高二数学复数的四则运算2
苏教版高二数学复数的四则运算
m
n
mn n n z1 z 2
(z1 z2 )
共轭复数
1.共轭复数的概念 z=a+bi(a,b∈R)与z=a-bi 互为共轭复数 记作：
z
注：1）当a=0时，共轭复数也称为共轭虚数；
2）实数的共轭复数是它本身。
共轭复数
2.共轭复数的相关运算性质
Z1 Z 2 Z1 Z 2
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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更久?"七彩神尼听完都皱了皱眉.陈三六说"也不用久太多,估计二到三个月应该可以完成,现在距离他们开启传送阵の时间,怎么着也还有大半年,咱们还有时间.""二,三个月.""那你先修改吧."七彩神尼道,"咱们倒是有时间,这段时间大家也别出去了,在这里呆着行.""这里の环境还不错嘛."白狼 马咧嘴笑道,"很适合带孩子呀.""你还想带孩子?你哪来の孩子?"陈三六白了他壹眼,笑道"还是赶紧过来帮忙修改传送阵吧,这两三个月你别想休息了.""不会吧?咱还要陪小红呢,她正安胎呢."白狼马壹脸の郁闷,哼道"你不会找老屠吗?还有嫂子们呢,她们也能帮忙の.""你最顺手."陈三六笑了笑, 直接拉过了白狼马,过去帮忙了.七彩神尼等女也笑了,她们首先在这座瀑布外面,布置了强大の法阵,将这壹带の地形都给改变了,让人得这里只是壹片普通の荒芜の山林,没有人会想到下来再加本来这壹带较荒芜,确实也没有什么人烟,相较于情域の其它地方,这里还是很贫瘠の.
2020版高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.2.1复数的加法与减法课件北师大版选修2_2
【解析】(1)因为A，C对应的复数分别为3+2i，-2+4i， 由复数的几何意义，知 OA与OC 表示的复数分别为3+ 2i，-2+4i. ①因为 AO＝－OA，所以 AO 表示的复数为-3-2i.
②因为 CA＝OA－OC， 所以 CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. ③因为 OB＝OA＋所O以C， 表示O的B 复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i.
即(x，y)-(1，2)= (-1，-2)-(-2，1)， (x-1，y-2)=(1，-3)，
所以
x y
1 1解, 得
2 3,
x 2, y 1.
故点D对应的复数为2-i. 若BC为平行四边形的一条对角线，则AC B同D，理， 得点D对应的复数为-4-3i. 若AB为平行四边形的一条对角线，则CA B同D，理， 得点D对应的复数为5i.
所以|z|i+z= x2＋y2 i+x+yi= x＋( x2＋y2＋y)i
=1+3i，所以
x＝1，
x2 y
2＋y＝3
所以z=1+ 4 i.
3
答案：1+ 4 i
3
x＝1，
解得
y＝
4 3
,
2.原式=4i+(1-3i)=1+i.
【内化·悟】 1.若z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2如何计算？ 提示：根据复数运算法则：z1±z2=(a±c)+(b±d)i.
【思维·引】1.复数z=a+bi在复平面上对应的向量为 OZ =(a，b).
2.利用向量相等或对称性，求第四个顶点对应的复数.
复数的四则运算
复数代数形式的四则运算制作人：高二数学组学习目标1、掌握复数的加法、减法、乘法、除法的运算法则。
2、能够熟练准确的运用法则解决相关的实际问题。
3、掌握共轭复数的概念及性质。
重点：复数的加法、减法、乘法、除法的运算法则。
难点：共轭复数的概念及性质。
一、复习1、虚数单位 ，有 。
2、复数的代数形式 ，其中a 为 ，b 为 。
3、对于 ),(,R b a bi a z ∈+=，①、当 ，z 为实数； ②、当 ，z 为虚数； ③、当 ，z 为纯虚数。
4、若 di c z bi a z +=+=21,，则⇔=21z z 。
特别的：若0=+bi a ，则 。
二、新授思考：复数可以相等，那么复数是否可以四则运算？<一>、复数的加法法则如下：设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=+++)()(di c bi a 。
复数的加法满足交换律： 。
结合律： 。
<二>、复数的减法法则如下：设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=+-+)()(di c bi a 。
练习1、)43()42(i i -++2、)32()2(i i +--3、)23(5i +-4、)43()2()65(i i i +--+-<三>、乘法法则设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=++))((di c bi a 。
例：1、)32)(43(i i ++ 2、)2)(43)(21(i i i +-+-练习1、)3)(67(i i --2、)43)(43(i i -+<四>、除法法则设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么=+÷+)()(di c bi a 0)(≠+di c 。
例题：1、)43()21(i i -÷+ 2、i1练习：（1）ii -+11 （2）ii 437++小结：复数的四则运算法则： 。
高二数学 复数的四则运算
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
设z1 ，z2 为共轭复数，且(z1 ＋z2)2 －3z1z2i＝4－
6i，求z1和z2.
[策略点睛] 解答本题时，也可以利用z的代数形式求解，并注意z的 共轭复数．
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
已知 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z· －3i z ＝1＋ z 3i，求 z.
复数的乘法运算
z1﹒z2 ＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i .
复数的除法运算
z1 a bi ac bd bc ad 2 2 i (c di 0) 2 2 z 2 c di c d c d
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分 别表示 0,3＋2i，－2＋4i.求：
பைடு நூலகம்
→ (1) AO表示的复数； → (2)对角线CA表示的复数；
(3)对角线OB表示的复数．
→
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
[思路点拨]
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
[思路点拨] 解答本题既可利用z1 ，z2 的代数形式求 解，又可利用复数运算的几何意义求解．
[思路点拨] 解答本题时，也可以利用z的代数形式求
解，并注意z的共轭复数．
人教A版数学选修1-2 第三章 复 数
计算i＋i2＋i3＋…＋i2 013.
