_学年高中数学课时达标检测(十八)向量数乘运算及其几何意义新人教A版必修4

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【红对勾】人教A版高中数学必修4课时作业18向量数乘运算及其几何意义 Word版含答案[ 高考]

课时作业18 向量数乘运算及其几何意义时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →＝( ) A.32BC →B.23BC → C ．－32BC →D ．－23BC →解析：依题意，可得AC ＝32BC ，又AC →和BC →方向相反，所以AC →＝－32BC →.答案：C2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD →＝( )A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13cD.13b ＋23c解析：如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .答案：A3．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则以下一定共线的是( )A.PC →与PB →B.P A →与PB →C.P A →与PC→ D.PC→与AB → 解析：P A →＋PB →＋PC →＝AC →可化为P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0，即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB→共线．答案：B4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB→＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：设BC 的中点为D ，由已知条件可得M 为△ABC 的重心，AB →＋AC →＝2AD →，又AM →＝23AD →，故m ＝3.答案：B5．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →.∴CP →＝λP A →.∴P 、A 、C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．答案：B6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP→＝( ) A ．λ(AB→＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈(0，22) C ．λ(AB→－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈(0，22) 解析：由向量加法运算法则可知，AC→＝AB →＋AD →，又点P 在线段AC 上，故AP →与AC →同向，且|AP →|<|AC →|，故AP →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)．答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________.解析：25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝(25－23＋415)a ＋(－25－43＋2615)b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0.答案：08．点C 在直线AB 上，且P A →＝15PB →＋kPC→，则实数k 的值为________．解析：由题意，k ＋15＝1，解得k ＝45. 答案：45 9.如图所示，在▱ABCD 中，AB→＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN→＝________(用a ，b 表示)．解析：MN→＝MB →＋BA →＋AN → ＝－12BC →＋BA →＋34AC →＝－12AD →－AB →＋34(AB →＋AD →) ＝－12b －a ＋34(a ＋b ) ＝14b －14a ＝14(b －a )．答案：14(b －a )三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10.如图，四边形OADB 是以向量OA→＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，试用a 、b 表示OM →、ON →、MN →. 解：BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )．MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .11．已知两个非零且不共线的向量e 1、e 2，若AB →＝5e 1＋4e 2，CD →＝－4e 1－75e 2，AC →＝6e 1＋3e 2，求证A 、B 、D 三点共线．证明：∵CD →＝－4e 1－75e 2，AC →＝6e 1＋3e 2， ∴AD →＝AC →＋CD →＝6e 1＋3e 2－4e 1－75e 2 ＝2e 1＋85e 2＝25(5e 1＋4e 2)＝25AB →.∴AB→∥AD →.又∵AB →、AD →有公共点A ， ∴A 、B 、D 三点共线．12．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b . 求证：DE →＝13(b －a )．证明：因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →) ＝13(－a －b )，AD →＝23AC →＝－23b ，所以DE →＝AE →－AD → ＝－13a －13b ＋23b ＝13(b －a )．。

人教A版必修四向量数乘运算及其几何意义课时作业

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义A 级基础巩固一、选择题1．下列各式计算正确的个数是( )①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋2(a ＋b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．答案：C2．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，则向量DC →＝( )A.12BA →＋BC → B.12BA →－BC → C ．－12BA →－BC →D ．－12BA →＋BC →解析：因为D 是AB 的中点，所以BD →＝12BA →，所以DC →＝BC →－BD →＝BC →－12BA →.答案：D3．已知非零向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：因为AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，所以AC →＝AB →＋BC →＝－4a ＋8b ，BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝BD →＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．答案：A4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0解析：如图，因为BC →＋BA →＝2BP →，所以P 是线段AC 的中点，所以PA →＝－PC →，即PC →＋PA →＝0.答案：B5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →＝( )A.13a ＋b B.12a ＋b C ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：由已知条件可知BE ＝3DE ，所以DF ＝13AB ，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .答案：A 二、填空题6．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝______b . 解析：因为|a |＝5，|b |＝7，所以|a ||b |＝57，又方向相反，所以a ＝－57b .答案：－577．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λ a ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解析：因为λ a ＋b 与a ＋2b 平行，所以λ a ＋b ＝t (a ＋2b )，即λ a ＋b ＝t a ＋2t b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12. 答案：128．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m的值为________．解析：因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以点M 是△ABC 的重心，所以AB →＋AC →＝3AM →，所以m ＝3.答案：3 三、解答题9．已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．解：设AB →＝BP →，则OB →＝OA →＋AB →，则OP →＝OB →＋BP →＝OA →＋AB →＋BP →＝ OA →＋OB →－OA →＋a (OB →－OA →)＝OB →(1＋a )－aOA → 所以x ＋y ＝1＋a －a ＝1.10．已知e ，f 为两个不共线的向量，且四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)将AD →用e ，f 表示； (2)求证：四边形ABCD 为梯形．(1)解：根据向量的线性运算法则，有AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →同向，且AD →的长度为BC →长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．B 级能力提升1．如图，△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是( )A.BG →＝23BE →B.CG →＝2GF →C.DG →＝12AG →D.13DA →＋23FC →＝12BC → 解析：因为G 是△ABC 的重心，所以BG ＝23BE ，CG ＝2GF ，DG ＝12AG ，所以BG →＝23BE →，CG →＝2GF →，DG →＝－12AG →，所以13DA →＋23FC →＝DG →＋GC →＝DC →＝12BC →.所以C 不正确．答案：C2．若AP →＝tAB →(t ∈R)，O 为平面上任意一点，则OP →＝________(用OA →，OB →表示)．解析：AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)，OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 答案：(1－t )OA →＋tOB →3．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)若OM →＝ma ，ON →＝nb ，OP →＝α a ＋β b ，其中m ，n ，α，β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M ，P ，N 三点共线，求证：αm ＋βn＝1. (1)证明：因为AB →＝OB →－OA →＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，而BC →＝OC →－OB →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－(2a ＋4b )＝－2AB →，所以AB →与BC →共线，且有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)解：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使得8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得λ＝±2，所以k ＝2λ＝±4.(3)证明：因为M ，P ，N 三点共线，O 为直线外一点，所以存在实数x ，y ，使得OP →＝xOM →＋yON →，且x ＋y ＝1.又因为OP →＝α a ＋β b ，且a ，b 不共线，所以OP →＝xma ＋ynb ＝α a ＋β b ，所以xm ＝α，yn ＝β，所以αm ＋βn＝x ＋y ＝1.。

《向量的数乘运算及其几何意义》教案(新人教A版必修4).doc

§2.2.3向量的数乘运算及其几何意义（新教改A版教材）教学目标：（1）掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；（2）让学生能山实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；（3）初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。

教学重点、难点：重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。

难点：正确运用法则解决几何问题。

教学过程:ctcici问定理形成运算率的形成及证明反叩可。

若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。

并且：特殊地，当实数o和一•个向量相乘时，得到的仍为一个向量，旦模为0, 即“零向量”。

（因为冬向量的方向不固定旦模为0,所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向代数形式为6。

）1.计算下列各式：应用举例（1）（—2） x —U ;（2）20+。

）一3（0-力）；（3）（人 +一万）一（人一"）0+万）.解：（1）（-2）2=（-2 X ^）a；=（-\）a = -a（2）2（0+力）一3（0一万）= 2a + 2b-3a + 3b• 9= （2«—M） + （2 方+ 3 方）= -a+5b例3作图是学生需要锻炼的能力之-，督促学生画好，其次是注意同顾和正确使用向景加法法则，亦可以使用相似先得到线段长度的关系，判断方向，从而得到结论对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并旦能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力%1.教学资源建议：可以参阅之前.向量这一•部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。

%1.教学方法与学习指导策略建议：本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则，对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。

