第九章直线和圆的方程
直线与圆的方程公式总结
直线与圆的方程公式总结一、直线方程公式直线是平面上的一种基本几何对象，它可以用方程来表示。
下面是几种常见的直线方程公式：1. 斜截式方程斜截式方程是描述直线的一种常见形式，它可以表示为y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
斜截式方程适用于已知直线斜率和截距的情况。
2. 一般式方程一般式方程是直线的另一种常见形式，它可以表示为Ax+By+C=0，其中A,B,C是常数。
一般式方程适用于已知直线上两点坐标的情况。
3. 点斜式方程点斜式方程是描述直线的一种方便形式，它需要已知直线上的一点和直线的斜率。
点斜式方程可以表示为(y−y1)=m(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的已知点，m是直线的斜率。
4. 截距式方程截距式方程是描述直线的一种常用形式，它需要已知直线在x轴和y轴上的截距。
截距式方程可以表示为 $\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1$，其中a是直线在x轴上的截距，b是直线在y轴上的截距。
二、圆的方程公式圆是平面上的一个重要几何对象，它可以用方程来表示。
下面是两种常见的圆的方程公式：1. 标准方程圆的标准方程可以表示为(x−ℎ)2+(y−k)2=r2，其中(ℎ,k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 中心半径式圆的中心半径式可以表示为(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
三、直线与圆的关系直线和圆之间有几种可能的关系：1.直线与圆相切：直线与圆正好接触于一个点。
此时，直线与圆的切点坐标满足直线方程和圆的方程。
2.直线与圆相离：直线与圆没有交点。
此时，直线方程和圆的方程无解。
3.直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
此时，直线方程和圆的方程有两组解。
4.直线过圆心：直线经过圆的中心点。
此时，直线方程和圆的方程有唯一解。
四、实例下面通过一个实例来展示直线和圆的方程公式的应用。
假设有一个圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=4，现在求圆与直线y=2x+1的交点坐标。
第九章 第二节 第1课时 系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
第二节圆与方程[考纲要求]1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F2点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点.(2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上.(3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________．答案：(x －2)2＋y 2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝0直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化 方程观点Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard .[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|. [谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C．相离D．随a的变化而变化解析：选B∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝2 2.答案：2 2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提醒]涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).[小题练通]1.[人教A版教材P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋(－1)2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选A两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.[课时跟踪检测]1．(2019·广西陆川中学期末)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是()A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为(2＋1)2＋(2＋4)2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋(5－2)2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62 C.32或－32D.62或－62解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)， ∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为(2－3)2＋(2－1)2＝2，所截得的最短弦长为222－(2)2＝22，故选C.7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C. 8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝r 2，a 2＋(0＋1)2＝r 2，a 2＋(0－1)2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.9．(2018·合肥二模)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：选C因为圆C的圆心的坐标C(6,8)，所以OC的中点坐标为E(3,4)，所求圆的半径|OE|＝32＋42＝5，故以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.10．(2018·荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是() A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选B∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.11．(2019·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4解析：选A由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.12．(2019·孝义一模)已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∵圆O的半径为1，∴|OP|＝2，∵原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为2，∴符合条件的点P只有一个，故选B.13．