2018高中数学人教a版选修2-2学案：第三章 3.1 3.1.2 复数的几何意义 含解析
2018-2019学年高二数学人教A版选修2-2讲义：第三章 3.1 第1课时 数系的扩充和复数的
姓名，年级：时间：3.1 数系的扩充和复数的概念第1课时数系的扩充和复数的概念［核心必知］1．预习教材,问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P103，回答下列问题．（1）方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有．(2）为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？提示:引入了新数i，使i·i＝－1。
（3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？提示：分别得到a＋i，b i。
（4）把实数a与实数b和i相乘的结果相加,得到什么结果？提示:得到a＋b i.2．归纳总结,核心必记(1)复数的概念及代数表示①定义：形如a＋b i（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．②表示:复数通常用字母z表示,即z＝a＋b i(a，b∈R）,这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．（2）复数相等的充要条件在复数集C＝｛a＋b i|a，b∈R｝中任取两个数a＋b i，c＋d i（a，b，c,d∈R),规定a＋b i 与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d。
（3)复数的分类①复数a＋b i（a，b∈R）错误!②集合表示：[问题思考](1)复数m＋n i的实部、虚部一定是m、n吗？提示：不一定．只有当m∈R,n∈R时，m，n才是该复数的实部、虚部．（2）对于复数z＝a＋b i（a，b∈R），它的虚部是b还是b i？提示：虚部为b.(3)复数z＝a＋b i在什么情况下表示实数？提示：b＝0。
（4)复数集C与实数集R之间有什么关系？提示：R C。
（5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？提示：它的实部和虚部都是0。
(6）a＝0是z＝a＋b i为纯虚数的充要条件吗？提示:不是．因为当a＝0且b≠0时,z＝a＋b i才是纯虚数,所以a＝0是复数z＝a＋b i为纯虚数的必要不充分条件．(7）z1＝3＋2i，z2＝错误!－错误!i，z3＝－0.5i，则z1，z2，z3的实部和虚部各是什么?能否说z1>z2?提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为错误!，虚部为－错误!;z3的实部为0,虚部为－0.5。
高中数学选修2-2（人教A版）第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习及答案
⾼中数学选修2-2（⼈教A版）第三章数系的扩充与复数的导⼊3.1知识点总结含同步练习及答案描述：⾼中数学选修2-2(⼈教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章数系的扩充与复数的引⼊ 3.1 数系的扩充和复数的概念⼀、学习任务1. 了解数系的扩充过程．2. 理解复数的基本概念、代数表⽰法以及复数相等的充要条件．⼆、知识清单复数的概念复数的⼏何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进⼀步扩充，⼈们引⼊了⼀个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进⾏四则运算，且原有的加、乘运算律仍成⽴．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常⽤字母表⽰，即（，），这⼀表⽰形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数（，）可以分类如下： i =?1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d ia =cb =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)⾮纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的⼏何意义根据复数相等的定义，任何⼀个复数，都可以由⼀个有序实数对唯⼀确定．因为有序实数对与平⾯直⾓坐标系中的点⼀⼀对应，所以复数集与平⾯直⾓坐标系中的点集之间可以建⽴⼀⼀对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可⽤点表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表⽰实数；除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数．设复平⾯内的点表⽰复数，连结，显然向量由点唯⼀确定；反过下列命题中，正确的个数是（）①若，则的充要条件是；②若，则；③若，则，．A． B． C． D．解：A①由于，所以不⼀定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能⽐较⼤⼩，所以②不正确；③当，时，成⽴，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知，，若，则______．解：根据复数相等的充要条件，得整理得，所以，将其代⼊，得，所以，所以．=?3?4i z 1=(?3m ?1)+(?m ?6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{?3m ?1=?3,n 2?m ?6=?4,n 22m =4m =2?3m ?1=?3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数为何值时，复数分别是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数可整理为．（1）当时，，即或．（2）当时，是虚数，即且．（3）当时，是纯虚数，解得．（4）当时，，解得．k (1+i)?(3+5i)k ?2(2+3i)k 2z z =(?3k ?4)+(?5k ?6)i k 2k 2?5k ?6=0k 2z ∈R k =6k =?1?5k ?6≠0k 2z k ≠6k ≠?1{?3k ?4=0,k 2?5k ?6≠0,k 2z k =4{?3k ?4=0,k 2?5k ?6=0,k 2z =0k =?1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ ?→Z →OZ说成向量，并且规定，相等的向量表⽰同⼀个复数．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案：第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
3．2.2复数代数形式的乘除运算预习课本P109～111，思考并完成下列问题(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？[新知初探]1．复数代数形式的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.共轭复数已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0.4．复数代数形式的除法法则：(a＋b i)÷(c＋d i)＝a＋b ic＋d i＝ac＋bdc＋d＋bc－adc＋di(c＋d i≠0)．[点睛]在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－d i，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()(2)若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( )(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．(北京高考)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案：A3．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝ ( ) A ．4＋2i B ．2＋i C ．2＋2i D ．3＋4i 答案：A4．复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝________.答案：12－12i复数代数形式的乘法运算[典例] (1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 (2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ， 所以z 的实部是5. [答案] (1)A (2)51．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i 2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式(1)(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i(a ，b ∈R)． (2)(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [活学活用]1．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y 的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i解析：选D 由x i －y ＝－1＋i 得x ＝1，y ＝1，所以(1＋i)x ＋y ＝(1＋i)2＝2i. 2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，所以a －1＝0，a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案：1＋2i复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 2．常用公式(1)1i ＝－i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i ＝－i. [活学活用]1．(天津高考)i 是虚数单位，计算1－2i 2＋i 的结果为________．解析：1－2i 2＋i ＝(1－2i)(2－i)(2＋i)(2－i)＝(2－2)－i －4i5＝－i.答案：－i2．计算：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝________.解析：法一：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝1＋7i 1－3i ＝(1＋7i)(1＋3i)10＝－2＋i. 法二：(1＋i)(4＋3i)(2－i)(1－i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3i 2－i＝i(4＋3i)(2＋i)5＝(－3＋4i)(2＋i)5＝－10＋5i5＝－2＋i. 答案：－2＋ii 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1D ．－1(2)计算i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016＝________. [解析] (1)因为i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，所以其共轭复数为i ，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i 2)1 008]1－i ＝i(1－1)1－i ＝0.法二：∵i 1＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N)，∴i 1＋i 2＋i 3＋…＋i 2 016，＝(i 1＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＝0. [答案] (1)A (2)0虚数单位i 的周期性(1)i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．(2)i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N)．[活学活用] 计算1＋i 1－i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 10＝______.解析：∵1＋i 1－i ＝i ，∴原式＝i·i 2·i 3·…·i 10＝i 1＋2＋3＋…＋10＝i 55＝i 3＝－i.答案：－i[典例] 设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．[解] 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0. 所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋xx 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i.因为ω是实数且y ≠0， 所以y －y x 2＋y2＝0，所以x 2＋y 2＝1， 即|z |＝1.此时ω＝2x .因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. [一题多变]1．[变设问]若本例中条件不变，设u ＝1－z1＋z，证明u 为纯虚数． 证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由典例解析知，x 2＋y 2＝1，∴u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i)1＋(x ＋y i)＝(1－x －y i)(1＋x －y i)(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i (1＋x )2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，y ≠0，所以y1＋x ≠0， 所以u 为纯虚数．2．[变设问]若本例条件不变，求ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值． 解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由典例解析知x 2＋y 2＝1.则ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2x －⎝⎛⎭⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝⎛⎭⎫y 1＋x 2 ＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x ＝2(x ＋1)＋21＋x－3. 因为－12＜x ＜1，所以1＋x ＞0.于是ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2＝2(x ＋1)＋21＋x －3≥ 22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x， 即x ＝0时等号成立．所以ω－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－z 1＋z 2的最小值为1，此时z ＝±i.