人教A版高中数学必修四向量数乘运算及其几何意义评估训练新课程新课标

双基达标 (限时20分钟)1．下列说法正确的是( )． A ．2a 与a 不能相等 B ．|2a |>|a | C ．2a ∥aD ．|2a |≠1解析若a ＝0，则A ，B 不成立，若|a |＝12，则D 不成立．答案 C2．化简4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝( )． A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b解析 4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝(4－3)a －(4＋3＋1)b ＝a －8b . 答案 D3．设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →＝－6a －4b ，那么( )A.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|B.AD →与BC →同向，且|AD →|<|BC →|C.AD →与BC →反向，且|AD →|>|BC →|D.AD →∥BC →解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(2a ＋3b )＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ＝32(－8a －2b )＝32BC →.故选A. 答案 A4．若|a |＝3，向量b 与a 反向，且|b |＝2，则a ＝________b . 解析 ∵b 与a 反向， ∴由共线向量定理知a ＝－32b .答案－325．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，则DE →＝________BC →.解析 DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋AE →＝－23AB →＋23AC →＝23(AC →－AB →)＝23BC →. 答案 236．已知▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，对角线AC ，BD 交于点O ，用a ，b 表示OA →，BO →. 解 OA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )， BO →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(b －a )．综合提高 (限时25分钟)7．已知点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →等于( )． A.23BC → B.32BC → C ．－23BC →D ．－32BC →解析 AC →＝35AB →⇒AB →＝53AC →.∴AB →＝53AC →＝AC →－BC →，∴AC →＝－32BC →. 答案 D8．已知向量a ，b ，若AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )．A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D解析因为AD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b ＝3AB →，可见A 、B 、D三点共线；因为AC →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＝－4a ＋8b ，所以A 、B 、C 三点不共线；因为BD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ，可见B 、C 、D 三点不共线；因为AC →＝－4a ＋8b ，AD →＝3a ＋6b .可见A 、C 、D 三点不共线．故选A. 答案 A9．已知a ≠0，λ∈R ，下列叙述正确的序号是________．①λa ∥a ；②λa 与a 方向相同；③a|a |是单位向量；④若|λa |>|a |，则λ>1.解析 ∵a ≠0，∴必有λa ∥a ，a|a |是单位向量，故①、③正确；对于②，当λ>0时，λa 与a 同向，而λ<0时，λa 与a 反向；对于④，由|λa |>|a |⇒|λ|·|a |>|a |⇒|λ|>1⇒λ>1或λ<－1，故②、④错误．答案 ①③10．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x＝________.解析由2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，得72x －23a ＋12b －12c ＝0， ∴x ＝421a －17b ＋17c . 答案 421a －17b ＋17c11．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴⎩⎨⎧λk ＝2λ＝－1，∴⎩⎨⎧k ＝－2λ＝－1，∴k ＝－2.12．(创新拓展)在△ABC 中，已知CD DA ＝AE EB ＝12，设BC →＝a ，CA →＝b .求证：DE →＝13(b －a )．证明 ∵CD DA ＝AE EB ＝12，∴DA →＝23CA →＝23b ， AE →＝13AB →＝13(AC →＋CB →)＝13(－a －b ) ＝－13a －13b .∴DE →＝DA →＋AE →＝23b －13a －13b ＝13b －13a ＝13(b －a )．。

人教A版高中数必修四向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级姓名学号一、选择题 1．化简：()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+b a b a 24822131（） A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a - 2．若()023=--a x x ，则向量=x （）A ．a 2B ．a 2-C ．a 52D ．a 52- 3．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若b BC a AC ==,，则=AD （）A ．b a 21-B ．a b -21C ．b a -21D ．b a 21+ 4．已知)0(5,3≠-==e e CD e AB ，且BC AD =，则四边形ABCD 是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．矩形5.如图，已知AB AP b OB a OA 43,,===，则=OP （）A.b a 3431+-B.b a 3431+C.b a 3431-D.b a 3431--二、填空题6．已知212123,2e e b e e a -=+=，则=-b a 23________________．7．已知3=a ，向量b 与a 的方向相反，且5=b ，b a λ=，则实数=λ_________．8．已知AC AB 2=，若BC AB λ=，则实数=λ_________．9．在△ABC 中，==,2,3,1=-==，则=-2_________．10．已知向量,不共线，6,2-=+=λ，若C B A ,,三点共线，则=λ_____．三、简答题11.在平行四边形ABCD 中，b BD a AC ==,，用b a ,表示.,AD AB12．如图，在△ABC 中，==,，AD 为BC 的中线，G 在中线AD 上，且AG ＝2GD ，用b a ,分别表示向量GC GB AG AD ,,,．13.在任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 的中点，求证：)(21DC AB EF += A B CG （第12题）。

(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(十八)向量数乘运算及其几何意义新人教A版必修4

3课时跟踪检测（十八）向量数乘运算及其几何意义已知 a = 5e , b =— 3e , c = 4e ,贝U 2a — 3b + c =(解析：选 C 2a — 3b + c = 2x5 e — 3x ( — 3e ) + 4e = 23e .LUU uuir uuu3•已知 AB = a + 5b , BC =— 2a + 8b , CD = 3( a — b )，则( )A. A , B , C 三点共线B . A, B , D 三点共线C. A , C, D 三点共线D. B, C, D 三点共线uuir uuu uuu uur 解析：选 B BD = BC + CD =— 2a + 8b + 3( a — b ) = a + 5b = AB ,unr uuir又••• BD 与AB 有公共点B ,「. A , B , D 三点共线.uuur uuur uur 1 AB ，又 AP = t AB ,.•. t = 3.5.在平行四边形 ABCDK AC 与BD 相交于点 Q E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交uuur uur uuurDC 于点 F ,右 AB = a , AD = b ,则 AF =()层级- - 学业水平达标1. 若 | a | = 5, b 与a 的方向相反，且 | b | = 7」a =( )5 5 A . -b 7B . — 7b7 7C . _b 5D ・一b5解析：选B b 与a 反向，故a =Xb （入v 0） , | a | =-57,5 a = 7b .入x 7,所以入入 |b | ,2. A. 5e B .— 5e C. 23eD.— 23e4•在△ ABC 中，点P 是AB 上一点，且 uuu 2 uuu 1 uuu CP = §CA + -CB , uuur iuur 又AP = t AB ，贝U t 的值A.B.C. D. 解析：选Auuur由题意可得APuuu =CP —uu uuu uuu 1 -3uuu 2 uuu 1 uuuCA = 3CA + 3CB — CA = 3( CB — CA ) = 31 1A. r a + bB . T a + b321 D. a + 尹1C. a +3b1UJLT UULT UULT UULT 1 UUIT解析：选 A 由已知条件可知 BE= 3DE •••D= -AB /• AF = AD + DF = AD + 3 AB1 =3a+ b.6. _________________________________________________ 若 3(x + a ) + 2(x — 2a ) — 4(x — a + b ) = 0,则 x= _______________________________________解析：由已知得 3x + 3a + 2x — 4a — 4x + 4a — 4b = 0, --x + 3a — 4b = 0 ,• • x = 4b — 3a . 答案：4b — 3a7. _______________________________ 下列向量中a , b 共线的有 (填序号). ①a = 2e , b =— 2e ；②a = e i 一 e 2, b =一 2e i + 2e 2；④a = e i + e 2, b = 2e i — 2e 2.2 解析：①中， a =— b ；②中，b =— 2e i + 2e =— 2(e i — e 2)=— 2a ；③中，a = 4e i —答案：①②③&已知向量a , b 是两个不共线的向量，且向量 ma- 3b 与a + (2 — n )b 共线，则实数 m的值为 ________ .解析：因为向量 m — 3b 与a + (2 — n)b 共线且向量a , b 是两个不共线的向量，所以存在实数入，使得ma-3b =入［a + (2 — n )b ］，即(m-入)a + ( m 入—2入—3) b = 0,因为a 与bm=入, 不共线，所以解得m=— 1或m= 3.m 入一2 入一3= 0,答案：—1或3 9. 计算：2 1 2(1) 5(a — b ) — 3(2 a + 4b ) + 存2 a + 13b ); (2) (2 m- n ) a — m — ( m- n )( a — b )( m n 为实数). 2 2 4 2 4 26 解: (1)原式=5一3 + ^a + 一5一3+ ^b= °.(2)原式=2ma-na — mt — m (a — b ) + n (a — b ) =2m — na — m — ma^ m + na — nb =ma- nb .1=4 e 1 —1062 = 4b ;④中，当e 1, e 2不共线a 工入b •故填①②③ 2 ③ a = 4ei —5e2,10. 已知e1, e2是两个非零不共线的向量，a = 2e1 —e2, b = ke1 + e2,若a与b是共线向量，求实数k 的值．解：T a与b是共线向量，a= Xb,2e i —e2=入(ke i + e a)=入ke i+ Xe2,Xk= 2,X=—1,k=—2，X=—1，•k=—2.层级二应试能力达标1．设a 是非零向量，X 是非零实数，则下列结论中正确的是( )A. a与入a的方向相同B. a与一Xa的方向相反2C. a与X a的方向相同D. | Xa | = X | a|解析：选C只有当X >0时，a与Xa的方向相同，a与一Xa的方向相反，且| Xa| =X |a|.因为X 2>0,所以a与X 2a的方向相同.uuru uuru uuur2．( )已知0是厶ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2OA + OB + OC = 0,则uuur uuur uuur uuurA ．AO= OD B．AO = 2OD uuu uuur uuur uuurC AO= 3OD D．2AO=ODuuru uuur uuur uuru uuur 解析：选A •••在△ ABC中, D为边BC的中点，•OB + OC = 2OD ,•2( OA + OD ) uuru uuur uuur uuur = 0 ，即OA ＋OD = 0 ，从而AO = OD .uuur uuur3•已知向量a, b不共线，右AB = X i a+ b, AC = a+ X 2b,且A, B, C二点共线，则关于实数X 1，X 2一定成立的关系式为( )A. X 1 = X 2= 1B. X 1 = X 2=—1C. X 1 X 2= 1D. X 1＋X 2= 1解析：选C •/ A, B, C三点共线，uuur uuur•AB = k AC ( k 工0).•X 1a＋b= k(a＋X 2b) = ka＋k X 2b.又T a, b不共线，X 1 = k,••X 1 X 2= 1.1 = k X 2,uur uuu uuur uuir4•已知平面内有一点 P 及一个△ ABC 若PA + PB + PC = AB ，则（）A.点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段AB 上 C.点P 在线段BC 上D.点P 在线段AC 上uuu uuu uuur uuu解析：选 D TPA + PB + PC = AB ,uuu uuu LULT uuu• PA + PB + PC - -AB = 0,uuu uuu uur uuur uuu uuu uuur •- PA + PB + BA + PC = 0，即 PA + PA + PC = 0,uuu uuiu•- 2 PA ==CP •••点 P 在线段AC 上.5.设e i, e 2是两个不共线的向量，若向量ke i + 2e ?与8e i + ke 2方向相反，则k = ___________ 解析：T ke i + 2e 2与 8e i + ke 2共线，• ° • ke i + 2e 2 =入(8 e i + ke 2)= 8 入 e i + 入 ke 2.T ke i + 2e 与 8e i + ke 2反向,i二入=一 ^，k = — 4. 答案：—4uuir uuur6.如图所示，在？ABCDh AB = a , AD = b , AN = 3NC M 为 BC 的中点，则 uuuur MN =（用a , b ）表示.A&uuuur uu uu uuu uuuu uuur i uuu i uuu解析： MN = MC + CN = MC — NC =㊁AD —4 ACii i i i答案：£（b — a ）四边形ABCD^梯形.证明：如图所示.unr uuir uur uuuT AD = AB + BC + CD = (a +2b ) + ( — 4a — b ) + ( — 5a — 3b )=—8a — 2b = 2( — 4a — b ),uuir uur • AD = 2BC . uuir nr uuir uuir •- AD 与 BC 共线，且 | AD | = 2| BC |.又T 这两个向量所在的直线不重合,7.已知：在四边形ABC 中unr uur AB = a + 2b , BC =— 4a — b , uuuCD = — 5a — 3b ,求证:k = 8 入,2=入k ,解得i入=2,入=一••• AD// BC 且AD= 2BC•••四边形ABCD!以AD BC为两条底边的梯形.8. 如图，已知△ OCBK点A是BC的中点，D是将OB分成2 :uuu uuu一个内分点，DC和0A交于点E,设OA = a, OB = b.uuir uuur⑴用a, b表示向量oc , DC ；uuur uuiu⑵若OE = X OA，求入的值.uuiu 1 uuu uuu解：(1)由A是BC的中点，则有OA = 2(OB + OC ),uuu uuu uuu从而OC = 2 OA —OB = 2a —b.uuu 2 uuu 由D是将OB分成2 : 1的一个内分点，得0D =3OB ,uuur uuur uuur 2 5从而DC = OC 一OD =(2 a一b) 一§b= 2a —^b.uuur uuur⑵由于C, E, D三点共线，则EC = 口DC ,uuu uuur uuu又EC = OC 一OE = (2 a一b) 一Xa = (2 一入)a 一b,uuur 5DC = 2a一3b,从而(2 —X )a —b= 口2a—3b ,又a, b不共线，则2 —X = 2 口，51 = 3 口,解得X=4.51的。