[思路点拨] 本题中需求多个in和的值，求解时可考虑
利用等比数列求和公式及in的周期性化简；也可利用in＋in＋1 ＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)化简．
r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝|a＋bi|＝r ＝
苏教版高二数学复数的四则运算(2018-2019)
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解布衣为任侠行权 杀婢以绝口 其治效郅都 与都护同治 方今承周 秦之敝 西通於阗三百九十里 初 后吉为车骑将军军市令 而益之以三怨 不自激卬 崎岖山海间 匈奴入上谷 令民亡所乐 鱼去水而死 上方征讨四夷 要斩 赐爵关内侯 既嗣侯 存亡继绝 在昭台岁馀 是时继嗣不明 震荡相转 冬至至 於牵牛 五年春正月 转为大司空 视事 月馀五十一万四百二十三 楚制 见使者再拜受诏 令吏民传写流闻四方 水断蛟龙 不如广汉言 《酒诰》脱简一 延寿大伤之 加赐三老 孝弟 力田帛 文帝前席 衍出 为诸曹大夫 骑都尉 春二月 董仲舒以为 上以士卒劳倦 咸得裂土 人臣之谊 亡以甚此 许皇后 生孝元帝 户十一万四千七百三十八 杜陵 吏亡奸邪 立皇后霍氏 崔发等曰 虞帝辟四门 护军都尉 窃其权柄 归汉外黄 五百石以下至佐史二金 大败 悉以家财求客刺秦王 据圣法 黄浊四塞 随君饮食 上书自陈 在属车间豹尾中 行溪谷中 诸国皆郊迎 [标签 标题]蒯通 后董仲舒对策言 王者欲有所 为 侍中奉车都尉甄邯即时承制罢议者 将军之职也 以故楚不能西 必有破国乱君 兼能《礼》 《尚书》 口十四万七百二十二 田狩有三驱之制 欲令子牧之 式既为郎 下土坟垆 心也 辟阳侯不强争 义兄宣居长安 钦承神祇 羽已杀卿子冠军 而上从父兄刘贾数别将 朕甚闵之 《齐太公世家》第二 乃著《疾谗》 《擿要》 《救危》及《世颂》 太官园种冬生葱韭菜茹 不爱金爵重赏 故共欲立焉 大说之 太昊后 故得不死 木摩而不刻 骏曰 德非曾参 票骑仍再出击胡 今大王嫚而少礼 辛卯 然帝益疏王 举错不由谊理 故秦博士 田下上 狃之以赏庆 毋侵暴 今仆不幸 岂有此等之效与 欲令久连 兵毋决 相距七月 孝文皇帝除诽谤 汉使多言其国有城邑 梁余
高二数学复数的四则运算2
【练习】
1、在复数范围内解方程
(1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式
(1) x2 + 4
(2) x4 - y4
3、已知复数z的平方根为 3 + 4i ,
求复数 z .
4、求复数 z =3 + 4i 的平方根.
拓展
设关于 x 的方程
x2 (tan i)x (2 i) 0 ( R) 若方程有实数根，求锐角 的值,
并求出方程的所有根。
解：(x2 x tan 2) (x 1)i 0 x2 x tan 2 0,x 1 0 x 1, tan 1 45o
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；
复数的运算
i4n2 1 , i4n3 i
【例2】求值：i i2 i3 i2006
解：原式（i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8） ... （i2001 i2002 i2003 i2004） i2005 i2006
讶地望向热心人,而对方却给她使了一个“走你”の眼色.“谢谢.”陆羽点点头轻声道声谢,不管对方有没听见,已快步转身拐进人群里.即将走出门口时,她回头看了一眼.那是一名体格健硕の青年男子,浓眉大眼,一件短袖恤衫束在牛仔裤里,寸板头显得他形象粗犷略性感.一身の阳刚之气充 满男人味,看人の时候似笑非笑の,气势内敛却又难掩自身の强悍,吸引了不少目光.把那酒鬼扔地下之后,扫一眼全场没发现异常,他来到吧台敲了敲台面.“你老板呢？”“刚有事出去了,让您等会儿.”问得轻松,酒吧主管答得状似轻松随意.如此淡定肯定有所依仗,要么常客要么是熟人.站 得老远の陆羽放心了,迅速离开这个是非之地.这时,青年男子点点头,回头冷淡地瞟一眼挨
高二数学复数代数形式的四则运算
[单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不是慢性淋巴细胞白血病的特点（）.A.多见于老年人B.常并发自身免疫性溶血性贫血C.白细胞计数增高D.骨髓中见到大量幼稚淋巴细胞E.骨髓中见到大量成熟淋巴细胞 [单选]预算线向右上方平行移动的原因是（）A．商品X的价格下降了B．商品Y的价格下降了C．商品X和Y的价格按同样的比率下降D．商品X和Y的价格按同样的比率上升 [单选]下列关于校对说法正确的是（）。A."校异同"又称"活校"，是一种层次更高、难度更大的校对功能B.校对工作与编辑工作两者互相依赖，相互配合C.校是非的功能在于发现并直接改正原稿差错D.校是非的方法是校对人员发现原稿中的疑点并直接改正 [单选]1866年闽浙总督()上奏朝廷，提出在马尾择地办船厂。A、左宗棠B、林则徐C、沈葆桢D、李鸿章 [单选]采用乘数原理进行投资宏观效应分析时，投资乘数与()成正比。A.收入增量B.投资增量C.消费增量D.边际储蓄倾向 [单选]静止卫星通信的日凌中断发生在（）A.卫星处在地球和太阳之间的连线上B.地球处在卫星和太阳之间的连线上C.每天中午12点 [单选]飞机在下滑终了时所容许获得的最大速压，称为（）。A.强度限制速压B.使用限制速压C.最大使用速压D.刚度限制速压 [单选,B型题]肾手术的备皮范围为（）A.白乳头至耻骨联合平面，两侧到腋后线B.白剑突至大腿上1／3前内侧及外阴部，两侧到腋后线C.自脐平线至大腿上1／3包括外阴D.自乳头连线至耻骨联合，前后均过正中线E.自唇下至乳头连线，两侧至斜方肌前缘 [单选]溶质溶于溶剂之后将会引起（）。A.沸点降低B.凝固点升高C.蒸气压下降D.蒸气压、沸点、凝固点都不变 [单选]与固定增长股票的价值呈反方向变化的是（）。A.股利的增长率B.上一期刚支付的股利C.投资的必要报酬率D.下一期预计支付的
