新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十四等差数列及其前n项和含解析

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高考数学一轮复习专题:等差数列及其前n项和(教案及同步练习)

高考数学一轮复习专题:等差数列及其前n项和(教案及同步练习)

1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d .3.等差中项由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d .(4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(6)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…构成等差数列.5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2或S n =na 1+n (n -1)2d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法:a n +1-a n =d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列.(2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(3)通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(4)前n 项和公式:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)⇔{a n }是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( × )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n =3-2n ,则它的公差为-2.( √ )1.在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6等于( )A .-1B .0C .1D .6答案 B解析 由等差数列的性质,得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0,故选B.2.(教材改编)设数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6=2且S 5=30,则S 8等于( )A .31B .32C .33D .34 答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+5d =2,5a 1+10d =30,解得⎩⎨⎧ a 1=263,d =-43,∴S 8=8a 1+8×72d =32. 3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100等于( )A .100B .99C .98D .97答案 C解析 由等差数列性质,知S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=9a 5=27,得a 5=3,而a 10=8,因此公差d =a 10-a 510-5=1, ∴a 100=a 10+90d =98,故选C.4.设数列{a n }是等差数列,若a 3+a 4+a 5=12,则a 1+a 2+…+a 7等于( )A .14B .21C .28D .35答案 C∴a 1+a 2+…+a 7=7a 4=28.5.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列,且a 7+a 8+a 9=3a 8>0,所以a 8>0.又a 7+a 10=a 8+a 9<0,所以a 9<0.故当n =8时,其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中,若a 1=-2,且对任意的n ∈N *有2a n +1=1+2a n ,则数列{a n }前10项的和为( )A .2B .10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6=________.答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n +1=1+2a n 得a n +1-a n =12, 所以数列{a n }是首项为-2,公差为12的等差数列, 所以S 10=10×(-2)+10×(10-1)2×12=52. (2)∵a 3+a 5=2a 4=0,∴a 4=0.又a 1=6,∴a 4=a 1+3d =0,∴d =-2.∴S 6=6×6+6×(6-1)2×(-2)=6. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( )A .13B .35C .49D .63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________. 答案 (1)C (2)20∴S 7=7(a 1+a 7)2=49. (2)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+(a 1+d )2=-3,5a 1+5×42d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3, 则a 9=a 1+8d =-4+8×3=20.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *). (1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.(1)证明 因为a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *), b n =1a n -1(n ∈N *), 所以b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1=1(2-1a n)-1-1a n -1=a n a n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a 1-1=-52. 所以数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列. (2)解 由(1)知b n =n -72, 则a n =1+1b n =1+22n -7. 设f (x )=1+22x -7, 则f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上为减函数. 所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3.引申探究本例中,若将条件变为a 1=35,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),试求数列{a n }的通项公式. 解 由已知可得a n +1n +1=a n n+1,即a n +1n +1-a n n=1,又a 1=35, ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=35为首项,1为公差的等差数列, ∴a n n =35+(n -1)·1=n -25, ∴a n =n 2-25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n 都有a n +1-a n 等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n 都有2a n +1=a n +a n +2后,可递推得出a n +2-a n +1=a n +1-a n =a n -a n -1=a n -1-a n -2=…=a 2-a 1,根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法:得出a n =pn +q 后,得a n +1-a n =p 对任意正整数n 恒成立,根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法:得出S n =An 2+Bn 后,根据S n ,a n 的关系,得出a n ,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( ) A .a n =1nB .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 A解析 由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得 1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知{1a n }是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =n ,即a n =1n . (2)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2.①设b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等差数列;②求{a n }的通项公式.①证明 由a n +2=2a n +1-a n +2,得a n +2-a n +1=a n +1-a n +2,即b n +1=b n +2.又b 1=a 2-a 1=1,所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列.②解 由①得b n =1+2(n -1)=2n -1,即a n +1-a n =2n -1.于是∑n k =1 (a k +1-a k )=∑nk =1(2k -1), 所以a n +1-a 1=n 2,即a n +1=n 2+a 1.又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________.(2)已知{a n },{b n }都是等差数列,若a 1+b 10=9,a 3+b 8=15,则a 5+b 6=________.答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,所以a 5=5,故a 2+a 8=2a 5=10.(2)因为{a n },{b n }都是等差数列,所以2a 3=a 1+a 5,2b 8=b 10+b 6,所以2(a 3+b 8)=(a 1+b 10)+(a 5+b 6),即2×15=9+(a 5+b 6),解得a 5+b 6=21.命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=-12,S 9=45,则S 12=________.(2)在等差数列{a n }中,a 1=-2 018,其前n 项和为S n ,若S 1212-S 1010=2,则S 2 018的值等于( ) A .-2 018B .-2 016C .-2 019D .-2 017 答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9成等差数列,所以2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),即2(S 6+12)=-12+(45-S 6),解得S 6=3.又2(S 9-S 6)=(S 6-S 3)+(S 12-S 9),即2×(45-3)=(3+12)+(S 12-45),解得S 12=114.(2)由题意知,数列{S n n}为等差数列,其公差为1, ∴S 2 0182 018=S 11+(2 018-1)×1 =-2 018+2 017=-1.∴S 2 018=-2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列{a n }中,a m -a n =(m -n )d ⇔a m -a n m -n=d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);②S 2n -1=(2n -1)a n .(1)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( )A .58B .88C .143D .176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =3n -22n +1,则a 7b 7等于( ) A.3727B.3828C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11=11(a 1+a 11)2=11(a 4+a 8)2=11×162=88. (2)a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=a 1+a 132×13b 1+b 132×13=S 13T 13 =3×13-22×13+1=3727.6.等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列,求其前n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题,也有大题,难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 7+a 9)=54,则此数列前10项的和S 10等于( )A .45B .60C .75D .90 (2)在等差数列{a n }中,S 10=100,S 100=10,则S 110=________.解析 (1)由题意得a 3+a 8=9,所以S 10=10(a 1+a 10)2=10(a 3+a 8)2=10×92=45. (2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则⎩⎨⎧10a 1+10×92d =100,100a 1+100×992d =10,解得⎩⎨⎧ a 1=1 099100,d =-1150.所以S 110=110a 1+110×1092d =-110. 方法二 因为S 100-S 10=(a 11+a 100)×902=-90, 所以a 11+a 100=-2,所以S 110=(a 1+a 110)×1102=(a 11+a 100)×1102=-110. 答案 (1)A (2)-110典例2 在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值.规范解答解 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d , ∴d =-53. 方法一 由a n =20+(n -1)×⎝⎛⎭⎫-53=-53n +653, 得a 13=0.即当n ≤12时,a n >0,当n ≥14时,a n <0.∴当n =12或n =13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝⎛⎭⎫-53 =130.方法二 S n =20n +n (n -1)2·⎝⎛⎭⎫-53 =-56n 2+1256n =-56⎝⎛⎭⎫n -2522+3 12524. ∵n ∈N *,∴当n =12或n =13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.方法三 由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0.∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或n =13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.1.(2016·重庆一诊)在数列{a n }中,a n +1-a n =2,a 2=5,则{a n }的前4项和为( )A .9B .22C .24D .32 答案 C解析 由a n +1-a n =2,知{a n }为等差数列且公差d =2,∴由a 2=5,得a 1=3,a 3=7,a 4=9,∴前4项和为3+5+7+9=24,故选C.2.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱 答案 D解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+d =3a 1+9d ,2a 1+d =52,⎩⎨⎧ a 1=43,d =-16,故选D.3.(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2=3,S n -S n -3=51(n >3),S n =100,则n 的值为( )A .8B .9C .10D .11答案 C解析 由S n -S n -3=51,得a n -2+a n -1+a n =51,所以a n -1=17,又a 2=3,S n =n (a 2+a n -1)2=100,解得n =10. 4.在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+6,则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A .24B .48C .66D .132 答案 D解析 方法一 由a 1+8d =12(a 1+11d )+6,得a 1+5d =12,∴a 1=12-5d .又S 11=11a 1+11×102d =11a 1+55d =11(12-5d )+55d =132.方法二 由a 9=12a 12+6,得2a 9-a 12=12. 由等差数列的性质得,a 6+a 12-a 12=12,a 6=12,S 11=11(a 1+a 11)2=11×2a 62=132,故选D. 5.已知数列{a n }满足a n +1=a n -57,且a 1=5,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A .7B .8C .7或8D .8或9答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5,公差为-57的等差数列,所以a n =5-57(n -1)=40-5n 7,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S n 取得最大值时,n =7或n =8,故选C.*6.设等差数列{a n }满足a 1=1,a n >0(n ∈N *),其前n 项和为S n ,若数列{S n }也为等差数列,则S n +10a 2n的最大值是( )A .310B .212C .180D .121 答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ,依题意得2S 2=S 1+S 3,因为a 1=1,所以22a 1+d =a 1+3a 1+3d , 化简可得d =2a 1=2,所以a n =1+(n -1)×2=2n -1,S n =n +n (n -1)2×2=n 2, 所以S n +10a 2n =(n +10)2(2n -1)2=(n +102n -1)2 =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n -1)+2122n -12 =14⎝⎛⎭⎫1+212n -12≤121, 故选D.7.(2015·安徽)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于________.答案 27解析 由题意知数列{a n }是以1为首项,以12为公差的等差数列,∴S 9=9×1+9×82×12=9+18=27.8.已知数列{a n }中,a 1=1且1a n +1=1a n +13(n ∈N *),则a 10=________. 答案 14解析 由已知得1a 10=1a 1+(10-1)×13=1+3=4,故a 10=14.9.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 答案 130解析 由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0,得n ≥5,∴当n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.10.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________. 答案1941解析 ∵{a n },{b n }为等差数列, ∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6.∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, ∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=1941. 11.在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d , 则a n =a 1+(n -1)d .由a 1=1,a 3=-3,可得1+2d =-3,解得d =-2. 从而a n =1+(n -1)×(-2)=3-2n . (2)由(1)可知a n =3-2n ,所以S n =n [1+(3-2n )]2=2n -n 2.由S k =-35,可得2k -k 2=-35, 即k 2-2k -35=0,解得k =7或k =-5. 又k ∈N *,故k =7.12.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0, 得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2,又1S 1=1a 1=2, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n =2n ,∴S n =12n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=n -1-n 2n (n -1)=-12n (n -1).当n =1时,a 1=12不适合上式.故a n=⎩⎨⎧12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.*13.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =a 2n +n -4(n ∈N *).(1)求证:数列{a n }为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n =1时,有2a 1=a 21+1-4, 即a 21-2a 1-3=0, 解得a 1=3(a 1=-1舍去). 当n ≥2时,有2S n -1=a 2n -1+n -5, 又2S n =a 2n +n -4,两式相减得2a n =a 2n -a 2n -1+1,即a2n-2a n+1=a2n-1,也即(a n-1)2=a2n-1,因此a n-1=a n-1或a n-1=-a n-1.若a n-1=-a n-1,则a n+a n-1=1.而a1=3,所以a2=-2,这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾,所以a n-1=a n-1,即a n-a n-1=1,因此数列{a n}是首项为3,公差为1的等差数列.(2)解由(1)知a1=3,d=1,所以数列{a n}的通项公式a n=3+(n-1)×1=n+2,即a n=n+2.第2讲 等差数列及其前n 项和一、选择题1. {a n }为等差数列,公差d =-2,S n 为其前n 项和.若S 10=S 11,则a 1=( )A .18B .20C .22D .24解析 由S 10=S 11得a 11=S 11-S 10=0,a 1=a 11+(1-11)d =0+(-10)×(-2)=20. 答案 B2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ).A .6B .7C .8D .9解析 由a 4+a 6=a 1+a 9=-11+a 9=-6,得a 9=5,从而d =2,所以S n =-11n +n (n -1)=n 2-12n =(n -6)2-36,因此当S n 取得最小值时,n =6. 答案 A3.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20等于( ). A .-1B .1C .3D .7解析 两式相减,可得3d =-6,d =-2.由已知可得3a 3=105,a 3=35,所以a 20=a 3+17d =35+17×(-2)=1. 答案 B4.在等差数列{a n }中,S 15>0,S 16<0,则使a n >0成立的n 的最大值为( ). A .6B .7C .8D .9解析 依题意得S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8>0,即a 8>0;S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 1+a 16)=8(a 8+a 9)<0,即a 8+a 9<0,a 9<-a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8,选C. 答案 C5.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( ).A .8B .7C .6D .5解析 由a 1=1,公差d =2得通项a n =2n -1,又S k +2-S k =a k +1+a k +2,所以2k +1+2k +3=24,得k =5. 答案 D6.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为整数的正整数的个数是( ). A .2B .3C .4D .5解析 由A n B n =7n +45n +3得:a n b n =A 2n -1B 2n -1=14n +382n +2=7n +19n +1,要使a n b n 为整数,则需7n +19n +1=7+12n +1为整数,所以n =1,2,3,5,11,共有5个. 答案 D 二、填空题7.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k =________.解析 a 7-a 5=2d =4,d =2,a 1=a 11-10d =21-20=1,S k =k +k k -12×2=k 2=9.又k ∈N *,故k =3.答案 38.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412-S 39=1,则公差为________.解析 依题意得S 4=4a 1+4×32d =4a 1+6d ,S 3=3a 1+3×22d =3a 1+3d ,于是有4a 1+6d12-3a 1+3d9=1,由此解得d =6,即公差为6. 答案 69.在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.解析 (直接法)设公差为d ,则11(-3+4d )=5(-3+7d )-13, 所以d =59,所以数列{a n }为递增数列.令a n ≤0,所以-3+(n -1)·59≤0,所以n ≤325,又n ∈N *,前6项均为负值, 所以S n 的最小值为-293. 答案 -29310.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________.解析 设等差数列{a n }的项数为2n +1, S 奇=a 1+a 3+…+a 2n +1=(n +1)(a 1+a 2n +1)2=(n +1)a n +1,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2n =n (a 2+a 2n )2=na n +1,∴S 奇S 偶=n +1n =4433,解得n =3,∴项数2n +1=7,S 奇-S 偶=a n +1,即a 4=44-33=11为所求中间项. 答案 11 7 三、解答题11.设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.(1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围. 解 (1)由题意知S 6=-15S 5=-3,a 6=S 6-S 5=-8,所以⎩⎨⎧5a 1+10d =5,a 1+5d =-8.解得a 1=7,所以S 6=-3,a 1=7.(2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 21+9da 1+10d 2+1=0,故(4a 1+9d )2=d 2-8,所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥2 2.12.在等差数列{a n }中,公差d >0,前n 项和为S n ,a 2·a 3=45,a 1+a 5=18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =S n n +c (n ∈N *),是否存在一个非零常数c ,使数列{b n }也为等差数列?若存在,求出c 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)由题设,知{a n }是等差数列,且公差d >0, 则由⎩⎨⎧ a 2a 3=45,a 1+a 5=18,得⎩⎨⎧(a 1+d )(a 1+2d )=45,a 1+(a 1+4d )=18.解得⎩⎨⎧a 1=1,d =4.∴a n =4n -3(n ∈N *).(2)由b n =S nn +c =n (1+4n -3)2n +c =2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12n +c ,∵c ≠0,∴可令c =-12,得到b n =2n . ∵b n +1-b n =2(n +1)-2n =2(n ∈N *), ∴数列{b n }是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数c =-12,使数列{b n }也为等差数列. 13.在数列{a n }中,a 1=8,a 4=2,且满足a n +2+a n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和,求S n .解 (1)由2a n +1=a n +2+a n 可得{a n }是等差数列, 且公差d =a 4-a 14-1=2-83=-2.∴a n =a 1+(n -1)d =-2n +10. (2)令a n ≥0,得n ≤5.即当n ≤5时,a n ≥0,n ≥6时,a n <0. ∴当n ≤5时,S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a n =-n 2+9n ; 当n ≥6时,S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a 5-(a 6+a 7+…+a n ) =-(a 1+a 2+…+a n )+2(a 1+a 2+…+a 5) =-(-n 2+9n )+2×(-52+45) =n 2-9n +40,∴S n =⎩⎨⎧-n 2+9n ,n ≤5,n 2-9n +40,n ≥6.14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2a n =S 2+S n 对一切正整数n 都成立. (1)求a 1,a 2的值;(2)设a 1>0,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时,T n 最大?并求出T n 的最大值.解 (1)取n =1,得a 2a 1=S 2+S 1=2a 1+a 2,① 取n =2,得a 22=2a 1+2a 2,② 由②-①,得a 2(a 2-a 1)=a 2,③(i)若a 2=0,由①知a 1=0, (ii)若a 2≠0,由③知a 2-a 1=1.④由①、④解得,a 1=2+1,a 2=2+2;或a 1=1-2,a 2=2- 2.综上可得a 1=0,a 2=0;或a 1=2+1,a 2=2+2;或a 1=1-2,a 2=2- 2. (2)当a 1>0时,由(1)知a 1=2+1,a 2=2+2.当n ≥2时,有(2+2)a n =S 2+S n ,(2+2)a n -1=S 2+S n -1, 所以(1+2)a n =(2+2)a n -1,即a n =2a n -1(n ≥2), 所以a n =a 1(2)n -1=(2+1)·(2)n -1. 令b n =lg 10a 1a n,则b n =1-lg(2)n -1=1-12(n -1)lg 2=12lg 1002n -1,所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为-12lg 2), 从而b 1>b 2>…>b 7=lg 108>lg 1=0, 当n ≥8时,b n ≤b 8=12lg 100128<12lg 1=0, 故n =7时,T n 取得最大值,且T n 的最大值为 T 7=7(b 1+b 7)2=7(1+1-3lg 2)2=7-212lg 2.。

高考数学一轮复习课时跟踪检测(三十)等差数列及其前n项和理(重点高中)

高考数学一轮复习课时跟踪检测(三十)等差数列及其前n项和理(重点高中)

课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n 项和(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做=10a +8a ,2=1a ,若n S 项和为n 的前}n a {已知等差数列)兰州诊断考试(2018·.1)(=9S ,则28 A .36B .72C .144D .288 ,2=1a ,28=d 16+1a 2=10a +8a ∵法一: B 解析:选 72.=32×9×82+9×2=9S ∴,32=d ∴ ,14=9a ∴,28=9a 2=10a +8a ∵法二: 72.=9a1+a92=9S ∴ 4a ,3+n a +n S =1+n S 项和,且n 的前}n a {是数列n S 已知)湖南五市十校联考(2018·.2)(=8S ,则23=5a + A .72 B .88 C .92D .98 的等差3是公差为}n a {,故数列3=n a -1+n a ,得3+n a +n S =1+n S 法一:由 C 解析:选92.=d 8×72+1a 8=8S ,1=1a ∴,21+1a 2=d 7+1a 2=23=5a +4a 数列,又 =8S 的等差数列,3是公差为}n a {,故数列3=n a -1+n a ,得3+n a +n S =1+n S 法二:由92.=8a4+a52=8a1+a82|2a |+|1a |,则5=-1a ,2=n a -1+n a 满足}n a {已知数列)东北四市高考模拟(2018·.3)(=|6a |+…+ A .9 B .15 C .18D .30 ,所以5=-1a ,又2=d 是等差数列,公差}n a {可得数列2=n a -1+n a 由 C 解析:选18.=5+3+1+1+3+5=|6a |+|5a |+|4a |+|3a |+|2a |+|1a |,所以7-n 2=n a 4.(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知A ,B ,C ,D ,E 五人分5钱,A ,B 两人所得与C ,D ,E 三人所得相同,且A ,B ,C ,D ,E 每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,E 所得为( )钱23A.钱43B. 钱56C.钱32D. 解析:选A 由题意,设A 所得为a -4d ,B 所得为a -3d ,C 所得为a -2d ,D 所得为钱.23所得为E ,故23=a 解得⎩⎪⎨⎪⎧5a -10d =5,2a -7d =3a -3d ,,则a 所得为E ,d -a )(=4a ,则3anan +3=1+n a ,3=1a 中,}n a {在数列)校跨区调研11云南(2018·.5 34A. 1.B 43C.32D. 13=1a1是以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ,故数列13=1an -1an +1,13+1an =an +33an =1an +1依题意得A 解析:选.34=4a ,3n =n a ,n 3=n -13+13=1an 为公差的等差数列,则13为首项、 ,0=5a +3a ,6=1a 项和.若n 为其前n S 为等差数列,}n a {已知)北京高考(2016·.6________.=6S 则 0.=4a ∴,4a 2=5a +3a ∵解析: 2.=-d ∴,d 3+1a =4a ,6=1a ∵ 6.=30-6×6=d 6×6-12+1a 6=6S ∴ 答案:6=99a +…+5a +3a +1a ,则45=100S 项的和100,前12=d 中,公差}n a {.在等差数列7________.,910=100a +1a ,所以45=)100a +1a (1002=100S 解析:因为 ,25=d -100a +1a =99a +1a 10.=25×502=)99a +1a (502=99a +…+5a +3a +1a 则 答案:10为其前n S ,10=7a +1a ,7=3a 为等差数列,}n a {已知数列)广东深圳中学月考8.(2018·________.=n 取到最大值的n S 项和,则使n3a =n a ,2=-3a -4a =d 故⎩⎪⎨⎪⎧a3=7,2a4=10,,由题意得d 的公差为}n a {解析:设等差数列项均6中,其前}n a {所以在等差数列<6.5.n ,得>0n a 令.n 2-13=3)-n 2(-7=d 3)-n (+ 6.的值为n 取到最大值的n S 为正,其他各项均为负,于是使 答案:6∈n 1(-n2=n S ,且n S 项和为n 的前}n a {已知数列)广西三市第一次联考(2018·.9.)*N 的通项公式;}n a {求数列(1) .n T 项和n 的前}n b {,求1+n a 4log =n b 设(2) ,1-n 2=1-n S -n S =n a 时,≥2n 当(1)解: ,1-n 2=n a ,满足1=1-2=1a 时,1=n 当 .)*N ∈n (1-n 2=n a 的通项公式为}n a {数列∴ ,n +12=1+n a 4log =n b 得,(1)由(2) ,12=n +12-n +22=n b -1+n b 则 的等差数列,12=d ,公差1是首项为}n b {数列∴ .n2+3n4=d nn -12+1nb =n T ∴ 的n a 和2n a 是n S ,*N ∈n ,已知对任意n S 项和为n 的各项都为正数,其前}n a {设数列10.等差中项.为等差数列;}n a {证明:数列(1) 的值.n 的最大项的值并求出取最大值时}n b ·n a {,求5+n =-n b 若(2) ,>0n a ,且n a +2n a =n S 2证明:由已知可得(1)解: 1.=1a 解得,1a +21a =1a 2时,1=n 当 ,1-n a +2n -1a =1-n S 2时,有≥2n 当 ,1-n a -n a +2n -1a -2n a =1-n S 2-n S 2=n a 2所以 ,1-n a +n a =2n -1a -2n a 所以 ,1-n a +n a =)1-n a -n a )(1-n a +n a (即 .≥2)n 1(=1-n a -n a ,所以>01-n a +n a 因为 的等差数列.1,公差为1是首项为}n a {故数列 ,n b ·n a =n c 设,n =n a 可知(1)由(2) ,254+2⎝ ⎛⎭⎪⎫n -52=-n 5+2n =-5)+n -(n =n c 则6.的最大项的值为}n b ·n a {时,3=n 或2=n ,当*N ∈n 因为 B 级——拔高题目稳做准做,则下列结论8S >7S =6S ,6S <5S 项和,且n 是其前n S 是其公差,d 是等差数列,}n a {设1.错误的是( )A .d <0 0=7a .B 5S >9S .C 取得最大值n S 时7=n 或6=n .当D 同理由>0.6a ,即6a +5a +4a +3a +2a +1a <5a +4a +3a +2a +1a ,得6S <5S 由 C 解析:选d∵正确;B ∴,0=7a ∴,7a +6a +…+2a +1a =6a +…+2a +1a ∴,7S =6S 又<0.8a ,得8S >7S ,由结论)>08a +7a 2(,可得>09a +8a +7a +6a ,即5S >9S 选项,C 正确;而A ∴,<06a -7a =项和的函数特性可n 结合等差数列前∴,8S >7S =6S ,6S <5S ∵选项错误;C ,知<08a ,0=7a 知D 正确.选C.整除5项中,能被200的前}n a {,则数列5=1a ,且1=an2n +3-an +12n +5满足}n a {若数列2.的项数为( )A .90B .80C .60D .40 a12×1+3,又1=an 2n +3-an +12n +1+3,即1=an2n +3-an +12n +5满足}n a {数列 B 解析:选,n 3+2n 2=n a ∴,n =an 2n +3∴为公差的等差数列,1为首项,1是以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n +3数列∴,1=列表如下:项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10的个位数n a 5 4 7 4 5 0 9 2 9,80n 10每∴故选B.________.=m ,则3=1+m S ,0=m S ,2=-1-m S ,n S 项和为n 的前}n a {设等差数列3. ,3=1+m S ,0=m S ,2=-1-m S ,n S 项和为n 的前}n a {解析:因为等差数列 ,5=1-m S -1+m S =1+m a +m a ,1=d ,数列的公差3=m S -1+m S =1+m a ,2=1-m S -m S =m a 所以 .m -3=1a ,所以5=1-m 2+1a 2即 ,0=×1mm -12+m )m -(3=m S 由 解得m =5. 答案:5的最大值为S1010·S88,则24=9a +4a +2a ,若n S 项和为n 的前}n a {设等差数列4.________.,所以8=d 4+1a ,即24=d 12+1a 3=9a +4a +2a ,则d 的公差为}n a {解析:设等差数列d 4-8=S1010,d 2-8=d 72+d 4-8=S88,则d n -12+d 4-8=d n -12+1a =na1+n n -12d n =Snn时取等号,所以0=d ,当且仅当≤64d24-64=⎝ ⎛⎭⎪⎫8+d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8-d 2=S1010·S88,d 2+8=d 92+64.的最大值为S1010·S88答案:64.)*N ∈n 3(-n 4=n a +1+n a 满足,}n a {.已知数列5 的值;1a 是等差数列,求}n a {若数列(1) .n S 项和n 的前}n a {时,求数列2=1a 当(2) 是等差数列,}n a {数列∵法一:(1)解: .nd +1a =1+n a ,d 1)-n (+1a =n a ∴ ,3-n 4=n a +1+n a 由 ,3-n 4=d 1)-n (+1a +nd +1a 得 ,3-n 4=)d -1a (2+dn 2∴ ,3=-d -1a 4,2=d 2即 .12=-1a ,2=d 解得 ,3-n 4=n a +1+n a 中,由}n a {法二:在等差数列 ,1+n 4=3-1)+n 4(=1+n a +2+n a 得 2.=d ∴,4=3)-n (4-1+n 4=n a -2+n a =d 2∴ ,1=2+1a 2=d +1a 2=2a +1a ∵又 .12=-1a ∴ (2)由题意知,①当n 为奇数时,na +…+3a +2a +1a =n S )n a +1-n a (+…+)5a +4a (+)3a +2a (+1a = n -123×-1)]-n (+…+4+4[2+2= .2n2-3n +52=na +…+3a +2a +1a =n S 为偶数时,n 当②)n a +1-n a (+…+)4a +3a (+)2a +1a (= =1+9+…+(4n -7).2n2-3n2=⎩⎪⎨⎪⎧2n2-3n +52,n 为奇数,2n2-3n2,n 为偶数.=nS 综上, .2n +1a -2n a =n b 是等差数列,}n a {知数列已6. 是等差数列;}n b {证明:数列(1) ,求数列)为常数k (k 13-143=26a +…+6a +4a +2a ,130=25a +…+5a +3a +1a 若(2)的通项公式.}n b { ,d 的公差为}n a {证明:设(1)解: )2n +1a -2n a (-)2n +2a -2n +1a (=n b -1+n b 则 ,2d 2=-2)d +1+n a (-2)d -1+n a (-2n +1a 2= 为公差的等差数列.2d 2是以-}n b {数列∴ ,130=25a +…+5a +3a +1a ∵(2) ,k 13-143=26a +…+6a +4a +2a ∴13d =13-13k ,∴d =1-k . ,130=d ×213×13-12+1a 13又 ,k 12+2=-1a ∴ ,3-k 13+n )k -(1=)k -1)(1-n (+)k 12+2-(=d 1)-n (+1a =n a ∴ 5.+k 30-2k 25+n 2)k -2(1=-)1+n a -n a )(1+n a +n a (=2n +1a -2n a =n b ∴。

