2018年高考数学二轮复习专题三三角函数3.1三角函数的图象与性质课件
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
2018届高三数学二轮复习课件 三角函数的图象与性质
1 f(x)＝5
π π π 6 6 sinx＋ ＋sinx＋ ＝ sinx＋ ，函数的最大值为 . 5 3 3 5 3
答案 A
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3.(2017· 全国Ⅲ卷)设函数 的是( )
π f(x)＝cosx＋ 3
，则下列结论错误
A.f(x)的一个周期为－2π 8π B.y＝f(x)的图象关于直线 x＝ 对称 3 π C.f(x＋π )的一个零点为 x＝ 6
π D.f(x)在 2
，π
单调递减
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2 2π 2 ∴ω＝ ＝ ，∴f(x)＝2sin3x＋φ. 3π 3 2 5π ∴2sin × ＋ φ ＝Fra bibliotek，得 3 8
π φ＝2kπ＋12，k∈Z，
π 又|φ|<π，∴取 k＝0，得 φ＝12.
答案 A
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三角函数的图象与性质
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高考定位
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点
内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主 要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选 择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函 数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的 形式考查.
kπ 2 ，0
x＝kπ 2π π
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2018年高考数学二轮复习 专题二 第1讲 三角函数的图象与性质案 文
第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A.4π B.2π C.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π.答案 C2.(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ). 答案 B3.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误.答案 D4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.解析 f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0，1]， y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1. 答案 1考 点 整 合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得.(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换热点一 三角函数的图象 命题角度1 三角函数的图象变换【例1－1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，根据图象平移变换， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.探究提高 1.“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.命题角度2 由函数的图象特征求解析式【例1－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 D.f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 (2)(2017·济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12C.22D.32解析 (1)由题意知A ＝2，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，因为当x ＝5π12时取得最大值2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|<π2，得φ＝－π3.因此函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知，A ＝1，T ＝π，则ω＝2.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，φ＝π3.则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，则x 1＋x 2＝π6， 因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案 (1)B (2)D探究提高 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】 (1)(2017·菏泽二模)偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2(2)(2017·贵阳调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.①求函数f (x )的解析式；②将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.(1)解析 依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4.∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.答案 C(2)解 ①设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，故f (x )＝sin(2x ＋φ).由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.②根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12.热点二 三角函数的性质 命题角度1 三角函数性质【例2－1】 (2016·天津卷)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 命题角度2 三角函数性质的应用【例2－2】 (2017·哈尔滨质检)把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π2个单位长度之后，所得图象关于直线x ＝π4对称，且f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，则φ＝( )A.π8 B.3π8C.－π8D.－3π8解析 把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)的图象向左平移π2个单位长度之后，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋2φ＝2cos(x ＋2φ)＝g (x )的图象，根据所得图象关于直线x ＝π4对称，可得g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， 即2cos 2φ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2φ＝－2sin 2φ，即tan 2φ＝－1.又f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ，故有2sin 2φ<2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝2cos φ，即sin φ<12，结合选项，φ＝－π8.答案 C探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证. 【训练2】 (2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间. 解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝2.(2)f (x )的最小正周期为π. 由正弦函数的性质得令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .热点三 三角函数图象与性质的综合应用【例3】 (2017·西安调研)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|. 【训练3】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解.(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程；(2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (一角一函数)的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.答案 C2.(2016·北京卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π3解析 点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.答案 A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确.答案 D4.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z ，又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A5.(2017·茂名一模)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，0解析 由题中函数图象可知A ＝2，由于函数图象过点(0，3)，则2sin φ＝3，即sin φ＝32. 又|φ|<π2，所以φ＝π3.从而f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得f (x )图象的一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0.答案 B 二、填空题6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________. 解析 f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5sin(x ＋θ)，其中tan θ＝2， ∴f (x )的最大值为 5. 答案57.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.解析 在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点. 答案 78.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间 (－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________. 解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值有ω2＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.答案π2三、解答题9.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12.∴f (x )≥－12成立.10.(2016·山东卷)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值. 解 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，经过变换后，g (x )＝2sin x ＋3－1， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.11.(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π，k ∈Z ，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。
2018年高考数学二轮复习课件：第一部分+专题二+三角函数、平面+向量+第一讲+三角函数的图象与性质
题组突破
3．(2017· 合肥模拟)要想得到函数y＝sin 2x＋1的图象，只需将 函数y＝cos 2x的图象( B ) π π 1个单位长度 A．先向左平移 个单位长度，再向上平移 4 2x的图象向右平移 个单位长度，得到y＝ 先将函数y＝cos 4 π Bsin ．先向右平移 个单位长度，再向上平移 1个单位长度 2x的图象，再向上平移 1个单位长度，即得 y＝sin 2x＋1 4
专题二
第一讲
三角函数、平面向量
三角函数的图象与性质
三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质， 考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期 性、对称性、最值作为热点，并常与三角变换交汇命 题，难度为中档偏下.
年份 卷别 Ⅱ卷 2017 Ⅲ卷 Ⅰ卷 2016 Ⅱ卷 Ⅲ卷 2015 Ⅰ卷
考查角度及命题位置 三角函数的周期求法·T3 三角函数的最值问题·T13 三角函数的最值问题·T6 三角函数的图象变换与性质·T6 已知三角函数图象求解析式·T3 三角函数的最值问题·T11 三角函数图象变换·T14 三角函数的图象与性质·T8
1 π 的图象向右平移 个周期即 个单位长度，所得图象对应的函 4 4
π π π 数为y＝2sin2x－ 4 ＋6 ＝2sin2x－3 ，故选D.
