2011数学中考第一轮复习课件第9讲 分式方程及应用
中考数学复习---分式方程的应用考点归纳与典型例题讲解PPT课件
根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【解析】设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆，
600 600 由题意得： x − 15x =140，
解得：x＝4， 经检验：x＝4 是原分式方程的解，且符合题意， 15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是 每秒60兆．
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望 小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有 4 个样品，每种样品都打五折，商场仍获 利 1370 元．请直接写出赠送的书包和样品中，B 种书包各有几个？ 【分析】 （1）设每个 A 种书包的进价为 x 元，则每个 B 种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝ 总价÷单价结合用 700 元购进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍，即可 得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
3
求购买 A 种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）A 种花弃每盆 1 元，B 种花卉每盆 1.5 元；（2）购买 A 种花卉 1500 盆时 购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250 元
【分析】 （1）设 A 种花弃每盆 x 元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方 程并检验；
4.（2020•广东）某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面 积比每个 B 类摊位的占地面积多 2 平方米．建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类 摊位每平方米的费用为 30 元．用 60 平方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊
3
专题09 分式方程(课件)2023年中考数学一轮复习(全国通用)
C． x 2 5 3
1
D．
x
0
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． A、 x 1 不是方程，故本选项错误；
x
B、方程 1 1 的分母中含未知数x，所以它是分式方程．故本选项正确；
x 1 2x 3
C、方程 x 2 5 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误；
（2）设购买篮球y个，则购买排球(20－y)个， 依题意得：110y＋80(20－y)≤1800， 解得 y 6 2 ，
3
即y的最大值为6， ∴最多购买6个篮球． 【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一 次不等式．
实际应用 的实际意义，检验结果是 分式方程的基本思想和列方程解应用题的
否合理．
意识．
思维导图
知识点梳理
知识点1：分式方程及其解法
1．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程．
2．解分式方程的一般方法： （1）解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方 程的解．
3
D、方程 1 x 0 的分母中不含未知数，所以它不是分式方程．故本选项错误．
故选B．
【答案】B．
知识点1：分式方程及其解法
典型例题
【例2】（2022•牡丹江）若关于x的方程 mx 1 3无解，则m的值为（ ） x 1
A．1
B．1或3
边同乘以(x－1)得：mx－1＝3x－3，∴(m－3) x＝－2． 当m－3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意． 当m－3≠0时，x 2 ，
中考第一轮复习第9讲平面直角坐标系及函数的基础知识
第三单元 函数及其图象第9讲 平面直角坐标系及函数的基础知识,知识清单梳理)平面直角坐标系1．定义：平面内，两条互相__垂直__、原点__重合__的数轴组成平面直角坐标系．坐标平面内的点与__有序__实数对一一对应．2．特殊点的坐标特征(1)各象限内点的坐标的符号特征3．点P(x ，y)坐标的几何意义(1)点P(x ，y)到x 轴的距离是__|y|__． (2)点P(x ，y)到y 轴的距离是__|x|__． (3)点P(x ，y)到原点的距离是．函数的有关概念,云南省近五年高频考点题型示例)平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】(2019曲靖中考)在平面直角坐标系中，将点P(－2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点P′的坐标是( )A ．(2，4)B ．(1，5)C ．(1，－3)D ．(－5，5) 【解析】点平移规律：左减右加，上加下减． 【答案】B1．(2019红河中考)在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(－1，－2)，则点P 关于原点对称的点的坐标是( C )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(1，2)D ．(2，1) 2．(2019昭通中考)已知点P(2a －1，1－a)在第一象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是( C )函数自变量的取值范围【例2】(2019云南中考)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围为( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≤2 D ．x ≠2【解析】分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数，即x －2≠0，x ≠2. 【答案】D3．(2019大理等八地州联考)在函数y ＝x ＋1x中，自变量x 的取值范围是__x≥－1且x≠0__． 4．(2019云南中考)函数y ＝x －7的自变量x ．5．(2019曲靖中考)如果整数x ＞－3，那么使函数y x 的值是__0__．(只填一个)6(2019内江中考)在函数y ＝1x －3＋x －2中，自变量x 的取值范围是__x≥2且x≠3__．,近五年遗漏考点及社会热点与创新题)1.遗漏考点无2．创新题【例】(2019佳木斯中考)如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( )ABCD【解析】先注甲池速度较快，水到达连接的地方，水面上升比较慢，最后水面持平后继续上升．