复数运算的综合问题解决方法在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x ＋y i(x ，y ∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．层级一 学业水平达标1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.2．(全国卷Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－iD ．2＋i解析：选C z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C. 3．(广东高考)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A ∵z ＝i(3－2i)＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴z ＝2－3i. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( ) A ．－1 024 B ． 1 024 C ．0D ．512解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.5．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D2＋a i 1＋i ＝(2＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋22＋a －22i ＝3＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋22＝3，a －22＝1，解得a ＝4，故选D.6．(天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1， 所以a b ＝2.答案：27．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2)＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案：－38．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.解析：∵a ，b ∈R ，且a1－i＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1. ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5. 答案： 59．计算：(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i.解：因为(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i ＝(i －2)(i －1)－2＋i ＝i －1，－3－2i 2－3i ＝(－3－2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝－13i13＝－i ， 所以(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i＝i －1＋(－i)＝－1.10．已知z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.层级二 应试能力达标1．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且a ＜0，b ＞0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a ＜0，－b ＜0，故应为B 点．2．设a 是实数，且1＋a i 1＋i ∈R ，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 因为1＋a i 1＋i ∈R ，所以不妨设1＋a i1＋i＝x ，x ∈R ，则1＋a i ＝(1＋i)x ＝x ＋x i ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，a ＝x ，所以a ＝1.3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2D ．1解析：选B ∵a ＋i i ＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，∴⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，解得a ＝3或a ＝－3(舍)．4．计算(－1＋3i)3(1＋i)6＋－2＋i1＋2i 的值是( )A ．0B ．1C ．iD ．2i解析：选D 原式＝(－1＋3i)3[(1＋i)2]3＋(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－1＋3i)3(2i)3＋－2＋4i ＋i ＋25＝－12＋32i 3－i ＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i)i＋i ＝2i. 5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝(3a －8)＋(4a ＋6)i25，∵z 1z 2为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0， ∴a ＝83.答案：836．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5. 答案： 57．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z ＜0，求纯虚数a .解：由z 2＋a z ＜0可知z 2＋az 是实数且为负数．z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ∈R 且m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i ＜0， ∴⎩⎨⎧－m2＜0，m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.8．复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i (a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限， ∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，复数7－i3＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：选B7－i 3＋i＝(7－i)(3－i)10＝20－10i10＝2－i.2．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2－4)i ＝－4i.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4.解得a ＝0.故选B. 3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 4．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(i －1)2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.5．已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由(1－i)2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，故选D.6．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－z z等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i)－1－i＝(3－i)(－1＋i)(－1－i)(－1＋i)＝－1＋2i ，故选C.7．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D.12－32i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋322＝12－32i.8．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( ) A.12 B ．－12C.12i D ．－12i解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i 2 016＝i 4＝1.∴z ＝11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－12i ，∴z 的虚部为－12.故选B.9．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ――→，OB ――→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．∴C 项正确．11．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则zz 等于( ) A ．1 B ．－i C ．±1D ．±i解析：选D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎨⎧ z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎨⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以z z ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝2i2＝i ，所以z z ＝±i. 12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤yx ≤ 3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：复数z ＝(5＋2i)2＝21＋20i ，其实部是21. 答案：2114．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 答案：316．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2＋2x －2b )＋(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2b ＝0，－x －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，b ＝4，∴m ＝4i. 答案：4i三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)＞0，且m 2＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.由复数相等，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.∴zz ＝z ·zz ·z ＝z 2|z |2＝4－1＋4i 5＝35＋45i.19．(本小题满分12分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|； (2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.20．(本小题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z . 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ② 又x 2＋y 2＝1. ③由①②③得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝1.22．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1－2＝1－i1＋i＝(1－i)2(1＋i)(1－i)＝－2i2＝－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.。
人教版高中数学选修2-2 学案：3.1.2复数的几何意义
3.1.2复数的几何意义【学习目标】1.理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的.2.能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【新知自学】 知识回顾：1.复数的定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫复数，a 叫复数的_______，b 叫复数的_______．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示．2.复数a ＋b i （a ，b ∈R ）在满足什么条件下，分别是实数，虚数，纯虚数？3.如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a ＋b i ＝c ＋d i⇔___________________. 新知梳理：1.实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数与平面内的点或有序实数对________.2.复数的几何意义是:（1）复平面：以x 轴为___轴，y 轴为____轴,建立直角坐标系，得到的平面叫复平面；（2）实数都落在____轴上，纯虚数落在____轴上，除原点外，虚轴上的点都表示_______；（3）每一个复数，有复平面内_______的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，所以，复数集C 与复平面内的点所成的集合是一一对应的，即Z a bi =+↔一一对应复数复平面内的点Z(a,b)（4）复平面内每一个点又唯一对应到复平面内的一个向量，即：↔一一对应复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ结合归纳知：复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即：Z a bi =+↔一一对应复数平面向量OZ ，特别地：实数０与_______对应；（5）复数),(R b a bi a z ∈+=的模：向量oz 的模r 叫做复数),(R b a bi a z ∈+=的模，记作z 或a bi +，且|z|=r=____________________________.说明：常把复数z a bi =+说成点Z 或是向量oz ，规定：相等的向量表示同一个复数对点练习：1.在复平面内，描出表示下列各复数的点：（1）i 52+ ； （2）i 23+- ；（3）i 42- ； （4）i --3；（5）5 ； （6）i 3- .2．已知复数i +2，i 42+-，i 2-，4，i 423-，在复平面内画出这些复数对应的向量.y x :a bi+3.求下列复数的模：（1）3-4i ；（2）-4；（3）-5i ；（4）i 23-21.4.能说3+4i>2+i 吗？|3+4i|>|2+i|呢？【合作探究】 典例精析：例1.（1）若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值.变式练习：例1中，若z 表示的点在复平面的左半平面，试求实数m 的取值范围.例2．在复平面内，O 是原点，向量对应的复数是i 2,如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB 对应的复数.变式练习：如果例2中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.例3.已知复数z的虚部为3，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求复数z．变式练习：z=3+ai ，且|z|<4，求实数a 的取值范围.【课堂小结】【当堂达标】1.已知20<<a ，复数i a z +=（i 是虚数单位），则z 的取值范围是（ ）A.()5,1 B.()3,1 C.()5,1 D.()3,12设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应的点在实轴上方D ．z 一定是实数3.如果P 是复平面内表示复数),(R b a bi a z ∈+=的点，分别指出在下列条件下点P 的位置：（1）0,0>>b a ； （2）0,0><b a ；（3）0,0≤=b a ； （4）0<b4．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．【课时作业】1.如果复数a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )A ．a >0，b <0B ．a >0，b >0C ．a <0，b <0D ．a <0，b >02．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i3.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．下列命题中假命题是( )A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|5．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是 ( )A ．－45<x <2 B ．x <2 C ．x >－45 D ．x ＝－45或x ＝2 6.在平面内指出与复数123412,2z i z z z i =+==-+对应的点1234,,,Z Z Z Z ，试判断这4个点是否在同一个圆上？7.设C z ∈，且满足下列条件，在复平面内复数z 对应的点Z 的集合是什么图形?(1)1<z <2； (2)1=-i z。
