08-09高数期中试卷参考答案

中国计量学院现代科技学院2008 ~200 9学年第 1 学期

高等数学（A ）上 课程期中考试

试卷参考答案及评分标准

开课二级学院 基础部 考试时间 2007-11-10 18：00-20：00 一、1. C; 2. D; 3. B; 4. A; 5. B.

二、1.[)15，; 2.2e -; 3. ()

2

9

2sin 2cos 10ln1020sin 2cos 2x x x x x ⋅⋅-; 4.1-;

15.2cos 22n x n π-⎛

⎫+⋅ ⎪⎝

⎭.

三、1. 求极限 2

0arctan 3lim

.sin 2x x x x

→ 22033

=lim .22

x x x →=解原式 (5)

2. 求极限 2sin lim

.1

sin

x x x x

→∞

11

sin lim sin 0=lim 0.111sin sin

lim

11x x x x x

x x

x x x x

→∞→∞→∞===解原式 (5)

3. 求 ()()ln 1f x x n =+的具有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式. ()

()()

()()

()1

1!11,2,,,1.

1k k k

k f

x k n n x --=-=++ 解 (2) ()()()()()()1

00,011!1,2,,k k f f k k n -∴==--= ，

()()()

()

1+1

1!

=

1+n

n n n f x x θθ+- . (3)

故 ()()()()()

2311+11ln 11.23+11+n

n

n n n x x x

x x x n n x θ-+-+=-+-+-+ (5) 4. 设()

cot

2

tan 2x y x =，求y '.

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解 cot ln tan 2cot ln tan 222

cot ln tan 22x x x x x y e e x ''⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

(2)

()

2cot 22

12sec 2tan 2csc ln tan 2cot 2

22tan 2x

x x x x x x ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭ (4)

()

cot

22

1tan 24cot csc 4csc ln tan 2.222x

x x x x x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

(5)

5. 设函数)(x y y =由方程2

2

1x y -=所确定，求dx dy ，2

2dx

y

d . x 解方程两边对求导，得

220x yy '-=

于是 x

y y

'=

, (2) 222

2

3

31.x y x y xy x y y

y ==

y y y y

⋅'

-''=-=-从而 -- (5) 6.cos ,sin .x a t y b t =⎧⎨

=⎩已知椭圆的参数方程为4t π

=求椭圆在相应的点处的切线方程. 解 M π

0当t=

时,椭圆上的相应点的坐标是4

00cos

,sin

.4

4

x a y b π

π

==

==

(2) M 0椭圆在点处的切线斜率是

()()4

4

4

sin cos .sin cos t t t b t dy

b t b

dx a t a

a t πππ

=

==

'==

=--' (4)

M 0代入点斜式方程，即得椭圆在点处的切线方程:

,22b y x a ⎛⎫

-=-- ⎪ ⎪⎝⎭

化简后得

0.bx ay += (5) ()()()()()()2

7.1,021.f x x g x g x f '''=-设其中在，内存在且连续，试求

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()()()()()2

211,f x x g x x g x ''=-+-解 (1)

再用定义求()1:f ''

()()()()()()2

1112110

lim lim

11

x x f x f x g x x g x x x →→'''--+--=-- ()()()1

lim 21x g x x g x →'=+-⎡⎤⎣⎦，

(2) ()()()()02g x g x g x x ''= 在，内存在且连续，从而与均在1处连续

()()

()()()1

11lim

lim 211

x x f x f g x x g x x →→''-'∴=+-⎡⎤⎣⎦- ()()()()()()1

1

=lim 2lim 1=202x x g x x g x g →→''+-⋅g 1+0=g 1， (4)

()()121.f g ''=故 (5)

8.求函数()23

12y x =--的极值.

解 定义域是()+∞∞，-,且在其上函数连续.当2x ≠时,有

(

)f x '= (2)

在()2-∞，内,()()(]0,2f x f x '>-∞函数在，上单增； 在()2+∞，内,()0,f x '< 函数()f x [)2+∞在，上单减．

(4) 因此()21f =是函数()f x 的极大值. (5)

9. 确定函数()3226187f x x x x =---的单调区间.

解 (),.D =-∞+∞

()()()2

61218613

f x x x x x '=--=+- 令 ()0f x '=得驻点 121, 3.x x =-= (2) 列表讨论如下:

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