【答案】D,课内重难点真题精练及解题方法总结)1.在平面直角坐标系中，已知点P(2，－3)，则点P在( D )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【方法总结】根据各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)可以得到答案．2．(2019西宁中考)在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B 关于x轴的对称点B′的坐标为( B )A．(－3，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)【方法总结】点平移，横坐标左减右加，纵坐标上加下减．关于x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数．3．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【方法总结】函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．4．函数y ＝21－x ＋1x 中，自变量x 的取值范围是__x<1且x≠0__．【方法总结】(1)分式函数，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；(2)偶次根式函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负实数．5．当x ＝__－2__时，函数y ＝3x 2－12x －2的值为零．【方法总结】函数的值和分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，解分式方程时要注意检验． 6．(2019河南中考)如图①，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图②是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是__12__．【方法总结】考查函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 请完成精练本第9页作业2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，有一平行四边形ABCD 与一正方形CEFG ，其中E 点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数为何？（ ）A ．50B ．55C ．70D ．752．下列等式一定成立的是（ ） A ．a 2+a 3=a 5B ．（a+b ）2=a 2+b 2C ．（2ab 2）3=6a 3b 6D ．（x-a ）（x-b ）=x 2-（a+b ）x+ab3．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc ＜0；② 2a ＋b ＝0; ③ b 2－4ac ＜0；④ 9a+3b+c ＞0; ⑤ c+8a ＜0.正确的结论有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），对角线BD 与x 轴平行，若直线y ＝kx+5+2k （k≠0）与菱形ABCD 有交点，则k 的取值范围是（ ）A.3243k -≤-… B.223k --剟C.324k --剟D.﹣2≤k≤2且k≠05．已知反比例函数2y x=-，下列说法不正确的是（ ） A ．图像必经过点()1,2-B ．y 随着x 的增大而增大C ．图像分布在第二，四象限内D ．若1x >，则20y -<<6．如图，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CBA 的度数为（ ）A ．35B ．45C ．55D ．657．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度h （米）与所经过的时间t （秒）之间的关系为2110(014)2h t t t =-≤≤. 若存在两个不同的t 的值，使足球离地面的高度均为a （米），则a 的取值范围（ ） A ．042a ≤≤B ．050a ≤<C ．4250a ≤<D ．4250a ≤≤8．如图，点E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，AC 、BD 交于点O ，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N ，则有以下结论：①△AOM ∽△ADF ；②EF ＝BE+DF ；③∠AEB ＝∠AEF ＝∠ANM ；④S △AEF ＝2S △AMN ，以上结论中，正确的个数有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题不正确的是（ ）A ．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形B ．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形D ．等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形 10．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象经过点(1,0),(3,0)A B -.有下列结论：①20a b c ++<； ②当1x >时，随x 的增大而增大；③当0y >时，13x -<<；④当2m x m <<+时，若二次函数的最小值为4a -，则m 的取值范围是11m -<<。
中考数学专题复习讲座第九讲分式方程
中考数学专题复习第九讲：分式方程【基础知识回顾】一、 分式方程的概念分母中含有 的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即分式方程整式 ﹥方程2、解分式方程的一般步骤： 1、 2、3、 3、培根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的培根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是培根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略2、分式方程的培根与无解并非用一个概念，无解完包含产生培根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。
如：1x a x ---3x=1无解，有a 的值培根】 三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】【重点考点例析】考点一：分式方程的概念（解为正、负数）例1 （2009•孝感）关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞-1 B ．a ＞-1且a≠0 C．a ＜-1 D ．a ＜-1且a≠-2 思路分析：先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．解：去分母得，2x+a=x-1，∴x=-1-a ，∵方程的解是正数，∴-1-a ＞0即a ＜-1。
