数学建模之计算机模拟

计 算 机 模 拟 应 用 举 例
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例1 池水含盐量问题
某水池有2000m3水，其中含盐2kg，以每分 钟6m3的速率向水池内注入含盐率为0.5kg/m3的 盐水，同时又以每分钟4m3的速率从水池流出搅 拌均匀的盐水。欲使池中含盐率达到0.2kg/m3， 需经过多少时间？ 引入记号： 注水速率VI=6m3/min 排水速率VO=4m3/min 注入水含盐率SI=0.5kg/m3 最终含盐率SF=0.2kg/m3 T时刻水的体积VTm3 T时刻水的含正盐量STkg T时刻水的含盐率SR=ST/VT kg/m3
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
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例2 排队过程 某商店只有一个收款台，顾客到 达收款台的时间间隔服从均值为4.5 的负指数分布，每个顾客的服务时间 服从均值为3.2、标准差0.6的正态分 布。这里时间单位是分钟，且服务时 间不取负值。以100个顾客接受服务 情况估计每个顾客的平均等待时间、 最大队长、收银员的工作效率。
计算机模拟步骤
• 计算机模拟，大致可分为以下四个步骤： • 系统分析：明确问题并提出总体方案。首先要把被模拟的系统内 容表达清楚，弄清仿真的目的和系统边界（即所研究的问题涉及 的范围，包括要把所研究的系统与影响系统的环境区分开来。） 确定问题的目标函数和可控变量，并加以数量化，找出系统的实 体、属性和活动，描述子系统与总系统的关系。 • 模型构造：包括建立模型、收集数据、编写程序、程序验证和模 型确认等。建立模型就是选择合适的仿真方法，确定系统的初始 状态，设计整个系统的仿真流程图。然后根据需要收集、整理数 据，用通用语言或仿真语言编写、调试程序。
9.98 T ( 1)*1000 184.84 6
计算机模拟应用举例
• 事件步长法：以事件发生的时间为增量， 按时间的进展，一步一步地对系统行为进 行仿真，直到预定的时间结点为止。 • 事件步长法中常用事件表法。
– 事件步长法与时间步长法的主要区别：
• 仿真时钟步长不同 • 步长大小对精度的影响不同 • 每步中对系统状态的扫描不同
为什么要进行计算机模拟
• 不在一个真实系统上实验而是在计算机上模拟，原因主要有以下几点 • 实际系统建立起来之前，要对系统的行为或结果进行分析研究，计算机 模拟是行之有效的方法。 • 在一些真实系统上做实验可能会影响系统的正常运行，如生产中任意改 变工艺参数可能会导致废品，在经济活动中随意将一个决策付诸行动可 能会引起经济混乱。 • 当人是系统的一部分时，他的行为往往会影响实验的效果，这时最好对 系统进行模拟研究。 • 在实际系统上实验无法保证每次操作条件完全相同，难以正确判断实验 结果的好坏。 • 有些实验时间长、费用高、危险性大，使得实验不易进行 • 有的系统建立之后无法复原，事件发生不可逆。 鉴于以上原因，人们一般不直接对真实系统进行实验，而是根据系统的机理 进行计算机模拟。
dST WI * SI WO * SR dT ST 其中，SR V 0 (WI WO)* T
初始条件为ST|T=0=S0
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
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例1 池水含盐量问题
代入已知数据，可得：
在ST/VT=0.2的条件下可算出
3
998000000 ST 1000 T 2 （ 1000 T）
数学建模之计算机模拟
武汉理工大学理学院统计学系 李宇光 制作
数学建模之计算机模拟
• • • • • 什么是计算机模拟 为什么要进行计算机模拟 适用于计算机模拟解决的问题 计算机模拟步骤 计算机模拟应用举例
什么是计算机模拟
• 计算机模拟也叫计算机仿真，是用计算机对一个 系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测 一个系统的行为效果，为决策提供信息的一种方 法，即：用计算机程序直接建立真实系统的模型， 并通过计算了解系统随时间变化的行为或特性。 • 计算机模拟分为连续系统仿真和离散系统仿真两 大类，这里只对离散系统作初步介绍。
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适用于计算机模拟解决的问题
• 下列情形中，计算机模拟能有效解决问题： • 难以用数学公式表示的系统或没有建立和求解数学模型的有效方 法。 • 虽然可用解析的方法解决问题，但数学计算和分析过于复杂，这 时计算机模拟可能提供简单可靠的求解方法。 • 希望能在较短时间内观察到系统发展的全过程，以估计某些参数 对系统行为的影响。 • 难以在实际环境中进行实验和观察时，计算机仿真是唯一可靠的 方法，如太空飞行研究。 • 需对系统或过程进行长期运行比较，从大量方案中寻优时。
I f ( x)dx
a b
计算机模拟步骤
• 计算机模拟，大致可分为以下四个步骤： • 模型运行和改进：首先确定一些具体的运行方案， 如初始条件、参数、步长、重复次数等，然后输 入数据，运行程序，将得出的仿真结果与实际系 统比较，进一步分析和改进模型，直到符合实际 系统要求为止。 • 设计格式输出仿真结果：包括提供文件的清单， 记录重要的中间结果，输出格式要有利于用户了 解整个仿真过程，分析和使用仿真结果。
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
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例2 排队过程
matlab程序
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
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例2 排队过程
matlab程序运 行后的数据空 间。
本例中有关工作效率方面并没给出。请同学们试着解决。
计算机模拟应用举例
• 除此之外，将一些非随机问题通过巧妙地 引入随机数后得用计算机模拟的Monte Carlo方法，也有非常广泛的应用。 • 例3 用Monte Carlo方法计算定积分
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
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例1 池水含盐量问题
初始化
按时间步长前进1min 计算池水体积VT，含盐量ST，含盐率SR 含盐率达到SF？
否
否
源自文库
仿真框图
是
输出结果
是否达到10min？
是
打印次数加1
输出时间T，水体积VT， 含盐量ST，含盐率SR 下一个10min开始，记时单元清零 结束
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• 例1 池水含盐量问题 仿真程序：利用matlab
进行模拟 的条件
时间步长
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
• 例1 池水含盐量问题 仿真程序：利用matlab计算结果：
时间 池水体积 含盐量 含盐率
计 算 机 模 拟 应 用 举 例
• 例1 池水含盐量问题 本例也可用微分方程建模： 设在T（分）时刻池中含盐量为ST （kg），则在dT时间池中盐的变化 量为dST，可得如下微分方程
计算机模拟应用举例
• 时间步长法：在系统仿真中，把整个仿真 过程分成若干相等的时间间隔，在每一步 长内，认为系统所处的状态相同，按照时 间流逝顺序，一步一步地对系统活动进行 模拟的方法。选取系统的初始状态为时钟 零点，仿真时钟每进一次，就对系统状态 的一次变化。这一过程，一直到仿真时钟 结束为止。