(2019·北京东城联考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k ＝1”是“|AB|＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，∴圆心到直线的距离d ＝11＋k 2，则|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2＝2k 21＋k 2，当k ＝1时，|AB |＝2 12＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2k 21＋k 2＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝⎛⎭⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x －y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝015．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝216．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． 根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(3－b )2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得⎩⎨⎧b ＝72，r ＝52.∴该圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝54. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝5417．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________． 解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝(1－1)2＋(－2－3)2＝5. 答案：518．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，(a ＋5)2＋(b ＋5)2＝52－r ，(0－a )2＋(－6－b )2＝r 2，解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32， ∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18。
高中直线与圆的方程知识点总结
高中直线与圆的方程知识点总结直线与圆的方程在高中数学里就像两颗璀璨的星星，各自闪耀又相互关联。
咱先说说直线的方程吧。
直线在平面直角坐标系里那可是千变万化的。
最常见的斜截式方程y = kx + b，这里的k就像是直线的“坡度”，如果k 越大，直线就越陡峭，就好像爬山的时候，坡度大的路爬起来更费劲呢。
b 呢，是直线在y轴上的截距，就好比是直线这个小火车在y轴这个站台的起始位置。
那要是k = 0呢，直线就变成了一马平川的平地，也就是平行于x 轴的直线了。
还有点斜式方程，知道直线上一点的坐标和它的斜率就能确定这条直线的方程，这就像你知道一个人的起点和他前进的方向，就能知道他的路线一样。
再看看直线之间的关系。
平行的直线啊，它们的斜率相等，就像两条同向行驶而且速度一样的铁轨，永远不会相交。
而垂直的直线呢，它们斜率的乘积是 - 1，这就好比是两个互相制约的力量，一个向上一个向下，形成了一种完美的平衡关系。
说到圆的方程，标准方程(x - a)²+(y - b)² = r²，这里的(a,b)就是圆心的坐标，圆心就像圆这个大家庭的家长，r就是半径，半径就像是这个家庭的活动范围，在这个范围内的点都属于这个圆家族。
圆是一个特别对称的图形，关于圆心对称，不管从哪个方向看，都是那么圆润、和谐。
直线和圆的位置关系可有趣了。
有相交、相切和相离三种情况。
相交的时候，直线就像一个调皮的小孩，闯进了圆的领地，和圆有两个交点，就像小孩在圆里踩了两个脚印。
相切的时候呢，直线就像是圆的守护神，刚好和圆亲密接触于一点，这一点就是切点，多像两个好朋友轻轻地碰了一下手。
相离就比较惨了，直线和圆就像两个互不相干的陌生人，远远地分开，谁也不挨着谁。
那怎么判断直线和圆的位置关系呢？我们可以用圆心到直线的距离d和半径r来比较。
如果d < r，那就是相交，就好像一个小蚂蚁距离一个圆形的蛋糕中心的距离小于蛋糕的半径，那这个小蚂蚁肯定是在蛋糕上啦。
直线与圆的方程
直线与圆的方程直线与圆是几何学中的基本概念，在解决几何问题时经常需要用到它们的方程。
本文将介绍直线与圆的方程的基本形式和求解方法，并通过实例加深理解。
一、直线的方程直线的方程可以使用点斜式、斜截式和两点式来表示。
下面逐一介绍这三种形式的方程表示方法。
1. 点斜式方程点斜式方程形式为 y-y₁=m(x-x₁)，其中 (x₁,y₁) 是直线上的某一点，m 是直线的斜率。
通过已知点和斜率，可以轻松写出点斜式方程。
例如，如果已知直线过点 (2,3)，斜率为 2/3，则点斜式方程为 y-3=(2/3)(x-2)。
2. 斜截式方程斜截式方程形式为 y=mx+b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线与 y轴的截距。
通过已知斜率和截距，可以得到斜截式方程。
例如，如果已知直线斜率为 -1/2，截距为 2，则斜截式方程为 y=(-1/2)x+2。
3. 两点式方程两点式方程形式为 (y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)，其中 (x₁,y₁)和 (x₂,y₂) 是直线上的两个不同点。
通过已知两个点，可以计算出两点式方程。
例如，已知直线经过点 (1,3) 和 (4,7)，则两点式方程为 (y-3)/(7-3)=(x-1)/(4-1)。
二、圆的方程圆的方程可以使用标准式和一般式来表示。
下面逐一介绍这两种形式的方程表示方法。
1. 标准式方程标准式方程形式为 (x-h)²+(y-k)²=r²，其中 (h,k) 是圆心坐标，r 是半径。
通过已知圆心和半径，可以直接写出标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则标准式方程为 (x-2)²+(y+3)²=25。
2. 一般式方程一般式方程形式为 x²+y²+Ax+By+C=0，其中 A、B、C 是常数。
通过已知圆心和半径，可以将一般式方程转化为标准式方程。
例如，如果已知圆心坐标为 (2,-3)，半径为 5，则一般式方程为 x²+y²-4x+6y+20=0。
高中数学课件-专题9 直线和圆的方程 (共55张PPT)
2.自一点引圆 的切线的条数
3.弦长公式
考点53 直线与圆的位置关系
1.直线与圆 的位置关系
2.自一点引圆 的切线的条数
(1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切 点； (3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线．
3.弦长公式
考点53 直线与圆的位置关系
2.距离公式 的应用
（2）已知距离求有关方程或有关量
借助于距离公式建立方程（组）得出参数的值或
满足的关系式，然后可结合题中其他条件确定方
程、点的坐标等.
【注意】若已知点到直线的距离求直线方程，用
一般式可避免讨论.否则，应讨论斜率是否存在.