一轮复习课时训练§5.2: 等差数列及其前n项和

一轮复习课时训练§5.2: 等差数列及其前n项和

第五章§2:等差数列及其前n 项和(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100,训练时间45钟一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知{a n }为等差数列,且a 7-2a 4=-1,a 3=0,则公差d 等于A .-2B .-12 C.12 D .22.如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7等于A .14B .21C .28D .363.若向量a n =(cos2nθ,sinnθ),b n =(1,2sinnθ),数列{x n }满足x n =(a n ·b n )2-1,则{x n }是A .等差数列B .等比数列C .既是等差数列,又是等比数列D .既不是等差数列,又不是等比数列4.数列{a n }满足a 1=1,a 2=23,且1a n -1+1a n +1=2a n(n ≥2),则a 5等于A.13 B .3 C .4 D .145.已知数列{a n }满足a 1=8,a 2=0,a 3=-7,且数列{a n +1-a n }为等差数列,则a n 的最小值为A .-30B .-29C .-28D .-27二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.若数列{a n }满足a n +a n +2=2a n +1,且S 9=27.则a 2+a 8=______.7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=a 6=12,则{a n }的通项公式为______. 8.已知数列{a n }满足递推关系式a n +1=2a n +2n -1(n ∈N *),且{a n +λ2n}为等差数列,则λ的值是________.三、解答题:本大题共2小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)已知数列{a n }是一个等差数列,且a 2=1,a 5=-5. (1)求{a n }的通项a n ;(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,nS n +1-(n +1)S n =n 2+cn(c ∈R ,n =1,2,3,…),且S 1,S 22,S 33成等差数列.(1)求c 的值;(2)求数列{a n }的通项公式.参考答案及其解析一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分.1.解析:a 7-2a 4=a 3+4d -2(a 3+d)=-a 3+2d =2d =-1,∴d =-12.答案:B2.解析:∵a 3+a 4+a 5=12,∴3a 4=12,a 4=4.∴a 1+a 2+…+a 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=28.答案:C3.解析:a n ·b n =cos2nθ+2sin 2nθ=1,x n =0,{x n }是等差数列.答案:A4.解析:因为1a n -1+1a n +1=2a n ,所以1a n +1-1a n =1a n -1a n -1,所以{1a n }为等差数列,d =1a 2-1a 1=12,1a n =1+12(n -1)=n +12,1a 5=5+12=3,所以a 5=13. 答案:A5.解析:由已知a 2-a 1=-8,a 3-a 2=-7.又∵{a n +1-a n }为等差数列,∴a n +1-a n =n -9.a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) =8-8-7+…+(n -10)=8+(n -18)(n -1)2=n 22-192n +17. ∴当n =9或10时a n 取最小值为-28. 答案:C二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.解析:由a n +a n +2=2a n +1得{a n }为等差数列.∵S 9=27,∴9(a 1+a 9)2=27.∴a 1+a 9=6,∴a 2+a 8=6. 答案:67.解析:设公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1+3d =12a 1+5d =12,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2d =2,∴a n =2n. 答案:a n =2n8.解析:由a n +1=2a n +2n -1可得a n +12n +1=a n 2n +12-12n +1,则a n +1+λ2n +1-a n +λ2n =a n +12n +1-a n 2n -λ2n +1=12-12n +1-λ2n +1=12-λ+12n +1,当λ的值是-1时,数列{a n -12n }是公差为12的等差数列. 答案:-1三、解答题:本大题共2小题,共36分.9.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)设{a n }的公差为d ,由已知条件,有⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =1a 1+4d =-5,解出a 1=3,d =-2.所以a n =a 1+(n -1)d =-2n +5. (2)S n =na 1+n (n -1)2d =-n 2+4n =4-(n -2)2. 所以n =2时,S n 取到最大值4.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)∵nS n +1-(n +1)S n =n 2+cn(n =1,2,3,…), ∴S n +1n +1-S n n =n 2+cnn (n +1)(n =1,2,3,…). ∵S 1,S 22,S 33成等差数列,∴S 22-S 11=S 33-S 22.∴1+c 2=4+2c 6, ∴c =1. (2)由(1)得S n +1n +1-S n n =1(n =1,2,3,…).∴数列{S n n }是首项为S 11,公差为1的等差数列.∴S n n =S 11+(n -1)·1=n. ∴S n =n 2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1. 当n =1时,上式也成立,∴{a n }的通项公式是a n =2n -1(n =1,2,3,…).。

2020高考人教版数学理科一轮复习课后练34【数列求和与数列的综合应用】及解析

2020高考人教版数学理科一轮复习课后练34【数列求和与数列的综合应用】及解析

2020高考人教版数学理科一轮复习课后练34【数列求和与数列的综合应用】及解析一、选择题1.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n -3⎝⎛⎭⎫15n,则其前20项和为( C ) A .380-35⎝⎛⎭⎫1-1519 B .400-25⎝⎛⎭⎫1-1520 C .420-34⎝⎛⎭⎫1-1520 D .440-45⎝⎛⎭⎫1-1520 解析:令数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 20=a 1+a 2+…+a 20=2(1+2+…+20)-3⎝⎛⎭⎫15+152+…+1520=2×20×(20+1)2-3×15⎝⎛⎭⎫1-15201-15=420-34⎝⎛⎭⎫1-1520. 2.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧2a n ,n 为正奇数,a n+1,n 为正偶数,则其前6项之和是( C )A .16B .20C .33D .120解析:由已知得a 2=2a 1=2,a 3=a 2+1=3,a 4=2a 3=6,a 5=a 4+1=7,a 6=2a 5=14,所以S 6=1+2+3+6+7+14=33.3.化简S n =n +(n -1)×2+(n -2)×22+…+2×2n -2+2n-1的结果是( D )A .2n +1+n -2B .2n +1-n +2C .2n -n -2D .2n +1-n -2解析:因为S n =n +(n -1)×2+(n -2)×22+…+2×2n -2+2n -1,① 2S n =n ×2+(n -1)×22+(n -2)×23+…+2×2n -1+2n ,②所以①-②得,-S n =n -(2+22+23+…+2n )=n +2-2n +1,所以S n =2n +1-n -2.4.(2019·沈阳市教学质量监测)在各项都为正数的等比数列{a n }中,若a 1=2,且a 1a 5=64,则数列{a n(a n -1)(a n +1-1)}的前n 项和是( A ) A .1-12n +1-1B .1-12n +1C .1-12n +1D .1-12n -1解析:∵数列{a n }为等比数列,a n >0,a 1=2,a 1a 5=64,∴公比q =2,∴a n =2n ,a n(a n -1)(a n +1-1)=2n(2n -1)(2n +1-1)=12n -1-12n +1-1.设数列{a n(a n -1)(a n +1-1)}的前n 项和为T n ,则T n =1-122-1+122-1-123-1+123-1-124-1+…+12n -1-12n +1-1=1-12n +1-1,故选A. 5.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤.问本持金几何.”其意思为:今有人持金出五关,第1关收税金为持金的12,第2关收税金为剩余金的13,第3关收税金为剩余金的14,第4关收税金为剩余金的15,第5关收税金为剩余金的16,5关所收税金之和,恰好重1斤.问此人总共持金多少.则在此问题中,第5关收税金( B )A.120斤 B.125斤 C.130斤 D.136斤 解析:假设原来持金为x ,则第1关收税金12x ;第2关收税金13(1-12)x =12×3x ;第3关收税金14(1-12-16)x=13×4x ;第4关收税金15(1-12-16-112)x =14×5x ;第5关收税金16(1-12-16-112-120)x =15×6x .依题意,得12x+12×3x +13×4x +14×5x +15×6x =1,即(1-16)x =1,56x =1,解得x =65,所以15×6x =15×6×65=125.故选B.6.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a n +1+a n =2n +1,且S n =1 350.若a 2<2,则n 的最大值为( A ) A .51 B .52 C .53D .54解析:因为a n +1+a n =2n +1 ①, 所以a n +2+a n +1=2(n +1)+1=2n +3 ②,②-①得a n +2-a n =2,且a 2n -1+a 2n =2(2n -1)+1=4n -1,所以数列{a n }的奇数项构成以a 1为首项,2为公差的等差数列,数列{a n }的偶数项构成以a 2为首项,2为公差的等差数列,数列{a 2n -1+a 2n}是以4为公差的等差数列,所以S n=⎩⎪⎨⎪⎧n (n +1)2+(a 1-1),n 为奇数,n (n +1)2,n 为偶数.当n 为偶数时,n (n +1)2=1 350,无解(因为50×51=2 550,52×53=2 756,所以接下来不会有相邻两数之积为2 700).当n 为奇数时,n (n +1)2+(a 1-1)=1 350,a 1=1 351-n (n +1)2,因为a 2<2,所以3-a 1<2,所以a 1>1,所以1 351-n (n +1)2>1,所以n (n +1)<2 700,又n ∈N *,所以n ≤51,故选A. 二、填空题7.已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n +1(3n -2),则前100项和S 100等于-150.解析:∵a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=…=a 99+a 100=-3,∴S 100=-3×50=-150. 8.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1·a n =2n (n ∈N *),则S 2 018=3·21_009-3.解析:∵数列{a n }满足a 1=1,a n +1·a n =2n ,①∴n =1时,a 2=2,n ≥2时,a n ·a n -1=2n -1,②由①÷②得a n +1a n -1=2,∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列,∴S 2 018=1-21 0091-2+2(1-21 009)1-2=3·21 009-3.9.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6=-63. 解析:解法1:因为S n =2a n +1,所以当n =1时,a 1=2a 1+1,解得a 1=-1; 当n =2时,a 1+a 2=2a 2+1,解得a 2=-2; 当n =3时,a 1+a 2+a 3=2a 3+1,解得a 3=-4; 当n =4时,a 1+a 2+a 3+a 4=2a 4+1,解得a 4=-8; 当n =5时,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=2a 5+1,解得a 5=-16;当n =6时,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=2a 6+1,解得a 6=-32.所以S 6=-1-2-4-8-16-32=-63. 解法2:因为S n =2a n +1,所以当n =1时,a 1=2a 1+1,解得a 1=-1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n+1-(2a n -1+1),所以a n =2a n -1,所以数列{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以a n =-2n -1,所以S 6=-1×(1-26)1-2=-63.三、解答题10.(2019·贵阳市监测考试)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比q >0,S 2=4,a 3-a 2=6. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 3a n +1,数列{b n }的前n 项和为T n ,求证:1T 1+1T 2+…+1T n <2.解:(1)∵S 2=a 1+a 2=4,a 3-a 2=6,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1+q )=4,a 1(q 2-q )=6,∵q >0,∴q =3,a 1=1,∴a n =1×3n -1=3n -1, 即数列{a n }的通项公式为a n =3n -1.(2)证明:由(1)知b n =log 3a n +1=log 33n =n ,∴b 1=1,b n +1-b n =n +1-n =1,∴数列{b n }是首项b 1=1,公差d =1的等差数列, ∴T n =n (n +1)2,则1T n =2n (n +1)=2(1n -1n +1),∴1T 1+1T 2+…+1T n =2(11-12+12-13+…+1n -1n +1)=2(1-1n +1)<2,∴1T 1+1T 2+…+1T n <2. 11.已知数列{a n }的首项为a 1=1,前n 项和为S n ,且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)由已知得S nn =1+(n -1)×2=2n -1,所以S n =2n 2-n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n 2-n -[2(n -1)2-(n -1)]=4n -3. 而a 1=1满足上式,所以a n =4n -3,n ∈N *. (2)由(1)可得b n =(-1)n (4n -3).当n 为偶数时,T n =(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n -7)+(4n -3)]=4×n2=2n ;当n 为奇数时,n +1为偶数,T n =T n +1-b n +1=2(n +1)-(4n +1)=-2n +1.综上,T n =⎩⎪⎨⎪⎧2n ,n 为偶数,-2n +1,n 为奇数.12.(2019·石家庄质量检测(二))已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-4,S m =0,S m +2=14(m ≥2,且m ∈N *).(1)求m 的值;(2)若数列{b n }满足a n2=log 2b n (n ∈N *),求数列{(a n +6)·b n }的前n 项和.解:(1)由已知得,a m =S m -S m -1=4, 且a m +1+a m +2=S m +2-S m =14, 设数列{a n }的公差为d , 则有2a m +3d =14,∴d =2.由S m =0,得ma 1+m (m -1)2×2=0,即a 1=1-m ,∴a m =a 1+(m -1)×2=m -1=4,∴m =5.(2)由(1)知a 1=-4,d =2,∴a n =2n -6, ∴n -3=log 2b n ,得b n =2n -3, ∴(a n +6)·b n =2n ×2n -3=n ×2n -2. 设数列{(a n +6)·b n }的前n 项和为T n ,则T n =1×2-1+2×20+…+(n -1)×2n -3+n ×2n -2,① 2T n =1×20+2×21+…+(n -1)×2n -2+n ×2n -1,② ①-②,得-T n =2-1+2+…+2n -2-n ×2n -1=2-1(1-2n )1-2-n ×2n -1=2n -1-12-n ×2n -1,∴T n =(n -1)×2n -1+12(n ∈N *).第二次作业 高考·模拟解答题体验1.(2019·河北名校联考)已知数列{a n }是等差数列,a 2=6,前n 项和为S n ,{b n }是等比数列,b 2=2,a 1b 3=12,S 3+b 1=19.(1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解:(1)∵数列{a n }是等差数列,a 2=6, ∴S 3+b 1=3a 2+b 1=18+b 1=19,∴b 1=1, ∵b 2=2,数列{b n }是等比数列,∴b n =2n -1. ∴b 3=4,∵a 1b 3=12,∴a 1=3,∵a 2=6,数列{a n }是等差数列,∴a n =3n . (2)由(1)得,令C n =b n cos(a n π)=(-1)n 2n -1, ∴C n +1=(-1)n +12n , ∴C n +1C n=-2,又C 1=-1, ∴数列{b n cos(a n π)}是以-1为首项、-2为公比的等比数列,∴T n =-1×[1-(-2)n ]1+2=-13[1-(-2)n ].2.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14,且a 1,a 3,a 7恰为等比数列{b n }的前三项. (1)分别求数列{a n },{b n }的前n 项和S n ,T n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ,设c n =S n T nK n ,求证:c n +1>c n (n ∈N *).解:(1)设数列{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =14,(a 1+2d )2=a 1(a 1+6d ),解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=72,d =0(舍去),所以a n =n +1,S n =n (n +3)2.又b 1=a 1=2,b 2=a 3=4,所以b n =2n ,T n =2n +1-2. (2)证明:因为a n ·b n =(n +1)·2n , 所以K n =2·21+3·22+…+(n +1)·2n ,①所以2K n =2·22+3·23+…+n ·2n +(n +1)·2n +1,② ①-②得-K n =2·21+22+23+…+2n -(n +1)·2n +1, 所以K n =n ·2n +1.则c n =S n T n K n=(n +3)(2n-1)2n +1,c n +1-c n=(n +4)(2n +1-1)2n +2-(n +3)(2n -1)2n +1=2n +1+n +22n +2>0,所以c n +1>c n (n ∈N *). 3.已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n =a n +1S n S n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)由题设知a 1a 4=a 2a 3=8,又a 1+a 4=9,可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,a 4=8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,a 4=1(舍去).设等比数列{a n }的公比为q ,由a 4=a 1q 3,得q =2,故a n =a 1q n -1=2n -1,n ∈N *. (2)S n =a 1(1-q n )1-q=2n-1,又b n =a n +1S n S n +1=S n +1-S n S n S n +1=1S n -1S n +1,所以T n =b 1+b 2+…+b n =⎝⎛⎭⎫1S 1-1S 2+⎝⎛⎭⎫1S 2-1S 3+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n -1S n +1=1S 1-1S n +1=1-12n +1-1,n ∈N *. 4.(2019·石家庄质量检测)已知数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=n +1n a n +n +12n .(1)设b n =a nn,求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解:(1)由a n +1=n +1n a n +n +12n ,可得a n +1n +1=a n n +12n ,又b n =a n n ,∴b n +1-b n =12n ,由a 1=1,得b 1=1,累加可得(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n -1=121+122+…+12n -1,即b n -b 1=12(1-12n -1)1-12=1-12n -1,∴b n =2-12n -1.(2)由(1)可知a n =2n -n 2n -1,设数列{n2n -1}的前n 项和为T n ,则T n =120+221+322+…+n2n -1 ①,12T n =121+222+323+…+n2n ②, ①-②得12T n =120+121+122+…+12n -1-n2n =1-12n1-12-n 2n =2-n +22n ,∴T n =4-n +22n -1.易知数列{2n }的前n 项和为n (n +1), ∴S n =n (n +1)-4+n +22n -1.5.已知S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且2S n =a 2n +a n ,等比数列{b n }的公比q >1,b 1=2,且b 1,b 3,b 2+10成等差数列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)设c n =a n ·b n +(-1)n ·2n +1a n ·a n +1,记T 2n =c 1+c 2+c 3+…+c 2n ,求T 2n .解:(1)当n ≥2时,由题意得2S n -2S n -1=a 2n -a 2n -1+a n -a n -1, 2a n =a 2n -a 2n -1+a n -a n -1, a 2n -a 2n -1-(a n +a n -1)=0,(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0, ∵a n +a n -1>0,∴a n -a n -1=1,当n =1时,2a 1=a 21+a 1,∵a 1>0,∴a 1=1, ∴数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,∴a n =1+(n -1)×1=n .由b 1=2,2b 3=b 1+(b 2+10),得2q 2-q -6=0, 解得q =2或q =-32(舍),∴b n =b 1q n -1=2n .(2)由(1)得c n =n ·2n+(-1)n·2n +1n (n +1)=n ·2n +(-1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1n +1, ∴T 2n =(1×2+2×22+…+2n ·22n)+⎣⎢⎡⎦⎥⎤-⎝⎛⎭⎫1+12+⎝⎛⎭⎫12+13-13+14+…+⎝⎛⎭⎪⎫12n +12n +1=(1×2+2×22+…+2n ·22n)+⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+12n +1,记W 2n =1×2+2×22+…+2n ·22n , 则2W 2n =1×22+2×23+…+2n ·22n +1, 以上两式相减可得-W 2n =2+22+ (22)-2n ·22n +1=2(1-22n )1-2-2n ·22n +1=(1-2n )·22n +1-2,∴W 2n =(2n -1)·22n +1+2,∴T 2n =W 2n +⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+12n +1=(2n -1)·22n +1+12n +1+1. 6.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2⎝⎛⎭⎫1+1n a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2na n ,数列{b n }的前n 项的和为S n ,试求数列{S 2n -S n }的最小值;(3)求证:当n ≥2时,S 2n ≥7n +1112. 解:(1)由条件a n +1=2⎝⎛⎭⎫1+1n a n , 得a n +1n +1=2·a n n ,又a 1=2,所以a 11=2,因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成首项为2,公比为2的等比数列.a nn=2·2n -1=2n ,因此,a n =n ·2n . (2)由(1)得b n =1n ,设c n =S 2n -S n ,则c n =1n +1+1n +2+…+12n ,所以c n +1=1n +2+1n +3+…+12n +12n +1+12n +2,从而c n +1-c n =12n +1+12n +2-1n +1>12n +2+12n +2-1n +1=0,因此数列{c n }是单调递增的,所以(c n )min =c 1=12.。

