[考研类试卷]考研数学(数学二)模拟试卷281.doc
考研数学(数学二)模拟试卷282(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷282(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但不等价的无穷小正确答案：B解析：因为，所以f(x)是g(x)的高价无穷小，因而选(B)．2．设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为( )．A．1／2B．0C．-1D．-2正确答案：D解析：由题设，f(x)的周期为4，则所求点(5，f(5))处切线的斜率应该与(1，f(1))处的斜率相同，则由导数定义知即为所求斜率，又由所以点(5，f(5))处切线的斜率为-2．选(D)。
3．设函数f(x)连续，F(u，v)=，其中区域Duv为图中阴影部分，则=( )．A．vf(u2)B．C．vf(u)D．正确答案：A解析：在极坐标系下，，故应选(A)．4．设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足，则函数f(x，y)在点(0，0)处( )．A．取极大值B．取极小值C．不取极值D．无法确定是否有极值正确答案：A解析：因为，根据极限保号性，存在δ＞0，当，而x2+1＞1＞0，所以当，有f(x，y)-f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)．5．设函数y=y(x)由参数方程，确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是( )．A．B．C．-8ln2+3D．8ln2+3正确答案：A解析：由题意可知，当x=3时，t=1，t=-3(不合题意，舍)，有求得y=y(x)在x=3处的法线方程为y=ln2-8(x-3)．令y=0，得法线与x轴交点的横坐标为x=(1/8)ln2+3．所以选(A)．6．设常数k＞0，函数f(x)=lnx-(x/e)+k在(0，+∞)内零点的个数为( )．A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：因为，得x=e．易知f(x)在内(0，e)单调增加，在(0，+∞)内单调减少，且f(e)=k＞0，而，可见在f(x)在(0，e)和(e，+∞)分别有且只有一个零点，从而f(x)在(0，+∞)内有两个零点．选(B)7．设a1，a2，…，as均为n维列向量，A是m×n矩阵，则下列选项正确的是( )．A．若a1，a2，…，as线性相关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性相关B．若a1，a2，…，as线性相关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性无关C．若a1，a2，…，as线性无关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性相关D．若a1，a2，…，as线性无关，则Aa1，Aa2，…，Aas线性无关正确答案：A解析：用秩的方法判断线性相关性．因为(Aa1，Aa2，…，Aas)=A(a1，a2，…，as)，所以r(Aa1，Aa2，…，Aas)≤r(a1，a2，…，as)．又若a1，a2，…，as 线性相关，则r(a1，a2，…，as)＜s，从而r(Aa1，Aa2，…，Aas)＜s．所以Aa1，Aa2，…，Aas线性相关，故选(A)．8．设A，B为同阶可逆矩阵，则( )．A．AB=BAB．存在可逆矩阵P，使P-1AP=BC．存在可逆矩阵C，使CTAC=BD．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B正确答案：D解析：由题设，选项(A)表示可逆矩阵乘法满足交换律，显然不能成立；(B)表示A与B相似，(C)表示A与B合同，这都是不成立的，所以(A)、(B)、(C)皆可排除；关于(D)，设A，B的逆矩阵分别为A-1，B-1，则有BAA-1=B，取P=B，Q=A-1，则PAQ=B，从而(D)成立．综上，选(D)．填空题9．设函数f(x)=，则函数f[f(x)]=__________．正确答案：1解析：由f(x)=，知｜f(x)｜≤1．因此有f[f(x)]=1．10．方程yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的通解为__________．正确答案：±x解析：令y’=p，则解得ln(1+p2)=lny2+lnC1，则1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’=由y(0)=1得C2=0，所以特解为11．已知曲线y=f(x)过点(0，- 1/2)，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为xln(1+x2)，则f(x)=__________．正确答案：解析：由已知得y’=xln(1+x2)，于是代入条件12．设函数y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=0确定，则dy/dx=__________．正确答案：-2解析：方程两边对x求导得ex+y(1+y’)-sin(xy)(xy’+y)=0．解得13．下列两个积分的大小关系是：正确答案：解析：因为y=ex在实数域内严格单调增加，又在区间[-2，-1]上1≤-x3≤8，-8≤x3≤-1，所以在区间[-2，-1]上e≤e-x3≤e8，e-8≤ex3≤e-1＜e，由定积分的性质知14．在函数f(x)=中，x3的系数是__________．正确答案：2解析：x3的系数只要考察2x=-2x3+4x2．所以x3前的系数为2．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(解答题)模拟试卷29(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷29(题后含答案及解析) 题型有：1.1．求极限．正确答案：恒等变形：分子、分母同乘，然后再同除x2，得涉及知识点：极限、连续与求极限的方法2．求极限。
正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续3．讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：正确答案：(Ⅰ)这是初等函数，它在定义域(x2≠1)上连续．因此，x≠±1时均连续．x=±1时，故x=1是第一类间断点(跳跃的)．又，故x=－1也是第一类间断点(可去)．(Ⅱ)先求极限函数．注意x≠±1时，｜x｜＜1与｜x｜＞1分别与某初等函数相同，故连续．x=±1时均是第一类间断点(跳跃间断点)．因左、右极限均，不相等．(Ⅲ)在区间(0，+∞)，[－1，0)上函数y分别与某初等函数相同，因而连续．在x=0处y无定义，=>x=0是第一类间断点(可去间断点)．(Ⅳ)f(x)=是初等函数，在(0，2π)内f(x)有定义处均连续．仅在无定义处及=0处f(x)不连续。
(Ⅴ)先求f[g(x]表达式．当x＞1，x＜1时，f[g(x)]分别与某初等函数相同，因而连续．当x=1时，分别求左、右极限故x=1为第一类间断点(跳跃间断点)．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法4．求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续5．已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。
求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值。
正确答案：根据题意可知于是f(x，y)=x2+C(y)，且C’(y)=一2y，因此有C(y)=一y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2一y2+2。
令得可能极值点为x=0，y=0且△=B2一AC=4＞0，所以点(0，0)不是极值点，也不可能是最值点。
下面讨论其边界曲线上的情形，令拉格朗日函数为得可能极值点x=0,y=2,A=4；x=0,y=一2，λ=4；x=1，y=0,A=一1；x=一1，y=0，λ=一1。
[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1.doc
![[考研类试卷]考研数学二(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/acb2e696240c844768eaee18.png)
（B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件又非必要条件
8 (1998年试题，二)设数列xn满足 xnyn=0，则下列断言正确的是( )．
（A）若xn发散，则yn必发散
（B）若xn无界，则yn必有界
（C）若xn有界，则yn必为无穷小
（D）若 为无穷小，则yn必为无穷小
[考研类试卷]考研数学二（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2005年试题，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“ ”表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )。
（A）F(x)是偶函数 f(x)是奇函数
（B）F(x)是奇函数 (x)是偶函数
（A）充分必要条件
（B）充分非必要条件
（C）必要非充分条件
（D）非充分也非必要条件
6 (2003年试题，二)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且 =∞，则必有( )。
（A）ann对任意n成立
（B）bnn对任意n成立
（C）极限 ancn不存在
（D）极限 bncn不存在
7 (1999年试题，二)“对任意给定的ε∈(0，1)，总存在正整数N，当n≥N时，恒有｜xn一a｜≤2ε”是数列{xn}收敛于a的( )．
35 (2002年试题，一)
36 (1999年试题，十)设f(x)是区间[0，+∞)上单调减少且非负的连续函数， 证明数列{an}的极限存在．
9 (2002年试题，二)设y=y(x)是二阶常系数微分方程yn+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数 的极限( )．
[考研类试卷]考研数学二(二次型)模拟试卷1.doc
![[考研类试卷]考研数学二(二次型)模拟试卷1.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/1c6b7c456137ee06eff918e2.png)
[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷1一、填空题1 二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数为____________.2 已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py 可化成标准形f=6y12，则a=_______．3 设二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为_________．4 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。
