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2015-2016年北京市西城区宣武外国语学校九年级(上)期中数学试卷及参考答案

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2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级(上)期中数学试卷-含详细解析

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2016-2017学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线2.下列图形是中心对称图形的是（）A. B.C. D.3.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A.B.C.D.4.将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x-2）2+3，下列平移正确的是（）A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5.已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A.B.C. ，D. ，7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A. B. C. D.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，AB⊥OB，∠AOB=30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A. B. C. D.9.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B=60°，AC=3，则CD的长为（）A. 6B.C.D. 310.如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于______ 度．12.点A（3，y1），B（-2，y2）在抛物线y=x2-5x上，则y1______ y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为______ ．14.⊙O中，AB为⊙O的弦，∠AOB=140°，则弦AB所对的圆周角为______ 度．15.如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是______ cm2．16.阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是______；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是______．三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.解方程：x2－4x＋1＝018.如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数．四、解答题（本大题共11小题，共62.0分）19.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（-3，4），B（-5，1），C（-1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．20.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y＞0？21.《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．22.已知二次函数y=x2-2x-3．（1）将y=x2-2x-3化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______；3（）不等式＞的解集是．23.如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．24.如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．25.如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？26.如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若OA=AE=4，求AC的长．27.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．28.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-2x2+（m+9）x-6的对称轴是x=2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y=-2x2+（m+9）x-6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y=2x-2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b的取值范围______ ．29.阅读资料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2-x1|2+|y2-y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A（x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x-0|2+|y-0|2，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为______．综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．证明AB是⊙P的切线；是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是x=1．故选：C．利用顶点式直接求得对称轴即可．此题考查二次函数的性质，抛物线y=a（x-h）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x=h．2.【答案】A【解析】解：A、该图形是中心对称图形，正确，B、该图形不是中心对称图形，错误；C、该图形不是中心对称图形，错误；D、该图形是轴对称图形，错误；故选：A．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，∴∠AOB=2∠C=70°．故选：D．由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】D【解析】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-2）2+3的顶点坐标为（2，3），而点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到点（2，3），所以抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y=2（x-2）2+3．故选D．先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5.【答案】A【解析】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，∵3＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选：A．根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，依据抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键．根据抛物线的对称性判断出抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（-3，0）．∴ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x1=1，x2=-3．故选C．7.【答案】C【解析】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，-1），∴旋转中心的坐标为（1，-1）．故选：C．先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．8.【答案】B【解析】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，∠AOB=30°，∴cos∠AOB=，∴OA===2，如图，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，可得A1（-2，0），故选：B．根据三角函数可得OA，结合∠AOB=30°可知△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化，解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x 轴上是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=60°，AC=3，∴BC==，∵AB⊥CD，∴CE=BC•sin60°=×=，∴CD=2CE=3．故选：D．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠B=60°，AC=3，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD=90°是关键．10.【答案】C【解析】解：由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置．①对，②没有回到原来的位置，应排除．④回到原来的位置后又继续运动了，应排除．如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置．③对．故选C．本题需注意正确理解题意，根据点P运动的方向分析即可．本题考查了动点问题的函数图象，由于没有说点是怎么运动的，所以分情况进行分析，判断．11.【答案】125【解析】解：∵旋转角为80°，∴∠BOD=80°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+80°=125°，故答案为：125．由旋转角可求得∠BOD，再利用角的和差可求得∠AOD．本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键．12.【答案】＜【解析】解：当x=3时，y1=x2-5x=-6；当x=-2时，y2=x2-5x=14；∵14＞-6，∴y1＜y2．故答案为：＜．分别计算自变量为3、-2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13.【答案】【解析】【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．由⊙C与∠AOB的两边分别相切，利用切线长定理，可得∠AOC=45°，继而可得△OCP是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】解：连接CP，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB，CP⊥OA，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=45°，∴OC=OP=4×=．故答案为．14.【答案】70或110【解析】解：根据圆周角定理，得弦AB所对的圆周角=140°÷2=70°或180°-70°=110°．故答案为70或110．此题要分情况考虑：弦对了两条弧，则两条弧所对的圆周角有两类．再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行计算．此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弦所对的圆周角有两种情况．15.【答案】6【解析】解：AB与C′B′相交于点D，如图，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∴AC=BC=6cm，∠CAB=45°，∵△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，∴∠CAB=45°，CA=C′A=15°，∴∠C′AD=30°，在Rt△AC′D中，C′D=AC′=×6=2，∴阴影部分的面积=×6×2=6．故答案为．AB与C′B′相交于点D，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=6cm，∠CAB=45°，再根据旋转的性质得∠CAB=45°，CA=C′A=15°，则∠C′AD=30°，再利用含30度的直角三角形的三边的关系计算出C′D，然后根据三角形面积公式计算阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．16.【答案】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论．本题考查的是作图-复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键．17.【答案】解：移项得：x2-4x=-1，配方得：x2-4x+4=-1+4，即（x-2）2=3，开方得：x-2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2-．【解析】移项后配方得到x2-4x+4=-1+4，推出（x-2）2=3，开方得出方程x-2=±，求出方程的解即可．本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x-2）2=3，题目比较好，难度适中．18.【答案】解：（1）连结PQ，如图，∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=60°，BA=BC，∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB=4；（2）∵QC=5，PC=3，PQ=4，而32+42=52，∴PC2+PQ2=CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．【解析】（1）连结PQ，如图，根据等边三角形得性质得∠ABC=60°，BA=BC，再利用旋转的性质得BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，BP=BQ=4，∠PBQ=60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ=PB=4；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，再加上∠BPQ=60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．19.【答案】解：（1）△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（5，-1）；（2）△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（-1，-5）．【解析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20.【答案】解：（1）∵图象过（-3，0），（1，0），∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），∵图象过（0，3），∴3=a（0+3）（0-1），a=-1，∴y=-（x+3）（x-1），即y=-x2-2x+3，（2）由图象可知，当-3＜x＜1时，y＞0．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1）（a≠0），图象过点（0，3），求出a的值，即可求出二次函数的解析式；（2）直接根据图象写出x的取值范围．本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确设出抛物线的解析式，此题难度不大．21.【答案】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD=10寸，∴CE=DE=CD=5寸，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（x-1）2+52=x2，解得：x=13，∴AB=26寸，即直径AB的长为26寸．【解析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．22.【答案】（0，-3）（3，0）（-1，0）x＜-1或x＞3【解析】解：（1）y=x2-2x-3=x2-2x+1-3-1=（x-1）2-4，即y=（x-1）2-4；（2）令x=0，则y=-3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，-3），又y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（-1，0）．故答案是：（0，-3）；（3，0）（-1，0）；图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x2-2x-3＞0的解集是x＜-1或x＞3．故答案是：x＜-1或x＞3．（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x=0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y=x2-2x-3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．23.【答案】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【解析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．24.【答案】解：如图，点O为所作．【解析】作出一条弦的垂直平分线，作出另一条弦的垂直平分线，则它们的交点即为这个圆形工具的圆心．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25.【答案】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2-4）米．【解析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．26.【答案】（1）证明：∵OD过圆心，F为AC中点，∴OD⊥AC，∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED，∴AC∥DE，（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，∴OD=OE，∵在Rt△ODE中，OD=OE，∴∠E=30°，∵AC∥DE，∴∠CAB=∠E=30°，∴在Rt△OAF中，OF=AO=2，AF=OF=2，∵F为AC中点，∴AC=2AF=4．【解析】（1）由点F为弦AC的中点，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，继而证得结论；（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函数的知识即可求得OF，AF的长，继而求得答案．此题考查了切线的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意根据题意求得∠E=30°是关键．27.【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x-3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x-3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12-4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2-2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1．∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b-4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x-1）2+1=（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞-2．∴ ．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2-10x+5．∴y2=5x2-10x+5=5（x-1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0-1）2=5，当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3-1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．【解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．28.【答案】0＜b≤【解析】解：（1）∵抛物线y=-2x2+（m+9）x-6的对称轴是x=2，∴．∴m=-1．∴抛物线的表达式为y=-2x2+8x-6．∴y=-2（x-2）2+2．∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y=-2（x-3）2+2，∵-2（x-2）2=-2（x-3）2，∴．∴A（，）．（3）点A坐标为（，），则点B的坐标为（，），设直线y=2x-2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，则y=2x-2-b，故=7-2-b，解得b=，平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；（3）根据图象即可写出b的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质以及函数图象的几何变换，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的求法以及数形结合解题思想．29.【答案】（x-a）2+（y-b）2=r2【解析】解：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，∵P（a，b），半径为r，∴AP2=（x-a）2+（y-b）2=r2．故答案为：（x-a）2+（y-b）2=r2；综合应用：①∵PO=PA，PD⊥OA，∴∠OPD=∠APD．在△POB和△PAB中，，∴△POB≌△PAB．∴∠PAB=∠POB=90°．∴PA⊥AB．∵PA是半径，PA⊥AB于A，∴AB是⊙P的切线．②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．当点Q在线段BP中点时，∵∠POB=∠PAB=90°，∴QO=QP=QA=QB．∴此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°，∴∠PBO=30°．∴在Rt△POB中，，PB=2PO=12．∴B点坐标为．∵Q是PB中点，P（0，6），B，∴Q点坐标为．∵，∴以Q为圆心，OQ为半径的⊙Q的方程为．问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程；综合应用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB=∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切线；②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA=30°．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．本题考查了圆的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，得出△BHQ∽△BOP是解题关键．。

2015-2016年北京市西城外国语中学九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016年北京市西城外国语中学九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年北京市西城外国语中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（2，5） C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）2．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°3．（3分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：24．（3分）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+15．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．D．6．（3分）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（）A．B．C．D．7．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共24分，每小题4分）11．（4分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．12．（4分）两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是．13．（4分）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则CD的长为．14．（4分）如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC上一点，过D作ED⊥BC交AC于E，若AB=6，AC=8，ED=3，则CD的长为．15．（4分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，若x2＞x1＞1，则y1与y2的大小关系是y1y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）16．（4分）在△ABC中，AB=5，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么AF=．三、解答题（本题共66分）17．（5分）已知：二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．18．（5分）已知一抛物线过点（﹣3，0）、（﹣2，﹣6），且对称轴是x=﹣1．求该抛物线的解析式．19．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．20．（5分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）求出该函数与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣2，﹣1）．（1）以原点O为位似中心，把线段AB放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD；（2）在（1）的条件下，写出点A的对应点C的坐标为，点B的对应点D的坐标为．22．（6分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w=﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？23．（6分）如图，△ABC中，∠BAC=90°．M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E．求证：AM2=MD•ME．24．（6分）如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．25．（6分）阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在▱ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果=3，求的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF．请你回答：（1）AB和EH的数量关系为，CG和EH的数量关系为，的值为．（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果=a（a＞0），那么的值为（用含a的代数式表示）．（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果=m，=n（m＞0，n＞0），那么的值为（用含m，n的代数式表示）．26．（8分）对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．27．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+3x+5+m与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），D为OC的中点．（1）求m的值；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京市西城外国语中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（2，5） C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）【解答】解：由y=﹣（x+2）2﹣5可知抛物线的顶点是（﹣2，﹣5），故选：C．2．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选：D．3．（3分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（）A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．4．（3分）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．5．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．D．【解答】解：∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；故D正确；当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．故选：C．6．（3分）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，∴△BEF∽△DAF，∴=，又∵EC=2BE，∴BC=3BE，即AD=3BE，∴==，故选：B．7．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；所以这四个结论都正确．故选：D．8．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a ＞0，b＜0，正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．故选：A．9．（3分）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④【解答】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴=，=，即==，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选：C．10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，∴S四边形OECF=S△OBC=×82=16，∴S=S四边形OECF ﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题4分）11．（4分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．12．（4分）两个相似三角形的面积比是5：9，则它们的周长比是：3．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是5：9，∴它们的相似比是：3，∴它们的周长比是：3．故答案为：：3．13．（4分）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，则CD的长为2．【解答】解：连接OA，∵半径OD过AB的中点C，∴OD⊥AB，∴∠OCA=90°，∵弦AB的长为8，半径OD过AB的中点C，∴AC=BC=4，∵AO=5，∴由勾股定理得：OC==3，∴CD=OD﹣OC=5﹣3=2，故答案为：2．14．（4分）如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC上一点，过D作ED⊥BC交AC于E，若AB=6，AC=8，ED=3，则CD的长为4．【解答】解：∵ED⊥BC，∴∠EDC=90°=∠A，∵∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，∴，即，解得：CD=4．故答案为：4．15．（4分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，若x2＞x1＞1，则y1与y2的大小关系是y1＜y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）【解答】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴二次函数图象的对称轴为直线x=﹣1，∵x2＞x1＞1，∴y1＜y2．故答案为：＜．16．（4分）在△ABC中，AB=5，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么AF= 1.6或2.5．【解答】解：以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，有△ABC∽△AEF和△ABC∽△AFE两种情况进行讨论：当△ABC∽△AEF时，有，则，解得：AF=1：6；当△ABC∽△AFE时，有，则，解得：AF=2.5．所以AF=1.6或2.5．三、解答题（本题共66分）17．（5分）已知：二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点A（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．【解答】解：（1）∵二次函的图象经过点A（2，5），∴4a+2b﹣3=5，解得b=2，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）令y=0，则x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）；（3）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．18．（5分）已知一抛物线过点（﹣3，0）、（﹣2，﹣6），且对称轴是x=﹣1．求该抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，抛物线过点（﹣3，0）∴抛物线与x轴另一交点是（1，0），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把（﹣2，﹣6）代入得﹣6=a•（﹣2+3）•（﹣2﹣1），解得a=2，∴抛物线解析式为y=2（x+3）（x﹣1），即y=2x2+4x﹣6．19．（5分）如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．【解答】（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB．又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F．∴△ABE∽△ECF；（2）解：∵△ABE∽△ECF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8．∴EC=BC﹣BE=8﹣2=6．∴．∴．20．（5分）已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）求出该函数与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？②当0≤x＜3时，y的取值范围是多少？【解答】解：（1）令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，故与x轴的交点坐标：（1，0），（3，0）；令x=0，得y=3，故与y轴的交点坐标：（0，3）；（2）列表：图象为：（3）①当自变量x的取值范围满足1＜x＜3 时，y＜0；②当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣2，﹣1）．（1）以原点O为位似中心，把线段AB放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD；（2）在（1）的条件下，写出点A的对应点C的坐标为（﹣2，2）或（2，﹣2），点B的对应点D的坐标为（﹣4，﹣2）或（4，2）．【解答】解：（1）如图所示：（2）点A的对应点C的坐标为（﹣2，2）或（2，﹣2），点B的对应点D的坐标为（﹣4，﹣2）或（4，2）．故答案为：（﹣2，2）或（2，﹣2），（﹣4，﹣2）或（4，2）．22．（6分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w=﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）y=w（x﹣20）=（﹣2x+80）（x﹣20）=﹣2x2+120x﹣1600；（2）y=﹣2（x﹣30）2+200．∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，=200．∴当x=30时，y最大值答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．23．（6分）如图，△ABC中，∠BAC=90°．M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E．求证：AM2=MD•ME．【解答】解：∵∠BAC=90°，M为BC的中点，∴AM=BM=CM，∴∠B=∠BAM，∵∠B+∠C=90°，∴∠BAM+∠C=90°，∵∠C+∠D=90°，∴∠BAM=∠D，∵∠AME=∠DMA，∴△AME∽△DMA，∴=，∴AM2=MD•ME．24．（6分）如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，得a=﹣，∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，∴4=﹣（x﹣5）2+5，∴（x﹣5）2=1，∴x1=，x2=，∴两景观灯间的距离为﹣=5米．25．（6分）阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在▱ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．如果=3，求的值．他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF．请你回答：（1）AB和EH的数量关系为AB=3EH，CG和EH的数量关系为CG=2EH，的值为．（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果=a（a＞0），那么的值为（用含a的代数式表示）．（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果=m，=n（m＞0，n＞0），那么的值为mn（用含m，n的代数式表示）．【解答】解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．则有△ABF∽△EHF，∴==3，∴AB=3EH．∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．===．故答案为：AB=3EH；CG=2EH；．（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．∴==a，∴AB=aEH．∵AB=CD，∴CD=aEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴==2，∴CG=2EH．∴==．故答案为：．（3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴==n，∴CD=nEH．又=m，∴AB=mCD=mnEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴===mn，故答案为：mn．26．（8分）对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为（1，﹣2）；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为（2，0）、（﹣1，6）．．【应用】二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．【解答】解：【尝试】（1）∵将t=2代入抛物线l中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．（2）∵将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得y=0，∴点A（2，0）在抛物线l上．（3）将x=﹣1代入抛物线l的解析式中，得：n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．【发现】∵将抛物线E的解析式展开，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4∴抛物线l必过定点（2，0）、（﹣1，6）．【应用1】将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”．27．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+3x+5+m与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），D为OC的中点．（1）求m的值；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线y=mx2+3x+5+m与y轴交于点C（0，4），∴5+m=4．∴m=﹣1．（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．可求抛物线与x轴的交点A（﹣1，0），B（4，0）．可求点E的坐标．由图知，点F在x轴下方的直线AD上时，△ABF是钝角三角形，不可能与△ADE 相似，所以点F一定在x轴上方．此时△ABF与△ADE有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：①当时，由于E为AB的中点，此时D为AF的中点，可求F点坐标为（1，4）．②当时，，解得：AF=．如图（2）过F点作FH⊥x轴，垂足为H，∴．∵D是OC的中点，∴OD=2，∴由勾股定理得：AD=，∴，∴OH=，由勾股定理得：FH==5∴F的坐标为（，5）（3）在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G．由题意，可知△OBC为等腰直角三角形，直线BC为y=﹣x+4．如图（3）∵MQ∥BC，QP=，易知△CPQ是等腰直角三角形，CP=PQ=由勾股定理，CQ==5∴可求与直线BC平行且距离为的直线为y=﹣x+9或y=﹣x﹣1．∴点G在直线y=﹣x+9或y=﹣x﹣1上．∵抛物线的对称轴是直线，∴或，解得：或．∴点G的坐标为（，）或（，﹣）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2015-2016学年北京市第一五九中学九年级上学期期中数学试题(重题7)

2015-2016学年北京市第一五九中学九年级上学期期中数学试题(重题7)

