2017届高考数学一轮复习 第7节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系应用能力提升 文
高考数学一轮总复习 9.8 直线与圆锥曲线精品课件 理 新人教版
16
9
+ =1
16
9
2
2
得(16m +9)x -32m(m-1)x+16m2-32m-128=0.(*)
∵Δ=322m2(m-1)2-4(16m2+9)·(16m2-32m-128)
=576(15m +2m+8)=576 15
2
1 2
+
15
+
119
15
>0,
∴方程(*)恒有实根.∴原方程组恒有解.故直线 l 与椭圆总有交点.
证法二:直线 l 的方程可化为 m(x-1)+(-y+1)=0,
故直线 l 恒过 x-1=0 和-y+1=0 的交点 A(1,1).
又点 A
2
在椭圆
16
2
+ =1
9
内部,∴直线 l 与椭圆总有交点.
答案
答案
(dá àn)
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
||
=4,从而 t=±2 13.
9
+1
4
由于±2 13∉ [-4 3,4 3],
所以符合题意的直线 l 不存在.
考点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
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考点(kǎo diǎn)四
探究
(tànjiū)突
破
解法二:(1)依题意,可设椭圆 C
4
2
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆 2 + 2=1
2017届高考数学一轮总复习第九章直线与圆圆锥曲线第52讲直线与圆圆与圆的位置关系课件文新人教A版
(2)设 AB 交 O1O2 于点 C，则 Rt△AO1C 中，|AC| ＝ 2，
|AO1|＝2，则|O1C|＝ 2， 故 Rt△AO2C 中，|O2C|＝ 2，∴|AO2|＝2， 故圆 O2 的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝4.
【解析】(1)设 Cx0，y0，则 2x0＋y0＝0y0<0，又 32－y20＝ 5，得 x0＝1，y0＝－2，则 C1，－2.
所以圆 C 的方程为x－12＋y＋22＝9，即 x2＋y2 －2x＋4y－4＝0.
(2)设这样的直线 l 存在，其方程为 y＝x＋b，它
二、圆与圆的位置关系 例 2 圆 O1 的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆 O2 的圆 心为 O2(2，1). (1)若两圆相切，求圆 O2 的方程； (2)若两圆交于 A，B 两点，且|AB|＝2 2，求圆 O2 的方程.
【解析】(1)圆 O1 的圆心为 O1(0，－1)，半径为 2， |O1O2|＝ 22＋（1＋1）2＝2 2>2， 故点 O2 在圆 O1 的外部，可分为如下两种情形求 解： ①若两圆外切，得圆 O2 的半径＝2 2－2， 故圆 O2 的方程为： (x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2；
(2)设
C
的标
准方
程为
x2 a2
＋
by22＝
1(a＞
b＞
0)，点
A(x1，y1)，B(x2，y2).
由点 P 在 C 上知a22＋b22＝1，并由xya2＝2＋xby＋22＝31，， 得 b2x2＋4 3x＋6－2b2＝0.
又 x1，x2 是方程的根，因此 x1＋x2＝－4b23， x1x2＝6－b22 b2.
高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第7节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关
第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系知识点、方法题号直线与圆锥曲线位置关系1,2,7,10,13,14,15弦长问题4,5,6,9,12中点弦问题3,8,11基础对点练(时间:30分钟)1.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是( A )(A)1 (B)2 (C)1或2 (D)0解析:因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.2.已知椭圆C的方程为+=1(m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为( B )(A)2 (B)2(C)8 (D)2解析:根据已知条件得c=,则点(,)在椭圆+=1(m>0)上,所以+=1,可得m=2.3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),方向向量为d=(1,1)的直线与C交于两点A,B,若线段AB的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程是( B )(A)2x±y=0 (B)x±2y=0(C)x±y=0 (D)x±y=0解析:设方向向量为d=(1,1)的直线方程为y=x+m,由消去y得(b2-a2)x2-2a2mx-a2m2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点为(4,1).所以x1+x2==8,y1+y2=8+2m=2,则m=-3,所以=8,所以a=2b,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.4.(2016丽水模拟)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( C )(A)2 (B)(C)(D)解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意知Δ=(2t)2-5(t2-1)>0即t2<5,|AB|=≤.5.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+等于( A )(A) (B)1 (C)2 (D)4解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,则直线y=k(x-2)过点F,联立得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4+,x1x2=4,所以+=+===.6.(2016杭州模拟)F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MF⊥x轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F点的坐标为(2,0),因为MF⊥x轴,M在椭圆上且在第一象限,所以M点的坐标为(2, ),设直线MN的斜率为k(k>0),则直线MN的方程为y-=k(x-2),即kx-y-2k+=0,因为直线MN与圆x2+y2=1相切,所以原点到直线MN的距离等于半径1,即=1解得k=或k=-(舍去),所以直线MN的方程为x-y-=0,联立圆的方程x2+y2=1可得N点坐标为(,-),所以|NF|==.7.(2015滨州模拟)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为.解析:由题意得,抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,所以=,所以a=2b.因为P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,所以|FF1|=3,所以c2+4=9,所以c=,因为c2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1.所以双曲线的方程为-x2=1.答案:-x2=18.(2014高考江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以+×(-)=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得=,所以e=.答案:9.设抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的倾斜角等于60°,则|PF|等于.解析:在△APF中,|PA|=|PF|,|AF|sin 60°=4,所以|AF|=,又∠PAF=∠PFA=30°,过点P作PB⊥AF于点B,则|PF|==.答案:10.(2016山西模拟)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程.解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为c=1,=,所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,联立方程得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得x1=-2x2,又所以消去x2得()2=,解得k2=,k=±,所以直线l的方程为y=±x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.11.(2016广东肇庆二模)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(-2,0),F2(2,0),双曲线C 上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程;(3)已知定点G(1,2),点D是双曲线C右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值.解:(1)依题意,得双曲线C的实半轴长a=1, 半焦距c=2,所以其虚半轴长b==.又其焦点在x轴上,所以双曲线C的标准方程为x2-=1.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则两式相减,得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.因为M(2,1)为AB的中点,所以所以12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即k AB==6.故AB所在直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.(3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2,即|DF1|=|DF2|+2,所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2,当且仅当G,D,F2三点共线时取等号.因为|GF2|==,所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=+2.故|DF1|+|DG|的最小值为+2.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016大连双基测试)过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B,C两点,l与抛物线准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|等于( A )(A) (B)6 (C)(D)8解析:不妨设直线l的倾斜角为θ,其中0<θ<,点B(x1,y1),C(x2,y2),则点B在x轴的上方.过点B作该抛物线的准线的垂线,垂足为B1,于是有|BF|=|BB1|=3,=,由此得p=2,抛物线方程是y2=4x,焦点F(1,0),cos θ====,sin θ==,tan θ==2,直线l:y=2(x-1).由消去y,得2x2-5x+2=0,x1+x2=,|BC|=x1+x2+p=+2=.13.在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为.解析:设直线MN的方程为y=-x+b,代入y=x2中,整理得x2+x-b=0,令Δ=1+4b>0,所以b>-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,=-+b=+b,由(-,+b)在直线y=x+3上,即+b=-+3,解得b=2,联立解得答案:(-2,4),(1,1)14.(2015沈阳模拟)已知点A(-,0),点B(,0),且动点P满足|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点的充要条件为k∈.