数学---山西省运城市芮城中学2018届高三(上)期中试卷(理)(解析版)

山西省运城市芮城中学2018届高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x+2＜0}，B={x|x2+3x＜0}，则（∁U A）∩B等于（）A．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣2≤x＜0}C．{x|x＜﹣2} D．{x|﹣2＜x＜0}2．（5分）已知d为常数，p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（2，1），若（k+）∥（﹣2），则实数k的取值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．24．（5分）已知命题p：∀x∈R，5x＞3x；命题q：∃x∈R，tan x=2，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）5．（5分）在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．（5分）设a=log3，b=log9，c=（）0.1，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c7．（5分）函数f（x）=ln x﹣x2的大致图象是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，]上单调递增，则正数a的取值范围为（）A．[，] B．[，]C．[，] D．（0，]9．（5分）在△ABC中，a=3，b=2，AB边上的中线长为2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．（5分）长度都为2的向量，的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧（劣弧）上，=m+n，则m+n的最大值是（）A．2B．C．D．311．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣2ln x（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（）A．ln a＞﹣b﹣1 B．ln a≥﹣b﹣1C．ln a＜﹣b﹣1 D．ln a≤﹣b﹣1二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）曲线y=x3﹣ln（2x﹣1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）已知角α的终边位于函数y=2x的图象上，则cos2α的值为．15．（5分）设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为（1，3），则f（x）﹣g（x）的值域为．16．（5分）数列（a n）的递推公式为a n=（n∈N*），可以求得这个数列中的每一项都是奇数，则a12+a15=；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个3是该数列的第项．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知集合A是函数y=lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知向量=（sinωx﹣cosωx，1），=（cosωx，），设函数f（x）=•，若函数f（x）的图象关于直线x=对称且ω∈[0，2]．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）先列表，再用五点法画出f（x）在区间[﹣，]上的大致图象．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*），数列{b n}是公差不为0的等差数列，b1=1，且b22=a1b3﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n和b n；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求满足T n＜120的最大正整数n．20．（12分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（a﹣c）（sin A+sin C）=b（sin A﹣sin B）．（1）求角C的大小；（2）求cos2A+cos2B的取值范围．21．（12分）已知数列f（x）=x﹣a ln x（a＞0）．（1）若a=1，求f（x）的极值；（2）若存在x0∈[1，e]使得f（x0）+＜0成立，求实数a的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=ax ln x﹣ax（a≠0）（e=2.71828…）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）①设g（x）=x+e1﹣x，求g（x）的最小值；②证明：+x≥1﹣．【参考答案】一、选择题1．B【解析】根据题意，A={x|x+2＜0}={x|x＜﹣2}，则∁U A={x|x≥﹣2}，B={x|x2+3x＜0}={x|﹣3＜x＜0}，则（∁U A）∩B={x|﹣2≤x＜0}；故选：B．2．B【解析】若对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；则a2﹣a1=d不一定成立，即q不一定成立；即p是q的不充分条件；若数列{a n}是公差为d的等差数列，则对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；即p是q的必要条件，故p是q的必要不充分条件，故选：B3．A【解析】∵=（1，﹣3），=（2，1），∴k+=k（1，﹣3）+（2，1）=（2+k，1﹣3k），﹣2=（﹣3，﹣5），∵（k+）∥（﹣2），∴﹣5（2+k）=﹣3（1﹣3k），∴解得：k=﹣．故选：A．4．C【解析】当x=0时，5x=3x，故命题p为假命题，tan x∈R，故命题q：∃x∈R，tan x=2是真命题，故命题p∧q，p∧（￢q），（￢p）∧（￢q）为假命题，命题（￢p）∧q是真命题，故选：C5．C【解析】由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．6．A【解析】∵a=log3＜log31=0，==a＜b=log9＜log91=0，0＜c=（）0.1＜（）0=1．∴a＜b＜c．故选：A．7．A【解析】∵f（x）=ln x﹣x2，其定义域为（0，+∞）∴f′（x）=﹣x=由f′（x）＞0得，0＜x＜2；f′（x）＜0得，x＞2；∴f（x）=ln x﹣x2，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取到极大值．又f（2）=ln2﹣＞0，∴函数f（x）=ln x﹣x2的图象的点（2，f（2））在x轴上方，可排除B，C，D．故选：A．8．D【解析】将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣）的图象．在区间[0，]上，2a﹣∈[﹣，﹣]，若函数g（x）在区间[0，]上单调递增，则﹣≤0，求得a≤，故选：D．9．D【解析】由题意可得AB边上的中线长CD=2，取AD的中点E，连接CE，由b=2可得△ACD为等腰三角形，则CE⊥AB，设AB=x，CE=h，可得直角三角形ACE中，h2+=4，①直角三角形BCE中，h2+=9，②由①②解得x=，h=，则△ABC的面积为××=．故选：D．10．B【解析】根据题意，点C在以O为圆心的圆弧上，则||=1，又由=m+n，则有2=（m+n）2=m22+n22+2mn•=4m2+4n2+4mn=4，变形可得m2+n2+mn=1，即（m+n）2﹣1=mn≤，（m=n时等号成立）变形可得（m+n）≤，即m+n的最大值是，故选：B．11．