福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列14——数学(理科)适应性练习(二)

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2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十四章14.2第2课时含解析

第2课时不等式的证明1．不等式证明的方法（1）比较法:①作差比较法：知道a〉b⇔a－b〉0，a<b⇔a－b<0,因此要证明a〉b只要证明a－b〉0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法：由a〉b〉0⇔错误!>1且a>0，b>0，因此当a>0，b〉0时,要证明a>b,只要证明错误!>1即可,这种方法称为作商比较法．(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法．即“由因导果”的方法．（3)分析法：从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．即“执果索因”的方法．（4）反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法．②在证明不等式时,有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．(5)数学归纳法:一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤：①证明当n＝n0时命题成立；②假设当n＝k（k∈N＊，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．几个常用基本不等式（1）柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a，b,c，d都是实数,则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd)2（当且仅当ad＝bc时，等号成立)．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α|｜β｜≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R,则x1－x22＋y1－y22＋错误!≥错误!.④柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n 是实数，则(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!)（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!)≥（a1b1＋a2b2＋…＋a n b n）2，当且仅当b i＝0 （i＝1,2，…,n)或存在一个数k，使得a i＝kb i (i＝1,2，…，n）时，等号成立．(2）算术—几何平均不等式若a1，a2,…,a n为正数，则错误!≥错误!,当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．1．设a,b，m,n∈R，且a2＋b2＝5,ma＋nb＝5,求错误!的最小值．解根据柯西不等式(ma＋nb）2≤(a2＋b2）(m2＋n2），得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为错误!.2．若a，b，c∈(0,＋∞),且a＋b＋c＝1,求错误!＋错误!＋错误!的最大值．解（错误!＋错误!＋错误!)2＝（1×错误!＋1×错误!＋1×错误!)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝错误!时，等号成立．∴（错误!＋错误!＋错误!）2≤3。

2018年福建省质检数学(理科)试卷(含答案)

2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合21{|log 0},33xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =I （）A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|0}x x >D ．R1．【答案】B【考查意图】本小题以集合为载体，考查指数函数、对数函数的图象与性质，集合的运算等基础知识；考查运算求解能力，考查数形结合思想等．【答题分析】只要掌握指、对数函数的图象与性质，集合的运算等，便可解决问题．解：2log 0x <等价于22log log 1x <，解得01x <<，所以(0,1)A =；133x⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于11133x-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1x >-，所以(1,)B =-+∞，从而(0,1)A B =I ． 2．将函数sin 2y x =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则（）A ．()y f x =的图象关于直线8x π=对称B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增 2．【答案】D【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查函数的图象变换及三角函数的图象与性质等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握函数图象变换知识、三角函数的图象与性质，便可解决问题．解：由题意得，()sin f x x =．sin y x =的图象对称轴为直线,2x k k Z ππ=+∈，所以选项A 错误；sin y x =的最小正周期为2T π=，所以选项B 错误； sin y x =的图象对称中心为(,0),k k Z π∈，所以选项C 错误；sin y x =的一个单调递增区间为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,,3622ππππ⎛⎫⎛⎫-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 正确．3．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系；在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AT -=．下列关系中正确的是（） A ．512BP TS RS -=u u u r u u r u uu r B ．512CQ TP TS +=u u u r u u r u ur C ．512ES AP BQ -=u u u r u u u r u u ur D ．512AT BQ CR +=u u u r u u u r u u ur ABCDEP QR S T【考察意图】本小题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算等基础知识，考查推理论证能力，考查转化与化归思想等．【答题分析】只要掌握平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算的几何意义，便可解决问题．解：由题意得，51BP TS TE TS SE RS +-=-==u u u r u u r u u r u u r u u r u uu r ，所以选项A 正确． 512CQ TP PA TP TA ST +=+==u u u r u u r u u u r u u r u u r u u u r ，所以选项B 错误；512ES AP RC QC RQ QB -=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以选项C 错误；51,2AT BQ SD RD CR RS RD SD +=+==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，若512AT BQ CR +=u u u r u u u r u u u r ，则0SD =u u u r r，不合题意，所以选项D 错误．故选A ．4．已知5234560123456(2)(21)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则024a a a ++=（） A ．123 B ．91 C ．120- D ．152- 4．【答案】D【考查意图】本小题以代数恒等式为载体，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握二项式定理，会合理赋值，便可解决问题．解法一：由5234560123456(2)(21)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，取1x =得：01234563a a a a a a a ++++++=， ①取1x =-得：0123456243a a a a a a a -+-+-+=-， ②+①②，得0246120a a a a +++=-，又561232a =⨯=，所以024152a a a ++=-．解法二：因为5(21)x -的展开式的第1r +项515(2)(1),0,1,2,3,4,5r r r r T C x r -+=-=，所以5054143230525522(1)2,12(1)22(1)70a C a C C =⨯-=-=⨯-+⨯-=-， 23214145512(1)22(1)80a C C =⨯-+⨯-=-，所以024152a a a ++=-，故选D ．5．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（） A ．120 B ．84 C ．56 D ．28【答案】B【考查意图】本小题以数学文化为载体，考查程序框图等基础知识，考查运算求解能力、应用意识．【答题分析】只要按程序框图逐步执行，便可解决问题．解：按步骤执行程序框图中的循环体，具体如下：1,1,12,3,43,6,104,10,20i n S i n S i n S i n S ===→===→===→===； 5,15,356,21,567,28,84i n S i n S i n S ===→===→===．所以输出84S =．故选B ．6．已知函数22()22x f x x x =-+．命题1:()p y f x =的图象关于点(1,1)对称；命题2:p 若2a b <<，则()()f a f b <．则在命题112212312:,:()(),:()q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和 412:()q p p ∧⌝中，真命题是（）A ．13,q qB ．14,q qC ．23,q qD ．24,q q【答案】B【考察意图】本小题以分式函数为载体，考查函数的图象与性质、导数及其应用、逻辑联结词的含义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握逻辑联结词的含义、函数图象的对称性，会利用导数研究函数的单调性，会判断含逻辑联结词的命题的真假，便可解决问题．解法一：因为2222(2)44(2)(2)2(2)222x x x f x x x x x --+-==---+-+，所以22244()(2)222x x x f x f x x x -+++-==-+，故()f x 的图象关于点(1,1)对称，故命题1p 为真命题；因为2(2),(0)05f f -==，所以(2)0f ->，故命题2p 为假命题．所以1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，故1212,()p p p p ∨∧⌝为真命题．故选B ．解法二：因为2222(1)()122(1)1x x f x x x x -==+-+-+，所以函数()y f x =的图象可由22()1xg x x =+的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到．因为()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，()g x 的图象关于原点对称，从而()y f x =的图象关于点(1,1)对称，故命题1p 为真命题．因为22224()(22)x xf x x x -+'=-+，令()0f x '>，得02x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,2)；令()0f x '<，得0x <或2x >，所以()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，(2,)+∞；故命题2p 为假命题．所以1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，故1212,()p p p p ∨∧⌝为真命题．故选B ．解法三：同解法一可得，命题1p 为真命题．因为当0x ≠时，2221()2211122x f x x x x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2()221h t t t =-+，1t x =，则1t x=在(,0)-∞单调递减，当(,0)x ∈-∞时，(,0)t ∈-∞，又因为 2()221h t t t =-+在(,0)-∞单调递减，当(,0)t ∈-∞时，()(1,)h t ∈+∞，所以211122y x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(,0)-∞单调递增，又因为1y x =在(1,)+∞单调递减，所以()f x 在(,0)-∞单调递减，故命题2p 为假命题．所以1p ⌝为假命题，2p ⌝为真命题，故1212,()p p p p ∨∧⌝为真命题．故选B ．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点,M N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的运算圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（） A ．37.5分钟 B ．40.5分钟 C ．49.5分钟 D ．52.5分钟O Py【答案】A【考查意图】本小题以匀速圆周运动为背景，考查任意角三角函数的定义、三角函数的图象与性质等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、应用意识及创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想等．【答题分析】只要掌握任意角三角函数的定义、三角函数的图象与性质等，或结合平面几何知识直观判断，便可解决问题．解法一：设点N 出发后的运动的时间为t 分钟，圆O 的半径为1，由三角函数的定义，得sin cos 266N y t t πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，因为,M N 间隔3分钟，所以362MON ππ∠=⨯=，所以sin sin 2626M y t t ππππ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭，所以sincos26664M N y y t t t ππππ⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭，当2,642t k k Z ππππ+=+∈，即312,2t k k Z =+∈时， M N y y -取得最大值，故当3k =时，M N y y -第4次取得最大值，此时37.5t =，故选A ．解法二：因为,M N 间隔3分钟，所以362MON ππ∠=⨯=，当M N y y -取得最大值时，MN x ⊥轴，且4PON π∠=，O PyNM当M N y y -第一次取得最大值时，N 运动的时间为4 1.56ππ=分钟；又质点N 运动一周的时间为2126ππ=分钟，当M N y y -第4次取得最大值时，N 运动的时间为1.512337.5+⨯=分钟．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（） A ．32643π-B ．648π-C ．16643π-D ．8643π-【答案】C【考查意图】本小题以空间几何体为载体，考查三视图，正方体，圆柱，圆锥的体积等基础知识；考查空间想象能力，运算求解能力．【答题分析】只要掌握三视图及正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，便可解决问题．解：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去14个圆锥和14个圆柱所得的几何体，且圆锥的底面半径为2，高为4；圆柱的底面半径为2，高为4，如图．所以该几何体的体积为311164444464433πππ⎛⎫-⨯⨯⨯+⨯⨯=- ⎪⎝⎭．故选C ．9．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止．若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（） A ．3200元 B ．3400元 C ．3500元 D ．3600元【答案】C【考查意图】本小题以故障机器问题为载体，考查计数原理、排列与组合、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力及应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想等．【答题分析】只要能列出随机变量的所有取值并应用计数原理及排列组合知识计算对应的概率，理解数学期望的意义，便可解决问题．解法一：设检测机器的台数为ξ，则ξ的所有可能取值为2，3，4．1123223232235513133(2),(3),(4)1101010105C C A A A P P P A A ξξξ+========--=，所以133234 3.510105E ξ=⨯+⨯+⨯=，故所需检测费用的均值为10003500E ξ⨯=元．解法二：设检测费为η元，则η的所有可能取值为2000，3000，4000．1123223232235513133(2000),(3000),(4000)1101010105C C A A A P P P A A ηηη+========--=所以133200030004000350010105E η=⨯+⨯+⨯=，故所需检测费用的均值为3500元． 10．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N ．若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为（）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C【考查意图】本小题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程及其简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等．【答题分析】只要掌握抛物线的标准方程及其简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，并根据题意准确作//FC NM ，设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则1212221212122122AB y y y y pk y y x x y y p p--====-+- 所以122y y p +=，所以0y p =，作MK x ⊥轴于K ，则MK p =，因为AB 的斜率为1，所以FMK △为等腰直角三角形，故FK KC p ==，所以32MN OK OF FK p ==+=，所以四边形CMNF 的面积为132722p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，解得2p =，故抛物线方程为24y x =．解法二：由题意，得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形CNMF 为梯形，且//FC NM ，设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，由222p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得2220y py p --=，则122y y p +=，所以0y p =，故(0,)N p ，由于2p y x =-，令0y p =，得032x p =，所以3,2M p p ⎛⎫⎪⎝⎭，因为MC AB ⊥，所以1MC AB k k ⋅=-，故1MC k =-，从而直线MC 的方程为52y x p =-+，令0y =，得52C x p =，故5,02p C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以四边形CMNF 的面积为132722p p p ⎛⎫⨯+⨯= ⎪⎝⎭，解得2p =，故抛物线方程为24y x =．11．已知,,,A B C D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且25AB AC AD ===，42,8BC BD CD ===．若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最大值为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【考查意图】本小题以球为载体，考查空间几何体，球的性质等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想等．【答题分析】只要通过长度关系，认清以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心1O 的位置，借助方程求出球1O 的半径，直观判断球2O 的位置，便可解决问题．解法一：取CD 的中点O ，连结,AO BO ，如图，因为42BC BD ==8CD =，所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥，故O 为BCD △的外心，因为25AC AD ==AO CD ⊥，且2AO =，故AO OB ⊥，又BO CD O =I ，所以AO ⊥平面BCD ，所以1O 在直线AO 上，连结1O D ，设1O D R =，则1AO R =，12OO R =-，因为1OO DO ⊥，所以22211DO OO O D +=，即2216(2)R R +-=，解得5R =，球2O 的直径最大时，球2O 与平面BCD 相切且与球1O 相切，12,,,A O O O 四点共线，此时球2O 的直径为18R OO +=．解法二：将Rt BCD △补形成正方形ECBD ，如图，易知四棱锥A BCED -为正四棱锥，正方形BDEC 的中心为O ，BO CD ⊥．连结,AO BO ，则O 为BCD △的外心，因为25AC AD ==AO CD ⊥，且2AO =，又因为4,4OD BO ==，所以222AO BO AB +=，故AO OB ⊥，又BO CD O =I ，所以AO ⊥平面CBDE ，设1O D R =，则1AO R =，12OO R =-，因为1OO DO ⊥，所以22211DO OO O D +=，即2216(2)R R +-=，解得5R =，球2O 的直径最大时，球2O 与平面BCD 相切且与球1O 相切，12,,,A O O O 四点共线，此时球2O 的直径为18R OO +=．1O 2O A BC DO 1O 2O A BCDO E12．已知函数3()()3(0)f x x a x a a =--+>在[1,]b -上的值域为[22,0]a --，则b 的取值范围是（） A ．[0,3]B ．[0,2]C ．[2,3]D ．(1,3]-【答案】A【考查意图】本题以三次函数为载体，考查导数及其应用等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及创新意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想等．【答题分析】只要将函数3()()3()2f x x a x a a =----的图象作平移变换得到3()3g x x x =-，将条件转化为“当[1,]x a b a ∈---时，()g x 的值域为[2,2]a -”，注意到()g x 的极小值与它在[1,]a b a ---上的最小值相等，再结合函数图象，由()g x 的值域为[2,2]a -直观判断b a -的取值范围；或直接研究函数()f x 的图象与性质，通过分类讨论确定a 的值，进而根据图象直观判断出b 的取值范围．解法一：将函数33()()3()3()2f x x a x a x a x a a =--+=----的图象向左平移a 个单位，再向上平移2a 个单位，得到3()3g x x x =-的图象，故条件等价于3()3g x x x =-在[1,]a b a ---的值域为[2,2]a -．2()333(1)(1)g x x x x '=-=+-，所以当(,1)x ∈-∞-或(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 的单调递增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；当(1,1)x ∈-时，()0g x '<，故()g x 的单调递减区间为(1,1)-．又(1)2,(1)2g g -==-，令()2g x =，得3320x x -+=，即2(1)(2)0x x -+=，得2x =-或1x =，因为0a >，所以11a --<-，由图象得12a ---≥，故01a <≤．①当1a =时，3()3g x x x =-在[2,1]b --的值域为[2,2]-，因为(1)(2)2g a g --=-=-，令()2g x =，得3320x x --=，即2(1)(2)0x x +-=，解得：1x =-或2x =，故由图象得112b --≤≤，解得03b ≤≤；②当01a <<时，211,022a a -<--<-<<，所以1b a -<-，又()g x 在(1,)a b a ---上单调递增，所以()(1)2g x g a -->-≥，此时与题意矛盾．综上，可知03b ≤≤，故选A ．解法二：因为3()()3f x x a x a =--+，所以2()3()3f x x a '=--，令()0f x '=得：1x a =+或1x a =-，又(1)22,(1)22f a a f a a +=---=-+，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,1)a -∞-1a -(1,1)a a -+1a +(1,)a ++∞()f x ' ()0f x '>()0f x '<()0f x '>()f x单调递增22a -+ 单调递减22a --单调递增① 若(1)22f a -=--，则32340a a +-=，整理得，2(1)(2)0a a -+=，解得：1a =或2a =-（舍去），此时3()(1)31f x x x =--+，令()4f x =-，解得1x =-或2x =；令()0f x =，解得0x =或3x =，因为()f x 在[1,]b -的值域为[4,0]-，故由图象可得03b ≤≤． ②若(1)22f a ->--，因为0a >，所以11a ->-，要使()f x 在[1,]b -上的值域为[22,0]a --，则1a b +≤，所以1[1,]a b -∈-，所以(1)22(1)0f a f a ->--⎧⎨-⎩≤，即3(1)322220a a a a ⎧--++>--⎨-⎩≤，即2(1)(2)01a a a ⎧-+<⎨⎩≥，无解．综上，可得03b ≤≤，故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年福建省高三毕业班质量检查理科数学(精校word版)