2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第3章 3-1-1 数系的扩充和复数的概念 含解析 精品
3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念1．了解数系的完整体系．(重点)2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 复数的概念及代数表示阅读教材P102～P103“第8行”以上内容，完成下列问题．1．复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.2．复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．3．复数集全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C＝{a＋b i|a，b∈R}．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)3＋4i是复数，3不是复数，4i不是复数．()(2)复数3－4i的实部是3，虚部是5.()(3)复数i的实部不存在，虚部为0.()【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理2 两个复数相等的充要条件阅读教材P 103“第9行”以下～P 103“第11行”以上内容，完成下列问题． 在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中，任取两个复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，规定a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( ) A ．x ＝1，y ＝－1 B ．x ＝0，y ＝－1 C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0【解析】 ∵(x ＋y )i ＝x －1， ∴⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，∴x ＝1，y ＝－1. 【答案】 A教材整理3 复数的分类阅读教材P 103“思考”以下内容，完成下列问题． 1．复数a ＋b i(a ，b ∈R ) ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).2．集合表示判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( ) (3)b i 是纯虚数．( ) (4)3是实数，不是复数．( )【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[小组合作型](1)2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()【导学号：62952096】A．0B．1C．2 D．3(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________．(3)下列命题正确的是__________(填序号)．①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；②若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集．【自主解答】(1)复数的平方不一定大于0，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确，故选B.(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±2，b＝5.(3)①由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a＝0时，a i＝0为实数，故②为假命题．③由复数集的分类知，③正确，是真命题．【答案】(1)B(2)±2，5(3)③判断与复数有关的命题是否正确的方法1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部．[再练一题]1．下列命题中是假命题的是( ) A ．自然数集是非负整数集 B ．实数集与复数集的交集为实数集 C ．实数集与虚数集的交集是{0} D ．纯虚数集与实数集的交集为空集【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C 是假命题．【答案】 C(1)复数z ( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a >0且a ＝±b(2)已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， ①z 为实数？ ②z 为虚数？ ③z 为纯虚数？【精彩点拨】 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．【自主解答】 (1)要使复数z 为纯虚数，则⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，a ＋|a |≠0，∴a >0，a ＝±b .故选D.【答案】 D(2)①要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.②要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.③要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.[再练一题]2．若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？【解】 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，即|a |＝－a ，所以a ≤0.[探究共研型]探究1 a ＝【提示】 因为当a ＝0且b ≠0时，z ＝a ＋b i 才是纯虚数，所以a ＝0是复数z ＝a ＋b i 为纯虚数的必要不充分条件．探究2 3＋2i ＞3＋i 正确吗？【提示】 不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．(1)若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1)i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值． 【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解． 【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件， 得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝12.(2)设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.1．复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1＝z 2⇔a ＝c 且b ＝d .2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：(1)等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数．[再练一题]3．已知x 2＋y 2－6＋(x －y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值.【导学号：62952097】【解】 由复数相等的条件得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－6＝0，①x －y －2＝0，②由②得x ＝y ＋2，代入①得y 2＋2y －1＝0. 解得y 1＝－1＋2，y 2＝－1－ 2.所以x 1＝y 1＋2＝1＋2，x 2＝y 2＋2＝1－ 2. 即⎩⎨⎧ x ＝1＋2，y ＝－1＋2或⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝－1－ 2.1．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝CB ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C【解析】 集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁S A )∪(∁S B )＝C 正确．【答案】 D2．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4【解析】 由复数相等的条件得⎩⎨⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4. 【答案】 C3．复数(1－2)i 的实部为________．【解析】 ∵复数(1－2)i ＝0＋(1－2)i ，∴实部为0. 【答案】 04．已知z 1＝m 2－3m ＋m i ，z 2＝4＋(5m ＋4)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位，若z 1＝z 2，则m 的值为________．【解析】 由题意得m 2－3m ＋m i ＝4＋(5m ＋4)i ，从而⎩⎨⎧m 2－3m ＝4，m ＝5m ＋4，解得m ＝－1.【答案】 －15．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ≠∅，求整数a ，b .【解】 依题意得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ， ①或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ，②或(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝(a 2－1)＋(b ＋2)i. ③ 由①得a ＝－3，b ＝±2， 由②得a ＝±3，b ＝－2.③中，a ，b 无整数解不符合题意．综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.。
人教A版高二数学选修2-2 第三章 第一节 3.1.1数系的扩充和复数的概念(同步教案)
§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1.知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念；教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展(二)、探究新知，揭示概念为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数（三）、分析归纳，抽象概括1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小（四）、知识应用，深化理解例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2 复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？答：实部是3.14，虚部是－2.易错为：实部是－2，虚部是3.14！例3（课本例1）实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.例4 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以x =25，y =4 （五）、归纳小结、布置作业教师提出问题：（1）这节课你学到了什么？（2）虚数单位i 及它的两条性质（3）复数的概念布置作业：课本第106页 习题3.1 1 , 2 , 3；。
【精品课件】高中数学(人教A版)选修2-2-第三章 3.2 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
人教A版数学 · 选修2－2
探究二
复数加减法的几何意义
→ [典例 2] 已知复平面内平行四边形 ABCD，点 A 对应的复数为 2＋i，向量BA对应 → 的复数为 1＋2i，向量BC对应的复数为 3－i，求： (1)点 C，D 对应的复数； (2)平行四边形 ABCD 的面积．
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2 m －3m－4＝0， ∵z1－z2＝0，∴ 2 m －5m－6＝0，
解得 m＝－1.
答案：－1
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探究一 复数的加减运算 [典例 1] 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)； (3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (4)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
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1．(1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)； (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
解析：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i； (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i； (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.