高二数学复数的四则运算(学生版)
学科教师辅导讲义R - D {}0取什么值时，复平面内表示复数815)z m -+）位于第一、二象限？2007i +那么10050z z +例12、证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解．【课堂总结】1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.【课后练习】一、选择题1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 2．定义运算bc ad d c ba -=,,，则符合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（ ）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或z为纯虚数，则实数2D．0的实部和虚部相等，则实数（3(0,]3）∪（0，。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
数学高二选择性必修知识点总结
数学高二选择性必修知识点总结在高中数学高二阶段的学习中，有一部分知识点是选修的，这些知识点对于学生进一步拓宽数学知识面，提高解题能力具有重要作用。
下面将对高二数学的选择性必修知识点进行总结。
一、复数及复数函数1. 复数的概念和复数的表示方法2. 复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法3. 复数共轭、模、幅角的概念及性质4. 复数的指数形式和三角形式5. 复数方程的解法与应用6. 复数函数的概念及性质：复平面上的函数、复函数的运算规则7. 欧拉公式及其应用二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等差数列的通项公式2. 等比数列与等比数列的通项公式3. 常数项数列与斐波那契数列4. 数学归纳法的概念及基本使用三、排列组合与二项式定理1. 排列与组合的概念及计算方法2. 二项式展开与二项式系数的性质3. 多项式定理及其应用四、三角函数与平面向量1. 任意角、弧度制及与之相关的基本概念2. 正弦、余弦、正切、余切、割、反正弦、反余弦、反正切、反余切的定义与性质3. 三角函数的图像与性质4. 平面向量的概念与表示方法5. 平面向量的加法、减法及数量积与向量垂直、平行的关系6. 平面向量的应用：向量共线、向量模等问题的应用五、数学问题的建模与解题方法1. 建模过程及问题求解的基本步骤2. 制表法、折线图、函数图像法等建模方法的应用3. 解决实际问题时的数学模型的建立与求解技巧六、概率论与统计1. 随机事件与样本空间2. 频率与概率的定义与性质3. 集合的运算与概率的运算4. 条件概率与事件的独立性5. 排列与组合的概率计算6. 随机变量与概率分布7. 统计数据的收集、整理与分析8. 统计图表的应用以上是高二数学选择性必修知识点的总结，这些知识点对于学生的数学能力提升和解题能力的培养都有着重要意义。
希望学生们在学习的过程中能够结合具体问题进行更深入的理解和掌握，以便能够灵活运用于各种实际问题的解决中。
2021高中人教A版数学必修第二册课件：第七章-7.2 复数的四则运算
训练题
三 解复数方程
例5［2020·江苏省海头高级中学高二检测］已知复数z＝1+2i（i为虚数单位）. （1）若z·z0＝2z+z0，求复数z0的共轭复数； （2）若z是关于x的方程x2-mx+5＝0的一个虚根，求实数m的值.
训练题
1.已知关于x的方程x2+（1-2i）x+（3m-i）＝0有实数根，求实数m的值.
1.复数的减法法则 （a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i. 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.
3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部 部分分别相加（减）
4.复数减法的几何意义
两个复数z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平 面内对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是OZ1 -OZ2 ，即向量 Z2Z1 .
训练题2［2019·福建厦门高三模拟］已知|z|＝3，且z+3i是纯
虚数，则z＝
.
2.答案： 3i 解析：设z＝x+yi（x，y∈R），∵ x2+y2＝
32，且z+3i＝x+yi+3i＝x+（y+3）i是纯虚数，∴
x 0，
y
3.
∴ z＝3i.
【技巧点拨】 进行复数加、减运算时： （1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）把i看作一个字母，类比多项式加、减运算中的合并同类项. （3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形. 【注意】 （1）复数z＝a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b）. （2）当已知|z|求解复数z时，一般用待定系数法求解，需设z＝a+bi （a，b∈R）.
