超距空间的紧致性及其相关性质
紧致空间与连续函数的最大最小值
紧致空间与连续函数的最大最小值紧致空间和连续函数之间存在着一种紧密的联系。
在数学分析中，我们经常需要研究连续函数在紧致空间上的性质，其中最重要的一点就是最大最小值的存在性。
本文将探讨紧致空间与连续函数的最大最小值的相关性质与定理。
一、紧致空间的定义与性质在开始讨论紧致空间与连续函数的最大最小值之前，我们首先来了解一下紧致空间的定义和性质。
紧致空间是拓扑学中的一个重要概念，用来描述一个空间中点的聚集性质。
在数学定义中，我们称一个拓扑空间是紧致的，如果它满足有限覆盖定理，即对于任意的开覆盖，都存在有限个开集覆盖这个空间。
简单来说，紧致空间就是具有有限覆盖性质的空间。
紧致空间有许多重要的性质。
其中一个重要定理是紧致空间中的每个无限子集都有至少一个聚点。
这个性质保证了紧致空间中的序列一定有收敛子列。
另外，紧致空间的闭子集也是紧致的，这个性质为我们的分析提供了很多便利。
二、连续函数的最大最小值存在性定理在紧致空间中，连续函数的最大最小值存在性定理是我们研究紧致空间与连续函数关系的一个重要工具。
下面给出这个定理的陈述和证明：定理：设$f:X\rightarrow\mathbb{R}$是从紧致空间$X$到实数集$\mathbb{R}$上的连续函数，则$f$在$X$上存在最大最小值。
证明：由于$f$是连续函数，因此$f$在紧致空间$X$上是有界的。
也就是说，存在实数$M$，使得对于任意的$x\in X$，都有$|f(x)|\leq M$。
我们接下来考虑函数$f$在$X$上的像集$Y=f(X)$。
由于$X$是紧致空间，$Y=f(X)$是一个紧致的子集。
紧致子集上的函数取值也是紧致的，即$Y$上的数列一定有极限。
设数列$\{y_n\}$是$Y$中的一个数列，$y_n=f(x_n)$，其中$x_n$是$X$中的点。
由于$Y$是紧致的，所以$\{y_n\}$具有收敛子列，不妨设$\{y_{n_k}\}$是$\{y_n\}$的一个收敛子列，其极限为$y_0$。
拓扑学中的紧致性与连续映射
拓扑学中的紧致性与连续映射拓扑学是数学的一个分支，研究空间中的点与集合之间的关系。
在拓扑学中，紧致性和连续映射是两个重要的概念。
本文将介绍紧致性和连续映射的基本概念、性质以及它们在拓扑学中的应用。
一、紧致性紧致性是拓扑学中的一个重要概念。
在数学中，我们常常需要考察一个集合是否具有紧致性，这可以通过以下方式来定义：定义：一个拓扑空间X是紧致的，如果它的每一个开覆盖都存在有限子覆盖。
上述定义可以进一步说明紧致性的特点：对于一个拓扑空间X的任意开覆盖，我们都可以从中选取有限个开集，使得它们覆盖整个X。
这也就是说，拓扑空间X的任何开覆盖都存在有限子覆盖。
紧致性的一个重要性质是有限覆盖性质。
有限覆盖性质指的是对于任意的紧致拓扑空间X和它的一个开覆盖，都存在有限子覆盖。
这个性质在拓扑学的证明中经常被使用。
紧致性在实际问题中有广泛的应用。
例如，在实分析中，根据有界闭区间上的最值定理可以得到最大最小值的存在性，这是基于紧致性的结果。
二、连续映射连续映射是拓扑学中另一个基本概念。
在数学中，我们通常研究两个拓扑空间之间的映射，而其中的连续映射是一类特殊的映射。
定义：设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射。
如果对于Y中任意的开集V，其原像f^(-1)(V)是X中一个开集，那么称映射f是连续的。
简而言之，连续映射是指原空间中的开集在映射后保持开集性质。
连续映射有一些基本的性质。
首先，对于任意的拓扑空间X，其自身上的恒等映射是连续的。
其次，连续映射的合成仍然是连续的。
此外，如果X和Y分别是紧致拓扑空间，那么连续映射f:X→Y将紧致集映射为紧致集。
三、紧致性与连续映射的关系紧致性和连续映射之间有着紧密的关系。
事实上，连续映射保持紧致性，即原空间中的紧致集在映射后仍然是紧致的。
定理：若f:X→Y是一个连续映射，其中X是紧致空间，那么f(X)在Y中是紧致的。
这个定理说明了连续映射对于紧致空间的映射性质。
通过连续映射，我们可以将一个紧致空间映射为另一个紧致空间。
拓扑学中的紧致空间判定准则
拓扑学中的紧致空间判定准则拓扑学是研究空间及其性质的数学学科，其中一个重要的概念是紧致空间。
紧致空间在数学和物理学中有广泛的应用，因此判定一个空间是否紧致是非常重要的。
本文将介绍拓扑学中的紧致空间判定准则，重点讨论Tychonoff定理和Heine-Borel定理。
1. Tychonoff定理Tychonoff定理是基于直积拓扑空间的一个重要定理，它提供了一种判定紧致空间的方法。
给定一族拓扑空间{X_i}，其中每个空间X_i都是紧致的，那么它们的直积空间X = ∏(X_i)也是紧致的。
Tychonoff定理的证明可以通过Zorn引理和紧致性的等价性来完成，但由于篇幅的限制，详细的证明过程在此不再展开。
2. Heine-Borel定理Heine-Borel定理是拓扑学中判定实数空间上紧致性的重要定理。
这个定理提供了一种判定有界闭集合的紧致性的准则。
对于实数空间R^n中的子集A，它是紧致的当且仅当A是有界的和闭的。
也就是说，如果集合A在R^n中既有界又闭，那么A是一个紧致集合。
Heine-Borel定理的证明可以利用覆盖定理和有限子覆盖的概念，但在这里我们不再详细阐述具体的证明过程。
3. 紧致空间判定准则在拓扑学中，我们可以利用Tychonoff定理和Heine-Borel定理来判定紧致空间。
