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2020高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练46

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2020年高考数学一轮总复习 第八章平面解析几何 课时规范练理含解析

2020年高考数学一轮总复习 第八章平面解析几何 课时规范练理含解析

8-1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时规范练(授课提示：对应学生用书第299页)A 组 基础对点练1．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 22．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( D ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝04．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( C ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)6．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 7．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( A )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝08．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)，且与线段MN 相交，则直线l的斜率k 的取值范围是( A ) A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4解析：如图所示，∵k PN ＝1－－1－－＝34，k PM ＝1－－1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.9．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( C ) A ．－12B ．1C ．2D ．1210．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝011．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( A ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝012．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0互相垂直”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( B ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)14．已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为 9 .解析：由题意知，2n ＝m (n －1)，即m ＋2n ＝mn ， 得2m ＋1n＝1，又m ，n 为正整数，∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n ≥9.当且仅当2n m ＝2m n时取等号．B 组 能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( D ) A.π3 B ．π6C.π4D ．3π4解析：令x ＝π4，得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，得a ＝－b ，易得直线斜率k ＝a b ＝－1. 2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝03．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( A ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝04．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－345．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( C ) A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝06．若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( D ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2解析：∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.7．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( C ) A.103 B ．－103C.1013D ．－10138．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( B ) A ．(0,1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，129．过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为 2x ＋y －4＝0 .解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.10．已知直线l 经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则直线l 的方程为 x ＋2y ＋5＝0 .解析：∵直线l 的方向向量为(2，－1)，∴直线l 的斜率为－12，∵直线l 过点(－5，0)，∴直线l 的方程为x ＋2y ＋5＝0.11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是 [1,3] ．解析：直线y ＝k (x －1)恒过点P (1,0)，且与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，画出图形(如图所示)，则直线落在阴影区域内．∵k PA ＝2－03－1＝1，k PB ＝3－02－1＝3，∴k 的取值范围是[1,3]．12．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为 16 .解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.8-2 直线的交点与距离公式课时规范练(授课提示：对应学生用书第301页)A 组 基础对点练1．(2016·高考北京卷)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( C ) A ．1 B ．2 C. 2D ．2 22．(2018·邢台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的 ( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a a －＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 4．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( A ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6D ．k >－25．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( B ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)6．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点是(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( D ) A ．4 B ．13 C.15D ．177．已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( B )A ．4B ．132C.21313D ．713268．圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线l ：x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( C ) A ．36 B ．18 C ．6 2D ．5 2解析：圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32， 圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.9．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝ 2 .解析：圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为原点，则圆心到直线3x －4y ＋5＝0的距离为|0－0＋5|32＋－2＝1，在△OAB 中，点O 到边AB 的距离d ＝r sin 30°＝r2＝1，所以r ＝2.10．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为 0<d <2 .解析：|OP |＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条． 11．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是 3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0 .解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋－＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解析：(1)易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA |＝10.B 组 能力提升练1．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( D ) A ．2 B ．4 C ．5D ．102．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( C ) A ．(－2,4) B ．(－2，－4) C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 联立y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.3．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( D ) A ．－ 6B ．± 6C ．－ 5D ．± 54．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是 5 .解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.5．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为 94.解析：因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3， 所以－2＋－m2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．6．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是 (2,4) ．解析：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－－1－7＝－1，所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0，①BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P (2,4)， 此点即为所求点．因为|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |， 取异于P 点的任一点P ′，则|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D | ＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |)>|AC |＋|BD |＝|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |. 故P 点就是到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点．7．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是 6x －8y ＋1＝0 . 解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x－3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.∴直线l 的方程为y＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，设直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ，∴6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x －a2＋y －b2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋ x 2＋2x ＋10的最小值为 5 2 .解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝x ＋2＋－2＋x ＋2＋－2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点 A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和．设点 A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝－1＋2＋＋2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.9．已知直线l ：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0. (1)求证：不论m 为何实数，直线l 过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程． 解析：(1)证明：直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．(2)过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)， 设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ，把两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4，∴直线方程为y ＝－2x －4.8-3 圆的方程课时规范练(授课提示：对应学生用书第303页)A 组 基础对点练1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝22．直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( A )A ．k <－35或k >35B ．－35<k <35C ．－34<k <34D ．k <－34或k >343．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( B ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1D ．174．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( A ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝15．(2018·长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( A ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.6．(2016·高考天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为 (x －2)2＋y 2＝9 .解析：设圆心为(a,0)(a >0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，得a ＝2，半径r ＝a －2＋－52＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.7．(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 (－2，－4) ，半径是 5 .解析：由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．8．(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0 .解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋0＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.9．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是 x ＋y －3＝0 .解析：验证得M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝4－23－1＝1，则k l ＝－1，故直线l 的方程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0. 10．已知圆C 经过点(0,1)，且圆心为C (1,2)． (1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长． 解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则|－k －3|1＋k 2＝2，所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝－2＋－1－2－2＝2 2.11．在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组 能力提升练1．方程|y |－1＝1－x －2表示的曲线是( D )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆2．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝33．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( B ) A ．7 B ．6 C ．5D ．44．已知圆M 的圆心在抛物线x 2＝4y 上，且圆M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则圆M 的方程是( A )A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0 C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0 D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝05．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：直线AC 为x ＋2y －4＝0，点O 到直线AC 的距离为d ＝|－4|5＝455>1，又|OA |＝13，|OB |＝5，|OC |＝37.由题意知公共点为(0，－1)或(6，－1)．故半径为1或37. 6．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝4 .解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.7．(2018·运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2 .解析：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝1 .解析：直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.9．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝5 .解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 ； (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 －2－1 .解析：(1)过点C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC (图略)，则|CM |＝|OT |＝1，|AM |＝12|AB |＝1，所以圆的半径r ＝|AC |＝|CM |2＋|AM |2＝2，从而圆心C (1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x ＝0得，y ＝2±1，则B (0，2＋1)， 所以直线BC 的斜率为k ＝2＋－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1×(x －0)，即y ＝x ＋2＋1， 令y ＝0得，x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题意可得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2， 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径＝ 3.∴圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意得，|3k ＋1|k 2＋1＝1， 解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |， 所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋a －2≤3.整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练(授课提示：对应学生用书第305页)A组基础对点练1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( B ) A．相切B．相交C．相离D．不确定2．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( B )A．6 B．4C．3 D．23．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( D )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或124．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( C )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．5．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( C ) A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)6．(2016·高考山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( B )A．内切B．相交C．外切D．相离7．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( B )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝08．过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( B ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－149．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( D ) A ．－ 6 B ．± 6 C ．－ 5D ．± 5解析：易求得圆C 被y 轴截得的弦长为2，得|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.10．若圆x 2＋y 2－4mx ＋(2m －3)y ＋4＝0被直线2x －2y －3＝0所截得的弦最长，则实数m 的值为 1 .解析：圆x 2＋y 2－4mx ＋(2m －3)y ＋4＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2m ，－m ＋32.∵圆x 2＋y 2－4mx ＋(2m －3)y ＋4＝0被直线2x －2y －3＝0所截得的弦最长，∴圆心在直线上， ∴4m ＋2m －3－3＝0，解得m ＝1，满足圆的方程， ∴m ＝1.11．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在的直线方程为x ＋y －2＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上． (1)求矩形ABCD 的外接圆方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长．解析：(1)依题意得AB ⊥AD ，∵k AB ＝－1， ∴k AD ＝1，∴直线AD 的方程为y －1＝x ＋1， 即y ＝x ＋2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (0,2)．∵矩形ABCD 的外接圆是以P (2,0)为圆心，|AP |＝22为半径的圆，∴方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可整理为(x ＋y －5)＋k (y －2x ＋4)＝0，k ∈R ，∴联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，y －2x ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴直线l 过定点M (3,2)．又∵点M (3,2)在圆内，∴直线l 与圆相交． ∵圆心P 与定点M 的距离d ＝5， ∴最短弦长为28－5＝2 3. 12．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y .将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， 即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85.(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.B 组 能力提升练1．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( A ) A.45π B ．34π C ．(6－25)πD ．54π 2．已知直线l ：y ＝kx ＋b ，曲线C ：x 2＋y 2＝1，则“b ＝1”是“直线l 与曲线C 有公共点”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( D ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．44．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( A ) A. 3 B ．2 C. 2D ．45．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝ 32.解析：由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示． ∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.6．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝ 4 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3,0)，D (x 4,0)，由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6，代入圆的方程，并整理，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝23，y 2＝3，所以x 1＝0，x 2＝－3，所以直线AC 的方程为y －23＝－3x ，令y ＝0得x 3＝2，直线BD 的方程为y －3＝－3(x ＋3)，令y ＝0得x 4＝－2，则|CD |＝|x 3－x 4|＝4.7．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为 x 2＋(y －1)2＝10 .解析：设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 43 .解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是 4 .解析：圆O 1与圆O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍， ∴|AB |＝2×5×255＝4. 10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解析：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k ＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.又因为圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.11．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k x 1－x 1－t＋k x 2－x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0， 即k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使x 轴平分∠ANB .8-5 椭圆课时规范练(授课提示：对应学生用书第307页)A 组 基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( B )A ．2B ．3C ．4D ．92．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( D ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <43．若对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 22＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( C ) A ．(1,2] B ．[1,2)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)4．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( D ) A ．8 B ．10 C ．12D ．15解析：由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34.根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15，故选D.5．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( A ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 6．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，两曲线的一个交点为P ，且|PF |＝4，则该椭圆的离心率为( A ) A.7－23B ．2＋13C.23 D ．127．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C 的离心率为( D ) A.12 B ．3－12C.32D ．3－18．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 (0,1) ．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k>2，解得0<k <1.9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是63.解析：由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63.10．(2018·湖南江西十四校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点M ()1，1任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A ，B 两点，l 与直线m ：3x ＋4y －12＝0交于C 点，记直线PA ，PB ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.试探究k 1＋k 2与k 3的关系，并证明你的结论．解析：(1)∵椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为a ＋c ，a －c ，依题意有a ＋c ＝3()a －c ⇒a ＝2c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝3c .故可设椭圆E 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，所以将其代入椭圆E 的方程得14c 2＋943c 2＝1⇒c 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为y －1＝k ()x －1，即y ＝kx －k ＋1，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2为l 与椭圆E 的两个交点．将y ＝kx －k ＋1代入方程3x 2＋4y 2－12＝0，化简得()4k 2＋3x 2－8()k 2－k x ＋4k 2－8k －8＝0.∴x 1＋x 2＝8k 2－8k 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－8k －84k 2＋3. ∴k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k ()x 1－1－12x 1－1＋k ()x 2－1－12x 2－1＝2k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －12x 1＋x 2－2x 1x 2－()x 1＋x 2＋1＝2k －128k 2－8k －2()4k 2＋34k 2－8k －8－()8k 2－8k ＋()4k 2＋3＝6k －35. 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ＋1，3x ＋4y －12＝0⇒3x ＋4()kx －k ＋1－12＝0，解得x ＝4k ＋84k ＋3，y ＝9k ＋34k ＋3，即C 点的坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋84k ＋3，9k ＋34k ＋3，∴k 3＝9k ＋34k ＋3－324k ＋84k ＋3－1＝6k －310.∴k 1＋k 2与k 3的关系为k 1＋k 2＝2k 3.B 组 能力提升练1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( D )A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 2．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为( C ) A.12 B ．23 C.34D ．453．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C ) A.24 B ．12 C.22D ．32解析：易得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ， 又a 2＝b 2＋c 2，可得c a ＝22. 4．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 B ．⎝⎛⎦⎥⎤0，255C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，355D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，4555．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( A ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 6．(2016·高考浙江卷)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A ) A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m <n 且e 1e 2>1 D ．m <n 且e 1e 2<17．(2018·湖北重点中学联考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为22. 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x2b 2＝1，两式相减得x 2－y 2a 2＝x 2－y 2b 2，又a ≠b ，所以x 2＝y 2＝a 2b 2a 2＋b 2，故四边形ABCD 为正方形，面积为4x 2＝4a 2b 2a 2＋b 2＝163，(*)又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4， 所以椭圆C 的离心率e ＝22.8．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是733. 解析：由圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋y －2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163， ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，∴P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733. 9．(2018·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍， 可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx消去y ，可得x 1＝69k 2＋4.由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89或k ＝－12.。

2019-2020年高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练

2019-2020年高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练

2019-2020年高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 【解】 (1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b . 令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．2．(xx·陕西高考)如图8­8­6，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. 图8­8­6(1)求椭圆E 的方程．(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【解】 (1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.3．给出双曲线x 2－y 22＝1. (1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．【解】 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4. 故求得直线方程为4x －y －7＝0.(2)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，且过点P (2，3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连结AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．【解】 (1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b2＝1，故a 2＝8，b 2＝4，从而椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)由题意知，E 点坐标为(x 0,0)，设D (x D,0)，则AE →＝(x 0，－22)，AD →＝(x D ，－22)， 再由AD ⊥AE 知，AE →·AD →＝0，即x 0x D ＋8＝0. 由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G ⎝⎛⎭⎪⎫8x，0. 故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8. 又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.① 从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8x 0.②将②代入椭圆C 的方程，得 (x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③ 再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0.解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．[能 力 练]扫盲区 提素能1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．【解】 (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 设D (t,0)(t ＞0)， 则FD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D ＞0)， 因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D ＞0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)． 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0)．2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x－2y ＝0.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围；(3)若点P 满足|PA |＝|PB |，求证：1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2为定值．【解】 (1)由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92.①由题意知ba ＝22，② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32，∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1.(2)由(1)知P (－3，0)．设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →，得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0. 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋332＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－332＋y 21＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113.又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]，∴113≤x 21＋113≤203，∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，203.(3)证明：由|PA |＝|PB |，知P 在线段AB 的垂直平分线上， 由椭圆的对称性可知A 、B 关于原点对称．①若A 、B 在椭圆的短轴顶点处，则点P 在椭圆的长轴顶点处，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2.若A 、B 在椭圆的长轴顶点处，则点P 在椭圆的短轴顶点处，此时1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1a2＋1a 2＋2b2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. ②当点A 、B 、P 不在椭圆顶点处时，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OP 的方程为y ＝－1kx ，设A (x 2，y 2)，B (－x 2，－y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 23＋2y 23＝1，解得x 22＝31＋2k 2，y 22＝3k 21＋2k2.所以|OA |2＝|OB |2＝x 22＋y 22＝＋k21＋2k2， 用－1k代换k ，得|OP |2＝＋k 22＋k2.∴1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2＝1＋2k 2＋k 2＋1＋2k2＋k2＋＋k2＋k2＝2. 综上，1|OA |2＋1|OB |2＋2|OP |2为定值2. 3．已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在y 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)设斜率不为0的动直线l 与C 1有且只有一个公共点P ，且与C 2的准线相交于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)设C 1，C 2的标准方程分别为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，x 2＝py ， ∵(0，－22)不符合x 2＝py ，∴该点必为椭圆上的点， 代入得a ＝2 2.即椭圆方程为y 28＋x 2b2＝1，若(4,1)在椭圆上，则有18＋16b2＝1，b 2＝1287＞a 2(不合题意)． 即(4,1)在抛物线上，∴p ＝16， 抛物线方程为x 2＝16y ，验证得⎝⎛⎭⎪⎫－1，116在抛物线上，(2，－2)不在抛物线上，∴(2，－2)在椭圆上，∴b 2＝4.故C 1，C 2的标准方程分别为y 28＋x 24＝1，x 2＝16y .(2)存在．设直线l 的方程为x ＝my ＋n ， 将其代入y 28＋x 24＝1，消去x 并化简整理得(1＋2m 2)y 2＋4mny ＋2n 2－8＝0， ∵l 与C 1相切，∴Δ＝16m 2n 2－4(1＋2m 2)(2n 2－8)＝0， ∴n 2＝4(1＋2m 2)， 设切点P (x 0，y 0)， 则y 0＝－2mn 1＋2m 2＝－8mn， x 0＝my 0＋n ＝n 2－8m 2n ＝4n.又直线l 与C 2的准线y ＝－4的交点Q (n －4m ，－4)， ∴以PQ 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4n (x －n ＋4m )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋8m n (y ＋4)＝0，化简并整理得x 2－4n x ＋(4m －n )x ＋8mn (y ＋2)＋(y ＋2)2＝0，当x ＝0，y ＝－2时，等式恒成立， 即存在定点M (0，－2)符合题意．4．(xx·湖北高考)一种画椭圆的工具如图8­8­7(1)所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图8­8­7(2)所示的平面直角坐标系．图8­8­7(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解】 (1)因为|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立；同理，|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立，所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝64k 2m 2－4()1＋4k 2(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12·|m |⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.② 将①代入②，得S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.因为0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号． 所以当k ＝0时，S △OPQ 取最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。