答案：D
3．(2017· 高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为
5 ________ ．
1 移 个周期后，所得图象对应的函数为( 4
π A．y＝2sin2x＋4 π B．y＝2sin2x＋3 π C．y＝2sin2x－4 π D．y＝2sin2x－3
)
π π 解析：函数y＝2sin2x＋6 的周期为π，将函数y＝2sin2x＋6
三角函数的图象与性质 ppt课件(全国通用) 2018届高中数学二轮复习(文)
【解析】选 C π 将 y ＝ sin x 的图象向左平移 个单位得到 y ＝ 6 π sinx＋ 的图象 , 再把图象上所有点的横坐标变为原 6 x π 来的 2 倍(纵坐标不变)得到 y＝sin 的图象. ＋ 2 6
【点评】对于三角函数图象的平移变换问题,其平 移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只变 换其自变量 x,如果 x 的系数不是 1,则需把 x 的系数提 取后再确定平移的单位和方向 .另外, 当两个函数的名 称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把 ωx＋φ 变 φ φ 成 ω x＋ω , 最后确定平移的单位 , 并根据 ω 的符号确 定平移的方向.
【解析】选 B π 本题解题的关键是将 －2x 作为一个整体,利用 4 π 余弦函数的图象将函数 y＝ cos －2x 的单调递增区 4 π 间转化为 θ ＝ － 2x 在区间 －π＋2kπ，2kπ 上递 4 减. π 由 2x－ ∈[－π＋2kπ,2kπ], 4 3π π ∴2x∈－ ＋2kπ， ＋2kπ, 4 4 3 π ∴x∈－ π＋kπ， ＋kπ . 8 8
探究三
(
求三角函数的单调区间 π 例 3 函 数 y ＝ cos －2x 的单调递增区间是 4 ) π 5π A.kπ ＋ ，kπ ＋ (k∈Z) 8 8 3π π B.kπ － ，kπ ＋ (k∈Z) 8 8 π 5π C.2kπ ＋ ，2kπ ＋ (k∈Z) 8 8 3π π D.2kπ － π ，2kπ ＋ (k∈Z) 8 8
探究四
求三角函数在闭区间上的最值(或值域) π 例 4 函数 f(x)＝3sin2x＋ 的部分图象如图所示. 6 (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值； π π (2) 求 f(x) 在区间 － ，－ 上的最大值和最小 2 12 值.
2018年高考数学二轮复习课件 专题2 第1讲函数的图象与性质(57张)
• 1．忽略函数的定义域 • 在判断函数的单调性时，要注意函数的定义域优先；在判 断函数的奇偶性时，忽略函数的定义域会导致结论错误． • 2．错用集合运算符号 • 函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接， 可用“和”或“，”连接． • 3．忽略基本初等函数的形式、定义和性质 • 如讨论指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的单调性时，不讨论底数 的取值；忽略ax>0的隐含条件；幂函数的性质记忆不准 确．
第一部分 专题强化突破
专题二 函数、不等式、导数
知识网络构建
第一讲
函数的图象与性质
1
高考考点聚焦
2
3 4 5
核心知识整合
高考真题体验 命题热点突破 课后强化训练
高考考点聚焦
高考考点
考点解读
函数的概 1.求具体函数的定义域、值域
念及其表 2．以分段函数为载体考查求函数值或已知函数 示 值求字母的值(或取值范围)等 1.以具体函数的解析式选择图象或知图象选解析 函数的图 式 象及其应 2．利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调 用 性、最值、零点)、方程解的问题及解不等式、 比较大小等
a>1 __________ 时，在 R 上单调 递增 __________
指数函数 0<a<1， 当x>0时，0<y<1； 函数 当x<0时，y>1 值性 a >1 ， 质 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1
对数函数
0<a<1， 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 a>1， 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0
高考数学二轮复习 专题三 三角函数 3.1 三角函数的图象与性质课件
B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到
π
的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线 C2
12
1
C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的2,纵坐标不变,再把得到的
π
曲线向右平移6 个单位长度,得到曲线 C2
1
D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的2,纵坐标不变,再把得到的
D. 3
π
12/11/2021
2π
第二十页，共四十二页。
C)
高频考点•探究突破
突破点二
突破点一
突破点三
-21-
突破点四
分析推理(1)首先(shǒuxiān)根据最值求出A的值,然后利用周期求ω;(2)先由函数
图象确定周期,进而求出ω,再由f(0)=1求出φ,即可得出结果.
解析:(1)观察图象可得,过(0,1)的图象对应的函数解析式为
解:记t=sin x,则t∈[-1,1].
故函数可化为
y=t2+bt+c=
2
2
+ 2 +c- 4 .
当- ≤-1,即 b≥2 时,函数 g(t)=t2+bt+c 在区间[-1,1]上单调递增,
2
函数的最小值为 g(-1)=(-1)2+b×(-1)+c=c+1-b.