23
24
第2节 圆的方程及直线、圆的位置关系
600分基础 考点&考法
8
10
考法2 求直线方程
常用的方法 1.直接法 2.待定系数法
确定定点和斜率或确定两点, 套用直线方程的相应形式, 写出方程．
11
考法2 求直线方程
常用的方法 1.直接法 2.待定系数法
一般步骤： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件（直线的截距、直线上的点、有关图形的面 积等）建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求参数； ④把所求的参数值代入所设直线方程．
1.两条直线的 位置关系
2.两条直线 的交点坐标
3.距离公式 距离公式
考点51 两条直线的位置关系
1.两条直线的 位置关系
2.两条直线 的交点坐标
3.距离公式 距离公式
两直线的方程组成的方程组的解
考法3 两直线平行与垂直的判定及应用
1.两直线平行或 垂直的判定方法
直线与圆的方程
直线与圆的方程方程是数学中重要的概念，是由变量、符号和数字组成的式子，它表示一种规律，可用来描述空间图形的形状和位置关系，其中最基本表示形状的方程是直线和圆的方程。
直线的方程是最基本的平面几何图形，它是两点之间最短的路径，用一元一次方程来表示，例如y=ax+b，其中a和b是实数。
值得注意的是，a是斜率，而b是截距，只有当两个参数都确定，才能确定一条直线，而不确定的参数只能确定一条平行于此直线的直线。
另一种形状的方程是圆的方程。
圆是有界的平面图形，由一个内切圆环和它的内切圆环组成，它的方程是（x-a）2+(y-b)2=r2，其中(a,b)是圆心坐标，r是半径，只有当圆心和半径都确定，才能确定一个圆，而不确定的参数只能确定一个相似的圆。
圆的表示方式又有两种，一种是非积分的极坐标形式，如r=a cos （θ）+b sin（θ），其中a和b是实数，θ代表角度。
另一种是标准形式，其方程为（x-x0）2+(y-y0)2=a2，其中（x0，y0）是圆心坐标，a是半径。
圆和直线这两种方程本质上是不同的，此外，它们在坐标系中表示出来的形状也是不同的，直线是一种平行于坐标轴的线，而圆则是一个有界的圆环，它的中心在坐标原点，其半径为a。
圆和直线的方程极大地丰富了几何图形的表达能力，通过对它们的方程的推导和求解，可以更好地理解图形的性质，从而推动几何学的发展，推动数学的发展。
从定义上讲，直线和圆的方程是可以相互转换的。
比如，可以将一元一次方程y=ax+b换成(x-a)2+(y-b)2=r2，这样，直线就可以转换成圆，圆也可以转换成直线。
另一方面，通过对直线和圆的方程求解，可以用它们来解决复杂的数学问题，比如求两个圆的位置关系，求一条直线与一个圆的位置关系，求一条直线与另一条直线的位置关系等等，这些复杂的数学应用可以用直线和圆的方程来解决。
由此可见，直线和圆的方程是数学中至关重要的概念，它丰富了图形的表达能力，并可用来解决复杂的数学问题，是数学发展的基础。
直线和圆的方程
直线和圆的方程在几何学中，直线和圆是两个基础的几何图形。
在解决几何问题时，了解直线和圆的方程是非常重要的。
本文将介绍直线和圆的方程，并提供一些示例来帮助读者更好地理解。
直线的方程一般式方程直线的一般式方程可以表示为：Ax + By + C = 0其中A、B和C是实数，并且A和B不能同时为零。
示例考虑一条过点P(x₁, y₁)和点Q(x₂, y₂)的直线。
我们可以通过计算斜率来得到直线的一般式方程。
首先，我们可以计算斜率：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)然后，用点斜式方程来得到直线的一般式方程：y - y₁ = m(x - x₁)展开这个方程，我们得到：y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))(x - x₁)进一步化简得到直线的一般式方程：(y₂ - y₁)x + (x₁ - x₂)y + x₂y₁ - x₁y₂ = 0这个方程就是直线的一般式方程。
斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = mx + b其中m是斜率，b是y轴截距。
示例考虑一条通过点P(x₁, y₁)且斜率为m的直线。
我们可以用斜截式方程来表示这条直线。
直线的斜率为m，通过点P(x₁, y₁)，所以直线方程为：y - y₁ = m(x - x₁)将方程展开，我们得到：y - y₁ = mx - mx₁移项整理得到直线的斜截式方程：y = mx - mx₁ + y₁进一步整理后得到：y = mx + (y₁ - mx₁)这个方程就是直线的斜截式方程。
圆的方程标准方程圆的标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中(h, k)是圆心的坐标，r是圆的半径。
示例考虑一个圆心为C(h, k)且半径为r的圆。
圆心C(h, k)，圆的半径为r，所以圆的方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²这个方程就是圆的标准方程。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
直线与圆的方程
直线与圆的方程近些年，高等数学在数学领域中发挥着越来越重要的作用。
其中，直线与圆的方程是高等数学的重要知识点之一。
圆的方程和直线的方程都是用来表示几何图形的。
理解这两个方程，以及如何从一个表达式推导出另一个表达式，对于高等数学的学习都是十分重要的。
一、直线的方程直线是数学中最基本的几何图形，由两个不同的点组成，连接这两个点，即可形成一条直线。
直线的方程一般可以用一元一次方程的形式来表示：y=kx+b。
其中，K是直线斜率，B是截距。
给定任意一个点（x，y）可以推算出斜率K与截距B的值，从而确定直线的方程式。
此外，还可以使用参数方程的形式来表示直线的方程，如：x=at+b，y=ct+d，表示一条直线。
在此方程中，a,b,c,d定了这条直线的方向，t是参数。
二、圆的方程圆是由一系列的点的集合的闭合曲线组成的，其中心点（X0，Y0），是整个圆的中心点，其半径为R。