2020年高考数学理科一轮复习第8章平面解析几何第2讲课后作业

2020年高考数学理科一轮复习第8章平面解析几何第2讲课后作业

A 组 基础关1．已知过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行，则m 的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．1答案 B解析 由题意得，k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m＝12，所以m ＝－2.2．若直线l 1：(m －2)x －y －1＝0与直线l 2：3x －my ＝0互相平行，则m 的值等于( )A ．0或－1或3B ．0或3C ．0或－1D ．－1或3答案 D解析 当m ＝0时，两条直线方程分别化为－2x －y －1＝0,3x ＝0，此时两条直线不平行；当m ≠0时，由于l 1∥l 2，则m －23＝1m ，解得m ＝－1或3，经验证满足条件．综上，m ＝－1或3.故选D.3．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0 答案 D解析 解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，可得两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－197，37，又因为所求直线过原点，所以其斜率为－319，方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.解法二：根据题意可设所求直线方程为 x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，λ＝－45. 所以x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，整理得3x ＋19y ＝0.4．(2018·石家庄模拟)直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为( )A ．－24B ．24C ．6D ．±6答案 A解析 直线2x ＋3y －k ＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，0，直线x －ky ＋12＝0与x 轴的交点为(－12,0)， 因为直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点， 在x 轴上，所以k2＝－12，解得k ＝－24.5．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin2θ的值为( ) A.35 B ．45 C ．15 D ．－15 答案 B解析 直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，∴k l ＝－1－12＝2.∴tan θ＝2.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45.故选B. 6．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－2,1)答案 C解析设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0，|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－1，所以点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C.7．已知直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，则直线l 的一般式方程为( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x ＋y ＋1＝0C ．x －3y ＋7＝0D ．x ＋3y －5＝0答案 B解析 设l 与l 1的交点坐标为A (a ，y 1)， l 与l 2的交点坐标为B (b ，y 2)， ∴y 1＝－4a －3，y 2＝3b5－1，由中点坐标公式得a ＋b 2＝－1，y 1＋y 22＝2，即a ＋b ＝－2，(－4a －3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 5－1＝4，解得a ＝－2，b ＝0，∴A (－2,5)，B (0，－1)，∴l 的方程为3x ＋y ＋1＝0. 8．点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________． 答案 (0,3)解析 设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3)．9．(2018·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则实数c 的值是________．答案 2或－6解析 直线6x ＋ay ＋c ＝0的方程可化为3x ＋a 2y ＋c2＝0， 由题意得a 2＝－2且c2≠－1，解得a ＝－4，c ≠－2. 根据两平行直线的距离为21313可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c 232＋(－2)2＝21313，所以1＋c2＝±2，解得c ＝2或－6.10．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________．答案 2x ＋y －14＝0解析 由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.B 组 能力关1．直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A (1,1)对称的直线的方程为( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0 D ．4x －3y －12＝0答案 B解析 在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于点A 对称的点P ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋x ＝2，y ′＋y ＝2，得P ′(2－x,2－y )，所以4(2－x )＋3(2－y )－2＝0，即4x ＋3y －12＝0.2．(2018·宁夏银川九中模拟)已知b ＞0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3答案 B解析 由已知两直线垂直，得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b ＞0，∴ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2 b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，∴(ab )min ＝2.故选B.3．两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34]答案 D解析 当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为(－1－2)2＋[2－(－3)]2＝34，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34]．故选D.4．(2018·广州综合测试二)已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 答案 D解析 设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A 时，m ＝－23，所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.故选D.5．已知曲线y ＝4x 在点P (1,4)处的切线与直线l 平行且两直线之间的距离为17，则直线l 的方程为________． 答案 4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0解析 y ′＝－4x 2，所以曲线y ＝4x 在点P (1,4)处的切线的斜率k ＝－412＝－4，则切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0.所以可设直线l 的方程为4x ＋y＋C ＝0，由|C ＋8|42＋1＝17，得C ＝9 或C ＝－25，所以所求直线方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.6．在△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________．答案 6x －5y －9＝0解析 由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5,1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0， B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3)． 于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.7．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线P A时，点P到直线l的距离最大．又直线P A的斜率k P A＝4－33＋2＝15，所以直线l的斜率k l＝－5.故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.。