具体步骤如下：步骤1：对于给定的拓扑空间，判断它是否可以表示为一族拓扑空间的直积。
如果能够表示为直积空间，那么应用Tychonoff定理，得出该空间是紧致的。
步骤2：对于实数空间R^n中的子集，判断该子集是否同时满足有界性和闭性。
如果满足条件，应用Heine-Borel定理，得出该子集是紧致的。
通过上述两个判定准则，我们可以判断一个空间或者子集是否是紧致的。
这些定理为拓扑学的研究提供了有力的工具和方法。
结论拓扑学中的紧致空间判定准则对于研究空间的性质及其应用具有重要意义。
Tychonoff定理和Heine-Borel定理为我们提供了判定紧致空间的有效准则，为解决实际问题提供了数学上的支持。
空间几何的紧性
空间几何的紧性在数学中，空间几何是一门重要的学科。
其中，空间的性质是经常被研究的一个问题。
在这些性质中，紧性是最为重要的特征之一。
紧性是指空间中每一种可能的序列都有可能趋于一个有限的极限值。
因此，我们可以把紧性理解为空间的有限性质。
紧性在很多领域中都有应用，如物理学、工程学和经济学等。
为了更好地掌握空间几何的紧性，我们首先应该了解什么是紧空间。
一、什么是紧空间紧空间是指空间中每一种可能的序列都有可能趋于一个有限的极限值。
可以用数学语言描述：如果X是一个紧致度量空间，那么它必须满足以下三条性质：（1）X是一个 Hausdorff 空间，即存在一个满足下列性质的拓扑结构：对于X中的任意分离点x、y，都存在它们的开邻域U、V，使得U和V是不交的。
（2）X是完全可列的，即X可以表示成一个可列的闭集的并集。
（3）X中的每一点都存在一个紧集K，K包含于X的某个开集内。
易证：一个紧空间的闭子集和开子集都是紧的。
二、紧空间的基本性质紧性是空间理论中的一个基本性质，它有很多重要的性质和定理。
这里仅列举几个基本的定理，供读者参考：（1）如果X是一个紧致的Hausdorff空间，那么X一定是有限的。
（2）如果X是一个紧致的Hausdorff空间，那么它一定是完全有界的。
（3）如果X是一个紧致的Hausdorff空间，那么它一定是完全连通的。
（4）一个紧致Hausdorff空间的闭子集和开子集都是紧致的。
三、紧几何和流形由于紧性在几何学中有很多的应用，因此我们可以很容易地将其与流形联系起来。
流形是一种具有局部欧几里德空间性质的几何对象，它可以用“相似”的方式来描述。
考虑一个紧的欧氏空间，我们可以将其构造成一个开拓空间。
这个空间不仅有完整的欧氏结构，而且它是有限的。
因此，我们可以利用欧氏流形的性质来研究此类紧几何结构。
四、紧性的应用在数学中，紧性应用非常广泛。
例如，在微积分中，我们可以利用紧性来证明一些基本定理，如Bolzano-Weierstrass定理和Arzelà-Ascoli定理等。
集合的紧致性与紧致算子的不动点定理
集合的紧致性与紧致算子的不动点定理
紧致性的集合在数学中具有重要的意义，它在分析、拓扑、泛函分析等领域都有广泛的应用。
本文将探讨集合的紧致性以及紧致算子的不动点定理，分析它们的定义、性质和应用。
一、紧致性的定义
在拓扑空间中，一个集合称为紧致的，如果它满足有限覆盖性和闭合性。
具体来说，一个集合的每一个开覆盖都存在有限子覆盖覆盖这个集合，并且这个集合本身是闭合的。
紧致性是一种几何概念，描述了集合在某种意义上的有限性，它具有一些重要的性质，比如有限紧致性和列紧致性等。
二、紧致算子的不动点定理
紧致算子是定义在紧致空间上的映射，它在泛函分析和拓扑学中有着广泛的应用。
紧致算子的不动点定理指的是，对于一个紧致算子，存在一个不动点，即映射的值等于自身的点。
这个定理在不动点理论中具有重要的地位，它为解决如何找到映射的不动点提供了有效的方法。
三、紧致性与紧致算子的应用
紧致性和紧致算子在数学中有着广泛的应用，比如在微分方程、泛函分析、概率论等领域都有着重要的作用。
紧致性经常用于证明一些极限性质，而紧致算子的不动点定理可以用来解决一些映射的存在性问题。
这些应用丰富了数学的理论体系，推动了数学的发展。
综上所述，集合的紧致性和紧致算子的不动点定理是数学中重要的
概念和定理，它们在数学理论和实际问题的解决中起着关键的作用。
对于数学研究者来说，深入理解和掌握这些内容是非常重要的，可以
为他们的研究工作提供有力的支持。
希望本文的介绍能够对读者有所
启发，引起他们对这些问题的兴趣，从而促进数学领域的发展与进步。
§7.1紧致空间
定理7.1.4 设X 和Y是两个
拓扑空间，f : X Y 是一个连
续映射．如果A是X的一个紧致 子集，则 f (A) 是Y 的一个紧致子 集.
定理7.1.6 每一个拓扑空间 必定是某一个紧致空间的开子空 间
紧致空间常见问题：
有限个紧致子集的并集是否紧
§7.1 紧致空间 §7.2 紧致性与分离性公理 §7.3 n维欧氏空间Rn 中的紧致子集
§7.4 几种紧致性以及其间的关系 §7.5 度量空间中的紧致性 §7.6 局部紧致空间，仿紧致空间
§7.1 紧致空间
定义7.1.1 设X是一个拓扑空 间．如果X的每一个开覆盖有一个 有限子覆盖，则称拓扑空间X是一 个紧致空间．
X Y
证明：必要性 设Y是拓扑空间X中 的一个紧致子集，A 是Y的一个覆盖， 它由X中的开集构成． 则 A ={A Y | A A}也是Y的一个覆 盖且由Y中的开集构成.由于Y是X的一
个紧致子集,从而 A 有一个有限子覆
盖,设为 {A1 Y , A2 Y , , An , , An}
覆盖Y. 充分性 设每一个由X的开集
构成的Y的覆盖都有一个有限子 覆盖.