根据中心点坐标及半径，可以用极坐标系来表示一个圆，即：x = X0 + R*cosθy = Y0 + R*sinθ其中R是圆的半径，θ是弧度，一个圆上任一点坐标都可以用这个方程来表示。
此外，还可以使用标准的圆的方程来表示：(x-X0)+(y-Y0)=R在这个方程中，(X0,Y0)是圆心，R是半径，X,Y是圆上的一点，当X,Y给定时，可以求出该点到圆心的距离，从而确定该点是否在圆上。
三、直线与圆的相交在实际的计算中，有时需要求解直线与圆之间是否相交，以及相交的位置。
这里可以利用直线方程和圆方程来分析，首先用直线方程带入圆方程，并展开来求解。
（x-X0） + (kx+b-Y0) = R令a=k+1，b=2（b-Y0）k-2X0,c=X0+(b-Y0)-R，令f（x）= ax+bx+c，可以得到f（x） = 0解f（x）= 0，可以得到x1和x2，此时，（x1，y1）和（x2，y2）就是直线与圆的交点。
四、总结以上是关于直线与圆方程的介绍，主要介绍了用一元一次方程和参数方程表示直线，用极坐标系和标准圆的方程表示圆，以及求解直线与圆的交点的方法。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程1.直线的定义：直线是由一切与它上面两点P、Q相应的全体点构成的集合。
在坐标平面中，直线可以由一般式方程、对称式方程、斜截式方程、截距式方程等多种形式表示。
2.一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
一般式方程表示直线的一种常用形式，它能够直观地反映直线的方向和位置。
3.对称式方程：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点。
对称式方程通过给出直线上两个点的坐标，从而确定直线的方程。
4. 斜截式方程：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜截式方程将直线的方程转化为了y和x的关系，便于直观地理解直线的特征。
5.截距式方程：x/a+y/b=1，其中a和b为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程能够直观地表达直线与坐标轴的交点，并通过截距反映直线的位置和倾斜情况。
二、圆的方程1.圆的定义：圆是平面上所有到定点的距离等于定长的点的轨迹。
在坐标平面中，圆可以由一般式方程、截距式方程、标准方程等多种形式表示。
2.一般式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般式方程为圆的一种常用形式，能够直观地描述圆的位置和形状。
3.截距式方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
截距式方程通过圆的截距反映了圆的位置和形状。
4.标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
通过圆的标准方程，可以直观地反映圆的位置、形状以及与坐标轴的交点等信息。
5. 圆的三角方程：由半径与直径、半径与斜边等关系来定义圆的方程，例如sinθ = r/l，其中θ为圆心角的弧度，l为圆弧的长度。
圆的三角方程常用于解决涉及圆的三角学问题。
直线与圆的方程
直线与圆的方程
几何学是数学的一个分支，几何学研究形状、大小和空间关系，多年来被广泛用于建筑学、机械设计、工业制图、航空航天、地理学和其他各个领域。
其中最基本的几何图形是直线和圆。
本文将介绍它们的方程，以及如何利用它们来求解几何问题。
直线的方程：
直线是平面上一组点之间连续的无穷线段，抽象出来可以用一个简单的方程来表示。
最常用的直线方程，也叫做一般式，是这样的： Ax+By+C=0
其中A、B、C是常数，满足A≠0或B≠0的要求。
例如，一条直线上的点(x1,y1)，其斜率为m，则其方程可以写成：
y-y1=m(x-x1)
把上述公式化简，得到Ax+By+C=0的形式：
m(x-x1)+y1=0
解得：A=m，B=-1，C=y1
圆的方程：
圆是二维坐标系中最常见的几何图形，它是一组点与指定中心点距离都相等的点组成。
圆的方程一般写成：
(x-a)+(y-b)=r
其中a、b是圆心的坐标，r是圆的半径。
可以看出，直线的方程是一元一次方程，而圆的方程则是一元二次方程。
结合这两种几何图形的方程，我们可以解决更复杂的几何问
题。
例如，求圆O与直线l的交点：
首先将l的一般式写成Ax+By+C=0，假设圆O的方程为
(x-a)+(y-b)=r，将l的一般式代入圆的方程，得到：
A(x-a)+B(y-b)+C=0
可以看出上述公式是一元四次方程，将它消化为二元二次方程，然后求解即可求得圆O与直线l的交点。
总之，直线和圆都具有自己的方程，它们对于解几何学问题非常重要，熟悉它们的方程及其运用对于几何学的学习有很大的帮助。
第九章 第三节 圆的方程
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2．点与圆的位置关系 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)，则 (1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆 上 ． (2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆 外 ． (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在航
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解析：(1)由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，故设圆心为(a,1)，又 |4a－3| 由圆与直线 4x－3y＝0 相切可得 5 ＝1，解得 a＝2，所以圆的标准方 程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选 A.