高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义试题新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

向量的数乘运算及其几何意义一、选择题1．【题文】下列运算正确的个数是（）①()326a a -⋅=-；②()()2+23a b b a a --=；③()()+22+0a b b a -=．A ．0B ．1C ．2D ．32．【题文】已知4=a d ，5=b d ，3=-c d ，则23-+a b c 等于( )A ．10dB ．10-dC ．20dD ．20-d3．【题型】在△ABC 中，AB a =，AC b =，D 是BC 的中点，则AD 等于（） A.12a b - B.12a b + C.1122a b + D.12a b -+4．【题文】下面四种说法：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有()m m m -=-a b a b ；②对于实数m ，n 和向量a ，恒有()m n m n -=-a a a ；③对于实数m 和向量a ，b ，若m m =a b ，则=a b ；④对于实数m ，n 和向量a ，若m n =a a ，则m n =．其中正确说法的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．【题文】如图，已知43AP AB =，用OA ，OB 表示OP ，则OP 等于( )A ．1433OA OB -B ．1433OA OB +C ．1433OA OB -+ D. 1433OA OB --6．【题文】设λμ∈R ，，下面叙述不正确的是（）A ．()()a a λμλμ=B ．()a a a λμλμ+=+C ．()a b a b λλλ+=+D ．a λ与a 的方向相同()0λ≠7．【题文】设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+，12CB ke e =+， 1232CD e ke =-，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为（）A ．94-B ．49-C ．38- D ．不存在8．【题文】如图,△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是 ( )A.23BG BE =B.12DG AG = C.121332DA FC BC += D.2CG FG =- 二、填空题9．【题文】化简()()2332-+-=a b b a __________．10．【题文】已知a ，b 是不共线的向量，若1AB λ=+a b ，2AC λ=+a b (1λ，2λ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则21λλ=________．11．【题文】若点M 是△ABC 的重心，则下列向量中与AB 共线的是．（填写序号）（1）AB BC AC ++；（2）AM MB BC ++；（3）AM BM CM ++；（4）3AM AC +.三、解答题12．【题文】把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积：（1）3a e =，6b e =；（2）8a e =，14b e =-；（3）23a e =-，13b e =；（4）34a e =-，23b e =-．13．【题文】两个不共线的向量1e 、2e ，若向量1223=-a e e ，1223=+b e e ，1229=-c e e ，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量λμ=+d a b 与向量c 共线？14. 【题文】如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且13BN BD =，求证：M 、N 、C 三点共线．向量的数乘运算及其几何意义参考答案及解析1. 【答案】C【解析】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③()()+22+220a b b a a b b a -=+--=，是零向量，而不是0，∴该运算错误. ∴运算正确的个数为2．考点：向量数乘运算的定义.【题型】选择题【难度】较易2. 【答案】B【解析】2324353815310-+=⨯-⨯-=--=-a b c d d d d d d d ．考点：向量数乘运算的定义.【题型】选择题【难度】较易3. 【答案】C 【解析】()111111222222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+，故选C.考点：向量的数乘运算.【题型】选择题【难度】较易4. 【答案】C【解析】由向量的数乘运算律，得①②均正确．对于③，若0m =，由m m =a b ，未必一定有=a b ，错误．对于④，若=0a ，由m n =a a ，未必一定有 m n =，错误．考点：向量数乘的运算律.【题型】选择题【难度】一般5. 【答案】C 【解析】()44143333OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=-+，故选C ．考点：共线定理及其应用.【题型】选择题【难度】一般6. 【答案】D【解析】对于A ，()()a a λμλμ=是正确的，满足数乘向量的结合律；对于B ，()a a a λμλμ+=+是正确的，满足数乘向量的分配律；对于C ，()a b a b λλλ+=+是正确的，满足数乘向量的分配律；对于D ，当0λ>时，a λ与a 的方向相同，当0λ<时，a λ与a 的方向相反，∴D 错，故选D.考点：向量数乘的运算律.【题型】选择题【难度】一般7. 【答案】A【解析】因为A 、B 、D 三点共线，故存在一个实数λ，使得AB BD λ=，又1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-，∴()()()12121232321BD CD CB e ke ke e k e k e =-=--+=--+，∴()()121232321e e k e k e λλ+=--+， ∴()()33,221,k k λλ=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得94k =-．故选A ．考点：共线定理及其应用.【题型】选择题【难度】一般8. 【答案】B【解析】由题意可知G 为△ABC 的重心，由三角形重心的性质可知12DG GA =显然成立，故B 错误.选项A ，C ，D 都成立.考点：向量的数乘运算.【题型】选择题【难度】较难9. 【答案】-a【解析】()()23322663-+-=-+-=-a b a b b a a b a ．考点：向量数乘的运算律.【题型】填空题【难度】较易10. 【答案】1【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以AC ，AB 共线，所以存在实数λ使得AC =AB λ，则()21λλλ++a b =a b ，即()()121λλλλ-+=-0a b ，由于a ，b 不共线，所以11λλ=，且2λλ=，消掉λ得211λλ=.考点：共线定理及其应用.【题型】填空题【难度】一般11. 【答案】(3)【解析】对于（1），2AB BC AC AC ++=，与AB 显然不共线；对于（2），AM MB BC AB BC AC ++=+=，与AB 不共线；对于（3），()()()1110333AM BM CM AB AC BA BC CA CB ++=+++++=，与AB 共线；对于（4）3AM AC AB AC AC +=++，与AB 不共线.故答案为（3）. 考点：向量的共线定理.【题型】填空题【难度】一般12. 【答案】略【解析】（1）∵3a e =，6b e =，∴2b a =.（2）∵8a e =，14b e =-，∴74b a =-. （3）∵23a e =-，13b e =，∴12b a =-. （4）∵34a e =-，23b e =-，∴89b a =．考点：向量数乘运算的定义.【题型】解答题【难度】较易13. 【答案】略【解析】()()()()12121223232323λμλμλμμλ=++=-+++-d a b =e e e e e e . 要使d 与c 共线，则存在实数k ，使=k d c ，即()()1212223293k k λμμλ+=-+-e e e e .∴222,339,k k λμμλ+=⎧⎨-=-⎩解得2λμ=-. 故存在这样的实数λ和μ，只要2λμ=-就能使d 与c 共线．考点：向量的共线定理.【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】略【解析】证明：∵MN BN BM =-，12BM BA =，()1133BN BD BA BC ==+，∴1111133236MN BA BC BA BC BA =+-=-， ① 12MC BC BM BC BA =-=-，② 由①、②可知3MC MN =，即MC MN ，又∵MC 、MN 有公共点M ， ∴M 、N 、C 三点共线．考点：向量的共线定理.【题型】解答题【难度】一般。