解析:由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a=2,c=,则b==1,所以P点的轨迹方程为x2-y2=1(x>0),其一条渐近线方程为y=x.若P点的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点,则需k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)15.已知椭圆C:+y2=1(a>0)的焦点在x轴上,右顶点与上顶点分别为A,B.顶点在原点,分别以A,B为焦点的抛物线C1,C2交于点P(不同于O点),且以BP为直径的圆经过点A.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若与OP垂直的动直线l交椭圆C于M,N不同两点,求△OMN面积的最大值和此时直线l 的方程.解:(1)由已知得A(a,0),B(0,1),所以以A为焦点的抛物线C1的方程为y2=4ax,以B为焦点的抛物线C2的方程为x2=4y.由得P(4,4),又以BP为直径的圆经过点A,所以⊥,·=0,(4-a,4)·(-a,1)=0,即-4+4=0,得=2,a2=8,故椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知P(4,8),k OP=,所以直线l的斜率k l=-.设直线l的方程为y=-x+t,由得5y2-2ty+t2-4=0,则Δ=4t2-4×5×(t2-4)>0,解得t2<5,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,由弦长公式得|MN|=|y2-y1|=×=.又点O到直线l的距离为d==|t|,所以S△OMN=|MN|·d=××|t|=×2≤×(t2+5-t2)=,当且仅当t2=5-t2时等号成立,又t2<5,易知当t=±时,△OMN的面积取得最大值,此时直线l的方程为y=-x±.精彩5分钟1.已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2分别是它的左、右焦点,A是它的右顶点,过点F1作一条斜率为k的直线交双曲线于异于顶点的两点M,N,若∠MAN=90°,则该双曲线的离心率为( B )(A)(B)2 (C)(D)解题关键:把∠MAN=90°转化为·=0.解析:由题意可得过点F1的直线方程为y=k(x+c)(k≠0),联立方程消去y得(b2-a2k2)x2-2a2k2cx-a2c2k2-a2b2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.因为∠MAN=90°,所以·=(x1-a)·(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a2+k2(x1+c)(x2+c)=0,所以(1+k2)x1x2+(ck2-a)(x1+x2)+a2+k2c2=0,即-(1+k2)+(ck2-a)+a2+k2c2=0,所以-2a3c-3a2c2+c4=0,即--3+e2=0,即=0,又e>1,解得e=2.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0),A(异于原点O)为抛物线上一点,过焦点F作平行于直线OA的直线,交抛物线C于P,Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于点B,则|FP|·|FQ|-|OA|·|OB|等于( A )(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2解题关键:联立方程组,利用根与系数的关系及弦长公式求解.解析:设直线OA的斜率为k(k≠0),则直线OA的方程为y=kx,由得A(,), 易知B(,),PQ:y=k(x-),由消去x得-y-=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-p2,根据弦长公式得|FP|·|FQ|=|y1|·|y2|=(1+)|y1y2|=(1+)p2,而|OA|·|OB|=·=(1+)p2,所以|FP|·|FQ|-|OA|·|OB|=0.。
高三数学一轮复习 §2.5 直线与圆锥曲线
§2.5直线与圆锥曲线学习目标 1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.知识点二弦长公式若直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2].1．直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切．( × ) 2．直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数．( √ )题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判定例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？ 解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③ 这个关于x 的一元二次方程的判别式 Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)由Δ>0，得－32<m <3 2.于是，当－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m <－32或m >3 2.从而当m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．反思感悟 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形．跟踪训练1 已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，直线l 的斜率为k 且直线l 过点P (1,1)，当k 为何值时，直线l 与双曲线C ：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？ 解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋(1－k )，x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.(*)当k 2－2＝0，即k ＝±2时，(*)式只有一解，直线l 与双曲线相交，只有一个公共点． 当k 2－2≠0时，Δ＝24－16k ，若Δ＝0，即k ＝32，方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；若Δ>0，即k <32且k ≠±2，方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；若Δ<0，即k >32，方程(*)无解，直线与双曲线无公共点．综上，(1)当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点；(2)当k <32且k ≠±2时，直线l 与双曲线有两个公共点；(3)当k >32时，直线l 与双曲线无公共点．题型二 中点弦及弦长问题例2 已知点A (－1,0)，B (1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且k MA ·k MB ＝－2. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点(0,1)作直线PQ 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|PQ |＝322，求直线PQ 的方程．解 (1)设M (x ，y )，则k MA ＝yx ＋1，k MB ＝yx －1(x ≠±1)， ∴yx ＋1×yx －1＝－2，∴x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)当直线PQ 的斜率不存在，即PQ 是椭圆的长轴时，其长为22，显然不合题意，即直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0.∵Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0，∴k ∈R ， x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2， ∴|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22·k 2＋1k 2＋2，∴|PQ |＝322＝22·k 2＋1k 2＋2，k 2＝2，k ＝±2，∴直线PQ 的方程是y ±2x －1＝0.反思感悟 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意．跟踪训练2 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B ，C 是AB 中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 设椭圆方程为ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0，a ≠b )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得， a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a ， 再由|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4， 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 2＋2y 2＝3. 题型三 圆锥曲线中的最值及范围问题例3 已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)求证：直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值．(1)证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx (易知k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，得A ⎝⎛⎭⎫2k 2，2k ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，得B (2k 2，－2k )．∴直线AB 所在直线方程为(y ＋2k )⎝⎛⎭⎫2k 2－2k 2＝⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x －2k 2)，化简得x －⎝⎛⎭⎫1k －k y －2＝0， ∴直线过定点P (2,0)．(2)解 由于直线AB 所在直线方程过定点P (2,0)， ∴可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，得y 2－2my －4＝0.∴|y 1－y 2|＝(2m )2＋16＝4m 2＋16.∴S △AOB ＝12|y 1|·|OP |＋12|y 2|·|OP |＝12|OP |·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝4m 2＋16≥4.∴△AOB 面积的最小值为4. 反思感悟 (1)求参数范围的方法根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． (2)求最值问题的方法 ①几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． ②代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，∴AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解． ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2，设C (x C ，y C )，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k (x B －4)＋2－[－k (x C －4)＋2]x B －x C＝k (x B ＋x C －8)x B －x C＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5>m ，则m ≥1， 若5<m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1,4) 答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交， 设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，得4x 2－4x －m ＝0.(*) 设此直线与抛物线相切，有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入(*)式，得x ＝12，y ＝1，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43.∴S △AOB ＝12|OF ||y A －y B |＝53.5．过点A (6,1)作直线l 与双曲线x 216－y 24＝1相交于两点B ，C ，且A 为线段BC 的中点，则直线l 的方程为________________． 答案 3x －2y －16＝0解析 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116－y 214＝1，x 2216－y224＝1，∴x 21－x 2216－y 21－y 224＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝124×2＝32.即k BC ＝32，∴直线l 的方程是y －1＝32(x －6)．即3x －2y －16＝0，经验证符合题意．1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切． 2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解67---圆锥曲线中定点与定值问题
