2017-2018学年北京市昌平区八年级上期末数学试卷(含答案)

2017-2018学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A. B. C. D.2.的相反数是（）A. B. C. D.3.如图，已知∠ACD=60°，∠B=20°，那么∠A的度数是（）A. B. C. D.4.下列卡通动物简笔画图案中，属于轴对称图形的是（）A. B.C. D.5.用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-5=0，配方正确的是（）A. B. C. D.6.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB=3．以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点P的位置在数轴上（）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间7.如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为（）A. B.C. D.8.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一点，则DE+BE的最小值为（）A. 2B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．10.若分式的值为0，则x的值为______．11.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”．已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了______米的草坪，只为少走______米的路．12.计算+|-|=______．13.在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC=5，CD=2，那么AD=______．14.小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为______．15.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，如图所示，AB为Rt△ABC的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3，AC=4，则图中空白部分的面积是______．16.阅读下面计算+++…+的过程，然后填空．解：∵=（-），=（-），…，=（-），∴+++…+=（-）+（-）+（-）+…+（-）=（-+-+-+…+-）=（-）=．以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：（1）+=______；（2）当+++…+x=时，最后一项x=______．三、计算题（本大题共2小题，共11.0分）17.解方程：-=1．18.已知：关于x的一元二次方程x2-（2m+3）x+m2+3m+2=0．（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．四、解答题（本大题共10小题，共57.0分）19.计算：2÷×．20.如图，已知△ABC．（1）画出△ABC的高AD；（2）尺规作出△ABC的角平分线BE（要求保留作图痕迹，不用证明）．21.计算：-．22.解方程：x2-4x=1．23.已知：如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF=DC，BC∥FE，∠A=∠D．求证：AB=DE．24.先化简，再求值：÷-，其中x=．25.列方程解应用题．为促进学生健康成长，切实提高学生健康水平，某校为各班用400元购进若干体育用品，接着又用450元购进第二批体育用品，已知第二批所购体育用品数是第一批所购体育用品数的1.5倍，且每件体育用品的进价比第一批的进价少5元，求第一批体育用品每件的进价是多少？26.如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数．27.已知：关于x的方程mx2-3（m+1）x+2m+3=0 （m≠0）．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含m的式子表示）；（3）若m为整数，当m取何值时方程的两个根均为正整数？28.在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD是△ABC的高，P是线段AC（不包括端点A，C）上一动点，以DP为一腰，D为直角顶点（D、P、E三点逆时针）作等腰直角△DPE，连接AE．（1）如图1，点P在运动过程中，∠EAD=______，写出PC和AE的数量关系；（2）如图2，连接BE．如果AB=4，CP=，求出此时BE的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意，得x+3≠0，解得x≠-3，故选：C．根据分式的分母不等于零，可得答案．本题考查了分是有意义的条件，利用分母不等于零得出不等式是解题关键．2.【答案】B【解析】解：的相反数是-，故选：B．根据相反数的意义，可得答案．本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．3.【答案】A【解析】解：∵∠ACD=60°，∠B=20°，∴∠A=∠ACD-∠B=60°-20°=40°，故选：A．根据三角形的外角性质解答即可．此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．4.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.【答案】D【解析】解：∵x2-2x-5=0，∴x2-2x=5，则x2-2x+1=5+1，即（x-1）2=6，故选：D．常数项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤．6.【答案】C【解析】解：由勾股定理得，OB=，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选：C．利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，故选：B．根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，列出方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．