北京市一五九中学2015-2016学年度第一学期九年级期中数学试题一、选择题（每小题4分，共40分）1．8aac49074e724b45014e7d10513c2c6e已知1sin2A=，则锐角A的度数是（）A．30︒B．45︒C．60︒D．75︒2．已知ABC DEF∽△△，且:1:2AB DE=，则ABC△的周长与DEF△的周长之比为（）A．2:1B．1:2C．1:4D．4:1【答案】B【解析】∵ABC DEF∽△△，且:1:2AB DE=，∴ABC△的周长与DEF△的周长之比为1:2．3．如图，123∠=∠=∠，则图中相似三角形共有（）．A．4对B．3对C．2对D．1对【答案】A【解析】∵C C∠=∠，123∠=∠=∠，∴CDE CEA CAB∽∽△△△，DE AB∥，∴DEA EAB∠=∠，∴DEA EAB∽△△，∴共有4对．4．8aac50a74e4e5106014e639fea4837e3如图，点A、B、C都在⊙O上，若72AOB∠=︒，则ACB∠的度数是( )A．18°B．30°C．36°D．72°5．110b31dc0e5d4d55864d166de3532be6如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确．．．的是（）.A．∠ABD=∠CB．∠ADB=∠ABC C． D．6. ff80808149990d0a0149a85a7d711553如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC AB⊥，垂足为E，如果2CE=，那么AB的长是（）A．4B. 6C. 8D. 107.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC⊥于D，如果:4:3AC BC=，10cmAB=，那么BD的长为（）A．3cm B．3cm2C．6cm D.12cm【答案】A【解析】∵AB是⊙O的直径，∴90ACB∠=︒，∴在Rt ABC△中，36cm5BC AB=⋅=，由图可知BDO BCA∽△△，∴12BO BDAB BC==，∴13cm2BD BC==．8.ABC△中，若6AB=，8BC=，120B∠=︒，则ABC△的面积为（）．A．12B．123C．243D．483【答案】BECBAO【解析】13sin24123 22S AB BC B=⋅⋅=⋅=．9.下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．圆内接平行四边形是矩形C．90︒的圆周角所对的弦是直径D．相等的圆周角所对的弧相等【答案】D【解析】圆周角所对的弧有劣弧和优弧之分，所以相等的圆周角所对的弧不一定相等．10．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上．则tan ADC∠的值等于（）．A．3B．12C．13D．10【答案】C【解析】根据题意可得，5AC BC==，10CD CE==，5AD BE==，∴ACD△≌BCE△．∴ADC BEC∠=∠．∴1 tan tan3ADC BEC∠=∠=．二、填空题（每小题4分,共24分）11. 若34x y=，则x yx y+-的值为__________．【答案】7【解析】若34x y=，则43x y =，∴7373yx yyx y+==-．12．在平行四边形ABCD中，E为BC延长线上一点，AE交CD于点F，若7AB=，3CF=，则ADCE=__________．【答案】4 3【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴7CD AB ==，AD BE ∥， ∴ADF ECF ∽△△；∴AD FDCE CF=， ∵3CF =，4DF CD CF =-=， ∴43AD CE =．13.ABC △是半径为2的圆的内接三角形，若32BC =，则A ∠的度数为__________． 【答案】60︒ 【解析】如图所示，在BOC △中，2221cos 22BO CO BC BOC BO CO +-∠==-⋅，∴120BOC ∠=︒，∴1602A BOC ∠=∠=︒．14.圆内接四边形ABCD 中，::2:3:4A B C ∠∠∠=，则A ∠=__________，B ∠=__________，C ∠=__________，D ∠=__________． 【答案】60︒，90︒，120︒，90︒【解析】∵圆内接四边形的对角互补， ∴:::2:3:4:3A B C D ∠∠∠∠=，设2A x ∠=，则3B x ∠=，4C x ∠=，3D x ∠=， ∴2343360x x x x +++=︒，∴30x =︒，∴60A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90D ∠=︒．15．如图，ABO △与A B O '''△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________． 【答案】(6,0)【解析】直线AA '与直线OO '的交点坐标为(6,0)，所以位似中心的坐标为(6,0)．B nC C n-1B n-1B n-2C n-2OAB 1B 2B 3C 3C 2C 1C 1B 1OAB 2C 2C 3B 3C 1AB 1OB 2DC 216. ff80808149990d4b0149c1b131d93de2如图，AD 是⊙O 的直径．(1)如图1，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；(2)如图2，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，则∠B 3的度数是 ； (3)如图3，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，则∠B n 的度数 是 （用含n 的代数式表示∠B n 的度数）．三、解答题（本题共43分）17.计算：（1）011(31)2cos30()128---︒-+．【答案】73-+【解析】原式31282373=-⋅-+=-+． （2）221sin 15cos 15cos60tan 60sin 601︒+︒-︒︒+︒-．【答案】32+【解析】原式1333131131223311=-⋅+=-+=-++=+--．18．已知：如图，AB AD AC AE ⋅=⋅，求证：ABC AED ∽△△．【解析】∵AB AD AC AE ⋅=⋅， ∴AB ACAE AD=， 又∵BAC EAD ∠=∠， ∴ABC AED ∽△△．19．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，30BAC ∠=︒，点E 在CD 边上． （1）若4AE =，求梯形ABCE 的面积． （2）若点F 在AC 上，且BFA CEA ∠=∠，求BFAE的值． 【解析】∵矩形ABCD ，∴90ABC D ∠=∠=︒，AD BC =，6CD AB ==，在Rt ABC △中，6AB =，30BAC ∠=︒，tan 23BC AB BAC =∠=， （1）在Rt ADE △中，4AE =，23AD BC ==， ∴222DE AE AD =-=， ∴624EC =-=，∴梯形ABCE 的面积11()(46)2310322S EC AB BC =+⋅=+⨯=．（2）在Rt ABC △中，6AB =，30BAC ∠=︒， ∴cos3043AC AB =÷︒=， 在矩形ABCD 中，AB CD ∥， ∴BAC ACD ∠=∠， ∵BFA CEA ∠=∠， ∴ABF CAE ∽△△， ∴343BF AB AE AC ===．20. 8aac49074e023206014e35439c913dcf 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于点E ．（1）求证：∠BCO =∠D ；（2）若CD =42，AE =2，求⊙O 的半径．21. 已知：如图，AB 是⊙O 的弦，45OAB ∠=︒，C 是优弧AB 上一点，BD OA ∥，交CA 延长线于点D ，连结BC ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线．（2）若43AC =，75CAB ∠=︒，求⊙O 的半径． 【答案】（1）证明见解析．（2）4． 【解析】（1）证明：连结OB ，如图1． ∵OA OB =，45OAB ∠=︒， ∴145OAB ∠=∠=︒， ∵AO DB ∥，∴ 2 45OAB ∠=∠=︒， ∴ 1 290∠+∠=︒， ∴BD OB ⊥于B ， ∴ 又点B 在⊙O 上， ∴BD 是⊙O 的切线．（2）解：作OE AC ⊥于点E ． ∵OE AC ⊥，43AC =，∴1232AE AC ==， ∵75BAC ∠=︒，45OAB ∠=︒， ∴330BAC OAB ∠=∠-∠=︒， ∴在Rt OAE △中，234cos303AE OA ===︒．22．已知：如图，等腰ABC △中，AB BC =，AE BC ⊥于E ，EF AB ⊥于F ，若2CE =，4cos 5AEF ∠=．求EF 的长．【答案】245【解析】∵AE BC ⊥，EF AB ⊥， ∴1290∠+∠=︒，290B ∠+∠=︒， ∴1B ∠=∠，BA ∴4cos 5AEF ∠=， ∴Rt ABE △中，4cos 5BE B AB ==， 设4BE k =，则5AB BC k ==，2EC BC BE k =-==， ∴8BE =，∴Rt BEF △中，324sin 855EF BE B =⋅=⨯=．23.已知：如图，瞭望台AB 高20米，瞭望台底部B 测得对面塔顶C 的仰角为60︒，从瞭望台顶A 测得C 的仰角为45︒，已知瞭望台与塔CD 地势高低相同，求塔CD 的高．【答案】30103+米【解析】设塔高CD 为x ，则3BD x =， 由tan60tan45BD BD AB ⋅︒-⋅︒=，3BD x =代入， 得：320x x -=，解得：30103x =+．答：塔高CD 为（30103+）米．四、解答题（共13分）24.如图，在ABC △中，30B C ∠=∠=︒．请你设计两种不同的分法，将ABC △分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．【答案】25. 8aac4907519fa10a0151a4976b420eac 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整. 原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3=EF AF，求CD CG的值.（1）尝试探究在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是，CG 和EH 的数量关系是，CDCG的值是 （2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若AFm EF =（m ＞0），则CD CG的值是（用含m 的代数式表示），试写出解答过程.（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若,(0,0)AB BCa b a b CD BE==>>，则AF EF 的值 是（用含,a b 的代数式表示）.。

人教版九年级数学上册北京市西城区普通中学第一学期初三期中试题.docx

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B 1BA A 1初中数学试卷桑水出品北京市西城区普通中学2016-2017学年度第一学期初三期中数学试题班级 姓名 学号 得分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ． 2. 抛物线2(2)1y x =-+的顶点坐标是A ．(21)--，B ．(21)-，C ．(21)-，D ．(21)，3. 下列事件为必然事件的是A. 任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B. 篮球运动员投篮，投进篮筐C. 一个星期有七天D. 打开电视机，正在播放新闻4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若o 100AOB ∠=，则∠ACB 的度数是A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°5. 抛物线22y x =向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线 的解析式为A ．()2215y x =++B ．()2215y x =+-C ．()2215y x =--D ．()2215y x =-+6. 如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，如果OC = 3，那么弦AB 的长为.A. 4B. 6C. 8D. 10 7. 如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A 1B 1C ．若∠A =40°，∠B 1=110°，则∠BCA 1的度数是A. 90°B. 80°C. 50°D. 30°OC Oxy3-11OxyO第4题第6题第7题8. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价， 每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额 为y 元，则y 与x 的关系式为A ．60(30020)y x =+B ．(60)(30020)y x x =-+C ．300(6020)y x =-D ．(60)(30020)y x x =-- 9. 在平面直角坐标系xoy 中，如果⊙O 是以原点O （0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点 A （-3，-4）与⊙O 的位置关系是A. 在⊙O 内B.在⊙O 上C. 在⊙O 外D. 不能确定 10．如图，AD ，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点P 从点O 出发，沿O →C →D →O 的路线匀速 运动，设∠APB =y （单位：度），点P 运动的时间为x （单位：秒），那么表示y 与x 关系的 图象是二、填空题（每小题3分，共18分）11．点P (－3，4)关于原点的对称点的坐标为 12. 函数5-4)1(1x xm y m ++=+是二次函数，则m=13. 在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随 机 从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是． 14. 点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”） 15. 2(0)y ax bx c a =++≠. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为()0,1，与y 轴的交点为()3,0，则方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为16.如图，∠ABC =90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，21OB 长为半径作⊙O ，若射线BA 绕点B按顺时针方向旋转至BA '，若BA '与⊙O 相切，则旋转 的角度α（0° ＜α＜180°）等于．三、解答题（17-26每小题5分，第27题7分，第28题7分，ACB第29题8分）17. 抛物线m x m x y +-+-=)1(2与y 轴 交 点坐标是（0，3）． （1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求抛物线与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； （3）当x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？18. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接A C ．若∠A =22.5°，CD =8cm ，求 ⊙O 的半径．19. 已知：如图，A 、B 、C 为⊙O 上的三个点，⊙O 的直径为4cm ，ACB=45°，求AB 的长．20. 如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫 格点，△ABC 的顶点均在格点上.（1）画出将△ABC 向右平移2个单位后得到的△A 1B 1C 1，再画出将△A 1B 1C 1绕点B 1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A 2B 1C 2；（2）求线段B 1C 1旋转到B 1C 2的过程中，点C 1所经过的路径长．第18题图 第19题图 第20题图21. 已知抛物线 2y ax bx c =++ 经过点034310A B C （，）、（，）、（，）. （1）填空：抛物线的对称轴为直线x=，抛物线与x 轴的另一个交点D 的 坐标为；（2）求该抛物线的解析式.22. 某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？23. 石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次 用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀” 胜“布”、“布”胜“石头” ．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到 分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；BOAC若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规 则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是 随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率． 24. 如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水 面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有 一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯1P 、2P 之间的水平距离.25. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点， ∠BAC=30o ． （1）求∠P 的大小；（2）若AB =6，求PA 的长．26. 阅读下面解题过程，解答相关问题.求一元二次不等式224x x --＞0的解集的过程. （1）构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数x x y 422--=；并在坐标系中画出二次函数x x y 422--=的图象(如图1).（2）求得界点，标示所需：当y =0时，求得方程0422=--x x 的解为12x =-，20x =；并用锯齿线标示出函数x x y 422--=图象中y ＞0的部分(如图2). （3）借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式224x x --＞0的解集为20x -<<.请你利用上面求 一元二次不等式解集的过程，求不等式221x x -+≥4的解集.图(1)5m1m?10m图（1）图（2）yx-3-24325432-111O27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与x 轴的交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0）．（1）求证：抛物线总与x 轴有两个不同的交点； （2）若AB =2，求此抛物线的解析式；（3）已知x 轴上两点C （2,0），D （5,0），若抛物线28161y mx mx m =-+-（m ＞0）与线 段CD 有交点，请写出m 的取值范围.28．如图1，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∠C ＝90°，将△CDE 绕点C 逆时针旋转一个角度）︒<<︒900(αα，使点A ，D ，E 在同一直线上，连接AD ，BE ． (1) ① 依题意补全图2；② 求证：AD ＝BE ，且AD ⊥BE ；③ 作CM ⊥DE ，垂足为M ，请用等式表示出线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系； (2) 如图3，正方形ABCD 边长为5，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．图1 CABDE图2CAB 图3DCB A29．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y, x-y) ．(1)如图1，如果⊙O的半径为①请你判断M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.(2)如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．图1图2xyO北京市一五九中学2016-2017学年度第一学期初三期中数学答题纸班姓名学号 得分一. 选择题(每题3分,共30分): 1 2345678910二.填空题(每题3分,共18分):11 12 13 14 15 16三．计算题（17-26每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分） 17. 1824..2526.图(1)5m1m?10m图（1）图（2）yx-3-24325432-111O。

