人教版《组合数的性质》课件(共22张PPT)
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组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
的选择方式？
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
组合数的性质
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3
数学课件：1.2.2.2 组合数的两个性质
知识拓展 要注意C������������+1 = C������������ + C������������-1的顺用、逆用、变形应用. 顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则是“合二为一”;还可变形为
C������������-1 = C������������+1 − C������������ ,为某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意 灵活运用.
(1)只有一名女生; (2)两名队长都当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选.
(2)证明:C���0��� + C���1���+1 + C���2���+2+…+C������������+-1������-1 = C������������+-1������ .
分析(1)解答的突破口在“C������������ = C���2��������� ”,因为等号两边是下标相同 的两个组合数,所以由组合数的性质 1 可得 y=2y 或 y=x-2y.(2)证明
反思 (1)若C������������ = C������������ ,则 x=y 或 x+y=n. (2)对于第(2)小题,证明的关键是要能看出C���0��� = C���0���+1=1.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
组合应用题
【例2】 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、 女生各指定一名队长.现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有 多少种选法?
∴x=15.
∴方程组的解为
������ ������
= =
15, 5.
题型一 题型二 题型三 题型四
C������������-1 = C������������+1 − C������������ ,为某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意 灵活运用.
(1)只有一名女生; (2)两名队长都当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选.
(2)证明:C���0��� + C���1���+1 + C���2���+2+…+C������������+-1������-1 = C������������+-1������ .
分析(1)解答的突破口在“C������������ = C���2��������� ”,因为等号两边是下标相同 的两个组合数,所以由组合数的性质 1 可得 y=2y 或 y=x-2y.(2)证明
反思 (1)若C������������ = C������������ ,则 x=y 或 x+y=n. (2)对于第(2)小题,证明的关键是要能看出C���0��� = C���0���+1=1.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
组合应用题
【例2】 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、 女生各指定一名队长.现从中选5人主持某项活动,依下列条件各有 多少种选法?
∴x=15.
∴方程组的解为
������ ������
= =
15, 5.
题型一 题型二 题型三 题型四
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
课件1：3.1.3 第1课时 组合与组合数、组合数的性质
5．已知 C5n－C4n＝C6n－C5n，求 C1n2的值．
[解] 由已知得 2C5n＝C4n＋C6n， 所以 2·5！nn！－5！＝4！nn！－4！＋6！nn！－6！， 整理得 n2－21n＋98＝0， 解得 n＝7 或 n＝14， 要求 C1n2的值，故 n≥12， 所以 n＝14，于是 C1124＝91.
|情境导学探新知|
情境导入 高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化 学、生物这 6 大科目是选考的，如果考生任选 3 科作为 自己的考试科目，那么选考的组合方式一共有多少种可 能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又 分别有几种？
新知初探 1．组合的概念 一般地，从 n 个不同对象中取出 m(m≤n)个对象并成一组， 称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个组合．
【答案】A
D．4
3．从 9 名学生中选出 3 名参加“希望英语”口语比赛， 有______种不同的选法． 【解析】由题意可知共有 C39＝93× ×82× ×71＝84 种． 【答案】84
4．6 个朋友聚会，每两人握手 1 次，一共握手______次．
【解析】每两人握手 1 次，无顺序之分，是组合问题， 故一共握手 C26＝15 次． 【答案】15
必备素养
排列与组合的相同点与不同点
名称