X
A
Y
设A 是Y的一个开覆盖，则对于
每一个 AA 存在X中的一个开
集 U A ,使得 A U A Y . 从而 A ={U A|A A }是由X中的开 集
构成的Y的一个覆盖{,U所A1 ,以,有U An一} 个 有限子覆盖，设{A为1, , An}
致子集？ （习题4）
两个紧致子集的交是不是紧致 子集？
任何一族紧致闭子集的交是否
紧致子集？（习题5）
作业:4，10
定义7.1.3 设A 是一个集 族．如果A 的每一个有限子族都 有非空的交(即如果A 1 是A 的一
7.9 距离空间的列紧性与紧性(选讲)
B在A中稠密 ；又BA是至多可数集，故A可分.
第12页
定理5.4 (全有界集的充要条件) 设X是距离空间，AX,则A是全 有界集A中任何点列必存在基本子列。 证 “” 设AX是全有界集， {xn}A，对k=1/k, A的有限k—网Bk={x1(k) ,x2(k),…,xnk(k)}A,使
推论5.1 (有界集与列紧集的关系) 设X是距离空间， AX是列紧集A是有界集
证 A是列紧集 A是全有界集A是有界集
注 在R中，有 1) A是列紧集A是有界集 2) A是自列紧集A是列紧闭集A是有界闭集
推论5.2 (列紧集与可分集的关系) 设X是距离空间，则 (1) AX是列紧集A是可分集； (2) X是列紧空间X是可分的。
(2) “” 在(1)中已证。 “” 设A是全有界集，{xn}A{xn}有基本子列{xn(k)} X完备{xn(k)}{xn}A收敛A是列紧集
第15页
注：在不完备的距离空间中, 全有界集不一定是列紧集. 例如，C[-1,1]按距离 不完备，其中的点列{xn}:
是基本列，因而A={xn}是(C[-1,1],1)中的全有界集， 但是它在C[-1,1]中没有收敛子列，故A={xn}不是列紧集。
R2的一个3/4—网。 例2 设A={(x,y)|x,y均为无理数}, B={(x,y)|x,yQ},则>0, B都
构成了A的一个—网，从而也构成了R的一个—网。（由 于有理数在R中的稠密性） 注: 1）B是A的一个—网yA, xB, 使(x,y)<； 2）A的—网可以是A的子集，也可以不是A的子集.
拓扑空间中的紧致性质研究
拓扑空间中的紧致性质研究拓扑学是数学的一个分支，研究集合上的拓扑结构及其相应的性质。
在拓扑学中，紧致性质是一个非常重要且有趣的概念。
本文将探讨拓扑空间中的紧致性质及其相关概念。
一、紧致性的定义在拓扑学中，紧致性是指一个拓扑空间具有有限子覆盖性质。
具体来说，一个拓扑空间X被称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都可以找到有限的子覆盖。
换句话说，对于X的任意开覆盖，都存在有限个开集，使得它们的并集覆盖整个X。
紧致性是拓扑空间的一个非常重要的性质，它具有许多有趣的特性和应用。
下面将介绍一些与紧致性相关的概念。
二、紧致性的等价性质在拓扑学中，有许多等价的紧致性定义。
以下是其中一些常见的等价性质：1. 有限性：一个拓扑空间X是紧致的，当且仅当X是有限空间。
2. 序列紧致性：一个拓扑空间X是紧致的，当且仅当它的任意序列都有收敛子序列。
3. 覆盖紧致性：一个拓扑空间X是紧致的，当且仅当它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
这些等价性质使得我们可以更灵活地判断一个拓扑空间是否紧致。
三、紧化和局部紧致性除了直接给定的拓扑空间具有紧致性外，我们还可以通过紧化来构造紧致空间。
给定一个拓扑空间X，我们可以定义其紧化为一个新的拓扑空间Y，使得X是Y的一个稠密子空间，且Y是紧致的。
另一个与紧致性相关的概念是局部紧致性。
一个拓扑空间X被称为局部紧致的，如果对于每一个X中的点x，都存在一个紧致邻域U，使得U是x的一个邻域。
局部紧致性是紧化的一种推广，它在许多拓扑空间中都具有重要的应用。
四、紧致性与连续映射紧致性在连续映射的研究中起到了关键作用。
一个映射f：X→Y被称为紧致的，如果对于任意Y中的开覆盖V，f的原像f^{-1}(V)是X中的开覆盖的一个有限子覆盖。
紧致性与连续映射之间有着重要的联系。
例如，连续映射保持紧致性。
具体而言，如果f：X→Y是一个连续映射，X是紧致的，那么f(X)也是紧致的。
五、应用和例子紧致性是许多数学领域中的重要概念，具有广泛的应用。
拓扑学中的紧致空间判定准则
拓扑学中的紧致空间判定准则拓扑学是数学中研究空间性质和结构的学科，而其中的一个重要概念就是紧致空间。
紧致空间指的是满足一定紧致性质的拓扑空间。
在拓扑学中，判定一个空间是否紧致的问题一直备受关注，并且有多种不同的准则可以用来判定紧致性。
本文将介绍拓扑学中的三个主要紧致空间判定准则。
一、序列紧致性在拓扑学中，一种常见的判定紧致性的方法是利用序列。
考虑一个拓扑空间X，如果对于X中的任意序列{xi}都存在一个收敛子序列{xi_k}，使得该子序列的极限点落在X中，那么X就是一个序列紧致空间。
例如，对于实数集R上的序列{xn}，如果该序列有一个收敛子序列，且极限点也属于实数集R，那么实数集R是一个序列紧致空间。
同样地，如果对于n维欧几里得空间R^n上的序列{xn}，存在一个收敛子序列，其极限点也属于R^n，那么R^n也是一个序列紧致空间。
二、覆盖紧致性覆盖紧致性是另一个常用的紧致性判定准则。
一个拓扑空间X被称为覆盖紧致的，如果对于X的任意开覆盖{Ui}，存在有限个开集{U1,U2, ..., Un}，使得X可以被这个有限开集合所覆盖。
换句话说，X的任意开覆盖都有有限子覆盖。
以实数集R为例，考虑一组开区间{(-n, n)}，其中n为正整数。
可以发现对于R而言，该开覆盖是一个覆盖紧致的，因为任意的开订集都可以被有限个这样的开区间所覆盖。