2015-2016学年北京市西城区月坛中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年北京市西城区月坛中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年北京市西城区月坛中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）如果，那么x的值是（）A．B．C．D．2．（3分）已知∠A是锐角，且sinA=，那么∠A等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣3的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=3 C．直线x=2 D．直线x=﹣24．（3分）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，则S△ABC：S△DEF 为（）A．1：3 B．1：9 C．1：D．3：15．（3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（）A．6 B．C．10 D．126．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．（3分）将抛物线y=3x2如何平移得到抛物线y=3（x﹣5）2+1（）A．向左平移5个单位，向下平移1个单位B．向左平移5个单位，向上平移1个单位C．向右平移5个单位，向下平移1个单位D．向右平移5个单位，向上平移1个单位8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＞3 C．x＜﹣1 D．x＞3或x＜﹣19．（3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）．下列说法正确的个数是（）①ac＜0②a+b+c＞0③方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3④当x＞1时，y随着x的增大而增大．A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=4，AB=3，E为边AD上一点，DE=1，动点P、Q同时从点C出发，点P沿CB运动到点B时停止，点Q沿折线CD﹣DE﹣EB 运动到点B时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△CPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过原点，则m的值是．12．（3分）如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是（注：只需写出一个正确答案即可）．13．（3分）如图，DE与BC不平行，当=时，△ABC与△ADE相似．14．（3分）如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得三点A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，若BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米，那么A、B两村间的距离为米．15．（3分）若（x，y，z均不为0），则的值为．16．（3分）我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是；（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI 的边长a2=．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分.第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．18．（5分）已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；（3）当x为何值时，函数值y＜0．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD 的长和tanB的值．20．（5分）如图，某人在点A处测量树高，点A到树的距离AD为21米，将一长为2米的标杆BE在与点A相距3米的点B处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求树CD的高．21．（5分）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：（1）二次函数图象所对应的顶点坐标为．（2）当x=4时，y=．22．（5分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣8．（1）试说明该抛物线与x轴一定有两个交点．（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），且它的顶点为P，求△ABP的面积．23．（5分）如图，在△ABD和△AEC中，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，∠AEC=∠BDA．求证：AE•AB=AC•BD．24．（5分）如图，在△ACD中，B为AC上一点，且∠ADB=∠C，AC=4，AD=2，求：AB的长．25．（5分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点和O点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′；（2）在图2中以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（只需画出一种即可）．26．（5分）如图，二次函数y1=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B （1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y2=mx+n 的图象经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式及点D的坐标；（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围．27．（7分）已知关于x一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3=0有两个不相等的实数根（1）求k取值范围；（2）当k最小的整数时，求抛物线y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m值．28．（7分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．（1）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由；（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．29．（8分）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，若F1：y=x2，经过变换后，得到F2：y=x2+bx，点C的坐标为（2，0），则：①b的值等于；②四边形ABCD的面积为；（2）如图2，若F1：y=ax2+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c﹣1），求出△ABD的面积；（3）如图3，若F1：y=x2﹣x+，经过变换后，AC=2，点P是直线AC上的动点，则点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为．2015-2016学年北京市西城区月坛中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）如果，那么x的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴3x=5×2，∴x=．故选：C．2．（3分）已知∠A是锐角，且sinA=，那么∠A等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵∠A是锐角，且sinA=，∴∠A=45°．故选：B．3．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣3的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=3 C．直线x=2 D．直线x=﹣2【解答】解：根据抛物线的顶点式可知，顶点横坐标x=2，所以对称轴是x=﹣2．故选：D．4．（3分）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，则S△ABC：S△DEF 为（）A．1：3 B．1：9 C．1：D．3：1【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：3，∴S△ABC ：S△DEF=1：9．故选：B．5．（3分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AC等于（）A．6 B．C．10 D．12【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，∴tanA=，AC==6．故选：A．6．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．7．（3分）将抛物线y=3x2如何平移得到抛物线y=3（x﹣5）2+1（）A．向左平移5个单位，向下平移1个单位B．向左平移5个单位，向上平移1个单位C．向右平移5个单位，向下平移1个单位D．向右平移5个单位，向上平移1个单位【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=3（x﹣5）2+1的顶点坐标为（5，1），∵点（0，0）向右平移5个单位，再向上平移1个单位可得到（5，1），∴将抛物线y=3x2向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=3（x﹣5）2+1．故选：D．8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＞3 C．x＜﹣1 D．x＞3或x＜﹣1【解答】解：∵依题意得图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3，∴x的取值范围﹣1＜x＜3．故选A．9．（3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）．下列说法正确的个数是（）①ac＜0②a+b+c＞0③方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3④当x＞1时，y随着x的增大而增大．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵该抛物线的开口方向向上，∴a＞0；又∵该抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴ac＜0；故本选项正确；②∵根据抛物线的图象知，该抛物线的对称轴是x==1，∴当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0；故本选项错误；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点是（﹣1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3故本选项正确；④由②知，该抛物线的对称轴是x=1，∴当x＞1时，y随着x的增大而增大；故本选项正确；综上所述，以上说法正确的是①③④，共有3个；故选：C．10．（3分）如图，矩形ABCD中，BC=4，AB=3，E为边AD上一点，DE=1，动点P、Q同时从点C出发，点P沿CB运动到点B时停止，点Q沿折线CD﹣DE﹣EB 运动到点B时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△CPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：在矩形ABCD中，BC=4，AB=CD=3．则在直角△ABE中，根据勾股定理得到BE===3①当0≤t≤3，即点P在线段BC上，点Q在线段CD上时，y=t2，此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分．故D错误；②当3＜t≤4，即点P在线段BC上，点Q在线段DE上时，y=PC×CD=t×3=t，该函数图象是y随x增大而增大的直线的一部分．故A错误；③当4＜t≤4+3，即点P在线段BC上，点Q在线段BE上时，y=PC×=6﹣t，该函数图象是直线的一部分．故C错误；综上所述，B正确．故选：B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过原点，则m的值是．【解答】解：∵二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过点（0，0），∴2m﹣1=0，∴m=．故答案为．12．（3分）如图，∠DAB=∠CAE，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D（注：只需写出一个正确答案即可）．【解答】解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．已知∠DAB=∠CAE，则∠DAE=∠BAC，要使△ABC∽△ADE，则补充的一个条件可以是∠B=∠D或∠AED=∠ACB、AD：AB=AB：AC．13．（3分）如图，DE与BC不平行，当=时，△ABC与△ADE相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∴当=时，△ABC∽△ADE．故答案为：=．14．（3分）如图，在河两岸分别有A、B两村，现测得三点A、B、D在一条直线上，A、C、E在一条直线上，若BC∥DE，DE=90米，BC=70米，BD=20米，那么A、B两村间的距离为70米．【解答】解：由题意可得，△ABC∽△ADE，∴，即，解得AB=70米．15．（3分）若（x，y，z均不为0），则的值为1．【解答】解：已知（x，y，z均不为0），由比例的性质得：==，=，则=+2•﹣=+﹣1=1，故答案为：1．16．（3分）我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是2；（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2=．【解答】解：（1）∵四边形CDEF是正方形，∴EF=FC，EF∥FC，∴△BFE∽△BCA，∴=，设EF=FC=a，∴=，∴a=2，故答案是：2；（2）∵四边形DGHI是正方形，∴IH=ID，IH∥AD，∴△EIH∽△EDA，∴=，设IH=ID=b，AD=4，DE=2，∴=，∴b=．故答案是：．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分.第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．【解答】解：2sin45°+sin60°﹣cos30°+tan260°．=，=．故答案为：+3．18．（5分）已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；（3）当x为何值时，函数值y＜0．【解答】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4；（2）函数的图象如图所示：（3）当y＜0时，函数图象上的点都在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD 的长和tanB的值．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°…（1分）∵sinA=∴AC=15．…（2分）∴AD=9．…（3分）∴BD=4．…（4分）∴tanB=…（5分）20．（5分）如图，某人在点A处测量树高，点A到树的距离AD为21米，将一长为2米的标杆BE在与点A相距3米的点B处垂直立于地面，此时，观察视线恰好经过标杆顶点E及树的顶点C，求树CD的高．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ADC，∴=，即=，解得CD=14（m）．答：树CD的高为14m．21．（5分）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：（1）二次函数图象所对应的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）当x=4时，y=5．【解答】解：（1）由表格可知点（0，﹣3）、（2，﹣3）是一对对应点，∴抛物线的对称轴为x=1．∴顶点坐标为（1，﹣4）．（2）∵抛物线的对称轴为x=1，∴点（﹣2，5）关于x=1对称点为（4，5）．∴当x=4时，y=5．故答案为：（1）（1，﹣4）；（2）5．22．（5分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣8．（1）试说明该抛物线与x轴一定有两个交点．（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），且它的顶点为P，求△ABP的面积．【解答】解：（1）解方程x2﹣2x﹣8=0，得x1=﹣2，x2=4．故抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴有两个交点．（2）由（1）得A（﹣2，0），B（4，0），故AB=6．由y=x2﹣2x﹣8=x2﹣2x+1﹣9=（x﹣1）2﹣9，故P点坐标为（1，﹣9）；过P作PC⊥x轴于C，则PC=9，∴S=AB•PC=×6×9=27．△ABP23．（5分）如图，在△ABD和△AEC中，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，∠AEC=∠BDA．求证：AE•AB=AC•BD．【解答】证明：∵∠DAC=∠B，∠AEC=∠BDA．∴△ABD∽△CAE，∴，∴AE•AB=AC•BD．24．（5分）如图，在△ACD中，B为AC上一点，且∠ADB=∠C，AC=4，AD=2，求：AB的长．【解答】解：在△ADB和△ACD中，∵∠A=∠A，∠ADB=∠C，∴△ADB∽△ACD．∴．∴AD2=AC•AB．∵AD=2，AC=4，∴22=4•AB．解得AB=1．所以AB的长为1．25．（5分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点和O点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′；（2）在图2中以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（只需画出一种即可）．【解答】解（1）如图1所示：（2）如图2所示：26．（5分）如图，二次函数y1=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B （1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y2=mx+n 的图象经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式及点D的坐标；（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围．【解答】解：（1）二次函数y1=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0）；∴，解得；∴二次函数图象的解析式为y1=﹣x2﹣2x+3；（2分）∴点D的坐标为（﹣2，3）；（3分）（2）y2＞y1时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．（5分）27．（7分）已知关于x一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3=0有两个不相等的实数根（1）求k取值范围；（2）当k最小的整数时，求抛物线y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m值．【解答】解：（1）由题意，得△=4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）=16k+16＞0，∴k＞﹣1，∴k的取值范围为k＞﹣1；（2）∵k＞﹣1，且k取最小的整数，∴k=0．∴y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∵y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交，∴0=x2﹣2x﹣3，∴解得：x=﹣1或3，∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）；（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），∴0=﹣1+m，即m=1．②当直线位于l2时，此时l2与函数y=﹣x2+2x+3的图象有一个公共点，∴方程x+m=﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m=0有两个相等实根，∴△=1﹣4（m﹣3）=0，即m=．当m=时，x 1=x2=满足﹣1≤x≤3，由①②知m=1或m=．28．（7分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．（1）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由；（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）△ABP与△DPE相似，理由为：∵∠APB+∠ABP=90°，∠APB+∠DPE=90°，∴∠ABP=∠DPE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABP∽△DPE；（2）∵△ABP∽△DPE，∴=，即=，整理得：y=﹣x2+x（0＜x＜5）；（3）存在，若四边形ABED为矩形，则有AB=DE，即2=﹣x2+x，解得：x=1或x=4．则AP=1或AP=4．29．（8分）定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，若F1：y=x2，经过变换后，得到F2：y=x2+bx，点C的坐标为（2，0），则：①b的值等于﹣2；②四边形ABCD的面积为2；（2）如图2，若F1：y=ax2+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c﹣1），求出△ABD的面积；（3）如图3，若F1：y=x2﹣x+，经过变换后，AC=2，点P是直线AC上的动点，则点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为．【解答】解：（1）当x=2时，22+2b=0，解得b=﹣2，F2的解析式为y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，即B点坐标为（1，﹣1），当x=1时，y=12=1，即D（1，1），BD=1﹣（﹣1）=2，AC=2．S四边形ABCD=AC•BD=×2×2=2，故答案为：﹣2，2；（2）y=ax2+c的顶点A坐标是（0，c）．∵F2的解析式为y=a（x﹣2）2+c﹣1，而A（0，c）在F2上，得a=．当x=2时，y=1+c，即D（2，1+c），∴DB=（1+c）﹣（c﹣1）=2，=×2×2=2．∴S△ABD（3）当点C在点A的右侧时（如图1），设AC与BD交于点N，抛物线y=x2﹣x+，配方得y=（x﹣1）2+2，其顶点坐标是A（1，2），∵AC=2，∴点C的坐标为（1+2，2）．∵F2过点A，∴F2解析式为y=（x﹣1﹣）2+1，∴B（1+，1），∴D（1+，3），∴NB=ND=1，∵点A与点C关于直线BD对称，∴AC⊥DB，且AN=CN∴四边形ABCD是菱形．∴PD=PB．作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．∵ND=1，AN=，DB⊥AC，∴∠DAN=30°，故△ABD是等边三角形．∴h=AD=，∴最小值为．当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为．综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为．，故答案为：．。

精品解析：北京市西城区宣武外国语实验学校2019-2020学年九年级上学期期中数学试题(解析版)

精品解析：北京市西城区宣武外国语实验学校2019-2020学年九年级上学期期中数学试题(解析版)