又因为x-1≠0，∴a≠-2。
转化则a 的取值范围是a ＜-1且a≠-2故选D ．点评：由于我们的目的是求a 的取值范围，根据方程的解列出关于a 的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠-2，这是因为忽略了x-1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．例2 （2012•鸡西）若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为（ ） A ． B ．1 C ．或2 D ．或 思路分析：去分母得出方程①2m+x）x-x （x-3）=2（x-3），分为两种情况：①根据方程无解得出x=0或x=3，分别把x=0或x=3代入方程①，求出m ；②求出当2m+1=0时，方程也无解，即可得出答案．解：方程两边都乘以x （x-3）得：（2m+x ）x-x （x-3）=2（x-3），即（2m+1）x=-6，①①∵当2m+1=0时，此方程无解，∴此时m=，②∵关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解， ∴x=0或x-3=0，即x=0，x=3，当x=0时，代入①得：（2m+0）×0-0×（0-3）=2（0-3），解得：此方程无解；当x=3时，代入①得：（2m+3）×3-3（3-3）=2（3-3），解得：m=，∴m 的值是或，故选D ．点评：本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x 的值，题目比较好，需要考虑周全，不要漏解，难度也适中．对应训练1．（2010•牡丹江）已知关于x 的分式方程22x +-2a x +=1的解为负数，那么字母a 的取值范围是 ．1．a ＞0且a≠22．（2011•黑龙江）已知关于x 的分式方程1a x +-221a x x x --+=0无解，则a 的值为 ．2．0、2、或-12．解：去分母得ax-2a+x+1=0．∵关于x 的分式方程1a x +-221a x x x--+=0无解， （1）x （x+1）=0，解得：x=-1，或x=0，当x=-1时，ax-2a+x+1=0，即-a-2a-1+1=0，解得a=0，当x=0时，-2a+1=0，解得a=12． （2）方程ax-2a+x+1=0无解，即（a+1）x=2a-1无解，∴a+1=0，a=-1．故答案为：0、12或-1． 点评：本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中．考点二：分式方程的解法例3 （2012•上海）解方程：261339x x x x +=+--． 思路分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘（x+3）（x-3），得x （x-3）+6=x+3，整理，得x 2-4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3．经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，故原方程的根为x=1．点评：本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．对应训练3．（2012•苏州）解分式方程：231422x x x x+=++． 3．解：去分母得：3x+x+2=4， 解得：x=12， 经检验，x=12是原方程的解．考点三：分式方程的增根问题例4 （2012•攀枝花）若分式方程：2+12kxx--=12x-有增根，则k= ．思路分析：把k当作已知数求出x=22k-，根据分式方程有增根得出x-2=0，2-x=0，求出x=2，得出方程22k-=2，求出k的值即可．解：∵分式方程2+12kxx--=12x-有增根，去分母得：2（x-2）+1-kx=-1，整理得：（2-k）x=2，当2-k≠0时，x=22k -；当2-k=0是，此方程无解，即此题不符合要求；∵分式方程2+12kxx--=12x-有增根，∴x-2=0，2-x=0，解得：x=2，即22k-=2，解得：k=1．故答案为：1．点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题目比较典型，是一道比较好的题目，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．对应训练4．（2012•佳木斯）已知关于x的分式方程12ax-+=1有增根，则a= ．4．14．解：方程两边都乘以（x+2）得，a-1=x+2，∵分式方程有增根，∴x+2=0，解得x=-2，∴a-1=-2+2，解得a=1．故答案为：1．考点四：分式方程的应用 例5 （2012•岳阳）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b 个月（a 、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？思路分析：（1）设乙队需要x 个月完成，则甲队需要（x-5）个月完成，根据两队合作6个月完成求得x 的值即可； （2）根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可．解：（1）设乙队需要x 个月完成，则甲队需要（x-5）个月完成，根据题意得：11156x x +=-， 解得：x=15，经检验x=15是原方程的根．答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成；（2）根据题意得：15a+9b≤141，11015a b +=, 解得：a≤4 b≥9．∵a、b 都是整数∴a=4 b=9或a=2 b=12点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．对应训练5．（2012•珠海）某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？5．解：（1）设第一次每支铅笔进价为x 元，根据题意列方程得，6006003054x x -=， 解得，x=4，检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．答：第一次每只铅笔的进价为4元．（2）设售价为y 元，根据题意列不等式为：600600(4)(5)4205444y y ⨯-+⨯-⨯， 解得，y≥6．答：每支售价至少是6元．【聚焦山东中考】 1．（2012•莱芜）对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b=﹣．若2⊕（2x ﹣1）=1，则x=（ ）A ．B ．C ．D ． ﹣考点： 解分式方程。
中考数学复习 分式方程 复习优质课件
第8课时┃ 分式方程
考点2 分式方程的解法
1.方程两边都乘以各个分母的_最__简__公__分__母___，约
去分母，化成整式方程；
解分式方 程的一般
步骤
2.解这个整式方程； 3.检验：把求得的未知数的取值代入最简公分 母，看是否等于0，使最简公分母为0的根是原 方程的增根，增根必须舍去.