排列
组合
相同点 都是从 n 个不同元素中取 m(m≤n)个元素，元素无重复
1.排列与顺序有关；
1.组合与顺序无关；
2．两个排列相同，当且
不同点
2．两个组合相同，当且仅当
仅当这两个排列的元素
这两个组合的元素完全相同
及其排列顺序完全相同
联系
Amn ＝Cmn Amm
组合数的性质及应用 课件(53张)
(2)性质 2 的正用、逆用及变形使用： 正用时是“合二为一”，逆用时则是将组合数 Cmn＋＋11拆为两个； 性质 2 还可变形为 Cmn ＋1＝Cmn＋＋11－Cmn ，在一些题目中可简化求和．
1．若 Cx6＝C26，则 x 的值为(
A．2
B．4
C．0
) D．2 或 4
D [由 Cx6＝C26可知 x＝2 或 x＝6－2＝4．故选 D．]
[解] (1)分步：首先从 4 名内科专家中任选 2 名，有 C24种选法， 再从除内科专家的 6 人中选取 4 人，有 C46种选法，所以共有 C24·C46＝ 90(种)抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法． 法一：按选取的内科专家的人数分类： ①选 2 名内科专家，共有 C24·C46种选法； ②选 3 名内科专家，共有 C34·C36种选法； ③选 4 名内科专家，共有 C44·C26种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽 调方法．
(5)这是部分均匀不编号分组问题． 同(2)中思路，第一步共 C59C24C22种放法． 这次同样不是平均分配，但恰有 2 个箱子装的书本数一样，因此 是“局部平均”，也会出现重复的分法，重复的是同样装着 2 本书的 2 个箱子的排列顺序，因此应除以这 2 个箱子的全排列数，即 C59C24C22÷A22 ＝378． 故共有 378 种不同的分配方法．
[解]
(1)
原
式
＝
C
3 8
＋
C
2100 ×1
＝
83××72××61＋1020××199＝
56
＋
4
950＝5
006．
(2)原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×6＋52××41＝32． (3)原式＝C1n＋1·C1n＝(n＋1)n＝n2＋n．
组合与组合数公式课件
关系
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
《组合性质的应用》课件
组合性质的应用
组合数是一个重要的数学概念，它的应用极为广泛。在本PPT中，我们将探讨 组合数的定义、性质、应用和实践，并且深入研究组合数在各个领域中的具 体应用。
什么是组合数？
组合数是指从n个不同元素中取出k个元素的方案数，表示为C(n,k)。它是组合计数中的重要概念， 是一类常用的离散数学工具。
如在8x8的国际象棋棋盘上放置8 个皇后，使它们互不攻击的方案 数是多少？
理论证明
如证明1+2+3+...+n等差数列的 和公式为n(n+1)/2？
基于组合数的算法设计
如构造高效的字符串匹配算法、 图像识别算法等。
组合数的实践
组合数的计算方法、应用案例分析和实际问题求解等都是组合数的实践部分。
1 组合数的计算方法
3
恒等式
4
C(n,0)² + C(n,1)² + ... + C(n,n)² = C(2n,n)
对称性
C(n,k) = C(n,n-k)
递推关系
C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)
组合数的应用
组合数在各个领域中有着广泛的应用，如特殊问题求解、理论证明和算法设计等。
特殊问题求解
如杨辉三角求解、计算机 程序实现等。
2 应用案例分析
如股票组合投资、人员安 排、任务调度等。
3 实际问题求解
如人群统计、公共政策制 定、资源分配等。
总结
组合数是一种重要的数学概念，在各个领域中都有着广泛的应用，掌握组合数的知识是非常必要 的。
组合数的重要性
组合数是理解和应用组合计数的基础和核心。
组合数的广泛应用
组合数在计算机科学、信号处理、物理学等多个领域中都有着广泛的应用。
组合数是一个重要的数学概念，它的应用极为广泛。在本PPT中，我们将探讨 组合数的定义、性质、应用和实践，并且深入研究组合数在各个领域中的具 体应用。
什么是组合数？
组合数是指从n个不同元素中取出k个元素的方案数，表示为C(n,k)。它是组合计数中的重要概念， 是一类常用的离散数学工具。
如在8x8的国际象棋棋盘上放置8 个皇后，使它们互不攻击的方案 数是多少？
理论证明
如证明1+2+3+...+n等差数列的 和公式为n(n+1)/2？
基于组合数的算法设计
如构造高效的字符串匹配算法、 图像识别算法等。
组合数的实践
组合数的计算方法、应用案例分析和实际问题求解等都是组合数的实践部分。
1 组合数的计算方法
3
恒等式
4
C(n,0)² + C(n,1)² + ... + C(n,n)² = C(2n,n)
对称性
C(n,k) = C(n,n-k)
递推关系
C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)
组合数的应用
组合数在各个领域中有着广泛的应用，如特殊问题求解、理论证明和算法设计等。
特殊问题求解
如杨辉三角求解、计算机 程序实现等。
2 应用案例分析
如股票组合投资、人员安 排、任务调度等。
3 实际问题求解
如人群统计、公共政策制 定、资源分配等。
总结
组合数是一种重要的数学概念，在各个领域中都有着广泛的应用，掌握组合数的知识是非常必要 的。
组合数的重要性
组合数是理解和应用组合计数的基础和核心。
组合数的广泛应用
组合数在计算机科学、信号处理、物理学等多个领域中都有着广泛的应用。
组合数的两个性质20页PPT
是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
数学课件：1.2.2.2 组合数的两个性质
解析:C11C552·C0315 = 37.
