北京市第五十六中学2017—2018学年第一学期初二数学期中试卷

北京市第五十六中学2017—2018学年第一学期初二数学期中试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．计算23-的结果是（ ） A ．－6B ．－9C ．19D ．19-2．石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯(Graphene)是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（ ） A ．1×10-6 B ．10×10-7C ．0.1×10-5D ．1×1063．若分式x 2x 1-+的值为0，则x 的值为 A ．﹣1B ．0C ．2D ．﹣1或24．下列运算中正确的是（ ） A ．284x x x -÷=B ．22a a a ⋅=C ．()236a a =D ．()3339a a =5．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．()a b c ab ac -=-B ．()222312x x x -+=-+ C ．()()2422x x x -=+-D ．2(1)(2)32x x x x ++=++6．如图，已知AB CD =，BC AD =，23B =∠，则D ∠等于( )A ．67B ．46C ．23D ．无法确定7．如图，下面是利用尺规作∠AOB 的角平分线OC 的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ） 作法：①以O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点D ，E ； ②分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内交于一点C ； ③画射线OC ，射线OC 就是∠AOB 的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 8．下列各等式中，正确的是（）A．11aa+=B．11a ab b+=+C．a b a ba b a b--+=--D．11ab b aab b a++=--9．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，BC＝DE，则下列结论中不正确的是( )A．△ABC≌△CDE B．CE＝AC C．AB⊥CD D．E为BC的中点10．文文借了一本书共280页，要在两周借期内读完．当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．她在读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是（）A．2802801421x x+=-B．2802801421x x+=+C．1401401421x x+=-D．1401401421x x+=+二、填空题11．若分式21x-有意义，则x的取值范围是___________.12．如图，四边形ABCD中，BC=DC，要使△ABC≌△ADC，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________．13．把分式293aab b-+约分得_____________.14．计算：5.1268.4 4.868.49.6868.4⨯-⨯+⨯=_____________.15．计算：-101+3(22⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=________________ . 16．课堂上，老师给出了一个只含字母x 的多项式，并让同学们描述这个多项式的特征，以下是两位同学的描述，根据这些描述，请写出一个符合条件的多项式_____________.17．已知6,3x y xy +==-，则22x y xy += ， =+22y x ，=-2)(y x 。

18．如图，已知点D 是△ABC 的两外角平分线的交点，下列说法：（1） AD =CD ；（2）D 到AB 、BC 的距离相等；（3） D 到△ABC 的三边的距离相等；（4） 点D 在∠B 的平分线上； 其中正确的说法的序号是________________.三、解答题 19．224x y -20．2()3()a b a b -+- 21．221218ax ax a -+ 22．2412x x --23．42223248515a b a b c c÷ 24．24()221x xx x x x -⋅+++ 25．解分式方程：221=42x x x -- 26．解分式方程：2112525x x x -=-+27．先化简代数式22321(1)24a a a a -+-÷+-，再从0,2,3三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值．28．已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， ∴______＝_______ 在△______和△______中，()(? ),______,?____________(? ),RP RQ PM =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知 ∴______≌______（ ）．∴ ∠PRM ＝______ （ ）． 即RM 平分∠PRQ ．29．已知：如图，A ，O ，B 三点在同一条直线上，∠A =∠C ，∠1=∠2，OD ＝OB ． 求证：AD =CB ． 证明：30．已知AB//DE ，BE=CF ，AB=DE ，∠A=∠D . 求证：AC//DF . 证明：31．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式：①211x x -+；②222a ba b --；③22x y x y +-；④()222a b a b -+．其中是“和谐分式”是 （填写序号即可）； （2）若a 为正整数，且214x x ax -++为“和谐分式”，请写出a 的值； （3）在化简22344a a bab b b -÷-时， 小东和小强分别进行了如下三步变形： 小东：原式=22344a a ab b b b -⨯-=223244a aab b b--=()()222323244a b a ab b abb b---，小强：原式=22344a a ab b b b-⨯-=()()()222224444a a a b a a b a b b a b b ---=--， 显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，请你接着小强的方法完成化简．