北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(理科)试题Word版含解析
北京海淀区2019高三上年末考试试题--数学(理)word版
北京海淀区2019高三上年末考试试题--数学（理）word版数 学〔理〕2018.01【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 〔1〕复数52i=+ ( ) 〔A 〕2i - 〔B 〕21i 55+ 〔C 〕105i - 〔D 〕105i 33- 〔2〕如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF〔A 〕1123AB AD -〔B 〕1142AB AD +〔C 〕1132AB DA +〔D 〕1223AB AD -〔3〕假设数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，那么数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是〔A 〕6 〔B 〕7 〔C 〕8 〔D 〕9 〔4〕平面α，β，直线l ，假设αβ^，l αβ=，那么〔A 〕垂直于平面β的平面一定平行于平面α 〔B 〕垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α 〔C 〕垂直于平面β的平面一定平行于直线l 〔D 〕垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直〔5〕函数()sin(2)(,)f x A x A ϕϕ=+?R 的部分图象如下图，那么(0)f = 〔 〕〔A 〕12-〔B〕2- 〔C 〕1- 〔D〕-〔6〕执行如下图的程序框图，输出的i 值为开始i=1,s=0 s=s+2 i -1ii= i +1〔 〕〔A 〕5 〔B 〕6 〔C 〕7 〔D 〕8〔A 〕()f x 既不是奇函数也不是偶函数〔B 〕()f x 在[,0]π-上恰有一个零点〔C 〕()f x 是周期函数〔D 〕()f x 在(,2π5π)6上是增函数〔8〕点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是〔〕 〔A 〕圆〔B 〕椭圆〔C 〕双曲线的一支〔D 〕直线【二】填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在题中横线上.〔9〕51)的展开式中2x 的系数是.〔用数字作答〕〔10〕假设实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+-?ïïï--?íïï+-?ïïî那么2z x y =+的最大值为.〔11〕抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为.〔12〕甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温〔单位：C °〕用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.22(1)2x y -+=，过点〔13〕圆C ：(1,0)A -的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，那么直线l 的方程为.〔14〕正三棱柱'''ABC A B C -的正〔主〕视图和侧〔左〕视图如下图.设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度〔x 可以取到任意一个实数〕，对应的俯视图的面积为()S x ，那么函数()S x 的最大值为；最小正周期为.8,3π说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.【三】解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值13分〕在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，sin B =. 〔Ⅰ〕求cos A 及sin C 的值；甲城市乙城市 9 08 7 7 3 1 2 4 72 2 0 4 7侧（左）视图正（主）视图〔Ⅱ〕假设2b =，求ABC ∆的面积. (16)〔本小题总分值13分〕为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. 〔Ⅰ〕求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；〔Ⅱ〕假设决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望. (17)〔本小题总分值14分〕在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ??，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .〔Ⅰ〕求证：AB ^平面PBC ；〔Ⅱ〕求平面PAD 和平面BCP 所成二面角〔小于90°〕的大小； 〔Ⅲ〕在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？假设存在，求PMPB的值；假设不存在，请说明理由. (18)〔本小题总分值13分〕函数2()e ()xf x x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；〔Ⅱ〕假设存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)〔本小题总分值14分〕焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为2,Q 为椭圆C 的左顶点. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的标准方程；〔Ⅱ〕过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.〔ⅰ〕假设直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;〔ⅱ〕假设直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由. (20)〔本小题总分值14分〕集合{1,2,3,,}(*)M n n =?N ，假设集合12{,,,}(*)m A a a a M m=臀N ，且对任意的b M Î，存在,(1)i j a a A i jm 危＃，使得12i j b a a λλ=+〔其中12,{1,0,1}λλ?〕，那么称集合A 为集合M 的一个m 元基底.〔Ⅰ〕分别判断以下集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由； ①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；PABC D②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.〔Ⅱ〕假设集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n +?； 〔Ⅲ〕假设集合A 为集合{1,2,3,,19}M =的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准2018、01一. 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 题号 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 〔5〕 〔6〕 〔7〕 〔8〕 答案 A D B D C ABD二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 〔9〕5〔10〕7〔11〕54〔12〕乙，乙〔13〕1)y x =+或1)y x =-+〔14〕8；3π注：〔13〕题正确答出一种情况给3分，全对给5分；〔12〕、〔14〕题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 〔15〕〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为2A B =，所以2cos cos 212sin A B B ==-.………………………………………2分因为sin B =， 所以11cos 1233A =-?.………………………………………3分 由题意可知，(0,)2B πÎ.所以cos B =.………………………………………5分因为sin sin 22sin cos A B B B ===.………………………………………6分 所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=.………………………………………8分〔Ⅱ〕因为sin sin b aB A=，2b =，………………………………………10分3=.所以3a =.………………………………………11分所以1sin 29ABC S ab C ∆==.………………………………………13分 (16)〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，那么()23!15!10P A ⨯==.………………………………………4分 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.………………………………………5分〔Ⅱ〕随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3.………………………………………6分()24!205!5P X ⨯===， ()323!315!10P X ⨯⨯===，()22!32!125!5P X ⨯⨯⨯===，()23!135!10P X ⨯===.………………………………………10分因为01231510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以随机变量X 的数学期望为1.………………………………………13分 (17)〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为90ABC ??，所以AB BC ⊥.………………………………………1分因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB Ì平面ABCD ，所以AB ^平面PBC .