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(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上， 设 C(a,0)，且 a＞0， 2a 4 5 所以圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝ ＝ ， 5 5 解得 a＝2，所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝ 4＋5＝3， 所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(1)(x－3)2＋y2＝2 (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0
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规律方法 求圆的方程的方法 (1)待定系数法：利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于 a，b， r 或 D，E，F 的方程组． (2)几何法：利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．
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方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， ∵点 A(4,1)，B(2,1)在圆上，
2 2 2 4－a ＋1－b ＝r ， 故 2 2 2 2 － a ＋ 1 － b ＝ r .
b－1 又∵ ＝－1，解得 a＝3，b＝0，r＝ 2， a－2 故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
第九章 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
变式训练 2 已知点 A(1，a)，圆 x2＋y2＝4. (1)若过点 A 的圆的切线只有一条，求 a 的值及切线方程； (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求 a 的 值及切线方程．
解 (1)由于过点 A 的圆的切线只有一条，则点 A 在圆上，故 12＋a2＝4，∴a＝± 3.
(2)解 设直线与圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点， 则直线 l 被圆 C 截得的弦长
AB＝ 1＋k2|x1－x2|
＝2 8－14＋k＋k211k2＝2
11－41k＋＋k32 ，
令 t＝41k＋＋k32，则 tk2－4k＋(t－3)＝0，
当 t＝0 时，k＝－34，当 t≠0 时，因为 k∈R，
∴d＝
22r，即|m5|＝
2 2·
5，
解得 m＝±522.
故当 m＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．
探究提高
(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用 直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来 判断直线与圆的位置关系； (2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法； (3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率 k1·k2＝－1.
要点梳理
忆一忆知识要点
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成 直角三角形计算． (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB＝ 1＋k2|xA－xB|＝ (1＋k2)[(xA＋xB)2－4xAxB]. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
变式训练 1 已知直线 l：y＝kx＋1，圆 C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长．
第九章 直线与圆的方程
引言:
通过坐标系把点和坐标、曲线和 方程联系起来，使形和数结合，是研 究几何图形的一种重要的方法，这一 方法是用代数方法研究几何问题的基 础，它的产生对于促进教学的发展起 到了巨大的作用。
在本章中，我们将学习平面直角 坐标系中直线和圆的方程的知识， 一般曲线方程的概念，以及用坐标 的方法研究几何问题的初步知识。 这些知识是进一步学习圆锥曲线方
(3,
1 ),一个方向向 2
量为 v=(-2,0),写出l的点向式方程.并且画
出直线l
y 解 直线l的点向式方程是
(x
3)
*
0
(
y
1 2
)
*
(2)
-2 -1 o 1 x
-1
例向量4 为直线 vl=经(0过,2点),写M出0 (l的-1,点1)向,一式个方方程向.
并且画出直线l
y
2
解 直线l的点向
量,其中k是任意非零实数。
在平面上取一个平面直角坐标系oxy ,
设 M0(x0, y0) 是直线上一个点, 是l的一个方向向量.
v (v1,v2)
如图8-2
y
M0 .
