2.3一元二次方程的应用2
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。
一元二次方程的应用(2)
教学过程复习预习1.列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)列一元二次方程解决实际问题的关键是由已知条件确定等量关系.(2)列一元二次方程解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量之间的数量关系)；设(直接方法或间接方法设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中分析的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验)；验（检验所求方程的解能否保证满足实际问题中的存在意义）答(写出所求问题答案).2.几何面积问题三角形面积=底乘高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘宽；不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
二知识讲解考点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是全方面审题；二是把分析问题中的数量关系，并列出等量关系式；三是正确求解方程并检验方程的根是否符合实际意义。
例题精析【例题1】【题干】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【答案】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．【解析】考查一元二次方程的几何面积应用问题，已知矩形面积求满足条件的长和宽的优化设计；围墙MN最长可利用25m是解决本题的易错点；矩形周长的长、宽关系是解决本题的关键．【例题2】【题干】某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带（1）请你计算出游泳池的长和宽。
（2）已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，共需要费用多少元？【答案】解：（1）设游泳池的宽为x米，则长为2x米，（2x+2+5+1）(x+2+2+1+1)=1798整理，得：解得：（不合舍去）由得∴游泳池的长为50米，宽为25米。
2.3一元二次方程应用2
例4：
如图, 在△ABC中, ∠B＝90°.点P从点A开始沿 AB边向点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P,Q分别 从A,B同时出发,经过几秒,△PBQ的面积等于8cm2?
小结
•列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似， 即审、设、列、解、检、答．
(32 2 x)( 20 2 x) 540
x 26 x 25 0
2
x 25, x 1
1 2
(1)
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
解（2）：
如图，设路宽为x米，
32 x 20 x 540.
x 52 x 100 0
这里要特别注意:在列一元二次方 程解应用题时，由于所得的根一 般有两个，所以要检验这两个根 是否符合实际问题的要求．
如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小 长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 A 】
A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
2
x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与 解法1相同。
(2)
(2)
如图,一块长方形绿地长100m,宽50 m. 在绿地中 开辟两条道路后,绿地面积缩小到原来的88.32%,问 x为多少米?
例3：
取一张长与宽之比为5:2 的长方形纸板,剪去四个 边长为5 cm的小正方形(如图),并用它做一个无盖的 长方体形状的包装盒.要使包装盒的容积为200 cm3(纸板的厚度略去不计),问这张长方形纸板的长与 宽分别为多少厘米?
实际问题与一元二次方程（二）
2.3(2)一元二次方程的应用
变化后量=变化前量×(1±X）n
二月份 200 （1+X） ？ 三月份 200（1+X）2
200
x x
1
2
200
4.某商店二月份的营业额为50万元，春节 过后三月份下降30%，针对这种情况，这
个店开展促销活动，结果到五月份营业额
达50.4万元，设两个月增长率相同，求两
（至少要列出方程，能求出解更好）
三、归纳小结 1.增长率问题：
变化后的量=变化前的量×(1±X）n 其中增长率或下降率， n为重复次数。
2.面积问题：画图理解。
3.如图，有一块长方形铁皮，长100㎝，宽 50
㎝，在它的四角各切去一个同样 的正方形，
然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖
方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为
3600㎝2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
（至少要列出方程，能求出解更好）
4.在长为100米，宽为80米的矩形场地 上修建两条宽度相等且互相垂直的道 路，剩余部分进行绿化，要使绿化面 积为7644米2，求道路的宽为多少米？
个月的增长率？
二 2 围成一个面积为24m 的长方形吗？ 如能，说明围法，如不能，说明 理由。
2.如图，是一个长方形鸡场平面示 意 图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成， 若竹篱笆总长为20m，所围的面积为50m2， 求此长方形鸡场的长、宽分别为多少？ （至少要列出方程，能求出解更好）
变化后量 = 变化前量 × （1±X）n
1. 某厂今年产值是100万元，计划以后每年 按10%的增长率增加产量，那么明年这个 110万元 后年这个厂的产量 厂的产量是________, 121万元 是________,
第二章 §2.3 第2课时 一元二次不等式的应用
第2课时 一元二次不等式的应用学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．知识点一 简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法：思考x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？ 答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.知识点二 一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点三 利用不等式解决实际问题的一般步骤 1．选取合适的字母表示题目中的未知数．2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． 3．求解所列出的不等式(组)． 4．结合题目的实际意义确定答案．思考 解一元二次不等式应用题的关键是什么？答案 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．不等式x －2x －1<0的解集为________．答案 {x |1<x <2}解析 原不等式⇔(x －1)(x －2)<0，∴1<x <2. 2．不等式1x ≤1的解集为________．答案 {x |x ≥1或x <0}解析 ∵1x ≤1，∴x －1x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x ≠0，∴x ≥1或x <0.3．若方程x 2＋ax ＋1＝0的解集是∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 －2<a <2解析 由题意可得a 2－4<0，所以－2<a <2.4．对∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由题意可得22－4m <0，所以m >1.一、简单的分式不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)x ＋12x －1<0； (2)1－x 3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1. 