2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2|log 0Ax x ，133xBx，则A B（）A ．|11x x B．|01x x C．|0x x D．R2.将函数sin 2y x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x 的图象，则（）A ．()y f x 的图象关于直线8x对称 B．()f x 的最小正周期为2C ．()yf x 的图象关于点(,0)2对称 D．()f x 在(,)36单调递增3.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AT.下列关系中正确的是（）A ．512BPTSRS B ．512CQ TPTSC ．512ES AP BQ D．512AT BQCR4.已知501221xx a a x2345623456a xa xa x a x a x ，则024a a a （）A ．123B ．91C ．-120 D．-1525.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A ．120B ．84C ．56D ．286.已知函数22()22x f x xx .命题1p ：()y f x 的图象关于点1,1对称；命题2p ：若2a b ，则f a f b.则在命题1q ：12p p ，2q ：12p p ，3q ：12p p 和4q ：12p p 中，真命题是（）A ．1q ，3q B ．1q ，4q C ．2q ，3q D ．2q ，4q 7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M ，N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（）A ．37.5分钟B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A ．32643B．648 C．16643D．86439.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为（）A ．3200元B ．3400元 C．3500元 D．3600元10.已知抛物线E ：22(0)ypx p 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MNy 轴于点N .若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为（）A ．2yx B．22yx C．24yx D．28yx11.已知A ，B ，C ，D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且25ABAC AD ，42BCBD ，8BD.若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最大值为（）A ．1B ．2 C．4 D．812.已知函数33f x x axa (0)a在1,b 上的值域为22,0a ，则b 的取值范围是（）A ．0,3 B．0,2 C ．2,3 D ．1,3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z 满足12z iz ，则2z．14.若x ，y 满足约束条件402400xy x y xy，则2zxy 的最小值为．15.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a bab的右焦点为F ，左顶点为A .以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，APQ 的一个内角为60，则C 的离心率为．16.在平面四边形ABCD 中，1AB ，5AC ，BD BC ，2BD BC ，则AD 的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.各项均为正数的数列n a 的首项11a ，前n 项和为n S ，且211nnn S S a.（1）求n a 的通项公式；（2）若数列n b 满足nnn b a ，求n b 的前n 项和n T . 18.如图1，在矩形ABCD 中，35AB，25BC，点E 在线段DC 上，且5DE，现将AED沿AE 折到'AED 的位置，连结'CD ，'BD ，如图 2.（1）若点P 在线段BC 上，且52BP，证明：'AE D P ；（2）记平面'AD E 与平面'BCD 的交线为l .若二面角'B AED 为23，求l 与平面'D CE 所成角的正弦值.19.如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择y a b x 和ln yc d x 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为0.93690.0285y x 和0.95540.0306ln y x ，并得到以下一些统计量的值：0.93690.0285y x0.95540.0306lny x残差平方和1321()i iiy y0.000591 0.000164总偏差平方和1321()iiy y0.006050（1）请利用相关指数2R判断哪个模型的拟合效果更好；（2）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区(70160)m m平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）.若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：（i）估算该购房者应支付的购房金额.（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到0.001万元/平方米）（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积.（精确到1平方米）附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收.（计税价格=房款）征收方式见下表：契税（买方缴纳）首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为 1.5%；面积144平方米以上或非首套为3%增值税（卖方缴纳）房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上（不含144平方米）为 5.6%；其他情况免征个人所得税（卖方缴纳）首套面积144平方米以内（含144平方米）为1%；面积144平方米以上或非首套均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征参考数据：ln20.69，ln3 1.10，ln17 2.83，ln19 2.94，2 1.41，3 1.73，17 4.12，19 4.36.参考公式：相关指数2 2121()1()ni iiniiy yRy y.20.椭圆E：22221(0)x ya ba b的右顶点为A，右焦点为F，上、下顶点分别是B，C，7AB，直线CF 交线段AB 于点D ，且2BD DA .（1）求E 的标准方程；（2）是否存在直线l ，使得l 交E 于M ，N 两点，且F 恰是BMN 的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由. 21.已知函数2()(21)2xf x axax e.（1）讨论()f x 的单调区间；（2）若17a，求证：当0x时，()0f x .（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线M 的参数方程为1cos 1sinx y（为参数），1l ，2l 为过点O 的两条直线，1l 交M 于A ，B 两点，2l 交M 于C ，D 两点，且1l 的倾斜角为，6AOC.（1）求1l 和M 的极坐标方程；（2）当0,6时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2f x x ，()1g x a x .（1）若不等式33g x 的解集为2,4，求a 的值；（2）若当xR 时，f xg x ，求a 的取值范围.2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学答题分析一、选择题1-5: BDADB 6-10: BACCC 11、12：DA二、填空题13. -4 14. 6 15.4316.5三、解答题17.（1）【考查意图】本小题以n a 与n S 的关系为载体，考查递推数列、等差数列的定义及通项公式及等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握n a 与n S 的关系、等差数列的定义及通项公式即可顺利求解.思路：由211nnn S S a通过赋值得到：当2n 时，21nnnS S a .从而当2n时，11n na a ，并注意到211a a ，所以n a 是首项为1，公差为1的等差数列，进而求得nna .【错因分析】考生可能存在的错误有：不会通过赋值由211nnn S S a得到21n nnS S a (2)n，从而无从求解；或没有注意到2n ，思维不严密导致解题不完整.【难度属性】易.（2）【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等. 【解法综述】只要掌握错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式便可顺利求解.思路：因为n b 是由等差数列n 与等比数列1n 的对应项的积组成的数列，所以可用错位相减法求和，在解题过程中要注意对的取值进行分类讨论.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得根据数列通项的特征选择错位相减法求和，从而无从下手；用错位相减法求和时计算出错；没有对的取值进行分类讨论导致解题不完整等.【难度属性】中.18.（1）【考查意图】本小题以平面图形的翻折问题为载体，考查直线与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，考查化归与转化思想.【解法综述】只要理清图形翻折前后相关要素的关系，掌握直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的性质，便可解决问题.思路：先在图1中连结DP ，根据tan tan PDC DAE 得到90DOA ，从而有AE OD ，AE OP ，即在图2中有'AE OD ，AE OP ，所以得到AE 平面'POD ，进而得到'AEPD .【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理清图形翻折前后相关要素的关系，未能在图1中作出线段DP ，从而无从下手；由于对直线与平面垂直的判定及性质理解不清导致逻辑混乱.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查二面角、直线与平面所成角、公理3、直线与平面平行的判定定理与性质定理、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.【解法综述】只要掌握二面角的定义，会正确作出平面'AD E 与平面'BCD 的交线，或能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将直线l 与平面'D CE 所成角转化为平行于l 的直线与平面'D CE 所成角，并通过建立适当的空间直角坐标系利用向量方法解决直线与平面所成角的计算问题，便可顺利求解.思路一：延长AE ，BD 交于点Q ，连接'D Q ，根据公理3得到直线'D Q 即为l ，再根据二面角定义得到2'3D OP.然后在平面'POD 内过点O 作OFOP 交'D P 于点F ，并以O 为原点，分别为OA ，OP ，OF 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面'D CE 所成角的正弦值.思路二：分别在'AD ，'BD 上取点M ，G ，根据线段的长度及位置关系得到CE MG ，且CE MG ，从而得到四边形MGCE 为平行四边形，进而证得//ME l ，将直线l 与平面'D CE 所成角转化为直线EM 与平面'D CE 所成角.根据二面角定义得到2'3D OP.然后在平面'POD 内过点O 作OFOP 交'D P于点F ，并以O 为原点，分别为OA ，OP ，OF 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面'D CE 所成角的正弦值.【错因分析】考生可能存在的错误有：无法利用公理3确定直线l 的位置，或不能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将所求角转化为平行于l 的直线与平面'D CE 所成角，导致无从下手；不能根据二面角的定义求得2'3D OP；不能根据题意建立适当的空间直角坐标系；在求解过程中点的坐标或法向量等计算错误.【难度属性】中.19.（1）【考查意图】本小题以购房问题为背景，以散点图、相关指数2R 为载体，考查回归分析等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，考查统计与概率思想等.【解法综述】只要理解相关指数2R的意义便可通过简单估算解决问题.【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂相关指数2R的意义导致判断错误.【难度属性】易.（2）（i）【考查意图】本小题以估算购房金额为载体，考查回归分析、函数等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想、函数与方程思想等.考查学生在复杂的问题情境中获取有用信息分析问题和解决问题的能力.【解法综述】通过散点图确定2018年6月对应的x的取值，代入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解.y x的拟合效果更好，通过散点图确定2018年6月对思路：由（1）的结论知，模型0.95540.0306lny x并利用参考数据即可求出二手房均价的预测值，通过阅应的x的取值为18，代入0.95540.0306ln读税收征收方式对应的图表信息，选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据散点图得到2018年6月对应的x的取值为18，导致2018年6月当月在售二手房均价预测错误；不能从大量复杂的文字和图表中获取有用信息，混淆买方缴纳契税与卖方缴纳的相关税费；不能合理分类导致错误.【难度属性】中.（2）（ii）【考查意图】本小题以估算可购房屋最大面积问题为载体，考查函数与不等式等基础知识，考查运算求解能力及应用意识，考查函数与方程思想等.【解法综述】首先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围，再利用（2）（i）中相应的结论求解.思路：首先通过估算得到，90平方米的购房金额小于100万而100平方米的房款大于100万，从而判断100万可购买的面积在90至100平方米之间，便可利用（2）（i）中相应的结论求解.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会估算出100万可购买房屋的最大面积在90至100平方米之间，导致无从下手；未先估算100万可购买房屋的最大面积所在的范围，根据（2）（i）中的函数解析式逐一计算，使得解题过程繁杂导致计算出错.【难度属性】中.20.（1）【考查意图】本小题以椭圆为载体，考查直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想等.【解法综述】只要掌握直线的方程、椭圆的标准方程及其简单几何性质，能将线段的长度关系转化为向量关系，或利用平面几何知识进行转化，从而得到a ，b ，c 满足的方程，便可求得椭圆的标准方程.思路一：先分别求出直线AB ，CF 的方程，再求得D 的坐标.然后将2BDDA 转化为2BDDA ，得到2ac ，再结合7AB ，便可求得1c，2a，3b ，从而得到椭圆的标准方程为22143xy.思路二：利用椭圆的对称性得到//BG CF ，将2BD DA 转化为2GF FA ，得到2ac ，再结合7AB ，便可求得1c ，2a ，3b ，从而得到椭圆的标准方程为22143xy.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能将2BDDA 转化为2BDDA ，或不能利用椭圆的对称性得到//BG CF ，将2BD DA 转化为2GF FA ，导致无从下手.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以探索性问题为载体，考查椭圆的简单几种性质、直线与圆锥曲线的位置关系、三角形垂心的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.【解法综述】只要能通过假设存在满足题意的直线，根据F 是BMN 的垂心，得到BF MN ，进而确定直线MN 的斜率，由此设出直线MN 的方程并与椭圆方程联立；再根据F 是BMN 的垂心，得到MFBN ，将其转化为0MF BN或1MF BNk k ，并结合韦达定理，便可得到结论.思路：先假设存在满足条件的直线MN ，由垂心的性质可得BFMN ，从而得到直线l 的斜率33k，由此可设l 的方程为33yx m ，11,M x y ，22,N x y ，再将l 的方程与椭圆方程联立得到393933m及128313m x x ，21212313mx x .将MF BN 转化为0MF BN 或1MF BN k k ，即1212130x x y y ，从而求出m 的值，并根据m 的取值范围检验得到结论.【错因分析】考生可能存在的错误有：不能根据F 是BMN 的垂心得到BFMN 及MF BN ，导致无从下手；在消元、化简的过程中计算出错；未检验导致解题不完整等.【难度属性】中.21.（1）【考查意图】本小题以含指数函数的初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等.【解法综述】只要掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则、导数与函数单调性的关系和含参数一元二次不等式的解法，便可解决问题. 思路：求得2'421x f xax ax a e ，对2421u x a x a x a 的符号进行讨论.先讨论0a 的情况，再对0a 的情况结合u x 的图象和判别式进一步分成三种情况进行讨论，即可求解. 【错因分析】考生可能存在的错误有：求导函数出错；求根计算错误或两根大小关系判断错误；分类讨论错误或不完整.【难度属性】中.（2）【考查意图】本小题以不等式证明为载体，考查利用导数研究函数的极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力和创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.【解法综述】只要掌握利用导数研究函数性质的基本思路，具备较强的运算求解能力、推理论证能力和一定的创新意识，并能灵活运用数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，便可解决问题. 思路一：将a 的取值分成1,2，11,27两部分进行讨论，对于1,2a 的情形可直接根据（1）的结论进行证明：对于11,27a 的情形，将所证不等式转化为证明()f x 的最大值12111212x f x ax ax e 小于零，再利用2114210ax ax a 得到211142a xx ，进而得到11121121242x x f x e x x ，通过分析法转化为证明函数2142x g x x e x x 在0,1恒小于零. 思路二：通过变换主元将()f x 改写成关于a 的函数22x a e x x 2x a e ，将求证不等式转化为证明227x e x x20x e ，再利用分析法进一步转化为证明227140x e x x ，然后构造227x g x e x x 140x ，证明g x 的最小值大于零即可. 思路三：同思路一得到11121121242x x f x e x x ，通过分析法转化为求证函数2421x x xg x x e 在0,1恒大于 1.思路四：同思路一得到11121121242x x f x e x x ，通过分析法转化为求证函数2421x x x g x e x 在0,1恒小于零.【错因分析】考生可能存在的错误有：不会对参数a 的取值进行合理分类；不会通过消元将函数最值转化为仅关于极值点的表达式；不能变换主元对问题进行合理转化；不会根据题意构造恰当的函数. 【难度属性】难.22.（1）【考查意图】本小题以直线和圆为载体，考查直线的极坐标方程、参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想. 【解法综述】只要能写出极坐标系中简单图形的极坐标方程，能进行极坐标和直角坐标的互化，能进行参数方程和普通方程的互化，便可解决问题. 思路：首先，结合图形易得直线l 的极坐标为R .其次，先将M 的参数方程化为普通方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式将M 的普通方程化为极坐标方程，便可得到正确答案. 【错因分析】考生可能存在的错误有：极坐标的概念不清晰，在求1l 的极坐标方程时，忽略R 的限制导致错误；直角坐标与极坐标的互化错误. 【难度属性】易. （2）【考查意图】本小题以两点间的距离为载体，考查极坐标的几何意义、韦达定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想. 【解法综述】只要明确极坐标中，的几何意义，并能正确进行三角恒等变换，便可以解决问题. 思路：根据极坐标的几何意义，OA ，OB ，OC ，OD 分别是点A ，B ，C ，D 的极径，从而可利用韦达定理得到：OA OB OC OD 12342cos sin 2cos sin 66，把问题转化为求三角函数的最值问题，易得所求的最大值为223.【错因分析】考生可能存在的错误有：不熟悉极坐标的几何意义，无法将问题转化为A ，B ，C ，D 四点的极径之和；无法由1l ，2l 及M 的极坐标方程得到122cos sin ，342cos sin 66；在求1234的最值时，三角恒等变形出错.【难度属性】中.23.（1）【考查意图】本小题以含绝对值不等式为载体，考查含绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 【解法综述】根据解集特征判断a 的符号，并结合含绝对值不等式的解法，求得33g x 的解集，根据集合相等即可求出a 的值. 思路：先将33g x 转化为32a x ，再根据不等式33g x 的解集为2,4得出0a ，从而得到33g x 的解集为223,3a a ，进而由232234aa 得2a . 【错因分析】考生可能存在的错误有：无法判断a 的符号导致无从入手；不等式33g x 的解集求错；不会根据集合相等求出a 的值.【难度属性】易. （2）【考查意图】本小题以不等式恒成立问题为载体，考查含绝对值不等式、绝对值三角不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等. 【解法综述】通过分离参数将含参数的绝对值不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，或将不等式转化为两个函数图象的位置关系，均能求出a 的取值范围. 思路一：当0x 时，易得f x g x 对任意实数a 成立；当0x时，将f x g x 转化为21x a x ，再通过分段讨论确定函数210x h x x x 的最小值，从而得到a 的取值范围. 思路二：当0x 时，易得f x g x 对任意实数a 成立；当0x时，将f x g x 转化为21x a x ，再利用绝对值三角不等式得到210x h x x x的最小值，从而得到a 的取值范围. 思路三：当0a时，10a x ，20x ，得到21x a x 成立；当0a 时，不等式f x g x 等价于函数2f x x 的图象恒不在函数1g x a x 的图象的下方，从而根据这两个函数图象的位置关系便可得到a 的取值范围. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能通过合理分类简化问题；不会通过分离参数转化问题；无法分段讨论去绝对值或利用绝对值三角不等式确定函数21xh x xx的最小值；不能将不等式转化为两个函数图象的位置关系进行求解. 【难度属性】中.。

2018年福州市高中毕业班质量检测参考答案(理科数学)

(9) 【答案】C．
【解析】由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与半圆锥组合而成的简单组合体．因
1 1 1 为 V四棱柱 = 1 2 2 2 6, V半圆锥 = 12 2 ，所以该几何体的体积为 2 2 3 3
V V四棱柱 V圆锥 6 (10) 【答案】C．

题意，排除 A；故选 C．
(11) 【答案】D．
理科数学参考答案及评分细则第 2 页（共 14 页）
所以 D 与 B1 重合．分别过点 A, B 作 AA1 , BB1 垂直于 l ，【解析】依题意，易证 BD // x 轴，且垂足分别为 A1 , B 1 ，由已知条件 BE 2 BF 得 BE 2 BF 2 BB1 ，所以
(7) 【答案】D．
【解析】根据程序框图的功能，可知判断框内应填 S 1 000 ．由程序框图知，当首次满足 S 1 000 时，已多执行两次“ i i 1 ”，故输出框中应填写“输出 i 2 ”．
(8) 【答案】B．
【解析】可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有 A62 种不同的安排方法；第二步，剩下两个展区各两个人，有 C42 C22 种不同的安排方法；根据分步计数原理，有不同的安排方案的种数为 A62 C42 C22 180 ．
x x2 y 2 1 ，所以 E 的渐近线方程为 y ． 4 2
2 1 i 2 1 i ， z 对应的点为 1,1 ， i 1 i 11 i
（2）C （8）B
（3）B （9）C
（4）B （10）C
（5）D （11）D
（6）A （12）B

2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学答题分析(考前用定稿)