Ml
v
O
x
图8-2
点M(x,y)在直线l上
M0M与 v 共线
M0M tv,(t R)
∴ (x x0, y y0) (tv1,tv2)
程、导数和微分等知识的基础。
一 平面上直线的方程 8.1 直线的点向式方程
❖议一议 ❖在空旷的平地上走路，怎样在能走
出一条笔直的线？
图8-1
❖1、一个点和一个非零向量决定一条直
线
❖2的、一如个果方一向个相非同零，向那量么v称的 v方是向l的与一直个线l
直线与圆的方程
直线与圆的方程
几何学中的直线与圆是最基本的几何图形之一，它们的方程系统被应用到许多方面，从算术检查到解决社会问题。
因此，了解直线和圆的方程是很重要的。
首先，让我们来看看直线的方程。
直线能够用一般式表示，即
y=mx+b，其中m为斜率，b为截距，而x和y则分别代表x轴和y轴的坐标。
从此方程可以看出，当斜率m为零时，直线就是一条平行于y轴的水平直线，而当b为零时，直线就是一条平行于x轴的垂直直线。
接下来，让我们来看看圆的方程。
圆形可以用半径r和圆心坐标（h,k）表示，即（x - h） +y - k）＝r，其中r为半径，h和k分别表示x轴和y轴的圆心坐标。
由该方程可知，当半径r为零时，圆形就是一个中心位于原点的唯一的点。
此外，此几何图形的方程系统还与一些许多非几何图形有关，例如抛物线和双曲线。
这些非几何图形可以通过将直线和圆的方程参数不断迭代、调整，来得到更复杂的几何图形。
比如，圆的半径可以不断变化，而斜率m也可以不断变化，最终可以得到二次曲线的方程。
在应用上，几何的直线和圆的方程经常用于做算术检查。
这是因为数学检查要求学生仔细检查表达式的正确性和准确性，并确保所有答案都是准确的。
同时，此几何方程也可以用于解决一些社会问题，例如解决土地使用问题和流域管理问题，它可以用来识别影响社会和环境的因素，并及时调整社会发展的方向。
综上所述，直线和圆是几何学中最基本的几何图形之一，它们的方程系统对于数学检查和解决社会问题都有很大的帮助。
它们的参数可以不断调整，从而得到复杂的几何图形，这是一个非常强大的工具。
九年级数学直线和圆的方程知识点精讲
直线和圆的方程一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0≤α＜180 注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：. 注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且） 推论：如果两条直线的倾斜角为则∥. ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时. ⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有. 5. 过两直线的交点的直线系方程x 90=α12x x =l x x ),0(),0,(b a x y )0,0(,≠≠b a b a 1=+by a x 232--=x y 232--=x y )0(232≥--=x x y b kx y +=b k ,b k ,b k b k b 1l 212k k l =⇔1l 2l 1l 2l 21,l l y 21,b b 1l 212k k l =⇔21b b ≠21,l l 2121A B B A =21C C ≠21,l l 21,αα1l 212αα=⇔l 1l 2l 1k 2k 12121-=⇔⊥k k l l 21,l l 0121=⇔⊥k l l 2l 02=k 1l 01221=+B A B A 1l 2l 1l 2l 1l 2l θ),0(π 90≠θ21121tan k k k k +-=θ1l 2l 1l 2l 1l 2l θ1l 2l ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π 90≠θ21121tan k k k k +-=θ⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A为参数，不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：. 特例：点P(x,y)到原点O 的距离：定比分点坐标分式。
直线与圆的方程
直线与圆的方程直线和圆是数学中最基础的几何形体，它们之间有着密切的关系。
本文就直线和圆方程之间的关系进行深入研究，希望对读者能有所帮助。
先来说说关于直线和圆方程的基本内容，直线是一种平行投影由两个点确定，它可以用两点式表示为：$$frac{x-x_0}{x_1-x_0}=frac{y-y_0}{y_1-y_0}$$ 中 $(x_0,y_0)$ $(x_1, y_1)$直线上的任意两点，则直线的斜率m可以表示为：$$m=frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$$ 此，直线的一般方程可以写成：$$y-y_0=m(x-x_0)$$而圆，是一种具有确定半径的曲线，它具有一个特殊的参数方程：$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 中 $(x_0, y_0)$圆的圆心，r是圆的半径。
现在，我们来讨论直线和圆之间的关系。
当两条直线交于一点P 时，它们一定可以确定一个有限的圆，即其圆心在相交点P处，以P 为圆心，且其半径等于相交点P到另外一条直线的距离。
接下来，我们来讨论最常见的直线与圆方程相关的问题，即直线方程是： $$y-y_0=m(x-x_0)$$方程是：$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 设此时直线和圆有两个交点，求这两个交点的坐标。
由直线的一般式可以知道，直线上任一点 $(x, y)$离 $(x_0,y_0)$距离是： $$d=frac {|y-y_0-m(x-x_0)|}{sqrt{m^2+1}}$$ 圆方程表示，当圆上任一点 $(x, y)$离 $(x_0, y_0)$距离是：$$d=sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r$$ 这两个距离等式相等可得：$$frac {|y-y_0-m(x-x_0)|}{sqrt{m^2+1}}=r$$ 令$$a=frac{1}{sqrt{m^2+1}} b=frac{-2x_0}{sqrt {m^2+1}}c=frac{x_0^2+y_0^2-r^2}{sqrt {m^2+1}} $$ 上述方程可以化为二次方程的形式： $$ax^2+bx+c=0$$设 $$D=b^2-4ac$$ $$D>0,$$有两个不同的实数根$$x_1=frac{-b+sqrt D}{2a}, x_2=frac{-b-sqrt D}{2a}$$ 于是有相应的两个满足方程的点 $$(x_1, y_1)=(x_1,mx_1+y_0-mx_0)$$ $$(x_2, y_2)=(x_2, mx_2+y_0-mx_0)$$ 若 $$D=0,$$有两个相同的实数根$$x_1=x_2=frac{-b}{2a}$$ 于是有一个满足方程的点 $$(x,y)=(x_1, mx_1+y_0-mx_0)$$最后，当 $$D<0$$，方程没有实数根，直线和圆无法相交。
高一中职数学直线与圆的方程知识点提纲
第九章直线与圆的方程第一节直线的方程一、基本定义：1.直线的方向向量：，通常用表示，一条直线的方向向量不是唯一的。
2.直线的法向量：，通常用表示，一条直线的法向量不是唯一的。
3.直线的倾斜角：，取值范围：4.直线的斜率：，通常用表示，即：。
倾斜角为的直线，斜率不存在。
已知直线上两点求斜率：。
5.截距的定义：，6.方向向量、法向量和斜率：，，，二、直线的五种直线方程1.点向式：，，2.点法式：，3.点斜式：，4.斜截式：，5.一般式：，第二节两直线的位置关系1.当斜率存在时，对于两条直线方程y=k1x+b1,y=k2x+b2有：两直线平行：，两直线重合：，两直线相交：，两直线垂直：，当斜率不存在时：当时，两直线重合，当时，两直线平行，斜率不存在直线与斜率为0的直线。
2.对于直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0（A1,A2,B1,B2全不为0）则有：两直线平行：，两直线重合：，两直线相交：，两直线垂直：，3.一般地，我们把与直线Ax+By+C1=0平行的直线表示为：，我们把与直线Ax+By+C1=0垂直的直线表示为：，第三节点到直线的距离1.点到直线的距离公式：，特别地，，2.两平行线间的距离：，特别地，，第四节圆的方程1.圆的定义：，2.圆的标准方程：，其中圆心为：半径为：特别地，当圆心为（0,0）时，圆的标准方程为，3.圆的一般方程：，其中圆心为：半径为：其特点：，，第五节直线和圆的位置关系方法一：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断，其中d=直线和圆相离直线和圆相切直线和圆相交方法二：联立方程组根据方程组是否有解及解的个数来判断直线与圆的位置关系：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；。
