→−)FD−→−FC−→−FE−→−BE−→−61.58 1.43 1.63 1.85 1.71 1.67.1.631.671.641.65x >0y ∈R x >y x >|y |B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球6. （理）在正方体中，点在上，且，则（ ）A.B.C.D.7. 定义在上的偶函数满足，且在区间上是增函数，若，是锐角三角形的两个内角，则( )A.B.C.D.8. 以和为端点的线段的中垂线方程是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）22ABCD −A 1B 1C 1D 1E A 1C 1|E |=||A 114A 1C 1=x +y +z AE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−x =1,y =，z =1212x =，y =1，z =1212x =1,y =，z =1312x =1,y =，z =1414R f (x)f (x +2)=f (−x)[−3,−2]A B f (sin A)>f (cos B)f (sin A)<f (cos B)f (sin A)>f (sin B)f (cos A)>f (cos B)A(1,3)B(−5,1)AB 3x −y +8=0x −3y +8=03x +y +8=03x +y +4=09. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是 A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为10. 已知函数 若，且，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.11. 已知是边长为的等边三角形，，分别是， 上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.在方向上的投影为12. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为，，下列结论正确的是( )A.的离心率为B.的渐近线方程为1213()+1213×1213×+×122312131−×1223f(x)={−−2x ，x ≤0，x 2|x|，x >0，log 2<<<x 1x 2x 3x 4f()=f()=f()=f()x 1x 2x 3x 4+=−1x 1x 2=1x 3x 41<<2x 40<<1x 1x 2x 3x 4△ABC 2D E AC AB =AE −→−EB −→−=2AD −→−DC −→−BD CE O ⋅=−1AB −→−CE −→−+=OE −→−OC −→−0→|++|=OA −→−OB −→−OC −→−3–√2ED −→−BC −→−76P C:−=1x 2y 23C F 1F 2C 2C y =±x 3–√3C.动点到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点在双曲线的左支上时，的最大值为卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 如图，已知正方形边长为，点，分别为线段，上一点，且，，为内一点（含边界），设（，为实数），则的最大值为________．14. 已知直线，直线．若直线的倾斜角为，则________；若，则两平行直线间的距离为________．15. 已知函数的图像恒过定点，若点在一次函数的图像上，其中，则的最小值是________．16. 已知棱长为的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知两直线与，求与间的距离．18. 已知甲袋中装有只白球，只黑球；乙袋中装有只白球，只黑球．在甲袋中任取球，求取出的两球颜色不同的概率；若在甲、乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率．19. 已知函数图象的对称中心到对称轴的最短距离为．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，其中点是函数图象的一个对称中心．求的解析式；若，且，求的值．20. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形．PP C|P|F1|PF2|214OABC3M N BC AB2BM=MC AN=NB P△BNM=λ+μOP−→−OA−→−OC−→−λμλ−μ13:ax+y−1=0l1:x−y−3=0l2l1π3a= //l1l2A A2:6x−8y−3=0l1:3x−4y+6=0l2l1l22423(1)2(2)f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)π8f(x)2π3g(x)(,0)π12g(x)(1)g(x)(2)g(A)=6–√3<A<5π243π4cos2AABCD−A1B1C1D1ABCD2证明：平面；求异面直线与所成角的大小．21. 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题（共题）和选答题（共题）两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.求甲恰好答对道必答题的概率；在选答阶段，若选择回答且答对奖励分，答错扣分，选择放弃回答得分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列． 22. 如图，在四棱锥中，，，且，，，和分别是棱和的中点．求证：；求直线与平面所成的角的正弦值．(1)//A 1C 1ACD 1(2)CD AD 1524525(1)4(2)52012X P −ABCD ∠PAB =90°AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘E F CD PC (1)CD ⊥BF (2)PB PCD参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，所以．故选．2.【答案】D【考点】向量的减法及其几何意义【解析】本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由、、分别为、、的中点，我们易得，然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量，即可求出答案．【解答】解：如下图所示：A B A ={x|<4}={x|x <2}2x B ={x|y =}={x|x ≥1}x −1−−−−−√A ∩B ={x|1≤x <2}=[1,2)D D E F AB BC CA −==AF −→−DB −→−12BC −→−DF −→−DF −→−中，点、、分别为、、的中点则．故选．3.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：将条开河鱼的重量按照从小到大的顺序排列为，，，，，1.，则中位数为.故答案为：.4.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设，，△ABC D E F AB BC CA−AF −→−DB −→−=−12AC −→−12AB−→−=(−)12AC −→−AB −→−===12BC −→−DF −→−BE −→−D 6 1.43 1.581.63 1.67 1.7185(1.63+1.67)=1.65121.65x >0y ∈R x >|y |当，时，满足，但不满足，故“”推不出“”，充分性不成立；而“”“”，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.故选.5.【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴不正确对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴不正确对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴正确对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴不正确6.【答案】D【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用向量的加减运算，借助于空间向量的基本定理，空间任意一个向量都可用不共面的基向量唯一表示可求．【解答】解：由题意，，故选．7.【答案】x =1y =−1x >y x >|y |x >y x >|y |x >|y |⇒x >y x >y x >|y |C A A B B C C D D =+=+=+(+)AE −→−AA 1−→−E A 1−→−AA 1−→−14A 1C 1−→−−AA 1−→−14AB −→−AD −→−DB【考点】函数的周期性运用诱导公式化简求值函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】【解答】解：因为偶函数满足，所以，即函数是周期为的函数，又在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是减函数；又，是锐角三角形的两个内角，所以即，因此，即，所以 .故选．8.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程【解析】先求出线段的中垂线的斜率，再求出线段的中点的坐标，点斜式写出的中垂线得方程，并化为一般式．f (x)f (x +2)=f (−x)f (x +2)=f (−x)=f (x)f (x)2f (x)[−3,−2]f (x)[−1,0]y f (x)[0,1]A BA +B >，π20<A <，π20<B <，π20<−B <A <π2π20<sin(−B)<sin A <1π20<cos B <sin A <1f (sin A)<f (cos B)B AB AB AB【解答】解：直线的斜率为，所以线段的中垂线得斜率，又线段的中点为，所以线段的中垂线得方程为即，故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,D【考点】相互独立事件【解析】①目标恰好被命中一次即是：甲中而乙不中，乙中而甲不中，再依据结论：若，相互独立，则，即可得到正确结论；②目标恰好被命中两次表示甲中并且乙中，再依据结论，即可得到正确结论；③目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；④结合题意，目标没命中为目标被命中的对立事件，依据结论：若，相互对立，则，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，甲、乙两人射击是否命中目标相互独立．目标恰好被命中一次的概率为，故错误；由于目标恰好被命中两次，则两人全部命中，其概率为，故正确；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为，故错误；由于目标没命中的概率是，则目标被命中的概率为，故正确．故答案为．10.【答案】B,C,D【考点】分段函数的应用函数的图象AB =1−3−5−113AB k =−3AB (−2,2)AB y −2=−3(x +2)3x +y +4=0D A B P(AB)=P(A)⋅P(B)A B P(A)=1−P(B)×(1−)+×(1−)12131312×1213×(1−)+×(1−)+×121313121213(1−)×(1−)=×121312231−×1223BD【解析】此题暂无解析【解答】解：画出函数的大致图象如下图，得出，，故错误，正确；由图可知，故正确；因为，，所以，故正确．故选．11.【答案】B,C,D【考点】向量的模向量的加法及其几何意义平面向量数量积向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，为中点，则，如图，以为原点，，分别为轴， 轴正方向建立平面直角坐标系．f(x)+=−2x 1x 2=1x 3x 4A B 1<<2x 4C −2<<−1x 1=(−2−)x 1x 2x 1x 1=−−2=−(+1+1∈(0,1)x 21x 1x 1)2=∈(0,1)x 1x 2x 3x 4x 1x 2D BCD E AB CE ⊥AB E EA EC x y所以，，，，.设，，因为，，而，所以 ，解得，所以，所以是的中点.选项， ，所以，故选项错误；选项，因为是的中点，所以，故选项正确；选项， ，所以，故选项正确；选项， ，，所以在方向上的投影为：，故选项正确．故选．12.【答案】A,C【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率基本不等式在最值问题中的应用点到直线的距离公式E (0,0)A (1,0)B (−1,0)C (0,)3–√D (,)1323–√3O (0,y)y ∈(0,)3–√=(1,y)BO −→−=(−,y −)DO −→−1323–√3//BO −→−DO −→−y −=−y 23–√213y =3–√2O(0,)3–√2O CE A ⊥AB −→−CE −→−⋅=0AB −→−CE −→−A B O CE +=OE −→−OC −→−0→B C ++=2+=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−OC −→−OE −→−|++|=||=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−3–√2C D =(,)ED −→−1323–√3=(1,)BC −→−3–√ED −→−BC −→−==⋅ED −→−BC −→−|BC|+213276D BCD【解析】此题暂无解析【解答】解：对于双曲线 ，，，，∴双曲线的离心率为，渐近线方程为，故选项正确，选项错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为：和，则点到两条渐近线的距离之积为： ，故选项正确；当动点在双曲线的左支上时， ，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，故选项错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】向量在几何中的应用【解析】如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到，构造目标函数，利用可行域即可求出最值．