答案:37
1234 5
5.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同
一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数
是
.
解析:第一类,每级最多站一人,则有A37种站法;第二类,有一级台阶站 2 人,另一级台阶站 1 人,则有C32 ·A27种,故共有A37 + C32 ·A27=336(种).
【做一做 1-1】 若C225������ = C2������5+4,则 x 的值是( ) A.4 B.7 C.4或7 D.无解 解析:由题意可知,2x=x+4或2x+(x+4)=25, 解得x=4或x=7. 答案:C
【做一做 1-2】 C19000 − C9899等于(
A. C18090
B. C9990
知识拓展 要注意C������������+1 = C������������ + C������������-1的顺用、逆用、变形应用. 顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则是“合二为一”;还可变形为
C������������-1 = C������������+1 − C������������ ,为某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意 灵活运用.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四 易错辨析
【例4】 从1~9这九个数字中,取出5个数字作排列,并把五个位置 自右至左编号,则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个?
错解:从 1,3,5,7,9 五个奇数数字中取 3 个排列在奇数位置上,有 A35种方法,再由 2,4,6,8 四个偶数数字取 2 个排列在偶数位置上,有 A24种方法,故符合题意的排列共有A35 ·A24=720(个).
6.2.4组合数课件(人教版)
因此， + − = − = − =
+
7. 计算： −
+
解：由题意可得
又
≥ −
+ ≥
解得
≤≤
∈ +
,得n=10
− ∈
+ ∈ +
(3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
解：(1) 所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以
抽法种数为
100 99 98
3
C100
3 21
161700.
1
(2) 从2件次品中抽出1件的抽法有C2 种，从98件合格品中抽出2件的抽
2
法有C 98
种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
解：（1）从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法：
红球3个，红球2个和白球1个，
当取红球3个时，取法有1种；
当取红球2个和白球1个时，取法有 = 种；
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有1+12=13种.
10.男运动员6名，女运动员4名，其中男､女队长各1名.现选派5人外出参加
比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
解：分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有 种选法；
第二步，选2名女运动员，有 种选法，
由分步乘法计数原理可得，共有 = 种选法.
抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产
新教材人教a版选择性必修第三册第六章623第2课时组合数的性质课件4
解 既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医 生去 1 人、2 人、3 人、4 人，有 C16C44＋C26C34＋C36C24＋C46C14＝246(种)选派 方法. 若从反面考虑，则有 C510－C56＝246(种)选派方法.
反思感悟 在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的 运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.C44＋C45＋C46＋C47＋C48＋C49等于
A.C410
√B.C510
C.C610
D.A410
解析 因为 Cmn ＋Cmn ＋1＝Cmn＋＋11， 所以 C44＋C45＋C46＋C47＋C48＋C49＝C55＋C45＋C46＋C47＋C48＋C49 ＝C56＋C46＋C47＋C48＋C49＝C57＋C47＋C48＋C49 ＝C58＋C48＋C49＝C59＋C49＝C510.
延伸探究 若将式子换成“C34＋C35＋C36＋…＋C32 022”，则其值为多少？
解 C34＋C35＋C36＋…＋C32 022＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 022－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 022－1 … ＝C42 022＋C32 022－1＝C42 023－1.
