换元法 (一)

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第5章2不定积分换元积分(1)

3
例10 求 sin3 x dx.
解 sin3 x dx sin2 x sin x dx (1 cos2 x)d cos x
1 cos3 x cos x C 3
说明当被积函数是三角函数相乘并有奇次幂时，拆开奇次项去凑微分.
例11 求 sin2 x cos5 xdx.
积分： f [(x)](x)dx F[(x)d[(x)] dF[(x)
第一类换元法可表述为：
换元 ( x )u
积分
f [( x)]( x)dx f (u)duF(u) C
u ( x )还原
F[( x)] C
4
换元积分法
一、第一类换元法
例2 求 2xex2dx .
例3 求 x 1 - x2dx .
19
(1)
5
(1 3x)2 dx
2
(1
7
3x)2
C
21
(3)
1
x x
2
dx
1 ln(1 x2 ) C 2
(5) (ln x)2 dx 1x
(7)
ex x2
dx
1 ln( x)3 C 3
1
ex C
(9) dv 1 2v C 1 2v
(11)
x
2x 2
x
1
3
dx
ln x 2 x 3 C
解
tanxdx
sin cos
x x
dx
1 d cos x cos x
= - ln |cosx| + C
tanxdx = - ln |cosx| + C = ln |secx| + C
同理 cotxdx = ln |sinx| + C = - ln |cscx| + C

换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。

所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

课件：2 第一换元积分法(1)

1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)

第一类换元法

其中ψ ( x)是 x = ψ (t )的反函数.
证设 Φ(t )为f [ψ (t )]ψ ′(t )的原函数,
令 F (x) = Φ(ψ −1(x))
则 F ′( x) = dΦ ⋅ dt = f [ψ (t)]ψ ′(t) ⋅ 1
dt dx
ψ ′(t)
2009-12-15
换元积分法（45）
26
解（三） ∫ sin 2xdx = 2∫ sin x cos xdx
= −2∫ cos xd(cos x) = − cos2 x + C.
2009-12-15 P207, T2(5)
换元积分法（45）
5
例2
求
∫
3
1 +2
dx. x
解
3
1 +2
x
=
1 2
⋅
3
1 +2
x
⋅
(3
+
2
x)′,
∫
3
1 +2
dx x
∫
a2
1 +
x 2 dx
=
1 a2
∫
1
1
+
x a2
2 dx
=
1 a
∫
1
+
1 ⎜⎛ x
⎞⎟
2
d
⎜⎛ ⎝
x a
⎟⎞ ⎠
=
1 a
arctan
x a
+
C.
⎝a⎠
2009-12-15
换元积分法（45）
9
∫ 例6
求
x2
−
1 8x
+
dx. 25
解

4-2 换元法1-第一换元法

1 1 − cos x 1 1− u + C. = ln + C = ln 2 1 + cos x 2 1+ u
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导，设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积求不定积分时，分公式相对比，并利用简单的变量代换，分公式相对比，并利用简单的变量代换，把要求的积分化成已知的形式，把要求的积分化成已知的形式，求出以再把原来的变量换回。后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。与只相差一个常数 • 注意例3，4与例解法差别。注意例，与例5解法差别。与例解法差别

不定积分的换元法第一篇

解
x2 f (1 x3 )dx 1 f (1 x3 )d(1 x3 ) 3
又 f ( x)dx x C，
x2 f (1 x3 )dx 1 1 x3 +C 3
例12 求 x2(2x 1)50dx
解令u 2x 1 则 dx 1 du
第三节不定积分与定积分的运算
一、不定积分的换元法
二、定积分的换元法
三、分部积分法
不定积分的分部积分法定积分的分部积分法
四、积分的其它例子法
第四章
一、换元积分法
1、第一类换元法 2、第二类换元法
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
f (( x))d(( x)) f (u)du u(x)
一部分凑成d (x),这需要解题经验,如果记熟下列一些微
分式(P197) ,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x

1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
例4 求 (1) xe13x2 dx;
(2) x a2 x2 dx.
解 (1) xe13x2dx e13x2 xdx, 且 d(1 3x2 ) 6xdx,
F (u) C u( x) F[ ( x)] C
第一类换元法第二类换元法
1．第一换元积分法(凑微分法)
问题 1 求 e3xdx .