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二、复数加法的几何意义 → → → → 如图，若复数 z1，z2 对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数 z1＋z2 是以OZ1，OZ2 → 平行四边形 为两邻边的 的对角线OZ所对应的 复数 ，即复数的加法可以按照 向量的 加法 来进行．这就是复数加法的几何意义．
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x－2＝3， ∴ y－1＝－1， x＝5， 解得 y＝0，
2018版数学人教A版选修2-2学案：第三章 数系的扩充与
学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算，并认识复数加减法的几何意义．知识点一 复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )． (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； (4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算： i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.知识点二 共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.知识点三 复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．类型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 21006＋(4－8i )2－(4－8i )211－7i ＝i ＋(－i)1006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i2＋i ＝1－i ，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． (2)虚数单位i 的周期性：①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．跟踪训练1 计算：1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7.解 1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i )7＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1(1＋i )2]2＋i 7＝162(－1＋i)－14－i＝－(162＋14)＋(162－1)i.类型二 复数的几何意义例2 设复数z 满足|z |＝1，求|z －(3＋4i)|的最值．解 由复数的几何意义，知|z |＝1表示复数z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z －(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C (3,4)的距离的最大值与最小值． 如图，易知|z －(3＋4i)|max ＝|AC |＝|OC |＋1＝32＋42＋1＝6， |z －(3＋4i)|min ＝|BC |＝|OC |－1＝4.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图象为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |. 由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1； |z |的最大值|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.类型三 复数相等例3 已知复数z 满足z ＋z ·z ＝1－2i4，求复数z . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， ∵z ＋z ·z ＝1－2i4，∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝1－2i4，即⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝14，y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12.∴z ＝－12i 或z ＝－1－12i.反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题． 跟踪训练3 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 答案5解析 设z ＝a ＋b i ，∴z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i. 又∵z 2＝3＋4i ，∴a 2－b 2＝3,2ab ＝4， 解得a 2＝4，b 2＝1， ∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.1．复数z ＝2＋a i1＋i (a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点(2＋a 2，a －22)在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2.2．已知复数z ＝1＋2i1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1 答案 C3．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心 答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．4．若|z －1|＝2，则|z －3i －1|的最小值为________． 答案 1解析 因为|z －1|＝2，所以复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z －3i －1|表示复数z 在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值1. 5．设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． 因为4z ＋2z ＝33＋i ， 所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式， 得2z ＋4a ＝33＋i. 所以z ＝33－4a 2＋i2.根据复数相等的充要条件，得 ⎩⎨⎧a ＝33－4a 2，b ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋i 2.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化． 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题．课时作业一、选择题1．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z 是( ) A ．－5＋2i B ．－5－2i C.5＋2i D.5－2i答案 B解析 设复数z 的虚部为b ，则z ＝－5＋b i ，b >0， ∵3＝5＋b 2，∴b ＝2，∴z ＝－5＋2i ， 则z 的共轭复数是－5－2i ，故选B.2．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15答案 B 解析1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.3．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 C 解析 z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝4i 5－1＝i.4．若复数z ＝cos π12＋isin π12(i 是虚数单位)，复数z 2的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是( ) A ．ab <0 B ．a 2＋b 2≠1 C.ab ＝ 3 D.ba ＝ 3 答案 C解析 ∵z ＝cos π12＋isin π12，∴z 2＝(cos π12＋isin π12)2＝cos 2π12－sin 2π12＋2cos π12sin π12i＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，则a ＝32，b ＝12，则ab＝3，故选C. 5．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数是( ) A ．－10＋8i B ．10－8i C ．－8＋10iD ．8＋(－10i)答案 A解析 向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，可得Z 1(5，－4)； 向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，可得Z 2(－5,4)； 向量Z 1Z 2—→对应的点是(－10,8)，即向量Z 1Z 2—→对应的复数是－10＋8i.故选A. 6．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．3答案 D解析 ∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3. 二、填空题7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 答案 1解析 因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i＝1－i ，所以其实部为1. 8．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝________. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i(2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9．若复数1＋i 1－i ＋b (b ∈R )所对应的点在直线x ＋y ＝1上，则b 的值为________．答案 0解析 复数1＋i 1－i ＋b ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋b ＝2i2＋b ＝b ＋i.∵所对应的点(b,1)在直线x ＋y ＝1上， ∴b ＋1＝1，解得b ＝0.10．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案 －2－i解析 由图可知，z 1＝－1＋2i ，∴由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i.三、解答题11．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)． (1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝1，a ＝0，求|z 1＋z 21－2i|.解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ， z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以实数a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i. |z 1＋z21－2i |＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 12．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2. 解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i.设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ， 又z 1·z 2是实数，则b －1＝0， ∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.13．求虚数z ，使z ＋9z ∈R ，且|z －3|＝3.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则 z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝(a ＋9a a 2＋b 2)＋(b －9b a 2＋b 2)i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0，又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.① 又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.②由①②，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i.四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i2－i的实部，则ab ＝________. 答案 －25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ， 由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部， 得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ，由b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，得b ＝15.则ab ＝－2×15＝－25.15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ， BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2. 故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。
高中数学人教A版选修2-2第三章3-1-2复数的几何意义素
3.1.2 复数的几何意义说课稿一、教学目标：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式得出其对应的点及向量。
二、教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式得出其对应的点及向量。
三、教学难点:根据复数的代数形式得出其对应的点及向量。
四、教学过程：（一）复习引入：1．复习复数的定义、代数形式、相等和分类。
2. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---。
3．复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时为实数、虚数、纯虚数？4. 若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值。
（二）推进新课1、讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ 分析：根据复数的代数形式和复数相等的定义，可知复数z =a +bi (a 、b ∈R )它是由实部a 和虚部b 同时确定，即由有顺序的两个实数，也就是有序实数对（a ，b ）确定的。
由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数与平面内的点可以建立一一对应。
如图，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
例如，在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i 。
2、复数的一种几何意义复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点Z(a ，b) 例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3i i i i i i i +-+---分别对应的点。
2018版数学选修2-2学案：第三章 数系的扩充与复数的引