北京市西城区宣武外国语实验学校2019-2020学年九年级上学期期中数学试题一、选择题(每题2分，共16分)1. 抛物线y ＝x 2+1的对称轴是（ ）A. 直线x ＝﹣1B. 直线x ＝1C. 直线x ＝0D. 直线y ＝1【答案】C【解析】【分析】由抛物线解析式可直接求得答案．【详解】解：∵抛物线y=x 2+1，∴抛物线对称轴为直线x=0，即y 轴，故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，若AD=4，DB=2，则DE ：BC 的值为（ ）A. 23B. 12C. 34D. 35【答案】A【解析】【分析】根据相似的性质，得到对应边成比例，代值求解即可.【详解】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，42.63DE AD AD BC AB AD DB ∴====+【点睛】：根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．3. 如图是几种常见的汽车轮毂图案，图案围绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据各选项图形以及旋转的概念即可逐一判断．【详解】解：A、此图形旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合；B、此图形旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合；C、此图形旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合；D、此图形旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合；故答案为：B．【点睛】本题考查了旋转的概念，解题的关键是熟知旋转的概念．4. 如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是()A. B.C. D.【答案】D【分析】通过相似三角形的判定方法分别对各选项进行判断．【详解】A ．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC 相似；B ．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC 相似；C ．满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与△ABC 相似；D ．不满足相似三角形的判定方法．故选D ．【点睛】考查了相似三角形的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法．5. 将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（） A. 1- B. 1 C. 2- D. 2【答案】D【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．【详解】解：()212y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，∴解析式为()21y x =+，∴a=2.故选D ．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．6. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．7. 如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则∠B 的大小为（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】B【解析】 ∵△ADE 是由△ABC 绕点A 旋转100°得到的，∴∠BAD=100°，AD=AB ，∵点D 在BC 的延长线上，∴∠B=∠ADB=180100402.故选B.点睛：本题主要考察了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD 及点D 在BC 的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B 的度数了. 8. 已知一个二次函数图象经过P 1（﹣3，y 1），P 2（﹣1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，若y 3＜y 2＜y 4，则y 1，y 2，y 3，y 4的最值情况是（ ）A. y 3最小，y 1最大B. y 3最小，y 4最大C. y 1最小，y 4最大D. 无法确定 【答案】A【解析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【详解】∵二次函数图象经过P1（-3，y1），P2（-1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（-3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．二、填空题(每题2分，共16分)9. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为_____．【答案】1：16【解析】【分析】根据相似三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答即可．【详解】∵原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，∴放大前后的两个三角形的面积比为（5:20）2=1：16，故答案为1：16．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键.如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.10. 老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；丙：该函数的形状与函数y＝x2的图象相同已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_____．【答案】y＝(x﹣1)2，答案不唯一【解析】【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式形为y＝a（x﹣h）2，且a＝1，h≥1，据此可得．【详解】根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝(x﹣1)2，故答案是：y＝(x﹣1)2(答案不唯一)．【点睛】考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质．11. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_____米．【答案】8．【解析】试题分析：根据题目中的条件易证△ABP∽△CDP，由相似三角形对应边的比相等可得，即，解得CD=8m．考点：相似三角形的应用．12. 如图，在平面直角坐标系O x y中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD 得到△AOB 的过程：__________．【答案】将△COD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度得到△AOB（答案不唯一）【解析】解：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．故答案为答案不唯一，如：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y ＜0的x 的值_____．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】写出函数图象x 轴下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，1＜x ＜3时，y ＜0．故答案为2．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为A(1,0)，等腰直角三角形ABC 的边AB 在x 轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B 在点A 的右侧，点C 在第一象限．将△ABC 绕点A 逆时针旋转75°，如果点C 的对应点E 恰好落在y 轴的正半轴上，那么边AB 的长为____．2【解析】【分析】依据旋转的性质，即可得到60OAE ∠=︒，再根据1OA =，90EOA ∠=︒，即可得出2AE =，2AC =．最后在Rt ABC ∆中，可得到2AB BC ==【详解】依题可知，45BAC ∠=︒，75CAE ∠=︒，AC AE =，∴60OAE ∠=︒，在Rt AOE ∆中，1OA =，90EOA ∠=︒，60OAE ∠=︒，2AE ∴=，2AC ∴=．∴在Rt ABC ∆中，2AB BC ==． 故答案为2． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质以及含30°角的直角三角形的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．15. 如图，抛物线C 1：y ＝13x 2经过平移得到抛物线C 2：y ＝13x 2+2x ，抛物线C 2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是_____．【答案】9【解析】【分析】确定出抛物线y ＝13x 2+2x 的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】抛物线C 1：y ＝13x 2的顶点坐标为(0，0)， ∵y ＝13x 2+2x ＝13(x+3)2﹣3， ∴平移后抛物线的顶点坐标为(﹣3，﹣3)，对称轴为直线x ＝﹣3， 当x ＝﹣3时，y ＝13×(﹣3)2＝3， ∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积为：12 (3+3)×3＝9，故答案是：9．【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是得出阴影部分面积等于三角形的面积．16. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线．求证：AB BD AC DC=．证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．∵AD是角平分线，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠E．∴AC＝AE．又∵CE∥DA，∴AB BDAE DC=．……①∴AB BD AC DC=．(1)上述证明过程中，步骤①处的理由是_____(2)用三角形内角平分线定理解答：已知，△ABC中，AD是角平分线，AB＝7cm，AC＝4cm，BC＝6cm，则BD的长为_____cm．【答案】(1). 平行线分线段成比例定理(2). 42 11【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）设BD＝xcm，则CD＝（6﹣x）cm，利用（1）中结论解决问题即可．【详解】(1)①的理由是：平行线分线段成比例定理．(2)设BD ＝xcm ，则CD ＝(6﹣x)cm ，∵AD 平分∠ABC ， ∴AB AC ＝BD CD ， ∴74＝6x x -， 解得x ＝4211， ∴BD ＝4211cm ， 故答案是：平行线分线段成比例定理，4211． 【点睛】考查平行线分线段成比例定理和用分式方程解决问题，解题关键是正确理解题意，利用分式方程解决问题．三、解答题(本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题每小题5分，第27、28题每小题5分)17. 如图，已知△ABC 顶点的坐标分别为A （1，－1），B （4，－1），C （3，－4）．（1）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的11AB C ∆,并写出点1B 的坐标：1B ____________；（2）以坐标原点O 为位似中心，在第二象限内再画一个放大的222A B C ∆，使得它与△ABC 的位似比等于2：1 .【答案】（1）作图见解析；B （1， 2）；（2）作图见解析.【解析】分析：（1）由题意得，将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AB 1C 1．则AB 1⊥AB ，AC 1⊥AC ，画出图形写出坐标．（2）根据以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，可以得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．详解：（1）如图：B1（1，2），（2）如图.点睛：此题主要考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．18. 已知抛物线y＝x2+4x﹣5．(1)直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；(2)用配方法将y＝x2+4x﹣5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式；(3)抛物线y＝x2+4x﹣5是如何由抛物线y＝x2+1平移得到的．【答案】(1)x轴交点坐标(1，0)，(﹣5，0)；与y轴交点(0，﹣5)；(2)y＝(x+2)2﹣9；(3)将抛物线y＝x2+1 向左平移2个单位，再向下平移10个单位．【解析】【分析】（1）设y＝0，则函数对应的一元二次方程x2+4x﹣5＝0的解即为与x轴的交点横坐标；设x＝0则y＝﹣5是抛物线与y轴交点的纵坐标；（2）根据全平方式特点把一般式转化为顶点式；（3）由顶点的变化确定平移方法．【详解】(1)设y＝0，则x2+4x﹣5＝0，∴x1＝1，x2＝﹣5，∴与x轴交点坐标(1，0)，(﹣5，0)；与y轴交点(0，﹣5)；(2)y＝x2+4x﹣5＝(x2+4x+4)﹣9，＝(x+2)2﹣9．(3)将抛物线y＝x2+1 向左平移2个单位，再向下平移10个单位．【点睛】考查了二次函数与坐标轴的交点、平移和用配方法将一般式转化为y＝a(x﹣h)2+k的形式，解题关键是理解二次函数与一元二次方程的关系和函数图象平移特点.19. 如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.【答案】（1）证明见解析；（2）CD=3【解析】【分析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，∵CF⊥CE，∴∠4+∠3=90°，∴∠2=∠4，∴△CDE∽△CBF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∵B为AF的中点，∴BF=AB，∴设CD=BF=x，∵△CDE∽△CBF，∴CD DE CB BF=，∴13xx =，∵x>0，∴x=3，即：CD=3.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+b经过点A(﹣2，0)，B(1，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)由图象直接写出：x取何值时，y随x的增大而减少；(3)根据图象回答：x取何值时，y＞0．【答案】(1)y＝x2+6x+8；(2)x≤﹣3时，y随x的增大而减少；(3)x＜﹣4或x＞﹣2时，y＞0．【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）先画出函数图象，由图象直接得到x的取值范围;（3）观察图象,写出函数图象在x轴上方对应的x的取值范围即可．【详解】(1)将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得：13420b cb c++=⎧⎨-+=⎩，解得：68bc=⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+8；(2)由图象得：x≤﹣3时，y随x的增大而减少；(3)由图象得：x＜﹣4或x＞﹣2时，y＞0．【点睛】考查求二次函数的解析式和性质，解题关键是利用待定系数法求解二次函数的解析式和数形结合思想．21. 已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与y轴的交点坐标是，顶点坐标是．（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x ……y ……（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是．【答案】（1）与y轴交点的坐标为（0，﹣3），顶点坐标为（1，﹣4）；（2）图象如图所示见解析；(3)-2＜x＜2时，﹣4＜y＜5．【解析】【分析】（1）令x＝0，根据y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与y轴的交点，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【详解】（1）令x＝0，则y＝﹣3．所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交点的坐标为（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（0，﹣3），（1，﹣4）；（2）列表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．所以-2＜x＜2时，-4＜y＜5【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．22. 在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值．【答案】x的最小值为10．【解析】【分析】先证明△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质得到ODOB＝CDAB，从而求得x的最小值．【详解】如图，由题可得CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴ODOB＝CDAB，即2010xx++＝0.83.2，解得x＝10，∴x的最小值为10．【点睛】考查了相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，将题意转化成相似三角形问题，再利用相似三角形的知识解决问题．23. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8m时，水面宽AB为12m．当水面上升6m时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少m？下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为（，），抛物线的顶点坐标为（，），可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当y＝时，求出此时自变量x的取值为，即可解决这个问题．【答案】12，0，6，8，y＝﹣29x2+83x，y＝﹣29x2；﹣2，±3．【解析】【分析】方法一根据抛物线性质可得出B、O坐标，然后设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2＋8再将B点坐标代入即可得到a的值.方法二，设二次函数的解析式为y＝ax2将B点代入即可得到a的值，当y＝﹣2时，代入解析式即可求出答案. 【详解】解：方法一：B（12，0），O（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2＋8，把B点的坐标代入得，a＝﹣29，∴二次函数的解析式为y＝﹣29x2＋83x；方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣29，∴二次函数的解析式为y＝﹣29x2；y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，故答案为12，0，6，8，y＝﹣29x2＋83x，y＝﹣29x2；﹣2，±3．【点睛】本题主要考查的是抛物线的顶点式和一般式的性质，熟练掌握性质是本题的解题关键.24. 如图，将非等腰△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上，BC、DE交于点O，连接EC．补全图形后，在现有图形下找出一对相似比不是1：1的相似三角形并进行证明．【答案】见解析. 【解析】 【分析】先画出几何图形，再利用旋转的性质得到∠ACB ＝∠DEB ，加上∠BOE ＝∠DOC ，则可判断△OBE ∽△ODC ． 【详解】△OBE ∽△ODC ．证明如下：∵非等腰△ABC 绕点B 旋转得到△DBE ，如图：∴∠ACB ＝∠DEB ， ∵∠BOE ＝∠DOC ， ∴△OBE ∽△ODC ． 【点睛】考查了旋转的性质和相似三角形的判定，解题关键是利用了旋转三角形的对应角、对应线段都相等．25. 有这样一个问题：探究函数332x x y -++=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数332x x y -++=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当3x ≥时，y =___________，当3x <时y =____________；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数332x xy-++=的图象；备用图（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程3312x xax-+++=只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：___________________________．【答案】（1）x,3;（2）详见解析；（3）0a<或1a≥或23a=．【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质化简即可；（2）在坐标系中瞄点，用平滑的直线连接即可；（3）根据图表可知当y=1ax+与332x x y-++=只有一个交点时即可求得. 【详解】解:（1）当3x≥时，y=x-3+x+32=x，当3x<时y=3-x+x+32=3；（2）根据（1）中的结果，画出函数332x xy-++=的图象如下：（3）由题意可知y= 1ax +与332x x y -++=只有一个交点,∴①当y= 1ax +呈下降趋势,即0a <;②当y= 1ax +呈上升趋势,且与CD 平行时,经过点(2,3),此时23a =; ③当y= 1ax +呈上升趋势,且经过AB 一段时,此时1a ≥; 综上0a <或1a ≥或23a =． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键．26. 已知抛物线G ：y ＝x 2﹣2ax +a ﹣1（a 为常数）． （1）当a ＝3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ，q ）． ①分别用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y ＝x 2﹣2ax +N （a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y ＝kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）中，k ＝ ，b ＝ ．【答案】（1）（3，﹣7）；（2）①p ＝a ，q ＝﹣a 2+a ﹣1；②q ＝﹣p 2+p ﹣1；③C;（3）y ＝x 2﹣2ax +a 2+a ，1，0． 【解析】 【分析】（1）将a ＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a 的代数式表示p 、q ； ②根据①中的结果可以解答本题； ③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【详解】解：（1）当a ＝3时，y ＝x 2﹣6x +3﹣1＝x 2﹣6x +2＝（x ﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a，∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a，∴顶点坐标（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x，∴k＝1，b＝0，故答案为y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．27. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°．D为射线BC上一动点．连接AD，将线段AD绕点A 逆时针旋转90°至点E，连接AE、DE．点M、N分别是AB、DE的中点，连接MN．(1)如图1，点D在线段BC上．①猜想MN与AB的位置关系，并证明你的猜想；②连接EB，猜想BE与BC的位置关系；(2)在图2中，若点D在线段BC的延长线上，BE与BC的位置关系是否改变？请你补全图形后，证明你的猜想．【答案】(1)①垂直，证明见解析；②垂直，理由见解析；(2)垂直，理由见解析.【解析】【分析】（1）①先判断出ADAN ，AC，进而得出AC AD AM AN =，判断出△CAD ∽△MAN ，即可得出结论；②先判断出MN 是AB 的中垂线，得出AN ＝BN ，再判断出AN ＝DN ＝EN ＝12DE ，进而得出DN ＝EN ＝BN ，最后用三角形的内角和即可得出结论；（2）分两种情况，同（1）②的方法，即可得出结论．【详解】(1)①垂直，理由：如图1， 由旋转知，AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∵点N 是DE 的中点，∴∠DAN ＝∠12∠DAE ＝45°，∠AND ＝90°， ∴ADAN ， ∴AD AN， 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝45°，ABAC ，∵M 是AB 的中点，∴AM ＝12ABAC ， ∴ACAM ，∴AC AM= ∴AC AD AM AN =， ∵∠DAN ＝∠BAC ＝45°，∴∠CAD ＝∠MAN ，∴△CAD ∽△MAN ，∴∠AMN ＝∠ACD ＝90°，∴MN ⊥AB ；②垂直；理由：如图2，连接AB ，BN ，由①知，MN ⊥AB ，∵M 是AB 的中点，∴MN 是AB 的中垂线，∴AN ＝BN ，由旋转知，AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∴点N 是DE 的中点，∴AN ＝DN ＝EN ＝12DE ， ∴DN ＝EN ＝BN ，∴∠BDN ＝∠DBN ，∠BEN ＝∠EBN ，∵∠BDE+∠BED+∠DBE ＝180°，∴∠BDN+∠BEN+∠DBN+∠EBN ＝2∠DBN+2∠EBN ＝2(∠DBN+∠EBN)＝2∠DBE ＝180°，∴∠DBE ＝90°，∴BE ⊥BC ；(2)关系不改变，DE ⊥BC ，理由：当CD ＜AC 时，如图3，同(1)②的方法；当CD ＞AC 时，如图4，同(1)②的方法．【点睛】几何变换综合题，涉及知识点有旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质和三角形的内角和定理，解题关键是先证明△CAD ∽△MAN ．本题综合性较强.28. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M >，对于任意的函数值y ，都满足M y M -≤≤，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数1y x=()0x >和()y x 14x 2=+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数1y x =-+()a x b b a ≤≤>，的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数()2y x 1x m m 0=-≤≤≥，的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足3t 14≤≤？ 【答案】(1)1y x =（x>0)不是；()y x 14x 2=+-<≤是，边界为3；(2)1<b 3-≤， (3)104m ≤≤或314m ≤≤. 【解析】【分析】【详解】(1)1y x=（x>0)不是； 1(42)y x x =+-<≤是，边界为3；(2)∵y=-x+1 ，y 随x 的增大而减小当x=a 时，y= -a+1=2， a= -1，当x=b 时，y= -b+1，212b b a -≤-+<⎧⎨>⎩∴1<b 3-≤；(3)若m>1，函数向下平移m 个单位后，x=0时，函数的值小于-1，此时函数的边界t 大于1，与题意不符，故1m .当x=-1时，y=1（-1，1），当x=0时，y min =0都向下平移m 个单位则(-1，1-m)，(0，-m)， ∴31m 14≤-≤或31m 4-≤-≤- ∴104m ≤≤或314m ≤≤.。