高考数学一轮复习考点知识专题讲解圆锥曲线中定点与定值问题题型一 定点问题例1已知定圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆M 过点B (3，0)，且和圆A 相切． (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ，Q ，点N (4,0)．若P ，Q ，N 三点不共线，且∠ONP ＝∠ONQ .证明：动直线PQ 经过定点． (1)解圆A 的圆心为A (－3，0)，半径r 1＝4. 设动圆M 的半径为r 2， 依题意有r 2＝|MB |.由|AB |＝23，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ， 故|MA |＝r 1－r 2，即|MA |＋|MB |＝4>2 3.所以动点M 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆， 其方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－b 2＋1)>0，设P (x 1，kx 1＋b )，Q (x 2，kx 2＋b )，则x1＋x2＝－8kb1＋4k2，x1x2＝4b2－41＋4k2，于是k PN＋k QN＝kx1＋bx1－4＋kx2＋bx2－4＝2kx1x2－(4k－b)(x1＋x2)－8b(x1－4)(x2－4)，由∠ONP＝∠ONQ知k PN＋k QN＝0.即2kx1x2－(4k－b)(x1＋x2)－8b＝2k·4b2－41＋4k2－(4k－b)－8kb1＋4k2－8b＝8kb2－8k1＋4k2＋32k2b－8kb21＋4k2－8b＝0，得b＝－k，Δ＝16(3k2＋1)>0.故动直线l的方程为y＝kx－k，过定点(1,0)．教师备选在平面直角坐标系中，已知动点M(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点N(4,4)作斜率为k1，k2的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且1k1＋1k2＝1.证明：直线AB恒过定点．(1)解由题意可知x2＋(y－1)2＝y＋1，化简可得曲线C：x2＝4y.(2)证明由题意可知，N(4,4)是曲线C：x2＝4y上的点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则l NA：y＝k1(x－4)＋4，l NB：y＝k2(x－4)＋4，联立直线NA 的方程与抛物线C 的方程， ⎩⎨⎧y ＝k 1(x －4)＋4，x 2＝4y⇒x 2－4k 1x ＋16(k 1－1)＝0， 解得x 1＝4(k 1－1)，① 同理可得x 2＝4(k 2－1)，② 而l AB ：y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，③又1k 1＋1k 2＝1，④由①②③④整理可得l AB ：y ＝(k 1＋k 2－2)x －4， 故直线AB 恒过定点(0，－4)．思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．跟踪训练1(2022·邯郸质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为23，且过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线x ＝12上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点N . (1)解椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，即3a 2＋14b 2＝1，又2c ＝23，得a 2＝b 2＋3，所以a 2＝4，b 2＝1，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2， 设AB 的中点M 为(x 0，y 0)， 得x 0＝－4km 1＋4k 2＝12，即1＋4k 2＝－8km ，所以y 0＝kx 0＋m ＝12k －1＋4k 28k ＝－18k .所以AB 的中垂线方程为y ＋18k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －38，故AB 的中垂线恒过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫38，0.题型二 定值问题例2(2022·江西赣抚吉名校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上的动点M 到直线x ＝－1的距离比到抛物线E 的焦点F 的距离大12.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点Q 是直线x ＝－1(y ≠0)上的任意一点，过点P (1,0)的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，记直线AQ ，BQ ，PQ 的斜率分别为k AQ ，k BQ ，k PQ ，证明：k AQ ＋k BQk PQ为定值． (1)解由题意可知抛物线E 的准线方程为x ＝－12，所以－p 2＝－12，即p ＝1，故抛物线E 的标准方程为y 2＝2x .(2)证明设Q (－1，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的斜率显然不为0，故可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1. 联立⎩⎨⎧x ＝ty ＋1，y 2＝2x ，消去x ，得y 2－2ty －2＝0.Δ＝4t 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2，k PQ ＝－y 02.又k AQ ＋k BQ ＝y 1－y 0x 1＋1＋y 2－y 0x 2＋1＝(y 1－y 0)(x 2＋1)＋(y 2－y 0)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝(y 1－y 0)(ty 2＋2)＋(y 2－y 0)(ty 1＋2)(ty 1＋2)(ty 2＋2)＝2ty 1y 2＋(2－ty 0)(y 1＋y 2)－4y 0t 2y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋4＝2t ·(－2)＋(2－ty 0)·2t －4y 0t 2·(－2)＋2t ·2t ＋4＝－y 0(t 2＋2)t 2＋2＝－y 0.所以k AQ ＋k BQ k PQ ＝－y 0－y 02＝2(定值)．教师备选(2022·邯郸模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝2，△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)MA →＝λF 1A —→，MB →＝μF 1B —→，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．解(1)因为△ABF 2的周长为8， 所以4a ＝8，解得a ＝2，由|F 1F 2|＝2，得2a 2－b 2＝24－b 2＝2， 所以b 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.设M (0，k )，又F 1(－1,0)，所以MA →＝(x 1，y 1－k )，F 1A —→＝(x 1＋1，y 1)， 则λ＝x 1x 1＋1.同理可得MB →＝(x 2，y 2－k )， F 1B —→＝(x 2＋1，y 2)，则μ＝x 2x 2＋1.所以λ＋μ＝x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝x 1(x 2＋1)＋x 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2×4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 24k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝8k 2－24－8k 24k 2－12－8k 2＋3＋4k 2 ＝－24－9＝83， 所以λ＋μ为定值83.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，AB为椭圆的一条弦，直线y ＝kx (k >0)经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB 的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程； (2)求证：k 1k 为定值．(1)解由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1a2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由于A ，B 为椭圆C 上的点， 所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3，所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－3x 04y 0. 又k ＝y 0x 0，故k 1k ＝－34，为定值．课时精练1．(2022·运城模拟)已知P (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．(1)解将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝2px ，得4＝2p ，即p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明设AB ：x ＝my ＋t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4t ＝0，Δ>0⇒16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，k PA ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 同理k PB ＝4y 2＋2， 由题意知4y 1＋2＋4y 2＋2＝2， 即4(y 1＋y 2＋4)＝2(y 1y 2＋2y 1＋2y 2＋4)， 解得y 1y 2＝4，故－4t ＝4，即t ＝－1， 故直线AB ：x ＝my －1恒过定点(－1,0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5.