理科数学答题分析第1页共22页2018年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学答题分析1．设集合{}2log 0A x x =<，133x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = A ．{}11x x -<<B ．{}01x x <<C ．{}0x x >D ．R【答案】B ．【考查意图】本小题以集合为载体，考查指数函数、对数函数的图象与性质，集合的运算等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想等．【答题分析】只要掌握指、对数函数的图象与性质，集合的运算等，便可解决问题．解：2log 0x <等价于22log log 1x <，解得01x <<，所以(0,1)A =；133x⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于111x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1x >-，所以(1,)B =-+∞，从而(0,1)A B = ．故选B ．【错因分析】选择A 答案，由于未考虑对数函数的定义域导致求得(,1)A =-∞；选择C 答案，只考虑对数函数的定义域导致出错；选择D 答案，未考虑对数函数的定义域，求得(,1)A =-∞，且将交集运算误认为并集运算．【难度属性】易．2．将函数sin 2y x =的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，则A ．()y f x =的图象关于直线π8x =对称B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()y f x =的图象关于点π(,0)对称D ．()f x 在ππ(,)-单调递增【答案】D ．【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查函数的图象变换及三角函数的图象与性质等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握函数图象变换知识、三角函数的图象与性质，便可解决问题．解：由题意得，()sin f x x =，sin y x =的图象对称轴为直线ππ,x k k =+∈Z ，所以选项A 错误；sin y x =的最小正周期为2πT =，所以选项B 错误；sin y x =的图象对称中心为(π,0),k k ∈Z ，所以选项C 错误；sin y x =的一个单调递增区间为ππ(,22-，ππππ(,)(,)3622-⊆-，所以选项D 正确．故选D ．【错因分析】选择A 答案，把横坐标伸长到原来的2倍与缩短到原来的1混淆，从而得到()sin 4f x x =，求得()f x 的图象的对称轴方程为ππ,48k x k =+∈Z ，导致出错；理科数学答题分析第2页共22页选择B 答案，把横坐标伸长到原来的2倍与缩短到原来的1混淆，从而得到()sin 4f x x =，求得()f x 的最小正周期为π，导致出错；选择C 答案，误以为πsin 02=，或把横坐标伸长到原来的2倍与缩短到原来的12混淆，从而得到()sin 4f x x =，求得()y f x =的图象关于点π(,0)对称，导致出错．【难度属性】易．3．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且12PT AT -=．下列关系中正确的是A．1BP TS RS -= B ．1CQ TP TS += C ．512ES AP BQ --= D ．512AT BQ CR += 【答案】A ．【考查意图】本小题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想等．【答题分析】只要掌握平面向量的概念，平面向量的加法、减法及数乘运算的几何意义，便可解决问题．解：由题意得，51BP TS TE TS SE RS -=-==，所以选项A 正确；12CQ TP PA TP TA ST ++=+== ，所以选项B 错误；12ES AP RC QC RQQB --=-== ，所以选项C 错误；AT BQ SD RD +=+ 12CR RS RD SD -==- ，若12AT BQ CR -+= ，则SD =0 ，不合题意，所以选项D 错误．故选A ．【错因分析】选择B答案，512CQ TP PA TP TA ST ++=+== ，向量方向出错导致错误；选择C 答案，12ES AP RC QC RQ --=-== ，向量方向出错导致错误；选择D 答案，由于向量方向出错导致误得AT BQ DS RD +=+ ，从而错选．【难度属性】易．理科数学答题分析第3页共22页4．已知()()5234560123456221x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则024a a a ++=A ．123B ．91C ．120-D ．152-【答案】D ．【考查意图】本小题以代数恒等式为载体，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握二项式定理，会合理赋值，便可解决问题．解法一：由()()5234560123456221x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，取1x =得，01234563a a a a a a a ++++++=，①取1x =-得，0123456243a a a a a a a -+-+-+=-，②①＋②得，0246120a a a a +++=-，又561232a =⨯=，所以024152a a a ++=-，故选D ．解法二：因为()521x -的展开式的第1r +项515(2)(1)r r r r T C x -+=-，0,1,2,,5r = ，所以5050522(1)2a C =⨯-=-，41432325512(1)22(1)70a C C =⨯-+⨯-=-，23214145512(1)22(1)80a C C =⨯-+⨯-=-，所以024152a a a ++=-，故选D ．【错因分析】选择A 答案，取1x =-后误得()()5221243x x +-=，且未减去6a ，导致错误；选择B 答案，取1x =-后误得()()5221243x x +-=，导致错误；选择C 答案，计算出0246a a a a +++的值后未减去6a ，导致错误．【难度属性】中．5．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为A ．120B ．84C ．56D ．28【答案】B ．【考查意图】本小题以数学文化为载体，考查程序框图等基础知识，考查运算求解能力、应用意识．【答题分析】只要按程序框图逐步执行，便可解决问题．解：按步骤执行程序框图中的循环体，具体如下：1,1,1i n S ===；2,3,4i n S ===；3,6,10i n S ===；4,10,20i n S ===；5,15,35i n S ===；6,21,56i n S ===；7,28,84i n S ===．所以输出84S =．故选B ．【错因分析】选择A 答案，结束循环的条件判断出错，误认为是8i =时结束循环；选择C 答案，结束循环的条件判断出错，误认为是6i =时结束循环；选择D 答案，能正确判断结束循环的条件，但误认为输出的是n 的值．【难度属性】易．理科数学答题分析第4页共22页6．已知函数22()22x f x x x =-+．命题1p ：()y f x =的图象关于点()1,1对称；命题2p ：若2a b <<，则()()f a f b <．则在命题1q ：12p p ∨，2q ：()()12p p ∧ ，3q ：()12p p ∨ 和4q ：()12p p ∧ 中，真命题是A ．13,q qB ．14,q qC ．23,q qD ．24,q q 【答案】B ．【考查意图】本小题以分式函数为载体，考查函数的图象与性质、导数及其应用、逻辑联结词的含义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等．【答题分析】只要掌握逻辑联结词的含义、函数图象的对称性，会利用导数研究函数的单调性，会判断含逻辑联结词的命题的真假，便可解决问题．解法一：因为2222(2)44(2)(2)2(2)222x x x f x x x x x --+-==---+-+，所以22244()(2)222x x x f x f x x x -+++-==-+，故()f x 的图象关于点(1,1)对称，故命题1p 为真命题；因为2(2)f -=，(0)0f =，所以(2)(0)f f ->，故命题2p 为假命题．所以1p 为假命题，2p 为真命题，故12p p ∨，()12p p ∧ 为真命题．故选B ．解法二：因为()()22221()12211x x f x x x x -==+-+-+，所以函数()y f x =的图象可由22()1x g x x =+的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到．因为()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，()g x 的图象关于原点对称，从而()y f x =的图象关于点(1,1)对称，故命题1p 为真命题．因为224'()x x f x -+=-+，令'()0f x >，得02x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0,2)；令'()0f x <，得0x <或2x >，所以()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，(2,)+∞；故命题2p 为假命题．所以1p 为假命题，2p 为真命题，故12p p ∨，()12p p ∧ 为真命题．故选B ．解法三：同解法一可得，命题1p 为真命题；因为当0x ≠时，2221()2211122x f x x x x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()2221h t t t =-+，1t x =，则1t x=在(),0-∞单调递减，当(),0x ∈-∞时，(),0t ∈-∞，又因为()2221h t t t =-+在(),0-∞单调递减，当(),0t ∈-∞时，()()1,h t ∈+∞，所以理科数学答题分析第5页共22页211122y x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(),0-∞单调递增，又因为1y x =在()1,+∞单调递减，所以()f x 在(),0-∞单调递减，故命题2p 为假命题．所以1p 为假命题，2p 为真命题，故12p p ∨，()12p p ∧ 为真命题．故选B ．【错因分析】选择A 答案，对22()22x f x x x =-+的单调性判断出错；含有逻辑联结词命题的真假判断出错；选择C ，对22()22x f x x x =-+图象的对称性判断正确，但对其单调性判断出错；含有逻辑联结词命题的真假判断出错；选择D ，对22()22x f x x x =-+的单调性判断正确，但对其图象的对称性判断错误；含有逻辑联结词命题的真假判断出错．【难度属性】中．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点,M N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为π6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为A ．37.5分钟B ．40.5分钟C ．49.5分钟D ．52.5分钟【答案】A ．【考查意图】本小题以匀速圆周运动为背景，考查任意角三角函数的定义、三角函数的图象与性质等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、应用意识及创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想等．【答题分析】只要掌握任意角三角函数的定义、三角函数的图象与性质等，或结合平面几何知识直观判断，便可解决问题．解法一：设点N 出发后运动的时间为t 分钟，圆O 的半径为1，由三角函数的定义，得πππsin()cos 266N y t =-+=-，因为,M N 间隔3分钟，所以ππ362MON ∠=⨯=，所以ππππsin()sin 2626M y t =-++=，所以ππππsin cos )6664M N t t t y y -=+=+，当πππ2π642t k +=+，即312,2t k k =+∈Z 时，M N y y -取得最大值，故当3k =时，M N y y -第4次取得最大值，此时37.5t =，故选A ．解法二：因为,M N 间隔3分钟，所以ππ362MON ∠=⨯=，理科数学答题分析第6页共22页当M N y y -取得最大值时，MN x ⊥轴，且πPON ∠=，当M N y y -第一次取得最大值时，N 运动的时间为π4 1.5π6=分钟；又质点N 运动一周的时间为2π12π6=分钟，当M N y y -第4次取得最大值时，N 运动的时间为1.512337.5+⨯=分钟．【错因分析】选择B 答案，混淆,M N 的运动时间；选择C 答案，算错M 与N 的纵坐标之差达到最大值的次数；选择D 答案，算错M 与N 的纵坐标之差达到最大值的次数，且混淆,M N 的运动时间．【难度属性】中．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为A ．32π643-B ．648π-C ．16π643-D ．8π643-【答案】C ．【考查意图】本小题以空间几何体为载体，考查三视图，正方体、圆柱、圆锥的体积等基础知识；考查空间想象能力，运算求解能力．【答题分析】只要掌握三视图及正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，便可解决问题.解：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去1个圆锥和14个圆柱所得的几何体，且圆锥的底面半径为2，高为4；圆柱的底面半径为2，高为4，如图．所以该几何体的体积为31116π4(π44π44)64433-⨯⨯+⨯⨯=-．故选C ．【错因分析】选择A 答案，几何体中14个圆锥和14个圆柱误认为是12个圆锥和12个圆柱；选择B 答案，错将截去的14个圆锥部分当作14个圆柱计算或圆锥的体积公式记错；选择D 答案，错将截去的14个圆柱部分当作14个圆锥．【难度属性】中．理科数学答题分析第7页共22页9．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止．若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为A ．3200元B ．3400元C ．3500元D ．3600元【答案】C ．【考查意图】本小题以故障机器检测问题为载体，考查计数原理、排列与组合、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力及应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想等．【答题分析】只要能列出随机变量的所有取值并应用计数原理及排列组合知识计算其对应的概率，理解数学期望的意义，便可解决问题．解法一：设检测机器的台数为ξ，则ξ的所有可能取值为2,3,4．22251(2)10A P A ξ===，11232323353(3)10A C A A P A ξ+===，11212332453(4)5C A A C P A ξ===，所以133234 3.510105E ξ=⨯+⨯+⨯=，故所需检测费用的均值为1000=3500E ξ⨯元．解法二：设检测费为η元，则η的所有可能取值为2000,3000,4000．22251(2000)10A P A η===，11232323353(3000)10A C A A P A η+===，133(4000)1()10105P η==-+=，所以133200030004000350010105E η=⨯+⨯+⨯=，故所需检测费用的均值为3500元．【错因分析】选择A 答案，分布列中随机变量取值对应的概率错为112233453(4)10C A A P A ξ===，313(3)110105P ξ==--=，导致错误；选择B 答案，分布列中随机变量取值对应的概率错为133512(3)5C P C ξ+===，121(4)11052P ξ==--=，导致错误；选择D 答案，计算“需检测的机器为3台”的概率时，考虑不周，漏算“检测出3台无故障机器”情形，导致错误．【难度属性】中．10．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN y ⊥轴于点N ．若四边形CMNF的面积等于7，则E 的方程为A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C ．【考查意图】本小题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程及其简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等．【答题分析】只要掌握抛物线的标准方程及其简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，并根据题意准确作出图形，便可解决问题．理科数学答题分析第8页共22页解法一：由题意，(,0)2p F ，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形CMNF 为梯形，且FC NM ∥，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12122212121221AB y y y y p k y y x x y y p p--====-+-，所以122y y p +=，所以0y p =．作MK x ⊥轴于K ，则MK p =，因为AB 的斜率为1，所以FMK △为等腰直角三角形，故FK KC p ==，所以32p MN OF FK =+=，所以四边形CMNF 的面积为13(2)722p p p ⨯+⨯=，解得2p =，故抛物线的方程为24y x =．故选C ．解法二：由题意，得(,0)2p F ，直线AB 的方程为2p y x =-，四边形CMNF 为梯形，且FC NM ∥，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2220y py p --=，则122y y p +=，所以1202y y y p +==，故(0,)N p ，由2p y x =-，令0y p =，则032p x =，3(,)2p M p ，因为MC AB ⊥，所以1MC AB k k ⋅=-，故1MC k =-，从而直线MC 的方程为52y x p =-+，令0y =，得52C x p =，故(,0)2p C 5，所以四边形CMNF 的面积为13(2)722p p p ⨯+⨯=，解得2p =，故抛物线的方程为24y x =，故选C ．【错因分析】选择A 答案，计算点M 的横坐标时，错求为0123x x x p =+=，得出点M 的坐标(3,)p p ，导致错误；选择B 答案，计算四边形CMNF 的面积出错得到27p ，导致错误；选择D 答案，AB 的中点M 的坐标算错为3(,)22p p ，从而得到四边形CMNF 的面积为2716p ，导致错误．【难度属性】中．理科数学答题分析第9页共22页11．已知,,,A B C D 四点均在以点1O为球心的球面上，且AB AC AD ===，BC BD ==，8BD =．若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最大值为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D ．【考查意图】本小题以球为载体，考查空间几何体、球的性质等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想等．【答题分析】只要通过长度关系，认清以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥的图形特征，正确判断球心1O 的位置，借助方程求出球1O 的半径，直观判断球2O 的位置，便可解决问题．解法一：取CD 的中点O ，连结,AO BO ，如图．因为BC BD ==，8CD =，所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥，故O 为BCD △的外心，因为AC AD ==，所以AO CD ⊥，且2AO =，又因为4OD =，4BO =，所以222AO BO AB +=，故AO OB ⊥，又BO CD O = ，所以AO ⊥平面BCD ，所以1O 在AO 上，连结1O D ，设1O D R =，则1AO R =，12OO R =-，因为1OO DO ⊥，所以22211DO OO O D +=，即2216(2)R R +-=，解得5R =，球2O 的直径最大时，球2O 与平面BCD 相切且与球1O 内切，12,,,A O O O 四点共线，此时球2O 的直径为18R OO +=．解法二：将Rt BCD △补形成正方形ECBD ，如图．易知四棱锥A BCED -为正四棱锥，正方形BDEC 的中心为O ，BO CD ⊥．连结,AO BO ，故O 为BCD △的外心，因为AC AD ==，所以AO CD ⊥，且2AO =，又因为4OD =，4BO =，所以222AO BO AB +=，故AO OB ⊥，又BO CD O = ，所以AO ⊥平面CBDE ，设1O D R =，则1AO R =，12OO R =-，因为1OO DO ⊥，所以22211DO OO O D +=，即2216(2)R R +-=，解得5R =，球2O 的直径最大时，球2O 与平面BCD 相切且与球1O 内切，12,,,A O O O 四点共线，此时球2O 的直径为18R OO +=．【错因分析】选择A 答案，误认为正四棱锥的高就是球2O 的直径的最大值，并将问题错认为是求半径；选择B 答案，误认为正四棱锥的高就是球2O 的直径的最大值；选择C 答案，将问题错认为是求半径．【难度属性】中．12．已知函数()()33f x x a x a =--+()0a ＞在[]1,b -上的值域为[]22,0a --，则b 的取值范围是A ．[]0,3B ．[]0,2C ．[]2,3D ．(]1,3-理科数学答题分析第10页共22页【答案】A ．【考查意图】本题以三次函数为载体，考查导数及其应用等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及创新意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想等．【答题分析】只要将函数3()()3()2f x x a x a a =----的图象作平移变换得到3()3g x x x =-，将条件转化为“当[1,]x a b a ∈---时，()g x 的值域为[2,2]a -”，注意到()g x 的极小值与它在[1,]a b a ---上的最小值相等，然后通过讨论[1,]a b a ---左端点函数值或右端点函数值，求出a 的值，再结合函数图象，由()g x 的值域为[2,2]a -直观判断b a -的取值范围；或直接研究函数()f x 的图象与性质，通过分类讨论确定a 的值，进而根据图象直观判断出b 的取值范围．解法一：将函数3()()3f x x a x a =--+的图象向左平移a 个单位，再向上平移2a 个单位，得到3()3g x x x =-的图象，故条件等价于3()3g x x x =-在[1,]a b a ---的值域为[2,2]a -．2'()333(1)(1)g x x x x =-=+-，所以当(,1)x ∈-∞-或(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，故()g x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞；当(1,1)x ∈-时，'()0g x <，故()g x 的单调递减区间为(1,1)-．又(1)2g -=，(1)2g =-，令()2g x =-，得3320x x -+=，即()()2120x x -+=，2x =-或1x =，因为0a >，所以11a --<-，由图象得，12a ---≥，故01a <≤．①当1a =时，3()3g x x x =-在[2,1]b --的值域为[2,2]-，因为(1)(2)2g a g --=-=-，令()2g x =，得3320x x --=，即()()2120x x +-=，1x =-或2x =，故由图象得112b --≤≤，解得03b ≤≤；②当01a <<时，211a -<--<-，022a <<，所以1b a -<-，又()g x 在(1,)a b a ---单调递增，所以()(1)2g x g a -->-≥，此时与题意矛盾．综上，可知03b ≤≤，故选A ．解法二：因为3()()3f x x a x a =--+，所以2'()3()3f x x a =--，令'()0f x =得，1x a =+或1x a =-，又(1)22f a a +=--，(1)22f a a -=-+，当x 变化时，(),'()f x f x 的变化情况如下表：x (,1)a -∞-1a -(1,1)a a -+1a +(1,)a ++∞'()f x '()0f x >0'()0f x <0'()0f x >()f x 单调递增22a -+单调递减22a --单调递增①若(1)22f a -=--，则32340a a +-=，整理得，2(1)(2)0a a -+=，解得，1a =或2a =-（舍去），此时3()(1)31f x x x =--+，令()4f x =-，解得1x =-或2x =；令()0f x =，解得0x =或3x =，因为()f x 在[1,]b -的值域为[4,0]-，故由图象可得03b ≤≤；②若(1)22f a ->--，因为0a >，所以11a ->-，要使得()f x 在[]1,b -上的值域为[]22,0a --，则1a b +≤，所以[]11,a b -∈-，所以(1)22(1)0f a f a ->--⎧⎨-⎩，≤，理科数学答题分析第11页共22页即3(1)322220a a a a ⎧--++>--⎨-⎩，≤，即2(1)(2)01a a a ⎧-+<⎨⎩，≥，所以a ∈∅．综上，可得03b ≤≤，故选A ．【错因分析】选择B 答案，考虑不周，误认为b 介于极大值点与极小值点之间；选择C 答案，考虑不周，误认为b 介于极小值点与方程()0f x =的最大解之间；选择D 答案，未考虑0x =一定要在定义域内，误认为b 介于方程()4f x =-的最小解与方程()0f x =的最大解之间．【难度属性】难．13．已知复数z 满足(1i)2z z +=-，则2z =______．【答案】4-．【考查意图】本小题以复数相等为载体，考查复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．【答题分析】只要掌握复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数的四则运算，便可解决问题.解法一：设i(,)z a b a b =+∈R ，则由题意得，(i)(1i)(2)i a b a b ++=-+，所以()()i (2)i a b a b a b -++=-+，所以2,,a b a a b b -=-⎧⎨+=⎩解得0,2,a b =⎧⎨=-⎩所以2i z =-，故24z =-．解法二：由(1i)2z z +=-得，()i 2z z z =-+，因为z z +∈R ，所以i z ∈R ，所以z 为纯虚数，所以z z =-，所以i 2z =，即2i z =-，故24z =-．解法三：由(1i)2z z +=-得，(1i)2z z +=-，即()1i 2z z -=+，由()(1i)2,1i 2z z z z+=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩得2i 2iz z =-⎧⎨=⎩，故24z =-．【错因分析】未掌握共轭复数的概念及复数相等的充要条件，复数的运算不熟练，计算出错．【难度属性】易．14．若,x y 满足约束条件40,240,0,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≤≥则2z x y =+的最小值为．【答案】6【考查意图】本小题以简单的线性规划问题为载体，考查二元一次不等式（组）、简单的线性规划等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想等．【答题分析】只要能正确画出二元一次不等式组所表示的平面区域，并理解目标函数的几何意义，便可解决问题．解：如图，作出可行域，由图可知，当动直线2y x z =-+过点A 时，直线2y x z =-+在y 轴上的截距z 最小，由0,40,x y x y -=⎧⎨+-=⎩得(2,2)A ，故当2,2x y ==时，min 6z =．理科数学答题分析第12页共22页【错因分析】二元一次不等式（组）所表示的平面区域判断出错；目标函数对应的动直线的斜率与边界所在直线的斜率的大小比较出错；不作图直接求直线的交点代入求解致错．【难度属性】易．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ．以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于,P Q 两点，APQ △的一个内角为60 ，则C 的离心率为．【答案】43．【考查意图】本小题以圆、双曲线为载体，考查双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．【答题分析】只要由双曲线与圆均关于x 轴对称，得到APQ △为正三角形，由此求出PF ，再设双曲线的左焦点为'F ，利用双曲线的定义求出'PF ，然后在'PFF △中利用余弦定理解决问题；或由APQ △为正三角形，得到点P 的坐标，并代入双曲线的方程便可解决问题．解法一：因为双曲线22221x y a b-=关于x 轴对称，所以APQ △是以PQ 为底边的等腰三角形，又APQ △的一个内角为60 ，故APQ △为等边三角形，且30PAF ∠= ，又FA FP a c ==+，所以120AFP ∠= ，设双曲线的左焦点为'F ，连结'F P ，则'2PF PF a -=，故'3PF a c =+，在'PFF △中，由余弦定理得，222''2'cos120PF FF FP FF FP =+-⋅ ，即222(3)(2)()22()cos120a c c a c c a c +=++-⨯⨯+⨯ ，整理得，22430a ac c +-=，两边同时除以2a 得，2340e e --=，解得43e =或1e =-（舍去），故所求双曲线的离心率为43．解法二：因为双曲线22221x y a b-=关于x 轴对称，所以APQ △是以PQ 为底边的等腰三角形，又APQ △的一个内角为60 ，故APQ △为等边三角形，且30PAF ∠= ，又FA FP a c ==+，所以120AFP ∠= ，故60PFA ∠= ，PF a c =+，所以3(,))22a c P a c ++，因为点P在双曲线上，所以22223()())221a c a c a b++-=，即22222(3)3()144()a c a c a c a ++-=-，整理得，2(13)33144(1)e e e ++-=-，即2340e e --=，解得43e =或1e =-（舍去），故所求双曲线的离心率为43．【错因分析】不会利用双曲线的定义并结合余弦定理得到离心率满足的方程；或将点P理科数学答题分析第13页共22页的坐标代入双曲线的方程时，计算出错等．【难度属性】中．16．在平面四边形ABCD 中，1AB =，AC =BD BC ⊥，2BD BC =，则AD 的最小值为．．【考查意图】本小题以平面四边形为载体，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想等．【答题分析】只要掌握正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，合理选择三角形，建立函数模型，便可解决问题．解法一：设BAC θ∠=，ABD α∠=，则π2ABC α∠=+，在ABC △中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，故26BC θ=-，由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即πsin sin BC AC θα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以cos BC αθ=，在ABD △中，由余弦定理得，2222cos AD AB BD AB BD=+-⋅，又22424BDBC θ==-，且cos 2cos BD BC ααθ==所以2252520sin()AD θθθϕ=--=-+，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=，所以当sin()1θϕ+=，即sin 5θ=，cos 5θ=时，2AD 取最小值5，故min AD =解法二：令22BD BC m ==，ABD θ∠=，则π(0,)2θ∈，π2ABC θ∠=+，在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，又cos sin ABC θ∠=-，所以2512sin m m θ=++，所以24sin 2m m θ-=，cos θ=在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅∠，即2241AD m =+-ABC △12m -<<，设2AD y =，241m x +=，则(25x ∈-，所以y x =-，(25x ∈-，整理得，225(508)43050x y x y -+++=，由22(508)20(4305)0y y ∆=+-+≥得，2502250y y-+≤，解得545y ≤≤，当5y =时，9x =，m=min 5y =，即AD．解法三：以B 为原点，以AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系xOy ，则(1,0)A -，AC =，设)C αα-，BC r =，则可设(cos ,sin )C r r θθ，因为π2CBD ∠=，所以ππ(2cos(),2sin())22D r r θθ++，理科数学答题分析第14页共22页即(2sin ,2cos )D r r θθ-，所以2,22,D C D C x y y x αα⎧=-=-⎪⎨==-⎪⎩所以222(1)2)AD αα=-++-2520sin )αϕ=-(+，其中sin 5ϕ=，cosϕ=，所以当sin()1αϕ+=，即sin 5α=，cos5α=，点C 的坐标为()1,1，点D的坐标为(2,2)-时，2AD 取最小值5，故min AD =解法四：同解法三得到2,22,D C D C x y y x αα⎧=-=-⎪⎨=-=-⎪⎩所以D 在圆E ：()22220x y ++=上，因为(1,0)A -在圆E 内，AE =D 为射线EA 与圆E 的交点时，min AD =．【错因分析】未能合理选择三角形及根据边角关系选择正余弦定理，导致思维受阻．【难度属性】难．17．（12分）各项均为正数的数列{}n a 的首项11a λ=，前n 项和为n S ，且211n n n S S a λ+++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足nn n b a λ=，求{}n b 的前n 项和n T ．第17题（1）【考查意图】本小题以n a 与n S 的关系为载体，考查递推数列、等差数列的定义及通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等．【解法综述】只要掌握n a 与n S 的关系、等差数列的定义及通项公式即可顺利求解．思路：由211n n n S S a λ+++=通过赋值得到：当2n ≥时，21n n n S S a λ-+=．从而当2n ≥时，11n n a a λ+-=，并注意到211a a λ-=，所以{}n a 是首项为1λ，公差为1λ的等差数列，进而求得n n a λ=．【错因分析】考生可能存在的错误有：不会通过赋值由211n n n S S a λ+++=得到()212n n n S S a n λ-+=≥，从而无从求解；或没有注意到2n ≥，思维不严密导致解题不完整．【难度属性】易．第17题（2）【考查意图】本小题以数列求和为载体，考查错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等．【解法综述】只要掌握错位相减法、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式便可顺利求解．思路：因为{}n b 是由等差数列{}n 与等比数列{}1n λ-的对应项的积组成的数列，所以可用错位相减法求和，在解题过程中要注意对λ的取值进行分类讨论．理科数学答题分析第15页共22页【错因分析】考生可能存在的错误有：不懂得根据数列通项的特征选择错位相减法求和，从而无从下手；用错位相减法求和时计算出错；没有对λ的取值进行分类讨论导致解题不完整等．【难度属性】中．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB =，BC =，点E 在线段DC 上，且DE =，现将AED △沿AE 折到AED '△的位置，连结CD '，BD '，如图2．（1）若点P 在线段BC上，且2BP =，证明：AE D P '⊥；（2）记平面AD E '与平面BCD '的交线为l ．若二面角B AE D '--为23π，求l 与平面D CE '所成角的正弦值．图1图2第18题（1）【考查意图】本小题以平面图形的翻折问题为载体，考查直线与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，考查化归与转化思想．【解法综述】只要理清图形翻折前后相关要素的关系，掌握直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的性质，便可解决问题．思路：先在图1中连结DP ，根据tan tan PDC DAE ∠=∠得到90DOA ∠= ，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有,AE OD AE OP '⊥⊥，所以得到AE ⊥平面POD '，进而得到AE ⊥PD '．【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理清图形翻折前后相关要素的关系，未能在图1中作出线段DP ，从而无从下手；由于对直线与平面垂直的判定及性质理解不清导致逻辑混乱．【难度属性】中．第18题（2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查二面角、直线与平面所成角、公理3、直线与平面平行的判定定理与性质定理、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．【解法综述】只要掌握二面角的定义，会正确作出平面AD E '与平面BCD '的交线，或能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将直线l 与平面D CE '所成角转化为平行于l 的直线与平面D CE '所成角，并通过建立适当的空间直角坐标系利用向量方法解决直线与平面所成角的计算问题，便可顺利求解．思路一：延长AE ，BD 交于点Q ，连接D Q '，根据公理3得到直线D Q '即为l ，再根据二面角定义得到2πD OP '∠=．然后在平面POD '内过点O 作OF OP ⊥交D P '于点F ，理科数学答题分析第16页共22页并以O 为原点，分别以OA ，OP ，OF 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面D CE '所成角的正弦值．思路二：分别在AD '，BD '上取点M ，G ，根据线段的长度及位置关系得到CE MG ∥，且CE MG =，从而得到四边形MGCE 为平行四边形，进而证得ME l ∥，将直线l 与平面D CE '所成角转化为直线EM 与平面D CE '所成角．根据二面角定义得到2π3D OP '∠=．然后在平面POD '内过点O 作OF OP ⊥交D P '于点F ，并以O 为原点，分别以OA ，OP ，OF为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得l 与平面D CE '所成角的正弦值．【错因分析】考生可能存在的错误有：无法利用公理3确定直线l 的位置，或不能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将所求角转化为平行于l 的直线与平面D CE '所成角，导致无从下手；不能根据二面角的定义求得2π3D OP '∠=；不能根据题意建立适当的空间直角坐标系；在求解过程中点的坐标或法向量等计算错误．【难度属性】中．19．（12分）如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1—13分别对应2017年1月—2018年1月）根据散点图选择y a =+和ln y c d x =+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为ˆ0.9369y=+ˆ0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：。

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学(理)试题(解析版)