的秩为_________.5 求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3为标准形．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3—2x2x3．6 求二次型f的矩阵的所有特征值；7 若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．7 已知，二次型f(x1，x2，x3)=x T(A T A)x的秩为2．8 求实数n的值；9 求正交变换x=Qy将f化为标准形．9 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x2-3x3+4x1x2-4x1x3+8x2x3．10 写出二次型f的矩阵表达式；11 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．11 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x22+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．12 求n的值；13 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；14 求方程f(x1，x2，x3)=0的解．14 设二次型 f(x1，x2，x3)=x T AX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3 (6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．15 求a，b的值．16 利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．。
[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编28.doc
![[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编28.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/50b496be770bf78a652954d3.png)
[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编28一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 下列反常积分收敛的是( )2 反常积分①∫－∞01／x2e1／x dx与②∫0+∞1／x2e1／x dx的敛散性为( )（A）①发散，②收敛。
（B）①收敛，②发散。
（C）①收敛，②收敛。
（D）①发散，②发散。
3 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0x f(t)dt是( ) （A）连续的奇函数。
（B）连续的偶函数。
（C）在x=0间断的奇函数。
（D）在x=0间断的偶函数。
4 设函数y=f(x)在区间[－1，3]上的图形如右图所示，则函数F(x)=∫0x f(t)dt的图形为( )5 设函数f(x)=F(x)=∫0x f(t)dt，则( )（A）x=π是F(x)的跳跃间断点。
（B）x=π是F(x)的可去间断点。
（C）F(x)在x=π处连续不可导。
（D）F(x)在x=π处可导。
6 如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分[xf'(x)dx等于( )（A）曲边梯形ABOD面积。
（B）梯形ABOD面积。
（C）曲边三角形ACD面积。
（D）三角形ACD面积。
二、填空题7 ∫－∞1dx=_______。
8 ∫0+∞dx=_______。
9 曲线y=－x3+x2+2x与x轴所围成的图形的面积A=_______。
10 位于曲线y=xe－x(0≤x＜+∞)下方，x轴上方的无界图形的面积是_______。
11 设曲线的极坐标方程为ρ=e aθ(a＞0)，则该曲线上相应于θ从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_______。
12 当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为_______。
13 曲线y=∫0x tanxdx(0≤x≤π／4)的弧长s=_______。
14 设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ(－π／6≤θ≤π／6)，则L所围平面图形的面积是_______。
考研数学(数学二)模拟试卷428
考研数学（数学二）模拟试卷428(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.已知f(x)在x=0处二阶可导，且f ' (0)=f ' (0)=2，则=( )（分数：2.00）A.B.C. √D.3.曲线( )（分数：2.00）A.1。
B.2。
C.3。
√D.4。
解析：解析：因为=∞，所以x=0是一条垂直渐近线；因为=∞，所以不存在水平渐近线；则y=x+1所以y=一x一1是一条斜渐近线。
综上一共有三条渐近线，故选择(C)。
4.设函数x=0为f(x)的( )（分数：2.00）A.连续点。
B.跳跃间断点。
√C.可去间断点。
D.无穷间断点。
解析：解析：通过求解极限得到函数的表达式，即x＞0，f(x)= =e x；x＜0，f(x)= =x 2；x=0，f(0)=1。
故由于 f(0+0)=f(0)=1，f(0—0)=0，可知x=0为f(x)的跳跃间断点，答案选(B)。
5.设D={(x，y)｜x 2 +y 2＜1}，则( )（分数：2.00）A.M＜N＜P。
B.N＜M＜P。
C.M=N＜P。
√D.M=P＜N。
解析：解析：M= (x+y) 3 dxdy= (x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 )dxdy，因为积分区域D关于x轴和y轴都对称，x 3、3xy 2是关于x的奇函数，3x 2y、y 3是关于y的奇函数，所以根据对称性可得M=0。
N= (sinxcosy+sinycosx)dxdy，因为积分区域D关于x轴和y轴都对称，sinxcosy是关于x的奇函数，sinxcosy是关于y的奇函数，所以根据对称性可得N=0。
考研数学二(矩阵)模拟试卷28(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷28(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B均为n阶矩阵，则必有( )A．｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。
B．AB=BA。
C．｜AB｜=｜BA｜。
D．(A+B)—1=A—1+B—1。
正确答案：C解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜B｜=｜BA｜，所以C项正确。
取B=一A，则｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A项错误。
由矩阵乘法不满足交换律知，B项不正确。
因(A+B)(A—1+B—1)≠E，故D项也不正确。
故选C。
知识模块：矩阵2．设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是( )A．(A+B)(A—B)=A2一B2。
B．(A+B)—1=A—1+B—1。
C．｜A+B｜=｜A｜+｜B2。
D．(AB)*=B*A*。
正确答案：D解析：根据伴随矩阵的定义可知(AB)*=｜AB｜(AB)—1=｜A｜｜B｜B—1A —1=B*A*。
故选D。
知识模块：矩阵3．设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。
若A3=D，则( )A．E一A不可逆，E+A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E一A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C解析：已知(E一A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E，故E —A，E+A均可逆。
故选C。
知识模块：矩阵4．设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆；②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A一E恒可逆。
上述命题中，正确的个数为( )A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：D解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。
若A可逆，则｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩阵B可逆，从而①正确。
同①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故②正确。
考研数学二(线性方程组)模拟试卷27(题后含答案及解析)
考研数学二（线性方程组）模拟试卷27(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A 是4×6矩阵，则( )A．无法确定方程组是否有解。
B．方程组有无穷多解。
C．方程组有唯一解。
D．方程组无解。
正确答案：B解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解。
故选B。
知识模块：线性方程组2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( ) A．当n＞m时，仅有零解。
B．当n＞m时，必有非零解。
C．当m＞n时，仅有零解。
D．当m＞n时，必有非零解。
正确答案：D解析：因为AB是m阶矩阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，故选D。
知识模块：线性方程组3．已知α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，那么α1一2α2，4α1一3α2，(2α1+α2)，α1+α2中，仍是线性方程组Ax=b特解的共有( )A．4个。
B．3个。
C．2个。
D．1个。
正确答案：C解析：由于Aα1=b，Aα2=b，那么A(4α1—3α2)=4Aα1一3Aα2=b，可知4α1一3α2，均是Ax=b的解。
而A(α1一2α1)=一b，可知α1一2α2，(2α1+α2)不是Ax=b的解。
故选C。
知识模块：线性方程组4．设，方程组Ax=0有非零解。
α是一个三维非零列向量，若Ax=0的任一解向量都可由α线性表出，则a=( )A．1。
B．一2。
C．1或一2。
D．一1。