第2课时 复数的乘方与除法运算学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解i 幂的周期性．知识点一 复数的乘方与i n (n ∈N *)的周期性思考 计算i 5，i 6，i 7，i 8的值，你能推测i n (n ∈N *)的值有什么规律吗？答案 i 5＝i ，i 6＝－1，i 7＝－i ，i 8＝1，推测i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．梳理 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任意复数z ，z 1，z 2和m ，n ∈N *，有 ①(z )m ·(z )n ＝z m ＋n .②(z m )n ＝z mn .③(z 1·z 2)n ＝z n 1·z n 2. (2)虚数单位i n (n ∈N *)的周期性 i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.知识点二 复数的除法思考 如何规定两复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)相除？ 答案 通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘c －d i ，化简后可得结果．梳理 把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.类型一 i 的运算特征 例1 计算下列各式的值． (1)1＋i ＋i 2＋…＋i 2015＋i 2016； (2)(1－1i )2014＋(1－i)2014.解 (1)1＋i ＋i 2＋…＋i2015＋i2016＝1－i 20171－i ＝1－i 1－i＝1.(2)∵1－1i ＝1＋i 2i＝1＋i ，且(1±i)2＝±2i.∴(1－1i )2014＋(1－i)2014＝(1＋i)2014＋[(1－i)2]1007＝(2i)1007＋(－2i)1007＝21007i 3－21007i 3＝0. 反思与感悟 (1)虚数单位i 的性质①i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1(n ∈N *)．②i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)复数的乘方运算，要充分使用(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1i ＝－i 及乘方运算律简化运算．跟踪训练1 计算：i 2006＋(2＋2i)8－(21－i )50.解 i 2006＋(2＋2i)8－(21－i )50＝i 4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－[2(1－i )2]25＝i 2＋(4i)4－i 25＝－1＋256－i ＝255－i. 类型二 复数的除法运算例2 (1)已知i 是虚数单位，则复数3－i2＋i 的共轭复数是．答案 1＋i 解析3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5－5i 4－i 2＝1－i ， ∴复数3－i 2＋i 的共轭复数为1＋i.(2)计算：(1－4i )(1＋i )＋2＋4i3＋4i .解 原式＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i ＝7＋i3＋4i＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i25＝1－i.反思与感悟 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i. 跟踪训练2 (1)已知i 是虚数单位，则i 3(i ＋1)i －1＝.(2)复数z 满足(1＋2i)·z ＝4＋3i ，则z ＝. 答案 (1)－1 (2)2＋i解析 (1)∵i ＋1i －1＝(1＋i )2－(1－i )(1＋i )＝2i－2＝－i ，∴i 3(i ＋1)i －1＝i 3·(－i)＝－i 4＝－1.(2)∵z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝10－5i5＝2－i ，∴z ＝2＋i.类型三 复数四则运算的综合应用 例3 计算：(1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2； (2)(2＋2i )3(4＋5i )(5－4i )(1－i ).解 (1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2＝(1＋23i )i 1＋23i ＋(5－1)－2i2＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22(1＋i )3(5－4i )i (5－4i )(1－i )＝22(1＋i )4i(1－i )(1＋i )＝22[(1＋i )2]2·i2＝2·(2i)2·i＝－42i.反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减． (2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用①a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i b i －a i 2＝(a ＋b i )i a ＋b i ＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化． ②记忆一些简单结论如1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，(1±i)2＝±2i 等．跟踪训练3 计算：(1)3＋2i 2－3i＋(－32－i2)6；(2)－23＋i 1＋23i＋(21＋i )2＋(4－8i )2－(－4＋8i )24＋3i .解 (1)原式＝i (2－3i )2－3i ＋i 6(－12＋32i)6＝i ＋i 2＝i －1.(2)原式＝i (23i ＋1)1＋23i ＋22i＋(4－8i )2－[－(4－8i )]24＋3i＝i ＋1i ＋(4－8i )2－(4－8i )24＋3i＝i ＋(－i)＋0＝0.1．已知i 是虚数单位，则2(1＋i )2＝.答案 －i 解析2(1＋i )2＝22i＝－i. 2．若复数2－b i1＋2i 的实部与虚部互为相反数，则b ＝.答案 －23解析2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2－2b －(b ＋4)i 5，由题意知2－2b －(b ＋4)＝0， 得b ＝－23.3．如果z ＝21－i ，那么z 100＋z 50＋1＝.答案 i解析 z 2＝(21－i)2＝i ，则z 100＋z 50＋1＝(z 2)50＋(z 2)25＋1 ＝i 50＋i 25＋1＝－1＋i ＋1＝i.4．(1)若2＋a i1＋2i ＝－2i ，求实数a 的值；(2)若复数z ＝2i1－i，求z ＋3i.解 (1)依题意，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ， ∴a ＝－ 2.(2)∵z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i(1＋i)＝－1＋i ， ∴z ＝－1－i ，∴z ＋3i ＝－1＋2i.1．熟练掌握乘除法运算法则．求解运算时要灵活运用i n 的周期性．此外，实数运算中的平方差公式、两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i ＝i ，－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．3．在运行复数运算时，要理解好i 的性质，切记不要出现和“i 2＝1”，“i 4＝－1”等错误．课时作业一、填空题 1．复数1＋i 1－i ＋i 3＝.答案 0解析 ∵1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i ，i 3＝i 2·i ＝－i.∴原式＝i －i ＝0. 2．复数(1－i )22i ＝.答案 －1解析 原式＝－2i2i＝－1.3．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b ＝.答案 6 解析z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5，∵z 1z 2是实数，∴6－b ＝0，即b ＝6. 4.z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝. 答案 1－i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝a －b i ，z ＋z ＝2a ＝2，得a ＝1. (z －z )i ＝2b i 2＝2，得b ＝－1， ∴z ＝1－i.5．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，对于虚数单位i ，α(i)＝. 答案 4解析 α(i)表示满足i n ＝1的最小正整数n ， 又i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i)＝4.6．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 的值是．答案 2 解析1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(1＋2a )i5，由纯虚数定义，得2－a ＝0且1＋2a ≠0， ∴a ＝2.7．复数z 满足方程z i ＝1－i ，则z ＝. 答案 －1＋i解析 z ＝1－ii ＝－1－i ，∴z ＝－1＋i.8．计算－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 1996＝.答案 －1＋i解析 原式＝i (1＋23i )1＋23i＋[(21－i )2]998＝i ＋⎝⎛⎭⎫2－2i 998＝i ＋i 998＝i ＋i 4×249＋2＝i ＋i 2＝－1＋i.9．定义：⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若复数z 满足⎪⎪⎪⎪z 1－i i ＝－1＋2i ，则z ＝. 答案 1＋i解析 ⎪⎪⎪⎪z 1－i i ＝z i ＋i ＝－1＋2i ， 则z ＝－1＋i i ＝1＋i.10．若f (z )＝1－z (z ∈C )，已知z 1＝2＋3i ，z 2＝5－i ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z 1z 2＝.答案1926－1726i 解析 z 1z 2＝2－3i 5＋i ＝726－1726i ，故f (z 1z 2)＝1－⎝⎛⎭⎫726＋1726i ＝1926－1726i. 11．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i(2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i. 二、解答题12．计算[(1＋2i)·i 100＋(1－i 1＋i )5]2－(1＋i 2)20.解 [(1＋2i)·i 100＋(1－i 1＋i )5]2－(1＋i 2)20＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10 ＝(1＋i)2－i 10 ＝1＋2i.13．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 由(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1＝1－i1＋i ＋2＝2－i.由复数z 2的虚部为2，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. ∵z 1·z 2∈R ，∴4－a ＝0，即a ＝4， ∴z 2＝4＋2i. 三、探究与拓展14．已知i 是虚数单位，则i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝. 答案 4－4i解析 设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8，①则i S ＝i 2＋2i 3＋…＋7i 8＋8i 9， ②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 8－8i 9 ＝i (1－i 8)1－i －8i＝－8i.∴S ＝－8i 1－i ＝－8i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－8i (1＋i )2＝4－4i.15．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．解 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)． 则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5y x 2＋y2)i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y ，∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足条件．。
【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第三章3.13.1.1
3．1.1数系的扩充和复数的概念预习课本P102～103，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？[新知初探]1．复数的有关概念a＋b i|a，b∈R中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i 我们把集合C＝{}叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z 的实部与虚部．[点睛]复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等a＋b i|a，b∈R中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规定：在复数集C＝{}a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎨⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1，3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i答案：C3．复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i(m ∈R)是纯虚数，则有( ) A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m ≠1答案：B[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.[活学活用]当m 为何值时，复数z ＝m 2(1＋i)－m (3＋i)－6i ，m ∈R ，是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：∵z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，∴(1)当m 满足m 2－m －6＝0，即m ＝－2或m ＝3时，z 为实数． (2)当m 满足m 2－m －6≠0，即m ≠－2且m ≠3时，z 为虚数．(3)当m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－m －6≠0，即m ＝0时，z 为纯虚数.[典例] m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根， 则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝⎛⎭⎫－122－12＋3m ＝0， 所以m ＝112.[答案]112 －12[一题多变]1．[变条件]若将本例中的方程改为：x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 如何求解？解：设实根为x 0，代入方程，由复数相等定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，m ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，m ＝2，因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1，当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1. 2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x 2－m2x －1＝(10－x －2x 2)i ，如何求解？解：设方程实根为x 0，则原方程可变为3x 20－m 2x 0－1＝(10－x 0－2x 20)i ，由复数相等定义，得：⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－m 2x 0－1＝0，10－x 0－2x 20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，m ＝11或⎩⎨⎧x 0＝－52，m ＝－715，因此，当m ＝11时，原方程的实根为x ＝2； 当m ＝－715时，原方程的实根为x ＝－52.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．层级一 学业水平达标1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 2．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.3．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ＜0且a ＝－b C ．a ＞0且a ≠bD ．a ≤0解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4B.π4或54πC ．2k π＋π4(k ∈Z)D ．k π＋π4(k ∈Z)解析：选D 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z)，故选D.6．下列命题中：①若a ∈R ，则a i 为纯虚数；②若a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③两个虚数不能比较大小；④x ＋y i 的实部、虚部分别为x ，y .其中正确命题的序号是________．解析：①当a ＝0时，0i ＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x ＋y i 中未标注x ，y ∈R ，故若x ，y 为复数，则x ＋y i 的实部、虚部未必是x ，y .答案：③7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.答案：28．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.解析：由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2.答案：2 ±29．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋log 2(3－m )i ，m ∈R ，如果z 是纯虚数，求m 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＞0，3－m ＞0，log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(3－m )≠0，解得m ＝－1.10．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R ，y 是纯虚数． 解：设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ， 即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4.即x ＝－32，y ＝4i.层级二 应试能力达标1．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.2．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1.3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ (θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( ) A ．k π(k ∈Z) B ．2k π＋π3(k ∈Z)C ．2k π±π6(k ∈Z)D ．2k π＋π6(k ∈Z)解析：选D 由复数相等的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 5．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．解析：∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}． 答案：{0}6．若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R)，则b ＋a i ＝________.解析：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴b ＋a i ＝－2＋i. 答案：－2＋i7．定义运算＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝，求实数x ，y 的值．解：由定义运算＝ad －bc ，得＝3x ＋2y ＋y i ，故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.8．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N⊆M，求实数a，b的值．解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.②由①，得a＝－3，b＝±2，由②，得a＝±3，b＝－2.综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.。