32．如图,△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ；△EFP 的边FP 也在直线 l 上，边EF 与边AC 重合，且EF=FP ．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ， BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）AP ，BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案1．C 【解析】 【分析】根据负整数指数幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解． 【详解】2211339-==， 故选：C. 【点睛】本题考查了负整数指数幂的计算，负整数指数幂等于正整数指数次幂的倒数，熟记性质是解题的关键． 2．A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于0.000001有6个0，所以可以确定n=-6． 【详解】0.000 001=1×10-6． 故选A ． 【点睛】本题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定n 值是关键． 3．C 【分析】根据分式值为零的条件可得x ﹣2＝0，再解方程即可． 【详解】解：由题意得：x ﹣2＝0，且x +1≠0， 解得：x ＝2， 故选C ． 4．C 【解析】试题解析：A. 286.x x x -÷=故错误. B. 23.a a a ⋅=故错误. C.正确.D.()33327.a a =故错误. 故选C. 5．C 【解析】试题解析：A. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； C. 是因式分解，故本选项正确；D. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； 故选C.点睛：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 6．C 【解析】试题解析：连接AC ，∵AB=CD ，BC=AD ， AC=AC ，∴△ABC ≌△ACD ， ∴∠D=∠B=23°． 故选C ． 7．C 【详解】试题分析：如图，连接EC 、DC ．根据作图的过程知， 在△EOC 与△DOC 中，，△EOC ≌△DOC （SSS ）． 故选C ．考点：1.全等三角形的判定；2.作图—基本作图． 8．D 【详解】解：A.a 111a a +=+，故本选项错误； B.a 1ab 1b+≠+，故本选项错误； C.()()a b a b a b b a -+--=---=a bb a+-，故本选项错误； D.()()b a 1ab b a 1ab b b a 1a 1+++==---=，故本选项正确．故选D ． 9．D 【分析】首先证明△ABC ≌△CDE ，推出CE=AC ，∠D=∠B ，由∠D+∠DCE=90°，推出∠B+∠DCE=90°，推出CD ⊥AB ，即可一一判断． 【详解】在Rt △ABC 和Rt △CDE 中，AB CDBC DE =⎧⎨=⎩，∴△ABC ≌△CDE ， ∴CE =AC ，∠D =∠B ， 90D DCE ∠+∠=， 90B DCE ∴∠+∠=， ∴CD ⊥AB ，D ：E 为BC 的中点无法证明 故A 、B 、C.正确， 故选. D 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题． 10．D 【解析】试题解析：根据读前一半时，平均每天读x 页，即读140页时，用时表示为140x天，后一半平均每天要多读21页，得读后一半时平均每天读()21x +页，用时14021x +天，根据两周借期内读完列分式方程为： 14014014.21x x +=+ 故选D. 11．1x ≠【解析】试题解析：分式有意义，则10.x -≠ 解得： 1.x ≠ 故答案为： 1.x ≠12．AD= AB 或DCA BCA ∠=∠ 【解析】试题解析：①添加AD =AB ,根据SSS,能判定△ABC ≌△ADC ； ②添加∠ACD =∠ACB ,根据SAS,能判定△ABC ≌△ADC ； 故答案是：答案不唯一,AD =AB 或者∠ACD =∠ACB . 13．3a b- 【解析】试题解析：原式()()()333.3a a a b a b+--==+ 故答案为：3.a b- 14．684【解析】 试题解析：原式()()68.4 5.12 4.89.6868.414.8 4.868.410684.=⨯-+=⨯-=⨯=故答案为684.15．6【解析】试题解析：原式231 6.=++=故答案为：6.16．3233x x -或4233x x -或6233x x -【解析】试题解析：由题意可得：符合条件的多项式可以是：3233x x -或4233x x -或6233x x -.故答案为：3233x x -或4233x x -或6233x x -.17．-18，42，48【解析】22x y xy +=()xy x y +=-18，=+22y x 2()2x y xy +-=42， =-2)(y x 222x y xy +-=48.18．（2）,（3）,（4）【解析】试题解析：如图，过点D 作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ，作DF BC ⊥交BC 的延长线于F ，作DG AC ⊥于G ，∵点D 是ABC 的两外角平分线的交点，DE DG DF DG ∴==，，故()2正确； DE DF DG ∴==，故()3正确； ∴点D 在B 的平分线上，故()4正确；只有AB BC =时，AE CF =，AD CD =，故()1错误.综上所述，说法正确的是()2()3()4.故答案为()2()3()4.点睛:角平分线上的点到角两边的距离相等.19．(2)(2)x x +-【解析】试题分析：直接按照平方差公式因式分解即可.试题解析：原式()()=22x x +-.点睛:因式分解的常用方法:提取公因式法,公式法,十字相乘法.20．()(3)a b a b --+【解析】试题分析：直接按照平方差公式因式分解即可.