2015-2016海淀西城初三数学期中考试汇总5套

2015-2016海淀西城初三数学期中考试汇总5套

海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：2320.x x -+=……………………………………………1分0)2)(1(=--x x ． ……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x ．∴2,121==x x . ………………………………………………………5分18．解：∵抛物线a x x y ++=32与x轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=．……………………………………………4分 ∴49=a ．……………………………………………5分19．解：∵点(3, 0)在抛物线上，∴k k -++⨯-=)3(33302．………………………………………2分 ∴9=k ．……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y ．∴对称轴为2=x ．……………………………………………5分20．解：∵PA ,PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ．………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠．………………………………………2分k x k x y -++-=)3(32∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥PA ．∴90=∠PAC º．………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º．………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB P º．………………………………………5分21．解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a ．………………………………………2分 ∴152-=-a a ．…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=．………………………………………5分22．解：如图，下降后的水面宽CD 为1.2m ，连接OA , OC ，过点O 作ON⊥CD 于N ，交AB 于M ．………………………… 1分∴90ONC ∠=º.∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º． ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==．…………………………2分 在Rt △OAM 中，∵1OA =，∴0.6OM ==． ………………………………3分 同理可得0.8ON =．………………………………4分 ∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0.2米．…………………………5分23．（1）证明：22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a ．……………………………1分∵0>a ， ∴2(3)0a +>．即0>∆．∴方程总有两个不相等的实数根．……………………………………………2分（2）解方程，得3,121ax x =-=．……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a． ∴6>a ．……………………………………………5分24．解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=．设BC 为x m.…………………………………1分依题意，得)2(22x x -=．.………………………………………3分 解得,511+-=x 512--=x （不符合题意，舍去）．……4分1 1.2≈．答：雕像的下部应设计为1.2m ．…………………………5分25． 解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC . ………1分∵AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=º．在Rt △ACB 中，∵2=AB ，AC∴BC =．∴45BAC ∠=º．………………2分∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º．………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º．………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒．∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º．∴CAD ∠为15º或105º．…………………5分26．解：（1）∵直线m x y +-=22经过点B （2，-3），∴m +⨯-=-223．∴1=m ．……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A （-2，n ），∴5n =．……………………………………………2分 ∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b∴3221--=x x y ．……………………………………………4分 （2）12-.……………………………………………5分27．（1）证明：连接OC . ……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD ．……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒．∴∠POC+∠OCD =90º． ∴∠PCD+∠OCD =90º． ∴∠OCP =90º． ∴半径OC ⊥CP ．∴CP 为⊙O 的切线． ……………………………………………3分 （2）解：①设⊙O 的半径为r. 在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=．∵1,BP CP ==∴222(1)r r +=+． ………………………4分解得2r =．∴⊙O 的半径为2． ……………………………………………5分②3． ……………………………………………7分28．解：（1）1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分 （2）如图所示：……………………………………5分1342x x x x <<<. .……………………………………………7分29.解：（1）60. ……………………………………………2分（2）.……………………………………………3分连接,MQ MP .记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F .∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△和△均为等边三角形. ………………4分∴，MN MP =，. ∴.∴△≌△. .………………………………5分 ∴. ∵， ∴.∴60α=︒. .…………………………………………….6分 （3）（2，12）或（2-，12-）. ………………………8分MAQ MNP MA MQ =60AMQ NMP ∠=∠=︒AMN QMP ∠=∠MAN MQP MAN MQP ∠=∠AEM QEF ∠=∠60QFE AMQ ∠=∠=︒ABC D数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．已知，则锐角A 的度数是（） A ． B ．C ．D ．2．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB =1∶2，若DE =2，则BC等于（）A ．4B ．6C ．12D ．184．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）A ．()231y x =+-B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BCAC ＝3，则CD 的长为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）1sin 2A =30︒45︒60︒75︒A ．512 B ．513 C ．1213 D ．1257. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△BCE 绕点C 旋转得到△ACD ，则cos ∠ABC 的值等于（）A. 33B. 21C. 31 D. 1010第7题第8题8.如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线x ＝1，则下列结论：①0,0,a b <<②20,a b ->③0,a b c ++>④0,a b c -+<⑤当1x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的是（）A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．①③④9. 若抛物线1222-++-=m m mx x y （m 是常数）的顶点是点M ，直线2+=x y 与坐标轴分别交于点A 、B 两点，则△ABM 的面积等于（）A ．6B ．3C ．25D ．23 10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ， AC =6，BD =8，动点P 从点B 出发，沿着B -A -D 在菱形ABCD 的边上运动，运动到点D 停止，点'P 是 点P 关于BD 的对称点，'PP 交BD 于点M ，若BM =x ，'OPP △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致为（）二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.如果23a b b =-，那么ab=________． MOP'P DBACDAB C12．已知抛物线522+-=x x y 经过两点A （-2，y 1）和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为m. 14．已知在△ABC 中，tan A =43，AB =5，BC =4，那么AC 的长等于. 15．若关于x 的一元二次方程0142=-+-t x x （t 为实数）在270<<x 的范围内有解，则t 的取值范围是__________．16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值等于； （2）当AE +AF 的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF .三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒．18．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D =90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE ．AB =3，DE =2，BC =6．求CD 的长．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC于点D ，AC=3.（1）求∠B 的度数；ADC B EF图①图②EADBCBA（2）求AB 及BC 的长．20. 已知：二次函数2y axbx c =++(0)a ≠中的x 和y 满足下表：(1) 可求得m 的值为；(2) 求出这个二次函数的解析式； (3) 当y >3时，x 的取值范围为.21．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)，在第一象限内，以原点为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点C 1坐标．22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD ．23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE +∠CBE =90°.（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ． （i ）求证：△CAE ∽△CBF ； （ii ）若BE =1，AE =2，求CE 的长；k FCEF==时，若BE =1，AE =2，CE =3，则k 的值等于.图1 图225．抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出△ABP 面积的最大值；(3)设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使m S ABQ =∆，则m 的值等于.AF26. 有这样一个问题：探究函数11-+=x x y 的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数11-+=x x y 的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成： (1)函数11-+=x x y 的自变量x 的取值范围是___________； (2)下表是y 与x 的几组对应值求m 的值；(3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1+=x y 交于点A ，点Ax关于直线1-=x 的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B . (1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象， 求a 的取值范围.28．如图1，△ABC 为等腰直角三角形，∠C =90°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0°≤α≤180°）得到线段AQ . （1）直接写出APPF的值为； （2）如图2，当α=180°时，延长BE 到D 使得ED =BE ，连接QD ，证明QD ⊥BD ；（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当△AMP 为等腰三角形时，△AMP 的底角正切值为.图1 图2图329．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2关联．（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y 、抛物线③122++=x x yE若不存在，请说明理由．参考答案二、填空：16．（Ⅰ）；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：23tan30cos 452sin 60︒+︒-︒232=+-⎝⎭……………… 3分12=1.2= ……………… 5分18．解：∵在△ABC 中，∠B =90º，∴∠A +∠ACB = 90º． ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB +∠ECD =90º． ∴∠A =∠ECD ． ……………………2分∵在△ABC 和△CDE 中，∠A =∠ECD ，∠B =∠D =90º， ∴△ABC ∽△CDE ．………………………3分 ∴DEBCCD AB =．……………………4分 ∵AB = 3，DE =2，BC =6，∴CD =1． ……………………5分19．解：（1）∵在△ACD 中，90C ∠=︒，CD =3，AC =3，∴tan 3CD DAC AC∠==．∴∠DAC =30º． ………………………1分∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠DAC =60º． ……………2分 ∴∠B =30º．…………………………………3分(2) ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B =30º，AC =3， ∴AB =2AC =6．………………………4分tan AC BC B===……………………5分20．解：(1)m 的值为 3 ； 1分(2) 二次函数为y =a （x -2）2−1 2分∵过点（3，0）∴a=1 y =x 2-4x +3 3分(3) 当y >3时，x 的取值范围为x <0或x >4 . 5分21. C 1坐标（8,6）．22. 3160200+米23．设房价为（180+10x ）元利润y=(180+10x ）（50-x)-(50-x)20=-10x 2 +340x+8000当x=17即房间定价为180+170=350的时利润最大.24.（1）（i ）证明：∵四边形ABCD 和EFCG 均为正方形，∴∠ACE=∠BCF ， ∴△CAE ∽△CBF ．（ii ）解：∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE=∠CBF ，AE ：BF ＝AC：BC ，又∵∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF=90°， 又∵AE ：BF ＝AC ：BC ＝2，AE=225．（1）322++-=x x y（2）当=x ABP 面积的最大值是827.（3）827x26.（3）292<≤a .28．（1）2；（2）作AH ⊥BD 于D ，证明△APH ∽△QPD ，得证； （3）43，13或3.29.（1）②1分（2）21781218122-+=-+=)x (y ,)x (y 5分 （3）),(),,(),,(C 2411024110310--+-- 8分北京市西城外国语学校2015——2016学年度第一学期九年级数学期中考试试卷2015.11.6班、姓名 、学号 、成绩一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．抛物线5)2(2-+-=x y 的顶点坐标是( ) . A ．()2，5-B ．()2，5C ．()25，--D ．()52，-2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC ＝40°，则∠AOC的度数为( ).A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°3. 如图, A 、B 两地被池塘隔开, 小明通过下列方法测出了A 、B 间 的距离: 先在AB 外选一点C , 然后测出AC 、BC 的中点M 、N , 并 测量出MN 的长为12m, 由此他就知道了A 、B 间的距离. 有关他 这次探究活动的描述错误的是( )A. MN ∥ABB. CM : MA = 1 : 2C. △CMN ∽△CABD. AB =24m4．把二次函数23x y =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）.A ．()1232+-=x y B. ()1232-+=x y C. ()1232--=x y D. ()1232++=x y5．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确．．．的是（ ）. A ．∠ABD =∠C B. ∠ADB =∠ABC C.AD AB AB AC = D. AB CBBD CD=6. 在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ，则的值是（ ） FDBFN A DFA. B. C. D.7.已知二次函数2y ax bx c=++(0a≠)①240b ac->；②0abc>；③80a c+>；④930a b c++<．其中，正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.在同一直角坐标系中一次函数y ax b=+和二次函数2y ax bx=+的图象可能为( )9. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）①②③④A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④10.如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．21314151A．BB．C．D二、填空题（本题共24分，每小题4分）11．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________． （结果请化为一般式） 12. 两个相似三角形的面积比是9:5，则它们的周长比是__________． 13．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则CD 的长为 .14．如图，在△ABC 中，∠A =90°， D 为BC 上一点 ， 过D作ED ⊥BC 交AC 于E ，若AB =6，AC =8，ED =3，则CD的长为__________．15. 点A （，）、B （，）在二次函数221y x x =--的图象上，若＞＞1，则与的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“=”填空） 16．在△ABC 中, AB =5, AC =4, E 是AB 上一点, AE =2, 在AC 上取一点F , 使以A 、E 、 F 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则AF 的长为 .三、解答题（本题共66分）17．（本题5分）已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，． （1）求二次函数的解析式；（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式 解：（1）18. （本题5分）已知一抛物线过点（－3，0）、（-2，-6），且对称轴是x =－1.求该抛物线的解析式. 解：1x 1y 2x 2y 2x 1x 1y 2y 1y 2y19．（本题5分）如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．（1）证明：20.（本题5分）已知二次函数y= x2 －4x＋3．（1）求出该函数与x．轴．的交点坐标、与y．轴．的交点坐标；（2）在平面直角坐标系中，用描点法．．．画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：①当自变量x的取值范围满足什么条件时，y＜0？②当0≤x<3时，y的取值范围是多少？解：21. （本题6分）如图，在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （-2，-1）．（1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ； （2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为点B 的对应点D 的坐标为22．（本题6分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w (双)与销售单价x (元)满足(20≤x ≤40),设销售这种手套每天的 利润为y （元）.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？23．（本题6分）已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA280w x =-+的延长线于D ，交AB 于E ．求证：AM 2＝MD •ME ．证明：24. （本题6分）如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）． 求（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯1P 、2P 之间的水平距离.解：25. （本题6分）阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，图(1)图（1）BF 的延长线交射线CD 于点G . 如果3AF EF =，求CDCG的值. 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则可以得到△BAF ∽△HEF . 请你回答：（1）AB : EH 的值为 ，CG : EH 的值为 ，CDCG的值为 . （2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果(0)AFa a EF=>，那么CD CG 的值为 （用含a 的代数式表示）.（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F . 如果(00)AB BCm n m n CD BE==>>，，，那么AF EF 的值为 （用含m ，n 的代数式表示）.26．（本题8分）对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E . 现有点A （2，0）和抛物线E 上的点H(1)ABCDE FG G F E D CBA(2)(3)ABCDEFB （－1，n ），请完成下列任务： 【尝试】（1）当t =2时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为 ； （2）点A （填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为 .【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为 .【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由.27. （本题8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0 , 4），D 为OC 的中点. （1）求m 的值；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与ADE ∆ 相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）北京市西城外国语学校2015—2016学年度第一学期九年级数学期中考试答案2015.11.6一、选择题（本题共30分，每小题3分）CDBD DBDA CB二、填空题（本题共24分，每小题4分）11、12-=x y .12、3:5 .13、2 .14、4 . 15、 . 16、25,58..三解答题17、（1）∵ 二次函数23y x bx =+-的图象经过点A (2，5)，∴ 4235b +-=． ......................................................................................... 1分 ∴ 2b =．∴ 二次函数的解析式为223y x x =+-． .................................................. 2分（2）223y x x =+-2(21)4x x =++-2(1)4x =+-． .................................................................................................... 5分18、 ∵对称轴是x =－1，抛物线过点（－3，0）∴抛物线与x 轴另一交点是（1，0） ---------------------1分∴设抛物线的解析式.：()()13-+=x x a y ---------------------2分 ∵抛物线过点（-2，-6） ∴()()12326--+-=-a∴ 2=a ---------------------4分 ∴()()132-+=x x y 即：6422-+=x x y ------------------5分19、（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠B =∠ECF ，∠DAE =∠AEB ．……2分 又∵∠DAE =∠F ， ∴∠AEB =∠F .∴△ABE ∽△ECF ． ................................................................................. 3分 （2）解：∵△ABE ∽△ECF ， ∴AB BE EC CF=. .................................................................................................. 4分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD =8.∴EC =BC -BE =8-2=6.∴526CF=.∴125CF =. ……………………………………………5分20、（1）（3，0）（1，0）；（0，3） ……………2分 （2）图象基本正确，列表 ……………3分 （3）①1<x<3 ………4分② －1≤y ≤3 ………5分21、如图，在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （-2，-1）． （1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ；……………2分（2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为(-2,2)或（2,-2）， 点B 的对应点D 的坐标为（-4，-2）或（4,2）．………6分22、（1）160012022-+-=x x y ；……………3分 （2）200)30(22+--=x y ………6分23、证明△AMD 与△AME 相似 ………6分24、 （1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1）………1分设抛物线的解析式是y=a(x －5)2＋5 ………………………………2分把（0，1）代入y=a(x －5)2＋5得a=－425 ………………………3分 ∴y=－425(x －5)2＋5（0≤x ≤10）=2481255x x -++………………4分 （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4∴4=－425(x －5)2＋5 ∴425(x －5)2=1 ，解得x 1=152，x 2=52………………………………5分 ∴ 两景观灯间的距离为5米． ……………………………………………6分25、（1）3AB EH =,2CG EH =, 32. ……………………… 3分 （2）2a. …………………………………………… 5分 （3）mn . ……………………………………… 6分26、（1）将t=2代入抛物线E 中，得：y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=2x 2-4x=2（x-1）2-2， ∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）； . ………1分 （2）点A 在抛物线E 上， ………2分理由如下：∵将x=2代入y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4），得 y=0， ∴点A （2，0）在抛物线E 上． （3）∵点B （-1，0）在抛物线E 上， ∴将x=-1代入抛物线E 的解析式中，得：n=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=6． ……4分∵将抛物线E 的解析式展开，得：y=t （x 2-3x+2）+（1-t ）（-2x+4）=t （x-2）（x+1）-2x+4 ∴抛物线E 必过定点（2，0）、（-1，6）； ……6分 （4）不是．∵将x=-1代入y=-3x 2+5x+2，得y=-6≠6， ∴二次函数y=-3x 2+5x+2的图象不经过点B ．∴二次函数y=-3x 2+5x+2不是二次函数y=x 2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”． ……8分27、解：（1）抛物线m m mx y +++=532与y 轴交于点C （0 , 4），∴ 5 4.m += ∴ 1.m =- ………1分 （2）抛物线的解析式为 234yx x =-++.可求抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0）. 可求点E 的坐标3(,0)2.由图知，点F 在x 轴下方的直线AD 上时，ABF ∆是钝角三角形，不可能与ADE ∆ 相似，所以点F 一定在x 轴上方.此时ABF ∆与ADE ∆有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况： ① 当AB AEAF AD=时，由于E 为AB 的中点，此时D 为AF 的中点， 可求 F 点坐标为（1，4）. ………3分 ② 当AB AD AF AE =时，55AF AF =解得过F 点作FH ⊥x 轴，垂足为H . 可求 F 的坐标为352（，）. …………4分（3） （4）(3) 在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G .由题意，可知△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 为 4.y x =-+ 可求与直线BCy =-x +9或y =-x -1. ………6分 ∴ 点G 在直线y =-x +9或y =-x -1上. ∵ 抛物线的对称轴是直线23=x , ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+-==.9,23x y x 解得..215,23⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 或⎪⎩⎪⎨⎧--==.1,23x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,23y x ∴ 点G 的坐标为31535(,)-2222或（，）. ………8分北京市海淀区2015届九年级上期中考试数学试题及答案（WORD 版）一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列图形是中心对称图形的是（ ）A B C D2．将抛物线2y x =向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A.21y x =+ B.21y x =- C.()21y x =+D.()21y x =-3.袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球.下面说法正确的是（ ） A.这个球一定是黑球 B.这个球一定是白球C.“摸出黑球”的可能性大D.“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大4.用配方法解方程2230x x --=时，配方后得到的方程为（ ） A.2(1)=4x - B.2(1)4x -=- C.2(1)=4x + D.2(1)=4x +-5．如图，O 为正五边形ABCDE 的外接圆，O 的半径为2，则AB 的长为（ ） A.5π B.25π C.35π D.45πD6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，59ABD ∠=︒，则C ∠等于（ ） A.29︒ B.31︒ C.59︒ D.62︒7．已知二次函数24y x x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两个实数根是（ ） A.121,1x x ==- B.121,2x x =-= C.121,0x x =-=D.121,3x x ==8．如图，C 是半圆O 的直径AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），过C 作AB 的垂线交半圆于点D ，以点D ，C ，O 为顶点作矩形DCOE ． 若AB =10，设AC =x ，矩形DCOE 的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9.如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，连接AB .60APB ∠=︒，5AB =，则PA 的长是 ．10．若关于的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则的值为_________．11．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =的图象经过点11(,)M x y ，22(,)N x y 两点，若1 42x -<<-，202x <<，则1y 2y .（用“<”，“=”或“>”号连接）12．如图，正方形ABCD 中，点G 为对角线AC 上一点，AG=AB ． ∠CAE =15°且AE=AC ，连接GE ．将线段AE 绕点A 逆时针旋转得到 线段AF ，使DF=GE ，则∠CAF 的度数为____________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）x k EDCBO A PEDCBA13．解方程：2310x x +-=．14．如图，∠DAB =∠EAC ，AB =AD ，AC =AE ．求证：BC =DE ．15．已知二次函数的图象经过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求此二次函数的解析式．16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC =130°，求∠OAC 的度数．17．若1x =是关于x 的一元二次方程22420x mx m -+=的根，求代数式()2213+m -的值．18.列方程解应用题：某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．下图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天；（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率．20．已知关于x 的方程2(3)30ax a x +--=(0)a ≠. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a 的值．21．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，点G 在直径DF 的延长线上，∠D =∠G =30．（1）求证：CG 是⊙O 的切线；（2）若CD =6，求GF 的长．空气质量指数22．阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：123,,x x x ，称为数列123,,x x x ．计算1x ，122x x +，1233x x x ++，将这三个数的最小值称为数列123,,x x x 的价值．例如，对于数列2，1-，3，因为22=，2(1)122=+-，2(1)3433+-+=，所以数列2，1-，3的价值为12． 小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列1-，2，3的价值为12；数列3，1-，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，1-，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列4-，3-，2的价值为______；（2）将“4-，3-，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为______ ，取得价值最小值的数列为___________（写出一个即可）； （3）将2，9-，a (1)a >这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a 的值为__________．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）当15ABC S △=时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C 的直线l :y kx b =+(0)k <与抛物线的另一个交点为D . 该抛物线在直线l 上方的部分与线段CD 组成一个新函数的图象. 请结合图象回答：若新函数的最小值大于8-，求k 的取值范围．24．将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0120)α得到线段AD，<<连接CD．（1）连接BD，①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．（2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b 在第一象限．以P 为圆心的圆经过原点，与y 轴的另一个交点为A ．点Q 是线段OA 上的点（不与O ，A 重合），过点Q 作PQ 的垂线交⊙P 于点(,)B m n ，其中0≥m ．（1）若5b =，则点A 坐标是________________； （2）在（1）的条件下，若OQ =8，求线段BQ 的长；（3）若点P 在函数2y x =(0)x >的图象上，且△BQP 是等腰三角形. ①直接写出实数a 的取值范围：__________________； ②在12，PQ 的长度可以为 ，并求出此时点B 的坐标．海淀区九年级第一学期期中练习2014.11数学试卷答案及评分参考阅卷须知:1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分.3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 5 ；10． 4 ； 11． >；12． 30°或60°．（注：每个答案2分）三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13.（本小题满分5分）解：∵131a ,b ,c ===-， …………………………………………………………………1分∴2341(1)=13>0∆=-⨯⨯-． … ……………………………………………………2分∴x ==∴12x ． ……………………………………………………5分 14．（本小题满分5分）证明：∵∠DAB =∠EAC ，∴∠DAB +∠BAE =∠EAC+∠BAE ．∴∠DAE =∠BAC ． ………………………………………………………………1分 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△BAC ≌△DAE ． ………………………………………………………………4分 ∴BC =DE ． ………………………………………………………………………5分15.（本小题满分5分）解：设二次函数的解析式为()225y a x =-+ (0)a ≠．……………………………1分∵二次函数的图象经过点(0,1)．∴()21025a =-+．………………………………………………………………2分 ∴1a =-． …………………………………………………………………………4分 ∴二次函数的解析式为241y x x =-++．………………………………………5分16. （本小题满分5分）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC +∠ABC =180°． …………………………………………………………1分 ∵∠ABC =130°，∴∠ADC =180°-∠ABC =50°． …………………………………………………2分∴∠AOC =2∠ADC =100°． ………………………………………………………3分 ∵OA=OC ，∴∠OAC =∠OCA ． ……………………………………………………………4分∴∠OAC =1(180)402AOC -∠= ． ……………………………………………… 5分17. （本小题满分5分）解：依题意,得 21420m m -+=. ……………………………………………………2分∴2241m m -=-． ………………………………………………………………3分 ∴()()2222132213245154+=m m m m m --++=-+=-+=． …………5分18. （本小题满分5分）解：设每期减少的百分率为x ．…………………………………………………… ……1分 由题意，得()24501288x -=． ……………………………………………… ………2分解方程得 115x =，295x =． ………………………………………………… ……3分经检验，915x =>不合题意，舍去；15x = 符合题意． ……………… …………4分答：每期减少的百分率为20%． ……………………………………………… ………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. （本小题满分5分）解：（1）3． …………………………………………………………………………… 2分（2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，则到达该市的日期有15种不同的选择，在其中任意一天到达的可能性相等． ……………3分 由图可知，其中有9天空气质量优良． ………………………………… ……4分 所以，P （到达当天空气质量优良）93155==． …………………… ………5分20. （本小题满分5分） 解：（1）∵0a ≠，∴原方程为一元二次方程．∴()234(3)a a ∆=--⨯⨯- ………………………………………………1分()23a =+．∵()230≥a +．∴此方程总有两个实数根． …………………………………………………2分 （2）解原方程，得 11x =-，23x a=. ……………………………………………3分 ∵此方程有两个负整数根，且a 为整数，∴1a =-或3-． …………………………………………………………………4分 ∵12x x ≠，∴3a ≠-．∴1a =-． ………………………………………………………………………5分 21. （本小题满分5分） （1）证明:连接OC ．∵OC=OD ，∠D =30°， ∴∠OCD =∠D = 30°．…………………………………1分 ∵∠G =30°，∴∠DCG =180°-∠D -∠G =120°． ∴∠GCO =∠DCG -∠OCD =90°． ∴OC ⊥CG ．又∵OC 是⊙O 的半径．∴CG 是⊙O 的切线．……………………………………2分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴132CE CD ==. ………………………………………………………3分∵在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，∠OC E =30°，∴12OE OC =，222OC OE CE =+．设OE x =，则2OC x =. ∴()22223x x =+.解得x =∴OC = ………………………………………………………………4分∴OF =在△OCG 中，∵∠OCG =90°，∠G =30°，∴2OG OC ==∴GF GO OF =-= ……………………………………………………5分22. （本小题满分5分）答：（1）53． …………………………………………………………………………………1分（2）12， ………………………………………………………………………………2分3,2,4--或2,3,4--．（写出一个即可）…………………………………………3分（3）11或4．（每个答案各1分） ……………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. （本小题满分7分）解：（1）∵ 抛物线2(1)y x m x m =---(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，∴ 令0y =，即 2(1)0x m x m ---=．解得 11x =-，2x m =． …………………………………………………1分 又∵ 点A 在点B 左侧，且0m >，∴ 点A 的坐标为(1,0)-． …………………………………………………2分（2）由（1）可知点B 的坐标为(0)m ，．∵抛物线与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0,)m -． ……………………………………………………3分 ∵0m >，∴1AB m =+，OC m =． ∵15△ABC S =，∴1(1)152m m +=． ∴6m =-或5m =．∵0m >， ∴5m =．∴抛物线的表达式为245y x x =--． ………………………4分（3）由（2）可知点C 的坐标为(0,5)-．∵直线l ：y kx b =+(0)k <经过点C ，∴5b =-. ………………………………………5分 ∴直线l 的解析式为5y kx =-(0)k <． ∵2245(2)9y x x x =--=--，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为9-，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于8-． 令8y =-，即2458x x --=-．解得 11x =（不合题意，舍去），23x =． ∴抛物线经过点(3,8)-．当直线5y kx =-(0)k <经过点(3,8)-时，可求得1k =-．…………………6分 由图象可知，当10k -<<时新函数的最小值大于8-． ………………………7分24．（本小题满分7分）解：（1）①30°． …………………………………………………………………………1分②不改变，∠BDC 的度数为30．方法一：由题意知，AB=AC=AD ．∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．…………………………2分 ∴∠BDC=12∠BAC =30．……………………………………………………3分 方法二：由题意知，AB=AC=AD ． ∵AC =AD ，∠CAD =α，∴1801=9022ADC C αα-==- ∠∠．…………………………………2分 ∵AB=AD ，∠BAD =60α+，∴()18060120160222ADB B ααα-+-====- ∠∠．。

2015-2016学年北京市西城区示范校九上第二次月考数学试卷

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2015年北京市西城区示范校九年级上学期人教版数学第二次月考试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.二次函数的图象的顶点坐标是A. B. C. D.2.已知函数的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是A.C.B.D.3.二次函数的最大值为A. B. C. D.4.若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系正确的是A. B. C. D.5.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是A. B. C. D.6.抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为()A. B. C. D.7.函数与的图象可能是A. B.C. D.8.已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①因为，所以函数有最大值；②该函数的图象关于直线对称；③当时，函数的值等于；④当或时，函数的值都等于．其中正确结论的个数是A. B. C. D.9.已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是A.C.且B.D.且10.已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为A. B. C. D.二、填空题（共8小题；共40分）11.若把函数化为的形式，其中，为常数，则．12.函数与轴的交点坐标为，与轴的交点的坐标为，．13.抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．14.请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式．①过点；②当时，随的增大而减小；③当自变量的值为时，函数值小于．15.已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解是．16.如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和；④．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）17.将抛物线的图象向上平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为，再将以其顶点为中心，旋转度所得抛物线的解析式为，再将关于直线对称的抛物线的解析式为．18.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：从表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与轴的一个交点为；②函数的最大值为；③抛物线的对称轴是直线；④在对称轴左侧，随增大而增大．三、解答题（共4小题；共52分）19.已知二次函数．（1）用配方法将化成的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当取何值时，随的增大而减少?（4）当取何值时，，，．（5）当时，求的取值范围；（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．20.二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．（1）根据图象确定，，的符号，并说明理由；（2）如果点的坐标为，，，求这个二次函数的解析式．21.如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位时，水面宽，水位上升，就达到警戒水位，这时水面宽，若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．22.已知抛物线：的顶点到轴的距离为，与轴交于，两点．（1）求顶点的坐标；（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标．答案第一部分1.B6.D2.A7.C3.A8.C4.B9.C5.C10.D第二部分11.12.；；13.14.（答案不唯一）15.，16.①③17.；；18.①③④第三部分19.（1）（2）当，则，解得：，，故图象与轴交点坐标为：，，当，，故图象与轴交点坐标为：，如图所示：（3）当时，随的增大而减少．（4）当或时，，当或时，，当时，．（5）当时，时，，时，，故的取值范围是：．（6）如图所示：函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：．20.（1）抛物线开口向上，．又对称轴在轴的左侧，，．又抛物线交轴的负半轴，．（2）连接，，在中，，，，，又在中，，，，设二次函数的解析式为，由题意：所求二次函数的解析式为．21.根据题意建立坐标系如下：设抛物线解析式为：，又因为，，所以解得：所以，所以，即，所以，则（小时）．答：水过警戒线后小时淹到拱桥顶．22.（1）抛物线顶点的坐标为，由于顶点到轴的距离为，，或，抛物线与轴交于，两点，舍去．，抛物线顶点的坐标为．（2）抛物线的解析式为，抛物线与轴交，两点的坐标为，，，点在抛物线上，，设，则，把代入到抛物线的解析式为，解得或，把代入到抛物线的解析式为，解得或，点坐标为或或或．。