高考数学一轮复习第八章 解析几何答案

高考数学一轮复习第八章 解析几何答案

第八章解析几何第40讲直线的方程及位置关系链教材·夯基固本激活思维1. ABCD 【解析】对于A，该方程不能表示过点P且垂直于x轴的直线，即点斜式只能表示斜率存在的直线，所以A不正确；对于B，该方程不能表示过点P且平行于x轴的直线，即该直线不能表示斜率为零的直线，所以B不正确；对于C，斜截式不能表示斜率不存在的直线，所以C不正确；对于D，截距式的使用条件是能表示在两坐标轴上都有非零截距的直线，所以D不正确；对于E，经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示，是正确的，该方程没有任何限制条件，所以E 正确．故选ABCD.2. B 【解析】化直线方程为y＝3x＋a，所以k＝tan α＝3.因为0°≤α<180°，所以α＝60°.3. B 【解析】由已知得k1＝1，k2＝m＋15.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，所以1×m＋15＝－1，即m＝－6. 故选B.4. C 【解析】由直线l的倾斜角为3π4得l的斜率为－1，因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.又直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，所以l1的斜率为33－a，故33－a＝－1，解得a＝6.5. ABC 【解析】当直线经过原点时，斜率为k＝2－0 1－0＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，解得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上可知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选ABC.知识聚焦1. (1) 向上方向平行或重合(2) [0，π)2. (1) tan α (2) y2－y1x2－x13. y －y 0＝k (x －x 0) y ＝kx ＋b Ax ＋By ＋C ＝0 A 2＋B 2≠04. (1) ①l 1∥l 2 l 1⊥l 2 k 1＝k 2，b 1＝b 2②A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1A 1A 2＋B 1B 2＝0 A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2＝A 2C 1 (2) ⎩⎪⎨⎪⎧A1x ＋B1y ＋C1＝0，A2x ＋B2y ＋C2＝05. (1) (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2) |Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)|C1－C2|A2＋B2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B【解析】 设直线的倾斜角为θ，因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ π3，3π4，所以当θ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3，π2时，k ＝tan θ＞3.当θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4时，k ＝tan θ＜－1，所以其斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选B.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞) 【解析】若要使l 过点P (2,2)，且与线段AB 相交，则k ≥k AP ＝4－23－2＝2或k ≤k BP ＝－3－2－4－2＝56，即k ≥2或k ≤56.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，56∪[2，＋∞)．(1) 【答案】 D 【解析】 因为sin θ＋cos θ＝55，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ cos θ＝15，所以2sin θcos θ＝－45，所以(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，所以tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.故选D. (2) 【答案】 AD【解析】 方法一：如图，当l 过点B 时，k l ＝－1，当l 过点A 时，k l ＝1，所以k l ∈[－1,1]，又k ＝tan α(α∈[0，π))，所以α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.(变式(2))方法二：由题可知l 的斜率存在，可设l ：y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，易知A ，B 两点在直线l 两侧，所以(k ＋1)·(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1，以下同方法一．【解答】 (1) 由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，整理得3x －y ＋3－53＝0；(2) x ＝－3，即x ＋3＝0；(3) y ＝4x －2，即4x －y －2＝0； (4) y ＝3，即y －3＝0；(5) 由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0；(6) 由截距式方程得x－3＋y－1＝1，整理得x ＋3y ＋3＝0.【解答】(1)由题意知，直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)，整理得4x －y －3＝0.(2) 由题意可知，直线的斜率k ＝tan 150°＝－33，所以直线的斜截式方程为y ＝－33x －2，整理得3x ＋3y ＋6＝0.(3) 根据题意可得，直线的两点式方程为y ＋12＋1＝x ＋22＋2，整理得3x －4y ＋2＝0.【解答】 方法一： (1) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1.综上可知，a ＝－1.(2) 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合； 当a ≠1时，l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23. 方法二：(1) 由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1.(2) 因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，解得a＝2 3.【答案】－10【解析】因为l1∥l2，所以4－m m＋2＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合)．因为l2⊥l3，所以2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.(1) 【答案】x＋3y－5＝0或x＝－1【解析】方法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－13，所以直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．故直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.方法二：当AB∥l时，有k＝k AB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，所以直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.(2) 【答案】 2或－6【解析】依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋132＋(－2)2＝21313，解得c＝2或－6.(1) 【答案】 BC【解析】直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172或－232，故选BC.(2) 【答案】 2 2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 【解析】显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意．设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k|1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k|1＋k2，所以k ＝2或k ＝－23. 所以直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 课堂评价 1.D【解析】由题意，直线的斜率为k ＝－33，即直线倾斜角的正切值是－33.又倾斜角∈[0°，180°)，因为tan 150°＝－33，故直线的倾斜角为150°，故选D.2.C【解析】因为A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，所以1＋m2＋2×0－2＝0，所以m ＝3.故选C.3.A【解析】若l 1∥l 2，则(3＋m )(5＋m )＝4×2，解得m ＝－1或m ＝－7.经检验，当m ＝－1时，l 1与l 2重合，所以m ＝－7.故“l 1∥l 2”是“m <－1”的充分不必要条件，故选A.4.x ＋2y －3＝05【解析】 当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的斜率为k ＝－12，所以当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0，最大距离为AB ＝5.5. 【解答】 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n|9＋1＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.第41讲 圆的方程链教材·夯基固本 激活思维 1. D 2. D 3.A【解析】根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4. (x －2)2＋y 2＝10【解析】 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，所以圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.5.5【解析】方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以⎩⎨⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，所以a ＋b －2＝0，① 又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以|a |＝|b |，②由①②得a ＝b ＝1，所以圆C 的半径为5. 方法二：因为圆C 经过点M (－1,0)和N (2,3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线y ＝－x ＋2上，又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C 到两坐标轴的距离相等，所以圆心C 在直线y ＝±x 上，因为直线y ＝－x 和直线y ＝－x ＋2平行，所以圆心C 为直线y ＝x 和直线y ＝－x ＋2的交点(1,1)，所以圆C 的半径为5.知识聚焦1. 定点 定长 (a ，b ) r D 2＋E 2－4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2 12D2＋E2－4F研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 AB 【解析】由题知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r (r ＞0)，则r sinπ3＝1，r cosπ3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ±332＝43. (2) 【答案】 213【解析】 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，所以△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＝213. (1) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918 【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎨⎧(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(2－b )2＝r 2，消去r 2，得b ＝5a －5.① 令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r2－a2， 所以在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r2－b2， 所以在x 轴上的截距之和是2a . 所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，所以b ＝56.所以r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－562＝16918.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －562＝16918. (2) 【答案】 x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解析】 由题知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又因为半径长r ＝D2＋E2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D2＜0，即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.【解答】 (1) 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图(1)，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(例2(1))(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图(2)，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(例2(2))(3)如图(3)，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.(例2(3))【解答】(1) 因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化为(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C(2,7)，半径r＝2 2.设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|1×2＋2×7－t|12＋22≤22，解得16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.(2) 记点Q(－2,3)．因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有公共点，知|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，解得2－3≤k≤2＋3.所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(1) 【答案】 BC【解析】 由题意知AB ＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB ：2x －y ＋2＝0，圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线l AB 的距离d ＝|2－0＋2|4＋1＝45＝455，所以S △PAB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455＋1＝2＋52， S △PAB 的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫455－1＝2－52. (2) 【答案】 5－27【解析】如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．则A (0,0)，B (4,0)，C (1，3)，设P (x ，y )，则PB→＝(4－x ，－y )，PC →＝(1－x ，3－y )，所以PB →·PC →＝(4－x )(1－x )－y (3－y )＝x 2－5x ＋y 2－3y ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322－3，其中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －322表示圆A 上的点P 与点M⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，32之间距离PM 的平方，由几何图形可得PM min ＝AM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1＝7－1，所以(PB →·PC →)min＝(7－1)2－3＝5－27.(例3(2))(1) 【答案】 A【解析】由点P 是x 轴上任意一点，知PM 的最小值为PC 1－1，同理PN 的最小值为PC 2－3，则PM ＋PN 的最小值为PC 1＋PC 2－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，所以PC 1＋PC 2＝P C 1′＋PC 2≥C 1′C 2＝52，即(PM ＋PN )min ＝PC 1＋PC 2－4≥52－4，故选A.(2) 【答案】 22【解析】设P (x ，y )，因为PA→·PB→≤3，所以x 2＋y 2≤4，即点P 在以原点为圆心，2为半径的圆O 上或圆内，又因为点P 在圆C 上，所以圆O 与圆C 内切或内含，即圆心距(－a )2＋a2≤2－1，所以－22≤a ≤22，所以a 的最大值为22.课堂评价 1.A【解析】 由题意可知圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，a ＋32，因为该圆过原点，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝1242＋(a －3)2，解得a ＝1，所以12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋322＝5，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故选A.2.ABD【解析】由圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，化为标准形式得(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.圆M 的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.令y ＝0，得x ＝0或x ＝8，故圆M 被x 轴截得的弦长为8；令x ＝0，得y ＝0或y ＝－6，故圆M 被y 轴截得的弦长为6，显然选项C 不正确．ABD 均正确．3.CD【解析】 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1，0)为圆心、1为半径的圆，y x －1表示圆上的点P (x ，y )与点M (1,0)连线的斜率，如图，易知，y x －1的最大值为33，最小值为－33.故选CD.(第3题)4. (0，－1)【解析】 因为圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1，所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆心为(0，－1)．5.3【解析】因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以P 为以原点为圆心的单位圆上一点，而直线x －my －2＝0过定点A (2,0)，所以d 的最大值为OA ＋1＝2＋1＝3.第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系链教材·夯基固本 激活思维 1.D【解析】圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0的圆心坐标为(2,3)，半径为2，因为直线l 过点(0,2)，被圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0截得的弦长为23，所以圆心到所求直线的距离为1，易知所求直线l 的斜率k 存在，设所求直线方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，所以|2k －1|k2＋1＝1，解得k ＝0或43，所以所求直线方程为y ＝43x ＋2或y ＝2.故选D.2. C 【解析】 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， 因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，所以点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内部，所以直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交． 3.D【解析】圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 2(2,1)，半径长r 2＝1.所以圆心距d ＝(－1－2)2＋(－1－1)2＝13，r 1＋r 2＝3，所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆相离，所以两圆有4条公切线．4. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4x ＋1＝0，x2＋y2－2x －2y ＋1＝0，解得x －y ＝0.圆C 1可化成(x －2)2＋y 2＝3，故C 1(2,0)，半径为3，圆心(2,0)到直线x －y＝0的距离为d ＝|2|12＋12＝2，故弦长为23－(2)2＝2.5.ACD【解析】将点(0,1)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得4＋16＝20>16，所以点(0,1)在圆C 外，故A 不正确；由圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16知圆心为(2，－3)，半径为r ＝4，则圆心(2，－3)到直线3x ＋4y －14＝0的距离d ＝|3×2＋4×(－3)－14|32＋42＝4＝r ，故B 正确；将点(2,5)代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的左边，则得0＋64＝64>16，所以点(2,5)在圆C 外，故C 不正确；圆心(2，－3)到直线x ＋y ＋8＝0的距离d ＝|2－3＋8|12＋12＝72≠r ，故D 不正确，故选ACD.知识聚焦1. < > ＝ ＝ > <2. d >r 1＋r 2 无 d ＝r 1＋r 2 一组 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的 |r 1－r 2| ≤<研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 26【解析】 圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝8，圆心C (0,1)，直线l ：kx －y －k ＋2＝0，即k (x －1)－(y －2)＝0，过定点P (1,2)，当AB 取最小值时，AB ⊥PC ，此时CP ＝2，故AB min ＝2CA2－CP2＝26.(2) 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53，53【解析】 因为A (0，a )，B (3，a ＋4)，所以AB ＝5，直线AB 的方程为y ＝43x ＋a .因为S△ABC ＝12AB ·h ＝52h ＝5，故h ＝2，因此，问题转化为在圆上存在4个点C ，使得它到直线AB 的距离为2.因为圆的半径为3，因此，圆心O 到直线AB 的距离小于1，即|3a|5<1，解得－53<a <53.(1) 【答案】 1023 【解析】易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且PC ＝2，所以最短弦的长为2r2－PC2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.(2) 【答案】 3 【解析】圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．【解答】 (1) 设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b|2＝10，所以b ＝1±25，所以切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2) 设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m|5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3) 因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.【解答】由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径长为2.当切线过原点时，设切线方程为y ＝kx ，则|k ＋2|k2＋1＝2，所以k ＝2±6，即切线方程为y ＝(2±6)x .当切线不过原点时，设切线方程为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a|2＝2，所以a ＝－1或a ＝3，即切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.【解答】因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m .(1) 当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2) 当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m－11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0，故两圆的公共弦长为2(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27. (1) 【答案】 9或－11 【解析】依题意可得C 1(0,0)，C 2(3,4)，则C 1C 2＝32＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m，25－m ＞0.当两圆外切时，r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9；当两圆内切时，|r 2－r 1|＝5，即|25－m －1|＝5，得25－m＝6，解得m ＝－11.(2) 【答案】 1 【解析】将x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4两式相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由题知22－(3)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ，a ＞0，解得a ＝1. 课堂评价 1.C【解析】圆C 2化简得(x －4)2＋(y －5)2＝35－m ，由圆的方程得C 1(1,1)，C 2(4,5)，半径分别为2和35－m ，因为两圆外切，所以(4－1)2＋(5－1)2＝35－m ＋2，解得m ＝26.故选C. 2.B【解析】由题意，过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.3. A【解析】因为圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(－2,0)，(0，－2)，所以AB＝22，所以△ABP 的面积S ＝12AB ·d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．4.BD【解析】 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a|12＋(－2)2＝1，所以a ＝±5，故选BD.5. 4【解析】 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5，所以AC ＝5×255＝2，所以AB ＝4.(第5题) 第43讲 椭 圆链教材·夯基固本 激活思维1. C2. D3. 724. x236＋y227＝15. 45 18 【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.知识聚焦1. (1) 焦点 焦距 (2) PF 1＋PF 2＝2a (2a ＞F 1F 2)2. F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2ca＝1－b2a21 0研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 C 【解析】 设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知设BF 的方程为x c ＋y b＝1，因为点O 到直线BF 的距离为3，所以bc a ＝3，又因为过F 垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以2b2a＝2，结合a 2＝b 2＋c 2，知a ＝4，b ＝2，故选C.(2) 【答案】x236＋y216＝1 【解析】 依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝25.又由OP ＝OF ＝OF ′，知∠FPF ′＝90°.在Rt△PFF ′中，PF ′＝FF ′2－PF2＝(4 5 )2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝PF ＋PF ′＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故椭圆C 的方程为x236＋y216＝1.(1) 【答案】x24＋y23＝1【解析】因为3AF1＝5AF2，由椭圆定义有AF1＋AF2＝4，解得AF2＝32，又AF2⊥x轴，故AF2＝b2a＝b22，所以b2＝3，故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2) 【答案】x23＋y22＝1【解析】如图，由已知可设F2B＝n，则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos∠F1AB＝4n2＋9n2－9n22·2n·3n＝13.在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·13＝4，解得n＝32.所以2a＝4n＝23，所以a＝3，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为x23＋y22＝1.(变式(2))(1) 【答案】 C【解析】椭圆方程可化为x211＋m＋y21m＝1，由题意知m>0，所以11＋m＜1m，所以a＝mm，所以椭圆的长轴长2a＝2mm.故选C.(2) 【答案】 8【解析】 因为椭圆x2m －2＋y210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，10－m ＞0，m －2＞10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.(3) 【答案】 3【解析】由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3，所以b 2＝3，即b ＝3.(1) 【答案】 D【解析】 由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， 设F 1F 2＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， 所以PF 2＝F 1F 2＝2c ，因为OF 2＝c ，所以点P 的坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )． 因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3 c 2c ＋a＝36，解得c a＝14，所以e ＝14，故选D.(例3(1))(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1 【解析】不妨设椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，所以c2a2≥14，即e ≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. (1) 【答案】255【解析】 不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得OP ＝PQ 2＝a 2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝OP OA＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a216b2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2—c 2)，所以椭圆C 的离心离e ＝255.(2) 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1 【解析】 由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，PF 1＝2PF 2， 所以PF 1＝43a ，PF 2＝23a ，又PF 1－PF 2≤F 1F 2，即23a ≤2c ，所以e ≥13，又0<e <1，所以椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫13，1.【解答】(1)由题意得c ＝3，c a＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x212＋y23＝1.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y2b2＝1，y ＝kx ，得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a2b2b2＋a2k2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2. 因为F2A →＝(x 1－3，y 1)，F2B →＝(x 2－3，y 2)， 所以F2A →·F2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)＋9＝0，将其整理为k 2＝a4－18a2＋81－a4＋18a2＝－1－81a4－18a2.因为22＜e ≤32，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18.所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫24，＋∞. 课堂评价 1. A2. C 【解析】 由椭圆x216＋y2m＝1的焦距为27，可得216－m ＝27或2m －16＝27，解得m ＝9或23.故选C.3. ACD【解析】由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，所以椭圆C 的方程为y23＋x 2＝1.如图，PQ ＝2b2a＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝43.故选ACD.(第3题)4.C【解析】 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝ca ＝12，故选C.5.4【解析】如图，设AB 的方程为ty ＝x ，F (c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＝－y 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x ，x2a2＋y2b2＝1，可得y 2＝a2b2b2t2＋a2＝－y 1y 2，所以△ABF 的面积S ＝12c |y 1－y 2|＝12c (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ca2b2b2t2＋a2≤cb ，当且仅当t ＝0时取等号．所以bc ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝4， 当且仅当b ＝c 时取等号，此时a ＝2. 所以椭圆E 的长轴长的最小值为4.(第5题) 第44讲 双曲线链教材·夯基固本 激活思维 1.A【解析】由双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，知c ＝4，a ＝2，b 2＝12，即双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.2.A【解析】 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a±y b ＝0，即bx ±ay ＝0，所以2a ＝bc a2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝c 2，所以e 2＝c2a2＝5，所以e ＝5.3. AC 【解析】 设双曲线方程为x29－y23＝λ，代入(3，2)得λ＝13，即x23－y 2＝1，故A 正确；由a ＝3，c ＝2，得e ＝23，故B 错误；焦点(2,0)在y ＝e x －2－1上，故C 正确；联立⎩⎪⎨⎪⎧x23－y2＝1，x －2y －1＝0，消去x 得y 2－22y ＋2＝0，可得Δ＝0，所以直线x －2y －1＝0与曲线C 只有1个交点，故D 错误．故选AC.4. A 【解析】 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.故选A.5. 5＋12 【解析】 将x ＝±c 代入双曲线的方程得y 2＝b4a2⇒y ＝±b2a，则2c ＝2b2a，即有ac ＝b 2＝c 2－a 2，由e ＝c a，可得e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)．知识聚焦 1. 焦点 焦距2. |x |≥a ，y ∈R |y |≥a ，x ∈R F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )ca ＝1＋b2a2研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 B 【解析】由y28＋x22＝1，得a 2＝8，b 2＝2，所以c 2＝6，得c ＝6，即椭圆的半焦距为6.设与双曲线x22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝λ，因为所求双曲线的焦点在y 轴上，则λ<0，双曲线方程化为y2－λ－x2－2λ＝1，设双曲线的实半轴长为m ，虚半轴长为n ，则m 2＝－λ，n 2＝－2λ， 所以m 2＋n 2＝－λ－2λ＝(6)2，解得λ＝－2.所以所求双曲线的方程为y22－x24＝1.故选B.(2) 【答案】 x24－y26＝1【解析】不妨设B (0，b )，由BA→＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c2a2－19＝1，即49·a2＋b2a2＝109，所以b2a2＝32①.又|BF →|＝b2＋c2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16②.由①②可得a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为x24－y26＝1.(1) 【答案】 y22－x24＝1【解析】因为所求双曲线与已知双曲线x22－y 2＝1有公共的渐近线，故可设双曲线方程为x22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)，得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x22－y 2＝－2，即y22－x24＝1.(2) 【答案】 x 2－y23＝1【解析】 设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得B (2,0)，C (2,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y23＝1.(1) 【答案】 (0,2) 【解析】对于焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的一个焦点(c,0)到渐近线bx ±ay ＝0的距离为|bc|b2＋a2＝b .本题中，双曲线x28－m＋y24－m＝1，即x28－m－y2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．故焦点到渐近线距离的取值范围是(0,2)．(2) 【答案】 y ＝±2x 【解析】由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .(1) 【答案】 D 【解析】不妨设P 为双曲线右支上一点，则PF 1>PF 2.由双曲线的定义得PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＋PF 2＝6a ，所以PF 1＝4a ，PF 2＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c ＞2a ，4a ＞2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理可得(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32， 即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选D. (2) 【答案】 x23－y29＝1【解析】 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以e 2＝1＋b2a2＝4，所以b2a2＝3，即b 2＝3a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 因为b2a2＝3，所以渐近线方程为y ＝±3x .则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|2 3 a －3a|2＝2 3 －32a ，d 2＝|2 3 a ＋3a|2＝23＋32a .又因为d 1＋d 2＝6， 所以23 －32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3， 所以b 2＝9.所以双曲线的方程为x23－y29＝1.(1) 【答案】655【解析】 设BF 1＝x ，则AF 2＝3x .由图及双曲线的定义知AF 1－AF 2＝2a ，BF 2－BF 1＝2a ，则AB ＋x －3x ＝2a ，BF 2－x ＝2a .因为AF 2⊥BF 2，所以AB 2＝AF2＋BF 2，即(2a ＋2x )2＝9x 2＋(2a ＋x )2，解得a ＝3x 2，所以AB ＝5x ，BF 2＝4x ，所以cos ∠BAF 2＝35.在△AF 1F 2中，由余弦定理知AF 21＋AF 2－2·AF 1·AF 2·cos ∠BAF 2＝F 1F 22＝4c 2，所以36x 2＋9x 2－108x25＝4c 2，所以c ＝313x 2 5，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝655.(例3(1))(2) 【答案】3【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc|a2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，F 2O ＝c ，所以PO ＝a ，所以PF 1＝6a .又F 1O ＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定理得cos∠POF 1＝a2＋c2－( 6 a )22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，即3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝3.(1) 【答案】 (1,2) 【解析】若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF ＜45°，在Rt △AFE 中，AF ＝b2a，FE ＝a ＋c ，则b2a＜a ＋c ，b 2＜a 2＋ac,2a 2－c 2＋ac ＞0，e 2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2.又e ＞1，则1＜e ＜2.(2) 【答案】 53【解析】 由双曲线定义知PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＝4PF 2，所以PF 1＝83a ，PF 2＝23a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a2＋49a2－4c22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值．因为cos ∠F 1PF 2≥－1，所以cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤53，即e 的最大值为53.【题组强化】 1.D【解析】由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，所以3b a＝4，即3b ＝4a ，所以9b 2＝16a 2，所以9c 2－9a 2＝16a 2，所以25a 2＝9c 2，所以e ＝53.故选D.2. C 【解析】 由F 1F 2＝2OP ，可得OP ＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，PF 1⊥PF 2，则PF 21＋PF 2＝F 1F 2.由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，则PF 1＝2a ＋PF 2，所以(PF 2＋2a )2＋PF 22＝4c 2，整理得(PF 2＋a )2＝2c 2－a 2.又PF 1≥3PF 2，即2a ＋PF 2≥3PF 2，可得PF 2≤a ，所以PF 2＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a .由e ＝ca ，且e ＞1，可得1<e ≤102.故选C.3.2【解析】由题知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，不妨设右焦点F (c,0)，过点F 与渐近线平行的直线为l ：y ＝b a(x －c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b ax ，y ＝b a (x －c )，得x ＝c 2，则y ＝－b a×c 2＝－bc 2a ，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，－bc 2a ，PF 的中点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 4，－bc 4a .又点A 在双曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 42a2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－bc 4a 2b2＝1，化简得c2a2＝2，即e ＝c a＝2.4.53【解析】由线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，可得PF 2＝F 1F 2＝2c ，由直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，可得OA ＝a ，设PF 1的中点为M ，由中位线定理可得MF 2＝2a ，在Rt △PMF 2中，可得PM ＝4c2－4a2＝2b ， 即有PF 1＝4b ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，即4b －2c ＝2a ，即2b ＝a ＋c ，即有4b 2＝(a ＋c )2， 即4(c 2－a 2)＝(a ＋c )2，可得a ＝35c ，即e ＝53.(第4题)课堂评价 1. B 2. C【解析】 根据渐近线方程为x ±y ＝0，可得a ＝b ，所以c ＝2a ，则该双曲线的离心率为e ＝ca＝2，故选C. 3. A 【解析】 由题意知，e ＝ca＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c2－a2＝2a ，所以b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A.4. x28－y28＝1 【解析】 由离心率为2，可知a ＝b ，c ＝2a ，所以F (－2a,0)，由题意知k PF ＝4－00－(－2a )＝42a＝1，解得a ＝22，所以双曲线的方程为x28－y28＝1.5. 23 23 【解析】 由题意知a ＝2，b ＝23，c ＝4，F (4,0)，PF ＝b ＝23，△POF 的面积为12ab ＝12×43＝23.第45讲 抛物线链教材·夯基固本 激活思维 1. C2. AC 【解析】根据抛物线定义知选项A 正确；对于B ，符合条件的抛物线的焦点可能在x 轴上也可能在y 轴上，故B 错误；对于C ，抛物线焦点为(－1,0)，所以p ＝2，抛物线方程是y 2＝－4x ，故C 正确；对于D ，因为p 的符号不确定，所以方程不唯一，故D 错误．故选AC.3.B【解析】因为M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516. 4.B【解析】抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF ＝3BF ，所以x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32，所以x 1＝3x 2＋3， 因为|y 1|＝3|y 2|，所以x 1＝9x 2，所以x 1＝92，x 2＝12，所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋32＝8.故选B. 5.y 2＝8x 6【解析】由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (2,0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，所以FN ＝2FM ＝2(x M ＋2)＝2×(1＋2)＝6.知识聚焦1. 相等 焦点 准线 研题型·融会贯通 分类解析(1) 【答案】 22【解析】 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点为F 1(－2，0)，且抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p 2＝－2，解得p ＝22.(2) 【答案】 13 【解析】由题意得抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2.因为AF ＝(6－2)2＋32＝5，所以求△PAF 周长的最小值即求PA ＋PF 的最小值．设点P 在准线上的射影为D ，如图，连接PD ，根据抛物线的定义，可知PF ＝PD ，所以PA ＋PF 的最小值即PA ＋PD 的最小值．根据平面几何的知识，可得当D ，P ，A 三点共线时PA ＋PD 取得最小值，所以PA ＋PF 的最小值为x A －(－2)＝8，所以△PAF 周长的最小值为8＋5＝13.(例1(2))(1) 【答案】 A 【解析】设焦点为F ，准线为l ，过P 作PA⊥l ，垂足为A ，则PF ＝PA ，PF ＋PQ ＝PQ ＋PA ，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，和最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1，故选A. (2) 【答案】 4 【解析】因为双曲线的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(2,0)，所以p ＝4.【解答】 (1) 由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎪⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 易知y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 2＝2px 2， 所以y 21y 2＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.(2) 由题意知AF ＝x 1＋p2，BF ＝x 2＋p2，所以1AF ＋1BF＝1x1＋p 2＋1x2＋p 2＝x1＋x2＋px1x2＋p 2(x 1＋x 2)＋p24.因为x 1x 2＝p24，x 1＋x 2＝AB －p ，所以1AF ＋1BF ＝ABp24＋p 2(AB －p )＋p 24＝2p(定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(例2)【解答】 (1) 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2.因为直线OP 的方程为y＝y1x1·x ，它与准线的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y0，所以y 0＝y1x1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝2p y1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2＝－p2y1＝y1y2y1＝y 2，故直线MQ ∥x 轴．(2) 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，y2，则k OM ＝y2－p 2＝－2y2p ，k OP ＝y1x1＝2p y1. 因为PQ 为焦点弦，所以y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－p2y1，所以k OM ＝－2y2p ＝2py1，所以k OM ＝k OP ，所以P ，O ，M 三点共线． (3)如图，连接PF 并延长交抛物线于Q ′，由(1)知MQ ′∥x 轴，所以Q 与Q ′重合，故PQ 为焦点弦．(例3)【解答】 (1) 由题意，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1，x212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2，x222p ，x 1＜x 2，M (x 0，－2p )． 由x 2＝2py 得y ＝x22p ，则y ′＝xp ，所以k MA ＝x1p ，k MB ＝x2p.因此直线MA 的方程为y ＋2p ＝x1p (x －x 0)，直线MB 的方程为y ＋2p ＝x2p (x －x 0)．所以x212p ＋2p ＝x1p (x 1－x 0)，①x222p ＋2p ＝x2p (x 2－x 0)．② 由①②得x1＋x22＝x 1＋x 2－x 0，因此x 0＝x1＋x22，即2x 0＝x 1＋x 2.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．。

