2001年西城区年数学中考试题及答案

2001年北京市西城区数学中考试卷试 卷第Ⅰ卷（选择题 50分）一、下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的．（本题共50分，1～10小题每题3分，11～15小题每题4分）1．在3，2.3，5，π四个数中，无理数的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．32)(a 的计算结果是（ ）．（A ）5a （B ）6a （C ）8a （D ）9a 3．下列各式计算正确的是（ ）．（A ）12)1(22+-=-x x x （B ）1)1(22-=-x x （C ）633x x x =+ （D ）236x x x =÷4．如果两个圆有且只有三条公切线，那么这两个圆的位置关系是（ ）． （A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）外离5．如图，梯形ABCD 中，如果上底AD 的长为2，下底BC 的长为6，那么中位线EF 的长为（ ）．（第5题）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）86．如果圆的半径为3，那么60°的圆心角所对的弧长为（ ）．（A ）23π （B ）2π（C ）π （D ）3π7．如图，如果⊙O 的半径为2，弦AB ＝23，那么弦心距OE 的长为（ ）．（第7题）（A ）21 （B ）3 （C ）1 （D ）28．据调查统计，北京在所有申奥城市中享有最高程度的民众支持率，支持申奥的北京市民约有1299万人，用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（ ）．（A ）3103.1⨯万人 （B ）1300万人 （C ）31030.1⨯万人 （D ）41013.0⨯万人 9．如果a ＞b ，那么下列结论中错误的是（ ）． （A ）a －3＞b －3 （B ）3a ＞3b （C ）3a ＞3b （D ）－a ＞－b10．某种细菌在营养过程中，细菌每半小时分裂一次（由一个分裂为两个），经过两小时，这种细菌由1个可分裂繁殖成（ ）．（A ）8个 （B ）16个 （C ）4个 （D ）32个 11．在同一坐标系中，函数xk y =和y ＝k x ＋3（k 是不等于0的常数）的图象大致是（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）（第11题）12．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙班多种5棵树，甲班种80棵树所用的天数与乙班种70棵树所用的天数相等．若设乙班每天种树x 棵，则根据题意列出的方程是（ ）．（A ）xx 70580=- （B ）57080+=x x（C ）xx 70580=+ （D ）57080-=x x13．在①圆、②等腰梯形、③正方形、④正三角形、⑤平行四边形这五个图形中，所有既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．（A ）①和② （B ）③和④ （C ）①和⑤ （D ）①和③14．无论m 为任何实数，二次函数y ＝2x ＋（2－m ）x ＋m 的图象总过的点是（ ）． （A ）（1，3） （B ）（1，0） （C ）（－1，3） （D ）（－1，0）15．一个圆台形物体的上底面积是下底面积的41，如图放在桌面上，对桌面的压强是200帕，翻过来放，对桌面的压强是（ ）．（第15题）（A ）50帕 （B ）80帕 （C ）600帕 （D ）800帕第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（本题共15分，每小题3分） 1．在函数52-=x y 中，自变量x 的取值范围是________．2．分解因式：x x 43-＝________．3．以长为8，宽为6的矩形各边中点为顶点的四边形的周长为________．4．如图，观察硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度．当温度为40℃时，________的溶解度大于______的溶解度．（第4题）5．若方程2x －2x ＋k ＝0两根的倒数和是38，则k ＝________．三、（本题共17分，1、2、4小题每题4分，3小题5分） 1．计算：︒-+-60sin 2123．2．一个角的余角比它的补角的31还少20°，求这个角．3．已知：如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，并且AE ＝CF ． 求证：四边形DEBF 是平行四边形．（第3题）4． 某商店三、四月份出售同一品牌各种规格的空调销售台数如右表，根据表中数据回答： （1）商店平均每月销售空调__________（台）；（2）商店出售的各种规格的空调中，众数是_________（匹）；（3）在研究六月份进货时，商店经理决定___________（匹）的空调要多进；_________（匹）的空调要少进．四、（本题共12分，每小题6分） 1．解方程：xx x x--=--1321122．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元．因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，所以为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化处理后再排出．