19届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性夯基提能作业本文

第二节导数与函数的单调性
A组基础题组
1.设f '(x)是函数f(x)的导函数,y=f '(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( )
2.已知函数f(x)=xln x,则f(x)( )
A.在(0,+∞)上递增
B.在(0,+∞)上递减
C.在上递增
D.在上递减
3.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是( )
A. B.(-∞,3]
C. D.[3,+∞)
4.已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则f, f(1), f的大小关系为( )
A. f>f(1)>f
B. f(1)>f>f
C. f>f(1)>f
D. f>f>f(1)
5.(2017山东,10,5分)若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)=2-x
B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x
D.f(x)=cos x
6.函数f(x)=e x-ex,x∈R的单调递增区间是.
7.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是.
8.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2+2)<f(3x),则实数x的取值范围是.
9.(2018湖北武汉调研)已知函数f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂
直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
10.设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1.
(1)求b,c的值;
(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间.
B组提升题组
1.函数f(x)的定义域为R. f(-1)=2,对任意x∈R, f '(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,+∞)
2.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数, f '(x)为其导函数,若对于任意实数x,有f(x)-f '(x)>0,则( )
A.ef(2 015)>f(2 016)
B.ef(2 015)<f(2 016)
C.ef(2 015)=f(2 016)
D.ef(2 015)与f(2 016)大小不能确定
3.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b.
(1)若曲线f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;
(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.
4.已知函数f(x)=x-+1-aln x,a>0.讨论f(x)的单调性.
答案精解精析
A组基础题组
1.C 由f '(x)的图象知,当x∈(-∞,0)时, f '(x)>0, f(x)为增函数;当x∈(0,2)时, f '(x)<0, f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时, f '(x)>0, f(x)为增函数.故选C.
2.D 因为函数f(x)=xln x,定义域为(0,+∞),所以f '(x)=ln x+1(x>0),
当f '(x)>0时,解得x>,
即函数的单调递增区间为;
当f '(x)<0时,解得0<x<,
即函数的单调递减区间为.故选D.
3.C f '(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f '(x)≤0在[1,4]恒成立,
即3x2-2tx+3≤0在[1,4]上恒成立,则t≥在[1,4]上恒成立,易知y=在[1,4]上单调递增,
所以t≥=.故选C.
4.A 因为f(x)=xsin x,
所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,所以f=f.
又x∈时, f '(x)=sin x+xcos x>0,所以此时函数是增函数.
所以f<f(1)<f.
所以f>f(1)>f.故选A.
5.A 当f(x)=2-x时,e x·f(x)=e x·2-x=,令y=,
则y'===(1-ln 2).
∵e x>0,2x>0,ln 2<1,∴y'>0.
∴当f(x)=2-x时,e x f(x)在f(x)的定义域上单调递增,故具有M性质,易知B、C、D不具有M性质,故选A.
6.答案(1,+∞)
解析由题意知, f '(x)=e x-e,令f '(x)>0,解得x>1,即函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
7.答案(-3,0)∪(0,+∞)
解析由题意知f '(x)=3ax2+6x-1,因为函数f(x)恰好有三个单调区间,所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0,
且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).
8.答案(1,2)
解析由题意得函数的定义域为(0,+∞), f '(x)=+2x ln 2,所以在定义域内f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以由f(x2+2)<f(3x)得x2+2<3x,所以1<x<2.
9.解析(1)对f(x)求导得f '(x)=--,由f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x知f
'(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由(1)知f(x)=+-ln x-,
则f '(x)=,
令f '(x)=0,解得x=-1或x=5.
因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.
当x∈(0,5)时, f '(x)<0,故f(x)在(0,5)上为减函数;当x∈(5,+∞)时, f '(x)>0,故f(x)在(5,+∞)上为增函数.
10.解析(1)f '(x)=x2-ax+b.
由题意得即
(2)由(1)得f '(x)=x2-ax=x(x-a),结合a>0知:
当x∈(-∞,0)时, f '(x)>0;
当x∈(0,a)时, f '(x)<0;
当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
B组提升题组
1.B 设g(x)=f(x)-2x-4,则g(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0,g'(x)=f '(x)-2>0,
则g(x)为增函数.
解g(x)>0,即g(x)>g(-1),得x>-1,故选B.
2.A 令g(x)=,则g'(x)==,因为f(x)-f '(x)>0,所以g'(x)<0,所以函数g(x)在R上单调递减,所以g(2 015)>g(2 016),即>,所以ef(2 015)>f(2 016),故选A.
3.解析(1)由题意知f '(x)=,
则f '(1)=1,
因为曲线f(x)与g(x)在x=1处相切,g'(x)=a,所以1=a,a=2,故g(x)=x+b,
又f(1)=0,所以切点坐标为(1,0),
则有0=1+b,b=-1,
故g(x)的表达式为g(x)=x-1.
(2)因为φ(x)=-ln x,
所以φ'(x)=-,
因为φ(x)在[1,+∞)上是减函数,
所以φ'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
即m≤在[1,+∞)上恒成立,
令h(x)=,x∈[1,+∞),
则h'(x)=,x∈[1,+∞),
令h'(x)=0,得x=1,
则h(x)在[1,+∞)上单调递增,
故h(x)min=2,所以m≤2.
4.解析由题意知, f(x)的定义域是(0,+∞),
f '(x)=1+-=.
设g(x)=x2-ax+2,
则一元二次方程x2-ax+2=0的判别式Δ=a2-8.
①当Δ<0,即0<a<2时,对一切x>0都有f '(x)>0.
此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.
②当Δ=0,即a=2时, f '(x)≥0.此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.
③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不同的实根,分别为x1=,x2=,且0<x1<x2.
f(x), f '(x)随x的变化而变化的情况如下表:
此时f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.。