2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲课后作业理含解析

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第8章 平面解析几何 第5讲A 组 基础关1．已知椭圆的标准方程为x 2＋y 210＝1，则椭圆的焦点坐标为( )A ．(10，0)，(－10，0)B ．(0，10)，(0，－10)C ．(0,3)，(0，－3)D ．(3,0)，(－3,0)答案 C解析 椭圆x 2＋y 210＝1的焦点在y 轴上，a 2＝10，b 2＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3.所以椭圆的焦点坐标为(0,3)，(0，－3)．2．(2018·合肥三模)已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)经过点A (5，0)，B (0,3)，则椭圆E 的离心率为( )A.23 B ．53C ．49D ．59答案 A解析 由题意得a ＝3，b ＝5，所以c ＝a 2－b 2＝9－5＝2，离心率e ＝c a ＝23.3．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.4．(2018·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°答案 B解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，又F (c,0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.5．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43 B ．53 C ．54 D ．103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.故选B.6．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B ．22 C ．32D ．55答案 C解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选C.7．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20答案 C解析 如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上、下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的标准方程为________．答案x 245＋y 236＝1 解析 由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5,4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.9．设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案733解析 根据已知条件作出如图所示的图形．记圆x 2＋(y －1)2＝3的圆心为M ，由三角形的性质可得|PQ |≤|PM |＋|MQ |＝3＋|MQ |，设点Q 坐标为(x ，y )，那么x 24＋y 2＝1，所以|QM |2＝x 2＋(y －1)2＝4(1－y 2)＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5，y ∈[－1,1]，因此|QM |2≤163，即|QM |≤433，所以|PQ |≤433＋3＝733，所以P ，Q 两点间的最大距离为733. 10．(2018·厦门模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，若直线PF 1的斜率为33，则该椭圆的离心率为________． 答案33解析 因为点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a . 又因为直线PF 1的斜率为33，所以在Rt △PF 1F 2中， PF 2F 1F 2＝33，即b 2a 2c ＝33.所以3b 2＝2ac . 3(a 2－c 2)＝2ac ，3(1－e 2)＝2e ， 整理得3e 2＋2e －3＝0， 又0<e <1，解得e ＝33. B 组 能力关1．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦AB 被点M (x 0，y 0)平分，设直线AB 的斜率为k 1，直线OM (O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．4B ．14C ．－1D ．－14答案 D解析 解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为弦AB 被点M (x 0，y 0)平分，所以x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.易知k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，k 2＝y 0x 0. ⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－14·x 0y 0， ∴k 1k 2＝－14.解法二：设直线AB 的方程为y ＝k 1x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．代入椭圆方程并整理得，(1＋4k 21)x 2＋8k 1mx ＋4m 2－36＝0，x 1＋x 2＝－8k 1m 1＋4k 21，又中点M (x 0，y 0)在直线AB 上，所以y 1＋y 22＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 21，从而得弦中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1m 1＋4k 21，m 1＋4k 21，∴k 2＝m1＋4k 21－4k 1m 1＋4k 21＝－14k 1，∴k 1k 2＝－14. 2．(2018·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．答案 (－3,0)或(3,0)解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．3．(2018·内江三模)设P 是椭圆x 29＋y 24＝1第一象限弧上任意一点，过P 作x 轴的平行线与y轴和直线y ＝－23x 分别交于点M ，N .过P 作y 轴的平行线与x 轴和直线y ＝－23x 分别交于点R ，Q ，设O 为坐标原点，则△OMN 和△ORQ 的面积之和为________．答案 3解析 设P (x 0，y 0)(0<x 0<3,0<y 0<2)，则M (0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0，y ＝－23x ，解得y ＝y 0，x ＝－32y 0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32y 0，y 0， 所以S △OMN ＝12y 0×32y 0＝34y 20.同理可得R (x 0,0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝－23x ，解得x ＝x 0，y ＝－23x 0，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－23x 0.所以S △ORQ ＝12x 0×23x 0＝13x 20.又x 209＋y 204＝1，所以△OMN 和△ORQ 的面积之和为34y 20＋13x 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209＋y 204＝3. 4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时O A →⊥O B →？此时|AB |的值是多少？ 解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b ＝ 22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. ∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2 ＝42172＋4×1217＝43×13172， ∴|AB |＝54×43×13172＝46517. C 组 素养关1．(2018·东北三省四市教研联合体模拟)在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知P (－2,0)与Q (2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．解 (1)∵c a ＝12，∴a ＝2c ，椭圆的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，将⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入得14c 2＋912c 2＝1，∴c 2＝1.∵椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，有|AB |＝1＋m 2·121＋m 23m 2＋4＝121＋m23m 2＋4，点P (－2,0)到直线l 的距离为31＋m2，点Q (2,0)到直线l 的距离为11＋m2，从而四边形APBQ 的面积S ＝12×121＋m23m 2＋4×41＋m2＝241＋m 23m 2＋4(或S ＝12|PQ ||y 1－y 2|)． 令t ＝1＋m 2，t ≥1，有S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t，设函数f (t )＝3t ＋1t ，f ′(t )＝3－1t2>0，所以f (t )在[1，＋∞)上单调递增，有3t ＋1t ≥4，故S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t≤6，所以当t ＝1，即m ＝0时，四边形APBQ 面积的最大值为6.2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m < ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32， 故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝x 1－12＋y 21＝ x 1－12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理| FB →|＝2－x 22. 所以| FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2. ②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.。