正确答案：B解析：由于Ax=0的任一解向量都可由α线性表出，所以α是Ax=0的基础解系，即Ax=0的基础解系只含一个解向量，因此r(A)=2。
考研数学二(选择题)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1.1．以下三个命题，①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A 正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un一A｜＜ε．则当ni＞N时，恒有｜一A｜＜ε．因此数列{}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有｜—A｜＜ε．由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有，从而｜xn一A｜＜ε．可知数列{xn}收敛于A因此命题正确．对于命题③，因=A，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2：当2n＞N1时，恒有｜x2n一A｜＜ε；当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1一A｜＜ε．取N=max{N1，N2)，则当n＞N时，总有｜xn一A｜＜ε．因此=A．可知命题正确．故答案选择(D)．知识模块：函数、极限、连续2．设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是( )A．若{x1}收敛，则{f(xn)}收敛B．若{xn}单调，则{f(xn)}收敛C．若{f(xn)}收敛，则{xn}收敛D．若{f(xn)}单调，则{xn}收敛正确答案：B解析：因为f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，且结合选项B，{xn}单调，所以{f(xn)}单调且有界。
故{f(xn)}一定存在极限，即{f(xn)}一定收敛。
故选B。
知识模块：函数、极限、连续3．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则A．C=p-1AP．B．C=PAP-1．C．C=PTAP．D．C=PAPT．正确答案：B 涉及知识点：矩阵4．设f(x)＝xsinx＋cosx，下列命题中正确的是A．f(0)是极大值，是极小值．B．f(0)是极小值，是极大值．C．f(0)是极大值，也是极大值．D．f(0)是极小值，也是极小值．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学5．已知矩阵A相似于矩阵B＝则秩(A－2E)与秩(A－E)之和等于【】A．2B．3C．4D．5正确答案：C 涉及知识点：矩阵6．f(χ)在(－∞，＋∞)内二阶可导，f〞(χ)＜0，＝1，则f(χ)在(－∞，0)内( )．A．单调增加且大于零B．单调增加且小于零C．单调减少且大于零D．单调减少且小于零正确答案：B解析：由＝1，得f(0)＝0，f′(0)＝1，因为f〞(χ)＜0，所以f′(χ)单调减少，在(－∞，0)内f′(χ)＞f′(0)＝1＞0，故f(χ)在(－∞，0)内为单调增函数，再由f(0)＝0，在(－∞，0)内f(χ)＜f(0)＝0，选B．知识模块：导数与微分7．设，其中D：x2+y2≤a2，则以值为( )．A．1B．2C．D．正确答案：B解析：令(0≤θ≤2π，0≤r≤a)，由解得a=2，选(B)．知识模块：高等数学8．以下4个命题，正确的个数为( )①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞(x)dx=0；②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，③若∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，则∫-∞+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散；④若∫-∞+∞f(x)dx与∫0+∞f(x)dx都发散，则∫-∞+∞f(x)dx未必发散．A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：A解析：∫-∞+∞f(x)dx收敛存在常数a，使∫-∞af(x)dx和∫a+∞f(x)dx都收敛，此时∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞af(x)dx+∫a+∞f(x)dx．设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且但是∫-∞0f(x)dx=∫-∞0xdx=∞，∫0+∞f(x)dx=∫0+∞xdx=∞，故∫-∞+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫-∞+∞f(x)dx与∫-∞+∞g(x)dx都发散，但∫-∞+∞(f(x)+g(x))dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．知识模块：一元函数积分学9．设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )．A．|A|=|B|B．|A|≠|B|C．若|A|=0，则一定有|B|=0D．若|A|＞0，则一定有|B|＞0正确答案：C解析：因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若|A|=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即|B|=0，应选(C)．知识模块：线性代数10．设则f(x，y)在点(0，0)处( )A．两个偏导数都不存在．B．两个偏导数存在但不可微．C．偏导数连续．D．可微但偏导数不连续．正确答案：B解析：由偏导数定义，有故f(x，y)在(0，0)点不可微．应选B．知识模块：多元函数微积分学11．设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2－(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2－(1－C1－C2)y3．D．C11y1+C2y2+(1－C1－C2)y3．正确答案：D解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为y3+C1(y1－y3)+C2(y2－y3)，而且y3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y1－y3与y2－y3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选D．知识模块：常微分方程12．A．B．C．D．正确答案：A解析：将x视为常数，属基本计算．知识模块：多元函数微分学13．A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则|A*|= ( )A．|A|B．|A-1|C．|An-1|D．|An|正确答案：C解析：AA*=|A|E，两边取行列式，得|A||A*|=|A|N 若|A|≠0，|A*|=|A|n-1=|An-1|；若|A|=0，则|A*|=0，故选(C)．知识模块：线性代数14．A，B是n阶矩阵，且A～B，则( )A．A，B的特征矩阵相同B．A，B的特征方程相同C．A，B相似于同一个对角矩阵D．存在n阶方阵Q，使得QTAQ=B正确答案：B解析：因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，|λE 一B|=|λE一P-1AP|=|P-1(λE-A)P|=|P-1||λE一A||P|=|λE一A|．知识模块：线性代数15．设A，B均是n阶实对称矩阵，则A，B合同的充分必要条件是( ) A．A，B有相同的特征值B．A，B有相同的秩C．A，B有相同的正、负惯性指数D．A，B均是可逆阵正确答案：C解析：(A)是充分条件，A，B实对称，且λi相同，则A≌B，但反之不成立．(B)是必要条件但不充分，A≌B，有可逆阵C，CTAC=B;r(A)=r(B)，反之不成立．(D)既不充分，又不必要．(C)是两矩阵合同的充要条件．知识模块：线性代数16．sinχ2dχ为( )．A．等于0B．大于0C．小于0D．不能确定正确答案：B解析：故选B．知识模块：一元函数积分学17．下列命题正确的是( )．A．若｜f(x)｜在=a处连续，则f(x)在x=a处连续B．若f(x)在x=a处连续，则｜f(x)｜在x=a处连续C．若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a的一个邻域内连续D．若[f(a+h)-f(a-h)]=0，则f(x)在x=a处连续正确答案：B解析：令f(x)=显然｜f(x)｜≡1处处连续，然而f(x)处处间断，(A)不对；令f(x)=显然f(x)在x=0处连续，但在任意x=a≠0处函数f(x)都是间断的，故(C)不对；令f(x)=[f(0+h)-f(0-h)]=0，但f(x)在x=0处不连续，(D)不对；若f(x)在x=a 处连续，则=f(a)，又0≤｜｜f(x)｜-｜f(a)｜｜≤｜f(x)-f(a)｜，根据夹逼定理，｜f(x)｜=｜f(a)｜，选(B)．知识模块：函数、极限、连续18．设A是3阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个特征值，且满足a≥λ1≥λ2≥λ3≥b，若A一μE是正定矩阵，则参数μ应满足( ) A．μ＞bB．μ＞aC．μ＜aD．μ＜b正确答案：D解析：A有特征值λ1，λ2，λ3，则A一μE有特征值λ1一μ，λ2一μ，λ3一μ且满足a一μ≥λ1一μ≥λ2一μ≥λ3一μ≥b一μ．A一μE正定，全部特征值应大于0，当b一μ＞0即b＞μ时，A一μE正定，故应选(D)．知识模块：线性代数19．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB＝O的充分必要条件是A＝O或B＝OB．AB≠O的充分必要条件是A≠O且B≠OC．AB＝O且r(A)＝n，则B＝OD．若AB≠O，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C解析：取A＝≠O，B＝≠O，显然AB＝O，故选项A、B都不对，取A＝，B＝，显然AB＝≠O，但｜A｜＝0且｜B｜＝0，故D不对；由AB＝O得r(A)＋r(B)≤n，因为r(A)＝n，所以r(B)＝0，于是B＝O，所以选C．知识模块：矩阵20．向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是( )．A．α1，α2，…，αs均不为零向量B．α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例C．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示D．α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关．正确答案：C解析：若α1，α2，…，αs线性无关，则α1，α2，…，αs中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若α1，α2，…，αs中任一个向量都不可由其余向量线性表示，则α1，α2，…，αs线性无关，应选(C)．21．A．B．C．D．正确答案：A解析：知识模块：常微分方程与差分方程22．若向量组α1，α2，α3线性无关，向量组α1，α2，α4线性相关，则A．α1必可由α2，α3，α4线性表示．B．α2必不可由α1，α3，α4线性表示．C．α4必可由α1，α2，α3线性表示．D．α4必不可由α1，α2，α3线性表示．正确答案：C解析：由条件知α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，故由向量线性相关定理即知α1可由α1，α2，α3线性表示，(C)正确．知识模块：向量已知A，B为3阶矩阵，且满足2A-1B=B-4E，其中E为3阶单位矩阵．23．证明：矩阵A-2E可逆；正确答案：从2A-1B=B-4E中设法分解出因子A-2E；由2A-1B=B-4E可得2B=AB-4A，从而AB-4A=2B=0，即AB-2B-(4A-8E)=8E，即(A-2E)B-4(A-2E)=8E，因此(a-2E)(B-4E)=8E，即(a-2E)1/8(B-4E)=E，故A-2E可逆，且(A-2E)-1=1/8(B-4E)．涉及知识点：综合24．正确答案：由上可知(A-2E)=8(B-4E)-1，从而涉及知识点：综合25．A．(n+1)anB．nanC．(n+1)aD．na正确答案：A 涉及知识点：综合。