2015-2016学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析

2015-2016学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析

2015-2016学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.二次函数y=（x-5）2+7的最小值是（）A. B. 7 C. D. 52.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cos A的值为（）A.B.C.D.3.如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A. 12B.C.D.4.将二次函数y=x2-6x+5用配方法化成y=（x-h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.5.若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12πcm，则此扇形的圆心角等于（）A. B. C. D.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-1，2），AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为（）A.B.C.D.7.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A. 40海里B. 海里C. 海里D. 海里8.如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A.B.C.D.9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为A. B.C. D.10.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A. 8B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若，则的值为______．12.点A（-3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2-5x上，则y1______y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为______．14.如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=______．15.程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=116.阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是______；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是______．三、解答题（本大题共13小题，共72.0分）17.计算：4cos30°•tan60°-sin245°．18.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tan C的值．19.已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．21.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22.已知抛物线C1：y1=2x2-4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2-4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2-4k上，且n＜t，直接写出m的取值范围．23.如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出∠BAF的度数．24.奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=，sin A=，求PC的长．26.阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A（1，3）和B（-3，-1）两点．观察图象可知：①当x=-3或1时，y1=y2；②当-3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2-x-4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2-x-4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x-1＞；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x-1＜；（2）构造函数，画出图象设y3=x2+4x-1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-1；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为______；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2-x-4＞0的解集为______．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=-x+3与二次函数y=-+bx+c 的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=-+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．28.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN=______，NM与AB的位置关系是______；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小29.在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为______°；②自点A（-1，0）出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______；（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=（x-5）2+7∴当x=5时，y有最小值7．故选B．根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-，函数最小值y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-，函数最大值y=．2.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5．cosA==，故选：A．根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.【答案】C【解析】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∴∠POC=45°，∴OP=CP=6，∴OC==6，故选：C．连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长．本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△POC是等腰直角三角形是解题关键．4.【答案】C【解析】解：y=x2-6x+5=x2-6x+9-4=（x-3）2-4，故选：C．运用配方法把一般式化为顶点式即可．本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据弧长的公式l=，得n===120°，故选：D．把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可．本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵点A的坐标为（-1，2），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，∴点A1的坐标为（-2，4）．直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A1的坐标．此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．7.【答案】D【解析】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里；故选D．根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8.【答案】C【解析】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是的中点，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB==50°，故选：C．根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60-x）（300+20x），故选：B．根据降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．10.【答案】D【解析】不如先通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D 选项带入其中，并根据二次函数对称周两侧图象增减性特点令x=-2时y值小于零和x=6时y值大于零去取舍各位合理．忘老师能够采纳．解：∵抛物线y=2x2-8x+m=2（x-2）2-8+m的对称轴为直线x=2，而抛物线在-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，∴m＜0，当m=-10时，则y=2x2-8x-10，令y=0，则2x2-8x-10=0，解得x1=-1，x2=5，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的上方；当m=-42时，则y=2x2-8x-42，令y=0，则2x2-8x-42=0，解得x1=-3，x2=7，则有当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的下方；当m=-24时，则y=2x2-8x-24，令y=0，则2x2-8x-24=0，解得x1=-2，x2=6，则有当-2＜x＜-1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方；故选：D．根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.【答案】【解析】解：根据比例的合比性质，已知=，则=．已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．熟练应用比例的合比性质．12.【答案】＞【解析】解：当x=-3时，y1=x2-5x=24；当x=2时，y2=x2-5x=-6；∵24＞-6，∴y1＞y2．故答案为：＞．分别计算自变量为-3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13.【答案】90【解析】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，∴△ABC的周长为：5+12+13=30，∵与它相似的△DEF的最小边长为15，∴△DEF的周长：△ABC的周长=15：5=3：1，∴△DEF的周长为：3×30=90．故答案为90．由△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，即可求得△ABC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．14.【答案】10【解析】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A=30°，AB=20，∴AE=10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD=10，故答案为：10．过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．15.【答案】102+（x-5+1）2=x2【解析】解：设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x-5+1）2=x2．故答案为：102+（x-5+1）2=x2．设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解．16.【答案】直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线【解析】解：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为：直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键．17.【答案】解：原式=4××-（）2=6-=．【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18.【答案】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴CD=BC-BD=15-6=9，∴AD=，∴tan C=．即tan C的值是．【解析】根据在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．19.【答案】解：（1）令y=0，则-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3．则A的坐标是（-1，0），B的坐标是（3，0）．y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则对称轴是x=1，顶点C的坐标是（1，4）；（2）D的坐标是（1，-4）．AB=3-（-1）=4，CD=4-（-4）=8，则四边形ACBD的面积是：AB•CD=×4×8=16．【解析】（1）令y=0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；（2）首先求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解．本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得A和B的坐标是关键．20.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【解析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．21.【答案】解：设人行道的宽度为x米，由题意得，2××（8-2x）=60，解得：x1=2，x2=9（不合题意，舍去）．答：人行道的宽度为2米．【解析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：，宽度为：8-2x，根据两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22.【答案】解：（1）根据题意得：△=16-8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2-4x+2=2（x-1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2-8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2-8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2-8中，令y=0，解得：x=1或-3．则当n＜t时，即2（x+1）2-8＜0时，m的范围是-3＜m＜1．【解析】（1）抛物线与x轴只有一个公共点，则判别式△=0，据此即可求得k的值；（2）把C1化成顶点式的形式，利用函数平移的法则即可确定；（3）首先求得t的值，然后求得等y=t时C2中对应的自变量的值，结合函数的性质即可求解．本题考查抛物线与x轴的交点的个数的确定，以及函数的平移方法，根据函数的性质确定m的范围是关键．23.【答案】解：（1）∵OC⊥AB，AB=，∴AD=DB=2，∵∠E=30°，∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，∴OA==4；（2）如图，作OH⊥AF于H，∵OA=4，OH=2，∴∠OAF=45°，∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°，则∠BAF′=∠OAF′-∠OAB=15°，∴∠BAF的度数是75°或15°．【解析】（1）根据垂径定理求出AD的长，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，运用正弦的定义解答即可；（2）作OH⊥AF于H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出∠OAF的度数，分情况计算即可．本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．24.【答案】解：∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，则BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan58°===1.60，解得：x=150，∴AD=90+150=240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【解析】根据已知条件求出BD=AD，设DC=x，得出AD=90+x，再根据tan58°=，求出x的值，即可得出AD的值．本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．25.【答案】解：（1）∵PC是圆O的切线，∴∠PCA=∠B．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED=90°．∴∠AED=∠B．∵∠PEC=∠AED，∴∠PCE=∠PEC．（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．∵AB=10，sin A=，∴BC=AB•=6．∴AC==8．∵DE=，sin A=，∴AE=．∴EC=AC-AE=8-=．∵PC=PE，PF⊥EC，∴EF=．∵∠AED=∠PEF，∠EDA=∠EFP，∴△AED∽△PEF．∴，．解得：EP=．∴PC=．【解析】（1）由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE=∠PEC；（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE=，由等腰三角形三线合一的性质可知EF=，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△AED∽△PEF是解题的关键．26.【答案】±1和-4；x＞1或-4＜x＜-1【解析】解：（2）；（3）两个函数图象公共点的横坐标是±1和-4．则满足y3=y4的所有x的值为±1和-4．故答案是：±1和-4；（4）不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，此时x的范围是：x＞1；当x＜0时，x2+4x-1＜，则-4＜x＜-1．故答案是：x＞1或-4＜x＜-1．（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象；（3）根据图象即可直接求解；（4）根据已知不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，；当x＜0时，x2+4x-1＜，根据图象即可直接写出答案．本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式x3+4x2-x-4＞0即当x＞0时，x2+4x-1＞，；当x＜0时，x2+4x-1＜，分成两种情况讨论是本题的关键．27.【答案】解：（1）当x=0时，y=c，即（0，c）．由当x=0和x=5时所对应的函数值相等，得（5，c）．将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得，解得．故抛物线的解析式为y=-x2+x-2；（2）联立抛物线与直线，得，解得，，即B（2，1），C（5，-2）．由勾股定理，得AB==；（3）如图：，四边形ABCN是平行四边形，证明：∵M是AC的中点，∴AM=CM．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM=MN，∵M是线段AC的中点，∴MA=MC.∴四边形ABCN是平行四边形．一次函数y=-x+3的图像于x轴交于点E.当y=0时，x=3.∴点E的坐标为（3，0）∴DE=1=DB.在Rt BDE中，DBE=DEB=45同理DAB=DBA=450∴ABE=DBA+DBE=900∴四边形ABCN是矩形.【解析】（1）根据当x=0和x=5时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；（2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理，可得AB的长；（3）根据线段中点的性质，可得M点的坐标，根据旋转的性质，可得MN与BM的关系，根据平行四边形的判定，可得答案．本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点（5，c）是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用解方程组得出交点坐标，又利用了勾股定理；利用了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．28.【答案】；垂直；BD为6，ME最小为7.【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，∴CD=2，∴AD==2，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AD=2，∵N为ED的中点，∴AN=DE=，∵M为AB的中点，∴AM=AB=2，∵=，==，∴，∵∠CAB=∠DAN=45°，∴∠CAD=∠MAN，∴△ACD∽△AMN，∴∠AMN=∠C=90°，∴MN⊥AB，故答案为：，垂直；（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠CAN+∠NAM=45°，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°，∵N为ED的中点，∴，AN⊥DE，∴∠CAN+∠DAC=45°，∴∠NAM=∠DAC，在Rt△AND中，DAN=cos45°=，同理=，∴，∵∠DAC=45°-∠CAN=∠MAN，∴△ANM∽△ADC，∴∠AMN=∠ACD，∵D在BC的延长线上，∴∠ACD=180°-∠ACB=90°，∴∠AMN=90°，∴MN⊥AB；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形，在△ADK与△ABE中，，∴△ADK≌△ABE，∴∠ABE=∠K=45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC=4，∴AB=4，MB=2，∴MG=2，∵∠G=90°，∴ME≥MG，∴当ME=MG时，ME的值最小，∴ME=BE=2，∴DK=BE=2，∵CK=BC=4，∴CD=2，∴BD=6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是7．（1）根据已知条件得到CD=2，根据勾股定理得到AD==2，根据旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2，根据直角三角形的性质得到AN=DE=，AM=AB=2，推出△ACD∽△AMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性质得到∠AMN=∠ACD，即可得到结论；（3）连接ME，EB，过M作MG⊥EB于G，过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME的值最小，根据等量代换即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．29.【答案】45；（-，【解析】解：（1）答案如图：（2）①由题意：∠1=∠2，∠APB=90°，∴∠1=45°，∴反射光与切线的夹角为45°．②由题意：这些反射点组成的多边形是正十二边形，∴入射光线与反射光线夹角为150°，∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，∴P1（-，）．（3）如图：当反射光PA∥X轴时，反射光线与坐标轴没有交点．作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分别为M，N，设PD=m．∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN2=1-（2-m）2，∴PO2=m2+1-（2-m）2，∵PD∥OM，∵，∴CP=，CD2=（）2-m2，∴OC=PN+CD，OC2=（+）2，由：PO2=OC2得到：（）2-m2=（+）2，∴m1=2-，（m2=2+，m3=4，不合题意舍弃），∴根据左右对称性得到：满足条件的反射点P的纵坐标：1．（1）（2）两个问题，要根据题意，画出图象，可以解决．（3）当反射光线平行X轴时，反射光线与坐标轴没有交点，只要求出这样的反射点，就可以解决这个问题了．这是个几何，代数综合题．考查的知识点比较多，用到数形结合的思想，要求作图能力强，学会用方程的思想去思考．。

2015-2016学年度第一学期北京市西城区普通中学初三数学 锐角三角函数 单元测试 2 含答案

2015-2016学年度第一学期北京市西城区普通中学初三数学 锐角三角函数 单元测试 2 含答案

1 / 52015-2016学年度第一学期北京市西城区普通中学初三数学锐角三角函数 单元测试 2(时间45分钟 满分100分) 姓名一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1． 60cos 的值等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．12.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则tanA 的值是（ ）A ．15B ．14C ．15D ．４3．已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于( ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒804．已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m5.在Rt ABC △中，90C ∠=，5BC =，15AC =，则A ∠=（ ）A ．90B ．60C ．45D ．306.如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A ．250m.B ． 250.3 m.C ．500.33 m.D ．3250 m.7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247B ．7 C ．724D ．1368CEABD（第7题）第6题2 / 5（第10题）（图1）（图2） AB C 8．因为1sin 302=，1sin 2102=-，所以sin 210sin(18030)sin 30=+=-；因为2sin 45=，2sin 225=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）A ．12-B ．22-C ．3-D ．3-二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）9.2cos45°-21tan60°= ;10．如图是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼 成一个正三角形（图2），那么在Rt △ABC 中，sin B ∠的值是 ；11.林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示．现已知5380.5BAC AB =︒=∠′，米，则这棵大树的直径约为_________米；（结果精确到0.1米）12．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为 ； 13.如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中1:3i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），60B ∠=，6AB =，4AD =，拦水坝的横断面ABCD 的面积 是 （结果保留三位有效数字，参考数据：3 1.732=，2 1.414=） 三、解答题（共48分）14．(8分)在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a=3，ABCDE 第13题1:3i =第12题BOC第11题3 / 5b=3，解这个三角形．15. （8分）如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高． (精确到0.1米) （供选用的数据：sin 400.64≈，cos 400.77≈，tan 400.84≈）16.（10分）如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40公里的B 处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治，已知C 岛在A 的北偏东60º方向，且在B 的北偏西45º方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20公里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？ （精确到0.1，参考数据：2 1.41≈，6≈2.45）17．（10分）如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知6BC =米，9AB =米，中间平台宽度DE 为2米，DM EN ，为平台的两根支柱，DM EN ，垂直于AB ，垂足分别为M N ，，30EAB ∠=，45CDF ∠=．求DM 和BC 的水平距离BM ．（精确到0.12 1.41≈3 1.73≈）AN M BFCED40︒E D CBA4 / 5（第19题）18．（12分）为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙． （1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处． （3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？（附加题5分）19．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB 的值为 。

北京市西城区宣武外国语学校九年级(上)期中数学试卷

北京市西城区宣武外国语学校九年级(上)期中数学试卷
26．（5 分）如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB⊥CD 于点 E．连 接 AC、OC、BC．
第4页（共7页）
（1）求证：∠ACO=∠BCD； （2）若 EB=8cm，CD=24cm，求⊙O 的直径．
五、解答题（本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 27．（7 分）阅读下面的材料 小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题： 如果 α，β 都为锐角，且 tanα= ，tan ，求 α+β 的度数．
小敏是这样解决问题的：如图 1，把 α，β 放在正方形网格中，使得∠ABD=α，
∠CBE=β，且 BA，BC 在直线 BD 的两侧，连接 AC，可证得△ABC 是等腰三角
形，因此可求得 α+β=∠ABC=
°
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果 α，β 都为锐角，当 tanα=4，tanβ= 时，在图 2 的正方形网格中，利用已作
北偏东 60°方向上，在 A 的正东 400 米的 B 处，测得海中灯塔 P 在它的北偏东 30°方向上．问：灯塔 P 到环海路的距离 PC 约等于多少米？（ 取 1.732，结 果精确到 1 米）
25．（5 分）如图所示，已知：在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8．求：△ ABC 的面积．（结果可保留根号）
10．（3 分）如图，AB 为半圆的直径，点 P 为 AB 上一动点，动点 P 从点 A 出发， 沿 AB 匀速运动到点 B，运动时间为 t，分别以 AP 与 PB 为直径做半圆，则图 中阴影部分的面积 S 与时间 t 之间的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题 3 分，共 6 个小题，共 18 分）

北京市西城区-初三上期中数学试题及答案.doc

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北京市西城区普通中学2016-2017学年度第一学期初三期中数学试题一选择题（每小题3分，共30分）1.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是( )2.抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标是( )A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(2,-1)D.(2,1)3.下列事件为必然事件的是( )A.任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B.篮球运动员投篮，投进篮筐C.一个星期有七天D.打开电视机，正在播放新闻4.如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=1000，则∠ACB的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.80°第4题图第6题图第7题图5.抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线的解析式为( )A.y=2(x+1)2+5B.y=2(x+1)2-5C.y=2(x-1)2-5D.y=2(x-1)2+56.如图,⊙O的半径为5,AB为弦,OC⊥AB,垂足为C,如果OC=3，那么弦AB的长为( ).A.4B.6C.8D.107.如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转500后得到△A1B1C.若∠A=400,∠B1=1100,则∠BCA1的度数是( )A.90°B.80°C.50°D.30°8.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后,每星期售出商品的总销售额为y元,则y与x的关系式为( )A.y=60(300+20x)B.y=(60-x)(300+20x)C.y=300(60-20x)D.y=(60-x)(300-20x)9.在平面直角坐标系xoy中,如果⊙O是以原点O（0,0）为圆心,以5为半径的圆,那么点A（-3,-4）与⊙O的位置关系是( )A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定10.如图,AD,BC是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→D→O的路线匀速运动,设∠APB=y（单位:度),点P运动的时间为x（单位:秒），那么表示y与x关系的图象是( )二填空题（每小题3分，共18分）11.点P(－3，4)关于原点的对称点的坐标为12.函数5xm=+xy m是二次函数，则m=)15+(1-+13.在一个不透明的袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色的概率是．14.点A(-3，y1)，B(2，y2)在抛物线y=x2-5x上，则y1 y2．（填“>”，“<”或“=”）15.已知y=ax2+bx+c.二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(1,0)，与y轴的交点为(0,3),则方程ax2+bx+c=0的解为第15题图第16题图1OB长为半径作⊙O,若射线BA绕点B 16.如图,∠ABC=900,O为射线BC上一点,以点O为圆心,2按顺时针方向旋转至BA'，若BA'与⊙O相切，则旋转的角度α(00<α<1800)等于．三解答题（17-26每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分）17.抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交点坐标是（0，3）．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）当x取什么值时,y的值随x值的增大而减小？18.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB，垂足为E,连接AC.若∠A=22.5°,CD=8cm，求⊙O的半径．19.如图，已知A、B、C为⊙O上的三个点,⊙O的直径为4cm,∠ACB=45°，求AB的长．20.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点均在格点上.（1）画出将△ABC向右平移2个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．21.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0，3)、B(4，3)、C(1，0).（1）填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为；（2）求该抛物线的解析式.22.某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？23.石头剪子布,又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年的猜拳游戏．游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定:“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负游戏继续，直到分出胜负，游戏结束．三人游戏时，若三种手势都相同或都不相同，则不分胜负游戏继续；若出现两人手势相同，则视为一种手势与第三人所出手势进行对决，此时，参照两人游戏规则．例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜．假定甲、乙、丙三人每次都是随机地做这三种手势，那么：（1）直接写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负的概率；（2）请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负的概率．24.如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求（1）抛物线的解析式；（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离.25.如图，已知AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．26.阅读下面解题过程，解答相关问题.求一元二次不等式-2x2-4x＞0的解集的过程.（1）构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x;并在坐标系中画出二次函数y=-2x2-4x的图象(如图1).（2）求得界点，标示所需：当y=0时,求得方程-2x2-4x=0的解为x1=-2,x2=0;并标示出函数y=-2x2-4x图象中y>0的部分(如图2).（3）借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式-2x2-4x＞0的解集为-2<x<0.请你利用上面求一元二次不等式解集的过程，求不等式x2-2x+1≥4的解集.27.在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2-8mx+16m-1（m>0）与x轴的交点分别为A（x1,0）,B（x2，0）．（1）求证:抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）若AB=2,求此抛物线的解析式；（3）已知x轴上两点C(2,0),D(5,0),若抛物线y=mx2-8mx+16m-1(m>0)与线段CD有交点,请写出m取值范围.28.如图1,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,∠C=900,将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度ɑ(00<ɑ<900)，使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．(1) ①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；(2) 如图3,正方形ABCD边长为5,若点P满足PD=1,且∠BPD=900,请直接写出点A到BP的距离．北京市西城区普通中学2016-2017学年度第一学期初三期中数学试题答案1.D2.D3.C4.B5.D6.C7.B8.B9.B 10.B 11.(3,-4) 12.1 13.5314.> 15.-3或1 16.600或120017.（1）m=3；（2）(-1,0)、(3，0)、(1,4)；（3）x>1. 18.r=24; 19.22；20.（1）略；（2）π2。