【解答】C :−=1x 2y 23a =1b =3–√c =2C e ==2cay =±x 3–√A B P (,)x 0y 0−=1x 20y 203C x −y =03–√3x +y =03–√3P |−||+|x 03√3y 0x 03√3y 01+()3√32−−−−−−−−−√1+(−)3√32−−−−−−−−−−√==|−|x 20y 2034334C P C |P |≥c −a =1F 1|P |=2a +|P |=|P |+2F 2F 1F 1|P |F 1|PF 2|2=|P |F 1(|P |+2)F 12=|P |F 1|P +4+4|P |F 1|2F 1=1|P |++4F 14|P |F 1≤=12+4|P |⋅F 14|P |F 1−−−−−−−−−−√18|P |=2F 1|P |F 1|PF 2|218D AC 56OA x OC y λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919OA OC解：如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，则，，，，∵，，∴，，设，∵（，为实数），∴，∴，即，∴，令，即，由，，得到直线的方程为，则，满足的区域为，如图所示，当目标函数，过点时，最大，则，∴故答案为：14.【答案】,【考点】两条平行直线间的距离直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，对于直线，变形可得，若其倾斜角为，则其斜率，则有，即．对于直线，直线，若，则有，解得，则的方程可以变形为．OA x OC y O(0,0)A(3,0)C(0.3)B(3,3)2BM =MC AN =NB M(1,3)N(3,)32P(x,y)=λ+μOP −→−OA −→−OC −→−λμ=λ(3,0)+μ(0,3)=(3λ,3μ)OP −→−{x =3λy =3μλ=x 3μ=y3λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919z =3x −y y =3x −z M(1,3)N(3,)32MN 3x +4x −15=0x y1≤x ≤3≤y ≤3323x +4y −15≥0z =3x −y N(3,)32Z =3×3−=9−=z max 3232152(λ−μ)max =×=13191525656−3–√22–√:ax +y −1=0l 1y =−ax +1π3k =tan =π33–√−a =3–√a =−3–√:ax +y −1=0l 1:x −y −3=0l 2//l 1l 2a ×(−1)+1×1=0a =−1l 1x −y +1=0==2|1−(−3)|则两平行直线间的距离．故答案为：；．15.【答案】【考点】函数的概念及其构成要素空间两点间的距离公式【解析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解．【解答】由可得当时，，故点在一次函数的图像上，，即．当且仅当，即时等号成立，故的最小值是故答案为：16.【答案】【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）d ==2|1−(−3)|+(−112)2−−−−−−−−−√2–√−3–√22–√8A (4,1)2m +n =1+=(+)(2m +n)1m 2n 1m 2ny =(x −3)+1(a >0,a ≠1)log a x =4y =1A (4,1)A y =x +n m 21=×4+n m22m +n =1m >0,n >0+=(+)(2m +n)=++4≥2+4=81m 2n 1m 2n n m 4m n ⋅n m 4m n−−−−−−−√=n m 4m n m =,n =1412+1m 2n 8.8.【答案】解：，，把的方程化为，与间的距离．【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：，，把的方程化为，与间的距离．18.【答案】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815无【解答】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．19.【答案】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．【考点】正弦函数的周期性两角和与差的余弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6同角三角函数间的基本关系函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）答案未提供解析．【解答】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以 ，因为，所以．所以 ．20.【答案】（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）异面直线与所成角为．【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD AD 190∘【解答】解：（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）解：∵平面，平面，∴，∴异面直线与所成角为．21.【答案】解：甲恰好答对道必答题的概率为依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】解：甲恰好答对道必答题的概率为A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD ⊥ADD 1A 1A ⊂D 1ADD 1A 1CD ⊥AD 1CD AD 190∘(1)4P =()=.C 45()45415256625(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)4P =()=.C 45()45415256625=121依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为22.【答案】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，∵，，且，，∵，，(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）推导出四边形为矩形，从而平面，进而平面，由此能证明．（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的正弦值．【解答】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n → ⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6ABED AB ⊥PAD CD ⊥BEF CD ⊥BF A AB x AD y A ABCD z PD PBC (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z∵，，且，，∵，，∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n →⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6。
XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)
XXX《高等数学(A)》期中试卷(含答案)的区域为圆盘D，半径为t。
根据题意，有：limtx2y2t2f(x2y2)dxdyt4limtDf(x2y2)dxdyt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrdt4limt2t(t2r2) f(r2) rdrt4limt2t(1(r/t)2) f(r2) rdr t2令u=r/t，则上式变为：limt2t(1u2) f(t2u2) tdu t221(1u2) f(u2t2) du22f(0)limt01(1u2) du2f(0)因此，所求极限为f(0)。
2、解：eydydx = ∫e^x [y]0^1 dx = ∫e^x (3x) dx = 3∫x e^x dx 3[xe^x - ∫e^x dx] = 3xe^x - 3e^x + C因此，所求积分为3xe^x - 3e^x + C。
3、解：根据题意，有：xyz + x^2 + y^2 + z^2 = 2对两边同时求全微分，得：zdx + ydx + 2xdy + 2zdz = 0因此，有：dz = -(zdx + ydx + 2xdy) / (2z)在点(1.0.-1)处，有：z = f(x。
y) = 1 - x^2 - y^2y = 0，dx = 1，有：dz| (1,0,-1) = -dx / 2 = -1/2因此，所求导数为-1/2.4、解：根据题意，有：D: y = 4 - x^2.y = 2x - x^2.x + y = 0将y = 4 - x^2和y = 2x - x^2相减，得：2x - 4 = 0因此，x = 2，y = -2.将其带入原式，有：D (x^2 + y^2) dxdy = ∫0^2 ∫2x-x^2^4-x^2 dxdy 0^2 [(2x^3/3 - 2x^5/5) - (x^5/5 - x^7/21)] dx 16/15因此，所求积分为16/15.5、解：根据题意，有：z^2 = x^2 + y^2.z = 1将z带入第一个方程，得：x^2 + y^2 = 1因此，所求积分为：x^2 + z) dV = ∫0^2∫0^1 ∫0^(1-z^2) (x^2 + z) r dr dz d 0^2∫0^1 [(r^4/4 + r^2z^2/2) |0^(1-z^2)] dz d0^2 [(1/20)(1-z^2)^(5/2) + (1/6)(1-z^2)^(3/2)] dz2/15)(2 2 - 1)因此，所求积分为(2/15)(2 2 - 1)。
高等数学a2期中测试题及答案
高等数学a2期中测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x)=x^2+3x+2在x=-1处的导数是多少？A. -4B. -2C. 4D. 2答案：A3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫e^x dx = e^x + CC. ∫sin(x) dx = cos(x) + CD. ∫cos(x) dx = sin(x) + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f'(x)。
答案：6x-26. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/37. 求函数y=ln(x)的反函数。
答案：e^y8. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
答案：π/8三、解答题（每题10分，共60分）9. 求极限lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1)。
解：lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1) = lim(x→∞) (x^3/x^2) =lim(x→∞) x = ∞10. 求函数f(x)=x^3-6x+8的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2。
检查二阶导数f''(x)=6x，当x=√2时，f''(x)>0，因此x=√2是极小值点；当x=-√2时，f''(x)<0，因此x=-√2是极大值点。
11. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
安徽省2021-2022学年度高二下学期期中数学试卷(理科)A卷