考研数学二分类模拟题29
考研数学二分类模拟题29解答题1. 讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．正确答案：[解] 因为，且，所以，即函数f(x，y)在点(0，0)处连续．因为，所以f'x(0，0)=0，根据对称性得f'y(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导．因为不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微．2. 讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．正确答案：[解] 因为，所以f(x，y)在点(0，0)处连续．因为，所以f'x(0，0)=0，由对称性得f'y(0，0)=0，即函数f(x，y)在点(0，0)处可偏导．因为，且，所以函数f(x，y)在点(0，0)处可微．3. 设z=f(e t sint，tant)，求正确答案：[解]4. 设z=e x2+y2sinxy，求正确答案：[解]5. 设，f有一阶连续的偏导数，求正确答案：[解]6. 设u=x yz，求du．正确答案：[解] u=x yz=e yzlnx，7. 设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．正确答案：[解] x22+y2+z2=xyf(x2)两边对x求偏导得，解得；x2+y2+z2=xyf(z2)两边对．y求偏导得，解得，故8. 设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z=f(2x-y)+g(x，xy)，求正确答案：[解]9. 设z=f(e x siny，x2+y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求正确答案：[解]10. 设z=f(x3+y2，xy，x)，其中f(u，v，ω)二阶连续可偏导，求正确答案：[解]=4xyf"11+2(x2+y2)f"12+f'2+xyf"22+2yf"31+xf"32．11. 设z=z(x，y)由x-yz+ye z-x-y=0确定，求及dz．正确答案：[解] 方程x-yz+ye z-x-y=0两边对x求偏导得解得方程x-yz+ye z-x-y=0两边对y求偏导得解得12. 设z=f(x-y+g(x-y-z))，其中f，g可微，求正确答案：[解] 等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对x求偏导得，解得等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对y求偏导得，解．13. 设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：正确答案：[证明] ，z=y+xφ(z)两边对x求偏导得，解得则z=y+xφ(z)两边对y求偏导得，解得，则，所以14. 设xy=xf(z)+yg(z)，且xf'(z)+yg'(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：正确答案：[证明] xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得及解得于是15. 设z=f(x，y)由方程z-y-x+xe z-y-x=0确定，求dz．正确答案：[解] 对z-y-x+xe z-y-x=0两边求微分，得dz-dy-dx+e z-y-x dx+xe z-y-x(dz-dy-dx)=0，解得16. 设u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程e xy-y=0与e z-xz=0确定，求正确答案：[解] ，方程e xy-y=0两边对x求导得，解得方程e z-xz=0两边对x求导得，解得则17. 设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求正确答案：[解] z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0两边对x求导数，得解得18. 设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求正确答案：[解] 将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解得19. 设且F可微，证明：正确答案：[证明] 两边对x求偏导得解得两边对y求偏导得，解得，于是20. 设变换可把方程简化为，求常a．正确答案：[解] 将u，v作为中间变量，则函数关系为则有将上述式子代入方程得，根据题意得解得a=3．21. 设z=f[x+φ(x-y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求正确答案：z=f[x+φ(x-y)，y]两边关于y求偏导得=f"11(φ')2-2f"12φ'+f'1φ"+f"22．22. 设，求f(u，v)，并求正确答案：[解] 令，则，从而，于是23. 求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．正确答案：[解] 二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y)|y＞0}，由得，则因为AC-B2＞0且A＞0，所以为f(x，y)的极小点，极小值为．24. 求u=x2+y2+z2在上的最小值．正确答案：[解] 令由得，代入得从而u=x2+y2+z2在上的最小值为25. 平面曲线绕x轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．正确答案：[解] 曲线绕x轴旋转一周所得的曲面为．根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(x，y，z)，则体积为V=8xyz．令，由得由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为。
考研数学二(高等数学)模拟试卷29(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷29(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)连续可导，g(x)连续，且，又f’(x)=-2x2+∫0xg(x-t)dt，则( )．A．x=0为f(x)的极大点B．x=0为f(x)的极小点C．(0，0)为y=f(x)的拐点D．x=0既不是f(x)极值点，(0，0)也不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由∫0xg(x-t)dt=∫0xg(t)dt得f’(x)=-2x2+∫0xg(t)dt，f”(x)=-4x+g(x)，即当x∈(-δ，0)时，f”(x)>0；当x∈(0，δ)时，f”(x)，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0是f(x)的驻点但不是极值点正确答案：C解析：因为f(x)二阶连续可导，且，即f”(0)=0．又，由极限的保号性，存在δ>0，当0，即当x∈(-δ，0)时，f”(x)>0，当x∈(0，δ)时，f”(x)，3 解析：知识模块：高等数学部分4．当x→0时，-1～cos2x-1，则a=_______．正确答案：-3解析：因为x→0时，cos2x-1=(cosx+1)(cosx-1)～-x2，且-1～cos2-1，所以a=-3．知识模块：高等数学部分5．正确答案：0解析：当x=0时，t=0；当t=0时，由y+ey=1，得y=0．知识模块：高等数学部分6．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分7．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分8．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分9．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分10．正确答案：解析：知识模块：高等数学部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11．正确答案：涉及知识点：高等数学部分12．设，证明：数列{an}有界．正确答案：取ε0=1，因为，根据极限定义，存在N>0，当n>N时，有｜an-A｜，求a，b的值．正确答案：涉及知识点：高等数学部分设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，，f(1)=0．证明：14．存在，使得f(η)=η；正确答案：令φ(x)=f(x)-x，φ(x)在[0，1]上连续，，φ(1)=-1，使得φ(η)=0，即f(η)=η涉及知识点：高等数学部分15．对任意的k∈(-∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1．正确答案：设F(x)=e-kxφ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F’(ξ)=0，整理得f’(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1．涉及知识点：高等数学部分16．设f(x)在[a，6]上连续，且f”(x)>0，对任意的x1，x2∈[a，b]及0(x-x0)2，其中ξ介于x0与x之间，因为f”(x)>0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)，于是两式相加，得[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)．涉及知识点：高等数学部分17．设f(x)二阶可导，且f”(x)>0．证明：当x≠0时，f(x)>x．正确答案：由，得f(0)=0，f’(0)=1，又由f”(x)>0且x≠0，所以f(x)>f(0)+f’(0)x=x．