2020版高考数学(文)大一轮复习导学案：第八章 平面解析几何

2020版高考数学(文)大一轮复习导学案：第八章 平面解析几何

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[基础梳理]1．直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)．2．直线的斜率3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系4.直线方程的五种形式续表5.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1，P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图象为：(2)当倾斜角为时，直线垂直于x 轴，斜率不存在．2．直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0. [四基自测]1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3 D ．－33 答案：A2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝0答案：A3．已知直线斜率的绝对值为1，其倾斜角为________． 答案：π4或34π4．过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________． 答案：3x ＋5y －15＝0或7x ＋5y －35＝0考点一 直线的倾斜角与斜率◄考基础——练透 [例1] (1)(2019·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．(2)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，求a 的取值范围．解析：(1)k PQ ＝－1b －00－1a＝a b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(2)当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1.则有－a a ＋1>1或－a a ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：(1)(π2，π) (2)见解析1．三个不同的点A (2,3)，B (－1,5)，C (x ，x 2＋2x ＋6)共线，则实数x 的值为________．解析：因为三个不同的点A (2,3)，B (－1,5)，C (x ，x 2＋2x ＋6)共线，所以由斜率公式得5－3－1－2＝x 2＋2x ＋6－3x －2，解得x ＝－1或－53，当x ＝－1时，点C ，B 重合，舍去．所以x ＝－53. 答案：－53 2．(2019·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________． 解析：如图所示，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝34.要使直线l 与线段AB 有交点，则有k ≥34或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞考点二 求直线方程◄考能力——知法 [例2] 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)求过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程． (3)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解析：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和P (3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，即l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)法一：由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎨⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.法二：设直线方程为y ＝kx ＋b ，则在x 轴上的截距为－b k ，所以b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ＝6，①又直线过点(2,1)，则2k ＋b ＝1.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3或⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. (3)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12， 此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25， 直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0，综上可知，所求直线方程为 x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.1．求直线方程的方法2.考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．1．在本例(1)中，过点(3,2)，且在两轴上截距互为相反数的直线方程是什么？ 解析：(1)若直线过原点，适合题意，其方程为y ＝23x ， 即2x －3y ＝0.(2)若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，∴3a －2a ＝1，∴a ＝1，方程为x －y －1＝0.综上，直线方程为2x －3y ＝0或x －y －1＝0.2．在本例(3)中，改为“过点A (－5,2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为92”，求直线方程．解析：设所求直线在x 轴的截距为a ，在y 轴上的截距为b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋2b ＝112|ab |＝92，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝152b ＝65.∴方程为x ＋y ＋3＝0或4x ＋25y －30＝0. 考点三 两条直线的位置关系◄考基础——练透[例3] (1)“a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，故l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，若l 1与l 2斜率不存在，则a ＝0；若l 1与l 2斜率都存在，则a ≠0，有－a ＋1a 2＝－2a 且3a 2≠2a ＋1a ，解得a ∈，故当l 1∥l 2时，有a ＝0.故选C. 答案：C(2)已知直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0，则“a ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：l 1⊥l 2的充要条件是(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，即a 2－1＝0，故有(a －1)(a ＋1)＝0，解得a ＝±1.显然“a ＝1”是“a ＝±1”的充分不必要条件，故选A. 答案：A两直线位置关系的判断方法1．如果直线ax ＋(1－b )y ＋5＝0和(1＋a )x －y －b ＝0同时平行于直线x －2y ＋3＝0，求ab .解析：法一：由题意， 得⎩⎨⎧a ·(－2)－(1－b )·1＝0，(1＋a )·(－2)－(－1)×1＝0.解得a ＝－12，b ＝0.易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.法二：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，则另两条直线的斜率一定存在且等于12，所以12＝－a 1－b ＝－1＋a －1，解得a ＝－12，b ＝0，易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.2．若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－8逻辑推理、直观想象_求直线方程的易错问题(一)直线方程是解析几何的入门内容，基本概念、公式较多，由于学生对直线的构成要素理解不清或方程形式认识欠缺，而导致错误.1.对倾斜的概念与范围理解有误[例1]已知直线l过点(2,1)，且与x轴的夹角为45，求直线l的方程．解析：由直线l与x轴的夹角为45知，直线l的倾斜角为45或135．当直线l的倾斜角为45时，其斜率为k＝tan 45＝1，而直线l过点(2,1)，故其方程为y－1＝x－2，即y＝x－1；当直线l的倾斜角为135时，其斜率为k＝tan 135＝－1，而直线l过点(2,1)，故其方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.综上所述，所求直线方程为y＝x－1或y＝－x＋3.2.忽略两直线平行与重合的区别例 2 已知直线l1：x＋m2y＋6＝0与l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0平行，则实数m＝______ __.解析：(1)若两直线的斜率都存在，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则k1＝－1m2，k2＝－m－23m，b1＝－6m2，b2＝－23.因为l1∥l2，故k1＝k2且b1≠b2，即－1m2＝－m－23m且－6m2≠－23，解得m＝－1.(2)若两直线的斜率都不存在，则m＝0. 综上所述，m＝－1或0.答案：－1或0课时规范练 A 组 基础对点练1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：因为sin α＋cos α＝0， 所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k ＝－1. 而直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率k ＝－ab ， 所以－ab ＝－1，即a －b ＝0. 答案：D2．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是( ) A ．[－3，1]B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)解析：因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：B3．(2019·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．3x ＋4y ＋6＝0 C ．3x ＋y ＋6＝0D．3x－4y＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－34，又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.答案：A4．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A．－1＜k＜1 5B．k＞1或k＜1 2C．k＞1或k＜1 5D．k＞12或k＜－1解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－2k，则－3＜1－2k ＜3，解得k＞12或k＜－1.答案：D5．(2019·张家口模拟)若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3 x－y＝33的倾斜角的2倍，则( )A．m＝－3，n＝1B．m＝－3，n＝－3C．m＝3，n＝－3D．m＝3，n＝1解析：对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－3n，即－3n＝－3，n＝1.因为3x－y＝33的倾斜角为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线3x－y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn ＝－3，m ＝ 3. 答案：D6．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为( )A ．5x ＋2y ＝0或x ＋2y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0D ．2x ＋5y ＝0解析：当截距为零时，直线方程为y ＝－25x ；当截距不为零时，设直线方程为x 2b ＋y b ＝1，因为直线过点A (－5,2)，所以－52b ＋2b ＝1，计算得b ＝－12，所以直线方程为x －1＋y－12＝1，即x ＋2y ＋1＝0，所以所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. 答案：C7．若直线y ＝kx ＋1与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________．解析：由题可知直线y ＝kx ＋1过定点P (0,1)，且k PB ＝3－12－0＝1，k P A ＝2－13－0＝13，结合图象可知，当直线y ＝kx ＋1与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，18．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．解析：由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°，角变为60°，所以所求直线的斜率为 3.又因为直线过点(1，3)，所以直线方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . 答案：y ＝3x9．已知点A (－1，t )，B (t,4)，若直线AB 的斜率为2，则实数t 的值为________． 解析：由题意知，k AB ＝2，即4－t t ＋1＝2，解得t ＝23.答案：2310．已知直线l 1：mx ＋y ＋4＝0和直线l 2：(m ＋2)x －ny ＋1＝0(m ，n ＞0)互相垂直，则mn 的取值范围为________．解析：因为l 1⊥l 2，所以m (m ＋2)＋1×(－n )＝0，得n ＝m 2＋2m ，因为m ＞0，所以mn ＝m m 2＋2m ＝1m ＋2，则0＜1m ＋2＜12，故m n 的取值范围为(0，12)． 答案：(0，12)B 组 能力提升练11．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R )交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．x －2y ＋8＝0 C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12(2＋4k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ＋4k ＋16≥12×(2×8＋16)＝16.当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时，等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0. 答案：B12．设直线l 的方程为x ＋y cosθ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) .⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ. 因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， 所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案：C 13．(2019·西安临潼区模拟)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D14．(2019·北京二十四中模拟)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12， ∴k MN ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B. 答案：B15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5. 答案：5 16．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sinx －b cosx (ab ≠0)图象的一条对称轴，则直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为________． 解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z .所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π－π4＝－1＝b a ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－a b ＝1，故倾斜角为π4.答案：π4第二节 直线的交点与距离公式[基础梳理] 三种距离1．点到直线的距离公式 (1)直线方程为一般式． (2)公式中分母与点无关． (3)分子与点及直线方程都有关． 2．两平行直线间的距离(1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离． [四基自测]1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A.12B.32C.22D.322答案：D2．直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________． 答案：233．已知点A (3,2)和B (－1,4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．答案：－4或124．已知两平行线l 1：2x ＋3y ＝6，l 2：2x ＋3y －1＝0，则l 1与l 2间距离为________．答案：51313考点一 直线的交点及应用◄考基础——练透 [例1] 求满足下列条件的直线方程：(1)经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋2 019＝0.(2)经过两条直线2x ＋y －8＝0和x －2y ＋1＝0的交点，且平行于直线4x －3y ＋2 018＝0.(3)已知直线l 经过点P (3,1)，且被两条平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解析：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0得两条直线的交点坐标为(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋2 019＝0，所以所求直线的斜率为k ＝－23，所以所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －8＝0，x －2y ＋1＝0得两条直线的交点坐标为(3,2)，因为所求直线平行于直线4x －3y ＋2 018＝0，所以所求直线的斜率为k ＝43，所以所求直线方程为y －2＝43(x －3)，即4x －3y －6＝0. (3)法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别为A ′(3，－4)，B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，得A⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1， 解方程组⎩⎨⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1.由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋12＝52. 解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.法二：如图所示，作直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0. l 1与x 、y 轴的交点A (－1,0)、B (0，－1)， l 2与x 、y 轴交点C (－6,0)、D (0，－6)． ∴|BD |＝5，|AC |＝5.过点(3,1)与l 1、l 2截得的线段长为5. 即平行x 轴或y 轴．∴所求直线方程为x ＝3或y ＝1.1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．2．求过两直线交点的直线方程的方法(1)直接法：①先求出两直线的交点坐标；②结合题设中的其他条件，写出直线方程；③将直线方程化为一般式．(2)直线系法：①设过两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0. ②利用题设条件，求λ的值，得出直线方程． ③验证A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0是否符合题意． (3)数形结合法，求直线截得的线段长．1．将(1)中的条件改为“经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且与坐标轴围成的三角形的面积为1”．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝0，3x ＋4y －2＝0得两条直线的交点坐标为(－2,2)，设所求直线的斜率为k (k ≠0)，直线方程为y －2＝k (x ＋2)，所以两个截距分别为2k ＋2，－2k ＋2k ，所以直线与坐标轴围成三角形的面积为S ＝12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋2k ＝1，解方程得k ＝－2或－12，所以所求直线方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 2．本例(3)改为过点M (0,1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，则此直线方程为________．解析：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0，它和直线l 1，l 2的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，其图象与直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则有①⎩⎪⎨⎪⎧y A ＝kx A ＋1，x A －3y A ＋10＝0，②⎩⎪⎨⎪⎧y B ＝kx B ＋1，2x B ＋y B －8＝0. 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2. 因为点M 平分线段AB ，所以x A ＋x B ＝2x M ， 即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14. ∴所求直线为y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝0考点二 距离问题◄考能力——知法[例2] (1)已知两条平行直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0间的距离为5，则直线l 1的方程为________． 解析：因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， 所以|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或18.故所求直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0. ②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，把l 2的方程写成4x －8y －2＝0， 所以|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或22.故所求直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0. 答案：2x ±4y ＋9＝0或2x ±4y －11＝0 (2)(2019·昆明模拟)点P 到点A ′(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且P 到直线y ＝x 的距离等于22，这样的点P 共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：设点P (x ，y )，由题意知(x －1)2＋y 2＝|x ＋1|，且22＝|x －y |2，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，|x －y |＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －y ＝1， ①或⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －y ＝－1，② 解①得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－22，y ＝2－22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22，y ＝2＋22，解②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此，这样的点P 共有3个．答案：C (3)(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[4,8] C ．[2，32]D ．[22，32]解析：设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12AB ·d min ＝2. 综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． 故选A. 答案：A1．用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；2．两平行线间的距离公式，两直线方程中x ，y 的系数分别相同； 3．两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化．1．(2019·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c－1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0， 又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6.答案：2或－62．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点A (1,3)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________．解析：当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|k －3|1＋k2＝2，解得k ＝－7或k ＝1，此时直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x ；当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ，由点A (1,3)到直线l 的距离为2，得|4－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y－6＝0.综上所述，直线l 的方程为y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.答案：y ＝－7x 或y ＝x 或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0 考点三 对称问题◄考基础——练透 角度1 对称问题的求法[例3] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 解析：(1)设对称点A ′的坐标为(m ，n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2m ＋1·23＝－1，2·m －12－3·n －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3313，n ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如B (2,0)，则B 关于l 的对称点必在m ′上，设对称点为B ′(a ，b )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2·a ＋22－3·b ＋02＋1＝0，b －0a －2·23＝－1，得B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．设直线m ′上任意一点的坐标为(x ，y )，由两点式得直线m ′的方程为y －33013－3＝x －4613－4，即9x －46y ＋102＝0. (3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)．则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设直线l 关于点A 的对称直线l ′上的任意一点P (x ，y )，则点P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )． ∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 角度2 对称问题的应用[例4] (1)(2019·淮安模拟)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．(2)已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)．在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小．解析：(1)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)． 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.(2)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)． P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P的坐标为(－2,3)．答案：(1)6x－y－6＝0 (2)见解析有关对称问题的规律方法续表1．(2019·岳阳模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：法一：设所求直线上任一点为(x ，y )，则它关于x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，所以2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.法二：根据直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或D ，再根据两直线交点在直线x ＝1上知选D. 答案：D2．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为__________________________________________________________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上． 设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案：2x －y ＋3＝直观想象、逻辑推理——求直线方程易错问题(二) 一、混淆截距与距离[例1] 求过点(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程．解析：利用直线的截距式方程求解 可得4a ＋5b ＝－ab .又直线与两坐标轴围成的三角形的面积为5，则12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以，所求直线的方程为x－52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1，即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.二、对位置情形考虑不全[例2] 求过点P (1,2)且与点A (2,3)，B (4，－5)距离相等的直线方程．解析：(1)若A ，B 两点位于所求直线的同一侧，则所求直线与直线AB 平行，故其斜率与直线AB 的斜率相等，即k ＝k AB ＝－4.又所求直线过点P (1,2)，故其方程为y －2＝－4(x －1)，即y ＝－4x ＋6.(2)若A ，B 两点位于所求直线的两侧，则所求直线经过线段AB 的中点(3，－1)．又所求直线过点P (1,2)，故其方程为y －(－1)2－(－1)＝x －31－3，即y ＝－32x ＋72.综上所述，所求直线方程为y ＝－4x ＋6或y ＝－32x ＋72. 3.忽略平行线间距离公式的应用条件[例3] 已知两平行直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0与l 2：6x ＋8y －15＝0，求与l 1，l 2等距离的直线l 的方程．解析：l 2：6x ＋8y －15＝0的方程等价变形为l 2：3x ＋4y －152＝0.由题意，直线l 与两条平行直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0、l 2：3x ＋4y －152＝0平行，故可设其方程为3x ＋4y ＋C ＝0.因为l 与l 1，l 2的距离相等，即|5－C |32＋42＝|－152－C |32＋42，解得C ＝－54.所以，直线l 的方程为3x ＋4y －54＝0，即12x ＋16y －5＝0.课时规范练 A 组 基础对点练1．若直线2x ＋3y －1＝0与直线4x ＋my ＋11＝0平行，则m 的值为( ) A.83 B ．－83 C ．－6D ．6解析：由题设可得，m 3＝42≠11－1，则m ＝6.答案：D 2．(2019·长沙模拟)已知M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )}|ax ＋2y ＋a ＝0}且M ∩N ＝，则a ＝( )A ．－2B ．－6C ．2D ．－2或－6解析：由题意可知，集合M 表示过点(2,3)且斜率为3的直线，但除去点(2,3)，而集合N 表示一条直线，该直线的斜率为－a2，且过点(－1,0)，若M ∩N ＝，则有两种情况：①集合M 表示的直线与集合N 表示的直线平行，即－a2＝3，解得a ＝－6；②集合N 表示的直线过点(2,3)，即2a ＋2×3＋a ＝0，解得a ＝－2.综上，a ＝－2或－6. 答案：D 3．(2019·石家庄模拟)直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为( ) A ．－24 B ．24 C ．6D ．±6解析：直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，可设交点坐标为(a,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －k ＝0，a ＋12＝0即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，k ＝－24.答案：A 4．(2019·郑州模拟)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( ) A.85 B.32 C ．4D ．8解析：因为直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，所以直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32. 答案：B5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋2＝0解析：由题意可设圆的切线方程为y＝－x＋m，因为与圆相切于第一象限，所以m>0且d＝|m|2＝1，故m＝2，所以切线方程为x＋y－2＝0，故选A.答案：A6．(2019·哈尔滨模拟)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B.13 2C.21313 D.71326解析：由直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋72＝0.它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72＋332＋22＝132，故选B.答案：B7．若在平面直角坐标系内过点P(1，3)且与原点的距离为d的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：|OP|＝2，当直线l过点P(1，3)且与直线OP垂直时，有d＝2，且直线l有且只有一条；当直线l与直线OP重合时，有d＝0，且直线l有且只有一条；当0<d<2时，有两条．答案：0<d<28．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为__ ______．解析：设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2，解得k ＝2或k＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝09．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段A B 上，则ab 的最大值为________．解析：由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12. 由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案：1210．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________．解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×(－1)＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0. 答案：3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0B 组 能力提升练11．已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5D ．27解析：设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C. 答案：C12．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．－12B ．－14C ．10D ．8解析：由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，解得n ＝－12.故选A. 答案：A13．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：如图所示，以C 为原点，CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b 4，a4)，由两点间的距离公式可得|P A |2＝b 216＋9a 216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a216.所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝1016(a 2＋b 2)a 2＋b 216＝10.答案：D14．已知直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，则直线l 的一般式方程为( ) A ．3x －y ＋5＝0 B ．3x ＋y ＋1＝0 C ．x －3y ＋7＝0D ．x ＋3y －5＝0解析：设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足 ⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5.因此直线l 的方程为y －2＝5－2－2＋1(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0.答案：B15．光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的点B 后被直线y ＝x 反射到y 轴上的点C ，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程为________．解析：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的 对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得 A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由反射角等于入射角可得 A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方 程为y －6＝－4－6－2－1(x －1)，即10x －3y ＋8＝0.答案：10x －3y ＋8＝016．△ABC 的边AB ，AC 所在直线方程分别为2x －y ＋1＝0，x ＋3y －9＝0，边BC的中点为D (2，－1)，则这个三角形的面积是________． 解析：设点B (x ，y )，则C (4－x ，－2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，4－x ＋3(－2－y )－9＝0，解这个方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－3，，所以B (－2，－3)，C (6,1)． 所以边BC 所在直线方程为y ＋1－3＋1＝x －2－2－2，即x －2y －4＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋3y －9＝0，解得顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫67，197，所以高为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪67－2×197－45＝6075，|BC |＝82＋42＝45，所以三角形的面积为S ＝12|BC |d ＝12×45×6075＝1207.答案：1207第三节 圆的方程[基础梳理] 1．圆的定义、方程2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)点M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1．方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：A ＝C ≠0，B ＝0，且D 2＋E 2－4F ＞0.2．以A (x 1，y 1)，B (x 1，y 2)为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. [四基自测]1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)答案：D2．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案：C3．△AOB 中，A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，则△AOB 外接圆的方程为________． 答案：x 2＋y 2－4x －3y ＝04．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0的圆心到直线y ＝x ＋1的距离为________． 答案：2考点一 求圆的方程◄考基础——练透[例1] (1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)(2019·长沙模拟)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213 C.253D.43(3)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：(1)由题意可得圆的半径为r ＝2，则圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心在直线BC 的垂直平分线，即x ＝1上，设圆心D (1，b )， 由|DA |＝|DB |得|b |＝1＋(b －3)2，解得b ＝233，所以圆心到原点的距离为d ＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. (3)因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r ＝|m －0－2m －1|1＋m2＝|m ＋1|1＋m 2＝(1＋m )21＋m 2＝1＋2m 1＋m 2，因为1＋m 2≥2m ，所以2m 1＋m2≤1，所以r ≤1＋1＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(1)D (2)B (3)见解析求圆的方程的方法续表1．将本例(1)改为圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B. 答案：B2．本小题(3)改为：在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1,0)作直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )的垂线，垂足为B ，以A ，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点 C (2，－1)，所以直径AB 的最大值为|AC |＝2， 所以所求半径最大的圆的标准方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12， 化为一般方程为x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0考点二与圆有关的最值问题◄考能力——知法[例2](1)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．35B．6 5C．415 D．215解析：圆x2＋y2－4x＋2y＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心M(2，－1)，半径r ＝5，最长弦AC为圆的直径为25，BD为最短弦，则AC与BD互相垂直，ME＝2，BD＝2BE＝2×5－2＝23，四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BDC＝12×BD×EA＋12×BD×EC＝12×BD×AC＝12×23×2 5＝215，选D.答案：D(2)已知实数x、y满足x2＋y2－4x＋1＝0.①求yx的最大值与最小值；②求y－x的最大值、最小值；③求x2＋y2的最大值、最小值．解析：①原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.③如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.1．(2019·广西南宁联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知(x 1－2)2＋y 21＝5，x 2－2y 2＋4＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( ) A.55 B.15 C.1215D.1155解析：由已知得点(x 1，y 1)在圆(x －2)2＋y 2＝5上，点(x 2，y 2)在直线x －2y ＋4＝0上，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示圆(x －2)2＋y 2＝5上的点和直线x －2y ＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为15.故选B. 答案：B2．(2019·聊城模拟)已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点， (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．解析：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22， 设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|1×2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得：16－210≤t ≤16＋210， 所以，所求的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有公共点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.数学运算、直观想象——利用圆求最值的学科素养在数学中，涉及的代数式或者线段长度最值时，如果动点在圆上运动，可借助圆求解.[例1] 已知实数a ，b ，c 满足a ＋c ＝2b ，点P (－1,0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3,3)，则线段MN 的长度的最大值是________．解析：由已知a ＋c ＝2b ，可知动直线ax ＋by ＋c ＝0过定点Q (1，－2)，所以点M 在以PQ 为直径的圆x 2＋(y ＋1)2＝2上，因为圆心(0，－1)到点N 的距离为5，故可得MN 的长度的最大值是5＋ 2. 答案：5＋ 2。