A【解析】由选项知k≠0，设t=f（x），则由f（f（x））=0得f（t）=0，∵当x≤0时，f（x）=≠0，∴当x＞0时，由f（x）=ln x=0得x=1，若f（t）=0，则t=1，则若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解则等价为f（x）=1有唯一解．作出函数f（x）的图象，由图象知当x＞0时，f（x）=ln x=1有一个解，则等价为当x≤0时，f（x）==1无解，即若k＞0，满足=1无解，若k＜0，则函数f（x）=在x≤0时为增函数，则函数的最大值为f（0）=﹣k，此时只要满足﹣k＜1，即﹣1＜k＜0，即可，综上实数k的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞），故选：A12．C【解析】f′（x）=2ax+b﹣，由题意可知，f（x）在x=2处取得最小值，即x=2是f（x）的极值点；∴f′（2）=0，∴4a+b=1，即b=1﹣4a；令g（x）=2﹣4x+ln x（x＞0），则g′（x）=；∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上单调递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）在（，+∞）上单调递减；∴g（x）≤g（）=1+ln=1﹣ln4＜0；∴g（a）＜0，即2﹣4a+ln a=ln a+b+1＜0；故ln a＜﹣b﹣1，故选：C．二、填空题13．x﹣y=0【解析】∵y=f（x）=x3﹣ln（2x﹣1），∴f'（x）=3x2﹣，当x=1时，f'（1）=3﹣2=1，得切线的斜率1，所以k=1；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=1（x﹣1），即x﹣y=0．故答案为：x﹣y=0．14．﹣【解析】当角α的终边在第一象限时，sinα=，cosα=，cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣；当角α的终边在第三象限时，sinα=﹣，cosα=﹣，cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，综上，cos2α=﹣．故答案为：﹣．15．（﹣3，﹣1）【解析】设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），设F（x）=f（x）+g（x），H（x）=f（x）﹣g（x），H（﹣x）=f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=﹣F（x），由函数f（x）+g（x）的值域为（1，3），可得H（﹣x）的值域为（﹣3，﹣1），由H（x）和H（﹣x）的图象关于y轴对称，可得f（x）﹣g（x）的值域为（﹣3，﹣1）．故答案为：（﹣3，﹣1）．16．18 384【解析】由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15=3+15=18．又因为a3=3，a6=3，a12=3，a24=3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第8个3是该数列的第3×28﹣1=384项．故答案为：18，384三、解答题17．解：（1）由条件得：A={x|﹣10＜x＜2}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}若A∩B=∅，则必须满足所以，a的取值范围的取值范围为：a≥11；（2）易得：¬p：x≥2或x≤﹣10，∵¬p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥2或x≤﹣10}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则∴a的取值范围的取值范围为：0＜a≤1．18．解：（1）f（x）=（===sin（2ωx﹣），函数f（x）的图象关于直线x=对称，则，k∈Z，解得ω=+1，k∈Z，且ω∈[0，2]，则ω=1；所以f（x）=sin（2x），令2k≤2x﹣，解得k，k∈Z．所以函数f（x）的单调递减区间[kπ+kπ+]，k∈Z．（2）x∈[﹣，]，2x∈[﹣π，π]，列表：2x﹣sin（2x）画出图象得：19．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*），则：S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n≥2），所以：S n﹣S n﹣1=a n=2a n﹣2a n﹣1，则：，当n=1时，解得：a1=2所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．则：．数列{b n}是公差不为0的等差数列，b1=1，且b22=a1b3﹣1．设数列的公差为d，则：（1+d）2=2（1+2d）﹣1，解得：d=2，所以：b n=2n﹣1．（2）由于c n=a n b n=（2n﹣1）•2n，则：…+（2n﹣1）•2n①，…+（2n﹣1）•2n+1②，所以：①﹣②得：﹣T n=1•2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）•2n+1，解得：，由于数列{c n}为递增数列，且T n＜120，则：T3=54＜120，T4=166＞120，所以满足T n＜120的最大正整数为3．20．解：（1）由已知和正弦定理得：（a﹣c）（a+c）=b（a﹣b）故a2﹣c2=ab﹣b2，故a2+b2﹣c2=ab，得cos C==，又C∈（0，π），所以C=．（2）∵C=，可得：2B=﹣2A，∴cos2A+cos2B==1+（cos2A+cos2B）=1+[cos2A+cos（﹣2A）]=1+cos（2A+），∵锐角三角形ABC中，C=，可得：＜A＜，∴＜2A+＜，可得：﹣1≤cos（2A+）＜﹣，∴≤cos2A+cos2B＜，即cos2A+cos2B的取值范围为：[，）.21．解：（1）a=1时，f（x）=x﹣ln x，函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）的极小值是f（1）=1，无极大值；（2）存在x0∈[1，e]使得f（x0）+＜0成立，等价于[f（x0）+]min＜0，x0∈[1，e]成立，设h（x）=x﹣a ln x+，x∈[1，e]．则h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=﹣1（舍），x=1+a；①当1+a≥e，h（x）在[1，e]递减，∴h（x）min=h（e）=e2﹣e a+1+a，令h（x）min＜0，解得：a．②当1+a＜e时，h（x）在（1，a+1）递减，在（a+1，e）递增，∴h（x）min=h（1+a）=a[1﹣ln（a+1）]+2＞2与h（x）min＜0矛盾，综上，a．22．解：（1）函数f（x）=ax ln x﹣ax的导数f′（x）=a ln x，（x＞0）①当a＞0，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②a＜0，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（2）①∵g（x）=x+e1﹣x，x∈（0，+∞），∴g′（x）=1﹣e1﹣x=，x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2；②证明：∵f（x）=ax ln x﹣ax，由+x≥1﹣得x ln x﹣x++x﹣1≥0，即（x ln x﹣1）（x e x﹣1+1）+2≥0⇔（x ln x+1）x e x﹣1+x ln x+1≥2x e x﹣1⇔（x ln x+1）（x e x﹣1+1）≥2x e x﹣1，即（ln x+）（x+e1﹣x）≥2，设h（x）=ln x+，h′（x）=．故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=1，又g（x）在（0，+∞）时，g（x）≥2，故（ln x+）（x+e1﹣x）≥2成立，∴+x≥1﹣．。