2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.11.1.3导数的几何意义新人教A版选修2-2
2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义课件1 新人教B版选修2-2
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
o
点P处的割线与切线存在什么关系？
x
结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处的切线PT.
y
y=f(x)
割
线 Pn
T 切线
P
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
定位置的直线PT称为点P处的切线.
割线与切线的斜率有何关系呢？
当堂检测: 导学案第 6页 当堂检测
分层作业: （1）已知曲线 y x2 1 ，求过点(2,3)的曲线 的切线方程。
（2）已知曲线 y x2 1 ，求过点(3,1)的曲线 的切线方程。
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 k切线 f (x0 ) .
应用----求曲线的切线方程
曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f ( x0 ) f ( x0)( x x0 )
例1：求抛物线 y x2 在（1,1）的切线的斜
率。
变式训练：过抛物线 y x2 的点 P0 处的切线 的平行直线 y x 4，求 P0点坐标。
例2、求曲线 y 1 在点
x
2, 1 2
的切线方程。
例3、求抛物线
y x2
过点
P(
5 2
,6)
的切线方程。
课堂小结: 本节课你的收获是什么? 1、曲线在某一点处导数的几何意义； 2、求曲线的切线方程的步骤； 3、无限逼近的极限思想和数形结合的思想
k PQ
2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义课件6 新人教B版选修2-2
t 单 位: min 变 化 的 0.6
函 数 图 象.根 据 图 象, 0.5 0.4
估 计 t 0.2,0.4,0.6. 0.3
0.8 min 时, 血 管 中 药 0.2
物 浓 度 的 瞬 时 变 化 0.1
0
率 精 确到0.1.
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.1.3 导数的几何意义
回顾旧知
函数 y f x在x x0 处的瞬时变化率是:
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
我们称它为函数 y f x在x x0处的导数，
记作 f ' (x0 ) 或 y' xx0 即是说，
f
' (x0 )
lim
x0
y x
lim
即当△x无限趋近于0时, kn无限趋近于点 P(x0, f (x0 ))处的斜率.
例1:求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 : k lim f ( x0 x) f ( x0 ) Nhomakorabeax0
x
yQ
(1 x)2 1 (1 1)
lim
x0
x
y = x 2+1
2x (x)2
即点P处的切线的斜率等于4.
-2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例2:如图,它表示跳水运 h 动中高度随时间变化的
函数 ht 4.9t2 6.5t 10
的图象.根据图象,请描述
比较曲线 ht 在t0 , t1 , t2
附近的变化情况.
O
(全国通用版)2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义
知识点二 导函数
思考 已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同.
f1＋Δx－f1
答案 f′(1)＝lim Δx→0
Δx
＝2.
fx＋Δx－fx
f′(x)＝ lim Δx→0
Δx
＝2x，
f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数.
梳理 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化
时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝ f(x) 在点P处 的切线.
(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处
fx0＋Δx－fx0
的切线的斜率k，即k＝
f′(x0) ＝
lim
Δx→0
Δx
.
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为____y－__f_(_x_0)_＝___ __f_′__(x_0_)_(x_－__x_0_) _.
规律与方法
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k Δl＝ixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)， 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个 函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x ＝x0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在 曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不 在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
2017_2018版高中数学第一章导数及其应用1_3_3导数的实际应用学案新人教B版选修2_2
∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，Lmin＝64，现在堆料场的长为 ＝32(米)．
探讨点二 利润最大问题
例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造本钱是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.那么瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
(2)确信概念域，必然要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．
(3)求最值，此处尽可能利用导数法求出函数的最值．
(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如下图的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使周围空白面积最小？
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
因此当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，因此它是最小值．
答 汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解 当速度为x千米/不时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝ ×
＝ x2＋ － (0<x≤120)，
h′(x)＝ － ＝ (0<x≤120)．
2017-2018版高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义 新人教B版选修2-2(1)
类型二 求切点坐标 例3 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线 互相平行，求x0的值.
解答
引申探究 1.若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.
解 ∵k1＝ y x＝ x0 ＝2x0，k2＝ y x＝ x0 ＝－3x20.
又曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直， ∴2x0·(－3x20)＝－1，
解得
3
x0＝
36 6.
解答
2.若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程. 解 由例 3 知 x0＝0 或－23. 当x0＝0时，两条平行的切线方程为y＝－1或y＝1. 当 x0＝－23时，曲线 y＝x2－1 的切线方程为 12x＋9y＋13＝0. 曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0. ∴所求两条平行的切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与 36x＋27y－11＝0.
解析 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上， 各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A 满足.