注意：解分式方程可能产生增根，所以解分式
经检验，x＝3 是原方程的解．
第8课时┃ 分式方程
解分式方程，通常是把分式方程两边同乘以各分母的最简 公分母，化为整式方程；解分式方程要验根．
解分式方程时易出现的错误： (1)漏乘没有分母的项； (2)没有验根； (3)去分母时，没有注意符号的变化．
第8课时┃ 分式方程
三 、 分式方程的应用 命题角度： 1．利用分式方程解决生活实际问题； 2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
第8课时┃ 分式方程
当堂检测
1．解分式方程x－1 2＋x2－x 4＝5 时，方程两边同乘以的
最简公分母是
(C )
A．x＋2
B．x－2
C．(x＋2)(x－2) D．(x＋2)(x－2)2
解 析 由于 x2－4＝(x＋2)(x－2)，因此该分式方 程各分母的最简公分母是(x＋2)(x－2)，应选 C.
6.答 写出答案(包括单位).
第8课时┃ 分式方程
考点训练
一 、 分式方程解的问题 命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根：使分式方程的分母等于零的根．
第8课时┃ 分式方程
例 1 [中考真题] 若关于 x 的方程xx－－15＝10－m 2x无解，则 m＝_____－__8_．
解析
由于关于x的方程
中考数学一轮复习课件分式方程及其应用
（2）如果小张在家取票和寻找共享单车共用了5 min，他能否在演唱会开始前 赶到奥体中心？请说明理由.
解：（2）不能.理由如下：小张跑步到家所需时间为2 520÷210＝12（min），小张骑车所用时间为12－4＝8（min），小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25（min）.∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心.
答：甲每小时做零件45个，乙每小时做零件60个.
A.1＋3＝3x（1－x）
B.1＋3（x－1）＝－3x
C.x－1＋3＝－3x
D.1＋3（x－1）＝3x
B
巩固训练
A.x＝－2
B.x＝2
C.x＝－4
D.x＝4
3.（2023·遵义模拟）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5 t货物，且大货车运输75 t货物所用车辆数与小货车运输50 t货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x t货物，则所列方程正确的是（ B ）
【思路引导】设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h，利用时间＝路程÷速度，结合“小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆”列方程求解.
【自主解答】
答：小琪步行的速度为3 km/h.
【夺分宝典】
【对点训练】
1.某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
【自主解答】
解得a＝100.经检验，a＝100是原方程的解，且符合题意.
答：足球的单价为100元.
（3）小琪和小文相约到体育馆锻炼，小琪和小文家分别距体育馆3 km，6 km，小文骑车的速度是小琪步行速度的4倍，若小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆，求小琪步行的速度.