每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理．每处理1立方米需付14元的排污费． 问：1．设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y 与x 的函数关系式；（利润＝总收入－总支出）2．设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下应选用哪种处理污水的方案，请通过计算加以说明．五、（本题9分）已知：抛物线c bx ax y ++=2过点A （－1，4），其顶点的横坐标是21，与x 轴分别交于B （x 1，0），C （x 2，0）两点，其中x 1 ＜x 2，且x 12＋ x 22＝13．（1）求此抛物线的解析式及其顶点E 的坐标；（2）设此抛物线与y 轴交于点D ，点M 是抛物线上的点，若△MBO 的面积为△DOC 面积的32倍，求点M 的坐标．（第五题）六、（本题9分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，且AC ＝AB ，CO 交⊙O 于点P ，CO 的延长线交⊙O 于点F ，BP 的延长线交于AC 于点E ．（1）求证：FA ∥BE ； （2）求证：ABFA PCAP =；（3）若⊙O 的直径AB ＝2，求tan ∠CPE 的值．（第六题）七、（本题8分）已知：Rt △ABC 中，∠C ＝90°． （1）若AB ＝c ，∠A ＝θ，用c 和θ表示BC 、AC ； （2）若AB ＝5，sin A ＝54，P 是AB 边上一动点（不与点A 、B 重合），过点PA 分别作PM⊥AC 于点M ，PN ⊥BC 于点N ．设△AMP 的面积为S 1、△PNB 的面积为S 2、四边形CMPN 的面积为S3、AP ＝x ．分别求出S 1、S 2、S 3关于x 的函数解析式；（3）试比较S 1＋S 2与S 3的大小，并说明理由．（第七题）试卷答案第Ⅰ卷（选择题50分）一、选择题1．B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C （6132⨯π⨯⨯）．7.C （用勾股定理AE ＝EB ＝3）． 8.A9.D （注意题目是要选错误的） 10.B （1624=） 11.A 12. C 13.D14.A （可先设m ＝0，再设x ＝1，求出y ＝3.）15.D （想想压强的定义，再判断上底面积与下底面积的关系.）第Ⅱ卷（共70分）二、 填空题 1. 25≥x 2. x （x ＋2）（x －2）； 3. 20；4. 硝酸钾、氯化铵；5. 43.三、 1． 解：︒-+-60sin 2123.32232323=⨯-+=2．解：设这个角是x °，那么它的余角是（90－x ）°，它的补角是（180－x ）°. 根据题意，有90－x ＝31（180－x ）－20. （必须熟练掌握一个角的余角和补角的表示方法.）解得 x ＝75. 答：这个角是75°． 3.证明：连结DB ，交AC 于点O ． ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AO ＝CO ，DO ＝BO . 又∵ AE ＝CF ，∴ EO ＝FO . ∵ EO ＝FO ，DO ＝BO ， ∴ 四边形DEBF 是平行四边形.4．答案：（1）56； （2）1.2； （3）1.2，2 四、 1．解：原方程就是)1)(1(32112x x xx x-+-=--，（遇到分式方程，必须想到，解完后要验根.）去分母，得223)1(21x x x x -=--+， 01232=--x x . 解这个方程，得1,3121=-=x x .经检验 x ＝1 是增根. ∴ 原方程的解为31-=x .2．解：（1）设选用方案1每月利润为1y 元；选用方案2每月利润为2y 元. 依方案1，可得1y ＝（50－25）x －2×0.5x －3000＝25x －x －30000 ＝24x －30000.∴ 1y ＝24x －30000. （你能说出两个函数关系的具体意义吗？为什么这样列函数关系式.）依方案2，可得2y ＝（50－25）x －14×0.5x＝25x －7x ＝18x . ∴ 2y ＝18x .（2）∵ 当x ＝6000时，1y ＝24x －30000＝24×6000－30000＝114000（元）， 2y ＝18x ＝18×6000＝108000（元），∴ 1y ＞2y .答：我若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选用方案1. 五、 解： （1）∵ 抛物线c bx ax y ++=2过点A （－1，4）， ∴ a －b ＋c ＝4，即c ＝4－a ＋b ①∵ 抛物线顶点的横坐标是21，∴ 212=-ab ，即b ＝－a ②∵ 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴分别交于B （x 1，0），C （x 2，0）两点，其中x 1 ＜x 2， ∴ x 1，x 2是方程02=++c bx ax （a ≠0）的两个实根. ∴ .,2121ac x x ab x x =-=+由已知132221=+x x ，∵ 2221212212)(x x x x x x +=-+， ∴ 132)(2=--ac a b ③ （这一步是应用已知条件求得a 、b 、c 的值的关键．）