安徽省2021-2022学年度高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·吉林期中) 设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则 =（）A . 2B . 1C .D . 62. （2分）设x,y,z,则，（）A . 都大于2B . 至少有一个大于2C . 至少有一个不小于2D . 至少有一个不大于23. （2分） (2020高二下·呼和浩特月考) 曲线：与曲线：公切线的条数是（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 用反证法证明命题“设、为实数，函数至少有一个零点”时要做的假设是（）A . 函数恰有两个零点B . 函数至多有一个零点C . 函数至多有两个零点D . 函数没有零点5. （2分）(2020·北京) 在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（）．A .B .C .D .6. （2分）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是（）①，②，③，④，⑤A . 2B . 3C . 4D . 57. （2分） (2019高二下·拉萨月考) 一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为（）．A . 8B . 12C . 16D . 248. （2分）(2017·山东模拟) 若实数a，b均不为零，且x2a= （x＞0），则（xa﹣2xb）9展开式中的常数项等于（）A . 672B . ﹣672C . ﹣762D . 7629. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则（）A . n＝8，p＝0.2B . n＝4，p＝0.4C . n＝5，p＝.32D . n＝7，p＝0.4510. （2分） (2019高三上·襄阳月考) 如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，为圆心，阴影部分所对的圆心角为；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A . 10种B . 25种C . 20种D . 32种12. （2分） (2019高二下·牡丹江期末) 如图,阴影部分的面积是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·普陀模拟) 设是虚数单位，若是实数，则实数 ________14. （1分）(2019·唐山模拟) 计算定积分 =________15. （1分） (2016高二下·通榆期中) 将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有________种．16. （1分）(2017·沈阳模拟) 某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人．投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知复数z1=1+2i，z2=2﹣2i，i为虚数单位．若复数az1+z2在复平面内对应的点在第三象限，求实数a的取值范围；18. （5分）(2017·吴江模拟) 已知a+b+c=1，证明：（a+1）2+（b+1）2+ ．19. （5分）某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?20. （10分） (2018高二下·葫芦岛期中) 已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．21. （15分） (2020高一上·开封期中) 已知函数 .（1）请在平面直角坐标系中，画出函数的草图；（2）写出函数的单调区间；（3）若，请根据函数的草图，写出实数的值.22. （10分） (2018高二下·雅安期中) 已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）若直线与的图象有三个不同的交点，求m的范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
高二数学下学期六校期中联考理A试题
2021学年第二学期高二年级六校联考期中试卷数 学〔理〕试题总分值：150分 考试时间是是：120分钟命题：杜桥中学高二备课组一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分. 在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．函数2sin y x x =+的导数为〔 ▲ 〕A ．'2sin y x x =+B ．'2cos y x x =+C ．'2sin y x x =-D ．'sin y x x =- 2．抛物线x y 102=的焦点到准线的间隔 是〔 ▲ 〕A ．25B ．5C ．10D ．20 3．命题：“假设1x =，那么21x =〞的逆否命题是 ( ▲ )A ．“假设21x ≠，那么1x ≠B ．假设21x =，那么1x =C ．假设1x ≠，那么21x ≠ D ．假设21x ≠，那么1x = 4．,a b 是实数，那么“1=a 且1=b 〞是“2=+b a 〞的 ( ▲ )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．命题p : 2是偶数,命题q :2是3的约数,那么以下命题为真命题的是〔 ▲ 〕 A.q p ∧ B.q p ∨ C. p ⌝ D. p q ⌝∧⌝6．设(2,2,5)u =-、(6,4,4)v =-分别是平面,αβ的法向量，那么平面,αβ的位置关系是〔 ▲ 〕 A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定7．给出定义：假设函数)(x f 在D 上可导，即)('x f 存在，且导函数)('x f 在D 上也可导，那么称)(x f 在D 上存在二阶导函数，记)("x f ＝'')]([(x f .假设0)("<x f 在D 上恒成立，那么称)(x f 在D 上为凸函数. 以下四个函数在)2,0(π上不是．．凸函数的是 〔 ▲ 〕 A.()sin 2f x x = B.x x x f 2ln )(-= C.)(x f =-123-+x xD.)(x f =-x xe -.8．点12F F 、分别是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，假设1ABF ∆是钝角三角形．．．．．，那么该双曲线的离心率的取值范围是( ▲ ) A．1,)++∞ B． C．(1,1+ D．)+∞ 9．)(x f y =是定义在R 上的函数，且1)1(=f ，)('x f >1,那么x x f >)(的解集是( ▲ ) A ．(0 , 1) B ．)1,0()0,1( - C ．),1(+∞ D ．),1()1,(+∞--∞10．设斜率为1的直线l 与椭圆22:142x y C +=相交于不同的两点A 、B ，那么使||AB 为整数的直线l 一共有〔 ▲ 〕A ．4条B ． 5条C ． 6条D ．7条二、填空题：本大题一一共7小题，每一小题4分，一共28分.11．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，那么0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆____▲_____．〔用数字答题〕 12．双曲线22221x y a b-=的焦点(,0)c 到它的一条渐近线的间隔 是 ▲ ．13．从长和宽分别为16和10的矩形纸板的四角截去四个一样的小正方形，然后做成一个无盖方盒，那么该方盒的最大容积是 ▲ ；14．在空间直角坐标系O-xyz 中，A 〔5，7，3〕，B 〔 4，8， 3 –2〕，那么直线AB 与面yOz 所成的角等于 ▲ ． 15. 函数)(x f 的导函数)(x f y '=的图象如下图,其中4,2,3-是)(x f '=0的根, 现给出以下命题:(1))4(f 是)(x f 的极小值; (2) )3(f 是)(x f 极小值;(3) )2(f 是)(x f 极大值; (4) )2(-f 是)(x f 极大值; (5))3(-f 是)(x f 极大值.其中正确的命题是 ▲ ．16．在直角坐标系中，)3,2(-A ，)2,3(-B ，沿x 轴把直角坐标系折成0120的二面角，那么此时线段AB 的长度为____▲____. 17．假设函数52)(23+-+=x ax x x f 在区间〔21,31〕上不是单调函数．．．．．．，那么实数a 的取值范围 是_ ▲_ _．三、解答题：本大题一一共5小题，一共72分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.18．〔此题满分是14分〕抛物线C 的顶点在原点，焦点为(1,0)F ，且过点(,2)A t .〔1〕求t 的值；〔2〕假设直线1y kx =-与抛物线C 只有一个公一共点，务实数k 的值.19．〔此题满分是14分〕函数23)(bx ax x f +=在1x =处获得极值3.求 〔1〕求函数)(x f y =的解析式； 〔2〕求函数)(x f y =的单调递减区间.20．〔此题满分是14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ABCD ⊥底面，PD DC =，点E 是PC 的中点，作.EF PB PB F ⊥交于点〔1〕求证：;PB EFD ⊥平面 〔2〕求二面角C PB D --的大小.以12(0,1),(0,1)F F -为焦点的椭圆C 过点22P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点1(,0)3S -的动直线l 交椭圆C 于A B 、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？假设存在，求出点T 的坐标；假设不存在，请说明理由．22．(本小题满分是15分〕函数2()ln 1xf x a x x a a =+->， 〔1〕求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；〔2〕对1|)()(|],1,1[,2121-≤--∈∀e x f x f x x 恒成立，求a 的取值范围．高二年级期中考试数学〔理〕参考答案一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕二、填空题〔每格4分，一共28分〕11． 2- 12． b13． 144 14． 30 15． 〔1〕〔2〕 16． 11 17． 55(,)42三、解答题：本大题一一共5小题，一共72分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.18．〔此题满分是14分〕抛物线C 的顶点在原点，焦点为(1,0)F ，且过点(,2)A t .〔1〕求t 的值；〔2〕假设直线1y kx =-与抛物线C 只有一个公一共点，务实数k 的值.解：〔1〕设抛物线C 的方程为22y px =，由题知12p=，即2p = 所以，抛物线C 的方程为24y x =因点(,2)A t .在抛物线上，有44t =，得1t = ………………… 7分〔2〕由214y kx y x=-⎧⎨=⎩ 得，22(24)10k x k x -++=当0k =时，方程即1410,4x x -+==，满足条件 当0k ≠时，由16160k ∆=+=，得 1k =-综上所述，实数k 的值是01-或 ………………… 14分 19．〔此题满分是14分〕函数23)(bx ax x f +=在1x =处获得极值3.求 〔1〕求函数)(x f y =的解析式； 〔2〕求函数)(x f y =的单调递减区间.20．〔此题满分是14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ABCD ⊥底面，PD DC =，点E 是PC 的中点，作.EF PB PB F ⊥交于点〔1〕求证：;PB EFD ⊥平面 ……………………… 7分 〔2〕求二面角C PB D --的大小. ……………………………14分(注：答案见选修2-1 第109—110页 例4中的〔2〕、〔3〕21．〔本小题满分是15分〕以12(0,1),(0,1)F F -为焦点的椭圆C 过点2(,1)2P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点1(,0)3S -的动直线l 交椭圆C 于A B 、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？假设存在，求出点T 的坐标；假设不存在，请说明理由．解：〔1〕设椭圆C 的方程为2222 1 (0)y x a b a b+=>>，那么依题意有222211121a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以，椭圆C 的方程为22 1.2y x += ┅┅┅ 5分 〔2〕由〔1〕知，椭圆C 的方程为222 2.yx +=当直线l 的斜率0k =时，易知(1,0),(1,0)A B -,此时以AB 为直径的圆方程为221x y += 当直线l 的斜率k 不存在时，可知1414(,),(,)3333A B ---, 此时以AB 为直径的圆方程为22116()39x y ++=由22221,1 .1160()39x y x y x y ⎧+==⎧⎪⎨⎨=++=⎩⎪⎩,得 记(1,0)T设上述两情况外的直线l 的方程为13xty =-，1122(,),(,)A x y B x y由222222,416 (12)01393y x t y ty x ty ⎧+=⎪+--=⎨=-⎪⎩,得 121222416,3(12)9(12)t y y y y t t ∴+=⋅=-++ 21212122222181(),33(12)9(12)t x x t y y x x t t -++=+-=-⋅=++ 11221212122222(1,)(1,)()1181216109(12)3(12)9(12)TA TB x y x y x x x x y y t t t t ⋅=-⋅-=-+++-+-=+++=+++则所以，TA TB ⊥，即点T 在以AB 为直径的圆上.综上所述，在坐标平面上存在一个定点10T （，），使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 15分22．(本小题满分是15分〕函数2()ln 1xf x a x x a a =+->， 〔1〕求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；〔2〕对1|)()(|],1,1[,2121-≤--∈∀e x f x f x x 恒成立，求a 的取值范围．解〔1〕'()ln 2ln 2(1)ln xxf x a a x a x a a =+-=+-由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 010x a a >->，，所以'()0f x >， 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分 〔2〕由〔1〕可知，当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <，故函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．