高考数学一轮复习第四章第二讲等差数列及其前n项和课件

高考数学一轮复习第四章第二讲等差数列及其前n项和课件

考向 2 等差数列前 n 项和的性质
[例 3](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,
则 S15 等于( )
A.35
B.42
C.49
D.63
解析:由题意知,S5,S10-S5,S15-S10 成等差数列,即 7, 14,S15-21 成等差数列,∴S15-21+7=28,∴S15=42.故选 B.
答案:C
2.(2023 年全国甲卷文科)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若
a2+a6=10,a4a8=45,则 S5=( )
A.25
B.22
C.20
D.15
解析:等差数列{an}中,a2+a6=2a4=10, 所以 a4=5.所以 a4a8=5a8=45,故 a8=9,则 d=a88--4a4=1, 所以 a1=a4-3d=5-3=2,则 S5=5a1+5×2 4d=10+10=20. 故选 C.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式 是an=a1+(n-1)d(n∈N*). 3.等差中项
如果 A=a+2 b,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.
4.等差数列的前 n 项和公式
设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn=n(a12+an)或 Sn=na1+n(n2-1)d(n∈N*).
适合题型
解答题中 证明问题
选择、填 空题中的 判定问题
【变式训练】 (2022 年全国甲卷文科)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知2nSn+
n=2an+1. (1)证明:{an}是等差数列; (2)若 a4,a7,a9 成等比数列,求 Sn 的最小值.
(1)证明:由已知得2Sn+n2=2nan+n,①

2020高中数学 检测(九)等差数列的前n项和 5

2020高中数学 检测(九)等差数列的前n项和 5

课时跟踪检测(九) 等差数列的前n 项和层级一 学业水平达标1.已知数列{a n }的通项公式为a n =2-3n ,则{a n }的前n 项和S n 等于( )A .-错误!n 2+错误!B .-错误!n 2-错误!C 。

32n 2+错误! D.错误!n 2-错误!解析:选A ∵a n =2-3n ,∴a 1=2-3=-1,∴S n =n -1+2-3n2=-错误!n 2+错误!.2.若等差数列{a n }的前5项的和S 5=25,且a 2=3,则a 7等于( )A .12B .13C .14D .15解析:选B ∵S 5=5a 3=25,∴a 3=5。

∴d =a 3-a 2=5-3=2.∴a 7=a 2+5d =3+10=13。

故选B 。

3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( )A.63 B.45C.36 D.27解析:选B ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S13>0,S14<0,则S n取最大值时n的值为()A.6 B.7C.8 D.13解析:选B 根据S13〉0,S14<0,可以确定a1+a13=2a7〉0,a1+a14=a7+a8<0,∴可以得到a7>0,a8〈0,∴S n取最大值时n的值为7.故选B.5.已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n,且错误!=错误!,则错误!=()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析:选D ∵等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n,错误!=错误!,∴错误!=错误!=错误!=错误!=错误!.故选D。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十五等差数列及其前n项和

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十五等差数列及其前n项和

课时跟踪检测(三十五) 等差数列及其前n 项和一、题点全面练1.等差数列{a n }中,a 4+a 8=10,a 10=6,则公差d =( )A. B.1412C .2 D .-12解析:选A 由a 4+a 8=2a 6=10,得a 6=5,所以4d =a 10-a 6=1,解得d =.142.(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中,若S n 为{a n }的前n 项和,2a 7=a 8+5,则S 11的值是( )A .55B .11C .50D .60解析:选A 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得2(a 1+6d )=a 1+7d +5,得a 1+5d =5,则S 11=11a 1+d =11(a 1+5d )=11×5=55,故选A.11×1023.(2018·泉州期末)等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A .99B .66C .144D .297解析:选A 由等差数列的性质可得a 1+a 7=2a 4,a 3+a 9=2a 6,又∵a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,∴3a 4=39,3a 6=27,解得a 4=13,a 6=9,∴a 4+a 6=22,∴数列{a n }的前9项和S 9===9 a 1+a 9 29 a 4+a 6 2=99.9×2224.(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a m =4,S m =0,S m +2=14(m ≥2,且m ∈N *),则a 2 019的值为( )A .2 020B .4 032C .5 041D .3 019解析:选B 由题意得Error!解得Error!∴a n =-4+(n -1)×2=2n -6,∴a 2 019=2×2 019-6=4 032.故选B.5.(2019·长春质检)等差数列{a n }中,已知|a 6|=|a 11|,且公差d >0,则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A .6B .7C .8D .9解析:选C 由d >0可得等差数列{a n }是递增数列,又|a 6|=|a 11|,所以-a 6=a 11,即-a 1-5d =a 1+10d ,所以a 1=-,则a 8=-<0,a 9=>0,所以前8项和为前n 项和15d 2d 2d 2的最小值,故选C.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=2a 3,则=______.S 11S 5解析:===.S 11S 5112a 1+a 11 52 a 1+a 5 11a 65a 3225答案:2257.等差数列{a n }中,已知S n 是其前n 项和,a 1=-9,-=2,则S 10=________.S 99S 77解析:设公差为d ,∵-=2,∴d -d =2,S 99S 779-127-12∴d =2,∵a 1=-9,∴S 10=10×(-9)+×2=0.10×92答案:08.(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列,且++…+=n 2+n ,则a 1a 2an a 1++…+=________.a 22an n 解析:当n =1时,=2⇒a 1=4,a 1又++…+=n 2+n ,①a 1a 2an 所以当n ≥2时,++…+=(n -1)2+(n -1)=n 2-n ,②a 1a 2an -1①-②得=2n ,即a n =4n 2,所以==4n ,an an n 4n 2n 则构成以4为首项,4为公差的等差数列.{ann }所以a 1++…+==2n 2+2n .a 22an n 4+4n n2答案:2n 2+2n9.(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数,其前n 项和为S n ,且满足2S n =a +n -4(n ∈N *).2n (1)求证:数列{a n }为等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)证明:当n =1时,有2a 1=a +1-4,即a -2a 1-3=0,2121所以a 1=3(a 1=-1舍去).当n ≥2时,有2S n -1=a +n -5,2n -1又2S n =a +n -4,2n 所以两式相减得2a n =a -a +1,即a -2a n +1=a ,2n 2n -12n 2n -1即(a n -1)2=a ,2n -1因此a n -1=a n -1或a n -1=-a n -1.若a n -1=-a n -1,则a n +a n -1=1.而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数矛盾,所以a n -1=a n -1,即a n -a n -1=1,因此数列{a n }为等差数列.(2)由(1)知a 1=3,数列{a n }的公差d =1,所以数列{a n }的通项公式为a n =3+(n -1)×1=n +2.10.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36.(1)求d 及S n;(2)求m ,k (m ,k ∈N *)的值,使得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =65.解:(1)由题意知(2a 1+d )(3a 1+3d )=36,将a 1=1代入上式,解得d =2或d =-5.因为d >0,所以d =2.从而a n =2n -1,S n =n 2(n ∈N *).(2)由(1)得a m +a m +1+a m +2+…+a m +k =(2m +k -1)(k +1),所以(2m +k -1)(k +1)=65.由m ,k ∈N *知2m +k -1≥k +1>1,故Error!解得Error!即所求m 的值为5,k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.若{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 018+a 2 019>0,a 2 018·a 2 019<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A .2 018B .2 019C .4 036D .4 037解析:选C 因为a 1>0,a 2 018+a 2 019>0,a 2 018·a 2 019<0,所以d <0,a 2 018>0,a 2 019<0,所以S 4 036==>0,S 4 037=4 036 a 1+a 4 036 2 4 036 a 2 018+a 2 019 2=4 037·a 2 019<0,所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是44 037 a 1+a 4 037 2036.2.(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3+a 7=36,a 4a 6=275,且a n a n +1有最小值,则这个最小值为( )A .-10B .-12C .-9D .-13解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3+a 7=36,∴a 4+a 6=36,又a 4a 6=275,联立,解得Error!或Error!当Error!时,可得Error!此时a n =7n -17,a 2=-3,a 3=4,易知当n ≤2时,a n <0,当n ≥3时,a n >0,∴a 2a 3=-12为a n a n +1的最小值;当Error!时,可得Error!此时a n =-7n +53,a 7=4,a 8=-3,易知当n ≤7时,a n >0,当n ≥8时,a n <0,∴a 7a 8=-12为a n a n +1的最小值.综上,a n a n +1的最小值为-12.3.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________.解析:由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0,得n ≥5,∴当n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.答案:130(二)交汇专练——融会巧迁移4.[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3,a 2019是3x 2-12x +4=0的两根,则log a 114011=________.解析:因为a 3和a 2 019是3x 2-12x +4=0的两根,所以a 3+a 2 019=4.又a 3,a 1 011,a 2019成等差数列,所以2a 1 011=a 3+a 2 019,即a 1 011=2,所以log a 1 011=-.1412答案:-125.[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=a 5+a 6=25.(1)求{a n }的通项公式;(2)若不等式2S n +8n +27>(-1)n k (a n +4)对所有的正整数n 都成立,求实数k 的取值范围.解:(1)设公差为d ,则5a 1+d =a 1+4d +a 1+5d =25,5×42∴a 1=-1,d =3.∴{a n }的通项公式a n =3n -4.(2)由题意知S n =-n +,2S n +8n +27=3n 2+3n +27,a n +4=3n ,则原不等3n n -1 2式等价于(-1)n k <n +1+对所有的正整数n 都成立.9n ∴当n 为奇数时,k >-恒成立;(n +1+9n )当n 为偶数时,k <n +1+恒成立.9n 又∵n +1+≥7,当且仅当n =3时取等号,9n ∴当n 为奇数时,n +1+在n =3上取最小值7,9n 当n 为偶数时,n +1+在n =4上取最小值,9n 294∴不等式对所有的正整数n 都成立时,实数k 的取值范围是.(-7,294)。

高考数学总复习课时跟踪检测30等差数列及其前n项和

高考数学总复习课时跟踪检测30等差数列及其前n项和

课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n 项和1.(2011·江西高考){a n }为等差数列,公差d =-2,S n 为其前n 项和.若S 10=S 11,则a 1=( )A .18B .20C .22D .242.(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5=8,S 3=6,则S 10-S 7的值是( )A .24B .48C .60D .723.(2012·东北三校联考)等差数列{a n }中,a 5+a 6=4,则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=( )A .10B .20C .40D .2+log 254.(2013·海淀期末)已知数列{a n }满足:a 1=1,a n >0,a 2n +1-a 2n =1(n ∈N *),那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A .4B .5C .24D .255.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,并且S 10>0,S 11<0,若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立,则正整数k 的值为( )A .5B .6C .4D .76.数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列且b n =a n +1-a n (n ∈N *).若b 3=-2,b 10=12,则a 8=( )A .0B .3C .8D .117.(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n =________. 8.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k =________. 9.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________.10.(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值. 11.设数列{a n }的前n 项积为T n ,T n =1-a n ,(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 的前n 项和S n .12.已知在等差数列{a n }中,a 1=31,S n 是它的前n 项和,S 10=S 22. (1)求S n ;(2)这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值.1.等差数列中,3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24,则该数列前13项的和是( ) A .156 B .52 C .26D .132.在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若此数列的前10项和S 10=36,前18项和S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A .24B .48C .60D .843.数列{a n }满足a n +1+a n =4n -3(n ∈N *). (1)若{a n }是等差数列,求其通项公式;(2)若{a n }满足a 1=2,S n 为{a n }的前n 项和,求S 2n +1. [答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________ B 级1.______2.______7. __________ 8. __________ 9. __________ 答 案课时跟踪检测(三十)A 级1.B 2.B 3.B 4.C5.选A 由S 10>0,S 11<0知a 1>0,d <0,并且a 1+a 11<0,即a 6<0,又a 5+a 6>0,所以a 5>0,即数列的前5项都为正数,第5项之后的都为负数,所以S 5最大,则k =5.6.选B 因为{b n }是等差数列,且b 3=-2,b 10=12,故公差d =12--210-3=2.于是b 1=-6,且b n =2n -8(n ∈N *), 即a n +1-a n =2n -8.所以a 8=a 7+6=a 6+4+6=a 5+2+4+6=…=a 1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.7.解析:设等差数列公差为d ,∵由a 3=a 22-4,得1+2d =(1+d )2-4,解得d 2=4, 即d =±2.由于该数列为递增数列, 故d =2.∴a n =1+(n -1)×2=2n -1. 答案:2n -18.解析:a 7-a 5=2d =4,则d =2.a 1=a 11-10d =21-20=1,S k =k +k k -12×2=k 2=9.又k ∈N *,故k =3. 答案:39.解析:∵{a n },{b n }为等差数列, ∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6. ∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, ∴a 6b 6=1941. 答案:194110.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d , 则a n =a 1+(n -1)d .由a 1=1,a 3=-3,可得1+2d =-3, 解得d =-2.从而a n =1+(n -1)×(-2)=3-2n . (2)由(1)可知a n =3-2n , 所以S n =n [1+3-2n ]2=2n -n 2.由S k =-35,可得2k -k 2=-35,即k 2-2k -35=0,解得k =7或k =-5. 又k ∈N *,故k =7.11.解:(1)证明:由T n =1-a n 得, 当n ≥2时,T n =1-T nT n -1, 两边同除以T n 得1T n -1T n -1=1.∵T 1=1-a 1=a 1, 故a 1=12,1T 1=1a 1=2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是首项为2,公差为1的等差数列. (2)由(1)知1T n =n +1,则T n =1n +1,从而a n =1-T n =n n +1.故a nT n=n .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 是首项为1,公差为1的等差数列. ∴S n =n n +12.12.解:(1)∵S 10=a 1+a 2+…+a 10,S 22=a 1+a 2+…+a 22,又S 10=S 22,∴a 11+a 12+…+a 22=0, 即12a 11+a 222=0,故a 11+a 22=2a 1+31d =0.又∵a 1=31,∴d =-2, ∴S n =na 1+n n -12d =31n -n (n -1)=32n -n 2.(2)法一:由(1)知S n =32n -n 2,故当n =16时,S n 有最大值,S n 的最大值是256. 法二:由S n =32n -n 2=n (32-n ),欲使S n 有最大值, 应有1<n <32,从而S n ≤⎝⎛⎭⎪⎫n +32-n 22=256,当且仅当n =32-n ,即n =16时,S n 有最大值256.B 级1.选C ∵a 3+a 5=2a 4,a 7+a 10+a 13=3a 10, ∴6(a 4+a 10)=24,故a 4+a 10=4.∴S 13=13a 1+a 132=13a 4+a 102=26.2.选C 由a 1>0,a 10·a 11<0可知d <0,a 10>0,a 11<0,故T 18=a 1+…+a 10-a 11-…-a 18=S 10-(S 18-S 10)=60.3.解:(1)由题意得a n +1+a n =4n -3,①a n +2+a n +1=4n +1,②②-①得a n +2-a n =4,∵{a n }是等差数列,设公差为d ,∴d =2. ∵a 1+a 2=1,∴a 1+a 1+d =1, ∴a 1=-12,∴a n =2n -52.(2)∵a 1=2,a 1+a 2=1,∴a 2=-1.又∵a n +2-a n =4,∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为4, ∴a 2n -1=4n -2,a 2n =4n -5,S 2n +1=(a 1+a 3+…+a 2n +1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=(n +1)×2+n +1n2×4+n ×(-1)+n n -12×4=4n 2+n +2.。

2020届高三文理科数学一轮复习《等差数列及其前n项和》专题汇编(教师版)

2020届高三文理科数学一轮复习《等差数列及其前n项和》专题汇编(教师版)