《中考大一轮数学复习》课件 分式方程及其应用
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5. (2014·浙江嘉兴)解方程：
1 3 － 2 ＝0. x－1 x －1
解： x＝2
6. (2012·湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作 8800 件投 入市场， 服装厂有 A， B 两个制衣车间， A 车间每天加工的数量是 B 车间的 1.2 倍， A， B 两车间共同完成一半后， A 车间出现故障停产， 剩下全部由 B 车间单独完成， 结果前后共用 20 天完成，求 A，B 两车间每天分别能加工多少件？
中考大一轮复习讲义◆ 数学
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夯实基本
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知已知彼
知识结构梳理
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夯实基本
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基础知识回顾 1. 分式方程：分母中含有________的方程叫分式方程． 2. 解分式方程 (1)解分式方程的一般步骤： ①去分母，在方程的两边都乘________，约去分母，化成整式方程． ②解这个整式方程． ③验根，把整式方程的根代入 ________ ，看结果是不是零，使最简公分母为 零的根是原方程的增根，必须舍去． (2)用换元法解分式方程的一般步骤： ①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式． ②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值． ③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值． ④检验作答． 温馨提示 ①去分母时，不要漏乘没有分母的项． ②解分式方程的重要步骤是检验，必须书面检验．检验的方法可以代入最简 公分母检验，也可直接代入原方程验根．
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热点一 列分式方程 热点搜索 列分式方程解应用题的6个步骤中关键是“列”，难点是“审”， 所以如何做好审题，列方程是解决问题重中之重．列分式方程解应用题的一般思 路是：(1)弄清题中涉及哪些量，已知量是什么，求什么．(2)抓住题目中的重要 语句，根据这些重要语句列出代数式．(3)找出等量关系，将等量关系由文字语 言转化为数学符号语言，列出方程．根据题目的需要一般直接设未知数，但有时 可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这 种设未知数的方法叫做设间接未知数．在列分式方程解应用题时，设间接未知数， 有时可使解答变得简捷．习讲义◆ 数学
分式方程ppt课件
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
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分式方程ppt课件
目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
第9讲分式方程及应用ppt课件
考
点 知 识
(1)(2010·咸宁)分式方程x－x 3＝xx＋ －11的解为(
)
精
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
讲
中 考
【点拨】(1)题方程两边同时乘以(x－3)(x－1)，约去分母得 x(x－1)＝(x－3)(x＋1)，
典 解得 x＝－3.
例 经检验：x＝－3 是原方程的根．
精 ∴分式方程的解为 x＝－3.
考 点 训 练
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在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
考
点
知
识
【解答】(1)设乙单独做 x 天完成此项工程，则甲单独做(x＋30)
精
讲 天完成此项工程，由题意，得 20(x1＋x＋130)＝1.
例
(2)体积变化问题．
精 析
(3)打折销售问题． ①利润＝售价－成本；
利润
举
②利润率＝成本×100%.
一 反 三
(4)行程问题． (5)教育储蓄问题．
①利息＝本金×利率×期数；
②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利润×期数)；
考
③利息税＝利息×利息税率；
点 训
④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．
练
目 录 首 页 上一页 下一页 末 页
识 货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程
精 正确的是( )
讲 中
A.2x5＝x－3520 B.x－2520＝3x5
考 典
C.2x5＝x＋3520 D.x＋2520＝3x5
中考数学专题复习课件第9讲分式方程及应用
通过具体例题解析，展示如何根据实际问题列分式方程并求解。
04
分式方程的拓展提高
分式方程的拓展知识及例题解析
基础知识回顾
分式方程的基本定义、解法及注意事 项。
复杂分式方程的转化
介绍如何将复杂的分式方程转化为简 单的整式方程或一元一次方程，通过 移项、通分等方法简化计算。
分式方程的根的判别式
THANKS