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：解二次不等式得集合A，由集合的运算得阴影部分.详解：由题意，，∴阴影部分为.故选C.2. 已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由诱导公式求得，再由同角关系式求得，最后由二倍角公式得.详解：，∵，∴，∴，故选A.点睛：本题考查的恒等变换，三角函数的诱导公式、同角间的三角函数关系、两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式是解这类题常要用到的公式，需要熟练掌握．另外需要观察“已知角”和“未知角”之间的关系，寻找它们之间的联系，从而确定选用什么公式进行变形、化简．3. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A. 1215B. 135C. 18D. 9【答案】B【解析】分析：由二项式系数和求出指数，再写出展开式通项后可求得常数项．详解：由题意，，∴通项为，令，，∴常数项为，故选B.．点睛：在展开式中二项式系数为，所有项的系数和为．要注意这两个和是不一样的，二项式系数和是固定的，只与指数有关，而所有项系数和还与二项式中的系数有关．4. 执行如图的程序框图，若输出的值为55，则判断框内应填入（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：模拟程序运行，观察变量的值可得结论.详解：程序运行中变量值依次为：；；；；；；；；；，此时应结束循环，条件应为.故选C.点睛：本题考查程序框图中的循环结构，解题时可模拟程序运行，由其中变量值的变化结论.，本题也可由程序得出其数学原理，然后研究得出.本题程序实质是求数列的和：，当为偶数时，，当为奇数时，，计算后可得＝10时，，程序运行后＝11，从而得出判断条件.5. 等边的边长为1，是边的两个三等分点，则等于（）A.B. C. D.【答案】A 【解析】分析：先为基底，把用基底表示后再进行数量积的运算. 详解：由已知，，故选A.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取基底，把其它向量都用基底表示，然后进行计算即可，因此也考查了平面向量基本定理，属于基础题.6. 从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球. 详解：.点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为.7. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：圆面积矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为18000，建筑容积约为340000，估计体育馆建筑高度(单位：)所在区间为（）参考数据:，，，，.A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据所给近似体积公式分别计算时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为，则，若，则；若，则，若，则，，∴，故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，又培养了学生的兴趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题.8. 设满足约束条件且的最大值为8，则的值是（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】分析：作出可行域，作出直线，平移直线可得最优解，由最优解可解值.详解：作出可行域，如图内部（含边界），作出直线，易知向上平移直线时，增大，所以当过点时，取最大值，由得，∴，解得.故选B.点睛：本题考查简单的线性规划问题，其解法如下：作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线得最优解.9. 函数在区间单调递减，在区间上有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式详解：当，，又∵，则，即，，由得，，∴，解得，综上.故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：，增区间：，零点：，对称轴：，对称中心：，.10. 已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：利用导数研究函数的单调性，由指数函数与对数函数的性质得的大小，然后可得结论.详解：，当时，，递减，当时，，递增，∴是的最小值，又，∴且，∴，∴，故选C.点睛：比较函数值的大小，通常是利用函数单调性，象本题这种函数的单调性一般通过导数来研究，11. 抛物线的准线与轴的交点为，直线与交于两点，若，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由抛物线的焦点弦性质知，这个结论必须先证明（可用几何方法也可用代数方法），然后把用直线的倾斜角表示后求出，从而得斜率，还要注意对称性，应该有两解.详解：直线过抛物线的焦点，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义知，又，∴，而，∴∽，∴，即，设直线的倾斜角为，若，则，，，由对称性也有. 故选D.点睛：关于的证明方法还可用代数方程证明：设方程为，代入得，设，则，，∴直线关于轴对称，即，由面积法或角平分线定理得.这实质是任意的抛物线的过焦点的弦的性质之一.12. 已知函数，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最小值是（）A. 2B.C.D.【答案】D【解析】分析：由导数得是增函数，则有且只有一解，因此方程有两解，则有两解，再由与性质可得结论.详解：，当时，，当时，，∴在上恒成立，∴是上的增函数.令，则有且只有一解，则要使方程有两解，只要有两解即可.由于在和上都是增函数，因此当时，有两解，设解为且，则，，，（如图），，，，令，，易知时，，时，，即时取得极小值也是最小值.故选D.点睛：本题考查导数在研究函数中的应用和函数的概念与性质，首先利用导数判断出函数是单调函数，从而方程有且只有一解，因此问题转化为方程有两个解，通过的图象得出两解的范围与表达式及的范围，然后可以把表表示出来，再由导数求出此关于的函数的最小值.本题还考查了逻辑思维能力、转化与化归思想，属于难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知复数满足，则等于__________．【答案】【解析】分析：可先求出，再根据复数模的定义求出模．详解：由题意，则．故答案为．点睛：复数，由，本题也可根据模的性质求解：，．14. 斜率为2的直线被双曲线截得的弦恰被点平分，则的离心率是__________．【答案】【解析】分析：设出弦两端点的坐标，代入双曲线方程后作差可得的关系式，从而求得离心率．详解：设直线的与双曲线的两个交点为，则，两式相减得，即，又由已知，，∴，即，，所以．故答案为．点睛：设斜率为的直线与双曲线交于两点，弦的中点为，则，即．证明方法可用“点差法”．15. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是__________．【答案】2【解析】分析：由三视图还原出几何体，分析结构图即可．详解：如图是原几何体，其在正方体中的位置，正方体棱长为2，则该四面体高的最大值为2.故答案为2.点睛：本题考查由三视图还原几何体问题，解题时必须掌握基本几何体的三视图，再由基本几何体得出一些组合体的三视图．16. 等边的边长为1，点在其外接圆劣弧上，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：引入一个参数，设，利用正弦定理把用表示，这样可把也用表示出来，然后由三角函数的性质可求得最大值．详解：设，则，外接圆半径为，在中，，同理，，，则.当时，的最大值为.点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是建立三角函数的模型，题中点P在劣弧AB上移动，因此选为变量，把面积和表示的函数，结合三角函数知识求得最大值．解决此类问题必须掌握两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、正弦函数的性质、三角形的面积公式等知识，本题同时考查了学生的运算求解能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出，利用成等差数列求出参数，从而可得数列的通项公式；（2）把变形为，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前项和．详解：（1）（法一）由，令，得到∵是等差数列，则，即解得：由于∵，∴（法二）∵是等差数列，公差为，设∴∴对于均成立则，解得，（2）由18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为的中点，.（1）证明:平面平面；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）在直角梯形中，由已知得是等边三角形，这样结合可得，再有，因此有平面，从而可证面面垂直；（2）只要作于点，则可得平面，从而得是中点，，计算得，以为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值．详解：（1）证明：由是直角梯形，，可得从而是等边三角形，，平分∵为的中点，，∴又∵，∴平面∵平面，∴平面平面（2）法一：作于,连,∵平面平面,平面平面∴与平面平面∴为与平面所成的角，，又∵,∴为中点,以为轴建立空间直角坐标系，，设平面的一个法向量，由得，令得，又平面的一个法向量为，设二面角为，则所求二面角的余弦值是.解法二：作于点,连，∵平面平面，平面平面∴平面∴为与平面所成的角,又∵,∴为中点，作于点,连,则平面，则，则为所求二面角的平面角由，得,∴,∴.点睛：在立体几何中求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）常常是建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，由空间向量的夹角与空间角的关系，采用向量法求得空间角．19. 某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如图所示.用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台. 该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）【答案】（1）3.95；（2）见解析【解析】分析：（1）由频率分布直方图求出补贴分别是3万元，4万元，4.5万元的概率，即得概率分布列，然后可计算出平均值；（2）由频数分布表计算出每天需要充电车辆数的分布列，分别计算出两种方案中新设备可主观能动性车辆数，从而得实际充电车辆数的分布列，由分布列可计算出均值，从而计算出日利润．详解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为(万元)（2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为(元）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为(元) 点睛：本题考查统计与概率的相关知识，如频率分布直方图，随机变量的分布列，期望，分布表等，考查数据处理能力，运用数据解决实际问题的能力．20. 椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为的上顶点，的内切圆面积为. （1）求的方程；（2）过的直线交于点，过的直线交于，且，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由离心率得，由圆面积得圆半径，而的面积，一方面等于，另一方面等于，两者相等得，再结合可解得，得椭圆方程；（2）利用可求得两直线交点的轨迹是单位圆，单位圆在椭圆内部，即点M在椭圆内部，因此有，下面分两类求面积，一类是中有一个斜率不存在，求得面积为6，第二类是中斜率都存在，设为，，由直线与椭圆方程联立消元后可得，，同理方程为，得，这样就表示为的函数，变形注意先把作变整体变形，然后用换元变为的函数，最后可求得的范围．详解：（1）设内切圆的半径为，则，得设椭圆的焦距，则，又由题意知，所以，所以，结合及，解得，所以的方程为.（2）设直线的交点为，则由知，点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为.该圆在椭圆内，所以直线的交点在椭圆内，从而四边形面积可表示为.①当直线与坐标轴垂直时，.②当直线与坐标轴不垂直时，设其方程为，设，联立，得，其中，，所以.由直线的方程为，同理可得.所以.令，所以，令，所以，从而.综上所述，四边形面积的取值范围是.点睛：本题以椭圆与直线的位置关系为背景，以椭圆的轨迹方程为主要考查内容，考查观察分析、推理论证、数学运算等数学能力，考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想．对直线与椭圆相交问题，本题中的解法常称为“设而不求”．21. 设函数，.（1）当时，函数有两个极值点，求的取值范围；（2）若在点处的切线与轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）求得导函数，题意说明有两个零点，即有两个解，或直线与函数的有两个交点，可用导数研究的性质（单调性，极值等），再结合图象可得的范围；（2）首先题意说明，从而有且，其次时，恒成立，因此的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出的范围．详解：（1) ）当时，，，所以有两个极值点就是方程有两个解，即与的图像的交点有两个.∵，当时，，单调递增；当时，，单调递减.有极大值又因为时，；当时，.当时与的图像的交点有0个；当或时与的图像的交点有1个；当时与的图象的交点有2个；综上.（2）函数在点处的切线与轴平行，所以且，因为，所以且；在时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当时，恒成立，即，令，∴设，，因为，所以，∴，∴在单调递增，即在单调递增，∴，当且时，，所以在单调递增；∴成立当，因为在单调递增，所以，，所以存在有；当时，，单调递减，所以有，不恒成立；所以实数的取值范围为.点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想．解题时转化的方法有多种多样，第（1）小题人等价转化还可这样转化求解：当时，，，令，①时，，∴在单调递增，不符合题意；②时，令，，∴在单调递增；令，，∴在单调递减；令，∴又因为，，且，所以时，有两个极值点.即与的图像的交点有两个.22. 在直角坐标系中，曲线，曲线(为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）将曲线，曲线消去参数可得普通方程，然后利用即可得的极坐标方程；（2）将分别代入的极坐标方程可得，，，换元后，结合三角函数的有界性，利用二次函数的性质求解即可.详解：（1），∵，故的极坐标方程：.的直角坐标方程：，∵，故的极坐标方程:.（2）直线分别与曲线联立，得到，则，，则，∴令，则所以，即时，有最大值.点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 已知函数，其中.（1）求函数的值域；（2）对于满足的任意实数，关于的不等式恒有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）将函数，写成分段函数形式，判断函数的单调性，利用单调性可得函数的值域；（2）先利用作差法证明，再由，利用基本不等式可得，结合（1）可得，从而可得结果.详解：（1）∵，∴∴故.（2）∵，∴，∵，∴，∴.当且仅当时，，∴关于的不等式恒有解即，故，又，所以.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将“任意实数，关于的不等式恒有解”转化为“”是解题的关键.。

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学(理)试题(含答案)

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}{}260,1,2,3,4A x x x B =--<=，则Venn 图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{}1,2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 2.已知4sin ,025πααπ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是（）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253.若13nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A ．1215B ．135C ．18D ．94.执行如图的程序框图，若输出S 的值为55，则判断框内应填入（）A ．9?n ≥B ．10?n ≥C ．11?n ≥D ．12?n ≥5.等边ABC ∆的边长为1，,D E 是边BC 的两个三等分点，则AD AE ⋅等于（）A ．1318 B ．34 C ．13D ．326.从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）A ．15B ．14C ．13D ．127.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：21212S ⨯⨯=⨯弦矢+矢.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：12V =⨯圆面积⨯矢312+⨯矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为180002m ，建筑容积约为3400003m ，估计体育馆建筑高度(单位：m )所在区间为（）参考数据: 3321800032608768+⨯=，3341800034651304+⨯=，3361800036694656+⨯=， 3381800038738872+⨯=，3401800040784000+⨯=.A ．()32,34B ．()34,36C ．()36,38D ．()38,40 8.设,x y 满足约束条件0,20,0,x y x y a x -≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩且3z x y =+的最大值为8，则a 的值是（）A ．16-B ．6-C ．2-D ．29.函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知函数()x a x a f x e e --+=+，若33log a b c ==，则（） A ．()()()f a f b f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f a f c f b << D ．()()()f c f b f a <<11.抛物线2:4E y x =的准线与x 轴的交点为K ，直线():1l y k x =-与E 交于,A B 两点，若:3:1A K B K =，则实数k 的值是（）A ．33±B ．1±C ．2±D ．3± 12.已知函数()3sin f x x x =+，()()11,0,2ln 1,0,x x g x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩若关于x 的方程()()0f g x m +=有两个不等实根12,x x ，且12x x <，则21x x -的最小值是（）A ．2B ．3ln 22-C ．4ln 23- D ．3ln2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知复数z 满足()31i z i -=，则z 等于．14.斜率为2的直线l 被双曲线2222:10,0()x y C a b a b -=>>截得的弦恰被点()2,1M 平分，则C 的离心率是．15.某四面体的三视图如图所示，则该四面体高的最大值是．16.等边ABC ∆的边长为1，点P 在其外接圆劣弧AB 上，则PAB PBC S S ∆∆+的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 满足()212,n n a n n k k R +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设214n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，,3,22AB BC AB BC AD ⊥===，E 为CD 的中点，PB AE ⊥.（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若,PB PD PC =与平面ABCD 所成的角为4π，求二面角B PD C --的余弦值. 19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R ，得到频率分布直方图如图所示. 用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台. 该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润=日收入-日维护费用）20.椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 为E 的上顶点，12F PF ∆的内切圆面积为3π. （1）求E 的方程；（2）过1F 的直线1l 交E 于点,A C ，过2F 的直线2l 交E 于,B D ，且12l l ⊥，求四边形ABCD 面积的取值范围. 21.设函数()()2ln 1f x x x ax b x =-+-，()x g x e ex =-. （1）当0b =时，函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（2）若()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且函数()()()h x f x g x =+在()1,x ∈+∞时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与12,C C 交于异于极点的,A B 两点，求OB OA的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x x a =--+，其中0a >. （1）求函数()f x 的值域；（2）对于满足221b c bc ++=的任意实数,b c ，关于x 的不等式()()3f x b c ≥+恒有解，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABCA 6-10: DBBCC 11、12：DD二、填空题13.22 14.2 15. 2 16.12三、解答题17. 解：（1）（法一）由()212n n a n n k +=++，令1,2,3n =，得到12331021,,234k k ka a a +++===∵{}n a 是等差数列，则2132a a a =+，即202321324k k k+++=+解得：1k =-由于()()()2121211n n a n n n n +=+-=-+ ∵10n +≠，∴21n a n =-（法二）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，设()()111n a a d n dn a d =+-=+- ∴()()()211111n n a n dn a d dn a n a d +=++-=++- ∴22112dn a n a d n n k ++-=++对于*n N ∀∈均成立则1121d a a d k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1k =-，21n a n =- （2）由()()2222214441121214141n n n n n n b a a n n n n +====+-+-- ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭11111111111111112323525722121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112335572121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭2222121n n nn n n +=+=++ 18.（1）证明：由ABCD 是直角梯形，3,22AB BC AD ===，可得2,,23DC BCD BD π=∠==从而BCD ∆是等边三角形，3BCD π∠=，BD 平分ADC ∠∵E 为CD 的中点，1DE AD ==，∴BD AE ⊥ 又∵,PB AE PB BD B ⊥⋂=，∴AE ⊥平面PBD ∵AE ⊂平面ABCD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD （2）法一：作PO BD ⊥于O ,连OC ,∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ⋂平面ABCD BD = ∴PO ⊥与平面平面ABCD∴PCO ∠为PC 与平面ABCD 所成的角，4PCO π∠=，又∵PB PD =,∴O 为BD 中点,,3OC BD OP OC ⊥== 以,,OB OC OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()()()()1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,3B C D P - ()()0,3,3,1,0,3PC PD =-=--，设平面PCD 的一个法向量(),,n x y z =，由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得33030y z x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令1z =得()3,1,1n =-，又平面PBD 的一个法向量为()0,1,0m =，设二面角B PD C --为θ，则15cos 551n m n mθ⋅===⨯⋅ 所求二面角B PD C --的余弦值是55. 解法二：作PO BD ⊥于点O ,连OC ，∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ⋂平面ABCD BD = ∴PO ⊥ 平面ABCD∴PCO ∠为PC 与平面ABCD 所成的角4PCO π∠=,又∵PB PD =,∴O 为BD 中点，,3OC BD OP OC ⊥== 作OH PD ⊥于点H ,连CH ,则PD ⊥平面CHO ，则PD HC ⊥，则CHO ∠为所求二面角B PD C --的平面角由3OC =，得32OH =,∴152CH =,∴5cos 5CHO ∠=. 19.（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为30.240.5 4.50.3 3.95⨯+⨯+⨯=(万元) （2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为3010049006600⨯+⨯=(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案一下新设备产生的日利润均值为()2560000.26600.85001008090040000⨯⨯+⨯-⨯-⨯=0(元）若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为 3020044007600⨯+⨯=(辆）可得实际充电车辆数的分布列如下表：于是方案二下新设备产生的日利润均值为 2560000.270000.376000.55002008040045500()⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=(元) 20.解：（1）设12F PF ∆内切圆的半径为r ，则23r ππ=，得33r =设椭圆E 的焦距122F F c =，则()12122F PF S c b bc ∆=⋅⋅=，又由题意知122PF PF a +=，所以()12121212F PF S PF PF F F r ∆=⋅++⋅=()()13322233a c a c ⋅+⋅=+，所以()33a c bc +=，结合2ce a==及222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，所以E 的方程为22143x y +=.（2）设直线,AC BD 的交点为M ，则由12MF MF ⊥知，点M 的轨迹是以线段12F F 为直径的圆，其方程为221x y +=.该圆在椭圆E 内，所以直线,AC BD 的交点M 在椭圆E 内，从而四边形ABCD 面积可表示为12S AC BD =⋅⋅. ①当直线AC 与坐标轴垂直时，12S AC BD =⋅⋅22122262b a b a =⋅⋅==.②当直线AC 与坐标轴不垂直时，设其方程为()10x ty t =-≠，设()()1122,,,A x y C x y ，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，其中()()()()222643491441t t t ∆=--⨯+⨯-=+，12122269,3434t y y y y t t -+==++，所以()()()222121221211434t AC t y y y y t +⎡⎤=++-=⎣⎦+.由直线BD 的方程为11x y t =-+，同理可得()2222112112143134t t BD t t ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 所以()()()()()222222221211217211234433443t t t S t t t t +++=⋅⋅=++++()()()2222721311411t t t +=⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦()()()222222227217211121111211t t t t t +==⎛⎫+++--++ ⎪++⎝⎭.令()21,0,11m m t =∈+，所以222211121211m m t t ⎛⎫-++=-++ ⎪++⎝⎭，令()()212,0,1g m m m m =-++∈，所以()4912,4g m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，从而288,649S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 综上所述，四边形ABCD 面积的取值范围是288,649⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.解：法一：（1）当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-，令()ln 2p x x ax =-，()1122ax p x a x x-'=-= ①(],0a ∈-∞时，()0p x '>，∴()p x 在()0,+∞单调递增，不符合题意；②()0,a ∈+∞时，令()0p x '>，10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()p x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；令()0p x '<，1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，∴()p x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；令1ln 2102p a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，∴10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又因为()120p a =-<，22111ln 0442p a a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且211124a a <<，所以10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2ln f x x x ax x =--有两个极值点. 即2y a =与()ln x m x x=的图像的交点有两个. 法二：（1) ）当0b =时，()2ln f x x x ax x =--，()ln 2f x x ax '=-，所以()2ln f x x x ax x =--有两个极值点就是方程ln 20x ax -=有两个解，即2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有两个. ∵()21ln x m x x-'=，当()0,x e ∈时，()0m x '>，()m x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减.()m x 有极大值1e又因为(]0,1x ∈时，()0m x ≤；当()1,x ∈+∞时，()102m x e<<. 当1,2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图像的交点有0个；当(],0a ∈-∞或12a e =时2y a =与()ln x m x x=的图像的交点有1个；当10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时2y a =与()ln x m x x =的图象的交点有2个；综上10,2a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，所以()10f '=且()10f ≠，因为()ln 2f x x ax b '=-+，所以2b a =且1a ≠；()()2ln 1x h x x x ax b x e ex =-+-+-在()1,x ∈+∞时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x >时，()()()0h x f x g x '''=+>恒成立，即ln 220x x e ax a e +-+->，令()ln 22x t x x e ax a e =+-+-，∴()12x t x e a x '=+- 设()12x x e a x ϕ=+-，()21x x e x ϕ'=-，因为1x >，所以21,1x e e x><，∴()0x ϕ'>， ∴()x ϕ在()1,+∞单调递增，即()t x '在()1,+∞单调递增，∴()()112t x t e a ''>=+-，当12e a +≤且1a ≠时，()0t x '≥，所以()ln 22x t x x e ax a e =+-+-在()1,+∞单调递增；∴()()10t x t >=成立当12e a +>，因为()t x '在()1,+∞单调递增，所以()1120t e a '=+-<，()1ln 2220ln 2t a a a a'=+->，所以存在()01,ln 2x a ∈有()00t x '=；当()01,x x ∈时，()0t x '<，()h x 单调递减，所以有()()010t x t <=，()0t x >不恒成立；所以实数a 的取值范围为()1,11,2e +⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 22.解：（1）221:44C x y +=，∵cos ,sin x y ρθρθ==，故1C 的极坐标方程：()223sin 14ρθ+=.2C 的直角坐标方程：()2224x y -+=， ∵cos ,sin x y ρθρθ==，故2C 的极坐标方程:4cos ρθ=.（2）直线l 分别与曲线12,C C 联立，得到()223sin 14ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则2243sin 1OA α=+， 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则2216cos OB α=， ∴()22224cos 3sin 1OBOA αα=+()()2244sin 3sin 1αα=-+令2sin t α=，则()()22244311284OBt t t t OA =-+=-++所以13t =，即3sin 3α=±时，OB OA 有最大值433. 23.解：（1）∵0a >，∴2a -<∴()2,22,22,2a x a f x x a a x a a +≤-⎧⎪=--+-<<⎨⎪--≥⎩故()[]2,2f x a a ∈--+.（2）∵()221024b c bc b c +⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，∴22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∵()21b c bc +=+，∴()2212b c b c +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，∴223333b c -≤+≤. 当且仅当33b c ==时，()max 233b c +=，∴()max 323b c +=⎡⎤⎣⎦ 关于x 的不等式()()3f x b c +恒有解()()max max 3f x b c ⇔≥+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 即223a +≥，故232a ≥-，又0a >，所以232a ≥-.。

福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列一(解析几何)

20
直线与抛物线的位置关系问题 .
22
同理科 .
一、存在的问题及原因分析：
（一）对解析几何的学科地位认识模糊，在学科内跨分支应用的意识不强不能简单地以“一大二小”认识解析几何在试卷中所占的分值比重。如：坐标系与参数方程选考题，也是解几题；线性规划试题，内涵本质就是解几题；平面向量问题、立几中空间坐标系下的坐标法、向量法，本质上也是立体几何。还有融合在函数与导数等试题中进行考查的许多试题，或体现解几知识在解决非解几题中的应用，或体现为解几思想方法在其它分支中的渗透。
直线与圆的位置关系问题 .
16
线性规划的应用问题 .
20
直线与抛物线的位置关系问题 .
23
同理科 .
5
直线与双曲线的位置关系问题 .
7
线性规划 ——截距型 .
12
椭圆与圆的位置关系问题 .
20
直线与抛物线的位置关系问题 .
22
同理科 .
4
椭圆性质 ——求离心率 .
14
线性规划 ——截距型 .
15
直线与圆的位置关系问题 .
14
圆与椭圆的位置关系问题 .
15
线性规划 ——斜率型 .
20
抛物线的切线问题，几何条件恒成立下的定点探究问题
.
23
直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系
.
5
双曲线的性质
10
圆与抛物线的性质 .
16
线性规划的应用问题 .
20
圆的性质、求椭圆的方程（定义法），直线与椭圆的位置关系问题 .
23
参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用
第（ 2）问，尽管可能有多种不同的呈现形式，但总离不开直线与圆和圆锥曲线的位置关系这一本质的模