《等差数列及其前n 项和》专题一、相关知识点1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项.2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d . (2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n )2. 3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q (m ,n ,p ,q ∈N *).(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列(5)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…(m ∈N *)也是等差数列,公差为m 2d .(6)S 2n -1=(2n -1)a n ,S 2n =n (a 1+a 2n )=n (a n +a n +1),遇见S 奇,S 偶时可分别运用性质及有关公式求解.(7)若{a n },{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ,T n ,则a n b n =S 2n -1T 2n -1.(8)若{a n }是等差数列,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列,其首项与{a n }首项相同,公差是{a n }的公差的12.(9)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ,则①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);②S 偶-S 奇=nd ,S 奇S 偶=a na n +1. (10)若等差数列{a n }的项数为奇数2n +1,则 ①S 2n +1=(2n +1)a n +1; ②S 奇S 偶=n +1n .二.等差数列的常用结论1.等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则S n 有最大值,即所有正项之和最大,若a 1<0, d >0,则S n 有最小值,即所有负项之和最小.2.等差数列的前n 项和公式与函数的关系:S n =d2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).题型一 等差数列基本量的运算1.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100等于解析:由等差数列性质,知S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=9a 5=27,得a 5=3,而a 10=8,因此公差d =a 10-a 510-5=1,∴a 100=a 10+90d =98.2.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 5=24,S 6=48,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+3d +a 1+4d =24,6a 1+6×52d =48,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+7d =24,2a 1+5d =16,解得d =4. 3.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=A .-12B .-10C .10D .12解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得; 3⎣⎡⎦⎤3a 1+3×(3-1)2×d =2a 1+2×(2-1)2×d +4a 1+4×(4-1)2×d , 将a 1=2代入上式,解得d =-3,故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)=-10. 4.在等差数列{a n }中,若前10项的和S 10=60,且a 7=7,则a 4=解析:法一:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+45d =60,a 1+6d =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =23,∴a 4=a 1+3d =5.法二:由等差数列的性质有a 1+a 10=a 7+a 4,∵S 10=10(a 1+a 10)2=60,∴a 1+a 10=12.又∵a 7=7,∴a 4=5.5.已知数列{a n }满足a 1=15,且3a n +1=3a n -2.若a k ·a k +1<0,则正整数k = 解析:由3a n +1=3a n -2⇒a n +1-a n =-23⇒{a n }是等差数列,则a n =473-23n .∵a k ·a k +1<0,∴⎝⎛⎭⎫473-23k ⎝⎛⎭⎫453-23k <0,∴452<k <472,又∵k ∈N +,∴k =23. 6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,a 5=5,则S 7的值是解析:由题意,设等差数列的公差为d ,则d =a 5-a 35-3=1,故a 4=a 3+d =4,所以S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7×4=28.7.数列{2n -1}的前10项的和是解析:∵数列{2n -1}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴S 10=(a 1+a 10)×102=100.8.已知数列{a n }中a 1=1,a n +1=a n -1,则a 4等于解析:因为a 1=1,a n +1=a n -1,所以数列{a n }为等差数列,公差d 为-1,所以a 4=a 1+3d =1-3=-2.9.设等差数列{a n }的公差为d ,且a 1a 2=35,2a 4-a 6=7,则d =解析:∵{a n }是等差数列,∴2a 4-a 6=a 4-2d =a 2=7,∵a 1a 2=35,∴a 1=5,∴d =a 2-a 1=2. 10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=50,S 10=200,则a 10+a 11的值为 解析:设等差数列{a n}的公差为d ,由已知得⎩⎨⎧S 5=5a 1+5×42d =50,S 10=10a 1+10×92d =200,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =10,a 1+92d =20,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =4.∴a 10+a 11=2a 1+19d =80. 11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3=5,且S 1,S 5,S 7成等差数列,则数列{a n }的通项公式a n =________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3=5,且S 1,S 5,S 7成等差数列,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =5,a 1+7a 1+21d =10a 1+20d ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2,∴a n =2n -1. 12.设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为________.解析:法一:设数列{a n }的公差为d .∵a 2+a 5=36,∴(a 1+d )+(a 1+4d )=36,∴2a 1+5d =36.∵a 1=3,∴d =6,∴a n =6n -3.法二:设数列{a n }的公差为d ,∵a 2+a 5=a 1+a 6=36,a 1=3,∴a 6=33,∴d =a 6-a 15=6.∵a 1=3,∴a n =6n -3.13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 6+a 18=54,S 19=437,则a 2 018的值是 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+22d =54,19a 1+171d =437,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=5,d =2,所以a 2 018=5+2017×2=4 039. 14.已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 7=-8,a 2=2,则数列{a n }的公差d 等于解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 7=2a 1+6d =-8,a 2=a 1+d =2.解得⎩⎪⎨⎪⎧d =-3,a 1=5,.15.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有一女子擅长织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布.则该女子最后一天织布的尺数为( )A .18B .20C .21D .25 解析:C ,用a n 表示第n 天织布的尺数,由题意知,数列{a n }是首项为5,项数为30的等差数列.所以30(a 1+a 30)2=390,即30(5+a 30)2=390,解得a 30=21,故选C .16.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16=__________.解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 12=a 1+11d =-8,S 9=9a 1+9×82d =-9,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =-1.∴S 16=16×3+16×152×(-1)=-72.17.已知在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=2a +1,a 5=3a +2,若S n =a 1+a 2+…+a n ,且S k=66,则k 的值为解析:∵在等差数列中,2a 3=a 1+a 5,∴2(2a +1)=1+3a +2, 解得a =1,即a 1=1,a 3=3,a 5=5,∴公差d =1,∴S k =k ×1+k (k -1)2×1=66,解得k =11或k =-12(舍).18.已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,且a 3=2,a 9=12,则a 15=解析:法一:设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列,∵a 3=2,a 9=12,∴6d =a 99-a 33=129-23=23,∴d =19,a 1515=a 33+12d =2.故a 15=30.法二:由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,故2×a 99=a 33+a 1515,即a 1515=2×129-23=2,故a 15=30.19.在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( )A .a n =1nB .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n解析:A ,由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =n ,即a n =1n. 20.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得________钱.( )A.53 B .32 C.43 D .54解析:选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,设公差为d ,由题意知a 1+a 2=a 3+a 4+a 5=52,即⎩⎨⎧2a 1+d =52,3a 1+9d =52,解得⎩⎨⎧a 1=43,d =-16,故甲得43钱,故选C.21.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 9=12a 12+6,a 2=4,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前10项和为( )A.1112 B .1011 C.910 D .89解析:选B ,设等差数列{a n }的公差为d ,由a 9=12a 12+6及等差数列的通项公式得a 1+5d=12,又a 2=4,∴a 1=2,d =2,∴S n =n 2+n ,∴1S n =1n (n +1)=1n -1n +1,∴1S 1+1S 2+…+1S 10=⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫110-111=1-111=1011.22.已知等差数列{a n }各项均为正数,其前n 项和为S n ,若a 1=1,S 3=a 2,则a 8=解析:法一:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得3+3d =1+d ,解得d =2或d =-1(舍去),所以a 8=1+7×2=15.法二:S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2,由S 3=a 2可得3a 2=a 2,解得a 2=3或a 2=0(舍去), 则d =a 2-a 1=2,所以a 8=1+7×2=15.23.若x ≠y ,数列x ,a 1,a 2,y 和x ,b 1,b 2,b 3,y 各自成等差数列,则a 1-a 2b 1-b 2=________.解析:由题意得a 1-a 2=x -y 3,b 1-b 2=x -y 4,所以a 1-a 2b 1-b 2=43.24.设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是________.解析:2 25.数列{a n }满足1a n +1=1a n +1(n ∈N +),数列{b n }满足b n =1a n ,且b 1+b 2+…+b 9=45,则b 4b 6( )A .最大值为100B .最大值为25C .为定值24D .最大值为50解析:C ,由1a n +1=1a n +1(n ∈N +),得1a n +1-1a n =1,∵b n =1a n ,∴b n +1-b n =1,则数列{b n }是公差为1的等差数列,∵b 1+b 2+…+b 9=45,∴9b 1+9×82=45,即b 1=1,则b n =1+(n -1)×1=n ,则b 4b 6=4×6=24.26.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N +),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 解析:由a n =2n -10(n ∈N +)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0,得n ≥5,∴当n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.27.设数列{a n }满足:a 1=1, a 2=3, 且2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1,则a 20的值是________. 解析:∵2na n =(n -1)a n -1+(n +1)a n +1,∴数列{na n }是以a 1=1为首项,2a 2-a 1=5为公差的等差数列,∴20a 20=1+5×19=96,解得a 20=9620=245.28.已知等差数列{a n }为递增数列,其前3项的和为-3,前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,d >0,∵等差数列{a n }的前3项的和为-3,前3项的积为8,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=2,d =-3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3. ∵d >0,∴a 1=-4,d =3,∴a n =3n -7.(2)∵a n =3n -7,∴a 1=3-7=-4,∴S n =n (-4+3n -7)2=n (3n -11)2.28.已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2. 解析:(1)设{a n }的公差为d .由题意,得a 211=a 1a 13,即(a 1+10d )2=a 1(a 1+12d ).于是d (2a 1+25d )=0. 又a 1=25,所以d =0(舍去)或d =-2.故a n =-2n +27. (2)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2.由(1)知a 3n -2=-6n +31,故{a 3n -2}是首项为25,公差为-6的等差数列. 从而S n =n 2(a 1+a 3n -2)=n2(-6n +56)=-3n 2+28n .题型二 等差数列的性质及应用类型一 等差数列项的性质的应用1.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8=________. 解析:依题意,得a 2+a 4+a 6+a 8=(a 2+a 8)+(a 4+a 6)=2(a 3+a 7)=74.2.在等差数列{a n }中,3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24,则该数列前13项的和是________. 解析:263.若数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,且a 1=2a 3-3,则S 9=________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,a 1=2a 3-3=2a 1+4d -3,∴a 5=a 1+4d =3,S 9=9a 5=27.4.在等差数列{a n }中, a 1,a 2 019为方程x 2-10x +16=0的两根,则a 2+a 1 010+a 2 018=____ 解析:因为a 1,a 2 019为方程x 2-10x +16=0的两根,所以a 1+a 2 019=10.由等差数列的性质可知,a 1 010=a 1+a 2 0192=5,a 2+a 2 018=a 1+a 2 019=10,所以a 2+a 1 010+a 2 018=10+5=15.5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 6=39,则a 3+a 4=解析:由等差数列{a n }的性质及其S 6=39,可得6(a 1+a 6)2=3(a 3+ a 4)=39,则a 3+ a 4=13.6.数列{a n }满足2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),且a 2+a 4+a 6=12,则a 3+a 4+a 5等于解析:数列{a n }满足2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),则数列{a n }是等差数列,利用等差数列的性质可知,a 3+a 4+a 5=a 2+a 4+a 6=12.7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2+a 7+a 12=24,则S 13= 解析:由a 2+a 7+a 12=24得3a 7=24,即a 7=8,∴S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7=13×8=104.8.等差数列{a n }中,a 3+a 7=6,则{a n }的前9项和等于解析:法一:设等差数列的公差为d ,则a 3+a 7=a 1+2d +a 1+6d =2a 1+8d =6,所以a 1+4d =3.于是{a n }的前9项和S 9=9a 1+9×82d =9(a 1+4d )=9×3=27.法二:由等差数列的性质,得a 1+a 9=a 3+a 7=6,所以数列{a n }的前9项和S 9=9(a 1+a 9)2=9×62=27. 9.数列{a n }满足2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),且a 2+a 4+a 6=12,则a 3+a 4+a 5等于 解析:数列{a n }满足2a n =a n -1+a n +1(n ≥2),则数列{a n }是等差数列,利用等差数列的性质可知,a 3+a 4+a 5=a 2+a 4+a 6=12.10.等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m 的值为 解析:由a 3+a 6+a 10+a 13=32得4a 8=32,即a 8=8.又d ≠0,所以等差数列{a n }是单调数列,由a m =8,知m =8.11.设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,若S 9=3a 8,则S 153a 5等于解析:因为S 9=a 1+a 2+…+a 9=9a 5=3a 8,即3a 5=a 8.又S 15=a 1+a 2+…+a 15=15a 8, 所以S 153a 5=15a 8a 8=15.12.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a m =10,S 2m -1=110,则m =________. 解析:S 2m -1=(2m -1)(a 1+a 2m -1)2=2(2m -1)a m2=110,解得m =6.类型二:等差数列前n 项和的性质1.在项数为2n +1的等差数列{a n }中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n 等于( )A .9B .10C .11D .12解析:选B ,∵等差数列有2n +1项,∴S 奇=(n +1)(a 1+a 2n +1)2,S 偶=n (a 2+a 2n )2.又a 1+a 2n +1=a 2+a 2n ,∴S 偶S 奇=n n +1=150165=1011,∴n =10.2.等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,m ≥2,m ∈N *,则m = 解析:∵{a n }是等差数列,S m -1=-2,S m =0,∴a m =S m -S m -1=2.又S m +1=3,∴a m +1=S m +1-S m =3,∴d =a m +1-a m =1.又 S m =m (a 1+a m )2=m (a 1+2)2=0,∴a 1=-2,∴a m =-2+(m -1)·1=2,∴m =5.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于 解析:由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列.即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),得到S 9-S 6=2S 6-3S 3=45,即a 7+a 8+a 9=45. 4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 014,S 2 0142 014-S 2 0082 008=6,则S 2 019=________.解析:由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.设其公差为d ,则S 2 0142 014-S 2 0082 008=6d =6,∴d =1.故S 2 0192 019=S 11+2 018d =-2 014+2 018=4,∴S 2 019=8 076. 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 20=30,则S 30=________. 解析:由题意知,S 10,S 20-S 10,S 30-S 20成等差数列.则2(S 20-S 10)=S 10+(S 30-S 20),即40=10+(S 30-30),解得S 30=60. 6.若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4=4,S 6=12,则S 2=解析:根据等差数列的性质,可得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等差数列,即2(S 4-S 2)=S 2+S 6-S 4,因此S 2=0.7.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 10=16,S 100-S 90=24,则S 100=________. 解析:依题意,S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…,S 100-S 90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d .又S 10=16,S 100-S 90=24,因此S 100-S 90=24=16+(10-1)d =16+9d ,解得d =89,因此S 100=10S 10+10×92d =10×16+10×92×89=200.8.在等差数列{a n }中,a 1=-2 015,其前n 项和为S n ,若S 1212-S 1010=2,则S 2 018=解析:设等差数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ,则S n n =An +B ,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列.因为S 1212-S 1010=2,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1,又S 11=a 11=-2 015,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以-2 015为首项,1为公差的等差数列,所以S 2 0182 018=-2 015+2 017×1=2,所以S 2 018=4 036.9.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =3n -22n +1,则a 7b 7=________.解析:a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=132(a 1+a 13)132(b 1+b 13)=S 13T 13=3×13-22×13+1=3727.10.设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________. 解析:∵{a n },{b n }为等差数列,∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6.∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941,∴a 6b 6=1941. 类型三:等差数列前n 项和的最值 求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. (2)通项变号法①a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ;②当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .1.已知等差数列{a n }中,a 1=11,a 5=-1,则{a n }的前n 项和S n 的最大值是 解析:设数列{a n }的公差为d ,则d =a 5-a 15-1=-3,所以a n =a 1+(n -1)d =-3n +14,由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14-3n ≥0,11-3n ≤0,解得113≤n ≤143,即n =4,所以{a n }的前4项和最大,且S 4=4×11+4×32×(-3)=26. 2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=13,S 3=S 11,当S n 最大时,n 的值是 解析:法一:由S 3=S 11,得a 4+a 5+…+a 11=0,根据等差数列的性质,可得a 7+a 8=0.根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7>0,a 8<0,故n =7时,S n 最大. 法二:由S 3=S 11,可得3a 1+3d =11a 1+55d ,把a 1=13代入,得d =-2,故S n =13n -n (n -1)=-n 2+14n .根据二次函数的性质,知当n =7时S n 最大. 法三:根据a 1=13,S 3=S 11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图像的对称性,可得只有当n =3+112=7时,S n 取得最大值. 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时,n 的值是________.解析:依题意得2a 6=4,2a 7=-2,a 6=2>0,a 7=-1<0.又数列{a n }是等差数列,所以在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S n 取最大值时,n =6.5.等差数列{a n }中,已知a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A .S 7B .S 6C .S 5D .S 4解析:C ,∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0,a 6<0,∴S n 的最大值为S 5. 6.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并求S n 的最小值.解析:(1)设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d =-15.又a 1=-7,所以d =2.所以{a n }的通项公式为a n =2n -9.(2)法一:(二次函数法)由(1)得S n =n (a 1+a n )2=n 2-8n =(n -4)2-16, 所以当n =4时,S n 取得最小值,最小值为-16.法二:(通项变号法)由(1)知a n =2n -9,则S n =n (a 1+a n )2=n 2-8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0,a n +1≥0, 即⎩⎪⎨⎪⎧2n -9≤0,2n -7≥0,∴72≤n ≤92,又n ∈N *,∴n =4,此时S n 的最小值为S 4=-16. 7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *,满足a 1+a 2=10,S 5=40.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =|13-a n |,求数列{b n }的前n 项和T n . 解析:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意知,a 1+a 2=2a 1+d =10,S 5=5a 3=40,即a 3=8,所以a 1+2d =8, 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4,d =2,所以a n =4+(n -1)·2=2n +2. (2)令c n =13-a n =11-2n ,b n =|c n |=|11-2n |=⎩⎪⎨⎪⎧11-2n ,n ≤5,2n -11,n ≥6, 设数列{c n }的前n 项和为Q n ,则Q n =-n 2+10n .当n ≤5时,T n =b 1+b 2+…+b n =Q n =-n 2+10n .当n ≥6时,T n =b 1+b 2+…+b n =c 1+c 2+…+c 5-(c 6+c 7+…+c n )=-Q n +2Q 5=n 2-10n +2(-52+10×5)=n 2-10n +50.8.已知等差数列{a n }的前三项和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2=a 1+d ,a 3=a 1+2d . 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1+3d =-3,a 1(a 1+d )(a 1+2d )=8,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=2,d =-3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3.所以由等差数列通项公式可得,a n =2-3(n -1)=-3n +5或a n =-4+3(n -1)=3n -7. 故a n =-3n +5或a n =3n -7.(2)当a n =-3n +5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n -7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|a n |=|3n -7|=⎩⎪⎨⎪⎧-3n +7,n =1,2,3n -7,n ≥3.记数列{3n -7}的前n 项和为S n , 则S n =n [(-4)+(3n -7)]2=32n 2-112n . 当n ≤2时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=-(a 1+a 2+…+a n )=-32n 2+112n , 当n ≥3时,T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-(a 1+a 2)+(a 3+a 4+…+a n ) =S n -2S 2=32n 2-112n +10,综上知:T n =⎩⎨⎧ -32n 2+112n ,n ≤2,32n 2-112n +10,n ≥3.题型三 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法与技巧1.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =-2n +1,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为解析:∵a n =-2n +1,∴数列{a n }是以-1为首项,-2为公差的等差数列,∴S n =n [-1+(-2n +1)]2=-n 2,∴S n n =-n 2n =-n ,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(-1)+11×102×(-1)=-66. 2.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 2=2,S 3=-6.(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ;(2)是否存在正整数n ,使S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列?若存在,求出n ;若不存在,请说明理由.解析:(1)设数列{a n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+d =2,3a 1+3×22d =-6,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,d =-6, ∴a n =4-6(n -1)=10-6n ,S n =na 1+n (n -1)2d =7n -3n 2. (2)由(1)知S n +S n +3=7n -3n 2+7(n +3)-3(n +3)2=-6n 2-4n -6, 2(S n +2+2n )=2(-3n 2-5n +2+2n )=-6n 2-6n +4,若存在正整数n 使得S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列,则-6n 2-4n -6=-6n 2-6n +4,解得n =5,∴存在n =5,使S n ,S n +2+2n ,S n +3成等差数列.3.已知数列{a n }是等差数列,且a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x +5=0的两个实根.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)在(1)中,设b n =S n n +c,求证:当c =-12时,数列{b n }是等差数列. 解析:(1)∵a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x +5=0的两个实根,∴a 1=1,a 2=5,∴等差数列{a n }的公差为4,∴S n =n ·1+n (n -1)2·4=2n 2-n . (2)证明:当c =-12时,b n =S n n +c =2n 2-n n -12=2n , ∴b n +1-b n =2(n +1)-2n =2,b 1=2.∴数列{b n }是以2为首项,2为公差的等差数列.4.已知等差数列的前三项依次为a ,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k =110.(1)求a 及k 的值;(2)已知数列{b n }满足b n =S n n,证明数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n . 解析:(1)设该等差数列为{a n },则a 1=a ,a 2=4,a 3=3a ,由已知有a +3a =8,得a 1=a =2,公差d =4-2=2,所以S k =ka 1+k (k -1)2·d =2k +k (k -1)2×2=k 2+k . 由S k =110,得k 2+k -110=0,解得k =10或k =-11(舍去),故a =2,k =10.(2)由(1)得S n =n (2+2n )2=n (n +1),则b n =S n n=n +1, 故b n +1-b n =(n +2)-(n +1)=1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列,所以T n =n (2+n +1)2=n (n +3)2. 5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n -1,其中λ为常数.(1)证明:a n +2-a n =λ;(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.解析:(1)证明 由题设知a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1,两式相减得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1,由于a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ.(2)解 由题设知a 1=1,a 1a 2=λS 1-1,可得a 2=λ-1.由(1)知,a 3=λ+1.令2a 2=a 1+a 3,解得λ=4.故a n +2-a n =4,由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列,a 2n -1=4n -3;{a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1.所以a n =2n -1,a n +1-a n =2, 因此存在λ=4,使得数列{a n }为等差数列.6.已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *). (1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.解析:(1)证明:因为a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),b n =1a n -1(n ∈N *), 所以b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1=1⎝⎛⎭⎫2-1a n -1-1a n -1=a n a n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a 1-1=-52. 所以数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)知b n =n -72,则a n =1+1b n =1+22n -7.设f (x )=1+22x -7, 则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫-∞,72和⎝⎛⎭⎫72,+∞上为减函数.所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3.7.已知数列{a n }满足a 1=1,且na n +1-(n +1)a n =2n 2+2n .(1)求a 2,a 3;(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,并求{a n }的通项公式. 解析:(1)由已知,得a 2-2a 1=4,则a 2=2a 1+4,又a 1=1,所以a 2=6.由2a 3-3a 2=12,得2a 3=12+3a 2,所以a 3=15.(2)由已知na n +1-(n +1)a n =2n (n +1),得na n +1-(n +1)a n n (n +1)=2,即a n +1n +1-a n n=2, 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11=1,公差d =2的等差数列. 则a n n=1+2(n -1)=2n -1,所以a n =2n 2-n . 8.已知数列{a n }满足a 1=2,n (a n +1-n -1)=(n +1)(a n +n )(n ∈N *).(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,并求其通项公式; (2)设b n =2a n -15,求数列{|b n |}的前n 项和T n .解析:(1)证明:∵n (a n +1-n -1)=(n +1)(a n +n )(n ∈N *),∴na n +1-(n +1)a n =2n (n +1),∴a n +1n +1-a n n=2, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,其公差为2,首项为2,∴a n n =2+2(n -1)=2n . (2)由(1)知a n =2n 2,∴b n =2a n -15=2n -15,则数列{b n }的前n 项和S n =n (-13+2n -15)2=n 2-14n . 令b n =2n -15≤0,n ∈N *,解得n ≤7.∴n ≤7时,数列{|b n |}的前n 项和T n =-b 1-b 2-…-b n =-S n =-n 2+14n . n ≥8时,数列{|b n |}的前n 项和T n =-b 1-b 2-…-b 7+b 8+…+b n =-2S 7+S n = -2×(72-14×7)+n 2-14n =n 2-14n +98.∴T n =⎩⎪⎨⎪⎧14n -n 2,n ≤7,n 2-14n +98,n ≥8.。