………………………………………3分 〔Ⅱ〕解：取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB PC =，所以PO BC ⊥.因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC平面ABCD BC =，PO Ì平面PBC ，所以PO ^平面ABCD .………………………………………4分如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直 线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -、不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,DP =-，(2,1,0)DA =. 设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为0,0.DP DAìï?ïíï?ïîm m所以(,,)(1,0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ìï?=ïíï?ïî即0,20.x y x y ìï-+=ïíï+=ïî 令1x =，那么2, y z =-=-所以(1,2,=--m .………………………………………7分取平面BCP 的一个法向量n ()0,1,0=.所以cos ,2⋅==m n m n m n . 所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角〔小于90°〕的大小为4π. ………………………………………9分〔Ⅲ〕解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB =.理由如 下：………………………………………10分 取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN . 那么MN ∥PA ，12AN AB =. 因为2AB CD =， 所以AN CD =. 因为AB ∥CD ，NMPABCD所以四边形ANCD 是平行四边形. 所以CN ∥AD . 因为, MNCN N PA AD A ==，所以平面MNC ∥平面PAD .………………………………………13分 因为CM Ì平面MNC ，所以CM ∥平面PAD .………………………………………14分 (18)〔本小题总分值13分〕解：(Ⅰ)由2()e ()xf x x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++.………………………………………2分当1a =时,(1)e f =,'(1)4e f =.………………………………………4分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()e 4e 1y x -=-， 即4e 3e y x =-.………………………………………5分 〔Ⅱ〕令2'()e ((2))0xf x x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =.………………………………………6分当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数.所以方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根.………………………………………8分当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为2((2))ea f a +-+=. ………………………………………10分因为函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数， 且当x a ≥-时，有()f x e ()aa a -≥->-.………………………………………11分 所以要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]e a a a ++-.……………………………………13分 (19)〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，2c a =.………………………………………2分 所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……………………………………3分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . 〔ⅰ〕当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-. 由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即6464(,), (,)5555A B ---〔不妨设点A 在x 轴上方〕.………………………………………5分那么直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为1AQ BQ k k ⋅=-， 所以AQ BQ ^. 所以2AQB π∠=.………………………………………6分 〔ⅱ〕当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.21222122240,25100144100.25100k x x kk x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………8分 因为1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116()5y k x =+，226()5y k x =+， 所以1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k k k k k k k -=+++-++=++.所以QA QB ⊥.所以QAB ∆为直角三角形.………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，那么QA QB =取AB 的中点M ，连接QM ，那么QM AB ^.记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x k k x k k +==-=-++，所以点M 的纵坐标266()5520M M k y k x k=+=+. 所以222221016666(,)(,)520520520520k k kQM NMk k k k +??++++ 222601320(520)k k +=?+. 所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………………………………………13分(20)〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底.理由是1212315(,{1,0,1})λλλλ棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底. 理由是11213,21203,30213=-??????，41212,51213,61313=??????.………………………………………3分 〔Ⅱ〕不妨设12m a a a <<<，那么形如10i j a a ??(1)ij m ＃?的正整数共有m 个； 形如11i i a a ??(1)i m ＃的正整数共有m 个；形如11ij a a ??(1)ij m ??的正整数至多有2mC 个； 形如(1)1i j a a -??(1)ij m ??的正整数至多有2mC 个. 又集合{1,2,3,,}M n =含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.故22m m m m C C n +++?，即(1)m m n +?.………………………………………8分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知(1)19m m +?，所以4m ³.当4m =时，(1)191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个.* 假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M =的一个4元基底，不妨设1234a a a a <<<，那么410a ³. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，那么由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，那么16a =或5.易知{6,7,9,10}A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19}M =的4元基底，矛盾.当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾. 当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5.………………………………………14分。
北京市海淀区2019年高三上学期期末理科
得iXl,0,0), ^(0,0,73 ),D(0, ->/3,0),B(0, >/3,0)10分
设平而AAjD的法向量为11】=(比，y】，Z])
Jiij • A/\ = 0
[珂•AD = 0
・・・M = (-1A5/3), AD = (-1,-V3,
D
C
第II卷（非选择题共110分）
2分〉
9. x' + y—Zx(1,C
10. 180
12.<ep<
13.®④
填空题（本大题共6小题•毎小题5分.共30分有两空的题目，第一空3分.第二空
11.5
A
2 + -(k>l)
4・4[ k
2k+ 3 (0 <k< 1)
解：（I） f（x）=cos（2x-y）-cos2x
10
1
3
（I）如果选手甲以在A、B区投篮得分的期塑高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选 择哪个区投篮？
（II）求选于•甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率.
17.（本小题满分14分）
如图，棱柱ABCD—dBjC]Di的所有棱长都为2,AUDBD = O,侧棱A&与底面ABCD的所成角为60。，AO丄平面ABCD, F为DC】的中点.
方法二：
（I）设选手甲在A区投篮的得分为歹，则歹的可能取值为0.2, 4,
所以§的分布列为
g
0
2
4
P
1
18
81
100
100
100
•••EM = 3・63分
同理•设选手甲在B区投篮的得分为〃.则〃的可能取值为0.3,6. 9.