当- ≥1,即 b≤-2 时,函数 g(t)=t2+bt+c 在区间[-1,1]上单调递减,
专题
(zhuāntí)
三
12/11/2021
第一页，共四十二页。
三角函数
-2-
考情概览•命题分析
高考命题热点 高考真题印证
2018届高考数学二轮复习专题四三角函数的图象与性质课件文
(1)(2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cos x，C2： 2π y＝sin2x＋ 3 ，则下面结论正确的是 ( ) A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， π 再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， π 再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 12 1 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， 2 π 再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 1 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变， 2 π 再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 12
[典例]
[解析]
易知 C1：y＝cos
π x＝sinx＋2 ，把曲线
C1 上的各点
π 1 的横坐标缩短到原来的 倍， 纵坐标不变， 得到函数 y＝sin2x＋2 2
π 的图象，再把所得函数的图象向左平移 个单位长度，可得函数 12
π π 2π y＝sin2 x＋12＋ 2＝sin2x＋ 3 的图象，即曲线
答案：D
3．(2017· 兰州诊断)函数 f(x)＝sin(ωx＋
π φ)ω>0，|φ|< 2 的部分图象如图所
示，若
π π x1，x2∈－ 6，3 ，且
f(x1)＝ )
f(x2)，则 f(x1＋x2)＝ 1 A． 2 3 C. 2 2 B． 2 D．1
(
T π 解析：由图知， ＝ ，即T＝π，则ω＝2， 2 2
π 所以只需将函数 y＝cos x 的图象向右至少平移 1 个单位长度即可 3 得到函数
2018高考总复习数学(理科)课件：第三章 第3讲 三角函数的图象与性质
解析：y＝2cos 2π T＝ 2 ＝π.
答案：A
2
π π x－ －1＝cos2x－ ＝sin 4 2
2x 为奇函数，
基础诊断
考点突破
课堂总结
(2)(2015 年四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原 点对称的函数是( )
π B．y＝sin2x＋2 π A．y＝cos2x＋2
偶 ________
基础诊断 考点突破
奇
课堂总结
π 2x－ 的最小正周期是( 1．(2014年陕西)函数f(x)＝cos 6
B)
π A.— 2
B．π
C．2π
D．4π
π 2π 解析： 由周期公式 T＝ w ， 又 w＝2， 所以函数 y＝cos2x－6
2π 的最小正周期 T＝ 2 ＝π.故选 B.
考点突破
课堂总结
2.三角函数的图象和性质
函数 定义域 y＝sinx R y＝cosx R y＝tanx
π x x k π , 2 k∈Z
图象
值域
[－1,1]
[－1,1] ________
R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基础诊断
考点突破
课堂总结
(续表)
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
π 对称轴： x＝kπ＋2 对称轴：x＝kπ 无对称轴 (k∈Z) (k∈Z) 对称性 对称中心： 对 称 中 心 ： 对称中心： (kπ ， π kπ kπ＋ ，0 2 ，0(k∈Z) 0)(k∈Z) 2 (k∈Z) 最小正 π 2π 2π ______ 周期
A.
答案：A
基础诊断 考点突破 课堂总结
2018年高考数学(理)二轮专题复习课件：第二部分 专题三 三角2
.
2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α; cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=
2tan ������
1-ta n 2 ������
.
1-cos2 ������ 2 sin2 ������ 2
3.降幂公式
cos2α=
1+cos2 ������ 2
二、填空题
2.(2017广西名校联考,理9)已知△ABC的面积为S,且 ������������ ·������������ =S,则 tan 2A的值为( D )ຫໍສະໝຸດ A. C.12 3 4
B.2 D.4 3
解析: 设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
∵������������ ·������������ =S, 1 ∴bc cos A=2bcsin A, ∴tan A=2, 2tan ������ 2×2 4 ∴tan 2A=1-ta n 2 ������ = 1-22=-3,故选 D.
3.2 三角变换与解三角形专项练
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
tan(α± β)=
tan ������ ±tan ������ 1∓tan������ tan ������
co s 2 ������ +4sin ������ cos ������ co s 2 ������ +si n 2 ������
=
1+4× 1+
=
4
25 16
=
4 64 25
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质ppt课件.ppt
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
注 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期 性是: 弦减半、切不变.
课
前 热 采用PP管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物
身
1.给出四个函数:
(A)y=cos(2x+π/6) (B)y=sin(2x+π/6)
要特别注意, 若由 或向右平移应平移 |
y=s| i个n(单x位) 得. 到
y=sin(x+)
的图象,
则向左
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(xR) 是奇函数, 对称中心是 (k, 0)(kZ), 对 对称称轴 中是 心直 是线(kx+=k2,+0)2(k(kZZ),);对余称弦轴函是数直y线=coxs=xk(x(kR)Z是)(偶正函, 数余,
1、 解：（1） m n 2 3sin xcos x 2cos2 x
作函数
y
2
s
in(1
x
3
)
的图象，并说明图象可
由函数 y sin x 的图象经过怎样的变换得到.
高三数学二轮复习 3.1三角函数的图象与性质课件
4 2 4 － ＋ －2 tan2θ－tanθ－2 3 2 3 ＝ ＝ ＝ . 2 5 4 tan θ＋1 2 －3 ＋1
[评析]
(1)sinθ＋cosθ 在各象限的取值范围：
第一象限：(1， 2]；第二象限：(－1,1)； 第三象限：[－ 2，－1)；第四象限：(－1,1)． (2)如果所给分式的分子、 分母是关于 sinα 和 cosα 的 齐次式，可通过同除以 cosα 的 n 次幂转化为关于 tanα 的 分式，然后代入求值．
1．任意角和弧度制 (1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (2)弧度制：用度作为单位来度量角的单位制．把长度等于 半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．
(3)弧长公式：l＝|α |r， 1 1 2 扇形的面积公式：S＝2lr＝2|α |r .