三、有限交性有限交性也是判定紧致性的一个准则。
一个拓扑空间X被称为有限交紧致的，如果X中的任意开集族{Vi}的有限交集为非空集合，则X 是有限交紧致的。
举个例子，考虑实数集R上的开区间{(a, b)}，其中a和b为任意实数。
可以验证，这个开集族的有限交集为空集，因此实数集R不是有限交紧致的。
需要注意的是，序列紧致性、覆盖紧致性和有限交性是拓扑学中常用的几个紧致空间判定准则，并不是相互等价的。
也就是说，一个空间满足其中一个准则，并不意味着它同时满足其他准则。
总结起来，序列紧致性、覆盖紧致性和有限交性是用来判定拓扑空间是否紧致的几个基本准则。
拓扑学中的紧致性与连通性
拓扑学中的紧致性与连通性拓扑学是研究空间的数学分支，它通过定义和研究一些特定性质来描述和区分不同的空间形态。
其中，紧致性和连通性是拓扑学中两个重要的概念。
本文将就这两个概念进行详细讨论。
一、紧致性紧致性是指一种空间的性质，它是衡量该空间中点的聚拢程度的度量。
一个拓扑空间是紧致的，当且仅当对于该空间中的任何可能的开覆盖（即，这个覆盖中的每个元素都是这个空间的开子集，而整个空间可以由这些开子集组成），都存在有限子覆盖，也就是说从该开覆盖中选出有限个开集，它们仍然可以覆盖整个空间。
为了更好地理解紧致性的概念，我们可以举一个例子。
考虑一个所有实数的集合，加上一个度量，这样构成了一个度量空间。
在这个度量空间中，闭区间[0,1]是一个紧致集。
因为对于这个集合的任何开覆盖，我们总可以从中选出有限个开集，使得它们的并集仍然包含整个闭区间[0,1]。
紧致性在很多领域中都有广泛的应用，特别是在分析、几何和拓扑等领域，它是许多重要定理的基础。
比如，有限集合、闭区间、球面等都是紧致的。
二、连通性连通性是指一个拓扑空间中不能被分割成两个或更多非空、不相交、开的子集。
也就是说，如果一个空间中的任意两个点都可以用一条曲线（弧）来连接，那么这个空间就是连通的。
连通性是描述空间的性质，它告诉我们一个空间的内部结构和外部结构的关系。
一个连通的空间是指在该空间中存在紧密的连接，点之间的变化是连续的，并且不存在明显的分离。
相反，一个不连通的空间可以被看作是由多个独立的部分组成，彼此之间没有直接的联系。
例如，平面上的一个圆是一个连通空间，因为对于圆内的任意两点，我们都可以通过一条弧连接它们。
但如果我们在平面上取两个相离的圆，那么整个空间就不再是连通的，而是由两个独立的圆组成的。
连通性在拓扑学中有着重要的地位，它直接关系到了空间的拓扑结构。
如在微分几何中，连通性可以决定流形的特性；在代数拓扑中，连通性是刻画拓扑空间的基本性质之一。
综上所述，紧致性和连通性是拓扑学中两个重要概念。
紧致性与极值定理
紧致性与极值定理紧致性与极值定理是数学中一对重要的概念和定理，它们在数学分析、拓扑学以及其他数学领域中具有广泛应用。
本文将介绍紧致性和极值定理的概念，并探讨它们的数学性质和实际应用。
第一部分：紧致性的概念和性质紧致性是一种用于描述集合的性质，它通常用于度量空间、拓扑空间以及其他数学对象的研究中。
一个集合若满足紧致性的定义，称为紧集。
紧致性有许多等价的定义，其中一种常见的定义是：一个集合是紧集，当且仅当它的任意开覆盖都存在有限子覆盖。
也就是说，对于一个紧集来说，无论它被怎样的开集覆盖，总存在有限个开集能够覆盖整个集合。
紧致性具有一些重要的性质。
首先，紧集的闭子集也是紧集。
其次，紧集的闭包也是紧集。
此外，有限个紧集的并集是紧集。
第二部分：极值定理的概念和性质极值定理是数学中一类重要的定理，它与函数的局部和全局极值相关。
一般来说，极值定理包括费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理等。
费马定理是极值定理中的基本定理之一，它指出：如果一个函数在某点处取得极值，且该点是函数的内点，那么该点的导数应该等于零。
罗尔定理是另一类极值定理，它刻画了一类特殊函数在开区间的边界上取极值的情况。
根据罗尔定理，如果一个函数在开区间的两个边界上取得相同的极值，那么函数在该区间内的某点处也会取得极值。
拉格朗日定理是微积分中的一项重要定理，它将函数的极值与导数联系起来。
根据拉格朗日定理，如果一个函数在开区间的两个点上取得极值，那么在这两点之间，函数的导数为零。
柯西中值定理是极值定理中的另一个重要定理，它描述了连续函数在闭区间内取极值的情况。
根据柯西中值定理，如果一个函数在闭区间的两个端点上取得相同的极值，那么函数在该区间内的某点处也会取得极值。
第三部分：紧致性与极值定理的应用紧致性和极值定理在实际问题中有广泛的应用。
例如，在经济学中，紧致性可以用于描述市场的竞争状况，判断市场是否饱和或者是否存在均衡点。
极值定理可以帮助经济学家确定供求曲线的交点，从而得到商品的最优价格和数量。
拓扑学中的紧致性与连通性
拓扑学中的紧致性与连通性拓扑学是数学中的一个分支，研究的是集合中的空间结构和变形性质。
在拓扑学中，紧致性与连通性是两个重要的概念。
本文将介绍拓扑学中的紧致性与连通性的定义、性质以及它们在数学和实际应用中的意义。
一、紧致性紧致性是拓扑学中一个基本而重要的概念。
一个拓扑空间被称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
换句话说，对于一个紧致空间的任意开覆盖，我们都可以从中选出有限个开集作为子覆盖，使得这些开集覆盖着整个空间。
紧致性具有许多重要的性质。
首先，闭子空间的紧致性是从父空间继承下来的。
也就是说，如果一个空间是紧致的，那么它的闭子空间也是紧致的。
其次，紧致性是一种传递性。
如果一个空间是另一个空间的闭子空间，并且这个闭子空间是紧致的，那么这个空间也是紧致的。