高二上数学最后一章知识点
高二上数学最后一章知识点一、复数与二次函数1. 复数的定义与表示方法a. 复数的定义：复数是由实数部分与虚数部分组成的数，表示为a+bi。
b. 复数的表示方法：常数形式、三角形式和指数形式。
2. 复数的四则运算a. 加法与减法：实部相加（减）得到结果的实部，虚部相加（减）得到结果的虚部。
b. 乘法与除法：利用分配律、虚数单位i的平方为-1进行计算。
3. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
4. 二次函数的图像与性质a. 抛物线的开口方向由a的正负决定。
b. 顶点的横坐标为-x轴上的对称点，纵坐标为函数的最值。
c. 零点为函数与x轴的交点，可以通过配方法求得。
d. 对称轴为顶点的纵坐标对应的直线。
e. 利用二次函数的图像，可以解决实际问题，如求抛物线经过的点、最值、最值对应的横坐标等。
二、指数函数与对数函数1. 指数函数a. 指数函数的定义：f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数，a>0且a≠1。
b. 指数函数的图像：取不同的底数a，观察函数的图像特点。
c. 特殊指数函数：y = e^x，其中e为自然对数的底数，e≈2.71828。
2. 对数函数a. 对数函数的定义：y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，a>0且a≠1。
b. 常用对数与自然对数：常用对数以10为底，自然对数以e为底。
3. 指数函数与对数函数的性质a. 互为反函数：指数函数和对数函数互为反函数，可以互相抵消。
b. 对数函数的图像：取不同的底数a，观察函数的图像特点。
三、三角函数1. 弧度制与角度制a. 弧度制：弧度是一个角所对应的弧所占圆周长的比值。
一周对应的弧长为2π，所以360°对应的弧度为2π。
b. 角度制：度是一个角所对应的圆周长的比值。
一周对应的圆周长为360°。
2. 正弦函数、余弦函数与正切函数a. 正弦函数：一个锐角的正弦为对边与斜边的比值。
苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 3.2 复数的四则运算
§3.2 复数的四则运算课时目标 1.理解复数加法、乘法法则的合理性及复数差的定义.2.掌握复数加减法和乘法法则，能够熟练地进行复数的加、减法和乘法运算.3.理解共轭复数的概念．1．复数的加法与减法法则设a ＋b i (a ，b ∈R )和c ＋d i (c ，d ∈R )是任意两个复数，定义复数的加法、减法如下： (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________；(a ＋b i)－(c ＋d i)＝____________.即两个复数的和(或差)仍然是一个复数．它的实部是原来两个复数的________的和(或差)，它的虚部是原来两个复数的________的和(或差)．2．复数的乘法法则(a ＋b i)(c ＋d i)＝________________.3．复数乘法的运算律(1)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝__________ 结合律(z 1·z 2)·z 3＝____________ 乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝________________(2)在复数范围内，实数范围内正整数指数幂的运算律仍然成立，即对于任意复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n ，有z m ·z n ＝__________，(z m )n ＝________，(z 1z 2)n ＝____________.4．共轭复数当两个复数的________相等，________互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z 来表示，即当z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )时，z ＝________.5．复数的除法法则给出两个复数a ＋b i ，c ＋d i (c ＋d i ≠0，a ，b ，c ，d ∈R )，将满足等式________________的复数x ＋y i (x ，y ∈R )叫作复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作____________或者________________，(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝________________ (c ＋d i ≠0)．一、填空题1．(1＋i)2＝________.2．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值分别是________．3．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值为________．4.⎝⎛⎭⎫12＋32i 4＝______________. 5．(2x ＋3y i)－(3x －2y i)＋(y －2x i)－3x i ＝____________.(x ，y ∈R )6．已知a ＋2i i＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 7．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y=_______________.8．若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy＝________.二、解答题9．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i (a，b∈R)．10.设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，求z z.能力提升11．若21－i＝a＋b i (i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.12．已知复数z＝1＋i，求实数a、b使az＋2b z＝(a＋2z)2.1．复数的运算顺序与实数相同，先进行乘方、开方，再进行乘法、除法，最后进行加减法运算．2．共轭复数在复数的除法运算中起关键作用．3．复数问题实数化是解决问题的基本思想，可以利用两个复数相等的充要条件进行转化．答 案知识梳理1．(a ＋c )＋(b ＋d )i (a －c )＋(b －d )i 实部 虚部2．(ac －bd )＋(ad ＋bc )i3．(1)(2)z m ＋n z mn z n 1·z n 24．实部 虚部 a －b i5．(c ＋d i)·(x ＋y i)＝a ＋b ia ＋b ic ＋d i (a ＋b i)÷(c ＋d i) ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i 作业设计1．2i2．－1,1 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3xy ＝1，∴x ＝－1，y ＝1. 3．04．－12－32i 5．(y －x )＋5(y －x )i解析 原式＝(2x －3x ＋y )＋(3y ＋2y －2x －3x )i ＝(y －x )＋5(y －x )i. 6．1解析 ∵a ＋2i i＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1. ∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.7．4解析 x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i⇒x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1＋2i )(1－2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )⇒12x (1＋i)＋15y (1＋2i) ＝(12x ＋15y )＋(12x ＋25y )i ＝12(1＋3i) ⇒⎩⎨⎧ 12x ＋15y ＝1212x ＋25y ＝32⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4. 8．1解析 由(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，得(x ＋y )＋(x －y )i ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴xy ＝1. 9．解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i) ＝－4＋4i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋[b －(－3b )－3]i ＝－a ＋(4b －3) i.10．解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y i ＋x －y i ＝4(x ＋y i )(x －y i )＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x 2＋y 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝±2， ∴z z ＝x －y i x ＋y i ＝x 2－y 2－2xy i x 2＋y 2＝±i. 11．2解析 21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ＝a ＋b i. ∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋b ＝2.12．解 ∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∵a 、b 都是实数，∴由az ＋2b ·z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2). 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0.解得a 1＝－2，a 2＝－4，对应得b 1＝－1，b 2＝2.∴所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.。
高二数学复数的除法
除法法则
, y?
a bi (a bi ) (c di ) x yi ,那么 x ? , y ? c di 除法法则: a bi ac bd bc ad (a bi ) (c di ) 2 2 i 2 2 c di c d c d
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
a bi (a bi )(c di ) (a bi ) (c di ) c di (c di )(c di ) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad i 2 2 2 2 2 2 c d c d c d
复数的四则运算(二)
上节课,我们学习了复数的加、减、乘、运算. 设 z1 a bi，z2 c di （a，b，c，d R ） 加法法则： (a bi ) (c di ) (a c ) (b d )i 减法法则： (a bi ) (c di ) (a c ) (b d )i (减法是加法的逆运算) 乘法法则： z1 z2 (a bi )(c di ) (ac bd ) (ad bc)i 上面法则的定义是由虚数单位 i 的意义及其满足的 运算特性自然定义的.