人教A版高中数学必修四课时提升作业(十八) 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1 Word版含解析

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课时提升作业(十八)向量数乘运算及其几何意义(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.若||=2||且=λ，则λ=( )A.2B.-2C.2或-2D.无法确定【解析】选C.当点C在线段AB上时，如图，则=2，即λ=2.当点C在线段AB的延长线上时，与的方向相反，故λ=-2.2.四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中向量a，b不共线，则四边形ABCD为( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解析】选A.因为=++=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2，故AD∥BC且|AD|=2|BC|，故四边形ABCD为梯形.3.(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，=3，则( )A.=-+B.=-C.=+D.=-【解析】选A.由题知=+=+=+(-)=-+.【补偿训练】已知O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足=，则向量=( )A.-B.+C.(-)D.(+)【解题指南】由于O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足=，可得C是AB的中点.【解析】选D.由已知=+，又=，所以=+=+-，故2=+，=.二、填空题(每小题4分，共8分)4.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量=______(填正确的序号).①-+；②--；③-；④+.【解析】=-=-.答案：①5.(2015·烟台高一检测)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+λ，则λ的值为________.【解析】由=2得-=2(-)，即=+，所以λ=.答案：【一题多解】本题还可以采用以下方法因为=+=+=+(-)=+，所以λ=.答案：【补偿训练】在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD和BC的中点，且=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=________.【解析】=+，=+，故=-+，=-，故=+=+AF，故λ+μ=.答案：三、解答题6.(10分)(2015·萍乡高一检测)如图，平行四边形ABCD中，=b，=a，M 为AB中点，点N在BD上，且=，求证：M，N，C三点共线.【证明】在△ABD中，=-，因为=a，=b，所以=b-a.因为N点是BD的三等分点，所以==(b-a).因为=b，所以=-=(b-a)-b=-a-b.①因为M为AB中点，所以=a，所以=-=-(+)=-a-b.②由①②可得：=.由共线向量定理知：∥，又因为与有公共点C，所以C，M，N三点共线.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知向量a，b不共线，c=k a+b(k∈R)，d=a-b，如果c∥d，那么( )A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D，因为c∥d，所以存在实数λ，使c=λd，所以k a+b=λ(a-b)，所以所以k=λ=-1，所以k=λ=-1且c与d反向.2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O.E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=a，=b，则=( )A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解题指南】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，作FG 平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果.【解析】选D.由题意可得△DEF与△BEA相似，所以==，再由AB=CD 可得=，所以=.作FG平行BD交AC于点G.所以==，所以===b，因为=+=+=+==a，所以=+=a+b.二、填空题(每小题5分，共10分)3.若其中a，c，b为已知量，则未知量y=________.【解析】由得2y-a-c-b+y+b=0，即y-a-c+b=0，所以y=a-b+c.答案：a-b+c4.已知在△ABC中，点M满足++=0，若存在实数m使得+=m成立，则m=________.【解析】由点M满足++=0，知点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点.则==××(+)=(+)，所以m=3.答案：3三、解答题5.(10分)(2015·宿州高一检测)已知非零向量e1，e2不共线，(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线.(2)欲使k e1+e2和e1+k e2共线，试确定实数k的值.【解题指南】对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使=λ即可；对于(2)，若k e1+e2与e1+k e2共线，则一定存在λ，使k e1+e2=λ(e1+k e2). 【解析】(1)因为=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5.所以与共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.(2)因为k e1+e2与e1+k e2共线，所以存在λ，使k e1+e2=λ(e1+k e2)，则(k-λ)e1=(λk-1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k=±1.【补偿训练】设两个非零向量e1，e2不共线，已知=2e1+k e2，=e1+3e2，=2e1-e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？【解析】设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，因为=-=(e1+3e2)-(2e1-e2) =-e1+4e2，=2e1+k e2，又因为A，B，D三点共线，所以=λ，所以2e1+k e2=λ(-e1+4e2)，所以，所以k=-8，所以存在k=-8，使得A，B，D三点共线.关闭Word文档返回原板块。

人教A版精编高中数学必修4课时作业18向量数乘运算及其几何意义 Word版含答案

课时作业18.向量数乘运算及其几何意义时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →＝(..) A.32BC →B.23BC → C ．－32BC →D ．－23BC →解析：依题意，可得AC ＝32BC ，又AC →和BC →方向相反，所以AC →＝－32BC →.答案：C2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD →＝(..)A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13cD.13b ＋23c解析：如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .答案：A3．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则以下一定共线的是(..)A.PC →与PB →B.P A →与PB →C.P A →与PC→ D.PC→与AB → 解析：P A →＋PB →＋PC →＝AC →可化为P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0，即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB→共线．答案：B4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB→＋AC →＝mAM →成立，则m 等于(..) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：设BC 的中点为D ，由已知条件可得M 为△ABC 的重心，AB →＋AC →＝2AD →，又AM →＝23AD →，故m ＝3. 答案：B5．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在(..)A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：∵CB →＝λP A →＋PB →，∴CB →－PB →＝λP A →. ∴CP →＝λP A →.∴P 、A 、C 三点共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上．答案：B6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP→＝(..) A ．λ(AB→＋AD →)，λ∈(0,1) B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈(0，22) C ．λ(AB→－AD →)，λ∈(0,1) D ．λ(AB →－BC →)，λ∈(0，22) 解析：由向量加法运算法则可知，AC→＝AB →＋AD →，又点P 在线段AC 上，故AP →与AC →同向，且|AP →|<|AC →|，故AP →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)．答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________.解析：25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝(25－23＋415)a ＋(－25－43＋2615)b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0.答案：08．点C 在直线AB 上，且P A →＝15PB →＋kPC →，则实数k 的值为________．解析：由题意，k ＋15＝1，解得k ＝45.答案：45 9.如图所示，在▱ABCD 中，AB→＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN→＝________(用a ，b 表示)．解析：MN→＝MB →＋BA →＋AN → ＝－12BC →＋BA →＋34AC →＝－12AD →－AB →＋34(AB →＋AD →) ＝－12b －a ＋34(a ＋b ) ＝14b －14a ＝14(b －a )．答案：14(b －a )三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10.如图，四边形OADB 是以向量OA→＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，试用a 、b 表示OM →、ON →、MN →. 解：BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )．MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 11．已知两个非零且不共线的向量e 1、e 2，若AB →＝5e 1＋4e 2，CD →＝－4e 1－75e 2，AC →＝6e 1＋3e 2，求证A 、B 、D 三点共线．证明：∵CD →＝－4e 1－75e 2，AC →＝6e 1＋3e 2， ∴AD →＝AC →＋CD →＝6e 1＋3e 2－4e 1－75e 2 ＝2e 1＋85e 2＝25(5e 1＋4e 2)＝25AB →.∴AB→∥AD →.又∵AB →、AD →有公共点A ， ∴A 、B 、D 三点共线．12．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b . 求证：DE →＝13(b －a )．证明：因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →) ＝13(－a －b )，AD →＝23AC →＝－23b ，所以DE →＝AE →－AD → ＝－13a －13b ＋23b ＝13(b －a )．。