2018-2019北京市海淀区高三第一学期期末数学(理科)试卷
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科） 2019.01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）()0 （C ） (,)-10 （D ）(,)-40 （2）已知向量(,),(,)t ==201a b ，且||⋅=a b a ，则,a b 的夹角大小为 （A ）π6 （B ）π4 （C ）π3 （D ）5π12（3）已知等差数列{}n a 满足12a =，公差d ≠0，且125,,a a a 成等比数列，则d = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（A ）0 （B ）12±（C ）1± （D ）2（5）以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）12 （6）已知函数()ln af x x x=+ ，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞1 上存在零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 （A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域相同（B ）若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数g()x 的零点（C ）把函数()f x 的图象向右平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 （D ）函数()f x 和g()x 在区间ππ(,)44-上都是增函数（8）已知集合{(,)|150,150,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N . 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B ∈∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）25 （B ）49 （C ）75 （D ）99第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019届北京市海淀区高三上学期期末考试数学理试题 答案
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. A5. C6. C7.C8. D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 22(1)4x y -+= 10. 24 11. 2 12. 013.三、解答题15．解： π()2f a = 所以π(2f 因为0a >（Ⅱ）因为f 设sin ,t x = 所以22y t =其对称轴为4t =- 当14at =-<-，即 4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4at =-时函数取得最小值218a -- 16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C ===(P ()E Y 所以P17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCD DH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD所以 DH AD ⊥ 又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD又DH ⊥以D 所以(,D0因为AD ⊥设平面因为DP =u u u r 所以y x ⎧-⎪⎨+⎪⎩2令2z = 所以cos <由题知B PD C --为锐角，所以B PD C -- （Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点而MC PC ，设BF =33,)22-+因为PC ，所以(0,3,MF PC μμ==所以有120λ-=18因为a 2（Ⅱ）法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+1y y + 所以 |AB ==因为k ≤20法二：设11(,A x y 当直线l 是当直线l 所以x x t y ⎧+⎪⎨⎪=-⎩22228160t ∆=-> ，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y - 所以|'|AB因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ====-+因为t >22，所以|'|AB ∈19所以f 当a =所以f 曲线y因为f 得x 1当a >所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22 因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=22，令'()f x =0得当设()xxF x -=e 2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:,,)n y ，，所以(i i x x ， n x ++ n y ++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，n n n αβ*≥-=. 当22α=所以α*的最小值为2n当n 所以 α* 当22α=1122(1,1,,1,0,0,,0)n n -+时，满足12n β-*=. 所以α*的最小值为12n - 综上：α12n β-*=.（Ⅲ）S 设集合S 记1S ={}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素 0i j x x ==11 / 11212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为 1n αβ*≥-，所以 ,i j y y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++ 记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素， 对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠ 记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
2019届北京市海淀区高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2019届北京市海淀区高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．双曲线的左焦点的坐标为( )A．(-2,0) B．C．D．【答案】A【解析】先根据方程求出，再求出焦点坐标.【详解】由题意可知焦点在x轴上，，即，所以选A.【点睛】本题主要考查双曲线的方程及焦点坐标.确定焦点坐标的要素有两个：一是确定焦点的位置；二是求出的值.2．已知向量满足，且，则的夹角大小为A．B．C．D．【答案】B【解析】利用数量积和模长的关系先求出，再利用夹角公式求出夹角.【详解】,所以可得，，所以的夹角大小为.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和夹角.题目较为简单，熟记向量的坐标表示是求解关键.3．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】先用公差表示出，结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列，所以，解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.4．直线被圆截得的弦长为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】利用圆的弦的性质，通过勾股定理求出.【详解】圆心为，半径为；圆心到直线的距离为，因为弦长为2，所以，解得，故选A.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，利用弦长求解参数.直线和圆相交弦长问题，一般通过勾股定理来建立等式.5．以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A．6 B．7 C．8 D．12【答案】C【解析】画出图形，观察可得.【详解】如图，观察可得选项C.【点睛】本题主要考查作图能力和直观想象能力，学生往往忽视动手操作能力.6．已知函数，则“”是“函数在区间上存在零点”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】把函数拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当时，作出的图像，可以看出时，函数在区间上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.7．已知函数，是的导函数，则下列结论中错误的是A．函数的值域与的值域相同B．若是函数的极值点，则是函数的零点C．把函数的图像向右平移个单位，就可以得到函数的图像D．函数和在区间上都是增函数【答案】C【解析】先求出的导数，结合解析式的特点来判断.【详解】，所以选项A正确；由极值点定义可知选项B正确；把的图像向右平移个单位，得到与不相等；故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质.三角函数的图像变换主要平移方向和系数的影响. 8．已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为A．25 B．49 C．75 D．99【答案】D【解析】先分析集合元素的特点，通过列举可得.【详解】当或的值较小时，集合B中元素个数最多，即共有99个元素.