高考核心解题方法总结—第一期【换元法】-解析版

解析：令 y u ， x y v(u 0, v 0) ，这样 x u2 v2 ，
等式转化为： u2 v2 4u 2v 0 ，
即： u 22 (v 1)2 5(u 0, v 0) ，建立平面直角坐标系 uOv ，如下图 1 所示：点 u, v 是以 2,1 为圆心，以 5 为半径的圆在第一象限的图像，又因为： x u2 v2 表示点 u, v 到原点 O 的距离，从而 x u2 v2 u 0, v 0 0 4,20。
2 13 13
4k 2 3
练习：
1、解不等式 log 2 2 x 1 log 2 x1 2 2
解析：整体换元
设 t log2 2x 1 则log2 2x1 2 t 1
原不等式化简得： tt 1 2 解得 - 2 t 1
所以 2 log2 2 x 1 1
3 4k 2 1 k2
，
DP
8 k 23 k2 4
，
SABD
1 2
|
AB
|| DP
|
1 2
2
3 4k2 8 k2 1 8 4k2 3 4 8 4k2 3
1 k2
k2 4
k2 4
4k 2 3 13
32
4k 2 3 13
4k 2 3 4k 2 3
32
32 16 13
4k 2 3 13
0,
2
，
4
4
，,3 4
， sin
4
2 2
,1
所以 y 1, 2 ；
练习：
1、 y x 4 x 2 的值域
解析：三角换元
设
x
2sin ,
2
,
2
，
y
2sin

§4.2-换元积分法(第一类换元法)

§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。

f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。

从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。

第一讲换元法

第一讲换元法第一讲换元法第一讲换元法与主元法一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元) ，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．【例1】分解因式：(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3) +10思路点拨视x 4+x 2为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式x 2y -y 2z +z 2x -x 2z +y 2x +z 2y -2xyz 因式分解后的结果是( ) ．A ．(y－z)(x+y)(x－z)B ．(y－z)(x－y)(x＋z)C ． (y+z)(x一y)(x+z)D ．(y十z)(x+y)(x一z) 思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x2； (2)1999x2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y－2xy)(x+y－2) ＋(xy－1) 2； (4)(2x－3y) 3十(3x－2y) 3－125(x－y) 3．思路点拔 (1)是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2 (a一b) ；(2)x2+xy－2y 2－x+7y－6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy4+12y5．思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组： (2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：（1）a 3±b 3=(a ±b )(a 2 ab +b 2) ；(2)a 3+b 3+c 3-3abc =(a +b +c )(a2+b 2+c 2-ab -bc -ac )1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8＝2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y=4．已知二次三项式x 2-mx -8在整数范围内可以分解为两个一次因式的积, 则整数m 的可能取值为．5．将多项式x 4-2x 2-3分解因式，结果正确的是（）．A ．(x 2+3)(x 2-1)B ．(x 2+1)(x 2-3)C ．(x 2+3)(x -1)(x +1)D ．(x2+1)(x -3)(x +3)6．下列5个多项式：①a 2b 2-a 2-b 2-1；②x 3-9ax 2+27xa 2-27a 3；③x (b +c -d ) -y (d -b -c ) -2c +2d -2b ；④3m (m -n ) +6n (n -m ) ；⑤(x -2) 2+4x其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A ．①、②、③B ．②、③ 、④C ．①③ 、④、⑤D ．①、②、④7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( ) ．A ．x 3-9x 2+27x -27B ．x 3-x 2+27x -27C ．x 4-x 3+27x -27D ．x 3-3x2+9x -27138．若a +b =-，a +3b =1，则3a 2+12ab +9b 2+的值为( ) ． 55A ．224B ．C ．D ．0 9359．分解因式:（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2； (2)(2x2－3x+1)2一22x 2+33x－1；(3)x4+2001x2+2000x+2001；(4)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2； (5)a 2+2b 2+3c 2+3ab +4ac +5bc ；(6)x 2+xy -6y 2+x +13y -6．10．分解因式：(x 2-1)(x +3)(x +5) +12．11．分解因式：x 2+5xy +x +3y +6y 212．分解因式：(x -2) 3-(y -2) 3-(x -y ) 3．13．在1~100之间若存在整数n ，使x 2+x -n 能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有个． 14．2x 3+x 2-13x +6的因式是( )A ．2x -1B ．x +2C ．x -3D ．x 2+1E ．2x +115．已知a >b >c ，M=a 2b +b 2c +c 2a ，N=ab 2+bc 2+ca 2，则M 与N 的大小关系是( )A ．M N C ．M ＝N D ．不能确定16．把下列各式分解因式：1 (1)(a 2+a +1)(a 2-6a +1) +12a 2； (2)(2a +5)(a 2-9)(2a -7) -91； (3)xy (xy +1) +(xy +3) -2(x +y +) -(x +y -1)2 2(4)(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1) +10x 4； (5)2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y2z ．17．已知乘法公式：a 5+b 5=(a +b )(a 4-a 3b +a 2b 2-ab 3+b 4) ； a 5-b 5=(a -b )(a 4+a 3b +a2b 2+ab 3+b 4) ．利用或者不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+118．已知在ΔABC 中，a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0(a、b 、c 是三角形三边的长) ．求证：a +c =2b。