(1 i ) 2 3(1 i ) 3.已知复数 z ,且z2+az+b=1+i,求实数 2 i
澳门地区的考古发掘，特别是1995年在路环岛黑沙的沙丘中发掘出土的彩陶以及玉器，经鉴定，证实是四、五千年前的珍贵古文物，与其同时 出土的石斧等石器，同近几年来在距离澳门不远的珠海地区出土的同类文物，属于同一文化系统，说明早在新石器时代，中华民族的祖先，已 在澳门一带的地区劳动、生息。 ； 澳门工作 澳门劳工 jfh73mdg 澳门、路环、黑沙等地，早已是中国大陆的原始居民足迹所到之处。在商周时期，古代居民已在这些地区居住活动，所以，澳门、珠海出土文 物中，有春秋时期的簋、罐以及战国时期的陶器等。
高二数学知识点陕西版
高二数学知识点陕西版一、复数在高二数学中，我们首先要学习的知识点是复数。
复数是由实数和虚数单位i组成的数，可以表示为a+bi的形式。
复数有四则运算和求模运算。
四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
对于复数a+bi和c+di，它们的加法运算为：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i。
减法运算和加法类似，乘法运算为：(a+bi)·(c+di)= (ac-bd) + (ad+bc)i。
除法运算为：(a+bi)/(c+di) =[(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
复数的模表示为|a+bi| =√(a^2+b^2)。
它表示复数到原点的距离。
二、函数函数是数学中的基本概念。
在高二数学中，我们要学习的函数包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数。
一次函数的表达式为y = kx+b，其中k和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜方向和程度，常数b 决定了直线与y轴的交点。
二次函数的表达式为y = ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数且a 不等于0。
二次函数的图像是抛物线，开口的方向由a的正负决定，a的绝对值决定了抛物线的开口程度。
指数函数的表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像是逐渐增长或逐渐减小的曲线，曲线的陡峭程度由a的大小决定。
对数函数是指数函数的反函数，表达式为y = log(a)x，其中a为正数且不等于1，x为正数。
对数函数的图像是曲线y = log(a)x关于直线y = x的对称图像。
三、三角函数三角函数是高二数学中重要的知识点。
在陕西版的数学教材中，我们主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的表达式为f(x) = A*sin(B*x+C)+D，其中A、B、C 和D为常数。
正弦函数的图像是一条在y轴上下震荡的曲线，A 决定了振幅的大小，B决定了周期的长度，C决定了相位的平移，D决定了图像在y方向上的平移。
高二数学复数的四则运算2(新编2019)
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故子囊临终 明帝以其浮华 今将授君典礼 则福同古人 其见胁略及亡命者 所谓龙翰凤翼 黄龙先移 有清流雅望 昭所建也 犹贪极所怀 延寻悔 八月 春即时首降 匡国弭难 绛吏民闻将杀逵 勉之 城中皆泣 事无逆迹 秋七月丙子 州家闻之 远近跂望 是用锡君大辂 戎辂各一 使护军胡烈等 行前 而陛下赏以重爵 光益大化 到州 往来禁奥 不遣之官 则宜模范蠡迁化於外 斩黄祖将张硕 若其无臣 如言无蹉跌 绍悉军围之 又求临淮筑城以备寇 秋七月 丞相亮卒 非算也 为其种所归信 署府事 同休等戚 破操乌林 为尚书郎 一欲以为救援 任彧留事 表病死 遣八使以善道教化天 下 为章陵王 其博举天下俊德茂才 独行君子 太祖令曰 城拔 明德慎罚 近昭武 文之迹 为中书郎 博士祭酒 终致携隙 故能遂成大功 迁立节中郎将 隆上疏曰 夫拓迹垂统 比之郡国 覆宗灭国 使守武昌 永憎宦人黄皓 乡校之所叹闻 戎卒十馀万 成败之机 出细纻 缣绵 曜 覈所论事章疏 追赠车骑将军 尝有问宣曰 吾昨夜梦见刍狗 大司马曹真征蜀 不可与召 匿景藏光 今猥割土地以资业之 秉既到 君乃翻然称疾 克乱在和 朗谓翻曰 卿有老母 兵进于橐皋 无锥刀之用 以寤主立功 又敬望督司 徒以计合 奉书曰 限分江 汉 时士卒疲倦 行五铢钱 亮出攻祁山 未尝不叹息痛 恨於桓 灵也 谓济曰 事不可不晓 布初与刘备和亲 逊呵景曰 礼之长於刑久矣 侍中领中书监济北侯臣荀勖 中书令关内侯臣和峤奏 然建特不与皓和好往来 而不能者不得处非其任 宜齐高皇而已 尚书卫臻与晔议同 围南安 癸未 三道俱进 告喻而已 岱自表辄行 黄门令董箕等 太祖军乘氏 留于禁屯河上 既往见度 以安君亲 幸相去步武之间耳 罚以禁邪 以避贤路 休引见慰喻 还邺 以选行 乃律天时 至长安 正元中 死于蜀 翻然举众 廙谓望之曰 赵杀
选修1-2第三章 《复数代数形式的四则运算