高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时提升卷新人教A版必修4 (1)

向量数乘运算及其几何意义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.下列说法中正确的是( )A.λa与a的方向不是相同就是相反B.若a，b共线，则b=λaC.若|b|=2|a|，则b=±2aD.若b=±2a，则|b|=2|a|2.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为( )A.2a-bB.2b-aC.a-bD.b-a3.(2013·牡丹江高一检测)已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且=a，=b且满足=，则= ( )A.b-3aB.-a+bC.a+bD.-a-b4.已知e1≠0，λ∈R，a=e1+λe2，b=2e1，则a与b共线的条件是( )A.λ=0B.e2=0C.e1∥e2D.e1∥e2或λ=05.若非零且不共线的向量a，b满足|a-b|=|b|，则( )A.|2b|>|a-2b|B.|2b|<|a-2b|C.|2a|>|2a-b|D.|2a|<|2a-b|二、填空题(每小题8分，共24分)6.已知=，若=λ，则λ等于.7.已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的有(填序号).①a=e1，b=-2e2；②a=e1-3e2，b=-2e1+6e2；③a=3e1-e2，b=2e1-e2；④a=e1+e2，b=e1-3e2.8.若=t(t∈R)，O为平面上任意一点，则= (用，表示).三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.计算：(1)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).(2)-a+b+a.10.如图在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设=a，=b，试用a，b表示向量，.11.(能力挑战题)设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线.已知(a+b)∥c，(b+c)∥a，试判断b与a+c是否共线？证明你的结论.答案解析1.【解析】选D.A.错误.当λ=0时，此说法不正确；B.错误.当a=0，b≠0时，不存在实数λ使b=λa；C.错误.若|b|=2|a|，则b与a未必共线；D.正确.若b=±2a，则|b|=2|a|.2.【解析】选B.[2(2a+8b)-4(4a-2b)]=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=2b-a.【变式备选】已知a=b+c，化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)= ( ) A.a B.bC.cD.以上都不对【解析】选D.3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c=a-2(b+c)=a-2a=-a.3.【解析】选B.如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以=-=-a，所以=-=-a-b.因为=，所以==-(a+b).又因为=-=b-a，所以=+=b-a-(a+b)=-a+b.4.【解析】选D.(1)当e1∥e2时，a=e1+λe2.不妨设e1=μe2，μ∈R，所以a=(λ+μ)e2，b=2μe2，故a与b共线.(2)当e1与e2不共线时，设a=μb，μ∈R，则e1+λe2=2μe1，即(1-2μ)e1+λe2=0，所以即所以a与b共线的条件是λ=0，综上知a与b共线的条件是e1∥e2或λ=0.5.【解析】选A.设=a，=b，则=a-b，且OB=AB，再作=b，连接AC，则=a-2b，AB=OB=BC.在△ABC中，由于AB+BC>CA，即|b|+|b|>|a-2b|，所以|2b|>|a-2b|，作=a，连接BD，则=-=2a-b，在△ABD中，由于BA+AD>BD，所以|b|+|a|>|2a-b|.又|a|与|b|的大小不确定，故|2a|与|2a-b|的大小不确定.【误区警示】对向量线性运算的几何意义由于理解不透致误.在进行向量的线性运算时易忽略向量的加、减法的几何意义，不能把向量的线性运算与几何意义相结合.6.【解析】如图所示，因为=，所以点P在线段P1P2上，且=，所以与反向，且=，所以=-，故λ=-.答案：-7.【解析】因为e1，e2是不共线的向量，所以e1，e2都不是零向量.①若a与b共线，由于a=e1≠0，所以存在实数λ，使b=λa，即-2e2=λe1，所以e2=-e1，于是e1，e2共线，这与已知矛盾.所以a与b不共线.②因为b=-2e1+6e2=-2(e1-3e2)=-2a，所以a与b共线.③因为b=2e1-e2=(3e1-e2)=a，所以a与b共线.④若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a=λb，即e1+e2=λ(e1-3e2)所以(1-λ)e1+(1+3λ)e2=0.因为e1，e2是不共线向量，所以所以λ不存在，所以a与b不共线.答案：②③8.【解题指南】首先利用向量减法的几何意义将和用，，表示，然后通过“移项”和数乘向量的运算律用，表示出.【解析】=t，-=t(-)，=+t-t=(1-t)+t.答案：(1-t)+t9.【解析】(1)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6-4+4)a+(-6+8)b+(6-4-2)c=6a+2b.(2)原式=a+b-a-b-a-b-a=a+b=a.10.【解析】因为=+=a，=+=b，所以解得：=a-b，=b-a.11.【解题指南】首先引入实数λ，μ把共线向量用等式表示，然后用待定系数法确定λ，μ，确定a+c 与b是否共线.【解析】b与a+c共线.证明如下：因为(a+b)∥c，所以存在实数λ，使a+b=λc(c≠0). ①因为(b+c)∥a，所以存在实数μ，使b+c=μa(a≠0). ②①-②得a-c=λc-μa，所以(1+μ)a=(1+λ)c.又因为a与c不共线，所以1+λ=1+μ=0，所以λ=μ=-1，所以a+b=-c，即a+c=-b，所以b与a+c共线.。

高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义评估训练新人教A版必修4

高中新课程数学（新课标人教A 版）必修四《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》评估训练双基达标限时20分钟1．下列说法正确的是( )．A ．2a 与a 不能相等B ．|2a |>|a |C ．2a ∥aD ．|2a |≠1 解析若a ＝0，则A ，B 不成立，若|a |＝12，则D 不成立．答案 C2．化简4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝( )．A ．a －2bB ．aC ．a －6bD ．a －8b解析 4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝(4－3)a －(4＋3＋1)b ＝a －8b .答案 D3．设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →＝－6a －4b ，那么( )与BC →同向，且|AD →|>|BC →|与BC →同向，且|AD →|<|BC →|与BC →反向，且|AD →|>|BC →|∥BC →解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(2a ＋3b )＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ＝32(－8a －2b )＝32BC →.故选A. 答案 A4．若|a |＝3，向量b 与a 反向，且|b |＝2，则a ＝________b .解析 ∵b 与a 反向，∴由共线向量定理知a ＝－32b . 答案－325．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，则DE →＝________BC →. 解析 DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋AE →＝－23AB →＋23AC →＝23(AC →－AB →)＝23BC →. 答案 236．已知▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，对角线AC ，BD 交于点O ，用a ，b 表示OA →，BO →.解 OA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )， BO →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(b －a )．综合提高限时25分钟7．已知点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →等于( )． BC →BC → C ．－23BC → D ．－32BC → 解析 AC →＝35AB →⇒AB →＝53AC →. ∴AB →＝53AC →＝AC →－BC →，∴AC →＝－32BC →.答案 D8．已知向量a ，b ，若AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则必然共线的三点是( )．A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D解析因为AD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b ＝3AB →，可见A 、B 、D 三点共线；因为AC →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＝－4a ＋8b ，所以A 、B 、C 三点不共线；因为BD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ，可见B 、C 、D 三点不共线；因为AC →＝－4a ＋8b ，AD →＝3a ＋6b .可见A 、C 、D 三点不共线．故选A.答案 A9．已知a ≠0，λ∈R ，下列叙述正确的序号是________．①λa ∥a ；②λa 与a 方向相同；③a|a |是单位向量；④若|λa |>|a |，则λ>1. 解析 ∵a ≠0，∴必有λa ∥a ，a |a |是单位向量，故①、③正确；对于②，当λ>0时，λa 与a 同向，而λ<0时，λa 与a 反向；对于④，由|λa |>|a |⇒|λ|·|a |>|a |⇒|λ|>1⇒λ>1或λ<－1，故②、④错误．答案 ①③10．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝________. 解析由2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，得 72x －23a ＋12b －12c ＝0， ∴x ＝421a －17b ＋17c .答案 421a －17b ＋17c 11．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴⎩⎨⎧ λk ＝2λ＝－1， ∴⎩⎨⎧k ＝－2λ＝－1，∴k ＝－2. 12．(创新拓展)在△ABC 中，已知CD DA ＝AE EB ＝12，设BC →＝a ，CA →＝b . 求证：DE →＝13(b －a )．证明 ∵CD DA ＝AE EB ＝12，∴DA →＝23CA →＝23b ， AE →＝13AB →＝13(AC →＋CB →)＝13(－a －b ) ＝－13a －13b . ∴DE →＝DA →＋AE →＝23b －13a －13b ＝13b －13a ＝13(b －a )．。