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3.1.2 复数的几何意义课时目标1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除了________外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数与点、向量间的对应如图，在复平面内，复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )可以用点__________或向量__________表示．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )与点Z (a ，b )和向量OZ →的一一对应关系如下：3．复数的模复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝__________.一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i C ．2＋4i D ．4＋i2．若点P 对应的复数z 满足|z |≤1，则P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．线段C ．圆D ．单位圆以及圆内3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆5．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3)6．在复平面内，若z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取 值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)7．复数z ＝3＋4i 对应的点Z 关于原点的对称点为Z 1，则向量OZ 1→对应的复数为________． 8．在复平面内，向量OP →对应的复数是1－i ，将P 向左平移一个单位后得向量P 0，则点P 0对应的复数是________．9．已知复数3＋i 、2－i 在复平面内对应的点为A 、B ，则直线AB 的斜率为________． 三、解答题10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点 (1)在虚轴上； (2)实轴负半轴上；(3)在直线y ＝x 上，分别求出复数z .11.(1)求复数z 1＝3＋4i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小；(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．能力提升12．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．已知复数z 表示的点在直线y ＝12x 上，且|z |＝35，求复数z .1．复数与复平面上点一一对应，与以原点为起点的向量一一对应．2．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模为非负实数，利用模的定义，可以将复数问题实数化．答案知识梳理1．实轴 虚轴 原点 2．Z (a ，b ) OZ → 3.a 2＋b 2作业设计1．C [复数6＋5i 对应A 点坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.] 2．D3．D [∵23<m <1，则3m －2>0，m －1<0，∴点在第四象限．]4．A [由|z |2－2|z |－3＝0解得： |z |＝3或|z |＝－1(舍)，故选A.] 5．C [∵|z |＝a 2＋1，而0<a <2， ∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.]6．D [z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.]7．－3－4i解析 由题意Z 点的坐标为(3,4)， 点Z 关于原点的对称点Z 1(－3，－4)， 所以向量OZ 1→对应的复数为－3－4i. 8．－i解析 P (1，－1)向左平移一个单位至P 0(0，－1)，对应复数为－i. 9．2解析 ∵A (3,1)，B (2，－1)，∴k AB ＝－1－12－3＝2.10．解 (1)若复数z 对应的点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2.此时z ＝ 6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应的点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.(3)若复数z 对应的点在直线y ＝x 上时，m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2，∴复数z ＝0.11．解 (1)|z 1|＝32＋42＝5， |z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋(－2)2＝32，∵5>32，∴|z 1|>|z 2|.(2)∵z ＝3＋a i (a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)． 12．D [∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．] 13．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则b ＝12a 且a 2＋b 2＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝－3.因此z ＝6＋3i 或z ＝－6－3i.。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3.2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课时目标 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意 义，能够利用“数形结合”的思想解题．1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )是任意两个复数，则z 1＋z 2＝__________， z 1－z 2＝________.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C 有z 1＋z 2＝____________，(z 1＋z 2)＋z 3＝____________.2．复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量OZ →，与z 1－z 2对应的向量是________．一、选择题1．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A ．－1B ．3 C.12D ．－1或32．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( )A ．2＋8iB ．－6－6iC ．4－4iD ．－4＋2i4．设向量OP →、PQ →、OQ →对应的复数分别为z 1、z 2、z 3，那么( )A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝05．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( )A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5 B.13 C.15 D.17 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．(2x ＋3y i)－(3x －2y i)＋(y －2x i)－3x i ＝____________.(x ，y ∈R )8．在复平面上，复数－3－2i ，－4＋5i,2＋i ，z 分别对应点A ，B ，C ，D ，且ABCD 为 平行四边形，则z ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．三、解答题10．计算(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i (a ，b ∈R )．11.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.能力提升12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．13．若z∈C，且|z|＝1，求|z－i|的最大值．1．复数代数形式的加减运算类似于多项式的加减运算，满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．3．|z 1－z 2|的几何意义就是复数z 1，z 2在复平面上对应的点Z 1，Z 2之间的距离．答案知识梳理1．(1)(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i(2)z 2＋z 1 z 1＋(z 2＋z 3)2.Z 2Z 1→作业设计1．C [z ＝(2m 2＋m －1)＋(3＋2m －m 2)i.令⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1＝03＋2m －m 2≠0，得m ＝12.] 2．B [z ＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.]3．C [BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(3,2)－(1,5)－(－2,1)＝(4，－4)．]4．D [∵OP →＋PQ →－OQ →＝OQ →－OQ →＝0，∴z 1＋z 2－z 3＝0.]5．B [∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．]6．B [由复数加法的几何意义，知BD →＝BA →＋BC →.∵BA →对应的复数为z A －z B ＝i －1，BC →对应的复数为z C －z B ＝(4＋2i)－1＝3＋2i ，∴BD →对应的复数为(i －1)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴|BD →|＝22＋32＝13.]7．(y －x )＋5(y －x )i解析 原式＝(2x －3x ＋y )＋(3y ＋2y －2x －3x )i＝(y －x )＋5(y －x )i.8．3－6i解析 由于AB →＝DC →，∴2＋i －z ＝(－4＋5i)－(－3－2i)，∴z ＝3－6i.9．4解析 复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位 圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4.10．解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3)i.11．解 方法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15b ＝8. ∴z ＝－15＋8i.方法二 原式可化为：z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i得：z ＝－15＋8i.12．解 方法一 设D 点对应复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧ 32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由已知AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 方法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z －i|＝a 2＋(b －1)2.∵a 2＋b 2＝1，∴|z －i|＝2－2b .又∵|b |≤1，∴0≤2－2b ≤4，∴当b ＝－1时，|z －i|＝2为最大值．方法二 因为|z |＝1，所以点Z 是单位圆x 2＋y 2＝1上的点，|z －i|＝x 2＋(y －1)2表示点Z与点(0,1)之间的距离，当点Z 位于(0，－1)时，|z －i|有最大值2.。
人教版数学高二A版选修2-2学案 第三章 数系的扩充与复数的引入 (2)
3.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点一 复数的乘法及其运算律思考 怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理 (1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 交换律z 1z 2＝z 2z 1 结合律(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3知识点二 共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.知识点三 复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？答案 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )3．若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( × )类型一 复数代数形式的乘除运算例1 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i； (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．跟踪训练1 计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i； (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i＝i (2－3i )2－3i ＋－i (2＋3i )2＋3i＝i －i ＝0. (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i.类型二 i 的运算性质例2 计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i 2 017.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质 解 (1)原式＝2(1＋i )－2i＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1＝i.(2)方法一 原式＝i (1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i. 方法二 因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ；③1i＝－i. 跟踪训练2 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________. 考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质答案 i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) 2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质解 设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，①所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i (1－i 100)1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－100(－1＋i )2 ＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.类型三 共轭复数及其应用例3 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.引申探究例3条件改为z (z ＋2)＝4＋3i ，求z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则z ＝x －y i ，由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.得⎩⎪⎨⎪⎧x (2＋x )＋y 2＝4，xy －y (x ＋2)＝3. 解得⎩⎨⎧ x ＝－1－112，y ＝－32或⎩⎨⎧ x ＝－1＋112，y ＝－32， 所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝⎛⎭⎫－1＋112－32i. 反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i.1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 z ＝1i＝－i. 2．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z |z |等于( ) A ．1B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z |z |＝45－35i. 3．已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 D解析 因为(1－i )2z＝1＋i ， 所以z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i＝－2i (1－i )2＝－1－i. 4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i，则z ＝________. 