这一性质使得我们在研究紧致性时可以通过从小空间到大空间的层层推广来得到更多的结论。
紧致性在数学中有广泛的应用。
在函数空间和度量空间中，紧致性是很多定理的基础。
例如，连续函数在紧致空间上具有最大值和最小值，积分在紧致空间上具有有界性等。
二、连通性连通性是另一个重要的概念，它描述了拓扑空间的不可分割性。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能被分解为两个非空的、不相交的开集并集。
换句话说，连通空间不可以被插入一个不连通的空间。
连通性也具有一些重要的性质。
首先，连通性是保持在闭子空间之间的。
也就是说，如果一个空间是连通的，那么它的闭子空间也是连通的。
其次，连通性可以通过路径连通来定义。
如果一个空间中的任意两点都可以通过一条连续曲线相连，那么这个空间是路径连通的。
路径连通空间一定是连通的，但连通空间不一定是路径连通的。
连通性在许多领域中具有重要意义。
在数学中，连通性可以用于证明一些重要的性质，例如黎曼曲面的互同性定理。
在实际应用中，连通性可以帮助我们分析网络、图像等复杂系统。
总结起来，拓扑学中的紧致性和连通性是两个基本而重要的概念。
紧致性描述了拓扑空间的覆盖性质，而连通性描述了拓扑空间的不可分割性。
拓扑学中的紧致性判定准则推导思路探讨方向
拓扑学中的紧致性判定准则推导思路探讨方向拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间形状和连续变形的属性。
其中，紧致性是拓扑学中一个重要的概念，它描述了空间的局部紧凑程度。
本文将探讨在拓扑学中紧致性的判定准则以及其推导思路的方向。
I. 概述在拓扑学中，紧致性是一个极其重要的概念。
一个空间称为紧致的，如果对于其每一个开覆盖都存在有限子覆盖。
直观上讲，紧致性可以理解为“没有脱离”的性质，即一个紧致空间可以被有限个开集所覆盖。
II. 紧致性的判定准则在拓扑学中，紧致性的判定准则有多种，其中一些比较常见和有用的准则如下：1. 有限性判定准则若一个空间有有限子覆盖，则该空间为紧致的。
这是紧致性最直观和简单的判定准则之一。
2. 连续映射保紧性准则若一个连续映射将一个紧致空间映射到另一个空间上，则映射结果空间也是紧致的。
3. 极限点紧致性准则若一个空间的任意无穷子集都有收敛于该空间的极限点，则该空间是紧致的。
4. 有界闭集紧致性准则在度量空间中，若一个集合既是有界闭集，那么它是紧致的。
III. 推导思路的方向推导紧致性判定准则的思路通常可以从以下几个方面进行探讨：1. 对于特殊类型的空间，如度量空间、赋范空间等，探讨其紧致性的判定准则。
2. 探讨紧致性与其他拓扑性质之间的关系，以及利用这种关系来判定紧致性。
3. 探讨紧致性的性质和特征，并据此推导紧致性的判定准则。
4. 定义并研究拓扑学中的一些重要定理，如紧致性与连续映射的关系等。
IV. 结论本文探讨了拓扑学中紧致性的判定准则以及其推导思路的方向。
紧致性作为拓扑学中一个重要的概念，可以通过有限性判定准则、连续映射保紧性准则、极限点紧致性准则以及有界闭集紧致性准则等方式进行判定。
推导紧致性判定准则的思路可以从特殊类型的空间、与其他拓扑性质的关系、紧致性的性质和特征等方面展开探讨。
通过深入研究和理解这些准则和思路，我们可以更好地理解和应用拓扑学中的紧致性概念。
拓扑学中的紧致性与连通性
拓扑学中的紧致性与连通性拓扑学作为数学的一个分支，研究的是空间的性质和结构，其中的两个重要概念分别是紧致性和连通性。
本文将对这两个概念进行介绍，并探讨它们在拓扑学中的重要性和应用。
一、紧致性紧致性是指一个空间的每个开覆盖都存在有限子覆盖的性质。
直观来说，如果一个空间中的点可以用有限数量的开集覆盖，那么这个空间就是紧致的。
紧致性在拓扑学中具有重要地位，它是很多定理中的关键条件。
例如，紧致性保持了一些重要的性质，如有界性和连续映射的像的紧性。
此外，紧致空间还满足有限交性质和有限并性质，这也使得它们在分析学、代数学以及几何学等领域中得到广泛应用。
紧致性与离散空间、无限空间等概念有着密切关系。
离散空间中的每个子集都是开集，因此离散空间是紧致的。
而无限空间，如实数轴，是不紧致的，因为它可以被开区间覆盖无穷多次而无法被有限子覆盖。
二、连通性连通性是指一个空间是连通的，即该空间中不存在将其分割成两个非空不相交开集的性质。
简单来说，如果一个空间不可以被分成不相交的两部分，那么这个空间就是连通的。
连通性也是拓扑学中十分重要的概念。
它在很多定理中发挥着关键作用，例如中间值定理和过渡性质定理等。
而不连通的空间则可以被看作是由多个连通分量组成的。
连通性与路径连通性密切相关。
路径连通性是指两个点之间存在一条连续的路径，而连通性是指空间中的每对点都是路径连通的。
连通性是路径连通性的自然推广和扩展。
三、紧致性与连通性的关系在一般的拓扑空间中，紧致性与连通性并无必然联系。
然而，在一些特殊的拓扑空间中，紧致性和连通性之间存在一定的关系。
定理1：若一个空间是紧致的，则该空间是连通的。
定理2：若一个空间是连通的，则该空间的闭子集也是连通的。
这两个定理表明，紧致性和连通性具有一定的传递性和保持性。
紧致性保持了连通性，并且连通性在某种程度上保持了紧致性。
四、紧致性与连通性的应用紧致性和连通性在拓扑学以及其他数学领域中具有广泛的应用。
在分析学中，紧致性与闭区间上的连续函数有关，例如魏尔斯特拉斯定理表明，闭区间上的连续函数是一致连续的，并且取得最大最小值。
《点集拓扑讲义》第八章 紧致性
定义 8.1.1 设 X 是一个拓扑空间,如果 X 的任 意一个开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间 X 是 一个紧致空间.