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，抓住集合元素的特点是求解的关键.二、填空题9．以抛物线的焦点为圆心，且与其准线相切的圆的方程为_______________.【答案】【解析】先确定圆心，再根据题意求出圆的半径即可.【详解】因为抛物线的焦点为，所以圆心为；抛物线的准线为，所以可得圆的半径为2，所以圆的方程为.【点睛】本题主要考查抛物线的性质和圆的方程.圆的方程求解有直接法和待定系数法等. 10．执行如下图所示的程序框图，当输入的M值为15，n值为4 时，输出的S值为_____________.【答案】【解析】根据框图的逐步推演可得结果.【详解】第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：，此时，输出的值为24.【点睛】本题主要考查程序框图的求值问题.一般处理思路是根据框图的结构，进行实际运算，注意循环体结束的条件.11．某三棱锥的三视图如下图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为___________，__________.【答案】【解析】利用三视图把几何体还原，结合几何体的结构特征求解.【详解】把三视图还原，可得几何体，如图易知为最长的棱，长为；为最短的棱，长为2.【点睛】本题主要考查三视图.这类问题一般求解思路是先通过三视图，还原出几何体，再结合几何体的特征求解.12．设关于的不等式组表示的平面区域为，若中有且仅有两个点在内，则的最大值为______．【答案】0【解析】先画出平面区域，结合点的位置求解.【详解】如图，直线符合题意，此时.【点睛】本题主要考查线性约束条件表示的平面区域.利用不等式准确表示出区域是求解关键.13．在 ABC中，，且，则_______.【答案】【解析】先利用正弦定理化边为角，结合倍角公式求出，从而求出.【详解】因为，所以；，解得（舍），；所以，解得，由,所以，故为锐角，所以.【点睛】本题主要考查求解三角形.三角形求解一般是利用边角关系进行转化，三角恒等变换也会经常使用.14．正方体的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面上，且平面.（Ⅰ）当点M与点C重合时，线段AP的长度为_______；（Ⅱ）线段AP长度的最小值为_______.【答案】【解析】（Ⅰ）当点M与点C重合时，可以得到点与点重合，从而可得的长度；（Ⅱ）利用线面垂直得到等量关系，结合二次函数求解最值.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设则,.因为平面，所以, .（Ⅰ）当点M与点C重合时,, ,此时的长度为；（Ⅱ）.【点睛】本题主要考查空间中的垂直关系及动线段的长度问题.动点引发的长度变化，要寻求其中不变的关系式，综合运用其他知识求解.三、解答题15．已知函数，其中（Ⅰ）比较和的大小；（Ⅱ）求函数在区间的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，最小值,当时，最小值. 【解析】（Ⅰ）代入直接比较大小即可；（Ⅱ）利用诱导公式和倍角公式化简，利用二次函数求解最值.【详解】（Ⅰ）因为所以因为，所以，所以（Ⅱ）因为设，所以所以其对称轴为当，即时，在时函数取得最小值当，即时，在时函数取得最小值【点睛】本题主要考查三角函数的性质.三角函数的性质问题处理方法为：先利用公式把目标函数式化为基本类型，再结合类型特征求解.16．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取3人，设表示这3人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据以往培训数据，规定当时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）所以可以认为此次冰雪培训活动有效.【解析】（Ⅰ）利用古典概率的求解方法求解；（Ⅱ）先求的所有可能的值，再求解分布列和期望；（Ⅲ）先求，再根据结果判断.【详解】（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件由茎叶图中的数据可以知道，名同学中，有名同学考核优秀所以所求概率约为（Ⅱ）的所有可能取值为因为成绩的学生共有人，其中满足的学生有人所以，，随机变量的分布列为（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有个所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效.【点睛】本题主要考查实际生活背景下的概率统计问题，侧重统计图表的识别和概率的求解.分布列和期望求解时，注意随机变量取值的确定及对应概率求解.17．在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）利用平面和平面垂直得到线面垂直；（Ⅱ）利用空间向量求解法向量，从而计算出二面角；（Ⅲ）利用反证法或者向量求解.【详解】（Ⅰ）在平面中过点作，交于因为平面平面平面平面平面所以平面因为平面所以又，且所以平面（Ⅱ）因为平面，所以又，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系所以，因为平面，所以取平面的法向量为设平面的法向量为因为，所以所以令，则，所以所以由题知为锐角，所以的余弦值为（Ⅲ）法一：假设棱上存在点，使得，显然与点不同所以四点共面于所以，所以，所以就是点确定的平面，所以这与为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证法二：假设棱上存在点，使得连接，取其中点在中，因为分别为的中点，所以因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以与重合所以点在线段上，所以是，的交点，即就是而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证法三：假设棱上存在点，使得，设，所以因为，所以所以有，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证【点睛】本题主要考查空间位置的证明和二面角的求解.线面垂直可以通过线线垂直或者面面垂直来实现；二面角一般利用平面的法向量解决.18．椭圆的左焦点为F，过点的直线与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B关于轴的对称点为B’，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）利用椭圆的方程得到，从而可求离心率；（Ⅱ）结合韦达定理求出目标式的表达式，根据式子的结构选择合适的方法求解范围.【详解】（Ⅰ）因为，所以所以离心率（Ⅱ）法一：设显然直线存在斜率，设直线的方程为所以，所以，所以所以因为所以因为所以因为，所以法二：设当直线是轴时，当直线不是轴时，设直线的方程为所以，所以，，所以所以因为所以因为所以因为，所以综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的性质及范围问题.范围问题一般求解思路是：先把目标式求出，再结合目标式的特点选择合适的方法，常用均值定理，导数，二次函数等工具来完成.19．已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：对任意成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（Ⅰ）先求导数得到切线斜率，再求解切线方程；（Ⅱ）通过求解的最小值来比较大小.【详解】（Ⅰ）因为所以当时，所以，而曲线在处的切线方程为化简得到（Ⅱ）法一：因为，令得当时，，，在区间的变化情况如下表:00极大值极小值所以在上的最小值为中较小的值，而，所以只需要证明因为，所以设，其中，所以令，得，当时，，，在区间的变化情况如下表:极小值所以在上的最小值为，而注意到，所以，问题得证法二：因为“对任意的，”等价于“对任意的，”即“，”，故只需证“，”设，所以设，令，得当时，，，在区间的变化情况如下表:极小值所以上的最小值为，而所以时，，所以在上单调递增所以而，所以，问题得证法三：“对任意的，”等价于“在上的最小值大于”因为，令得当时，，，在在上的变化情况如下表:00极大值极小值所以在上的最小值为中较小的值，而，所以只需要证明因为，所以注意到和，所以设，其中所以当时，，所以单调递增，所以而所以，问题得证法四：因为，所以当时，设，其中所以所以，，的变化情况如下表:极小值所以在时取得最小值，而所以时，所以【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数证明不等式.曲线的切线问题一般是先求斜率，结合切点可得切线方程，不等关系的证明一般是利用导数求解最值.20．设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.【答案】（1）；（2）的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，；（3）中的元素个数最大值为.【解析】（Ⅰ）结合题意列举可得；（Ⅱ）先根据，得到的关系式，再求解的最值；（Ⅲ）通过对集合的拆分，逐一求解.【详解】(Ⅰ)满足的元素为（Ⅱ）记，，注意到，所以，所以因为，所以所以中有个量的值为1，个量的值为0.显然，当，时，满足，.所以的最大值为又注意到只有时，，否则而中个量的值为1，个量的值为0所以满足这样的元素至多有个，当为偶数时，.当时，满足，且.所以的最小值为当为奇数时，且，这样的元素至多有个，所以.当，时，满足，.所以的最小值为综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.（Ⅲ）中的元素个数最大值为设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个记，显然集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个，则则中至少存在两个元素，因为，所以不能同时为所以对中的一组数而言，在集合中至多有一个元素满足同时为所以集合中元素个数不超过个所以集合中的元素个数为至多为.记，则中共个元素，对于任意的，，.对，记其中，，记，显然，，均有.记，中的元素个数为，且满足，，均有.综上所述，中的元素个数最大值为.【点睛】本题主要考查集合新定义及数论.难度较大，根据集合元素特征及定义的运算规则逐步突破.。