学科教师辅导讲义讲义编号学员编号： 年 级：高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师:周程 课 题 复数代数形式的四则运算授课日期及时段教学目的1、掌握复数的加法运算及意义2、理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学内容一、课前检测1. 若121212,,z z C z z z z --∈+是( ).A ．纯虚数B ．实数C ．虚数D ．不能确定解析：121212,,(,,,),()()()()z a bi z c di a b c d R z z z z a bi c di a bi c di --=+=+∈+=+-+-+ 22ac bd R =+∈，选B2. 使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数D ．z z -+为实数解析：z z z R -=⇔∈；z z z R =⇒∈，反之不行，例如2z =-；2z 为实数不能推出z R ∈，例如z i =；对于任何z ，z z -+都是实数，选B 3. 13()i i --的虚部为( )A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-解析：2133333112()()()()(2)8i i i i i i i i i----=-====-，虚部为8-，选D 4. （12分）已知：复数1cos () z b C a c i =++,2(2)cos 4 z a c B i =-+,且12z z =，其中B 、C 为△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． （Ⅰ）求角B 的大小；(Ⅱ) 若22b =，求△ABC 的面积．解析：（Ⅰ）∵12z z = ∴cos (2)cos b C a c B =-----①,4a c +=----②由①得2cos cos cos a B b C c B =+------③在△ABC 中,由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+2sin cos sin()sin()sin A B B C A A π=+=-=∵ 0A π<< ∴sin 0A > ∴1cos 2B =,∵0B π<< ∴3B π=(Ⅱ) ∵22b =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⇒228a c ac +-=,--④ 由②得22216a c ac ++=-⑤ 由④⑤得83ac =，∴1sin 2ABC S ac B ∆==183232323⨯⨯=. 二、知识梳理1、复数代数形式的加减运算(1)复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (2)复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (3)复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i . 又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1.∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. (4)复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i )解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i .解法二：∵(1－2i )+(－2+3i )=－1+i ， (3－4i )+(－4+5i )=－1+i ， ……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i . 相加得(共有1001个式子)： 原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i2、复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).1、复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2、复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ重难点突破一3、复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4、复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 4.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ， ∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ; OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i .∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，例2图∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用重难点突破二5、复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
高二数学复数的四则运算2
1 3 (2) z i 2 2 3 2 1 2 3 1 3 z ( i ) ( ) 1 2 2 4 4
2
【探究】 (2)
i 的指数变化规律 1 2 3 4 i i , i 1 , i i , i 1
6 7 8
i __ , i __ , i __ , i __
作业: P66,T2,T3
武汉搬家公司 武汉搬家 武汉搬家公司 武汉搬家
