第二十八章 28.1 锐角三角函数 第2课时(人教版九下)

【解析】选B．由题意，设BC=4k，则AB=5k， AC AB2－BC2 3k. ∴tan B= AC 3k 3 .
BC 4k 4
【一题多解】特殊值法
AC 3 2 2 设BC为4，则AB为5， ∴ tan B= . AC AB －BC 3, BC 4
2.在△ABC中，∠C=90°，若sin B= 1，则cos A的值为（
1 A． 3 3
）
B．2 3
3
C ．1
D． 3
2
3
【解析】选A．在△ABC中，∠C=90°，cos A=sin B= 1 .
3.（2013·连云港中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，若
sin A= 5 ,则cos A的值为（
13
） D.12
13
A. 5
12
B.
8 13
C.
2 3
【解析】选D.设Rt△ABC的边BC=5a,AB=13a,则AC=12a，所以 cos A= AC 12a 12 .
知识点 2
锐角函数值的有关计算
5
【例2】如图，在△ABC中，∠C=90°，cos A= 4 ，AB=15， 求△ABC的周长和tan A的值．
【思路点拨】根据题中所给的条件，先求出AC，BC的长，然后 求周长，最后利用三角函数定义求tan A． 【自主解答】在Rt△ACB中, ∠C=90°, AB=15， cos A= AC 4 , ∴ AC=12，BC AB2－AC2 152－122 9, ∴△ABC的周长为36， tan A= BC 3 .
5.如图，在Rt△ABC中，求∠A的三个三角函数值.
【解析】由图形可知，
BC 102－7 2 51, sin A BC 51 AC 7 ,cos A , AB 10 AB 10 BC 51 tan A . AC 7
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tan B＝ 1 ，点D
AD 2 1 . DC 6 3
3.如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连 接CD，若AD=3，AC=2，则cos B的值为（ A． 3
2 C． 5 2
）
B． 5
3 2 D． 3
【解析】选B．∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°． ∵AD=3，AC=2，∴CD= 5. ∴cos D= CD 5 .
AD 3
∵∠B=∠D，∴cos B= 5 .
3
4.(2013·鞍山中考)在△ABC中，∠C=90°，AB=8， cos A= 3 ，则BC的长为______. 【解析】∵cos A= AC ，∴AC=AB·cos A=8× 3 =6，
AB 4 4
∴BC= AB2 AC2 82 62 2 7.
a =___ b ．
A的对边 A的邻边
唯一 3.锐角三角函数：对于锐角A的每一个确定的值，sin A有_____
确定的值与它对应，所以sin A是A的函数，同样地，cos A,
余弦 、_____ 正切 都叫做∠A tan A也是A的函数.锐角A的正弦、_____
的锐角三角函数．
（打“√”或“×”） （1）cos A表示cos与A的乘积.（ × ） （2）cos A表示∠A的对边与斜边的比值.（ × ） （3）tan A表示∠A的邻边与对边的比值.（ × ） （4）在△ABC中，tan A= AC . （ × ）
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）
【解析】选A.因为在△ABC中，∠C=90°，所以cos B=
2.如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，
若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值
为(
)
1 A．
3
1 B．
2
C．
2 2
D ．3
【解析】选A．如图，在网格中构造含有∠ACB的Rt△ADC，在 该三角形中AD=2，DC=6，∴ tan∠ACB=
BC
知识点 1
锐角的余弦、正切的概念及计算
【例1】如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，
BC=3，AC=4，求∠BCD的余弦值．
【解题探究】（1）根据已知条件如何求AB的长？
提示:∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，∴AB= 32 42 =5.
（2）①根据已知条件及所求AB的长，如何求出CD的长及
2
在BC上，且BD＝AD．求AC的长和cos∠ADC的值．
【解析】∵Rt△ABC中，BC＝8， tan B＝ 1 ，∴AC＝4.
2
设AD＝k，则BD＝k，CD＝8－k， 由勾股定理，得(8－k)2+42=k2. 解得k＝5. ∴cos∠ADC＝
DC 3 ＝ ． AD 5
【想一想错在哪？】在△ABC中，若三边BC,CA,AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，求cos B.
比值 就确定. 的______
2.余弦、正切的定义： 邻边 与 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的_____b 斜边 的比叫做∠A的余弦，记作cos A， _____c
b A的邻边 即cos A= =____ c ； 斜边
邻边 的比叫做∠A的正 对边 与_____ 把∠A的______ 切，记作tan A，即tan A=
提示:未判断△ABC为直角三角形！
AC =2， ∴tan B= AC BC 2 1 5.
2 2 2 2
cos A= AC 2 5 .
AB 5
BC
答案:2
2 5 5
题组二:锐角函数值的有关计算 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= 4 ，则tan B的值为（ A. 4
3 5
）
B. 3
4
C. 3
5
D.
4 5
∠BCD的余弦值.
1 1 提示:由三角形的面积公式，得 AB·CD= AC·BC, 2 2 即 1·5CD= 1 ×4×3. 2 2
12 解得 CD 12 ，cosBCD 5 4 . 5 3 5
②∠BCD与∠A具有什么关系，如何求出∠BCD的余弦值.
提示:∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，
∴cos∠BCD=cos A= AC 4 .
AB 5
【总结提升】求锐角三角函数值的两种方法
1.直接求：结合勾股定理，求出要求的角的对边、邻边或斜边，
直接利用定义计算结果.
2.间接求：在直角三角形中，寻找与所求角相等的角，求寻找 到的角的三角函数值.
AB 13a 13
4.已知α 为锐角，则m=sin α +cos α 的值（ A.＞1 B.=1 C.＜1 D.≥1
）
【解析】选A．设在直角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的 边分别为a，b，c，∠A=α，∠C=90°，故sin α= cos α= b ；则m=sin α+cos α=
c ab >1． c a ， c
AC AC2 AC3 （1） 1 . AB1 AB2 AB3
2
B1C1 B2 C2 B3C3 . AC1 AC2 AC3
【总结】当直角三角形中的一个锐角A的大小确定时， 比值 就确定.（2）它的_____ 对边 与邻边 邻边 与斜边的_____ （1）它的_____
28.1 锐角三角函数 第2课时
1.理解余弦、正切的定义，并能运用cos A，tan A表示直角三
角形中两边的比.（重点）
2.能灵活运用余弦、正切的定义进行计算.（难点）
1.如图,∠A的大小确定时,作出Rt△AB1C1,Rt△AB2C2和
Rt△AB3C3,….
【思考】(1)∠A的邻边与斜边的比值有何关系? (2)∠A的对边与邻边的比值有何关系? 提示:∵∠A是公共角,∠B1C1A=∠B2C2A=∠B3C3A=…, ∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3∽…,
答案:2 7
5.（2012·宁夏中考）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4， 则tan A=______. 【解析】如图，由勾股定理求出AC=3， tan A= BC 4 . 答案: 4
3 AC 3
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tan B=_____， cos A=_______． 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1， ∴AB=
AC 4 AB 5
【总结提升】直角三角形计算边长的两种方法 1.三角函数的概念：根据一个角的某一三角函数值与一边长， 求另一边长. 2.勾股定理:根据直角三角形的两边求另外一边.
题组一:锐角的余弦、正切的概念及计算 1.在△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，则cos B的值是（ A．
4 5 3 B． 5 3 C． 4 4 D． 3 BC 4 . AB 5