2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十四章14.2第1课时含解析

第1课时绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式｜x|〈a与｜x｜〉a的解集：不等式a>0a＝0a〈0|x｜<a （－a，a)∅∅|x｜〉a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞,0）∪（0,＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b｜≥c(c〉0)型不等式的解法：①|ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；（3）|x－a|＋｜x－b｜≥c（c〉0)和|x－a｜＋|x－b|≤c（c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质（1)如果a，b是实数，则｜a｜－｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋|b｜,当且仅当ab≥0时，等号成立．（2）如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b｜＋｜b－c|，当且仅当(a－b)(b－c）≥0时，等号成立．1．（2015·山东改编)解不等式|x－1|－|x－5｜〈2的解集．解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)〈2，∴－4〈2，不等式恒成立，∴x≤1。

②当1〈x〈5时，原不等式可化为x－1－(5－x）<2，∴x<4,∴1<x〈4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为（－∞，4)．2．若存在实数x使｜x－a｜＋|x－1｜≤3成立，求实数a的取值范围．解∵|x－a｜＋|x－1｜≥|（x－a）－（x－1）｜＝｜a－1｜，要使|x－a|＋｜x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3,∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋错误!a＋2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．解设y＝｜2x－1|＋|x＋2｜＝错误!当x〈－2时,y＝－3x－1>5；当－2≤x〈错误!时，5≥y＝－x＋3〉错误!;当x≥错误!时，y＝3x＋1≥错误!,故函数y＝｜2x－1｜＋|x＋2|的最小值为错误!。

2018年高中毕业班教学质量检查理数试题含答案

福建省龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题第I 卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•11-若集合 A={y|y=x 3} , B={x y = l n （x —1）}，则 A“B =（）A. [1,-- ） B . （0,1）C. （1厂）D. （_：：,1）2. 已知纯虚数z 满足（1 -2i ）z =1 ai ，则实数a 等于（）1 1 A.B .C. -2D . 22223. 在等差数列{a n }中，已知是函数f （x ）二x -4x 3的两个零点，贝U {a n }的前9项和等于（） A. -18B . 9C. 18 D . 364.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）5. 下列关于命题的说法错误的是（）A.命题“若x 2 -3x • 2 =0，则x =2 ”的逆否命题为“若A. 31 C.-2D.x = 2，贝U x 2 -3x 2 = 0 ”;BB. “ a =2 ”是“函数f（x） =log a x在区间（0,上为增函数”的充分不必要条件;若命题 p: n N , 2n 1000，则—p: -n N , 2n1000 ；7.已知向量OA 与OB 的夹角为60°，且|OA|=3, |OB^2，若OC ^mOA nOB ,寸），若二取3,其体积为13.5 （立方寸），则图中的X 为（（第8邈图）A. 2.4 B . 1.8 C . 1.6 D . 1.2X -1 I9.设不等式组 x - y 乞0，表示的平面区域为 M ，若直线y 二kx - 2上存在M 内的点，则x y 空4实数k 的取值范围是（）A [1,3]B .（」：,1]U 【3,二）C. [2,5]D.（」：,2山[5,二）10.已知三棱锥P - ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中ABC 是正三角形，PA —平面 ABC , PA =2AB =2.3，则该球的表面积为（） A. 8 二B . 16二C. 32二D. 36■:J52211.已知离心率为 —的双曲线C : ~ 1（a 0, b 0）的c.D. 命题"-.X 三（- ：：,0） , 2X ：：：3x ”是假命题. 6.（x -1）（x 2）6的展开式中 4X 的系数为（A. 100 B . 15 C.-35 D . -220OC_AB ，则实数m 的值为n1 B.—41 A.-68•中国古代数学著《九章算术》 C. 6 D . 4中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位:左、右焦点分别为F2, M2 a2b2是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM _MF2, O为坐标原点，若S.p M F2 =16，则双曲线C的实轴长是( )A. 32 B . 16 C . 8 D . 412.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点(一1,0)中心对称，其导函数f'(x)，当X ::：-1 时，(x • 1)[f (x) (x 1)f '(x)] < 0，则不等式xf (x -1) • f (0)的解集为( ) A. (1,」;) B. (_：：,_1) C. (—1,1) D.(-：：,第u卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)―313. 设v为钝角，若sin(八§)，则COST的值为 ____________ .14. 过抛物线C : y2 = 4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B，若AF = 4BF ，贝U直线I的斜率是_______ .15.已知各项不为零的数列｛a n｝的前n项的和为S n，且满足S n「a n -1，若｛a n｝为递增数列，贝y ■的取值范围为__________ .216.若实数a, b, C, d 满足2a g = 3C ~2=1，则(a - c)2■ (b - d)2的最小值b d三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知f(x) 2 x sin x cos x -(1 )求f(x)的单调增区间;(2)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若A为锐角且f(A) ,b，c = 4，2求a的取值范围.18.如图，在梯形ABCD 中，AB // CD，AD = DC =CB = 2，Z ABC =60°，平面ACEF —平面ABCD，四边形ACEF是菱形，• CAF =60。

解析几何备考关键问题指导

福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列一统计与概率（福建省高三毕业班复习教学指导组，执笔：林少安）统计与概率在高考考查中一般有一道选择题或填空题、一道解答题，共2道题，分值为17分．高考对这一部分的考查难度相对稳定，选择、填空题为容易题, 解答题为中等难度题．选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置，解答题在前三题的位置．选择、填空题常考古典概型、几何概型（理科时而考查对立事件、相互独立事件概率及独立重复试验的概率）；解答题以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图等五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．一、存在的问题及原因分析1．概念理解不透本专题中，概念理解不到位的有事件、模型的判断等；容易混淆的概念有互斥事件与对立事件、超几何分布与二项分布、二项展开式的通项公式1y n r r r n T C a b -+=与n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-等．【例1】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取l 只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【解析】（Ⅰ）设1ξ、2ξ已分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则方案甲中1ξ的分布列为方案乙中2的分布列为[][]1212212221(1)(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)P P P P P P P P P P P ξξξξξξξξξξ==⨯=+=⨯=+=+==+=+=+=131322=0+(0)(0)0.72555555⨯++⨯+++=． (Ⅱ)3212()1023 2.4555E ξ=⨯+⨯+⨯==．【评析】本题易错的主要原因是对事件不清．对于方案甲，患有疾病的一只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，学生对事件不清，易误认为化验次数的可能取值是1，2，3，4，5，且1(1)(2)(3)(4)(5)2P P P P P ξξξξξ==========．事实上，若前4次化验为阴性，第5次不需再化验即知最后一只是患病动物，所以化验次数只能取l ，2，3，4．类似地，对于方案乙，第一次化验呈阳性，再化验3只中的前2只呈阴性后也不需再化验，或第一次化验呈阴性，再化验另外2只中的第l 只呈阴性或阳性后也不需再化验，即ξ只能取2，3．在解决问题时，要理清事件，求随机变量的分布列时，要弄清随机变量可能取到的每一个值以及取每一个值时所表示的意义，然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率，从而求出分布列．2．审题析题不到位审题析题不清是本专题解答错误的主要原因，主要包括题意不清，茫然作答；阅读肤浅，丢失信息；条件欠缺，鲁莽下笔；图形不准，缺乏严密；方向不明，目标模糊等情况．审题不清的最主要原因在于学生的阅读理解能力欠缺．【例2】（2017年全国卷Ⅰ理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（Ⅰ）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得161116i i x x ==∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.09≈．【解析】（Ⅰ）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B ，因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈，X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=．（Ⅱ）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97,μσ=的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-= 因此μ的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134i i x==⨯+⨯≈∑,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ0.09≈．【评析】面对试题中冗长的文字表述，学生方寸大乱，不知所措，从而失去读题、解题信心；没有形成通读全题的习惯，未能发现试题所附相关公式；未能根据试题提供的相关公式，提取零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026；未能准确把握较长问句“生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况”的关键词等，导致回答问题含混不清、词不达意．3．读图识图能力弱学生面对一堆数据无从下手，主要原因是对数据、图表的直观印象和积累储备的知识经验不够；没有形成“用数据说话”的统计观念；对抽象数据的数字特征理解不到位．【例3】（2016年全国卷Ⅲ理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均最高气温高于20C ︒的月份有5个【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可知七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均气温高于20C ︒的月份只有7、8两个月，D 错误．【评析】解答本题错误主要是读图识图能力弱，对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；其次,不会从图表中读取有用数据并进行判断；第三,估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．知识缺漏较严重，特别是“冷门知识”缺失从学生认知的方面看，学生对相关的概念、公式理解掌握不到位，知识缺漏较严重，如对正态分布、条件概率等概念不清楚．另一方面由于老师淡化章节阅读与思考、实习作业等教学，导致学生忽视了相关“冷门知识”的学习，如相关系数等．【例4】（2012年课标Ⅰ文3）在一组样本数据11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y （2n ≥，1x ，2x ,…，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点(,)i i x y (1,2,i n =⋅⋅⋅)都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（）（A ）1- (B)0 (C)12(D) 1 【评析】错误的原因在于学生对相关系数这一概念不清楚，导致无从下手．全国Ⅰ卷在2014年及2017年理科均考查到正态分布、2015年文理科考查非线性回归转化线性回归、2012年及2017年文科均考查相关系数等，这个问题应值得引起我们关注．在复学过程中，应关注阅读与思考、实习作业等教学，应注意对学生的认知进行补缺补漏，如正态分布、条件概率、相关系数、残差图、拟合效果等知识．5．解题规范性较差涉及本专题内容的考查，学生失误和失分最多的是会而不对、对而不全和全而不准，如不能用字母表示事件，导致在利用简单事件表示复杂事件书写混乱；解答过程缺失关键步骤，丢三落四，导致丢分等．【例5】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】(Ⅰ)设A 表示事件“三种粽子各取到l 个”，则由古典概型的概率计算公式有1112353101()4C C C P A C ==．（Ⅱ）X 的所有可能值为0,1,2，则383107(X 0)15C P C ===，12283107(X 1)15C C P C ===，21283101(2)15C C P X C ===，所以X 的分布列为故()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=个．【评析】从解题规范方面看，学生常出现错误有，没有用字母表示事件，即缺少“设A 表示事件‘三种粽子各取到l 个’”这一步骤；直接写出1()4P A =，过程没写出来，应写为1112353101()4C C C P A C ==，一但答案错误，就失去过程分数；忽视“X 的所有可能值为0,1,2”，导致丢分等．6. 运算能力弱运算求解能力主要是指会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.本专题中，学生运算能力弱主要体现在不能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，不能根据要求对数据进行估计和近似计算.【例6】（2017年全国卷Ⅰ文19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（Ⅰ）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()ni ix x y y r --=∑0.09≈．【评析】从运算方面看，学生不懂从0.212s ==≈中解出16221()160.212i i x x =-=⨯∑；不懂根据保留小数点后两位的要求，采用放缩方法判断是否满足||0.25r <；不会由9.97x =和0.212s ≈计算出区间(3,3)x s x s -+的端点值606.10,334.9；计算151115i i x x ==∑时，不懂得先做相反数相消处理或各项统一分离10后转化为15'111015i i x x ==+∑计算；计算15'1115i i x x ==∑时,不懂得转化为1613115ii x x x =-=∑，再利用16119.9716i i x x ===∑简化运算；计算222222221[0.070.10.060.060.010.10.0415s =++++++ 22220.020.240.110.11+++++222200.020.030.07]++++0.008130.008=≈，不懂得各项统一提取20.01的技巧；计算222221[160.212169.979.221510.02]15s =⨯+⨯--⨯时，不懂得在保证精确度要求的前提下作近似处理以简化运算.二、解决问题的思考与对策1．关注统计图表的教学高考试卷的解答题往往以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．复习过程中，应充分利用五个样本频率分布图表，让学生会图表中读取有用数据，或根据问题需要选择合适图表，依据统计学中的方法对数据进行分析，作出合理的决策．【例７】【2015年全国卷Ⅱ文、理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图．以下结论不正确的是（）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【解析】对于A 选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，正确；对于B 选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，正确；对于C 选项，由图知，从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降，C 正确；由图知，2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 错误．2．关注样本数字特征的含义在复习中，应关注众数、中位数、平均数（期望）、方差与标准差有的含义，并能根据解决问题的需2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年要选择合理的数字特征说明问题．【例8】【2014年课标卷Ⅱ文19】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【解析】（Ⅰ）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为6668672+=，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为50.150=，80.1650=，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16．（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分)3. 厘清事件及其概率复习过程中，应厘清事件间的关系，准确计算相关事件的概率．特别要求学生能将复杂事件进行分解，先分解为互斥事件，每个互斥事件又分解为两个相互独立事件的积事件．【例9】（2013年全国卷Ⅰ理19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果3n=，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n=，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率；(Ⅱ)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．【解析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=． (Ⅱ)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14，所以X 的分布列为EX ＝111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25． 4．关注概率模型的识别与应用复习过程中，应关注概率模型的识别与应用，一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词，厘清各种概率模型及适用范围．如超几何分布和二项分布是教材中两个重要概率分布，二项分布与超几何分布的区别为，二项分布是有放回的抽样，每做一次事件，事件A 发生的概率是相同的；超几何分布是不放回的抽样，每做一次事件，事件A 发生的概率是不相同的．【例10】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为合格产品的数量，求X 的分布列和数学期望()E X ； (Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．【解析】（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.0450.0750.0550.8⨯+⨯+⨯=．所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为400.832⨯=．则X 可能的取值为0，1，2，所以()2824070195C P X C ===；()11832240641195C C P X C ===；()2322401242195C P X C ===，因此X 的分布列为故X 数学期望7641243128()0121951951951955E X =⨯+⨯+⨯==． (Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为40.85=，所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为223144855125P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 5．关注用样本估计总体的思想分析解决问题复习过程中，应让学生掌握，为了考察一个总体的情况，在统计中通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况．这种估计大体分为两类：用样本的频率分布估计总体的分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征．其次，“预测与决策”与人们的生活休戚相关．随着社会的不断进步，人们对许多实际问题会有多种解决方案，但哪种方案最有利于解决问题，需要进行科学的决策．而通过期望、方差等的计算，并进行大小比较，就是其中的一种科学预测与决策的手段．【例11】【2016年课标Ⅰ理19】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？【解析】（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ；16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ； 24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ；08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ；04.02.02.0)22(=⨯==X P . 所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19.（Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+. 当20=n 时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .6．关注“冷门”知识的复习高考是对高中阶段学习结果的大检阅，统计与概率的考查，在突出核心知识考查的同时，也关注知识点的覆盖面．因此，在复习教学中，要全面检索高中阶段的所有知识，特别是不能忽视对所谓的“冷门知识”的复习，如正态分布、条件概率、相关系数、残差图、拟合效果等．【例12】【2015年课标Ⅰ理18】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (1,2,,8i =⋅⋅⋅)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(Ⅰ)根据散点图判断，y a bx =+y哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,),,u v ⋅⋅⋅(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分【解析】(Ⅰ)适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (Ⅱ)，先建立y 关于w 的线性回归方程．，c y w β=- 所以y 关于w 的线性回归方程为100.668y w =+，因此y 关于x 的回归方程为 (Ⅲ) （i ）由(Ⅱ)知，当49x =时，年销售量y 的预报值年利润的预报值0.2576.64966.32z =⨯-=．②根据(Ⅱ)的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.6z = ，即46.24x =时，z 取得最大值． 7．加强阅读理解能力培养与训练统计与概率进一步强化应用意识的考查，已成高考命题改革的必然趋势，试卷试题文字阅读量的逐年增加，或成高考试卷的发展趋势．复习中，应规范教学的阅读指导．应该呈现读题提取关键信息、析题形成解题思路、解题示范规范表达、反思积淀解题经验的“四步曲”完整过程，才能充分发挥解题教学的效益．其次，加强平时的阅读训练．需要适当增加平时作业习题的阅读量，尤其是应用性试题的读题训练，提高学生的阅读理解能力及应试心态．【例13】【2014年课标Ⅰ理18】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ．(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．12.2．若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．【解析】(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=，（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =⨯=．8．规范答题表达形式规范答题，一方面，思考问题要规范．也就是从知识的源头出发，弄清知识的来龙去脉．知识是怎么要求的，就怎么想、怎么用、怎么写，不能模棱两可，要会运用知识进行思考；另一方面，书写要规范．书写规范是一个重要的高考增分点，这一点应引起足够重视．如解题中应注意用字母表示事件，注意作答等．【例14】（2015年全国卷Ⅱ理18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”；1B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”；2B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122()()B A B A C C C C C =，1122()(()())B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+，由所给数据得1212,,,A A B B C C C C 发生的频率分别为164108,,,20202020，故1212164108(),(),(),()20202020A AB B PC P C P C P C ====，所以164108()0.4820202020P C =⨯⨯⨯=．三、典型问题剖析典型一：关注统计图表应用【例15】（2014年课标Ⅰ卷文18）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【解析】：（Ⅰ）（Ⅱ）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．质量指标值的样本方差为()()()()22222200.06100.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=．(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定．【评析】本题主要考查考查频数分布表、频率分布直方图、平均数、标准差以及概率．在能力层面上，。

【备考指导】福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列12——数学(理科)适应性练习(一)