所以，()f x 在区间[1,0]-上单调递减，在区间[0,1]上单调递增． 所以{}min max (0)1,max (1),(1)f f f f f ===- 1(1)1ln ,(1)1ln f a f a a a-=++=+- 1(1)(1)2ln f f a a a--=-- 记1()2ln g x x x x =--，22121()1(1),1 g x x x x x '=+-=-=（当时取到等号）所以1()2ln g x x x x =--递增，故1(1)(1)2ln 0f f a a a--=-->， 所以(1)(1)f f >- 于是max (1)1ln .f f a a ==+- 故对1212max ,[1,1],|()()||(1)(0)|ln .x x f x f x f f a a ∀∈--=-=- ln 1a a e -≤-，所以1a e <≤ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 15分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学上学期期中试题A卷文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校宁夏六盘山高级2021届高三数学上学期期中试题〔A 卷〕文〔含解析〕一､选择题:(每一小题5分,一共60分,每一小题只有一个答案是正确的) 1.集合A={|36},{|27}x x B x x -<<=<<，那么()R A B =()A.〔2，6〕B.〔2，7〕C.〔-3，2]D.〔-3，2〕【答案】C 【解析】 【分析】由题得C B ⋃={x|x≤2或者x≥7}，再求()A C B ⋃⋂得解.【详解】由题得C B ⋃={x|x≤2或者x≥7}，所以()A C B ⋃⋂=(]3,2-.应选C【点睛】此题主要考察集合的运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 2.“1x >〞是“1||x x>〞的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先解出1||x x >. 【详解】由1||x x>得：1x >或者0x <，∴1x >能推出1||x x>；反之，那么由1x >或者0x <，不可以推出1x >，故“1x >〞是“1||x x>〞的充分不必要条件. 应选：A【点睛】此题考察了充分条件、必要条件的定义，同时考察了绝对值不等式的解法，属于根底题.3.假设2241122x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,那么函数2x y =的值域是()A.1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.[2,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】首先根据指数函数的单调性解不等式求出x 的取值范围，再利用指数函数的单调性即可求解.【详解】由2241122x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可得2142x x +≤-，解得31x -≤≤，所以31222x -≤≤故函数2x y =的值域是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.应选：B【点睛】此题考察了利用指数函数的单调性解不等式、求值域，同时考察了一元二次不等式的解法，属于根底题 4.函数的1()sin cos 12f x x x =+最小正周期是()A.2πB.πC.2π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用二倍角的正弦公式将函数化为1()sin 421f x x =+，再利用2T πω=即可求解.【详解】11()sin cos 1sin 2412f x x x x =+=+，所以222T πππω===.应选：B【点睛】此题考察了二倍角的正弦公式、周期公式，属于根底题. 5.在公比为2的等比数列{}n a 中,126a a +=,那么45a a +=()A.12B.18C.24D.48【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由126a a +=，2q()11161q a a q a =++=，所以12a =，所以()34345111128348a a a q a q a q q +=+=+=⨯⨯=.应选：D【点睛】此题考察了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于根底题.6.九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵〞,某“堑堵〞的三视图如下列图,那么该“堑堵〞的外表积为()A.4B.6+C.4+D.2【答案】B 【解析】 【分析】由中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，代入棱柱外表积公式，可得答案. 【详解】由中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，底面面积为：12112⨯⨯=，底面周长为：222+=+故棱柱的外表积(21226S =⨯+⨯+=+应选：B【点睛】此题考察了由三视图求几何体的外表积，考察了学生的空间想象才能，属于根底题.7.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,假设2,sin cos a b B B ==+=,那么角A 的大小为() A.6π或者56π B.3π或者23π C.6πD.3π 【答案】C 【解析】 【分析】由sin cos 4B BB π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可解得B ，再利用正弦定理即可得出.【详解】在ABC ∆中,sin cos4B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∴sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，42B ππ∴+=，解得4B π=，由正弦定理可得：2sin sin4A π=，解得1sin2A =， a b <，6A π∴=.应选：C【点睛】此题考察了辅助角公式、正弦定理解三角形，属于根底题. 8.直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒．〕 A.①③ B.②③④C.②④D.①②③【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直的断定与性质可判断①；利用线面、面面平行与垂直的断定与性质可判断②；利用线面、面面垂直的断定与性质可判断③；利用线面、面面平行与垂直的断定与性质可判断④. 【详解】①中，因为直线l⊥平面α，//αβ，所以直线l ⊥平面β，又直线m ⊂平面β，所以l m ⊥；故①正确；②中，因为直线l⊥平面α，αβ⊥，所以//l β或者l β⊂，又直线m ⊂平面β，所以l与m 可能平行、重合或者异面，故②错；③因为直线l ⊥平面α，//lm ，所以m ⊥平面α，又直线m ⊂平面β，所以αβ⊥，故③正确；④中，因为直线l ⊥平面α，lm ⊥，所以//m α或者m α⊂，又直线m ⊂平面β，所以α与β平行或者相交，所以④错；应选A【点睛】此题主要考察线面、面面平行或者垂直的断定与性质，熟记定理即可，属于常考题型.9.设向量1(3,),(2,)a m b ==-,且3a b -与a b -垂直,那么实数m 的值是()A.0B.-4C.0或者4D.0或者-4【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性的坐标运算以及向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】向量1(3,),(2,)am b ==-,()()()33,32,13,3a b m m -=--=-+∴， ()1,1a b m -=+， 3a b -与a b -垂直可得()()30a b a b -⋅-=，()()()31310m m -⨯+++=，240m m +=，解得0m =或者-4.应选：D【点睛】此题考察了向量的线性坐标运算以及向量数量积的坐标运算，需熟记向量垂直数量积等于0，属于根底题. 10.函数4(3)3y x x x =+>-+图象的最低点的坐标是() A.04（，） B.12（，）C.1,1-（）D.57--（，）【答案】C 【解析】 【分析】 将函数变形为433(3)3y x x x =++->-+，根据根本不等式对函数的最小值进展求解，进而通过不等式取等号的条件得出答案.【详解】44333133y x x x x =+=++-≥=++， 当且仅当133x x +=+，即1x =-时取等号, 所以函数图象的最低点的坐标是1,1-（）.应选：C【点睛】此题考察了根本不等式的运用，掌握根本不等式的内容是解题的关键，属于根底题. 11.正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中,以任意三个顶点确定的平面中,与对角线1BD 垂直的平面个数为() A.3 B.2C.1D.0【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的性质可知：每个面的对角线互相垂直，由三垂线定理可知：11111,D A B BD C A D ⊥⊥，从而111A B C D D ⊥，同理11BD AB C ⊥，从而得到结果.【详解】正方体的性质可知：每个面的对角线互相垂直， 由三垂线定理可知：11111,D A B BD C A D ⊥⊥，从而111A B C D D ⊥，同理11BD AB C ⊥，故与对角线1BD 垂直的平面个数有2个. 应选：B【点睛】此题主要考察了线面垂直的断定定理以及正方体的性质，属于根底题. 12.等差数列{}n a 的前项和为n S ,且19200,0S S ><,那么以下值最大的是()A.77S a B.88S a C.99S a D.110S a 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质和求和公式可得100a >，10110a a +<，即110a <，可得数列的前10项为正数，从第11项开场为负数，可得答案.【详解】由等差数列的性质和求和公式可得，()1191910101919219022a a S a a +==⨯=>，()()1202010111919022a a S a a +==+<，1010110,0a a a ∴>+<，110a ∴<， ∴数列的前10项为正数，从第11项开场为负数，所以n S 最大为10S ，n a 最小的正数项为10a ， 应选：D【点睛】此题考察了等差数列的性质和求和公式，熟记性质与公式是解题的关键，属于根底题. 二､填空题:(每一小题5分,一共20分)13.假设,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩那么2z x y =+的最小值为__________．【答案】2 【解析】 【分析】先由约束条件作出可行域，再由目的函数2z x y =+可化为122z y x =-+，因此当直线122z y x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图像即可求出结果. 【详解】由约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如下：因为目的函数2z x y =+可化为122z y x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小.由图像易得，当直线122zy x =-+过点(2,0)A 时，在y 轴上截距最小，即min2z =.故答案为2【点睛】此题主要考察简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目的函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.1z 、2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+〔i 为虚数单位〕，那么12z z ⋅=.【答案】5- 【解析】试题分析：由题意得：22,z i =-+所以212(2)(2)4 5.z z i i i ⋅=+-+=-=-考点：复数运算15.设曲线x y e =在点〔0,1〕处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，那么P 的坐标为_____．【答案】【解析】【详解】设00(,)P x y .对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线斜率为－1，由02011x x y x ==-=-'，得01x =，那么01y =，所以P 的坐标为(1，1)． 考点：导数的几何意义． 16.设函数()2xf x x =+(0)x >，观察： ()()12xf x f x x ==+，21()(())34x f x f f x x ==+，32()(())78x f x f f x x ==+， 43()(())1516xf x f f x x ==+，…… 根据以上事实，由归纳推理可得： 当*n ∈N 且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==________.【答案】(21)2n nxx -+【解析】 【分析】利用所给函数式，归纳出函数式分母多项式的规律，结合分子都是1，从而可得结果. 