高中数学必修4第2章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后课时精练版本：人教A版18

向量数乘运算及其几何意义A级：基础稳固练一、选择题1．以下各式计算正确的个数是()①(－7) ·5a＝－ 35a；②a－ 2b＋2( a＋b) ＝3a；③a＋b－ ( a＋b) ＝0. A．0 B．1 C．2 D．3答案 C分析依据向量数乘的运算律可考证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．→2．如下图，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝()→→1A. BC － 2BA→→1B ．－ BC ＋ 2BA→→1C ．－ BC － 2BA→→1D.BC ＋ 2BA答案B→→1分析解法一：∵ D 是 AB 的中点，∴ BD ＝ 2BA ，→ → → →→1∴CD ＝ CB ＋ BD ＝－ BC ＋ 2BA .→ → 1→1→→ →→→ 1→→ 1解法二：由CD ＝ 2( CB ＋ CA ) ＝ 2[ CB ＋ ( CB ＋ BA )]＝CB ＋ 2BA ＝－ BC ＋ 2BA .→→→3．已知向量 a ，b ，且AB ＝ a ＋ 2b ，BC ＝－ 5a ＋6b ，CD ＝ 7a － 2b ，则必定共线的三点是 ( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D答案A→ → → → → →分析AD ＝AC ＋ CD ＝ AB ＋BC ＋ CD＝ ( a ＋ 2b ) ＋ ( － 5a ＋ 6b ) ＋ (7 a － 2b )→＝ 3a ＋ 6b ＝ 3AB ，∴A ， B ， D 三点共线．应选 A.→ → → → 4．若 AB ＝ 3e ，CD ＝－ 5e ，且 | AD | ＝ | BC | ，则四边形 ABCD 是 ()11A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形答案 C→ 3 →→ →→ →分析因为＝－，所以 ∥ ，且 | | ≠| |. 而| | ＝ | | ，所以四边形为AB5CDAB CDABCD ADBCABCD等腰梯形．5．在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ， E 是线段 OD 的中点， AE 的延伸线与CD 交→→ →于点 F . 若 AC ＝ a ，BD ＝ b ，则 AF 等于 ()1 12 1A. 4a ＋ 2bB. 3a ＋ 3bC. 1 ＋ 1D. 1 ＋ 22a 4b3a 3b答案B分析如下图，→→11∵E 是 OD 的中点，∴ OE ＝ 4BD ＝4b .AEBE 3又∵△ ABE ∽△ FDE ，∴＝＝ .FE DE 1→→→→3∴AE ＝ 3EF ，∴ AE ＝ 4AF ，→ → →1 1在△ AOE 中， AE ＝ AO ＋OE ＝ 2a ＋ 4b ，→→42 1∴AF ＝ 3AE ＝ 3a ＋ 3b . 应选 B.二、填空题6．设 1 ， 2 是两个不共线的向量，若向量 ke 1＋ 2 2 与 8 1 ＋ ke 2方向相反，则 k ＝ ________.e eee答案－ 4分析 ∵ ke 1＋2e 2 与 8e 1＋ ke 2 共线，∴ k e 1＋ 2e 2＝ λ (8 e 1 ＋ke 2) ＝ 8λe 1＋ λk e 2.∴ k ＝ 8λ，11解得λ＝2，或 λ＝－ 2，2＝ λk ，k ＝ 4k ＝－ 4.11＋212反向，∴ λ＝－ 2， k ＝－ 4.∵ke 2e 与 8e ＋ ke7．若 a ＝－ e ＋ 3e ， b ＝ 4e ＋2e ， c ＝－ 3e ＋ 12e ，则向量 a 写为 λ b ＋λc 的形式是12 1212 12________．答案－ 1 718b＋27c分析若 a ＝λ1b ＋ λ2c ，则－ e 1＋ 3e 2＝λ1(4 e 1＋ 2e 2) ＋ λ2( － 3e 1＋ 12e 2) ，∴－ e 1＋ 3e 2＝(4 λλ 2) e 1＋ (2 λ 1＋ λ e2.1－ 3122)12λ ＝－ 1 ，4λ － 3λ ＝－ 1，1∴ ＋ 12λ ＝ 3.解之，得72λ12 λ2＝ 27.8．如图，在△中，点 O 是的中点，过点 O 的直线分别交直线，于不一样的两ABCBCAB AC→→ →→点 M ， N ，若 AB ＝mAM ， AC ＝ nAN ，则 m ＋n 的值为 ________．答案 2→→→→→→→→→→→→分析1 11AC －解法一：因为 AB ＝ mAM ， AC ＝ nAN ，所以 AM ＝ AB ， AN ＝ AC ，则 MN ＝ AN －AM ＝m nn→1 AB .m→ →→ →→→→ 1 →→因为点 O 为 BC 的中点，连结11 1 1AO ，所以 AO ＝ AB ＋ AC ，则 MO ＝AO － AM ＝ AB ＋ AC － AB ＝2222m1 →→ →→112 － m AB ＋ 2AC ，因为 M ， O ，N 三点共线，所以可设 MO ＝ λMN ，1 → → → →1 1 λλ即 2－ m AB ＋2AC ＝ n AC － m AB ，1 1 λ→1→λ则－＋AB ＋－n AC ＝ 0，2 m m 2→ →1 1 λ－＋＝0，2 m m因为 AB ， AC 不共线，所以1 λ2－ n ＝ 0，1 1 nm ＋ n ＝ 2.消去 λ 得－＋＝ 0，变形整理可得2 m2m→→ → → →解法二：在△ ABC 中，连结 AO . 因为 O 是 BC 的中点，所以 AO ＝ 1( AB ＋AC ) ＝ 1AB ＋1AC . 22 2 →→ →→因为 AB ＝ mAM ， AC ＝ nAN ，→→→11则AO ＝ 2mAM ＋2nAN .11因为 M ， O ，N 三点共线，则 2m ＋2n ＝ 1，进而 m ＋ n ＝2.三、解答题→ →29．如图，在△ ABC 中， D ， F 分别是 BC ，AC 的中点， AE ＝ 3AD ， AB ＝a ，AC ＝ b .→ →(1) 用 a ， b 分别表示向量 AE ， BF ；(2) 求证： B ， E ， F 三点共线．→→ →11解 (1) ∵ AD ＝ 2( AB ＋ AC ) ＝ 2( a ＋b ) ，→→21∴AE ＝ 3AD ＝ 3( a ＋ b ) ．→→11∵AF ＝ 2AC ＝ 2b ，→ → →1∴BF ＝ AF － AB ＝－ a ＋ b .2→1(2) 证明：由 (1) 知 BF ＝－ a ＋ 2b ，→ → →2 1 2 → →→ →1 1 2BE ＝ AE － AB ＝ ( a ＋ b ) －a ＝－ 3 a ＋ b ＝ 3 － a ＋ b ，∴ BE ＝ BF ，∴ BE 与 BF 共线．3 3 2 3又 BE ， BF 有公共点 B ，所以 B ，E ， F 三点共线．→→→10．设 e 1， e 2 是两个不共线的向量，假如 AB ＝ 3e 1－ 2e 2， BC ＝ 4e 1＋ e 2， CD ＝ 8e 1－9e 2.(1) 求证 A ，B ， D 三点共线；(2) 试确立 λ 的值，使 2λ e 1＋ e 2 和 e 1＋λe 2 共线；(3) 若 e 1＋ λe 2 与 λe 1＋ e 2 不共线，试求 λ 的取值范围．→ →→→解(1) 证明：因为BD ＝ BC ＋ CD ＝4e 1＋ e 2＋ 8e 1－ 9e 2＝ 12e 1－ 8e 2＝ 4(3 e 1－ 2e 2) ＝ 4AB ，→ →所以 AB 与 BD 共线．→ →因为 AB 与 BD 有公共点 B ，所以 A ， B ， D 三点共线．(2) 因为 2λe 1＋e 2 与 e 1＋ λe 2 共线，所以存在实数 μ，使 2λe 1＋ e 2＝ μ( e 1＋ λ e 2) ．2λ＝ μ，因为 e 1， e 2 不共线，所以1＝ λμ .λ2所以＝±2.(3) 假定 e 1＋ 2 与λe 1＋ 2 共线，则存在实数 μ ，使 e 1＋ 2＝ ( λe1＋ 2) ．λeeλ eμ e1＝ λμ ，因为 e 1， e 2 不共线，所以所以 λ ＝± 1.λ＝ μ所以当 λ≠±1时， e 1＋λ e 2 与 λe 1＋e 2 不共线．B 级：能力提高练→ → →→ → → →1．如下图，向量OA ，OB ，OC 的终点 A ，B ，C 在一条直线上，且AC ＝－ 3CB . 设OA ＝ p ，OB→＝ q ， OC ＝ r ，则以低等式中建立的是 ()13A ．r ＝－ 2p ＋ 2qB ．r ＝－ p ＋ 2q31C ．r ＝ 2p －2qD ．r ＝－ q ＋ 2p答案A→ → → →→→分析∵ OC ＝ OB ＋ BC ， AC ＝－ 3CB ＝ 3BC ，→ →∴BC ＝ 1AC .3→ →→ →→ →11∴OC ＝ OB ＋ 3AC ＝ OB ＋ 3( OC － OA ) ．1∴r ＝ q ＋ 3( r － p ) ．13∴r ＝－ 2p ＋2q .12→→→121，2．设 D ，E 分别是△ ABC 的边 AB ，BC 上的点， AD ＝ 2AB ，BE ＝3BC .若 DE ＝ λ A B ＋ λ AC ( λ λ2 为实数 ) ，则 λ1＋ λ2 的值为 ________．答案12→ → →→→21分析由已知 DE ＝ BE － BD ＝ 3BC －2BA→ →→→→2112＝ 3( AC － AB ) ＋ 2AB ＝－ 6AB ＋ 3AC ，∴λ1＝－ 1， λ2＝ 2，6 31进而 λ1＋ λ2＝ 2.。