(1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)由题设可知⎩⎨⎧ c a ＝23，a ＋c ＝5，解得a ＝3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①若直线MN 与x 轴垂直，由对称性可知|x 1|＝|y 1|，将点M (x 1，y 1)代入椭圆方程，解得|x 1|＝37014， 原点到该直线的距离d ＝37014； ②若直线MN 不与x 轴垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m ，x 29＋y 25＝1，消去y 得(9k 2＋5)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝9m 2－459k 2＋5，x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋5，由题意知，OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0，得(k2＋1)9m2－459k2＋5＋km⎝⎛⎭⎪⎫－18km9k2＋5＋m2＝0，整理得45k2＋45＝14m2，则原点到该直线的距离d＝|m|k2＋1＝4514＝37014，故存在定点P(0,0)，使得P到直线MN的距离为定值．3．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±3x，右焦点F(c,0)到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线C的方程；(2)过F作斜率为k的直线l交双曲线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：|AB||FD|为定值．(1)解设双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ>0)，由题意知c＝2，所以λ3＋λ＝4⇒λ＝3，所以双曲线C的方程为x2－y23＝1.(2)证明设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)代入x2－y23＝1，整理得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，Δ＝36(k2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x 1＋x 2＝－4k 23－k 2，x 1x 2＝－4k 2－33－k 2， 由弦长公式得 |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6(k 2＋1)|3－k 2|， 设AB 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－2k 23－k 2， 代入l 得y 0＝－6k 3－k 2， AB 的垂直平分线方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 23－k 2－6k 3－k 2， 令y ＝0得x D ＝－8k 23－k 2， 即|FD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 23－k 2－2＝6(1＋k 2)|3－k 2|， 所以|AB ||FD |＝1为定值． 当k ＝0时，|AB |＝2，|FD |＝2，|AB ||FD |＝1， 综上所述，|AB ||FD |为定值．4．(2022·河南九师联盟模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 相交于E ，D 两点，试问在x 轴上是否存在一个点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)因为焦距为2，长轴长为4，即2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m ，0)，因为直线l 不与x 轴重合，所以设直线l 的方程为x ＝ny －1，联立⎩⎨⎧ x ＝ny －1，x 24＋y23＝1，得(3n 2＋4)y 2－6ny －9＝0，所以Δ＝(－6n )2＋36(3n 2＋4)>0，所以y 1＋y 2＝6n 3n 2＋4，y 1y 2＝－93n 2＋4，又x 1x 2＝(ny 1－1)(ny 2－1)＝n 2y 1y 2－n (y 1＋y 2)＋1＝－9n23n2＋4－6n23n2＋4＋1＝－12n2－4 3n2＋4，x 1＋x2＝n(y1＋y2)－2＝6n23n2＋4－2＝－83n2＋4.直线ME，MD的斜率分别为k ME＝y1x1－m，k MD ＝y2x2－m，所以k ME·k MD＝y1x1－m·y2x2－m＝y1y2(x1－m)(x2－m)＝y1y2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝－93n2＋4－12n2－43n2＋4－m⎝⎛⎭⎪⎫－83n2＋4＋m2＝－9－12n2＋4＋8m＋3m2n2＋4m2＝－9(3m2－12)n2＋4(m＋1)2，要使直线ME，MD的斜率之积恒为定值，3m2－12＝0，解得m＝±2，当m＝2时，存在点M(2,0)，使得k ME ·k MD＝－9(3m2－12)n2＋4(m＋1)2＝－936＝－14，当m＝－2时，存在点M(－2,0)，使得k ME ·k MD＝－9(3m2－12)n2＋4(m＋1)2＝－94，综上，在x轴上存在点M，使得ME，MD的斜率之积恒为定值，当点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－1 4，当点M的坐标为(－2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值－9 4 .。
高三数学大一轮复习 直线与圆锥曲线 板块一 直线与椭圆(2)学案
1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)x y a b a b+=>>研究）：⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． ⑸椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-b y=b x=-ax=aB 2B 1A 2A 1c b aF 2F 1O y x4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，板块一.直线与椭圆(2)消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为2212121||11AB k x x y y k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．两根差公式：如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则2221212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-=+-=--⋅==⎪⎝⎭（0∆>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】 设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>∶过点)21M ，且左焦点为()120F -⑴求椭圆C 的方程；⑵当过点()41P ，的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A B ，时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．【例2】 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；⑶在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．典例分析【例3】 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．⑴求椭圆C 的标准方程；⑵若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【例6】 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =，且过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点． ⑴求椭圆C 的方程；⑵是否存在直线l ，使得2OM ON ⋅=-．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．⑶若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN AB ∥，求证：2||||AB MN 为定值．【例7】 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．⑴求椭圆的方程；⑵若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值．⑶在⑵的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【例8】 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(31)a =-，共线． ⑴求椭圆的离心率；⑵设M 为椭圆上任意一点，且 ()OM OA OB λμλμ=+∈R ，，证明22λμ+为定值．，使MA MB ⋅为常数？若存在，求出点。
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
高考数学第一轮复习 8.4 直线与圆锥曲线课件 文
0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两
点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为( )．
x2 y2
x2 y2
A.45＋36＝1 B.36＋27＝1
x2 y2
x2 y2
C.27＋18＝1 D.18＋ 9 ＝1
根据椭圆的性质，c＝3，又过点 F(3，0)和直线 AB 的中
4k2＋1－0
2k4－k 1－0 所 以 MN 的 斜 率 为 m ＝ 42kk＋ －21－42kk－＋21 ＝
4k（2k＋1）
2k＋1
2（2k＋1）2－2（2k－1）2＝ 4 ，
则 2m－k＝2k＋ 2 1－k＝12(定值)． (法二)设 P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则 k＝x0y－0 2， 直线 AD 的方程为：y＝12(x＋2)， 直线 BP 的方程为：y＝x0y－0 2(x－2)， 直线 DP 的方程为：y－1＝y0－ x0 1x， 令 y＝0，由于 y0≠1 可得 N(y－0－x01，0)，
§8.4 直线与圆锥曲线
1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方 法．
2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
一、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线
相交、相切、相离，解题的方法是将问题转化为直线方 程与圆锥曲线方程组成的方程组__解的个数__，进而转化为 一元(一次或二次)方程解的情况去研究．
由 2 6＝ 1＋12· （x1＋x2）2－4x1x2
＝ 2· （2p－2）2－4，解得 p＝－1 或 p＝3， 所以抛物线方程为 y2＝－2x 或 y2＝6x.
C
4．设抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，经过点 P(1，5)的直 线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，且点 P 恰为线段 AB 的中点， 则|AF|＋|BF|＝________．
高三数学一轮复习课件：直线与圆锥曲线 (共15张PPT)
y1 y2 y1 y2 2 4 y1 y2
1 k2 4
AB
1
1 k
2
y1
y2
1 k2
1
1 k2
4
M
N
Ox
B
d k 1 k2
1
1
SOAB 2 AB d 2
1 k 2 4 10
k 1. 6
例
x2
4.（1）在双曲线 16
y2 4
1 ，求经过点 P(8,1) 且被
解：设点 P(x0, y0 ) 是抛物线上任一点,d 是点 P 到直线 L 的距离.