【详解】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,1516x x x x ++++,即()()()()212,414,818,16116x x x x -+-+-+-+,所以归纳出分母为()()()1n n f x f f x -=的分母为()212nnx -+,故当n N +∈且2n ≥时，()()()1n n f x f f x -==.()1212n n x -+.【点睛】此题主要可得函数的解析式以及归纳推理的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些一样的性质.(猜想〕.三､解答题:(本大题一一共5小题,一共60分,解容许写出文字说明) 17.函数()sin 222f x x x =+.〔1〕求()f x 的单调递增区间. 〔2〕求()f x 的值域.【答案】〔1〕5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；〔2〕[]0,4 【解析】【分析】〔1〕先利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的性质即可求出单调区间.〔2〕根据三角函数的性质即可求解.【详解】〔1〕1()sin 2222sin 2cos 222sin 22223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222,232k x k k Z πππππ∴-≤-≤+∈， 即5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， ∴函数的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 〔2〕由1sin 213x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以02sin 2243x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭， 即()04f x ≤≤.故()f x 的值域为[]0,4.【点睛】此题考察了三角恒等变换辅助角公式、三角函数的性质，需熟记公式与性质，属于根底题.18.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：〔1〕直线DE 平面A 1C 1F ；〔2〕平面B 1DE⊥平面A 1C 1F.【答案】〔1〕详见解析〔2〕详见解析【解析】试题分析：〔1〕利用线面平行断定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；〔2〕利用面面垂直断定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要屡次利用线面垂直性质定理与断定定理.试题解析：证明：〔1〕在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE//平面11AC F .〔2〕在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥. 又因为1111111111111,,B DA F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE平面11.A C F ⊥平面 【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：〔1〕证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；〔2〕证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；〔3〕证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；〔4〕证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.19.数列{}n a 中,11a =,且当2n ≥时有121n n a a n --=-.〔1〕求数列{}n a 的通项公式;〔2〕设n b =,求数列{}n b 的前n 项和n S ;【答案】〔1〕2na n =；〔2〕1n n S n =+ 【解析】【分析】 〔1〕利用累加法，即可求出数列{}n a 的通项公式；〔2〕利用裂项求和法，即可求出数列{}n b 的前n 项和n S ； 【详解】〔1〕数列{}n a 中,11a =,且当2n ≥时有121n n a a n --=-，∴可得21221a a -=⨯-当2n ≥时，将上面各等式相加，得()()()()12234111n a a n n n n -=++++--=+-，∴数列{}n a 的通项公式2n a n =.〔2〕()11111n b n n n n ====-++， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 【点睛】此题考察了累加法求数列的通项公式、等差数列的前n 项和、裂项求和法，需熟记公式，属于根底题.20.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭. 〔1〕求角C 的值；〔2〕假设4,a c ==ABC ∆的面积.【答案】〔1〕23π；〔2〕 【解析】【分析】〔1〕利用三角函数恒等变换的应用化简，将等式化简得sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合范围 ()0,C π∈，可得角C 的值；〔2〕利用余弦定理可求得24120b b +-=，解得b 的值，根据三角形的面积公式即可得出ABC ∆的面积. 【详解】解：〔1〕因为sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12sin sin 2sin sin 02R B C C R C B ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭， 由于在ABC ∆中，sin 0B >，那么得出：1sin 022C C +=， 所以sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为()0,C π∈，那么3C ππ+=， 解得：23C π=.〔2〕在ABC ∆中，4,a c ==由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，所以24120b b +-=，且0b >，解得：2b =，那么ABC ∆的面积为：11sin 4222S ab C ==⨯⨯= 【点睛】此题考察了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的综合应用，以及三角函数恒等变换的应用，同时考察学生的计算才能和转化思想.()x f x e ax =-(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.(1)求a 的值及函数()f x 的极值；(2)证明：当0x >时，2x x e <． 【答案】(1)2a =；当ln 2x =时，()f x 获得极小值，且极小值为()ln2ln 22ln 22ln 4f e =-=-，()f x 无极大值；(2)祥见解析．【解析】试题分析：(1)利用导数的几何意义求得a ，再利用导数法求得函数的极值；(2)构造函数g 〔x 〕=e x -x 2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论．试题解析：(1)由(),x f x e ax =-得()x f x e a '=-. 又()011f a =-=-'，得2a =.所以()2x f x e x =-，()2x f x e '=-. 令()0f x '=，得ln 2x =.当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以当ln 2x =时，()f x 获得极小值，且极小值为()ln2ln 22ln 22ln 4f e =-=-，()f x 无极大值．(2)证明：令()2,x gx e x =-那么()2x g x e x '=-. 由(1)得，()()()ln 22ln 40g x f x f =≥=->'，故()g x 在R 上单调递增，又()010g =>，所以当0x >时，()()00g x g >>，即2x x e <考点：１．利用导数求函数的极值；２．利用导数证明不等式．22.在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，的直线l的参数方程为2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔为参数〕，直线l 与曲线C 交于M 、N 两点．〔1〕写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程：〔2〕假设| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，求a 的值．【答案】〔1〕l 的普通方程2y x =-；C 的直角坐标方程 2y ax =；〔2〕1a =.【解析】【分析】 〔1〕利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕将直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出||||PMPN ⋅，从而建立关于a 的方程，求解即可． 【详解】〔1〕由直线l的参数方程2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得, 42y x =-++，即2y x =-为l 的普通方程由2sin 2cos a ρθθ=，两边乘以ρ得22sin 2cos a ρθρθ=2y ax ∴=为C 的直角坐标方程.〔2〕将2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入抛物线22y ax得24)3280t a t a -+++= 由| |,| |,| |P MM N P N 成等比数列， 即21212t t t t -=⋅，()21212124t t t t t t +-=，()212125t t t t +=，24))5(328)a a +=+整理得2340a a +-=4a =-〔舍去〕或者1a =.【点睛】纯熟掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．23.设函数()|||4|f x x a x =-+-.〔1〕当1a =时,求f x （）的最小值;〔2〕假设对,()1x R f x ∀∈≥,务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕3；〔2〕()(),35,-∞+∞【解析】【分析】 〔1〕当1a =时,函数52,1()143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，作出函数f x （）的图像，由图像可得函数f x （）的最小值.〔2〕由绝对值的几何意义可得|||4|4x a x a -+-≥-，故有41a -≥，由此求得实数a 的取值范围.【详解】〔1〕当1a =时,函数52,1()143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩，作出函数f x （）的图像，如下列图：由图像可知函数f x （）的最小值等于3.〔2〕假设对,()1x R f x ∀∈≥,故|||4|1x a x -+-≥对任意实数x 都成立， 由绝对值的意义可得|||4|4x a x a -+-≥-， ∴41a -≥，41a ∴-≥或者41a -≤-，解得5a ≥或者3a ≤.故实数a 的取值范围为()(),35,-∞+∞.【点睛】此题考察了求分段函数的最值，由绝对值的意义解不等式恒成立求参数的取值范围，属于根底题.。
高二数学下学期期中考试理A试题