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n+；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n+．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)（Ⅱ）记12(,,,)n x x x α= ，12(,,,)n y y y β= ，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=，所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++- 12nx x x =+++ 12ny y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++= 所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++- 1122n n x y x y x y n ≤++++++= ，当(1,1,,1)α= ，(0,0,,0)β= 时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- 1122()n n n x y x y x y =-+++ 注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个，当n 为偶数时，n n n αβ*≥-=.当22(1,1,,1,0,0,,0)n nαβ== 个个时，满足n ααββ*+*=，且2nαβ*=.所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以1122n n n αβ-+*≥-=.当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-= 个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+= 个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=.所以αβ*的最小值为12n -综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈ ，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈ 显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈= ，则122n x x x n +++≤- 则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈= ，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α= 满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω ，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.记12S T T = ，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.--..............................4分（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式.由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍.故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项..............................9分（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+，即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d ++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤，由于d *∈N ，所以22+11n n a b +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.n n A B ≤即成立.............................14分【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.20.（本小题满分13分）（Ⅰ）3a 的值可取27,30,33,36..…………3分（Ⅱ）由()151,2,n n a a n +≤+=⋅⋅⋅，对于任意的n ，有15(1)n a n a ≤-+.当14n a ≥-时，15(1)n a n a ≤-+，即5(1)4n a n n ≤-++，即61n a n ≤-.则6n a n <成立.因为n a 是n 的倍数，所以当14n a ≥-时，有5n a n ≤成立.若存在n 使5n a n >，依以上所证，这样的n 的个数是有限的，设其中最大的为N .则5N a N >,15(1)N a N +≤+成立，因为N a 是N 的倍数，故6N a N ≥.由+1565(1)5N N a a N N N ≥-≥-+=-,得10N ≤.因此当11n ≥时，5n a n ≤.…………8分（Ⅲ）由上问知1155a ≤，因为+15n n a a ≤+且n a 是n 的倍数，所以1091,,,a a a ⋅⋅⋅满足下面的不等式：1060a ≤，963a ≤，864a ≤，763a ≤，666a ≤，570a ≤，472a ≤，375a ≤，280a ≤，185a ≤.则1=85a ,2=80a ,3=75a ,472a =,570a =,666a =,763a =,864a =,963a =,1060a =,当11n ≥时，5n a n =这个数列符合条件.故所求1a 的最大值为85.………13分【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.20．（共13分）解：（Ⅰ）4,6,8,102,3,5,71,9,11,12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（答案不唯一） (4)分（Ⅱ）数阵{}i j m n b ⨯具有性质A .只需证明，对于任意的1,2,3,,i n = ，都有(1)i j i j b b +<，其中1,2,3,,1j n =- .下面用反证明法证明：假设存在(1)pq p q b b +>，则(1)(2),,,p q p q mq b b b ++ 都大于(1)p q b +，即在第q 列中，至少有1m p -+个数大于(1)p q b +，且(1)(1)(1)2(1)1(1)p q p q q q b b b b +-+++>>>> .根据题意，对于每一个(1)(1,2,,)t q b t p += ，都至少存在一个t i q a {}(1,2,3,,)t i m ∈ ，使得(1)t i q t q a b +<，即在第q 列中，至少有p 个数小于(1)p q b +.所以，第q 列中至少有11m p p m -++=+个数，这与第q 列中只有m 个数矛盾.所以假设不成立.所以数阵{}i j m n b ⨯具有性质A ....………….13分【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；数列1,5,9,13,17是4阶平衡数列.………………3分（Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N .考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=，所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数.…………5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+ 这k 项，其和为(1)12k k S +'=+，所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .………8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈- ，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ，因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈- .因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N - 的公倍数.………………9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6,7的倍数，即213287,,,a a a a a a --- 均为420的倍数（注：420为2,3,4,5,6,7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯= ，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项.………………11分如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6的倍数，即213276,,,a a a a a a --- 均为60的倍数（注：60为2,3,4,5,6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<< ，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤， ，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯= ≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i = ）时，167a a a +++ 取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873.………………13分【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n +；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n +．20.（本题（Ⅱ）（前两问答案不唯一，请酌情给分）（Ⅲ）不妨设A 为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为()C A ,考虑含n +1个元素的集合2222{1,2}B n n n n n =--- ，，，，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为212x x n <≤…7分也必有至少两个数处于同一列，设为212y y n <≤.①若211max(,)1x y n n -+≥则有222111()max(,)1n n n C A x y n n n +<-+≤≤（因为33+1n n >）.②若211max(,)1x y n n <-+，即211x y n n ==-，则22x y ≠，222min(,)1x y n -≤．所以22222min(,)1(1)(1)1()(1)xy n n n n C A n n n n n n n -+-+==---≤≤.即不论何种情况，总有1()n C A n +≤.…13分。