2016北京市西城外国语学校初三(上)期中数 学

2016北京市西城外国语学校初三(上)期中数 学

2016北京市西城外国语学校初三（上）期中数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=﹣12．下列图形是中心对称图形的是（）A．B． C． D．3．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（）A．35° B．55° C．65° D．70°4．将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2（x﹣2）2+3，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y 轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=﹣47．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（）A．（0，0） B．（1，0） C．（1，﹣1）D．（2.5，0.5）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=，AB⊥OB，∠AOB=30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（﹣1，）D．（，﹣1）9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B=60°，AC=3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．310．如图，⊙O上有两点A与P，且OA⊥OP，若A点固定不动，P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的函数关系的图象可能是（）A．①B．③C．①或③D．②或④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如图，△OAB绕点O顺时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于度．12．点A（3，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为．14．⊙O中，AB为⊙O的弦，∠AOB=140°，则弦AB所对的圆周角为度．15．如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是cm2．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）解方程：x2﹣4x+1=0．18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．解：（1）点B1的坐标是；（2）点B2的坐标是．19．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式；（2）根据图象，写出当x取何值时，y＞0？20．（5分）《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=1寸，CD=10寸，那么直径AB的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB的长．21．（5分）已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ……y ……（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是．22．（5分）如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．求：（1）点P与点Q之间的距离；（2）求∠BPC的度数．23．（5分）如图，⊙O的直径AB=4，∠AB C=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．24．（5分）如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．25．（5分）如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？26．（5分）如图，AB为⊙O的直径，点F为弦AC的中点，连接OF并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若OA=AE=4，求AC的长．27．（7分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x=2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y=﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y=2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围．29．（8分）阅读资料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=．我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．问题拓展：如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．综合应用：如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．①证明AB是⊙P的切线；②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．数学试题答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【考点】二次函数的性质．【分析】利用顶点式直接求得对称轴即可．【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是x=1．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，抛物线y=a（x﹣h）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x=h．2．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、该图形是中心对称图形，正确，B、该图形不是中心对称图形，错误；C、该图形不是中心对称图形，错误；D、该图形是轴对称图形，错误；故选A【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．【考点】圆周角定理．【分析】由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．【解答】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，∴∠AOB=2∠C=70°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3），而点（0，0）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到点（2，3），所以抛物线y=2x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y=2（x﹣2）2+3．故选D．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，∵3＞2，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选A．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．6．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线的对称性判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0）．∴ax2+bx+c=0（a≠0）的解为x1=1，x2=﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，依据抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键．7．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线．【解答】解：∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，﹣1），∴旋转中心的坐标为（1，﹣1）．故选C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．8．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据三角函数可得OA，结合∠AOB=30°可知△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB=，∠AOB=30°，∴cos∠AOB=，∴OA===2，如图，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，可得A1（﹣2，0），故选：B．【点评】本题主要考查旋转变换下坐标与图形的变化，解直角三角形得出OA的长是解题的根本，根据△ABO绕点O 逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x轴上是解题的关键．9．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠B=60°，AC=3，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=60°，AC=3，∴BC==，∵AB⊥CD，∴CE=BC•sin60°=×=，∴CD=2CE=3．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD=90°是关键．10．【考点】动点问题的函数图象．【分析】本题需注意正确理解题意，根据点P运动的方向分析即可．【解答】解：由图中可知：长度d是一开始就存在的，如果点P向上运动，那么d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小；当运动到点A时，距离d为0，然后继续运动，d开始变大；到点P时，回到原来高度相同的位置．①对，②没有回到原来的位置，应排除．④回到原来的位置后又继续运动了，应排除．如果点P向下运动，那么d的距离将逐渐变小，到点A的位置时，距离d为0；继续运动，d的距离将逐渐变大；当点P运动到和0，A在同一直线上时，d最大，随后开始变小，到点P时，回到原来高度相同的位置．③对．故选C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，由于没有说点是怎么运动的，所以分情况进行分析，判断．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【考点】旋转的性质．【分析】由旋转角可求得∠BOD，再利用角的和差可求得∠AOD．【解答】解：∵旋转角为80°，∴∠BOD=80°，∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+80°=125°，故答案为：125．【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键．12．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为3、﹣2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=3时，y1=x2﹣5x=﹣6；当x=﹣2时，y2=x2﹣5x=14；∵14＞﹣6，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．【考点】切线的性质．【分析】由⊙C与∠AOB的两边分别相切，利用切线长定理，可得∠AOC=45°，继而可得△OCP是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】解：连接CP，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB，CP⊥OA，∵∠AOB=90°，∴∠AOC=45°，∴OC=OP=4×=4．故答案为：．【点评】此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．【考点】圆周角定理．【分析】此题要分情况考虑：弦对了两条弧，则两条弧所对的圆周角有两类．再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，进行计算．【解答】解：根据圆周角定理，得弦AB所对的圆周角=140°÷2=70°或180°﹣70°=110°．故答案为70或110．【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意：弦所对的圆周角有两种情况．15．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【分析】AB与C′B′相交于点D，如图，根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=6cm，∠CAB=45°，再根据旋转的性质得∠CAB=45°，CA=C′A=15°，则∠C′AD=30°，再利用含30度的直角三角形的三边的关系计算出C′D，然后根据三角形面积公式计算阴影部分的面积．【解答】解：AB与C′B′相交于点D，如图，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∴AC=BC=6cm，∠CAB=45°，∵△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，∴∠CAB=45°，CA=C′A=15°，∴∠C′AD=30°，在Rt△AC′D中，C′D=AC′=×6=2，∴阴影部分的面积=×6×2=6．故答案为．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．【分析】直接根据圆周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切线的性质即可得出结论．【解答】解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知圆的切线的作法及圆周角定理是解答此题的关键．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】移项后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．18．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．【解答】解：（1）△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（5，﹣1）；（2）△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣1，﹣5）．故答案为（5，﹣1），（﹣1，﹣5）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），图象过点（0，3），求出a的值，即可求出二次函数的解析式；（2）直接根据图象写出x的取值范围．【解答】解：（1）∵图象过（﹣3，0），（1，0），∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），∵图象过（0，3），∴3=a（0+3）（0﹣1），a=﹣1，∴y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3，（2）由图象可知，当﹣3＜x＜1，y＞0．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确设出抛物线的解析式，此题难度不大．20．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OD=OA=x 寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD=10寸，∴CE=DE=CD=5寸，设OD=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即（x﹣1）2+52=x2，解得：x=13，∴AB=26寸，即直径AB的长为26寸．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．21．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象；二次函数与不等式（组）．【分析】（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x=0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y=x2﹣2x﹣3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．【解答】解：（1）y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣3﹣1=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4；（2）令x=0，则y=﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3），又y=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）（﹣1，0）．故答案是：（0，﹣3）；（3，0）（﹣1，0）；（3）列表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …图象如图所示：；（4）如图所示，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．故答案是：x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．22．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】（1）连结PQ，如图，根据等边三角形得性质得∠ABC=60°，BA=BC，再利用旋转的性质得BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，BP=BQ=4，∠PBQ=60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ=PB=4；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，再加上∠BPQ=60°，然后计算∠BPQ+∠QPC 即可．【解答】解：（1）连结PQ，如图，∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=60°，BA=BC，∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，∴△PBQ是等边三角形，∴PQ=PB=4；（2）∵QC=5，PC=3，PQ=4，而32+42=52，∴PC2+PQ2=CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，∵△PBQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．23．【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理．【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【解答】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．24．【考点】作图—复杂作图；垂径定理．【分析】作出一条弦的垂直平分线，作出另一条弦的垂直平分线，则它们的交点即为这个圆形工具的圆心．【解答】解：如图，点O为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25．【考点】二次函数的应用．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2﹣4）米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．26．【考点】切线的性质．【分析】（1）由点F为弦AC的中点，ED切⊙O于D，可得OD⊥AC，OD⊥DE，继而证得结论；（2）由OA=AE=4，易得∠E=30°，又由AC∥DE，利用三角函数的知识即可求得OF，AF的长，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵OD过圆心，F为AC中点，∴OD⊥AC，∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED，∴AC∥DE，（2）解：∵OD=OA=4，OE=OA+AE=8，∴OD=OE，∵在Rt△ODE中，OD=OE，∴∠E=30°，∵AC∥DE，∴∠CAB=∠E=30°，∴在Rt△OAF中，OF=AO=2，AF=OF=2，∵F为AC中点，∴AC=2AF=4．【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意根据题意求得∠E=30°是关键．27．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．【解答】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小，∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5×（0﹣1）2=5，②当1≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大，∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．【点评】本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．28．【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数图象与几何变换；二次函数的性质．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；（3）根据图象即可写出b的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x=2，∴．∴m=﹣1．∴抛物线的表达式为y=﹣2x2+8x﹣6．∴y=﹣2（x﹣2）2+2．∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y=﹣2（x﹣3）2+2，∵﹣2（x﹣2）2=﹣2（x﹣3）2，∴．∴A（，）．（3）点A坐标为（，），则点B的坐标为（，），设直线y=2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，则y=2x﹣2﹣b，故=7﹣2﹣b，解得b=，平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及函数图象的几何变换，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的求法以及数形结合解题思想．29．【考点】圆的综合题．【分析】问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，则有AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P 的方程；综合应用：①由PO=PA，PD⊥OA可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB，则有∠POB=∠PAB．由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°，即可得到∠PAB=90°，由此可得AB是⊙P的切线；②当点Q在线段BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA=30°．由P点坐标可求出OP、OB．过点Q作QH⊥OB于H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可求出QH、BH，进而求出OH，就可得到点Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题．【解答】解：问题拓展：设A（x，y）为⊙P上任意一点，∵P（a，b），半径为r，∴AP2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．故答案为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；综合应用：①∵PO=PA，PD⊥OA，∴∠OPD=∠APD．在△POB和△PAB中，，∴△POB≌△PAB．∴∠PAB=∠POB=90°．∴PA⊥AB．∵PA是半径，PA⊥AB于A，∴AB是⊙P的切线．②存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q．当点Q在线段BP中点时，∵∠POB=∠PAB=90°，∴QO=QP=QA=QB．∴此时点Q到四点O，P，A，B距离都相等．∵PB⊥OA，∠POB=90°，∠POA=30°，∴∠PBO=30°．∴在Rt△POB中，，PB=2PO=12．∴B点坐标为．∵Q是PB中点，P（0，6），B，∴Q点坐标为。

最新整理北京市西城区宣武分院附中初三第一学期期中数学试题(含答案).doc

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B '分院附中 — 学年度第一学期期中测试初三数学试卷班级 姓名 总分一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线221y x =-+（）的顶点坐标是（ ）．A ．（2，1）B ．（-2，-1）C ．（-2，1）D ．（2，-1）2．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=， 则直角边BC 的长是（ ）． A ．sin 40m B ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m3．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的 解析式为（ ）． A ．2(1)3y x =--- B ．2(1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+D ．2(1)3y x =-++4．如图，在正方形网格中，ABC △的位置如图2所示，则cos B ∠的值为（ ）．A ．12 B．2CD5．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点E ， 若CE =2，则AB 的长是（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．6．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x ．下列结论中正确的是（ ）． A ．0abc > B ．0a b += C ．20b c +> D ．42a c b +<7．如图，直径AB 为6的半圆O ，绕A 点逆时针旋转60°，此时 点B 到了 点B '，则图中阴影部分的面积是（ ）． A ．6π B ．5π C ．4π D ．3πA C B8．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB 上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 关于x 的函数关系的图象大致是（ ）．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm ，则这个扇形的弧长是 cm ． 10．如图，是河堤的横断面，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是 米． 11．已知抛物线2y ax bx c =++（a >0）过O （0，0）、A （2，0）、B （3-，1y ）、C （4，2y ）四点，则1y 2y （填“>”、“<”或“=”）．12．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x 、2x ，且12x x ≠，有下列结论：①12x =，23x =；②14m >-；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为20（，）和30（，）．其中，正确的是 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2cos30602sin 45︒+︒-︒．14．已知排水管的截面为如图所示的圆O ，半径为10，圆心O 到水面的距离是6，求水面宽AB ．CBA15．已知抛物线245y x x =+-．（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．16．如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan B 的值．17．抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1①抛物线与x 轴的交点坐标是 和 ； ②抛物线经过点 (-3, )；③在对称轴右侧，y 随x 增大而 ； （2）试确定抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式．18．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置． （保留作图痕迹，不写作法）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，某测量船位于海岛P 的北偏西60º方向，距离海岛100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P 的西南方向上的B 处．求测量船从A 处航行到B 处的路程(结果保留根号)．20．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？21．已知：如图，四边形ABCD 中，∠ABC =135°，∠BCD =120°，，BC=5 ，CD =6，求AD 的长．22．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ． （1）若AD =10，4sin 5ADC ∠=，求AC 的长和tan B 的值； （2）如图，若B α∠=，1AD BD ==，则可以利用该图求出sin2α与α的三角函数之间的等量关系（用sin α和cos α的值表示）．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个．（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y （个）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？24．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知抛物线221(2) 1.4y x k x k =-+++ （1）k 取什么值时，此抛物线与x 轴有两个交点？ （2）此抛物线221(2)14y x k x k =-+++与x 轴交于A ()12(,0),0x B x 、 两点（点A 在点B 左侧），且123x x +=，求k 的值．25． 已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.分院附中 — 学年度第一学期期中测试初三数学试卷答案—、选择题（每小题 4 分，共 32 分）9． 10．35 11．> 12．②③ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．223+； 14．16；15．（-5，0），（1，0）；（0，-5）；9)2(2-+=x y ； 16．36，43； 17．（1）①(-2,0)和(1,0)； ②8；③增大；（2）4222-+=x x y ； 18．略；四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．35050+； 20．（1）2251x y -=；（2）能； 21．192；． 五、解答题（23题7分，24题7分，25题8分）23．（1）2202+-=x y ；（2）)2202)(50(+--=x x w ，即1100032022-+-=x x w ；（3）对称轴80=x ，70=x 时，w 最大为1600. 24．（1）0k >（2）1k =25．（1）略；（2）42-=x y ．（3）-3<b <1或413>b ．。

北京市西城区学度第一学期初三数学期中试卷及答案WORD版

北京市西城区学度第一学期初三数学期中试卷及答案WORD版

北京市西城区2016-2017 学年度第一学期初三数学期中试卷一、选择题（共10 个小题，每题 3 分，共30 分）1.抛物线 y3( x 6)2 1 的对称轴是直线（）(A) x6(B) x1(C)x1(D)x62.以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A 、等腰梯形B、平行四边形C、等边三角形 D 、矩形3.如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆，∠ A =40 °，则∠ OCB 等于 ()A．60°B． 50°C． 40°D ．30°第3题图第4题图4. 已知二次函数y=ax2＋ bx＋ c 的图象如右图所示，则以下结论中正确的选项是()A ． a>0B． c＜ 0C． b 24ac 0 D ．a＋ b＋ c>05.将三角形绕直线旋转一周，可以获取以以下图的立体图形的是（）．6. 若将抛物线y= 2x2先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位获取一个新的抛物线，则新抛物线的极点坐标是（）A．( 2,1)B．( 2, 1)C．(2,1)D．(2, 1)7．如图，在⊙O中，直径A．2B．3CAB⊥弦． 4CD于 DE，连接． 5BD，若∠ D=30°,BD=2，则AE的长为()8. 将抛物线y x21绕原点旋转180°，所得抛物线的分析式是（）A ．y x21B ．y x21C．y ( x 1)21D．yx219.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a）（ a＞3），半径为3，函数 y=x 的图象被⊙P 截得的弦 AB 的长为4 2 ，则a的值是（）B.32C.32D.3310.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AB=5cm ，BC=3cm ，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度，沿 A B C 的方向运动，到达点 C 时停止 .设 y PC 2 ,运动时间为t 秒，则能反响y 与 t 之间函数关系的大体图象是().二、填空题（共 6 个小题，每题 3 分，共 18 分）.11. ax2bx c 0(a0) 的解是 x1 5, x23, 那么抛物线 y ax 2bx c( a 0) 与 x 轴的两个交点的坐标分别是______________ ．12.. 二次函数 y=ax 2+bx+c（ a≠0）的图象以以下图，依据图象写出一条此函数的性质 ____________ ．第 12题图13. 如图，⊙O的半径为1，第 13题图ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D， E在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______________.14.如，二次函数y ax2bx c的象的称是直 x＝1，以下：① a0, b0,② 2a b0,③ a b c0,④ a b c0,⑤当x1，y随 x的增大而减小，此中正确的选项是.第 14第 1515.如，⊙ O的外切正六形ABCDEF的2，中暗影部分的面__________16. 如，一段抛物：y x( x2) （0≤x≤2）， C1，它与x交于点O，A1；将C1点A1旋 180°得 C ，交 x 于点 A；将 C 点 A 旋 180°得 C ，交 x 于点 A ；⋯，这样行下222233去，直至得 C10．（ 1）写出抛物 C2的分析式：；（2）若 P（ 19， a）在第 10 段抛物 C10上， a =_________ ．三、解答（每小 5 分,共 20分）17.已知二次函数 y(t 1)x22(t 2) x 3在 x0 与 x 2 的函数相等．2（ 1）求二次函数的分析式；（ 2）若一次函数y kx 6的象与二次函数的象都点 A （ 3 ，m），求 m 与 k 的。

2023北京西城外国语学校初三(上)期中数学(含答案)

2023北京西城外国语学校初三(上)期中数学(含答案)