2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何测评答案

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小题必刷卷(十一)题组一刷真题角度11. B ［解析］方法一:易得△ ABC面积为1,利用极限位置和特值法.当a=0时易得b=1-—；当a=时，易得b=-当a=1时，易得b= 一- 1A.故选B.方法二:(直接法)？ y=——,y=ax+b与x轴交于--，结合图形与a>0- x——x2 一(a+b) =a(a+1)>0? a=—T a>0,・••一>0? b~,当a=0 时,极限位置易得b=1-一，故答案为B.2. —［解析］由两平行线间的距离公式得d〜=J.角度2. . 2 2 2 2 . . . .3. A ［解析］圆x +y -2x- 8y+13=0化为标准方程为(x- 1) +(y- 4) =4，故圆心为(1,4),圆心到直线的距离d= — =1,解得a=__.4. A ［解析］由题意知A(-2,0),B(0,-2),|AB|= 2 _.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为一「=2 ：设点2 2 ————P到直线AB的距离为d,圆(x- 2) +y =2的半径为r则d € [2 -r ,2 +r],即d€ [ ,3 ],又A ABP的面积S^B P=-|AB|• d= _d,所以A ABP面积的取值范围是[2,6].5. C ［解析］方法一：由点到直线的距离公式得d==m.方法二:该题考查圆周上一点到动直线的距离的最值问题，由题知动直线过定点(2,0),观察下图可知，所求距离的最大值为点(2,0)到单位圆上点的距离的最大值，故为3.角度32 26. C ［解析］方法一:设圆的方程为x+y+Dx+Ey+F：0,将点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x +y - 2x+4y- 20=0,即(x- 1) +(y+2) =25,所以=2 - =4 _方法二：因为k AE=--,k BC=3，所以k AB k BC=-1所以AB丄BC所以△ ABC为直角三角形所以△ ABC的外接圆圆心为AC的中点(1,-2),半径r=- =5,所以=2 -=4：方法三：由•=0得AB丄BC下同方法二.7. (x-2)2+y2=9 ［解析］设圆心的坐标为(a,0)(a>0),根据题意得_J,解得a=2(a=-2舍去)，所以圆的半__ . . 2 2径r= - - =3,所以圆的方程为(x-2) +y =9.2 2 28. (-2,-4) 5 ［解析］由题意知a=a+2,则a=2或a=-1.当a=2 时方程为4x +4y +4x+8y+10=0,即2 2 方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为- -+y - =0,整理得x-4X+y-y+3=0,2 2 I J 2 2 . . 2 2 2 2x +y +x+2y+-=0? x+- +(y+1)=--,不能表示圆；当a=-1 时方程为x +y +4x+8y- 5=0,即(x+2) +(y+4) =25, 所以圆心坐标是(-2,- 4),半径是5.角度49. A ［解析］设所求直线方程为2x+y+m=0,则圆心到该直线的距离为 ^一= 一,「.|m|=5,即m=± 5.10. D ［解析］设反射光线所在直线的斜率为k,反射光线过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),二反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2).又T 其与圆(x+3)2+(y- 2)2=1 相切，—==一=1,解得k=--或k=--.11. A ［解析］方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y-1=k -，由题意得-==1,解之得k=0或-,即切线方程为y=1或4x- 3y- 9=0.联立得一切点为，又Tk PC=——, .k AB=-一=- 2，即弦AB所在直线方程为y-仁-2 -，整理得2x+y- 3=0.联立两式相减得2x+y- 3=0.12. 4 n ［解析］x +y -2ay-2=0,即x +(y-a ) =a +2，则圆心为C(0,a).又|AB|= 2 _,C到直线y=x+2a 的距离为一所以(二)2+( ) 2=a2+2，得a2=2，所以圆C 的面积为n (a2+2)=4 n .13. 4 ［解析］直线丨：n(x+3)+y- _=0 过定点(-3, 一)又|AB|= 2 一,二(『^)2+( _)2=12,解得m=二.直线方程中，当x=0时,y=2 ".又(-3, _),(0,2 一)两点都在圆上，•••直线丨与圆的两交点为A(-3, _),B(0,2 ").设过点A(-3, 一)且与直线丨垂直的直线为_x+y+c i=0，将(-3, 一)代入直线方程_x+y+c i=0，得c i=2 _.令y=0,得x c=-2，同理得过点B且与I垂直的直线与x轴交点的横坐标为X D=2,• |CD|=4.题组二刷模拟214. A ［解析］若11 II l 2,则a x (- 1)=a(a+2),即a +3a=0,「.a=0 或a=- 3,经检验都符合题意，故选A15. C ［解析］•「△ ABC是等腰直角三角形，•圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d^= =—,.•. a= ±, 故选C16. A ［解析］由M为PQ的中点，=- ，得PA X QA即I 1丄l 2,. 1 x m+-2)x 1=0,解得m=2.故选A17. B ［解析］点B在直线y=2 一上，过点A(0,-2 一)作圆的切线，设切线的斜率为k,由点斜式求得切线方程为kx-y- 2 _=0.由圆心到直线的距离等于半径，得^== 一,解得k=± 一,•切线方程为y=± _x-2 一,与直线y=2 一的交点坐标为(士4,2 _), •要使视线不被圆C挡住，实数a的取值范围是(-%，- 4) U (4,+ 叼,故选B.18. D ［解析］如图，点A关于直线BC的对称点为D(-6,2),则直线DB的方程为x+2y+2=0直线DC的方程为y=2.由---- =——=——,| 2a-2|=——,得a=-1,-,1 士——，结合图像可知-1W 1 —，故选D.2 219. D ［解析］圆的标准方程为(x+2)+y=4,作CD丄AB于点D.由圆的性质可知/ ACB=20° ,△ ABC为等腰三角形,其中|CA|=|CB|，则|CD|=|CA| si M 30 ° =2X-=1,即圆心(-2,0)到直线4x- 3y+a=0的距离为1, 据此可得一-=1,即|a- & = 5,解得a=3或a=13,故选D20. A ［解析］设A(X1,y1),B(X2,y2)，联立-可化为5y2-4ay+a2- 2=0，则△ =16a2- 20(a2-2)>0,即a2<10,且y’+y2=—,y’y2 ----------------- .若=0,则X1X2+y1y2=0，即卩(2yy )(2y2-a )+y1y2=0, 5y’y2-2a(y1+y2)+a =0,二5X -2a x—+a =0,解得a=±，故"a= ”是“•=0”的充分不必要条件，故选A.21. C ［解析］由题可知直线I ：y=-(x+2)，即x- _y+2=0.设圆心C(a,0)(a>0),则_ :=a,解得a=2,所以圆C的方程为(x-2) +y =4.将y=—(x+2)代入圆C的方程，可得x - 2x+1=0，所以x<=1,故P(1,0).设M(x,y),2 2则----= ------------ =--------------- ,将x +y =4x代入，得-- =——=4,所以——=2,故选C22. 士2 ［解析］由题得/PMO M PN0h M0N90° ,|M0|=|0N|=1,.四边形PMO是正方形,••• |PO|= 一. •••满足以上条件的点P有且只有一个，••• O»l ,. 一=^,.・.b= ±.23. —懈析］若直线丨1与直线丨2垂直，则-2X- =-1?- =,则使得直线丨1丄l 2的{(a,b)}={(1,2),(2,4),(3,6)},故直线丨1丄I 2的概率P —=—.24. 2 —［解析］由得-即直线恒过定点q-1,-2).以C为圆心,5为半径的圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=25,圆心C(- 1，- 2)到直线3x+4y+1 =0 的距离d=- --- •=—=2，则|AB|= 2 - =2 - =2 (R为圆的半径).25. ①②③［解析］连接BC作CE_LAB于点E,易知|CE|=1,|BE|= 1,则|BC|= 一，则C(1, 一),所以圆C的方程为(x-1) +(y- 一)=2,A(0, _-1),B(0, _+1).因为MN在圆Qx+y=1 上，所以可设M(cos a ,sin a ),N(cos B ,sin B )，所以|NA|= - ,|NB|= - - _ ==2.角度24. A ［解析］—=-—=_-1=e-1=2所以-=± 一,所以渐近线方程为y=± "x.5.C ［解析］由题易知|PF 2|=b,|0P|=a.过P 向x 轴作垂线，垂足为E,可知|PE|=—,戶£|=—,所以 2 — _ 2 2 — |PF i |=— + -一 =( |0P|)=6a,从而可得e=. 6. D ［解析］由题意知A(-a,O),过A 且斜率为一的直线方程为y=—(x+a),设P(x °,y °),则有y o —(x o +a)①.又厶PFF 2为等腰三角形，且/F i F 2P=120 °所以①②③,消去x o ,y o ,得一 =_，即C 的离心率为_. 7. B ［解析］由双曲线方程知a= 一卩=1,则F(2,0).不妨设过点F 的直线垂直渐近线x- _y=0于M 交渐 近线 x+ _y=0 于 N.在 Rt △ OM 中，/MOF30 °」OF|= 2，所以 |OM|= 一.在 Rt △ OMF 中，/MON60 °」OM|=- 所以 |MN|=3.角度38. A ［解析］•••以线段AA 为直径的圆与直线bx-ay+ 2ab=0相切，•••圆心到此直线的距离 d 等于圆的半径，即 d= =a.2 2又a>b>0,则上式可化简为a =3b .Tb =a-c ,「.a =3(a -c )，即一=-，…e=-=—.9. A ［解析］设双曲线的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心到该直线的距离.根据已知得= ---- =tan 30 =—②, =一=tan 60° = 一③.联立2 2 21 + — =4,即—=3,所以b =-c ,所以e=-=—:=2.10. D ［解析］由题意及双曲线的对称性画岀示意图如图所示，渐近线OBy=_x.设Bx o,_x。

2020年人教版高考数学(理)一轮复习第八单元解析几何作业答案

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课时作业(四十八)1. C ［解析］直线y=x的斜率k=1,故tan a =1,所以a =45°，故选C2. B ［解析］由斜率公式可得,直线丨的斜率k=—=_,故选B3. D［解析］因为直线在x轴、y轴上的截距分别为-<0,-->0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第四象限，故选D.4. 3x-y- 5=0 ［解析］由点斜式方程，得y+2=3(x- 1),即3x-y- 5=0.5.1或-1 ［解析］令x=0，得y=k;令y=0,得x=- 2k. •••所围成的三角形的面积S=_ - =k2=1，二k=1 或-1.6. A ［解析］由题意得直线ax+by+c=0的斜率存在，且为k=--,又直线的倾斜角为45 ° ,• k二-=tan 45° =1, • a=-b ,• a+b=0,故选 A.7. B ［解析］•••点P的横坐标为2,且点P在直线x-y+ 1 =0上,•点P的纵坐标为3, •P(2,3).又T = , •-直线PA,PB的斜率互为相反数，•-直线PB的斜率为-1,则直线PB的方程是y- 3=- (x- 2),即x+y- 5=0，故选B8. B ［解析］由题意得易得点Q- 的坐标满足-+b=1,即点Q在直线I上.由方程组得两式相加，得c+-=1,即点P在直线l上.故选B9. B ［解析］联立两直线方程得" 解得一所以两直线的交点坐标为---- ---- .因为两直线的交点在第一象限，所以一解得k>-，则tan 0 >—,所以0 € --故选B10. A ［解析］T丙车最先到达终点，丁车最后到达终点，二丙车速度最大，丁车速度最小，二由s-t图像的几何意义可知丙车s-t图像(直线)的倾斜角最大，丁车s-t图像(直线)的倾斜角最小，故选A11. B ［解析］由题意可得A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于-1,二直线x+my-1=0和直线mx-y-2m£=0垂直，则|PA| +|PB| =|AB| =10》-------- ，即|PA|+|PB| < 2 一当且仅当|PA|=|PB|= 一时等号成立,二|PA|+|PB|的最大值为2 一故选B.12. x+ 2y- 3=0 ［解析］设A(a,0),B(0,b),由=-2 ，可得a-1= -2x (0- 1),0- 1=-2(b- 1),W a=3,b二,由截距式可得直线丨的方程为-+―=1，即x+2y- 3=0.13. —或一［解析］设直线丨1,直线12的倾斜角分别为a ,3，因为k>0，所以a , B均为锐角.直线丨1,1 2 与x 轴围成一个等腰三角形，有以下两种情况：当a =2 3时,tan a =tan 2 3，即-= 又因为k>0所以k=—；当3 =2 a 时,tan 3 =tan 2 a，即2k= 又因为k>0，所以k=.14. 4 ［解析］•••直线丨过点(a,0)和(0,b),a€ N*,b€ N*,「.可设直线丨的方程为-+-=1. 丁直线丨过点(1,6),.••-+-=1，即卩6a=(a-1)b, 工1,当a>2 时,b=一=6+一.当a=2 时,b=12;当a=3 时,b=9;当a=4 时,b=8; 当a=7时,b=7;当a>7时满足条件的正整数b不存在.综上，满足条件的直线有4条.15. C ［解析］如图所示，可知A_,0),B(1,1),C(0, _),D(- 1,1),所以直线ABBCCD的方程分别为y=「(x- _),y=(1- _)x+ _,y=( _- 1)x+整理为一般式即为x+( _- 1 )y- 一=0,(1- _)x-y+ _=0,( _-1)x-y+ _=0,分别对应题中的ABD选项.故选C16. A ［解析］设C(mn),由重心坐标公式得,△ ABC的重心为，代入欧拉线方程得+2=0,整理得m-n+4=0①.AB的中点为(1,2),k A B=——=-2,则AB的中垂线方程为y-2=-(x- 1),即x-2y+3=0.由一得_•••△ ABC的外心为(-1,1).2 2 2 2 2 2则(m+1) +(n-1) =3 +(-1) =10,整理得m+n +2m-2n=8②,由①②得m=4n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时,BC重合,舍去，•顶点C的坐标是(-4,0).故选A.课时作业(四十九)1. C ［解析］由两条平行线之间的距离公式得所求距离d= - -=2，故选C2. C ［解析］由题意及点到直线的距离公式得一一= ，解得a二-或--,故选C解得交点坐标为- ，由题意得解得4. 0<k<_ ［解析］由方程组3. A ［解析］由两直线丨1：2x-y+3=0,1 2：mx+2y+1=0平行可得-=2且3斗-,解得m=4,故选A.0<k<-.5. - 2 ［解析］如图所示,A点关于x轴的对称点为A',则点A'在直线MB上.由对称性可知A' (3,-2),则光线MB所在直线的斜率k=：-=-2.16. A ［解析］设C(mn),由重心坐标公式得,△ ABC的重心为，代入欧拉线方程得+2=0, 6. A ［解析］由直线丨1：ax-(a+1)y+1=0与直线12：2x-ay- 1=0垂直，可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线Max-(a+1)y+1=0与直线|2：2x-ay- 1=0垂直”的充分不必要条件，故选A到y 轴的距离就是这条光线经过的最短路程 ，所以最短路程是3.7. B ［解析］由题意得-- • tan 0 =-1，二 tan 0 =2, - cos 2 0 = 8. B ［解析］因为直线I 与直线3x-4y+5=0关于x 轴对称所以直线I 的斜率与直线3x-4y+5=0的斜率 相反,所以可设直线I 的方程为3x+4y+b=0,又因为两直线在x 轴上的截距相等，所以b=5,所以直线I 的 方程为3x+4y+5=0,故选B9. C ［解析］如图所示，点A(3,-1)关于直线I ：x+y=0的对称点为qi,-3),直线BC 的方程为一=一，即 x- 4y-13=0,与x+y=0联立可得直线BC 与直线I 的交点坐标为一 -一 .|PA|+|PB|=|PC|+|PB|，由图可知,当点P 的坐标为一-—时,|PB|+|PC|取得最小值，即|PA|+|PB|取得最小值，故选C 10. C ［解析］由题意知点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称，两点连线的中点坐标为 --------- ,即(2,1).点 (0,2)与点(4,0)确定的直线的斜率为—=--，则折痕所在直线的斜率为2,所以折痕所在直线的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.由题意知点(7,3)与点(min)也关于直线y=2x- 3对称,则有 _ 解得所以m+nh.故选C.11. (3,0)［解析］T 直线I i ：y=kx+2-k 与直线12关于直线y=x-1对称，二直线I 2的方程为x- l=k(y+l)+2-k , 即x-ky- 3=0，显然直线I 2经过定点(3,0).12. 3 ［解析］由直线I 2经过点C(1 ,n),D(-1,m+|),可得丨2的斜率为 一^二-.因为直线I 1平行于12,所以直 线I 1的斜率也是--,即——=—,解得m=3.13. 3 ［解析］设点A 关于直线I 的对称点为B(mn),则 - 解得 即B(3,1).因为点B 二一,故选B.P(1,-2).由于直线(2k-1)x+ky+1=0经过定点P(1,-2),又|0P|=-= 一,所以原点到直线I 的距离 的最大值为 15. ②③［解析］根据题意，可通过求各直线上的点到点 M 的最小距离，即点M 到直线的距离d 来分析. 对于①,d= =3 —>4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”；对 于②,d=2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 的距离等于4,所以该直线是“切割型直 线”;对于③,d= - =4，所以直线上存在一点，使之到点M 的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”； 对于④,d= ^—>4,故直线上不存在点到点 M 的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”.16. - -［解析］设直线0P 的斜率为k,点0关于BC 的对称点为N 则点N 的坐标为(4,0),则直线NP 的斜 率为-k,故直线NP 的方程为y=-k(x-4)，故点E 的坐标为-- .易知直线EQ 的斜率为k,则直线EQ 的方程为y-2=k_x- (--+4)_ ,故点Q 的坐标为(-1,4- 5k).若OP 的斜率为-，即k=-，则点Q 的纵坐标为-. 若点Q 恰为线段AD 的中点，则4- 5k=1，即 k=-,即OP 的斜率为-•课时作业(五十) . . 2 2 . .1. D ［解析］圆x +y +ax=0的圆心坐标为--，二--=1,解得a=-2.故选D.2. B ［解析］•••线段ABx-y- 2=0(0<x < 2)的两个端点为(0,-2),(2,0),二圆心为(1,-1),半径为2 2---------- =，二圆的方程为(x-1) +(y+1) =2,故选B2 2 23. C ［解析］配方得［x-(2m+l)］ +(y-m) = m(m^ 0),所以圆心坐标为(2m+,n),令 消去m 得 x- 2y-1=0(x 工 1),故选 C . . 2 2 . . . .4. - 1 ［解析］圆的方程配方得(x-1)+y =1,则圆心为(1,0),半径为1,则由题意知圆心(1,0)在直线x+y+a=0 上，所以1+a=0，所以a=-1.14. ［解析］(2k- l )x+ky+i=o 可化为(1-x )+k (2x+y )=o,由 解得x=1,y=-2，即直线丨过定点5.2 ［解析］点P到直线l的距离的最小值是 --------- -1=2.6. D ［解析］由题意得，所以(x- 3)2+(y+4)2- 4=x2+y2,即6x- 8y- 21 =0,故选D7. D ［解析］一 =一+1,其中—表示半圆上的动点P(x,y)与点Q(0,1)所在直线的斜率.过点Q0,1)作QB与半圆相切,B为切点则在Rt△ CBC中, =- 所以/ CQB30 °则k oB=tan / CQB=,所以一-的最大值为一+1.8. D ［解析］直线AB：—+_=1，即卩4x-3y+12=0.若厶ABC的面积最小，则点C到直线AB的距离d最短，易知d min= ---------- 1.又|AB|= 5,^ABC的面积的最小值为-,•••-X 5X --------------- - =-,即| 4m+2|= 10,二m—或--,故选D2 2 2 2 . . . .9. A ［解析］将x +y -2x- 6y+9=0化成标准形式为(x- 1) +(y- 3) =1，则圆心为(1,3),半径r= 1.设所求圆的方程为(x-a) +(y-b) =1,则圆心为(a,b). J所求圆与圆x +y -2 x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称,•所求圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称,•-•-a=-7,b=-1,二与圆2 2 2 2x +y - 2x- 6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是(x+7) +(y+1) =1，故选A.2 o11. 1 ［解析］圆C(x-2)+(y+m-4) =1 的圆心为C(2,-m+4),半径r=1,可得= - ，•当时，最小，且最小值为2又|OC|min-r=2-仁1,故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是 1.12. 2 —［解析］因为M(mn)为圆Cx +y =4上任意一点，所以可设则m+2n =2cose +4sin 0 =2 "sin ( 0 +$ )<2 一，其中tan $「所以m+2n的最大值为2 一数形结合可得,——表示圆Cx2+y2=4上的点Mmn)与点P(-2,-3)连线的斜率，显然当直线PM与圆相切时，斜率最小.设此时切线的斜率为k,则切线方程为y+3=k(x+2),即kx-y+ 2k-3=0.由圆心到切线的距离等于半径，得^==2,解得k=—,所以-- 的最小值为一.2 210. (x-1) +(y-1)=2 ［解析］因为|CA|=|CB|=R ,△ ABC为直角三角形所以/C=90°，又C在第一象限所_ , . 2 2以C(1,1)且R= 一，故圆C的标准方程为(x- 1) +(y- 1) =2.13. 解:⑴当弦AB 为圆的直径时，圆的周长最小.弦AB 的中点为(0,1),|AB|= ___ . . 2 2 r= —则圆的方程为x+(y-1)=10. (2)k AB =-=-3,弦AB 的中点为(0,1),所以AB 的中垂线方程为y- 1d(x-0),即x- 3y+3=0.由- 解得 所以圆心为(3,2),. . _ . . 2 2 所以圆的半径r= - =2 一,所以圆的方程为(x- 3) +(y- 2) =20.14. 解:⑴设动点 P 的坐标为(x,y),则 =(x,y-1), =(x,y+1),=(1-x ，-y). 2 2 2 2 2=k| | ,.・.x +y-仁k[(x-1) +y ], 即(1-k)x 3 4+(1-k)y 2+2kx-k- 1=0 ①.若k=1则①为x=1,表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线；2 . .若k 工1,则①为 一 +y =—，表示以-— 为圆心,—为半径的圆.16. A ［解析］依题意得，函数f(x)的图像与两坐标轴的交点分别是 A(2018,0),B(-2019,0),C(0,- 2018X 2019).设经过点 A,B,C 的圆与 y 轴的另一个交点是 D(O,y 。