解析 答案
当堂训练
1.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则
√A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
√ D.1
解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于(4,0)，
与y轴交于(0,4)，
则可知l：x＋y＝4，
∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.
12345
解析 答案
4.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为 __(3_,_3_0_)__. 解析 设点 P(x0,2x20＋4x0). 则 f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0 ＝Δlixm→02Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4， 令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1_3导数在研究函数中的作用1_3_2极大值与极小值
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
因此f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值．
极值的综合应用
[例3] 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
1．观看以下图中的函数图象，发觉函数图象在点P处从左侧到右边由“上升”变成“下降”(函数由单调递增变成单调递减)，这时在点P周围，点P的位置最高，亦即f(x1)比它周围点的函数值都要大，咱们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．
2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．
3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
[精解详析] (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的概念域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x转变时，f′(x)与f(x)的转变情形如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)f′(x)＋0－0
＋
f(x)
极大值10
极小值－22
1．函数f(x)的概念域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图，那么函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值．
解析：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；
在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.
2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1_3导数在研究函数中的作用1_3_3最大值与最小值
1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值别离为M，m.那么M－m＝________.
解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.
计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，因此M＝24，m＝－8，故M－m＝32.
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
0
－
f(x)
－60
极大值4
极小值3
极大值4
－5
因此当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.
[一点通] 求函数的最值需要注意的问题：
(1)用导数求函数的最值与求函数的极值方式类似，在给定区间是闭区间时，极值要和区间端点的函数值进行比较，而且要注意取极值的点是不是在区间内；
h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的转变情形如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)Βιβλιοθήκη 28－43由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；
当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.
最大值是相对函数概念域整体而言的，若是存在最大值，那么最大值惟一．
高中数学第1章导数及其应用1.1.3导数的几何意义讲义新人教B版选修2_2
1.1.3 导数的几何意义导数的几何意义 1．割线的斜率已知y ＝f (x )图象上两点A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))，过A ，B 两点割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．2．导数的几何意义曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)的几何意义为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同． ( )(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．( )[解析] (1)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f (x )＝x 12，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f ′(x )＝12x，其定义域为(0，＋∞)．(2)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个．(3)错．函数f (x )＝0为常数函数，其导数f ′(x )＝0，并不是没有导数． [答案] (1)× (2)× (3)×2．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则f ′(2)等于( ) A ．1B ．－1C ．－3D ．3[解析] 由题意知f ′(2)＝3. [答案] D3．已知函数f (x )在x 0处的导数为f ′(x 0)＝1，则函数f (x )在x 0处切线的倾斜角为__________．[解析] 设切线的倾斜角为α，则tan α＝f ′(x 0)＝1，又α∈[0°，180°)， ∴α＝45°. [答案] 45°(1)求曲线C 在横坐标为x ＝1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？[思路探究] (1)先求切点坐标，再求y ′，最后利用导数的几何意义写出切线方程． (2)将切线方程与曲线C 的方程联立求解．[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点P (1,1)．y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0(1＋Δx )3－1Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.∴k ＝3.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8，从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直线的切线方程为x ＝x 0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．1．若函数f (x )在点A (1,2)处的导数是－1，那么过点A 的切线方程是__________． [解析] 切线的斜率为k ＝－1．∴点A (1,2)处的切线方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. [答案] x ＋y －3＝0(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? [思路探究] 设点的坐标→求出在该点处的导数 →利用条件建立方程→求出点的坐标 [解] 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)．1．本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．2．根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0，得切点坐标．1．若函数y ＝f (x )在点x 0处的导数存在，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？提示：区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数． 联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值． 【例3】 已知曲线f (x )＝1x.(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[思路探究] (1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程．[解] (1)f ′(x )＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1xΔx＝lim Δx →0 －1(x ＋Δx )x＝－1x 2.设过点A (1,0)的切线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，①则f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x在切线上， 所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，②解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ， 由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－33. 故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)， 即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．2．求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程．[解] 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2＋1－(a 2＋1)Δx ＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22).1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[解析] 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．[答案] A2．曲线y ＝12x 2－2在点x ＝1处的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°[解析] ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx＝lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴切线的斜率为1，倾斜角为45°. [答案] B3．曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．[解析] f ′(－2)＝lim Δx →0f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.[答案] x ＋2y ＋4＝04．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“＜”或“＞”)．[解析] f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率，由图象可得f ′(a )＞f ′(b )．[答案] ＞5．已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5，因此切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， a 的值为12127或－5.。
2017_2018学年高中数学第一章导数及其应用1_2导数的运算1_2_1常见函数的导数教学案苏教版
1．对公式y＝xn的明白得：
(1)y＝xn中，x为自变量，n为常数；
(2)它的导数等于指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积．公式中n∈Q，对n∈R也成立．
2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：
(1)关于公式(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx，一要注意函数的转变，二要注意符号的转变．
(2)y′＝(2x)′＝2xln 2；
(3)y′＝(x )′＝ x ；
(4)∵y＝2cos2 －1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.