涉及知识点：高等数学部分设f(x)在(-a，a)(a>0)内连续，且f’(0)=2．18．证明：对0正确答案：涉及知识点：高等数学部分20．证明：，其中a>0为常数．正确答案：涉及知识点：高等数学部分21．设u=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由exyz=∫xyzh(xy+z-t)dt确定，其中f连续可偏导，h连续，求正确答案：涉及知识点：高等数学部分22．已知二元函数f(x，y)满足且f(x，y)=g(u，v)，若=u2+v2，求a，b．正确答案：涉及知识点：高等数学部分23．计算(x+y2)dxdy，其中D：x2+y2≤2x+2y-1．正确答案：D：x2+y2≤2x+2y-1可化为D：(x-1)2+(y-1)2≤1，涉及知识点：高等数学部分24．设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)>0．证明：正确答案：等价于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(x)dx∫01xf2(x)dx，等价于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy，或者∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy≥0令I=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy，根据对称性，I=∫01dx∫01xf(x)f(y)[f(y)-f(x)]dy，2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y-x)[f(x)-f(y)]dy，因为f(x)>0且单调减少，所以(y-z)[f(x)-f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以涉及知识点：高等数学部分设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且25．求f’(x)；正确答案：(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)-∫0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f”(x)=-(x+2)f’(x)再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=-1，所以C=-1，于是涉及知识点：高等数学部分26．证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1．正确答案：当x≥0时，因为f’(x)≥0，涉及知识点：高等数学部分27．设A从原点出发，以固定速度v0沿y轴正向行驶，B从(x0，0)出发(x0＜0)，以始终指向点A的固定速度v1朝A追去，求B的轨迹方程．正确答案：设t时刻B点的位置为M(x，y)，则，即涉及知识点：高等数学部分。
考研数学二(矩阵)模拟试卷29(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷29(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶方阵，且A+E与A—E均可逆，则下列等式中不成立的是( )A．(A+E)2(A—E)=(A—E)(A+E)2。
B．(A+E)—1(A—E)=(A—E)(A+E)—1。
C．(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T。
D．(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。
正确答案：C解析：由A与E可交换可得，A+E与A一E可交换，进而(A+E)2与A—E 也可交换，故选项A成立。
显然，(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)。
若在等式两边同时左、右乘(A+E)—1，可得(A+E)—1(A—E)=(A—E)(A+E)—1；若先在等式两边同时左、右乘(A一E)—1，可得(A+E)(A—E)—1=(A—E)—1(A+E)，再在所得的等式两边同时乘以｜A—E｜，即得(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。
故选项B、D 成立。
事实上，只有当ATA=AAT时，(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T才成立。
而ATA=AAT不一定成立。
例如：取，则ATA=，AAT=，可见ATA≠AAT。
故选C。
知识模块：矩阵2．设A，B均为n阶对称矩阵，则下列说法中不正确的是( )A．A+B是对称矩阵。
B．AB是对称矩阵。
C．A*+B*是对称矩阵。
D．A一2B是对称矩阵。
正确答案：B解析：由题设条件，则(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，所以有(A 一2B)T=AT一(2BT)=A一2B，从而选项A、D是正确的。
首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。
(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(i，j)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。
而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(i，j)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。
考研数学二(解答题)高频考点模拟试卷28(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷28(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数。
试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。
正确答案：因为βi(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解。
从α1，α2，…，αs是Ax=0的基础解系知s=n一r(A)。
以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件：设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks－1+t1ks)αs=0，由于α1，α2，…，αs线性无关，所以又因系数矩阵的行列式=t1s+(一1)s＋1t2s，当t1s+(一1)s＋1t2s≠0时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。
因此当s为偶数且t1≠±t2，或当s为奇数且t1≠一t2时，β1，β2，…，βs线性无关，即为Ax=O 的一个基础解系。
涉及知识点：线性方程组2．设A为n阶矩阵，α1为AX=0的一个非零解，向量组α1，α2，…，αs满足Ai－1αi(i=2，3，…，s)．证明α1，α2，…，αs线性无关．正确答案：用定义法设c1α1+c2α2+…+csαs=0(1)，要推出系数ci都为0．条件说明Aiαi=Aα1=0(i=1，2，3，…，s)．用As－1乘(1)的两边，得csα1=0，则cs=0．再用As－2乘(1)的两边，得cs－1α1=0，则cs－1=0．这样可逐个得到每个系数都为0．涉及知识点：向量组的线性关系与秩3．设a＞0，讨论方程aex=x2根的个数．正确答案：aex=x2等价于x2e-x-a=0．令f(x)=x2e-x-a，由f’(x)=(2x-x2)e-x=0得x=0，x=2．当x＜0时，f’(x)＜0；当0＜x＜2时，f’(x)＞0；当x＞2时，f’(x)＜0，于是x=0为极小值点，极小值为f(0)=-a＜0；x=2为极大值点，极大值为f(2)=-a，又=-a＜0．(1)当-a＞0，即0＜a＜时，方程有三个根；(2)当-a=0，即a=时，方程有两个根．(3)当-a＜0，即a＞时，方程只有一个根．涉及知识点：高等数学4．计算下列各题：正确答案：涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算5．3阶实对称矩阵A的特征值为1，2，－2，α1=(1，－1，1)T是A的属于1的特征向量．记B=A5－4A3+E．(1)求B的特征值和特征向量．(2)求B．正确答案：(1)记f(x)=x5－4x3+1，则B的特征值为f(1)=－2，f(2)=1，f(－2)=1．α1=(1，－1，1)T是A的属于1的特征向量，则它也是B的特征向量，特征值－2．B的属于－2的特征向量为cα1，c≠0．B也是实对称矩阵，因此B的属于特征值1的特征向量是与α1正交的非零向量，即是x1－x2+x3=0的非零解．求出此方程的基础解系α2=(1，1，0)T，α3=(0，1，1)T，B的属于特征值1的特征向量为c1α2+c2α3，c1，c2不全为0．(2)B(α1，α2，α3)=(－2α1，α2，α3)．解此矩阵方程得涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化6．设f(χ)＝∫1χ，求∫01χf(χ)dχ．正确答案：涉及知识点：定积分及应用7．计算曲线y=ln(1一x2)上相应于0≤x≤的一端弧的长度．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学8．设u=．正确答案：涉及知识点：多元函数微分学9．用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其满足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的特解．正确答案：涉及知识点：常微分方程10．设正确答案：u是u=f(s，t)与复合而成的x，y，z的三元函数．先求du．由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得涉及知识点：多元函数微分学11．设D由抛物线y=x2，y=4x2及直线y=1所围成．用先x后y的顺序，将I=f(x，y)dxdy化成累次积分．正确答案：区域D如图8．18所示，将D分成x≥0与x≤0两部分才是先积x后积y的类型，于是用分块积分法即得涉及知识点：二重积分12．计算正确答案：涉及知识点：一元函数积分学13．已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．正确答案：由(AAT)T=(AT)TAT=AAT，所以AAT是对称阵．必要性若AAT正定，r(AAT)=m≤r(A)，又r(Am×n2)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，则齐次方程组ATX=0只有零解，故对任意x≠O，均有ATX≠0，故XTAATX=(ATX)T(ATX)＞0，即AAT正定．涉及知识点：线性代数设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知r(A)=2．14．求A的全部特征值；正确答案：令AX=λX，由A2+2A=O的(λ2+2λ)X=0，注意到X≠0，则λ2+2λ=0，解得λ=0或λ=-2．由r(A)=2得λ1=0，λ2=λ3=2．15．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵．正确答案：A+kE的特征值为k，k-2，k-2，当k＞2时，A+kE为正定矩阵．。