2020版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第8章 平面解析几何 8-5a Word版含解析.doc

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[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°， 因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上，连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°， 在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°， ∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2， 由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D. 二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案 733解析 依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y 24＝1. 13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. 14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2. 而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k2， ∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k2(x ＋22)，直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k2－22k 1－1＋2k 2 ＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ，则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4，令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得， k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)，化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23. 设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m 2.又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2， 所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2，所以S △MON ＝26t 24t 2＝62， 即△MON 的面积为定值62.。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练46

高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练46

分层限时跟踪练(四十六)(限时40分钟)[基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．(2015·福建高考)若双曲线E ：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【解析】 由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.【答案】 B2．(2015·湖南高考)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b2a2＝169.又b 2＝c 2－a 2，∴c2－a2a2＝169， 即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53. 【答案】 D3．(2015·天津高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x29－y213＝1 B.x213－y29＝1 C.x23－y 2＝1D ．x 2－y23＝1 【解析】 由双曲线的渐近线y ＝±b ax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a2＋b2＝c2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y23＝1. 【答案】 D4．已知双曲线x2m －y2n ＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y ＝112x 2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．22x ±y ＝0B ．x ±22y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 由抛物线方程知其焦点为(0,3)，因为双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，所以双曲线焦点在y 轴上，所以n ＜0，m ＜0，渐近线方程为y ＝±n mx .又e ＝3， ∴1＋－m －n ＝9，∴n m ＝18，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x 22. 【答案】 B5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D. 【答案】 D二、填空题6．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________. 【解析】 由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2。

2020版高考数学一轮复习(课后作业·理)第8章 平面解析几何 第7讲

2020版高考数学一轮复习(课后作业·理)第8章 平面解析几何 第7讲

第8章 平面解析几何 第7讲A 组 基础关1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案 D解析 抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的方程可化为x 2＝y a ，准线方程为y ＝－14a，由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＝6，解得a ＝112或－136，所以抛物线的方程为y ＝112x 2或y ＝－136x 2. 2．(2019·河南天一大联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点M (2，m )满足|MF |＝6，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝16x 答案 D解析 依题意，2＋p2＝6，故p ＝8，故抛物线C 的方程为y 2＝16x .3．已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，则以AF 为直径的圆与y 轴的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定 答案 C解析 如图，取AF 的中点C ，作CN ⊥y 轴，AM ⊥y 轴，垂足分别为N ，M ，可得|CN |＝12|AF |，所以以AF 为直径的圆与y 轴相切．4．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若△QAF 的面积为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)或(1，－2)B ．(1,4)或(1，－4)C ．(1,2)D ．(1,4)答案 A解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为△QAF 的面积为2，所以12×2×|y 0|＝2，即|y 0|＝2，所以x 0＝1，所以点P 的坐标为(1,2)或(1，－2)．5．(2018·长沙模拟二)已知点P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆C ：(x ＋2)2＋(y －4)2＝1上的一个动点，则x 0＋|PQ |的最小值为( )A ．25－1B ．2 5C ．3D ．4 答案 C解析 设抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，过点P (x 0，y 0)作准线l ：x ＝－1的垂线，垂足为N ，则x 0＋|PQ |＝|PN |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|CF |－2＝＋2＋42－2＝5－2＝3，当且仅当C ，P ，F 三点共线且点Q 在线段CF 上时取等号，则x 0＋|PQ |的最小值是3，故选C.6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)，又F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A ．－4 B ．4 C ．p 2D ．－p 2答案 A解析 解法一：若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 解法二：若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB 的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.所以y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.8．(2018·西宁检测一)已知点P (2,1)，若抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好是以P 为中点，则弦AB 所在直线方程是________．答案 2x －y －3＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2，且y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得2(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，且x 1≠x 2，则直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，又弦AB 过点P ，则所求直线方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.9．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________． 答案 16解析 如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝y 2＋－1y 1＋－1＝16. 10．过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线的斜率为1，则|AF |＝________.答案 1解析 把抛物线C 的方程x 2＝2y 改写为y ＝x 22求导得y ′＝x ，因为抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，即y ′＝x B ＝1，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以直线l 的方程为y ＝12，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，|AF |＝1.B 组 能力关1．(2018·衡水调研)已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为( )A ．12B ．24C ．16D ．32 答案 D解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －，得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32，综上可知，y 21＋y 22≥32.∴y 21＋y 22的最小值为32. 2.如图，已知直线与抛物线x 2＝2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A ．2B ．4 C.32 D.52答案 D解析 ∵OD ⊥AB ，∴k OD ·k AB ＝－1.又k OD ＝42＝2，∴k AB ＝－12，∴直线AB 的方程为y －4＝－12(x －2)，即y ＝－12x ＋5，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋5，x 2＝2py ，消去y 可得x 2＋px －10p ＝0，∴Δ＝p 2＋40p >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝－10p ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，又x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 1＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋5＝54x 1x 2－52(x 1＋x 2)＋25＝54×(－10p )－52×(－p )＋25＝0，∴p＝52. 3．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.答案 2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2， 所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′. 因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴． 因为M (－1,1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.4.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． 因为点P (1,2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB . 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， 因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)． C 组 素养关1．(2018·惠州高三第一次调研)已知圆x 2＋y 2＝12与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，点B 的横坐标为22，F 为抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)若过点F 且斜率为1的直线l 与抛物线和圆相交于四个不同的点，从左至右依次为P 1，P 2，P 3，P 4，求|P 1P 2|－|P 3P 4|的值．解 (1)设B (22，y 0)，由题意得⎩⎨⎧22＋y 20＝12，22＝2py 0p，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2，p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，P 4(x 4，y 4)，由题意知P 1，P 3在圆上，P 2，P 4在抛物线上．因为直线l 过点F (0,1)且斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝12，消去y ，得2x 2＋2x －11＝0， 所以x 1＋x 3＝－1，x 1x 3＝－112， |P 1P 3|＝1＋12·x 1＋x 32－4x 1x 3＝2·－2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝46. 联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4x －4＝0，所以x 2＋x 4＝4，x 2x 4＝－4， |P 2P 4|＝1＋12·x 2＋x 42－4x 2x 4＝2·42－－＝8.由题意，易知|P 1P 2|＝|P 1P 3|－|P 2P 3|，① |P 3P 4|＝|P 2P 4|－|P 2P 3|，②①－②得|P 1P 2|－|P 3P 4|＝|P 1P 3|－|P 2P 4|， 所以|P 1P 2|－|P 3P 4|＝46－8.2．已知点H (－1,0)，点P 在y 轴上，动点M 满足PH ⊥PM ，且直线PM 与x 轴交于Q 点，Q 是线段PM 的中点．(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)若点F 是曲线E 的焦点，过F 的两条直线l 1，l 2关于x 轴对称，且l 1交曲线E 于A ，C 两点，l 2交曲线E 于B ，D 两点，A ，D 在第一象限，若四边形ABCD 的面积等于52，求直线l 1，l 2的方程．解 (1)设M (x ，y )，P (0，y ′)，Q (x ′，0)，则PH →＝(－1，－y ′)，PQ →＝(x ′，－y ′)， ∵PH ⊥PM ，∴－x ′＋y ′2＝0，即y ′2＝x ′，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x ′，y ＋y ′2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝－y ，代入y ′2＝x ′，得(－y )2＝x2(x ≠0)． 故动点M 的轨迹E 的方程为y 2＝x2(x ≠0)． (2)由(1)知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，设直线l 1：x ＝ky ＋18(k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋18，y 2＝12x ，得y 2－k 2y －116＝0，∴y A ＋y C ＝k 2，y A ·y C ＝－116，依题意可知，四边形ABCD 是等腰梯形，∴S 四边形ABCD ＝y A ＋2y Dx D －x A2＝y A －2y Cx C －x A2＝(y A －y C )⎣⎢⎡⎦⎥⎤ky C ＋18－⎝ ⎛⎭⎪⎫ky A ＋18＝－k (y A －y C )2＝－k [(y A ＋y C )2－4y A ·y C ] ＝－k 3＋k4，由－14(k 3＋k )＝52，整理得k 3＋k ＋10＝0，∴(k ＋2)(k 2－2k ＋5)＝0，又k 2－2k ＋5>0，∴k ＝－2. ∴直线l 1的方程为y ＝－12x ＋116，同理可得直线l 2的方程为y ＝12x －116.∴直线l 1，l 2的方程分别为y ＝－12x ＋116，y ＝12x －116.。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练47

高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练47

分层限时跟踪练(四十七)(限时40分钟) [基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．(2015·兰州双基考试)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 【解析】 设抛物线的准线方程为x ＝－p2(p ＞0)，所以p2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.【答案】 B2．(2015·四川绵阳二诊)抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22 B.24 C.12 D.14【解析】 ∵抛物线y 2＝2x 上一点M (x ，y )到它的焦点F 的距离为32，∴x ＋12＝32，∴x＝1.当x ＝1时，y ＝±2，∴△OFM 的面积为12×12×2＝24.故选B.【答案】 B3．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题意p22＝2，则p ＝8，所以C 2的方程为x 2＝16y .【答案】 D4．(2015·洛阳统考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝( )A.14 B ．1 C.54D ．2【解析】 由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋1＝5，解得x 1＝4，y 21＝4x 1＝16，由对称性，不妨取y 1＝4，所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程得4x 2－17x ＋4＝0，∴x 1＝4，x 2＝14，∴|BF |＝x 2＋1＝54.【答案】 C5．(2015·九江一模)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( )A.34B.32C. 3 D ．3 【解析】 设A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6，解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，得C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22x －，解得B (1，－22)，∴|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，∴λ＝3.【答案】 D 二、填空题6．(2015·陕西高考)若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝__________.【解析】 抛物线的准线方程为x ＝－p2，p >0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.【答案】 2 27．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若点A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.【解析】 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵y 2＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1.焦点F (1,0)，又A 到准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3.∵x A x B ＝p 24＝1，∴x B ＝13，∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝163.【答案】1638．(2015·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．【解析】 由题意，从点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形知|MA |＋|MM 1|的最小值为圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于5.因此|MA |＋|MF |的最小值为5.【答案】 5 三、解答题9．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，∴p ＝4， 从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.图8­7­410．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【解】 (1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－1＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．[能 力 练]扫盲区 提素能1．(2015·成都模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||PA |的最小值是( )A.12B.22C.32D.223【解析】 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过P 作PN 垂直x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接PA ， 在Rt △PAN 中，sin ∠PAN ＝|PN ||PA |，当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin ∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°，|PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos ∠NPA ＝22， 故选B. 【答案】 B2．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且|RA |＝|RB |，|FA |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A.32 B ．1 C ．2 D.12【解析】 依题意知|FA |＋|FB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋2＝5，解得p ＝1，设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减并整理得y 2－y 1x 2－x 1＝2y 2＋y 1＝21×2＝1，∴k AB＝1.【答案】 B3．已知P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．【解析】 由于P 、Q 为抛物线x 2＝2y 上的点，且横坐标分别为4，－2，则P (4,8)，Q (－2,2)，从而在点P 处的切线斜率k 1＝4，由点斜式得曲线在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，同理在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)．联立这两个直线方程，可解得交点A 的纵坐标为－4.【答案】 －44．(2015·绵阳诊断)已知A 是抛物线y 2＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线FA 交抛物线的准线于点B (点B 在x 轴上方)，若|AB |＝2|AF |，则点A 的坐标为___________________________________________________________________．【解析】 依题意，①若点A 位于x 轴上方，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A 1，则有|AB |＝2|AF |＝2|AA 1|，∠BAA 1＝60°，直线AF 的倾斜角为120°.又点F (1,0)，因此直线AF 的方程为y ＝－3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝－3x －，y 2＝4x y ＞，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝233.此时点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.②若点A 位于x 轴下方，则此时点F (1,0)是线段AB 的中点，又点B 的横坐标是－1，故点A 的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y ＝－4×3＝－23，点A 的坐标是(3，－23)．综上所述，点A 的坐标是(3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233.【答案】 (3，－23)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2335．如图8­7­5，已知直线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于D ，且点D 的坐标为(3，3)．图8­7­5(1)求p 的值；(2)若F 为抛物线的焦点，M 为抛物线上任一点，求|MD |＋|MF |的最小值．【解】 (1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，k OD ＝33，则k AB ＝－3，直线AB 的方程为y －3＝－3(x －3)，即3x ＋y －43＝0，将x ＝y 22p代入上式，整理得3y 2＋2py －83p ＝0，∴y 1y 2＝－8p ，由OA ⊥OB 得y 21y 224p2＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＋4p 2＝0，∴－8p ＋4p 2＝0，又p ＞0，则p＝2.(2)由抛物线定义知|MD |＋|MF |的最小值为D 点到抛物线y 2＝4x 准线的距离，又准线方程为x ＝－1，因此|MD |＋|MF |的最小值为4.6．(2015·湖南高考)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a ＋x 2b＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．【解】 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①②，得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝162k2＋8k22＋4×649＋8k2，即16(k2＋1)＝162k2＋＋8k22，所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±64，即直线l的斜率为±64.。