福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列12——数学(理科)适应性练习（一）（满分：150分考试时间：120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|(2)(1)0}A x x x =-+<，{|B x y ==，则A B =UA ．RB ．(,1]-∞C ．(,2)-∞D ．(,1](2,)-∞+∞U2.设复数z 满足2(1i)(1i)z +=-，则z =A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i - 3.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且27S S =,6k S S =（6k ≠），则k =A ．2B ．3C ．4D ．54.已知函数23log 3,0()1(),02x x f x f x x +⎧>⎪=⎨+⎪⎩…，则()2018f -= A ．13B ．3C ．19D ．95.如图1，直线EF 将矩形纸ABCD 分为两个直角梯形ABFE 和CDEF ，将梯形CDEF 沿边EF 翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE 和平面CDEF 不重合）下面说法正确的是 A ．存在某一位置，使得CD ∥平面ABFE B ．存在某一位置，使得DE ⊥平面ABFEC ．在翻折的过程中，BF ∥平面ADE 恒成立D ．在翻折的过程中，BF ⊥平面CDEF 恒成立6.设向量,a b 满足22==a b 且231+=a b ，则向量a 在向量b 方向的投影为ACDEF2图ACDEF1图A ．2-B ．1-C ．1D ．27.已知函数()ππcos 2828x x f x ωω⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0ω>）的部分图象如图所示，EFG △是正三角形，为了得到()π4g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象A ．向左平移π2个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度8.给出下列说法：①对于独立性检验，2K 的观测值越大，说明两个分类变量之间的关系越强；②以模型e kx y c =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3；③某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则高一学生被抽到的概率最大；④通过回归直线y bx a =+及回归系数b ，可以精确反映变量的取值和变化趋势．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49.如图，网格纸上小正方形的边长为1，根据图中三视图，求得该几何体的表面积为 A ．14π B ．15π C ．16πD ．17π10.已知双曲线22221(,0)-=>x y a b a b，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BFAB=，则双曲线的离心率为AB C D ．211.某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U,V ,W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ,b ,c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 A ．U →V →WB ．V →W →UC ．W →U →VD ．U →W →V12.设1n n c q -=，n T 是{}n c 的前n 项和．若{}n c 是递增数列，且对任意*n ∈N ，存在*m ∈Ν，使得10m n m n T c T c +--…．则q 的取值范围是A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()1,2D ．[)2,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 (13)～(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知直线l 为抛物线24y x =的准线，则点()1,4A 到l 的距离为． 14．210(2018)()x y x y +-展开式中65x y 的系数为．15．已知点(,)x y 满足21,27,235,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………则yx 的取值范围为．16．设函数()2322f x x ax =-（0a >）与()2ln g x a x b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为()1s i n s i n s i n 2c a A b Bc C+-．（1）求C ；（2）若D 为AB 中点，且2c =，求CD 的最大值．18．（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角P CE D --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为23，且经过点52,3⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆E 的方程.（2）过点3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭且不与坐标轴垂直的直线l 交E 于点,M N ，点P 是直线6=x 上的任意一点，证明：,,PM PA PN 的斜率成等差数列．20．(本题满分12分)某企业2018年招聘员工，其中A ，B ，C ，D ，E 五种岗位的应聘人数、录用人数和EDBCA P录用比例（精确到1%）如下：（2）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）表中A ，B ，C ，D ，E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）21．(本题满分12分)已知函数1()ln af x a x x x-=-++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设223()e 2e x mx g x -+=-，当2e 1a =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使21()()g x f x …，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：,9x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 交于A ,B 两点，点P 的坐标为(0,9)，求11||||PA PB +． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()=-f x x a ．（1）若1=a ，求不等式的(2)(1)2f x f x -+…解集；（2）若(2)2f x x -…的解集为R ，求a 的取值范围．福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列12——数学(理科)适应性练习（一）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1.C 【解析】依题意，()(]1,2,,1A B =-=-∞，所以A B =U (,2)-∞．2.B 【解析】()()21i 2i 1i 2i 1i 1i1i 2z ----====--++，故z =1i -+．3.B 【解析】解法一：由27S S =得，1176272a d a d ⨯+=+，故14a d =-．因为6k S S =，所以()11165622k k a d ka d -⨯+=+，所以()1241542k k d d kd d --+=-+，整理得，29180k k -+=，解得3k =，或6k =（舍去）．解法二：()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，对应的函数()2122d d f x x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象是一条抛物线．因为27S S =，所以()f x 关于272x +=对称，因为6k S S =，所以6922k +=，解得3k =． 4.D 【解析】()2018f -=213log 2213392f +⎛⎫=== ⎪⎝⎭．5.C 【解析】对于选项A ，若CD ∥平面ABFE ，则由CD ⊂平面CDEF ，平面CDEF平面ABFE EF =，可得CD EF ∥，与已知矛盾，故CD 与平面ABFE 不平行；类似地，可推得选项B 、D 错误；对于选项C ，因为,BF AE AE ⊂∥平面,ADE BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．6.A 【解析】由已知，()22223491225121+=++⋅=+⋅=a b a b a b a b ，所以2⋅=-a b ，所以向量a 在向量b 方向的投影为2a b b⋅=-．7.C 【解析】()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故Ey 因为EFG △是正三角形，所以2T FG ==2，所以2ππ2T ω==，所以()πππ1,2422f x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x=ππ24x ⎛⎫+=⎪⎝⎭π122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．所以为了得到()g x 的图象，只需将()f x 的图象向左平移1个单位长度．8.B 【解析】2K 的观测值越大，两个分类变量无关的概率越小，则两个分类变量之间的关系越强，①对；设ln z y =，则()ln e ln kxz c kx c ==+，所以0.3,ln 4k c ==，故4e c =，②对；在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率均为18400300200++，③错；回归直线是对一组数据的拟合，是一种估计，④错． 9.C 【解析】该几何体是由一半径为2的34个大球与一半径为1的14个小球拼接而成的．其表面积为234π24⨯⨯+214π14⨯⨯+2211π2π1222⎛⎫⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭16π． 10.C 【解析】不妨设l 与渐近线by x a=平行，设右焦点F 的坐标为(),0c ，则l 的方程为()b y x c a =-，由(),,b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得,2,2c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即,22c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为2BF AB =，所以23FA FB =，故()2,,322B B c bc x c y a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，解得2,33bc B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得，22224199c c a a -=，故23e =，即e ． 11.A 【解析】不妨设1,2,3a b c ===，则U→V →W “相对等待时间”之和为11212+++123932++=；V →W →U “相对等待时间”之和为223231262313+++++=；W →U →V “相对等待时间”之和为3313128312+++++=；U →W →V “相对等待时间”之和为113132161323+++++=．所以使三项任务“相对等待时间”之和最小的是U →V →W ．12.D 【解析】因为{}n c 是递增数列，所以1q >，则11nn q T q-=-．所以1n mn c T c +剟，即111mn n q q q q---剟．当1q >时，()1111n m n qq q q --⎡⎤-+<⎢⎥⎣⎦…()11n n q q q ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．两边同时取对数得：1111log [(1)]log [(1)]q q n nn q m n q qq --+-+<+-+…，记()f x =1l o g [(1)]q xq q -+，1x …，则1(1)()n f n m n f n -+-<+…，下面分析函数(1),()f n f n -的取值范围：显然1q >时，()f x 为减函数，因此()()(0f f x f +∞<…，即l o g (1)()q q f x -<…，①当2q …时，l o g (1)0q q -…，因此总有0()(1)1f n f n <<-…，此时1(1)11,()0,n f n n n f n n -+--+⎧⎨+>+⎩…因此总存在m n=符合条件，使得1n -+(1)f n -…()n m n f n =<+成立，②当12q <<时，log (1)0q q -<，根据零点存在定理，并结合()f x 的单减性可知：存在唯一正整数k 使得()0(1)f k f k <-…，此时1(1)1,(),k f k k k f k k -+->-⎧⎨+⎩…，即11(1k k f k m k f k k -<-+-<+剟，显然不存在满足条件的正整数m ，综上：2q …．另解：取2q =验证符合条件即可．事实上，即证且对任意*n ∈N ，存在*m ∈Ν使得1122212mn n ---剟成立，即12212n m n --剟，易知，总存在m n =符合条件．故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.6516．【解析】抛物线24y x =，即214x y =的准线方程为116y =-，故点()1,4A 到l 的距离为16541616+=． 14.210．【解析】()()()()1010102220182018x x y x y x y y x y +--+-=，考查()10x y -的展开式的第1k +项()10110kk kk T C xy -+=-，其中64x y 的系数为()66101210C -=，但不含45x y 项．所以210(2018)()x y x y +-展开式中65x y 的系数为210．15.13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】作出可行域如图所示．由图可知，当目标函数y k x =，即y kx =经过点()4,1A -时，min 14k =-；经过()2,3B 时，max 32k =．所以yx 的取值范围为13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．16.212e．【解析】()()232,a f x x a g x x ''=-=，设公共点坐标为()00,x y （00x >），则20032a x a x -=，解得0x a =，或03a x =-（舍去）．由()()00f x g x =得，22322a a -=2ln a a b +，故21ln 2b a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．令()21ln 2h x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()2112ln 2h x x x x x⎛⎫'=-+-⋅ ⎪⎝⎭()2ln 1x x =-+．当10e x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1ex >时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()2max 11e 2eh x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本题满分12分)解法一：（1）依题意得，()11sin sin sin sin 22ab C c a A b B c C =+-， ······················· 1分由正弦定理得，()222abc c a b c =+-，即222a b c ab +-=， ································· 3分由余弦定理得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， ················································· 5分又因为()0,πC ∈，所以π3C =． ····································································· 6分（2）在ACD △中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，即2212cos b CD CD ADC =+-∠，在BCD △中，2222cos BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠，即2212cos a CD CD BDC =+-∠． ············ 7分因为πADC BDC ∠+∠=，所以cos cos ADC BDC ∠=-∠，所以()222112CD a b =+-． ·········································································· 9分由（1）及2c =得，()2222142a b ab a b +-=+…，所以()22142a b +…，所以()2221132CD a b =+-…，即CD … ·················································· 10分当且仅当2a b ==时，等号成立． ······························································· 11分所以CD ·········································································· 12分解法二：（1）同解法一． ············································································· 6分因为222,a b c ab +-=2c =，所以22424ab a b ab =+--…，即4ab …． ················· 7分因为D 为AB 中点，所以()12CD CA CB =+，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅， ···························································· 9分 ()2214b a ab =++ ()1424ab =+ ()14834+=…， ··········································································· 10分当且仅当2a b ==时，等号成立． ······························································· 11分所以CD·········································································· 12分 18.（本小题满分12分）（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接,OF EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ，且12OF PA =，因为DEPA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =． ······················· 1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以ODEF ，即BDEF ． ···················· 2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ． ··············································· 4分因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ． ··················································· 5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ································· 6分（2）因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45o ，所以45PCA ∠=o ，所以2AC PA ==． ····················································· 7分所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．则()0,02P ，，)0C，，()0,21E ，，()0,20D ，，()3,1,2,PC=-(),CE =()0,0,1DE =．········································································································ 9分设平面PCE 的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n uu u rg uuu r g即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 令11y =，则11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ． ··············································· 10分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uuu ruu u r 即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m ． · 11分cos ,⋅===⋅n m n m n m ，设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos θ=，即二面角P CED --的余弦值为． ························ 12分 19.（本小题满分12分）【解析】（1）椭圆E 离心率为23，可得23=c a ，则23=c a ，222259=-=b a c a ， ···································································· 2分故椭圆E 方程为2222159+=x y a a ， ····································································· 3分将点5(2,)3代入，可得29=a ，从而25=b ， ····················································· 4分椭圆E 标准方程为22195+=x y . ···································································· 5分（2）设直线l 斜率为k ，可得l 方程为3()2=-y k x ， ········································· 6分设M 、N 坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，将3()2=-y k x 与椭圆方程联立，得221953()2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y k x ，消去y 并化简，可得2222(3620)108180108+--+=k x k x k ， ································ 8分则12221083620+=+k k x x ，2122180813620+=-+k k x x . ······················································ 9分设P 点坐标为(6,)t ，则1121213()4226696----+-=+-=---PM PN PA t k x t y t y t k k k x x x 223()4269--+--t k x t x 121212(3615154)(92)18(6)(6)--+-=--x x x x k t x x ， ····································· 10分注意到12361515--+x x 22122210818081362036436154200-+=-⨯+⨯++=k k k k x x ，从而20+-=PM PN PA k k k ，由此可得,,PM PA PN k k k 成等差数列. ····························· 12分20. (本题满分12分)【解析】（1）因为表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =． ······ 3分（2）X 可能的取值为0,1,2． ······································································· 4分因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， ············· 5分所以2226C 1(0)C 15P X ===；112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===． ··········································································································· [ 8分] 所以 X 的分布列为：1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=． ····························································· [10分] （3）这四种岗位是：B ，C ，D ，E ． ····················································· [13分]21．(本题满分12分)【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，又221(1)(1)()1a a x x a f x x x x ---+'=-++=，令0()f x '=.得1x =或1x a =-. ······································································ 2分当1a …，则10a -…，由()0f x '<得01x <<，由()0f x '>得1x >，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ········································ 3分当12a <<，则011a <-<，由()0f x '<得11a x -<<，由()0f x '>得01x a <<-或1x >，函数()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)a -和(1,)+∞上单调递增. ······················· 4分当2a =，则11a -=，可得()0f x '…，此时函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. ··························································· 5分当2a >时，则11a ->，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-，函数()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)和(1,)a -+∞上单调递增. ····················· 6分（2）当2e 1a =+时，由（1）得函数()f x 在2(1,e )上单调递减，在(0,1)和2(e ,)+∞上单调递增，从而()f x 在[1,)+∞上的最小值为22(e )e 3f =--. ·············································· 7分对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使21()()g x f x …，即存在2[1,)x ∈+∞，2()g x 函数值不超过()f x 在区间[1,)+∞上的最小值2e 3--. ····· 8分由2222e e e 33x mx +----…得22e e x mx +…，22e e xm x -…. 记22e e ()xp x x -=，则当[1,)x ∈+∞时，max ()m p x …. ······································· 10分 232222e 2(e )e 2(e )()e e ()x x x x p x x x x x x---'=-+=-，当[1,2]x ∈，显然有2e e 2(e )0x x x -+>，当(2,)x ∈+∞，2e 2(e )e e 0e 2x x x x x x >--+>，故()p x 在区间[1,)+∞上单调递减，得2max ()e e )(1p x p ==-，从而m 的取值范围为2(,e e]-∞-. ······························································· 12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）曲线1C 的极坐标方程为8sin ρθ=，即28sin ρρθ=，由此得228x y y +=，曲线1C 的直角坐标方程为22(4)16x y +-=. ······················· 3分曲线2C参数方程为,9x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，可得92y x -=，即290x y -+=. ······ 5分（2）显然点P 在直线2C 上，将直线2C的参数方程为,9x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， ············································ 6分将其代入22(4)16x y +-=中并化简，得290t ++=.设点A 对应参数为1t ，点B 对应参数为2t，则12t t +=-129t t =， ················· 8分从而12121212121111||||()||||||||||||t t t t PA PB t t t t t t +-+-+=+==. ································· 10分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）若1=a ，()1=-f x x ，则(2)(1)2f x f x -+…即21||2x x --…. ······· 1分当0x …时，原不等式等价于(21)2x x --+…，解得1x -…. ································ 2分当102<<x 时，原不等式等价于(21)2x x ---…，解得13x -…，结合102<<x 知此时原不等式无解. ······························································· 3分当12x …时，原不等式等价于212x x --…，解得3x …. ···································· 4分综上，可得原不等式的解集为(,1][3,)-∞-+∞. ·············································· 5分（2）(2)2f x x -…即22x a x -+…，可得22x a x -+…或2(2)x a x --+…. ·························································· 7分由22x a x -+…解得2x a +…，由2(2)x a x --+…解得23a x -…， ································································ 8分要使得(2)2f x x -…的解集为R ，则223a a -+…， ········································· 9分解之可得4a -…，故a 的取值范围为(,4]-∞-. ········································································· 10分。

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查数学(理)试题 Word版含解析

福建省厦门市2018届高中毕业班第二次质量检查试题数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集是（）【答案】C【解析】分析：解二次不等式得集合A，由集合的运算得阴影部分.故选C.2. ）B. C.【答案】A，∴，故选A.点睛：本题考查的恒等变换，三角函数的诱导公式、同角间的三角函数关系、两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式是解这类题常要用到的公式，需要熟练掌握．另外需要观察“已知角”和“未知角”之间的关系，寻找它们之间的联系，从而确定选用什么公式进行变形、化简．3. 64，则展开式中的常数项是（）A. 1215B. 135C. 18D. 9【答案】B，故选B.．关．4. 55，则判断框内应填入（）【答案】C【解析】分析：模拟程序运行，观察变量的值可得结论.故选C.点睛：本题考查程序框图中的循环结构，解题时可模拟程序运行，由其中变量值的变化结论.，本题也可由程序得出其数学原理，然后研究得出.本题程序实质是求数列的和：为奇数时，10＝11，从而得出判断条件.5. 1的两个三等分点，则）【答案】A.，故选A.点睛：本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取基底，把其它向量都用基底表示，然后进行计算即可，因此也考查了平面向量基本定理，属于基础题.6. 从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）【答案】D【解析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，7. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图 2)近似体积公式：球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为建筑容积约为估计体育馆建筑高度(所在区间为（）参考数据【答案】B.，则，若故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似公式，即吸引了学生的眼球，又培养了学生的兴趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题.8. 8，则的值是（）C. D. 2【答案】B.点时，取最大值，由故选B.点睛：本题考查简单的线性规划问题，其解法如下：作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线得最优解.9. 单调递减，在区间范围是（）C. D.【答案】C【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式得，，解得，综上.故选C.10. 已知函数，若）【答案】C【解析】分析：然后可得结论.详解：时，时，增，∴是的最小值，故选C.点睛：比较函数值的大小，通常是利用函数单调性，象本题这种函数的单调性一般通过导数来研究，11. 轴的交点为）C. D.【答案】D用代数方法），用直线的倾斜角表示后求出从而得斜率，还要注意对称性，应该有两解.详解：的准线故选D.，设。

福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列(不等式选讲)

福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列之不等式选讲福建省高三毕业班复习教学指导组，施晓剑执笔整理不等式选讲为高考选考内容之一。

一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目，主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。

一、存在的问题及原因分析（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例题1】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数4)(2++-=ax x x f ，11)(-++=x x x g ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；【解析】（Ⅰ）当1=a 时，)()(x g x f ≥等价于2411x x x x -++≥++- ①.当1-<x 时，①等价于0432≤--x x ，此时不等式无解；当11≤≤-x 时，①等价于022≤--x x ，从而11≤≤-x ；当1>x 时，①等价于042≤-+x x ，从而21711+-≤<x . 所以()()f x g x ≥解集1x x ⎧⎪-<≤⎨⎪⎪⎩⎭.【评析】本题主要的易错点在于分类后的“整合”.其一是“整合”错误，误以为得到解集为所分类各不等式解集的交集.另一是没有进行“整合”，认为解集为三种情况：当1-<x 时，原不等式的解集为{}41≤≤-x x ；当11≤≤-x 时，原不等式的解集为{}21≤≤-x x ；当1>x 时，原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≤--21712171x x ，错因在于与因参数对解集的影响而分类讨论的问题混淆，对解绝对值不等式的基本原理认识不到位所致.（二）不能对条件进行正确的等价转化【例题2】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-，求a 的取值范围．【解析】（Ⅱ）不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-等价于)()(x g x f ≥在]1,1[-上恒成立，即242x ax -++≥在]1,1[-恒成立，即220x ax --≤在]1,1[-恒成立，所以()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解得11a -≤≤，故a 取值范围是]1,1[-．【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、函数图像与性质等基础知识. 解答中的主要问题在于题意的理解与问题的等价转化. 不能将条件“不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-”等价转化为“不等式)()(x g x f ≥在]1,1[-上恒成立”的问题来处理，反映出学生对于解集的概念理解还不透彻，导致对“解集包含]1,1[-”的含义不理解.【例题3】（2017高考全国Ⅲ卷23）已知函数21)(--+=x x x f . （Ⅱ）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围.【解析】（Ⅱ）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即 2max [()]f x x x m -+≥设2()()g x f x x x =-+由已知得 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，22111()3()(1)524=-+-=---≤-=-g x x x x g ，当21<<-x 时，22355()31()244=-+-=--+≤g x x x x ，当2≥x 时，1)2(413)21(3)(22=≤+--=++-=g x x x x g ，综上述得45)(max =x g ，故m 的取值范围为]45,(-∞. 【评析】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为max ()f x ≥)2f x x x m ≥-+解集非空，忽略了右边的代数式也是随着x 的变化而变化，左右两边的x 表示的是同一个数；错点二，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为“min ()m g x ≤”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在x 使得不等式()2f x x x m ≥-+成立，等价于存在x 使得不等式212x x x x m +---+≥成立，等价于2max (12)x x x x m +---+≥即可.（三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法.【例题3】（2017高考全国Ⅱ卷23）已知2,0,033=+>>b a b a ，证明：（Ⅰ）4))((55≥++b a b a ；（Ⅱ）2≤+b a ．【解析】（Ⅰ）655655))((b b a ab a b a b a +++=++()()a b a b ab a b =+-++233334424)(4222≥-+=b a ab（Ⅱ）因为33223()33a b a a b ab b +=+++()()()()ab a b a b a b a b =+≤=+2323+3+3+2++244所以()3+8≤a b ，因此a+b ≤2.【评析】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路.（四）知识掌握不到位，无法优选算法化简求解过程【例题4】（2014高考全国Ⅱ卷24）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；【解析】法一：因为0a >，所以12,11(),112.x a x a a f x ax a aa x a x a a ⎧+-≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩当x a ≥时，1()2f x x a a =+-为增函数，所以1()()2f x f a a a≥=+≥，当1x a a -<<时，1()2f x a a=+≥，当1x a ≤-时，1()2f x x a a =--+为减函数，所以11()()2f x f a a a≥-=+≥ 综上述得()2f x ≥成立.法二：因为111x x a x a x a a a a++-=++-≥+，又0a >所以1()2f x a a≥+≥. 【评析】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解.二、解决问题的思考与对策（一）强化绝对值不等式的求解训练高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握零点分段法解绝对值不等式的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注.【例题5】（2007年高考全国课标卷24）设函数()214f x x x =+--．（I ）解不等式()2f x >；【解析】（Ⅰ）1521()334254x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩，，，，，．≤≥当12x ≤-时，原不等式可化为52x -->，解得7x <-，此时原不等式的解是7x <-；当142x -<<时，原不等式可化为332x ->，解得53x >，此时原不等式的解是543x <<；当4x ≥时，原不等式可化为52x +>，解得3x >-，此时原不等式的解是4x ≥；综上可知，原不等式的解集为5(,7)(,)3-∞-+∞U（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力.不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例题6】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【解析】（II ）不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-等价于()()f x g x ≥在[]1,1-上恒成立，即242x ax -++≥在[]11-，恒成立．即220x ax --≤在[]11-，恒成立．则只须()()2211201120a a ⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解得11a -≤≤．故a 取值范围是[]11-，．【变式一】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．若存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围．【解析】存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f x g x ≥成立，等价于存在]1,1[-∈x 使得不等式242x ax -++≥成立，即存在]1,1[-∈x 使得220x ax --≤，等价于]1,1[-∈x 时0)2(min 2≤--ax x .所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤≤-0481212a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-->02112a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-<02112a a 解得22≤≤-a 或2>a 或2-<a 所以满足条件的a 的取值范围是R .【变式二】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．是否存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-，若存在，求a 的取值范围；若不存在说明理由．【解析】由242x ax -++≥的解集为[]1,1-，即220x ax --≤的解集为[]1,1-，得220x ax --=的两根为-1,1，即⎩⎨⎧=--=-+021021a a 方程无解，所以不存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-.（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注.【例题7】（2014高考全国课标Ⅰ卷24)若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （Ⅰ）求33b a +的最小值；（Ⅱ）是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由.11a b =+≥,得2ab ≥,且当a b ==,故33332b a b a ≥+,且当a b ==,∴33a b +的最小值为.（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b ,使得236a b +=成立. 【例题8】已知函数()21f x x =-，x R ∈. （Ⅰ）解不等式()1f x x <+；（Ⅱ）若对于x ，y R ∈，有113x y --≤，1216y +≤求证：()1f x <. 【解析】（Ⅰ）()1f x x <+等价于|21|1x x -<+，即210211x x x -⎧⎨-<+⎩≥或210121x x x -<⎧⎨-<+⎩求得02x <<，故不等式()1f x x <+的解集为(0,2)．（Ⅱ）1|1|3x y --≤Q ，1|21|6y +≤， ∴()|21|f x x =-=|2(1)(21)|x y y --++|2(1)||21|x y y --++≤112136⋅+<≤ 三、典型问题剖析（一）含绝对值不等式的求解【例题9】【2013课标全国Ⅰ，文24】已知函数()|21||2|,() 3.f x x x a g x x =-++=+ （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()g()f x x <的解集；（Ⅱ）设1a >-，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）法一：当2a =-时，()g()f x x <等价于|21||22|3x x x -+-<+ ①. 当12x ≤时，①等价于21223x x x -+-+<+，从而102x <≤；当112x <≤时，①等价于21223x x x --+<+，从而112x <≤；当1x >时，①等价于21223x x x -+-<+，从而12x <<；综上述知，原不等式的解集为{|02}.x x <<法二：当2a =-时，不等式()g()f x x <化为|21||22|30.x x x -+---< 设函数y |21||22|3x x x =-+---，则15,,212,1,236, 1.x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，0y <.所以原不等式的解集是{|02}.x x <<（Ⅱ）当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()1f x a =+. 不等式()g()f x x <化为13a x +≤+. 所以2x a >+对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故22a a -≥-，即43a ≤，从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【评析】对于含绝对值的不等式的求解方法一般采用零点分段法，其解题步骤大致为：①求零点；②分区间、去绝对值号；③分别解各区间上所得不等式；④取所得结果的并集. 注意在分段时不要遗漏区间的端点值．也可以采用图像法，通过作出函数图像，利用数形结合的思想求解.【例题10】2016课标1卷已知函数321)(--+=x x x f . （Ⅰ）在右图中画出)(x f y =的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集. 【解析】（Ⅰ）4,1,3()32,1,234 2.x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩)(x f y =的图像如图所示.（Ⅱ）由()f x 的表达式及图像，当()1f x =时，可得x =1或x =3；当()1f x =-时，可得13x =或5x =，故()1f x >的解集为{}13x x <<；()1f x <-的解集为153x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或所以1)(>x f 的解集为11353x x x x ⎧⎫<<<>⎨⎬⎩⎭或或.【评析】本题的关键在于能准确作出函数的图像才能通过图像判断不等式的解集. （二）给定条件，求参数的取值范围【例题11】(2012高考全国课标卷24)已知函数()2f x x a x =++- （Ⅰ）当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围。

【备考指导】福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列15——数学(文科)适应性练习(二)