则y02 64x0
d
4x0 3y0 46 42 32
y02 16
3 y0
46
因为y0 R
5
( y0 24)2 160 y 80
当y0 24时, dmin 2 此时P(9,24)
另解：设直线L : 4x 3y m 0与抛物线相切
3x 3或 y
3 2
x
3
。
例 1. 过点 (0, 3) 的直线 l 与下列曲线只有一个公共点，求直线 l 的方程：
（3）抛物线 x2 y 。
解： 当 k 不存在时，直线 l 为抛物线的对称轴，与抛物线有一个交点，
合题意。
设直线 l 的方程为 y kx 3
y x2
kx 3 y
x2
1
SAOB 2 AB d
2b 3
6 b2
2 3
b2 3 2 9
b 6, 6 当b 3时, Smax 2, l : y x 3
例 3. 已知抛物线 y2=－x 与直线 y=k（x+1）相交于 A、B 两点.
（1）求证：OA⊥OB；
最新高三数学第一轮复习教案(新人教A)直线与圆锥曲线的位置关系1
x2 y2 1,
由已知得 36 20 ( x 6)( x 4) y 2 0,
则 2x2+9x-18=0,x= 3 或 x=-6. 2
3
5
由于 y>0,只能 x= ,于是 y= 3 .
2
2
所以点 P 的坐标是 ( 3 , 5 3 ). 22
(2) 直线 AP 的方程是 x- 3 y+6=0 ，设点 M 的坐标是 (m,0) ，则 M 到直线 AP 的距离是
(
)
A.(1, 5 )
B.(1, 5 )∪ ( 5 ， +∞)
C.( 5 ， +∞ )
D.［ 5 ,+∞］
解析：双曲线的渐近线的斜率
k= b ，要使双曲线 a
x2 y2 a 2 - b2 =1 和直线 y=2x 有交点，只要满
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足 b >2 即可，∴ a
c2 a2
>2.
a
∴ e2 1 >2.∴ e> 5 .
1
,
3
3
3
∴ - ≤tanα≤ .
3
3
∴α的取值范围是［ 0, ］∪［ 5 ,π］ .
6
6
讲评：考查直线与椭圆相交所得弦长的范围，对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用
.
本题由于 l 的方程由 tanα给出，所以可以认定α≠ ,否则涉及弦长计算时， 还应讨论α =
2
2
时的情况 .
【例 2】 讨论直线 l:y=kx+1 与双曲线 C： x 2-y 2=1 的公共点的个数 .
其弦长 |P1P2|= (x1 x2 )2 ( y1 y2 ) 2 = 1 k 2 |x1-x 2|.其中 k 为直线 l 的斜率 .
9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
相离
相切
相交
方程观点
<
Δ___0
Δ___0
=
Δ___0
>
几何观点
d___r
>
d___r
=
d___r
<
图形
量化
微点拨 判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.
微思考 当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?
提示:直线与圆相交或相切.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12 (r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22 (r2>0).
4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方
程(不包括C2).
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
一组实数解
___________
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
_____
0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2 − 2 .
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x
高考数学一轮总复习课件：直线与圆锥曲线的综合问题
谢
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观
看
20 22
则（x1＋x2）2－4x1x2＝|0|，即|－1＋8k4k2|＝4
2 4k2－1 1＋4k2
，
整理得k2＝12>14，求得k＝±
2 2.
于是直线l的方程为y＝± 22x＋2. 【答案】 (1)x82＋y22＝1 (2)y＝± 22x＋2
例3
(2018·课标全国Ⅰ，理)设椭圆C：
x2 2
＋y2＝1的右焦点
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2＋k42，x1x2＝1.
由对称性可知，C(x2，－y2)， 由抛物线的定义得|AF|＝x1＋1，|CF|＝x2＋1. 设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝k，
∴sin∠AFC＝|sin(π－2α)|＝|sin2α|＝
|2sinαcosα| sin2α＋cos2α
＝
ta|2nt2aαnα＋|1＝k22＋|k|1，
∴S△AFC＝
1 2
(x1＋1)(x2＋1)|sin∠AFC|＝[x1x2＋(x1＋x2)＋
1]·k2|＋k| 1＝|4k|.
由已知可得|4k|＝6，解得k＝±23.
∴直线m的方程为y＝±23(x－1)，即2x±3y－2＝0.
【答案】 (1)y2＝4x (2)2x±3y－2＝0
为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
【思路】
(1)先求出椭圆C：
x2 2
＋y2＝1的右焦点F的坐标，由于l
与x轴垂直，所以可求出直线l的方程，从而求出点A的坐标，再利用
直线方程的两点式，即可求出直线AM的方程；(2)对直线l分三类讨
高考数学一轮复习 圆锥曲线的综合问题第1课时
第9节 圆锥曲线的综合问题最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．知 识 梳 理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程，即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|[常用结论与微点提醒]判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点．()(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t2|y1－y2|.()(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.()解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切．(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切．(5)应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×2．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A3．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析 过(0，1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．答案 C4．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23. 答案 C5．已知F 1，F 2是椭圆16x 2＋25y 2＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．解析 由题意可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝202－2|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝128，所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×128＝64.答案 646．(2018·宁波检测)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当m ＝________时，△F AB 的周长最大，此时△F AB 的面积是________．解析 设椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为F ′，则F (－1，0)，F ′(1，0)．由椭圆的定义和性质易知，当直线x ＝m 过F ′(1，0)时△F AB 的周长最大，此时m ＝1，把x ＝1代入x 24＋y 23＝1得y 2＝94，y ＝±32，S △F AB ＝12|F 1F 2||AB |＝12×2×3＝3. 答案 1 3第1课时 直线与圆锥曲线考点一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 (2018·温州模拟)已知A ，B ，C 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上三个不同的点，且AB ⊥AC.(1)若A (1，2)，B (4，－4)，求点C 的坐标；(2)若抛物线上存在点D ，使得线段AD 总被直线BC 平分，求点A 的坐标． 解 (1)∵A (1，2)在抛物线上，∴p ＝2.设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ，则由k AB k AC ＝－1，得t ＝6，即C (9，6)． (2)设A (x 0，y 0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2， 则直线BC 的方程为(y 1＋y 2)y ＝2px ＋y 1y 2，由k AB k AC ＝y 1－y 0y 212p －y 202p ·y 2－y 0y 222p －y 202p＝－1， 得y 0(y 1＋y 2)＋y 1y 2＋y 20＝－4p 2， 代入直线BC 的方程，得(y 1＋y 2)(y ＋y 0)＝2p (x －2p －x 0)，故直线BC 恒过点E (x 0＋2p ，－y 0)，因此直线AE 的方程为y ＝－y 0p (x －x 0)＋y 0，代入抛物线的方程y 2＝2px (p ＞0)，得点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p （x 0＋p ）2y 20，－2p （x 0＋p ）y 0. 因为线段AD 总被直线BC 平分，所以⎩⎪⎨⎪⎧2（x 0＋2p ）＝x 0＋2p （x 0＋p ）2y 20，－2y 0＝y 0－2p （x 0＋p ）y 0. 解得x 0＝p 2，y 0＝±p ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，±p .规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x 2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用．但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解．【训练1】 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解 (1)椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，∴c ＝1，又点P (0，1)在曲线C 1上，∴0a 2＋1b 2＝1，得b ＝1，则a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0.整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m消去y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎨⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎨⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.考点二 弦长问题【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【训练2】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1，得|m |＜52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4（m 2－3）] ＝1524－m 2.由|AB ||CD |＝534，得4－m25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.考点三 中点弦问题【例3】 设抛物线过定点A (－1，0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1(x ≠1)． (2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点，可知⎩⎨⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－12k ＋m .所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0.由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)， 所以y B ′＜y 0＜y B ，也即－3＜y 0＜ 3. 所以－334＜m ＜334，且m ≠0.规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．【训练3】 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 (2)已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．