在工程问题中，通常会有合作、交替、循环等不同情况，需要根据具体 情况建立方程。
列分式方程解应用题的常见类型及例题解析（一）
• 例题1
甲、乙两队分别承担A、B两个项目的施工任务，甲队比乙队快，问甲队何时完 成施工任务？
• 例题2
甲、乙两队合作承担一个项目的施工任务，问两队合作何时能完成施工任务？
列分式方程解应用题的常见类型及例题解析（二）
第9讲 分式方程及应用
汇报人： 2023-12-11
目录
• 分式方程的概念及解法 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的拓展提高 • 中考真题及解析
01
分式方程的概念及解法
分式方程的定义及识别
定义
分式方程是一种含有未知数、分 母中含有未知数或常数的方程。
识别
分式方程通常具有形式如“ax/b = c”，其中“a、b、c”是常数 ，“x”是未知数。
观察法
通过观察方程的形式和特 点，直接得出方程的解。
实验法
通过尝试不同的解，观察 解是否符合原方程，从而 得出方程的解。
图象法
通过绘制函数的图象，观 察函数的零点，从而得出 方程的解。
02
分式方程的应用
列分式方程解应用题的基本思路和方法
设未知数
分式方程及其应用课件
分式方程及其应用课件xx年xx月xx日•分式方程的基本概念•分式方程的应用•分式方程的解题技巧目录•分式方程的应用题•分式方程的注意事项•分式方程与实际生活的联系•课后习题与答案01分式方程的基本概念分式方程是一种含有未知数和分母的方程，其未知数是分子，分母是常数。
定义例如，x/3=2就是一个简单的分式方程，其中x是未知数，3是分母。
示例分式方程的定义简单分式方程只有一个分式和一个未知数，且未知数在分母中。
复杂分式方程包含多个分式和未知数，或者未知数在分子或分母中。
分式方程的分类1分式方程的解法23将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得到未知数的值。
转化法画出分式方程对应的函数图像，通过交点或切线求解未知数。
图像法联系实际应用问题，建立分式方程并求解，用于解决实际问题。
应用法02分式方程的应用总结词通过已知速度和时间，求路程详细描述在匀速直线运动中，速度与时间的关系可以用以下方程表示：速度 = 路程 / 时间。
已知速度和时间，就可以求出路程。
例如，已知速度为60公里/小时，行驶了10小时，那么行驶的路程是600公里。
速度与时间的关系总结词通过已知密度和质量，求体积详细描述密度是物质的质量除以其体积，可以用以下方程表示：密度 = 质量 / 体积。
已知密度和质量，就可以求出体积。
例如，已知水的密度是1克/立方厘米，质量为100克的水，其体积是100立方厘米。
密度与质量的关系效率与成本的关系总结词通过已知效率和成本，求产量或收益详细描述在生产或服务过程中，效率与成本的关系可以用以下方程表示：效率 = 产量 / 成本。
已知效率和成本，就可以求出产量或收益。
例如，已知一家工厂的生产效率是每小时生产100个产品，总成本为500元，那么每小时的产量是100个产品。
03分式方程的解题技巧换元法是一种常用的解分式方程的方法，通过引入新的变量来简化方程的形式，从而方便求解。
在解分式方程时，如果方程中存在复杂的分式或多项式，可以引入一个新的变量来代替这些复杂的表达式，从而将方程简化成更容易求解的形式。
《中考大一轮数学复习》课件 课时10 分式方程及其应用(1).ppt
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点对点训练 10. (2013·安徽)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍 和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购 买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍． (1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍 和羽毛球拍的总费用． (2)若购买的两种球拍数一样，求x.
速度为 x 千米/时，则所列方程正确的为( B )
51 5 A. x＋6＝2x
51 5 B. x－6＝2x
5
5
5
5
C. x＋10＝2x D. x－10＝2x
1
2. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为 300 m 的污水排放管道．铺设 120
m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增
－1)＝1，则 x 的值为( A )
A.
5 6
B.
5 4
C.
3 2
D. －16
2. (2014·贵州黔南州)货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同， 已知小车每小时比货车多行 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x
千米/小时，依题意列方程正确的是( C )
A. 2x5＝x－3520
典例分析 3 关于 x 的方程2xx－＋1a＝1 的解是正数，则 a 的取值范围是(
)
A. a>－1 C. a<－1
B. a>－1 且 a≠0 D. a<－1 且 a≠－2
解析 首先去分母，得2x＋a＝x－1，解该整式方程，得x＝－a－1，
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1 1－x 2．(2009 中考变式题)以下是方程 － ＝1 去分母后的结果，其中正确的是( x 2x A．2－1－x＝1 B．2－1＋x＝1 C．2－1＋x＝2x D．2－1－x＝2x
【解析】等号两边同乘以 2x，去分母后为 2－1＋x＝2x.