人教版高中数学A版必修4学案向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义明目标、知重点 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．1．向量数乘运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )； λ(a －b )＝λa －λb .3．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .4．向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .[情境导学] 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现．如力与加速度的关系F ＝m a ，位移与速度的关系s ＝v t .这些公式都是实数与向量间的关系．师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生： a ＋a ＋a 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同，(－a )＋(－a )＋(－a )的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反．师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题．探究点一向量数乘运算的物理背景思考1 一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v ，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v 表示，试在直线l 上画出3v 向量，看看向量3v 与v 的关系如何？答3v ＝OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝v ＋v ＋v . ∴3v 与v 的方向相同，|3v |＝3|v |.思考2 已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？答OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a ＝3a ；O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→ ＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a .思考3 一般地，我们规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．记作λa ，该向量的长度与方向与向量a 有什么关系？答 λa 仍然是一个向量． (1)|λa |＝|λ||a |；(2)λ>0时，λa 与a 方向相同； λ<0时，λa 与a 方向相反； λ＝0时，λa ＝0.方向任意．探究点二向量数乘的运算律思考1 根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？答设λ，μ∈R ，则有 ①λ(μa )＝(λμ)a ； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？答 ①λ(μa )＝(λμ)a (λ，μ∈R )．如果λ＝0或μ＝0或a ＝0，则①式显然成立；如果λ≠0，μ≠0，a ≠0，则由向量数乘的定义有 |λ(μa )|＝|λ||μa |＝|λ||μ||a |， |(λμ)a |＝|λμ||a |＝|λ||μ||a |，故|λ(μa )|＝|(λμ)a |.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a 反向．因此，向量λ(μa )与(λμ)a 有相等的模和相同的方向，所以λ(μa )＝(λμ)a . 例1 计算： (1)(－3)×4a ；(2)3(a ＋b )－2(a －b )－a ； (3)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )．解 (1)原式＝(－3×4)a ＝－12a ； (2)原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝5b ；(3)原式＝2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c .反思与感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．跟踪训练1 计算： (1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b . 探究点三共线向量定理及应用思考1 请观察a ＝m －n ，b ＝－2m ＋2n ，回答a 、b 有何关系？答因为b ＝－2a ，所以a 、b 是平行向量．思考2 若a 、b 是平行向量(a ≠0)能否得出b ＝λa ？为什么？答可以．因为a 、b 平行，它们的方向相同或相反．小结由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数λ，使b ＝λa ，则由实数与向量乘积定义可知b 与λa 平行，即b 与a 平行．其二，若b 与a 平行，且不妨令a ≠0，设|b ||a |＝μ(这是实数概念)．接下来看a 、b 方向如何：①a 、b 同向，则b ＝μa ，②若a 、b 反向，则记b ＝－μa ，总而言之，存在实数λ(λ＝μ或λ＝－μ)使b ＝λa .例2 已知e 1，e 2是不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？解若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，即3e 1＋4e 2＝λ(6e 1－8e 2)，所以(3－6λ)e 1＋(4＋8λ)e 2＝0，因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－6λ＝0，4＋8λ＝0，所以λ不存在，所以a 与b 不共线．反思与感悟 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：AB →，BD →共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.探究点四三点共线的判定思考1 若存在实数λ，使AB →＝λBC →，则A 、B 、C 三点的位置关系如何？答由共线向量定理可得，A ，B ，C 三点共线⇔存在λ∈R ，使AB →＝λBC →.思考2 已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，是否存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1?答存在，因A 、B 、C 三点共线，则存在λ∈R ，使AC →＝λAB →. ∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →. 令1－λ＝α，λ＝β，则 OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1.思考3 已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A 、B 、C 三点是否共线？答共线，因为存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1. ∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →， ∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB → ∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)∴BC →＝αBA →，∴A 、B 、C 三点共线．例3 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC (如图)．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．因为AB →＝OB →－OA →＝ (a ＋2b )－(a ＋b )＝b ，AC →＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b ) ＝2b ，故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ，所以A 、B 、C 三点共线．反思与感悟本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a ＝λb ，先证向量共线，再证三点共线．跟踪训练3 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线．证明 ∵BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， ∴BD →＝BC →＋CD →＝(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2) ＝10e 1＋15e 2.又∵AB →＝2e 1＋3e 2，∴BD →＝5AB →，∴AB →、BD →共线，且有公共点B .∴A 、B 、D 三点共线．1．化简：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎡⎦⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b ).解 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b . (2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . 2.如图，AM →＝13AB →，AN →＝13AC →.求证：MN →＝13BC →.证明 ∵AM →＝13AB →，AN →＝13AC →，∴MN →＝AN →－AM →＝13AC →－13AB →＝13(AC →－AB →)＝13BC →.3．已知e 1与e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋8e 2)＋(3e 1－3e 2) ＝5e 1＋5e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线．又AB →与BD →有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．4．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线． [呈重点、现规律]1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a |a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、基础过关1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12答案 D解析当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线． 2．下列各式计算正确的有( )①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上答案 D解析 P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上．4．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →答案 C 解析如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 5．已知向量a ，b ，设AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，那么下列各组中三点一定共线的是( )A ．A ，B ，C B ．A ，C ，D C ．A ，B ，D D ．B ，C ，D 答案 C解析由向量的加法法则知BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，又两线段均过点B ，故A ，B ，D 三点一定共线．6.如图所示，设M ，N 为△ABC 内的两点，且AM →＝14AB →＋13AC →，AN →＝25AB →＋12AC →，则△ABM的面积与△ABN 的面积之比为________．答案 2∶3 解析如图所示，设AP →＝14AB →，AQ →＝13AC →，则AM →＝AP →＋AQ →.由平行四边形法则知，MQ ∥AB ， ∴S △ABM S △ABC ＝|AQ →||AC →|＝13. 同理S △ABN S △ABC ＝12.∴S △ABM S △ABN ＝237.如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点． ∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →.∴四边形EFGH 为平行四边形．二、能力提升8．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心．∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.10．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析 AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴点P 在AD →上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．11．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λk ＝2，λ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1，∴k ＝－2. 12．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．解若A ，B ，D 三点共线，则AB →与BD →共线，所以可设AB →＝λBD →.又因为BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，所以2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，即(4λ＋k )e 2＝(λ－2)e 1，因为e 1，e 2是两个不共线的向量，若4λ＋k ≠0，则e 2＝λ－24λ＋ke 1，于是e 1与e 2是共线向量，与已知条件矛盾；若λ－2≠0，则e 1＝4λ＋k λ－2e 2，于是e 1与e 2是共线向量，与已知条件矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＋k ＝0，λ－2＝0，故λ＝2，k ＝－8. 三、探究与拓展13.如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD . 求证：M 、N 、C 三点共线.证明设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b .又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )， ∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ， ∴C 、M 、N 三点共线．。