考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1＋i解析 z ＝2i 31＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ， 所以z ＝－1＋i.5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关系的综合问题解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( ) A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i7＝i ， ∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7＝0. 2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 C解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 等于( ) A ．6B ．－6C ．0D.16 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 A解析 ∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b ＋(6－b )i 5是实数， ∴6－b ＝0，∴实数b 的值为6，故选A.5．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 D解析 由图可知z ＝3＋i ，所以复数z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D. 6．设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |等于( ) A ．1B.2C. 3D ．2 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A 解析 由1＋z 1－z＝i ， 得z ＝－1＋i 1＋i＝(－1＋i )(1－i )2＝2i 2＝i ， |z |＝|i|＝1.7．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( )A ．1±3iB ．3±iC ．3＋iD ．3－i 考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i. 8．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i的值是( ) A ．0B ．1C ．2iD ．i 考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3－i＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i )i＋i ＝2i. 二、填空题9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________． 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，所以a b＝2. 10．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 1解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i 25＝i. 则|z |＝1.11．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ad －bc .则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________．考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 －1－3i解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ， ∴其共轭复数为－1－3i.三、解答题12．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i.由题意得a －3b ＝0,3a ≠－b .因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入，解得a ＝15，b ＝5或a ＝－15，b ＝－5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 13．已知复数z ＝1＋i.(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 (1)因为z ＝1＋i ，所以ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.(2)因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝1－i ， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i i＝1－i ， 所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝(1－i)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.四、探究与拓展14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知(m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i.若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，所以所求概率为636＝16. 15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；(2)设μ＝1－z 1＋z，求证：μ为纯虚数． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数，且y ≠0，所以y －yx 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝1.所以|z |＝1，此时ω＝2x .又－1<ω<2，所以－1<2x <2.所以－12<x <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.(2)证明 μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝1－x 2－y 2－2y i1＋2x ＋x 2＋y 2.又x 2＋y 2＝1，所以μ＝－y1＋x i.因为y ≠0，所以μ为纯虚数．。
人教版数学高二A版选修2-2学案 第三章 数系的扩充与复数的引入 章末复习
章末复习 学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ←―――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←―――――→一一对应平面向量OZ →.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ )3．方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )类型一 复数的概念例1 已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值： (1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3.由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.由a 2－4≠0，解得a ≠±2.(1)由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0，得a ＝－5或a ＝3，∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数．(2)由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0，得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2，∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数．(3)由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15＝0，得a ＝3，∴当a ＝3时，z ＝0.引申探究例1中条件不变，若z 为纯虚数，是否存在这样的实数a ，若存在，求出a ，若不存在，请说明理由．解 由a 2－a －6＝0且a 2＋2a －15≠0，且a 2－4≠0，得a 无解，∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．跟踪训练1 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时：(1)z ∈R ；(2)z 为虚数． 考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)＝0，x －3>0， 解得x ＝4，所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0，解得x >3＋212且x ≠4. 所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数． 类型二 复数的四则运算例2 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 考点 复数四则运算的综合运用题点 复数的混合运算解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 009＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 009＋0＝0. (2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ，∴z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．跟踪训练2 (1)已知z 1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 B解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. (2)已知z 是复数，z －3i 为实数，z －5i 2－i为纯虚数(i 为虚数单位)． ①求复数z ；②求z 1－i的模． 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 ①设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴由z －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，可得b ＝3.又∵a －2i 2－i＝2a ＋2＋(a －4)i 5为纯虚数， ∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.②z 1－i ＝－1＋3i 1－i ＝(－1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＝－2＋i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1－i ＝|－2＋i|＝(－2)2＋12＝ 5. 类型三 数形结合思想的应用例3 已知复平面内点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值． 考点 分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用题点 数形结合思想的应用解 (1)由题意得z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋(cos 2θ－1)i ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知，点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)．由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12， ∴sin 2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此sin θ＝12，∴θ＝π6或θ＝5π6. 反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．跟踪训练3 在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z＋z 2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 A解析 ∵2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2 ＝21＋i ＋2i ＝(1－i)＋2i ＝1＋i ， ∴复数2z＋z 2对应点的坐标为(1,1)，故在第一象限．1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B.2 C. 3D ．2考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 B解析 由已知得x ＋x i ＝1＋y i ，根据两复数相等的条件可得x ＝y ＝1，所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.2．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 4i z z －1＝4i 12＋22－1＝i. 3．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2考点 乘除法的运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 2，a －22且在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2.4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若 z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以z ·z i ＋2＝2z ，即2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，根据复数相等的充要条件得2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i.5．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i，则z ＝________. 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 3＋4i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝a －b i ，∵|z |－z ＝101－2i，∴|z |－z ＝2＋4i ， 则a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，∴z ＝3＋4i.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD.2i∈S 考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质答案 B 2．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n i m －n i等于( ) A ．－1B ．1C ．－iD ．i 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，得m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i. 3．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a 等于( ) A. 3B ．2 C. 2D ．1 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ∵a ＋i i＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2， 解得a ＝3或a ＝－3(舍)．4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，i 为虚数单位，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为( )A ．－43B.43 C ．－34D.34考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D解析 因为z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i ]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34. 经检验，m ＝34能使2－m ＝3m －1>0， 所以m ＝34满足题意． 5．已知复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1，i 为虚数单位，则复数z －b 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 C解析 z ＝4＋b i 1－i ＝(4＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(4－b )＋(4＋b )i 2＝4－b 2＋4＋b 2i ， 又复数z ＝4＋b i 1－i(b ∈R )的实部为－1， 则4－b 2＝－1，即b ＝6.∴z ＝－1＋5i ， 则z ＝－1－5i.复数z －b ＝－1－5i －6＝－7－5i ，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.6．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.z对应的点在实轴的下方D．z一定为实数考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案C解析∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与z对应的点关于实轴对称，∴C正确．7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为() A．2＋i B．2－iC．5＋i D．