解析 (1)因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0， 所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1， 即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0.又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4， 代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合．答案 (1)D (2)0或－8基础巩固题组一、选择题1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析 ∵通径2p ＝2，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3＞2p ，故这样的直线有且只有两条．答案 B2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案 A3．抛物线y ＝x 2到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A. 2 B.728 C ．2 2 D.526解析 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|2＝|－x 2＋x －2|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742，∴x ＝12时， d min ＝728. 答案 B4．(2018·宁波调研)经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB→＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB→＝－13.答案 B5．已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积k P A ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( ) A.52B.62C. 2D.153解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)根据对称性，得B 点坐标为 (－x 1，－y 1)，因为A ，P 在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得k P A k PB ＝b 2a 2＝23，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝53，故e ＝153.答案 D6．(2018·绍兴调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点M (p ，0)的直线交抛物线于A ，B 两点，若AM→＝2MB →，则|AF ||BF |＝( ) A ．2B.52C. 2D ．与p 有关解析 由题意直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －p )，代入y 2＝2px ，消y 得k 2x 2－(2k 2p ＋2p )x ＋k 2p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1>x 2，则x 1·x 2＝p 2 ①.∵AM →＝2MB →，∴(p －x 1，－y 1)＝2(x 2－p ，y 2)，∴p －x 1＝2(x 2－p )，∴x 1＝－2x 2＋3p ②，由①②得x 1＝2p ，x 2＝p 2，∴|AF ||BF |＝2p ＋12p12p ＋12p ＝52. 答案 B 二、填空题7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案 x 24＋y 22＝18．已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________． 解析 由题设知p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0，1)，准线为y ＝－1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6，∵直线过焦点F ， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8.答案 89．(2018·嘉兴测试)过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________；此弦的长为________． 解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －13＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 整理得13x 2－78x ＋105＝0，x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝10513，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－342·62－4×10513＝53913. 答案 3x ＋4y －13＝05391310．(2018·金华十校联考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，则直线的斜率为__________时，|AF |＋4|BF |取得最小值． 解析 由题意，设|AF |＝m ，|BF |＝n ，则1m ＋1n ＝2p ＝1，∴m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋4n )＝5＋4n m ＋m n ≥9，当且仅当m ＝2n 时，m ＋4n 的最小值为9，设直线的斜率为k ，方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程，得k 2(x －1)2＝4x . 化简后为：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2＋4k 2.根据抛物线性质可知，|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴x 1＋1＝2(x 2＋1)，联立可得k ＝±2 2. 答案 ±2 2 三、解答题11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ， l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.12．(2018·杭州模拟)如图，设点A ，F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点和左、右焦点，过点A 作斜率为k 的直线交椭圆于另一点B ，连接BF 2并延长交椭圆于点C .(1)求点B 的坐标(用k 表示)； (2)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．解 (1)设点B (x B ，y B )，直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， ∴－2x B ＝16k 2－123＋4k 2，即x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，∴y B ＝k (x B ＋2)＝12k3＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k2，12k 3＋4k 2. (2)易知F 2(1，0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k ， ∴直线BF 2，CF 1方程分别为y ＝4k1－4k 2(x －1)，y ＝－1k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x ＋1），y ＝4k1－4k 2（x －1），解得C (8k 2－1，－8k )，代入x 24＋y 23＝1，得192k 4＋208k 2－9＝0，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，得k 2＝124，所以k ＝±612.能力提升题组13．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1B. 2C.32D. 3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 D14．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433解析 ∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±33x . 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433. 答案 D15．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________．解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x ＋23，x ＝－2，得y ＝43，所以P (6，43)．由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8. 答案 816．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a.当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．17．(一题多解)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B .证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．法一 (1)解 由抛物线定义可得：|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2. ∴抛物线E 的方程为y 2＝4x ； (2)证明 ∵点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2，解得m ＝±22，不妨取A (2，22)，∵F (1，0)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，消y 得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，∴k GA ＝22－02－（－1）＝223，k GB ＝－2－012－（－1）＝－223，∴k GA ＋k GB ＝0，∴∠AGF ＝∠BGF ，∴x 轴平分∠AGB ， 因此点F 到直线GA ，GB 的距离相等，∴以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切． 法二 (1)同法一．(2)证明 点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2， 解得m ＝±22，不妨取A (2，22)．∵F (1，0)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝22（x －1）y 2＝4x ，化为2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1，0)，可得直线GA ，GB 的方程分别为：22x －3y ＋22＝0，22x ＋3y ＋22＝0，点F (1，0)到直线GA 的距离d ＝|22＋22|（22）2＋32＝4217， 同理可得点F (1，0)到直线GB 的距离＝4217. 因此以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．。
2017届高三理科数学一轮复习课件：第九篇第7节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
因为 AC 与 BD 同向,且|AC|=|BD|,所以 AC = BD , 从而 x3-x1=x4-x2,
即 x1-x2=x3-x4, 于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4. ③ 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.
由
y kx x2 4
y
1,
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3.直线与双曲线位置关系的有关结论
(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点,两 条切线和两条与渐近线平行的直线;
(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点,一条切线和 两条与渐近线平行的直线; (3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,两条与渐近 线平行的直线.
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数学
反思归纳求弦长的方法
(1)定义法:过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义可优化解题过程.
(2)点距法:将直线的方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,再 运用两点间距离公式求弦长.
(3)弦长公式法:根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次 方程,利用整体 代入弦长公式求解.