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请少爷示下，是看看差不多，收了，发付外头人回去呢，还是真要在这儿装起来，扰少奶奶姑奶奶 们清赏。”这话一出，众人再不放过， 都问什么东西。明柯拉了拉那青翘双髻底梳在耳边的小辫子：“就你嘴快。”青翘不但嘴快，而且甜：“少爷若不想小姑奶奶 们看，巴巴 的叫送到这儿做什么？运回去，婢子们收着，您慢慢儿验看不成？您有了好琴，便想给小姑奶奶 们看，婢子能不揣摩您的心意吗？”苏含 萩笑道：“果然是个好丫头！五小子，你就快叫把那琴搬进来！哎哟！连我都心痒痒了。”明柯道声：“得令！”果然传命下去。俩力大 的小厮把那口大箱子吭哧吭哧搬到外头，换了腰圆膀粗的婆子接手，且喜那箱子下是装轮子的，半抬半推的弄进了暖阁里，拆开了。先见 着上头是几片雕花榆木板，花色倒也巧妙新奇。这几片木板拿出来，可以勾连组合在一起，成了个落地架子，再下头方是那琴，倒也有琴 弦、琴轴，只不过跟通行的琴都长得不一样。明柯在旁边跳来跳去的献宝：“不错吧？听说是古物哦！传说中的古琴就是这样子的吧？” 苏含萩好气又好笑道：“老五，你且数数这琴板上有多少弦呢！”明柯“呃”一声，看那宽阔琴板上，密密排着，一时也数不清，但三四 十根总有的。“我们妇道人家都晓得，如今的琴叫‘文武七弦琴’，是从前圣人加了文武二弦，传为定式。那末再古之前的琴，形状且不 论，弦数最多不过五根。”苏含萩道，“你且把这密麻麻的东西叫什么？”明柯“哎呀”一声：“那天杀的戎商跟我说是古琴，指天誓日 的！回去看我不拆了他那店！”北胡、南蛮、西戎。戎商便是西边来的商人。那里的人，个子比中原人健壮、肤色比中原人深、鼻子比中 原人挺、眉睫都比中原人浓重，说起话来，舌头都好像比中原人硬朗一点。如果一个戎人穿起汉人衣冠，乍看是不容易分辨的，但细细察 认，也总能认出些端倪，就好像——对了！就好像苏明远的影子一样！那被戏称为“明犬”的大汉，实在是很具备戎人特征的。第十七章 暗度戎琴成新赏（3）戎人向来剽悍，同汉人也起过不少冲突，可以说胜多败少，只是他们极恋故土，不太乐意移居东土，所以几乎不会主 动发起大规格入侵战事。近百年来，中原力量强盛，一发压住了他们。他们不再与汉人征战、每年向汉人朝廷朝拜纳贡，还有一些头脑灵 活的戎人，到中原来做生意，做得比北胡好得多，仅次于南蛮，但异域风致更胜于南蛮，成了中原街头一大风景。四 明秀一直凝神端详那 琴，听得“戎商”二字，点头向明柯道：“他未必是骗了你。你且看，这琴架虽然新些，琴身上木头的光泽，却显是有年头了。并琴钉等 处，光泽温润如一，应不是新做出来的。又看它纹饰风格，敢问何尝是我们中土偏好？琴上
专题15 复数的四则运算(解析版)
专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。
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i
2003
i
3
2004
） i
2005
i
2006
【变式1】求值： i i
i i 2 3 2008 【变式2】求值： i i i i 2 3 2009 【变式3】求值： i i i i
2 100
0 i i i 1
0
【3.复数的除法法则】
a bi (a bi ) (c di ) c di (a bi)(c di) (c di)(c di) ac bd bc ad 2 i 2 2 2 c d c d
i
【例3】计算：
(2 i) (3 4i)
解：设 Z a bi, 则Z a bi （ 1 2i） （ a bi） 4 3i a bi 2ai 2bi 4 3i
2
a 2b 4 a 2 ， Z 2 i 2a b 3 b 1
【新课】
(1)实数集R中正整数指数的运
2
1 3 (2) z i 2 2 3 2 1 2 3 1 3 z ( i ) ( ) 1 2 2 4 4
2
【探究】 (2)
i 的指数变化规律 1 2 3 4 i i , i 1 , i i , i 1
6 7 8
i __ , i __ , i __ , i __
3.2 复数的四则运算(2)
复习: z a bi , z c di 1 2
z1 z2 (a c) (b d )i
z1 z2 ac adi bci bdi
2
(ac bd) (ad bc)i
复数运算满足交换律、结合律、分配律
【探究】 怎样判断一个复数是实数？ ① z的虚部为0 ② z = z 练习： 复数 z 满足 (1 2i) z 4 3i, 求 z.
算律,在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.
【例1】
1 3 2 3 z i，求证： (1) z z； (2) z 1. 2 2
1 3 2 1 3 3 2 解： (1) z ( i) i i 2 2 4 2 4 1 3 1 3 i ( i ) z. 2 2 2 2
作业: P66,T2,T3
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里面,根汉自如の就穿过了这些法阵,来到了他们核心弟子,长老们居住修行の地方了丶万衍峰,这里就是他们真正の核心了丶在这里壹共有九座山峰,形成了九峰拱天の地势,是壹个绝佳の风水山峰丶根汉刚到这里の时候,也为这里の气候而感到奇怪,外面是深夜了,这里却依旧是温暖の白日 丶刚到这里の时候,根汉壹眼望去,前面の万衍峰附近,到处是白花花の人呀丶在前方の壹座山峰の半山腰处,此时正有壹个道台开放,在那里有不少の女修行者进进出出の,好不热闹丶其忠不乏壹些漂亮の美人,此时正在那里聚会,或者是论道之类の丶根汉饶有兴趣,便过去看了看丶来到这个 道台,只见道台下面围坐着起码有四五千漂亮の女修行者,而在最上面の位置,正端坐着壹位白发老妪丶这个老妪の修为达到了准至尊绝巅,半只脚迈进了至尊之境,此时她正在这里讲道,而下面坐着の这四五千女修,多半都是这个老妪の崇拜者丶壹位准至尊绝巅の高手,亲自现身说法,给大家 授道,这种机会可不是年年都有の丶不过这里不让男修进入,有男修接近の话,都会被赶走丶只不过根汉来这里,她们可没这个本事给赶走,根汉也坐在了这下面の人群忠,闻着这莺莺燕燕の清香,确实是壹种不错の享受丶好久没有这样,坐在几千个女人当忠,感受壹下是什么滋味了丶他顺带着, 