福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列15——数学(文科)适应性练习（二）（满分：150分考试时间：120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，集合{}2,4B =，则集合()U C A B =A ．{}4B ．{}2,3,4,5C ．{}3,5D ．{}2,3,52. 在复平面内，设复数1z ，2z 对应的点关于虚轴对称，112z i =+（i 是虚数单位），则12z z = A ．5 B ．5-C ．14i --D ．14i -+3. 在区间[3,5]-上随机地取一个数x ，若x 满足(0)x m m ≤>的概率为78，则m 的值等于 A ．72B ．3C ．4D ．2- 4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．1B ．2C ．3D ．45.在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅= A．．2 C．3D6．已知变量x ，y 满足约束条⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥-4211y x y x y x ，则 y x z +=3的最大值为A. 2B.6C. 8D. 117. 已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图像大致为8. 函数()1sin 2cos 2633f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）ABDA ．13 B ． 23 C. 1 D ．439. 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（） A ．336 B ．509 C ．1326 D ．360310. 已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题： ① 若,m m αβ⊥⊂,则αβ⊥ ② 若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β,则α∥β③ 若,m n αα⊂⊄,且,m n 是异面直线，则n 与α相交 ④ 若,m n αβ=∥m ，且,n n αβ⊄⊄, 则n ∥α且n ∥β.其中正确的命题是A. ①②B. ②③C. ①④D.②④11. 已知抛物线px y C 2:2=（0>p ），焦点为F ，直线x y =与抛物线C 交于A O 、两点（O 为坐标原点），过F 作直线OA 的平行线交抛物线C 于D B 、两点（其中B 在第一象限），直线AB 与直线OD 交于点E ，若OEF ∆的面积等于1，则p = A.1- B.12-C.2-D.32- 12．对0x ∀>，不等式ln 2ax ex x≥-+恒成立，则实数a 的取值范围为 A ．2(,)e-∞-B ．(,2)e -∞-C ．2(,]e-∞-D ．(,2]e -∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数log (),,(=,,211311-<⎧⎨-≥⎩）xx x f x x ，若()1f x =-，则x = ▲ ． 14．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，过其中一个焦点分别作两条渐近线的垂线段，两条垂线段的和为a ，则双曲线的离心率为 ▲ ．15. 已知正四面体ABCD 的棱长为O 的球面上，过棱AB 的中点M 作球O的截面，则截面面积的最小值为 ▲ .16.已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. （12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =，8c =.（1）若点M ，N 是线段BC 的两个三等分点，13BM BC =，AN BM=AM 的值；（2）若12b =，求ABC ∆的面积.18. （12分）已知空间几何体ABCDE 中，BCD ∆与CDE ∆均为边长为2的等边三角形，ABC ∆为腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .（Ⅰ）试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出详细证明；（Ⅱ）求三棱锥E ABC -的体积. 19. （12分）某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响. 下面是以往公司对该产品的宣传费用x (单位：万元)和产品营业额y (单位：万元)的统计折线图.(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用x 与产品营业额y 的关系，请用相关系数加以说明； (Ⅱ)建立产品营业额y 关于宣传费用x 的归方程；(Ⅲ)若某段时间内产品利润z 与宣传费x 和营业额y 的关系为50)08.001.1(+--=x y x z 应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润. (计算结果保留两位小数) 参考数据：7137.28i i y ==∑， 5.33y =，71160.68i i i x y ==∑2.2=2.64≈参考公式：相关系数，∑∑∑===----=n i ni iini iiy y x x y y x x r 11221)()())((，回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为x b y a x x y y x x b ni ini ii^^121^,)())((-=---=∑∑==20. （12分）如图，圆22:4O x y +=，(2,0),(2,0)A B -，D 为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线分别交直线2x = 和2x =-于,E F 两点，连,AF BE 交于点G ，若点G 形成的轨迹为曲线C . （1）记,AF BE 斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值并求曲线C 的方程； (2)过左焦点作直线交椭圆于两点（异于左右顶点），求的内切圆半径的最大值．21.（12分）已知函数,)(a x ae x f x --= 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数. （1）讨论函数)(x f 的单调性;（2）若)(x f 恰有2个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A . （1）写出曲线1C 的极坐标方程和线段OA 的长；（2）已知点B 在曲线2C 上，直线OB 交1C 于点D .若512AOB π∠=，求ABD ∆的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()f x x x a =++.（1）若不等式()21f x a ≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +，求实数,a b 的值.福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列15——数学(文科)适应性练习（二）详细解析12560 1．解析：画出韦恩图可得A2．解析：有iz iz 21,2121+-=+=可得514221-=-=⋅i z z ，选B ； 3．解析: 由7)3(,8)3(5=--=--m 可得4=m ，选C ； 4．解析：运算第一次12123,23211=-==+=b a ，运算第二次23125,25231=-==+=b a ，运算第三次25234,42325=-==+=b a ，结束，选D ； 5．解析：BAC DAC ∠=∠=⋅，sin 3sin ∠=∠=BD B 6取得最大值11=z ，选D ；7．解析：有x x ln 1≥-2)1ln ()1)(1()(---+-='x x x x x x f 得到x ∈ )(,0)(),,1(x f x f x <'+∞∈8．解析：由)32()62(ππ=--+x x 9．解析： 72737123+⨯+⨯+⨯10．解析由面面垂直判断（1交“，（3）n 与平面α11．解析：设),(),,(2211y x D y x B ，由2122212121212221y y ppy p y y y x x y y -=--=--=得p y y 221=+ 分别取OA BD ,中点为N M ,，则N M E ,,三点共线，且所在方程为p y =A所以2,14212===⨯=∆p p p OF S OEF12．解析：分离参数得x ex x x a 2ln 2-+≤，令x ex x x x h 2ln )(2-+=，12ln )(-+='ex x x h 在),0(+∞∈x 单调递增，且0)1(=eh ，所以)(x h 在)1,0(e x ∈单调递减，),1(+∞∈e x 单调递增，ex h 2)(min -=，e a 2-≤，选C二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 13. 12x =14. 15. π6 16. 4 13．解析：由1)1(log ,12-=-<x x 可得21=x ，由123,1-=-≥x x 可得0=x （舍去）所以填21=x 14．解析：由)0,(c F 到渐近线0=-ay bx 的距离222a a b bc d =+=得25,2==e b a 15．解析：将正四面体ABCD 的棱长作为正方体的面对角线，则正方体的棱长为32，外接球半径3，过棱AB 中点M 作球的截面最小值就是过棱AB 正方体表面的截面，其面积ππ6)6(2==S 16．解析：令2,2,12211===a a a a n ，当2≥n 时n n n n n n a a S a a S 1112,2,--+==，两式相减得0),(2,11≠-=-+n n n n n a a a a a ，112-+-=∴n n a a ，又2,121==a a所以{}n a 是公差为1的等差数列，其通项公式：n a n = 用累加法可得16)1(+-=n n b n ，116-+=∴nn a b n n ，由基本不等式可得当且仅当4=n 取最小值. 三. 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（1）由题意得M ，N 是线段BC 的两个三等分点，设BM x =，则2BN x =，AN =，又60B =，8AB =，在ABN ∆中，由余弦定理得2212644282cos60x x x =+-⨯⨯，解得2x =（负值舍去），则2BM =. 在ABN ∆中，AM ===（2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b c B C=，得8sin 2sin 12c B C b ===又b c >，所以B C >，则C 为锐角，所以cos C =则()1sin sin sin cos cos sin 23236A B C B C B C =+=+=+⨯=，所以ABC ∆的面积1sin 482S bc A === 18. 解：（Ⅰ）如图所示，取DC 中点N ，取BD 中点M ，连结MN ，则MN 即为所求.证明：取BC 中点H ，连结AH ，∵ABC ∆为腰长为3的等腰三角形，H 为BC 中点，∴AH BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AH ⊂平面ABC ， ∴AH ⊥平面BCD ，同理可证EN ⊥平面BCD ，∴//EN AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴//EN 平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 中点，∴//MN BC ， ∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴//MN 平面ABC .又MN EN N =，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴平面//EMN 平面ABC ，又EF ⊂平面EMN ，∴//EF 平面ABC .（Ⅱ）连结DH ，取CH 中点G ，连结NG ，则//NG DH ，由（Ⅰ）可知//EN 平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等. 又BCD ∆是边长为2的等边三角形，∴DH BC ⊥，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，∴DH =N 为CD 中点，∴NG =，又3AC AB ==，2BC =，∴12ABC S BC AC ∆=⋅⋅=∴E ABC N ABC V V --=13ABC S NG ∆=⋅⋅=. 19. 解：（Ⅰ）由折线图中数据和参考数据得：4x =，271()28i i x x =-=∑，0.99r =≈因为y 与x 的相关系数近似为0.99，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系. ……4分（Ⅱ）715.337ii yy ==≈∑，160.68437.28ˆ0.4128b-⨯=≈3， 68.34413.033.5≈⨯-=∧a 所以y 关于x 的回归方程为68.341.0+=x y . ……8分（Ⅲ）由506.36.050)08.001.1(2++-=+--=x x x y x z ，可得3x =时，max 55.4z =.所以投入宣传费3万元时，可获得最大利润55.4万元. ……12分 20. 解：（1）设000(,)(0)D x y y ≠，易知过D 点的切线方程为004x x y y +=，其中22004x y +=则00004242(2,),(2,)x x E F y y -+-，002200001222004242164414416164x x y y x y k k y y -+--∴⋅=⋅===---…………3分设(,)G x y ，由2212111(0)42244y y x k k y y x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=≠-+ 故曲线C 的方程为221(0)4x y y +=≠ …………………5分（2）设内切圆半径为，则22211()42422PF Q S PQ PF QF r ar ar r ∆=++=⨯== ∴当2PF Q S ∆最大时，最大.设1122(,),(,),PQ:x my P x y Q x y =代入2214x y +=得：22(4)10m y +--=1212214y y y y m -∴+=⋅=+12y y ∴-==244m ==+令t 1,=则1224433t y y t t t∴-==≤=++当且仅当t 1,m ==时取得最大值。

福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列五(函数与导数)

2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列五函数与导数函数与导数在高考考查中一般是两道选择题和一道解答题，或者一道选择题一道填空题和一道解答题，共3道题，分值为22分．高考对这一部分内容考查的难度相对稳定，其中一选择题为容易题为中等难度题，一选择题或填空题为难题，一解答题为难题．选择题一般位于中间四道题和后三道题的位置，填空题一般在后两题的位置，解答题稳定在第21题的位置．选择、填空题主要考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的运用，函数零点的判断，简单的函数建模，导数的几何意义的运用等；解答题主要考查导数在函数问题中的综合运用，重点是利用导数的方法研究函数的单调性和极值，解决与函数的单调性、极值、最值相关的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模的能力，突出了对学生的逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想的考查．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．一、存在的问题及原因分析1．缺乏运用特殊值法、排除法解题意识本专题中，“特殊值法”就是适当选取包含于题目之中的某个特殊值（或特殊情形，如特殊点、特殊函数、特殊图形等），通过简单的运算、推理或验证，便能找到问题的正确答案或否定错误的结论，达到缩减思维过程、降低推算难度的目的．用“特殊值法”解决一些可舍弃解题过程的问题，如选择题、填空题，可收到出奇制胜、事半功倍的效果．在一些一般性的问题中，通过特殊值“特殊化”，往往能获得解题的重要信息，发现解决原题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作用．【例1】（2016年新课标Ⅰ卷理7、文9）函数22xy x e =-在[2,2]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【解析】法一：函数22xy x e =-为偶函数，故函数在[2,2]-上的图象关于y 轴对称．当0x ≥，2()2x f x x e =-．由2(2)80f e =->，排除A ；由'()4xf x x e =-，'(0)10f =-<，'(1)40f e =->，1'21()202f e =->，排除B ，C ，故选D ．法二：由'()4x f x x e =-，易知'()f x 在[0,2]上先负后正，故()f x 在[0,2]上先减后增．又'1()104f =<，'1()202f =->，故'()f x 存在零点011(,)42x ∈，使得()f x 在0(0,)x 单调递减，在0(,2)x 单调递增，故选D ．【评析】本题易错的主要原因：没有优先考虑对称性或奇偶性来缩减自变量的范围；不懂得从特殊值入手，利用导数的几何意义，结合图像特征，排除错误的答案；除图形直观的考虑(2)f 函数值大小外，后续无从下手；导函数计算错误；求导后无从下手，不懂得导数的几何意义.解决此类问题，常取特殊点处的函数值或利用函数的单调性、对称性等性质排除错误选项．复习教学中，多注重培养特殊值法、排除法的意识，对特殊到一般的思想进行强化训练．2．对函数中的基本概念、公式的理解掌握不到位本专题中，从学生方面看，更倾向于题海战，而忽视了基本概念、公式的理解掌握，如指数、对数的运算性质等推导过程的轻视；从教师层面看，指数、对数的运算性质推导过程的教学是在高一起始阶段，但由于在高一阶段的测试和练习中，并未涉及推导过程的考查，更多的是公式的运用，以至于教师对于运算性质的由来一笔带过，侧重于公式的运用的练习．【例2】（2017年新课标Ⅰ卷理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 【解析】法一：令2352x y z ===，则1x =，3log 2y =，5log 2z =，所以5555log 2log 3222z x ==>=，3333log 2log 822y x ==<=，故选D ．法二：令235x y z k ===（1k >），则2log x k =，3log y k =，5log z k =．所以22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >；22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <．【评析】本题易错的主要原因有学生对指数、对数、幂的运算仅停留在记忆公式的层次，并不能很好的掌握公式的由来，以至于对公式的运用不能熟练掌握，导致不能正确解决问题；对指数、对数概念理解不到位，不能很好地进行指数与对数的转化.2016年和2017年新课标卷都对指数、对数、幂的运算及大小比较进行了考查,这个问题在教学中应值得引起我们足够重视.3．未能深入领会数形结合的思想纵观历年数学高考试题，函数图象问题深受命题者的青睐．主要考查角度有：有“图”识“图”、有“图”作“图”、有“图”不作“图”、无“图”作“图”（注:此处第一个“图”是指试题题干中出现的“图象”字眼，第二个“图”是指为解决问题所作的函数图象），下例即为无“图”作“图”．解决有关函数图象的问题可归结为“以形助数”和“以数解形”两个方面，即有的函数图象问题，需利用（或挖掘）条件所呈现（或隐含）的函数图象，利用图象找出解决问题的突破口；而有的函数图象问题，无需作图，利用函数性质或其它知识即可解决问题．【例3】（2017年新课标Ⅲ卷理15、文16）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩ x，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是．【解析】法一：已知不等式变形得1()1()2f x f x ->-．函数1()2y f x =-的图象可看作将函数()y f x =的图象向右平移12个单位，1()y f x =-的图象可看作先将函数()y f x =的图象沿着x 轴翻折，再将图象整体向上平移1个单位．作出函数图象如上图．联立方程12y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得交点A 横坐标为14-，故由图易知满足不等式1()1()2f x f x ->-的解集为1(,)4-+∞．法二：令13202111()()()2022212)22x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪=+-=++<≤⎨⎪⎪⋅>⎪⎩函数()g x 在区间(,0]-∞，1(0,]2，1(,)2+∞内均单调递增，且1()14g -=，012012++>，012)21-⋅>，可知x 的取值范围是1(,)4-+∞．【评析】本题易错的主要原因：学生作图能力差，不能正确做出作出函数1()()2y f x f x =+-图象.对所给的函数表达式及其不等式的含义理解不透彻，不能正确的进行分类讨论，并结合图像性质解决问题.日常教学中，应多加强函数图象的画法，强化数形结合意识．4．导数的综合运用能力较弱导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，历届高考，对导数的应用的考查都非常突出，主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性；已知函数的单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．【例4】（2017年新课标Ⅱ卷理21）已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞．设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥．因为(1)0g =，()0g x ≥，故'(1)0g =，而'1()g x a x=-，'(1)1g a =-，得1a =．若1a =，则'1()1g x x=-．当01x <<时，'()0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，'()0g x >，()g x 单调递增．所以1x =是()g x 的极小值点，故()(1)0g x g ≥=．综上，1a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()ln f x x x x x =--，'()22ln f x x x =--．设()22ln h x x x =--，则'1()2h x x=-．当1(0,)2x ∈时，'()0h x <；当1(,)2x ∈+∞时，'()0h x >，所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又2()0h e ->，1()02h <，(1)0h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x >；当0(,1)x x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >．因为'()()f x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点．由'0()0f x =得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-．由0(0,1)x ∈，得01()4f x <．因为0x x =是()f x 在(0,1)的最大值点，由1(0,1)e -∈，'1()0f e -≠，得120()()f x f e e -->=．所以220()2e f x --<<．【评析】第（Ⅰ）问比较简单，本题易错的主要原因：利用函数性质进行讨论，确定参数a 的值，由于学生的代数变形能力比较薄弱，不能发现()0f x ≥恒成立等与ln 0ax a x --≥恒成立的等价性使解题简化．第（Ⅱ）问则考查学生在理解导数概念的基础上，能够引进辅助函数简化问题，理解导数与函数单调性之间的关系，并根据参数的不同情况进行完整的分类讨论并解决问题；对于函数()h x 在1(0,)2上的零点，并不懂得应用 “设而不求”来求解．对于导数的综合运用，可把综合性试题分解为几个小专题进行专题教学，突出重点教学，学生更易掌握题型与方法.二、解决问题的思考与对策1．培养利用“特殊值法”解题的能力对特“殊值法”还要掌握选值的技巧，当一次取值不能达到目标时，可以考虑多次取值、混合选取，看能否达到目标．特殊值法可以让一般问题特殊化，抽象问题具体化，从而大大减少计算量．在复习过程中，可以精选不同类型，有意识地强化“特殊值法”的解题能力.【例5】（2016年新课标Ⅰ卷理8）若1a b >>，01c <<，则（）A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c < 2．厘清指数、对数的概念、运算性质及其函数性质如2016年新课标卷Ⅰ(理8、文8)与新课标Ⅲ（理6）和2017年新课标卷都考查了指数、对数、幂的运算及性质.对函数基础知识的教学要回归课本，深化函数基本概念、公式及基本图像性质的理解．【例6】（2017年北京卷理8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：lg 30.48≈）A ．3310B ．5310C ．7310D ．9310 3．提高识图、作图能力，培养数形结合思想数形结合思想将抽象逻辑思维与直观形象思维有效地结合起来，使得复杂问题简单化，抽象问题形象化，利于发现解题策略，优化解题过程．高考对函数图象内容的命题重在考查学生识图、作图及对图形的想象能力，考查文字、符号、图形语言的灵活转化以能力，体现具备“有图想图”、“无图想图”的分析问题、抽象问题、转化问题的能力．【例7】（2017年新课标Ⅲ卷理11、文12）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．12-B ．13C ．12D ．1 4．加强函数问题的变式教学对典型问题进行变式教学，是备考复习教学中的一种重要方法，函数问题的变式要在学生的“最近发展区”内进行拓展“源于教材，高于教材”，以原题为源，紧扣教材，突出函数定义、定理、公式的重要价值，突出函数思想在分析解决问题中的重要作用，体现对学生能力培养的重要作用．下面以2012年新课标卷文科第21题改编为例，进行拓展分析，对函数导数进行全面复习，帮助学生更好的理解函数与导数的知识内容，建构知识体系，也为学有余力的同学指引思考问题的方向，同时也强化运算求解能力，转化与化归、分类讨论思想的运用．【例8】已知函数()2xf x e ax =--．（1）求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域；（3）若函数()f x 没有极值（或有极值），求a 的取值范围；（4）若()f x 在R 上单调（或不单调），求a 的取值范围；（5）若()f x 在区间(1,2)上单调（或不单调），求a 的取值范围；（6）讨论函数()f x 的零点个数情况．变式一：研究函数()2xf x e ax =++的单调性、极值、零点等基本情况；研究函数()(2)xf x ax e =+的单调性、极值、零点等基本情况；研究函数2()xax f x e+=的单调性、极值、零点等基本情况；研究函数()2xe f x ax =+的单调性、极值、零点等基本情况．变式二：研究函数2()(22)xf x ax x e =++的单调性、极值、零点等基本情况；研究函数222()x ax x f x e ++=的单调性、极值、零点等基本情况；研究函数2()22xe f x ax x =++的单调性、极值、零点等基本情况．变式三：已知()ln 2f x a x x =-+-．（1）讨论函数()f x 的单调性、极值、最值、零点情况；（2）讨论函数()f x 在区间22(,)e e -上的单调性；（3）求函数()f x 在区间[1,]e 上的值域；（4）若函数()f x 在定义域上有零点，求实数a 的取值范围．5．开展函数部分的微专题教学复习过程中，应对函数部分高考的高频考点问题——单调性、最值、切线、零点问题、恒成立问题、不等式证明、含量词的命题等，尤其是三角函数型函数，开展微专题教学，以提升学生对利用导数研究函数的图象与性质的认识．【例9】（2017年4月省质检理21）已知函数()cos (1)sin f x x x a x =-+，[0,]x π∈，其中34a π≤≤．（Ⅰ）证明：当[0,]2x π∈时，()0f x ≤；（Ⅱ）判断()f x 的极值点个数，并说明理由；（Ⅲ）记()f x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．三、典型问题剖析导数是研究函数的工具，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间，把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型，三角型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商成为命题的对象，试题往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，函数零点，参数的范围等问题，这类题难度大，综合性强．解题中需要用到函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、转化与化归思想，利用“设而不求”、“先猜后证”、“放缩法（如1x e x ≥+，ln 1x x ≤-，x e ex ≥，1ln x ex-≥等）”、“构造法”等手段，解决恒成立求参、函数零点、不等式证明、带量词的命题等热点问题．1．（2014新课标Ⅰ卷理21）设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+．（Ⅰ）求a ，b ；（Ⅱ）证明：()1f x >．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+，由题意可得(1)2f =，'(1)f e =，故1a =，2b =；（Ⅱ）解法一：不等式12ln 1x xe e x x -+>（0x >）等价于不等式21ln x x ex e+>（0x >）．设21()ln x g x x ex e=+-（0x >），下面证明min [()]0g x >，求导得2'2(2)()x xe ex ex g x ex e-+=．令2()(2)xh x e ex ex =-+（0x >），则'()(2)20xh x e ex e ex =+-+>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增，又32391()0242eh e e e =-<，2(1)0h e e =->，且()h x 在(0,)+∞上连续，所以()h x 在(0,)+∞上有唯一零点03(,1)2x e∈，即0()0h x =，即0200(2)0x e ex ex -+=．当0(0,)x x ∈时，'()0g x <，故()g x 在0(0,)x 上单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，故()g x 在0(,)x +∞上单调递增．所以00min 0000220000002212122[()]()ln ln ln x ex g x g x x x x ex e ex ex x ex ex -==+-=+-=++-．下面证明：当03(,1)2x e∈时，02000122ln 0x x ex ex ++->．令2122()ln x x x ex ex ϕ=++-，3(,1)2x e ∈，则2'3(2)4()0ex e x x ex ϕ-++=>，故()x ϕ在3(,1)2e 上递增，所以3312()()ln 02239ex e ϕϕ>=+->，命题得证．解法二：不等式12ln 1x xe e x x -+>（0x >）等价于不等式121ln x e x x e-+>（0x >），易证1x e x ≥+，x R ∈，证明如下：设()1xd xe x =--，则'()1xd xe =-，令'()0d x =，则0x =；当(,0)x ∈-∞时，'()0d x <，故()d x 在(,0)-∞上递减；当(0,)x ∈+∞时，'()0d x >，故()d x 在(0,)+∞上递增．所以，min [()](0)0d x d ==，所以()0d x ≥，即1x e x ≥+，x R ∈（当且仅当0x =时取等号）．由1x e x ≥+可得1x e x -≥，于是111x e x -≤（0x >），所以只需证明21ln e x x x+>（0x >）．设211()ln ln g x e x e x x x x=+-=+（0x >），则下面证明m i n [()]0g x ≥，求导得'21()ex g x x -=．当1(0,)x e ∈时，'()0g x <，故()g x 在1(0,)e 上递减；当1(,)x e∈+∞时，'()0g x >，故()g x 在1(,)e +∞上递增．所以m i n1[()]()0g x g e==，故()0g x ≥，即21ln e x x x +≥（0x >）（当且仅当1x e =时取等号）．又111x x e-≥（0x >）（当且仅当1x =时取等号），并且上面两个不等式的等号不能同时取到，所以121ln x e x x e-+>（0x >），命题得证．解法三：不等式12ln 1x xe e x x -+>（0x >）等价于不等式2(ln )1x e x ex+>（0x >），下面借助不等式x e ex ≥和1ln x ex-≥来处理．先证x e ex ≥，x R ∈，设()xd xe ex =-，则'()xd xe e =-，令'()0d x =，则1x =．当(,1)x ∈-∞时，'()0d x <，故()d x 在(,1)-∞上递减；当(1,)x ∈+∞时，'()0d x >，故()d x 在(1,)+∞上递增．所以min [()](1)0d x d ==，故()0d x ≥，即x e e x ≥，x R∈（当且仅当1x =时取等号）．再证1ln x ex -≥（0x >），只要用ln x -替换x e ex ≥中的x 即得1ln x ex -≥（当且仅当1x e=时取等号）．于是，借助x e ex ≥和1ln x ex -≥易得212(ln )()1x e x ex ex ex ex-+≥+=．又因为上面两个不等式中的等号不能同时取到，所以2(ln )1x e x ex+>（0x >），命题得证．解法四：不等式12ln 1x xe e x x -+>（0x >）等价于不等式2ln x x x x e e>-（0x >）．设()ln g x x x =（0x >），则'()1ln g x x =+．当1(0,)x e∈时，'()0g x <，故()g x 在1(0,)e上递减；当1(,)x e ∈+∞时，'()0g x >，故()g x 在1(,)e +∞上递增．所以min 11[()]()g x g e e ==-，故1()ln g x x x e =≥-（当且仅当1x e =时取等号）．设2()x x h x e e =-（0x >），则'1()x x h x e-=．当(0,1)x ∈时，'()0h x >，故()h x 在(0,1)上递增；当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，故()h x 在(1,)+∞上递减．所以max 1[()](1)h x h e==-，故21()x x h x e e e=-≤-（当且仅当1x =时取等号）．又因为上面两个不等式的等号不能同时取到，所以2ln x x x x e e>-（0x >），命题得证．【评析】本题主要考查导数公式、导数的几何意义、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查了函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想．解题的关键是：函数'()f x 的零点的设而不求，也可通过不等式放缩转化为熟悉的函数模型。