定义域
值域 奇偶性 最小 正周期
R
[－1,1] 奇函数
R
[－1,1] 偶函数 R 奇函数
2π
2π
π
y＝tanx π π π 在[－ ＋2kπ， ＋ 在(－ ＋ 在[－π＋2kπ， 2 2 2 π 2kπ](k∈Z)上递增． 2kπ](k∈Z)上递 kπ ， ＋ 单调性 2 π 3π 增．在[2kπ，π＋ 在[ ＋2kπ， ＋ 2 2 2kπ](k∈Z)上递减 kπ)(k∈Z)上 2kπ](k∈Z)上递减 递增 π 当x＝ ＋2kπ，k∈Z 当x＝2kπ，k∈Z 2 时，y取得最大值 时，y取得最大值1. 1. π 最值 无最值 当x＝－ ＋2kπ，k∈ 当x＝π＋2kπ，k∈ 2 Z时，y取得最小值 Z时，y取得最小值 －1 －1
已知
3π sin(3π＋α)＝2sin 2 ＋α， 求下列各式的值：
2018届高考数学复习-三角函数：(三)三角函数的图像与性质(解析版)
题型1：三角函数的周期与定义域 【典型例题】[例1]求下列函数的周期(1))321-sin(π+=x y ,(2))32-tan(π+=x y , (3))32(cos π+=x y ,(4)y ＝|tan 2x |.[例2](1)(2013浙江文)函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2【答案】A (2)(2015·怀化市监测)函数f (x )＝1－2sin 2x 的最小正周期是( ) A.12B.2C.2π D .π 【答案】D [∵f (x )＝cos 2x ,∴f (x )的最小正周期为2π|ω|＝π.](3)(2016浙江理)设函数2()sin sin f x x b x c =++,则f (x )的最小正周期 A.与b 有关,且与c 有关 B.与b 有关,但与c 无关 C.与b 无关,且与c 无关 D.与b 无关,但与c 有关 【答案】B[例3](1)函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 ；【答案】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >09－x 2≥0, 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3. ∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.(2)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为 ；【答案】(2)要使函数有意义,必须使sin x －cos x ≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象,在[0,2π]内,满 足sin x ＝cos x 的x 为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为{x |2k π ＋π4≤x ≤2k π＋5π4,k ∈Z }.(3)(2015·绵阳市一诊)在(0,2π)内,使|sin x |≥cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π4，7π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，5π4 C.⎣⎡⎦⎤0，5π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，2π 【答案】A [当x ∈(0,π]时,不等式为sin x ≥cos x ,解得x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π；当x ∈(π,2π)时,不等式为－sin x ≥cos x 即sin x ＋cosx ≤0,解得x ∈⎝⎛⎦⎤π，7π4,综上得x ∈⎣⎡⎦⎤π4，7π4.] (4)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为为 .【答案】 A[令π4－x ≠k π＋π2,k ∈Z ,∴x ≠k π－π4,k ∈Z .]【变式训练】1.函数)31sin(+=x y π的最小正周期是 ；2.[2014·陕西]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B.π C .2π D .4π答案：B [解析]T ＝2π2＝π.3.[2017全国II 文]函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π解析：ππωπ===222T 选C4.[2014·山东]函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________. 答案：π [解析]因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12,所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π . 5.(2016山东理)函数f (x )=(3sin x +cos x )(3cos x –sin x )的最小正周期是A.2πB.πC.23πD.2π 【答案】B6.函数y ＝cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3,k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3,k ∈Z D.R 答案 C解析 由题意得cos x ≥12,即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3,k ∈Z ,故函数定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3,k ∈Z . 7.函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为 .[自主解答] 要使函数有意义,必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12，解得⎩⎨⎧π6＋2k π<x <5π6＋2k π，π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，(k ∈Z ),即π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π(k ∈Z ).故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z ). 8.[2014·课标Ⅰ]在函数①y ＝cos|2x |,②y ＝|cos x |,③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6,④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③答案：A [解析]函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ,其最小正周期为π,①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变,位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方,即可得到y ＝|cos x |的图像,所以其最小天正周期也为π,②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π,③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2,④不正确. 9.[2017天津理]设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A题型2：三角函数的最值与值域【典型例题】[例1]求下列函数的值域(1))2sin(3x y =,)321sin(2π+-=x y ；(2)函数)4(cos 3-2π+=x y 的最大值为 ,此时x 的值为 ；(3)函数)4(cos 3-2π+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-44ππ,的值域；(4)函数5sin 4sin 2+-=x x y 的值域,(5)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值. 解析:令t ＝sin x ,∵|x |≤π4,∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54, ∴当t ＝12时,y max ＝54,t ＝－22时,y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54,最小值为1－22.[例2](1)[2014·全国]函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________.答案： 32 [解析]因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32,所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值,最大值为32.(2)(2016全国II 文)函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为( )A.4B.5C.6D.7 【答案】B(3)[2017全国III 文]函数f (x )= sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为 A ．65B ．1C ．D ．【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65.本题选择A 选项.(4)(2013江西文)设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6∈[－2,2]．又∵|f (x )|≤a 恒成立，∴a ≥|f (x )|max ，∴a ≥2.][例3]求下列函数的单调区间(1))32sin(π-=x y ； (2))32-sin(3π+=x y(3))x cos(y 423π--=. (4)y ＝tan )23(x -π.[解答]把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2,k ∈Z ,得k π－π6<2x <k π＋5π6,k ∈Z ,即k π2－π12<x <k π2＋5π12,k ∈Z . 故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ). [例4]►(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值. 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2, ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3,周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时,函数单调递增,∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z ). 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时,函数单调递减, ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z ).当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时,y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时,y min ＝－2.►(2)[2014·福建]已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ).(I)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(II)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 解：方法一：(I)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (II)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1, 所以T ＝2π2＝π,故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－3π8≤x ≤k π＋π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8,k ∈Z . 