)
【答案】C
x a 3．(2011 中考预测题)已知方程 ＝3－ 有增根，则 a 的值为( x－5 x－5 A．5 B．－5 C．6 D．4 )
9．(2010·山西)方程 【解析】 2 1 － ＝0 的解为________． x＋1 x－2
2 1 － ＝0,2(x－2)－(x＋1)＝0，解得 x＝5，经检验 x＝5 是原方程的根． x＋1 x－2
【答案】x＝ 5 x 2 10．(2010·宁夏)若分式 与 1 互为相反数，则 x 的值是________． x－1 【解析】 2 ＋1＝0,2＋(x－1)＝0， ∴x＝－1，经检验 x＝－1 是原方程的根． x－1
(1)(2010·咸宁)分式方程 A．x＝1 B．x＝－1
x＋1 x ＝ 的解为( ) x－3 x－1 C．x＝3 D．x＝－3
mx＋1 ＝－1 时产生增根，则 m 的值是( x－1 )
(2)(2009 中考变式题)若解分式方程 A．0 B．1 C．－1 D．±1
【点拨】(1)题方程两边同时乘以(x－3)(x－1)，约去分母得 x(x－1)＝(x－3)(x＋1)，解得 x＝－3. 经检验：x＝－3 是原方程的根． ∴分式方程的解为 x＝－3. (2)题使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个 整式方程的根． mx＋1 ∵ ＝－1 有增根，∴x－1＝0，∴x＝1，∴mx＋1＝－x＋1.当 x＝1 时，解得 m＝ x－1 －1.
【解析】由题意知小车的速度为(x＋20)千米/时，根据货车行驶 25 千米与小车行驶 35 (x 20) / 25 35 千米所用的时间相同，得 ＝ . x x＋20
【答案】C
6．(2009 中考变式题)某服装厂准备加工 400 套运动装，在加工完 160 套后，采用了新技 术，使得工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问计划每天加工服装 多少套．在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为( ) 160 400 A. ＋ ＝18 x (1＋20%)x 160 400－160 B. ＋ ＝18 x (1＋20%)x 160 400 C. ＋ ＝18 x 20%x 400 400－160 D. ＋ ＝18 x 20%x
【解析】题目中的等量关系为：原计划铺设 120 m 用的天数＋后来 180 m 新工效所用 的天数＝30.
【答案】
120 300－120 ＋ ＝30 x (1＋20%)x
13．(2010·成都)甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作， 且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是 x 天，则 x 的值是________．
【解析】原式去分母后得 x＝ 3(x－ 5)－ a，把增根 x＝ 5 代入得 a＝－ 5.
【答案】B
8 2 4．(2009 中考变式题)解方程 的结果是( 2＝ 4－x 2－x A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝4 D．无解
8 2 ，8＝2(2＋x)，8＝4＋2x，x＝2 2＝ 4－x 2－x 是原方程的增根，∴原方程无解． 【解析】
【答案】D
)
当 x＝2 时，4－x2＝0，∴x＝2
5． (2010·益阳)货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用的时间相同， 已知小车每小时比 货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程 正确的是( ) 25 25 35 35 A. ＝ B. ＝ x x－20 x－20 x 25 35 25 35 C. ＝ D. ＝ x x＋20 x＋20 x
【解 x＋1 2x－2 x (2)(2010·上海)解方程： － －1＝0. x x－1 (1)(2010·眉山)解方程：
【点拨】本组题考查分式方程的解法，一般步骤为：①去分母，转化为整式方程；②解 整式方程，得根；③验根．这三步缺一不可．
【解答】(1)方程两边同时乘以 x(x＋1)，约去分母，得 1 x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)．解得 x＝－ . 2 1 经检验，x＝－ 是原方程的根． 2 1 所以，原方程的解为 x＝－ . 2 (2)方程两边同时乘以 x(x－1)，约去分母，得 x2－(2x－2)(x－1)－x(x－1)＝0 1 解得 x＝ 或 x＝2. 2 1 经检验，x＝ 或 x＝2 都是原方程的根． 2 1 所以原方程的解为 x＝ 或 x＝2. 2
5．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1 200 件新产品进行精加工后再投 放市场．现在甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情 况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
去分母