【数学】2020届高考数学一轮复习：第八章 平面解析几何

【数学】2020届高考数学一轮复习：第八章 平面解析几何

第八章⎪⎪⎪平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率＝tan_α.(2)P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)在直线l 上，且1≠2，则l 的斜率＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用范围斜截式 纵截距、斜率 y ＝＋b 与轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率y －y 0＝(－0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式A ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线 若点P 1，P 2的坐标分别为(1，y 1)，(2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝表示过点P 1(1，y 1)，且斜率为的直线方程 B ．直线y ＝＋b 与y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb＝1D ．方程(2－1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(－1)表示过点P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)的直线解析：选D 对于A ，直线不包括点P 1，故A 不正确；对于B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；对于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x a ＋yb ＝1，故C 不正确；对于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：＋y ＋2＝0在轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：＋y ＋2＝0，令y ＝0，得＝－2，即直线l 1在轴上的截距为－2；令＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝－2，即－y －2＝0.答案：－2 －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于轴的直线；两点式方程不能表示垂直于，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．直线cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈[－1,1]，所以－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上均为增函数， 故θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.故选B. 2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为－5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为， 则所求直线方程为y －10＝(－5)， 即－y ＋10－5＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得＝34.故所求直线方程为3－4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为－5＝0或3－4y ＋25＝0. 答案：－5＝0或3－4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：选C 因为直线l 的斜率＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则PA ≤≤PB ，而PB ＞0，PA ＜0，故＜0时，倾斜角α为钝角，＝0时，α＝0，＞0时，α为锐角．又PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，PB ＝1－(－1)2－0＝1，∴－1≤≤1. 又当0≤≤1时，0≤α≤π4；当－1≤＜0时，3π4≤α＜π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b 的值．解：∵AB ＝0－2a －2＝－2a －2，AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，的值由－∞趋近于0(≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A (1，y 1)，B (2，y 2)，一般根据斜率公式＝y 2－y 1x 2－x 1(1≠2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为A ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率＝－AB . 考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)，∴直线方程为y ＝14，即－4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1，解得a ＝5，∴直线方程为＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为－4y ＝0或＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(＋1)，即3＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(－3)． 即所求直线的方程为－y ＋1＝0或＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．(2)过点(2,1)且在轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________． 解析：(1)由3＋y ＋1＝0，得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(＋3)， 即3－y ＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为＋y －3＝0或＋2y －4＝0. 答案：(1)3－y ＋6＝0 (2)＋y －3＝0或＋2y －4＝0考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝(－2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)． ∵直线l 与轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得＜0. ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2)＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k ) ＝4，当且仅当－1k＝－4，即＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(－2)，即＋2y－4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)(＜0)，∴截距之和为2－1k ＋1－2＝3－2－1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2＝－1k ，即＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(－2)， 即＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2)(＜0)， ∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4， 当且仅当－＝－1k ，即＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(－2)，即＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝2＋2＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2＋2，设P (0，y 0)， 则＝20＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤≤1，即0≤20＋2≤1，故－1≤0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：a －2y ＝2a －4，l 2：2＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12. [通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线＋my ＝0和过定点B 的动直线m －y －m ＋3＝0交于点P (，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线＋my ＝0与m －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：－y ＋1＋2＝0(∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求的取值范围；(3)若直线l 交轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝(＋2)＋1，故无论取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝＋2＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得≥0，故的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2， ∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2)．又－1＋2kk＜0且1＋2＞0，∴＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2)＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4＝1k ，即＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为－2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可知斜率＝－1a 2＋1，设倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1，而－1≤－1a 2＋1＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选B.2．直线sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为1，2，3，则( ) A ．1＜2＜3 B ．3＜1＜2 C ．3＜2＜1 D ．1＜3＜2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜3＜2，因此1＜3＜2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝3－＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝32－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知， θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．＋y ＝0 B ．－y ＋2＝0 C ．＋y ＋2＝0D ．－y ＝0解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)， 所以BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为－y ＋2＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线－2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3＋2B ．y ＝3－2C ．y ＝3＋12D ．y ＝－3＋2 解析：选A ∵直线－2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：a ＋y ＋b ＝0和直线l 2：b ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合．4．若直线－2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．函数y ＝a 1－(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在m ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a 1－(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn ＞0)． ∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2 n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n 的最小值为4.6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即＋13y ＋5＝0.答案：＋13y ＋5＝07．若直线a ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为________________．解析：由a ＋y ＋3a －1＝0，可得a (＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝0，y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2＋3y －6＝0上，设直线2＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2＋3y ＋12＝0.答案：2＋3y ＋12＝08．若圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0关于直线a －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是________．解析：由圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0知其标准方程为(＋1)2＋(y －3)2＝9， ∵圆2＋y 2＋2－6y ＋1＝0关于直线a －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)． ∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号． 故1a ＋3b 的最小值是163.答案：1639．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝(＋3)＋4，它在轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3＋4，由已知，得(3＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得1＝－23或2＝－83.故直线l 的方程为2＋3y －6＝0或8＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16＋b ，它在轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为－6y ＋6＝0或－6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得OA ＝tan 45°＝1， OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝，l OB ：y ＝－33. 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以AB ＝AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(－1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)－2y －3－3＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e ＞0，所以e ＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e ＝1e x ，即＝0时取等号)，所以e ＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当＝0时取等号)． 所以当＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(－0)，即＋4y －2＝0.该切线在轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1.因为1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号． 此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率存在且＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝(－3)(＜0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3)， S △ABO ＝12(2－3)⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9＝4－k，即＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为1，2，则有l 1∥l 2⇔1＝2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为1，2，则有l 1⊥l 2⇔1·2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式P 1(1，y 1)，P 2(2，y 2)两点之间的距离 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 点P 0(0，y 0)到直线l ：A ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线A ＋By ＋C 1＝0与A ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线m ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线m ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(,1－)，∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(，y )，则y ＝1－，即动点P 的轨迹方程为＋y －1＝0.原点到直线＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值． 答案：＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：－y －1＝0与直线l 2：＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：－y －1＝0与直线l 2：＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线a ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线a ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D. 2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4－1和＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为＝－4a 和y ＝a 4－34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2－4b ＋2和y ＝－a b －2＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线a ＋by －6＝0与直线2＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：m ＋8y ＋n ＝0和l 2：2＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823 C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1：－y ＋6＝0，l 2：－y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|P Q |min ＝|3×2＋4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝(＋1)，即－y ＋＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3－1|＝|－3－3|，∴＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(＋1)，即＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为＋3y －5＝0或＝－1.法二：当AB ∥l 时，有＝AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(＋1)，即＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为＝－1.故所求直线l 的方程为＋3y －5＝0或＝－1. 答案：＋3y －5＝0或＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2－3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为－y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：a ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0，解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三对称问题(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2＋y－8＝0和l2：－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为＋4y－4＝0.答案：＋4y－4＝02．已知直线l：2－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________．解析：法一：在l：2－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2－3y－9＝0.法二：设P(，y)为l′上任意一点，则P(，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－，－4－y)，∵P′在直线l上，∴2(－2－)－3(－4－y)＋1＝0，即2－3y－9＝0.答案：2－3y－9＝0角度二：点关于线对称3．已知直线l：2－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．解：(1)设A ′(，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9－46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2－y ＋3＝0关于直线－y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．－2y ＋3＝0 B ．－2y －3＝0 C ．＋2y ＋1＝0D ．＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (，y )，则P 关于－y ＋2＝0的对称点为P ′(0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(0，y 0)在直线2－y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(＋2)＋3＝0， 即－2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (1，y 1)及N (，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(1，y 1)与P 2(2，y 2)关于直线l ：A ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(2，y 2)(其中B ≠0，1≠2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2的对称点为(，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(－3)，即3＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－(－4)(＋4)，即－3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)．2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：－y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：－y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6－y －6＝0. 答案：6－y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2－y ＋2＝0上，点C 在轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2－y ＋2＝0的对称点为A 1(1，y 1)，点A 关于轴的对称点为A 2(2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2－y ＋2＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝(4－0)2＋(－5－7)2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线a ＋3y ＋3＝0和直线＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线a ＋3y ＋3＝0和直线＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(－2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)． 3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6＋5y －1＝0B ．5＋6y ＋1＝0C ．5－6y －1＝0D ．6－5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(－1)，即6－5y －1＝0.4．已知点P (4，a )到直线4－3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3－2y －1＝0,6＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________． 解析：依题意知，63＝a－2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6＋ay ＋c ＝0可化为3－2y ＋c2＝0，又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：a ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：－ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线a ＋y －1＝0与过定点Q 的直线－ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以P Q 为直径的圆上， ∵|P Q |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|M Q |2＝|P Q |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2－3在＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－32，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为＝2－3＝－1，所以切线的方程为＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722.3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3＋4y －12＝0与6＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2－3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (，y )＝0，P 1(1，y 1)和P 2(2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (，y )＝0，知方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(1，y 1)为直线l 上的点，则f (1，y 1)＝0，f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0化为f (，y )－f (2，y 2)＝0，显然P 2(2，y 2)满足方程f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0，所以f (，y )－f (1，y 1)－f (2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：－y －1＝0和l 2：－1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2－y ＋3＝0. 答案：2－y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝(－3)， 即－y ＋4－3＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴＝2或＝－23.∴所求直线l 的方程为2－y －2＝0或2＋3y －18＝0. 答案：2－y －2＝0或2＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q |＝[2－(－1)]2＋(－1－3)2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2－y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为－2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2－y －5＝0， 得20－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(－4)，即6－5y －9＝0.。

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【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练46(限时40分钟)一、选择题1．(2015·福建高考)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )A．11 B．9 C．5 D．3【解析】由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.【答案】B2．(2015·湖南高考)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.53【解析】由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.又b2＝c2－a2，∴＝，即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.【答案】D3．(2015·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1 D．x2－＝1【解析】由双曲线的渐近线y＝±x与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a2＋b2＝c2，解得故所求双曲线的方程为x2－＝1. 【答案】 D4．已知双曲线－＝1的离心率为3，有一个焦点与抛物线y ＝x2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．2x±y＝0B ．x±2y＝0C ．x ±2y＝0D ．2x±y＝0【解析】 由抛物线方程知其焦点为(0,3)，因为双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，所以双曲线焦点在y 轴上，所以n ＜0，m ＜0，渐近线方程为y ＝±x.又e ＝3，∴1＋＝9，∴＝，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±. 【答案】 B5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. B ．2 C. D. 2【解析】不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a ，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为.∵M 点在双曲线上，∴－＝1，a ＝b ， ∴c ＝a ，e ＝＝.故选D. 【答案】 D 二、填空题6．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.【解析】由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b＝.【答案】 37．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为______________________________________________．【解析】∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.【答案】－y2＝18．(2015·湖南高考)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P, 使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________．【解析】不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，则－＝1，故＝5，即e＝＝.【答案】 5三、解答题9．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，∴|MC1|－|MC2|＝2，又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8， ∴2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．又a ＝，c ＝4， ∴b2＝c2－a2＝14，∴点M 的轨迹方程是－＝1(x ≥)．10．(2015·潍坊模拟)已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若△F1AB 的面积等于6，求直线l 的方程． 【解】 (1)依题意，b ＝，＝2⇒a ＝1，c ＝2， ∴双曲线的方程为x2－＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知F2(2,0)．易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意， 故可设直线l ：y ＝k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，x2－y23＝1，消元得(k2－3)x2－4k2x ＋4k2＋3＝0，k≠±时，x1＋x2＝， x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB 的面积S ＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·16k4－－＋|k2－3|＝6.得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.所以直线l方程为y＝x－2或y＝－x＋2.1．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1(m＞n＞0)有共同的焦点F1，F2(F1为左焦点，F2为右焦点)，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝( ) A．m2－a2 B.－ aC.(m－a) D．m－a【解析】不妨设点P是第一象限内的两曲线的交点，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2，求得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，所以|PF1|·|PF2|＝(＋)·(－)＝m－a.【答案】D2．(2015·辽宁五校联考)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M，与双曲线交于点N(设点M，N均在第一象限)，当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率取值为e0，则e0所在的区间为( )A．(1，) B．(，)C．(，2) D．(2,3)【解析】由得N，同理得M(a，b)，又F1(－c,0)，则kMF1＝，kON＝，∵MF1∥ON，∴＝，∴a＝(a＋c)b，化简得2a2c－c3＝2ac2－2a3，即2e－e3＝2e2－2，设f(e)＝e3＋2e2－2e－2，易知f(1)＝1＋2－2－2＜0，f()＝2＋4－2－2＞0，∴1＜e0＜.故选A.【答案】A3．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．【解析】设点P在双曲线右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，则|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.∵在双曲线中c>a，∴在△PF1F2中|PF2|所对的角最小且为30°.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 30°，即4a2＝16a2＋4c2－8ac，即3a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0，∴c＝a，即＝.∴e＝.【答案】 34．(2015·日照模拟)已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q，且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为______________．【解析】设F2(c,0)(c＞0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得y0＝±，∵PQ⊥x轴，∴|PQ|＝.在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)．∵a＞0，b＞0，∴＝.故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.【答案】y＝±x5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F 到直线x＝的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点．已知A(1,0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【解】(1)依题意有＝，c－＝，∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线C的方程为x2－＝1.(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m＞0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，由得2x2－2mx－m2－3＝0，∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，又∵·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，∴m＝0(舍)或m＝2，∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，∴AD⊥AB，∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，∴过A、B、D三点的圆与x轴相切．6．(2014·福建高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图8­6­1，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B 分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．图8­6­1【解】(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c ＝a ，从而双曲线E 的离心率e ＝＝.(2)法一：由(1)知，双曲线E 的方程为－＝1. 设直线l 与x 轴相交于点C.当l⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则|OC|＝a ，|AB|＝4a. 又因为△OAB 的面积为8， 所以|OC|·|AB|＝8， 因此a·4a＝8，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为－＝1. 若存在满足条件的双曲线E ， 则E 的方程只能为－＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：－＝1也满足条件． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k>2或k<－2， 则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得y1＝，同理，得y2＝. 由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·＝8， 即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)． 由得(4－k2)x2－2kmx －m2－16＝0. 因为4－k2<0，所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)． 又因为m2＝4(k2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为－＝1. 法二：由(1)知，双曲线E 的方程为－＝1.设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得－＜m＜.由得y1＝，同理，得y2＝.设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)．由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8，得1|t|·＝8.2所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．由得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0.因为4m2－1＜0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，即4m2a2＋t2－a2＝0，即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0，即(1－4m2)(a2－4)＝0，所以a2＝4，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.法三：当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意，得k＞2或k＜－2.由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0.因为4－k2＜0，Δ＞0，所以x1x2＝.又因为△OAB的面积为8，所以|OA|·|OB|·sin∠AOB＝8，又易知sin ∠AOB＝，所以·＝8，化简，得x1x2＝4.所以＝4，即m2＝4(k2－4)．由(1)得双曲线E的方程为－＝1，由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.因为4－k2＜0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，所以双曲线E的方程为－＝1.当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.。

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