例 8.1.1 实数空间 R 不是紧致空间,这是因为由 开区间构成的集族: A ={(n,n+2)|nZ} 是 R 的一个开覆盖，但这个开覆盖没有有限子覆盖.
由此可以看到， 紧致性质是非常强的一个拓扑 性质，它使得我们熟悉的实数空间 R 也不属于这 一拓扑空间类.
由定理 8.1.4 可见，拓扑空间的紧致性质是一个 在连续映射下保持不变的性质，因而是一个拓扑性 质，也是一个可商性质.
由此可见， 由于实数空间不是紧致空间， 因此 与它同胚的任一开区间作为子空间都不是紧致空 间.
定理 8.1.3 紧致空间的每一个闭子集都是紧 致子集.
证明：设 Y 是紧致空间 X 的闭子集，再设 A 是 Y 的一个 由 X 中的开集构成 的开 覆盖，则 ~ A A {Y } 就是 X 的一个开覆盖.由 X 的紧致性知 ~ ~ A1 覆盖 X，从而存在 A 的有 存在 A 的有限子覆盖
X A X ( B1 B2 ) ( X B1 ) ( X B2 )
A T1 T
是 X 中的闭集,又 X B2 是紧致闭集，
因此 ( X B1 ) ( X B2 ) 是 ( X B2 ) 中的一个紧致闭 子集，从而它也是 X 中的一个紧致闭子集，因此 X A 是 X 中的紧致闭子集，因此 A T1 T . 综合(1),(2),(3)知 ( X ,T ) 是一个拓扑空间.
设 A 是由 B 中的元素构成的 X 1 X 2 的一个覆盖, 对于每个 x X 1,由于积空间 X 1 X 2 的子空间 {x} X 2 同胚于 X 2 ,因此它是 X 1 X 2 中的一个紧致子集,又显 然 A 是{x} X 2 的一个由 X 1 X 2 中的开集构成的一 个覆盖,由定理 8.1.1 知 A 有一个有限子覆盖覆盖 {x} X 2 ，设这个覆盖为
拓扑学第四章-紧致性
第四章紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个槪念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上,紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。
§4-1度量空间（X,d）中紧性（简单复习）定义1设A是（x,〃）的一个子集。
如果q中任一无穷点列有子列收敛于x中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A中每个收敛子列的极限点都属于A ,则称A是列紧的：如果（X,〃）本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧,是因为用序列收敛描述的。
•下而的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出〉（1）有限子集总是列紧的。
（2）列紧空间是完备的（但,完备空间未必是列紧的）。
（3）若A是（X,〃）的列紧子集，则A是（X,〃）的有界闭集。
（4）在一般度虽空间中，（3）成立，反之未必：如果（X,d）是列紧空间，则4列紧=> A是闭集。
（5）列紧的度量空间必是可分的。
•进—步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2设A是（X,〃）的一个子集。
"是X的一族开集，满足则称"为A在XUe//中的开覆盖；若"中只有有限个子集，称"为有限开覆盖；若X本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X为紧致空间（有的书成为紧空间）★理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间O紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。
§4-2拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间切具有某些极好的性质，它对于证明极大值泄理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
所以，最早人们认为［d,b］上这个特性取决于［4切上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性槪念。
几种紧致性以及其间的关系
§7.4 几种紧致性以及其间的关系本节重点 : 掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：实数空间中的一个子集 A 如果满足以下条件（ l ）～（ 4）中的任何一条，则满足其他的几条．（l ）A是一个有界闭集；（ 2） A 的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（3）A 中的每一个无限子集都有凝聚点在 A 中；（4）A 中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点．这几个条件的重要意义，读者应当早就有所体会了．不难发现这四条中以惟有（ l ）中涉及的概念有赖于度量，其余（2），（3）和（ 4）三条中所涉及的概念都只是牵连到拓扑．我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件（2），（ 3）和（ 4）的等价性；假如不能，讨论在何种条件下它们等价也是一件有意义的事．本节我们研究这个问题．为了研究问题时的方便，引进以下条件（ 5）作为讨论的中间站．（ 5）A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖．定义 7.4.l 设 X是一个拓扑空间．如果 X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间 X 是一个可数紧致空间．以下两个定理的证明十分容易，请读者自己补证．定理 7.4.1 每一个紧致空间都是可数紧致空间．定理 7.4.2 每一个 Lindeloff 的可数紧致空间都是紧致空间．定义 7.4.2 设 X是一个拓扑空间．如果 X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间 X 是一个列紧空间．