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第九章 直线和圆考点1 直线方程与两直线的位置关系1. (2016·北京，7)已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7 D.8 1.解析 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)，2≤x ≤4.即2x ＋y －9＝0，2≤x ≤4，因为P (x ，y )在线段AB 上， 所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9.又2≤x ≤4，则－1≤4x －9≤7，故2x －y 最大值为7. 答案 C2.(2015·安徽，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或122.解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆， ∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D.答案 D3.(2014·福建，6)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0 D.x －y ＋3＝03.解析 依题意,得直线l 过点(0,3),斜率为1,所以直线l 的方程为y －3＝x －0,即x －y ＋3＝0.故选D. 答案 D4.(2014·四川，9)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋ 3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A.[5，25]B.[10，25]C.[10，45]D.[25，45]4.解析 易知直线x ＋my ＝0过定点A (0，0)，直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1，3)，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故|P A |＋|PB |＝|AB |cos ∠P AB ＋|AB |sin ∠P AB ＝10·2sin ⎝⎛⎭⎫∠P AB ＋π4∈[10，25]，故选B. 答案 B5.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________.5.解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 答案22考点2 圆的方程及直线、圆的位置关系1．（2018全国卷Ⅲ，8）直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 解析： 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点 ,则 点P 在圆（ ）上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P 到直线 的距离 的范围为 则故答案选A. 答案 A2.(2016新课标全国Ⅱ，6)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43 B.－34C. 3D.22.解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43.答案 A3.(2016·北京，5)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A.1 B.2 C. 2 D.223.解析 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2. 答案 C4.(2016·山东，7)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离 4.解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝（1－0）2＋（1－2）2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B. 答案 B5.(2015·新课标全国Ⅱ，7)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.435.解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x －12，② 联立①②，解得 ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1，23 3， 其到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎫23 32＝213.故选B.答案 B6.(2015·北京，2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D.(x －1)2＋(y －1)2＝26.解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 D7.(2014·湖南，6)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A.21 B.19C.9D.－117.解析 圆C 1的圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m .从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C. 答案 C8.(2014·浙江，5)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2 B.－4 C.－6 D.－88.解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ,所以圆心为(-1,1),半径r ＝2－a ,圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2,故r 2－d 2＝4,即2－a －2＝4,所以a ＝-4，故选B.答案 B9.(2014·北京，7)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.49.解析 若∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝m 2.由题意知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1与圆O ：x 2＋y 2＝m 2有公共点，所以|m －1|≤|OC |≤m ＋1，易知 |OC |＝5，所以4≤m ≤6，故m 的最大值为6.故选B. 答案 B10.(2014·安徽，6)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 10.答案 过P 点作圆的切线P A 、PB ，连接OP ，如图所示.显然，直线P A 的倾斜角为0，又OP ＝（－3）2＋（－1）2＝2，P A ＝3，OA ＝1，因此∠OP A ＝π6，由对称性知，直线PB 的倾斜角为π3.若直线l 与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.故选D. 答案 D11.(2014·新课标全国Ⅱ，12)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A.[－1,1]B.⎣⎡⎦⎤－12，12C.[－2，2]D.⎣⎡⎦⎤－22，22 11.解析 过M 作圆O 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A 、B ，若在圆O 上存在点N ，使∠OMN ＝45°，则∠OMB ≥∠OMN ＝45°，所以∠AMB ≥90°，所以－1≤x 0≤1，故选A.答案 A12．（2018全国卷I ，15)直线 与圆 交于 ， 两点，则 ________． 解析：根据题意，圆的方程可化为 ， 所以圆的圆心为 ，且半径是2， 根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知 ，故答案为 .答案12．（2018天津，12)在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 解析：设圆的方程为 ，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则： ，解得：，则圆的方程为 .答案13.(2017江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 .13.解析 设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上,结合限制条件x -≤≤，可得点P 横坐标的取值范围为[-.答案 [-14.