定积分第一类换元法和第二类换元法

定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。

在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。

换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。

下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。

一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。

其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。

1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。

（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。

（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。

（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。

1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。

通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。

二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。

这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。

2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。

（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。

（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。

2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。

通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。

三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。

高等数学A4.2-换元积分法(1)

d
x
(5)

4
dx x2
11 2x 2x
(6)
dx 4x x2

d(x 2) 4 (x 2)2
2. 求提示: 法1
法2
法3
第二节换元积分法
3.求
第二节换元积分法
解: 原式
f f
(x) ( x)

1

f
(x) f (x) f 2(x)

解：利用凑微分法 , 得
原式 = 令
第二节换元积分法
常用的几种配元形式:
(1) f (ax b)dx
(2) f (xn )xn1 dx
(3)

f
(x n
)1 x
dx

(4) f (sin x)cos xdx
(5) f (cos x)sin xdx
第二节换元积分法
万能凑幂法
(6) f (tan x)sec2 xdx
）
4. ax f (ax )dx ( )
5． csc2xf (cot2 x)dx ( )
6.

1 1+x2
f
(arctan
x)dx=（
）
第二节换元积分法
7.

1 f (arcsin x)dx ( 1-x2
)
8. sec x tan x f (sec x)dx ( )
9. f (x) f (x)dx ( )
万能凑幂法
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元
第二节换元积分法
思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?

微积分第一类换元法

d
(cot
x),
1 cos2
x
dx

d
(tan
x).
例7 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
1 2
2 xdx
sin 2
1 2
xd (2
sin 2x(2x)dx
x) 1 cos 2x 2

C;
解（二） sin 2xdx 2 sin xcos xdx 2 sin x(sin x)dx
x

C.
类似可证: cot xdx ln sin x C.
例12 求 csc xdx.
解（一） csc xdx

1 sin
x
dx

2
sin
1 x cos
x
dx

tan
x 2
1 cos
x 2

2
d

x 2

1 tan
x
d

2 tan
x 2

1 4

x
1
dx 3

1 ln 4
x 1 x3
C.
P.125 例3(1)
(1)
x2
x2

2x

dx 3
解 (x2 2x 3) 2x 2,
x 2 1 (2x 2) 1 1 (x2 2x 3) 1,
2
2
原式 1
2
(
x2 x2
dx 1 d(ax b), a
1 dx d(ln x), x
1 dx 2d ( x), x

第一类换元积分法

第一类换元积分法第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它可以用来解决复杂的数学问题。

本文将介绍第一类换元积分法的定义、性质以及应用，以加深读者对这种积分计算方法的理解。

一、第一类换元积分法的定义第一类换元积分法是一种积分计算方法，它可以用来解决复杂多元数学问题。

其定义是：当一个函数f(x)在某一区间上有一定的变换关系，即f(x)可以表示为f(x) = g(u)，那么，该函数在该区间上的积分可以表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$二、第一类换元积分法的性质第一类换元积分法有两个重要的性质：（1）对称性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u的变换关系是对称的，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是对称的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$（2）结果一致性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u 的变换关系不对称，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是一致的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$三、第一类换元积分法的应用第一类换元积分法的应用非常广泛，可以用来解决复杂的数学问题。