2020版高考数学一轮复习第六章数列第2讲等差数列及其前n项和教案(理)(含解析)新人教A版

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第2讲 等差数列及其前n 项和基础知识整合1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从□01第2项起,每一项与它的前一项的□02差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为□03a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数). (2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是□04A =a +b 2,其中A 叫做a ,b 的□05等差中项.2.等差数列的有关公式(1)通项公式:a n =□06a 1+(n -1)d . (2)前n 项和公式:S n =□07na 1+n n -12d =□08n a 1+a n2.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .若m +n =2p (m ,n ,p ∈N *),则a m +a n =2a p .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d, 则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等差数列,其公差为n 2d . (7)若等差数列的项数为2n (n ∈N *),则S 偶-S 奇=nd ,S 奇S 偶=a na n +1. (8)若等差数列的项数为2n -1(n ∈N *),则S 奇-S 偶=a n ,S 奇S 偶=n n -1(S 奇=na n ,S 偶=(n -1)a n ).(9)由公式S n =na 1+n n -1d 2得S n n =a 1+n -12d =d 2n +a 1-d2,因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列,首项为a 1,公差为等差数列{a n }公差的一半.1.(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{a n }中,a 3+a 4=12,公差d =2,则a 9=( ) A .14 B .15 C .16 D .17答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 3+a 4=12⇒2a 1+5d =12,d =2⇒a 1=1,∴a 9=a 1+8d =1+16=17.故选D.2.(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A .-12B .-10C .10D .12答案 B解析 设该等差数列的公差为d ,根据题中的条件可得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2+3×22·d =2×2+d +4×2+4×32·d ,整理解得d =-3,所以a 5=a 1+4d =2-12=-10.故选B.3.(2019·湖北武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4=4,S 6=12,则S 2=( ) A .-1 B .0 C .1 D .3答案 B解析 根据等差数列的性质,可得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等差数列,即2(S 4-S 2)=S 2+S 6-S 4,因此S 2=0.4.(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{a n }中,S 5=25,a 2=3,则a 7=( ) A .13 B .12 C .15 D .14答案 A 解析 ∵S 5=5a 1+a 52=5a 3=25,∴a 3=5,又a 2=3,∴d =a 3-a 2=2,∴a 7=a 3+4d=5+8=13.故选A.5.(2019·辽宁模拟)在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,若a 3+a 4+a 8=25,则S 9=( )A .60B .75C .90D .105 答案 B解析 由等差数列的性质知a 3+a 4+a 8=3a 5=25. ∴a 5=253,∴S 9=9a 1+a 92=9a 5=75.故选B.6.(2019·长春市模拟)等差数列{a n }中,已知|a 6|=|a 11|,且公差d >0,则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A .6B .7C .8D .9答案 C解析 ∵|a 6|=|a 11|且公差d >0,∴a 6=-a 11, ∴a 6+a 11=a 8+a 9=0,且a 8<0,a 9>0, ∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C.核心考向突破考向一 等差数列的基本运算例1 (1)(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列,且a 2=-6,a 6=6,S n 是数列{a n }的前n 项和,则( )A .S 4<S 3B .S 4=S 3C .S 4>S 1D .S 4=S 1答案 B解析 设{a n }的公差为d ,由a 2=-6,a 6=6,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =-6,a 1+5d =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-9,d =3.于是,S 1=-9,S 3=3×(-9)+3×22×3=-18,S 4=4×(-9)+4×32×3=-18,所以S 4=S 3,S 4<S 1.故选B. (2)(2019·潍坊模拟)在等差数列{a n }中,公差d ≠0,若lg a 1,lg a 2,lg a 4也成等差数列,且a 5=10,则{a n }的前5项和S 5=( )A .40B .35C .30D .25答案 C解析 因为lg a 1,lg a 2,lg a 4成等差数列,所以2lg a 2=lg a 1+lg a 4⇒lg a 22=lg a 1a 4⇒a 22=a 1a 4⇒d 2=a 1d ,因为d ≠0,所以a 1=d ,又a 5=a 1+4d =10,所以a 1=2,d =2,S 5=5a 1+5×42d =30.选C.(3)(2018·上海高考)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=0,a 6+a 7=14,则S 7=________.答案 14解析 设数列{a n }的公差为d ,则a 6+a 7=2a 3+7d =14,又∵a 3=0,∴d =2,∴a 4=a 3+d =2.∴S 7=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=7a 4=14.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.2数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量转换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.即时训练 1.(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( )A .1B .2C .4D .8答案 C解析 设{a n }的公差为d ,则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 5=24,S 6=48,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+3d +a 1+4d =24,6a 1+6×52d =48,解得d =4.故选C.2.已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________. 答案 20解析 设等差数列{a n }的公差为d ,则a 1+a 22=a 1+(a 1+d )2=-3,S 5=5a 1+10d =10, 解得a 1=-4,d =3,则a 9=a 1+8d =-4+24=20.3.已知数列{a n }中,a 3=7,a 7=3,且⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -1是等差数列,则a 10=________. 答案 73解析 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -1的公差为d , 则1a 3-1=16,1a 7-1=12. ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -1是等差数列, ∴1a 7-1=1a 3-1+4d ,即12=16+4d ,解得d =112, 故1a 10-1=1a 3-1+7d =16+7×112=34,解得a 10=73. 考向二 等差数列的性质角度1 等差数列项的性质例2 (1)(2019·温州模拟)等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-13a 11的值是( )A .14B .15C .16D .17答案 C解析 因为{a n }是等差数列,所以a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=5a 8=120,所以a 8=24.所以a 9-13a 11=a 8+d -13(a 8+3d )=23a 8=16.故选C. (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 5+a 8=30,则下列一定为定值的是( ) A .S 6 B .S 7 C .S 8 D .S 9答案 D解析 由a 2+a 5+a 8=30可得3a 5=30,所以a 5=10,S 6=3(a 1+a 6)不一定是定值;S 7=72(a 1+a 7)不一定是定值;S 8=4(a 1+a 8)不一定是定值;S 9=a 1+a 9×92=2a 5×92=90.选D.触类旁通等差数列项的性质:利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将a n +a m =2a k (n +m =2k ,n ,m ,k ∈N *)与a m +a n =a p +a q (m +n =p +q ,m ,n ,p ,q ∈N *)相结合,可减少运算量.即时训练 4.(2019·河南豫南、豫北联考)等差数列{a n }中,a 4+a 10+a 16=30,则a 18-2a 14的值为( )A .20B .-20C .10D .-10答案 D解析 ∵a 4+a 10+a 16=3a 10=30,∴a 10=10,又2a 14=a 18+a 10,∴a 18-2a 14=-a 10=-10,故选D.5.(2019·福建漳州模拟)在等差数列{a n }中,若S 9=18,S n =240,a n -4=30,则n 的值为( )A .14B .15C .16D .17 答案 B解析 由等差数列的性质知S 9=9a 1+a 92=9a 5=18,∴a 5=2,又a n -4=30.∴S n =n a 1+a n2=n a n -4+a 52=16n =240,∴n =15.故选B.角度2 等差数列和的性质例3 (1)(2019·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=1,S 30=5,则S 40=( )A .7B .8C .9D .10答案 B解析 由等差数列的性质知S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30成等差数列,∴2(S 20-S 10)=S 10+(S 30-S 20),∴S 20=S 10+S 303=1+53=83.∴d =(S 20-S 10)-S 10=23,∴S 40-5=1+3×23=3,∴S 40=8.故选B.(2)一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d =________.答案 5解析 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇,偶数项的和为S 偶,等差数列的公差为d .由已知条件,得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇+S 偶=354,S 偶∶S 奇=32∶27,解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶=192,S 奇=162.又S 偶-S 奇=6d ,所以d =192-1626=5.触类旁通等差数列和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列,且有S 2n =na 1+a 2n =…=n a n +a n +1;S 2n -1=2n -1a n ;若n 为偶数,则S 偶-S 奇=nd2;若n 为奇数,则S 奇-S 偶=a 中中间项.即时训练 6.(2019·大同模拟)在等差数列{a n }中,a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2700,则a 50=( )A .-22.5B .-21.5C .28.5D .20答案 C解析 由(a 51+a 52+…+a 100)-(a 1+a 2+…+a 50)=50×50d =2700-200,得d =1.由a 1+a 100+a 2+a 99+…+a 50+a 51=50(a 50+a 51)=2700+200,得a 50+a 51=58,即2a 50+d =58,所以a 50=58-12=572=28.5.故选C.7.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6S 12=( )A.310B.13C.18D.19答案 A解析 令S 3=1,则S 6=3,∴S 9=1+2+3=6.S 12=S 9+4=10,∴S 6S 12=310.故选A. 考向三 等差数列的判定与证明例4 (1)(2019·辽宁模拟)数列{a n }满足a 1=2,a 2=1并且1a n -1=2a n -1a n +1(n ≥2),则数列{a n }的第100项为( )A.1100B.150C.12100 D.1250 答案 B 解析 ∵1a n -1=2a n -1a n +1(n ≥2),∴1a n +1+1a n -1=2a n ,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,首项为1a 1=12,第二项为1a 2=1,∴d =12,∴1a 100=1a 1+99d =50,∴a 100=150.(2)(2019·昆明模拟)在数列{a n }中,a 1=35,a n +1=2-1a n ,设b n =1a n -1,数列{b n }的前n 项和是S n .①证明数列{b n }是等差数列,并求S n ; ②比较a n 与S n +7的大小. 解 ①证明:∵b n =1a n -1,a n +1=2-1a n, ∴b n +1=1a n +1-1=1a n -1+1=b n +1,∴b n +1-b n =1,∴数列{b n }是公差为1的等差数列. 由a 1=35,b n =1a n -1,得b 1=-52,∴S n =-5n 2+n n -12=n 22-3n . ②由①知,b n =-52+n -1=n -72.由b n =1a n -1,得a n =1+1b n =1+1n -72. ∴a n -S n -7=-n 22+3n -6+1n -72.∵当n ≥4时,y =-n 22+3n -6是减函数,y =1n -72也是减函数,∴当n ≥4时,a n -S n-7≤a 4-S 4-7=0.又∵a 1-S 1-7=-3910<0,a 2-S 2-7=-83<0,a 3-S 3-7=-72<0,∴∀n ∈N *,a n -S n -7≤0,∴a n ≤S n +7.触类旁通等差数列的判定方法(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证a n -a n -1为同一常数. (2)等差中项法:验证2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)成立. 3通项公式法:验证a n =pn +q . 4前n 项和公式法:验证S n =An 2+Bn .提醒:在解答题中常应用定义法和等差中项法,而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.即时训练 8.(2019·河南郑州模拟)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=4,2a n =a n -1+a n +1(n ≥2,n ∈N *),当a n =298时,项数n =( )A .100B .99C .96D .101答案 A解析 因为2a n =a n -1+a n +1(n ≥2,n ∈N *),所以a n -a n -1=a n +1-a n .由a 1=1,a 2=4得d=a 2-a 1=3,所以数列{a n }是首项为1,公差为3的等差数列,所以a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1)×3=3n -2.由3n -2=298,解得n =100.故选A.9.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n +1.(1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列;(2)若不等式2n 2-n -3<(5-λ)a n 对任意的n ∈N *恒成立,求λ的取值范围. 解 (1)证明:当n =1时,S 1=2a 1-22,得a 1=4.S n =2a n -2n +1,当n ≥2时,S n -1=2a n -1-2n,两式相减得a n =2a n -2a n -1-2n ,即a n =2a n -1+2n ,所以a n 2n -a n -12n -1=1,又a 121=2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知a n2n =n +1,即a n =n ·2n +2n.因为a n >0,所以不等式2n 2-n -3<(5-λ)a n 等价于5-λ>2n -32n .即λ<5-⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -32n .记b n =2n -32n ,b 1=-12,b 2=14,当n ≥2时,b n +1b n =2n -12n +12n -32n =2n -14n -6,则b 3b 2=32,即b 3>b 2,又显然当n ≥3时,b n +1b n <1,所以(b n )max =b 3=38,所以λ<378.1.(2019·长沙模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( )A .6B .7C .8D .9答案 A解析 由a 4+a 6=2a 5=-6得a 5=-3,则公差为-3+115-1=2,所以由a n =-11+(n -1)×2=2n -13≤0得n ≤132,所以前6项和最小.选A.2.(2019·北京海淀模拟)等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n 最大?解 解法一:由S 3=S 11,得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,则d =-213a 1.从而S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1.又a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大. 解法二:由于S n =an 2+bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =an 2+bn 的图象关于n =3+112=7对称.由解法一可知a =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大.解法三:由解法一可知d =-213a 1.要使S n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+n -1⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≤0,解得6.5≤n ≤7.5,故当n =7时,S n 最大.解法四:由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0,即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0,又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0,所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大.答题启示求等差数列前n 项和最值的常用方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *.(2)图象法:利用二次函数图象的对称性来确定n 的值,使S n 取得最值.(3)项的符号法:当a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0,a n +1≤0的项数n ,使S n 取最大值;当a 1<0,d >0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0,a n +1≥0的项数n ,使S n 取最小值,即正项变负项处最大,负项变正项处最小.若有零项,则使S n 取最值的n 有两个.对点训练1.(2019·广东佛山模拟)设等差数列{a n }满足3a 8=5a 15,且a 1>0,S n 为其前n 项和,则数列{S n }的最大项为( )A .S 23B .S 24C .S 25D .S 26 答案 C解析 设等差数列的公差为d ,∵3a 8=5a 15,∴3a 1+21d =5a 1+70d ,∴a 1+2412d =0. ∵a 1>0,∴d <0,∴a 1+24d =a 25>0, a 1+25d =a 26<0,∴数列{S n }最大项为S 25.故选C.2.(2019·黑龙江模拟)已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且其前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的最大值n 为( )A .11B .19C .20D .21 答案 B解析 ∵S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n 有最大值,∴d <0,又a 11a 10<-1,∴a 10>0,a 11<0,∴a 10+a 11<0,即a 1+a 20<0,∴S 20=10(a 1+a 20)<0,又S 19=19a 1+a 192=19a 10>0,∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B.。

2023年高考数学(文科)一轮复习——等差数列及其前n项和

2023年高考数学(文科)一轮复习——等差数列及其前n项和

第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)若a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a ,b 的等差中项,且A =a +b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d .(2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)d 2=n (a 1+a n )2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.1.已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列,且公差为p .2.在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *,都有2a n +1=a n +a n +2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0且关于n 的二次函数.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×解析 (3)若公差d =0,则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d =0,则前n 项和不是n 的二次函数.2.(2022·南宁一模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,S 3=92,则数列{a n }的通项公式a n =( )A.nB.n +12C.2n -1D.3n -12答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ,则S 3=3a 1+3×22d =3+3d =92,解得d =12,∴a n =1+(n -1)×12=n +12.3.(2021·宝鸡二模)已知{a n }是等差数列,满足3(a 1+a 5)+2(a 3+a 6+a 9)=18,则该数列的前8项和为( )A.36B.24C.16D.12答案 D解析 由等差数列性质可得a 1+a 5=2a 3,a 3+a 6+a 9=3a 6,所以3×2a 3+2×3a 6=18,即a 3+a 6=3,所以S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 3+a 6)2=12. 4.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2=5,a 3+a 4=15,则a 5+a 6=( )A.10B.20C.25D.30答案 C解析 等差数列{a n }中,每相邻2项的和仍然构成等差数列,设其公差为d ,若a 1+a 2=5,a 3+a 4=15,则d =15-5=10,因此a 5+a 6=(a 3+a 4)+d =15+10=25.5.一物体从1 960 m 的高空降落,如果第1秒降落4.90 m ,以后每秒比前一秒多降落9.80 m ,那么经过________秒落到地面.答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.所以4.90t +12t (t -1)×9.80=1 960,即4.90t 2=1 960,解得t =20.6.(易错题)在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________.答案 5或6解析 ∵|a 3|=|a 9|,∴|a 1+2d |=|a 1+8d |,可得a 1=-5d ,∴a 6=a 1+5d =0,且a 1>0,∴a 5>0,故S n 取最大值时n 的值为5或6.考点一 等差数列的基本运算1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( )A.a n =2n -5B.a n =3n -10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n答案 A解析 设首项为a 1,公差为d .由S 4=0,a 5=5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+4d =5,4a 1+6d =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-3,d =2.所以a n =-3+2(n -1)=2n -5,S n =n ×(-3)+n (n -1)2×2=n 2-4n . 2.(2022·太原调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 8=a 8=8,则公差d =( )A.14B.12C.1D.2 答案 D解析 ∵S 8=a 8=8,∴a 1+a 2+…+a 8=a 8,∴S 7=7a 4=0,则a 4=0.∴d =a 8-a 48-4=2. 3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1=-2,a 2+a 6=2,则S 10=________.答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2+a 6=2a 1+6d =2×(-2)+6d =2.解得d =1.所以S 10=10×(-2)+10×92×1=25.4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a5.(1)若 a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9=-a 5可知9a 5=-a 5,所以a 5=0.因为a 3=4,所以d =a 5-a 32=0-42=-2,所以a n =a 3+(n -3)×(-2)=10-2n ,因此{a n }的通项公式为a n =10-2n .(2)由(1)得a 5=0,因为a 1>0,所以等差数列{a n }单调递减,即d <0,a 1=a 5-4d =-4d ,S n =n (n -9)d 2, a n =-4d +d (n -1)=dn -5d ,因为S n ≥a n ,所以nd (n -9)2≥dn -5d , 又因为d <0,所以1≤n ≤10.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.考点二 等差数列的判定与证明例1 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数,记S n 为{a n }的前n 项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列;②数列{S n }是等差数列;③a 2=3a 1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解 ①③⇒②.已知{a n }是等差数列,a 2=3a 1.设数列{a n }的公差为d ,则a 2=3a 1=a 1+d ,得d =2a 1,所以S n =na 1+n (n -1)2d =n 2a 1. 因为数列{a n }的各项均为正数, 所以S n =n a 1, 所以S n +1-S n =(n +1)a 1-n a 1=a 1(常数),所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.已知{a n }是等差数列,{S n }是等差数列.设数列{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n -1)2d =12n 2d +⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n . 因为数列{S n }是等差数列,所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数,则a1-d2=0,即d=2a1,所以a2=a1+d=3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列,a2=3a1,所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1.设数列{S n}的公差为d,d>0,则S2-S1=4a1-a1=d,得a1=d2,所以S n=S1+(n -1)d=nd,所以S n=n2d2,所以n≥2时,a n=S n-S n-1=n2d2-(n-1)2d2=2d2n-d2,对n=1也适合,所以a n=2d2n-d2,所以a n+1-a n=2d2(n+1)-d2-(2d2n-d2)=2d2(常数),所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证a n-a n-1为同一常数.即作差法,将关于a n-1的a n代入a n-a n-1,再化简得到定值.(2)等差中项法:验证2a n-1=a n+a n-2(n≥3,n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论:(1)通项公式:a n=pn+q(p,q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式:S n=An2+Bn(A,B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1 (2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和,b n为数列{S n}的前n项积,已知2S n+1b n=2.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积,所以n ≥2时,S n =b n b n -1, 代入2S n +1b n =2可得,2b n -1b n +1b n=2, 整理可得2b n -1+1=2b n ,即b n -b n -1=12(n ≥2).又2S 1+1b 1=3b 1=2,所以b 1=32, 故{b n }是以32为首项,12为公差的等差数列.(2)解 由(1)可知,b n =32+12(n -1)=n +22,则2S n +2n +2=2,所以S n =n +2n +1, 当n =1时,a 1=S 1=32,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n +2n +1-n +1n =-1n (n +1). 故a n =⎩⎪⎨⎪⎧32,n =1,-1n (n +1),n ≥2. 考点三 等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质例2 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且4+a 5=a 6+a 4,则S 9等于( )A.72B.36C.18D.9 (2)在等差数列{a n }中,若a 5+a 6=4,则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=( )A.10B.20C.40D.2+log 25答案 (1)B (2)B解析 (1)∵a 6+a 4=2a 5,∴a 5=4,∴S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=36. (2)由等差数列的性质知a 1+a 10=a 2+a 9=a 3+a 8=a 4+a 7=a 5+a 6=a 4,则2a 1···2a 10=2a 1+a 2+…+a 10=25(a 5+a 6)=25×4,所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)=log 225×4=20. 角度2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5=7,S 10=21,则S 15等于( )A.35B.42C.49D.63(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 (1)B (2)C解析 (1)在等差数列{a n }中,S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等差数列,即7,14,S 15-21成等差数列,所以7+(S 15-21)=2×14,解得S 15=42.(2)设每一层有n 环,由题可知从内到外每环之间构成公差d =9,a 1=9的等差数列.由等差数列的性质知S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列,且(S 3n -S 2n )-(S 2n -S n )=n 2d ,则9n 2=729,得n =9,则三层共有扇面形石板S 3n =S 27=27×9+27×262×9=3 402(块).角度3 等差数列前n 项和的最值例4 等差数列{a n }中,设S n 为其前n 项和,且a 1>0,S 3=S 11,则当n 为多少时,S n 最大?解 法一 设公差为d .由S 3=S 11,可得3a 1+3×22d =11a 1+11×102d ,即d =-213a 1.从而S n =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n =-a 113(n -7)2+4913a 1, 因为a 1>0,所以-a 113<0.故当n =7时,S n 最大.法二 易知S n =An 2+Bn 是关于n 的二次函数,由S 3=S 11,可知S n =An 2+Bn 的图象关于直线n =3+112=7对称. 由解法一可知A =-a 113<0,故当n =7时,S n 最大.法三 设公差为d .由解法一可知d =-213a 1.要使S n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≥0,a 1+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫-213a 1≤0, 解得6.5≤n ≤7.5,故当n =7时,S n 最大.法四 设公差为d .由S 3=S 11,可得2a 1+13d =0, 即(a 1+6d )+(a 1+7d )=0,故a 7+a 8=0, 又由a 1>0,S 3=S 11可知d <0,所以a 7>0,a 8<0,所以当n =7时,S n 最大.感悟提升 1.项的性质:在等差数列{a n }中,若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .2.和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则(1)S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);(2)S 2n -1=(2n -1)a n .(3)依次k 项和成等差数列,即S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成等差数列.3.求等差数列前n 项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值;(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n =An 2+Bn (A ,B 为常数,A ≠0)为二次函数,通过二次函数的性质求最值.训练2 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 17=272,则a 3+a 9+a 15=( )A.24B.36C.48D.64(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 020,S 2 0202 020-S 2 0142 014=6,则S 2 023等于( )A.2 023B.-2 023C.4 046D.-4 046(3)设等差数列{a n }满足a 1=1,a n >0(n ∈N *),其前n 项和为S n ,若数列{S n }也为等差数列,则S n +10a 2n的最大值是________. 答案 (1)C (2)C (3)121解析 (1)因为数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,所以S 17=272=a 1+a 172×17=2a 92×17=17a 9,∴a 9=16,所以a 3+a 9+a 15=3a 9=48.(2)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列,设公差为d ′, 则S 2 020 2 020-S 2 0142 014=6d ′=6,∴d ′=1,首项为S 11=-2 020,∴S 2 0232 023=-2 020+(2 023-1)×1=2,∴S 2 023=2 023×2=4 046,故选C.(3)设数列{a n }的公差为d ,依题意得2S 2=S 1+S 3,∴22a 1+d =a 1+3a 1+3d ,把a 1=1代入求得d =2,∴a n =1+(n -1)×2=2n -1,S n =n +n (n -1)2×2=n 2,∴S n +10a 2n =(n +10)2(2n -1)2=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n +102n -12=⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2n -1)+2122n -12=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1+212n -12≤121.∴S n +10a 2n 的最大值是121.1.在等差数列{a n }中,3a 5=2a 7,则此数列中一定为0的是() A.a 1 B.a 3 C.a 8 D.a 10答案 A解析 设{a n }的公差为d (d ≠0),∵3a 5=2a 7,∴3(a 1+4d )=2(a 1+6d ),得a 1=0.2.(2021·重庆二模)已知公差不为0的等差数列{a n }中,a 2+a 4=a 6,a 9=a 26,则a 10=( )A.52B.5C.10D.40答案 A解析 设公差为d ,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d +a 1+3d =a 1+5d ,a 1+8d =(a 1+5d )2,由于d ≠0,故a 1=d =14,所以a 10=14+14×9=52.3.已知数列{a n }满足5an +1=25·5an ,且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)=() A.-3 B.3 C.-13 D.13答案 A解析 数列{a n }满足5an +1=25·5an ,∴a n +1=a n +2,即a n +1-a n =2,∴数列{a n }是等差数列,公差为2.∵a 2+a 4+a 6=9,∴3a 4=9,a 4=3.∴a 1+3×2=3,解得a 1=-3.∴a 5+a 7+a 9=3a 7=3×(-3+6×2)=27,则log 13(a 5+a 7+a 9)=log 1333=-3.故选A.4.(2022·太原一模)在数列{a n }中,a 1=3,a m +n =a m +a n (m ,n ∈N *),若a 1+a 2+a 3+…+a k =135,则k =( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析 令m =1,由a m +n =a m +a n 可得a n +1=a 1+a n ,所以a n +1-a n =3, 所以{a n }是首项为a 1=3,公差为3的等差数列,a n =3+3(n -1)=3n ,所以a 1+a 2+a 3+…+a k =k (a 1+a k )2=k (3+3k )2=135. 整理可得k 2+k -90=0,解得k =9或k =-10(舍).5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,使孝顺子女的美德外传,则第八个孩子分得斤数为( )A.65B.176C.183D.184答案 D解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n },其中d =17,n =8,S 8=996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1+8×72×17=996,解得a 1=65.由等差数列通项公式得a 8=65+(8-1)×17=184.则第八个孩子分得斤数为184.6.(2021·全国大联考)在等差数列{a n }中,若a 10a 9<-1,且它的前n 项和S n 有最大值,则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )A.15B.16C.17D.14答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值,∴等差数列{a n }为递减数列, 又a 10a 9<-1,∴a 9>0,a 10<0, ∴a 9+a 10<0,又S 18=18(a 1+a 18)2=9(a 9+a 10)<0, 且S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9>0. 故使得S n >0成立的正整数n 的最大值为17.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 6=1,S 12=4,则S 18=________. 答案 9解析 在等差数列中,S 6,S 12-S 6,S 18-S 12成等差数列,∵S 6=1,S 12=4,∴1,3,S 18-4成公差为2的等差数列,即S 18-4=5,S 18=9.8.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =3n -22n +1,则a 7b 7等于________. 答案 3727解析 a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=a 1+a 132×13b 1+b 132×13=S 13T 13=3×13-22×13+1=3727. 9.(2021·西安一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1=32,a 2=2,2(S n +2+S n )=4S n +1+1,则数列{a n }的前16项和S 16=________.答案 84解析 将2(S n +2+S n )=4S n +1+1变形为(S n +2-S n +1)-(S n +1-S n )=12,即a n +2-a n+1=12,又a 1=32,a 2=2,∴a 2-a 1=12符合上式,∴{a n }是首项a 1=32,公差d =12的等差数列,∴S 16=16×32+16×152×12=84.10.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2a 4=65,a 1+a 5=18.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在常数k ,使得数列{S n +kn }为等差数列?若存在,求出常数k ;若不存在,请说明理由.解 (1)设公差为d .∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=a 2+a 4=18,又a 2a 4=65,∴a 2,a 4是方程x 2-18x +65=0的两个根,又公差d >0,∴a 2<a 4,∴a 2=5,a 4=13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =5,a 1+3d =13,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4,∴a n =4n -3. (2)由(1)知,S n =n +n (n -1)2×4=2n 2-n , 假设存在常数k ,使数列{S n +kn }为等差数列. 由S 1+k +S 3+3k =2S 2+2k , 得1+k +15+3k =26+2k ,解得k =1. ∴S n +kn =2n 2=2n ,当n ≥2时,2n -2(n -1)=2,为常数,∴数列{S n +kn }为等差数列.故存在常数k =1,使得数列{S n +kn }为等差数列. 11.设数列{a n }的各项都为正数,其前n 项和为S n ,已知对任意n ∈N *,S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明:数列{a n }为等差数列;(2)若b n =-n +5,求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.(1)证明 由已知可得2S n =a 2n +a n ,且a n >0,当n =1时,2a 1=a 21+a 1,解得a 1=1.当n ≥2时,有2S n -1=a 2n -1+a n -1,所以2a n =2S n -2S n -1=a 2n -a 2n -1+a n -a n -1,所以a 2n -a 2n -1=a n +a n -1,即(a n +a n -1)(a n -a n -1)=a n +a n -1,因为a n +a n -1>0,所以a n -a n -1=1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列.(2)解 由(1)可知a n =n ,设c n =a n ·b n ,则c n =n (-n +5)=-n 2+5n=-⎝ ⎛⎭⎪⎫n -522+254, 因为n ∈N *,所以n =2或3,c 2=c 3=6,因此当n =2或n =3时,{a n ·b n }取最大项,且最大项的值为6.12.(2020·新高考山东卷)将数列{2n -1}与{3n -2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为__________.答案 3n 2-2n解析 法一(观察归纳法) 数列{}2n -1的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;数列{3n -2}的各项为1,4,7,10,13,….现观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列, 则a n =1+6(n -1)=6n -5.故其前n 项和为S n =n (a 1+a n )2=n (1+6n -5)2=3n 2-2n . 法二(引入参变量法) 令b n =2n -1,c m =3m -2,b n =c m ,则2n -1=3m -2,即3m =2n +1,m 必为奇数.令m =2t -1,则n =3t -2(t =1,2,3,…).a t =b 3t -2=c 2t -1=6t -5,即a n =6n -5.以下同法一.13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n }中,a 6=11,且na n -(n -1)a n +1=1,则a n =______;a 2n +143n 的最小值为________.答案 2n -1 44解析 na n -(n -1)a n +1=1,∴(n +1)a n +1-na n +2=1,两式相减得na n -2na n +1+na n +2=0,∴a n +a n +2=2a n +1,∴数列{a n }为等差数列.当n =1时,由na n -(n -1)a n +1=1得a 1=1,由a 6=11,得公差d =2,∴a n =1+2(n -1)=2n -1,∴a 2n +143n =(2n -1)2+143n=4n +144n -4≥24n ·144n -4=44, 当且仅当4n =144n ,即n =6时等号成立.14.等差数列{a n }中,公差d <0,a 2+a 6=-8,a 3a 5=7.(1)求{a n }的通项公式;(2)记T n 为数列{b n }前n 项的和,其中b n =|a n |,n ∈N *,若T n ≥1 464,求n 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中,公差d <0,a 2+a 6=-8, ∴a 2+a 6=a 3+a 5=-8,又∵a 3a 5=7,∴a 3,a 5是一元二次方程x 2+8x +7=0的两个根,且a 3>a 5, 解方程x 2+8x +7=0,得a 3=-1,a 5=-7,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =-1,a 1+4d =-7,解得a 1=5,d =-3. ∴a n =5+(n -1)×(-3)=-3n +8.(2)由(1)知{a n }的前n 项和S n =5n +n (n -1)2×(-3)=-32n 2+132n . ∵b n =|a n |,∴b 1=5,b 2=2,b 3=|-1|=1,b 4=|-4|=4, 当n ≥3时,b n =|a n |=3n -8.当n <3时,T 1=5,T 2=7;当n ≥3时,T n =-S n +2S 2=3n 22-13n 2+14.∵T n ≥1 464,∴T n =3n 22-13n 2+14≥1 464,即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥100,3∴n的最小值为34.。