解 (1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0， ∴－1<x <12，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12.(2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(3x ＋5)≤0，3x ＋5≠0，∴⎩⎨⎧－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53<x ≤1. (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0，∴x －1－(x ＋2)x ＋2>0，－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}． (学生)反思感悟 分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. 解 (1)不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3.即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2(x －1)x ＋1<0.可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0， 解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 二、不等式的恒成立问题例2 对∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1<0，求m 的取值范围． 解 若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒解得－4<m <0.综上，m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}． (教师) 延伸探究1．在本例中，是否存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 显然m ＝0时不等式不成立；由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2＋4m <0，解得m ∈∅，所以不存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0.2．在本例中，把条件“∀x ∈R ”改为“x ∈{x |2≤x ≤3}”，其余不变，求m 的取值范围． 解 由不等式mx 2－mx －1<0得m (x 2－x )<1， 因为x ∈{x |2≤x ≤3}，所以x 2－x >0， 所以m (x 2－x )<1可化为m <1x 2－x， 因为x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≤6， 所以1x 2－x ≥16，所以m <16.即m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <16. (学生)反思感悟 一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．跟踪训练2 若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 答案 {k |－3<k ≤1}解析 当k ＝1时，－1<0恒成立；当k ≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<0，(k －1)2＋4(k －1)<0，解得－3<k <1，因此实数k 的取值范围为{k |－3<k ≤1}． 三、一元二次不等式的实际应用例3 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率，为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担， 收购总金额为200a (1＋2x %)万元． 依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)． 依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2. 又因为0<x <10，所以0<x ≤2. 即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}． (学生)反思感悟 解不等式应用题的步骤跟踪训练3 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？解 设每间客房日租金提高x 个10元，即每间客房日租金提高到(80＋10x )元，则客房出租数减少x 间，此时客房的租金总收入为(80＋10x )(20－x )元．因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，所以(80＋10x )(20－x )≥1 800. 化简，得x 2－12x ＋20≤0.解得2≤x ≤10，所以20≤10x ≤100. 又由题意可知80＋10x ≤130，所以10x ≤50.因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20～50元．1．不等式1＋x1－x ≥0的解集为( )A ．{x |－1<x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1<x <1}答案 B解析 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.2．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．3．不等式x ＋1x≥5的解集是________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤14 解析 原不等式⇔x ＋1x －5≥0⇔4x －1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (4x －1)≤0，x ≠0，解得0<x ≤14.4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案 a >4或a <－4解析 ∵x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，∴Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.5．某商品在最近30天内的价格y 1与时间t (单位：天)的关系式是y 1＝t ＋10(0<t ≤30，t ∈N )；销售量y 2与时间t 的关系式是y 2＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额z 不小于500元的t 的取值范围为________． 答案 {t |10≤t ≤15，t ∈N } 解析 z ＝(t ＋10)(－t ＋35)， 依题意有(t ＋10)·(－t ＋35)≥500，解得10≤t ≤15，t ∈N ，所以解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }．1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法． (2)不等式的恒成立问题． (3)一元二次不等式的实际应用． 2．方法归纳：转化、恒等变形．3．常见误区：(1)解分式不等式要等价变形．(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．{x |x <－1或－1<x ≤2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1或x ≥2}D ．{x |－1<x ≤2} 答案 D解析 此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)≤0，x ＋1≠0，∴－1<x ≤2.2．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 答案 B解析 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x －1≥0，即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －34(x －2)≤0，x －2≠0，解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2. 