8.【答案】C【解析】解：作B关于AC的对称点B'，连接B′D，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，∵AB=AB'，∴△ABB'为等边三角形，∴BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，∴最小值为B'到AB的距离=AC=，故选：C．作B关于AC的对称点B'，连接B′D，易求∠ABB'=60°，则AB=AB'，且△ABB'为等边三角形，BE+DE=DE+EB'为B'与直线AB之间的连接线段，其最小值为B'到AB的距离=AC=，所以最小值为．本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．9.【答案】x≤3【解析】解：由题意得，3-x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．10.【答案】2【解析】解：由分式的值为零的条件得，由2x-4=0，得x=2，由x+1≠0，得x≠-1．综上，得x=2，即x的值为2．故答案为：2．根据分式的值为零的条件可以得到，从而求出x的值．本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．11.【答案】50 20【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB=40米，BC=30米，∴AC==50，30+40-50=20，∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．故答案为50，20根据勾股定理求出AC即可解决问题．本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．12.【答案】3【解析】解：原式=2+=3，故答案为：3原式利用二次根式性质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．此题考查了实数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．13.【答案】3【解析】解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD=BD，∵BC=5，CD=2，∴BD=AD=BC-DC=5-2=3．故答案为：3．直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．此题主要考查了基本作图，正确得出MN垂直平分AB是解题关键．14.【答案】三角形具有稳定性【解析】解：用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性．直接利用三角形具有稳定性得出答案． 此题主要考查了三角形的稳定性，正确把握三角形具有稳定性是解题关键． 15.【答案】60【解析】解：如图，在 Rt△ABC 中，BC=3，AC=4，则根据勾股定理得到 AB==5．延长 CB 交 FH 于 O， ∵四边形 ABGM，APQC，BCDE 均为正方形， ，BC∥DE， ∴BG=AB=GM，∠ACB=∠ABG=∠F=∠H=∠MGB=90° ， ∴∠BOG=∠F=90° CAB+ ABC=90° -90° =90° ，∠ABC+∠GBO=180° ， ∴∠ ∠ ∴∠CAB=∠GBO， 在△ACB 和△BOG 中， ， ∴△ACB≌△BOG（AAS）， ∴AC=OB=4，OG=BC=3， 同理可证△MHG≌△GOB， ∴MH=OG=3，HG=OB=4， ∴FR=4+3+4=11，FH=3+3+4=10， ∴S 空白=S 长方形 HFRN-S 正方形 BCDE-S 正方形 ACQP-S 正方形 ABGM =11× 10-3× 3-4× 4-5× 5=60， 故答案为：60． 根据勾股定理求出 AB，求出△ACB≌△BOG≌△GHM，求出 AC=OB=HG=4，BC=OG=MH=3，分别 求出长方形 FHNR，正方形 BCDE，正方形 ACQP，正方形 ABGM 的面积，即可求出答案． 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出长方形 HFRN 的边长．16.【答案】【解析】解：（1）+= × （ - ）+ × （ - ） = × （ - + - ） = × （ - ） = × = ， 故答案为： ；（2）设 x= 则 + +， +…+ = ）= ， ，× （1- + - + - +…+ × （11= = ， ）= ， ，则 2n+1=13， 解得：n=6， ∴x= 故答案为： （1）由 （2）设 x= 从而得出答案． 本题主要考查数字的变化规律、解一元一次方程，解题的关键是掌握裂项求和的能力和解一元一 次方程的技能． 17.【答案】解：去分母得：x2-2x+2=x2-x，解得：x=2， 检验：当 x=2 时，方程左右两边相等，， ． + = × （ - ）+ × （ - ）= × （ - + - ）计算可得； ，得 + + +…+ = ，裂项求和得出 n 的值，所以 x=2 是原方程的解． 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 18.【答案】解：（1）∵x=2 是方程的一个根，2 ∴4-2（2m+3）+m +3m+2=0， ∴m=0 或 m=1； 2 （2）∵△=（2m+3） -4（m2+3m+2）=1， =1；∴x= ∴x1=m+2，x2=m+1， ∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根， ∴AC=m+2，AB=m+1． ∵BC= ，△ABC 是等腰三角形， ∴当 AB=BC 时，有 m+1= ， ∴m= -1； 当 AC=BC 时，有 m+2= ， ∴m= -2， 综上所述，当 m= -1 或 m= -2 时，△ABC 是等腰三角形． 【解析】2 2 （1）把 x=2 代入方程 x -（2m+3）x+m +3m+2=0 得到关于 m 的一元二次方程，然后解关于 m 的方程即可； （2）先计算出判别式，再利用求根公式得到 x1=m+2，x2=m+1，则 AC=m+2，AB=m+1．然后讨论： 当 AB=BC 时，有 m+1= ；当 AC=BC 时，有 m+2= ，再分别解关于 m 的一次方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解．也考查了等腰三角形的判定． 19.