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数学
【即时训练】 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( )
(A)(- 15 , 15 ) (B)(0, 15 )
33
3
(C)(- 15 ,0) 3
(D)(- 15 ,-1) 3
解析:由
y kx 2, x2 y2 6
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专题 直线与圆、圆锥曲线一、直线与方程1、倾斜角与斜率： ktany 2 y 1x 2 x 12、直线方程：⑴点斜式： y y 0 k x x 0 ⑵斜截式： y kx b⑶两点式：yy 1 y 2 y 1⑷截距式： x y1 ⑸一般式： AxBy Cx x 1 x 2 x 1a b3、对于直线：l 1 : y k 1xb 1 , l 2 : yk 2 x b 2 有：⑴ l 1 // l 2k 1 k 2 b 1 ；b 2⑵ l 1 和 l 2 相交k 1k 2 ；⑶ l 1 和 l 2 重合k 1k 2；⑷ l 1 l 2 k 1k 21.b 1 b 24、对于直线：l 1 : A 1 x B 1 y C 10,有：⑴ l 1 // l 2A 1B 2 A 2 B 1l 1 和 l 2 相交 A 1 B 2A 2B 1；l 2 : A 2 x B 2 y C 2B 1C 2；⑵B 2C 1⑶l 1 和 l 2 重合A 1B 2A 2B 1；⑷l 1 l 2A 1 A 2B 1 B 20 .B 1C 2B 2C 15、两点间距离公式：P 1P 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 26、点到直线距离公式：d7、两平行线间的距离公式：Ax 0 By 0 CA 2B 2l 1 ： Ax ByC 1 0 与 l 2 ： Ax By C 2 0 平行，则 dC 1 C 2A 2B 2二、圆与方程1x a2y b 2 r 2其中圆心为 (a,b)，半径为 r .、圆的方程：⑴标准方程：⑵一般方程： x 2 y 2Dx Ey F0.其中圆心为 (D , E) ，半径为 r1 D2 E 2 4F .2222、直线与圆的位置关系直线 Ax ByC0 与圆 (x a) 2 ( y b) 2 r 2 的位置关系有三种 :d r 相离0 ; d r 相切0 ; d r相交0 . 弦长公式： l 2 r 2 d 2 1 k2 (x1 x2 )2 4x1x23、两圆位置关系： d O1O2⑴外离：⑷内切：d R r ；⑵外切： d R rd R r ；⑸内含： d R r；⑶相交： R r d R r ；.3、空间中两点间距离公式：P1 P22 2 2 x2 x1y2 y1 z2 z1三、圆锥曲线与方程1．椭圆焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程定义范围顶点轴长对称性焦点焦距离心率准线方程x2 y21 ay2 x21 a b 0a2 b2b 0b2a2到两定点 F 、F2的距离之和等于常数2 a ，即 | MF1 | | MF2 | 2a 1（2a | F1F2 | ）a x a 且b y b b x b 且 a y a1a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a 10, b 、 2 0,b 1 b,0 、 2 b,0长轴的长2a 短轴的长2b关于 x 轴、y轴对称，关于原点中心对称F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,cF1F2 2c (c2 a2 b2 )e c c2 a2 b2 1 b2 (0 e 1)a a2 a2 a2xa2ya2c c焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在y轴上图形标准方程定义范围顶点轴长对称性焦点焦距离心率准线方程渐近线方程x2 y21 a 0, b 0y2 x21 a 0, b 0a2 b2 a2 b2到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a ，即 | MF1 | | MF2 | 2a （ 0 2a |F1F2 |）x a 或 x a ，y R y a 或 y a ， x R1 a,0 、2 a,0 1 0, a 、2 0,a实轴的长2a虚轴的长2b关于 x 轴、y轴对称，关于原点中心对称F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,cF1 F2 2c (c2 a2 b2 )ec c2 a2 b21b2(e 1)a a2 a2 a2xa2ya2c cybyax xa by 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py标准方程p 0 p 0 p 0定义与一定点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线直线 l 上)顶点0,0离心率 e 1对称轴x 轴y 范围x 0 x 0 y 0p0(定点F不在定轴y0焦点 F p, 0 Fp, 0 F 0,pF 0,p 2 2 2准线方程p p px x y y2p2 2 2焦点弦长AB x1 x2 p公式2参数 p 的参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔几何意义关于抛物线焦点弦的几个结论：设 AB 为过抛物线y2 2 px ( p 0) 焦点的弦， A(x1, y1 ) 、B(x2 , y2 ) ，直线AB的倾斜角为，则⑴ x1x2 p2 , y1 y2 p2; ⑵ AB 2 p ;4 sin 2⑶以 AB 为直径的圆与准线相切。
2017届高考数学一轮总复习 第九章 直线与圆、圆锥曲线 第52讲 直线与圆、圆与圆的位置关系考
考点集训(五十二) 第52讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝⎛θ∈R ，θ≠π2＋k π， ⎭⎪⎫22k ∈Z 的位置关系为 A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切3．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于A ．2 5B ．2 3 C. 3 D ．14．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝05．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 6．圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为A ．52－4 B.17－1C ．6－2 2 D.177．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．8．若直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________．9．已知点M (3，1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．10．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．11．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．第52讲 直线与圆、圆与圆的位置关系【考点集训】1．C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 7.(x －2)2＋(y －1)2＝48．± 39．【解析】(1)由题意可知M 在圆(x －1)2＋(y －2)2＝4外，故当x ＝3时满足与圆相切．当斜率存在时设为y －1＝k(x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0. 由|k －2＋1－3k|k 2＋1＝2，得k ＝34， ∴所求的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由ax －y ＋4＝0与圆相切知|a －2＋4|1＋a 2＝2， ∴a ＝0或a ＝43. (3)圆心到直线的距离d ＝|a ＋2|1＋a2， 又|AB|＝23，r ＝2，∴由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22，可得a ＝－34. 10．【解析】(1)设圆心C(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0. 设圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 坐标代入得r 2＝2.故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q(x ，y)，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ →的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．(3)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k(x －1)，PB ：y －1＝－k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k(1－k)x ＋(1－k)2－2＝0，因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k2， 同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k2， 所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k （x B －1）－k （x A －1）x B －x A＝2k －k （x B ＋x A ）x B －x A＝1＝k OP ， 所以直线AB 和OP 一定平行．11．【解析】(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x ，y)，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y)．由题设知CM →·MP →＝0，故x(2－x)＋(y －4)(2－y)＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM.因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM|＝|OP|＝22，O 到l 的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM 的面积为165.。
2017版高考数学课件：8.8 圆锥曲线的综合问题
得到一个关于变量x(或变量y)的方程.对于 ax2+bx+c=0:
Ax F (x,
By C y) 0
消0去, y后得到的
(1)若① a≠0 ,则当Δ>0时,直线l与曲线r相交;当Δ=0时,直线l与曲线r
相切;当Δ<0时,直线l与曲线r相离.
(2)若a=0,即得到一个一次方程,则l与r相交,且只有一个交点,此时,若r为
双曲线,则直线l与双曲线的② 渐近线平行;若r为抛物线,则直线l与抛
物线的③ 对称轴平行或重合.
第一页，编辑于星期六：二十点 二十五分。
2.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.
第十六页，编辑于星期六：二十点 二十五分。
解析 (1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由 2a2kmx+a2m2-a2b2=0.
y x a
kx
2 2
y2 b2
m,
消去y得(b2+a2k2)x2+
1
由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P的坐标为
又 点b2aP2在kam2第k 2一, b象2 b限2am,2k
关系求解. (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线 法. (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下,求相关式子(目标函数)的 取值范围问题,常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题,或根据平
面几何知识引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理.