3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为( )A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ， ∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0， 故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0，等价为(x ＋1)(x －2)>0. ∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．{a |－1≤a ≤4} B ．{a |－1<a <4} C ．{a |a ≥4或a ≤－1} D ．{a |－4≤a ≤1}答案 A解析 由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解， ∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.5．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是( ) A ．{t |1≤t ≤3} B ．{t |3≤t ≤5} C ．{t |2≤t ≤4} D ．{t |4≤t ≤6} 答案 B解析 设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元， 则y ＝2 400⎝⎛⎭⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)． 令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900.解得3≤t ≤5. 6．不等式x ＋5x －2>0的解集为________．答案 {x |x <－5或x >2} 解析x ＋5x －2>0⇔(x ＋5)(x －2)>0⇔x <－5或x >2. 7．不等式1x －1≥－1的解集是________．答案 {x |x ≤0或x >1}解析1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x x －1≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0，∴不等式的解集是{x |x ≤0或x >1}．8．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则不等式x ＋a b －x <0的解集为________．答案 {x |x >－a 或x <b }解析 原不等式等价于(x ＋a )(b －x )<0⇔(x －b )(x ＋a )>0. 因为a ＋b <0，所以b <－a .所以原不等式的解集为{x |x >－a 或x <b }． 9．解下列不等式： (1)2x －5x ＋4<0；(2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0， 解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4. 10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13， 所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内．11．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0 答案 D解析 二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数等价于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象全部在x 轴下方，需要开口向下，且与x 轴无交点，故需要⎩⎨⎧ a <0，Δ<0.12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1a 或x >1b D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析 原不等式可化为⎩⎨⎧ 1x >－b ，1x <a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0， 可得⎩⎨⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ， 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．设x 2－2x ＋a －8≤0对于任意x ∈{x |1≤x ≤3}恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a ≤5}解析 原不等式x 2－2x ＋a －8≤0转化为a ≤－x 2＋2x ＋8对任意x ∈{x |1≤x ≤3}恒成立，设y ＝－x 2＋2x ＋8，易知y 在{x |1≤x ≤3}上的最小值为5.∴a ≤5.14．在一个限速40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.则这次事故的主要责任方为________．答案 乙车解析 由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30，x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．15．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________． 答案 －8≤λ≤4解析 因为x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，所以x 2＋8y 2－λy (x ＋y )≥0对于任意的x ，y ∈R 恒成立，即x 2－λyx ＋(8－λ)y 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.16．某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(2003，－200)，x h后台风中心B到达点P(2003，40x－200)处．由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。
一元二次方程的运用
一元二次方程的运用
一元二次方程在数学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 物理学：在物理学中，一元二次方程可以用来描述一些运动问题，如抛体运动、自由落体运动等。
通过解一元二次方程可以求解抛物线的最高点、最远点、碰撞时间等问题。
2. 金融学：在金融学中，一元二次方程可以用来解决一些与利润、成本、销售量等相关的问题。
例如，通过解一元二次方程可以找到最大利润的销售量，或者确定成本、利润等之间的关系。
3. 工程学：在工程学中，一元二次方程可以用来解决一些与曲线、定义域等相关的问题。
例如，在建筑设计中，可以通过解一元二次方程来找到合适的曲线形状。
4. 统计学：在统计学中，一元二次方程可以用来描述一些与模型拟合、回归分析等相关的问题。
通过解一元二次方程可以找到最佳拟合曲线、预测未来趋势等。
5. 生活中的实际问题：一元二次方程在生活中也有一些实际应用，如计算税收、计算折旧、计算物体的轨迹等。
通过解一元二次方程可以帮助人们解决一些实际问题。
2.3 第2课时 一元二次不等式的实际应用
解析:由不等式x2+px+q<0的解集是{x|-3<x<2},知x1=-3,x2=2是
方程x2+px+q=0的两根,由根与系数的关系,得p=1,q=-6.
答案:C
3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数
解析式为y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售
则只需
即
解得 0<a<2,
- < ,
< ,
故a的取值范围是{a|0<a<2}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:当a=2时,y=-2,满足其图象在x轴下方,此时不能用根的判
别式.
正解:由题意知,y<0 恒成立,
当 a=2 时,y=-2,满足其图象在 x 轴下方;
零两种情况讨论.
2.一元二次不等式恒成立问题的常见类型:
设y=ax2+bx+c(a≠0).
> ,
(1)当 x∈R 时,y>0 恒成立⇔
< ;
< ,
(2)当 x∈R 时,y<0 恒成立⇔
< .
【变式训练 2】 若式子
+ + 对一切
x∈R 恒有意义,则
数 m 的取值范围是(
解得x<3,不符合题意,应舍去.