智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹第二学期浙东北〔ZDB 〕三校期中考试高二数学试卷〔理科〕总分100分考试时间是是120分钟一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题3分，一共36分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求，不选、多项选择、错选均得零分〕 1．假设复数i m m m m z)()34(22-++-=为纯虚数，那么实数m 等于〔〕A ．0或者1B ．1C ．1或者3D ．3 2．物体ts 时运动的位移S m 的方程为：23)(2+-=t t t S ，那么物体在3=t s 时的瞬时速度为〔〕s m /A ．0B ．3C ．5D ．63．设实数c b a 、、满足3=++c b a ，那么c b a 、、中〔〕A ．至多有一个不大于1B ．至少有一个不小于1C ．至多有两个不小于1D ．至少有两个不小于14．假设函数322+-=x x y ，那么函数图象在点)3,2(处的切线方程为〔〕A ．12-=x y B ．1+=x y C ．12+=x y D ．33-=x y5．将标号为1，2，…，8的8个球放入标号为1，2，…，8的8个盒子内，每个盒内放一个球，那么恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法一共有〔〕种 A ．28B ．42C ．56D ．646．函数81232)(23-++-=x x x x f 在]3,0[上的最大值和最小值分别为〔〕A ．1,12B ．8,1-C ．8,12-D ．1,12 7．以下求导数运算正确的选项是〔〕11题图A ．2ln 2)2(xx='B ．xx x 11)1(+='-C ．2ln 1)(log 2x x =' D ．x x x x x 2cos 2sin )2sin (+=' 8．用数学归纳法证明等式6)2)(1(1)2(3)1(21++=⋅++-⋅+-⋅+⋅n n n n n n n ，从kn =到1+=k n，左边需要增加的代数式为〔〕Ａ．2)1(+k k Ｂ．2)2)(1(++k kＣ．2)1(2+k Ｄ．2)3)(2(++k k9．假设函数23)(3+-=ax ax x f 的图象经过四个象限，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．1-<a ，或者2>aB ．11<<-aC ．2-<a ，或者2>aD ．1-<a ，或者1>a10．函数x x x y cos sin +=在下面哪个区间内是增函数〔〕A ．),0(πB ．)23,2(ππC ．)2,(ππD ．)25,23(ππ 11．函数)()1(2x f x y '-=的图象如右图所示〔其中)(x f '为函数)(x f 的导函数〕，那么函数 )(x f y =的图象大致是〔〕12．设集合}5,4,3,2,1{=I ．选择集合I的两个非空子集A 和B ，要使集合B 中最小的数大于集合A 中最大的数，那么不同的选择方法一共有〔〕 A ．48种B ．49种C ．50种D ．51种二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题3分，一共18分，请将答案写在答卷上〕13．在高台跳水运动中，运发动相对于水面高度h 〔单位：m 〕与起跳后的时间是t 〔单位：s 〕的函数关系是：105.69.4)(2++-=t t t h ，那么运发动在21≤≤t 这段时间是里，他的平均速度v =▲s m /． 14．假设数列}{n a 、}{n b 都是等差数列，那么数列}{n n b a +、}{n n b a -均为等差数列．类比上述性A B CD质，假设数列}{n a 、}{n b 都是等比数列，那么数列▲均为等比数列．15．电视台连续播放7个广告，其中含4个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，那么不同的播放方式一共有种． 16．假设复数i a z +=1,i z 432+=，且21z z 为实数，那么实数a 的值是▲．17．点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，那么点P 到直线2-=x y 的最小间隔为▲．18．集合},1|{R t t x t x A ∈+<<=，集合}2|3||{3≥-∈=x x R x B ，假设集合B A ⋂只含有一个元素，那么实数t 的取值范围是▲．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共46分，请将解答过程写在答卷上〕 19．〔此题6分〕5个不同的球全部放入4个不同的盒子内． 〔1〕一共有几种不同的放法？〔2〕每个盒子都有球，一共有几种不同的放法？ 〔3〕恰有一个盒子不放球，一共有几种不同的放法？ 20．〔此题6分〕一长方形纸片，它长与宽分别为6和4，现将纸片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成无盖长方体盒子．〔1〕试把长方体盒子的容积V 表示为x 的函数；〔2〕x 多大时，长方体盒子的容积V 最大？21．〔此题8分〕设函数xe x xf 20)(=，)()(01x f x f '=，)()(12x f x f '=，…，)()(1x f x f n n '=+，*∈N n ．〔1〕求)(1x f ，)(2x f ，)(3x f ，)(4x f 的表达式； 〔2〕猜想)(x f n 的表达式，并用数学归纳法证明．22．〔此题8分〕函数2331)(x x x f +=． 〔1〕设函数mx x f x g +=)()(，假设)(x g 的极值存在，务实数m 的取值范围；〔2〕设}{n a 是正数组成的数列，前n 项和为n S ，其中)1(1f a '=．假设点)2,(121++-n n n a a a)(*∈N n 在函数)(x f y '=的图象上，求证：点),(n S n 也在)(x f y '=的图象上．23．〔此题8分〕函数c bx ax x x f +++=23)(在1-=x 处获得极值，并且它的图象与直线169+-=x y 在点)2,2(-A 处相切．〔1〕求函数)(x f 的解析式；〔2〕过点)2,2(-A 是否存在另一条与曲线)(x f y =相切的直线．假设存在，那么求出此切线的方程；假设不存在，那么说明理由． 24．〔此题10分〕函数2ln )(x x a x f +=(a 为实常数)．〔1〕假设2-=a ，求证：函数)(x f 在),1(+∞上是增函数；〔2〕求函数)(x f 在区间],1[e 上的最小值及相应的x 值；〔3〕假设存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，务实数a 的取值范围．二零二零—二零二壹第二学期浙东北〔ZDB 〕三校期中考试高二数学参考答案〔理科〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题3分，一共36分〕1．D ；2．B ；3．B ；4．A ；5．A ； 6．C ；7．C ；8．B ；9．D ；10．D ； 11．A ；12．B ；二、填空题〔本大题一一共6小题，每一小题3分，一共18分〕13．2.8-；14．}{n n b a ⋅、}{nnb a ；15．720； 16．43-；17．2；18．)1,2(-； 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共46分〕 21．解：〔1〕x e x x x f )2()(21+=，x e x x x f )24()(22++=，x e x x x f )66()(23++=，x e x x x f )128()(24++=，…………………………………………2分〔2〕猜想：x n e n n nx x x f )]1(2[)(2-++=．………………3分 证明：①当1=n 时，∵左边)(1x f =x e x x )2(2+=；右边x e x x )1012(2⨯+⨯⨯+=x e x x )2(2+=∴左边=右边，∴等式成立；………………4分 ②假设k n =时，等式成立，即x k e k k kx x x f )]1(2[)(2-++=，那么当1+=k n时x e k k x k x ])22([22++++=……………………………5分∴当1+=k n时，等式也成立；……………………………7分由①、②可知，x n e n n nx x x f )]1(2[)(2-++=对任意*∈N n 都成立．…8分23．解：〔1〕∵b ax x x f ++='23)(2，∴由题意⎪⎩⎪⎨⎧-=-='=-'2)2(9)2(0)1(f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=++=+-22489412023c b a b a b a ，解得：20,9,3=-=-=c b a ，∴2093)(23+--=x x x x f ；………………3分〔2〕假设存在，设过点)2,2(-A 的切线和曲线)(x f y =相切于点),(00y x T ，那么切线方程为))(963()2093(002002030x x x x x x x y ---=+---，因点)2,2(-A 在切线上，故)2)(963()2093(2002002030x x x x x x ---=+----， ∴04129202030=-+-x x x ，∵=0x 2是方程的根，∴0)252)(2(0200=+--x x x ，∴=0x 2或者210=x ，∴另一切线的斜率445-=k ，切线方程为)2(445)2(--=--x y ， ∴过点)2,2(-A 存在另一条与曲线相切的直线，切线方程为241445+-=x y ．……8分 24．解：〔1〕当2-=a时，x x x f ln 2)(2-=，∵xx x x x f )1(222)(2-=-='，又1>x ， ∴0)(>'x f ，故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………2分〔2〕∵xax x x a x f +=+='222)()0(>x ，而],1[e x ∈时，22222e a a x a +≤+≤+，∴①当02≥+a ，即2-≥a 时，0)(≥'x f 〔仅当1,2=-=x a 时，0)(='x f 〕， 故函数)(x f 在],1[e 上为增函数，此时1)1()(min ==f x f ②当02<+a，且022>+e a ，即222-<<-a e 时，令0)(='x f 得2ax -=，〔e a<-<21〕∵21a x -<≤时，0)(<'x f ；e x a≤<-2时，0)(>'x f ， ∴2)2ln(2)2()(min a a a a f x f --=-=， ③当022≤+e a ，即22e a -≤时，0)(≤'x f 〔仅当e x e a =-=,22时，0)(='x f 〕， 故函数)(x f 在],1[e 上为减函数，此时2min )()(e a e f x f +==．综上可知，当2-≥a时，函数)(x f 的最小值为1，相应的值是x 1；当222-<<-a e 时，函数)(x f 的最小值为2)2ln(2aa a --，相应的值是x2a-；当22e a-≤时，函数)(x f 的最小值为2e a +，相应的值是x e ．…………6分〔3〕法一： 由不等式x a x f )2()(+≤，即x a x x a )2(ln 2+≤+， 化为x x x x a 2)ln (2-≥-，∵e x ≤≤1，∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取到，所以x x <ln ，即0ln >-x x ，∴xx x x a ln 22--≥〔],1[e x ∈〕令x x xx x g ln 2)(2--=〔],1[e x ∈〕，又2)ln ()ln 2)(1()(x x x x x x g --+-='， ∵e x ≤≤1，∴01≥-x ，1ln ≤x ，0ln 22>-+x x ，从而0)(≥'x g ，仅当1=x 时取等号，所以)(x g 在],1[e 上为增函数，故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-．…………10分〔3〕法二： 设x a x x a x a x f x h )2(ln )2()()(2+-+=+-=，那么xax x x a x a x a x x a x h )2)(1(2)2(2)2(2)(2--=++-=+-+='， ∵e x ≤≤1，∴01>-x ，0>x ，∴①当12<a，即2<a 时，0)(≥'x h ，∴)(x h 在],1[e 上为增函数， ∴1)1()(min --==a h x h ，由题意01≤--a ，解得1-≥a ，∴21<≤-a ；②当e a≤≤21，即e a 22≤≤时， 假设21a x ≤≤，那么0)(≤'x h ，)(x h 在]2,1[a上为减函数； 假设e x a ≤≤2，那么0)(≥'x h ，)(x h 在],2[e a上为增函数； ∴)142(ln 2242ln )2()(22min--=+-+==aa a a a a a a a h x h ，由题意)(0)142(ln *≤-- aa a ， 因为e a2≤，所以)(*式恒成立，∴e a 22≤≤；③当e a>2，即e a 2>时，0)(≤'x h ，)(x h 在],1[e 上为减函数， ∴e a e a e h x h )2()()(2min+-+==，由题意0)2(2≤+-+e a e a ，解得122-≥e e a ，因为012)23(2122<---=--e e e e e e ，∴e a 2>；综上所述：a 的取值范围是),1[+∞-．…………10分。
菲翔学校高二数学下学期期中试题A卷理含解析 试题