北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学理试题(小题解析版)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-答案：A考点：双曲线的性质。
解析：a b ==c =2，所以，左焦点为（－2,0），选A 。
2、已知向量,a b 满足=(20(t =)，，1)a ,b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π答案：B考点：平面向量的数量积，三角函数。
解析：由a ⋅=a b 得：（2,0）（t ，1）＝2，即2t ＝2，得t ＝1，由a •b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，得：2＝2θ，所以，cos θ＝2，夹角θ＝4π。
3、已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D考点：等差数列及等比数列的通项公式。
解析：125,,a a a 成等比数列，得2215a a a =⨯，即：2(2)2(24)d d +=⨯+，化简，得：24d d -＝0，因为0d ≠，所以，d =44、直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为A ．0B ．±12C ．±1D ．±2答案：A考点：直线与圆的位置关系。
解析：圆心坐标为（0,0），半径R 10kx y -+=，圆心到直线的距离为：d，因为直线截圆的弦长为2，所以，2221+=，化为：2111k =+，解得：k ＝0。
5、以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．12答案：C考点：正多边形的性质。
2019年北京各区高三上期末考试理科数学分类汇编--解析几何
2019年北京各区高三上期末考试理科数学分类汇编---解析几何一、选填题部分1.（2019海淀期末）双曲线22122x y -=的左焦点坐标为 AA ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-答案：A考点：双曲线的性质。
解析：a b ==c =2，所以，左焦点为（－2,0），选A 。
2.（2019海淀期末）直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 AA ．0B ．±12C ．±1D ．±2答案：A考点：直线与圆的位置关系。
解析：圆心坐标为（0,0），半径R 10kx y -+=， 圆心到直线的距离为：d，因为直线截圆的弦长为2，所以，2221+=，化为：2111k =+，解得：k ＝0。
3.（2019海淀期末）以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 . 答案：22(1)4x y -+=考点：抛物线的性质，圆的标准方程。
解析：抛物线24y x =的焦点F 为（1,0），圆心坐标为（1,0）， 抛物线的准线为x ＝－1，圆与准线相切，所以，R ＝2 所以，圆的方程为：22(1)4x y -+=221______.3x y m m m-==4.（2019东城期末）已知双曲线的一个焦点为，则5（2019通州期末）已知双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则a 等于（ ）B A ．1B ．2C ．3 D.4【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c 的值，然后根据a 、b 、c 的关系可求出a 的值．【解答】解：抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a 2+5＝32＝9， ∵a ＞0，解得a ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．6.（2019朝阳期末）在平面直角坐标系xOy 中，过(4,4),(4,0),(0,4)A B C 三点的圆被x 轴截得的弦长为AA.4B. C.2D.7.（2019朝阳期末）过抛物线2=4y x 焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,C D .若4AF BF =，则CD =__________________. 5 8．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）D （A ）65（B ）54 （C ）32 （D ）52考点：双曲线的概念与性质。
北京市海淀区19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市海淀区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合U={1,2，3，4，5}，A={2,3，4}，B={1,2，5}，则A∩(∁U B)=()A. {3,4}B. {3}C. {4}D. {2,3，4}2.抛物线y2=4x的焦点坐标为()A. (0,1)B. (1,0)C. (0,2)D. (2,0)3.已知圆O的方程为x2+y2−2x−3=0，则下列直线中与圆O相切的是()A. x+√3y+3=0B. x+√3y−3=0C. √3x+y+3=0D. √3x+y−3=04.已知a，b∈R，且a>b.则()A. a2>b2B. ab >1 C. lg(a−b)>0 D. (12)a<(12)b5.若(x2−a)(x+1x)10的展开式x6的系数为30，则a等于()A. 13B. 12C. 1D. 26.已知向量a⃗=(2,1)，|a⃗+b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =1，则|b⃗ |=()A. 2B. 3C. 6D. 127.设α，β是两个不同的平面，l是直线且l⊂α，则“α//β”是“l//β”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.在△ABC中，点D为边AB上一点，若BC⊥CD，AC=3√2，AD=√3，sin∠ABC=√33，则△ABC 的面积是()A. 9√22B. 15√22C. 6√2D. 12√29.log849log27=()A. 2B. 32C. 1 D. 2310.若点N为点M在平面α上的正投影，则记N=fα(M).如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为β，平面ABCD为γ，点P是棱CC1上一动点(与C、C1不重合)Q1=fγ[fβ(P)]，Q2=fβ[fγ(P)].给出下列三个结论：①线段PQ 2长度的取值范围是[12,√22)； ②存在点P 使得PQ 1//平面β；③存在点P 使得PQ 1⊥PQ 2．其中，所有正确结论的序号是 ( )A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①②二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 等差数列{a n }中，a 3=50，a 5=30，则a 7= ______ ．12. 已知复数z =1+2i i ，则|z|=_____。
2019-2020学年北京海淀高三上学期数学期末考试试卷+答案解析+评分标准
（i）给出下列结论：
①曲线 C 为中心对称图形；
②曲线 C 为轴对称图形；
③当 m 1时，若点 P(x, y) 在曲线 C 上，则 | x | 1或 | y | 1.
其中，所有正确结论的序号是
.
（ii）当 m 2 时，若曲线 C 所围成的区域的面积小于 ，则 m 的值可以是
.
（写出一个即可）
（5）在 (x 1 )5 的展开式中， x3的系数为
x
（A） -5
（B） 5
（C） (1)a < (1)b 33
（C） -10
（D） a2 > b2 （D）10
（6）已知平面向量 a, b, c 满足 a b c 0 ，且 | a || b || c | 1 ，则 a b 的值为
（A） - 1 2
（B） 1 2
（C） - 3 2
（D） 3 2
（7）已知 , , 是三个不同的平面，且 =m ， =n ，则“ m∥n ”是“ ∥ ”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）已知等边△ ABC 边长为 3. 点 D 在 BC 边上，且 BD CD ， AD 7 . 下列结论中错
（18）（本小题共 13 分）
如图，在三棱锥V ABC 中，平面VAC 平面 ABC ，△ ABC 和 △VAC 均是等腰直角三角形， AB BC ， AC CV 2 ， M ， N 分别为VA , VB 的中点. （Ⅰ）求证： AB// 平面 CMN ； （Ⅱ）求证： AB VC ； （Ⅲ）求直线VB 与平面 CMN 所成角的正弦值.