当m+1≠0时,由(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,
+ < ,
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
一元二次方程是代数学中常见且重要的内容，具有广泛的应用领域。
本文将从数学、物理和经济等方面介绍一元二次方程的应用。
一、数学应用
1. 解析几何：一元二次方程可以用于描述平面上的曲线，如抛物线。
通过求解方程，可以确定曲线的顶点、焦点等重要特征，进而进行几
何分析和解题。
2. 最值问题：一元二次方程可以用于求解最值问题，如求解抛物线
的最大值或最小值。
这种问题在最优化、经济学和物理学等领域中具
有很高的实际意义。
二、物理应用
1. 自由落体运动：当物体做自由落体运动时，其运动轨迹符合一元
二次方程。
通过求解方程，可以确定物体的运动速度、位移等重要参数，进而进行物理分析和解题。
2. 抛体运动：抛体运动也是一种常见的物体运动形式，其轨迹也是
抛物线。
一元二次方程可以用来描述抛体运动的高度、时间、速度等
相关问题。
三、经济应用
1. 成本和收益分析：在经济学中，一元二次方程可以用来建立成本和收益之间的关系。
通过求解方程，可以确定最佳利润点或成本控制的策略，对经济决策提供参考依据。
2. 市场需求预测：一元二次方程还可以用来进行市场需求的预测和分析。
通过建立需求函数，求解方程可以推测出市场规模、价格敏感度等相关指标，为企业决策提供参考依据。
综上所述，一元二次方程在数学、物理和经济等多个领域中具有广泛的应用。
通过求解方程，可以解决和分析与抛物线相关的问题，为相关学科的研究和实际应用提供支持。
对于学习者而言，掌握一元二次方程的应用，将有助于提高问题分析和解决能力，培养综合思考和创新能力。
一元二次方程的应用2B(学生版)
学科教师辅导讲义
2.已知三个连续偶数的平方为200，求这三个连续偶数.
【例4】如图，将一块长50厘米，宽40厘米的铁皮剪去四个正方形的角，就可以折成一个长方形的无盖盒子，如果盒子的底面积为600平方厘米，求盒子的高度.
【借题发挥】
如图3-9-5，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度.
11．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270
元时，恰好全部租出，在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出
一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元．
(1)设每套设备的月租金为x（元），用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租设备（套）的支
出费用．
(2)租赁公司的月收益能否达到11040元？此时应该出租多少套机械设备？每套月租金是多少元？请简要说明理由．
(3)租赁公司的月收益能否在11040基础上再提高？为什么？
12．为了迎接2010年的世博会，让上海城市更美化，通过拆迁旧房，植草，
栽树、修建公同等措施，使城市绿地面积不断增加(如图17 -4-4所示)
(1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2007年底的绿地面积为
___________公顷，比2006年底增加了__________公顷；
(2)为满足城市发展的需要，计划到2009年底使城市绿地总面积达到
72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是实际问题求解中常用的工具之一。
它的应用涉及到多个领域，如物理学、经济学和工程等。
本文将通过实际案例，介绍一元二次方程的应用。
1. 抛物线运动假设一个物体从离地面h高度抛出，初速度为v，抛物线运动的路径可以用一元二次方程表示。
设物体从时间t=0开始运动，那么物体在t时刻的高度可以用以下方程表示：h = -gt^2 + vt + h0其中g为重力加速度，h0为起始高度。
这就是一元二次方程的典型应用之一。
2. 经济学中的应用在经济学中，一元二次方程可以用来描述生产成本、销售收入等与产量之间的关系。
例如，假设某企业生产某种产品的成本函数为C(x)= ax^2 + bx + c，其中x为产量，a、b和c分别为常数。
通过求解这个二次方程，可以找到产量与成本之间的最优关系，帮助企业制定最佳的生产计划。
3. 工程中的应用在工程领域，一元二次方程也有广泛的应用。
例如，考虑一个抛物线形状的拱桥，为了确定拱桥的形状和尺寸，需要利用一元二次方程求解。
通过分析桥墩高度、跨度等因素，可以建立一元二次方程模型，求解该方程可以得到最优的桥墩高度和跨度，以保证拱桥的坚固和美观。
4. 声音传播的应用在声学中，一元二次方程可以用来描述声音在空气中的传播过程。
假设一个声源位于坐标原点，声音的传播距离为d，传播时间为t，声音的速度为v。
根据声音传播的基本原理，可以得到以下一元二次方程：d = vt - at^2通过求解这个方程，可以推导出声音传播的速度、时间和距离之间的关系。
综上所述，一元二次方程在物理学、经济学和工程等领域中有着广泛的应用。
通过求解一元二次方程，可以解决实际问题，帮助人们做出正确的决策和计划。
因此，掌握一元二次方程的应用是非常重要的。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是数学学习中较难的一部分。
然而，一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，掌握了一元二次方程的应用技巧，不仅可以帮助我们解决实际问题，还能提高我们的数学思维和解决问题的能力。
一、物体自由落体的运动物体自由落体是我们生活中常见的一种运动形式，而一元二次方程可以帮助我们描述和分析物体自由落体的运动过程。
例如，一个物体从高处自由落下，经过t秒后，它的下落距离h与时间t的关系可以用一元二次方程h = gt^2/2表示，其中g 为重力加速度。
通过解一元二次方程，我们可以求得物体下落的时间、下落的距离等信息。
这对于工程师设计建筑物的坠落物防护、运动员进行跳高、跳远等运动项目的训练以及物理学家研究物体运动规律都有着重要的意义。
二、图像的绘制一元二次方程的图像是一条抛物线，它的形状和位置与方程的系数有关。
通过绘制一元二次方程的图像，我们可以更直观地了解方程的性质和解的情况。
例如，对于方程y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以根据a的正负、大小以及b的正负来确定抛物线的开口方向、大小和位置。
这对于物理学家研究抛物线的轨迹、工程师设计拱桥的形状以及艺术家绘画中的造型都有着重要的作用。
三、经济学中的应用一元二次方程在经济学中也有着广泛的应用。
例如，假设某种商品的需求量与价格的关系可以用一元二次方程表示，通过解方程可以确定商品的最大需求量、最佳定价等信息，帮助企业进行市场预测和决策。
另外，一元二次方程还可以用来分析成本和收益的关系。
例如，某种产品的生产成本与产量之间存在一定的关系，通过解方程可以确定最佳产量，使得成本和收益达到平衡，从而实现最大利润。
四、几何问题的求解一元二次方程在几何问题的求解中也有着重要的应用。
例如，通过解一元二次方程可以求解平面几何中的求面积、求最值等问题。
例如，已知一个矩形的长为x+2，宽为x，求矩形的面积最大值。
沪教版初二秋季8 一元二次方程的应用二