墨达哥州易旺市菲翔学校HY 喀什巴楚县第一二零二零—二零二壹高二数学下学期期中试题〔A 卷〕理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题的4个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.复数12i -的虚部为〔〕 A.-1 B.1C.-2D.2【答案】C 【解析】 【分析】由复数虚部的定义可得其虚部. 【详解】复数12zi =-，z ∴的虚部为2-，应选C.【点睛】此题主要考察复数虚部的定义，属于简单题. 2.假设f (x )＝sinα－cosx ，那么f ′(x )等于〔〕 A.cosα＋sinx B.sinα＋cosxC.sinxD.cosx【答案】C 【解析】 【分析】直接利用导数的公式运算即可. 【详解】由初等函数的导数公式可得'''()(sin )(cos )sin f x x x α=-=.应选：C【点睛】此题考察导数的运算法那么以及根本初等函数的导数公式，考察学生的根本计算才能，是一道容易题.3.数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于〔〕 A.28 B.32C.33D.27【答案】B 【解析】 【分析】通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=⨯-=⨯-=⨯， 可得2043x -=⨯，解得32x =，应选B.【点睛】此题主要考察了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题. 4.i 是虚数单位，那么复数2i i +在复平面内所对应的点在〔〕 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】 【分析】21i i i +=-+，再利用复数的几何意义即可得到答案.【详解】因为21i i i +=-+，所以复数2i i +在复平面内所对应的点为(1,1)-，在第二象限.应选：B【点睛】此题主要考察复数的几何意义，涉及到虚数i 的性质，是一道容易题.5.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于() A.1 B.2 C.3 D.0 【答案】C 【解析】因为多边形的边数最少是3，即三角形，∴在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为()132n n -条时，第一步验证n 等于3，应选C.【思路点睛】此题主要考察数学归纳法的根本原理，属于简单题.用数学归纳法证明结论成立时，需要验证1n n =时成立，然后假设假设n k =1n k =+，对于第一步，要确定1n n =，其实就是确定是结论成立的最小的n .6.设复数z 满足z ＋3i ＝3－i ，那么z 的模＝〔〕 A4 B.3C.5D.2【答案】C 【解析】 【分析】 由，34zi =-，再利用复数模的计算公式计算即可.【详解】由，34z i =-，那么||5z ==.应选：C【点睛】此题主要考察复数模的计算，涉及到复数的加法，是一道容易题. 名男生和4名女生站成一排，假设要求男女相间，那么不同的排法数有〔〕A.2880B.1152C.48D.144【答案】B 【解析】 【分析】先将男生、女生分别全排列，再分析男女相间的情况种数，由乘法原理即可得到答案.【详解】将4名男生全排列有44A 种不同排法，将4名女生全排列有44A 种不同排法，要求男女相间， 有2种方式，即男女男女男女男女，或者女男女男女男女男，有乘法原理，可得不同的排法数 有444421152A A =种.应选：B【点睛】此题考察不相邻元素的排列问题，考察学生的逻辑推理才能，是一道容易题.()34i x yi i +=+,,x y R ∈,那么复数x yi +的模是〔〕A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】试题分析：根据题意可知34xi y i -=+，所以有3{4y x =-=，故所给的复数的模该为5，应选D.考点：复数相等，复数的模.,假设正确的选项是〔〕A.是有理数B.是有理数C.是有理数D.【答案】D 【解析】 【分析】..应选D.【点睛】.属于根底题. 10.曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是〔〕A.74y x =+ B. 2yx =- C.4y x =-D.72y x =+【答案】B 【解析】 【分析】 利用导数求出曲线34y x x =-在切点处的切线的斜率，然后利用点斜式可得出所求切线的方程．【详解】34y x x =-，243y x '∴=-，()214311x y =-∴=-⨯-='，因此，曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程为31y x +=+，即2y x =-，应选B.【点睛】此题考察导数的几何意义，考察利用导数求函数在其上一点的切线方程，熟悉利用导数求切线方程的根本步骤是解题的关键，属于根底题．11.复数21ii-+的实部与虚部之和为〔〕 A.1- B.2-C.1D.2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算将复数化为HY 型，再利用复数的概念即可得到答案.【详解】22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i i i i i -----+===-++-，所以实部与虚部之和为12312-=-. 应选：A【点睛】此题主要考察复数的除法运算，涉及到复数的实部、虚部，考察学生的根本计算才能，是一道容易题. 12.函数32()31f x x x =-+的单调减区间为A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(,0)-∞D.(0,2)【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<，所以函数的单调减区间为(0,2)，故此题选D.【点睛】此题考察了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键. 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，那么z 的实部是________________.【答案】5 【解析】 试题分析：(12i)(3i)55i z=+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】此题重点考察复数的根本运算和复数的概念，属于基此题.首先对于复数的四那么运算，要实在掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd adbc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b ，一共轭为a bi -14.函数32()2354f x x x x =+-+的导数()'2f 为___________【答案】31【解析】 【分析】利用导数的运算法那么运算即可. 【详解】由，2'()665f x x x =+-，所以()'26462531f =⨯+⨯-=.故答案为：31【点睛】此题考察导数的运算，考察学生的根本计算才能，是一道容易题. 15.mnA =____________【答案】()!!n n m -【解析】 【分析】由排列数公式即可得到答案.【详解】()!(1)(1)!mn n A n n n m n m =⨯-⨯⨯-+=-.故答案为：()!!n n m -【点睛】此题考察排列数公式，考察学生对排列数公式的记忆，是一道容易题. 16.计算定积分()12xex dx +⎰的值是_________.【答案】e 【解析】 【分析】直接利用积分公式计算即可.【详解】()()120012(1)(0)xx ex dx e xe e e ⎰+=+=+-+=.故答案为：e【点睛】此题考察定积分的计算，考察学生的根本计算才能，是一道容易题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤，注意解题格式.17.化简以下复数〔1〕21izi -=+ 〔2〕1=-iz i【答案】〔1〕1322i -；〔2〕1122-+i【解析】 【分析】〔1〕分子分母同乘以分母的一共轭复数即可； 〔2〕分子分母同乘以分母的一共轭复数即可.【详解】〔1〕22(2)(1)22131(1)(1)222i i i i i i z i i i i -----+====-++-；〔2〕(1)1111(1)(1)222i i i i zi i i i +-+====-+--+. 【点睛】此题考察复数的除法运算，考察学生的根本计算才能，是一道容易题. 18.计算以下导数 〔1〕6y x =〔2〕226532C A +〔3〕32log y x x =+〔4〕3()x f x e =【答案】〔1〕56x .〔2〕0.〔3〕21l 23n x x +.〔4〕33x e . 【解析】【分析】 〔1〕根据()1x xμμμ-'=，即可求得6y x =导数；〔2〕根据()0C '=，即可求得226532C A +导数；〔3〕根据()1x x μμμ-'=和()1log ln a x x a'=，即可求得32log y x x =+导数； 〔4〕根据复合函数 [()]y f x ϕ=的导数为：()()y f u x ϕ'''=⋅即可求得3()x f x e =导数.【详解】〔1〕()1x xμμμ-'=，∴6y x =导数：56y x '=〔2〕()0C '=，22658532C A =+是个常数〔3〕()1x x μμμ-'=，()1log ln a x x a'=〔4〕根据复合函数 [()]y f x ϕ=的导数为：()()y f u x ϕ'''=⋅∴()()333(33)x x x f x e e x e '⋅=''==.【点睛】此题主要考察了其函数的导数，解题关键是掌握常见的导数公式，考察了分析才能和计算才能，属于根底题.19.<【答案】见解析 【解析】【分析】按照分析法证明即可.<22<，即证6235++<++<，即证1215<，因为1215<显然成立，所以原不等式成立.【点睛】此题考察分析法证明不等式，考察学生的逻辑推理才能，是一道容易题. 20.求函数()31=443f x x x -+的单调区间和极值．【答案】单调递增区间为2-∞-（，）和2,+∞（）单调递减区间为-2,2（）极大值为283，极小值为43-. 【解析】试题分析：对函数求导，令导数为零，求出x 值，划分区间，研究导数在个区间内的符号，得出单调区间，并求出极值. 试题解析：2()4f x x =-'，令()0f x '=，2x =±那么函数()f x 的增区间为(,2)-∞-，(2,)+∞，减区间为(2,2)-； 当2x =-时，()f x 获得极大值28(2)3f -=，当2x =时，()f x 获得极小值4(2)3f =-.m 取什么值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【答案】(1)m ＝1(2)m ≠1(3)m ＝－1 【解析】(1)当m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数． (2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数．(3)当m ＋1＝0，且m －1≠0，即m ＝－1时，复数z 是纯虚数． 22.一个口袋内装有大小一样的7个白球和1个黑球. 〔1〕从口袋内取出3个球，一共有多少种取法？〔2〕从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？〔3〕从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【答案】〔1〕56；〔2〕21；〔3〕35【解析】【分析】〔1〕没有任何要求，直接从8个球中取3个即可；〔2〕从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，那么只需从7个白球中取2个即可；〔3〕从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，那么只需从7个白球中取3个【详解】〔1〕从口袋内取出3个球，一共有3887656 3!C⨯⨯==种.〔2〕从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，那么需从7个白球中取2个，所以一共有277621 2!C⨯==种.〔3〕从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，所以一共有3776535 3!C⨯⨯==种.【点睛】此题考察组合及组合数的应用，考察学生的根本计算才能，是一道容易题.。
高三数学第二学期期中试卷及答案
2021年高三数学第二学期期中试卷及答案(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合 , ,则(A) (B) (C) (D)(2)已知为虚数单位,复数的值是(A) (B) (C) (D)(3)若满足约束条件则函数的最大值是(A) (B) (C) (D)(4)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命题是甲落地站稳, 是乙落地站稳,则命题至少有一位队员落地没有站稳可表示为(A) (B) (C) (D)(5)执行如右图所示的程序框图，则输出的值是 ( )(A)10(B)17(C)26(D)28(6)函数的图象大致为(A) (B) (C) (D)(7)已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，则与的夹角是(A) (B) (C) (D)(8)如图，梯形中， , , , ,将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面 .给出下面四个命题：②三棱锥的体积为 ;③ 平面 ;④平面平面 .其中正确命题的序号是(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.(9)抛物线的准线方程是 .(10)在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高分.(11)在中，分别是角的对边.已知 , , ，则 .(12)一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为表面积为 .(13)已知直线与曲线交于不同的两点，若，则实数的取值范围是 .(14)将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上.现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上;第三张卡片上的所有数组成的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题满分13分)已知函数 .(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.(16)(本小题满分13分)某单位从一所学校招收某类特殊人才.对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：一般良好优秀一般良好优秀例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是人.由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . (Ⅰ)求，的值;(Ⅱ)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率.(17)(本题满分14分)在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知 , .