(2016·新课标全国Ⅰ，15)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.14.解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2. 又由|AB |＝23，得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.答案 4π15. (2016·新课标全国Ⅲ，15)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________.15.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，则y 1＋y 2＝33，又y 2＝23，∴y 1＝3，∴A (－3，3)，B (0，23).过A ，B 作l 的垂线方程分别为y -3＝-3(x ＋3)，y －23＝-3x ，令y ＝0，则x C ＝-2，x D ＝2，∴|CD |＝2-(-2)＝4. 答案 416. (2016·浙江，10)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________. 16.解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 答案 (-2，-4) 517. (2015·湖南，13)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.17.解析 如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°， 又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2. 答案 218.(2015·江苏，10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.18.解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案 (x －1)2＋y 2＝219..(2015·湖北，16)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为________.(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.19.解析 (1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2) 方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0, 2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1. 答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－120. (2014·湖北，17)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2)和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则(1)b ＝________；(2)λ＝________. 20.解析 设M (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，y 2＝1－x 2，λ2＝|MB |2|MA |2＝（x －b ）2＋y 2（x ＋2）2＋y 2＝x 2－2bx ＋b 2＋1－x 2x 2＋4x ＋4＋1－x 2＝b 2＋1－2bx 5＋4x ＝－b2＋b 2＋52b ＋15＋4x.∵λ为常数，∴b 2＋52b ＋1＝0，解得b ＝－12或b ＝－2(舍去).∴λ2＝－b 2＝14，解得λ＝12或λ＝－12(舍去).答案 (1)－12 (2)1221.(2014·重庆，14)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________.21. 解析 圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x +1)2+(y -2)2＝9，所以圆心为C (－1，2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.答案 0或622.(2017课标3，20)在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.22. 解析 试题分析：（1）设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=；由韦达定理得122x x =-，矛盾，所以不存在（2）可设圆方程为2220x y mx Ey +++-=,因为过(0,1)，所以1E = ，令0x = 得22012y y y y +-=⇒==-或，即弦长为3.(1)不能出现AC ⊥BC 的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C 的坐标为(0,1),故AC 的斜率与BC 的斜率之积为 ·=-,所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x =-可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ===，又1OC =，所以2OD =，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD +=，为定值.23.(2015·新课标全国Ⅰ，20)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.23.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.24.(2015·广东，20)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.24.解 (1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1M 垂直于直线l ，设直线l 的方程为y ＝mx ，易知直线l 的斜率存在，所以kC 1M ·m ＝－1，y 0＝mx 0， 所以y 0x 0－3·y 0x 0＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94，因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m |m 2＋1<2，所以m 2<45， 所以y 20＝m 2x 20<45x 20，所以3x 0－x 20<45x 20，解得x 0>53或x 0<0，又因为0<x 0≤3，所以53<x 0≤3. 所以M (x 0，y 0)满足⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94⎝⎛⎭⎫53<x 0≤3，即M 的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)由题意知直线L 表示过定点T (4，0)，斜率为k 的直线.结合图形，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎝⎛⎭⎫53，－253按逆时针方向运动到⎝⎛⎭⎫53，253的圆弧.根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧，设P ⎝⎛⎭⎫53，－253，则k PT ＝2534－53＝257，而当直线L 与轨迹C 相切时，⎪⎪⎪⎪3k 2－4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34在这里暂取k ＝34，因为257<34，所以k PT <k .结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当－257≤k ≤0或k ＝34时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知－257≤k ≤257或k ＝±34，综上所述：当－257≤k ≤257或k ＝±34时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一交点.25.(2014·新课标全国Ⅰ，20)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及 POM 的面积.25.解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ,y ),则CM →＝(x ,y -4)，MP →＝(2-x ,2-y ).由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2-y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以 POM 的面积为165.。