方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(I)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(II)因为T ＝2π2＝π,所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2,k ∈Z ,得k π－3π8≤x ≤k π＋π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8,k ∈Z . [例5]►(1)(2013辽宁文)设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值【答案】►(2)(2013北京文)已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）.(I)求()f x 的最小正周期及最大值; (II)若(,)2∈παπ,且22f =α(),求α的值.【答案】解:(I)因为21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）=1cos 2sin 2cos 42x x x+=1(sin 4cos 4)2x x +=2sin(4)24x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,最大值为22. (II)因为22f α=（）,所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈,所以9174(,)444πππα+∈,所以5442ππα+=,故916πα=.►(3)(2015北京理)已知函数2()2sin cos 2sin 222x x x f x =-.(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值.【答案】(1)2π,(2)212--【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式,再利用周期公式2T πω=求出周期,第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤,借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-,即34x π=-时,()f x 取得最小值为：212--.试题解析：(Ⅰ) 211cos ()2sin cos 2sin 2sin 222222x x x x f x x -=-=⋅-⋅=222sin cos 222x x =+-2sin()42x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ ,当3,424x x πππ+=-=-时,()f x 取得最小值为：212-- 考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. ►(4)(2015天津理)已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.★[例6](1)(2017·洛阳模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] [解析] A[由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.](2)(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减,则ω等于 ( ) A.23 B.32 C.2 D.3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点,∴当0≤ωx ≤π2,即0≤x ≤π2ω时,y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2,即π2ω≤x ≤3π2ω时,y ＝sin ωx 是减函数. 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增, 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知,π2ω＝π3,∴ω＝32. (3)(2013课标Ⅰ文)设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos =θ______.【答案】255-; (4)(2016上海文)若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5,则常数a =______.【答案】3±(5)(2016上海文)设a ÎR ,[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+,则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为( )A.1B.2C.3D.4 【答案】B【变式训练】1.(2013天津文)函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是 ( )A.1-B.22-C.22D.0 【答案】B2.函数y ＝sin x ＋1sin x(0<x <π)的最小值为________.答案 2解析 令sin x ＝t ∈(0,1],则函数y ＝1＋1t ,t ∈(0,1].又y ＝1＋1t在t ∈(0,1]上是减函数,所以当t ＝1时,y 取得最小值2.3.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． [解析] ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)[由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所求函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．] 4.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________． [解析] ⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)5.函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增,且在这个区间上的最大值是3,那么ω＝________. 答案 43解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增,且在这个区间上的最大值是3,所以2sin π4ω＝3,且0<π4ω<π2,因此ω＝43.6．(2017·长沙模拟(一))函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3B.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2πC.⎣⎡⎦⎤－5π3，π3D.⎣⎡⎦⎤π3，2π [解析] C [令z ＝12x ＋π3，函数y ＝sin z 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，由2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，而x ∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π3，π3，故选C.] 7.(2016浙江文)已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A =______. 【答案】2.8.[2017全国II 理]函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，函数取得最大值1.9.[2017全国II 文]函数()cos sin =2+f x x x 的最大值为 5解析：10.已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4,求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值. 解析:由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2,∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6, ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时,f (x )取最大值1；当x ＝－π12时,f (x )取最小值－32.11.(2013陕西文)已知向量1(cos ,),(3sin ,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . 5)sin(5)sin(12cos 2sin )(22≤+=++=+=ϕϕx x x x x f(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. (Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.12．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z.7分 (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，9分 f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32.故f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32.12分13.(2015北京文)已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.【答案】(1)2π；(2)3-.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 14.(2015安徽文)已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ (1)求()f x 最小正周期； (2)求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】(1)π ；(2)最大值为12+,最小值为0 15.(2016·北京高考)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (I)求ω的值；(II)求f (x )的单调递增区间．[解] (I)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.4分依题意，得πω＝π，解得ω＝1.6分(2)由(I)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z).8分 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z).12分 16.[2017北京文]（本小题13分） 已知函数()3cos(2)2sin cos 3f x x -x x π=-.（I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-． 【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）详见解析.【题型】解答题【难度】一般17.(2016天津理)已知函数f (x )=4tanx ·si n(2x π-)cos(3x π-)-3. (Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f (x )在区间[,44ππ-]上的单调性.()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ . 所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间 412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.题型3：三角函数的奇偶性与对称性【典型例题】[例1](1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称,那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 解析 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0,∴2π3＋φ＝k π＋π2,k ∈Z ,∴φ＝k π－π6,k ∈Z , 取k ＝0,得|φ|的最小值为π6.故选A. (2)函数y ＝2sin(3x ＋φ) (|φ|<π2)的一条对称轴为x ＝π12,则φ＝________. 答案 π4解析 由题意得3×π12＋φ＝k π＋π2,k ∈Z , ∴φ＝k π＋π4,k ∈Z ,又|φ|<π2,∴φ＝π4. (3)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R ),函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称,则φ的值为________.