2023北京西城外国语学校初三（上）期中数学1．如图图形中，是既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C．D．2．抛物线y＝﹣（x+1）2+2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝2C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣23．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则（）A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与⊙O的位置关系无法确定5．关于二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（）A．有两个交点B．有一个交点C．没有交点D．无法判断6．点A（0，y1），B（5，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+c的图象上，y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法比较7．在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD8．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P 在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P 点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为．10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．11．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k＝．12．（2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝°．13．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），则关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为．14．（2分）一条弦恰好等于圆的半径，则这条弦所对的圆周角为．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x 轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为6，则CM长的最大值是．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠ABP＝∠BAC．18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．19．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且E是CD的中点．（1）求证：∠ADC＝∠BDO；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．20．（5分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出﹣3≤x≤0时y的取值范围．21．（5分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．22．（5分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？23．（6分）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少米？24．（6分）如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD ＝OB．（1）求证：DA是⊙O的切线；（2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为4，求线段EF的长．25．（6分）已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+a+1．（1）求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）若点A（n+1，y1），B（n﹣2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1（a＞0）上，且y1＜y2，求n的取值范围．26．（6分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．点D为△ABC内一点，且有∠BDA＝90°，点P为BC中点，连接DP．（1）连结AP并证明∠BDP＝45°；（2）写出线段AD，BD，PD之间的数量关系，并证明．27．（6分）对于平面直角坐标系：xOy内任意一点P．过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．（1）点A（2，0），B（4，4），C（﹣2，）的垂点距离分别为，，．（2）点P在以Q（，1）为圆心，半径为3的⊙Q上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围；（3）点T为直线l：y＝x+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．参考答案1．【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．2．【分析】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+2，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出抛物线的对称轴．3．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．4．【分析】先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．【解答】解：∵点A（4，3）到圆心O的距离OA＝＝5，∴OA＝r＝5，∴点A在⊙O上，故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．5．【分析】令y＝0，得到关于x的一元二次方程，然后由Δ＞0即可判断．【解答】解：令y＝0，则x2﹣3x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象与x轴有两个交点，故选：A．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，正确掌握方程的根的情况和抛物线与x 轴交点的个数间的关系是解题的关键．6．【分析】由抛物线的解析式得出对称轴，利用二次函数的图象与性质解答可得．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝2，∵点A（0，y1），B（5，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+c的图象上，且点B离对称轴较远，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得出抛物线上离对称轴水平距离越大，函数值越大是解题的关键．7．【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，＝，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【解答】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，∴＝，∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．8．【分析】结合图1分别画出A、B、C、D四种函数图象，即可判断．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别画出函数的图象是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，由旋转90°可知，△OP A≌△OP′B，则P′B＝P A＝3，BO＝OA＝2，由此确定点P′的坐标．【解答】解：如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，∵线段OP绕点O顺时针旋转90°，∴∠POP′＝∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠P′OB，且OP＝OP′，∠P AO＝∠P′BO＝90°，∴△OAP≌△OBP′（AAS），即P′B＝P A＝3，BO＝OA＝2，∴P′（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．【点评】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的条件，确定全等三角形．10．【分析】根据抛物线开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点的位置即可得到a、b、c符号，从而可得答案．【解答】解：抛物线开口向上，∴a＞0，对称轴直线在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＜0，而抛物线与y轴交点在负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握a、b、c符号的判定方法．11．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝0，解得k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．12．【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，则利用互余计算出∠D＝40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．【分析】关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n交点的横坐标．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx＝mx+n的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．14．【分析】根据⊙O的一条弦长恰好等于半径知：这条弦和两条半径组成了等边三角形．所以这条弦所对的圆心角是60°，再根据弦所对的圆周角有两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意，弦所对的圆心角是60°，①当圆周角的顶点在优弧上时，则圆周角＝×60°＝30°；②当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的性质，和第一种情况的圆周角是互补，等于150°．故答案为：30°或150°．【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是注意一题多解．15．【分析】依据旋转的性质，即可得到∠OAE＝60°，再根据OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，即可得出AE＝2，AC＝2．最后在Rt△ABC中，可得到．【解答】解：依题可知，∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，AC＝AE，∠OAE＝60°，在Rt△AOE中，OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，∴AE＝2，∴AC＝2．∴在Rt△ABC中，．故答案为：．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．16．【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′，因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大，由题意得，OA＝OB＝OC＝6，OO′＝OA＝3＝O′M，在Rt△O′OC中，OC＝6，OO′＝3，∴O′C＝＝3，∴CM＝CO′+O′M＝3+3，故答案为：3+3．【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，理解“圆外一点到圆上任意一点的最大距离”的计算方法是解决问题的关键．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．【分析】（1）根据作法即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于该弧所对的圆心角的一半即可完成下面的证明．【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；（2）证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠BPC．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半），∴∠ABP＝∠BAC．故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．18．【分析】（1）先根据题意求出Δ的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系即可得出结论；（2）利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于m的方程，解方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+3）﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0，∴（x﹣m﹣2）（x﹣1）＝0，∴x1＝m+2，x2＝1．∵方程两个根的绝对值相等，∴m+2＝±1．∴m＝﹣3或﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式Δ与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．19．【分析】（1）由垂径定理和圆周角定理即可证得：∠ADC＝∠BDO；（2）设OO半径为r，在Rt△OED中用勾股定理即可求得⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，∵OD＝OC，E是CD的中点，∴OE⊥CD，∴弧AD＝弧AC，∴∠ADC＝∠ABD，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠ABD，∴∠ADC＝∠BDO；（2）解：设OO半径为r，∴OC＝OD＝OA＝r，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∵CD＝4，E点是CD的中点，∴DE＝CD＝2．由（1）知，OE⊥CD，∴∠OED＝90°，在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣2）2+（2）2＝r2，解得r＝3，∴OO半径为3．【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理，连接OC构造垂径定理是解决此题的关键．20．【分析】（1）利用配方法可把抛物线解析式化顶点式；（2）先解方程﹣x2﹣2x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），再确定抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3，＝﹣（x+1）2+4；（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；如图，（3）由图象可得，当﹣3≤x≤0时，0≤y≤4．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．21．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，AB＝AC，根据旋转的性质得出∠DAE＝60°，AE＝AD．求出∠EAB＝∠DAC，证△EAB≌△DAC即可；（2）求出∠AEB＝105°，求出∠AED，即可得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD．∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．∴∠EAB＝∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC，∴∠AEB＝∠ADC；（2）如图，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形，∴∠AED＝60°，又∵∠AEB＝∠ADC＝105°，∴∠BED＝105°﹣60°＝45°．【点评】本题考查了全等三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键．22．【分析】（1）解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）2＝第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；（2）第三天收到捐款钱数×（1+每次增长的百分率）＝第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．【解答】解：（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，10000×（1+x）2＝12100，解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）；答：捐款增长率为10%．（2）12100×（1+10%）＝13310元．答：第四天该单位能收到13310元捐款．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2＝第三天收到捐款钱数．23．【分析】由点A、B的坐标求出函数表达式y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0，即可求解．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示．则点A的坐标为（0，），顶点为B（3，）．设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+，∵点A（0，）在抛物线上，∴a（0﹣3）2+＝，解得a＝﹣．∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，解得x＝8或x＝﹣2（不合实际，舍去）．即OC＝8．答：小丁此次投掷的成绩是8米．【点评】本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解．24．【分析】（1）连接AO，由∠ABC＝22.5°求出∠AOD＝45°，再由AD＝OB、OA＝OB得到∠AOD＝∠D＝45°，从而得到∠OAD＝90°，得证DA是⊙O的切线；（2）由AE⊥BD和直径为4结合垂径定理求得∠OAE、∠E和AE的长度，再结合∠ABC的度数求出∠AFE和∠F AE的大小，从而求出线段EF的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，∵OA＝OB，AD＝OB，∴OA＝AD，∴∠AOD＝∠D＝45°，∴∠OAD＝90°，∴DA是⊙O的切线．（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，∵直径为4，∴OA＝OE＝2，∴AE＝2，∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，∴∠OAB＝ABC＝22.5°，∴∠F AE＝∠OAB+∠OAE＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠AFE＝180°﹣∠F AE﹣∠E＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠AFE＝∠F AE，∴EF＝AE＝2．【点评】本题考查了切线的定义、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的三边关系和等腰三角形的判定与性质，第一问解题的关键是利用圆周角定理求出∠AOD的度数和利用等边对等角求出∠D的大小，第二问解题的关键是通过垂径定理判断出∠AFE＝∠F AE，然后利用等角对等边求出线段EF的长度．25．【分析】（1）先配成顶点式，求出二次函数图象的对称轴及顶点坐标；（2）分两种情况，①若A（n+1，y1）在直线x＝1的右边，B（n﹣2，y2）在直线x＝1的左边，列不等式求出解集，②若A（n+1，y1）在直线x＝1的左边，B（n﹣2，y2）在直线x＝1的左边，列不等式求出解集．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+1．＝a（x2﹣2x+1）+1＝a（x﹣1）2+1，∴这个二次函数图象的对称轴是直线：x＝1，顶点坐标（1，1）；（2）∵a＞0，∴二次函数图象开口向上，①若A（n+1，y1）在直线x＝1的右边，B（n﹣2，y2）在直线x＝1的左边，由题意可得，1﹣（n﹣2）＞（n+1）﹣1，∴0＜n＜，②若A（n+1，y1）在直线x＝1的左边，B（n﹣2，y2）在直线x＝1的左边，由题意可得，n+1≤1，∴n≤0，综上所述：n＜．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．26．【分析】（1）通过证明点A，点B，点P，点D四点共圆，可得∠BAP＝∠BDP＝45°；（2）由“SAS”可证△APD≌△BPH，可得BH＝AD，即可求解．【解答】（1）证明：如图，连接AP，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，∴AP＝BP＝CP，AP⊥BP，∠BAP＝∠ABC＝45°，∴∠APB＝∠ADB＝90°，∴点A，点B，点P，点D四点共圆，∴∠BAP＝∠BDP＝45°；（2）解：BD＝AD+PD，理由如下：如图，过点P作PH⊥PD，交BD于H，∵PH⊥PD，∠BDP＝45°，∴∠DPH＝∠APB＝90°，∠BDP＝∠DHP＝45°，∴∠BPH＝∠APD，PD＝PH，又∵BP＝AP，∴△APD≌△BPH（SAS），∴BH＝AD，∵PD＝PH，∠DPH＝90°，∴HD＝DP，∴BD＝BH+HD＝AD+DP．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．27．【分析】（1）先判断出MN＝OB，即可用两点间的距离公式求解；（2）先判断出h＝OP，再判断出PQ﹣OQ≤OP≤OQ+PQ，即可得出结论；（3）先求出点A，B坐标，进而求出OA，OB，再找出分界点，利用锐角三角函数求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，点A（2，0）的垂点距离为OA＝2，连接OB，过点B作BM⊥x轴于M，作BN⊥y轴于N，∴∠BNO＝∠BMO＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠MON＝∠BMN＝∠BNO＝90°，∴四边形OMBN是矩形，∴MN＝OB，∴点B（4，4）的垂点距离为MN＝OB＝＝4，同理：点C的垂点距离为＝，故答案为：2，4，；（2）如图2，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，连接OP，由（1）知，点P的垂点距离h＝OP，∵点Q的坐标为（，1），∴OQ＝2，∵PQ﹣OQ≤OP≤OQ+PQ，∴3﹣2≤OP≤3+2，∴1≤OP≤5，∴1≤h≤5；（3）如图3，设直线l与x轴，y轴的交点为A，B，针对于直线y＝x+6，令x＝0，则y＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，令y＝0，则x+6＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，过点O作OM⊥l于M，∴AM＝OA•cos∠OAB＝2•cos60°＝，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，同理：AC＝，即OC＝，∵OA＝ON，∠BAO＝60°，∴△AON是等边三角形，∴OD＝OA＝，∴t＝﹣或﹣≤t＜0．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了矩形的判定和性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，找出分界点是解本题的关键．。

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2015-2016学年北京市西城区宣武外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）2．（3分）在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，tanE=（）A．B．C．D．3．（3分）已知如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．84．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB=72°，则∠ACB的度数为（）A．18°B．30°C．36°D．72°5．（3分）把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+7 D．y=（x+2）2+7 6．（3分）将抛物线y=2x2向下平移1个单位，向右平移1个单位得到的抛物线是（）A．y=2（x+1）2﹣1 B．y=2（x﹣1）2﹣1 C．y=2x2+1 D．y=2x2﹣17．（3分）如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（）A．msin40°B．mcos40° C．mtan40° D．8．（3分）等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（3分）函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C． D．10．（3分）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，共6个小题，共18分）11．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是．12．（3分）在半径为1的圆中，120°的圆心角所对的弧长是．13．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=．14．（3分）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为．15．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的解是．16．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c请根据图象写出该图象两条性质：．三、解答题（每题5分，共30分）17．（5分）2cos30°+sin45°﹣tan60°．18．（5分）已知函数y=x2+bx﹣1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的解析式；（2）直接写出它的顶点坐标和对称轴．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，b=17，∠B=45°，求a、c与∠A．20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB=6，AC=5，求tanA的值．21．（5分）已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AD=CB．求证：AE=CE．22．（5分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3．（1）它与y轴的交点的坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围．四、解答题（每题5分，共20分）23．（5分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．24．（5分）如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）25．（5分）如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8．求：△ABC的面积．（结果可保留根号）26．（5分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）阅读下面的材料小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα=，tan，求α+β的度数．小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰三角形，因此可求得α+β=∠ABC=°请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=°．28．（7分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点A（0，1），B（1，﹣2）和点C（﹣1，6）．（1）求二次函数表达式；（2）若m＞n＞2，比较m2﹣4m与n2﹣4n的大小；（3）将抛物线y=ax2+bx+c平移，平移后图象的顶点为（h，k），若平移后的抛物线与直线y=x﹣1有且只有一个公共点，请用含h的代数式表示k．29．（8分）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；②抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是；（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．2015-2016学年北京市西城区宣武外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【解答】解：y=（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．2．（3分）在△EFG中，∠G=90°，EG=6，EF=10，tanE=（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠G=90°，EG=6，EF=10，∴FG=8，∴tanE===．故选：B．3．（3分）已知如图⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8【解答】解：连接OA，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，∵圆心O到弦AB的距离OM的长为3，由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=AB，由勾股定理可得，AM=4，所以AB=8．故选：D．4．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB=72°，则∠ACB的度数为（）A．18°B．30°C．36°D．72°【解答】解：∵∠AOB=72°，∴∠ACB=36°．故选：C．5．（3分）把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+7 D．y=（x+2）2+7【解答】解：y=x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1，=（x﹣2）2﹣1．故选：A．6．（3分）将抛物线y=2x2向下平移1个单位，向右平移1个单位得到的抛物线是（）A．y=2（x+1）2﹣1 B．y=2（x﹣1）2﹣1 C．y=2x2+1 D．y=2x2﹣1【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），而点（0，0）下平移1个单位，向右平移1个单位得到对应点的坐标为（1，﹣1），所以平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣1）2﹣1．故选：B．7．（3分）如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（）A．msin40°B．mcos40° C．mtan40° D．【解答】解：∵cos40°=，∴BC=AB•cos40°=mcos40°．故选：B．8．（3分）等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，则AB=AC=13cm，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=5，在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5，∴AD==12，∴tanB==．故选：D．9．（3分）函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C． D．【解答】解：当a＞0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y=ax+1的图象应在一、二、三象限，故可排除D；当a＜0时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y=ax+1的图象应在一二四象限，故可排除B；当a=0时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．正确的只有C．故选：C．10．（3分）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：设P点运动速度为v（常量），AB=a（常量），则AP=vt，PB=a﹣vt；则阴影面积S===﹣+t由函数关系式可以看出，D的函数图象符合题意．故选：D．二、填空题（每题3分，共6个小题，共18分）11．（3分）在函数y=中，自变量x的取值范围是x≥1．【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．12．（3分）在半径为1的圆中，120°的圆心角所对的弧长是．【解答】解：∵圆心角为120°，R=1，∴l===．故答案为．13．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=x2+1（答案不唯一）．【解答】解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）．故答案为：x2+1（答案不唯一）．14．（3分）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为1：2．【解答】解：∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米．此时他与水平地面的垂直距离为2米，根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为4米．所以这个坡面的坡度比为2：4=1：2．15．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3．【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3．故答案为：x1=﹣1，x2=3．16．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c请根据图象写出该图象两条性质：①开口方向向下；②对称轴x=1，当x＞1时，y随着x的增大而减小，当x＜1时，y 随着x的增大而增大．．【解答】解：如图，抛物线y=ax2+bx+c的性质：①开口方向向下；②对称轴x=1，当x＞1时，y随着x的增大而减小，当x＜1时，y随着x的增大而增大．故答案为：①开口方向向下；②对称轴x=1，当x＞1时，y随着x的增大而减小，当x＜1时，y随着x的增大而增大．三、解答题（每题5分，共30分）17．（5分）2cos30°+sin45°﹣tan60°．【解答】解：原式=2×+×﹣=1．18．（5分）已知函数y=x2+bx﹣1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的解析式；（2）直接写出它的顶点坐标和对称轴．【解答】解：（1）把点（3，2）代入y=x2+bx﹣1得：9+3b﹣1=2∴b=﹣2，∴函数的解析式为y=x2﹣2x﹣1；（2）∵此抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴这个图象的顶点坐标（1，﹣2），对称轴x=1．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，b=17，∠B=45°，求a、c与∠A．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=45°，∴∠A=90°﹣∠B=45°，∴∠A=∠B，∴a=b=17，∴c==17．20．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB=6，AC=5，求tanA的值．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．…（1分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=5，∴BC===．…（2分）∴tanA==．…（4分）21．（5分）已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AD=CB．求证：AE=CE．【解答】解：由圆周角定理可得：∠ADE=∠CBE，在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE=CE．22．（5分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣3．（1）它与y轴的交点的坐标为（0，﹣3）；（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；（3）当﹣1＜x＜4时，求y的取值范围．【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，所以它与y轴的交点的坐标为（0，﹣3）；（2）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…图象如图所示：；（3）抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）；当﹣1＜x＜1时，﹣4＜y＜0；当1≤x＜4时，﹣4＜y＜5．四、解答题（每题5分，共20分）23．（5分）已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．【解答】解：（1）当k=3时，函数y=2x+1是一次函数．∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3．…（1分）（2）当k≠3时，y=（k﹣3）x2+2x+1是二次函数．∵二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴b2﹣4ac≥0．…（2分）∵b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）=﹣4k+16，∴﹣4k+16≥0．…（3分）∴k≤4且k≠3．…（4分）综合（1）（2）可知，k的取值范围是k≤4．…（5分）24．（5分）如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）【解答】解：如图，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°，∴∠APB=∠PBC﹣∠PAC=30°，∴∠PAC=∠APB．∴PB=AB=400米．在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400米，∴PC=PB•sin∠PBC=400×=200=346.4≈346（米）．答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米．25．（5分）如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8．求：△ABC的面积．（结果可保留根号）【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠CDA=90°，∴=cot∠DAC=cot60°=，即AD=CD×．在Rt△BDC中，∵∠B=45°，∴∠BCD=45°，∴CD=BD．∵AB=DB+DA=CD+CD×=8，∴CD=12﹣4．=AB×CD=×8×（12﹣4）=48﹣16．∴S△ABC答：△ABC的面积为48﹣16．26．（5分）如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余∴∠BCD=∠BAC．（3分）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠ACO=∠BCD．（5分）（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，CE=CD=×24=12cm，（6分）在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）解得R=13，∴2R=2×13=26cm．答：⊙O的直径为26cm．（10分）五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）阅读下面的材料小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tanα=，tan，求α+β的度数．小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰三角形，因此可求得α+β=∠ABC=45°请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=45°．【解答】解：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰三角形，因此可求得α+β=∠ABC=45°；参考小敏思考问题的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=α﹣β，由此可得α﹣β=45°．故答案为：45；4528．（7分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点A（0，1），B（1，﹣2）和点C（﹣1，6）．（1）求二次函数表达式；（2）若m＞n＞2，比较m2﹣4m与n2﹣4n的大小；（3）将抛物线y=ax2+bx+c平移，平移后图象的顶点为（h，k），若平移后的抛物线与直线y=x﹣1有且只有一个公共点，请用含h的代数式表示k．【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0，1），B（1，﹣2）和点C（﹣1，6）．∴∴，∴二次函数表达式为y=x2﹣4x+1．（2）∵当x＞2时，y随x的增大而增大，∴当m＞n＞2，时，m2﹣4m+1＞n2﹣4n+1，即m2﹣4m＞n2﹣4n．（3）由（1）知，a=1．设平移后的抛物线的表达式为y=（x﹣h）2+k，∵直线与抛物线有且只有一个公共点，∴方程x﹣1=（x﹣h）2+k有两个相等的实数根，整理得：x2﹣（2h+1）x+h2+k+1=0，∴△=（2h+1）2﹣4（h2+k+1）=0，∴k=h﹣．29．（8分）已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”．（1）①如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；②抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，求m，n的值．【解答】解：（1）①过点B作BN⊥x轴于N，如图2，∵△AMB为等腰直角三角形，∴∠ABM=45°，∵AB∥x轴，∴∠BMN=∠ABM=45°，∴∠MBN=90°﹣45°=45°，∴∠BMN=∠MBN，设B点坐标为（n，n），代入抛物线y=x2，得n=n2，∴n=1，n=0（舍去），∴B（1，1）∴MN=BN=1，∴MB==，∴MA=MB=，在Rt△AMB中，AB==2，∴抛物线y=x2的“完美三角形”的斜边AB=2．②∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；故答案为：相等．（2）∵抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的形状相同，∴抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的“完美三角形”全等，∵抛物线y=ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线y=ax2的“完美三角形”斜边的长为4，∴B点坐标为（2，2）或（2，﹣2），把点B代入y=ax2中，∴．（3）∵y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1，∴，∴mn﹣4m﹣1=0，∵抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n，∴抛物线y=mx2的“完美三角形”斜边长为n，∴B点坐标为，∴代入抛物线y=mx2，得，∴mn=﹣2或n=0（不合题意舍去），∴．。

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