5－i考点共轭复数的定义与应用题点利用定义求共轭复数答案D解析由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝52－i＝2＋i，∴z＝5＋i，∴z＝5－i.二、填空题8．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数z所对应的向量互相垂直，则a＝________.考点共轭复数的定义与应用题点与共轭复数有关的综合应用答案±1解析z＝a－i，因为复数z与它的共轭复数z所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a ＝±1.9．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案1解析因为(1＋i)z＝2，所以z＝21＋i＝1－i，所以其实部为1.10．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i(i 为虚数单位)所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4. 11．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 －2－i 解析 由题图可知，z 1＝－1＋2i ，由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题12．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋z 21－2i . 考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋z 21－2i ＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 13．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.考点 复数四则运算的综合运用题点 与混合运算有关的未知数求解解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 －25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ， 由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋9a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －9b a 2＋b 2i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0， 又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.①又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.② 由①②，得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i .。
2018-2019学年人教A版选修2-2 3.1.2 复数的几何意义 学案
3.1.2 复数的几何意义 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一 复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二 复数的几何意义知识点三 复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × )3．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( × )类型一 复数与复平面内的点的关系例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：(1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．考点 复数的几何意义题点 复数与点对应的关系解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0， 即当－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限．解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0，即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0， 即当2<x <5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .考点 复数的几何意义题点 复数与点对应的关系解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2. 类型二 复数的模例2 设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值．考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，且|z |＝|z ＋1|＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝－12，b 2＝34，∴|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝(a －1)2＋b 2 ＝⎝⎛⎭⎫－12－12＋34＝ 3. 反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．跟踪训练2 已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，10)B ．(1，3)C ．(1,3)D ．(1,10)考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 A解析 0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |＝a 2＋1∈(1，10)． 类型三 复数与复平面内的向量的关系例3 (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 (1)C (2)D解析 (1)由复数的几何意义，可得OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)，所以OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.(2)由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.反思与感悟 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练3 在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为________．考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 2－i解析 复数2＋i 表示的点A (2,1)关于实轴对称的点为B (2，－1)，∴OB →对应的复数为2－i.1．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 D解析 ∵23<m <1，∴0<3m －2<1，m －1<0， ∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 C3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1或a >1B ．－1<a <1C ．a >1D ．a >0 考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求参数答案 B解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5，所以a 2<1，即－1<a <1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________. 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m＝2，所以z ＝3i ，所以|z |＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x 轴的负半轴上．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ m >5或m <3，－7<m <4，所以－7<m <3. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3<m <5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0， 故复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 A 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1. 3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.4．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0或a ＝2D ．a ＝0考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.5．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i 考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知， a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i 考点 复数模的定义与应用题点 利用模的定义求复数答案 D解析 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决轨迹、图形答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8.10．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →对应的复数为3－4i ，若点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →对应的复数为________．考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系答案 3＋4i解析 因为点B 的坐标为(3，－4)，所以点A 的坐标为(－3,4)，所以点C 的坐标为(3,4)，所以向量OC →对应的复数为3＋4i.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 ⎣⎡⎭⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝ 2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＋92＝ 2⎝⎛⎭⎫a －122＋92. 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎡⎭⎫322，3. 三、解答题 12．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z .考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数解 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝a i(a ≠0，且a ∈R )，则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1.又|－1＋i|＝2，所以a 2＋1＝2，解得a ＝±1， 所以z ＝±i.13．已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．考点 复数的几何意义题点 复数的模及其应用解 方法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知－7<a <7.四、探究与拓展14．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A<cos B －sin A <0，又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.15．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z .考点 复数的几何意义题点 复数与向量的对应关系解 根据题意可画图形如图所示，设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝±3，即点Z 的坐标为(－1，3)或(－1，－3)， ∴z ＝－1＋3i 或z ＝－1－3i.。
【整合】人教A版高二数学选修2-2 第三章 第一节 3.1.2复数的几何意义(同步教案)
§3.1.2复数的几何意义教学目标：1.知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系2. 过程与方法：了解复数的几何意义3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系；教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】 ：我们知道实数可以用数轴上的点来表示。
那么，类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？(二)、探究新知，揭示概念1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =u u u r2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R)与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R)，由复数相等的定义可知，b Z(a ，b)a o yx可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R)可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数（三）、分析归纳，抽象概括在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数 －i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i 非纯虚数对应的点在四个象限，例如点，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r（四）、知识应用，深化理解例1下列命题为假命题的是：A 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；B 在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；C 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；D 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；例2 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．解 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －2<0m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2m >2或m <1， ∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，故m ＝2.例3 求下列复数的模：(1)z 1=-5i (2)z 2=-3+4i (3)z 3=5-5i (4)z 4=1+mi(m ∈R) (5)z 5=4a-3ai(a<0)（五）、归纳小结、布置作业布置作业：课本第106页 习题3.1 4 ,5 ,6；。
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3．1.2 复数的几何意义
预习课本P104～105，思考并完成下列问题
(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？
(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？
1．复平面
2．复数的几何意义
(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)―――――――→一一对应 复平面内的点Z(a ，b)
(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→.
3．复数的模
(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模．
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．
[点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
答案：(1)√(2)×(3)×
2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为( )
A．(0,1) B．(1,0) C．(0,0) D．(1,1)
答案：A
3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是( )
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
答案：B
4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.
答案： 5
[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3
＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内．
(2)在复平面内的x 轴上方．
[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－a －6a ＋3
＜0，
a 2－2a －15＞0， 解得a ＜－3. (2)点Z 在x 轴上方， 则⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－2a －15＞0，
a ＋3≠0， 即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.
[一题多变]
1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数a 的值．
解：点Z 在x 轴上，所以a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0，。