试题解析：原式()()=3a b a b --+.21．22(3)a x -【解析】试题分析：直接按照平方差公式因式分解即可.试题解析：原式()()22269=23.a x x a x =-+- 22．(6)(2)x x -+【解析】试题分析：直接按照平方差公式因式分解即可.试题解析原式()()=62x x -+.23．232a c【解析】试题分析：进行约分即可. 试题解析：原式42223224153=582a b c a c a b c⋅=. 24．21x x -+ 【解析】试题分析：原式括号里的两项同分并利用同分母的减法法则进行运算，约分即可得到结果.试题解析：原式()224,221x x x x x x x ⎡⎤=-⋅⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()()()22,21x x x x x x +-=⋅++ 2.1x x -=+ 25．无解【解析】试题分析：按照解分式方程的步骤解方程即可.试题解析：方程两边同时乘以()()22x x +-，得2 2.x x =+移项，得2 2.x x -=合并同类项得： 2.x =检验：把2x =代入()()220.x x +-=则2x =是原方程的增根.点睛:分式方程必须检验.使最简公分母为0的根是原方程的增根.26．15=4x -【解析】【分析】按照解分式方程的步骤解方程即可.【详解】解：方程两边同时乘以()()2525x x +-，得()()()()225252525.x x x x x +--=+-去括号，得2241025425.x x x x +-+=-移项，得224410225 5.x x x x -+-=--合并同类项得：830.x =-把系数化为1，得15.4x =-检验：把154x =-代入()()25250.x x +-≠ 原方程的解是15.4x =- 27．2【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的法则减法法则进行计算，同时利用除法法则变形，约分,再选一个值代入运算即可.试题解析：原式()()()22223=,221a a a a a a +-+⎛⎫-⋅ ⎪++⎝⎭- ()()()2221=,21a a a a a +--⋅+- 2=.1a a -- 把0a =代入，得原式=2.28．PM QM RPM RQM QM RM RM △RQM ∠QRM【解析】试题解析：证明：∵M 为PQ 的中点，∴PM =QM .在△PRM 与△QRM 中，∵RP RQ PM QM RM RM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，（已证），∴△PRM ≌△QRM (SSS)，∴∠PRM =∠QRM ，即RM 平分∠PRQ .29．见解析【解析】试题分析：证出,AOD COB ∠=∠由AAS 证明AOD △≌ ,COB 得出对应边相等即可. 试题解析：证明： 12∠=∠，12COD COD ∴∠+∠=∠+∠，即AOD COB ∠=∠，在AOD △和COB 中，AOD COB A COD OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AOD ∴≌COB ，.AD CB ∴=30．见解析【解析】试题分析：由ASA 证明ABC △≌ ,DEF 得出对应角相等，再依据同位角相等，两直线平行即可证明.试题解析：（1）证明：（1）∵AB ∥DE ，B DEF ∴∠=∠，在ABC △和DEF 中，A D AB DEB DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABC ∴≌()ASA .DEFBCA F ∴∠=∠，AC //DF .31．（1）②；（2） 4，5；（3）见解析.【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题； （2）根据和谐分式的定义可以得到a 的值；（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题.【详解】（1）②分式=，不可约分，∴分式是和谐分式， 故答案为②；（2）∵分式为和谐分式，且a 为正整数， ∴a=4，a=﹣4（舍），a=5；（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，原式====故答案为小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．【点睛】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答.32．见解析【解析】试题分析：（1）根据图形就可以猜想出结论．（2）要证BQ AP =，可以转化为证明Rt BCQ △≌Rt ACP ；要证明BQ AP ⊥，可以证明90QMA ∠=︒，只要证出12341390∠=∠∠=∠∠+∠=︒，，即可证出．（3）类比（2）的证明就可以得到，结论仍成立．试题解析：（1）.AB AP AB AP =⊥，（2）.BQ AP BQ AP =⊥，证明：①由已知，得EF =FP ，EF ⊥FP ，45.EPF ∴∠=又∵AC ⊥BC ，45.CQP CPQ ∴∠=∠=∴CQ =CP .∵在Rt △BCQ 和Rt △ACP 中，,90BC AC BCQ ACP CQ CP =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△BCQ ≌△ACP (SAS)，∴BQ =AP .②如图，延长BQ 交AP 于点M .∵△BCQ ≌△ACP ，∴∠1=∠2.∵在Rt △BCQ 中,1390∠+∠=，又∠3=∠4， 241390.∴∠+∠=∠+∠=90.QMA ∴∠=∴BQ ⊥AP ；(3)成立.证明：①如图,45EPF ∠=，45.CPQ ∴∠=又∵AC ⊥BC ，45.CQP CPQ ∴∠=∠=∴CQ =CP .∵在Rt △BCQ 和Rt △ACP 中，90BC AC BCQ ACP CQ CP =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCQ ≌△ACP (SAS)，∴BQ =AP .②如图，延长QB 交AP 于点N ，则∠PBN =∠CBQ . ∵△BCQ ≌△ACP ，∴∠BQC =∠APC .∵在Rt △BCQ 中,90BQC CBQ ∠+∠=，又∵∠CBQ =∠PBN ，90.APC PBN ∴∠+∠=90.PNB ∴∠=∴QB ⊥AP .。