它的应用可以分为以下几类：（1）解方程：第一类换元积分法可以用来解决含有复杂项的多元方程；（2）求积分：第一类换元积分法可以帮助计算复杂函数的积分；（3）求极限：有时候，函数的极限可以通过第一类换元积分法来求解；（4）求微分：第一类换元积分法也可以用来求解复杂函数的微分。

四、结论综上所述，第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它具有对称性和结果一致性的性质，并且可以用来解决复杂的数学问题。

因此，它在数学领域的应用十分广泛，深受广大学者的青睐。

第一类换元积分法(一)

例求 sin 2x dx.
解法1

sin2
x
dx

1 2

sin(2x)
d(2 x)
1 cos 2x C. 2
解法2 sin2x dx 2 sin x cos x dx
2 sin x d(sin x) sin 2 x C.
解法3 sin2x dx 2 sin x cos x dx
解
1 x2
sin
1 x
dx

sin 1 d 1 xx
cos 1 C. x
例 10 求
ex dx. 1ex
解
ex 1 ex dx
d(e x 1) ln(ex 1) C. ex 1
3.利用三角函数的恒等式.
例 11 求 tan xdx.
解
tan xdx
dx
a2 x2 (a x)(a x)

1 2a

(a x) (a x) (a x)(a x)
dx

1 2a

dx ax

dx ax

1 2a

d(a x) ax

d(a x) ax

1 ln a x C. 2a a x
第一类换元积分法(一)
1. 利用 dx 1 d(ax b), a
3.利用三角函数的恒等式. 4.利用代数恒等式
一、原函数的定义二、不定积分的定义三、基本积分公式四、不定积分的性质
引例：
求
sin2 x cos xdx.

第一类换元法的解题技巧

第一类换元法的解题技巧1. “哎呀，看到那种可以凑成一个整体的式子，就像找到了宝藏呀！比如，计算∫2x(x^2+1)^2dx，不就可以把 x^2+1 看成一个整体嘛！”就好像妈妈做饭的时候，发现少了一味调料，突然在角落里找到了，那可真是太惊喜啦！2. “嘿，要善于把复杂的式子变形，变得简单易懂呀！像∫sinxcosxdx，把它变成1/2∫sin2xdx，是不是一下子清楚多啦？”这就好比整理房间，把乱七八糟的东西整理整齐，看着就舒服多了。

3. “哇塞，换元的时候要大胆假设呀！就像∫1/(1+x^2)dx，设 x=tant 多巧妙呀！”就如同我们玩游戏，大胆尝试新策略，说不定就成功了呢！4. “记得哦，换元后别忘记把原来的变量换回来呀！不然就前功尽弃啦，就像搭积木，最后一步没做好可不行。

比如∫sec^2t dt，换元后要换回x 呀！”好比跑步比赛，快到终点了可不能松懈呀。

5. “哎呀呀，要仔细观察式子的特点呀，找到合适的换元方法，就像找钥匙开门一样，得找对钥匙！比如∫(x+1)^2dx，设 u=x+1 就很合适呀！”这就像在一堆玩具中找到自己最喜欢的那个。

6. “有时候换元能让难题变得超级简单，简直像变魔术一样！像∫1/(x^2+4x+5)dx，换元后就容易多啦！”就如同原本乌云密布的天空突然变晴朗了。

7. “要多练习呀，这样才能熟练掌握第一类换元法！就像骑自行车，多骑几次就熟练啦。

比如∫cos3xdx，用换元法试试呀！”好像每天刷牙，刷多了就习惯了。

8. “别害怕式子复杂，只要用心去分析，总能找到换元的办法！像∫(x^2+1)^3xdx，肯定能找到突破点的！”就像登山，虽然山很高，但一步一步总能爬上去。

9. “换元法真的很神奇呀，能解决好多难题呢！比如∫e^xsin(e^x)dx，换元后就好解决啦！”如同拥有了一把神奇的钥匙，可以打开很多秘密的门。

10. “大家一定要好好利用第一类换元法呀，它可是我们解题的好帮手呢！像∫1/(1+e^x)dx，试试换元法的威力吧！”这就好像有了一个超级英雄在身边，什么困难都不怕啦！。