由①②③解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=.6,1,1c b a经检验，a 、b 、c 的值使△＞0，符合题意． ∴ 抛物线的解析式为62++-=x x y ． ∵ 当21=x 时，425=y ，∴ 抛物线62++-=x x y 的顶点E 的坐标为（425,21）．（2）由（1）得62++-=x x y ，令x ＝0，∴ y ＝6，得D （0，6）． （本题未给出图象，解题时画出简图更好．）令y ＝0，∴ 62++-x x ＝0， 解得 3,221=-=x x ． ∴ B （－2，0），C （3，0）．设点M 的坐标为（x ，y ），则点M 到x 轴的距离为M y ． （加绝对值符号的意义是什么？） ∵ DOC MBO S S ∆∆=32， ∴63213221⨯⨯⨯=⋅⋅M y BO ．得 M y ＝6， ∴ M y ＝±6．因为抛物线62++-=x x y 开口向下，顶点E 的坐标为（425,21），对称轴是直线21=x ．若M y ＝6，因为4256，有62++-x x＝6，解得 1,021==x x ．∴ 点M 的坐标是（0，6）或（1，6）． 若M y ＝－6，则62++-x x＝－6，解得 4,343=-=x x ．∴ 点M 的坐标是（－3，－6）或（4，－6）．答：所求点M 的坐标分别是（0，6），（1，6），（－3，－6），（4，－6）． 六、 证明：（1）在⊙O 中，∵ 直径AB 、FP 交于点O ， ∴ OA ＝OF ．∴ ∠OAF ＝∠F ．又∵ ∠B ＝∠F ，∴ ∠OAF ＝∠B ， （为什么?） ∴ FA ∥BE ． （2）∵ AC 为⊙O 的切线，PA 的弦， ∴ ∠PAC ＝∠F ． 又∵ ∠C ＝∠C ， ∴ △APC ∽△FAC ． ∴ .AC PC FA AP =∴ACFA PCAP =． （到此，若AC 转化为AB 即可得证．）∵ AB ＝AC ， ∴ABFA PCAP =．解： （3）∵ AC 切⊙O 于点A ，CPA 为⊙O 的割线，根据切割线定理，有).(2PF CP CP CF CP AC+⋅=⋅=∵ PF ＝AB ＝AC ＝2， ∴ .4)2(=+⋅CP CP 整理后，得.0422=-+CP CP（请你认真求一下CP 的值．） 解得 .51±-=CP∵ CP ＞0， ∴ .15-=CP∵ FA ∥BE ， ∴ ∠CPE ＝∠F ． 又∵ FP 为⊙O 的直径， ∴ ∠FAP ＝90°． 由（2）中证得.ACPC FAAP =在Rt △FAP 中， tan ∠F ＝.215-==ACPC FAAP （对边比邻边）∴ tan ∠CPE ＝tan ∠F ＝215-．七、 解： （1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，∠A ＝θ，如图[第七题（1）]． （以下这种表示必须熟记，今后经常用到．） ∵ sin A ＝ABBC ，∴ BC ＝Ab sin A ＝c sin θ． ∵ cos A ＝ABAC ，∴ AC ＝Ab cos A ＝c cos θ．[第七题（1）]（2）如图[第七题（2）]，过点P 分别作PM ⊥AC 于点M ，PN ⊥BC 于点N ，则四边形CMPN 是矩形．[第七题（2）]∵ sin A ＝54，由锐角三角函数定义， ∴ cos A ＝53．在Rt △APM 中，∵ AP ＝x ，0＜x ＜5，又∵ PM ＝Ap sin A ＝54x ，AM ＝Ap cos A ＝53x ，∴ 2125621x AM PM S =⋅=．在Rt △PBN 中，∵ PB ＝AB －AP ＝5－x ，0＜x ＜5， 同理可得.6512256)5(256222+-=-=x x x S在矩形CMPN 中， ∵ PM ＝54x ，PN ＝53（5－x ），0＜x ＜5， （注意解题过程中的每一步是怎样用已知条件的！）∴ .5122512)5(2512223x x x x PN PM S +-=-=⋅=（3） 解法一：∵ 321)(S S S -+ ＝)]5(2)5([256222x x x x ---+＝)25204(2562+-x x （先明白这种解法的意义，再学会如何讨论．） ＝，0)52(2562≥-x∴ 当25=x ，即P 为AB 中点时，0)52(2562=-x ，此时321)(S S S =+．当250 x 或525 x ，即P 不为AB 中点时，0)52(2562-x ，此时321S S S +．解法二：321)(S S S -+＝)5122512()]6512256(256[222x x x x x +--+-+＝.652425242+-x x∵ 当2525242524=⨯--=x 时，652425242+-x x 的最小值为0， ∴ 当25=x ，即P 为AB 中点时，.321S S S =+当250 x 或525 x ，即P 不为AB 中点时，321S S S +．解法三：当P 为AB 中点时，如图[第七题（3）]，连结PC ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ AP ＝CP ＝BP ． （这种方法“巧”在何处？） 不难推出：△APM ≌△CPM ，△BPN ≌△CPN ． ∴ .321S S S S S CPN CPM =+=+∆∆当P 在AB 中点左侧时，如图[第七题（4）]，作∠EPM ＝∠APM ，分别交MC 于点F ，交BC 延长线于点E ．不难推出：[第七题（3）] [第七题（4）]△FPM ≌△APM ，△EPN ≌△BPN ． ∵ ,321FFC EPN FPM S S S S S S ∆∆∆+=+=+ ∴.321S S S +当P 在AB 中点右侧时，同理可证.321S S S +。