考点二 与增根有关的问题 1．分式方程的增根必须同时满足两个条件 (1)是由分式方程化成的整式方程的根； (2)使最简公分母为零． 2．增根在含参数的分式方程中的应用 由增根求参数的值．解答思路为：①将原方程化为整式方程；②确定增根；③将增根代 入变形后的整式方程，求出参数的值．
考点三 列分式方程解应用题 1． 列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样． 不同之处是列出的方程是分式方程． 求出分式方程解后，一定要记住对所列方程和实际问题验根，不要缺少了这一步. ．． 2．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题．(包括日历中的数字规律) ①设个位数字为 c，十位数字为 b，百位数字为 a，则这个三位数是 100a＋10b＋c； ②日历中前后两日差 1，上下两日差 7. (2)体积变化问题． (3) (3)打折销售问题． ①利润＝售价－成本； 利润 ②利润率＝ ×100%. 成本 (4)行程问题． (5)教育储蓄问题． ①利息＝本金×利率×期数； ②本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利润×期数)； ③利息税＝利息×利息税率； ④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．
甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品
考点训练 9
分式方程及应用
(训练时间：60分钟 分值：100分)
一、选择题(每小题 4 分，共 32 分)
3 1 1．(2010·重庆)方程 ＝ 的解为( x＋2 x＋1 4 1 A．x＝ B．x＝－ 5 2 C．x＝－2 D．无解
)
3 1 1 1 【解析】 ＝ ，3(x＋1)＝x＋2,3x＋3＝x＋2，2x＝－1，x＝－ ，经检验 x＝－ 是 2 2 x＋2 x＋1 原方程的根．
x－2 x 1．方程 ＝ 的解是( C ) x－4 x－6 A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3
D．x＝4
2．关于 x 的方程
2x＋a ＝1 的解是正数，则 a 的取值范围是 a<－1. x－1
3．解方程： x＝5
2 3 ＝ . x－1 x＋1
4．解方程： x＝ 5 3
3 x 1 － ＝ . 2x－4 x－2 2
【答案】－ 1
11．(2010·温州)当 x＝________时，分式
x＋3 的值等于 2. x－1
【解析】
x＋3 ＝2，x＋3＝2(x－1)，x＋3＝2x－2，x＝5，经检验 x＝5 是原方程的根． x－1
【答案】5
12． (2010·青岛)某市为治理污水， 需要铺设一段全长为 300 m 的污水排放管道． 铺设 120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加 20%，结 果共用 30 天完成这一任务，求原计划每天铺设管理的长度．如果设原计划每天铺设 x m 管 道，那么根据题意，可得方程____________．
)
【解析】方程两边同乘以 x(x＋1)得 2x2－(m＋1)＝(x＋1)2. ∵方程有增根，∴x＝0 或－1. 当 x＝0 时，2×02－(m＋1)＝(0＋1)2，∴m＝－2. 当 x＝－1 时，2×(－1)2－(m＋1)＝(－1＋1)2，∴m＝1，故 m＝1 或－2.
【答案】D
二、填空题(每小题 4 分，共 28 分)
x－2 x－4 ＋ ＝1，解得 x＝6. x x
【解析】由题意得
【答案】6
1 1 14．(2010·桂林)已知 x＋ ＝3，则代数式 x2＋ 2的值为__________． x x
1 1 【解析】x2＋ 2＝(x＋ )2－2＝32－2＝9－2＝7. x x 【答案】7
15．(2010·绵阳)在 5 月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛．当时洪水流速为 10 千米/时， 张师傅奉命用冲锋舟去救援， 他发现沿洪水以最大速度顺流航行 2 千米所用的时间， 与以最大速度逆流航行 1.2 千米所用的时间相等，请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速 为__________．
【解析】采用新技术后的工作效率为(1＋20%)x，前 160 套所用时间为 －160)套，所用时间为
【答案】B
160 ，后来的(400 x
400－160 160 400－160 ，可列方程为 ＋ ＝18. x (1＋20%)x (1＋20%)x
7．(2011 中考预测题)用换元法解方程 x2－2x＋ 为关于 y 的整式方程是( A．y2＋8y－7＝0 B．y2－8y－7＝0 C．y2＋8y＋7＝0 D．y2－8y＋7＝0 )
第9讲
分式方程及应用
考点一 分式方程及解法 1．分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即 分式方程― → 整式方程． ― 转化 3．解分式方程的步骤 ①去分母，转化为整式方程；②解整式方程，得根；③验根． 4．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．解分式方程 时，有可能产生增根(使方程中有的分母为零的根)，因此解分式方程要验根(其方法是代入最 简公分母中，使最简公分母为零的是增根，否则不是)．