【新课改】2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测:数列的综合应用(含解析)

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课时跟踪检测(三十七) 数列的综合应用1.(2019·深圳模拟)设函数f (x )=x m+ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f n(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n +1 B .n +2n +1 C.nn -1D .n +1n解析:选A ∵f ′(x )=mx m -1+a =2x +1,∴a =1,m =2,∴f (x )=x (x +1),则1f n=1n n +1=1n -1n +1,用裂项法求和得S n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=n n +1.2.已知函数f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧n 2,n 为奇数,-n 2,n 为偶数,且a n =f (n )+f (n +1),则a 1+a 2+a 3+…+a 2018=( ) A .-2 017 B .-2 018 C .2 017D .2 018解析:选D 当n 为奇数时,n +1为偶数,则a n =n 2-(n +1)2=-2n -1,所以a 1+a 3+a 5+…+a 2 017=-(3+7+11+…+4 035).当n 为偶数时,n +1为奇数,则a n =-n 2+(n +1)2=2n +1,所以a 2+a 4+a 6+…+a 2 018=5+9+13+…+4 037.所以a 1+a 2+a 3+…+a 2 018=(5-3)+(9-7)+(13-11)+…+(4 037-4 035)=2×1 009=2 018,故选D.3.(2017·四川乐山模拟)对于数列{a n },定义H 0=a 1+2a 2+…+2n -1a nn为{a n }的“优值”.现已知某数列的“优值”H 0=2n +1,记数列{a n -20}的前n 项和为S n ,则S n 的最小值为( )A .-64B .-68C .-70D .-72解析:选D 由题意可知:H 0=a 1+2a 2+…+2n -1a n n=2n +1,则a 1+2a 2+…+2n -1·a n =n ·2n +1.当n ≥2时,a 1+2a 2+…+2n -2·a n -1=(n -1)·2n,两式相减得2n -1·a n =n ·2n +1-(n -1)·2n,a n =2(n +1),当n =1时成立,∴a n -20=2n -18,显然{a n -20}为等差数列. 令a n -20≤0,解得n ≤9,故当n =8或9时,{a n -20}的前n 项和S n 取最小值,最小值为S 8=S 9=9×-16+02=-72,故选D.4.(2019·湖北襄阳联考)已知函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12为奇函数,g (x )=f (x )+1,若a n =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2 019,则数列{a n }的前2 018项和为( )A .2 017B .2 018C .2 019D .2 020解析:选B ∵函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12为奇函数,∴其图象关于原点对称,∴函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0对称,∴函数g (x )=f (x )+1的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1对称,∴g (x )+g (1-x )=2,∵a n =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2 019,∴数列的前2 018项之和为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019+g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019+g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019+…+g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0172 019+g ⎝⎛⎭⎪⎫2 0182 019=2 018.故选B. 5.(2019·林州一中调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=5,a n +1=-12a n +6,若对任意的n ∈N *,1≤p (S n -4n )≤3恒成立,则实数p 的取值范围为( )A .(2,3]B .[2,3]C .(2,4]D .[2,4]解析:选B 由数列的递推关系式可得a n +1-4=-12(a n -4),则数列{a n -4}是首项为a 1-4=1,公比为-12的等比数列,∴a n -4=1×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1,∴a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1+4,∴S n =23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n +4n ,∴不等式1≤p (S n -4n )≤3恒成立,即1≤p ×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n ≤3恒成立.当n 为偶数时,可得1≤p ×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤3,可得2≤p ≤92,当n 为奇数时,可得1≤p ×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n≤3,可得32≤p ≤3,故实数p 的取值范围为[2,3].6.(2019·昆明适应性检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =4n ,若不等式S n +8≥λn 对任意的n ∈N *都成立,则实数λ的取值范围为________.解析:因为a n =4n ,所以S n =2n 2+2n ,不等式S n +8≥λn 对任意的n ∈N *恒成立,即λ≤2n 2+2n +8n ,又2n 2+2n +8n =2n +8n+2≥10(当且仅当n =2时取等号),所以实数λ的取值范围为(-∞,10].答案:(-∞,10]7.(2019·济宁模拟)若数列{a n }满足:只要a p =a q (p ,q ∈N *),必有a p +1=a q +1,那么就称数列{a n }具有性质P .已知数列{a n }具有性质P ,且a 1=1,a 2=2,a 3=3,a 5=2,a 6+a 7+a 8=21,则a 2 020=____________.解析:根据题意,数列{a n }具有性质P ,且a 2=a 5=2, 则有a 3=a 6=3,a 4=a 7,a 5=a 8=2. 由a 6+a 7+a 8=21,可得a 3+a 4+a 5=21, 则a 4=21-3-2=16,进而分析可得a 3=a 6=a 9=…=a 3n =3,a 4=a 7=a 10=…=a 3n +1=16,a 5=a 8=…=a 3n +2=2(n ≥1),则a 2 020=a 3×673+1=16. 答案:168.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第一天长高3尺,莞草第一天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第________天时,蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0).解析:由题意得,蒲草的高度组成首项为a 1=3,公比为12的等比数列{a n },设其前n 项和为A n ;莞草的高度组成首项为b 1=1,公比为2的等比数列{b n },设其前n 项和为B n .则A n=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12,B n =2n-12-1,令3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12=2n -12-1,化简得2n +62n =7(n ∈N *),解得2n=6,所以n=lg 6lg 2=1+lg 3lg 2≈3,即第3天时蒲草和莞草高度相同. 答案:39.(2019·安阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )在函数f (x )=x 2+Bx +C -1(B ,C ∈R)的图象上,且a 1=C .(1)求数列{a n }的通项公式;(2)记数列b n =a n (a 2n -1+1),求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d , 则S n =na 1+n n -12d =d 2n 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n .又S n =n 2+Bn +C -1,两式比较得d 2=1,B =a 1-d2,C -1=0.又a 1=C ,解得d =2,C =1=a 1,B =0, ∴a n =1+2(n -1)=2n -1.(2)∵b n =a n (a 2n -1+1)=(2n -1)(2×2n -1-1+1)=(2n -1)×2n,∴数列{b n }的前n 项和T n =2+3×22+5×23+…+(2n -1)×2n, ∴2T n =22+3×23+…+(2n -3)×2n +(2n -1)×2n +1,∴-T n =2+2×(22+23+…+2n )-(2n -1)×2n +1=2+2×42n -1-12-1-(2n -1)×2n +1=(3-2n )×2n +1-6,故T n =(2n -3)×2n +1+6.10.2017年12月4日0时起某市实施机动车单双号限行,新能源汽车不在限行范围内,某人为了出行方便,准备购买某新能源汽车.假设购车费用为14.4万元,每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元,汽车的保养维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,…,依等差数列逐年递增.(1)设使用n 年该车的总费用(包括购车费用)为f (n ),试写出f (n )的表达式; (2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少),年平均费用的最小值是多少?解:(1)由题意得f (n )=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n )+0.9n =14.4+0.2n n +12+0.9n =0.1n 2+n +14.4.(2)设该车的年平均费用为S 万元,则有S =1n f (n )=1n (0.1n 2+n +14.4)=n 10+14.4n+1≥2 1.44+1=3.4. 当且仅当n 10=14.4n,即n =12时,等号成立,即S 取最小值3.4万元.所以这种新能源汽车使用12年报废最合算,年平均费用的最小值是3.4万元.11.(2018·淮南一模)若数列{a n }的前n 项和为S n ,点(a n ,S n )在y =16-13x 的图象上(n∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若c 1=0,且对任意正整数n 都有c n +1-c n =log 12a n .求证:对任意正整数n ≥2,总有13≤1c 2+1c 3+1c 4+…+1c n <34. 解:(1)∵S n =16-13a n ,∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=13a n -1-13a n ,∴a n =14a n -1.又∵S 1=16-13a 1,∴a 1=18,∴a n =18×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫122n +1.(2)证明:由c n +1-c n =log 12a n =2n +1,得当n ≥2时,c n =c 1+(c 2-c 1)+(c 3-c 2)+…+(c n -c n -1)=0+3+5+…+(2n -1)=n 2-1=(n +1)(n -1).∴1c 2+1c 3+1c 4+…+1c n=122-1+132-1+142-1+…+1n 2-1=12×[ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-14+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1 ] =12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1n +1 =34-12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1n +1<34. 又∵1c 2+1c 3+1c 4+…+1c n ≥1c 2=13,∴原式得证.。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十四数列的概念与简单表示含解析

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课时跟踪检测(三十四) 数列的概念与简单表示一、题点全面练1.已知数列1,2,7,10,13,…,则219在这个数列中的项数是( ) A .16 B .24 C .26D .28解析:选C 因为a 1=1=1,a 2=2=4,a 3=7,a 4=10,a 5=13,…,所以a n =3n -2.令a n =3n -2=219=76,解得n =26.2.若数列{a n }满足a 1=1,a 2=3,a n +1=(2n -λ)a n (n =1,2,…),则a 3等于( ) A .5 B .9 C .10D .15解析:选D 令n =1,则3=2-λ,即λ=-1,由a n +1=(2n +1)a n ,得a 3=5a 2=5×3=15.故选D.3.若S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =nn +1,则1a 5等于( ) A.56 B.65 C.130D .30解析:选D 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=nn +1-n -1n =1nn +,所以1a 5=5×6=30.4.(2019·西宁模拟)数列{a n }满足a 1=2,a n +1=a 2n (a n >0),则a n =( ) A .10n -2B .10n -1C .102n -4D .22n -1解析:选D 因为数列{a n }满足a 1=2,a n +1=a 2n (a n >0),所以log 2a n +1=2log 2a n ⇒log 2a n +1log 2a n=2,所以{log 2a n }是公比为2的等比数列,所以log 2a n =log 2a 1·2n -1⇒a n =22n -1.5.设数列{a n }的通项公式为a n =n 2-bn ,若数列{a n }是单调递增数列,则实数b 的取值范围为( )A .(-∞,-1]B .(-∞,2]C .(-∞,3)D.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,92 解析:选C 因为数列{a n }是单调递增数列, 所以a n +1-a n =2n +1-b >0(n ∈N *), 所以b <2n +1(n ∈N *),所以b <(2n +1)min =3,即b <3.6.(2018·佛山模拟)若数列{a n }满足12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n +1,则数列{a n }的通项公式a n =________.解析:因为12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n =2n +1,所以12a 1+122a 2+123a 3+…+12n a n +12n +1a n +1=2(n +1)+1,两式相减得12n +1a n +1=2,即a n =2n +1,n ≥2.又12a 1=3,所以a 1=6,因此a n =⎩⎪⎨⎪⎧6,n =1,2n +1,n ≥2.答案:⎩⎪⎨⎪⎧6,n =1,2n +1,n ≥27.已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1-a n +1)-2a n +1(1-a n )=a n -a n +1+a n ·a n +1,且a 1=13,则数列{a n }的通项公式a n =________.解析:∵a n ≠0,2a n (1-a n +1)-2a n +1(1-a n )=a n -a n +1+a n ·a n +1,∴两边同除以a n ·a n +1,得-a n +1a n +1--a na n=1a n +1-1a n +1,整理,得1a n +1-1a n =1,即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以3为首项,1为公差的等差数列,∴1a n =3+(n -1)×1=n +2,即a n =1n +2.答案:1n +28.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=4,a n +2+2a n =3a n +1(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n=________.解析:由a n +2+2a n -3a n +1=0,得a n +2-a n +1=2(a n +1-a n ),∴数列{a n +1-a n }是以a 2-a 1=3为首项,2为公比的等比数列,∴a n +1-a n =3×2n -1,∴n ≥2时,a n -a n -1=3×2n -2,…,a 3-a 2=3×2,a 2-a 1=3,将以上各式累加得a n -a 1=3×2n -2+…+3×2+3=3(2n -1-1),∴a n =3×2n -1-2(n ≥2),经检验,当n =1时,a n =1,符合上式. ∴a n =3×2n -1-2. 答案:3×2n -1-29.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a (a ≠3),a n +1=S n +3n,n ∈N *,设b n =S n -3n. (1)求数列{b n }的通项公式;(2)若a n +1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围. 解:(1)依题意,S n +1-S n =a n +1=S n +3n,即S n +1=2S n +3n ,由此得S n +1-3n +1=2(S n -3n),即b n +1=2b n ,又b 1=S 1-3=a -3, 所以数列{b n }的通项公式为b n =(a -3)2n -1,n ∈N *.(2)由(1)知S n =3n+(a -3)2n -1,n ∈N *,于是,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n +(a -3)2n -1-3n -1-(a -3)2n -2=2×3n -1+(a -3)2n -2, a n +1-a n =4×3n -1+(a -3)2n -2=2n -2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2+a -3,当n ≥2时,a n +1≥a n ⇒12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -2+a -3≥0⇒a ≥-9.又a 2=a 1+3>a 1.综上,a 的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).10.已知数列{a n }的各项均为正数,记数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n }的前n 项和为T n ,且3T n =S 2n +2S n ,n ∈N *.(1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式. 解:(1)由3T 1=S 21+2S 1, 得3a 21=a 21+2a 1,即a 21-a 1=0. 因为a 1>0,所以a 1=1. (2)因为3T n =S 2n +2S n ,① 所以3T n +1=S 2n +1+2S n +1,② ②-①,得3a 2n +1=S 2n +1-S 2n +2a n +1. 因为a n +1>0,所以3a n +1=S n +1+S n +2,③ 所以3a n +2=S n +2+S n +1+2,④ ④-③,得3a n +2-3a n +1=a n +2+a n +1, 即a n +2=2a n +1, 所以当n ≥2时,a n +1a n=2. 又由3T 2=S 22+2S 2,得3(1+a 22)=(1+a 2)2+2(1+a 2),即a 22-2a 2=0. 因为a 2>0,所以a 2=2,所以a 2a 1=2, 所以对n ∈N *,都有a n +1a n=2成立, 所以数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,n ∈N *.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+1(n ∈N *),则a n =________. 解析:当n =1时,a 1=S 1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+1-[(n -1)2+1]=2n -1,故a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,2n -1,n ≥2.答案:⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,2n -1,n ≥22.若数列{a n }的通项公式是a n =(n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n,则此数列的最大项是第________项.解析:∵a n +1-a n =(n +2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n +1-(n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ×9-n 11,当n <9时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ; 当n =9时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ; 当n >9时,a n +1-a n <0,即a n +1<a n , ∴该数列中有最大项,且最大项为第9,10项. 答案:9或103.若数列{a n }满足a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧2a n,0≤a n≤12,2a n-1,12<a n<1,a 1=35,则数列{a n }的第2 019项为________.解析:由已知可得,a 2=2×35-1=15,a 3=2×15=25, a 4=2×25=45, a 5=2×45-1=35,∴{a n }为周期数列且T =4, ∴a 2 019=a 504×4+3=a 3=25.答案:254.(2019·湖南永州模拟)已知数列{a n }中,a 1=a ,a 2=2-a ,a n +2-a n =2,若数列{a n }单调递增,则实数a 的取值范围为________.解析:由a n +2-a n =2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增,若数列{a n }单调递增,则必有a 2-a 1=(2-a )-a >0且a 2-a 1=(2-a )-a <a n +2-a n =2,可得0<a <1,故实数a 的取值范围为(0,1).答案:(0,1)(二)交汇专练——融会巧迁移5.[与函数零点交汇]已知二次函数f (x )=x 2-ax +a (a >0,x ∈R)有且只有一个零点,数列{a n }的前n 项和S n =f (n )(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设c n =1-4a n(n ∈N *),定义所有满足c m ·c m +1<0的正整数m 的个数,称为这个数列{c n }的变号数,求数列{c n }的变号数.解:(1)依题意,Δ=a 2-4a =0, 所以a =0或a =4. 又由a >0得a =4, 所以f (x )=x 2-4x +4. 所以S n =n 2-4n +4.当n =1时,a 1=S 1=1-4+4=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -5.所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n -5,n ≥2.(2)由题意得c n =⎩⎪⎨⎪⎧-3,n =1,1-42n -5,n ≥2.由c n =1-42n -5可知,当n ≥5时,恒有c n >0.又c 1=-3,c 2=5,c 3=-3,c 4=-13,c 5=15,c 6=37,即c 1·c 2<0,c 2·c 3<0,c 4·c 5<0, 所以数列{c n }的变号数为3. (三)素养专练——学会更学通6.[数学建模]定义:在数列{a n }中,若满足a n +2a n +1-a n +1a n=d (n ∈N *,d 为常数),称{a n }为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{a n }中,a 1=a 2=1,a 3=3,则a 2 019a 2 017等于( ) A .4×2 0192-1 B .4×2 0182-1 C .4×2 0172-1 D .4×2 0172解析:选C 由题知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1a n 是首项为1,公差为2的等差数列,则a n +1a n =2n -1,所以a 2 019a 2 017=a 2 019a 2 018·a 2 018a 2 017=(2×2 018-1)(2×2 017-1) =(2×2 017+1)(2×2 017-1)=4×2 0172-1.7.[逻辑推理]在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,若a n +2=2a n +1-a n +2,则a n =( ) A.15n 2-25n +65 B .n 3-5n 2+9n -4 C .n 2-2n +2D .2n 2-5n +4解析:选C 由题意得(a n +2-a n +1)-(a n +1-a n )=2,因此数列{a n +1-a n }是以1为首项,2为公差的等差数列,a n +1-a n =1+2(n -1)=2n -1, 当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+1+3+…+(2n -3)=1++2n -n -2=(n -1)2+1=n 2-2n +2,又a 1=1=12-2×1+2,因此a n =n 2-2n +2.8.[数学运算]设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{S n }的前n 项和为T n ,满足T n =2S n -n 2,n ∈N *.(1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式. 解:(1)令n =1,T 1=2S 1-1, ∵T 1=S 1=a 1,∴a 1=2a 1-1,∴a 1=1. (2)n ≥2时,T n -1=2S n -1-(n -1)2, 则S n =T n -T n -1=2S n -n 2-[2S n -1-(n -1)2] =2(S n -S n -1)-2n +1 =2a n -2n +1.因为当n =1时,a 1=S 1=1也满足上式, 所以S n =2a n -2n +1(n ∈N *),当n ≥2时,S n -1=2a n -1-2(n -1)+1, 两式相减得a n =2a n -2a n -1-2, 所以a n =2a n -1+2(n ≥2), 所以a n +2=2(a n -1+2),因为a1+2=3≠0,所以数列{a n+2}是以3为首项,2为公比的等比数列.所以a n+2=3×2n-1,所以a n=3×2n-1-2,当n=1时也成立,所以a n=3×2n-1-2.。

2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(三十四)等比数列及其前n项和

2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(三十四)等比数列及其前n项和
★答案★:1 022
9.(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求{bn}的前n项和.
解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得a1=2,
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.
即am+1=2,即{an}为常数列.又T2m+1=(am+1)2m+1,由22m+1=128,得m=3.
★答案★:3
8.(2019·合肥二测)已知数列{an}中,a1=2,且 =4(an+1-an)(n∈N*),则其前9项的和S9=可得a -4an+1an+4a =0,即(an+1-2an)2=0,即an+1=2an,又a1=2,所以数列{an}是首项和公比都是2的等比数列,则其前9项的和S9= =210-2=1 022.
解:(1)因为点(an,an+1)在直线y=x+2上,
所以an+1=an+2,所以an+1-an=2,
所以数列{an}是等差数列,公差为2,又a1=1,
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)数列{an}的前n项和Sn= =n2.
等比数列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,所以q=3.
所以bn=3n-1.
A.16B.8C.2 D.4
解析:因为a4与a14的等比中项为2 ,
所以a4·a14=a7·a11=(2 )2=8,
所以2a7+a11≥2 =2 =8,
所以2a7+a11的最小值为8.
★答案★:B
5.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log (a5+a7+a9)的值是()

新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十四等差数列及其前n项和含解析

新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十四等差数列及其前n项和含解析

课时跟踪检测(三十四)等差数列及其前n项和[A级基础题一一基稳才能楼高]1.已知等差数列{a n}的前n项和为S, a3= 3, a5 = 5,贝U S7的值是()A .30B.29C .28D.27a5—a3解析:选C由题意,设等差数列的公差为d,贝U d= = 1,故a4= a3 + d = 4,所以5 —37a1+ a77x2 a4 丄匚”2=2= 7X4= 28.故选C.2 . (2019•北京丰台区模拟)数列{2 n—1}的前10项的和是()A .120B.110C .100D.10解析:选C•••数列{2n—1}是以1为首项,a1 + a10 X |[]2为公差的等差数列,••• So= 2=1+ 号 I= 100.故选 C.3.(2019 •豫北重点中学联考)已知数列{a n}中a i= 1, a n+1 = a n—1,则a4等于()A. 2B. 0C.—1D. —2解析:选D因为a1 = 1, a n+1= a n—1,所以数列{a n}为等差数列,公差d为—1,所以a4= a1 + 3d= 1 —3 =—2,故选D.4. (2019 •张掖质检)设等差数列{a n}的公差为d,且&依2= 35,2 a4 —a6= 7,则d=()A. 4B. 3C. 2D. 1解析:选C T{a n}是等差数列,2a4 —a6 = a4 —2d= a2= 7,T aa2 = 35,—a1 = 5, —d =a2 —a1 = 2,故选C.5. (2019 •南昌模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S,且3= 50, S0= 200,贝U a。