定理 7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间．证明 设 X 是一个可数紧致空间． 为了证明它是一个列紧空间， 我们只要证明它的每一 个可数的无限子集都有凝聚点，现在用反证法来证明这一点．假设 X 有一个可数无限子集 A 没有凝聚点．首先这蕴涵 A 是一个闭集．此外对于每一个 a ∈A ，由于 a 不是 A 的凝聚点， 所以存在 a 的一个开邻域 使得 ∩A={a} ．于是集族 { |a ∈A}∪{ }是 X 的一个开覆盖．由于 X 是可数紧致空间，它有一个有限子覆盖，不妨设为 { } 由 于 与 A 无交，所以 { } 必定覆盖 A ．因此，A=( ) ∩A={a1,a2, ⋯an} 是一个有限集．这是一个矛盾． 定义 7.4.3 设是一 个由集合构成的序列， 如果它满足条件： 对于每 一个 i ∈Z+成立，即在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列．引理 7.4.4 设 X 是一个拓扑空间．则拓扑空间 X 是一个可数紧致空间当且仅当由X 中任何一个非空闭集下降序列证明 设可数紧致空间 X 中的非空闭集下降序列 使得 于是是 X 的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为 { }由此可得这是一个矛盾．另一方面， 设拓扑空间 X 中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交． 如果 X 不是一个可数紧致空间，则 X 有一个可数开覆盖，设为 { } ，没有有限子覆盖．对于每一个则称序个下降序，有非空的交，即i ∈ Z+，令则{ } 也是 X 的一个开覆盖，没有有限子覆盖，并且满足条件：是一个非空闭集下降序列，所以 ．由此可见 ．也就 是说 { } 不是 X 的一个覆盖，这是一个矛盾．定理 7.4.5 每一个列紧的 空间都是可数紧致空间．证明 设 X 是一个列紧的 空间．如果 X 不是一个可数紧致空间，则根据引理7.4.4， X 中有一个非空闭集下降序列, 使得 在每一个 中选取一点 ，并且考虑集合 A={ } 如果 A 是一个有限集，则必有一点 x ∈A 和一个正整数的严格递增序列 n1，n2，⋯使得于是 x ∈ ，这与反证假设矛盾．设 A 是一个无限集．由于 X 是一个列紧空间，所以 A 有一个凝聚点，设为 y ．由于 X 是 一个 空间（它的每一个有限子集都是闭集），易见对于每一个 i ∈Z+，点 y 也是集合的一个凝聚点；又由于 ．这也与反证 假定矛盾．定义 7.4.4 设 X 是一个拓扑空间．如果 X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，称 拓扑空间 X 是一个序列紧致空间．定理 7.4.6 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间．证明 设 X 是一个序列紧致空间， { }是 X 中的一个非空闭集下降序列．在每．对于每一个 i ∈Z+，因此．根据引理 7.4.4X 是一个可数紧致空间．定理 7.4.7 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间．证明设 X 是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间，设．对于每一个 i ∈ Z+，令和．于是是拓扑空间 X 中的一个非空闭集下降序列，因此根据引理 7.4.4 ，我们有．由于 X满足第一可数性公理，根据定理 5.1.8 ，在点 x 处有一个可数邻域基{ } 满足条件：对于任意 j ∈Z+成立．令对于每一个 i > l ，令, 于是是一个严格递增的正整数序列．并且对于每一个 i ∈ Z+成立．我们来证明序列 { }的子序列 { }收敛于 x：设 U是 x的一个邻域．存在某一个k∈Z+,使得，于是当 i >k 时我们有根据本节中的各个定理，我们可以得到图表7.2 ．根据这个表立即可以知：推论7.4.8 列条件设 X 是一个满足第二可数性公理的空间， A是 X 的一个子集．则下（l ） A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；（ 2） A 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖；（3）A 中的每一个序列都有子序列收敛于 A 中的点；（4）A 中的每一个无限子集都有凝聚点在 A 中．特别，对于 n 维欧氏空间的子集以上推论成立，并且推论中的每一个条件都等价于 A 是一个有界闭集．作业:P201 1。
拓扑学中的紧致流形与流形同胚
拓扑学是数学中的一个分支，研究空间形态上的性质。
其中，流形是拓扑学中的一个关键概念。
流形是指在局部上与欧几里德空间同胚的空间。
而在拓扑学中，紧致性是一个非常重要的性质。
本文将介绍紧致流形以及流形同胚的相关概念和性质。
首先，我们来了解什么是紧致性。
在拓扑学中，紧致性是指一个空间在拓扑结构下没有无限序列的收敛子列逃逸到无穷远的性质。
简单来说，紧致性可以理解为一个空间有限而有界。
一个空间如果同时满足Hausdorff分离公理和紧致性公理，则称为紧致空间。
接下来，我们来讨论什么是流形。
流形是一个局部上与欧几里德空间同胚的空间，即对于流形上的每一点，都存在一个邻域与欧几里德空间中的开集同胚。
流形可以是有限维或无限维的。
有限维流形是我们日常生活中更容易理解的，比如曲线、曲面等。
而无限维流形则涉及到更高级的数学对象。
那么，紧致流形就是同时具备紧致性和流形性质的空间。
紧致流形在数学研究中扮演着十分重要的角色。
紧致性保证了有限性和有界性，使得我们能够更好地进行研究和分析。
同时，流形性质保证了空间的局部性质与欧几里德空间的同胚性，使得我们可以借助欧几里德空间中的工具和技术来研究流形。
除了紧致性和流形性质外，我们还可以讨论流形之间的同胚。
同胚是指两个空间之间存在一个一一对应的映射，并且这个映射以及它的逆映射都是连续的。
流形同胚的概念可以理解为两个流形之间存在一种相似性，即它们的结构和性质是等价的。
研究流形同胚的一个重要问题是如何判断两个流形是否同胚。