7．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：∵y′＝(x2)′＝2x，
设切点为M(x0，y0)，那么当x＝x0时，y′＝2x0.
答案：－sinx
2．以下结论中不正确的选项是________．
①若y＝3，那么y′＝0；
② ′＝cos ；
③ ′＝ ；
④若y＝x，那么y′＝1.
解析：①正确；②sin ＝ ，而( )′＝0，不正确；关于③， ′＝(－x－ )′＝ x－ ＝ ，正确；④正确．
答案：②
3．求以下函数的导函数．
(1)y＝10x；(2)y＝log x；
解析：∵f′(x)＝( )′＝(x )′＝ x－ ，
∴f′(1)＝ .
答案：
5．假设函数f(x)＝sinx，那么f′(6π)＝________.
解析：∵f′(x)＝(sinx)′＝cosx.
∴f′(6π)＝cos 6π＝1.
答案：1
6．已知f(x)＝ 且f′(1)＝－ ，求n.
高中数学第1章导数及其应用1.1.3导数的几何意义新人教B2新人教B数学教案
1.1.3 导数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1．理解导数的几何意义．(重点)2．能应用导数的几何意义解决相关问题．(难点)3．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)1．通过导数的几何意义的学习，培养学生的数学抽象、直观想象素养．2．借助于求曲线的切线方程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.导数的几何意义 1．割线的斜率已知y ＝f (x )图象上两点A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))，过A ，B 两点割线的斜率是Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．2．导数的几何意义曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)的几何意义为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．( )(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(3)函数f (x )＝0没有导函数．( )[解析] (1)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f (x )＝x 12，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f ′(x )＝12x ，其定义域为(0，＋∞)．(2)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个． (3)错．函数f (x )＝0为常数函数，其导数f ′(x )＝0，并不是没有导数．[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则f ′(2)等于( )A ．1B ．－1C ．－3D ．3[解析] 由题意知f ′(2)＝3. [答案] D3．已知函数f (x )在x 0处的导数为f ′(x 0)＝1，则函数f (x )在x 0处切线的倾斜角为__________．[解析] 设切线的倾斜角为α，则tan α＝f ′(x 0)＝1，又α∈[0°，180°)， ∴α＝45°. [答案] 45°求曲线在某点处切线的方程【例1】 已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 在横坐标为x ＝1的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？ [思路探究] (1)先求切点坐标，再求y ′，最后利用导数的几何意义写出切线方程．(2)将切线方程与曲线C 的方程联立求解．[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点P (1,1)． y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0 1＋Δx3－1Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.∴k ＝3.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8，从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤(1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．1．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是__________．[解析]切线的斜率为k＝－1．∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.[答案]x＋y－3＝0求切点坐标(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?[思路探究]设点的坐标→求出在该点处的导数→利用条件建立方程→求出点的坐标[解]设切点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.∴f ′(x 0)＝lim Δx →0 (4x 0＋2Δx )＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)．处的导数，进而求出切点的横坐标．2．根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0，得切点坐标．求曲线过某点的切线方程1．若函数y ＝f (x )在点x 0处的导数存在，则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？ 提示：区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值．【例3】 已知曲线f (x )＝1x.(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[思路探究] (1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程．[解] (1)f ′(x )＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1xΔx＝lim Δx →0 －1x ＋Δxx＝－1x2.设过点A (1,0)的切线的切点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，①则f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0在切线上，所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，②解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a ，由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以切点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3，－33.故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)，即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0. 1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．2．求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程．[解] 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f a ＋Δx －f a Δx＝a ＋Δx2＋1－a 2＋1Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，a 2＋1－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22).1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[解析] 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．[答案] A2．曲线y ＝12x 2－2在点x ＝1处的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°[解析] ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →0 12x ＋Δx2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx＝lim Δx →012Δx 2＋x ·ΔxΔx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x .∴切线的斜率为1，倾斜角为45°. [答案] B3．曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．[解析] f ′(－2)＝lim Δx →0 f －2＋Δx －f －2Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.[答案] x ＋2y ＋4＝04．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“＜”或“＞”)．[解析] f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率，由图象可得f ′(a )＞f ′(b )．[答案] ＞5．已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值．[解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx3－2x ＋Δx 2＋3－x 3－2x 2＋3Δx＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)．当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5，因此切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)，a 的值为12127或－5.。