解析f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3, y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称, 即f (x ＋φ)为偶函数.∴π3＋φ＝π2＋k π,k ∈Z ,φ＝k π＋π6,k ∈Z , 又∵|φ|≤π2,∴φ＝π6. [例2](1)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同.若x ∈[0,π2],则f (x )的取值范围是________.答案 [－32,3] 解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同,∴ω＝2,∴f (x )＝3sin(2x －π6). 由x ∈[0,π2],得－π6≤2x －π6≤56π, ∴－32≤f (x )≤3. (2)(2015·四川统考)点P ⎝⎛⎭⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0,|φ|＜π2)的图象的一个对称中心,且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2,则( ) A.f (x )的最小正周期是π B.m 的值为1C.f (x )的初相φ为π3D.f (x )在⎣⎡⎦⎤43π，2π上单调递增 答案：D [∵点P 是函数y ＝f (x )的一个对称中心,∴m ＝2,－π6ω＋φ＝k π(k ∈Z ), 又T ＝4×π2＝2π,则ω＝1, 由|φ|＜π2得φ＝π6, 作图可知选项D 正确.](3)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5,ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω,函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0,则f (x )的最小正周期是________. 答案：由题设,有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2,即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2,由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0,∴aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0, 从而tan ωπ8＝1,ωπ8＝k π＋π4,k ∈Z , 即ω＝8k ＋2,k ∈Z ,而0<ω<5,∴ω＝2, 于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4, 故f (x )的最小正周期是π.(4)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( ) A ．－3 B ．－33 C.2 D.22(2)B [由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.] (5)(2015天津文)已知函数()()sin cos 0,f x x x x ωωω=+>∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 .【答案】π2 【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤ ,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭, 所以2πππ.422ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.(6)(2016天津文)已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx x x f ,R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点,则ω的取值范围是( )A.]81,0(B.)1,85[]41,0(C.]85,0(D.]85,41[]81,0( 【答案】D[例3]►(1)(2013山东文)设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π, (Ⅰ)求ω的值(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值 【答案】►(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π. (I)求当f (x )为偶函数时φ的值；(II)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． [解] ∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ).2分(I)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，∴sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋φ)，将上式展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0.∵0＜φ＜2π3，∴φ＝π2.5分 (II)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32.6分 又∵0＜φ＜2π3，∴π3＜π3＋φ＜π， ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.9分 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.12分【变式训练】1. y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A.(－π,0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 答案 B解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π,0) (k ∈Z ),∴令x －π4＝k π (k ∈Z ),x ＝k π＋π4(k ∈Z ), 由k ＝－1,x ＝－3π4得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 2．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B.] 3. 函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x 是 ( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数答案 D解析 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋142－98.显然有最大值又有最小值,而且在R 上有f (－x )＝f (x ),所以正确答案为D.4.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ,则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x 的图象的一条对称轴方程是 ( ) A.x ＝5π6 B.x ＝2π3 C.x ＝π3 D.x ＝π6解析：f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以当x ＝5π6时,f (x )＝23cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝－2 3. 5.[2014·江苏]已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是________. 答案：π6 [解析]将x ＝π3分别代入两个函数,得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12,解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z ),化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z ).又φ∈[0,π),故φ＝π6. 6．(2017·重庆二次适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，π3B.⎝⎛⎭⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎫π6，2π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 A [依题意得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π6，π3，故选A.] 7．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意； D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．] 8.[2014·天津]已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0),x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3C.πD.2π 答案： C [解析]∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1,∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12,∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z ),则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3,∴ω＝2,∴T ＝π. 9.设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0),y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间.解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2,k ∈Z , ∴φ＝k π＋π4,k ∈Z , 又－π<φ<0,则－54<k <－14,k ∈Z . ∴k ＝－1,则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4, 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π,k ∈Z , 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π,k ∈Z , 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π,k ∈Z .10.(2016全国I 理)已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点,π4x =为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在π5π()1836，单调,则ω的最大值为 A.11 B.9 C.7 D.5【答案】B11.[2017天津理]设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π= 【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.。
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题二 第一讲 三角函数的图象与性质 含解析 精品