在低维流形中，常用的方法是通过刻画流形的拓扑不变量来进行判断。
比如，欧几里德空间中的拓扑不变量是欧拉数，对于一维流形即曲线，欧拉数是0；对于二维流形即曲面，欧拉数是2-2g，其中g是曲面上的洞的个数。
通过计算拓扑不变量，我们可以判断流形之间是否同胚。
然而，在高维流形中，判断同胚关系就更加困难了。
在拓扑学中，尚未找到适用于所有高维流形的拓扑不变量。
因此，从数学角度上讲，给出两个高维流形是否同胚的判断依据仍然是一个开放的问题。
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为研究 超 距空 间 的紧致 性 ， 先 引入几 个 相关 首
的概 念 ：
定义 １ 设 为拓 扑 空 间 ， 如果 的每 一 开覆 盖都有 有 限子覆 盖 ， 称 为紧致 空 间 。 则 义 ２ 设 （ ｄ 度 量 空 间 ， ， ） 若对 任意 的 ｒ ０ ＞ ， ｛ ，） ∈Ｘ｝ 有有 限子 覆盖 ， 称 （ ｄ 为全 Ｂ（ ｒ Ｉ 具 则 Ｘ， ）
定 义 ３ 设 Ａ为度 量空 间 （ ｄ 的子 集 ， Ｘ， ） 如果 存在正整数 ， 使得对任 意的 ｘｙ ，∈Ａ均有 ｄ ，） （ Ｙ ＜ 成立 ， 称 Ａ为 （ ｄ 的有 界 子集 ； 则 Ｘ， ） 若 本身 是
有 界 ， （ ｄ 为有 界 的度量 空 间。 称 Ｘ， ）
１ 基 本 概 念
设 为非 空集 合 ， 对任 意 的 ， Ｙ∈Ｘ， 都有 唯 一 的 实数 ｄ ，） （ Ｙ 和其 对 应 ， 称 ｄ 则 为 与 Ｙ之 间 的超 距度 量 ， 果满 足 ： 如
１ ）非负性 ｄ ｘ ｙ ＞０且 ｄ ，）＝ 僦 ＝ （ ，） １ （ Ｙ ０ ；
２ ）对 称性 ｄ ，）＝ｄ Ｙ ） （ Ｙ （ ， ；
３ ）超距 性 ｄ ， ≤ｍ ｘ ｄ ， ） ｄ Ｙ （ ） ａ ｛ （ Ｙ ， （ ，
） （ 于任 意 的 ，， ∈ ， 此 不等 式为超 距 不 ｝对 Ｙ ｚ Ｘ）称 等式 ， 相应 的空 间 （ ｄ 称 为 超距 空 间 。在超 距 Ｘ， ） 空 间 （ ｄ 中 ， 合 Ｘ， ） 集
超 距 空 问的 紧 致 性及 其 相关 性 质
安 建 业
（ 津 商 业 大 学 理 学 院 ， 津 ３０ ３ ） 天 天 ０ １４
【 摘
要 】 用超距 空问的基 本性质及 拓扑空问紧致 性的相 关理论 ， 出超距空 间为 紧致空 间的充分 且必要条 利 给
件， 并讨 论 了一 些相 关 性质 。
Ｂ ｏ ｒ （ ， ）＝｛ ｌ （ ， ｏ ｄ ）＜ｒ ｏ∈Ｘ｝ ， ， 与 Ｓ ，）＝｛ ｄ ， ≤ｒ ∈Ｘ｝ （ ｏ厂 Ｉ （ ｏ ） ， ｏ ，
性等性质是拓扑学的重要 内容 ， 因为这有助于进一
步 了解其诱 导 的拓 扑 空 间 的数 学 结 构 。超 距 空 间
维普资讯
第 ２卷 第 ３ ８ 期 ２ ０ 年 ５月 ０８
天
津
商
业
大
学
学
报
Ｖ０ ． ８ Ｎｏ． １２ ３ Ｍ ａ ０ ｖ ２ ０８
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｉ ｊ ｎｖ ｒ ｔ ｏ ｏ ｍｅ ｅ ｏ ｒ ａ ｏ ａ ｉ Ｕ ｉｅｓ ｙ ｆ ｍ ｒ Ｔ ｎｎ ｉ Ｃ ｃ
定 义 ４ 设 Ａ为 度 量 空 间 （ ｄ 的子 集 ， 果 Ｘ， ） 如
Ａ是有 界子集 ， 记
Ｄ（ ）＝ｓｐ ｄ ，） ， Ａ ｕ ｛ （ Ｙ ： Ｙ∈Ａ｝
称 ｏ ａ 为子集 的直径 。 （）
定 义 ５ 设 Ａ为度 量 空间 （ ｄ 的子集 ， Ｘ，） 记
ｄ ， （ Ａ）＝ ｎ ｛ （ Ｙ ： ｉｆｄ ， ） 对任 意 Ｙ∈Ａ｝
收稿 日期 ： ０ ８一ｏ ２０ ３一Ｏ ７
作者简介： 安建业（ ９ ９ ） 男 ， １６ 一 ， 内蒙古乌盟人 ， 教授 ， 士， 硕 主要从事应用数学方面研究 。
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４ ２・
天
津
商
业
大
学
学
报
２０ ０８
称 ｄ ， 为 到子集 Ａ的距 离 。 （ Ａ） 定 义 ６ 若 ｛ ｝ 超 距 空 间 （ ｄ 中 的 序 为 Ｘ， ） 列， 如果 对任 意 的 ＞ ， （ ） 含有 ｛ ｝ ０ Ｂ ， 都 中异 于
Ｂｘ ， （ ， 则存在 Ｂ ｘ ） （， ）∈现 ， 使得 。 ∈
称为 相应 的球 心 ，称 为 相应 的半 径 。 ｒ
形邻域的结构作 了实质性的研究 ， 给出超距空间中 球 形邻 域 的重 要性 质 、 而 又得 到 超 距 空 间开 集 、 进
闭集 的相关 性质 ； 献 ［ ］ 用 拓扑 空 间 连通 性 的 文 ２利
相 关理论 ， 究 了超距 空 间及 其 子 空 间 、 空 间 的 研 积 连 通性 、 弧连 通 性及 局 部 连 通 性 ； 献 ［ ］ 用 拓 文 ３利 扑 学 的一般 理论 ， 论 了一类 特 殊 的超距 空 间— — 讨
作为 一种特 殊 的度量 空 间 ， 了解 其连 通 性 、 完备 性 、 紧致性 、 可分 性 等性质 对 于研究 超距 空 间 的 内部 结
构 特征 具有 重 要 的意 义 。 文 献 ［ ］ 超 距 空 间球 １对
分别 称作 以 为 中心 以 ｒ 半径 的开球 及 闭球 ，。 为
【 关键词 】 超距 空间 ； 紧致 空间； 紧致性 ； 完备性 【 中图分类号 】０７ ． １５１ 【 文献标识码 】 Ａ
【 文章编号 】 ６４ ２６ （０ ８０ — ０ １ ０ １７ — ３２ ２０ ）３ ０４ — ４
０ 引 言
研究度 量 空间 的连通 性 、 备性 、 完 紧致 性 、 可分
有界的。
序 列位差 空 间的连 通 、 可分 、 紧致 等拓 扑性 质 ， 对 这 进 一步研 究超 距空 间 的紧致性 、 可分性 具 有 一定 的 参考 价值 。本 文利 用拓 扑空 间 紧致 性 的一 般 理论 ，
对 超距 空间 的紧致 性及 其相关 性 质做 深入 的讨论 。
。 ∈Ｕ， 使得 ｄ ｙ。 ０ （ ，）： 。
另 一方 面 ， 由引 理 ５知开 集 可表 示 为互不相
交 的开球之 并集 ， 这些开球 构 成的集 合为 现 ， 记 即
Ｕ ＝
。
的点 ， 即 Ｂ ， ｎ（ ｝ ｝ ≠ （ ） ｛ 一｛ ） 则 为序列 ｛ ｝ 的极 限点 。