(Ⅰ)求证：平面 ;(Ⅱ)求证：∥平面 ;(Ⅲ)设点在内(含边界),且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.(18)(本小题满分13分)设函数，，，记 .(Ⅰ)求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)当时，若函数没有零点，求的取值范围.(19)(本小题满分14分)已知椭圆经过点，一个焦点为 .(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.(20)(本小题满分13分)已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且 . (Ⅰ)若 ,比较与的大小关系;(Ⅱ)若 .(ⅰ)判断是否为数列中的某一项，并请说明理由; (ⅱ)若是数列中的某一项，写出正整数的集合(不必说明理由).北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案(文史类)2021.3一、选择题题号12345678答案CCDDBACB二、填空题题号91011121314答案16二;三、解答题15. 解：(Ⅰ)因为所以， .由 , ，得，所以的单调递增区间是， . 8分(Ⅱ)因为所以 .所以，当，即时，取得最小值 ;当即时，取得最大值 . 13分16. 解：(I)由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有人. 设事件：从位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则 .解得 .所以 . 5分(Ⅱ)由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有位，分别记为.其中和为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生. 从中任意抽取位，可表示为 ,, , ，共种可能.设事件：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生.事件包括 , , , ，共种可能.所以 .所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . 13分17. 解：(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱中，底面，所以底面 .又底面 ,所以 .因为为菱形，所以 .而，所以平面 . 4分(Ⅱ)连接 ,交于点，连接 .依题意，∥ ,且， ,所以为矩形.所以∥ .又 , , ,所以 = ，所以为平行四边形，则∥ .又平面，平面 ,所以∥平面 . 9分(Ⅲ)在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点. 分析如下：连接，则 .由于∥ ,故欲使，只需 ,从而需 .又在中， ,又为中点，所以 .故点一定在线段上.当时，取最小值.在直角三角形中， , , ,所以 . 14分18.解：(I) ，则函数在处的切线的斜率为 .又，所以函数在处的切线方程为 ,即 4分①当时，，在区间上单调递增;②当时，令，解得 ;令，解得 .综上所述，当时，函数的增区间是 ;当时，函数的增区间是，减区间是 . 9分(Ⅲ)依题意，函数没有零点，即无解.由(Ⅱ)知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得 .所以实数的取值范围为 . 13分19. 解：(Ⅰ)由题意得解得， .所以椭圆的方程是 . 4分(Ⅱ)由得 .设，则有，，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为 .于是，线段的垂直平分线与轴的交点，又点，所以 .又 .于是， .因为，所以 .所以的取值范围为 . 14分20. 解：记的，公差为，公比为，由，得当时，显然 ;当时，由平均值不等式，当且仅当时取等号，而，所以即 .综上所述， . 5分(Ⅱ)(ⅰ)因为，所以得所以或 .因为，所以， . 令，即，，，所以是中的一项.(ⅱ)假设，则，，当或，( )时， .正整数的集合是 . 13分。
浙江理工大学2012-2013同济大学第六版高数A2(期中试卷A)及答案
浙江理工大学2012—2013学年第2学期《高等数学A 》期中试卷本人郑重承诺：本人已阅读并且透彻地理解《浙江理工大学考场规则》，愿意在考试中自觉遵守这些规定，保证按规定的程序和要求参加考试，如有违反，自愿按《浙江理工大学学生违纪处分规定》有关条款接受处理。
承诺人签名： 学号： 班级：一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 1．设直线L ：223314x y z -+-==-及平面π：30x y z ++-=，则直线L ( ) （A ）平行于π （B ） 在π上 （C ） 垂直于π （D ） 与π斜交 2．设(),z f x y =在0M 处存在二阶偏导数，则函数在0M 处（ ）（A ）一阶偏导数必连续 （B ）一阶偏导数不一定连续 （C ）必可微 （D ）xy yx z z ≡ 3．对函数22(,)36f x y x xy y x y =++--，点(0, 3) （ ）（A ）不是驻点 （B ）是驻点但非极值点 （C ）是极小值点 （D ）是极大值点 4．设 ),(y x f z =在点)0,0(处的偏导数2,1)0,0()0,0(=∂∂-=∂∂yf xf则（ ）（A ）),(y x f z =在点)0,0(处的全微分dy dx dz2)0,0(+-=；（B ）),(y x f z =在点)0,0(的某一邻域有定义； (C) 极限),(lim )0,0(),(y x f y x →存在；（D ）曲线C ：⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点)0,0(,0,0(f 的切线的方向向量k i s-=。
5．累次积分()cos 20cos ,sin d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可写成（ ）（A ）()100,dy f x y dx ⎰ （B ）()10,dy f x y dx ⎰ （C ）()11,dx f x y dy ⎰⎰ （D ）()10,dx f x y dy ⎰6．设有平面闭区域{}(,)|11,1D x y x x y =-≤≤≤≤，{}1(,)|01,1D x y x x y =≤≤≤≤，且()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，则()()()Df xg x f y dxdy +=⎡⎤⎣⎦⎰⎰（ ） (A) 12()()D g x f y dxdy ⎰⎰ （B ）12()()D f x f y dxdy ⎰⎰（C ）[]()14()()D f x g x f y dxdy +⎰⎰ （D ）0二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）1. 向量23a i j k =++，向量b 的三个方向角均相等且为锐角，则Pr b j a = ；2.函数u =1,2,-2）处的最大变化率是 ，对应方向的方向余弦是 ； 3. 设()z xy xF u =+，而y u x =，()F u 为可导函数，则z zx y x y∂∂+=∂∂ ；4. 设()()2sin 1arctan yz y xy y x e -=⋅--+，则10x y zx==∂=∂ ；5. 设(){},1D x y x y =+≤，则()1Dx y d σ++=⎰⎰ ；6. 设Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域，则zdv Ω=⎰⎰⎰ .三、计算题（本题共5小题，每题6分，满分30分）1．设(),u f x z =，而(),z x y 是由方程()z x y z ϕ=+所确定的函数，求.du2. 设),,(3x y xy f x z = 其中f 具有连续二阶偏导数，求z y ∂∂及.2yx z∂∂∂3. 计算arctanDydxdy x⎰⎰，其中D 是由圆周22224,1x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的闭区域。
062高数期中A
⎰ 2 ♥06/07 浙江工业大学高等数学(下)期中考试试卷 A 07.4学院：班级: 姓名： 学号: 任课教师：一、填空题（每小题 4 分）：1．设(a ⨯ b ) ⋅ c = 3 ，则[(a + b ) ⨯ (b + c ) ⋅ (c + a )] = 。
2．设 z = x y （ x > 0, x ≠ 1 ），则dz = 。
3. 设z = f ( x y , y ) ，其中 f (x , y ) 二阶偏导数连续，则 ∂ 2 z ∂x 2＝ 。
4. 若函数 f ( x , y ) = 2x 2 + ax + bxy 2 + 2 y 在点(1, - 1) 取得极值，则常数 a=b= ， 是极值。
5. 曲面e z - z + xy = 3 在点 P (2 ,1 ,0) 处的切平面方程是。
6. 过空间曲线x = f ( y ) , y = g (z )（其中 f ( y ), g (z ) 均可微）上相应于 z = z 0 点处的切线方程是 。
7. f (x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 的领域内有定义，且 f x (x 0 , y 0 ) =f y (x 0 , y 0 ) = 0 则下列陈述： （A ） f (x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 连续；（B ） z = f (x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 的全微分dz = 0 ；（C ）曲线♣z =f (x , y ) 在点(x , y , z ) 处有切线，且切线平行 x 轴，其中♦ y = y 0 0 0z 0 = f (x 0 , y 0 ) ； （D ） f (x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 有极值；其中正确的是。
.8. 函数u = 3x 2 y 2- 2 y + 4x + 6z 在原点沿OA = (2, 3,1) 方向的方向导数是。
9．⎰ 1dx x(x 2+ y 2)x- 1 2dy ＝。
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06/07浙江工业大学高等数学(下)期中考试试卷A 07.4
学院： 班级: 姓名： 学号:________ 任课教师：
题 号
一 二 三 四 五 六 总 分 得 分
一、填空题（每小题4分）： 1．设3)(=⋅×c b a ，则=+⋅+×+)]()()[(a c c b b a 。
2．设（），则y x z =1,0≠>x x =dz 。
3. 设 ),(y y x f z =，其中二阶偏导数连续，则),(y x f 22x
z ∂∂＝ 。
4．若函数在点f x y x ax bxy y (,)=+++2222(,)11−取得极值，则常数a=___
b=__ ，是极_____值。
5. 曲面在点处的切平面方程是 3=+−xy z e z )0,1,2(P 。
6．过空间曲线 (),()x f y y g z ==（其中(),()f y g z 均可微）上相应于点 0z z =
处的切线方程是 。
7．在点的领域内有定义，且),(y x f (,)x y 000),(),(0000==y x f y x f y x 则下列陈述： （A ）在点(,连续；（B ）),(y x f )x y 00),(y x f z =在点的全微分
；（C ）曲线在点处有切线，且切线平行x 轴，其中； （D ）在点(,有极值；其中正确的是 (,)x y 000=dz ⎩
⎨⎧==0),(y y y x f z ),,(000z y x ),(000y x f z =),(y x f )x y 00。
8．函数在原点沿22324u x y y x =−++6z (2,3,1)OA =JJJ G 方向的方向导数是 。
9． ∫∫−+1
021222)(x x
dy y x dx ＝ 。
10．设:||1,01D x y ≤≤≤，则
＝____________________。
2||D y x dxdy −∫∫11．设 则在球面坐标系下，以下三重积分的三次积
分 = ，，：01222≥≤++Ωz z y x ()
∫∫∫Ω+dv y x
f 22。
12．设是平面Ω10x y z +++=，20x y z +++=，0x =，0y =，围成0z =
的闭区域 1()I x y z dv Ω=++∫∫∫，22()I x y z dv Ω
=++∫∫∫
，则1I 2I （大小关系） 二、试解下列各题（每小题7分）：
1．一平面过两点12(1,1,1),(0,1,1)M M −且垂直于平面0x y z ++=，求它的方程。
2．设，其中f x y z x z e y (,,)=23z z x y =(,)是由方程所确定的隐函数，求：
x y z xyz 33330++−=01=−=∂∂y x x u , 其中u x y f x y z x y (,)(,,(,))=。
3．=）上任何点处的切平面在各坐标轴上的截
距之和等于a
0a >
三、（7分）设直线y kx =把曲线所围成的区域分成两部分，试求
2220x y ax +−=)0,0(>>a k 1,D D
21D
，2
D ∫∫。
四、（8分）求，其中是由曲面及平面所围成的闭区域。
∫∫∫Ω+dv y x )(22Ω)(254222y x z +=5=z
五、（8分）求函数2222z x y xy x =++−在闭域221x y +≤上的最大值、最小值。
六、（8分）设22
223222220(,)()00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩
，试证明：(,)f x y 在（0，0）
处连续且偏导数存在，但不可微分。