2019_2020学年高中数学课时跟踪训练18向量数乘运算及其几何意义新人教A版必修4

课时跟踪训练(十八)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一向量的线性运算1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b[解析] 原式＝13[](a ＋4b )－4a ＋2b＝13(－3a ＋6b ) ＝－a ＋2b [答案] B2．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝( ) A ．5e B ．－5e C ．23eD ．－23e[解析] ∵2a －3b ＋c ＝2·5e －3·(－3e )＋4e ＝10e ＋9e ＋4e ＝23e . ∴选C. [答案] C3．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝__________.[解析] 原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b＝⎝⎛⎭⎪⎫615a －1015a ＋415a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2615b －615b －2015b ＝0＋0＝0 [答案] 0题组二用已知向量表示未知向量4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b [解析] 如下图，∵E 是OD 的中点，∴OE →＝14BD →＝14b .又∵△ABE ∽△FDE ，∴AE EF ＝BE DE ＝31.∴AE →＝3EF →，∴AE →＝34AF →.在△AOE 中，AE →＝AO →＋OE →＝12a ＋14b ，∴AF →＝43AE →＝23a ＋13b .故选B.[答案] B5．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，则DE →＝__________BC →.[解析] DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋AE →＝－23AB →＋23AC →＝23(AC →－AB →)＝23BC →.[答案] 236．若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝__________(用OA →，OB →表示)． [解析] ∵AP →＝tAB →，∴OP →－OA →＝t (OB →－OA →) ∴OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. [答案] (1－t )OA →＋tOB → 题组三共线向量定理的应用7．已知e 1，e 2是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有( ) ①a ＝5e 1，b ＝7e 1；②a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2；③a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－3e 2. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③[解析] ①中a 与b 显然共线；②中，因为b ＝3e 1－2e 2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 1－13e 2＝6a ，故a 与b共线；③中，设b ＝3e 1－3e 2＝k (e 1＋e 2)，无解，故a 与b 不共线．故选A.[答案] A8．已知实数x ，y ，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝__________，y ＝__________.[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12.[答案] 12 129．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是__________．[解析] ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． [答案] A ，B ，D综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →[解析] AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.[答案] A2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.13B.23C.12D.34[解析] ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23.[答案] B3．设a ，b 不共线，AB →＝a ＋k b ，AC →＝m a ＋b (k ，m ∈R )，则A ，B ，C 三点共线时有( )A ．k ＝mB ．km －1＝0C ．km ＋1＝0D ．k ＋m ＝0[解析] 若A ，B ，C 三点共线，则AB →与AC →共线，∴存在唯一实数λ，使AB →＝λAC →，即a＋k b ＝λ(m a ＋b )，即a ＋k b ＝λm a ＋λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λm ＝1，λ＝k ，∴km ＝1，即km －1＝0. [答案] B 二、填空题4．设点O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－3OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为__________．[解析] 如下图，以OA →，OC →为邻边作平行四边形OAEC ，则OE 与AC 交于AC 的中点D ，OA →＋OC →＝OE →＝2OD →，∴2OD →＝－3OB →，∴|OB →||OD →|＝23，显然S △AOB S △AOD ＝23，易知S △AOD ＝12S △AOC ，∴S △AOB S △AOC ＝13.[答案] 1∶35．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝__________. [解析] ∵AD →＝AC →＋CD →，BD →＝2DC →， ∴CD →＝13CB →＝13(－AC →＋AB →)，∴AD →＝AC →－13AC →＋13AB →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . [答案] 23b ＋13c三、解答题 6.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b .试用向量a ，b 表示DE →.[解] 因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →)＝13(－a －b )， AD →＝23AC →＝－23b ，所以DE →＝AE →－AD →＝13(－a －b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23b＝13(b －a )． 7．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．[解] b 与a ＋c 共线．证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a ＋b ＝λc .① ∵b ＋c 与a 共线，∴存在唯一实数μ，使得b ＋c ＝μa .② 由①－②得，a －c ＝λc －μa . ∴(1＋μ)a ＝(1＋λ)c .又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c与b共线．。

高中数学必修四课时作业18：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义基础过关1．将112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]化简成最简形式为( )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a[解析] 原式＝112(4a ＋16b －16a ＋8b )＝112(24b －12a )＝2b －a ．[答案] B2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．13B ．23C ．12D ．34[解析] ∵A ，B ，D 三点共线， ∴13＋λ＝1，λ＝23． [答案] B3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A ．BC → B ．12AD →C ．AD → D ．12BC →[解析]如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →． [答案] C4．如果实数p 和非零向量a 与b 满足p a ＋(p ＋1)b ＝0，则向量a 和b ________(填“共线”或“不共线”)．[解析] 由题知实数p ≠0，则p a ＋(p ＋1)b ＝0可化为a ＝－p ＋1p b ，由向量共线定理可知a ，b 共线．[答案] 共线5．已知在△ABC 中，点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．[解析] ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3． [答案] 3 6．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b ． (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b － 76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0． (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b ．7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，求MN →(用a ，b 表示)．解法一如图所示，在▱ABCD 中，连接AC 交BD 于O 点，则O 平分AC 和BD ． ∵AN →＝3NC →，∴NC →＝14AC →，∴N 为OC 的中点，又M 为BC 的中点，∴MN 綉12BO ，∴MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a )．法二 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )．能力提升8．已知△ABC 三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P 在线段AC 上[解析] P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴PC →＝－2P A →， ∴P 在AC 边上． [答案] D9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A ．14a ＋12bB ．13a ＋23bC ．12a ＋14bD ．23a ＋13b[解析] ∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →．∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得：AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b ．[答案] D10．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________．[解析] 由题意可知存在实数λ，使k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )，即k a ＋2b ＝8λa ＋kλb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，kλ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4，当k ＝4时，k a ＋2b 与8a ＋k b 方向相同，不合题意，故k ＝－4． [答案] －411．如图所示，设M ，N 为△ABC 内的两点，且AM →＝14AB →＋13AC →，AN →＝25AB →＋12AC →，则△ABM 的面积与△ABN 的面积之比为________．[解析] 如图所示，设AP →＝14AB →，AQ →＝13AC →，则AM →＝AP →＋AQ →．由平行四边形法则知，MQ ∥AB ， ∴S △ABM S △ABC ＝|AQ →||AC →|＝13．同理S △ABN S △ABC ＝12.∴S △ABM S △ABN ＝23．[答案] 2∶312．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ．求证：M ，N ，C 三点共线.证明设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b ．又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ， ∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ，∴C ，M ，N 三点共线．创新突破13．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．解 b 与a ＋c 共线．证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①∵b＋c与a共线，∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②由①－②得，a－c＝λc－μa．∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c．又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0．∴a＋c＝－b．故a＋c与b共线．。

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课时达标检测（十八）向量数乘运算及其几何意义
一、选择题
1．若a ＝b ＋c ，化简3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a ＋b )＝( )
A ．－a
B ．－b
C ．－c
D ．以上都不对答案：A
2．已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；
②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0；
③xa ＋yb ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；
④已知梯形ABCD ，其中AB ＝a ，CD ＝b .
A ．①②
B ．①③
C ．②
D ．③④ 答案：A
3.如图，向量OA ，OB ，OC 的终点在同一直线上，且AC ＝－3CB ，
设OA ＝p ，OB ＝q ，OC ＝r ，则下列等式中成立的是( )
A ．r ＝－12p ＋32
q B ．r ＝－p ＋2q C ．r ＝32p －12
q D ．r ＝－q ＋2p
答案：A
4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )
A.13
B.23
C.12
D.53
答案：A
5．如图，设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC
＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
答案：A
二、填空题
6.如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的
中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．
答案：14
(b －a ) 7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ等于________．
答案：23
8．已知两个不共线向量e 1，e 2，且AB ＝e 1＋λe 2，BC ＝3e 1＋4e 2，CD ＝2e 1－7e 2，若A ，B ，D 三点共线，则λ的值为________．
答案：－35
三、解答题
9．如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB
的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，DC ＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ，MN ，DN ＋CN .
解：BC ＝BA ＋AD ＋DC ＝－a ＋b ＋c .
∵MN ＝MD ＋DA ＋AN ，MN ＝MC ＋CB ＋BN ，
∴2MN ＝MD ＋MC ＋DA ＋CB ＋AN ＋BN
＝－AD －BC ＝－b －(－a ＋b ＋c )
＝a －2b －c .
∴MN ＝12a －b －12
c . DN ＋CN ＝DM ＋MN ＋CM ＋MN ＝2MN ＝a －2b －c.
10．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－3OB ，求△AOB 与△AOC 的面积之比．
解：如图，由平行四边形法则，知OA ＋OC ＝OD ，其中E 为AC 的中点．
所以OA ＋OC ＝2OE ＝－3OB .
所以OB ＝－23OE ，|OB |＝23
|OE |. 设点A 到BD 的距离为h ，
则S △AOB ＝12|OB |·h ，S △AOC ＝2S △AOE ＝|OE |·h ，所以S △AOB S △AOC ＝12|OB ―→|·h |OE ―→|·h ＝12·|OB ―→||OE ―→|
＝12×23＝13
.
11．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM ＝λOB ＋(1－λ)OA (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A ，B ，M 三点共线；
(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围．
解：(1)证明：∵OM ＝λOB ＋(1－λ)OA ，
∴OM ＝λOB ＋OA －λOA ， OM －OA ＝λOB －λOA ，
∴AM ＝λAB (λ∈R ，λ≠0且λ≠1)．
又∵AM 与AB 有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．
(2)(1，＋∞)。