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第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系基础对点练(时间:30分钟)1.直线y=x+3与双曲线-=1的交点个数是( A )(A)1 (B)2 (C)1或2 (D)0解析:因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.2.已知椭圆C的方程为+=1(m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为( B )(A)2 (B)2(C)8 (D)2解析:根据已知条件得c=,则点(,)在椭圆+=1(m>0)上,所以+=1,可得m=2.3.(2016重庆模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),方向向量为d=(1,1)的直线与C交于两点A,B,若线段AB的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程是( B )(A)2x±y=0 (B)x±2y=0(C)x±y=0 (D)x±y=0解析:设方向向量为d=(1,1)的直线方程为y=x+m,由消去y得(b2-a2)x2-2a2mx-a2m2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB的中点为(4,1).所以x1+x2==8,y1+y2=8+2m=2,则m=-3,所以=8,所以a=2b,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.4.(2016丽水模拟)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( C )(A)2 (B)(C)(D)解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意知Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5,|AB|=≤.5.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+等于( A )(A)(B)1 (C)2 (D)4解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,则直线y=k(x-2)过点F,联立得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4+,x1x2=4,所以+=+===.6.(2016杭州模拟)F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MF⊥x轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F点的坐标为(2,0),因为MF⊥x轴,M在椭圆上且在第一象限,所以M点的坐标为(2,),设直线MN的斜率为k(k>0),则直线MN的方程为y-=k(x-2),即kx-y-2k+=0,因为直线MN与圆x2+y2=1相切,所以原点到直线MN的距离等于半径1,即=1解得k=或k=-(舍去),所以直线MN的方程为x-y-=0,联立圆的方程x2+y2=1可得N点坐标为(,-),所以|NF|==.7.(2015东北三校联考)若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+2相切,则双曲线的离心率为.解析:联立得ax2-bx+2a=0,令Δ=0,得b2=8a2,故c2=9a2,e=3.答案:38.(2014高考江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得+=0,根据题意有x1+x2=2³1=2,y1+y2=2³1=2,且=-,所以+³(-)=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得=,所以e=.答案:9.设抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的倾斜角等于60°,则|PF|等于.解析:在△APF中,|PA|=|PF|,|AF|sin 60°=4,所以|AF|=,又∠PAF=∠PFA=30°,过点P作PB⊥AF于点B,则|PF|==.答案:10.(2016山西模拟)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点M(0,1),且与椭圆C交于A,B两点,若=2,求直线l的方程. 解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为c=1,=,所以a=2,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,联立方程得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得x1=-2x2,又所以消去x2得()2=,解得k2=,k=±,所以直线l的方程为y=±x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.11.(2016广东肇庆二模)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(-2,0),F2(2,0),双曲线C 上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程;(3)已知定点G(1,2),点D是双曲线C右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值.解:(1)依题意,得双曲线C的实半轴长a=1, 半焦距c=2,所以其虚半轴长b==.又其焦点在x轴上,所以双曲线C的标准方程为x2-=1.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则两式相减,得3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.因为M(2,1)为AB的中点,所以所以12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即k AB==6.故AB所在直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.(3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2,即|DF1|=|DF2|+2,所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2,当且仅当G,D,F2三点共线时取等号.因为|GF2|==,所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=+2.故|DF1|+|DG|的最小值为+2.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016大连双基测试)过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B,C两点,l与抛物线准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|等于( A )(A)(B)6 (C)(D)8解析:不妨设直线l的倾斜角为θ,其中0<θ<,点B(x1,y1),C(x2,y2),则点B在x轴的上方.过点B作该抛物线的准线的垂线,垂足为B1,于是有|BF|=|BB1|=3,=,由此得p=2,抛物线方程是y2=4x,焦点F(1,0),cos θ====,sin θ==,tan θ==2,直线l:y=2(x-1).由消去y,得2x2-5x+2=0,x1+x2=,|BC|=x1+x2+p=+2=.13.在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为.解析:设直线MN的方程为y=-x+b,代入y=x2中,整理得x2+x-b=0,令Δ=1+4b>0,所以b>-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,=-+b=+b,由(-,+b)在直线y=x+3上,即+b=-+3,解得b=2,联立解得答案:(-2,4),(1,1)14.(2015沈阳模拟)已知点A(-,0),点B(,0),且动点P满足|PA|-|PB|=2,则动点P的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点的充要条件为k∈.解析:由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a=2,c=,则b==1,所以P点的轨迹方程为x2-y2=1(x>0),其一条渐近线方程为y=x.若P点的轨迹与直线y=k(x-2)有两个交点,则需k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)15.已知椭圆C:+y2=1(a>0)的焦点在x轴上,右顶点与上顶点分别为A,B.顶点在原点,分别以A,B为焦点的抛物线C1,C2交于点P(不同于O点),且以BP为直径的圆经过点A.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若与OP垂直的动直线l交椭圆C于M,N不同两点,求△OMN面积的最大值和此时直线l 的方程.解:(1)由已知得A(a,0),B(0,1),所以以A为焦点的抛物线C1的方程为y2=4ax,以B为焦点的抛物线C2的方程为x2=4y.由得P(4,4),又以BP为直径的圆经过点A,所以⊥,²=0,(4-a,4)²(-a,1)=0,即-4+4=0,得=2,a2=8,故椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知P(4,8),k OP=,所以直线l的斜率k l=-.设直线l的方程为y=-x+t,由得5y2-2ty+t2-4=0,则Δ=4t2-4³5³(t2-4)>0,解得t2<5,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,由弦长公式得|MN|=|y2-y1|=³=.又点O到直线l的距离为d==|t|,所以S△OMN=|MN|²d=³³|t|=³2≤³(t2+5-t2)=,当且仅当t2=5-t2时等号成立,又t5<5,易知当t=±时,△OMN的面积取得最大值,此时直线l的方程为y=-x±.精彩5分钟1.已知双曲线-=1(a>0,b>0),F1,F2分别是它的左、右焦点,A是它的右顶点,过点F1作一条斜率为k的直线交双曲线于异于顶点的两点M,N,若∠MAN=90°,则该双曲线的离心率为( B )(A)(B)2 (C)(D)解题关键:把∠MAN=90°转化为²=0.解析:由题意可得过点F1的直线方程为y=k(x+c)(k≠0),联立方程消去y得(b2-a2k2)x2-2a2k2cx-a2c2k2-a2b2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.因为∠MAN=90°,所以²=(x1-a)²(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a2+k2(x1+c)(x2+c)=0,所以(1+k2)x1x2+(ck2-a)(x1+x2)+a2+k2c2=0,即-(1+k2)+(ck2-a)+a2+k2c2=0,所以-2a3c-3a2c2+c4=0,即--3+e2=0,即=0,又e>1,解得e=2.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0),A(异于原点O)为抛物线上一点,过焦点F作平行于直线OA的直线,交抛物线C于P,Q两点.若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于点B,则|FP|²|FQ|-|OA|²|OB|等于( A )(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2解题关键:联立方程组,利用根与系数的关系及弦长公式求解.解析:设直线OA的斜率为k(k≠0),则直线OA的方程为y=kx,由得A(,),易知B(,),PQ:y=k(x-),由消去x得-y-=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-p2, 根据弦长公式得|FP|²|FQ|=|y1|²|y2|=(1+)|y1y2|=(1+)p2,而|OA|²|OB|=²=(1+)p2,所以|FP|²|FQ|-|OA|²|OB|=0.。