【答案】解：原式=4=8× 3 =24 ． 【解析】 ÷ × 3直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案． 此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．20.【答案】解：（1）如图，AD 即为△ABC 的高．（2）如图，BE 即为△ABC 的角平分线． 【解析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图可得； （2）根据角平分线的尺规作图可得． 本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线及角平分线的 尺规作图． 21.【答案】解：原式== = = = ． -【解析】先通分变成同分母的分式，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可． 本题考查了分式的加减法，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键，注意：结果化成最简分式 或整式． 22.【答案】解：配方得 x2-4x+4=1+4，2 即（x-2） =5， 开方得 x-2=± ， ∴x1=2+ ，x2=2- ． 【解析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：2 （1）形如 x +px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．2 2 （2）形如 ax +bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x +px+q=0，然后配方．23.【答案】证明：∵BC∥FE，∴∠BCA=∠DFE． ∵AF=DC， ∴AF+FC=DC+CF． ∴AC=DF． 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． ∴AB=DE． 【解析】根据已知条件得出△ABC≌△DEF，即可得出 AB=DE． 本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据平行线的性质和全等三 角形的判定解答． 24.【答案】解：原式== = = = 当 x= 原式= 【解析】 时， • • -根据分式的运算法则即可求出答案． 本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 25.【答案】解：设第一批体育用品每件的进价是 x 元．根据题意，得 1.5× = ，解之，得 x=20． 经检验，x=20 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义． 答：第一批体育用品每件的进价是 20 元． 【解析】设第一批体育用品每件的进价是 x 元，则第一批进的数量是：件，第二批进的数量是：件，1.5 可得方程． 再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量× 1.5 列方 本题考查了分式方程的应用． 关键是根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量× 程． 26.【答案】证明：（1）在 Rt△ABE 与 Rt△CBF 中，， ∴△ABE≌△CBF（HL）． （2）∵△ABE≌△CBF， ∴∠BAE=∠BCF=20° ； ∵AB=BC，∠ABC=90° ， ∴∠ACB=45° ， ACF =65° ∴∠ ． 【解析】（1）运用 HL 定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题． （2）证明∠BAE=∠BCF=25° ；求出∠ACB=45° ，即可解决问题． 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系 是解题的关键． 27.【答案】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴△=[-3（m+1）] -4m（2m+3）=0， 2 ∴（m+3） =0， ∴m1=m2=-3． 2 （2）∵mx -3（m+1）x+2m+3=0，即[mx-（2m+3）]（x-1）=0， 解得：x1=1，x2= （3）∵x1=1、x2= ∴ =1、-1 或 3． 当 =1 时，m=3， 当 =-1 时，m=-3， 当 =3 时，m=1． ． =2+ 均为正整数，且 m 为整数，2∴当 m 取 1、3 或-3 时，方程的两个根均为正整数． 【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论； （3）根据（2）的结论结合方程的两个根均为正整数，即可得出 的值，解之即可得出 m 的值．本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）牢记 “当△=0 时，方程有两个相等的实数根”；（2）利用因式分解法解方程；（3）根据（2）的结论结合方程 的解为正整数，找出关于 m 的分式方程． 28.【答案】45°【解析】解：（1）PC=AE， ， ∵∠EDP=∠ADC=90° ， ∴∠ADE+∠ADP=∠ADP+∠CDP=90° ∴∠ADE=∠CDP， 在△ADE 与△CDP 中 ∴△ADE≌△CDP（SAS）， ，PC=AE； ∴∠EAD=∠PCD=45° 故答案为：45° ； （2）如图 2，∵CD⊥AB， ． ∴∠ADC=90° BAC=45° ， ∵∠ ∴AD=DC． ， ∵△DEP 是等腰直角三角形，∠EDP=90° ，DE=DP． ∴∠DEP=∠DPE=45° ， ∵∠EDP=∠ADC=90° ∴∠EDP-∠ADP=∠ADC-∠ADP． ∴∠EDA=∠PDC． ∴△EDA≌△PDC．（SAS）， ， ∴AE=PC= ∠EAD=∠ACD=45° 过点 E 作 EF⊥AB 于 F． ∴在 Rt△AEF 中，利用勾股定理，可得 EF=AF=1， ∵AB=4， ∴BF=AB-AF=3． ∴BE= = ． ，（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DEP=∠DPE=45° ，DE=DP．根据全等三角形的性质得到 AE=PC= ，过点 E 作 EF⊥AB 于 F．根据勾股定理即可得到结论． ∠EAD=∠ACD=45°本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三 角形的性质是解题的关键．。