（22）（本小题共 14 分） 给定整数 n(n 2) ，数列 A2n1：x1, x2 ,, x2n1 每项均为整数，在 A2n1 中去掉一项
海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试及答案
海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则 （ ）A ．257 B ．257-C ．2524 D ．2524- 2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=ny m x A n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐 标是 （ ） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)sin ()cos (021sin cos 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知双曲线1422=-x y ，则其渐近线方程是 ，离心率e= . 10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2= . 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°， 长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行 六面体表面所围成的几何体中较小体积值 为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b cos )2(cos -=. （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程； （Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x轴于点A ，且.221AF AF = （Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有 （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求证：4)(≤x f ； （Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－9 12．4π 13．π48+，122- 14． 92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==Θac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+Θ3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆ 43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分 16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴k k ，43=k ，………………………………………………………4分 故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,+=Θ2,)2,(),(0000yy x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y y x y x Θ……………………………………………11分 ∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y y x …………………………………………12分 轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分 注：多端点时，合计扣1分. 17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB Θ，11A ACC BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A ACC AM 面⊆Θ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11I Θ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ·AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分 ∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅2121Θ1=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBCBOC . ︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小 为45°………………………………9分 （Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分 ABC M ABM C V V --=Θ………………………………………………………………11分 ABC ABM S MC hS ∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆ABMABCS S MC h ∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分 （Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1）1BA AM ⊥Θ.01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分 设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为 m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m m m 易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分2263== 即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分 18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f Θ…………………………2分 由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或 又)(x f Θ定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分 （Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞）1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分 0202,20>->-∴<<aaa a 且Θ由0)('>x g 得a a x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a 上单调递增； 由0)('<x g 得a a x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 2,1上单调递减…………8分①时 )(,320x g a a <-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana a a g x g --=-=2221)2()(min ； (23)0<<a …10分 ②当)(,32,223x g aaa ≥-<≤时在（0，3）上单调递减， ∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分 综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，an a a a g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分 19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF =Θ 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+y x ……………………………………………………5分 （Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==a b DE ， 此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kk x x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kk k k MN ++=-++-=………………………………10分 所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kk kk MN DE S ++⋅++⋅=⋅= 13)1(6)21(242222++++=kk k k ，…………………………………12分 令u u u S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得 因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分 又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分.3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ， 因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤--（1）当n =1时，331314)1()31(0+=+===f f ，不等式成立； （2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-k k k k k k k k k k f f f f f f f 得≤)31(3k f 9316)31(11+≤+--k k f 331)31(+≤∴k k f即当n=k+1时，不等式成立.由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kk f 对一切正整数都成立. 于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n n n n f x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n n f f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n ……………………………………13分。
北京市海淀区2019-2020学年第一学期高三期末数学试题及答案
2020. 01本试卷共 4 页，150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
1,2,3, 4,5, 6 ， ，是U1,3,5, 6} 1,3,5} （A ） （B ） （C ）（2）抛物线 y24x 的焦点坐标为(0,1)（A ） （B ）（C ）（3）下列直线与圆( 1)( 1) 2 相切的是 x 2 y 2 （A ） （B ）（C ）（4）已知a,b Î R ，且 a，则1 11 1 （A ）Dab2 2331(x )3 的展开式中， x 的系数为5 x （A ）（6）已知平面向量a, b , c满足，则a b 的值为| || || |1，且 a b c 1 13 3 （B ）（D ）2222=m ，= （7）已知 , n ，则“ m n ”是“”∥ 的（B ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△， A D B D C D的是S cos BADs in BAD（A ）（C ）2 （D ）2Sx（9）声音的等级 ( )（单位：dB ）与声音强度 （单位：W/m 2）满 足 f .x f x么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的681012（10）若点 N 为点 在平面 上的正投影，则记 Na.M - A B C D1 1 1 1A B C D 为 b ，平 面 AB C D 为g ，点 P 是棱C C 上一动点（与1 11= f [ f (P)] Q = f [ f (P)] ， .给出下C1gb2bg列三个结论：1 2①线段 P Q 长度的取值范围是[ , ) ；2 22 ②存在点 P 使得 P Q ∥平面 ；b 1 ^ P Q .1（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
