高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(3.1)word学案
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2．3 双曲线
2．3.1 双曲线的标准方程
[学习目标] 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．
[知识链接]
1．与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点M 到两定点F 1、F 2距离之差的绝对值为定值2a ”中，“绝对值”三个字去掉．
答：不能．否则所得轨迹仅是双曲线一支．
2．如何判断双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点位置？
答：x 2系数是正的焦点在x 轴上，否则焦点在y 轴上． [预习导引] 1．双曲线的定义
把平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)
F 1(0，－c )，F 2(0，c )
焦距
F 1F 2＝2c ，c 2＝a 2＋b 2
要点一 求双曲线的标准方程
例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－16
3，5)；
(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．
解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
∴点P (3，154)和Q (－16
3
，5)在双曲线上，
∴⎩⎨⎧
9a 2－22516b 2
＝1，2569a 2
－25
b 2
＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝－16，
b 2＝－9. (舍去)
若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧
22516a 2－9
b 2
＝1，25a 2
－256
9b 2
＝1，
解之得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝9，
b 2＝16，
∴双曲线的标准方程为y 29－x 2
16
＝1.
方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2
n ＝1(mn <0)．
∵P 、Q 两点在双曲线上，
∴⎩⎨⎧
9m ＋225
16n ＝1，2569m ＋25
n ＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－16，n ＝9.
∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 2
16
＝1.
(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．
依题设有⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2＝6，25a 2－4b 2
＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝5，
b 2＝1，
∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2
＝1.
方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，
∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 2
6－λ
＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25
－y 2
＝1.
规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法． 跟踪演练1 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和(9
4，5)，求双曲线
的标准方程；
(2)求与双曲线x 216－y 2
4
＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．
解
(1)由已知可设所求双曲线方程为y 2
a 2
－x
2
b 2
＝1 (a >0，b >0)，则⎩⎨⎧
32a 2
－9
b 2
＝1，
25a 2
－81
16b 2
＝1，
解得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝16，
b 2＝9， ∴双曲线的方程为y 216－x 2
9
＝1.
(2)方法一 设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．
由题意易求得c ＝2 5.
又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a 2－4
b 2＝1.
又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 2
8
＝1.
方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 2
4＋k ＝1 (－4 将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 2 8＝1. 要点二 由方程判断曲线的形状 例2 已知0°≤α≤180°，当α变化时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 解 (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1.