考研数学(数学二)模拟试卷283(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷283(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( )．A．不可导B．可导但f’(x)≠0C．取得极大值D．取得极小值正确答案：D解析：利用等价无穷小的代换求得f(x)．由于x→0时，1-cos～1/2x2，所以令f(x)=x2，则f(x)符合原题设条件，而f(x)在x=0处可导f’(0)=0，取极小值．则(A)、(B)、(C)均不正确，选(D)．2．曲线y=e1/x2arctan的渐近线有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：B解析：因故y=π/4是曲线的水平渐近线，又故x=0是曲线的垂直渐近线．故应选(B)．3．设函数f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )．A．当f(a).f(b)＜0时，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0B．对任何ξ∈(a，b)，有C．当f(a)=f(b)时，存在ξ∈(a，b)，使f’(ξ)=0D．存在ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)正确答案：B解析：由于f(x)在(a，b)内可导，ξ∈(a，b)则f(x)在ξ点可导，因而在ξ点连续，故所以应选(B)．4．设f(x)=，则f(x)在点x=1处的( )．A．左、右导数都存在B．左导数存在，但右导数不存在C．左导数不存在，但右导数存在D．左、右导数都不存在正确答案：B解析：由左、右导数的定义知所以f_’(1)=2，但f+’(1)不存在．故应选(B)．5．设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则d∫f(x)dx等于( )．A．f(x)B．f(x)dxC．f(x)+CD．f’(x)dx正确答案：B解析：因，故应选(B)．6．设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设可得7．设n阶方程A=(a1，a2，…，an)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，γn)，记向量组(Ⅰ)：a1，a2，…，an(Ⅱ)：β1，β2，…，βn，(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，如果向量组(Ⅲ)线性相关，则( )．A．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)都线性相关B．向量组(Ⅰ)线性相关C．向量组(Ⅱ)线性相关D．向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关正确答案：D解析：因为向量组(Ⅲ)线性相关，所以矩阵AB不可逆，即｜AB｜=｜A｜｜B｜=0．因此｜A｜、B｜中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，亦即向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)中至少有一个线性相关，所以选(D)．8．设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜=0，则A( )．A．必有一列元素全为0B．必有两列元素对应成比例C．必有一列向量是其余列向量的线性组合D．任一列向量是其余列向量的线性组合正确答案：C解析：本题考查｜A｜=0的充分必要条件，而选项(A)、(B)、(D)都是充分不必要条件．以3阶矩阵为例，若A=，条件(A)、(B)均不成立，但｜A｜=0．若A=，则｜A｜=0，但第3列并不是其余两列的线性组合，可见(D)不正确．这样，用排除法可知应选(C)．填空题9．设，其中f可导，且f’(0)≠0，则dy/dx｜t=0=__________．正确答案：3解析：10．函数y=x+2cosx在上的最大值为__________．正确答案：解析：先求出[0，π/2]内的驻点，再将驻点的函数值与端点的函数值比较即可得最值．因为y’=1-2sinx，令y’=0，得[0，π/2]内的驻点x=π/6．又y(0)=2，11．设函数z=z(x，y)由方程F(x-az，y-bz)=0所给出，其中F(u，v)任意可微，则=_________．正确答案：1解析：因故12．=_________．正确答案：π/12解析：13．y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是_________．正确答案：解析：由题设，根据麦克劳林公式，xn的系数为14．设，已知Aa与a线性相关，则a=_________．正确答案：-1解析：，由于Aa与a线性相关，则存在数k≠0 使Aa=ka，即a=ka，2a+3=k，3a+4=k三式同时成立．解此关于a，k的方程组可得a=-1，k=1．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(解答题)模拟试卷128(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷128(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)=,x≥0，判断f(x)是否单调，是否有界?正确答案：当0≤x≤1时，当1＜x≤2时，令n→∞，得f(x)=x．当x＞2时，显然，当x≥0时，f(x)单调递增，是无界的．涉及知识点：函数、极限、连续2．设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：R(A*)=正确答案：当R(A)=n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜=｜A｜n—1≠0，所以R(A*)=n。
当R(A)=n—1时，｜A｜=0，于是A*A=｜A｜E=O，所以R(A*)+R(A)≤n。
再由R(A)=n—1，故R(A*)≤1。
又因为R(A)=n—1，由矩阵秩的定义，A 的最高阶非零子式为n—1阶，即存在Mij≠O，所以Aij=(—1)i+jMij≠0，从而A*≠O，于是R(A*)≥1，故R(A*)=1。
当R(A)＜n—1时，因为A的所有n—1阶子式都为零，即所有的Mij=0，所以A*=0，于是R(A*)=0。
涉及知识点：矩阵3．设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x ＞0)．正确答案：令φ(x)=e-x-xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=1，φ’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x＞0)．涉及知识点：高等数学4．求无穷积分．J＝正确答案：涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用5．设y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定，求y”(0)．正确答案：将x=0代入得y=0，ey+6xy+x2-1=0两边对x求导得将x=0，y=0代入得y’(0)=0．两边再对x求导得将x=0，y=0，y’(0)=0代入得y”(0)=-2．涉及知识点：高等数学部分6．求正确答案：因为(3＋sinχcosχ)′＝cos2χ，所以涉及知识点：不定积分7．设函数F(X)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+x2(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a为伺值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．正确答案：故当a=一5时，旋转体体积最小．涉及知识点：一元函数积分学8．设f(χ)＝f(χ－π)＋sinχ，且当χ∈[0，π]时，f(χ)＝χ，求∫π3χf(χ)dχ．正确答案：涉及知识点：定积分及应用9．已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx—dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x0，记y0=y(x0)．正确答案：(1)将微分方程(x2+y2)dy=dx一dy变形为＞0，则y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明y(x)有界即可．涉及知识点：微分方程10．设二次型f=x12+x22+x32一4x1x2—4x1x3+2a2x3，经正交变换化为3y12+3y22+by32，求a，b的值及所用正交变换。
考研数学(数学二)模拟试卷281(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷281(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则( )．A．φ[f(x)]必有间断点B．[φ(x)]2必有间断点C．f[φ(x)]必有间断点D．φ(x)/f(x)必有间断点正确答案：D解析：所以(D)是答案．2．若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为( )．A．1+sinxB．1-sinxC．1+cosxD．1-cosx正确答案：B解析：对sinx积分两次得到f(x)的原函数，即可得到正确选项．由题设f’(x)=sinx，所以f(x)=∫f’dx=∫sinxdx=-cosx+C1 于是f(x)的原函数F(x)=∫f(x)dx=∫(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2 令C1=0，C2=1，得f(x)的一个原函数为1-sinx，故应选(B)．3．考虑二元函数的下面4条性质(Ⅰ)f(x，y)在点(x0，y0)处连续；(Ⅱ)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；(Ⅲ)f(x，y)在点(x0，y0)处可微；(Ⅳ)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在；若用PQ表示可由性质P推出性质Q，则有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续，则f(x，y)在点(x0，y0)处可微，f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f(x，y)在点(x0，y0)处连续．所以(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅰ)．