一元二次方程的应用二教学内容1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．2、传播问题： (1)na x A ，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．【例1】 某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人．【例2】 某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?知识精讲模块一：传播问题例题解析【例3】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?模块二：利率、利润问题知识精讲1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．例题解析【例7】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．模块三：面积问题知识精讲1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．例题解析【例8】一个长方形的对角线长的是10，面积是48，长方形的周长是________．传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式； （2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式【例12】 在矩形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以cm /s 的速度5沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点D 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式 ．模块五：动态几何类问题知识精讲 例题解析A BCDP Q【例13】 有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝52cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ．【例14】 已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012hv tgt ，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求： （1） 隔多少时间爆竹离地面高度是25米? （2） 多少时间以后爆竹落地?模块六：其他类问题例题解析ABCDPQRL【例15】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加．【例16】一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?随堂检测【习题1】小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【习题2】 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．【习题3】 如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长．【习题4】 一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，求每次倒出的药液量．A B CD【习题5】 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?【习题6】 如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =10cm ，BC =6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒． （1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由ABCPQ【习题7】等腰直角三角形ABC 中， ∠ BAC =45°，CD ⊥ AB ，垂足为D ，CD =2，P 是AB 上的一动点(不与A 、B 重合)，且AP =x ，过点P 作直线l 与AB 垂直 ．（1） 设三角形ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与x 之间的函数关系式；（2） 当x 为何值时，直线l 将三角形ABC 的面积分成1:3的两部分．A BC D L P。
浙教版数学八年级下册【课时训练】2.3一元二次方程的应用(2)
1、一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，•第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，•则列出的方程是________．2、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．A．12人B．18人C．9人D．10人3、某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A：200(1+a%)2=148 B：200(1－a%)2=148C：200(1－2a%)=148 D：200(1－a2%)=1484、某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（）．A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km5、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克. 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？6、两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?7、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?8、某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、•周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?（用含a 、b 的代数式表示）（2）若一名检验员1天能检验45b 个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?9、某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．10、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?11、 春秋旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去该风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去了该风景区旅游？设该单位这次共有x 名员工去某风景区旅游，因为2700025000251000 =⨯，所以员工人数一定超过25人。
2.3 一元二次方程的应用(2)
北
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进 入台风影响区？你采用什么方法来判断？
C1 (400－30t)2 +(300－20t)2 =2002 C
A B1 B
东
合作学习
一轮船以30 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接 到台风警报，台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知 距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。 当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。 （1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进 入台风影响区？你采用什么方法来判断？
A
(6-1)2+(2.5+x）2=6.52
A’ C
B
B’
拓展提高
从一块腰长为20cm的等腰直角三角形白铁皮零 料上裁出一块长方形铁皮，要求长方形的四个顶点都在 三角形的边上，裁出的 长方形白铁皮的面积为75cm2 应怎样裁？
布置作业:
(1)课前课后 (2)作业本.