高中数学复习提升-福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列 (数列)

福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数列（福建省高三毕业班复习教学指导组；张兵源执笔整理）数列是高中数学的主干知识之一，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．在高考考查中解答题17题一般是数列和三角函数交替出现．故数列在高考考查中一般有两种情形：其一，两道选择题或一道选择题和一道填空题，共2道小题，分值为10分；其二，一道选择或填空题和一道解答题，共2道题，分值为17分．高考对数列这一部分的考查以基础题、中档题为主，但解题方法灵活多样，技巧性较强些，讲究解题的通性通法，侧重考查等差数列、等比数列的基本概念、特殊性质及基本量的运算；突出考查等差、等比数列有关的通项公式、前n 项和公式、以及数列求和的常用方法等；重点考查数列na 与nS 的关系的应用等．而学生在平时的复习中，往往对定义、概念理解不透，对公式、性质等应用不熟练导致错误．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．一、存在的问题及原因分析（一）概念模糊不清概念模糊不清主要表现在等差、等比数列的概念及等差中项或等比中项的定义认识不到位等。

【例1】 “ac b =2”是“c b a ,,成等比数列”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解析】当0===c b a 时，满足条件ac b =2，但它们不能构成等比数列；当c b a ,, 构成等比数列时，有ac b =2，由此“ac b =2”是“c b a ,,成等比数列”的必要非充分条件．故选B ．【评析】学生对等比数列的首项及公比不为零模糊而错选C ．原因在于学生等比数列概念模糊思考不严密，漏掉了特例对结论的影响，忽略了等比数列是由后一项与前一项的比为定值来定义的，即等比数列的任一项都是非零值.比例式化为乘积式成立，反之乘积式化为比例式时，应注意取值为零时不能转化这一特例．【例2】：设数列{}n a 中，11=S ，22=S ，)2(02311≥=+--+n S S S n n n ，判断{}n a 是不是等比数列.【解析】：∵)2(02311≥=+--+n S S S n n n ，∴)(211-+-=-n n n n S S S S ，即)2(21≥=+n a a n n ，又111==S a ，1122=-=S S a ，2112≠=a a ，所以{}n a 不是等比数列. 【评析】学生常会忽视1a 与)2(≥n a n 关系，由)2(21≥=+n a a n n 直接判断{}n a 是等比数列，体现学生对等比数列的定义理解不透彻，从)2(21≥=+n a a n n 来看，反映的是数列{}n a 从第3项开始后一项与前一项的比是常数，而等比数列的定义是从第2项开始，后一项与前一项的比是常数，故需讨论1a 与)2(≥n a n 关系．（二）运算能力不佳在数列专题中，常常出现求数列某一项m a 、基本量()1,,,a n d q 、通项公式n a 及前n 项和nS 等计算问题．在计算过程中，整体代换意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①用数列的有关公式和性质求解一些基本量的问题时用错公式，而在用n a 与n S 的关系时易漏掉1=n 时的情况；②对等比数列前n 项和n S 公式的结构特征认识不透，不能从整体的意识上（计算中常把11a q-作为整体代换）去分析和思考问题等．【例3】（2015高考新课标1，文7）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =A ．172 B ．192C ．10D ．12 【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B.【评析】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.这方面有了解到有学生因记不住相关公式或用错公式而导致丢分．【例4】等比数列的前项和为9632S S S S n =+，，求公比.【解析】：当时，则，01≠a ，11929a a ⨯≠∴，1≠∴q .当1≠q 时，有qq a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131，0)12(363=--∴q q q ，0≠q ，01236=--∴q q ，0)1)(12(33=-+∴q q ， 1≠q ，0123=+∴q ，243-=∴q . 【评析】此题在等比数列前n 项和公式使用时经常出现不合理情况，易忽略，在等比数列求和时要分公比两种情况进行讨论；另一种情况是当1q ≠时要把11a q-作为整体去运算。

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福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列14——数学(理科)适应性练习（二）（满分：150分考试时间：120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}290A x x =-<，{}15B x x =-<<,则AB =( ）A ．(-3,-1)B ．(-3,5)C ．（-1，3）D ．(3,5) 2.设复数z 满足2ii z+=,则复平面内表示z 的点位于( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 角α的终边与单位圆交于点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-552,55，则=α2cos （） A ．51 B ．51- C ．53 D ．53- 4.设{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若14()m m m a a m N *+=∈，则4S =（） A ．30 B ．186 C.D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．()8123π+ B ． ()813π+ C ． ()4233π+ D ． ()423π+ 6．已知实数,x y 满足0260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y x ++的最小值为（）A ． 1B ． 3C ． 4D ． 67.双曲线E ：()222104x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与E 的渐近线相切点P ，若18PF =,则E 的离心率等于( ） AB8.已知函数()()22cos 102xf x x ωωω=-+>，将()f x 的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，所得函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ的值为（） A ．12πB ．6π C ．8π D ．3πx9.若61014log 3,log 5,log a b c ===A ．a b c >> B ．b c a >> C .a c b >> D ．c b a >>10. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于 A ．5000~6000元 B．6000~8000元 C ．8000~9000元 D ．9000~16000元11.设抛物线2:4C x y =的焦点为F ,A B 、为C 上纵坐标不相等的两点，满足+4AF BF =，则线段AB 的垂直平分线被y 轴截得的截距为( ) A ．2 B ．3 C .4 D ．5 12. 已知函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭3201720171x xx -=+-+.若(sin cos )(sin 2)2f f t θθθ++-<对R θ∀∈恒成立，则t 的取值范围是( ) A ．(-∞ B ．)+∞ C . (),2-∞ D ． ()2,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()2,3a =， ()1,2b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为______． 14.26(1)x y -+的展开式中，42x y 的系数为．15.长方体1111ABCD A B C D -中，4,6AB AD ==，12AA =.若过直线1BD 的平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为___________.1A16.已知菱形ABCD ，E 为AD 的中点，且3=BE ，则菱形ABCD 面积的最大值为 . 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）已知数列{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ， 21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-．（1）求n S 和n T ；（2）求数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n R ．18．（12分）如图(1)，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A 、B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AB=AE =2，CD =5, DE =1.将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，得空间几何体ADE ﹣BCF ，如图(2)．图2图1BAB F E F（1）若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE ∥CF ，CDAB 上一点P ，满足CP 与平面ACD ，确定点P 位置． 19．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的下顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点E ，且满足223DF F E =.（1）试求椭圆C 的标准方程；（2）,A B 分别是椭圆长轴的左右两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,AM AN 的斜率分别是12,k k ．若直线MN过点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求证：1216k k ⋅=-x20．（12分）为了解A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.( 1 )根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位）( 2 )研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布()2~,X N u σ（0u u =，σ约为19.3）.①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A 市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生的全市排名大约是多少名？（说明：()111x u P x x φσ-⎛⎫>=-⎪⎝⎭表示1x x >的概率，1x u φσ-⎛⎫⎪⎝⎭用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即()~0,1X N ，从而利用标准正态分布表()0x φ，求1x x >时的概率()1P x x >，这里10x ux σ-=.相应于0x 的值()0x φ是指总体取值小于0x 的概率，即()()00x P x x φ=<.参考数据：()0.70450.54φ=，()0.67720.46φ=，()0.20720.5832φ=）.21．（12分）已知函数 ()()222,x f x xe m x x =++.（1）若1m e>-，求函数的单调区间；（2）函数()()442,x g x f x e m mx =-++，记函数()g x 在()0,+∞上的最小值为A .若10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求证： 22e A -<<-.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A . （1）写出曲线1C 的极坐标方程和线段OA 的长；（2）已知点B 在曲线2C 上，直线OB 交1C 于点D .若512AOB π∠=，求ABD ∆的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()f x x x a =++.（1）若不等式()21f x a ≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +，求实数,a b 的值.福建省2018届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列14——数学(理科)适应性练习（二）详细解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}290A x x =-<，{}15B x x =-<<,则AB =( ）A ．(-3,-1)B ．(-3,5)C ．（-1，3）D ．(3,5) 1.【解析】答案选B.注意交并的区别. 2.设复数z 满足2ii z+=,则复平面内表示z 的点位于( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.【解析】答案选D.本题考查复数的运算，化简得212iz i i+==-,复平面内表示z 的点位于第四象限. 3. 角α的终边与单位圆交于点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-552,55，则=α2cos （） A ．51 B ．51- C ．53 D ．53- 3.【解析】答案选C.依题意得cos α=23cos22cos 15αα=-=-.4.设{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若14()m m m a a m N *+=∈，则4S =（） A ．30 B ．186 C.D． 4.【解析】答案选C.140m m m a a +=>，则10,0a q >>，不妨令1,2m m ==，得1222344a a a a =⎧⎨=⎩，12a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4S =5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．()8123π+ B ． ()813π+ C ． ()4233π+ D ． ()423π+ 5.【解析】答案选A.该几何体是由两个小直三棱锥和一个圆锥组成，体积为()1182224412333V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+.6．已知实数,x y 满足0260x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2x y x ++的最小值为（）A ． 1B ． 3C ． 4D ． 6 6.【解析】答案选B.画出可行域如下图所示，由图可知目标函数()2210y x y x x --++=+-在点()2,2处取得最小值为3．x7.双曲线：24a 的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆与E 的渐近线相切点P ，若18PF =,则E 的离心率等于( ）AB7.【解析】答案选D .如图依题意：2b =，由余弦定理得2222cos 8a c ac θ+-=，其中cos acθ=-则222382a cb ⎧+=⎨=⎩1a =，c =e =x8.已知函数()()22cos 102xf x x ωωω=-+>，将()f x 的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，所得函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ的值为（） A ．12πB ．6π C ．8π D ．3πx8.【解析】答案选A.依题意()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎫=-=-> ⎪⎝⎭,如图()f x 的周期为π,()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又5212g π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则有5sin 216612k πππϕϕπ⎛⎫--=⇒=+ ⎪⎝⎭, 02πϕ<<Q ,则12πϕ=.9.若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C .a c b >>D ．c b a >> 9.【解析】答案选D.依题意6141log 2,1lg2,1log 2a b c =-=-=-, 又614log 2lg 2log 2>>,则6141log 21lg 21log 2-<-<-.10. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于 A ．5000~6000元 B ．6000~8000元 C ．8000~9000元 D ．9000~16000元10.【解析】答案选C.关注调整前图表中的临界值：当当月工资、薪金所得为8000元时，个税调整后个税为30元，可少交纳此项税款315元而个税为当月工资、薪金所得的递增分段函数，排除A,B,D,估计收入在8000~9000元.11.设抛物线2:4C x y =的焦点为F ,A B 、为C 上纵坐标不相等的两点，满足+4AF BF =，则线段AB 的垂直平分线被y 轴截得的截距为( ) A ．2 B ．3 C .4 D ．511.【解析】答案选B.依题意设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为ykx b =+，与抛物线联立：24y kx b x y=+⎧⎨=⎩2440x kx b ⇒--=，124x x k +=，如图梯形的中位线+22AF BF MN ==，得线段AB 中点()2,1M k ，则其中垂线l 的方程为()121y x k k=--+化简得13y x k =-+,其纵截距为3.12. 已知函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭3201720171x xx -=+-+.若(sin cos )(sin 2)2f f t θθθ++-<对R θ∀∈恒成立，则t 的取值范围是( ) A ．(-∞ B ．)+∞ C . (),2-∞ D ． ()2,+∞12.【解析】答案选B.依题意 112y f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数且单调递增，得递增函数()()1F x f x =-的对称中心为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，当121x x +=时， ()()120F x F x +=，当121x x +<时， ()()120F x F x +<，由(sin cos )(sin 2)2f f t θθθ++-<得(sin cos )1(sin 2)10f f t θθθ+-+--<，即(sin cos )(sin 2)0F F t θθθ++-<，得sin cos sin 21t θθθ++-<，即()1sin2sin cos t θθθ+>++，三角换元令sin cos k θθ=+，则22,t k k k ⎡>+-∈⎣，则t >.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()2,3a =， ()1,2b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为______． 13.由向量()2,3a =， ()1,2b =-，可得264,a b ⋅=-+=∴向量a 在向量b 方向的投影为5a bb ⋅==5．14.26(1)x y -+的展开式中，42x y 的系数为． 14.【解析】答案为226490C C =法一:依题意262226(1)(1)(1)...(1)x y x y x y x y -+=-+-+-+，若欲得42x y ，可各取两个2x ， y -和1，42x y 的系数为22264290C C C =.法二：()()()64212110446611...1...x y x C x y C x y ⎡⎤--=--+-+⎣⎦，二次展开得42x y 的系数为226490C C = 15.长方体1111ABCD A B C D -中，4,6AB AD ==，12AA =.若过直线1BD 的平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为___________.15.【解析】答案为 .如图可得1BD =AD ，11B C 三等分点,E F ，使得12C E AF ==，则BF =1D EBF 另一对角线EF=形1D EBF 面积为由于1D C AD <，则点1E CC ∉)1A C16.已知菱形ABCD ，E 为AD 的中点，且3=BE ，则菱形ABCD 面积的最大值为 . 16.【解析】答案为12. 设22AD AE a ==，如图ABE ∆中，余弦定理得259cos 44a θ=-，1A菱形ABCD面积24sin44 S a a aθ==，412S a=.A三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T，21nn nb a-=+，且1222nn nS T n++=+-．（1）求nS和nT；（2）求数列2nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n R．17．【解析】（1）依题意可得113b a-=，225b a-=，…，21nn nb a-=+，........... 1分∴n nT S-()()1212n nb b b a a a=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+..................................... 2分()2222nn=+++⋅⋅⋅+............................................................. 3分122n n+=+-． .................................................................... 4分∵2n n nS S T=+()n nT S--2n n=-，............................................... 5分∴22nn nS-=，21222nnn nT++=+-................................................. 6分（2）∴1na n=-．................................................................. 7分212n nn nb a n=+++=， ........................................................... 8分122nn nb n=+，212...222n nRnn=++++，......................................................... 9分2311121...222222n n nn n nR+-=+++++，121111...2222122nn nn nR+⎛⎫=++++-⎪⎝⎭，.............................................. 11分222n nnR n++-= ................................................................. 12分18.（12分）如图(1)，梯形ABCD中，AB∥CD，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．AB=AE=2，CD =5，已知DE =1，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，得空间几何体ADE ﹣BCF ，如图(2)．图2图1BAB F E F（1）若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE ∥CF ，CDAB 上一点P ，满足CP 与平面ACD ，求点P 的位置． 18.【解析】证明：（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF ⊥BE ，由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD =B ，∴AF ⊥平面BDE ，又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF =A ，∴DE ⊥平面ABFE ，（2）在图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF =E ，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM //EF 交CF 于点M ，连接CE ，易得2DM =，1CM =，则DC ⊥CF ，则6CDM π∠=， 2CE =，过E 作EG ⊥EF 交D C 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,,),22A B C D -1(2,1,3),(2,,22AC AD =-=-- 设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得201202x y x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩ 取1x =得(1,1n=-设()(2,,0),02P m m ≤≤，得(2,1,CP m =- 设CP 与平面ACD 所成的角为,θ4sin cos ,.103CP n m θ=<>==⇒= 所以点P 为AB 上靠近点B 的三等分点．yx19．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的下顶点为点D ，右焦点为()21,0F .延长2DF 交椭圆C 于点E ，且满足223DF F E =.（1）试求椭圆C 的标准方程；（2）,A B 分别是椭圆长轴的左右两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,AM AN的斜率分别是12,k k ．若直线MN过点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求证：1216k k ⋅=-xy19.解：（1）椭圆C 的下顶点为()0,D b -，右焦点()21,0F ，点E 的坐标为(),x y .∵223DF F E =，可得223DF F E =u u u r u u u r ，又()21,DF b =uuu r ，()21,F E x y =-uuu r，∴4,33x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22221x y a b +=可得22224331b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又221a b -=，解得22a =，1b =，即椭圆C 的标准方程为2212x y +=.(2)设直线:MN x my =+1122(,),(,)M x y N x y，由2222x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得223(2)02m y ++-=，于是()12122322y y y y m +=⋅=-+，12k k ⋅==()()()222222332212396322222222m m m m m m --+===---++++．20. 为了解A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.()Ⅰ根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） ()Ⅱ研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布()2~,XN u σ（0u u =，σ约为19.3）.①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A 市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生在全市排名大约是多少名？（说明：()111x u P x x φσ-⎛⎫>=-⎪⎝⎭表示1x x >的概率，1x u φσ-⎛⎫⎪⎝⎭用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即()~0,1X N ，从而利用标准正态分布表()0x φ，求1x x >时的概率()1P x x >，这里10x ux σ-=.相应于0x 的值()0x φ是指总体取值小于0x 的概率，即()()00x P x x φ=<.参考数据：()0.70450.54φ=，()0.67720.46φ=，()0.20720.5832φ=）.20【解析】.()Ⅰ该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.()Ⅱ①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为1x ，根据题意，()1011103110.4619.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.5419.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.70540.54φ=得，111030.7054116.611719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.()()107103107110.207210.58320.416819.3P x φφ-⎛⎫>=-=-≈-= ⎪⎝⎭②，所以，理科数学成绩为107分，大约排在100000.41684168⨯=名.21．已知函数 ()()222,x f x xe m x x =++.（1）若1m e>-，求函数的单调区间；（2）函数()()442,xg x f x e m mx =-++，记函数()g x 在()0,+∞上的最小值为A .若10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求证： 22e A -<<-. 21.【解析】：（1）由题意知， ()()222x f x xe m x x =++， ∴()()()()222121x x xf x e xe m x x e m =+++=++'，1m e ->-，①当0m ≥时，0x e m +>，()01f x x >⇒>-'，()01f x x <⇒<-'()f x 在(),1-∞-上递减，()f x 在()1,-+∞上递增；②当10m e --<<时，000ln()1xe m x m +=⇒=-<-，()01f x x >⇒>-'或ln()x m <-， ()0ln()1f x m x <-'⇒<<-；()f x 在()ln(),1m --上递减，()f x 在()1,-+∞和(),ln()m -∞-上递增.（2）由题意知， ()()22444x xg x xe m x x e m =++-+，∴()()()()()224222222x x x g x e x e m x x e m x =+-++=-++'.令()()h x g x ='，∴()220x h x xe m +'=>，则()g x '在()0,+∞上单调递增，又()()0420,160g m g m ''=-<=>，则存在()0,1t ∈使得()0g t '=成立， ∵()0g t '=，∴()12t t e m t -=-+.当()0,x t ∈时， ()0g t '<，当(),x t ∈+∞时， ()0g t '>， ∴()()()()()22min 2422ttg x g t t e m t e t t ==-++=-+-.令()()22t k t e t t =-+-，则()()210t k t e t t '=---<，∵01t <<，∴()()()10k k t k <<，∴22e A -<<-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=,记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A . （1）写出曲线1C 的极坐标方程和线段OA 的长；（2）已知点B 在曲线2C 上，直线OB 交1C 于点D .若512AOB π∠=，求ABD ∆的面积．22.【解析】：（1）依题意由曲线1C ：2y x =， .......................................... 1分得22sin cos ρθρθ=，即2sin cos ρθθ=， ........................................... 3分联立方程组：2sin cos 4cos ρθθρθ⎧=⎨=⎩，得 6πθ=，42OA ρ==⨯=.................. 5分（另解：联立2y x =和224x y x +=，得3A x =，A y =，OA =（2）设1(,)B ρθ2(,)D ρθ，由（1）得51264πππθ=-=，................................ 6分分别代入12,C C中，得1ρ=2ρ=12BD ρρ=-=...................... 8分 ABD AOB AOD S S S ∆∆∆=-15sin 212OA BD π==. ................................... 10分23．选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x x a =++.（1）若不等式()21f x a ≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +，求实数,a b 的值. 23．【解析】：（1）对x ∀∈R ，()()f x x x a x x a a =++≥-+=，当且仅当()0x x a +≤时取等号，故原条件等价于21a a ≥-，即21a a ≥-或()211a a a ≤--⇒≤，故实数a 的取值范围是(],1-∞.（2）由210a x x a -≥++≥，可知210a -≥，所以12a ≥，故0a -<. 故()2,,,0,2,0x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩的图象如图所示，由图可知()2,221,52321.2a b a a b a a b =⎧--=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨++=-=-⎪⎩⎪⎩.。