(A)为答案．4．设函数f(x，y)连续，则二次积分f(x，y)dy等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由二次积分f(x，y)dy，的积分上、下限知积分区域为y=sinx(π/2＜x ＜π)的反函数为x=π-arcsiny，则积分区域可变为于是积分变为，故应选(B)．5．设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )．A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：题设所给函数f(x)是分段函数，且f(0)=0，应分别求左、右极限及左、右导数来讨论x=0点的连续性与可导性，由知f(x)在x=0处可导且f’(0)=0，所以选(D)．6．下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．A．y’’+y’’-4y’-4y=0B．’’’+y’’+4y’+4y=0C．y’’’-y’’-4y’+4y=0D．y’’’-y’’+4y’-4y=0正确答案：D解析：由微分方程的通解可知，所求微分方程的特征根为λ1=1，λ2λ2,3=±2i，从而特征方程为(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0，所以所求微分方程为y’’’-y’’+4y’-4y=0．故选(D)．7．设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC 的秩为r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r=r1D．r与r1的关系由C而定正确答案：C解析：由B=AC知r1≤r(A)=r，又B=AC两边同时右乘C-1，得A=BC-1，于是r≤r(B)=r1，从而有r=r1，故选(C)．8．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1，a2则a1，A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是( )．A．λ1=0B．λ2=0C．λ1≠0D．λ2≠0正确答案：D解析：由题意可知A(a1+a2)=Aa1+Aa2=λ1a1+λ2a2，于是a1，A(a1+a2)线性无关k1a1+k2A(a1+a2)=0，k1，k2恒为0．(k1+λ1k2)a1+λ2k2a2=0，k1，k2恒为0．又因为不同特征值的特征向量线性无关，故a1，a2线性无关，于是k1，k2恒为0．齐次方程组只有零解，λ2≠0，故选(D)．填空题9．已知曲线y=x3-3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=__________．正确答案：4a6解析：由题设，曲线Y=x3-3a2x+b与x轴相切，设切点为(x0，0)，则y’｜x=x0=302-3a2=0，即x02=a2．又由切点在曲线上，则0=x03-3a2x0+b，因而b=2x03b=4x06=4a6，所以b2可以通过口表示为b=4a6．10．已知=_________．正确答案：3π/4解析：由y=且f’(x)=arctanx2，11．设函数Y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是_________．正确答案：y=x解析：由题设所给方程xy+2lnx=y4，两边对x求导得，将x=1，y=1代入上式得dy/dx｜x=1=1，所以点(1，1)处的切线方程是y-1=x-1，即y=x．12．若=_________．正确答案：解析：由题设，令13．曲线Y=e-x2的上凸区间是_________．正确答案：解析：对y=e-x2求一阶、二阶导数得y’=-2xe-x2，y’’=-2e-x2(1-2x2)当y’’＜0，即x∈时，曲线向上凸．14．设，A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：解析：因为AA*=｜A｜E，从而(A*)-1=解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学二)模拟试卷280(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷280(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)为R上不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=f(x)/x( )．A．在x=0处左极限不存在B．有跳跃间断点x=0C．在x=0处右极限不存在D．有可去间断点x=0正确答案：D解析：由题设，f(-x)=-f(x)，则有f(0)=0，从而即g(x)在x=0处极限存在，但x=0时g(x)无定义，因此可补充定义g(0)=f’(0)，则g(x)在x=0处连续．综上，g(x)有可去间断点x=0，所以选(D)．2．设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=OB．若fx’(x0，y0)=0，则fx’(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则fx’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：依题意知(x0，y0)是拉格朗日函数，F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)的驻点，即(x0，y0)使得因为φy’(x0，y0)≠0，所以从(2)式可得代入(1)式得即fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)=φx’(x0，y0)．当fx’(x0，y0)≠0且φy’(x0，y0)≠0时，fx’(x0，y0)φy’(x0，y0)≠0，从而fy’(x0，y0)≠0，故选(D)．3．设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )．A．C[y1(x)-y2(x)]B．y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]C．C[y1(x)+y2(x)]D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]正确答案：B解析：根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的一个非零解，又y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而由线性方程通解的结构可知y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]是原非齐次线性微分方程的通解，其中C为任意常数．故选(B)．4．设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1-x2)dx等于( )．A．1/2(1-x2)2+CB．- 1/2(1-x2)2+CC．2(1-x2)2+CD．-2(1-x2)2+C正确答案：B解析：5．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)等价无穷小，则( )．A．a=1，b=-(1/6)B．a=1，b=1/6C．a=-1，b=-(1/6)D．a=-1，b=1/6正确答案：A解析：故a=1，(D)错误，所以选(A)．6．设函数g(x)可微，h(x)=lng(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)等于( )．A．eB．1C．2D．3正确答案：C解析：由已知条件有h’(x)=g’(x)/g(x)．令x=1，得h’(1)=g’(1)/g(1)，即1=2/g(1)，所以g(1)=2．故选(C)．7．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P=，则( )．A．C=P-1APB．C=PAP-1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：根据已知条件，用初等矩阵描述有故选(B)．8．设向量组a1，a2，a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．A．a1+a2，a2+a3，a3-a1B．a1+a2，a2+a3，a1+2a2+a3C．a1+2a2，2a2+3a3，3a3+a1D．a1+a2+a3，2a1-3a2+2a3，3a1+5a2+3a3正确答案：C解析：由题设，观察四个选项：关于(A)，由于(a1+a2)-(a2+a3)+(a3-a1)=0，则a1+a2，a2+a3，a3-a1线性相关．关于(B)，由于(a1+a2)+(a2+a3)-(a1+2a2+a3)=0，则a1+a2，a2+a3，a1+2a2+a3也线性相关．关于(C)，由定义，设有一组数k1，k2，3，使得k1(a1+2a2)+k2(2a2+3a3)+k3(3a3+a1)=0 即(k1+k3)a1+(2k1+2k2)a2+(3k2+3k3)a3=0，由已知a1，a2，a3线性无关，则该方程组的系数矩阵的行列式为从而k1=k2=k3=0，由此知(C)中向量组线性无关．而由同样的方法，建立关于(D)中向量组相应的方程组，可计算出系数矩阵的行列式为0，则(D)中向量组线性相关．综上选(C)．填空题9．设函数f(x)=在(-∞，+∞)内连续，则c=_________．正确答案：1解析：函数f(x)连续，则需满足，即c2+1=2/c，解得c=1．10．_________．正确答案：-(1/4)解析：原式=11．曲线，在点(0，1)处的法线方程为_________．正确答案：0解析：由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知x=0，y=1时，t=0，因此，此即该点的切线斜率，因而该点法线斜率为-2，从而法线方程为y-1=-2x，即2x+y-1=0．12．=_________．正确答案：-cotx*lncosx-x+C解析：原式=-∫lncosxdcotx=-cotx*lncosx-∫dx=-cotx*lncosx-x+C13．曲线的渐近线方程为_________．正确答案：y=x+ 1/e解析：通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线．由题设，，因此无水平渐近线．又由因此也无铅直渐近线．关于斜渐近线，设因此有斜渐近线为y=x+ 1/e．14．设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_________．正确答案：0解析：由题设，4阶方阵A的秩为2，因此A的所有3阶子式均为0，从而所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故r(A*)=0．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷28(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷28(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知f’x(x0，y0)存在，则=( )A．f’x(x0，y0)。