反思感悟 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明. 应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个， 逆用则是“合二为一”，使用变形 Cmn －1＝Cmn＋1－Cnm ，为某些项前后抵消 提供了方便，在解题中要注意灵活应用.
8.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成 员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽 样，则此考察团的组成的方法种数是__2_1_0_0___. 解析 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从 10 名男性中抽取 4 人，5 名女性中抽取 2 人，共有 C410C25＝2 100(种)抽法.
反思感悟 在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的 运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.C44＋C45＋C46＋C47＋C48＋C49等于
A.C410
√B.C510
C.C610
D.A410
解析 因为 Cmn ＋Cmn ＋1＝Cmn＋＋11， 所以 C44＋C45＋C46＋C47＋C48＋C49＝C55＋C45＋C46＋C47＋C48＋C49 ＝C56＋C46＋C47＋C48＋C49＝C57＋C47＋C48＋C49 ＝C58＋C48＋C49＝C59＋C49＝C510.
延伸探究 若将式子换成“C34＋C35＋C36＋…＋C32 022”，则其值为多少？
解 C34＋C35＋C36＋…＋C32 022＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 022－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 022－1 … ＝C42 022＋C32 022－1＝C42 023－1.
反思感悟 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明. 应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个， 逆用则是“合二为一”，使用变形 Cmn －1＝Cmn＋1－Cnm ，为某些项前后抵消 提供了方便，在解题中要注意灵活应用.
8.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成 员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽 样，则此考察团的组成的方法种数是__2_1_0_0___. 解析 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从 10 名男性中抽取 4 人，5 名女性中抽取 2 人，共有 C410C25＝2 100(种)抽法.
高二数学组合数的性质课件(通用)
设这n+1个不同元素为：
a1,a2,a3an1 性质2
Cn m 1Cn mCn m1
方法一：直接取 方法二：分类取
第一类：含有 a 1 第二类：不含 a 1
性质2
C n m 1C n mC n m 1
C n m C n m 1m !(n n !m ) !(m 1 )(n n !! m 1 )!
素的组合数为 C
m n
，再由加法原理，得
性质2 C CC m m m 1
n1
n
n
再试身手
1、化简（用
C
m n
形式表示）
C C ① 90
89
99
99
CC 1 90 0 1 10 00 0
变式一：c120005 c29004
C 10 2004
变式二：C19000 C9899
CC
99 0 9 99 9
③
C3 100
归纳：
④
C 100 100
当MN时,利用这个公式
2
可以使CNM计算简化
重新启航
C ①我们从 a,b,c,d,e,f 这6个城市中选3个的选法，
3 6
有几种？
C ②如果选中的3个城市中含有城市a的有几种选法？
2 5
C ③如果选中的3个城市中不含有城市a的有几种选法？
3 5
C63 C52 C53
n!(nm1)n!m (nm1m)n!
m!(nm1)!
m!(n1m)!
(n1)!
m!(n1)m !
Cm n1
例题
1.若 Cn6Cn5,则 Cn 10_______
2.解方 :C 1x0 程 C 1 3x0 2
组合数的两个性质PPT课件
第18页/共22页
教材分析
3、 重、难点
重点：组合数的两个性质的发现、证明及应用。 难点：组合数两个性质的理解及灵活应用。
为了突出重点，突破难点，在性质的研究 过程中，根据学生的认知特点，以具体实例引 入，引导学生发现问题、提出问题，启发学生 思考、猜想、论证，经历不断地从具体到抽象、 从特殊到一般的概括活动逐步理解和掌握这两 个性质。
–
m
)
!