北
北 东
M C O N B
北
M C O
东
N B
北
M C O
N
东
M
东
C
O B
N
B
BO=30米，CO=40米，蓝从B点，红从C点同时出发，其他条件不变，经 过t秒后，两点的距离MN的距离是
2 2 （代数式表示） (40 3t) (30 2t)
合作学习
一轮船(C)以30 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中 接到台风警报，台风中心(B)正以20 km/h的速度由南向北移动。 已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响 区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(2)
含有参数的不等式
例例1.1解.解不不等等式式x2x2 5a5xax6a62a20(0a(a0)0) 变式. 解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0 解: 原不等式可化为：
3. 解分式不等式的步骤
4.注意含参数不等式求解时，对参数的分类讨论。
5.思想方法: (1)数形结合 (2)分类讨论
例2 不等式x2 -6kx+ k+8 ≥ 0对所有实数x∈R都成立， 求k的取值范围.
变式1.若函数y x2 - 6kx k 8的定义域为R，求k的取值 范围. 解：依题意可知，对任意x∈R，不等式x2-6kx+k+8≥0
应恒成立，所以
k应满足:△=(-6k)2-4(k+8)≤0
x
y
当⊿＜0 时， 方程无解
不等式的解集 ax2+bx+c＞0 ax2+bx+c＜0
{x∣x＜x1 或
x＞x2}
{x∣x1＜x＜x2
}
{ x∣x≠x0}
R
o
x
1、函数图象法
解一元二次不等式的步骤： ① 将二次项系数化为“+”（a>0); ② 计算ax2+bx+c=0判别式,并求其根; ③ 画出y=ax2+bx+c的图象; ④ 由图象写出不等式的解集.
ax2 + bx + c ＞0 (a 0) ax2 + bx + c ＜0
y
x1 o
x2
x
初中数学_【课堂实录】一元二次方程的应用(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
一元二次方程的应用（2）__教学设计一、教材分析本节内容在整个中学数学中占有重要的地位。
它不仅承接了一元一次方程以及应用的思想，且对二次函数、高中的一元二次不等式等都起着非常重要的奠基作用。
关于增长率(下降率)的问题是历年中考的一个重要考点,同时也是学生学习的一个难点,在教学中引导学生通过实例列出方程,体会不同形式题目的共同特征,可以提高学生分析问题、解决问题的能力,让学生感受数学源于生活,数学就在我们身边.二、学情分析学生的知识技能基础：学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，适合自主探究、合作交流的数学学习方式，体会数学来源于生活，并应用于生活。
学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了归纳、比较、交流等一些活动，解决了一些现实问题，感受到了数学活动的重要性；三、教学目标1、知识技能(1)、经历和体验列一元二次方程解决问题的过程，进一步体会一元二次方程也是刻画数量关系的有效数学模型(2)、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，进一步提高分析问题和解决问题的能力。
2、过程方法经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并列方程解决实际问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度通过主动探究用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
四、教学重、难点重点：列出一元二次方程解应用题。
难点：找到问题中的等量关系。
五、教学策略本节采用1、复习旧知，导入新课2、合作交流，探究新知3、学以致用，迁移新知4、感悟升华，颗粒归仓5、自我检测，能力提升6、快乐收获，分层作业六个环节，通过导学案及问题引领，培养学生积极参与数学活动，并在数学活动中体验成功，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，发展学生清晰地阐述自己观点的能力以及培养学生合作探索、合作交流、合作学习的新型学习方式。
土地沙化带来的后果的小视频接下来的三关可不容易过哦，里面会有若干陷阱，请仔细审题，圈出陷阱，并成功绕过，相信胜利中将属于你！准备好了吗？Go ！ 2、 某校去年对实验器材的投资为2万元，预 计今明两年的投资总额为8万元，求该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是多少？ 解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x ，则可列方程： 2（1+x ）+2(1+x)2=8 整理得：x 2+3x-2=0 解得：21731+-=x学生观看影像资料，观看土壤沙化给环境带来的影响的图片，对学生进行德育教育，倡议保护环境。
2.3一元二次方程的应用(2) 申屠君艳(防军初中)
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的 月收益(租金收入扣除维护费)可达到306600元?
