高考数学二轮复习课件+训练：专题检测(二)平面向量理

专题检测（二） 平面向量一、选择题1．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b.若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32解析：选A 因为c ＝a ＋k b ＝(1＋k,2＋k )，又b ⊥c ， 所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.2．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角的余弦值为( ) A.31010 B ．－31010C.22D ．－22解析：选C 因为向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，所以b ＝(2,0)， 则向量a ，b 的夹角的余弦值为1×2＋1×02×2＝22.3．已知在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB ―→＝(－4，－3)，BC ―→＝(－7，－4)，则点C 的坐标为( )A ．(11,8)B ．(3,2)C ．(－11，－6)D ．(－3,0)解析：选C 设C (x ，y )，∵在平面直角坐标系中，点A (0,1)，向量AB ―→＝(－4，－3)，BC ―→＝(－7，－4)，∴AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(－11，－7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝－11， y －1＝－7，解得x ＝－11，y ＝－6，故C (－11，－6)．4．在等腰梯形ABCD 中，AB ―→＝－2CD ―→，M 为BC 的中点，则AM ―→＝( ) A.12AB ―→＋12AD ―→ B.34AB ―→＋12AD ―→C.34AB ―→＋14AD ―→ D.12AB ―→＋34AD ―→解析：选B 因为AB ―→＝－2CD ―→，所以AB ―→＝2DC ―→.又M 是BC 的中点， 所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋AD ―→＋12 AB ―→ ＝34AB ―→＋12AD ―→.5．(2019届高三·武汉调研)设非零向量a ，b 满足|2a ＋b|＝|2a －b|，则( ) A ．a ⊥b B ．|2a|＝|b| C ．a ∥bD ．|a|<|b|解析：选A 法一：∵|2a ＋b|＝|2a －b|，∴(2a ＋b)2＝(2a －b)2， 化简得a ·b ＝0，∴a ⊥b ，故选A.法二：记c ＝2a ，则由|2a ＋b|＝|2a －b|得|c ＋b|＝|c －b|，由平行四边形法则知，以向量c ，b 为邻边的平行四边形的对角线相等，∴该四边形为矩形，故c ⊥b ，即a ⊥b ，故选A.6．已知AB ―→＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为( ) A ．－322B ．－3 5C.322D ．3 5解析：选C 因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ―→＝(5,5)，又AB ―→＝(2,1)，所以向量AB ―→在CD ―→方向上的投影为|AB ―→|cos 〈AB ―→，CD ―→〉＝AB ―→·CD ―→|CD ―→|＝1552＝322.7．已知a 和b 是非零向量，m ＝a ＋t b(t ∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t ＝14时，|m|取得最小值，则向量a ，b 的夹角θ为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C 由m ＝a ＋t b ，及|a|＝1，|b|＝2，得|m|2＝(a ＋t b)2＝4t 2＋4t cos θ＋1＝(2t ＋cos θ)2＋sin 2θ，由题意得，当t ＝14时，cos θ＝－12，则向量a ，b 的夹角θ为2π3，故选C. 8．在△ABC 中，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE ―→·AF ―→＝( )A.89B.109C.259D.269解析：选B 由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|知AB ―→⊥AC ―→，以A 为坐标原点，AB ―→，AC ―→的方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,1)，不妨设E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，则AE ―→·AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＝89＋29＝109.9．已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ) OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：选D 设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a ，知x ＋y ＝0， 于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.10．(2018·兰州诊断考试)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ―→＝2PM ―→，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49解析：选A 如图，∵AP ―→＝2PM ―→，∴AP ―→＝PB ―→＋PC ―→， ∴PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝－PA ―→2， ∵AM ＝1且AP ―→＝2PM ―→，∴|PA ―→|＝23，∴PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝－49.11．(2019届高三·南宁摸底联考)已知O 是△ABC 内一点，OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，AB ―→·AC ―→＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )A.33B. 3C.32D.23解析：选A ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴O 是△ABC 的重心，于是S △OBC ＝13S △ABC .∵AB ―→·AC ―→＝2，∴|AB ―→|·|AC ―→|·cos∠BAC ＝2，∵∠BAC ＝60°，∴|AB ―→|·|AC ―→|＝4.∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33.12．(2018·南昌调研)已知A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点，且AC ⊥BC ，若点M 的坐标是(1,1)，则|MA ―→＋MB ―→＋MC ―→|的最大值为( )A ．3B ．4C ．32－1D ．32＋1解析：选D 法一：∵A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点，且AC ⊥BC ，∴设A (cos θ，sin θ)，B (－cos θ，－sin θ)，C (cos α，sin α)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，∵M (1,1)，∴MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝(cos θ－1，sin θ－1)＋(－cos θ－1，－sin θ－1)＋(cos α－1，sin α－1)＝(cos α－3，sin α－3)，∴|MA ―→＋MB ―→＋MC ―→|＝cos α－32＋sin α－32＝cos 2α－6cos α＋9＋sin 2α－6sin α＋9 ＝19－62sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4， 当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，|MA ―→＋MB ―→＋MC ―→|取得最大值，最大值为19＋62＝ 32＋1.法二：连接AB ，∵AC ⊥BC ，∴AB 为圆O 的直径， ∴MA ―→＋MB ―→＝2MO ―→，∴|MA ―→＋MB ―→＋MC ―→|＝|2MO ―→＋MC ―→|≤|2MO ―→|＋|MC ―→|＝22＋|MC ―→|， 易知点M 与圆上动点C 的距离的最大值为2＋1，∴|MC ―→|≤2＋1，∴|MA ―→＋MB ―→＋MC ―→|≤32＋1，故选D. 二、填空题13．(2018·潍坊统一考试)已知单位向量e 1，e 2，且〈e 1，e 2〉＝π3，若向量a ＝e 1－2e 2，则|a|＝________.解析：因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以|a|2＝|e 1－2e 2|2＝1－4|e 1|·|e 2|cosπ3＋4＝1－4×1×1×12＋4＝3，即|a|＝ 3.答案： 314．已知a ，b 是非零向量，f (x )＝(a x ＋b )·(b x －a)的图象是一条直线，|a ＋b|＝2，|a|＝1，则f (x )＝________.解析：由f (x )＝a ·b x 2－(a 2－b 2)x －a ·b 的图象是一条直线，可得a ·b ＝0. 因为|a ＋b|＝2，所以a 2＋b 2＝4.因为|a|＝1，所以a 2＝1，b 2＝3，所以f (x )＝2x . 答案：2x15．在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，所以AN ―→＝13AC ―→，所以AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→.因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.答案：1316．(2019届高三·唐山五校联考)在△ABC 中，(AB ―→－3AC ―→)⊥CB ―→，则角A 的最大值为________．解析：因为(AB ―→－3AC ―→)⊥CB ―→，所以(AB ―→－3AC ―→)·CB ―→＝0，即(AB ―→－3AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝0，则AB ―→2－4AC ―→·AB ―→＋3AC ―→2＝0，即cos A ＝|AB ―→|2＋3|AC ―→|24|AC ―→|·|AB ―→|＝|AB ―→|4|AC ―→|＋3|AC ―→|4|AB ―→|≥2316＝32，当且仅当|AB ―→|＝3|AC ―→|时等号成立．因为0<A <π，所以0<A ≤π6，即角A 的最大值为π6.答案：π6。