+ an的值为()A. 20B. 40C. 605X4S = 5a1 + ~ d= 50,D. 80解析:选D设等差数列{a n}的公差为d,由已知得. 10X9S o= 10a + ^—d= 200,亠2力i + 2d = 10,9a 1 +2d = 20,[B 级 保分题一一准做快做达标]1. (2019 •惠州调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S ,且a o =^2 + 6, a 2= 4,则数【勺前10项和为(1解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,由a 9=-a i2+ 6及等差数列的通项公式得 a i+25d = 12,又 a 2= 4,.•. a i = 2, d =2,「. S n = n + n ,)已知等差数列{a n }各项均为正数,其前 B. 13C. 14解析:选 D 法一:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得 3 + 3d = 1 + d ,解得d = 2 或d =- 1(舍去),所以a 8= 1 + 7X 2= 15,故选D.法二:S 3= a 1+ a 2 + a 3= 3a 2,由.S = a 2可得3a 2= a 2,解得 a 2= 3 或 a 2= 0(舍去),贝U d =a 2-a 1= 2,所以 a 8 = 1 + 7x 2= 15,故选 D.3. (2019 •南宁名校联考)等差数列{a n }中,a 3+ a ?= 6,则{a n }的前9项和等于( )A.— 18B. 27C. 18D. — 27解析:选B 法一:设等差数列的公差为d ,贝U a 3 + a ?= a 1+ 2d + a + 6d = 2a + 8d = 6,a 1= 2,解得d = 4.a 1o + an = 2a 1 + 19d = 80.故选 D.10一118-9B D丄 1 S n= nn +]1 1 1 1n n + 1‘. S 十S 十1+1——1 +…+ ——右=1-+=畀选B2. (2019 •昆明适应性检测 =1, _ S 3 = a 2,贝U a 8=()A. 12n 项和为$,若a 1D. 159X8所以a1 + 4d = 3.于是{a n}的前9 项和S= 9a1+ —d= 9(a1 + 4d)= 9X 3= 27,故选B.法二:由等差数列的性质,得a1 + a9= a s + a?= 6,所以数列{a n}的前9项和S =a 1+ a 99x62 27,故选B.-中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S ,且a n = — 2n + 1,则数列 S5. (2019 •南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升,下面A . 1升c.47升6 . (2019 •云南统一检测)已知等差数列{a n }中,a 1= 11, a s =— 1,则{a n }的前n 项和S 的取大值疋()A. 15B. 20C. 26D. 30a s — a 〔解析:选 C 设数列{a n }的公差为d ,贝U d ==— 3,所以a n = a 1 + ( n — 1) d =— 3n 5 — 1a n 》0,14 — 3n 》0, 11 14+ 14,由*? *解得可w n w 可,即n = 4,所以{a n }的前4项和最a n + 1 W0111 — 3n < 0,3 3 1 J4X3大,且 S 4= 4X 11+ 2 X ( — 3) = 26,故选 C.7 . (2019 •四川三地四校联考)在等差数列{a n }中,a 1 = — 2 015,其前n 项和为S,若鶯4. (2019前11项和为(A.- -45B. — 50C.- -55D. — 66解析 :选 D a n = — 2n + 1, •数列{a n }是以—1 n [— 1+ — 2n + 2 S — n 2为首项,一2为公差的等差数列,••• 是以一1为首项,一1为公 差的等差数列,.••数列 S【勺前11项和为11 x ( — 1) 11X 10+ —x ( — 1) =— 66,故选 D. 3节的容积共4升,则第5节的容积解析:选设该等差数列为 {a n },公差为 d .a 1 + a 2+ a 3+ a 4= 3,由题意得*即a 7+ a 8+ a 9= 4,13 4a 1 + 6d = 3, 3a 1 + 21 d =4,解得a 1=22, 7d=66.7 67•a 5=刃+4x6T66. 故选 B.13)210 = 2,则 2 018 =以3n = 2n —11,又b n + b n +1= 3n (n € N ),数列{6}为等差数列,设公差为 d ,所以2b + d =—9,2 b+ 3d =- 7,解得 b 1 = - 5, d = 1,所以 b n = n -6,所以 b = 0,所以 T s = T O ,故选 D.(2019 •长春模拟)已知数列{3n }是等差数列,其前n 项和S 有最大值,且3竺<—1,32 018解析:选C 设等差数列{ 3n }的公差为31 + 34 035.小—S 0354 0 3 5 32018 >0, S 4 036 由题意知 d <0, a 2 018 >0, a 2 018 + a 2 019 <0,所以■1036 31 + 34 036 4 ()36 32 018 + 32 019所以使得S>0的n 的最大值为4 035,故选C.10. (2019 •武汉模拟)设等差数列{a n }满足33 + 37= 36 , 3436= 275,且3n 3n + 1有最小值, 则这个最小值为()则使得 S n >0的n 的最大值为()A. 2 018 B .2 019C. 4 035D . 4 037 S ioA. 2 018B. - 2 018C. 4 036D. - 4 036解析:选C 设等差数列{3n }的前n 项和为S n = An 2 + Bn,则罟=An + B,—― Sl2S 10列 ° ° 他-10= 2,.S 1 31S n【勺公差为1,又彳=了=— 2 015 ,•••石 是以一2 015为首项,1S 31 S 2 018为公差的等差数列,•= — 2 015 + 2 017 X 1= 2,. S 018 = 4 036.故选 C.2 018*__ 2& (2019 •太原模拟)已知数列{&}的前n 项和为S,点(n , S )( n € N )在函数y = x -10x 的图象上,等差数列{b n }满足b n + b n + 1= 3n (门€ N ),其前n 项和为T n ,则下列结论正确 的是(A.S<2T ; B .b 4= 0 C. T 7>b 7D . T 5= T O 解析:选D 因为点(n , S )( n € N )在函数 2 2y = x - 10x 的图象上,所以 S= n -10n ,所9. d, 解析:选B 设等差数列{3n }的公差为d ,T 33 + 37= 36,— 34+ 36= 36,又 3436 = 275 , 联立,解得34 = 11,35 =34= 25, 或车36= 11 ,34= 11 ,36 = 25时,可得31 =— 10, d = 7,此时 3n = 7n — 17, 32= — 3, 33= 4,易知当 n W2等差数10 = 2,则 2 018 =B. —12C. —9A.—10D. —13时,a n<0,当n》3 时,a n>0,a2a3=—12 为a n a n+1 的最小值;34 = 25, a i= 46,当* 时,可得* 此时a n=—7n+ 53, a?= 4, a8= —3,易知当n^7 36= 11 d =—7 ,时,a n>0,当n》8 时,a n<0,• a7a8=—12 为a n a n+1 的最小值.综上,a n a n+ 1的最小值为一12.11. ____________________________________ (2019 •广州适应性测试)设等差数列{a n}的前n项和为S.若a3= 5,且S, $, S 成等差数列,则数列{a n}的通项公式a n = .解析:设等差数列{a n}的公差为d , •/ a3 = 5,且S , S5, S/成等差数列,•a1 + 2d= 5,a1 + 7a1 + 21 d= 10a1 + 20d,a1= 1,解得彳• a n= 2n—1.d=2,答案:2n—112. (2018 •北京高考)设{a n}是等差数列,且a1= 3, a2+ a5 = 36,则{a n}的通项公式为解析:法一:设数列{a n}的公差为d. ■/ a2 + a5= 36,二(a + d) + (a + 4d) = 36,二2a1 + 5d= 36. a1= 3,「. d= 6, • a n= 6n—3.a6 —a*1 法二:设数列{a n}的公差为d,T a2+ a5= a1+ a6= 36, a= 3,「. a6= 33,「. d= =56. T a1 = 3,「. a n= 6n —3.答案:a n= 6n—313. (2019 •南昌模拟)等差数列{a n}的前n项和为S,已知a5+ a?= 4, a6 + a8 = —2,则当S取最大值时,n的值是___________ .解析:依题意得2a6 = 4,2 a7 =—2, a6= 2>0, a7=—1<0.又数列{a n}是等差数列,所以在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S取最大值时,n = 6.答案:614. (2019 •石家庄重点高中摸底考试)设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S,若a2, a5, an 成等比数列,且an = 2( Sn—S)( m>n>0, m n€ N*),贝U m+ n 的值是_______ .解析:设等差数列{a n}的公差为d(d M0),因为a2, a5, an成等比数列,所以a5= a2an, 所以(a1 + 4d) = (a1+ d)( a+ 10d),解得a1= 2d,又a = 2(S n—S)( m>n>0, m n€ N),所以2ma + m n—1) d —2na —n( n—1)d= a+ 10d,化简得(n+ n+ 3)( m- n) = 12,因为>0,m= 5,... 0m — n = 1, m — n = 2, 心n € N ,所以或弋 解得弋n + 3 = 12 m + n + 3= 6, n = 4,所以m + n = =9.答案: 9 去) 或n=i15. (2019 •江西三校联考 )已知等差数列{a n }的前n 项和为S,且S 5 = 45, S 6= 60.⑴求数列{a n }的通项公式;⑵ 若数列{b n }满足b n +1 — b n =驸n € N *),且b 1= 3,求1的前n 项和T n .解:⑴ 设等差数列{a n }的公差为d , 则 a 6= S 6 — S 5= 15,所以a 6= a 1+ 5d = 15, S 5= 5a 1 + 10d = 45,解得 a i = 5, d = 2,所以 a n = 2n + 3.(2) b n = (b n — b n —1 ) + ( b n —1 — b n — 2)+—+ (匕2—》)+ 4c2=a n —1 + a n -2十・• •+ a 1 + 3= n + 2n ,1 1 1 n 1 、所以 b n = n n+?= 2n —后,3n 2 + 5n 所以 T n = 1 1 + 1 — n ^ —二=2. 21 2 n + 1 n + 2)4n + 12n + 816. (2019 •辽宁五校协作体模考)已知数列{a n }是等差数列,且 a 1, a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2 — 6x + 5= 0的两个实根. ⑴求数列{a n }的前n 项和S n ; S 1 ⑵在(1)中,设b n =-,求证:当C =—;时,数列{b n }是等差数列. n + c 2 解:(1) v a i , a 2(a i <a 2)分别为方程x 2— 6x + 5 = 0的两个实根,•••a 1 = 1, a 2= 5,「.等差数列{a n }的公差为4, n n — 1 2 • S n = n • 1 + • 4= 2n — n . (2)证明:当c = — 1时,b n =暑=组二半=2n ,n — 2 • b n +1 — b n = 2( n + 1) — 2n = 2, b = 2. •数列{b n }是以2为首项,2为公差的等差数列。

(人教版)2020届高考数学一轮复习 第六章 数列 课时跟踪训练31 等差数列及其前n项和 文

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课时跟踪训练(三十一) 等差数列及其前n 项和[基础巩固]一、选择题1.(2018·湖南衡阳二十六中期中)在等差数列{a n }中,a 3=1,公差d =2,则a 8的值为( )A .9B .10C .11D .12[解析] a 8=a 3+5d =1+5×2=11,故选C. [答案] C2.在等差数列{a n }中,a 1+a 5=8,a 4=7,则a 5=( ) A .11 B .10 C .7D .3 [解析] 设数列{a n }的公差为d ,则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+4d =8,a 1+3d =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2,d =3,所以a 5=-2+4×3=10.故选B.[答案] B3.(2018·湖北武汉调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 5=3(a 2+a 8),则a 5a 3的值为( )A.16 B.13 C.35D.56[解析] 因为S 5=3(a 2+a 8),所以5a 1+10d =3(2a 1+8d ),即a 1=-14d ,所以a 5a 3=a 1+4d a 1+2d=-14d +4d -14d +2d =56. [答案] D4.(2017·安徽合肥二模)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,且a 1=1,a 4=4,则a 10=( )A .-45B .-54C.413D.134[解析] 由题意,得1a 1=1,1a 4=14,所以等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d =1a 4-1a 13=-14,由此可得1a n =1+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-14=-n 4+54,因此1a 10=-54,所以a 10=-45.故选A.[答案] A5.(2017·山西太原一模)在等差数列{a n }中,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=36,则a 6=( )A .8B .6C .4D .3[解析] 由等差数列的性质可知2(a 1+a 3+a 5)+3(a 8+a 10)=2×3a 3+3×2a 9=6×2a 6=36,得a 6=3,故选D.[答案] D6.(2018·辽宁鞍山一中期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若m >1,且a m -1+a m +1-a 2m =0,S 2m -1=38,则m 等于( )A .38B .20C .10D .9[解析] 因为a m -1+a m +1-a 2m =0,所以a m -1+a m +1=a 2m .根据等差数列的性质得2a m =a 2m ,显然a m ≠0,所以a m =2.又因为S 2m -1=38,所以S 2m -1=2m -1a 1+a 2m -12=(2m -1)a m .将a m =2代入可得(2m -1)×2=38,解得m =10.故选C.[答案] C 二、填空题7.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________.[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,则a 1+a 22=a 1+(a 1+d )2=-3,S 5=5a 1+10d =10.解得a 1=-4,d =3,则a 9=a 1+8d =-4+24=20.[答案] 208.(2018·广东深圳中学月考)已知数列{a n }为等差数列,a 3=7,a 1+a 7=10,S n 为其前n 项和,则使S n 取到最大值的n 等于________.[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3=7,2a 4=10,故d =a 4-a 3=-2,a n =a 3+(n -3)d =7-2(n -3)=13-2n .令a n >0,得n <6.5,所以在等差数列{a n }中,其前6项均为正,其他各项均为负,于是使S n 取到最大值的n 的值为6.[答案] 69.(2017·辽宁师大附中期末)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n =3n -12n +3,则a 10b 10=________. [解析] 在等差数列中,S 19=19a 10,T 19=19b 10,因此a 10b 10=S 19T 19=3×19-12×19+3=5641. [答案]5641三、解答题10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2),a 1=12,证明:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列.[证明] ∵a n =S n -S n -1(n ≥2), 又a n =-2S n ·S n -1,∴S n -1-S n =2S n ·S n -1,S n ≠0. ∴1S n -1S n -1=2(n ≥2).由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1=1a 1=2为首项,以2为公差的等差数列.[能力提升]11.(2017·河南百校联盟质监)等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,已知a 2016=2016,且S 20162016-S 1616=2000,则a 1等于( ) A .-2016 B .-2015 C .-2014D .-2013[解析] 解法一:因为S n =n a 1+a n2,所以S n n =a 1+a n 2.因为S 20162016-S 1616=2000,所以a 2016-a 162=2000d2=2000,所以d =2.又因为a 2016=2016,所以a 1+(2016-1)×2=2016,解得a 1=-2014,故选C.解法二:因为S n =na 1+n n -12d ,所以S n n =d 2n +a 1-d 2,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项,以d2为公差的等差数列.所以S 20162016-S 1616=2000×d2=2000,所以d =2.所以a 2016=a 1+(2016-1)×2=2016,所以a 1=-2014.故选C.解法三:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2016-1d =2016,⎝⎛⎭⎪⎫a 1+2016-12d -⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1+16-12d =2000,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2014,d =2,故选C.[答案] C12.(2018·黑龙江齐齐哈尔月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1>0,a 3+a 10>0,a 6a 7<0,则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A .6B .7C .12D .13[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d .∵a 6+a 7=a 3+a 10>0,即2a 1+11d >0,且a 6a 7<0,a 1>0,∴a 6>0,a 7<0.∴d =a 7-a 6<0.又∵a 7=a 1+6d <0,∴2a 1+12d <0.当S n =a 1+a n ·n 2=[2a 1+n -1d ]·n2>0时,2a 1+(n -1)d >0.由2a 1+11d >0,2a 1+12d <0知n -1最大为11,即n 最大为12.故选C.[答案] C13.(2016·长安一中月考)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.[解析] ∵a 7+a 8+a 9=3a 8>0,∴a 8>0.∵a 7+a 10=a 8+a 9<0,∴a 9<0.∴数列的前8项和最大,即n =8.[答案] 814.(2017·安徽合肥一中第三次段考)已知数列{a n }是各项为正且首项为1的等差数列,S n 为其前n 项和,若数列{S n }也为等差数列,则S n +8a n +1的最小值是________.[解析] 设数列{a n }的公差为d (d >0), 即有a n =1+(n -1)d ,S n =n +12n (n -1)d ,S n =12dn 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12d n ,由于数列{S n }也为等差数列, 可得1-12d =0,即d =2,即有a n =2n -1,S n =n 2,则S n +8a n +1=n 2+82n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫n +8n ≥12·2·n ·8n=22,当且仅当n =22取得等号,由于n 为正整数,即有n =2或3取得最小值.当n =2时,取得3;n =3时,取得176.故最小值为176.[答案]17615.(2017·河南南阳期终质量评估)设f (x )=axx +a(a >0),令a 1=1,a n +1=f (a n ),又b n =a n ·a n +1,n ∈N *.(1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{b n }的前n 项和. [解] (1)证明:a n +1=f (a n )=a ·a n a n +a ,所以1a n +1=a n +a a ·a n =1a n +1a , 即1a n +1-1a n =1a,又a 1=1,所以1a 1=1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公差为1a 的等差数列.所以1a n =1+(n -1)1a =n +a -1a.所以a n =an +a -1.(2)b n =a n ·a n +1=a n +a -1·an +a=a 2⎝⎛⎭⎪⎫1n +a -1-1n +a ,设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -11+a +⎝ ⎛⎭⎪⎫11+a -12+a +…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1+a -1n +a =a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1n +a =a 2·n +a -a a n +a =na n +a , 即数列{b n }的前n 项和为nan +a. 16.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,若b n =12a n -30,设数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n 的最小值.[解] ∵2a n +1=a n +a n +2,∴a n +1-a n =a n +2-a n +1, 故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由a 3=10,S 6=72得,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得a 1=2,d =4.∴a n =4n -2,则b n =12a n -30=2n -31,令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0,b n +1≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧2n -31≤0,2n +1-31≥0,解得292≤n ≤312,∵n ∈N *,∴n =15,即数列{b n }的前15项均为负值,∴T 15最小.∵数列{b n }的首项是-29,公差为2, ∴T 15=15-29+2×15-312=-225,∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.[延伸拓展]已知数列{a n }中,a 1=5且a n =2a n -1+2n-1(n ≥2且n ∈N *). (1)求a 2,a 3的值;(2)是否存在实数λ,使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +λ2n 为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.[解] (1)∵a 1=5,∴a 2=2a 1+22-1=13,a 3=2a 2+23-1=33.(2)解法一:假设存在实数λ,使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +λ2n 为等差数列.设b n =a n +λ2n,由{b n }为等差数列,则有2b 2=b 1+b 3. ∴2×a 2+λ22=a 1+λ2+a 3+λ23.∴13+λ2=5+λ2+33+λ8.解得λ=-1. 事实上,b n +1-b n =a n +1-12n +1-a n -12n=12n +1[(a n +1-2a n )+1]=12n +1[(2n +1-1)+1]=1.综上可知,存在实数λ=-1,使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +λ2n为首项是2,公差是1的等差数列. 解法二:假设存在实数λ,使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +λ2n为等差数列.设b n =a n +λ2n,由{b n }为等差数列,则有2b n +1=b n +b n +2(n ∈N *). ∴2×a n +1+λ2n +1=a n +λ2n+a n +2+λ2n +2.∴λ=4a n +1-4a n -a n +2 =2(a n +1-2a n )-(a n +2-2a n +1) =2(2n +1-1)-(2n +2-1)=-1.综上可知,当λ=-1时,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +λ2n为首项是2、公差是1的等差数列.。