一轮船以30km/h的速度由西向 东航行，在途中接到台风警报,台风 C1 中心正以20km/h的速度由南向北 C 移动。已知距台风中心200km的区 500km 域(包括边界)都属于受台风影响区, 当轮船接到台风警报时,测得
BC=500km,BA=300km. (1)如果轮船不改变航向,轮船会不 会进入台风影响区?你采用什么方 法来判断? （2）如果你认为轮船会进入台风 影响区，那么从接到警报开始，经 多少时间进入台风影响区？
A
300km
B1
200km
B
解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时, 则：令 (400-30t)2+(300-20t)2=2002
t1 8.35 t2 19.34
问：(1) 这方程解得的t1,t2的实际意义是什么？
(2) 从t1,t2的值中，还可得到什么结论？
(3) 如何才能避免轮船不进入台风影响区？
练习3：始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与
此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s
5cm
例2：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每盈利40元。为了扩大销售，增加盈利， 尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施。经 调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可 多售出2件。若商场每天要盈利1200元，请你帮助 商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
练习2：某租赁公司拥有汽车100辆。据统计，当 每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。每辆 车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆。 租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车 每辆每月只需维护费50元。
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(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的
月收益(租金收入扣除维护费)可达到306600元?
A
C
东
B
应用二
一轮船以30 km/h的速度由西向东航行（如图） 在途中接到台风警报，台风中心正以20 km/h的速度由 南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边 界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时， 测得BC=500km，BA=300 km。 北 （1）如果轮船不改变航向，轮船 会不会进入台风影响区？你采用 什么方法来判断？ C1 A
（ 2 ）如果你认为轮船会进 入台风影响区，那么从接到 警报开始，经多少时间就进 入台风影响区？
C
东
B1
B
（3）如果把航速改为10 km/h ，结果怎样？
练习二
如图，在△ABC中，∠B=90o。点P从
点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此
同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速
课前热身
某人把2万元存入银行,定期一年(无利息税), 到期时他支取了1万元,然后把其余的钱存入银行， 定期一年（利率不变），再到期时他取得本利 合计为1.1232万元，求这种定期储蓄的年利率? 再到期时他取得本利合=1.1232万元
应用一
例1：如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方
形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成
度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，在运动 过程中，是否存在 △ PBQ的面积等于8cm2 ？
C Q 8cm P 6cm
如果存在，请计算出时间。
如果不存在，请说明理由。
A
B
拓展
如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC, ∠C=∠ADC=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点 P从点D出发沿射线DA的方向以每秒2个单位长 的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以 每秒1个单位长的速度向点B运动。若点P、Q分 别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点 P随之停止运动。设运动时间为t（s） （1）设△BPQ的面积为S， P 求S与t之间的函数关系式； A D
∟ E Q
（2）当t为何值时， 以B、P、Q三点为 顶点的三角形是等腰三角形？B
C
例3：某租赁公司拥有汽车100辆。据统计，当每
辆车的月租金为3000元时，可全部租出。每辆车
的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆。租 辆每月只需维护费50元。
出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每
(1)当每辆车的月租金定3600元时,能租出多少辆?
如图乙所示的无盖纸盒。若纸盒的底面积是
450cm2，那么纸盒的高是多少？
40cm 25cm
底面积=450cm2
甲
乙
练习一
取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四
个边长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖的
长方体形
200cm3（纸板的厚度略去不计），问这张长方形
容积=200cm3
容积=底面积*高
应用二
一轮船以30 km/h的速度由西向东航行（如 图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。 北 当轮船接到台风警报时，测得BC=500km ， BA=300 km。 （1）如果轮船不改变 航向，轮船会不会进 入台风影响区？ 你采用什么方法来判断？