专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质高考导航 三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题．2．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质.1．(2016·四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向左平行移动π6个单位长度 D ．向右平行移动π6个单位长度[解析] 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度即可，故选D.[答案] D2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减[解析] f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫83π＋π3＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝－cos π2＝0，故C 正确；由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上不单调，故D 错误．[答案] D3．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，又∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1.∴当cos x ＝32时，f (x )有最大值，最大值为1. [答案] 14．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin2x ＝2sin x cos x 得 f (x )＝－cos2x －3sin2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．考点一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式 1．三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (其中r ＝x 2＋y 2)．2．诱导公式(1)sin(2k π＋α)＝sin α(k ∈Z )，cos(2k π＋α)＝cos α(k ∈Z )，tan(2k π＋α)＝tan α(k ∈Z )．(2)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝＝tan α. (3)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. (4)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.(5)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. 3．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin x cos x .[对点训练]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( ) A ．－15 B.15 C.25 D ．－25 [解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝－15.[答案] A2．已知P (sin40°，－cos140°)为锐角α终边上的点，则α＝( ) A ．40° B ．50° C ．70° D ．80°[解析] ∵P (sin40°，－cos140°)为角α终边上的点，因而tan α＝－cos140°sin40°＝－cos (90°＋50°)sin (90°－50°)＝sin50°cos50°＝tan50°，又α为锐角，则α＝50°，故选B.[答案] B3．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13[解析] 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，可解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010.[答案] C4．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________. [解析] 因为1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.[答案] sin θ－cos θ利用诱导公式进行化简求值的3步利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其三步骤记为：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．【易错提醒】 “奇变偶不变，符号看象限”，把角看作“k ·π2＋α，k ∈Z ”的形式．考点二 三角函数的图象与解析式1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．2．两种图象变换[解] (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.[探究追问] (1)在本例中将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0改为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＝3，其余条件不变，求ω的值．(2)本例中将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0改为若函数图象上相邻两个对称中心之间的距离为π2，其余条件不变，求ω的值．(3)本例中将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0改为若函数图象上最高点与最低点距离的最小值为π24＋12，其余条件不变，求ω的值．(4)设函数g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，g (x )≥m 恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)由题意得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝3可得，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ωπ12－π3＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ωπ12－π3＝1，所以5ωπ12－π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝245k ＋2，k ∈Z . 因为0<ω<3，所以ω＝2. (2)由题意得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3， 因为相邻两个对称中心之间的距离为π2， 所以函数的周期T ＝2×π2＝π，所以ω＝2πT ＝2.(3)由题意得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3， 所以函数f (x )的最大值为3，最小值为－3，不妨设最高点A (x 1，3)，最低点B (x 2，－3)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(23)2＝(x 1－x 2)2＋12. 由题意知|AB |的最小值为π24＋12，所以|x 1－x 2|≥π2，所以函数的周期T ＝2×π2＝π，所以ω＝2πT ＝2.(4)由[典例1]可知，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值为－32，所以m ≤－32.(1)此类题目是三角函数问题中的典型题型，该题综合考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换、由三角函数值求参数、三角函数图象的变换、三角函数在指定区间上的最值等，考查运算求解能力、逻辑推理能力以及转化与化归思想、应用意识等。
第三章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质 2018届高考数学(理)总复习课件
)
A． 2 或 0 C． 0
B．－2 或 2 D．－2 或 0
π π 解析：(1)y＝2cos x－ －1＝cos2x－ ＝sin 2x 为奇函数， 4 2
减．
π (1)函数 y＝2cos x－ －1 是( 4
2
)
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 π C．最小正周期为 的奇函数 2 π D．最小正周期为 的偶函数 2
(2)(2016· 吉林实验中学二模 )函数 f(x)＝ 2sin(ωx＋ φ)(ω＞ 0)对任
π π π 5π 当 0≤2x－ ≤ ，即 ≤x≤ 时，f(x)单调递增， 3 2 6 12 π π 5π 2π 当 ≤2x－ ≤π，即 ≤x≤ 时，f(x)单调递减． 2 3 12 3
π 5π 5π 2π 上单调递增；在 上单调递 综上可知，f(x)在 ， ， 6 12 12 3
π 1 3 由 2kπ＜πx＋ ＜2kπ＋π，得 2k－ ＜x＜2k＋ ，k∈Z， 4 4 4
1 3 ∴f(x)的单调递减区间为 2k－ 4，2k＋ 4，k∈ Z.
答案：D
【真题探源】 真题与人教 A 版必修 4 第 71 页第 8 题第(1)小题 都是求余弦函数的单调递减区间， 只是延伸题目条件， 由直接给出解 析式改为利用函数图象求出解析式． 《人教 A 版· 必修 4》P71B 组 T8： π (1)函数 y＝3cos(2x－ )，x∈R 在什么区间上是减函数？ 3 π (2)函数 y＝sin(－3x＋ )，x∈R 在什么区间上是增函数？ 4
π (2015· 重庆卷)已知函数 f(x)＝sin －x sin x－ 3cos2x. 2
2018届高考数学二轮复习(理)专题三 三角函数 3.1 三角函数的图象与性质 新课标 课件
2π 3
,
则下面结论正确的是( ) A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得 到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 C2
6 π
B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得 到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线 C2
π 1 π
π
曲线C C y=cos x=sin ������ + 2 C1 上各点的横坐 1 的方程可化为 .把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 ,再把得
3.1
三角函数的图象与性质
-2-
试题统计 (2013 全国Ⅰ,理 15) (2014 全国Ⅰ,理 6) (2015 全国Ⅰ,理 8) (2016 全国Ⅰ,理 12) (2016 全国Ⅱ,理 7) (2016 全国Ⅲ,理 14) (2017 全国Ⅰ,理 9) (2017 全国Ⅲ,理 6)
题型
选择 题 填空 题
-9-
命题热点一
������1 ������2 对点训练 2 定义行列式运算 ������ ������ =a1a4-a2a3,将函数 3 4 π sin2 ������ 3 f(x)= 的图象向左平移 个单位,以下是所得函数图象的 6 cos2������ 1 一个对称中心的是( )
π
π
6
π
1
关闭
解析
答案
-8-
命题热点一
命题热点二
命题热点三
命题热点四
题后反思1.平移变换理论 (1)平移变换: ①沿x轴平移,按“左加右减”法则; ②沿y轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换: 1 ①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 ������ 倍 (纵坐标y不变); ②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的A倍 (横坐标x不变). 2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公 式化为同名函数再平移.
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：3-1三角函数 精品
【回顾】 三角恒等变换是核心，要灵活运用同角三角函数 间的基本关系，两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式等．
1．(2016·唐山期末)在△ABC 中，AB＝2AC＝2，AD 是 BC 边上的中线，记∠CAD＝α，∠BAD＝β.
(1)求 sinα∶sinβ； (2)若 tanα＝sin∠BAC，求 BC.
最小正周期 T＝ 2 ＝π.(6 分)
(2)列表：
ππ 2x＋ 6 6
π 2
π
3π 2
2π 13π 6
x
0 π 5π 2π 11π π
6 12 3 12
f(x) 1 2 0 －2 0
1 (9 分)
画图如下：
(12 分)
【回顾】 (1)列表．(2)描点连线． 要注意：列表时对于所给区间与周期的关系要明确；画图时， 要用平滑的曲线结合三角函数图像的走势来描点连线．力争使图 像给人以美观、舒服的感觉，而不是生硬的味道．
kπ π 3π 令 2 ＋θ＋12＝ 4 ，k∈Z，
kπ 2π 解得 θ＝－ 2 ＋ 3 ，k∈Z.(11 分)
π 由 θ>0 可知，当 k＝1 时，θ取得最小值 6 .(12 分)
【回顾】 (1)求角时要注意角与值(函数值)之间是一对一， 还是二对一．
(2)图像变换规律： 伸缩：横坐标变为原来的ω倍，则 x→ωx.纵坐标亦如此． 平移：正减负加．向 x 轴正方向平移 2 个单位，x→x－2； 向 y 轴正方向平移 2 个单位，y→y－2.向 x 轴负方向平移 2 个单 位，x→x＋2，向 y 轴负方向平移 2 个单位，y→y＋2.