高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n项和 文 新人教A版

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课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n 项和一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.若等差数列{a n }的前5项之和S 5=25,且a 2=3,则a 7=( )A .12B .13C .14D .15 解析:选B 由S 5=a 2+a 42⇒25=+a 42⇒a 4=7,所以7=3+2d ⇒d =2,所以a 7=a 4+3d =7+3×2=13.2.(2015·西安八校联考)在等差数列{a n }中,a 1=0,公差d ≠0,若a m =a 1+a 2+…+a 9,则m 的值为( )A .37B .36C .20D .19解析:选A a m =a 1+a 2+…+a 9=9a 1+9×82d =36d =a 37. 3.(2016·陕西质量监测)已知数列{a n }满足a 1=15,且3a n +1=3a n -2.若a k ·a k +1<0,则正整数k =( )A .21B .22C .23D .24解析:选C 3a n +1=3a n -2⇒a n +1=a n -23⇒{a n }是等差数列,则a n =473-23n .∵a k +1·a k <0, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473-23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453-23k <0,∴452<k <472,∴k =23. 4.(2015·唐山期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 3=6,S 4=12,则S 6=________. 解析:设数列{a n }的公差为d ,S 3=6,S 4=12,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1+3×22d =6,4a 1+4×32d =12,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=0,d =2,∴S 6=6a 1+6×52d =30. 答案:305.已知等差数列{a n }中,a n ≠0,若n ≥2且a n -1+a n +1-a 2n =0,S 2n -1=38,则n 等于________.解析:∵2a n =a n -1+a n +1,又a n -1+a n +1-a 2n =0,∴2a n -a 2n =0,即a n (2-a n )=0.∵a n ≠0,∴a n =2.∴S 2n -1=2(2n -1)=38,解得n =10.答案:10二保高考,全练题型做到高考达标1.(2015·太原一模)在单调递增的等差数列{a n }中,若a 3=1,a 2a 4=34,则a 1=( ) A .-1B .0 C.14 D.12 解析:选B 由题知,a 2+a 4=2a 3=2,又∵a 2a 4=34,数列{a n }单调递增,∴a 2=12,a 4=32. ∴公差d =a 4-a 22=12.∴a 1=a 2-d =0. 2.(2015·江西八校联考)数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+3n (n ∈N *),若p -q =5,则a p-a q =( )A .10B .15C .-5D .20解析:选D 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n 2+3n -[2(n -1)2+3(n -1)]=4n +1,当n =1时,a 1=S 1=5,符合上式,∴a n =4n +1,∴a p -a q =4(p -q )=20.3.(2015·东北三省联考)现给出以下几个数列:①2,4,6,8,…,2(n -1),2n ;②1,1,2,3,…,n ;③常数列a ,a ,a ,…,a ;④在数列{a n }中,已知a 2-a 1=2,a 3-a 2=2.其中等差数列的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B ①由4-2=6-4=…=2n -2(n -1)=2,得数列2,4,6,8,…,2(n -1),2n 为等差数列;②因为1-1=0≠2-1=1,所以数列1,1,2,3,…,n 不是等差数列;③常数列a ,a ,a ,…,a 为等差数列;④当数列{a n }仅有3项时,数列{a n }是等差数列,当数列{a n }的项数超过3项时,数列{a n }不一定是等差数列.故等差数列的个数为2.4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1>0,a 3+a 10>0,a 6a 7<0,则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A .6B .7C .12D .13解析:选C ∵a 1>0,a 6a 7<0,∴a 6>0,a 7<0,等差数列的公差小于零,又a 3+a 10=a 1+a 12>0,a 1+a 13=2a 7<0,∴S 12>0,S 13<0,∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.5.(2015·青岛二模)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n S 2n 为常数,则称数列{a n }为“吉祥数列”.已知等差数列{b n }的首项为1,公差不为0,若数列{b n }为“吉祥数列”,则数列{b n }的通项公式为( )A .b n =n -1B .b n =2n -1C .b n =n +1D .b n =2n +1解析:选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0),S n S 2n =k ,因为b 1=1,则n +12n (n -1)d =k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n +12×2n n -d ,即2+(n -1)d =4k +2k (2n -1)d , 整理得(4k -1)dn +(2k -1)(2-d )=0.因为对任意的正整数n 上式均成立,所以(4k -1)d =0,(2k -1)(2-d )=0,解得d =2,k =14. 所以数列{b n }的通项公式为b n =2n -1.6.在等差数列{a n }中,a 15=33,a 25=66,则a 45=________. 解析:a 25-a 15=10d =66-33=33,∴a 45=a 25+20d =66+66=132.答案:1327.(2014·江西高考)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前 n 项和为S n ,当且仅当n =8 时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.解析:由题意,当且仅当n =8时S n 有最大值,可得⎩⎪⎨⎪⎧ d <0,a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0,7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78. 答案:⎝⎛⎭⎪⎫-1,-78 8.(2015·泰安一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则正整数m 的值为________.解析:因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=-2,S m =0,S m +1=3, 所以a m =S m -S m -1=2,a m +1=S m +1-S m =3,数列的公差d =1,a m +a m +1=S m +1-S m -1=5, 即2a 1+2m -1=5,所以a 1=3-m .由S m =(3-m )m +m m -2×1=0,解得正整数m 的值为5.答案:59.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k =110.(1)求a 及k 的值;(2)设数列{b n }的通项b n =S n n ,证明:数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n . 解:(1)设该等差数列为{a n },则a 1=a ,a 2=4,a 3=3a , 由已知有a +3a =8,得a 1=a =2,公差d =4-2=2, 所以S k =ka 1+k k -2·d =2k +k k -2×2=k 2+k . 由S k =110,得k 2+k -110=0,解得k =10或k =-11(舍去),故a =2,k =10.(2)证明:由(1)得S n =n +2n 2=n (n +1), 则b n =S n n =n +1,故b n +1-b n =(n +2)-(n +1)=1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列,所以T n =n +n +2=n n +2.10.(2016·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n =a 2n +2a n -3,且a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列,当n ≥5时,a n >0.(1)求证:当n ≥5时,{a n }成等差数列;(2)求{a n }的前n 项和S n .解:(1)证明:由4S n =a 2n +2a n -3,4S n +1=a 2n +1+2a n +1-3, 得4a n +1=a 2n +1-a 2n +2a n +1-2a n ,即(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0.当n ≥5时,a n >0,所以a n +1-a n =2,所以当n ≥5时,{a n }成等差数列.(2)由4a 1=a 21+2a 1-3,得a 1=3或a 1=-1,又a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列,所以a n +1+a n =0(n ≤5),q =-1,而a 5>0,所以a 1>0,从而a 1=3,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧ -n -1,1≤n ≤4,2n -7,n ≥5,所以S n =⎩⎪⎨⎪⎧ 32[1--n ],1≤n ≤4,n 2-6n +8,n ≥5.三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.(2016·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1=1,a n >0(n ∈N *),其前n 项和为S n ,若数列{S n }也为等差数列,则S n +10a 2n 的最大值是( ) A .310B .212C .180D .121 解析:选D 设数列{a n }的公差为d ,依题意得2S 2=S 1+S 3,因为a 1=1,所以22a 1+d =a 1+3a 1+3d ,化简可得d =2a 1=2,所以a n =1+(n -1)×2=2n -1,S n =n +n n -2×2=n 2, 所以S n +10a 2n =n +2n -2=⎝ ⎛⎭⎪⎫n +102n -12 =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12n -+2122n -12 =14⎝⎛⎭⎪⎫1+212n -12≤121. 2.(2015·山东省实验中学一模)已知数列{a n }满足,a n +1+a n =4n -3(n ∈N *).(1)若数列{a n }是等差数列,求a 1的值;(2)当a 1=2时,求数列{a n }的前n 项和S n . 解:(1)法一:数列{a n }是等差数列,∴a n =a 1+(n -1)d ,a n +1=a 1+nd .由a n +1+a n =4n -3,得(a 1+nd )+[a 1+(n -1)d ]=4n -3,∴2dn +(2a 1-d )=4n -3,即2d =4,2a 1-d =-3,解得d =2,a 1=-12. 法二:在等差数列{a n }中,由a n +1+a n =4n -3, 得a n +2+a n +1=4(n +1)-3=4n +1,∴2d =a n +2-a n =(a n +2+a n +1)-(a n +1+a n )=4n +1-(4n -3)=4, ∴d =2.又∵a 1+a 2=2a 1+d =2a 1+2=4×1-3=1,∴a 1=-12. (2)①当n 为奇数时,S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n -1+a n )=2+4[2+4+…+(n -1)]-3×n -12=2n 2-3n +52.②当n 为偶数时,S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n -1+a n )=1+9+…+(4n -7)=2n 2-3n 2.。

2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测:(三十四) 等比数列及其前n项和 Word版含解析

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课时跟踪检测(三十四) 等比数列及其前n 项和一、题点全面练1.(2019·武汉联考)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10等于( ) A .7 B .5 C .-5D .-7解析:选D 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=2,a 5a 6=a 4a 7=-8,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=-2,a 7=4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=4,a 7=-2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-2,a 1=1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-12,a 1=-8,∴a 1+a 10=a 1(1+q 9)=-7.2.设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172解析:选B 设数列{a n }的公比为q ,则显然q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3=1,a 1(1-q 3)1-q =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=4,q =12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,q =-13(舍去), ∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=4⎝⎛⎭⎫1-1251-12=314.3.(2018·邵阳二模)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若S 4S 2=3,则S 6S 4=( )A .2 B.73 C.310D .1或2解析:选B 设S 2=k ,S 4=3k ,∵数列{a n }为等比数列,∴S 2,S 4-S 2,S 6-S 4也为等比数列,又S 2=k ,S 4-S 2=2k ,∴S 6-S 4=4k ,∴S 6=7k ,∴S 6S 4=7k 3k =73,故选B.4.(2018·安庆二模)数列{a n }满足:a n +1=λa n -1(n ∈N *,λ∈R 且λ≠0),若数列{a n -1}是等比数列,则λ的值等于( )A .1B .-1 C.12D .2解析:选D 由a n +1=λa n -1,得a n +1-1=λa n -2=λ⎝⎛⎭⎫a n -2λ.由于数列{a n -1}是等比数列,所以2λ=1,得λ=2.5.一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为729,则该数列的项数是( )A .13B .12C .11D .10解析:选B 设该等比数列为{a n },其前n 项积为T n ,则由已知得a 1·a 2·a 3=3,a n -2·a n -1·a n=9,(a 1·a n )3=3×9=33,∴a 1·a n =3,又T n =a 1·a 2·…·a n -1·a n =a n ·a n -1·…·a 2·a 1,∴T 2n =(a 1·a n )n ,即7292=3n ,∴n =12.6.(2019·重庆调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 5=5,则log 5a 1+log 5a 2+…+log 5a 9=________.解析:因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列,所以由等比数列的性质可得a 1·a 9=a 2·a 8=a 3·a 7=a 4·a 6=a25=52,则log 5a 1+log 5a 2+…+log 5a 9=log 5(a 1·a 2·…·a 9)=log 5[(a 1·a 9)·(a 2·a 8)·(a 3·a 7)·(a 4·a 6)·a 5]=log 5a 95=log 559=9.答案:97.设各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=10,S 30=70,那么S 40=________.解析:易知S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,S 40-S 30成等比数列,因此有(S 20-S 10)2=S 10(S 30-S 20),即(S 20-10)2=10(70-S 20),故S 20=-20或S 20=30.又S 20>0,所以S 20=30,S 20-S 10=20,S 30-S 20=40,故S 40-S 30=80,所以S 40=150.答案:1508.在等比数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3+a 4=158,a 2a 3=-98,则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4=________. 解析:1a 1+1a 2+1a 3+1a 4=a 1+a 4a 1·a 4+a 2+a 3a 2·a 3.∵在等比数列{a n }中,a 1·a 4=a 2·a 3, ∴原式=a 1+a 2+a 3+a 4a 2·a 3=158×⎝⎛⎭⎫-89=-53.答案:-539.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m . 解:(1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n -1.由已知得q 4=4q 2,解得q =0(舍去)或q =-2或q =2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n -1.(2)若a n =(-2)n -1,则S n =1-(-2)n3.由S m =63,得(-2)m =-188, 此方程没有正整数解. 若a n =2n -1,则S n =1-2n 1-2=2n-1.由S m =63,得2m =64,解得m =6. 综上,m =6.10.已知数列{a n }的首项a 1>0,a n +1=3a n 2a n +1(n ∈N *),且a 1=23.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n-1是等比数列,并求出{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n .解:(1)证明:记b n =1a n -1,则b n +1b n=1a n +1-11a n -1=2a n +13a n -11a n -1=2a n +1-3a n 3-3a n =1-a n 3(1-a n )=13,又b 1=1a 1-1=32-1=12,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n -1是首项为12,公比为13的等比数列.所以1a n-1=12·⎝⎛⎭⎫13n -1,即a n =2·3n -11+2·3n -1. 所以数列{a n }的通项公式为a n =2·3n -11+2·3n -1.(2)由(1)知,1a n -1=12·⎝⎛⎭⎫13n -1,即1a n=12·⎝⎛⎭⎫13n -1+1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n =12⎝⎛⎭⎫1-13n 1-13+n =34⎝⎛⎭⎫1-13n +n . 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 1≥1,a 2≤2,a 3≥3,则a 4的取值范围是________. 解析:设{a n }的公比为q ,则根据题意得q =a 2a 1=a 3a 2,∴32≤q ≤2,a 4=a 3q ≥92,a 4=a 2q 2≤8,∴a 4∈⎣⎡⎦⎤92,8. 答案:⎣⎡⎦⎤92,82.已知四个数成等比数列,其积为1,第二项与第三项之和为-32,求这四个数.解:设这四个数依次为a ,aq ,aq 2,aq 3,则由题意知, ⎩⎪⎨⎪⎧a 4q 6=1, ①aq (1+q )=-32, ②得⎩⎪⎨⎪⎧a 2q 3=±1, ③a 2q 2(1+q )2=94. ④ 把a 2q 2=1q 代入④,得q 2-14q +1=0,此方程无解;把a 2q 2=-1q 代入④,得q 2+174q +1=0,解此方程得q =-14或q =-4.当q =-14时,a =8;当q =-4时,a =-18.所以这四个数为8,-2,12,-18或-18,12,-2,8.(二)交汇专练——融会巧迁移3.[与方程交汇]在等比数列{a n }中,若a 3,a 7是方程x 2+4x +2=0的两根,则a 5的值是( )A .-2B .- 2C .±2D. 2解:选B 根据根与系数之间的关系得a 3+a 7=-4,a 3a 7=2,由a 3+a 7=-4<0,a 3a 7>0,得a 3<0,a 7<0,即a 5<0,由a 3a 7=a 25,得a 5=-a 3a 7=- 2.故选B.4.[与集合交汇]设{a n }是公比为q 的等比数列,|q |>1,令b n =a n +1(n =1,2,…),若数列{b n }有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q 等于( )A .-12B.12C .-32D.32解:选C {b n }有连续四项在{-53,-23,19,37,82}中且b n =a n +1,即a n =b n -1,则{a n }有连续四项在{-54,-24,18,36,81}中.∵{a n }是等比数列,等比数列中有负数项,∴q <0,且负数项为相隔两项,又∵|q |>1,∴等比数列各项的绝对值递增.按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18,-24,36,-54,81,相邻两项相除-2418=-43,36-24=-32,-5436=-32,81-54=-32,则可得-24,36,-54,81是{a n }中连续的四项.∴q =-32.5.[与等差数列的交汇]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的各项均为正数,公比是q ,且满足:a 1=3,b 1=1,b 2+S 2=12,S 2=b 2q .(1)求a n 与b n ; (2)设c n =3b n -λ·2na 3(λ∈R),若数列{c n }是递增数列,求λ的取值范围.解:(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q +3+a 2=12,3+a 2=q 2, 所以q 2+q -12=0,解得q =3或q =-4(舍去),从而a 2=6, 所以a n =3n ,b n =3n -1.(2)由(1)知,c n =3b n -λ·2na 3=3n -λ·2n .由题意,知c n +1>c n 对任意的n ∈N *恒成立, 即3n +1-λ·2n +1>3n -λ·2n 恒成立,亦即λ·2n <2·3n 恒成立,即λ<2·⎝⎛⎭⎫32n 对任意的n ∈N *恒成立. 由于函数y =⎝⎛⎭⎫32n在[1,+∞)上是增函数,所以⎣⎡⎦⎤2·⎝⎛⎭⎫32n min =2×32=3, 故λ<3,即λ的取值范围是(-∞,3).(三)素养专练——学会更学通6.[逻辑推理]已知数列{a n }是等比数列,a 1,a 2,a 3依次位于下表中第一行、第二行、第三行中的某一格内,又a 1,a 2,a 3中任何两个都不在同一列,则a n =________(n ∈N *).解析:123n2,公比为3的等比数列,∴a n=2×3n-1.答案:2×3n-17.[数学建模]一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________分钟,该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).解析:由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n},且a1=2,q =2,∴a n=2n,∵2n=64×210=216,∴n=16,即病毒共复制了16次.∴所需时间为16×3=48(分钟).答案:48。

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课时跟踪检测(三十四) 等差数列及其前n 项和[A 级 基础题——基稳才能楼高]1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,a 5=5,则S 7的值是( ) A .30 B .29 C .28D .27解析:选C 由题意,设等差数列的公差为d ,则d =a 5-a 35-3=1,故a 4=a 3+d =4,所以S 7=a 1+a 72=7×2a 42=7×4=28.故选C. 2.(2019·北京丰台区模拟)数列{2n -1}的前10项的和是( ) A .120 B .110 C .100D .10解析:选C ∵数列{2n -1}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴S10=a 1+a 102=+2=100.故选C.3.(2019·豫北重点中学联考)已知数列{a n }中a 1=1,a n +1=a n -1,则a 4等于( ) A .2 B .0 C .-1D .-2解析:选D 因为a 1=1,a n +1=a n -1,所以数列{a n }为等差数列,公差d 为-1,所以a 4=a 1+3d =1-3=-2,故选D.4.(2019·张掖质检)设等差数列{a n }的公差为d ,且a 1a 2=35,2a 4-a 6=7,则d =( ) A .4 B .3 C .2D .1解析:选C ∵{a n }是等差数列,∴2a 4-a 6=a 4-2d =a 2=7,∵a 1a 2=35,∴a 1=5,∴d =a 2-a 1=2,故选C.5.(2019·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=50,S 10=200,则a 10+a 11的值为( )A .20B .40C .60D .80解析:选D 设等差数列{a n}的公差为d ,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 5=5a 1+5×42d =50,S 10=10a 1+10×92d =200,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =10,a 1+92d =20,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =4.∴a 10+a 11=2a 1+19d =80.故选D.[B 级 保分题——准做快做达标]1.(2019·惠州调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 9=12a 12+6,a 2=4,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前10项和为( ) A.1112 B .1011 C.910D .89解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,由a 9=12a 12+6及等差数列的通项公式得a 1+5d =12,又a 2=4,∴a 1=2,d =2,∴S n =n 2+n ,∴1S n=1n n +=1n -1n +1,∴1S 1+1S 2+…+1S 10=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫110-111=1-111=1011.选B.2.(2019·昆明适应性检测)已知等差数列{a n }各项均为正数,其前n 项和为S n ,若a 1=1,S 3=a 2,则a 8=( )A .12B .13C .14D .15解析:选D 法一:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得3+3d =1+d ,解得d =2或d =-1(舍去),所以a 8=1+7×2=15,故选D.法二:S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2,由S 3=a 2可得3a 2=a 2,解得a 2=3或a 2=0(舍去),则d =a 2-a 1=2,所以a 8=1+7×2=15,故选D.3.(2019·南宁名校联考)等差数列{a n }中,a 3+a 7=6,则{a n }的前9项和等于( ) A .-18 B .27 C .18D .-27解析:选B 法一:设等差数列的公差为d ,则a 3+a 7=a 1+2d +a 1+6d =2a 1+8d =6,所以a 1+4d =3.于是{a n }的前9项和S 9=9a 1+9×82d =9(a 1+4d )=9×3=27,故选B.法二:由等差数列的性质,得a 1+a 9=a 3+a 7=6,所以数列{a n }的前9项和S 9=a 1+a 92=9×62=27,故选B. 4.(2019·中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =-2n +1,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A .-45B .-50C .-55D .-66解析:选D ∵a n =-2n +1,∴数列{a n }是以-1为首项,-2为公差的等差数列,∴S n =n [-1+-2n +2=-n 2,∴S n n =-n 2n =-n ,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以-1为首项,-1为公差的等差数列,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(-1)+11×102×(-1)=-66,故选D.5.(2019·南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )A .1升B .6766升 C.4744升 D .3733升 解析:选 B 设该等差数列为{a n },公差为d ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1322,d =766.∴a 5=1322+4×766=6766.故选B.6.(2019·云南统一检测)已知等差数列{a n }中,a 1=11,a 5=-1,则{a n }的前n 项和S n 的最大值是( )A .15B .20C .26D .30解析:选C 设数列{a n }的公差为d ,则d =a 5-a 15-1=-3,所以a n =a 1+(n -1)d =-3n+14,由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14-3n ≥0,11-3n ≤0,解得113≤n ≤143,即n =4,所以{a n }的前4项和最大,且S 4=4×11+4×32×(-3)=26,故选C.7.(2019·四川三地四校联考)在等差数列{a n }中,a 1=-2 015,其前n 项和为S n ,若S 1212-S 1010=2,则S 2 018=( )A .2 018B .-2 018C .4 036D .-4 036解析:选C 设等差数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ,则S n n=An +B ,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列.∵S 1212-S 1010=2,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1,又S 11=a 11=-2 015,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以-2 015为首项,1为公差的等差数列,∴S 2 0182 018=-2 015+2 017×1=2,∴S 2 018=4 036.故选C.8.(2019·太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N *)在函数y =x 2-10x 的图象上,等差数列{b n }满足b n +b n +1=a n (n ∈N *),其前n 项和为T n ,则下列结论正确的是( )A .S n <2T nB .b 4=0C .T 7>b 7D .T 5=T 6解析:选D 因为点(n ,S n )(n ∈N *)在函数y =x 2-10x 的图象上,所以S n =n 2-10n ,所以a n =2n -11,又b n +b n +1=a n (n ∈N *),数列{b n }为等差数列,设公差为d ,所以2b 1+d =-9,2b 1+3d =-7,解得b 1=-5,d =1,所以b n =n -6,所以b 6=0,所以T 5=T 6,故选D.9.(2019·长春模拟)已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和S n 有最大值,且a 2 019a 2 018<-1,则使得S n >0的n 的最大值为( )A .2 018B .2 019C .4 035D .4 037解析:选C 设等差数列{a n }的公差为d ,由题意知d <0,a 2 018>0,a 2 018+a 2 019<0,所以S 4 035=a 1+a 4 0352=4 035a 2 018>0,S 4 036=a 1+a 4 0362=a 2 018+a 2 0192<0,所以使得S n >0的n 的最大值为4 035,故选C.10.(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3+a 7=36,a 4a 6=275,且a n a n +1有最小值,则这个最小值为( )A .-10B .-12C .-9D .-13解析:选B 设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3+a 7=36,∴a 4+a 6=36,又a 4a 6=275, 联立,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4=11,a 6=25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=25,a 6=11,当⎩⎪⎨⎪⎧a 4=11,a 6=25时,可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-10,d =7,此时a n =7n -17,a 2=-3,a 3=4,易知当n ≤2时,a n <0,当n ≥3时,a n >0,∴a 2a 3=-12为a n a n +1的最小值;当⎩⎪⎨⎪⎧a 4=25,a 6=11时,可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=46,d =-7,此时a n =-7n +53,a 7=4,a 8=-3,易知当n ≤7时,a n >0,当n ≥8时,a n <0,∴a 7a 8=-12为a n a n +1的最小值. 综上,a n a n +1的最小值为-12.11.(2019·广州适应性测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3=5,且S 1,S 5,S 7成等差数列,则数列{a n }的通项公式a n =________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3=5,且S 1,S 5,S 7成等差数列,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =5,a 1+7a 1+21d =10a 1+20d ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2,∴a n =2n -1.答案:2n -112.(2018·北京高考)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为________.解析:法一:设数列{a n }的公差为d .∵a 2+a 5=36,∴(a 1+d )+(a 1+4d )=36,∴2a 1+5d =36.∵a 1=3,∴d =6,∴a n =6n -3.法二:设数列{a n }的公差为d ,∵a 2+a 5=a 1+a 6=36,a 1=3,∴a 6=33,∴d =a 6-a 15=6.∵a 1=3,∴a n =6n -3.答案:a n =6n -313.(2019·南昌模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5+a 7=4,a 6+a 8=-2,则当S n 取最大值时,n 的值是________.解析:依题意得2a 6=4,2a 7=-2,a 6=2>0,a 7=-1<0.又数列{a n }是等差数列,所以在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当S n 取最大值时,n =6.答案:614.(2019·石家庄重点高中摸底考试)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2,a 5,a 11成等比数列,且a 11=2(S m -S n )(m >n >0,m ,n ∈N *),则m +n 的值是________.解析:设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),因为a 2,a 5,a 11成等比数列,所以a 25=a 2a 11,所以(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+10d ),解得a 1=2d ,又a 11=2(S m -S n )(m >n >0,m ,n ∈N *),所以2ma 1+m (m -1)d -2na 1-n (n -1)d =a 1+10d ,化简得(m +n +3)(m -n )=12,因为m >n >0,m ,n ∈N *,所以⎩⎪⎨⎪⎧m -n =1,m +n +3=12或⎩⎪⎨⎪⎧m -n =2,m +n +3=6,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =5,n =4或⎩⎪⎨⎪⎧m =52,n =12(舍去),所以m +n =9.答案:915.(2019·江西三校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=45,S 6=60. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n +1-b n =a n (n ∈N *),且b 1=3,求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a 6=S 6-S 5=15,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6=a 1+5d =15,S 5=5a 1+10d =45,解得a 1=5,d =2,所以a n =2n +3.(2)b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n -1+a n -2+…+a 1+3=n 2+2n , 所以1b n =1nn +=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2, 所以T n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-1n +1-1n +2=3n 2+5n 4n 2+12n +8. 16.(2019·辽宁五校协作体模考)已知数列{a n }是等差数列,且a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x +5=0的两个实根.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ; (2)在(1)中,设b n =S nn +c ,求证:当c =-12时,数列{b n }是等差数列. 解:(1)∵a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x +5=0的两个实根, ∴a 1=1,a 2=5,∴等差数列{a n }的公差为4, ∴S n =n ·1+n n -12·4=2n 2-n .(2)证明:当c =-12时,b n =S n n +c =2n 2-nn -12=2n ,∴b n +1-b n =2(n +1)-2n =2,b 1=2.∴数列{b n }是以2为首项,2为公差的等差数列.。

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