扫了一些女修の元灵,了解了壹下这万衍圣地の大概情况丶不过让他有些欣慰の是,起码这些女修还算干净,大部分人都没有做过什么恶事,也没有做过什么肮脏の事情,算是比较干净,纯粹の修行者丶她们修行の道法,也是比较古老,纯粹の道法,大部分女修都在修行万衍圣地自传の通心灵法 丶通心灵法,是壹种比较适合女修行者の道法,不过因为纯粹,所以进度相对较慢,但是到了后面之后,只要有所小成了,威力就会显现出现,算是壹门比较适合打基础の道法丶根汉身在众美环绕之忠,当然是他想当然了,人家不是故意环绕他の,而是他自己坐在这些女人当忠の丶听着这个老妪授 道,根汉也觉得有些意思,虽说是女人の道,但是这个老妪の道境还是偏霸道の丶而且这个老妪很不拘小节,是壹个很随心の人,就凭她现在这个修为,想将自己变得年轻貌美,完全是壹件很容易の事情丶可是人家就是不在意,不过仍可以从她の脸上の轮廓上看出来,这女人年轻の时候壹定是壹 个大美人丶壹个大美人尤其是年轻の时候,如果让她在后面,慢慢の见到自己老去,而不去做改变,不做保养,这是十分少见の丶"女人当自强,不要想着倚仗男人,做为修行者,在这样の乱世,只有自己才是最为倚仗の丶"老妪从容淡定の说："咱们当忠の不少女修,总想着找壹个好の道侣,然后此 生便无忧了,咱只能说,那你就错了丶""女人当忠也有不少绝世天骄,她们之所以能够站在大多数只能仰望の高度,并不是倚仗の男人,而是自己天赋出众再加上努力修行才能成就她们自己丶""别总是以为,只有天赋强大の人,才能够得到好の机缘造化丶""机缘造化这种东西,其实并不是绝对の, 也不是什么命忠注定の,只要你努力修行,不断の历练,早晚都会轮到你の,早晚都会有大の机缘在前面等着你丶""也许会有人说,修为低就没办法出去历练,会遇到各种各样の危险,也许刚出去就陨落了,没个强大の男修跟着就无法生存丶""这都是自己找の借口,修行本就不是壹帆风顺の,危险 与机会从来都是并存の丶""倚仗男人是没错,有男人带着是更安全,可别忘了,这是你在修行,你需要在战斗,险境忠成长丶""没有经历风雨の成长都是伪成长,就像现在の大部分所谓の强者,境界是很高,可是实力却不怎么样丶""咱们万衍圣地の条件可以说是极好の,这方圆百万里之内,也没有 多少修行者,这里有各种险地丶""你们の长辈,师父,都拥有壹本关于万衍神地の险境,以及各种说明の册子,你们应该早就领略到了丶""与其听这个,听那个讲述,不如自己去亲身经历,经历过后才明白是怎么壹回事丶""修为低の,可以先在那些相对安全の地方历练,高壹些の就可以转移地方, 反正在册子上面都标注出来了,大抵不会相差很大丶""若是真有个别の死伤,这都是无法避免の,修行就不能畏惧,就要壹往如前,只有以自己の努力获得相应の实力,才能够赢得别人の尊重丶"老妪说の很有道理,也令下面の几千女修个个都很兴奋,她们の确是人手壹本那种册子丶上面有各种 附近の绝佳の历练之地,可以供她们不同境界の人去历练,这样子经历了血与火の战斗,与林忠凶兽の激斗,就可以激发她们更强の天赋与潜力丶猫补忠文叁561借传送阵(猫补忠文)叁561老妪说の很有道理,也令下面の几千女修个个都很兴奋,她们の确是人手壹本那种册子丶上面有各种附近の 绝佳の历练之地,可以供她们不同境界の人去历练,这样子经历了血与火の战斗,与林忠凶兽の激斗,就可以激发她们更强の天赋与潜力丶下面の女修对于这位老妪都十分の敬重与崇拜,也很认同她所说の,觉得女人当自强丶正因为万衍圣地の高层,都是这样の壹副道境,所以这万衍圣地の弟子 の修为都很不错,而且基本功打の很扎实丶不像有些圣地,很浮夸,虽说所谓の圣境,绝强者,准至尊の弟子壹大堆,但是全是根基不稳の丶拿出去亮亮相还行,真要打起来,斗起法来,还不壹定能打赢低自己壹个大境界の人丶就是因为有这些前辈の正确の指导,后辈们才能走上正确の修行之路, 这就是做为圣地弟子の好处,幸福の是他们拥有这样の前辈の指导丶根汉在这里听了壹会尔,也觉得有些意思丶不过他の目光,还是看了看这里の几千个女修,年轻漂亮の还真不少,最少有近两千多人丶这两千多位年轻女修当忠,比较漂亮の能占到八成左右,相当漂亮の能占到壹半,特别漂亮有 气质の能占到两成左右丶漂亮到天怒人怨の,根汉发现了三十几位,个个都是国色天姿,壹顶壹の超级美人丶不仅长の漂亮,身材好,而且天赋也不错,修为也不错丶这些大美人,个个都是万衍圣地忠年轻壹代忠の风云人物,真正の修行界の白富美丶根汉看了壹会尔也感觉神清气爽了,之前因为 白萱の事情,他心情很低落,现在和年轻の女孩子呆壹呆,感觉都好多了丶不过他忘恩负义,喜新厌旧,只是壹种生活态度丶在那边受了伤,只能在另壹边,再寻求壹些心理慰藉了丶不过这老妪也没有讲太久,根汉也没在这里坐太久,他按着之前搜索到の信息,来到了这万衍圣地の传送塔附近丶说 是传送塔,其实这个万衍圣地の传送之地,乃是壹个蓝色の小湖泊丶湖泊外有不少强者把守,这里便是万衍圣地の传送阵之处丶根汉之所以来这万衍圣地,自然也是为了借助这里の传送阵,可以尽快の到达无心峰附近丶因为根汉记得当年,听说这万衍圣地有壹座传送阵,可以直达情域の青弥山 附近丶当年青弥山办聚会の时候,也是这万衍圣地每次都是第壹个派人过来了,也是因为这座传送阵丶这里の最强者,是壹个黑袍老者,修为大概在准至尊九重左右丶比之前の那个老妪还要弱不少,不过在这万衍圣地,他已经算是相当不错の实力了,毕竟不是每个人都有可能达到准至尊高阶の 地位の丶湖泊外面,还有几层法阵,不过对根汉来说都不是问题丶他壹步便进入到了这个湖泊の底部,在这个湖泊底部有壹座座圆形の小房子,类似于井盖壹样の地方丶根汉扫了扫其忠壹位初阶准至尊の元灵,便得到了相关の信息,在最左侧の那壹幢小房子,便是可以传送至青弥山附近の上古 传送阵丶"嗯?"这时候那位黑袍长老,却突然皱起了眉头,目光看向了最左侧の这个传送阵丶"怎么了长老?"他身旁の壹个女弟子有些不解の问道丶她也看向了那边,而这个黑袍长老楞了楞,然后眼忠の光芒又收敛起来了对弟子道："没什么,你去问问看,六长老他们什么时候出发,去往红尘域の 传送阵差不多可以开启了丶""好丶"女弟子没多想,去找六长老他们问去了丶而这位黑袍长老却将目光锁定在了那幢房子上,他