第五章第二节第一类换元法

同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
x ln tan C 2
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tan xdx ln | cos x | C
新公式排名榜
cot xdx ln | sin x | C 1 1 x a x dx a arctan a C .
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例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 ( 1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1 cos 4 x ) 1 ( 1 2 cos 2 x 4 2
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) 1 ( 4 2 2
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
2
3x dx dx ;
2 3
e dx de
x
x
2 x sin x dx. x sin x dx. 3 x sin x dx . x sin x dx . e sin(e 1)dx e sin e dx .
2 2 3 2 3 x x
x x
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例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故原式 = u

常用的第一换元法

常用的第一换元法第一换元法是微积分中常用的一种方法，用于求解一些特定的积分。

它的基本思想是通过引入一个新的自变量替代原来的自变量，从而将原来的积分转化为更容易求解的形式。

本文将详细介绍第一换元法的原理和应用，并通过一些具体的例子来说明其使用方法和技巧。

我们来看一下第一换元法的原理。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续可微，且存在反函数x=g(y)，其中g'(y)存在且连续。

若函数h(y)=f(g(y))g'(y)在区间[c,d]上连续，则有如下等式成立：∫[a,b]f(x)dx = ∫[c,d]h(y)dy其中，x=g(y)是函数f(x)的反函数。

这样，我们就通过引入新的自变量y，将原来的积分转化为了更容易求解的形式。

这就是第一换元法的基本原理。

接下来，我们来看一下第一换元法的具体应用。

首先，我们需要选择合适的替代变量y。

一般来说，我们会选择原函数f(x)的复合函数中的内函数作为替代变量。

然后，我们通过求解dy/dx=1/g'(y)，得到dy和dx之间的关系式。

最后，我们将原函数f(x)用新的自变量y来表示，并将积分的上下限用新的变量表示，从而得到新的积分表达式。

下面，我们通过一些具体的例子来进一步说明第一换元法的使用方法和技巧。

例1：计算积分∫(x^2+1)dx解：首先，我们选择替代变量y=x^2+1，那么原函数f(x)可以表示为f(y)=y。

然后，求解dy/dx=1/2x，得到dy=1/2xdx。

接下来，将原函数f(x)用新的自变量y表示，积分的上下限也用新的变量表示，即∫(x^2+1)dx = ∫ydy。

最后，我们将积分的上下限代入新的积分表达式中，得到∫(x^2+1)dx = ∫ydy = y^2/2 + C。

例2：计算积分∫(2x+3)^4dx解：首先，我们选择替代变量y=2x+3，那么原函数f(x)可以表示为f(y)=y^4。

然后，求解dy/dx=2，得到dy=2dx。

3.4 第一换元法

例3.4.5 求
2
2 3
2
1 1 x sin 2 x C. 2 4
例3.4.7 求解原式
dx a2 x2
dx .(a>0)
dx x2 a 1 2 a
dx
dx x 2 1 ( ) a
x d( ) a
x arcsin C a
1 例3.4.9 求 2 dx . x 4x 5
1 d ( x 2) 解原式 2 1 ( x 2)
arctan( x 2) C
1 dx . 例3.4.10 求 2 2 a x 1 dx 解原式 (a x)(a x) 1 1 1 ( )dx 2a a x a x 1 1 1 1 d (a x) d (a x) 2a a x 2a a x 1 1 ln | a x | ln | a x | C 2a 2a 1 ax ln | | C 2a ax
sin x 例3.4.4 求 dx . x
解原式 2 sin xd ( x ) 2cos x C
cos x sin xdx . 1 解原式 cos xd (cos x) cos x C 3 例3.4.6 求 sin xdx . 1 1 1 cos2 x dx x cos 2 xd (2 x) 解原式 2 4 2
5 (3 x 8) dx . 例3.4.1 求
(凑常数)
1 解原式 (3 x 8)5 d (3x 8) 3 1 (3 x 8)6 C 18
例3.4.2 求 xe dx .
x2
(凑函数)
1 x2 1 x2 2 解原式 e d ( x ) e C 2 2