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北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学（理科）试题1. 复数A. B. C. D.【答案】A【解析】由，故选A.2. 在极坐标系中，方程表示的圆为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，方程表示以，半径为的圆，故选D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】执行程序框图，可知：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：，此时满足判断条件，终止循环，输出，故选B.4. 设是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，方程表示双曲线，则或，所以“”是方程“表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.5. 已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】由题意得，圆的圆心坐标为，半径.因为为正三角形，则圆心到直线的距离为，即，解得或，故选D.6. 从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】从编号为的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，共有种不同的取法，恰好有两个小球编号相邻的有：，共有种，所以概率为，故选C.7. 某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】D【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是腰长为的等腰直角三角形，高为的三棱锥，即平面，则三棱锥的体积为，故①是正确的；其中为边长为的等边三角形，所以②不正确；其中为面积最大的面，其面积为，所以③是正确的，故选D.8. 已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误的是（）A. 使得为等腰三角形的点有且仅有4个B. 使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个【答案】C【解析】由为等腰三角形，若，则有两个点，若，则不存在，若，则有两个点，使得为等腰三角形，的点有四个点；由中，为直角的点有两个点，为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为等腰三角形，的点有且仅有四个点；若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的只有两个；使得的点在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程，可得，可得点有两个，若点在第四象限，由对称性可得也有两个，则使得的点有且仅有四个，故选选C.点睛：本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用问题，此类问题的解答通常是把直线的方程代入曲线的方程，转化为一元二次方程，利用根于系数的关系和韦达定理求解是解答的关键，同时考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用.9. 点到双曲线的渐近线的距离是___________.【答案】【解析】由双曲线的方程，可得双曲线的一条渐近线的方程为，级，所以点到渐近线的距离为.10. 已知公差为1的等差数列中，，，成等比数列，则的前100项和为__________. 【答案】5050【解析】由题意得，构成等比数列，所以，即，解得，所以数列的前项的和为.11. 设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则________.【答案】2【解析】由抛物线的焦点为，经过抛物线的焦点且垂直与的直线和抛物线交于两点，则,所以.12. 已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则_____.【答案】6【解析】由题意得，令，可得展开式中各项的系数和为，由展开式中各项的二项式系数的和为，则.13. 已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为_____.【答案】【解析】由题意得，过点作平面，垂足为，在点在线段上，分别连接,在直角中，，在平面内过点作，则，即到直线的最短距离为，又，当时，此时,所以的最小值为.14. 对任意实数，定义集合.①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是______；②当时，若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为_______.【答案】 (1). (2).【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，观察图形可得只要满足时，满足题设条件，对于任意，有恒成立，则恒成立，因为表示与定点的斜率，当过点时，此时有最小值，最小值为，即，存在，使得成立，则，平移目标函数，当直线和重合时，此时最小，最小值为，则，综上所述的取值范围是.点睛：本题主要考查了简单的线性规划的应用，利用图象分析目标函数的取值范围是解得关键，其中线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用.15. 如图，在中，点在边上，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，设，则，，在在中，由余弦定理列出方程，即可求解的长；（Ⅱ）在中，由正弦定理，求得进而的值，进而得到，即可求解的值；或在中，由余弦定理，求解的值，得，求出，从而得到结论.试题解析：（Ⅰ）如图所示，，故，设，则，.在中，由余弦定理即，解得，即.（Ⅱ）方法一.在中，由，得，故在中，由正弦定理得：即，故，由，得，方法二. 在中，由余弦定理由，故，故16. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。
为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，单位是MIPS）．．．．，速度越快（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）随机变量的分布列为：；（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一.【解析】试题分析：（Ⅰ）从品牌的12次测试中，测试结果打开速度小于的文件有次，利用古典概型，即可求解相应的概率；（Ⅱ）在12次测试中，品牌的测试结果大于品牌的测试结果的次数共有次，确定随机变量的可能的取值为，求出取每个数值的概率，列出分布列，利用公式求解数学期望；（Ⅲ）结合题设中已有数据，能够运用以下其中一个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由即可.试题解析：（Ⅰ）从品牌的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次，设该测试结果打开速度小于7为事件，因此（Ⅱ）12次测试中，品牌的测试结果大于品牌的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次，随机变量所有可能的取值为：0，1，2，3随机变量的分布列为：（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）参考数据17. 如图1，梯形中，为中点.将沿翻折到的位置，如图2.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）设分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）体积相等.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可证得，所以平面平面.（Ⅱ）根据题设中的垂直关系，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的各自一个法向量，利用向量所成的角，即可求解线面角的正弦值.（Ⅲ）方法一：先证得平面，可得点到平面的距离相等，即可得到三棱锥和同底等高，所以体积相等；方法二：取中点，连接，，，分别得到，，进而证得平面，即可点、到平面的距离相等，所以三棱锥和同底等高，所以体积相等；试题解析：（Ⅰ）证明：因为，，，，平面所以平面因为平面，所以平面平面（Ⅱ）解：在平面内作，由平面，建系如图.则，，，，. ，，，设平面的法向量为，则，即，令得，，所以是平面的一个方向量.所以与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）解：三棱锥和三棱锥的体积相等.理由如:方法一：由，，知，则因为平面，所以平面.故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等.方法二：如图，取中点，连接，，.因为在中，，分别是，的中点，所以因为在正方形中，，分别是，的中点，所以因为，，平面，，平面所以平面平面因为平面，所以平面故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等.18. 已知椭圆，点（Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）结论是：，证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的方程求得的值，即可求解椭圆的短轴长和离心率；（Ⅱ）设直线：，，，用直线的方程和椭圆的方程联立方程组，得到，，则可计算得出，进而得到，得点在以为直径的圆内，所以.试题解析：（Ⅰ）：，故，，，有，.椭圆的短轴长为，离心率为（Ⅱ）结论是：.设直线：，，，整理得：故，故，即点在以为直径的圆内，故点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系的应用等问题，对于直线和圆锥曲线的位置关系，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易难点在与转换为点与圆的位置关系，从而得到结论，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.19. 已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：函数有且仅有一个零点；（Ⅲ）当时，写出函数的零点的个数.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）当时，有一个零点；当且时，有两个零点.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导函数，得到，，进而得到切线的方程.（Ⅱ）当时，求得函数的导数，得，则为单调递增函数，又由，进而得到在单调递减，在单调递增，所以函数的最小值为，即可证明结论；（Ⅲ）根据函数的单调性和极值，可得当和且时时，零点的个数.试题解析：（Ⅰ）因为函数,所以故，，曲线在处的切线方程为（Ⅱ）当时，令，则故是上的增函数.由，故当时，，当时，.即当时，，当时，.故在单调递减，在单调递增.函数的最小值为，由，故有且仅有一个零点.（Ⅲ）当时，有一个零点；当且时，有两个零点.点睛：本题主要考查了导数的综合应用问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解切线的方程，往往和直线有关的知识相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；（3）利用函数的单调性，转化为函数的极值或最值，求参数等问题.20. 无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，中等于的项的个数.（Ⅰ）若，请写出数列的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得；（Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件。