∴
m
Cn =
n-m
Cn
第5页/共22页
性质1： Cnm
=
n-m
Cn
1、 我们规定：Cn0 = 1
2、 等式特点：等式两边下标相同，
上标之和等于下标．
3、 此性质作用：当m>n/2时，计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCnm
可变为
n-
Cmn
计算，能够使运
算简化．
4、当Cnx = Cyn 时，则x=y或x+y=n
（x, y, n为自然数）
第6页/共22页
探索：一个口袋内装有大不小相相同同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C38=8×7×6/3！=56 （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，
有多少种取法？ C27= 7×6/2！=21
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有
多少种取法？
C37=7×6×5/3！=35
学生活动：
1、讲台上放一个口袋，里面装有大小相同的7个白球和1个黑 球，选部分同学上来从中任意摸出3个球，记录结果. (2种)
2、请学生翻开教材101页，思考：为什么书上的答案与我们 实验的结果不符？问题出在哪里？
发现?！ C83 = C27 + C37
教材分析
3、 重、难点
重点：组合数的两个性质的发现、证明及应用。 难点：组合数两个性质的理解及灵活应用。
为了突出重点，突破难点，在性质的研究 过程中，根据学生的认知特点，以具体实例引 入，引导学生发现问题、提出问题，启发学生 思考、猜想、论证，经历不断地从具体到抽象、 从特殊到一般的概括活动逐步理解和掌握这两 个性质。
–
m
)
!
∴
m
Cn =
n-m
Cn
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性质1： Cnm
=
n-m
Cn
1、 我们规定：Cn0 = 1
2、 等式特点：等式两边下标相同，
上标之和等于下标．
3、 此性质作用：当m>n/2时，计算
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCnm
可变为
n-
Cmn
计算，能够使运
算简化．
4、当Cnx = Cyn 时，则x=y或x+y=n
（x, y, n为自然数）
第6页/共22页
探索：一个口袋内装有大不小相相同同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C38=8×7×6/3！=56 （2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，
有多少种取法？ C27= 7×6/2！=21
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有
多少种取法？
C37=7×6×5/3！=35
学生活动：
1、讲台上放一个口袋，里面装有大小相同的7个白球和1个黑 球，选部分同学上来从中任意摸出3个球，记录结果. (2种)
2、请学生翻开教材101页，思考：为什么书上的答案与我们 实验的结果不符？问题出在哪里？
发现?！ C83 = C27 + C37
【精品】PPT课件 组合数的两个性质PPT共24页
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
【精品】PPT课件 组合数的两个性质
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 谢谢你的阅读
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
【精品】PPT课件 组合数的两个性质
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
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性质2：(2)
Cm n1
Cnm
C m1 n
说明：
1.原理：从n+1个不同元素中取出m个元素的组合等于取 到元素a1的组合数与未取到元素a1的组合数之和.
组合数的两个性质
(1)Cnm
C n-m n
(2)Cnm1
Cnm
C m1 n
练习
1.已知 C1x0
C 3x6 10
，则
x
3或4
；
2.若 Cn8 Cn2 ，则 n
10
；
3.计算： C82 C83 C92
120
；
变式： C33 C43 C53 C130 330
4.解不等式： Cmm4
C m6 m1
C6 m1
(4)
有限制条件的组合问题
例1.在一次数学竞赛中，某学校有12人 通过了初试，学校要从中选出5人参加市 级培训.在下列条件下，各有多少种不同 的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有一人参加.
排列
联系
组合
组合是选择的结果； 排列是先选择后再排序的结果
组合的概念 组合数公式 组合数性质
1.组合公式
（1）
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
（2）
Cnm
n! m!(n m)!
2.组合数的性质
性质1:
Cm n
C nm n
性质2
:
Cm n1
Cm n
C m1 n
人教A版选修2-3 第一章
1.2.2 组合
第二课时 组合数的性质
复习巩固
1.组合的定义: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合．
2.组合数的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
例2.在产品检验时,常从产品中抽出一部 分进行检查.现在从100件产品中任意抽 出3件:
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)如果100件产品中有2件次品,抽出的3 件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
课堂小结
一、知识小结
二、方法小结
1.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续 过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；
2.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合 理分类）和间接法（排除法）.
3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用 排除法或分类解决；
3.排列组合的关系：
A C A m n
m m
n
m
4.组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
组合数公式的阶乘形式:
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
新课讲授 组合数的两个性质
性质1：(1)
Cnm
C nm n
说明：
1.原理：从n个不同元素中取出m个元素的组合与剩下的 n-m个 元素的组合一一对应.