【审题】 先“化一”(即化成一个角的三角函数)，根据 f(α) ＝2，求 α；根据图像变换规律进行变换；图像关于直线对称，即 函数在该处取得最值．
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-11热点1 热点2 热点3 热点4
对点训练 2 将函数 y=2sin 2������ 所得图象对应的函数为( A.y=2sin 2������ C.y=2sin
π + 4
π + 6
1 的图象向右平移 个周期后, 4
) B.y=2sin 2������
π + 3
π 2������4
D.y=2sin
例 3 函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图
象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 ( ) A. ������π- ,������π +
1 4 1 4 3 4
,k∈ Z
3 4
B. 2������π- ,2������π + C.
1 ������- ,������ 4 3 + 4
,k∈ Z D.
π 2�π 4
解析： 由已知周期 T=π,右移 T= 后得 y=2sin 2 ������π 6
+
=2sin 2������-
π 3
的图象,故选 D.
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由三角函数的图象求其解析式
【思考】 依据三角函数图象求其解析式的基本方法是什么?
A.f(x)图象的一条对称轴是 B.f(x)在区间
π π - , 3 6
π x= 2
上单调递增
C.f(x)是最小正周期为 π 的奇函数 D.将函数 y=2sin 2x 象
π 的图象向左平移 个单位得到函数 6
f(x)的图
-5-
答案： B
解析： 由题意,f(x)=2 3sin xcos x+cos 2x = 3sin 2x+cos 2x=2sin 2������ + 当 x= 时,f 当 x∈ - ,
专题三
三角函数
3.1
三角函数的图象与性质
-3热点1 热点2 热点3 热点4
三角函数的性质 【思考1】 求三角函数周期、单调区间的一般思路? 【思考2】 求某区间上三角函数最值的一般思路?
-4热点1 热点2 热点3 热点4
例 1 已知函数 f(x)=2
下列结论正确的是( )
3sin(π-x)cos x-1+2cos2x,其中 x∈R,则
=
3 时,f(x)取得最小值,即 4
=cos
3π 4
+ ������ =-1,
π 4
解得
3π +φ=2kπ+π(k∈Z), 4 π 4
解得 φ=2kπ+ (k∈Z).
π 4
令 k=0,得 φ= ,所以 f(x)=cos π������ + 令 2kπ≤πx+ ≤2kπ+π(k∈Z), 所以函数 f(x)=cos π������ + 结合选项知选 D.
≠-f(x),则 f(x)不是奇函数,故 C 错;
π 6
将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位得到函数 f(x)=2sin 2 ������ +
π 6
=2sin 2������ +
π 3
,故选项 D 错.
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题后反思 1.求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角
函数的奇偶性,往往是在其定义域内,先对三角函数解析式进行恒等 变形,把三角函数式化简成 y=Asin(ωx+φ)的形式,再求解.求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把 ω 化为正数. 2.对于形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数,要通过引入辅助 角化为 y= ������2 + ������ 2 sin(ωx+φ) cos������ = 来求解.
1 2������- ,2������ 4 3 + 4
,k∈ Z
,k∈Z
-14-
答案： D
解析： 不妨设 ω>0,由函数图象可知,其周期为 T=2×
2π =2,解得 ������ 5 1 4 4
=2,所以 +
5 4
ω=π. 所以 f(x)=cos(πx+φ). 由图象可知,当 x= f
3 4
1 1 2 4
个单位长度得到.
-9-
答案：
π 3
π 3
解析： 因为 y=sin x- 3cos x=2sin ������-
,
所以函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向右
π 平移 个单位长度得到. 3
-10热点1 热点2 热点3 热点4
题后反思 1.平移变换理论
(1)平移变换:
������ ������2 +������2
,sin φ=
������ ������2 +������2
的形式
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对点训练 1(2017 全国Ⅱ,文 3)函数 f(x)=sin 2������ 的最小正周期为( A.4π ) B. 2 π C .π
π + 3
π D. 2
①沿 x 轴平移,按“左加右减”法则; ②沿 y 轴平移,按“上加下减”法则.
(2)伸缩变换:
1
①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的������
倍(纵坐标 y 不变);
②沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的 A
倍(横坐标 x 不变). 2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导 公式化为同名函数再平移.
π 2 π 2 π 6
,
=2sin π + 时,2x∈ π 6
π 6
=-1,不是 f(x)的最值,故选项 A 错; , 2������ +
π 6 π 6
π π 3 6
2π π , 3 3
∈ - ,
π π 2 2
,故选项 B 正确;
f(-x)=2sin -2������ +
=-2sin 2������-
π 4 π 4
.
1 4 3 4
解得 2k- ≤x≤2k+ (k∈Z).
1 4 3 4
的单调递减区间为 2������- ,2������ +
(k∈Z).
-15热点1 热点2 热点3 热点4
题后反思 1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,
用待定系数法求解.由图中的最大值或最小值确定 A,由周期确定 ω, 由图象上特殊点的坐标来确定 φ,只有限定 φ 的取值范围,才能得出 唯一解,否则 φ 的值不确定,解析式也就不唯一. 2.将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中 的哪一个点.例如,正弦型函数的图象中的“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可.
答案：C
解析： 由题意可知最小正周期 T= =π,故选 C.
2π 2
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三角函数图象的变换
【思考】 对三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象进行了平移或伸
缩变换后,其对应的解析式发生了怎样的变化?
例 2 函数 y=sin x至少向右平移
3cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象