B．0。
C．2f’x(x0，y0)。
D．f’x(x0，y0)。
正确答案：C解析：由题意=f’x(x0，y0)+f’x(x0，y0)=2f’x(x0，y0)，故选C。
知识模块：多元函数微积分学2．二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )A．[f(x，y)一f(0，0)]=0。
B．，且。
C．。
D．[f’x(x，0)一f’x(0，0)]=0，且f’y[f’y(0，y)一f’y(0，0)]=0。
正确答案：C解析：按可微性定义，f(x，y)在(0，0)处可微其中A，B是与x，y无关的常数。
题中的C项即A=B=0的情形。
故选C。
知识模块：多元函数微积分学3．设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )A．x1＞x2，y1＜y2。
B．x1＞x2，y1＞y2。
C．x1＜x2，y1＜y2。
D．x1＜x2，y1＞y2。
正确答案：D解析：由需对x和y分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数f(x，y)关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。
因此，当x1＜x2，y1＞y2时，必有f(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)。
故选D。
知识模块：多元函数微积分学4．设，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则( )A．I3＞I2＞I1。
B．I1＞I2＞I3。
C．I2＞I1＞I3。
D．I3＞I1＞I2。
正确答案：A解析：在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，从而有≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0。
已知函数cosx在上为单调减函数，于是≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)y2，因此故选A。
考研数学二(多元函数微分学)模拟试卷27(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷27(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知f(x，y)=，则( )A．f’x(0，0)，f’y(0，0)都存在。
B．f’x(0，0)不存在，f’y(0，0)存在。
C．f’x(0，0)不存在，f’y(0，0)不存在。
D．f’x(0，0)，f’y(0，0)都不存在。
正确答案：B解析：由于故f’y(0，0)不存在。
所以f’y(0，0)存在。
故选B。
知识模块：多元函数微积分学2．函数f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是( )A．f’x(x，0)=f’x(0，0)，且f’y(0，y)=f’y(0，0)。
B．[f(x，y)一f(0，0)]=0。
C．和都存在。
D．f’x(x，y)=f’x(0，0)，且f’y(x，y)=f’y(0，0)。
正确答案：D解析：由f’x(x，y)=f’x(0，0)，且有f’y(x，y)=f’y(0，0)，可知，f(x，y)的两个一阶偏导数f’x(x，y)和f’y(x，y)在(0，0)点连续，因此f(x，y)在(0，0)点可微。
故选D。
知识模块：多元函数微积分学3．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是( ) A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。
B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。
C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。
D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在。
正确答案：B解析：因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有f’x(x0，y0)=0,f’y(x0，y0)=0。
又由f’x(x0，y0)=。
故选B。
知识模块：多元函数微积分学4．=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：结合二重积分的定义可得故选D。
知识模块：多元函数微积分学5．设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则( )A．不一定存在。
考研数学二解答题专项强化真题试卷28(题后含答案及解析)
考研数学二解答题专项强化真题试卷28(题后含答案及解析)题型有：1.1．(2005年)计算二重积｜χ2＋y2－1｜dσ，其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1}．正确答案：如图，将D分成D1与D2两部分．涉及知识点：多元函数微积分2．(2015年)已知函数f(χ，y)满足f〞(χ，y)＝2(y＋1)eχ，f′(χ，0)＝(χ＋1)eχ，f(0，y)＝y2＋2y，求f(χ，y)的极值．正确答案：由f〞χy＝2(y＋1)eχ，得f′χ(y＋1)2eχ＋φ(χ)．因为f′χ(χ，0)＝(χ＋1)eχ，所以eχ＋φ(χ)＝(χ＋1)eχ．得φ(χ)＝χe χ，从而f′χ＝(y＋1)2eχ＋χeχ．对χ积分得f(χ，y)＝(y＋1)2eχ＋(χ－1)eχ＋φ(y)．因为f(0，y)＝y2＋2y，所以φ(y)＝0，从而f(χ，y)＝(χ＋y2＋2y)eχ于是f′y＝(2y＋2)eχ，f〞χχ＝(χ＋y2＋2y＋2)eχ，f〞＝2eχ．令f′χ＝0，f′y＝0，得驻点(0，－1)，所以A＝f〞χχ(0，－1)＝1，B＝f〞χy(0，－1)＝0，C＝f〞yy(0，－1)＝2．由于AC－B2＞0，A＞0，所以极小值为f(0，－1)＝－1．涉及知识点：多元函数微积分3．确定常数a，b，c的值，使。
正确答案：因，而原极限＝c≠0，得知b＝0．所以a＝1．原极限即a＝1，b ＝0，．解析：一般情况下，若limf(x)＝0，，则limg(x)＝0．知识模块：函数、极限、连续4．(90年)求曲线(x＞0)的拐点．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学5．已知函数y(x)由方程x3+y3－3x+3y－2=0确定，求y(x)的极值。
正确答案：在方程两边同时对x求导可得3x2+3y2y’－3+3y’=0，(1)令y’=0可得3x2－3=0，故x=±1。
由极值的必要条件可知，函数只可能在x=1与x=－1处取得极值。
为检验该点是否为极值点，需计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得6x+6y(y’)2+3y2y”+3y’=0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷281
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则( )．
（A）φ[f(x)]必有间断点
（B）[φ(x)]2必有间断点
（C）f[φ(x)]必有间断点
（D）φ(x)/f(x)必有间断点
2 若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为( )．
（A）1+sinx
（B）1-sinx
（C）1+cosx
（D）1-cosx
3 考虑二元函数的下面4条性质 (Ⅰ)f(x，y)在点(x0，y0)处连续； (Ⅱ)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续； (Ⅲ)f(x，y)在点(x0，y0)处可微； (Ⅳ)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在；若用P Q表示可由性质P推出性质Q，则有
( )．
4 设函数f(x，y)连续，则二次积分f(x，y)dy等于
( )．
5 设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( )．
（A）极限不存在
（B）极限存在，但不连续
（C）连续，但不可导
（D）可导
6 下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．
（A）y''+y''-4y'-4y=0
（B）'''+y''+4y'+4y=0
（C）y'''-y''-4y'+4y=0
（D）y'''-y''+4y'-4y=0
7 设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则( )．
（A）r＞r1
（B）r＜r1
（C）r=r1
（D）r与r1的关系由C而定
8 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1，a2则a1，A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是( )．
（A）λ1=0
（B）λ2=0
（C）λ1≠0
（D）λ2≠0
二、填空题
9 已知曲线y=x3-3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=__________．
10 已知=_________．
11 设函数Y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是_________．
12 若=_________．
13 曲线Y=e-x2的上凸区间是_________．
14 设，A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 求
16 计算
17 设曲线￡的方程为y=f(x)，且y''＞0．又MT、MP分别为该曲线在点M(x0，y0)
处的切线和法线．已知线段MP的长度为(其中y0'=y0'(x0)，y0''=y0''(x0))，试推导出点P(ξ，η)的坐标表达式．
18 已知函数f(u)具有二阶导数，且f'(0)=1，函数y=y(x)由方程y-xe y-1=1所确定．设z=f(lny-sinx)，
19 计算二重积分，其中
D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}．
20 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得
f'(η)f'(ζ)=1．
21 设函数f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且3∫2/31f(x)dx=f(x)，证明在(0，1)内存在一点，使f'(C)=0．
22 设向量组a1，a2，a3线性相关，向量组a2，a3，a4线性无关，问： (Ⅰ)a1能否由a2，a3，线性表出?证明你的结论． (Ⅱ)a4能否由a1，a2，a3铴线性表出?证明你的结论．
23 设线性方程组的系数矩阵为A，三阶矩阵B≠0，且AB=0，试求λ值．。